İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
OCAK 2012
ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER
Ufuk SEVİM
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Anabilim Dalı Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Programı
Anabilim Dalı : Herhangi Mühendislik, Bilim Programı : Herhangi Program
OCAK 2012
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER
YÜKSEK LİSANS TEZİ Ufuk SEVİM
(504091123)
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Anabilim Dalı Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Programı
Anabilim Dalı : Herhangi Mühendislik, Bilim Programı : Herhangi Program
Tez Danışmanı : Prof. Dr. Leyla GÖREN SÜMER ... İstanbul Teknik Üniversitesi
Jüri Üyeleri : Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ ... İstanbul Teknik Üniversitesi
Doç. Dr. Neslihan Serap ŞENGÖR ... İstanbul Teknik Üniversitesi
İTÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü’nün 504091123 numaralı Yüksek Lisans Öğrencisi
Ufuk SEVİM, ilgili yönetmeliklerin belirlediği gerekli tüm şartları yerine getirdikten
sonra hazırladığı “ZAMAN ÖLÇEKLEMELİ SİSTEMLER” başlıklı tezini aşağıda imzaları olan jüri önünde başarı ile sunmuştur.
Teslim Tarihi : 19 Aralık 2011 Savunma Tarihi : 27 Ocak 2012
ÖNSÖZ
Zaman ölçeklemesi henüz literatürde çok yenidir ve özellikle bu konunun kontrol kuramında kullanılmasıyla ilgili çalı¸smalar henüz yok denecek kadar azdır. Ancak bu konunun kontrol kuramı açısından yepyeni açılımlar sa˘glayaca˘gını dü¸sünüyorum. Bu nedenle, bu tezi hazırlarken aynı zamanda gelece˘ge yönelik Türkçe bir kaynak olabilmesi amacıyla, daha çok kontrol kuramında kullanılabilecek kısımları birçok kaynaktan derleyerek burada sundum.
Tezi hazırlarken elde edilenleri diferansiyel denklemlerle ve klasik do˘grusal kontrol kuramı ile sık sık kar¸sıla¸stırmaya çalı¸stım. Bu kar¸sıla¸stırmaları genelde örnekler içerisinde, zaman ölçeklemesinde elde edilenlerin özel seçimlerle sürekli ya da ayrık sistemlere dönü¸sece˘gini göstererek yapmaya çalı¸stım.
Tezi bölümlendirirken klasik kontrol mühendisli˘gi e˘gitimi a¸samalarını dikkate aldım. Bu nedenle tezi, sanki bir lisans ö˘grencisinin 1. sınıftan son sınıfa kadar bölümle ilgili alması gereken derslerin konularını zaman ölçeklemesi için veriliyormu¸s gibi yazmaya çalı¸stım.
Tezdeki hemen hemen tüm teoremlerin kanıtlarını da verdim. Bu kanıtların birço˘gu klasik teoridekilerle tamamen aynı oldu˘gundan, bu tezi okuyabilecek lisans ö˘grencilerinin klasik teoriyi de daha iyi kavrayacaklarını dü¸sünüyorum.
Ayrıca, bu çalı¸smada yapılan katkıların yanısıra, aklımda olan bazı açık problemlerden de bahsetme imkanı buldum. Gelecekteki çalı¸smalarımda bu problemlerin ve ortaya çıkacak yeni problemlerin çözümlerine odaklanaca˘gım. Yine bu çalı¸sma kapsamında geli¸stirdi˘gim MATLAB ve Mathematica araçlarını ve Simulink bloklarını, herkesin kolayca faydalanabilmesi için açık kaynak bir lisans ile yayınlayaca˘gım.
Bu çalı¸smayı yaparken yardımlarını ve ilgisini cömertçe sunan, önerileriyle ufkumu geni¸sleten, birlikte çalı¸smaktan çok keyif aldı˘gım danı¸sman hocam Leyla Gören Sümer’e çok te¸sekkür ederim. Ayrıca, gösterdi˘gi ilgi ve de˘gerli fikirleri için ara¸stırma görevlisi Veysel Gürkan Anık’a, çalı¸smalarımın en ba¸sında vaktini ayırarak fikirlerini payla¸san ara¸stırma görevlisi ˙Ilhan Mutlu’ya te¸sekkürü bir borç bilirim.
Haziran 2011 Ufuk SEV˙IM
˙IÇ˙INDEK˙ILER Sayfa ÖNSÖZ . . . v ˙IÇ˙INDEK˙ILER . . . vi Ç˙IZELGE L˙ISTES˙I . . . ix ¸SEK˙IL L˙ISTES˙I . . . xi ÖZET . . . xv SUMMARY . . . xix 1. G˙IR˙I ¸S . . . 1 2. ZAMAN ÖLÇEKLEMES˙I . . . 7 2.1. Zaman Ölçeklemesi . . . 7 2.2. Delta Türev . . . 9 2.3. Polinomlar . . . 13 2.4. Özel Fonksiyonlar . . . 14
2.5. Çember Toplama, Çıkarma ve Negatif . . . 20
3. DO ˘GRUSAL D˙INAM˙IK S˙ISTEMLER . . . 23
3.1. 1. Dereceden Do˘grusal Dinamik Denklemler . . . 24
3.2. Do˘grusal Dinamik Sistemler . . . 26
3.2.1. Regresif matrisler . . . 26
3.2.2. Matris üstel fonksiyon . . . 31
3.2.3. Do˘grusal dinamik denklemler . . . 35
3.2.4. Sabit katsayılı matrisler . . . 36
3.3. Konvolüsyon . . . 39
3.4. Sürekli Sistemlerin Zaman Ölçeklemeli Modelleri . . . 41
4. LAPLACE DÖNÜ ¸SÜMÜ . . . 47
4.1. Laplace Dönü¸sümü . . . 48
4.2. Konvolüsyon Teoremi . . . 52
5. HILGER KARMA ¸SIK DÜZLEM˙I . . . 55
5.1. Hilger Karma¸sık Düzlemi . . . 55
5.2. Hilger Karma¸sık Sayıları . . . 56
6. KARARLILIK . . . 59
6.1. Zaman Ölçeklemesinde Kararlılık . . . 59
6.2. Zaman Ölçeklemesinde Kararlılık Kriterleri . . . 60
7. ZAMAN TANIM BÖLGES˙I KR˙ITERLER˙I . . . 63
7.1. Tanımlar . . . 63
7.2. A¸sım Kriteri . . . 64
7.2.1. ζ > 1 için a¸sım kriteri . . . 65
7.2.2. ζ = 1 için a¸sım kriteri . . . 66
7.3. Yerle¸sme Zamanı Kriteri . . . 70
8. KONTROL ED˙ILEB˙IL˙IRL˙IK VE GÖZLENEB˙IL˙IRL˙IK . . . 71
8.1. Kontrol Edilebilirlik . . . 71
8.2. Gözlenebilirlik . . . 72
8.3. Örnekleme Altında Kontrol Edilebilirlik ve Gözlenebilirli˘gin Korunması . 73 8.4. Ayrık Zaman Ölçeklemesinde Kontrol Edilebilirlik . . . 73
9. DURUM GER˙I BESLEMES˙I ˙ILE KONTROL . . . 77
9.1. Durum Geri Beslemesi ile Kontrol . . . 78
9.2. Zaman Ölçeklemesinde Referans Takibi . . . 83
9.3. Zaman Ölçeklemeli Kontrolörlerin Ölü Zamanlı Sistemlere Uygulanması 87 10. SONUÇLAR . . . 91
KAYNAKLAR . . . 93
Ç˙IZELGE L˙ISTES˙I
Sayfa Çizelge 4.1 : Laplace çizelgesi. . . 52
¸SEK˙IL L˙ISTES˙I
Sayfa
¸Sekil 3.1 : Sistem cevabı. . . 45
¸Sekil 5.1 : Hilger karma¸sık düzlemi. . . 56
¸Sekil 5.2 : Hilger karma¸sık sayıları. . . 57
¸Sekil 9.1 : Durum geri beslemesi altında sistem durum yanıtı. . . 81
¸Sekil 9.2 : Sürekli sisteme zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrolörü uygulandı˘gında elde edilen sistem durum yanıtları. . . 82
¸Sekil 9.3 : Zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrol i¸saretleri. 82 ¸Sekil 9.4 : µ ve Kµ. . . 83
¸Sekil 9.5 : Durum geri beslemesi altında sistem birim basamak yanıtı. . . 84
¸Sekil 9.6 : Durum geri beslemesi altında ve referans düzeltmeli sistem birim basamak yanıtı. . . 85
¸Sekil 9.7 : Sürekli sisteme zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrolörü uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtları. 86 ¸Sekil 9.8 : Zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrol i¸saretleri. 86 ¸Sekil 9.9 : Sürekli sisteme zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrolörü ve referans düzeltmesi uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtları. . . 87
¸Sekil 9.10 : Referans düzeltmesi uygulandı˘gında zaman ölçeklemeli ve sürekli durum geri beslemesi kontrol i¸saretleri. . . 87
¸Sekil 9.11 : Ölü zaman olmadan bulunan zaman ölçeklemeli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ = 0.5s ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı. . . 88
¸Sekil 9.12 : Ölü zaman olmadan bulunan sürekli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ = 0.5s ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı. . . 89
¸Sekil 9.13 : Ölü zaman olmadan bulunan zaman ölçeklemeli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ (t) ∈ [0.2, 0.8] aralı˘gında rastgele de˘gi¸sen ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı. . . 89
¸Sekil 9.14 : Ölü zaman olmadan bulunan sürekli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ (t) ∈ [0.2, 0.8] aralı˘gında rastgele de˘gi¸sen ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı. . . 90
ZAMAN ÖLÇEKLEMEL˙I S˙ISTEMLER ÖZET
Zaman ölçeklemesi kavramını Stefan Hilger, 1988 yılında doktora tezi olarak ortaya attı. Zaman ölçeklemesi basitçe, sürekli zaman ve ayrık zaman analizi tek bir çatı altında toplamaya çalı¸sır. Tüm ayrık ve sürekli zaman analizi, zaman ölçeklemesinin özel birer halleri olarak kar¸sımıza çıkmaktadır.
Zaman ölçeklemesi, reel sayıların bir alt kümesi olarak tanımlanır ve T ile gösterilir. Bu kümenin seçimi tamamen keyfidir. Zaman ölçeklemeli sistemler, örne˘gin T = R seçildi˘ginde sürekli sistemlere, T = Z seçildi˘ginde ise ayrık sistemlere dönü¸sür. Ayrıca bu küme, bazı sıralı diziler ile sürekli aralıkların birle¸simi ¸seklinde de seçilebilir. Zaman ölçeklemesi analizi T’nin seçiminden ba˘gımsız olarak geli¸stirilmi¸stir.
Dinamik sistemleri ifade edebilmenin ilk adımı de˘gi¸simi ifade edebilmektir. Klasik sürekli ve ayrık teorilerde bu de˘gi¸sim sırasıyla türev ve ileri fark olarak tanımlanmı¸stır. Zaman ölçeklemesinde de de˘gi¸sim, klasik teoridekilere çok benzer bir biçimde delta türevadıyla tanımlanmı¸stır. Delta türevin özellikleri, klasik türevinkilere birçok açıdan benzerlik göstermektedir. Ayrıca yine T’nin özel seçimlerine ba˘glı olarak delta türev, klasik türeve ve ileri farka dönü¸smektedir.
Dinamik sistemleri de˘gi¸sim ile ifade ettikten sonra, bunların çözümlerini elde edebilmek için bir "toplam" tanımı gereklidir. Bu "toplam" sürekli sistemlerde integral, ayrık sistemlerde klasik toplam olarak tanımlanmı¸stır. Zaman ölçeklemesinde de benzer ¸sekilde bir "toplam" tanımı antitürev adıyla verilmi¸stir. Bu antitürev, delta türevin tersidir ve dinamik denklemlerin çözümlerinde kullanılmaktadır. Yine benzer ¸sekilde antitürevin özellikleri klasik integral ve toplam ile çok benzer özellikler gösterir, hatta özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle onlara dönü¸sür.
Dinamik sistemlerin çözümleri için bir andaki de˘gi¸simi, o anki de˘gerine e¸sit olan fonksiyonlar çok önemlidir. Bu fonksiyonlar klasik teoride iyi bilinen, türevi kendisine e¸sit olan etve ileri farkı kendisine e¸sit olan 2tfonksiyonlarıdır. Zaman ölçeklemesinde de benzer ¸sekilde delta türevi kendisine e¸sit olan bir üstel fonksiyon tanımlanmı¸stır. Bu üstel fonksiyonun özellikleri et ve 2t ile birçok benzerlik gösterir, dahası özel durumlarda bu fonksiyonlara dönü¸sür. Bahsedilen üstel fonksiyonun tanımı baz alınarak sin, cos, sinh ve cosh fonksiyonları da klasik teoridekine çok benzer ¸sekilde tanımlanmı¸stır.
Zaman ölçeklemesinde dinamik sistemlerin çözümü de klasik teoridekine benzer ¸sekildedir. Yani çözümler üstel fonksiyonların do˘grusal kombinasyonları olarak kar¸sımıza çıkar. Yine benzer ¸sekilde bu çözümler matrislere de geni¸sletilebilir. Nitekim zaman ölçeklemesi için, klasik teoride oldu˘gu gibi bir durum geçi¸s matrisi tanımlanarak, birinci dereceden do˘grusal sistem takımları bu durum geçi¸s matrisi yardımıyla çözülebilir. Bu durum geçi¸s matrisinin özellikleri incelendi˘ginde, klasik teorideki durum geçi¸s matrisi ile aynı özellikleri ta¸sıdı˘gı görülür. Ayrıca bu matris,
yine özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle sürekli ve ayrık durum geçi¸s matrislerine dönü¸sür.
Dinamik bir sistemin çıkı¸sı, bu sistemin transfer fonksiyonu ile giri¸s fonksiyonu arasındaki konvolüsyon ile bulunur. Zaman ölçeklemesinde de benzer bir durum mevcuttur. Ancak zaman ölçeklemesinde zamanda kaydırma yapmak zordur. Dolayısıyla, literatürde zaman ölçeklemesi için birçok farklı konvolüsyon tanımı mevcuttur. Burada Martin Bohner’in kitabındaki konvolüsyon tanımı baz alınmı¸stır. Her ne kadar bu tanım sadece belli fonksiyonları kapsasa da, bu kapsam dinamik sistemlerin analizi için yeterlidir.
Birçok fiziksel sistem sürekli zamanda modellenir. Ancak günümüzde kontrolörler ayrık zamanda çalı¸stıklarından bu sistemlerin ayrık modellerinin elde edilmesi gereklidir. Benzer ¸sekilde sürekli sistemlerin zaman ölçeklemesi kontrolörü ile kontrol edilebilmesi için, bu sistemlerin zaman ölçeklemeli modelleri elde edilmelidir. Bu çalı¸smada bu modellerin nasıl elde edilece˘gi literatürdeki kaynaklardan derlenip geni¸sletilerek verilmi¸stir.
Dinamik sistemlerin analizinde Laplace ve Z-dönü¸sümleri sıklıkla kullanılmaktadır. Zaman ölçeklemesi için de yine benzer ¸sekilde her iki dönü¸sümü de kapsayan bir Laplace dönü¸sümü tanımlanmı¸stır. Zaman ölçeklemesinde, zamanda kaydırma yapmak zor oldu˘gundan, konvolüsyonda oldu˘gu gibi literatürde birçok farklı Laplace dönü¸sümü tanımı mevcuttur. Bu çalı¸smada yine Martin Bohner’in kitabındaki tanım kullanılmı¸s ve bu tanımın konvolüsyon teoremini sa˘gladı˘gına de˘ginilmi¸stir.
Dinamik sistemlerin analizinde sürekli zamanda s-düzlemi ve ayrık zamanda z-düzlemi olarak bilinen karma¸sık düzlemler kullanılır. Zaman ölçeklemesinde de benzer ¸sekilde Hilger karma¸sık düzlemi adıyla bilinen yeni bir karma¸sık düzlem tanımlanmı¸stır. Ancak klasik teoridekinin aksine bu düzlem statik de˘gil, aksine zamana ba˘glı olarak dinamiktir. Bu dinamiklik nedeniyle bu düzlemde farklı bir karma¸sık sayı tanımı kullanılmaktadır.
Dinamik sistemler analiz edilirken belki de ilk önce incelenmesi gereken özelli˘gi kararlılıktır. Birçok kararlılık tanımı ve kriteri bulunmasına ra˘gmen do˘grusal zamanla de˘gi¸smeyen sistemlerin kararlılık analizi için karakteristik polinomun köklerinin yerleri, yani spektral özellikleri sıklıkla kullanılır. Sürekli do˘grusal zamanla de˘gi¸smeyen sistemlerde kutupların sol yarı düzlemde olması, ayrık do˘grusal zamanla de˘gi¸smeyen sistemlerde ise kutupların birim çember içinde olması kararlılık için gerek ve yeter ko¸sullardır. Zaman ölçeklemesinde de kararlılık için kutupların bulunmasının gerek ve yeter ko¸sul oldu˘gu, Hilger karma¸sık düzleminde tanımlı bir bölge, seçilen zaman ölçeklemesine ba˘glı olarak mevcuttur. Ancak bu bölgenin hesaplanması zordur. Ne var ki, Hilger çemberinin içinde kalan bölgenin her zaman bu bölgenin bir alt kümesi oldu˘gu gösterilmi¸stir. Özetle zaman ölçeklemesinde sistem kutuplarının Hilger çemberi içinde bulunması sistemin kararlılı˘gı için yeter ko¸suldur.
Dinamik sistemleri geçici hal yanıtları incelenirken a¸sım, yerle¸sme zamanı gibi bazı kriterler tanımlanmı¸stır. Bu kriterlerin hesaplanması için yine sistemin spektral özellikleri kullanılır. Bu çalı¸sma kapsamında da zaman ölçeklemesindeki bir sistemin spektral özellikleri kullanılarak tanımlanan zaman kriterleri formülleri elde edilmi¸stir. Yine bu formüllerin özel zaman ölçeklemesi seçimiyle klasik formüllere dönü¸stü˘gü gösterilmi¸stir. Klasik ayrık sistemlerde bu kriterleri spektral özelliklerden yola çıkarak hesaplamak zordur. Ancak, zaman ölçeklemesinde bu çok daha kolaydır.
Kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik do˘grusal sistemlerin incelenmesi için önemli kavramlardır. Zaman ölçeklemesinde de bu kavramlar klasik teoridekine benzer
¸sekilde tanımlanmı¸slardır. Yine kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik için yeter ve gerek ko¸sullar klasik teoridekine çok benzer biçimdedir. Bu çalı¸sma kapsamında ise basitçe, e¸szamanlı olmayan ayrık bir küme, ayrık zaman ölçeklemesi adıyla tanımlanmı¸s ve bu küme üzerinde tanımlanmı¸s sistemler için kontrol edilebilirlik yeter ve gerek ko¸sulları elde edilmi¸stir. Ayrıca, sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin de kontrol edilebilirli˘gi için yeter ve gerek ko¸sullar bulunmu¸stur.
Zaman ölçeklemesinde klasik teorinin aksine kontrol edilebilirlik ile kutup atama e¸sde˘ger problemler de˘gildir. Bu nedenle bu çalıma kapsamında atanabilirlik adıyla yeni bir kavram tanıtılmı¸s ve sistemlerin atanabilir olabilmeleri için yeter ve gerek ko¸sullar bulunmu¸stur. Ayrıca, kontrol edilebilir sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin hangi ko¸sullar altında atanabilir oldu˘gu bulunmu¸s ve bu ko¸sulların iyi bilinen Kalman-Ho-Narendra kriteriyle ba˘glantılı oldu˘gu gösterilmi¸stir. Klasik teoride çok bilinen bir kontrol yöntemi durum geri beslemesi ile kontroldür. Ancak, sürekli zamanla de˘gi¸smeyen bir sistemin zaman ölçeklemeli modeli zamanla de˘gi¸sen bir sistem olarak kar¸sımıza çıkar. Bu nedenle literatürde durum geri beslemesi ile kontrol kuralı sistem zamanla de˘gi¸sen olarak kabul edilerek geli¸stirilmi¸stir. Oysa bu çalı¸smada böyle bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modeli, her t ∈ T anında zamanla de˘gi¸smeyen bir sistem olarak kabul edilirek durum geri beslemesi kontrolü yapılmı¸stır.
Durum geri beslemesi altında kapalı çevrim sistem kazancı de˘gi¸sti˘ginden zaman ölçeklemesinde referans takibi yapıldı˘gında sistem yanıtında bozulmalar görülür. Ancak, bu çalı¸sma kapsamında bu bozulmaları gidermek için referans kazancını de˘gi¸stiren bir yöntem önerilmi¸stir. Ayrıca, önerilen durum geri beslemesi kontrolörü ve referans düzeltme kazancı ölü zamanlı sistemlere uygulanmı¸stır.
Özetle, bu çalı¸sma kapsamında zaman ölçeklemeli sistemler tanıtılmı¸s ve bu sistemlerin birçok özelli˘gine de˘ginilmi¸stir. Ayrıca bu çalı¸smada ayrık zaman ölçeklemesi, atanabilirlik gibi yeni kavramlar tanımlanmı¸s ve bunlarla ilgili özellikler elde edilmi¸stir. Yine bu kavramlarla ilgili halen açık olan problemler sunulmu¸stur. Son olarak zaman ölçeklemeli sistemler için hesaplama ve simülasyon yapabilmek amacıyla MATLAB ve Mathematica kütüphaneleri geli¸stirilmi¸s, ayrıca Simulink blokları olu¸sturulmu¸stur.
SYSTEMS ON TIME SCALES SUMMARY
Time scales is introduced by Stefan Hilger in his PhD thesis in 1988. Time scales theory simply tries to unify continuous and discrete analysis. In this theory, classical continuous and discrete analysis are just two special cases of time scales.
Time scales is defined as a subset of real numbers and is shown as T. The choice of time scales is arbitrary. Time scales systems become continuous systems with the choice of T = R and become discrete systems with the choice of T = Z. Also, time scales could be chosen as unions of some ordered sequences and continuous intervals. Time scales analysis is developed as regardless of the choice of the time scales. It is required to express "change" in order to express dynamical equations. In classical continuous and discrete theories the "change" is defined with derivative and forward difference respectively. Similarly, in time scales theory, "change" is defined as delta derivative. The properties of delta derivative is very similar to classical derivative. Also, delta derivative becomes classical derivative or forward difference with the special choices of T.
In order to solve dynamic equations, there should be a "sum" definition. This "sum" is known as integral for continuous systems and classical sum for discrete systems. Similarly, in time scales theory, there is a "sum" definition called as antiderivative. Antiderivative is used to solve dynamic equations in time scales. The properties of antiderivative is very similar with the properties of integral and sum. Also, antiderivative becomes integral and sum for the special choices of time scales.
A function, whose "change" at a point equals to its value at that point is essential for solving dynamical equations. These well-known functions are et, whose derivative
is equals to itself and 2t, whose forward difference is equals to itself. Similarly, an exponential function, whose delta derivative equals to itself, is defined in time scales. This exponential function has very similar properties with et and 2t, which
becomes these functions for special choices of time scales. Also, sin, cos, sinh and cosh functions are defined with the definition of the exponential function, in a very similar way with the classical definitions.
The solutions of dynamical equations in time scales are very similar to those in classical theory. These solutions are linear combinations of the exponential function. Similarly, those solutions could be generalized to matrices. Similar to classical theory, a state transition matrix is defined for time scales in order to solve first order linear dynamic equation sets. This state transition matrix has the same properties as classical state transition matrix. Also it becomes continuous and discrete state transition matrices by special selections of time scales.
The output of a dynamical system is calculated as the convolution of input function and the transfer function of the system, which is the similar case for time scales. But it is not always possible to shift time in time scales. Therefore, there is more than one convolution definitions for time scales in the literature. In this work, the definition in
Martin Bohner’s book is used. Although this definition covers only a few functions, it is enough for analysis of dynamical systems on time scales.
Most physical systems are modeled in continuous time. But for designing discrete controllers, the discrete model of a continuous system should be obtained. Similarly, to design time scales controllers, time scales model of a continuous system should be obtained. This conversation formula can be found in the literature, but the formula is obtained in details in this work.
Laplace transform and Z-transform are widely used in the analysis of dynamical systems. A transformation, which covers both Laplace and Z-transforms, is defined on time scales. Since it is not always possible to shift time on time scales, there are a variety of Laplace transform definitions on time scales. In this work, the definition in Martin Bohner’s book is used. Also, it is shown that, this Laplace transform definition satisfies convolution theorem with the convolution definition mentioned above.
There are complex planes defined for analysis of dynamical systems which are called as s-plane and z-plane for continuous and discrete systems respectively. Similarly, a new complex plane is defined on time scales called as Hilger’s complex plane. As opposite to the classical theory, this plane is not static, but is dynamically changing with respect to time. There is also a new complex number definition is used, called as Hilger’s complex numbers, due to this dynamic nature.
Stability is one of the most important properties of dynamical systems. There is a large variety of stability definitions and criteria. The place of the roots of the characteristic polynomial of the system, so-called spectral characteristics of the system, is used widely to determine the stability linear time invariant systems. It is well-known that the roots of the characteristic polynomial should stay inside the left half plane for continuous linear time invariant systems and inside the unit circle for discrete linear time invariant systems for necessity and sufficiency of stability. Similarly, roots of the characteristic polynomial of a time scales system should stay inside a stability region defined in Hilger’s complex plane, for necessity and sufficiency of stability on time scales. This stability region could be different with the selection of time scales and its calculation could be difficult. However, it is shown that Hilger’s circle is always a subset of such stability region. In summary, the roots of the characteristic polynomial should stay inside the Hilger’s circle for sufficiency of stability.
Some time domain characteristics are defined for analysis of the transient response of dynamical systems, such as overshoot and settling time. These characteristics can be calculated by the spectral characteristics of dynamical systems. In this work, time domain characteristics formulas are obtained using spectral characteristics of a second order system on time scales. Also, it is shown that these formulas become as classical time domain characteristics formulas for special cases of time scales. It is very difficult to calculate time domain characteristics with spectral characteristics of a discrete system, but it is much easier on time scales.
Controllability and observability have a great importance for linear dynamical systems. The definitions and criteria for controllability and observability on time scales are very similar to those in classical theory. A nonuniform discrete set is defined as discrete time scalesin this work. Also, the necessary and sufficient conditions for controllability on discrete time scales are obtained. In addition, the necessary and sufficient conditions for controllability of a time scales model of a continuous system are obtained as well. On the contrary of classical theory, controllability and pole assignment are not equivalent problems on time scales. Therefore, a new definition called assignability
is introduced in this work and the necessary and sufficient conditions for assignability of a system are obtained. Also, the necessary and sufficient conditions for assignability of a time scales model of a controllable continuous system is obtained and it is shown that this criteria is in a relation with the well-known Kalman-Ho-Narendra criteria. State feedback control is a well-known control technique in classical theory. But, when we obtain time scales model of a continuous time system, this model appears to be time varying. Therefore, state feedback control rule is developed assuming that the system is time varying on time scales in the literature. However, in this work the state feedback controller is developed assuming that for each and every t ∈ T, the system is time invariant.
The closed loop system gain changes in the presence of state feedback controller. Because of this, the transient response of the closed loop system could be different than expected on time scales when the system follows a reference signal. However, a method that changes reference signal gain, is proposed in this work. Also, this proposed state feedback controller and reference gain is applied to systems with dead time.
In summary, dynamical systems on time scales are introduced and many properties of these systems are given in detail in this work. Also, some new terms such as discrete time scales and assignability, is defined, and the properties of these definitions are obtained. In addition to that, some new open problems on time scales are introduced. Last of all, MATLAB and Mathematica libraries, and also Simulink blocks for time scales are developed for obtaining the results given in this work.
1. G˙IR˙I ¸S
1988 yılında Stefan Hilger sürekli ve ayrık analizi birle¸stirebilmek için zaman ölçeklemesini doktora tezi olarak ortaya attı. Zaman ölçeklemesi sürekli ve ayrık analizi bir araya getirmeye çalı¸san bir teoridir. Bu teoriye göre diferansiyel denklemler ve fark denklemlerine, özel zaman ölçeklemesi seçimleriyle ula¸sılabilir. Ancak özel olmayan zaman ölçeklemesi seçimleriyle de bazı yerlerde sürekli, bazı yerlerde ayrık gibi davranan ve ayrık oldu˘gu yerlerde farklı örnekleme zamanları altında davranan sistemler de modellenebilir ve analiz edilebilir.
Bu tez, konunun özellikle kontrol teorisinde çok fazla uygulama alanı bulabilece˘gi dü¸sünülerek hazırlanmı¸stır. Örne˘gin bu teori ile ayrık bir sistemin e¸sit aralıklarla örneklenme zorunlulu˘gu ortadan kalkmaktadır. Bu çalı¸smada zaman ölçeklemesi genel hatlarıyla tanıtılmı¸s, ancak geli¸stirilen teoremler ve yöntemler tamamen ayrık, ancak e¸sit aralıklı olmayan zaman ölçeklemesi esas alınarak geli¸stirilmi¸stir.
Bir zaman ölçeklemesi basitçe reel sayıların bo¸s olmayan bir alt kümesidir ve T sembolü ile gösterilir. T üzerinde tanımlanmı¸s bir y fonksiyonunun delta türevinden bahsedilebilir ve bu türev y∆ ¸seklinde gösterilir. Bu delta türev, T = R için klasik türeve (y0) ve T = Z için ileri farka (∆y) dönü¸sür. Benzer ¸sekilde zaman ölçeklemesi üzerinde bir antitürev (integral) de tanımlanmı¸stır. Yine bu antitürev, T = R için klasik integrale ve T = Z için toplama dönü¸sür.
Zaman ölçeklemesi R ya da Z’nin dı¸sında çok farklı biçimlerde de seçilebilir. Örne˘gin sabit aralıklı fark denklemleri
T = hZ , {hk|k ∈ Z} keyfi bir h > 0 için ya da herhangi bir sıralı dizi
T = {tk|k ∈ Z} tk∈ R ve tk < tk+1, ∀k ∈ Z için
zaman ölçeklemesine örnek olarak verilebilir. Ayrıca, klasik teoride oldu˘gu gibi
ba¸slangıç de˘ger probleminin tek çözümü üstel fonksiyon adını alır. Tezin ikinci bölümünde yukarıda verilen tanımların yanı sıra verilen ba¸slangıç de˘ger probleminin hangi ko¸sullarda bulunabilece˘gine de˘ginilecektir. Özellikle [1] ve [2]’de yukarıda verilen tanımlar ve bunlara ba˘glı özellikler net bir biçimde verilmi¸stir. Ancak bu çalı¸smada kullanılacak kısımlar detaylarıyla buraya aktarılmı¸stır.
Üçüncü bölümde, zaman ölçeklemesinde do˘grusal dinamik sistemler tanımlanıp, bunların özelliklerine de˘ginilmi¸stir. Öncelikle, birinci dereceden dinamik sistemlerin çözümleri bulunup, bu çözümler do˘grusal sistem takımlarına geni¸sletilmi¸stir. Ayrıca bunlar yapılırken bir önceki bölümde verilen birçok tanım da matrislere geni¸sletilmi¸stir. Bunlardan en önemlisi klasik teoride durum geçi¸s matrisi olarak bilinen matris üstel fonksiyonudur. Tanımlanan bu matris üstel fonksiyonunun birçok özelli˘gi yine bu bölümde i¸slenmi¸stir.
Ayrıca bu bölümde bir konvolüsyon tanımı verilmi¸s ve verilen bu konvolüsyon tanımı ile zaman ölçeklemeli do˘grusal bir sistemin çıkı¸sının, sistemin durum geçi¸s fonksiyonu ile giri¸s fonksiyonunun konvolüsyonu biçiminde elde edilebilece˘gi gösterilmi¸stir. Zaman ölçeklemeli sistemlerde, zamanda kaydırma yapmak zor oldu˘gundan üzerinde uzla¸sılmı¸s bir birim darbe fonksiyonu yoktur. Dolayısıyla birçok farklı konvolüsyon tanımı arasından do˘grusal sistemlerin çıkı¸sını elde etmede yeterli olan tanım seçilmi¸stir. Yine [1] ve [2]’de bu konular detaylı biçimde i¸slenmi¸stir. Son olarak ise bu bölümde sürekli bir sistemin zaman ölçeklemeli modelinin elde edilmesi yöntemi üzerinde durulmu¸stur. [3]’te bu yöntem verilmesine ra˘gmen çok açık de˘gildir. Dolayısıyla bu çalı¸smada verilen yöntem özgün olarak bir kez daha kanıtlanmı¸s ve detaylarıyla anlatılmı¸stır. Yine bu bölümde, daha sonraki bazı bölümlerde kullanılacak olan bazı teoremler özgün olarak kanıtlanmı¸stır. Son olarak verilen yöntem bir örnek ile incelenmi¸stir.
Tezin dördüncü bölümünde bir Laplace dönü¸sümü tanımlanarak, bir önceki bölümde verilen konvolüsyon tanımının, burada verilen Laplace dönü¸sümü tanımı ile birlikte konvolüsyon teoremini sa˘gladı˘gı gösterilecektir. Burada verilen Laplace dönü¸sümü tanımı, beklendi˘gi gibi özel durumlar için klasik Laplace dönü¸sümüne ve klasik Z-dönü¸sümüne dönü¸sür. Ayrıca bu bölümde, tanımlanan bu dönü¸sümün özellikleri incelenerek bir de Laplace dönü¸süm çizelgesi verilecektir. Literatürde birçok farklı tanım olmasına ra˘gmen burada [1]’deki tanım kullanılmı¸stır.
Be¸sinci bölümde, verilen Laplace dönü¸sümü ile geçilen yeni bir karma¸sık düzlem tanıtılacaktır. Bu karma¸sık düzlem Hilger karma¸sık düzlemi adını alıp alı¸sılagelmi¸s karma¸sık düzlemlerden farklıdır. Örne˘gin, Hilger karma¸sık düzleminin eksenleri her t ∈ T anında µ(t)’ye ba˘glı olarak farklılık gösterebilir. Yani bu düzlem klasik teoridekinin aksine statik de˘gil, her t ∈ T anında de˘gi¸sebilen, dinamik bir düzlemdir. Bu bölümde ayrıca Hilger karma¸sık düzlemi üzerinde tanımlanmı¸s Hilger karma¸sık sayıları ve bu sayıların özellikleri incelenmektedir. Konuyla ilgili detaylı bilgi [1]’de mevcuttur.
Altıncı bölümde zaman ölçeklemesinde kararlılık konusu incelenmi¸stir. Bu konu özellikle üzerinde çok çalı¸sılan konulardan biridir. Dolayısıyla bu bölümün olu¸sturulması için literatürdeki pek çok kaynaktan yararlanılmı¸stır. Ancak özellikle [4] ve [5]’teki tanımlar esas alınmı¸stır. Yine literatürde birçok kararlılık kriteri mevcuttur. Ancak bu çalı¸sma kapsamında karakteristik polinom kutuplarını kullanan spektral kriterler kullanılmı¸stır. Bu ba˘glamda sistemin üstel kararlılı˘gının gerek ve yeter ko¸sulu için kutupların içinde bulunması gereken bölge tanımlanmı¸stır. Ancak, bu bölgenin hesaplanması zor oldu˘gundan [6]’da Hilger çemberinin, bu bölgenin bir alt kümesi oldu˘gu gösterilmi¸stir. Yani sistemin karakteristik polinomunun köklerinin Hilger çemberi içinde kalması sistemin üstel kararlılı˘gı için bir yeter ko¸suldur. Sonuçta bu bölümde, literatürde spektral özellikler ile kararlılık kriterleri çalı¸smalarının bir derlemesi verilmi¸stir.
Yedinci bölümde sistem kutupları üzerinden a¸sım ve yerle¸sme zaman kriterleri çıkartılmı¸stır. Bu çalı¸sma kapsamında ikinci dereceden bir sistem tanımlanarak, a¸sım ve yerle¸sme zamanı bu sistemin parametreleri cinsinden bulunmu¸stur. Klasik teoride oldu˘gu gibi ζ > 1 için sistemin a¸sım yapmadı˘gı gösterilmi¸stir. Ayrıca ζ < 1 için bulunmu¸s olan a¸sım formülünün ve yerle¸sme zamanı formülünün, özel durumlarda klasik formüllere dönü¸stü˘gü gösterilmi¸stir. Burada zaman ölçeklemesinde zamanla de˘gi¸smeyen bir sistem ele alınmı¸stır. E¸sit aralıklarla örneklenen sistemler bu ¸sekildedir ve klasik teori çerçevesinde bu sistemlerin zaman kriterlerini hesaplamak zordur. Oysa burada sistem e¸szamanlı oldu˘gunda bu kriterleri hesaplamak çok kolayla¸sır. Bu bölümdeki çalı¸smaların tamamı özgün olup bilindi˘gi kadarıyla literatürde buna benzer bir çalı¸sma bulunmamaktadır.
Sekizinci bölümde kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kavramları üzerinde durulup, bu kavramlar zaman ölçeklemesine genelle¸stirilmi¸stir. Yine bu bölümde kontrol edilebilir ve gözlenebilir bir sistemin örnekleme altında bu özelliklerini hangi ko¸sullarda kaybedip kaybetmeyece˘gi tartı¸sılmı¸stır. Son alt bölümde ise ayrık zaman ölçeklemesiadıyla yeni bir zaman ölçeklemesi tanımlanıp, bu zaman ölçeklemesinde kontrol edilebilirlik için gerek ve yeter ko¸sullar türetilmi¸stir. Son olarak sürekli bir sistemin ayrık zaman ölçeklemeli modelinin de kontrol edilebilir olması için gerek ve yeter ko¸sullar kanıtlanmı¸stır. Bahsedilen bu son alt bölümdeki çalı¸smalar tamamen özgündür. Konu ile ilgili detaylı bilgi [7], [8] ve [9]’da mevcuttur.
Son olarak dokuzuncu bölümde durum geri beslemesi ile kontrol konusu ele alınmı¸stır. Bu konu [10] ve [11]’de ele alınmasına ra˘gmen bu çalı¸smalarda sistem zamanla de˘gi¸sen ¸sekilde kabul edilerek kontrolör tasarlandı˘gından, böyle bir kontrolörü hesaplamak zordur. Oysa bu tez kapsamında ele alınan sistemler zamanla de˘gi¸smeyen sürekli sistemlerin zaman ölçeklemeli modelleridir. Bu nedenle kontrolör klasik yöntemlerle hesaplanabilir.
Ele alınan sistemlerde kontrol edilebilirlik ve özde˘ger atama problemleri, klasik teoridekinin aksine e¸s problemler olmadı˘gından, bu çalı¸sma kapsamında atanabilirlik kavramı ortaya atılmı¸stır ve zaman ölçeklemesinde kontrol edilebilir ancak atanamayan bir sistem örne˘gi verilmi¸stir. Atanabilirlik kavramı, kısaca bir sistemin özde˘gerlerinin tüm t ∈ T için istenen yerlere atanabilece˘gi anlamına gelir. Yine bu bölümde bir sistemin atanabilir olması için gerek ve yeter ko¸sullar verilmi¸stir. Ayrıca kontrol edilebilir sürekli bir sistemin zaman ölçeklemesinde atanabilir olması için gerek ve yeter ko¸sullar kanıtlanarak, bu ko¸sulların klasik teoriden iyi bilinen Kalman-Ho-Narendra kriteriyle ili¸skili oldu˘gu gösterilmi¸stir. Her ne kadar kontrol edilebilir ancak atanamayan sistemler olsa da, tüm atanabilir sistemlerin kontrol edilebilir olup olmadı˘gı açık bir problem olarak kalmı¸stır. Ayrıca örnek bir sistem için zaman ölçeklemesinde durum geri beslemesi kontrolörü hesaplanarak, sürekli sistemin özde˘gerlerini aynı noktalara ta¸sıyan sürekli durum geri beslemesi kontrolörü ile kar¸sıla¸stırılmı¸stır.
Bu bölümde ayrıca referans takibi problemi de ele alınmı¸stır. Zaman ölçeklemesinde durum geri beslemesi kontrolörü kullanılarak referans takibi yapıldı˘gında sistem yanıtında bozulmalar görülür. Bu bozulmaların kayna˘gı tartı¸sılarak düzeltilmesi için
bir referans düzeltme katsayısı hesaplama yöntemi geli¸stirilmi¸stir. Geli¸stirilen bu yöntemin sistem yanıtındaki bozulmaları tamamen giderdi˘gi örnek bir sistem üzerinde gösterilmi¸stir. Her ne kadar bu yöntem sistem yanıtındaki bozulmaları tamamen giderse de, bu düzeltmenin uygulanabilmesi için A matrisinin tersinin olma ko¸sulu vardır. Bu ko¸sul olmadı˘gında bu düzeltmenin hesaplanması açık bir problem olarak bırakılmı¸stır.
Son olarak zaman ölçeklemeli kontrolör ölü zamanlı sistemlere uygulanarak sürekli kontrolör ile kar¸sıla¸stırılmı¸stır. Yapılan simülasyonlardan zaman ölçeklemeli kontrolörün ölü zamanlı sistemlere kar¸sı daha dayanıklı oldu˘gu izlenimi do˘gmu¸stur. Ancak bu izlenimin kuramsal olarak do˘grulanması ileriki çalı¸smaların bir konusudur. Dokuzuncu bölümde yapılan çalı¸smaların tamamı özgündür. Ayrıca zaman ölçeklemeli kontrolörün ölü zamanlı sistemlere uygulanması ile ilgili alt bölümün bir türevi [12]’de yayınlanmı¸stır.
Bu çalı¸smada ele alınmayan daha pek çok konu, zaman ölçeklemesi ile yeniden ele alınmı¸stır. Gecikmeli sistemlerin zaman ölçeklemesinde kararlılı˘gı ile ilgili [13], [14], [15] ve [16] incelenebilir. Zaman ölçeklemesinde e¸sitsizlik ile ilgili bir derleme çalı¸sması [17]’de bulunabilir. [18]’de zaman ölçeklemesinde bir Fourier dönü¸sümü verilmi¸stir. Zaman ölçeklemesinde yo˘gun bir ¸sekilde ara¸stırılan konulardan biri de Hamiltonian sistemlerdir. Konuyla ilgili [19] ve [20] incelenebilir. Hibrit sistemler de zaman ölçeklemesinde ara¸stırma konusudur. [21], [22], [5] ve [23]’te konuyla ilgili detaylı bilgi bulunabilir. Ayrıca zaman ölçeklemesinin ekonomik bir sisteme uygulanması için [24], Mathematica uygulamaları için [25], ∇ ve α türev geni¸sletmeleri için [26], ∆ ve ∇ kalkülüs dualitesi için [27] ve di˘ger bazı problemlere çözümler için [28] ve [29] incelenebilir.
2. ZAMAN ÖLÇEKLEMES˙I
Konu literatürde henüz çok yeni oldu˘gundan bu bölümde konu ile ilgili temel tanımlar ve kavramlar örneklerle verilecektir.
Birinci alt bölümde zaman ölçeklemesi tanımlanarak bu kümede gerçekle¸stirilebilecek ileri ve geri i¸slemleri ile bir sonraki noktaya yakınlı˘gı ölçen yakınlık fonksiyonu tanımları verilecektir.
˙Ikinci alt bölümde ba˘gımsız bir zaman ölçeklemesi üzerinde delta türev adıyla yeni bir türev ve antitürev (integral) tanımları verilecek ve bunların özellikleri üzerinde durulacaktır. Bu özelliklerle birlikte delta türev ve antitürevin, klasik türev ve integral özellikleriyle pek çok yönden ortaklık gösterdi˘gine de˘ginilecektir. Dahası T = R ve T = Z seçildi˘ginde bunların sırasıyla klasik anlamdaki diferansiyel ve fark denklemlerine dönü¸stü˘gü gösterilecektir. Ayrıca delta türev ve antitürevin varlı˘gı ile ilgili sonuçlara da de˘ginilecektir.
Üçüncü alt bölümde ise, ço˘gunlukla zaman ölçeklemesi üstel fonksiyonu üzerinde durulacaktır. Tahmin edilebilece˘gi gibi bu fonksiyon delta türevi kendine e¸sit olan tek fonksiyondur. Üstel fonksiyonun pek çok özelli˘gine de˘ginildikten sonra, bu fonksiyon kullanılarak sin, cos, sinh ve cosh fonksiyonları da tanımlanacaktır. Ayrıca bu tanımlanan fonksiyonlarla adi delta-diferansiyel denklemlerin çözülebilece˘gi gösterilecektir.
Bu bölümdeki tanımların ve özelliklerin büyük bir ço˘gunlu˘gu [1] ve [2]’den alınmı¸stır. Bu bölümde anlatılanlar temel bilgiler oldu˘gundan zaman ölçeklemesiyle ilgili neredeyse tüm çalı¸smalarda burada anlatılanların bir özetini bulmak mümkündür. Ayrıca konuyla ilgili daha detaylı bilgi ve genelle¸stirmeler için [30], [31], [32], [33], [34] ve [35] incelenebilir.
2.1 Zaman Ölçeklemesi
Tanım 2.1 (Zaman Ölçeklemesi). Zaman ölçeklemesi (T) gerçel sayıların bo¸s olmayan, kapalı bir alt kümesi olarak tanımlanır (T 6= ∅, T ⊆ R). Bu kümenin seçimi tamamen keyfidir.
Tanım 2.2 (˙Ileri ve Geri Operatörleri). σ, ρ : T → T fonksiyonları a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır:
σ(t) , inf{s ∈ T | s > t} ve ρ(t) , sup{s ∈ T | s < t} Ek olarak inf ∅ = sup T ve sup ∅ = inf T varsayılır.
Örnek 2.3. Sσ(t) = {s ∈ T | s > t} ve Sρ(t) = {s ∈ T | s < t} kümelerini
tanımlayalım. T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olarak tanımlansın.
i) t=3 seçilirse; Sσ(3) = {4, 5, 6, 7, 8} ve Sρ(3) = {1, 2} kümeleri olu¸sur. Bu durumda
σ(3) = inf Sσ(3) = 4 ve ρ(3) = sup Sρ(3) = 2 olur.
ii) t=1 seçilirse; Sσ(1) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve Sρ(1) = {} = ∅ kümeleri olu¸sur. Bu
durumda σ(1) = inf Sσ(1)= 2 ve ρ(1) = sup Sρ(1)= sup ∅ = inf T = 1 olur.
iii) t=8 seçilirse; Sσ(8) = {} = ∅ ve Sρ(8) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümeleri olu¸sur. Bu
durumda σ(8) = sup Sσ(8) = inf ∅ = sup T = 8 ve ρ(8) = sup Sσ(8)= 7 olur.
Örnekten de anla¸sılaca˘gı gibi ileri ve geri operatörleri o anki de˘gerden bir sonraki ve bir önceki de˘gerleri ifade eder. Ama daha fazla gidilebilecek ileri ya da geri eleman kalmadı˘gında operatörler uç noktalarda kalırlar. Açıkça görülebilece˘gi üzere T = R ise σ(t) = ρ(t) = t ve T = Z ise σ(t) = t + 1 ve ρ(t) = t − 1 olur.
Tanım 2.4. Bir t ∈ T noktası;
i) σ(t) = t ise sa˘gda yo˘gun (right-dense) ii) σ(t) > t ise sa˘gda seyrek (right-scattered) iii) ρ(t) = t ise solda yo˘gun (left-dense)
iv) ρ(t) < t ise solda seyrek (left-scattered)
olarak tanımlanır.
Örnek 2.5. T = [0, 1] ∪ {2, 3, 4} olsun. Bu durumda [0, 1) kümesindeki tüm noktalar hem sa˘gda yo˘gun, hem de solda yo˘gundur. Çünkü bu noktalar için σ(t) = ρ(t) = t’dir (ρ(0) = 0 e¸sitli˘gine dikkat edelim). Ancak t = 1 noktası solda yo˘gun olmasına ra˘gmen sa˘gda seyrektir (σ(1) = 2 > 1, ρ(1) = 1). {2, 3} kümesinin elemanları ise hem sa˘gda seyrek hem de solda seyrektir (σ(2) = 3 > 2, ρ(2) = 1 < 2 ve σ(3) = 4 > 3, ρ(3) = 2 < 3). t = 4 noktası ise solda seyrek olmasına ra˘gmen sa˘gda yo˘gundur (σ(4) = 4, ρ(4) = 3 < 4).
Tanım 2.6 (Yakınlık (Graininess) Fonksiyonu). µ : T → [0, ∞) fonksiyonu, µ(t) , σ(t) − t olarak tanımlanır.
T = R için µ(t) = 0, T = Z için µ(t) = 1 ve sabittir. Ancak µ(t)’nin sabit olması gerekmez.
2.2 Delta Türev
Tanım 2.7 (Türevlenebilir Altküme). Tκ ,
(
T\ max T , max T var (sonlu) ve solda seyrek ise
T , di˘ger
¸seklinde tanımlanır.
Örnek 2.8. T = [0, 1] ∪ {2, 3, 4} olsun. max T = 4 < ∞ ve t = 4 solda seyrek oldu˘gundan Tκ = [0, 1] ∪ {2, 3}’tür. Oysa T = Z olursa bir maksimumdan bahsedemeyece˘gimizden Tκ = T olur.
Örnek 2.9. T = [0, 1] olsun. max T = 1 < ∞ ama t = 1 solda yo˘gun oldu˘gundan Tκ = T olur.
Tanım 2.10 (Türevlenebilirlik). f , T üzerinde tanımlı (f : T → R) bir fonksiyon olsun. Tüm ε > 0’lar için t ∈ Tκ’nin N kom¸sulu˘gunda tüm s ∈ N ’ler için
|f (σ(t)) − f (s) − α(σ(t) − s)| 6 ε |σ(t) − s|
özelli˘gini sa˘glayan bir α bulunabiliyorsa, f , t noktasında delta türevlenebilir (ya da kısaca türevlenebilir) denir. Bu durumda f ’nin türevi α olur ve f∆¸seklinde gösterilir.
E˘ger f tüm t ∈ Tκ’da türevlenebilirse f , T’de türevlenebilir denir ve f∆, Tκ’da tanımlı (f∆: Tκ → R) yeni bir fonksiyon olur. E˘ger f, T’de türevlenebilir ise;
f∆(t) = lim s→t,s∈T f (t) − f (s) t − s , µ(t) = 0 ise f (σ(t)) − f (t) µ(t) , µ(t) > 0 ise
olur. Ancak bu ¸sekildeki bir tanım, "birle¸stirme" felsefesine ters dü¸stü˘günden,
fσ(t) = f (t) + µ(t)f∆(t) (2.1) ¸seklinde bir tanım daha faydalı ve µ(t) hangi ko¸sulda olursa olsun do˘gru olacaktır. Dikkat edilecek olursa T = R seçilirse delta türev, klasik türeve ve T = Z seçilirse delta türev, ileri farka dönü¸sür.
Teorem 2.11 (Çarpım Türevi). f ve g, T üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda a¸sa˘gıdaki e¸sitlik geçerlidir:
(f g)∆= f∆g + fσg∆= f∆gσ + f g∆ (2.2)
Kanıt. Delta türev tanımını kullanarak:
(f g)σ = fσgσ = f g + µ(f g)∆+ fσg − fσg fσ(gσ− g) + g(fσ− f ) = µ(f g)∆
µfσg∆+ µgf∆= µ(f g)∆ (f g)∆= f∆g + fσg∆
µ(t) → 0 iken de limit üzerinde sadele¸sme yapılabilir. E¸sitli˘gin ikinci kısmı da benzer ¸sekilde kolaylıkla gösterilebilir.
Teorem 2.12 (Bölüm Türevi). f ve g, T üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda a¸sa˘gıdaki e¸sitlik geçerlidir:
f g ∆ = f ∆g − f g∆ ggσ (2.3)
Kanıt. Delta türev tanımını kullanarak: f g σ = f σ gσ = f g + µ f g ∆ + f g − f g ggσ g (fσ− f ) − f (gσ− g) ggσ = µ f g ∆ µgf∆− µf g∆ ggσ = µ f g ∆ f g ∆ = f ∆g − f g∆ ggσ
µ(t) → 0 iken de limit üzerinde sadele¸sme yapılabilir.
Bu teoremlerden sonra a¸sa˘gıda e¸sitlikler kolaylıkla çıkarılabilir:
i) 1∆ = 0 ii) t∆= 1 iii) (t2)∆= (t.t)∆= t + σ(t) iv) 1 t ∆ = − 1 tσ(t)
Tanım 2.13 (Antitürev). T üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu için, Tκ’da F∆ = f ili¸skisi geçerliyse F ’ye f ’nin antitürevi denir ve s, t ∈ T için a¸sa˘gıdaki ifade ile tanımlanır:
Z t
s
f (τ )∆τ = F (t) − F (s) (2.4)
Kolayca görülebilece˘gi gibi antitürev, T = R için integrale ve T = Z için toplama dönü¸sür.
Tanım 2.14 (rd-Süreklilik). T üzerinde tanımlanmı¸s bir f fonksiyonu tüm sa˘gda yo˘gun (right-dense) noktalarda sürekli ve f fonksiyonunun tüm solda yo˘gun (left-dense) noktalarda soldan limiti var ise f rd-süreklidir denir.
Açıklama 2.15. Tüm sürekli fonksiyonlar aynı zamanda rd-süreklidir.
Açıklama 2.16. T = hZ’deki tüm fonksiyonlar rd-süreklidir. Çünkü sa˘gda yo˘gun bir nokta yoktur.
Açıklama 2.17. σ(t) ve ρ(t) fonksiyonları rd-süreklidir. Çünkü tüm sa˘gda yo˘gun noktalarda σ(t) = ρ(t) = t’dir.
Teorem 2.18 (Hilger90). Her rd-sürekli fonksiyonun antitürevi vardır [32].
Teorem 2.19. Delta türev ve antitürev do˘grusal operatörlerdir. f ve g, T üzerinde tanımlı rd-sürekli fonksiyonlar ve F∆ = f , G∆ = g olsun. α, β ∈ R sabitler olmak üzere; (αF + βG)∆= αF∆+ βG∆ (2.5) Z (αf (τ ) + βg(τ ))∆τ = α Z f (τ )∆τ + β Z g(τ )∆τ (2.6)
Kanıt. (2.5)’i göstermek için a¸sa˘gıdaki adımlar izlenebilir: (αF + βG)σ = (αF + βG) + µ(αF + βG)∆ (αFσ+ βGσ) = (αF + βG) + µ(αF + βG)∆ α(Fσ− F ) + β(Gσ− G) = µ(αF + βG)∆
αµF∆+ βµG∆= µ(αF + βG)∆ (αF + βG)∆= αF∆+ βG∆
(2.6)’yı göstermek için (2.5)’ten faydalanarak a¸sa˘gıdaki adımlar yazılabilir: Z
(αf (τ ) + βg(τ ))∆τ = Z
= Z (αF (τ ) + βG(τ ))∆∆τ = αF + βG = α Z F∆(τ )∆τ + β Z G∆(τ )∆τ = α Z f (τ )∆τ + β Z g(τ )∆τ
Örnek 2.20. a, b ∈ T ve f , T üzerinde rd-sürekli bir fonksiyon olmak üzere, i) T = R seçilirse antitürev, klasik türeve dönü¸sür. Yani,
Z b a f (t)∆t = Z b a f (t)dt olur.
ii) [a, b] ⊆ T sadece ayrık noktalardan olu¸suyorsa, yani tüm t ∈ [a, b] için µ(t) > 0 olursa, Z b a f (t)∆t = X t∈[a,b) µ(t)f (t) , a < b ise 0 , a = b ise − X t∈[b,a) µ(t)f (t) , a > b ise olur.
0’ın antitürevi 1, 1’in antitürevi t’dir. Ancak t’nin antitürevi için "güzel" bir formül bulunmamaktadır [2]. Ne var ki,
t2 = Z t 0 (τ2)∆∆τ = Z t 0 τ ∆τ + Z t 0 σ(τ )∆τ
¸seklinde ifade edilebilir. Dikkat edilirse Teorem 2.18’e göre toplamdaki her iki integral de vardır.
Teorem 2.21. Antitürev a¸sa˘gıdaki e¸sitlikleri sa˘glar. i) b > c > a olmak üzere; Z b a f (t)∆t = Z c a f (t)∆t + Z b c f (t)∆t ii) Z a a f (t)∆t = 0
Kanıt. i) F∆= f olsun. Antitürev tanımı gere˘gi; Z b a f (t)∆t = F (b)−F (a) = [F (b)−F (c)]+[F (c)−F (a)] = Z c a f (t)∆t+ Z b c f (t)∆t
ii) F∆ = f olsun. Antitürev tanımı gere˘gi; Z a
a
f (t)∆t = F (a) − F (a) = 0
2.3 Polinomlar
Örneklerden de anla¸sılabilece˘gi gibi zaman ölçeklemesinde polinomları ifade etmenin genel bir yolu yoktur. Çünkü örne˘gin bir polinom olan t2’nin türevi bir polinom
olmayan t + σ(t) ¸seklindedir. Bu nedenle a¸sa˘gıdaki gibi özyinelemeli bir polinom fonksiyonu tanımlamak gereklidir.
Tanım 2.22 (Polinom Fonksiyonu). hk: T2 → R, k ∈ N0 fonksiyonu tüm s, t ∈ T için
h0(t, s) = 1 olmak üzere, hk+1(t, s) = Z t s hk(τ, s)∆τ ¸seklinde tanımlanır.
Kolayca görülebilece˘gi gibi tüm k ∈ N, t ∈ Tκ için h∆k(t, s) = hk−1(t, s) olur. Tüm t, s ∈ T için, h1(t, s) = t − s h2(t, s) = Z t s (τ − s)∆τ
olur. Ama hk fonksiyonunu genel haliyle hesaplamanın bir yolu yoktur. Ancak bu
fonksiyon bilinen bir zaman ölçeklemesi için hesaplanabilir.
Teorem 2.23 (Taylor Serisi). n ∈ N olmak üzere, f , Tκn üzerinde n kez türevlenebilir bir fonksiyon olsun. α ∈ Tκn−1
ve t ∈ T olmak üzere, f (t) = n−1 X k=0 hk(t, α)f∆k(α) + Z ρn−1(t) α hn−1(t, σ(τ ))f∆n∆τ (2.7) olur [1].
Dikkat edilirse e˘ger f sonsuza kadar türevlenebiliyorsa seri daha çok bilinen f (t) = ∞ X k=0 hk(t, α)f∆k(α) biçimine dönü¸sür.
2.4 Özel Fonksiyonlar
Tanım 2.24 (Regresiflik). Bir p : T → R fonksiyonu tüm t ∈ T için 1 + µ(t)p(t) 6= 0
ise p regresif tir denir.
Teorem 2.25 (Varlık ve Teklik). p(t) regresif ve rd-sürekli olmak üzere
y∆= p(t)y, y(t0) = 1 (2.8)
ba¸slangıç de˘ger probleminin bir ve yalnız bir çözümü vardır [32].
Tanım 2.26 (Üstel Fonksiyon). (2.8)’in tek çözümü üstel fonksiyon adını alır ve ep(·, t0) olarak gösterilir. Aslında ep(t, s) için bir formül bulunmaktadır. Bu formül
[2]’de silindir dönü¸sümü denilen
ξh(z) = ln(1 + hz) h , h 6= 0 ise z , h = 0 ise kullanılarak ep(t, s) = exp Z t s ξµ(τ )(p(τ ))∆τ (2.9) olarak verilmi¸stir.
Teorem 2.27. (2.9), (2.8)’in tek çözümüdür.
Kanıt. µ = 0 için T = R olur ve (2.8) bir adi diferansiyel denkleme dönü¸sür. ep de klasik üstel fonksiyona dönü¸stü˘günden (2.9)’un tek çözüm oldu˘gu kolaylıkla
görülebilir. µ 6= 0 için;
yσ(t) = y(t) + µ(t)y∆(t) = y(t)(1 + µ(t)p(t))
(2.9)’un çözüm oldu˘gunu gösterebilmek için yukarıdaki e¸sitli˘gi sa˘glaması gerekir. Önce a¸sa˘gıdaki tanımı yapalım:
F∆(t) , ln(1 + µ(t)p(t)) µ(t) Bu durumda türev tanımından
olur. Çözüm yerine yazıldı˘gında a¸sa˘gıdaki e¸sitliklerle (2.9)’un bir çözüm oldu˘gu gösterilebilir: yσ(t) = exp ( Z σ(t) t0 ln(1 + µ(τ )p(τ )) µ(τ ) ∆τ ) = exp ( Z σ(t) t0 F∆(τ )∆τ ) = exp {F (σ(t)) − F (t0)} = exp {F (t) − F (t0) + ln(1 + µ(t)p(t))} = exp {F (t) − F (t0)} exp {ln(1 + µ(t)p(t))} = exp Z t t0 F∆(τ )∆τ (1 + µ(t)p(t)) = exp Z t t0 ln(1 + µ(τ )p(τ )) µ(τ ) ∆τ (1 + µ(t)p(t)) = y(t)(1 + µ(t)p(t))
Çözümün tekli˘gi ise Teorem 2.25’te belirtilmi¸stir. Ayrıca (2.9)’un tek çözüm oldu˘gunun güzel bir ispatı [1]’de bulunmaktadır.
Örnek 2.28. ea(t, t0) = ea(t−t0) , T = R ise (1 + a)(t−t0) , T = Z ise 1 + a n n(t−t0) , T = n1Z ise =⇒ e1(t, 0) = et , T = R ise 2t , T = Z ise 1 + 1 n nt , T = n1Z ise Dikkat edilirse örneklerdeki üçüncü durumda T, R’ye yakla¸stı˘gında
e1(1, 0) = lim n→∞ 1 + 1 n n
olur ki bu da zaten Euler sabiti olan e’nin tanımıdır. Üstel fonksiyonun di˘ger özelliklerini inceleyelim.
Teorem 2.29. p regresif ve rd-sürekli bir fonksiyon olmak üzere, üstel fonksiyon a¸sa˘gıdaki e¸sitlikleri sa˘glar:
i) ep(σ(t), s) = ep(t, s)(1 + µ(t)p(t)) ii) ep(r, s)ep(s, q) = ep(r, q) iii) ep(s, σ(t)) = ep(s, t) 1 + µ(t)p(t) iv) ep(t, t) = 1
Kanıt. p regresif ve rd-sürekli bir fonksiyon olsun.
i) e∆
p(t, s), ep’nin ilk de˘gi¸skene göre türevi olmak üzere türev tanımını kullanarak;
ep(σ(t), s) = ep(t, s) + µ(t)e∆p (t, s)
= ep(t, s) + µ(t)p(t)ep(t, s)
= ep(t, s)(1 + µ(t)p(t))
ii) Üstel fonksiyonun tanımı ve Teorem 2.21-i kullanılarak; ep(r, s)ep(s, q) = exp Z s r ξµ(τ )p(τ )∆τ exp Z q s ξµ(τ )p(τ )∆τ = exp Z s r ξµ(τ )p(τ )∆τ + Z q s ξµ(τ )p(τ )∆τ = exp Z q r ξµ(τ )p(τ )∆τ = ep(r, q)
iii) (i) ve (ii) kullanılarak;
ep(s, r) = ep(s, σ(t))ep(σ(t), r) ep(s, t)ep(t, r) = ep(s, σ(t))ep(t, r)(1 + µ(t)p(t)) ep(s, t) = ep(s, σ(t))(1 + µ(t)p(t)) ep(s, σ(t)) = ep(s, t) 1 + µ(t)p(t)
iv) Üstel fonksiyonun tanımı ve Teorem 2.21-ii kullanılarak; ep(t, t) = exp Z t t ξµ(τ )p(τ )∆τ = exp{0} = 1
Üstel fonksiyonu kullanarak adi diferansiyel denklemlerin çözümüne benzer ¸sekilde dinamik denklemleri çözebiliriz.
Örnek 2.30. y∆n, y’nin n’inci delta türevini göstermek üzere, y∆3− 2y∆2− y∆+ 2y = 0
dinamik denklemini göz önüne alalım. λ sabit olmak üzere y(t) = eλ(t, t0) çözümünü
deneyelim. Bu durumda;
(λ3− 2λ2− λ + 2)eλ(t, t0) = (λ + 1)(λ − 1)(λ − 2)eλ(t, t0)
olur. Öyleyse tüm çözümler e−1(t, t0),e1(t, t0) ve e2(t, t0)’nin tüm do˘grusal
Teorem 2.31 (Üstel Fonksiyonun ˙I¸sareti). p regresif ve t0 ∈ T olmak üzere
i) Tκ üzerinde 1 + µp > 0 ise tüm t ∈ T için ep(t, t0) > 0 olur.
ii) Tκ üzerinde 1 + µp < 0 ise tüm t ∈ T için ep(t, t0) = (−1)ntα(t, t0) olur. Burada
α(t, t0) , exp Z t t0 ln |1 + µ(τ )p(τ )| µ(τ ) ∆τ > 0 ve nt, t0ile t arasındaki ayrık nokta sayısı ¸seklinde tanımlanır.
Kanıt. i) 1 + µp > 0 oldu˘gundan tüm t ∈ Tκ için ln(1 + µp) ∈ R olur. Dolayısıyla
tanımı gere˘gi tüm t ∈ Tκiçin ξµ(t)(p(t)) ∈ R olur ve üstel fonksiyonun tanımından
ep(t, t0) > 0 oldu˘gu kolaylıkla görülebilir.
ii) 1 + µp < 0 oldu˘gundan tüm t ∈ Tκiçin
ln(1 + µ(t)p(t)) = ln |1 + µ(t)p(t)| + jπ
oldu˘gu görülür. Ayrıca, 1 + µp < 0 olabilmesi için µ(t) > 0 olmalıdır. Bu durumda, ep(t, t0) = exp Z t t0 ln |1 + µ(τ )p(τ )| + jπ µ(τ ) ∆τ = exp Z t t0 ln |1 + µ(τ )p(τ )| µ(τ ) ∆τ exp Z t t0 jπ µ(τ )∆τ = α(t, t0) exp jπ Z t t0 ∆τ µ(τ ) olur. µ(t) > 0 oldu˘gundan, Z t t0 ∆τ µ(τ ) = n−1 X i=0 µ(τ ) µ(τ ) = n = nt ∈ Z0 olur. Bu nedenle, ep(t, t0) = α(t, t0) exp (jπnt) = α(t, t0) [cos (πnt) + j sin (πnt)] = (−1)ntα(t, t 0)
oldu˘gundan teorem kanıtlanmı¸s olur.
Dikkat edilirse 1 + µp < 0 oldu˘gunda üstel fonksiyonun i¸sareti her t ∈ T anında de˘gi¸sir. Yani üstel fonksiyon bazen negatif olabilir, ancak hiçbir zaman 0 olamaz.
Önsav 2.32. −µp2 regresif ise p ve −p ikisi de regresiftir.
Kanıt. 1 + µ(−µp2) = 1 − µ2p2 = (1 + µp)(1 − µp) 6= 0 oldu˘gundan hem p, hem de −p regresif olmalıdır.
Tanım 2.33 (Hiperbolik Trigonometrik Fonksiyonlar). −µp2 regresif ve rd-sürekli
olmak üzere coshp , ep+ e−p 2 ve sinhp , ep− e−p 2 olarak tanımlanır. Örnek 2.34. y∆2 = a2y, y(t
0) = 1, y∆(t0) = 0 ba¸slangıç de˘ger problemini ele
alalım. Problemin çözümleri ea(t, t0) ve e−a(t, t0) ¸seklindedir. Asıl çözüm bunların
do˘grusal bir kombinasyonu oldu˘gundan y(t) = αea(t, t0) + βe−a(t, t0) çözümü
aranabilir. Teorem 2.29-iv kullanılarak y(t0) = 1 ba¸slangıç ko¸sulu yerine konursa;
y(t0) = αea(t0, t0) + βe−a(t0, t0) = α + β = 1
elde edilir. Benzer ¸sekilde y∆(t0) = 0 ba¸slangıç ko¸sulu yerine konursa;
y∆(t0) = αaea(t0, t0) − βae−a(t0, t0) = α − β = 0
elde edilir. ˙Iki e¸sitlik bir arada kullanılırsa α = β = 1/2 bulunur. Dolayısıyla çözüm y(t) = ea(t, t0) + e−a(t, t0)
2 = cosha(t, t0) olarak bulunur.
Teorem 2.35. −µp2 rd-sürekli olmak üzere a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler geçerlidir.
i) sinh∆p = p coshp
ii) cosh∆p = p sinhp
iii) cosh2p− sinh2p = e−µp2
Kanıt. Bu e¸sitlikler a¸sa˘gıdaki denklemlerle kolayca görülebilir.
i) sinh∆p = ep− e−p 2 ∆ = pep− (−p)e−p 2 = p ep+ e−p 2 = p coshp ii) cosh∆p = ep+ e−p 2 ∆ = pep− pe−p 2 = p ep− e−p 2 = p sinhp
iii) cosh2p− sinh2p = (ep+ e−p)
2 − (e
p − e−p)2
4
= epe−p = ep⊕−p= ep−p−µp2 = e−µp2
Tanım 2.36 (Trigonometrik Fonksiyonlar). j = √−1, p gerçel ve rd-sürekli bir fonksiyon olmak üzere
cosp , ejp+ e−jp 2 ve sinp , ejp− e−jp 2j ¸seklinde tanımlanır. Açıklama 2.37. (1+µjp)(1−µjp) = 1−j2µ2p2 = 1+µ2p2 = 1+µ(µp2) oldu˘gundan kolayca görülece˘gi gibi p gerçel bir fonksiyon oldu˘gu sürece µp2her zaman regresiftir.
Örnek 2.38. y∆2 = −a2y, y(t
0) = 1, y∆(t0) = 0 ba¸slangıç de˘ger problemini ele
alalım. Problemin çözümleri eja(t, t0) ve e−ja(t, t0) ¸seklindedir. Asıl çözüm bunların
do˘grusal bir kombinasyonu oldu˘gundan y(t) = αeja(t, t0) + βe−ja(t, t0) çözümü
aranabilir. Teorem 2.29-iv kullanılarak y(t0) = 1 ba¸slangıç ko¸sulu yerine konursa;
y(t0) = αeja(t0, t0) + βe−ja(t0, t0) = α + β = 1
elde edilir. Benzer ¸sekilde y∆(t0) = 0 ba¸slangıç ko¸sulu yerine konursa;
y∆(t0) = jαaeja(t0, t0) − jβae−ja(t0, t0) = α − β = 0
elde edilir. ˙Iki e¸sitlik bir arada kullanılırsa α = β = 1/2 bulunur. Dolayısıyla çözüm y(t) = eja(t, t0) + e−ja(t, t0)
2 = cosa(t, t0) olarak bulunur.
Teorem 2.39. p gerçel ve rd-sürekli bir fonksiyon olmak üzere a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler geçerlidir.
i) sin∆p = p cosp
ii) cos∆p = −p sinp
iii) cos2p+ sin2p = eµp2 iv) ejp = cosp+j sinp
Kanıt. Bu e¸sitlikler a¸sa˘gıdaki denklemlerle kolayca görülebilir.
i) sin∆p = ejp− e−jp 2j ∆ = jpejp− (−jp)e−jp 2j = p ejp+ e−jp 2 = p cosp
ii) cos∆p = ejp+ e−jp 2 ∆ = jpejp− jpe−jp 2 = −p ejp− e−jp 2j = −p sinp iii) cos2p+ sin2p = (ejp+ e−jp)
2 − (e
jp− e−jp)2
4
= ejpe−jp= ejp⊕−jp = ejp−jp−µj2p2 = eµp2 iv) Tanımdan dolayı;
cosp+j sinp = ejp+ e−jp 2 + j ejp− e−jp 2j = ejp+ e−jp+ ejp− e−jp 2 = ejp
2.5 Çember Toplama, Çıkarma ve Negatif
Tanım 2.40 (Çember Toplama). p ve q, herhangi bir zaman ölçe˘gi T üzerinde tanımlı fonksiyonlar olmak üzere çember toplama i¸slemi
p ⊕ q , p + q + µpq ¸seklinde tanımlanır.
Teorem 2.41. p ⊕ q ancak ve ancak hem p, hem de q regresifse regresiftir.
Kanıt.
1 + µ(p ⊕ q) = 1 + µ(p + q + µpq) = 1 + µp + µq + µ2pq = (1 + µp)(1 + µq) Yukarıdaki e¸sitlik uyarınca 1 + µ(p ⊕ q) 6= 0 olması için hem (1 + µp) 6= 0, hem de (1 + µq) 6= 0 olmalıdır.
Teorem 2.42. p ve q rd-sürekli ve regresif olmak üzere
ep⊕q = epeq (2.10)
olur.
Kanıt. p ve q rd-sürekli ve regresif olmak üzere y = ep(·, t0)eq(·, t0) olsun. y’nin türevi
a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler ile
y∆ = e∆p eq+ eσpe ∆ q
= (p + q + µpq)epeq
= (p ⊕ q)y
¸seklinde bulunur. Ayrıca y(t0) = 1 oldu˘gundan y, y∆ = (p ⊕ q)y, y(t0) = 1 ba¸slangıç
de˘ger problemini çözer. Ancak çözüm tek oldu˘gundan y = epeq = ep⊕qolmalıdır.
Tanım 2.43 (Çember Çıkarma). p ve q, herhangi bir zaman ölçe˘gi T üzerinde tanımlı fonksiyonlar olmak üzere çember çıkarma i¸slemi
p q , p − q (1 + µq) ¸seklinde tanımlanır.
Teorem 2.44. p q ancak ve ancak hem p, hem de q regresifse regresiftir.
Kanıt. 1 + µ(p q) = 1 + µ p − q 1 + µq = 1 + µq + µp − µq 1 + µq = 1 + µp 1 + µq
Yukarıdaki e¸sitlik uyarınca 1 + µ(p q) 6= 0 olması için hem (1 + µp) 6= 0, hem de (1 + µq) 6= 0 olmalıdır.
Teorem 2.45. p ve q rd-sürekli ve regresif olmak üzere
ep q = ep/eq (2.11)
olur.
Kanıt. p ve q rd-sürekli ve regresif olmak üzere y = ep(·, t0)/eq(·, t0) olsun. y’nin
türevi a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler ile y∆= e ∆ peq− epe∆q eqeσq = pepeq− epqeq eq(1 + µq)eq = (p − q)epeq (1 + µq)eqeq = p − q (1 + µq) ep eq = (p q)y
¸seklinde bulunur. Ayrıca y(t0) = 1 oldu˘gundan y, y∆ = (p q)y, y(t0) = 1 ba¸slangıç
Tanım 2.46 (Çember Negatif). p ve q, herhangi bir zaman ölçe˘gi T üzerinde tanımlı fonksiyonlar olmak üzere çember negatif i¸slemi
q = 0 q = − q 1 + µq ¸seklinde tanımlanır.
Açıklama 2.47. Dikkat edilirse T = R için p = −p olur.
Teorem 2.48 (Abelyen Grup). Regresif fonksiyonlar kümesi R ve ⊕ operatörü bir Abelyen grup olu¸sturur.
Kanıt. (R,⊕) Abelyen grup olu¸sturabilmesi için a¸sa˘gıdaki 5 aksiyomu sa˘glamalıdır. p, q, r ∈ R olmak üzere;
i) p ⊕ q ∈ R olmalıdır. Bu aksiyom Teorem 2.41’de ispatlanmı¸stır. ii) (p ⊕ q) ⊕ r = p ⊕ (q ⊕ r) (p ⊕ q) ⊕ r = (p + q + µpq) ⊕ r = (p + q + µpq) + r + µ(p + q + µpq)r = p + q + µpq + r + µpr + µqr + µ2pqr = p + (q + r + µqr) + µp(q + r + µqr) = p + (q ⊕ r) + µp(q ⊕ r) = p ⊕ (q ⊕ r) iii) p ⊕ q = p + q + µpq = q + p + µqp = q ⊕ p
iv) Bir birim eleman bulunmalıdır.
e ⊕ p = e + p + µep = p =⇒ e(1 + µp) = 0 p regresif oldu˘gundan e = 0 ∈ R birim elemandır.
v) Her elemanın tersi olmalıdır.
p ⊕ q = e = 0 =⇒ p + q + µpq = 0 =⇒ q = p−1 = −p
1 + µp = p ∈ R Açıklama 2.49. Yukarıdaki e¸sitlikler kullanılarak a¸sa˘gıdaki faydalı olabilecek e¸sitlikler kolaylıkla gösterilebilir:
i) ( )p = p ii) p ⊕ ( q) = p q iii) p p = 0
3. DO ˘GRUSAL D˙INAM˙IK S˙ISTEMLER
Bu bölümde birinci dereceden dinamik sistemler için çözümler bulunup, bu çözümler dinamik sistem takımlarına geni¸sletilecektir. Dolayısıyla önce birinci alt bölümde birinci dereceden ba¸slangıç de˘ger problemi için çözümler üretilecektir.
˙Ikinci bölümde ise önce delta türev ve regresiflik tanımları matrislere geni¸sletilerek böyle matrislerin özellikleri üzerinde durulacaktır. Daha sonra ise bir matris üstel fonksiyon tanımı yapılarak bu fonksiyonun özelliklerine de˘ginilecektir. Son olarak zamana ba˘glı do˘grusal sistemlerde ba¸slangıç de˘ger problemi için çözümler üretilerek, bu çözümler sabit katsayılı matrisler için incelenecek ve çözümlerle ilgili örnekler verilecektir.
Üçüncü bölümde, bir konvolüsyon tanımı yapılarak, bu konvolüsyon ile bir do˘grusal dinamik sistemin çıkı¸slarının, giri¸sleri ile durum geçi¸s matrisinin konvolüsyonu ¸seklinde elde edilebilece˘gi gösterilecektir.
Son olarak dördüncü bölümde sürekli do˘grusal dinamik sistemlerin, nokta nokta e¸sitlik sa˘glanacak biçimde zaman ölçeklemesi modelinin nasıl elde edilece˘gi üzerinde durulacaktır.
Bu bölüm olu¸stutulurken pek çok kaynaktan faydalanılmı¸stır. Birinci alt bölümdeki tanım ve teoremlerin büyük kısmı [1] ve [2]’den alınmı¸stır. Ancak literatürde zaman ölçeklemesinde do˘grusal dinamik denklemlerle ilgili birçok kaynak bulunmaktadır. Bunlardan bazıları [36], [37], [38], [39], [40] ve [41] olarak verilebilir. Ayrıca [42] ve [43]’te zaman ölçeklemesinde çok çe¸sitli dinamik sistemler ve integral denklemler incelenerek bunlar için çözümler üretilmi¸stir.
˙Ikinci alt bölüm için de [1]’den yo˘gun bir biçimde faydalanılmı¸stır. Burada anlatılanlar ile ilgili de literatürde [44], [45], [46] ve [47] gibi birçok çalı¸sma mevcuttur. Zaman ölçeklemesinde zamanda kaydırma i¸slemi için üzerinde anla¸sılmı¸s bir yöntem olmadı˘gından, konvolüsyon için literatürde farklı özellikler gösteren birçok tanım bulunmaktadır. Burada verilen [1]’de tanımlanan konvolüsyondur. Bu konvolüsyon tanımı sadece belli ba¸slı fonksiyonlar için yapılmı¸s olsa da, birçok sistemin çıkı¸sını
elde etmek için yeterlidir. Bir sonraki bölümde Laplace dönü¸sümü için verilecek kaynakların hemen hepsinde bir konvolüsyon tanımı da mevcuttur. Ayrıca [18] ve [48]’de do˘grudan konu ile ilgili çalı¸smalar mevcuttur.
Sürekli sistemlerin zaman ölçeklemeli modellerinin elde edilmesiyle ilgili bir çalı¸sma [3]’te yapılmı¸stır. Ancak burada bu i¸slemden kısaca bahsedilmi¸s ve detayına inilmemi¸stir. Dördüncü alt bölümde bu modellerin elde edilmesi detaylı bir biçimde anlatılarak örnekler verilecektir.
3.1 1. Dereceden Do˘grusal Dinamik Denklemler Teorem 3.1. p ve f rd-sürekli ve p regresif olmak üzere;
y∆= p(t)y + f (t), y(t0) = y0 (3.1)
ba¸slangıç de˘ger probleminin tek çözümü y(t) = ep(t, t0)y0 +
Z t
t0
ep(t, σ(τ ))f (τ )∆τ (3.2)
¸seklindedir.
Kanıt. y, (3.1)’in çözümü olsun. Bu durumda,
[ye p(t, t0)]∆= y∆eσ p(t, t0) + p(t)ye p(t, t0) = [y∆(1 + µp(t)) + p(t)y]e p(t, t0) = [y∆− p(t)y] e p(t, t0) (1 + µp(t)) = f (t)[1 + µp(t)]e p(t, t0) = e p(σ(t), t0)f (t)
elde edilir. Her iki tarafın integrali alınırsa, Z t t0 [ye p(τ, t0)]∆∆τ = Z t t0 e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ y(t)e p(t, t0) − y(t0)e p(t0, t0) = Z t t0 e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ y(t)e p(t, t0) = y(t0) + Z t t0 e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ y(t) = ep(t, t0)y0+ Z t t0 ep(t, t0)e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ
y(t) = ep(t, t0)y0+ Z t t0 ep(t, σ(τ ))ep(σ(τ ), t0)e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ y(t) = ep(t, t0)y0+ Z t t0 ep(t, σ(τ ))f (τ )∆τ
e¸sitli˘gi çözüm olarak elde edilir.
Çözümün tekli˘gini ispatlamak için ise çeli¸ski amacıyla ˜y’nin bir ba¸ska çözüm oldu˘gunu varsayalım. p regresif oldu˘gundan
˜
y(t) = ep(t, t0)v(t)
e¸sitli˘gini sa˘glayan bir v her zaman bulunabilir. Bu durumda ˜y (3.1)’i çözdü˘günden ˜ y∆ = p(t)˜y + f (t) p(t)ep(t, t0)v + eσp(t, t0)v∆ = p(t)ep(t, t0)v + f (t) v∆ = eσ p(t, t0)f (t) Z t t0 v∆(τ )∆τ = Z t t0 eσ p(τ, t0)f (τ )∆τ v(t) − v(t0) = Z t t0 e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ v(t) = v(t0) + Z t t0 e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ
¸seklinde elde edilir. ˜y(t0) = y0 olması gerekti˘ginden,
˜ y(t0) = ep(t0, t0)v(t0) = v(t0) = y0 oldu˘gu görülür. Dolayısıyla, ˜ y(t) = ep(t, t0)v(t) = ep(t, t0)y0+ Z t t0 ep(t, t0)e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ = ep(t, t0)y0+ Z t t0 ep(t, σ(τ ))ep(σ(τ ), t0)e p(σ(τ ), t0)f (τ )∆τ = ep(t, t0)y0+ Z t t0 ep(t, σ(τ ))f (τ )∆τ = y(t)
3.2 Do˘grusal Dinamik Sistemler 3.2.1 Regresif matrisler
Tanım 3.2 (rd-Sürekli ve Türevlenebilir Matris). A, T üzerinde tanımlı, n × m boyutlu, matris de˘gerli bir fonksiyon olsun.
i) A’nın tüm elemanları rd-sürekli ise A rd-süreklidir denir.
ii) A’nın tüm elemanları türevlenebilir ise A türevlenebilirdir denir ve bu türev, A = (aij) olmak üzere;
A∆= (a∆ij) , (i = 1, 2, ..., n)(j = 1, 2, ..., m) ¸seklinde tanımlanır.
Teorem 3.3. A, t ∈ Tκnoktasında türevlenebilir ise,
Aσ(t) = A(t) + µ(t)A∆(t) (3.3) olur.
Kanıt. A¸sa˘gıdaki e¸sitlikler ile teorem kolaylıkla ispatlanabilir.
Aσ = (aσij)
= (aij + µa∆ij)
= (aij) + µ(a∆ij)
= A + µA∆
Teorem 3.4. A ve B türevlenebilir n × n matris de˘gerli fonksiyonlar olsun. A¸sa˘gıdaki e¸sitlikler geçerlidir:
i) (A + B)∆ = A∆+ B∆
ii) (αA)∆= αA∆
iii) (AB)∆= A∆B + AσB∆= AB∆+ A∆Bσ
iv) (A−1)∆= −(Aσ)−1A∆A−1 = −A−1A∆(Aσ)−1(AAσtersi alınabilir ise)
Kanıt. A ve B türevlenebilir n × n matris de˘gerli fonksiyonlar olsun.
i) (A + B)∆ = ((a
ii) (αA)∆= (αaij)∆= α(a∆ij) = αA∆
iii) C = AB olsun. C’nin bir elemanı için; cij = n X k=0 aikbkj c∆ij = n X k=0 a∆ikbkj + aσikb ∆ kj = n X k=0 a∆ikbσkj + aikb∆kj = n X k=0 a∆ikbkj+ n X k=0 aσikb∆kj = n X k=0 a∆ikbσkj + n X k=0 aikb∆kj C∆ = (AB)∆ = A∆B + AσB∆= A∆Bσ + AB∆ iv) AAσ tersi alınabilir bir matris olsun.
0 = I∆ = (AA−1)∆ = A∆A−1+ Aσ(A−1)∆= A(A−1)∆+ A∆(A−1)σ (A−1)∆ = −(Aσ)−1A∆A−1 = −A−1A∆(Aσ)−1
Tanım 3.5 (Regresiflik). A, bir zaman ölçeklemesi T üzerinde tanımlanmı¸s n × n boyutlu, matris de˘gerli bir fonksiyon olsun. Tüm t ∈ Tκ için,
I + µ(t)A(t)
tersi alınabilir bir matris ise (yani det(I + µ(t)A(t)) 6= 0 ise), A regresif tir denir. Tüm rd-süreklive regresif fonksiyonlar kümesi
R = R(T) = R(T, Rn×n)
olarak tanımlanır ve A regresif ve rd-sürekli ise A ∈ R yazılır.
Teorem 3.6. n × n boyutlu, matris de˘gerli fonksiyon A, ancak ve ancak tüm özde˘gerleri regresif ise regresiftir.
Kanıt. Bir A matrisinin özde˘gerleri
det(λI − A) = 0
e¸sitli˘gini sa˘glayan λ de˘gerleri olarak tanımlanır. Dolayısıyla; det(λI − A) = 0 µndet(λI − A) = 0 det(µλI − µA) = 0
