Zaman Ölçeklemeli Kontrolörlerin Ölü Zamanlı Sistemlere Uygulanması

Örnek 9.9. Bu örnekte A =    −0.6 1 −1 0   , B =    0 1   , C =  1 0 

sistemi ele alınmı¸stır. Zaman ölçeklemesi 0 < µ(t) < 1 olacak ¸sekilde rastgele seçilmi¸stir. Kapalı çevrim kutupları sürekli zamanda λ = {−2, −2} olacak ¸sekilde yukarıdaki örneklerde oldu˘gu gibi bulunmu¸stur. Daha sonra sistemin durum geri beslemesine ölü zaman eklenerek

u(t) = −Kµx(t − τ ) + (I − KµA−1B)r(t)

biçimindeki kontrol kuralı elde edilmi¸stir.

Ölü zaman olmadan bulunan zaman ölçeklemeli kontrolör ve yine ölü zaman olmadan bulunan sürekli kontrolör, verilen sisteme τ = 0.5s ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında ¸Sekil 9.11 ve ¸Sekil 9.12’deki sonuçlar elde edilmi¸stir.

¸Sekil 9.11: Ölü zaman olmadan bulunan zaman ölçeklemeli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ = 0.5s ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı.

¸Sekil 9.12: Ölü zaman olmadan bulunan sürekli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ = 0.5s ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı.

Benzer ¸sekilde aynı kontrolörler sisteme τ (t) ∈ [0.2, 0.8] aralı˘gında rastgele ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında ¸Sekil 9.13 ve ¸Sekil 9.14’teki sonuçlar elde edilmi¸stir.

¸Sekil 9.13: Ölü zaman olmadan bulunan zaman ölçeklemeli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ (t) ∈ [0.2, 0.8] aralı˘gında rastgele de˘gi¸sen ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı.

¸Sekil 9.14: Ölü zaman olmadan bulunan sürekli durum geri beslemesi kontrolörün sisteme τ (t) ∈ [0.2, 0.8] aralı˘gında rastgele de˘gi¸sen ölü zaman eklenerek uygulandı˘gında elde edilen sistem birim basamak yanıtı.

Yapılan deneylerde ölü zaman olmadı˘gında aynı sonucu veren sürekli ve zaman ölçeklemeli durum geri beslemesi kontrolörleri incelenmi¸stir. Görüldü˘gü kadarıyla zaman ölçeklemesi kontrolörü ölü zaman de˘gi¸sken oldu˘gunda dahi sürekli kontrolörden daha dayanıklı bir yapı sergilemi¸s ve kapalı çevrim sistemin kararlılı˘gını korumu¸stur. Ancak, konuyla ilgili kuramsal incelemeler yapılması gerekmektedir ve bu ileriki çalı¸smalarda ele alınacaktır.

10. SONUÇLAR

Bu tez, zaman ölçeklemeli sistemlerin ilerleyen yıllarda özellikle kontrol teorisi alanında yo˘gun uygulama alanı bulabilece˘gi dü¸sünülerek hazırlanmı¸stır. Bu ba˘glamda, zaman ölçeklemesinde özellikle do˘grusal dinamik sistemler konusu detaylı bir biçimde i¸slenmi¸stir.

Bu çalı¸sma kapsamında zaman ölçeklemeli sistemler tanıtılmı¸s ve literatürde bulunan çalı¸smaların bir kısmı detaylarıyla verilmi¸stir. Bu çalı¸smalarda önce, özel ko¸sullarda klasik türeve ya da ileri farka dönü¸sen delta türev tanımlanmı¸stır. Daha sonra bu türev ile elde edilen do˘grusal dinamik sistem takımlarının zaman ölçeklemesinde çözümleri incelenmi¸stir. Ayrıca, zaman ölçeklemesinde birçok tanım arasından seçilen bir konvolüsyon tanımına yer verilmi¸stir.

Literatürde bulunan, ancak çok detaylı anlatılmamı¸s olan sürekli sistemlerin zaman ölçeklemeli modellerinin elde edilmesi problemi, bu çalı¸sma kapsamında detaylandırılarak verilmi¸stir.

Yine literatürde birçok tanım arasından seçilen bir Laplace dönü¸sümü tanıtılmı¸s ve bu dönü¸sümün daha önce verilen konvolüsyon tanımı ile konvolüsyon teoremini sa˘gladı˘gı gösterilmi¸stir.

Ayrıca bu tez kapsamında yapılan özgün çalı¸smalarda da sıkça kullanılmı¸s olan Hilger çemberi ve Hilger sayıları tanıtılmı¸stır.

En büyük kontrol problemlerinden biri olan kararlılık problemi de literatürdeki bilgilerle bu çalı¸smada incelenmi¸stir. Sonuçta zaman ölçeklemesinde kararlılık tanımları verilerek, kararlılık için bazı gerek ve yeter ko¸sullar verilmi¸stir. Ayrıca sistem kutuplarının Hilger çemberi içinde kalmasının kararlılık için yeter ko¸sul oldu˘gu gösterilmi¸stir.

Böyle bir literatür özetinden sonra, özgün bir çalı¸sma olan zaman ölçeklemesinde zaman kriterleri çıkartılmı¸s, sistemin a¸sım yapması için gereken ko¸sullar ve bir a¸sım formülü verilmi¸stir. Ayrıca benzer ¸sekilde bir yerle¸sme zamanı formülü de elde edilmi¸stir.

Kontrol teorisinde önemli kavramlar olan kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kavramlarının zaman ölçeklemesine geni¸sletilmi¸s halleri literatürde bulunan çalı¸smalardan derlenmi¸stir. Ayrıca özgün olarak ayrık zaman ölçeklemesi tanımı ortaya atılmı¸s ve ayrık zaman ölçeklemesinde kontrol edilebilirlik incelenmi¸stir. Son olarak tamamen özgün olarak zaman ölçeklemesinde durum geri beslemesi ve referans takibi problemleri ele alınarak, bu problemlere çözümler getirilmi¸stir. Ayrıca atanabilirlik kavramı tanımlanarak, sistemlerinin atanabilirlik ko¸sulları incelenmi¸s ve bu kavram durum geri beslemesi ve referans takibi problemlerine uygulanmı¸stır. Sonuç olarak bu çalı¸smada son derece yeni olan zaman ölçeklemesi özetlenmi¸s ve bazı özgün çalı¸smalarla bu konunun kontrol teorisinde kullanılabilece˘gi gösterilmi¸stir. Ayrıca bu konudaki birçok açık problem de bilim dünyasına sunulmu¸stur.

Tüm bu çalı¸smalar yapılırken de Mathematica ve MATLAB için araçlar geli¸stirilmi¸s, Simulink için ise zaman ölçeklemesi blokları geli¸stirilmi¸stir.

KAYNAKLAR

[1] Bohner, M. ve Peterson, A. (2001). Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction With Applications, BirkHauser.

[2] Agarwal, R., Bohner, M., O’Regan, D. ve Peterson, A. (2002). Dynamic Equations on Time Scales: A Survey, Journal of Computational and Applied Mathematics, 141, 1–26.

[3] Gravagne, I. A., Davis, J. M. ve DaCunha, J. J. (2007). A Unified Approach to Discrete and Continuous High-Gain Adaptive Controllers Using Time Scales, adres: http://www.timescales.org.

[4] Pötzsche, C., Siegmund, S. ve Wirth, F. (2003). A Spectral Characterization of Exponential Stability for Linear Time-Invariant Systems on Time Scales, adres: www.mathematik.uni-wuerzburg.de/ wirth/Archive/tsspec.ps.gz. [5] Ramos, A. A. (2009). Stability of Hybrid Dynamic Systems: Analysis and Design,

Ph.D. thesis, Baylor University.

[6] Gard, T. ve Hoffacker, J. (2003). Asymptotic Behavior of Natural Growth on Time Scales, Dynamic Systems and Applications, 12(1-2), 131–148. [7] Davis, J. M., Gravagne, I. A., Jackson, B. J. ve II, R. J. M. (2009).

Controllability, Observability, Realizability and Stability of Dynamic Linear Systems, Electronic Journal of Differential Equations, 2009, 1–32, 37.

[8] Sontag, E. D. (1998). Mathematical Control Theory, Springer, second edition. [9] Kreisselmeier, G. (1999). On Sampling Without Loss of Observability

/Controllability, IEEE Transactions on Automatic Control, 44(5), 1021–1025.

[10] Jackson, B. J., Davis, J. M., Gravagne, I. A. ve II, R. J. M. (2011). Linear State Feedback Stabilization on Time Scales, International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations, 3(1-2), 163–177.

[11] Davis, J. M., Gravagne, I., Jackson, B. ve Marks, R. J. (2010). State Feedback Stabilization of Linear Time-Varying Systems on Time Scales, 42nd South Eastern Symposium on System Theory.

[12] Sevim, U. ve Sümer, L. G. (2011). Zaman Ölçeklemeli Sistemler ve Kontrol Uygulamalari, TOK2011 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantisi, Izmir. [13] Karpuz, B. (2011). Existence and Uniqueness of Solutions to Systems of

Delay Dynamic Equations on Time Scales, International Journal of Mathematics and Computation, 10, 48–58.

[14] Karpuz, B. (2010). Oscillation and Stability of First-Order Delay Differential Equations with Retarded Impulses, arXiv:1007.1571v1 [math.CA]. [15] Bohner, M. (2005). Some Oscillation Criteria for First Order Delay Dynamic

Equations, Far East Journal of Applied Mathematics, 18(3), 289–304. [16] Ma, Y. ve Sun, J. (2007). Stability Criteria of Delay Impulsive Systems on Time

Scales, Nonlinear Analysis, 67, 1181–1189.

[17] Agarwal, R., M.Bohner ve Peterson, A. (2001). Inequalities on Time Scales: A Survey, Mathematical Inequalities and Applications, 4(4), 535–557. [18] II, R. J. M., Gravagne, I. A. ve Davis, J. M. (2008). A Generalized Fourier

Transform and Convolution on Time Scales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 340, 901–919.

[19] Dorlý, O. ve Hilscher, R. (2001). Disconjugacy, Transformations and Quadratic Functionals for Symplectic Dynamic Systems on Time Scales, Journal of Difference Equations and Applications, 7(2), 265–295.

[20] Ahlbrandt, C. D., Bohner, M. ve Ridenhour, J. (2000). Hamiltonian Systems on Time Scales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 250, 561–578.

[21] Lakshmikantham, V. ve Vatsala, A. S. (2002). Hybrid Systems on Time Scales, Journal of Computational and Applied Mathematics, 141, 227–235. [22] DaCunha, J. J. ve Davis, J. M. (2009). A Unified Floquet Theory for Discrete,

Continuous and Hybrid Periodic Linear Systems, arXiv:0901.3841v1 [math.DS].

[23] Davis, J. M., Gravagne, I. A., Marks, R. J., Miller, J. E. ve Ramos, A. A. (2010). Stability of Switched Linear Systems on Non-uniform Time Domains, 42nd South Eastern Symposium on System Theory.

[24] Atici, F. M., Biles, D. C. ve Lebedinsky, A. (2006). An Application of Time Scales to Economics, Mathematical and Computer Modelling, 43, 718–726.

[25] Yantir, A. ve Ünal Ufuktepe (2005). Mathematica Applications on Time Scales, ICCSA 2005, LNCS 3482, 529–537.

[26] Bohner, M. ve Peterson, A. C. (2003). Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser.

[27] Caputo, M. C. (2010). Time Scales: From Nabla Calculus to Delta Calculus and Vice Versa via Duality, arXiv:0910.0085v2 [math.OC].

[28] Akin, O., Dastjerdi, M. T., Dogan, N. ve Sayan, H. H. (2005). An Approach to the Solutions of Time Varying Linear Dynamic Systems with Multi-Point Boundary Values on Time Scales, The First International Workshop on dynamic equations on time scales, Istanbul.

[29] Bohner, M. ve Guseinov, G. S. (2005). An Introduction to Complex Functions on Products of Two Time Scales, Journal of Difference Equations and Its Applications.

[30] Bohner, M. ve Peterson, A. (2001). A Survey of Exponential Functions on Time Scales, Rev. Cubo Matematica Educacimal, 3, 285–301.

[31] Sheng, Q., Fadag, M., Henderson, J. ve Davis, J. M. (2006). An Exploration of Combined Dynamic Derivatives on Time Scales and Their Applications, Nonlinear Analysis: RealWorld Applications, 7, 395–413.

[32] Hilger, S. (1990). Analysis on Measure Chains - A Unified Approach to Continuous and Discrete Calculus, Results Math, 18, 18–56.

[33] Agarwal, R. P. ve Bohner, M. (1999). Basic Calculus on Time Scales and Some of Its Applications, Resultate der Mathematik, 35(1-2), 3–22.

[34] Hilger, S. (1997). Differential and Difference Calculus - Unified!, Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Applications, 30(5), 2683–2694.

[35] Bartosiewicz, Z. ve Pawluszewicz, E. (2004). Unification of continuous-time and discrete-time systems: the linear case, in In Proceedings of Sixteenth International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2004) Katholieke Universiteit, 5–9.

[36] Bohner, M. ve Peterson, A. (2001). First and Second Order Linear Dynamic Equations On Time Scales, Journal of Difference Equations and Applications, 7, 767–792.

[37] Morelli, M. ve Peterson, A. (2000). A Third-Order Differential Equation on a Time Scale, Mathematical and Computer Modelling, 32, 565–570. [38] Akin, E. (2000). Boundary Value Problems For a Differential Equation on a

Measure Chain, Panamerican Mathematical Journal, 10(3), 17–30. [39] Bohner, M. ve Eloe, P. W. (2000). Higher Order Dynamic Equations on

Measure Chains: Wronskians, Disconjugacy, and Interpolating Families of Functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 246, 639–656.

[40] Agarwal, R. P., Bohner, M. ve O’Regan, D. (2002). Time Scale Boundary Value Problems on Infinite Intervals, Journal of Computational and Applied Mathematics, 141, 27–34.

[41] Agarwal, R. P., Bohner, M. ve O’Regan, D. (2001). Time Scale Systems on Infinite Intervals, Nonlinear Analysis, 47, 837–848.

[42] Akin-Bohner, E. ve Bohner, M. (2003). Miscellaneous Dynamic Equations, Methods and Applications of Analysis, 10, 11–30.

[43] Karpuz, B. (2011). Basics of Volterra Integral Equations on Time Scales, arXiv:1102.5588v1 [math.CA].

[44] Zafer, A. (2008). Calculating The Matrix Exponential of a Constant Matrix on Time Scales, Applied Mathematics Letters, 21, 612–616.

[45] Zafer, A. (2006). The Exponential of a Constant Matrix on Time Scales, ANZIAM Journal, 48, 99–106.

[46] Bartosiewicz, Z., Ülle Kotta ve Pawluszewicz, E. (2006). Equivalence of Linear Control Systems on Time Scales, Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math., 55(1), 43–52.

[47] Bartosiewicz, Z. ve Pawiuszewicz, E. (2004). Linear Control Systems on Time Scale: Unification of Continuous and Discrete, 10th IEEE International Conference onMethods and Models in Automation and Robotics.

[48] Bohner, M. ve Guseinov, G. S. (2007). The Convolution on Time Scales, Abstract and Applied Analysis.

[49] Bohner, M. ve Lutz, D. A. (2001). Asymptotic Behavior of Dynamic Equations on Time Scales, Journal of Difference Equations and Applications, 7, 21–50.

[50] Bohner, M. ve Peterson, A. (2002). Laplace Transform and Z-Trasform: Unification and Extension, Methods and Applications of Analysis, 9(1), 155–162.

[51] Davis, J. M., Gravagne, I. A., Jackson, B. J., II, R. J. M. ve Ramos, A. A. (2007). The Laplace Transform on Time Scales Revisited, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 332, 1291–1307.

[52] Jackson, B. J. (2007). A General Linear Systems Theory on Time Scales: Transforms, Stability, and Control, Ph.D. thesis, Baylor University. [53] Davis, J. M., Gravagne, I. A. ve II, R. J. M. (2010). Bilateral Laplace

Transforms on Time Scales: Convergence, Convolution, and the Characterization of Stationary Stochastic Time Series, Circuits Syst. Signal Process.

[54] Davis, J. M., Gravagne, I. A. ve II, R. J. M. (2009). Convergence of Unilateral Laplace Transforms on Time Scales, Circuits Syst. Signal Process. [55] Akin-Bohner, E. ve Bohner, M. (2004). Exponential Functions and Laplace

Transforms for Alpha Derivatives, Conference Proceedings of the Sixth International Conference on Difference Equations and Applications, 231–237.

[56] Bartosiewicz, Z., Ülle Kotta ve Pawluszewicz, E. (2005). Input-Output and Transfer Equivalence of Linear Control Systems on Time Scales, 11th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics.

[57] Thomas, A. M. (2001). Transforms on Time Scales, Master’s thesis, The University of Georgia.

[58] Karpuz, B. (2011). On Uniqueness of the Laplace Transform on Time Scales, Pan-American Mathematical Journal, 21(2), 101–110.

[59] Zafer, A., Kaymakçalan, B. ve Özgün, S. A. (1998). Asymptotic Behavior of Higher-Order Nonlinear Equations on Time Scales, Computers Math. Applic., 36(10-12), 299–306.

[60] Anderson, D. ve Peterson, A. (2000). Asymptotic Properties of Solutions of a 2nth_{-Order Differential Equation on a Time Scale, Mathematical and}

Computer Modelling, 32, 653–660.

[61] Doan, T. S., Kalauch, A. ve Siegmund, S. (2009). Exponential Stability of Linear Time-Invariant Systems on Time Scales, Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 9(1), 37–50.

[62] DaCunha, J. J. (2007). Instability Results for Slowly Time Varying Linear Dynamic Systems on Time Scales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 328, 1278–1289.

[63] Anderson, D. R. ve Zafer, A. (2009). Nonlinear Oscillation of Second-Order Dynamic Equations on Time Scales, Applied Mathematics Letters, 22, 1591–1597.

[64] Du, N. H. ve LeHuyTien (2007). On The Exponential Stability of Dynamic Equations on Time Scales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 331, 1159–1174.

[65] Erbe, L. ve Peterson, A. (2002). Oscillation Criteria for Second Order Matrix Dynamic Equations on a Time Scale, Journal of Computational and Applied Mathematics, 141, 169–185.

[66] Ma, Y. ve Sun, J. (2008). Stability Criteria for Impulsive Systems on Time Scales, Journal of Computational and Applied Mathematics, 213, 400–407.

[67] Hong, S. (2010). Stability Criteria for Set Dynamic Equations on Time Scales, Computers and Mathematics with Applications, 59, 3444–3457.

[68] DaCunha, J. J. (2005). Stability for Time Varying Linear Dynamic Systems on Time Scales, Journal of Computational and Applied Mathematics, 176, 381–410.

[69] Yasar, I. B. ve Tuna, A. (2007). Ψ-uniformly Stability for Time Varying Linear Dynamic Systems on Time Scales, International Mathematical Forum, 2(20), 963–972.

[70] Bohner, M., Clark, S. ve Ridenhour, J. (2002). Lyapunov Inequalities forTime Scales, Journal of Inequalities and Applications, 7(1), 61–77.

[71] DaCunha, J. J. (2004). Lyapunov Stability and Floquet Theory for Nonautonomous Linear Dynamic Systems on Time Scales, Ph.D. thesis, Baylor University.

[72] Kloeden, P. E. ve Zmorzynska, A. (2006). Lyapunov Functions for Linear Nonautonomous Dynamical Equations on Time Scales, Advances in Difference Equations, 2006, 1–10.

[73] Pawluszewicz, E. ve Torres, D. F. M. (2010). Backward Linear Control Systems on Time Scales, International Journal of Control.

[74] Gravagne, I. A., Davis, J. M. ve DaCunha, J. J. (2009). A Unified Approach to High-Gain Adaptive Controllers, Abstract and Applied Analysis.

[75] Gravagne, I. A., Davis, J. M., DaCunha, J. J. ve Marks, R. J. (2004). Bandwidth Reduction for Controller Area Networks Using Adaptive Sampling, Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Robotics and Automation.

[76] Zhan, Z. ve Wei, W. (2009). On Existence of Optimal Control Governed by a Class of the First-Order Linear Dynamic Systems on Time Scales, Applied Mathematics and Computation, 215, 2070–2081.

[77] Pawluszewicz, E. ve Torres, D. F. M. (2010). Avoidance Control on Time Scales, Journal of Optimization Theory and Applications, 145(3), 527–542.

[78] Gravagne, I. A., Davis, J. M. ve Marks, R. J. (2005). How Deterministic Must a Real-Time Controller Be?, International Conference on Intelligent Robots and Systems, 2005. (IROS 2005). 2005 IEEE/RSJ, 3630–3635.

ÖZGEÇMİŞ

Ad Soyad: Ufuk SEVİM

Doğum Yeri ve Tarihi: Tekirdağ, 1 Ocak 1987

Adres: Sarıyer / İstanbul

E-Posta: ufuk.sevim@itu.edu.tr

Lisans:

İ

T

Yüksek Lisans:

İ

T

TEZDEN TÜRETİLEN YAYINLAR/SUNUMLAR

 Sevim, U. ve Gören Sümer, L., 2011. Zaman Ölçeklemeli Sistemler ve Kontrol Uygulamaları, TOK2011 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, İzmir.