SÜREKLİ ZAMAN FOURIER ANALİZİ

1

SÜREKLİ ZAMAN FOURIER ANALİZİ

Fourier analizi titreşim olan her alanda gereken, mühendislikte çok önemli yöntemleri kapsar. Sürekli zaman sinyallerinden periyodik olanlar üzerinde uygulanan Fourier serileri ve periyodik olan veya olmayanlar üzerinde uygulanan Fourier dönüşümü başlıca iki hesap yöntemidir.

FOURİER SERİLERİ

𝑇₀ ile periyodik bir 𝑥(𝑡) sinyali, çok özel istisnalara takılmıyorsa (Drichlet şartları denilen ve matematiksel bazı zorlamalar dışında pratikte parçalı sürekli hemen her sinyal için sağlanan şartları sağlıyorsa), ana frekansın tam katı frekanslarda sinüzoidal dalgaların toplamı halinde ifade edilebilir. Dalganın bu şekilde ifadesine Fourier serisi denir. Yani 𝜔₀ = 2𝜋 𝑇⁄ olmak üzere ₀

𝑥(𝑡) =𝑎₀

2 + (𝑎₁cos 𝜔₀𝑡 + 𝑏₁sin 𝜔₀𝑡) + (𝑎₂cos 2𝜔₀𝑡 + 𝑏₂sin 2𝜔₀𝑡) + (𝑎₃cos 3𝜔₀𝑡 + 𝑏₃sin 3𝜔₀𝑡) + ⋯ biçiminde yazılabilen seridir. Sin ve cos fonksiyonlarının karmaşık üstel karşılığı da kullanılabilir. Yani Fourier serisi gerçel ya da karmaşık biçimlerde gösterilebilir:

𝑥(𝑡) =𝑎₀

2 + ∑ 𝑎_𝑘cos 𝑘𝜔₀𝑡 + 𝑏_𝑘sin 𝑘𝜔₀𝑡

+∞

⏟ 𝑘=1 gerçel gösterim

= ∑ 𝑐_𝑘𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}

+∞

𝑘=−∞⏟

karmaşık gösterim

Burada, ^𝑎0

2 = 𝑐₀ = ortalama değer = dc bileşen

𝑎₁cos 𝜔₀𝑡 + 𝑏₁sin 𝜔₀𝑡 = 𝑐₋₁𝑒^{−𝒋𝜔0𝑡}+ 𝑐₁𝑒^{𝒋𝜔0𝑡} = temel bileşen = 1. harmonik

𝑎_𝑘cos 𝑘𝜔₀𝑡 + 𝑏_𝑘sin 𝑘𝜔₀𝑡 = 𝑐_−𝑘𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}+ 𝑐_𝑘𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡} = k. harmonik diye adlandırılır.

Dikkat: Süreksizlik (ani sıçrama) noktalarında sinyalin asıl değeri ne tanımlanırsa tanımlansın, Fourier serisi, sağdan ve soldan limitlerin ortalamasını verir.

Bir Soru

Kataloğunda 100 MHz’e kadar sabit bir kazançla ideal sayılabilecek bir kazançla çalıştığı söylenen doğrusal bir yükselticinin girişine 30 MHz’lik ideal bir kare dalga uygulanırsa çıkışında ideal bir kare dalga mı elde edilir yoksa bozulmuşu mu? Neden?

Cevap

30 MHz’lik kare dalganın Fourier serisinde 3. harmoniğe (90 MHz) kadarki bileşenler sınırın altında olduğundan ideale yakın sabit kazançla yükseltilir. Sonraki harmonikler ise bozularak çıkışa ulaşır. Bu yüzden çıkışta bozulmuş bir kare dalga görülür. Sinyalin yavaş değişen kısımları alçak frekans bileşenleriyle, hızlı değişen kısımları ise yüksek frekans bileşenleriyle ifade edilir. Yüksek numaralı harmoniklerin bozulması bu yüzden kare dalganın ani değişim civarında bozulmaya karşılık gelir.

Gerçel seriden karmaşık seriye geçiş

𝑎_𝑘cos 𝑘𝜔₀𝑡 + 𝑏_𝑘sin 𝑘𝜔₀𝑡 = 𝑎_𝑘(𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}+ 𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}

2 ) + 𝑏_𝑘(𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}− 𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}

𝒋2 ) = 𝑐_−𝑘𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}+ 𝑐_𝑘𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡} 𝑐₀ =𝑎₀

2 , 𝑐_𝑘 =𝑎_𝑘− 𝒋𝑏_𝑘

2 , 𝑐_−𝑘 =𝑎_𝑘+ 𝒋𝑏_𝑘

2 ; 𝑘 = 1,2, … , +∞

Sinyal gerçel ise, tüm 𝑎_𝑘 ve 𝑏_𝑘 katsayıları gerçel olacağından, 𝑐_−𝑘 = 𝑐_𝑘^∗ olur ( 𝒋𝑘 ayrılmaz ikilidir).

2 Karmaşık seriden gerçel seriye geçiş

𝑎₀ = 2𝑐₀ , 𝑎_𝑘 = 𝑐_𝑘+ 𝑐_−𝑘 , 𝑏_𝑘 = 𝒋(𝑐_𝑘− 𝑐_−𝑘) ; 𝑘 = 1,2, … , +∞

Sinyal gerçel ise 𝑐_−𝑘 = 𝑐_𝑘^∗ kullanılarak, 𝑎_𝑘 = 2 ∙ ℛ𝑒{𝑐_𝑘} ve 𝑏_𝑘 = −2 ∙ ℐ𝑚{𝑐_𝑘} bulunur.

Seri katsayılarının bulunması

𝑎₀ = 2

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

(ortalamanın 2 katı)

𝑎_𝑘= 2

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡) cos 𝑘𝜔₀𝑡 𝑑𝑡

𝑇0

𝑏_𝑘 = 2

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡) sin 𝑘𝜔₀𝑡 𝑑𝑡

𝑇0

Karmaşık seri katsayıları:

𝑐₀ = 1

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

(ortalama değer)

𝑐_𝑘 = 1

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡)𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0

Bu integrallerde sınırlar yerine sadece alta 𝑇₀ yazılmasının anlamı, keyfi bir p için demektir.

İspat: 𝑥(𝑡) ’nin Fourier serisi biçiminde yazılabildiği kabulüyle özel bir k için karmaşık seri katsayısının formüldeki gibi olduğunu ispatlayalım. Formüldeki 𝑥(𝑡) yerine Fourier serisini karışmasın diye n ’e göre yazalım.

1

𝑇₀ ∫ ( ∑ 𝑐_𝑛𝑒^{𝒋𝑛𝜔0𝑡}

+∞

𝑛=−∞

) 𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0

= ∑ 𝑐_𝑛∙ (1

𝑇₀ ∫ 𝑒^{𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0

)

+∞

𝑛=−∞

𝑒^{𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡} =cos((𝑛 − 𝑘)𝜔₀𝑡)+ 𝒋sin((𝑛 − 𝑘)𝜔₀𝑡) olduğundan, 𝑛 = 𝑘 ise 1 olur ve 𝑇₀ periyodu üzerinden

ortalaması da 1’dir. 𝑛 ≠ 𝑘 ise 𝑇₀ periyodu içinde

|𝑛 − 𝑘| adet tam sinüzoidal dalga içerir. Mesela

|𝑛 − 𝑘| = 2 için yandaki şekildeki gibi olur ve 𝑇₀ periyodu üzerinden ortalaması sıfırdır:

1

𝑇₀ ∫ 𝑒^{𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0

= { 1 𝑛 = 𝑘 ise 0 𝑛 ≠ 𝑘 ise

Bunu yerine yazarsak, değişkeni 𝑛 olan toplamın sadece 𝑛 = 𝑘 durumu kalır:

∑ 𝑐_𝑛∙ (1

𝑇₀ ∫ 𝑒^{𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇₀

)

+∞

𝑛=−∞

= 𝑐_𝑘 

𝑎_𝑘= 2 ∙ ℛ𝑒{𝑐_𝑘} ve 𝑏_𝑘 = −2 ∙ ℐ𝑚{𝑐_𝑘} formülleri gereği gerçel seri katsayılarına geçiş ise açıkça görülmektedir.

𝑎₀ ve 𝑐₀ formülleri aslında 𝑘 = 0 için 𝑎_𝑘 ve 𝑐_𝑘 formülleriyle aynıdır. Ancak sinyalde sabit veya doğru rampa gibi 𝑡^𝑛 biçimli parça varsa genel 𝑎_𝑘, 𝑏_𝑘 veya 𝑐_𝑘 formülleriyle yapılan ara hesaplamalar 𝑘 = 0’da belirsizlik veya tanımsızlık verebilmekte, fakat sonrasında bu belirsizlik veya tanımsızlık gözden kaçabilmektedir. Ara hesaplamalarda herhangi bir 𝑘 için belirsizlik veya tanımsızlığın ilk çıktığı yerden bir önceki adımda o k değeri yerine konulup o katsayılar buna göre ayrıca hesaplanmalıdır. Buna da en çok 𝑘 = 0’da karşılaşıldığı için 𝑎₀ ve 𝑐₀ formülleri ayrıca verilmiştir. Böyle bir belirsizlik veya tanımsızlık olmadığından eminsek buna gerek yoktur.

3 Dikkat: Bu integralleri hangi periyot üzerinden almak istiyorsak, önce o periyot için sinyalin fonksiyonu yazılmalı, sonra integraller alınmalıdır. Her periyotta fonksiyonun analitik ifadesi değişebilir. Mesela ilk örneğimizde rampa doğru parçalarından orijinden geçenin fonksiyonu 2𝑉𝑡 𝑇⁄ iken, sağa doğru her bir ₀ periyottaki, 2V kadar daha eksiltilmişidir.

Örnek

Şekilde verilen 𝑇₀ ile periyodik sinyali Fourier serisine açmak için, 0 ≤ 𝑡 < 𝑇₀ aralığında

𝑥(𝑡) = {

2𝑉

𝑇0 𝑡 0 ≤ 𝑡 <^𝑇0

2

0 ^𝑇0

2 ≤ 𝑡 < 𝑇₀

fonksiyonunu yazıp, gerçel seri katsayıları formüllerini uygulayalım:

𝑎₀ = 2

𝑇₀∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

0

= 2

𝑇₀ ∫ 2𝑉 𝑇₀ 𝑡𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

+ 2

𝑇₀ ∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇0

𝑇0⁄2

= ∫ 4𝑉 𝑇₀²𝑡𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

= [4𝑉 𝑇₀²

𝑡² 2]

0 𝑇0⁄2

=4𝑉 𝑇₀²

𝑇₀²

8 = 𝑎₀ =𝑉 2 Kısaca, bir üçgenin alanını tam periyoda bölerek 𝑉 4⁄ ortalaması, bunun da 2 katı ile 𝑎₀ bulunabilirdi.

𝜔₀ = 2𝜋 𝑇⁄ olmak üzere ₀ 𝑎_𝑘= 2

𝑇₀∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑘𝜔₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑇₀

0

= 2

𝑇₀ ∫ 2𝑉

𝑇₀ 𝑡 cos(𝑘𝜔⏟ ₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑟 olsun 𝑇₀⁄2

0

+ 2

𝑇₀ ∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇₀

𝑇0⁄2

= 4𝑉

𝑇₀²[𝑡 ∙ 𝑟 − ∫ 𝑟𝑑𝑡]

0 𝑇₀⁄2

𝑘 ≠ 0 şartıyla 𝑟 = 1

𝑘𝜔₀sin(𝑘𝜔₀𝑡) → 𝑎_𝑘= 4𝑉 𝑇₀²[ 𝑡

𝑘𝜔₀sin(𝑘𝜔₀𝑡)]

0 𝑇0⁄2

− 4𝑉

𝑘𝜔₀𝑇₀² ∫ sin(𝑘𝜔₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

𝑘 ≠ 0 şartıyla 𝑎_𝑘 =4𝑉 𝑇₀²

𝑇₀

2𝑘𝜔₀sin(𝑘𝜔₀𝑇₀⁄ ) − 0 +2 4𝑉

𝑘²𝜔₀²𝑇₀²[cos(𝑘𝜔₀𝑡)]₀^𝑇0⁄2 , 𝜔₀𝑇₀= 2𝜋 olduğu için:

𝑘 ≠ 0 şartıyla 𝑎_𝑘 = 4𝑉

4𝑘𝜋sin(𝑘𝜋)⏟

0

+ 4𝑉

4𝑘²𝜋²[cos (𝑘𝜔₀𝑇₀

2) − cos 0] = 𝑉

𝑘²𝜋²[cos(𝑘𝜋)⏟

(−1)^𝑘

− 1]

𝑎_𝑘= {

0 𝑘 ≠ 0 çift ise

−2𝑉

𝑘²𝜋² 𝑘 tek ise → 𝑎₁ = −2𝑉

𝜋² , 𝑎₂ = 0 , 𝑎₃ =−2𝑉

9𝜋² , 𝑎₄ = 0 , 𝑎₅ = −2𝑉 25𝜋² , …

𝑏_𝑘 = 2

𝑇₀∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝜔₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0

0

== 2

𝑇₀ ∫ 2𝑉

𝑇₀ 𝑡 sin(𝑘𝜔⏟ ₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑟 olsun 𝑇0⁄2

0

+ 2

𝑇₀ ∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇0

𝑇0⁄2

=4𝑉

𝑇₀²[𝑡 ∙ 𝑟 − ∫ 𝑟𝑑𝑡]

0 𝑇0⁄2

𝑟 = −1

𝑘𝜔₀cos(𝑘𝜔₀𝑡) → 𝑎_𝑘= 4𝑉 𝑇₀²[−𝑡

𝑘𝜔₀cos(𝑘𝜔₀𝑡)]

0 𝑇₀⁄2

+ 4𝑉

𝑘𝜔₀𝑇₀² ∫ cos(𝑘𝜔₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

𝑏_𝑘 =4𝑉 𝑇₀² ∙ −𝑇₀

2𝑘𝜔₀cos(𝑘𝜔₀𝑇₀⁄ ) − 0 +2 4𝑉

𝑘²𝜔₀²𝑇₀²[sin(𝑘𝜔₀𝑡)]₀^𝑇0⁄2 , 𝜔₀𝑇₀ = 2𝜋 olduğu için:

𝑏_𝑘 = − 4𝑉

4𝑘𝜋cos(𝑘𝜋)⏟

(−1)^𝑘

+ 4𝑉

4𝑘²𝜋²[sin (𝑘𝜔₀𝑇₀ 2)

⏟

sin(𝑘𝜋)=0

− sin 0]

0 𝑇0⁄2

= 𝑉

𝑘𝜋(−1)^𝑘+1

4 𝑏_𝑘 = {

−𝑉

𝑘𝜋 𝑘 çift ise 𝑉

𝑘𝜋 𝑘 tek ise

→ 𝑏₁ = 𝑉

𝜋 , 𝑏₂ = −𝑉

2𝜋 , 𝑏₃ = 𝑉

3𝜋 , 𝑏₄ =−𝑉 4𝜋 , …

Katsayıları yerine yazarsak, gerçel seri:

𝑥(𝑡) =𝑉 4−2𝑉

𝜋²(cos(𝜔₀𝑡)

1² +cos(3𝜔₀𝑡)

3² +cos(5𝜔₀𝑡)

5² + ⋯)+𝑉

𝜋(sin(𝜔₀𝑡)

1 −sin(2𝜔₀𝑡)

2 +sin(3𝜔₀𝑡)

3 − + ⋯) Karmaşık seriye geçiş yaparsak:

𝑐₀ = 𝑎₀

2 = 𝑐₀ =𝑉 4

𝑐_𝑘 =𝑎_𝑘− 𝒋𝑏_𝑘

2 = 𝑐_𝑘 = {

𝒋 𝑉

2𝑘𝜋 𝑘 çift ise

− 𝑉

𝑘²𝜋²− 𝒋 𝑉

2𝑘𝜋 𝑘 tek ise

𝑐_−𝑘 = 𝑐_𝑘^∗ olduğundan, bu formül 𝑘 < 0 için de geçerlidir. Katsayıları yerine yazarsak, karmaşık seri:

𝑥(𝑡) = 𝑉{⋯ + (− 1

9𝜋²+ 𝒋 1

6𝜋) 𝑒^{−𝒋3𝜔0𝑡}− 𝒋 1

4𝜋𝑒^{−𝒋2𝜔0𝑡}+ (− 1

𝜋²+ 𝒋 1

2𝜋) 𝑒^{−𝒋𝜔0𝑡}+1

4+ (− 1

𝜋²− 𝒋 1

2𝜋) 𝑒^{𝒋𝜔0𝑡} + 𝒋 1

4𝜋𝑒^{𝒋2𝜔0𝑡}+ (− 1

9𝜋²− 𝒋 1

6𝜋) 𝑒^{𝒋3𝜔0𝑡}+ ⋯} Örnek

Şekilde verilen 𝑇₀ ile periyodik sinyali Fourier serisine açmak için, 0 ≤ 𝑡 < 𝑇₀ aralığında

𝑦(𝑡) = {𝑉 sin(𝜔₀𝑡) 0 ≤ 𝑡 <^𝑇0

2

0 ^𝑇0

2 ≤ 𝑡 < 𝑇₀

fonksiyonunu yazıp, karmaşık seri katsayıları formüllerini uygulayalım. 𝜔₀ = 2𝜋 𝑇⁄ olmak üzere: ₀

𝑐_𝑘 = 1

𝑇₀∫ 𝑦(𝑡)𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0

0

= 1

𝑇₀ ∫ 𝑉 sin(𝜔₀𝑡) 𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

+ 1

𝑇₀ ∫ 0 ∙ 𝑑𝑡

𝑇0

𝑇₀⁄2

𝑐_𝑘 = 1

𝑇₀ ∫ 𝑉 (𝑒^{𝒋𝜔0𝑡}− 𝑒^{−𝒋𝜔0𝑡}

𝒋2 ) 𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

= 𝑉

𝒋2𝑇₀ ∫ 𝑒^{−𝒋(𝑘−1)𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

− 𝑉

𝒋2𝑇₀ ∫ 𝑒^{−𝒋(𝑘+1)𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

𝑐_𝑘 = 𝑉

−𝒋(𝑘 − 1)𝜔₀𝒋2𝑇₀[𝑒^{−𝒋(𝑘−1)𝜔0𝑡}]

0 𝑇0⁄2

− 𝑉

−𝒋(𝑘 + 1)𝜔₀𝒋2𝑇₀[𝑒^{−𝒋(𝑘+1)𝜔0𝑡}]

0 𝑇0⁄2

, 𝑘 ≠ ∓1 (𝑘 = 0 dahil) 𝜔₀𝑇₀ = 2𝜋 olduğu için:

𝑐_𝑘= 𝑉

4𝜋[𝑒^{−𝒋(𝑘−1)𝜔⏞ 0𝑇0⁄2}

𝜋

− 𝑒⁰

𝑘 − 1 −𝑒^{−𝒋(𝑘+1)𝜔⏞ 0𝑇0⁄2}

𝜋

− 𝑒⁰

𝑘 + 1 ] , 𝑘 ≠ ∓1 (𝑘 = 0 dahil) 𝑒^{−𝒋(𝑘∓1)𝜋} = (−1)^𝑘∓1= (−1)^𝑘−1 olduğundan,

5 𝑐_𝑘= 𝑉

4𝜋[(−1)^𝑘−1− 1] [ 1

𝑘 − 1− 1

𝑘 + 1] = 𝑉

4𝜋[(−1)^𝑘−1− 1] 2

𝑘²− 1 , 𝑘 ≠ ∓1 (𝑘 = 0 dahil)

𝑐_𝑘 = {

−𝑉

𝜋(𝑘²− 1) 𝑘 çift ise 0 𝑘 tek ise (𝑘 ≠ ∓1)

𝑘 = 0 dahil olduğundan 𝑐₀ =𝑉 𝜋

Burada yarım dalga doğrultulmuş sinüzoidal dalganın ortalama değeri (dc bileşeni) 𝑐₀ üzerinde biraz duralım.

Tam dalga doğrultulmuş sinüzoidal dalganın dc bileşeni bunun 2 katı olur. AC voltmetrelerin en ilkel olanları, gerçekten etkin (rms) değer ölçmez; sensörü dc voltmetredir ve ac gerilimi bir diyot ile yarım dalga doğrultarak dc voltmetreden geçirir. Bu değeri rms değere (𝑉 √2⁄ ) dönüştürmek için 𝜋 √2⁄ ≈ 2,2 katsayısıyla çarpılmış olarak göstergeye iletir. Bunları anlamak için ac voltmetre kademesinde dc gerilim, mesela bir pil, ölçeriz. Bir yönde sıfır volt veya diğer yönde dc voltajın 2,2 katını göstermesinden, bunun ilkel bir voltmetre olduğunu anlarız. Bunların ac voltmetre kademesine sinüzoidal dalgalar için güvenebiliriz ama diğer dalgalar için ölçüm geçersizdir. Tam dalga doğrultulmuş sinüzoidal dalganın dc bileşeni bunun 2 katı olur.

Çözüme devam edelim. Henüz 𝑘 = ∓1 için 𝑐_𝑘’yı bulmamıştık. Belirsizlik veya tanımsızlığın ilk çıktığı yerden hemen önceki adımda 𝑘 = 1 yazarak devam edelim:

𝑐₁ = 𝑉

𝒋2𝑇₀ ∫ 𝑒⏟ ^{−𝒋0𝜔0𝑡}

1

𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

− 𝑉

𝒋2𝑇₀ ∫ 𝑒^{−𝒋2𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

= 𝑉

𝒋2𝑇₀ 𝑇₀

2 − 𝑉

𝒋2𝑇₀ ∫ cos(2𝜔⏟ ₀𝑡) − 𝒋 sin(2𝜔₀𝑡)

periyodu 𝑇0⁄ olduğu için2 bu sınırlarda integrali sıfır

𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

𝑐₁ = 𝑉

𝒋4= −𝒋𝑉

4 → 𝑐₋₁ = 𝑐₁^∗ = 𝑐₋₁ = 𝑉

−𝒋4= 𝒋𝑉 4 Bu sinyalin gerçel serisini yazmak bizim için daha anlamlı olacaktır:

𝑎_𝑘 = 2 ∙ ℛ𝑒{𝑐_𝑘} = 𝑎_𝑘 = {

−2𝑉

𝜋(𝑘²− 1) 𝑘 çift ise

0 𝑘 tek ise

, 𝑎₀ = 2𝑉 𝜋

𝑏_𝑘 = −2 ∙ ℐ𝑚{𝑐_𝑘} → 𝑘 ≠ 1 için 𝑏_𝑘 = 0 ve 𝑏₁ =𝑉 2 Katsayılar yerine konulup gerçel seri yazılırsa:

𝑦(𝑡) =𝑉 𝜋+𝑉

2sin(𝜔₀𝑡) −2𝑉

𝜋 (cos(2𝜔₀𝑡)

3 +cos(4𝜔₀𝑡)

15 +cos(6𝜔₀𝑡)

35 + ⋯ )

Dikkat edilirse temel bileşen hariç, ki o da sadece sin terimidir, tek numaralı harmonik yoktur. Bunun sebebini daha sonra belirteceğiz; şimdilik sadece dikkat çekmekle yetinelim.

Simetri özellikleri

1) Sinyal tek ise:

Gerçel seri sadece sin terimlerinden oluşur. Yani gerçel seride 𝑎₀ = 𝑎_𝑘 = 0 ∀𝑘 ve sinyal gerçel ise karmaşık seride 𝑐_𝑘 daima sanal olur. 𝑏_𝑘 integrali ise keyfi bir aralık değil, sıfırdan itibaren yarı periyot üzerinden basitleşir:

6 𝑏_𝑘 = 4

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝜔₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

= 𝒋2𝑐_𝑘

2) Sinyal çift ise:

Seri sadece cos terimlerinden oluşur. Yani gerçel seride 𝑏_𝑘 = 0 ∀𝑘 ve sinyal gerçel ise karmaşık seride 𝑐_𝑘 daima gerçel olur. 𝑎_𝑘 integrali ise keyfi bir aralık değil, sıfırdan itibaren yarı periyot üzerinden basitleşir:

𝑎₀ = 4

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

= 2𝑐₀ , 𝑎_𝑘 = 4

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑘𝜔₀𝑡) 𝑑𝑡

𝑇0⁄2

0

= 2𝑐_𝑘

3) Sinyal tek harmonik simetrili ise:

Bu simetriyi tek sinyallerle karıştırmamak gerekir. Tek harmonik simetrisi, sinyalin her bir yarı periyodunun, komşu yarı periyottakinin zıt işaretlisi olmasıdır:

𝑥(𝑡 +𝑇₀

2) = −𝑥(𝑡) ∀𝑡

Yataydaki kayma bu simetriyi değiştirmez.

Bu sinyallerde sadece tek harmonik bulunur.

Yani çift k ’lar için

𝑎₀ = 𝑐₀ = 𝑎_𝑘 = 𝑏_𝑘 = 𝑐_𝑘 = 0

Tek k ’lar için ise tüm katsayı formüllerindeki integraller herhangi bir yarı periyot için alınıp 2’yle çarpılarak basitleştirilebilir.

Tek harmonik simetrili bir sinyalin ortalama değeri sıfırdır. Elektrik işlerinde karşılaşılan sinyallerin pek çoğu bu simetriye sahiptir. Simetrik kare ve üçgen dalga, trafo boşta çalışma akımı, güç elektroniği devreleri ile kıyılmış pek çok dalga vb.

Dikkat: Bazen sinyal bu simetrilerden birine doğrudan sahip olmasa da, bir sabit farkıyla bu simetrilerin bir veya ikisine sahip bir sinyal cinsinden ifade edilebilir. Bu durumda, sabit terim dışındaki katsayılar için simetri kolaylıklarından faydalanılabilir.

Örnek

Aşağıda solda görülen 𝑇₀= 2𝜋 periyotlu 𝑦(𝑡) sinyali, ne tektir, ne çifttir, ne de tek harmonik simetrilidir. Fakat 1 eksiltilerek elde edilen 𝑥(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 1 sinyali, aşağıda sağda görüldüğü gibi hem tektir, hem de tek harmonik simetrilidir. 𝜔₀ = 2𝜋 𝑇⁄ ₀ = 1

−^𝜋

2 ≤ 𝑡 < ^3𝜋

2 aralığında 𝑥(𝑡) = {

2

𝜋𝑡 −^𝜋

2 ≤ 𝑡 <^𝜋

2

−²

𝜋𝑡 + 2 ^𝜋

2 ≤ 𝑡 <^3𝜋

2

𝑦(𝑡) = 1⏟

𝑎0⁄2

+ ∑ 𝑏_𝑘sin(𝑘𝑡)

+∞

𝑘=1⏟

𝑥(𝑡)

7 Burada 𝑏_𝑘 bulunurken simetri kolaylığından faydalanmak için formüllerde 𝑥(𝑡) sinyali kullanılmalıdır. Aşağıda tek sinyale göre kolaylık formülü solda, tek harmonik simetrisine göre kolaylık formülü sağda verilmiştir. Soldaki iki parçalı, sağdaki tek parçalı integral olduğu için, tek harmonik simetrisine göre olanla devam edelim:

𝑏_𝑘 = 4

2𝜋∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝑡) 𝑑𝑡

𝜋

0

= 4

2𝜋 ∫ 𝑥(𝑡) sin(𝑘𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2⁄

−𝜋 2⁄

𝑏_𝑘 =2

𝜋 ∫ 2

𝜋𝑡 sin(𝑘𝑡) 𝑑𝑡⏟

𝑑𝑟 𝜋 2⁄

−𝜋 2⁄

, 𝑟 = −1

𝑘cos(𝑘𝑡)

𝑏_𝑘 = 4

𝜋²[𝑡 ∙ 𝑟 − ∫ 𝑟𝑑𝑡]

−𝜋 2⁄ 𝜋 2⁄

= 4 𝜋²[−𝑡

𝑘cos(𝑘𝑡)]

−𝜋 2⁄ 𝜋 2⁄

⏟

0

+ 4

𝑘𝜋² ∫ cos(𝑘𝑡) 𝑑𝑡

𝜋 2⁄

−𝜋 2⁄

= 4

𝑘²𝜋²[sin(𝑘𝑡)]_{−𝜋 2}^{𝜋 2⁄}_⁄

𝑏_𝑘 = 4

𝑘²𝜋²[sin(𝑘𝜋 2⁄ ) − sin(−𝑘𝜋 2⁄ )] = 8

𝑘²𝜋²sin(𝑘𝜋 2⁄ ) = 𝑏_𝑘 = {

0 𝑘 çiftse

8

𝑘²𝜋² 𝑘 = 4𝑛 + 1 ise

−8

𝑘²𝜋² 𝑘 = 4𝑛 − 1 ise Katsayılar yerine yazılırsa:

𝑦(𝑡) = 1 + 8

𝜋²(sin(𝑡)

1² −sin(3𝑡)

3² +sin(5𝑡)

5² − + ⋯ )

Parseval Eşitliği (Fourier serileri için)

Akım, gerilim, basınç, kuvvet, hız, elektrik alan, manyetik alan gibi, karesi güç ile orantılı olan sinyaller ile ortalama güç hesabında, “kare ortalamasının karekökü (rms = root mean square)” kullanılır. Parseval eşitliğine göre gerçel bir sinyal için rmsdeğer, her bir frekans bileşeninin rms²’lerinin toplamının kareköküdür. Yani son karekökü almadan (rms² olarak) yazılırsa:

rms² = 1

𝑇₀ ∫ |𝑥(𝑡)|²𝑑𝑡

𝑇0

= 𝑎₀²

4 + ∑𝑎_𝑘²+ 𝑏_𝑘² 2

+∞

𝑘=1

= ∑ |𝑐_𝑘|²

+∞

𝑘=−∞

İspat: Karmaşık seri üzerinden ispatlayalım.

rms² = 1

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡)𝑥^∗(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0

= 1

𝑇₀ ∫ ( ∑ 𝑐_𝑛𝑒^{𝒋𝑛𝜔0𝑡}

+∞

𝑛=−∞

) ( ∑ 𝑐_𝑘𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}

+∞

𝑘=−∞

)

∗

𝑑𝑡

𝑇0

Burada 𝑥(𝑡) ve eşleniği yerine Fourier seri karşılıklarını birinde n diğerinde k indisiyle yazmamızın nedeni, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini kullanırken terimlerin karışmamasıdır.

rms² = ∑ ∑ 𝑐_𝑛𝑐_𝑘^∗ 1

𝑇₀ ∫ 𝑒^{𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0 +∞

𝑘=−∞

+∞

𝑛=−∞

Daha önce gösterildiği gibi

8 1

𝑇₀ ∫ 𝑒^{𝒋(𝑛−𝑘)𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0

= { 1 𝑛 = 𝑘 ise 0 𝑛 ≠ 𝑘 ise

Bunu yerine yazarsak, değişkeni 𝑛 olan toplamın sadece 𝑛 = 𝑘 durumları kalacağından:

rms² = ∑ 𝑐_𝑘𝑐_𝑘^∗

+∞

𝑘=−∞

= ∑ |𝑐_𝑘|²

+∞

𝑘=−∞

 Gerçel seri için ispat ise buradan geçişle bulunabilir.

rms² = ∑ |𝑐_𝑘|²

+∞

𝑘=−∞

= 𝑐₀²+ ∑(𝑐_𝑘𝑐_𝑘^∗ + 𝑐_−𝑘𝑐_−𝑘^∗ )

+∞

𝑘=1

= (𝑎₀ 2)

2

+ ∑ {(𝑎_𝑘− 𝑗𝑏_𝑘) 2

(𝑎_𝑘− 𝑗𝑏_𝑘)^∗

2 +(𝑎_𝑘+ 𝑗𝑏_𝑘) 2

(𝑎_𝑘+ 𝑗𝑏_𝑘)^∗

2 }

+∞

𝑘=1

=𝑎₀²

4 + ∑ {𝑎_𝑘² + 𝑏_𝑘²

4 +𝑎_𝑘² + 𝑏_𝑘²

4 }

+∞

𝑘=1

=𝑎₀²

4 + ∑𝑎_𝑘² + 𝑏_𝑘² 2

+∞

𝑘=1



Örnekler

Sinyal rms değer

𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝐴 cos 𝜙 cos(𝜔𝑡) − 𝐴 sin 𝜙 sin(𝜔𝑡) √(𝐴 cos 𝜙)²+ (−𝐴 sin 𝜙)²

2 = 𝐴

√2

3 + 7 sin(𝜔𝑡) + 8 cos(𝜔𝑡) √3²+7²+ 8²

2

−4 + 10 sin(𝜔₁𝑡 + 60°) + 6 cos(𝜔₁𝑡) − 7 sin(𝜔₂𝑡)

= −4 + (5√3 + 6) cos(𝜔₁𝑡) + 5 sin(𝜔₁𝑡) − 7 sin(𝜔₂𝑡) √4²+(5√3 + 6)²+ 5²+ 7² 2

Periyodik Olmayan Sinyaller İçin Fourier Serisi

Periyodik olmayan bir sinyalin Fourier serisi olmaz. Ancak, bu sinyalin ilgilendiğimiz bir zaman aralığında bu sinyale eşit olan periyodik bir sinyal tanımlarsak, o periyodik sinyalin Fourier serisini, ilgilenilen zaman aralığında periyodik olmayan sinyal için kullanabiliriz.

Örnek

Yandaki periyodik olmayan 𝑥(𝑡) sinyali için, ^−𝑇0

2 ≤ 𝑡 < ^𝑇0

2

aralığında geçerli bir Fourier serisi bulalım.

Bunun için 𝑇₀ ile periyodik ve

−𝑇₀

2 ≤ 𝑡 <^𝑇0

2 ⇒ 𝑥̂(𝑡) = 𝑥(𝑡)

olan bir 𝑥̂(𝑡) sinyali tanımlıyoruz. Bunu karmaşık Fourier serisine açalım. Her ne kadar sinyal çift ise de bu

9 örneğe özel, simetri özelliğini kullanmadan daha kolay bulunmaktadır. 𝜔₀ = 2𝜋 𝑇⁄ olmak üzere ₀

𝑐_𝑘 = 1

𝑇₀ ∫ 𝑥(𝑡)𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0⁄2

−𝑇0⁄2

= 1

𝑇₀ ∫ 1 ∙ 𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇1

−𝑇1

= 1

𝑇₀[𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}

−𝒋𝑘𝜔₀]

−𝑇1 𝑇1

; 𝑘 ≠ 0

𝑐_𝑘= −𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑇1}+ 𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑇1} 𝒋𝑘 𝜔⏟₀𝑇₀

2𝜋

= 𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑇1}− 𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑇1}

𝒋2𝑘𝜋 = 1

𝑘𝜋sin(𝑘𝜔₀𝑇₁) = 𝑐_𝑘 ; 𝑘 ≠ 0

Burada sinc(𝑝) = {

sin 𝑝

𝑝 𝑝 ≠ 0

1 𝑝 = 0 fonksiyon tanımını kullanalım. Dikkat edilirse 𝑝 = 0’daki tanım, 𝑝 → 0 limit değerine eşit olduğundan sinc(𝑝) fonksiyonu süreklidir. p ’nin sıfır hariç, π’nin tam katlarında sıfırdan geçen ve genliği iki yönde azalan bir fonksiyondur.

𝑐_𝑘’yı sinc fonksiyonuyla ifade etmeye çalışalım:

𝑘 ≠ 0 ⇒ 𝑐_𝑘 =sin(2𝑘𝜋 𝑇₁⁄ )𝑇₀ 2𝑘𝜋𝑇₁⁄𝑇₀ ∙2𝑇₁

𝑇₀

𝑐₀ ortalama değer olduğu için 𝑐₀ = 2𝑇₁⁄ olduğu kolayca görülür. Buna göre 𝑘 = 0 da dahil olmak üzere: 𝑇₀ 𝑐_𝑘 = 2𝑇₁

𝑇₀ sinc(2𝑘𝜋 𝑇₁⁄ ) 𝑥̂(𝑡) = ∑ 𝑐𝑇_{0 𝑘}𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}

+∞

𝑘=−∞

Dikkat edilirse 𝑇₀ = 4𝑇₁ olduğunda, 𝑥̂(𝑡) yatayda simetrik bir kare dalga olur. Ayrıca ortalama değeri (1 2⁄ ) kadar eksiltilirse tek harmonik simetrisine de sahip olur. Zaten bu durumda k’nın çift değerlerinde sinc içi π’nin tam katları olur. Yani 𝑐₀ hariç çift k’lar için 𝑐_𝑘 = 0 olur.

Spektrum Çizimleri

Bir büyüklüğün frekansa karşı çizilmesidir. Frekans yerine harmonik numarası kullanılarak ayrık bir çizim de olabilir. [0, +∞) frekans aralığında çizilebileceği gibi, özellikle karmaşık Fourier serisi ve Fourier dönüşümündeki gibi eksi ve artı frekanslar ayrı harmonikler gibi düşünülerek (−∞, +∞) aralığında da çizilebilir.

Mesela bir fotodiyodun hangi frekanslardaki ışığa ne derece duyarlı olduğunun grafiği, LED ışığın hangi renklerde ne kadar yoğunlaştığının grafiği, yükselticinin hangi frekanslara ne kadar kazanç ve faz kayması uyguladığının grafiği gibi.

Örnek: ^x(t)^max





Daha önce yapılan örnekte 𝑉 = 1 ve 𝜔₀ = 1 (𝑇₀= 2𝜋) alınıp adına 𝑥(𝑡) denilmiştir.

Temel bileşen yanda kesikli çizgiyle gösterilmiştir.

Gerçel seri katsayıları 𝑎_𝑘 ve 𝑏_𝑘 çizilebilir:

 











1

0 0

0 cos( ) sin( )

) 2 (

k

k

k k t b k t

a a t

x  

10 Burada 1. harmonik sadece b sin₁ t teriminden ibarettir ve bunun dışında tek harmonik bulunmamaktadır. Bunun da nedeni, eğer bu 1. harmonik sinyalden çıkarılırsa elde kalan kısmın (y(t) x(t)b₁sint) çift harmonik simetrisine ( T y t t

t

y  ) ( ) 

( 2⁰ ) sahip olmasıdır ki bu da aşağıda gösterildiği gibi o kısmın periyodunun T₀ 2 olduğu anlamına gelir. Ayrıca 1. harmonik teriminden başka sin terimi yoktur. Çünkü aşağıdaki şekilden görüldüğü gibi 1. harmonik çıkartılınca kalan kısım y(t) çifttir.

Çift harmonik simetrisi, periyodun ana periyodun 2 katı alınmasıyla aynı anlama gelmektedir.

Böylece ana frekansın hep çift katlarında harmonikler varmış gibi düşünülür. Çift harmonik simetrisi bu yüzden karışıklığa yol açar ve bundan pek bahsedilmez; ancak bu örnekteki gibi bir sinyalin bileşeni olarak anlamı vardır.

İstenirse yandaki gibi her bir harmoniğin genliği olan

2 2

k

k b

a  değerlerini de k ’ya karşı çizebiliriz.

Soldaki gibic_k’nın gerçel ve sanal kısımları da çizilebilir, fakat bu pek tercih edilmez.

11 Genellikle |𝑐_𝑘| ve ∡𝑐_𝑘 açısı (derece) tercih edilir:

Sanal kısım sıfır ise tek bir çizimle c_k çizilebilir. Bunu sıradaki konudaki örnek üzerinde göreceğiz.

FOURİER DÖNÜŞÜMÜ

Fourier Serisinden Fourier Dönüşümüne Geçiş

şekildeki 𝑥̂(𝑡) sinyalinin daha önce bulduğumuz

𝑥̂(𝑡) = ∑ 𝑐_𝑘𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}

+∞

𝑘=−∞

; 𝑐_𝑘 = 2𝑇₁

𝑇₀ sinc(2𝑘𝜋𝑇₁⁄ ) 𝑇₀ karmaşık Fourier seri katsayılarının spektrumunu inceleyelim (𝜔₀ = 2𝜋 𝑇⁄ ). ₀

Gerçel olduğu için c_k katsayılarının spektrumu tek bir çizimle gösterilebilir. Ancak biz şimdi aynı T₁, farklı T₀ değerleri için bu spektrumun nasıl değiştiğine bakalım. Sırasıyla T₀₁ 4T₁, T₀₂ 8T₁ ve T₀₃ 16T₁ için c_k spektrumunu k değerlerine karşı çizelim:

12 Görüldüğü gibi T₀ artarken genlik azalmakta ve spektrum yüksek harmonik numaralarına doğru genişleyerek yayılmaktadır.

Şimdi de bu üç spektrumu yatay ve düşey eksenleri farklı ölçeklerle çizelim. Düşey eksen c_kT₀, yatay eksen ise

0

 k diye adlandıracağımız yeni bir büyüklük olsun. Çizimler arasında T₀ değişirken ₀ da değişecek fakat T1 değişmeyecektir. Bu yüzden T₁ değerine göre büyüklükleri karşılaştırmak yerinde olacaktır. Önceki üç ve sonraki üç grafikteki eksenlerdeki sayısal değerler T₁ 1 içindir.

13









 

1

0

2 T sinc 2 k T T 2 T sinc k T 2 T sinc T T

c

     

olacaktır. Çizimler şöyle olur:

Görüldüğü gibi T₀ artarken c_kT₀, genliği ve genişliği aynı olan bir zarf fonksiyonuna yakınsamaktadır.



0 

T ’a giderken bu kesikli çizim, sürekli bir fonksiyona yakınsar. İşte bu fonksiyon, T₀  durumunda artık periyodik olmayan x(t)’nin Fourier dönüşümü olarak tanımlanır.

14 Yani aşağıda soldaki x(t) sinyalinin Fourier dönüşümü sağdaki 𝑋(𝜔) fonksiyonudur:

Fourier Dönüşümü ve Ters Fourier Dönüşümü, Anlam ve Formülleri

Periyodik sinyallerin içindeki frekans bileşenlerinin, ana frekansın tam katı frekanslarda olduğunu Fourier serileri ile görmüştük. Peki periyodik olmayan sinyaller için frekans bileşenlerinden bahsedilebilir mi? Mesela bir arabanın taşlı bir yolda giderken maruz kaldığı titreşimlerin frekansından bahsedebilir miyiz? Bu titreşimler periyodik değildir, ancak araba hızlanırsa kuşkusuz titreşimler sıklaşacaktır. “Sıklık” kelimesinin eş anlamlısı

“frekans” olduğuna göre demek ki bahsedebilmeliyiz.

Periyodik olmayan bir 𝑥(𝑡) sinyali için bir Fourier serisi kullanabilmek için, ilgilendiğimiz aralıkta o sinyale eşit, o aralığın dışında da periyodik bir 𝑥̂(𝑡) sinyali tanımlayıp onun Fourier serisini ilgilendiğimiz aralık için ilk sinyal yerine kullanabiliyorduk. 𝑥̂(𝑡) sinyalini, (− 𝑇₀⁄ , 𝑇2 ₀⁄ ) aralığında 𝑥(𝑡) ’ye eşit ve 𝑇2 ₀ ile periyodik olarak tanımlarsak, ve lim 𝑇₀ → ∞ için 𝑥̂(𝑡)’yi Fourier serisine açarsak, tüm zamanlarda 𝑥(𝑡)’ye eşit olacağından, aradığımız frekans bileşenlerini bulacağımızı düşünebiliriz. Ancak bu durumda ana frekans 𝜔₀ = 2𝜋 𝑇⁄ sonsuz ₀ küçük olacağından, bunun katlarındaki frekans bileşenleri sonsuz küçük frekans adımlarıyla bulunacaktır. Bu iyi bir şeydir; 𝑘𝜔₀ = 𝜔 tanımıyla sürekli bir frekans değişkenine göre incelemek mümkün olur. Fakat lim 𝑇₀ → ∞ için seri katsayıları, yani frekans bileşenlerinin katsayıları da genellikle sonsuz küçük olacaktır. Farklı sinyallerin frekans bileşenlerini karşılaştırmak için bu haliyle kullanışsızdır. Ama katsayıların 𝑇₀ ile çarpılması, onları karşılaştırılabilir büyüklüklere getireceğinden, 𝑥̂(𝑡) ’nin karmaşık Fourier seri katsayılarının 𝑇₀ ile çarpımı olan 𝑐_𝑘𝑇₀ ’ın 𝜔 = 𝑘𝜔₀ = 2𝑘𝜋 𝑇⁄ tanımıyla lim 𝑇_{0 0} → ∞ hali, ilk sinyalimiz 𝑥(𝑡) ’nin Fourier dönüşümü olarak tanımlanır ve 𝑋(𝜔) şeklinde gösterilir.

𝑐_𝑘𝑇₀ = ∫ 𝑥̂(𝑡)⏟

𝑥(𝑡)

𝑒^{−𝒋𝑘𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇0⁄2

−𝑇0⁄2

→ ℱ{𝑥(𝑡)} = 𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒^{−𝒋𝜔𝑡}𝑑𝑡

+∞

𝑡=−∞

Dikkat: Fourier dönüşümü, Fourier serisinin limit hali değildir! Seri katsayılarının limit halinin yatay ve düşey eksenlerde ölçeklendirilmiş halidir. Fourier serisinin limit hali ise ters Fourier (ℱ⁻¹) dönüşümü olarak tanımlanır.

𝑥̂(𝑡) = ∑ 𝑐_𝑘𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}

+∞

𝑘=−∞

= 1

2𝜋 ∑ (𝑐_𝑘𝑇₀)𝑒^{𝒋𝑘𝜔0𝑡}2𝜋 𝑇₀

⏟

𝜔0 +∞

𝑘=−∞

𝜔 = 𝑘𝜔₀ ve lim 𝑇₀ → ∞ için, 𝑥̂(𝑡) → 𝑥(𝑡) , (𝑐_𝑘𝑇₀) → 𝑋(𝜔) , 𝜔₀ → 𝑑𝜔 (𝜔’daki sonsuz küçük bir adımlık değişim) ve

∑ →

+∞

𝑘=−∞

∫

+∞

𝜔=−∞

olacağından,

ℱ⁻¹{𝑋(𝜔)} = 𝑥(𝑡) = 1

2𝜋 ∫ 𝑋(𝜔)𝑒^𝒋𝜔𝑡𝑑𝜔

+∞

𝜔=−∞

15 𝑥(𝑡) ile 𝑋(𝜔) arasındaki ilişki, şu şekillerde de gösterilebilir:

Fourier dönüşümü, periyodik olan veya olmayan sinyallerin frekans analizi için kullanılır. Zaman uzayındaki (domain = tanım kümesi) bir sinyalin, frekans uzayındaki (domenindeki) karşılığını verir. Dönüşüm genellikle aynı fonksiyon sembolünün büyük harfle yazılmasıyla gösterilir. Frekans uzayında zaman değişkeni yoktur, frekans değişkeni 𝜔 vardır (rad/s).

Fourier dönüşümünün kutupsal gösterimdeki mutlak değeri ve açısı sırasıyla, sinyalin frekans bileşenlerinin hangi frekansta ne kadar yoğunlaştığını ve ne kadar faz kaymasına maruz kaldığını verir. 𝑥(𝑡) ’deki yavaş değişen bileşenler, |𝑋(𝜔)| ’da sıfır frekans civarında kendini gösterir. Hızlı değişen bileşenler ise |𝑋(𝜔)| ’da + – yüksek frekanslarda kendini gösterir.

Örnek 1:

ℜ𝑒{𝑎} > 0 olmak üzere 𝑥(𝑡) = 𝑒^−𝑎𝑡𝑢(𝑡) sinyalinin Fourier dönüşümünü bulalım:

ℱ{𝑒^−𝑎𝑡𝑢(𝑡)} = 𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒^{−𝒋𝜔𝑡}𝑑𝑡

+∞

𝑡=−∞

= ∫ 𝑒^−𝑎𝑡 𝑢(𝑡)⏟

𝑡<0⇒0 𝑡≥0⇒1

𝑒^{−𝒋𝜔𝑡}𝑑𝑡

+∞

𝑡=−∞

= ∫ 𝑒^{−(𝑎+𝒋𝜔)𝑡}𝑑𝑡

+∞

𝑡=0

𝑋(𝜔) = [ 𝑒^{−(𝑎+𝒋𝜔)𝑡}

−(𝑎 + 𝒋𝜔)]

𝑡=0 +∞

= 1

(𝑎 + 𝒋𝜔)− 1

(𝑎 + 𝒋𝜔)( lim

𝑡→+∞𝑒^{−(𝑎+𝒋𝜔)𝑡})

⏟

𝑒^{−ℜ𝑒{𝑎}∙∞}∙𝑒⏟ ^{−𝒋𝜔𝑡} sonlu

=0

𝑋(𝜔) = ℱ{𝑒^−𝑎𝑡𝑢(𝑡)} = 1

𝑎 + 𝒋𝜔 ℜ𝑒{𝑎} > 0 Örnek 2:

ℜ𝑒{𝑎} > 0 olmak üzere 𝑦(𝑡) = 𝑒^{−𝑎|𝑡|} sinyalinin Fourier dönüşümünü bulalım:

ℱ{𝑒^{−𝑎|𝑡|}} = 𝑌(𝜔) = ∫ 𝑒^{−𝑎|𝑡|}𝑒^{−𝒋𝜔𝑡}𝑑𝑡

+∞

𝑡=−∞

= ∫ 𝑒^{(𝑎−𝒋𝜔)𝑡}𝑑𝑡

0

𝑡=−∞

+ ∫ 𝑒^{−(𝑎+𝒋𝜔)𝑡}𝑑𝑡

+∞

𝑡=0⏟

1 (𝑎+𝑗𝜔)⁄

𝑌(𝜔) = 1

(𝑎 + 𝒋𝜔)+ [𝑒^{(𝑎−𝒋𝜔)𝑡} 𝑎 − 𝒋𝜔]

𝑡=−∞

0

= 1

(𝑎 + 𝒋𝜔)+ 1

(𝑎 − 𝒋𝜔)(1 − lim

𝑡→−∞𝑒^{(𝑎−𝒋𝜔)𝑡}

⏟

0

)

𝑌(𝜔) = 1

𝑎 + 𝒋𝜔+ 1

𝑎 − 𝒋𝜔= 2𝑎 𝑎²+ 𝜔²

Şimdi son iki örnekteki iki sinyali, hem zaman hem frekans uzaylarında karşılaştıralım. Gerçel a için 𝑌(𝜔) gerçel olduğundan tek bir çizimle gösterilebilir. 𝑋(𝜔) ise karmaşık olduğundan kutupsal gösterimdeki mutlak değeri

|𝑋(𝜔)| ve açısı ∡𝑋(𝜔) ile gösterilecektir.

16 𝑦(𝑡) sinyali, 𝑥(𝑡) sinyalinin sıfırdan farklı kısmının simetriğini de içerdiği için, yavaş değişen bileşenleri 𝑥(𝑡)’dekinin 2 katıdır. Bu yüzden sıfır frekansta |𝑌(0)| = 2 ∙ |𝑋(0)| .

𝑦(𝑡) sinyali ani değişim içermemektedir; sadece 𝑡 = 0’daki türevinde ani değişim vardır. 𝑥(𝑡) sinyali ise 𝑡 = 0 anında ani değişim gösterdiği için hızlı değişen bileşenleri 𝑦(𝑡)’dekinden daha çoktur. Bu yüzden artı ve eksi yüksek frekanslarda |𝑋(𝜔)| > |𝑌(𝜔)| .

Fourier Dönüşümünün Mevcudiyeti için Şartlar

Fourier dönüşümü için Drichlet şartları denilen şu 4 şartın tümünü sağlayan sinyallerin Fourier dönüşümü alınabilir:

1) ∫ |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡

+∞

−∞

< ∞ (yani sonlu) olmalı. Mesela 𝑢(𝑡) gibi olmamalı.

2) ∫ |𝑥(𝑡)|²𝑑𝑡

+∞

−∞

< ∞ olmalı. Mesela 𝛿(𝑡) gibi olmamalı.

3) Her sonlu zaman aralığındaki ekstremum (maksimum, minimum ve büküm) nokta sayısı sonlu olmalı.

4) Her sonlu zaman aralığındaki süreksizlik nokta sayısı sonlu olmalı.

Bunlar yeterlilik şartlarıdır, gereklilik değil. Bu şartları sağlamayan bazı sinyallerin de Fourier dönüşümü alınabilmektedir. Mesela bahsi geçen 𝑢(𝑡) ve 𝛿(𝑡) sinyalleri tüm şartları sağlamasa da Fourier dönüşümleri mevcuttur.

…….