ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
GEOMETRĠ DEĞĠġĠMLERĠ BAKIMINDAN DOĞRUSAL OLMAYAN KUTU KESĠTLĠ KÖPRÜLERĠN DÜZLEM VE EĞRĠSEL KALIN KABUK
SONLU ELEMANLARLA STATĠK VE SERBEST TĠTREġĠM HESABI
DOKTORA TEZĠ
Ülkü Hülya ÇALIK KARAKÖSE
Anabilim Dalı : ĠnĢaat Mühendisliği Programı : Yapı Mühendisliği
MAYIS 2010
ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
DOKTORA TEZĠ
Ülkü Hülya ÇALIK KARAKÖSE (501022014)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 08 ġubat 2010 Tezin Savunulduğu Tarih : 20 Mayıs 2010
Tez DanıĢmanı : Prof. Dr. Engin ORAKDÖĞEN (ĠTÜ) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Ahmet IĢın SAYGUN (ĠTÜ)
Prof. Dr. Vahit MERMERTAġ (ĠTÜ) Prof. Dr. Tuncer ÇELĠK (Beykent Ü.) Yrd. Doç. Dr. Mecit ÇELĠK (ĠTÜ)
GEOMETRĠ DEĞĠġĠMLERĠ BAKIMINDAN DOĞRUSAL OLMAYAN KUTU KESĠTLĠ KÖPRÜLERĠN DÜZLEM VE EĞRĠSEL KALIN KABUK
iii ÖNSÖZ
ÇalıĢmalarım süresince benden yardım ve desteklerini esirgemeyen değerli hocalarım Sayın Prof. Dr. Engin ORAKDÖĞEN ve Sayın Prof. Dr. Ahmet IĢın SAYGUN’a, Yapı Statiği ÇalıĢma Grubu’nun değerli öğretim üyelerine ve çalıĢma arkadaĢlarıma en içten teĢekkürlerimi sunarım.
Ayrıca, baĢta çalıĢmalarımın en yoğun olduğu dönemde kızımla ilgilenen annem Nigar ÇALIK ve ablam Mak.Yük. Müh. Hilal ÇALIK ÖZDEMĠR olmak üzere manevi destekleriyle her zaman yanımda olan aileme teĢekkürü bir borç bilirim.
v ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖNSÖZ ... iii ĠÇĠNDEKĠLER ... v
ÇĠZELGE LĠSTESĠ ... vii
ġEKĠL LĠSTESĠ ... ix
SEMBOL LĠSTESĠ ... xiii
ÖZET ... xvii
SUMMARY ... xix
1. GĠRĠġ ... 1
1.1 Konu ... 1
1.2 Konu ile Ġlgili ÇalıĢmalar ... 3
1.3 ÇalıĢmanın Amacı ve Kapsamı ... 10
2. KUTU KESĠTLĠ KÖPRÜLERĠN HESABI ĠÇĠN DĠKDÖRTGEN VE EĞRĠSEL KALIN KABUK VE DÖRTGEN LEVHA SONLU ELEMANLAR ... 13
2.1 Dikdörtgen Kalın Kabuk Sonlu Eleman ... 13
2.1.1 Düğüm noktaları serbestlik dereceleri ve elemanda yerdeğiĢtirme fonksiyonları ... 13
2.1.2 Ġnce kabuk sonlu eleman ĢekildeğiĢtirme yüzeyi ... 17
2.1.3 Kaymaya bağlı ĢekildeğiĢtirme yüzeyi ... 21
2.1.4 Ġnce kabuk elemanda kesit zorları - uç yerdeğiĢtirmeleri arasındaki bağıntılar ... 22
2.1.5 Ġnce kabuk eleman rijitlik matrisi ... 24
2.1.6 Kayma elemanı rijitlik matrisi ... 26
2.1.7 Kalın kabuk eleman rijitlik ve ĢekildeğiĢtirme matrisleri ... 27
2.1.8 II. mertebe rijitlik matrisi ... 30
2.1.9 Eleman kütle matrisi ... 36
2.2 Koni Sektörü Kalın Kabuk Sonlu Eleman ... 39
2.2.1 Düğüm noktaları serbestlik dereceleri ve elemanda yerdeğiĢtirme fonksiyonları ... 40
2.2.2 Ġnce kabuk sonlu eleman ĢekildeğiĢtirme yüzeyi ... 42
2.2.3 Kaymaya bağlı ĢekildeğiĢtirme yüzeyi ... 45
2.2.4 Ġnce kabuk elemanda kesit zorları - uç yerdeğiĢtirmeleri arasındaki bağıntılar ... 47
2.2.5 Ġnce kabuk eleman rijitlik matrisi ... 48
2.2.6 Kayma elemanı rijitlik matrisi ... 51
2.2.7 Kalın kabuk eleman rijitlik ve ĢekildeğiĢtirme matrisleri ... 52
2.2.8 II. mertebe rijitlik matrisi ... 53
2.2.9 Eleman kütle matrisi ... 55
vi
2.3.1 Elemanda düğüm noktaları serbestlik dereceleri ve Ģekil fonksiyonları ... 56
2.3.2 Eleman rijitlik matrisi ... 60
2.3.3 Eleman kütle matrisi ... 62
3. KUTU KESĠTLĠ KÖPRÜLERĠN MATRĠS YERDEĞĠġTĠRME YÖNTEMĠYLE HESABI ... 63
3.1 Makroeleman Rijitlik ve Yükleme Matrislerinin Kurulması ... 63
3.2 Sistem Rijitlik Matrisinin Ġndirgenmesi ... 65
3.3 Düğüm Noktaları DıĢ Kuvvetleri ve Sınır KoĢullarının Belirlenmesi ... 66
3.4 Yerine Koyma ĠĢlemi ... 67
3.5 Eleman Kesit Zorlarının Hesabı ... 68
3.6 Burkulma Yükünün Belirlenmesi ... 68
3.7 Serbest TitreĢim Özel Frekans ve Modlarının Belirlenmesi ... 69
4. BĠLGĠSAYAR PROGRAMI ... 71
4.1 Genel Bilgiler ... 71
4.2 Programların Yapısı ve ÇalıĢma Düzeni ... 71
4.3 Programın Kullanılması ... 78
4.3.1 GiriĢ bilgileri ... 78
4.3.2 ÇıkıĢ bilgileri ... 80
5. SAYISAL ÖRNEKLER ... 85
5.1 Eksenel Yük Etkisindeki Basit Mesnetli KiriĢ ... 85
5.2 Çok Parçalı Basınç Çubuğu ... 86
5.3 Ġki Ucu Ankastre Mesnetli Tabakalı KiriĢ ... 91
5.4 Eksenel Basınç Etkisindeki Dairesel Plak ... 97
5.5 Doğru Eksenli Tek Gözlü Kutu Kesitli Köprü ... 101
5.6 Eğri Eksenli Tek Gözlü Kutu Kesitli Köprü ... 117
6. SONUÇLAR ... 123
KAYNAKLAR ... 129
ÖZGEÇMĠġ ... 133
vii
ÇĠZELGE LĠSTESĠ
Sayfa Çizelge 2.1 : Dikdörtgen sonlu elemana ait yardımcı fonksiyonlar ve
sınır koĢulları.. ... 18
Çizelge 2.2 : Koni sektörü sonlu elemana ait yardımcı fonksiyonlar ve sınır koĢulları ... 43
Çizelge 2.3 : Gauss integral noktaları ve ağırlık katsayıları. ... 50
Çizelge 5.1 : Çok parçalı basınç çubuğuna ait burkulma yükleri ... 91
Çizelge 5.2 : Çok parçalı basınç çubuğunun yatay yerdeğiĢtirmeleri ... 91
Çizelge 5.3 : Ġki ucu ankastre kiriĢin düĢey yerdeğiĢtirmeleri ... 95
Çizelge 5.4 : Ġki ucu ankastre kiriĢin burkulma yükleri... 97
Çizelge 5.5 : Dairesel plağın burkulma yüklerinin karĢılaĢtırılması ... 100
Çizelge 5.6 : I. ve II. mertebe teorilerine göre köprü orta kesitindeki düĢey yerdeğiĢtirmeler, (m) ... 103
Çizelge 5.7 : Orta kesite ait kesit zorları, (kN/m)... 104
Çizelge 5.8 : Orta kesite ait kesit zorları, (kNm/m). ... 105
Çizelge 5.9 : Köprü kendi ağırlığı altında orta kesitteki düĢey yerdeğiĢtirmeler, (m) ... 106
Çizelge 5.10 : 4 düğüm noktasının köprü boyunca düĢey yerdeğiĢtirmeleri, (m). .. 108
Çizelge 5.11 : 8 düğüm noktasının köprü boyunca kesit zorları değiĢimi, (kN/m) ... 109
Çizelge 5.12 : 8 düğüm noktasının köprü boyunca kesit zorları değiĢimi, (kNm/m) ... 109
Çizelge 5.13 : Doğru eksenli köprünün T doğal titreĢim periyotları, (sn) ... 110
Çizelge 5.14 : Doğru eksenli köprünün diyaframsız, 2 diyaframlı ve 4 diyaframlı durumlarına ait T doğal titreĢim periyotları, (sn) ... 112
Çizelge 5.15 : P=1000kN’luk eksantrik yük altında köprü orta kesitindeki düĢey yerdeğiĢtirmeler, (m) ... 118
Çizelge 5.16 : Kendi ağırlığı altında köprü orta kesitindeki düĢey yerdeğiĢtirmeler, (m) ... 119
ix
ġEKĠL LĠSTESĠ
Sayfa
ġekil 2.1 : Doğru eksenli kutu kesitli kiriĢ ve sonlu eleman ağı... 14
ġekil 2.2 : Dikdörtgen sonlu eleman ve düğüm noktası serbestlikleri. ... 14
ġekil 2.3 : Dikdörtgen sonlu elemanın düzlem içi ve düzleme dik serbestlikleri. 15 ġekil 2.4 : Levha sonlu eleman ve serbestlikleri ... 16
ġekil 2.5 : Konsol kiriĢ. ... 16
ġekil 2.6 : 16 ve 12 serbestlikli plak sonlu elemanlar. ... 17
ġekil 2.7 : 28 serbestlik dereceli dikdörtgen kabuk sonlu eleman … ... 19
ġekil 2.8 : Kayma elemanı ... 21
ġekil 2.9 : Eğri eksenli kutu kesitli kiriĢ ve sonlu eleman ağı. ... 40
ġekil 2.10 : Koni sektörü sonlu eleman. ... 40
ġekil 2.11 : 28 serbestlik dereceli koni sektörü kabuk sonlu eleman. ... 44
ġekil 2.12 : Koni sektörü kayma elemanı … ... 46
ġekil 2.13 : Levha sonlu elemanın kiriĢ enkesitinde kullanımı. ... 56
ġekil 2.14 : Genel dörtgen levha sonlu eleman ve serbestlikleri. ... 57
ġekil 2.15 : konvansiyonel bilineer öteleme ve ilave yerdeğiĢtirmesi. ... 58
ġekil 3.1 : bağıntısı ... 69
ġekil 4.1 : KUTU ana programının akıĢ diyagramı ... 72
ġekil 4.2 : KUTU01 alt programının akıĢ diyagramı ... 75
ġekil 4.3 : KUTU02 alt programının akıĢ diyagramı ... 76
ġekil 4.4 : KUTU03 alt programının akıĢ diyagramı ... 77
ġekil 4.5 : KAYMA alt programının akıĢ diyagramı ... 78
ġekil 4.6 : KUTU11 alt programının akıĢ diyagramı ... 81
ġekil 4.7 : KUTU12 alt programının akıĢ diyagramı ... 82
ġekil 4.8 : KUTU13 alt programının akıĢ diyagramı ... 83
ġekil 5.1a : 6 makroelemanlı doğru eksenli açık kesitli kiriĢ ... 85
ġekil 5.1b : Doğru eksenli çelik kiriĢ enkesiti ... 85
ġekil 5.1c : 6 elemanlı çelik kiriĢ enkesiti ... 86
ġekil 5.2a : Çok parçalı basınç çubuğu ... 87
ġekil 5.2b : Çok parçalı basınç çubuğu enkesiti ... 87
ġekil 5.2c : Çok parçalı basınç çubuğu görünüĢü ... 88
ġekil 5.2d : Ġki mafsal arasındaki rölatif yerdeğiĢtirmesi ... 88
ġekil 5.3 : 6 elemanlı basınç çubuğunun modellenmesi ... 90
ġekil 5.4a : Ġki ucu ankastre tabakalı kiriĢ ... 92
ġekil 5.4b : Tabakalı kiriĢ enkesit özellikleri ... 92
ġekil 5.5 : Tabakalı kiriĢ enkesiti ... 92
ġekil 5.6 : durumu için birim yerdeğiĢtirme sabitleri ... 95
ġekil 5.7 : Eksenel basınç etkisindeki dairesel plak ... 97
ġekil 5.8a : 4 elemanlı dairesel plak ... 98
ġekil 5.8b : 8 elemanlı dairesel plak ... 98
x
ġekil 5.9a : 12 elemanlı dairesel plak ... 99
ġekil 5.9b : 24 elemanlı dairesel plak ... 99
ġekil 5.9c : 48 elemanlı dairesel plak ... 99
ġekil 5.10a : Doğru eksenli köprü yan görünüĢü ... 101
ġekil 5.10b : Doğru eksenli köprü planı ... 101
ġekil 5.10c : Doğru eksenli köprü enkesiti ... 101
ġekil 5.11a : 4 makroelemanlı doğru eksenli köprü ... 102
ġekil 5.11b : 6 makroelemanlı doğru eksenli köprü ... 102
ġekil 5.11c : 8 makroelemanlı doğru eksenli köprü ... 102
ġekil 5.12a : 8 elemanlı köprü enkesiti ... 102
ġekil 5.12b : 14 elemanlı köprü enkesiti ... 102
ġekil 5.13 : 2 adet rijitleĢtirici diyaframlı köprü kiriĢi ... 107
ġekil 5.14 : 4 adet rijitleĢtirici diyaframlı köprü kiriĢi ... 107
ġekil 5.15 : 4 düğüm noktasının köprü boyunca düĢey yerdeğiĢtirmeleri ... 108
ġekil 5.16 : 8 düğüm noktasının köprü boyunca kesit zorları değiĢimi ... 109
ġekil 5.17 : 8 düğüm noktasının köprü boyunca kesit zorları değiĢimi ... 110
ġekil 5.18a : 4 makroelemanlı çözüme ait 1. mod Ģekli (diyaframsız) (T=3.1614 sn) ... 111
ġekil 5.18b : 4 makroelemanlı çözüme ait 2. mod Ģekli (diyaframsız) (T=1.4769 sn) ... 111
ġekil 5.18c : 4 makroelemanlı çözüme ait 3. mod Ģekli (diyaframsız) (T=1.3544 sn) ... 111
ġekil 5.18d : 4 makroelemanlı çözüme ait 4. mod Ģekli (diyaframsız) (T=1.0436 sn) ... 112
ġekil 5.19a : 6 makroelemanlı çözüme ait 1. mod Ģekli (diyaframsız) (T=3.1806 sn) ... 113
ġekil 5.19b : 6 makroelemanlı çözüme ait 2. mod Ģekli (diyaframsız) (T=1.4810 sn) ... 113
ġekil 5.19c : 6 makroelemanlı çözüme ait 3. mod Ģekli (diyaframsız) (T=1.3551 sn) ... 113
ġekil 5.19d : 6 makroelemanlı çözüme ait 4. mod Ģekli (diyaframsız) (T=0.9771 sn) ... 114
ġekil 5.20a : 6 makroelemanlı çözüme ait 1. mod Ģekli (2 diyaframlı) (T=3.1220 sn) ... 114
ġekil 5.20b : 6 makroelemanlı çözüme ait 2. mod Ģekli (2 diyaframlı) (T=1.3550 sn) ... 114
ġekil 5.20c : 6 makroelemanlı çözüme ait 3. mod Ģekli (2 diyaframlı) (T=1.0030 sn) ... 115
ġekil 5.20d : 6 makroelemanlı çözüme ait 4. mod Ģekli (2 diyaframlı) (T=0.7676 sn) ... 115
ġekil 5.21a : 6 makroelemanlı çözüme ait 1. mod Ģekli (4 diyaframlı) (T=2.8240 sn) ... 115
ġekil 5.21b : 6 makroelemanlı çözüme ait 2. mod Ģekli (4 diyaframlı) (T=1.3695 sn) ... 116
ġekil 5.21c : 6 makroelemanlı çözüme ait 3. mod Ģekli (4 diyaframlı) (T=1.0068 sn) ... 116
ġekil 5.21d : 6 makroelemanlı çözüme ait 4. mod Ģekli (4 diyaframlı) (T=0.7592 sn) ... 116
ġekil 5.22a : 6 Makroelemanlı eğri eksenli köprü yan görünüĢü ... 117
xi
ġekil 5.22c : Eğri eksenli köprü enkesiti… ... 118
ġekil 5.23 : 6 elemanlı köprü enkesiti ... 118
ġekil 5.24a : 6 makroelemanlı çözüme ait 1. mod Ģekli (T=0.9748 sn) ... 120
ġekil 5.24b : 6 makroelemanlı çözüme ait 2. mod Ģekli (T=0.8058 sn) ... 120
ġekil 5.24c : 6 makroelemanlı çözüme ait 3. mod Ģekli (T=0.2987 sn) ... 120
ġekil 5.24d : 6 makroelemanlı çözüme ait 4. mod Ģekli (T=0.2248 sn) ... 121
xiii
SEMBOL LĠSTESĠ
: Kayma ĢekildeğiĢtirmelerine bağlı birim durum fonksiyonları matrisi
: Birim durum fonksiyonları matrisi
: Birim yerdeğiĢtirme durumlarında göz önüne alınan ĢekildeğiĢtirme matrisi
: Malzeme matrisi
: Kayma elemanına ait fleksibilite matrisi : Jakobyen matris
: II.mertebe etkileri rijitlik matrisi : Eleman rijitlik matrisi
: Kalın kabuk sonlu eleman rijitlik matrisi
: II. mertebe teorisine ait kalın kabuk sonlu eleman rijitlik matrisi : Kayma elemanı rijitlik matrisi
: Eleman kütle matrisi : Kesit zorları matrisi
: Kalın kabuk sonlu elemana ait kesit zorları matrisi : DönüĢtürme matrisleri
: Sistemin dıĢ yükler altındaki denge durumundan itibaren uç yerdeğiĢtirme parametrelerinin aldığı değerler
: ġekildeğiĢtirme matrisi
: Koni sektörünün doğrusal kenar uzunluğu, dikdörtgen elemanın doğrultusundaki kenar uzunluğu
: Dikdörtgen elemanın doğrultusundaki kenar uzunluğu : Eğilme ĢekildeğiĢtirmelerine bağlı plak uç yerdeğiĢtirmeleri : Kayma ĢekildeğiĢtirmelerine bağlı plak uç yerdeğiĢtirmeleri : Uç yerdeğiĢtirmelerinin birim değerlerine karĢı gelen kübik yerdeğiĢtirme fonksiyonları
: Plak kalınlığı
: Uç yerdeğiĢtirmelerinin birim değerlerine karĢı gelen doğrusal yerdeğiĢtirme fonksiyonları
: Sonlu elemanın birim alan kütlesi
, : Kesit zorları bileĢenlerinin yük parametresine oranları : Paralel dairesinin yarıçapı
: Dikdörtgen sonlu eleman eksen takımı : Koni sektörü sonlu eleman eksen takımı
, , : Plak ortalama yüzeyinde koordinatlar doğrultusundaki yerdeğiĢtirme bileĢenleri
: Ötelemeden kaynaklanan konvansiyonel bilineer öteleme : Düzlem içi rijit dönme hareketinden kaynaklanan ilave yerdeğiĢtirme
xiv
: Ortalama yüzeyin kayma ĢekildeğiĢtirmelerinden dolayı oluĢan çökmesi
: Elastisite modülü : EĢdeğer eğilme rijitliği : Kayma modülü
: EĢdeğer kayma rijitliği
: Sayısal integrasyon ağırlık katsayıları : Ġç kuvvetlerin iĢi
: eksenine göre atalet momenti : eksenine göre atalet momenti
: doğrultusundaki eğilme momenti : Burulma momenti
: doğrultusundaki eğilme momenti
: Genel dörtgen sonlu elemanda ve yerdeğiĢtirmeleri için kullanılan Ģekil fonksiyonları
: dairesel plağın kritik basıncı : burkulma yükü
, , : Dikdörtgen sonlu elemana ait normal kuvvetler , , : Koni sektörü sonlu elemana ait normal kuvvetler
: Genel dörtgen sonlu elemanda dönme bileĢenleri Ģekil fonksiyonları : Yük parametresi
: Eleman uç kuvveti, tekil kuvvet
: Koni sektörü sonlu elemanda dıĢ yarıçap : Koni sektörü sonlu elemanda iç yarıçap
: Koni sektörü sonlu elemanda baĢlangıç noktasına ait paralel dairesi yarıçapı
: Doğal titreĢim periyodu
: Koni sektörü sonlu elemanın kesme kuvvetleri : Dikdörtgen sonlu elemanın kesme kuvvetleri
: Düğüm noktalarında kayma ĢekildeğiĢtirmelerine bağlı rölatif çökmeler
: yerdeğiĢtirmesinin doğrultusundaki değiĢimi : Ortalama yüzeyin ekseni etrafında dönmesi : Ortalama yüzeyin ekseni etrafında dönmesi : Kayma ĢekildeğiĢtirmesi
: ekseni doğrultusundaki ĢekildeğiĢtirme : ekseni doğrultusundaki ĢekildeğiĢtirme
: doğrultusundaki ĢekildeğiĢtirme
: Genel dörtgen sonlu elemanın düzlem içi dönmesi
: Koni sektörü sonlu elemanda kayma ĢekildeğiĢtirmelerine bağlı yerdeğiĢtirme fonksiyonları
: Koni sektörü sonlu elemanda uç yerdeğiĢtirmelerinin birim değerlerine karĢı gelen trigonometrik yerdeğiĢtirme fonksiyonları
: Kartezyen koordinatlardaki eğrilikler : Koni sektörünün merkez açısı
: Poisson oranı
: Ġzoparametrik koordinatlar : Burulma eğriliği
xv
: Sistemin açısal frekansı
: Koni sektörü sonlu elemanın eğim açısı : Sonlu eleman kütle yoğunluğu
: Ġki mafsal arasındaki rölatif yerdeğiĢtirme : Kayma ĢekildeğiĢtirme enerjisi
: Birim kayma
: dönmesinden dolayı düğüm noktasında meydana gelen moment : dönmesinden dolayı düğüm noktasında meydana gelen moment : dönmesinden dolayı düğüm noktasında meydana gelen moment
: yerdeğiĢtirmesinden dolayı düğüm noktasında meydana gelen kesme kuvveti
: dönmesinden dolayı düğüm noktasında meydana gelen kesme
kuvveti
: dönmesinden dolayı düğüm noktasında meydana gelen kesme
kuvveti
: yerdeğiĢtirmesinden dolayı düğüm noktasında meydana gelen moment
xvii
GEOMETRĠ DEĞĠġĠMLERĠ BAKIMINDAN DOĞRUSAL OLMAYAN KUTU KESĠTLĠ KÖPRÜLERĠN DÜZLEM VE EĞRĠSEL KALIN KABUK SONLU ELEMANLARLA STATĠK VE SERBEST TĠTREġĠM HESABI ÖZET
Bu çalıĢmada, kutu kesitli köprülerin hesabı için geliĢtirilmiĢ olan dikdörtgen ve koni sektörü ince kabuk sonlu elemanların uygulama alanlarını geniĢletmek amacıyla, elemanlara önce kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri ve geometri değiĢimlerinin denge denklemlerine etkileri eklenmiĢtir. Daha sonra bu elemanlarla oluĢturulan çeĢitli yapı sistemlerinin doğal titreĢim modlarını ve periyotlarını bulabilmek için, [1]’de tablolar halinde çıkarılmıĢ olan dikdörtgen kabuk sonlu elemana ait kütle matrisi programa eklenmiĢ, koni sektörü sonlu elemana ait kütle matrisi ise sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir. Söz konusu elemanlar ayrıca açık kesitli kiriĢ sistemler, tabakalı kiriĢ ve plaklar, ince cidarlı çok parçalı çubuk sistemler ve dairesel plakların hesabında da kullanılabilir. Enkesit düzleminde rijitleĢtirici diyaframlar içeren kutu kesitli köprülerin sonlu elemanlar yöntemiyle analizinde, diyafram hareketinin tanımlanmasında enkesit doğrultusunda levha sonlu elemanlar kullanılabilmektedir. Bu amaçla, literatürden seçilen genel bir dörtgen levha sonlu elemana ait formülasyon verilmiĢ ve rijitleĢtirici diyaframlı kutu kesitli köprülerin dinamik hesabında da kullanılabilmesi için elemana ait kütle matrisi sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir.
Altı bölümden oluĢan bu çalıĢmanın ilk bölümünde konunun tanıtılması, konu ile ilgili daha önceden yapılmıĢ çalıĢmalar ile bu çalıĢmanın amacı ve kapsamı yer almaktadır.
Ġkinci bölümde, hesaplarda kullanılan dikdörtgen ince kabuk ve koni sektörü kabuk sonlu elemanlar tanıtılmıĢ, elemanlara kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri ile geometri değiĢimlerinin denge denklemlerine etkilerinin eklenmesi için yapılan iĢlemler anlatılmıĢtır. Daha sonra kutu kesitli köprülerde rijitleĢtirici diyafram olarak kullanılmak üzere seçilen genel dörtgen levha eleman tanıtılmıĢtır. Bu bölümde ayrıca, dinamik hesapta kullanılmak üzere her eleman tipine ait kütle matrisinin elde edilmesi iĢlemleri anlatılmıĢtır.
Üçüncü bölümde, kutu kesitli köprülerin matris yerdeğiĢtirme yöntemiyle hesabı anlatılmıĢtır. Makroeleman rijitlik ve yükleme matrislerinin kurulması, sistem rijitlik matrisinin indirgenmesi, düğüm noktaları dıĢ kuvvetleri ve sınır koĢullarının belirlenmesi, yerine koyma iĢlemi, eleman kesit zorlarının hesabı, burkulma yükünün belirlenmesi ve doğal titreĢim özel frekans ve modlarının belirlenmesi iĢlemleri açıklanmıĢtır.
Dördüncü bölümde, uygulama alanı geniĢletilen bilgisayar programıyla ilgili genel bilgiler ile programın yapısı ve çalıĢma düzeni, program ve programın alt programlarına ait akıĢ diyagramları verilmiĢtir.
xviii
BeĢinci bölümde, yapılan çalıĢmalar örneklerle irdelenmiĢtir. Öncelikle, elemanlara eklenen kayma ĢekildeğiĢtirmeleri ve II.mertebe etkilerinin doğruluğunu ve geliĢtirilen elemanların etkinliğini göstermek amacıyla literatürden çeĢitli örnekler seçilmiĢ ve sonuçlar karĢılaĢtırılmıĢtır. Söz konusu etkilerin doğruluğu gösterildikten sonra kutu kesitli köprüler üzerinde irdelemeler yapılmıĢtır.
1.örnekte açık kesitli basit mesnetli bir kiriĢ düĢey tekil kuvvetler altında I. ve II. mertebe teorilerine göre çözülüp kiriĢ ortasındaki düĢey yerdeğiĢtirmeler elde edilmiĢ, sisteme ait burkulma yükleri, analitik olarak elde edilen değerlerle karĢılaĢtırılmıĢtır.
2. örnek olarak, II.mertebe etkileri ile birlikte kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkilerinin de önem taĢıdığı çok parçalı bir basınç çubuğu incelenmiĢtir. Bu etkileri göstermek amacıyla sistem, kayma etkileri hesaba katılarak ve hesaba katılmadan ayrı ayrı çözülmüĢ, analitik olarak elde edilen burkulma yükleri, programla bulunan değerlerle karĢılaĢtırılmıĢtır. Ayrıca, yatay yükleme altında konsol ucunda meydana gelen yerdeğiĢtirmeler her iki durum için analitik olarak ve programla bulunarak gerekli karĢılaĢtırmalar yapılmıĢtır.
Çok parçalı çubuklarda olduğu gibi, tabakalı kiriĢlerde de II. mertebe etkileri ile birlikte kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri önem taĢımaktadır. 3. örnekte, iki ucu ankastre mesnetli tabakalı bir kiriĢ örneği çözülmüĢtür. Sistem, açıklık ortasında etkiyen birim tekil kuvvet altında kayma etkili ve kayma etkisiz olarak çözülerek orta kesitteki düĢey yerdeğiĢtirmeler ve sistemin burkulma yükleri elde edilmiĢ, bulunan sonuçlar çubuk teorisine göre elde edilen sonuçlarla karĢılaĢtırılmıĢtır.
4. örnekte bir dairesel plak, basit ve ankastre mesnetli olarak çözülmüĢ ve her iki duruma ait burkulma yükleri elde edilerek analitik sonuçlarla karĢılaĢtırılmıĢtır. 5. örnek, doğru eksenli kutu kesitli bir köprüdür. Bu örnek birinci ve II.mertebe teorilerine göre açıklık ortasında eksantrik düĢey tekil kuvvet ve köprünün kendi ağırlığı altında ayrı ayrı çözülerek gerekli karĢılaĢtırmalar yapılmıĢtır. Daha sonra sistem, enkesitlerinde rijitleĢtirici diyaframların bulunması durumunda antimetrik yükleme altında çözülerek sonuçlar karĢılaĢtırılmıĢtır. Ayrıca sistemin diyaframlı ve diyaframsız çözümlerine ait ilk dört doğal titreĢim periyodu ve mod Ģekli elde edilmiĢtir.
Eğri eksenli kutu kesitli köprü örneği olan 6. örnek de eksantrik yükleme ve kendi ağırlığı altında birinci ve II.mertebe teorilerine göre çözülerek gerekli karĢılaĢtırmalar yapılmıĢ ve sistemin ilk dört doğal titreĢim periyodu ve mod Ģekli bulunmuĢtur.
xix
STATIC AND FREE VIBRATION ANALYSIS OF GEOMETRICALLY NON-LINEAR BOX GIRDER BRIDGES USING RECTANGULAR AND CURVED THICK SHELL FINITE ELEMENTS
SUMMARY
In this study, shear deformation and second order effects are added to the formulations of rectangular and curved shell finite elements in order to extend their application fields. Mass matrices of these elements are obtained to be used in finding the free vibration modes and periods of straight and curved axis box-girder bridges. The elements are also applicable to open section bridges, cantilever columns, sandwich beams and circular plates. For box-girder bridges with cross-sectional diaphragms, membrane finite elements can be used in order to define the cross-sectional diaphragm effect. For this purpose, the formulation of a general quadrilateral membrane finite element is given and the mass matrix of the element is obtained to be used in dynamic analysis.
The first chapter consists of the introduction of the subject, related studies previously done and the scope of the study.
In the second chapter, rectangular and curved shell finite elements are discussed and the processes of adding shear deformation and second order effects are introduced. Furthermore, the formulation of a bilinear quadrilateral membrane finite element with nodal rotations is given and the operations done to obtain the mass matrix of each element type is described.
In the third chapter, analysis of box-girder bridges using the usual matrix displacement method is described. Establishment of macroelement stiffness, mass and loading matrices, reduction process of the system stiffness and mass matrices, determination of nodal external forces and boundary conditions, replacement process, calculation of inner forces, determination of buckling loads and free vibration periods and modes are explained.
In the fourth chapter, the computer program improved by new subroutines and by some additions to the existing subroutines is introduced and the structure, the working process and the flow charts of the program are given.
In the fifth chapter, the work done in this study is illustrated by five examples. The first example is a simply supported beam with open cross-section. It is solved according to the first and the second order theories under vertical point loads and vertical displacements of the midspan are compared with each other. Also, lateral and vertical buckling loads of the system are calculated.
In the second example, a cantilever column, where second order and shear deformation effects are both considerable, is examined. In order to demonstrate these effects, the system is solved with and without taking shear deformations into account. The tip displacements of the cantilever column and the buckling loads of the system are achieved and compared to the analytical solutions.
Second order and shear deformation effects are both considerable for sandwich beams as well. In the third example, a sandwich beam example clamped at both ends
xx
is solved under unit vertical point load at the midspan. The vertical displacements and the buckling loads of the system with and without shear deformation effects are obtained and compared to the analytical results.
In the fourth example, a circular plate is solved for fixed and clamped support conditions and buckling loads are obtained for both cases and compared with each other.
The fifth example is a box girder bridge with straight axis. It is solved according to the first and the second order theories either under eccentric vertical point loads at the midspan or under its own weight. The same problem is considered to have two diaphragms at the support cross-sections and four diaphragms, two at the supports and two at the span cross-sections and solved under antimetric vertical point loads. The first four free vibration periods and mode shapes of these systems are achieved and all results are compared with each other.
The last example, a curved axis box girder bridge, is solved according to the first and the second order theories, again using two load cases: under eccentric vertical point loads at the midspan and own weight. The first four free vibration periods and mode shapes are obtained and comparisons are made.
1
1. GĠRĠġ
1.1 Konu
Modern karayollarında, kutu kesitli kiriĢlerin kullanıldığı köprü, viyadük gibi sistemler, en önemli üstünlüklerinden biri olan burulma rijitliği sayesinde orta ve büyük açıklık geçilmesi durumlarında uygun bir çözüm olmakta ve bu tür sistemlerin kullanımı her geçen gün artmaktadır. Bu özellik, doğru eksenli kiriĢlerde eksantrik yüklerin enine kesit doğrultusunda daha etkin yayılımını sağlaması ve modern karayollarının çoğunlukla gerektirdiği eğri eksenli köprülerde büyük değerler alabilen burulma etkilerinin karĢılanması açısından da önemlidir.
Kutu kesitli kiriĢlerde üst ve alt baĢlık alanları, aynı yükseklikteki açık kesitli kiriĢlere göre daha fazla olduğu için kesit yüksekliğinin mesnetler arası açıklığa oranı azaltılabilmektedir. Bu durum estetik görünümün yanı sıra kesit yüksekliğinin uygulama açısından sınırlı olduğu durumlarda da fayda sağlamaktadır. Ayrıca kutu kesitli kiriĢlerde üst baĢlık, yol tabliyesi olarak kullanılabilmekte ve düĢey veya eğik gövde elemanlarına yüklerin aktarılmasını da sağlamaktadır.
Kutu kesitli kiriĢlerin hesabı, enkesit düzleminin ĢekildeğiĢtirmeden sonra çarpılarak düzlem kalmaması ve enkesit profilinin kendi düzlemi içinde de ĢekildeğiĢtirmesi nedeniyle çubuk teorisine göre yapılan hesaptan büyük ölçüde ayrılmaktadır. Belirli aralıklarla kullanılan rijitleĢtirici diyaframların da bu sistemlerin davranıĢına oldukça büyük etkisi vardır. Ortotrop levhalardan oluĢturulan çelik gövdeli sistemlerde özellikle üst baĢlığında düzlemine dik etkileri aktarabilmesi için eğilme rijitliğini arttırıcı nervürlerle takviye edilmiĢ enine rijitleĢtirici diyaframlar daha sık yapılmaktadır. Böylece enkesit düzlemi içindeki ĢekildeğiĢtirmeler büyük ölçüde sınırlanmaktadır. Betonarme sistemlerde ise, meydana gelecek enine yönde eğilme momentlerini karĢılayacak Ģekilde guseli plaklarla kutu kesit gövdesi oluĢturulabilmektedir.
Kutu kesitli kiriĢlerde kesitlere bağlı olarak bazı durumlarda kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri, bazı durumlarda da ikinci mertebe etkileri önem kazanmakta, bu nedenle, sistemlere ait hesapların daha gerçekçi ve yeterli doğrulukta
2
yapılabilmesi için bu etkilerin de dikkate alınması gerekmektedir. Örneğin cidar kalınlıklarının büyük olduğu betonarme köprülerde kayma ĢekildeğiĢtirmeleri önemli değerler alabilmekte, buna karĢılık çelik köprülerde narinlikten dolayı, öngermeli betonarme köprülerde ise büyük öngerme kuvvetleri nedeniyle ikinci mertebe etkileri etkin olmaktadır. Sandviç panelli sistemler gibi açık kesitli kiriĢlerde ise bazı durumlarda her iki etki de önemli olabilmektedir.
Tek veya çok gözlü kutu kesitli kiriĢlerden oluĢan köprülerin sürekli sistem olarak hesabı birçok durumda yetersiz olduğundan, bu tür sistemlerin sonlu elemanlar yöntemi ile çözümünü öngören çalıĢmaların yapılmasına gerek duyulmuĢtur. Bu yöntemde sonlu serbestlik dereceli iki veya üç boyutlu elemanlar kullanılarak hesaplanan sisteme ait geometrik özellikler, mesnet koĢulları, dıĢ etkilerin sürekli veya ani değiĢimleri ve sistem sınırlarının düzgün olmaması durumları kolaylıkla göz önüne alınabilmektedir.
Statik analizin yanı sıra, deprem kuĢağında bulunan ülkemizde köprülerin dinamik etkiler altındaki davranıĢlarını belirlemek de büyük önem taĢımaktadır. Klasik köprülerle karĢılaĢtırıldıklarında kutu kesitli köprülerin titreĢim etkilerine karĢı daha dirençli oldukları bilinmektedir.
Bu çalıĢmada önce, [1]’de kutu kesitli köprülerin hesabı için geliĢtirilen dikdörtgen ve koni sektörü ince kabuk sonlu elemanlara, kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri ile ikinci mertebe etkileri eklenerek elemanların uygulama alanları geniĢletilmiĢtir. Daha sonra bu elemanlarla oluĢturulan çeĢitli yapı sistemlerinin doğal titreĢim modlarını ve periyotlarını bulabilmek için, [1]’de tablolar halinde çıkarılmıĢ olan dikdörtgen kabuk sonlu elemana ait kütle matrisi programa eklenmiĢ, koni sektörü kabuk sonlu elemana ait kütle matrisi ise sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir. Enkesit düzlemlerinde rijitleĢtirici diyaframlar bulunan kutu kesitli köprülerin analizinde, diyafram olarak kullanılmak üzere bir genel dörtgen levha sonlu eleman tanıtılmıĢtır. Bu tür köprülerin doğal titreĢim modlarını ve periyotlarını bulabilmek için gerekli olan levha sonlu eleman kütle matrisi sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir.
3
1.2 Konu ile Ġlgili ÇalıĢmalar
Bu bölümde, kutu kesitli kiriĢlerin hesabı, plak ve kabuklarda kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri, ikinci mertebe etkileri ve dinamik hesapta kullanılan yöntemler için yapılmıĢ çalıĢmalar kısaca gözden geçirilecektir.
Timoshenko teorisi, kesit çarpılmalarının ve burulma ĢekildeğiĢtirmelerinin analizi konusunda yetersiz kalmaktadır. Bu yüzden, ince cidarlı kutu kesitli kiriĢlerin analizinin standart Timoshenko kiriĢ elemanlarla yapılması durumunda, özellikle sınırlara yakın bölgelerdeki yapısal davranıĢlar doğru olarak tahmin edilememektedir. Daha yüksek mertebeden ince cidarlı kutu kesitli kiriĢ teorisi kullanıldığında, plak sonlu eleman kullanımından elde edilen sonuçlara göre daha kesin sonuç elde edilebilmektedir. Bununla beraber, kullanılmakta olan 2 düğüm noktalı yerdeğiĢtirmeye dayalı yüksek mertebeden kiriĢ elemanlar, sınırlara yakın bölgelerde üstel çözüm davranıĢını yakalama konusunda yeterli olmamaktadırlar. Bu yüzden, [2]’de yüksek mertebeden karma sonlu elemanların geliĢtirilmesi düĢünülmüĢtür. Standart karma formülasyonun kullanımı yerine, durum vektörü formuna dayalı karma formülasyon geliĢtirilmesi önerilmiĢtir. Böylece sonlu eleman analizi için, sadece sınırlarda yazılabilen alan değiĢkenleri için ara değer hesabı yapılmaktadır.
Literatürde kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkilerinin göz önüne alınarak kalın plak ve kabuk sonlu elemanların eldesine yönelik çeĢitli çalıĢmalar bulunmaktadır.
[3]’de C1 sürekliliği olan 52 serbestlik dereceli yüksek mertebeden kayma ĢekildeğiĢtirmeleri teorisine göre 2 adet alternatif dikdörtgen plak eleman sunulmuĢtur. Bu elemanlar, kalın plakların eğilme analizi için geliĢtirilmiĢtir. YerdeğiĢtirme ve gerilmenin kalınlık boyunca değiĢimi yüksek mertebeden olabilmektedir. 1. elemanda kayma gerilmesinin plağın kalınlığı boyunca parabolik olmayan bir dağılım gösterdiği, 2. elemanda ise bu dağılımın parabolik olduğu varsayılmaktadır. Diğer yerdeğiĢtirmeye dayalı 2 boyutlu sonlu elemanlarda plak kalınlığı boyunca normal gerilmeler denge denklemleri yardımıyla hesaplanırken, bu iki elemanda bünye denklemi kullanılarak doğru olarak tahmin edilmektedir. Ayrıca tüm gerilmeleri doğru olarak tahmin edebilmek amacıyla plak kalınlığı boyunca tek bir eleman kullanılmıĢtır.
4
Sonlu elemanlarla kalın kompozit yapıların analizinde, malzeme özelliklerinin tayini için çeĢitli teknikler kullanılmaktadır. Çok tabakalı kompozit bir elemanın malzeme sabitlerinin belirlenmesinde en çok kullanılan yöntem, eleman malzeme özellikleri için ortalama bir değer alınmasıdır. [4]’de çok tabakalı kompozit kiriĢ ve plak analizi için bir sonlu eleman geliĢtirilmiĢtir.
[5]’te hem ince hem kalın plak analizi için Mindlin plak teorisine dayalı 2 adet plak eleman geliĢtirilmiĢtir. Elemanlardan biri 4 düğüm noktalı, diğeri ise 8 düğüm noktalıdır. Her düğüm noktasında biri çökme, ikisi dönme bileĢeni olmak üzere üçer adet serbestlik bulunmaktadır. Elemanların doğruluğu çeĢitli sayısal örneklerle gösterilmiĢtir. Ek olarak plak elemanın eğilme ve kayma etkileri kayma kilitlenmesi bakımından da irdelenmiĢtir.
[6]’da ince cidarlı kompozit kutu kesitli kiriĢlerin statik denge diferansiyel denklemlerinin baĢlangıç değer çözümleri, kayma kilitlenmesi ve kayma ĢekildeğiĢtirmeleri etkileri de göz önüne alınarak irdelenmiĢtir.
[7]’de kayma gerilmeleri ve normal gerilmeler ile doğrusal olmayan düzlem içi yerdeğiĢtirme dağılımı olan kalın plak analizi için bir sonlu eleman geliĢtirilmiĢtir. Plak ĢekildeğiĢtirme teorisinin analitik çözümleri diğer yüksek mertebeden teorilerle karĢılaĢtırılmıĢ, kalın plak davranıĢının kabul edilebilir ölçüde iyi tahmin edildiği sonucuna varılmıĢtır. Kullanılan yüksek mertebeden kayma ĢekildeğiĢtirme teorisine göre, kalın plaklar için 8 düğüm noktalı bir sonlu eleman geliĢtirilmiĢtir. Formülasyonlarda kullanılan çarpılma fonksiyonları, diğer yüksek mertebeden homojen modellere nazaran daha basit denklemler sunmaktadır.
Kesin nodal koordinat formülasyonu, son zamanlarda kayma ĢekildeğiĢtirmesi yapan kiriĢ veya plak elemanlara da uygulanmaya baĢlanmıĢtır. Bu formülasyonda eleman hacminin herhangi bir noktasının konumu bağımsız eğim koordinatlarıyla tanımlanmaktadır. Çok sayıda eğim koordinatının kullanımı ise eleman kilitlenmesine yol açmaktadır. [8]’de, daha önceden rapor edilmiĢ olan Poisson kilitlenmesine ek olarak kesin nodal koordinat formülasyonuna dayalı kayma ĢekildeğiĢtirmesi yapan elemanda eğrilik kalınlığında kilitlenme ve kayma kilitlenmesinin görüldüğü gösterilmiĢtir. Kilitlenme eğiliminden dolayı, bu formülasyonun kullanımı elemanın zayıf performans göstermesine sebep
5
olabilmektedir. Bu çalıĢmada yeni bir polinom açılımı ile birlikte indirgenmiĢ integrasyon tekniği kullanılarak kilitlenme problemleri ortadan kaldırılmıĢtır.
[9]’da ince cidarlı açık kesitli kiriĢlerin sonlu elemanlar analizi için sayısal modeller sunulmuĢtur. Varsayılan kinematik model, üniform olmayan eğilme ve burulmanın kayma etkilerini hesaba katan Timoshenko-Reissner teorisine dayanmaktadır. Benimsenen model hem izotrop hem de ortotrop kiriĢler için kullanılabilmektedir. Formülasyonda kullanılan Ģekil fonksiyonlarından bazıları modifiye edilmiĢ Hermite polinomlarından elde edilmiĢ ve kilitlenme problemi olmayan Timoshenko kiriĢ elemanı oluĢturulmuĢtur.
[10]’da kompozit ve sandviç yapıların davranıĢlarını doğru ve etkin Ģekilde tahmin etmek amacıyla geliĢmiĢ 1.derece kayma ĢekildeğiĢtirmeleri teorisine dayalı bir sonlu eleman formülasyonu geliĢtirilmiĢtir. Bu teori, 1. mertebe kayma ĢekildeğiĢtirmeli plak teorisi ile yüksek mertebeden kayma ĢekildeğiĢtirmeli plak teorisi arasındaki enerji hatasının en küçük kareler yöntemi kullanılarak en aza indirilmesinden türetilmiĢtir. Böylece, yüksek mertebeden plak teorisinin gerilme enerjisi Reissner-Mindlin plak teorisinin gerilme enerjisine dönüĢtürülmektedir. [11]’de kayma ĢekildeğiĢtirmeli kabuk türü yapıların sayısal analizi için en küçük kareler yöntemine dayalı bir sonlu eleman formülasyonu geliĢtirilmiĢtir. Bu formülasyonda, genel yerdeğiĢtirme ve gerilme sonuçları bağımsız değiĢkenler olup formülasyon eĢit mertebeden enterpolasyona olanak sağlamaktadır.
[12]’de, tabakalı kompozit plakların mekanik yüklerden dolayı oluĢan ĢekildeğiĢtirmeleri incelenmiĢtir. Çok tabakalı kompozit dikdörtgen plağın doğrusal dinamik denklemlerini türetmek için 3. dereceden plak kayma ĢekildeğiĢtirme teorisi kullanılmıĢtır.
Plak ve kabukların geometri bakımından doğrusal olmayan davranıĢlarının hesaba katılması, bu elemanlarla oluĢturulan yapıların analizlerinin daha gerçekçi biçimde yapılmasına olanak sağlamaktadır. Bu konuyla ilgili literatürde çeĢitli çalıĢmalar bulunmaktadır.
[13]’te geometri bakımından doğrusal olmayan davranıĢ gösteren burulma ĢekildeğiĢtirmeli ince cidarlı kompozit kiriĢlerin yapısal analizi için bir sonlu eleman modeli geliĢtirilmiĢtir. Yapının ĢekildeğiĢtirme analizi için güncel Lagrange
6
denklemlerinin ve genel bir yerdeğiĢtirme kontrollü metodun hesaba katıldığı bir formülasyon kullanılmıĢtır.
[14]’te, Timoshenko ve ince cidarlı kiriĢler teorisine dayanarak açık kesitli ince cidarlı uzay kiriĢler için yeni bir sonlu eleman modeli geliĢtirilmiĢtir. Bu model, kayma ĢekildeğiĢtirmesi, üniform olmayan burulmadan ve 2. mertebe kayma gerilmesinden kaynaklanan çarpılma, eğilmeli burulma ve küçük ĢekildeğiĢtirmeli büyük yerdeğiĢtirme gibi özellikleri içermektedir.
Doğrusal olmayan kiriĢlerin çözümü için en çok kullanılan sonlu eleman formülasyonlarından ikisi kesin nodal koordinat yaklaĢımı ile geometri bakımından kesin yaklaĢımdır. Bunların her ikisi de çok büyük ĢekildeğiĢtirme problemlerine uygulanabilmektedir. Ancak sürekli ve ayrık seviyelerde büyük ölçüde farklılıklar gösterirler. Ayrıca kodlama ve hesaplama zaman maliyetleri de önemli ölçüde farklıdır. [15]’de, iki formülasyon arasındaki benzerlikler ve farklılıklar vurgulanmıĢ, formülasyon tercihi konusunda önerilerde bulunulmuĢtur.
[16]’da, kabuk yapıların geometri bakımından doğrusal olmayan analizi için güncel Lagrange sonlu eleman formülasyonunu türetmede özel bir doğrusallaĢtırma tekniği kullanılmıĢtır. Formülasyonun türevi, Green-Lagrange ĢekildeğiĢtirmesi ile ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesinin iki 2.mertebeden fonksiyon olarak yeniden yazılmasına dayanmaktadır. Bu iki fonksiyonun denge denkleminde yerlerine konulmasıyla, Virtüel iĢ teoremiyle ve doğrusal olmayan terim için Taylor seri açılımı kullanılarak modifiye edilmiĢ, doğrusallaĢtırılmıĢ artımsal bir denklem oluĢturulmaktadır. Bu iĢlemde, rijitlik matrisleri ve iç kuvvet vektörü doğrusallaĢtırma izlenerek türetilmektedir.
[17]’de, eğrisel üçgen ince kabuk sonlu eleman oluĢturulması için bir mühendislik yaklaĢımı ele alınmıĢtır. Bu yaklaĢım üçgen kenarlarının ĢekildeğiĢtirmeden önce ve sonra yaklaĢık olarak düzlemsel daire yayı Ģeklinde kaldığı varsayımına dayanmaktadır. Kirchhoff-Love ince kabuk üçgen sonlu eleman için geometri bakımından doğrusal olmayan bir formülasyon verilmektedir. Elemanın her düğüm noktasında 3’ü doğrusal yerdeğiĢtirme bileĢeni, ikisi dönme bileĢeni olmak üzere toplam 5 serbestlik bulunmaktadır.
[18]’de, Kirchhoff-Love hipotezine dayalı geometri bakımından doğrusal olmayan bir yenilenmiĢ ince kabuk sonlu eleman dikkate alınmıĢtır. Eleman
7
ĢekildeğiĢtirmesini tanımlayan bağıntılar, bir düzlem eğrisinin diferansiyel denkleminin integrasyonundan elde edilmektedir. 15 serbestlik dereceli bir üçgen sonlu elemanda, ĢekildeğiĢtirme enerjisinin birinci ve ikinci değiĢim katsayılarının hesap süresini kısaltmak için bir algoritma geliĢtirilmiĢtir. Bu algoritma, kabuğun ayrık modelinin denge koĢulları ve stabilitesinin formülasyonu için kullanılmaktadır. [19]’da geometri bakımından doğrusal olmayan elastik izotrop kabuklar için Kirchhoff-Love tipi 15 serbestlik dereceli eğrisel bir üçgen sonlu eleman önerilmiĢtir. Sonlu eleman formülasyonu, ĢekildeğiĢtirme enerjisi ifadesine ve kabuk ortalama yüzeyinin eğrilik-değiĢim tensörlerine dayanmaktadır.
[20]’de bir üçgen düzlem kabuk sonlu eleman kullanılarak kabukların geometri bakımından doğrusal olmayan analizi incelenmiĢtir. Bu kabuk eleman, sabit ĢekildeğiĢtirmeli üçgen levha eleman ile ayrık Kirchhoff plak elemandan oluĢmaktadır. Formülasyonda, rijitlik matrisinin türevi ve toplam ĢekildeğiĢtirmelerden rijit hareketin ayrılması olmak üzere iki konu üzerine vurgu yapılmıĢtır.
[21]’de, yüksek mertebeden bir plak/kabuk sonlu eleman kullanılarak çok tabakalı yapıların, tasarım uygulamaları için yerdeğiĢtirme ve gerilmelerini tahmin etmek amacıyla geometri bakımından doğrusal olmayan davranıĢı irdelenmiĢtir. Kayma gerilmeleri için trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak 6 düğüm noktalı, C1 süreklilikli üçgen sonlu eleman geliĢtirilmiĢtir. Geometri bakımından doğrusal olmayan davranıĢ ise Von-Karmann varsayımlarına dayanmaktadır.
[22]’de, eksenel simetrik plak ve kabuk yapılar için geometri bakımından doğrusal olmayan bir formülasyon verilmektedir. Bu formülasyonda toplam Lagrange yaklaĢımı esas alınmaktadır. Doğrusal olmayan denge denklemlerinin çözümünde Newton-Raphson yöntemi kullanılmaktadır.
[23]’te, büyük yerdeğiĢtirme yapan ince kabukların analizi için bir düzlem üçgen sonlu eleman önerilmiĢtir. Formülasyon, ince kabuklar için von-Karmann’ın geometri bakımından doğrusal olmayan teorisine ve toplam Lagrange yaklaĢımına dayanmaktadır. Eleman, her köĢe noktasında üçer yerdeğiĢtirme ve her kenar orta noktasında birer dönme olmak üzere toplam 12 serbestlik derecelidir.
[24]’te, eğrisel ve burulmuĢ kiriĢler için geometri bakımından kesin ve tutarlı bir sonlu eleman teorisi önerilmiĢtir. Bu teori, genellikle büyük ĢekildeğiĢtirmeler için
8
formüle edilen kinematik hipoteze dayanmaktadır. Virtüel iĢ teoremi, gerilme ve ĢekildeğiĢtirme tensörlerinin tüm sıfırdan farklı 6 bileĢenine doğrudan uygulanmaktadır.
[25]’de, geometri bakımından doğrusal olmayan elastik yapıların sonlu elemanlar yöntemi ile güvenilirlik analizi teorisi değerlendirilmiĢtir. ġekildeğiĢtirmeler elastik sınırlar içerisinde kalsa bile bu yapıların narinliğinden dolayı iç kuvvetler doğrusal olmamaktadır. Bu nedenle, formülasyonda doğrusal olmayan ĢekildeğiĢtirme-yerdeğiĢtirme bağıntıları dikkate alınmaktadır.
[26]’da, ince cidarlı kutu kesitli kompozit kiriĢler için geometri bakımından doğrusal olmayan bir model sunulmuĢtur. Kullanılan formülasyon, klasik tabakalı kompozitler teorisine dayanmaktadır ve doğrusal olmayan sisteme ait denklemler, artımsal Newton-Raphson yöntemi ile türetilerek çözülmüĢtür.
Ġnce plak ve kabukların yanı sıra, kalın plak ve kabukların geometri bakımından doğrusal olmayan davranıĢları da çeĢitli çalıĢmalarda irdelenmiĢtir.
Plak ve kabukların elasto-plastik analizi için birçok yaklaĢım kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemi, kabukların hem doğrusal hem de doğrusal olmayan davranıĢ modellemelerinde baĢarıyla kullanılmaktadır. Doğrusal olmayan hesaplar, hesap maliyetleri yüksek olan artımsal ve tekrarlı algoritmalara dayanmaktadır. Bu yüzden birçok yazar formülasyonlarının sadece doğruluğu ve yaygın uygulanma alanı değil, verimliliği konusunda da çalıĢmalar yapmaktadır.
[27]’de kalın kabuk ve plakların büyük dönme etkilerini de içeren elasto-plastik davranıĢı için bir doğrusal olmayan sonlu eleman analizi sunulmuĢtur. Bu çalıĢmanın amacı, kalın ve ince plak ve kabukların analizi için geometri ve malzeme bakımından doğrusal olmayan davranıĢları da içeren genel, kesin ve çok etkili bir yöntem geliĢtirmektir.
Plak ve kabukların dinamik analizlerine yönelik çalıĢmalar aĢağıda özetlenmiĢtir. [28]’de yüksek mertebeden enine kayma ĢekildeğiĢtirmesi ile dönel ataletin birleĢtirildiği 4 düğüm noktalı bir Lagrange ve Hermite sonlu eleman kullanılarak katlanmıĢ plakların ve kutu kesitli kiriĢlerin serbest titreĢimi irdelenmiĢtir. Sistem eleman matrislerinin lokal koordinatlardan global koordinatlara geçiĢi için her düğüm noktasında 8. ek serbestliğin mevcut 7 serbestliğe eklendiği 8x8 boyutunda bir matris oluĢturulmuĢtur.
9
[29]’da, kalın ve ince plakların doğal titreĢim frekanslarını incelemek amacıyla kayma kilitlenmesi olmayan 3 düğüm noktalı izoparametrik bir üçgen sonlu eleman geliĢtirilmiĢtir. Eleman formülasyonunda, kayma ĢekildeğiĢtirme etkilerini içeren Mindlin teorisi kullanılmıĢtır. Kayma kilitlenmesi olayından kaçınmak için kayma ĢekildeğiĢtirme bileĢenlerinde bir kayma düzeltme terimi sunulmuĢtur. Eleman, tam integrasyon düzeni ile geliĢtirilmiĢtir ve bu yüzden kinematik olarak kararlıdır. [30]’da, esnekliği yüksek olan elastik düzlem kiriĢlerin dinamik analizi için yeni bir ĢekildeğiĢtirmeye dayalı sonlu eleman sunulmuĢtur. Formülasyonda, sonlu yerdeğiĢtirmeler ve dönmeler ile sonlu uzama, kayma ve eğilme ĢekildeğiĢtirmelerini hesaba katan Reissner düzlem kiriĢ teorisi kullanılmıĢtır.
[31]’de, öncelikle statik analizde kullanılan Timoshenko kiriĢ teorisine göre çeĢitli sonlu eleman modelleri gözden geçirilmiĢtir. Daha sonra, bu sonlu eleman modellerinin dinamik uyarlamaları tartıĢılmıĢ ve basit mesnetli kiriĢlerin doğal frekansları için sayısal sonuçlar sunularak Timoshenko kiriĢ sonlu elemanlar değerlendirilmiĢtir. Sonuç olarak indirgenmiĢ integrasyon elemanı ile yeterli sayıda eleman kullanılarak doğal frekansların doğru olarak tahmin edildiği gözlenmiĢtir. Geometri bakımından kesin olan 3 boyutlu kiriĢ teorisi, çeĢitli sonlu eleman formülasyonlarının geliĢimine esas olarak kullanılmaktadır. [32]’de, benimsenmiĢ ĢekildeğiĢtirme ölçümlerinin gerçekliğini korumak amacıyla bu teoriye dayalı yeni bir sonlu eleman formülasyonu tasarlanmıĢtır.
[33]’te, tabakalı kompozit kiriĢlerin serbest titreĢim analizi için 1. dereceden kayma ĢekildeğiĢtirme teorisine dayalı bir dinamik sonlu eleman yöntemi tanıtılmıĢtır. Poisson etkisinin tesirleri, uzama, eğilme ve burulma ĢekildeğiĢtirmeleri arasındaki eĢleĢmeler, kayma ĢekildeğiĢtirmesi ve dönel atalet, formülasyona dahil edilmiĢtir. Dinamik rijitlik matrisi, tabakalı kompozit kiriĢin serbest titreĢimini içeren hareket diferansiyel denklemlerinin kesin çözümlerine dayalı olarak oluĢturulmuĢtur.
[34]’te, iki adet yerdeğiĢtirmeye dayalı yüksek mertebeden kayma ĢekildeğiĢtirme teorisi kullanılarak tabakalı kompozit kiriĢlerin serbest titreĢim analizi yapılmıĢtır. Her iki teori de kiriĢlerin kalınlık koordinatlarında düzlem içi ve enine yerdeğiĢtirmelerinin sırasıyla 4. ve 5. dereceden değiĢimini varsaymakta ve kiriĢlerin alt ve üst yüzeylerinde sıfır kayma gerilme-ĢekildeğiĢtirme Ģartını sağlamaktadır. Teoriler arasındaki fark, birinde kiriĢlerin kalınlığı boyunca kayma gerilmelerinin
10
değiĢiminin parabolik olması, diğerinde ise parabolik olmamasıdır. Hareket denklemleri Hamilton ilkesi kullanılarak türetilmiĢtir. Bu çalıĢmada, bu teoriler kullanılarak kiriĢlerin serbest titreĢimleri için her düğüm noktasında 8 serbestlik olan iki düğüm noktalı C1
süreklilikli sonlu elemanlar kullanılmıĢtır.
[35]’de, ince cidarlı tabakalı kompozit kiriĢlerin serbest titreĢimleri incelenmiĢ ve ince cidarlı kutu kesitli kompozit bir kiriĢin dinamik davranıĢına uygulanabilen genel bir analitik model geliĢtirilmiĢtir. Bu model, klasik tabakalı kompozitler teorisine dayanmakta ve bu modelde geliĢigüzel tabaka dizilim Ģekli ve sınır Ģartları için eğilme ve burulma modları birlikte ele alınmaktadır. Ġnce cidarlı kompozit bir kiriĢin doğal frekanslarını ve bunlara karĢı gelen titreĢim modlarını tahmin etmek için yerdeğiĢtirmeye dayalı tek boyutlu bir sonlu eleman modeli geliĢtirilmiĢtir.
1.3 ÇalıĢmanın Amacı ve Kapsamı
Diğer yapı sistemlerinde olduğu gibi kutu kesitli köprülerde de enkesit kalınlıkları arttıkça kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri önem kazanmaktadır. Bu çalıĢmada öncelikle, betonarme köprüler gibi enkesit kalınlıklarının büyük olduğu doğru ve eğri eksenli çeĢitli sistemlerin analizinin daha gerçekçi biçimde yapılabilmesi amacıyla [1]’de türetilen ince kabuk sonlu elemanlar kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkilerini de içerecek Ģekilde ve kullanım alanını geniĢletecek Ģekilde iyileĢtirilmiĢtir.
Bu amaçla, dikdörtgen düzlem ve koni sektörü kabuk sonlu elemanların yerdeğiĢtirme yüzeyleri eğilme ve kaymadan oluĢan yerdeğiĢtirme yüzeylerinin toplamı olarak ele alınmıĢtır. Dikdörtgen düzlem kabuk sonlu elemana ait kayma rijitlik ve fleksibilite matrisleri elde edilmiĢ, bu matrisler kullanılarak kaymalı eğilme elemanına ait rijitlik ve ĢekildeğiĢtirme matrisleri çıkarılmıĢtır. Sabit ya da değiĢken kalınlıklı koni sektörü kabuk sonlu eleman için ise kayma kabuğuna ait matrislerin hesabı sayısal integrasyonla yapılmıĢtır. Elde edilen kaymalı eğilme elemanlarının rijitlik ve ĢekildeğiĢtirme matrisleri limit durumlarda sadece eğilme ve kayma elemanlarına dönüĢmekte ve kayma kilitlenmesi denilen stabilite bozukluğu söz konusu olmamaktadır.
Kutu kesitli köprülerde enkesit kalınlıklarının çok küçük olması durumunda ise yapının narinliği arttığı için yerdeğiĢtirmeler yeter derecede küçük olmamakta, bu nedenle yetersiz kalan birinci mertebe teorisi ile hesap yerine denge denklemlerinin
11
ĢekildeğiĢtirmiĢ sistem üzerinde yazıldığı ikinci mertebe teorisi ile hesaba gerek duyulmaktadır. Kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkilerinin eklendiği söz konusu kabuk sonlu elemanlara, çelik köprüler gibi narinliğin ön plana çıktığı sistemlerde ve öngermeli betonarme sistemlerde de kullanılmak üzere ikinci mertebe etkileri de eklenmiĢtir. Bunun için öncelikle dikdörtgen düzlem kabuk sonlu elemanın ikinci mertebe rijitlik matrisi kapalı olarak çıkarılmıĢtır. Sabit ve değiĢken kalınlıklı koni sektörü kabuk sonlu eleman için ikinci mertebe rijitlik matrisi ise sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir. Bulunan ilave terimler, birinci mertebe rijitlik matrisi terimlerine eklenerek ikinci mertebe teorisine ait rijitlik matrisleri oluĢturulmuĢtur. Böylece, dikdörtgen ve koni sektörü kabuk sonlu elemanlar kullanılarak, kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri ile birlikte II.mertebe etkilerinin de önemli olduğu tabakalı kiriĢ ve plaklar ile ince cidarlı çok parçalı çubuk sistemlerin hesabı da yapılabilmektedir.
Bazı kutu kesitli köprülerde yapısal olarak enine yönde diyaframlar da bulunmaktadır. Bu diyaframlar çarpılmaya bağlı enkesit ĢekildeğiĢtirmelerini önleyici etkileri nedeniyle, sistemde kesit zorları yayılıĢını önemli ölçüde değiĢtirebilmektedir. Bu bakımdan uygun levha sonlu elemanlarla modellenmeleri önem kazanmaktadır. Bu tür köprülerde enkesit düzlemindeki diyafram davranıĢı için, her düğüm noktasında ikisi yerdeğiĢtirme, biri dönme bileĢeni olmak üzere toplam 12 serbestlik dereceli genel dörtgen levha sonlu eleman kullanılmıĢtır [36]. Son olarak kutu kesitli köprülerin mod birleĢtirme yöntemiyle dinamik hesabında da kullanılan serbest titreĢim modlarının ve periyotlarının belirlenmesi amacıyla dikdörtgen kabuk sonlu elemana ait kütle matrisi programa eklenmiĢ, koni sektörü kabuk sonlu elemana ait kütle matrisi ise sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir. 12 serbestlik dereceli levha sonlu elemanın serbest titreĢim hesabında da kullanımını sağlamak üzere, söz konusu elemanın kütle matrisi de yine sayısal integrasyonla çıkarılarak geliĢtirilen bilgisayar programına dahil edilmiĢtir.
13
2. KUTU KESĠTLĠ KÖPRÜLERĠN HESABI ĠÇĠN DĠKDÖRTGEN VE EĞRĠSEL KALIN KABUK VE DÖRTGEN LEVHA SONLU ELEMANLAR
2.1 Dikdörtgen Kalın Kabuk Sonlu Eleman
Kutu kesitli kiriĢlerin hesabında çoğunlukla, kabuk ve plak sistemler için geliĢtirilmiĢ olan genelleĢtirilmiĢ düzlem sonlu elemanlar kullanılmaktadır. Bu bölümde, doğru eksenli, kutu kesitli kiriĢlerin hesabında kullanılmak üzere geliĢtirilen dikdörtgen kalın kabuk sonlu eleman formülasyonu verilecektir.
Betonarme köprüler gibi kesit kalınlıkları nispeten büyük olan sistemlerde kayma etkileri önem kazanmaktadır. Bu sebeple, bu tip bir köprünün analizi için kullanılacak olan eleman formülasyonu eğilme etkilerine ek olarak kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkilerini de içermelidir.
Çelik köprüler gibi çok ince cidarlı sistemlerde ise, narinliğin artmasından dolayı yerdeğiĢtirmeler yeter derecede küçük olmaz ve II. mertebe etkileri önem kazanır. Bu tür sistemler için kullanılacak olan eleman formülasyonunda da II.mertebe etkilerinin hesaba katılması gerekmektedir.
Tabakalı kiriĢ ve plaklar ile ince cidarlı çok parçalı çubuk sistemler gibi sistemlerde ise hem kayma etkileri, hem de II.mertebe etkileri önem taĢımakta olup, her iki etkinin de dikkate alınması gerekmektedir.
Bu etkilerin gerektiğinde hesaba katılması, sistemlerin gerçek davranıĢlarına daha yakın sonuçların elde edilmesi açısından oldukça önemlidir. Formülasyonu verilen dikdörtgen kalın kabuk sonlu eleman her iki etkiyi de içermekte ve bahsedilen tüm sistem türleri için kullanılabilmektedir.
2.1.1 Düğüm noktaları serbestlik dereceleri ve elemanda yerdeğiĢtirme fonksiyonları
Birbirlerine farklı açılarla birleĢen dikdörtgen plak sonlu elemanlar kullanılarak doğru eksenli kutu kesitli bir kiriĢin ardıĢık enkesitleri arasındaki bölümleri oluĢturulabilmektedir, ġekil 2.1.
14
ġekil 2.1 : Doğru eksenli kutu kesitli kiriĢ ve sonlu eleman ağı.
Kutu kesitli sistemlerin yerdeğiĢtirme yöntemiyle hesabında her düğüm noktasında, kiriĢ enkesit düzlemi içindeki ve yerdeğiĢtirmeleri, enkesit düzlemine dik yerdeğiĢtirmesi ve dönme vektörü bileĢeni olmak üzere 4 adet bağımsız bilinmeyen seçilmektedir, ġekil 2.2. Bu yerdeğiĢtirme bileĢenlerinden dönmesi, yerdeğiĢtirmesinin değiĢkenine bağlı türevi olduğundan, bu doğrultuda bir 3. polinomu olarak seçilmelidir. ve ise doğrusal olarak seçilmiĢtir. Bu yerdeğiĢtirmelerin kiriĢ boyuna ekseni yani ekseni boyunca da doğrusal olarak değiĢtiği varsayımı yapılırsa yerdeğiĢtirme bileĢenleri
Ģeklinde ifade edilebilir.
ġekil 2.2 : Dikdörtgen sonlu eleman ve düğüm noktası serbestlikleri. u w v z s u(s,z) (s,z) w(s,z) v(s,z)
15
ġekil 2.3’te de görüldüğü gibi eleman serbestliklerinden 8’i eleman düzlemi içindeki yerdeğiĢtirmelere, diğer 8 serbestlik derecesi ise eleman düzlemine dik yerdeğiĢtirmeye ve dönmeye karĢı gelmektedir. Bu tip bir eleman, sistemin boyuna ekseni boyunca plak eğrilik ve momentlerinin diğer kesit zorları yanında ihmal edilebilir düzeyde olduğu sistemlerde kullanılabilmekte, ancak, yeterli sonuçların elde edilmesi için sistemin boyuna yönde çok sayıda elemana bölünmesi gerekmektedir.
ġekil 2.3 : Dikdörtgen sonlu elemanın düzlem içi ve düzleme dik serbestlikleri. Düğüm noktalarında serbestliklerinin yanında bu serbestliklerin değiĢkenine göre türevleri de bilinmeyen olarak alınarak daha geliĢmiĢ bir eleman modeli elde edilebilmektedir. Bu durumda her düğüm noktasında 8 olmak üzere elemanda toplam 32 serbestlik derecesi bulunur ve tüm yerdeğiĢtirme fonksiyonları ekseni boyunca 3. polinomları ile ifade edilerek
halini alır.
boyuna ekseni doğrultusunda membran kesit zorlarının değiĢiminin önem kazandığı problemlerde, ve yerdeğiĢtirme bileĢenlerinin bu doğrultuda 3. polinomu ile ifade edilmesiyle ġekil 2.4’te gösterilen 16 serbestlik dereceli levha eleman hızlı bir yakınsaklık özelliği göstermektedir.
z s u1 v1 1 s z 4 3 2 1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 w4 4 w3 3 w2 2 1 2 3 4 w1
16
ġekil 2.4 : Levha sonlu eleman ve serbestlikleri.
Örneğin ġekil 2.5’teki konsol kiriĢ hesabı için, bu levha eleman kullanıldığında tek bir elemanla bile kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkisi dahil, yerdeğiĢtirme ve kesit zorlarının kesin değerlerinin elde edilmesi mümkün olmaktadır. ekseni boyunca yerdeğiĢtirme bileĢenlerinin doğrusal olarak alındığı elemanın kullanılması durumunda ise önceden de belirtildiği gibi sistemi her iki doğrultuda sık elemanlara bölmek gerekmektedir.
ġekil 2.5 : Konsol kiriĢ.
Kapalı kesitli kiriĢlerde, boyuna doğrultuda eğrilik ve eğilme momentleri ihmal edilebilecek mertebede olduğu için, aslında yerdeğiĢtirmelerinin değiĢkenine göre 3. polinomlarla ifade edilmesine gerek yoktur. Ancak birbirleri ile farklı açılarla birleĢen elemanların ortak boyuna ayrıtları boyunca yerdeğiĢtirmelerinin sürekliliğinin sağlanması için bileĢenini de bileĢeni ile aynı mertebeden bir fonksiyonla ifade etmek gerekmektedir. Benzer zorunluluk dönme bileĢeni için söz konusu olmadığından, dönmesi ’ye göre doğrusal değiĢtirilmiĢ ve bunun sonucu, elemanda düğüm noktaları burulma eğrilikleri ayrı bağımsız serbestlikler olarak alınmamıĢtır. Bu durumda eleman toplam serbestliği 28’e düĢer. ġekil 2.6’da 16 ve 12 serbestlik dereceli plak sonlu elemanlar gösterilmektedir.
z s u1 u/z)1 v1 4 3 2 1 v/z)1 u2 v2 v/z)2 u/z)2 u3 v3 u/z)3 v/z)3 u4 v4 u/z)4 v/z)4 z s M T
17
ġekil 2.6 : 16 ve 12 serbestlikli plak sonlu elemanlar. 2.1.2 Ġnce kabuk sonlu eleman ĢekildeğiĢtirme yüzeyi
Birim durum fonksiyonları, düğüm noktası serbestliklerinin ayrı ayrı birim değerleri için yerdeğiĢtirme bileĢenlerinin eleman yüzeyinde yayılıĢını belirlemekte ve (2.2)’de verildiği gibi ve değiĢkenine göre doğrusal veya 3. fonksiyonların çarpımları Ģeklinde olmaktadır. doğrusal değiĢimi, ve 3. değiĢimleri gösteren bu yardımcı fonksiyonlar ve karĢı geldikleri sınır koĢulları Çizelge 2.1’de verilmiĢtir. 1 2 3 4 w1 s z (w/z)1 w/s)1 (w/z)2 (w/s)2 w2 (w/z)3 (w/s)3 w3 (w/z)4 (w/s)4 w4 w4 (w/s)4 (w/z)4 w3 (w/s)3 (w/z)3 s 4 3 w2 (w/s)2 (w/z)2 w/s)1 (w/z)1 w1 2 1 w/2 sz)1 w/2 sz)2 w/sz)3 2 w/2 sz)4
18
Çizelge 2.1 : Dikdörtgen sonlu elemana ait yardımcı fonksiyonlar ve sınır koĢulları.
Fonksiyon Sınır KoĢulu ġekil
1 2 1 + _ 1 2 1 1 + 1 2 1 + 2 1 1 2 1 + 1 1 2 + 1 2 a/2 a/2 x=a/2 x x=-a/2
19
Elemanın herhangi bir düğüm noktasının yerdeğiĢtirme parametreleri
Ģeklinde yazılabilir. Elemanın tüm serbestliklerinin matris formunda ifadesi ise
Ģeklindedir. ġekil 2.7’de gösterilen sonlu elemandaki serbestliklerin 16’sı düzlem içindeki yerdeğiĢtirmeleri belirleyen levha davranıĢına, 12’si ise elaman düzlemine dik etkilere karĢı gelen plak davranıĢına aittir.
ġekil 2.7 : 28 serbestlik dereceli dikdörtgen kabuk sonlu eleman [1]. Elemanda yerdeğiĢtirme yüzeyi eleman serbestliklerine bağlı olarak
Ģeklinde elde edilebilir. Burada matrisinin her kolonu, karĢı gelen serbestliğin
birim değerinde, elemanda yerdeğiĢtirme bileĢenlerinin yayılıĢ fonksiyonlarını göstermekte olup matrisi
1 2 3 4 d14=
z2 d8 d11 d10 d13 d12 d9 d2=v1 d3=w1 d7=
z d4=z1 d21=
z3 d17 d20 d19 d16 d15 d18 d23 d26 d27 d24 d25 d22 d28=
z4 d5=s1 d 6=n1 d1=u1 s z b/2 b/2 a/2 a/220
Ģeklinde ifade edilmektedir.
Seçilen bu eleman, sonlu elemanlar yönteminin rijit yerdeğiĢtirme ve sabit ĢekildeğiĢtirme kriterleri olarak bilinen yakınsaklık koĢullarını tümüyle sağlamaktadır.
21
2.1.3 Kaymaya bağlı ĢekildeğiĢtirme yüzeyi
Plak elemanda yerdeğiĢtirme yüzeyi için seçilen 3. polinomlardan oluĢan Ģekil fonksiyonlarından türetilen momentler, eleman içinde doğrusal değiĢim göstermekte, momentlerin türevi olan kesme kuvvetleri ise sabit olmaktadır. Bu sebeple, kayma ĢekildeğiĢtirmelerinden oluĢan yerdeğiĢtirme yüzeyi her iki doğrultuda doğrusal olarak değiĢen fonksiyonların çarpımı olmak üzere yalnız köĢe noktalarının çökmelerine bağlı olarak
(2.7) Ģeklinde ifade edilebilmektedir, ġekil 2.8.
ġekil 2.8 : Kayma elemanı [37].
ifadeleri ve değiĢkenlerine göre doğrusal olarak değiĢen ve
yardımcı fonksiyonların çarpımından oluĢmaktadır.
ve
olmak üzere çökmeye bağlı yerdeğiĢtirmeler matris formunda
olarak yazılabilir. a/2 a/2 b/2 b/2 z s d1 4 3 2 1 d2 d3 d4 w
22
Dikdörtgen kalın kabuk elemana ait toplam ĢekildeğiĢtirme yüzeyi, mevcut eğilme yerdeğiĢtirme yüzeyleriyle kayma ĢekildeğiĢtirmelerinden oluĢan yerdeğiĢtirme yüzeylerinin toplanmasıyla
olarak elde edilir. Kayma etkilerinin göz önüne alındığı kalın kabuk elemana ait
rijitlik matrisinin nasıl elde edildiği Bölüm 2.1.7’de anlatılacaktır.
2.1.4 Ġnce kabuk elemanda kesit zorları - uç yerdeğiĢtirmeleri arasındaki bağıntılar
Düzlemsel elemanlarda, ĢekildeğiĢtirme ve eğriliklerin yerdeğiĢtirme bileĢenleri cinsinden ifadeleri
bağıntıları ile verilebilmektedir. Kapalı kesitli kiriĢlerde boyuna yönde eğilme momenti ve burulma momenti ihmal edilebilir düzeydedir. Bu nedenle eleman ĢekildeğiĢtirme matrisinde bu zorlara karĢı gelen eğrilikler göz önüne alınmamıĢtır. Elemanın herhangi bir noktasında ĢekildeğiĢtirmeleri yerdeğiĢtirmelere bağlayan ifade olarak yazılabilir. ve
