Düzlem ve eğrisel kabuk sonlu elemanlarla oluĢturulan çeĢitli yapı sistemlerinin hem kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkilerinin, hem de geometri değiĢimleri bakımından doğrusal olmayan davranıĢlarının incelendiği, serbest titreĢim periyot ve modlarının bulunduğu ve burkulma yüklerinin belirlendiği bu çalıĢmada elde edilen sonuçlar aĢağıda özetlenmiĢtir.
1. Kutu kesitli köprülerin geometri değiĢimleri bakımından doğrusal olmayan davranıĢlarının incelenebilmesi için, kullanılan dikdörtgen ve koni sektörü sonlu elemanlara ait II.mertebe rijitlik matrisleri elde edilmiĢtir. Dikdörtgen kabuk sonlu elemana ait II.mertebe etkileri rijitlik matrisi kapalı formda oluĢturulmuĢ, matrisin elemanları tablolar halinde verilmiĢtir. Elde edilen bu matris I.mertebe rijitlik matrisi terimlerine eklenerek II.mertebe rijitlik matrisi oluĢturulmuĢtur. Sayısal integrasyon yoluyla I.mertebe rijitlik matrisinin elde edildiği koni sektörü sonlu elemana ait II.mertebe ek terimleri yine sayısal integrasyon yoluyla oluĢturulup I.mertebe terimlerine eklenmesiyle II.mertebe rijitlik matrisi elde edilmiĢtir.
2. 6. örnekteki konsol bölümleri değiĢken kalınlıklı olarak seçilmiĢtir. Eleman kalınlıklarının da sayısal integrasyonun içerisine alınmasıyla, söz konusu değiĢken kalınlıklı koni sektörü sonlu elemanların rijitlik, yükleme ve kütle matrisleri kolaylıkla hesaplanabilmektedir.
3. 5. ve 6. örneklerden de görüldüğü gibi, açıklık ortasında eksantrik yükleme altında kesit kalınlıklarının yeter derecede küçük olmadığı doğru ve eğri eksenli betonarme köprülerde II.mertebe hesabından elde edilen düĢey yerdeğiĢtirmeler ve kesit zorları I.mertebe hesabıyla elde edilen sonuçlarla yaklaĢık olarak aynıdır. Aynı örnekler kendi ağırlıkları altında çözüldüklerinde ise düĢey yerdeğiĢtirmeler sadece %1 oranında artıĢ göstermektedir. 1. örnekteki açık kesitli basit mesnetli çelik kiriĢin II.mertebe hesabında ise düĢey yerdeğiĢtirmeler %24.5 oranında artmaktadır. Bu sonuçlar karĢılaĢtırıldığında, hem kesit kalınlıklarının ince olmaması hem de kapalı kutu kesit Ģekli nedeniyle betonarme köprülerde II.mertebe etkileri önemli olmazken,
124
kesit kalınlıklarının küçük olduğu açık kesitli çelik kiriĢlerde bu etkilerin önem kazandığı görülmektedir.
4. Dikdörtgen ve koni sektörü kabuk sonlu elemanlar kullanılarak, kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri ile birlikte II.mertebe etkilerinin de önemli olduğu tabakalı kiriĢ ve plaklar ile ince cidarlı çok parçalı çubuk sistemlerin hesabı da yapılabilmektedir. 2. ve 3. örneklerdeki çok parçalı basınç çubuğu ve iki ucu ankastre mesnetli tabakalı kiriĢ, hem dikdörtgen kabuk sonlu elemanlarla, hem de merkez açısı çok küçük ve yarıçapı çok büyük verildiğinde dikdörtgene de dönüĢtürülebilen koni sektörü sonlu elemanlarla çözülmüĢ, elde edilen burkulma yükleri ve yerdeğiĢtirmelerin, çubuk teorisine göre bulunan değerlere çok yakın olduğu görülmüĢtür. 2. örnekte, kayma etkilerinin hesaba katılmasıyla, verilen yükleme altında uç yerdeğiĢtirmesi yaklaĢık 0.9 kat artmakta, sistemin burkulma yükü yaklaĢık 0.43 kat azalmaktadır. 3. örnek olan iki ucu ankastre mesnetli tabakalı kiriĢte ise kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin etkileri dikkate alındığında yerdeğiĢtirme değeri yaklaĢık olarak 5.5 kat artmakta, sistemin burkulma yükü yaklaĢık 5 kat azalmaktadır. Elde edilen sonuçlardan, bu tür sistemlerde kayma etkilerinin önemli olduğu ve mutlaka göz önüne alınması gerektiği görülmektedir.
5. Sonlu elemanlara geometri değiĢimlerinin etkilerinin eklenmesiyle açık kesitli kiriĢ ve dairesel plak gibi sistemlerin burkulma yükleri de ardıĢık yaklaĢımla bulunabilmektedir. Eğim açısı sıfır alındığında halka sektörüne dönüĢen koni sektörü sonlu eleman, 4. örnekte verilen dairesel plak gibi sistemlerde kullanıldığında az sayıda elemanla yeter yaklaĢıklıkta sonuç bulunabilmektedir. Dikdörtgen kabuk eleman kullanılarak oluĢturulan açık kesitli çelik kiriĢ ve koni sektörü kabuk eleman kullanılarak oluĢturulan dairesel plak için bulunan burkulma yükleri, analitik çözümlerle elde edilen değerlerle karĢılaĢtırıldıklarında sonuçların yeter yaklaĢıklıkta olduğu da görülmüĢtür. Ayrıca ankastre mesnetli dairesel plağın burkulma yükü, basit mesnetli dairesel plağın burkulma yüküyle karĢılaĢtırıldığında bu değerin yaklaĢık olarak 3.5 kat arttığı görülmektedir.
6. Enkesitlerinde rijitleĢtirici diyaframlar bulunan kutu kesitli köprülerin analizi için 12 serbestlik dereceli bir genel dörtgen levha sonlu eleman kullanılmıĢtır. Köprünün, üzerinde rijitleĢtirici diyafram bulunan enkesitlerine yerleĢtirilen bu sonlu eleman, o enkesitte birleĢen makroelemanlardan herhangi birine aitmiĢ gibi düĢünülerek kolaylıkla göz önüne alınabilmekte ve diyafram davranıĢını tam olarak
125
yansıtmaktadır. 5. örnekte incelenen doğru eksenli kutu kesitli köprü, 2 diyaframlı, 4 diyaframlı ve diyaframsız olarak çözülmüĢ ve sonuçlar karĢılaĢtırılmıĢtır. Buna göre, sistem enkesitlerinde diyafram kullanımı, tüm sistem boyunca çarpılmadan dolayı oluĢan yerdeğiĢtirme ve normal kuvvetleri önemli ölçüde azaltmaktadır. Ayrıca yalnız mesnet enkesitlerinde diyaframların kullanılması bile bu kesitlerde önemli değerler alan enine eğilme momentlerini yok etmekte, 4 diyafram kullanıldığında ise köprü boyunca enine yöndeki eğilme momentleri önemli ölçüde küçülmektedir. 7. Kutu kesitli köprülerin serbest titreĢim hesabı için gerekli olan kütle matrisleri elde edilmiĢtir. Dikdörtgen elemana ait kütle matrisi kapalı formda verilirken, koni sektörü sonlu elemana ait kütle matrisi, rijitlik matrisi hesabında olduğu gibi sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir. Ayrıca diyaframlı köprülerin doğal titreĢim periyot ve modlarının belirlenebilmesi için genel dörtgen elemanın kütle matrisi de yine sayısal integrasyonla elde edilmiĢtir. Yapılan hesaplarda diyaframlı ve diyaframsız doğru eksenli kutu kesitli köprülere ait doğal titreĢim periyotları karĢılaĢtırıldıklarında, köprülerde rijitleĢtirici diyafram kullanımıyla doğal titreĢim periyotlarının küçüldüğü görülmüĢtür. Bu çalıĢmada, eleman kütle matrisleri, elemanlarda yayılı kütle durumu göz önüne alınarak elde edilmiĢtir. SAP2000 programında ise, kütlelerin düğüm noktalarında toplandığı varsayımıyla oluĢturulan köĢegen kütle matrisleri kullanılmaktadır. Bu nedenle, bu çalıĢmada elde edilen doğal titreĢim periyotları SAP2000 programıyla elde edilen değerlere göre gerçeğe daha yakındır.
8. ÇalıĢma düzeni ve kullanım Ģekli 4.bölümde açıklanan bilgisayar programıyla hem kutu kesitli köprülerin hem de açık kesitli kiriĢ ve dairesel plak gibi sistemlerin I. ve II. mertebe teorilerine göre hesapları yapılabilmekte, bu sistemlerin tüm doğal titreĢim periyot ve modlarının yanı sıra sistemlere ait burkulma yükleri de bulunabilmektedir.
9. Dikdörtgen ve koni sektörü kalın kabuk sonlu elemanlar, kalınlıkları azaltıldığında ince kabuk elemanlara yakınsamakta ve kayma kilitlenmesi problemi de söz konusu olmamaktadır.
10. Kutu kesitli köprülerde, uzun doğrultudaki eğrilik ve eğilme momentleri ile burulma momentleri ihmal edilebilir düzeydedir. Bu nedenle, kullanılan 7 serbestlikli dikdörtgen düzlem kabuk sonlu elemanın bu doğrultudaki ĢekildeğiĢtirmelerinin
126
hesaba katılmasına ve burulmanın düğüm noktalarında ayrı birer serbestlik olarak alınmasına gerek duyulmamıĢtır. Ancak bu elemana uzun doğrultudaki ĢekildeğiĢtirmeler ve burulma serbestliği 8. bilinmeyen olarak kolaylıkla eklenebilir ve eleman, bu etkilerin önemli olduğu yapı sistemlerinde de kullanılabilir.
11. Kullanılan süperparametrik kabuk sonlu elemanlara ait Ģekil fonksiyonları ve türevleri yüksek mertebeden oldukları için, elde edilen ĢekildeğiĢtirmeler ve gerilmeler, aynı sayıda izoparametrik sonlu elemanlar kullanılarak elde edilenlere göre analitik sonuçlara daha yakındır.
12. Sistem rijitlik matrisinin esas köĢegeni üzerindeki terimine rijitlik matrisi terimlerinin mertebesine oranla çok büyük olan bir rijitliğin eklenmesiyle, herhangi bir yerdeğiĢtirme bileĢeninin çok rijit bir mesnet bağı ile tutulması durumunun yanı sıra, belirli bir yay katsayısına sahip bir elastik mesnetle tutulması durumu da ayrıca bir hesap gerektirmeden göz önüne alınabilir. Bu yöntem mesnet çökmesine göre hesabı da çok basitleĢtirmektedir.
13. Makroelemanların birleĢtirilmesiyle elde edilen sistem rijitlik matrisinin hesaplanmasında kullanılan Frontal teknik sayesinde, teorik olarak sonsuz sayıda bilinmeyenli sistemler çözülebilir.
Bu çalıĢma kapsamı dıĢında olmakla birlikte geliĢtirilen kabuk sonlu elemanlar ve bilgisayar programı aĢağıda sıralanan etkilerin göz önüne alınmasına da açıktır. 1. Söz konusu sonlu elemanlar kullanılarak deprem ve araç-köprü etkileĢimi gibi dinamik karakterli etkiler de kutu kesitli köprülerin hesabında göz önüne alınabilir.
2. Kullanılan sonlu elemanlara ait malzeme matrisinin ortotrop malzeme kabulüne göre belirlenmesiyle, boyuna ve enine doğrultuda sık nervürlerle gövde levhalarının rijitleĢtirildiği çelik köprüler gibi ortotrop köprülerin hesabı da kolaylıkla yapılabilir.
3. Verilen genel yöntem, malzeme davranıĢı üzerinde Newton-Raphson veya benzer bir ardıĢık yaklaĢım tekniği ile doğrusal olmayan malzemeden yapılmıĢ sistemlerin hesabına da uygulanabilir.
4. Uygulamalarda kutu kesitli körülerde enkesit yüksekliklerini ve birim boya gelen yapı öz ağırlıklarını azaltmaya yönelik olarak ard germeli sistemler yaygın
127
olarak kullanılmaktadır. Her ne kadar çalıĢmada çözülmüĢ örneklerde betonarme kutu kesitli sistemlerde ikinci mertebe etkilerinin yerdeğiĢtirme ve kesit zorlarına etkisinin az olduğu gözlenmiĢ olsa da beton kesite oldukça büyük basınç normal kuvvetleri vereceği açık olan ön veya ard germeli betonarme köprülerin geometri değiĢimleri bakımından doğrusal olmayan hesabı da yapılabilir.
129
KAYNAKLAR
[1] Saygun, A., 1979. Eğri eksenli kutu kesitli kiriĢlerin hesabı için bir sonlu elemanlar yöntemi , Doçentlik Tezi.
[2] Jang, G.W., Kim, Y. Y., 2005. Mixed state-vector finite element analysis for a higher-order box beam theory, Comput Mech., 36, 217–225.
[3] Subramanian, P., 1999. Finite element analysis of thick homogeneous plates, Computers and Structures, 71, 469-480.
[4] Yildiz, H., Sarikanat, M., 2001. Finite-element analysis of thick composite beams and plates, Composites Science and Technology, 61, 1723–1727.
[5] Aksu Ozkul, T., Ture,U., 2004. The transition from thin plates to moderately thick plates by using finite element analysis and the shear locking problem, Thin-Walled Structures, 42,1405–1430. [6] Wu Y., Lai Y., Zhang X., Zhu Y., 2004. A finite beam element for analyzing shear lag and shear deformation effects in composite-laminated box girders, Computers and Structures, 82, 763–771.
[7] Kocak, S., Hassis H., 2003. A higher order shear deformable finite element for homogeneous Plates, Engineering Structures, 25, 131–139.
.
[8] Vallejo, D.G., Mikkola, A.M., Escalona, J.L.,2007. A new locking-free shear
deformable finite element based on absolute nodal coordinates, Nonlinear Dynamics, 50:249–264.
[9] Minghini F., Tullini N. and Laudiero F., 2007. Locking-free finite elements for shear deformable orthotropic thin-walled beams, International Journal For Numerical Methods In Engineering, 72:808–834. [10] Oh, J., Maenghyo Ch, M., Kim, J.S., Grediac, M., 2008. A finite element formulation based on an enhanced first order shear deformation theory for composite and sandwich structures, Journal of Mechanical Science and Technology, 22, 871-878.
[11] Pontaza, J.P., Reddy, J.N., 2005. Least-squares finite element formulation for shear-deformable shells, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 194, 2464–2493.
[12] Aagaah, M.R., Mahinfalah, M., Jazar, G.N., 2003. Linear static analysis and finite element modeling for laminated composite plates using third order shear deformation theory, Composite Structures, 62, 27–39.
130
[13] Barradas Cardoso, J.E., Benedito, NunoM.B., Valido, Anı´bal J.J., 2009. Finite element analysis of thin-walled composite laminated beams with geometrically nonlinear behavior including warping deformation, Thin-Walled Structures, 47, 1363–1372.
[14] Wang, X., Yang, Q., 2009. Geometrically nonlinear finite element model of spatial thin-walled beams with general open cross section, Acta Mechanica Solida Sinica, 22, 64-72.
[15] Romero, I., 2008. A comparison of finite elements for nonlinear beams: the absolute nodal coordinate and geometrically exact
formulations, Multibody Syst Dyn, 20: 51–68
[16] Kordkheilia,S.A.H., Naghdabadib,R., M. Jabbarzadehc,M., 2008. A geometrically nonlinear finite element formulation for shells using a particular linearization method, Finite Elements in Analysis and Design, 44, 123 – 130.
[17] Kuznetsov, V.V., Levyakov, S.V. , 2008. Geometrically nonlinear shell finite element based on the geometry of a planar curve, Finite Elements in Analysis and Design, 44, 450 – 461.
[18] Kuznetsov, V.V., Levyakov, S.V., 2007. Refined geometrically nonlinear formulation of a thin-shell triangular finite element, Journal of applied mechanics and technical physics, 48, 755–765.
[19] Kuznetsov, V.V., Levyakov, S.V., 2007. Phenomenological invariant-based finite-element model for geometrically nonlinear analysis of thin shells, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,196, 4952– 4964.
[20] Gal, E., Levy, R., 2006. Geometrically Nonlinear Analysis of Shell Structures Using a Flat Triangular Shell Finite Element, Arch. Comput. Meth. Engng., 13, 331-388.
[21] Dau,F., Polit,O., Touratier,M., 2006. C1 plate and shell finite elements for geometrically nonlinear analysis of multilayered structures, Computers and Structures, 84, 1264–1274.
[22] Polat,C., Ulucan,Z.Ç., 2007. Geometrically Non-linear Analysis of Axisymmetric Plates and Shells, International Journal of Science & Technology, 2, 33-40.
[23] Providas,E., Kattis,M. A., 1999. A simple finite element model for the geometrically nonlinear analysis of thin shells, Computational Mechanics, 24, 127-137.
[24] Petrov,E., Geradin, M., 1998. Finite element theory for curved and twisted beams based on exact solutions for three-dimensional solids Part1: Beam concept and geometrically exact nonlinear formulation, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 165, 43-92. [25] Imai,K., Frangopol,D.M., 2000. Geometrically nonlinear finite element reliability analysis of structural systems. I: theory, Computers and Structures, 77, 677-691.
[26] Vo,T.P., Lee,J., 2009. Geometrically nonlinear analysis of thin-walled composite box beams, Computers and Structures, 87, 236–245.
131
[27] Voyiadjis,G.Z., Woelke,P., 2006. General non-linear finite element analysis of thick plates and shells, International Journal of Solids and Structures, 43, 2209–2242.
[28] Lee,S.Y., Wooh, S.C., 2004. Finite element vibration analysis of composite box structures using the high order plate theory, Journal of Sound and Vibration, 277, 801–814.
[29] Kabir,H.R.H., Al-Khaleefi,A.M., 2002. Frequency Response of a Three-Node Finite Element for Thick and Thin Plates, Journal of Vibration and Control,8, 1123-1155.
[30] Gams,M., Saje, M., Srpcic, S., Planinc, I., 2007. Finite element dynamic analysis of geometrically exact planar beams, Computers and Structures, 85, 1409–1419.
[31] Reddy, J.N., 1999. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite elements, Sadhana, Printed in India, 24,175-198.
[32] Jelenic,G., Crisfield,M.A., 1999. Geometrically exact 3D beam theory: implementation of a strain-invariant finite element for statics and dynamics, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,171, 141- 171.
[33] Jun,L., Hongxing,H., Rongying,S., 2008. Dynamic finite element method for generally laminated composite beams, International Journal of Mechanical Sciences, 50, 466–480.
[34] Subramanian,P., 2006. Dynamic analysis of laminated composite beams using higher order theories and finite elements, Composite Structures, 73, 342–353.
[35] Vo,T.P., Lee,J., 2008. Free vibration of thin-walled composite box beams, Composite Structures, 84, 11–20.
[36] Long, Y., Xu, Y., 1994. Generalized conforming quadrilateral membrane element with vertex rigid rotational freedom. Computers and Structures, 52, 749-755.
[37] Çelik, M., 1996. Plak sonlu elemanlarda kayma ĢekildeğiĢtirmelerinin göz önüne alınması ve iki parametreli zemine oturan plakların hesabı için bir yöntem, Doktora Tezi.
[38] Saygun, A.,1974. Yüzeysel taĢıyıcı sistemlerin hesabı için eğrisel sonlu elemanlar, Doktora Tezi.
[39] Long, Y., Xin,K., 1989. Generalized conforming element for bending and bucking analysis of plates. Finite Elements in Analysis and Design, 5, 15-30.
[40] Çalık Karaköse, Ü. H. , Askes, H., 2008. Static and dynamic convergence studies of a four-noded membrane finite element with rotational degrees of freedom based on displacement superposition. Communications in Numerical Methods in Engineering, DOI: 10.1002/cnm.1203.
132
[41] Foudil, M., Bouzerira, C., Potier-Ferry, M., 2008. Lateral buckling of thin- walled beam-column elements under combined axial and bending loads. Thin Walled Structures, 46, 290-302.
[42] Çakıroğlu, A., 1978. Kayma ĢekildeğiĢtirmeleri göz önünde tutulan II.mertebe teorisine ait çubuk sabitleri. İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Fakültesi, Teknik Rapor No:32.
[43] Huang, H., Kardomateas G.A., 2002. Buckling and Initial Postbuckling Behavior of Sandwich Beams Including Transverse Shear. AIAA JOURNAL, 40, 2331-2335.
133
ÖZGEÇMĠġ
Ad Soyad: Ülkü Hülya ÇALIK KARAKÖSE Doğum Yeri ve Tarihi: Edirne / 29.01.1977 Lisans Üniversite: Ġstanbul Teknik Üniversitesi Yayın Listesi:
Çalık Karaköse, Ü. H. , Askes, H., 2008. Static and dynamic convergence studies of a four-noded membrane finite element with rotational degrees of freedom based on displacement superposition. Communications in Numerical Methods in Engineering, DOI: 10.1002/cnm.1203.
Çalık Karaköse, Ü. H., Askes H., Orakdöğen E., A four-noded isoparametric quadrilateral membrane finite element based on displacement superposition, The sixteenth Annual Conference of the Association for Computational Mechanics in Engineering, 1-2 Nisan 2008, Bedson Teaching Centre Newcastle University, Newcastle upon Tyne, Ġngiltere
Çalık Karaköse, Ü. H., Askes, H., A four-noded membrane finite element with rotational degrees of freedom based on displacement superposition and its performance studies, 17th UK National Conference on Computational Mechanics in Engineering, 6-8 Nisan 2009, Nottingham, Ġngiltere
Çalık Karaköse, Ü. H., Saygun, A.I., Diaphragm effect on box-girder bridges using finite elements, 18th UK Conference on Computational Mechanics (ACME - UK), 29-31 Mart 2010, Southampton, Ġngiltere