Zaman Skalasında Riemann Delta Ve Nabla İntegrali

(1)

T.C.

UŞAK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ZAMAN SKALASINDA RİEMANN DELTA ve NABLA İNTEGRALİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

TUĞBA KARATAŞ

AĞUSTOS 2010 UŞAK

(2)

T.C.

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ZAMAN SKALASINDA RİEMANN DELTA ve NABLA İNTEGRALİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

TUĞBA KARATAŞ

(3)

(4)

(5)

ZAMAN SKALASINDA RİEMANN DELTA VE NABLA İNTEGRALİ (Yüksek Lisans Tezi)

Tuğba KARATAŞ

Ağustos 2010

ÖZET

Son yıllarda büyük ilgi odağı olan Zaman Skalası kavramı ilk olarak 1988 yılında Stefan Hilger’in doktora çalışmasında sürekli ve kesikli analizi birleştirilmek için ortaya atılmıştır. Örneğin, diferensiyel denklemler ile fark denklemleri bu çalışma ile dinamik denklemler adı altında genelleştirilmiştir.

Bu tezde, Riemann Delta ve Nabla integrali incelenmiştir. Bu çalışmanın ikinci bölümünde konuyla ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.

Üçüncü bölümde,



a,b



aralığı üzerinde tanımlı reel değerli sınırlı fonksiyonların Riemann Delta integrali ifade edilmiş, benzer şekilde Riemann Nabla integrali ile ilgili kavramlar kısaca tanımlanmıştır.

Dördüncü bölümde, zaman skalasında Riemann integralinin özellikleri verilmiştir. İntegralin Darboux tanımı incelenmiştir. Ayrıca zaman skalasında Riemann integral tanımı verilmiş, Riemann ve Darboux integral tanımlarının eşit olduğu ispatlanmıştır.

Beşinci bölümde ise, zaman skalasında integral hesabının temel teoremleri verilmiştir.

Bilim Kodu : 39A10

Anahtar Kelimeler: Zaman skalası, Hilger türev, Riemann delta integrali Sayfa Adedi : 51

(6)

THE RİEMANN DELTA AND NABLA İNTEGRALS ON TİME SCALES ( M. Sc. Thesis)

Tuğba KARATAŞ

UŞAK UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY August 2010

ABSTRACT

The theory of time scales, which has recently received a lot of attention, was introduced by Stefan Hilger in his PhD thesis in 1988 in order to unify continuous and discrete analysis. For example, in this study differential equations and difference equations under the name of the dynamic equations is generalized.

In this thesis, we consider Riemann Delta and Nabla integration on time scales. In chapter second, the basic definitions and theorems are given related to this subject.

In third chapter, real-valued bounded functions defined on



a,b



of Riemann delta integration is stated; smilarly, the concepts of nabla integral are given briefly.

In forth chapter, the concepts of Riemann integral on time scales are given. The Darboux definition of the integral is considered. Here we give also the Riemann definition of the integral on time scales and we prove the equivalence of the Darboux and Riemann definitions of the integral.

Fundamental theorems of calculus on time scales are given in chapter fifth.

Science Code : 39A10

Key Words : Time Scale, Hilger derivative, Riemann delta integral Page Number : 51

(7)

TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla bana yol gösteren, yönlendiren önerilerde bulunarak değerli zamanını benden esirgemeyen Sayın Hocam Yrd. Doç. Dr. M. Seyyit Seyyidoğlu’na ve desteğini benden esirgemeyen aileme teşekkürü bir borç bilirim.

(8)

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR...iii İÇİNDEKİLER... iv SİMGELER VE KISALTMALAR... v 1. GİRİŞ...1 2. TEMEL KAVRAMLAR...2 2.1. Diferensiyellenebilirlik………...……...5

2.2.Ortalama Değer Sonuçları………..19

3. RİEMANN DELTA ve NABLA İNTEGRALLERİ... 24

3.1. Temel Tanımlar ve Teoremler………. 24

4. RİEMANN İNTEGRALİNİN ÖZELLİKLERİ……….. 37

4.1. İntegrallenebilen Bazı Fonksiyon Sınıfları………... 37

5. TÜREV VE İNTEGRAL……….46

5.1. İntegral Hesabının Temel Teoremleri……….. 46

KAYNAKLAR...50

ÖZGEÇMİŞ...51

(9)

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

T _{Zaman skalası}

R _{Reel sayılar kümesi}

Z _{Tam sayılar kümesi}

N _{Doğal sayılar kümesi}

0

N Negatif olmayan tam sayılar kümesi



a,b



Kapalı aralık

P Bir aralığın parçalanması

P



_a,_b



_{aralığının tüm}_P_{parçalanmalarının kümesi}

 İleri sıçrama operatörü

 Geri sıçrama operatörü

 Sıçrama fonksiyonu



f f fonksiyonunun delta türevi





f f fonksiyonunun delta türevinin ileri sıçraması



f f fonksiyonunun ikinci delta türevi

i M M_i sup



f

 

t :t



t_i_₁,

 

t_i





i m m_i inf



f

 

t :t



t_i_₁,

 

t_i







f P



Ü , Üst Darboux -toplamı



f P



A , Alt Darboux -toplamı



f P



R , Riemann toplamı

 



 b a t t f Darboux -integrali

 



 b a t t f Darboux -integrali

(10)

1.GİRİŞ

Son zamanlarda dikkat çeken yeni çalışma alanlarından birisi de zaman skalası teorisidir. Zaman skalası 1988 yılında Stefan Hilger tarafından ortaya atılmıştır. Stefan Hilger kesikli analiz ile sürekli analizi bir çatı altında birleştirmek amacıyla bu teoriyi ortaya atmıştır. Bunun için her iki analizde kullanabileceği kümeleri göz önüne almış ve bu kümelere zaman skalası adını vermiştir. Daha sonra görüleceği gibi bu teori, zaman skalası reel sayılar cümlesi alındığında sürekli analiz ile, tamsayılar kümesi olarak alındığında ise kesikli analiz ile çakışmaktadır.

Reel sayıların boştan farklı kapalı alt kümesine zaman skalası denir ve T_{ile gösterilir.}

Örneğin; R_,N_,

0

N , Z_{, [2,3]{4}[5,8], Cantor kümesi gibi}R_{nin kapalı altkümeleri}

birer zaman skalasıdır. Fakat Q, R/Q, C , (0,1) kümeleri kapalı olmadıklarından birer zaman skalası değildir. Neden, reel sayıların “kapalı alt kümeleri” diye bir soru akıllara gelebilir. Buna cevap olarak reel sayıların açık alt kümelerinin yığılma noktalarının hepsini içermemesi verilebilir.

Sürekli ve kesikli analizdeki; süreklilik, türev, integral gibi birçok kavram ve bunlara bağlı olarak birçok teorem, zaman skalasında yeniden inşa edilebilmektedir. Böylece, zaman skalası teorisinde elde edilen sonuçlar, klasik teorideki sonuçlara nazaran çok daha genel olmakta ve klasik analizdeki sonuçlar, sırasıyla _{T }R_{ve T=Z alınması durumlarına}

karşılık gelmektedirler. Kısaca sıçrama operatörlerinin tanımları ile bu durumları örneklendirebiliriz. T_{bir zaman skalası olsun.} _t_T_{için ileri sıçrama operatörü}

T T  :

 olmak üzere _

 

t inf



sT:st



_{ile, geri sıçrama operatörü}__:_{T }T olmak üzere _

 

t sup



sT:st



_{ile tanımlanır. Eğer}_

 

_{t }_t ise t noktasına sağ saçılmış nokta, eğer 

 

t t ise t noktasına sol saçılmış nokta denir.

 

t t

tsup T ve  _{ise t noktasına sağ yoğun nokta, eğer}_t __inf T_ve _

 

_{t }_t ise t

noktasına sol yoğun nokta denir. Burada özel olarak, _{T }R_{alınırsa, her} _t_T_için

 

t t 

 

t

   olur. Diğer taraftan her _t_T_için _{T }Z_alınırsa, _

 

_t _{ t}_₁_ve

 

t  t1

 olur.

Bu çalışmada, zaman skalasında temel kavramlar ele alınarak, Rieman Delta ve Nabla intagralleri verildi. Riemann integralinin özellikleri ve integral hesabının temel teoremleri incelendi.

(11)

2.TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, çalışmamız için gerekli olan tanımlar, teoremler, bazı eşitsizlikler ve temel özellikler verilecektir.

Tanım 2.1. Reel sayıların boş olmayan keyfi kapalı bir alt cümlesine zaman skalası adı verilir [1].

R_,Z_,N,N , yani, reel sayılar, tamsayılar, doğal sayılar ve negatif olmayan tamsayılar ₀ zaman skalasına örnek olarak verilebilir. Zaman skalası genel olarak T_{sembolü ile}

gösterilir.

Tanım 2.2. T bir zaman skalası olsun. _t_T_{için ileri sıçrama operatörü}_ _:_{T }T

olmak üzere,

 

t inf



sT:s t





ve geri sıçrama operatörü __:_{T }T_{olmak üzere,}

 

t sup



sT:st





şeklinde tanımlanır. Eğer t noktası,T_{zaman skalasının maksimum noktası ise}_

 

_{t }_t_{, t}

noktası T nin minimum noktası ise 

 

t t olarak tanımlanır. Eğer 

 

t t ise t noktasına sağ saçılmış nokta, eğer 

 

t t ise t noktasına sol saçılmış nokta denir. t noktası hem sağ saçılmış nokta hem de sol saçılmış nokta ise izole nokta adını alır.

 

t t

tsup T ve  _{ise t noktasına sağ yoğun nokta, eğer}_t __inf T_ve _

 

_{t }_t ise t

noktasına sol yoğun nokta denir. Hem sağ yoğun hem de sol yoğun noktalara yoğun nokta adı verilir. 

 

t 

 

t t şeklinde tanımlanan : T



0,



fonksiyonuna sıçrama fonksiyonu denir. T zaman skalası , m sol saçılmış maksimum noktasına sahip ise

 

m -T T _

olarak aksi halde T _T_{olarak tanımlanır.} _f _:_{T }R_{bir fonksiyon} olmak üzere _f _:_{T }R_{fonksiyonu her}_t_T_için

 

t f



 

t



f  

(12)

t sağ saçılmış nokta ise t

 

t t sağ yoğun nokta ise t

 

t t sol saçılmış nokta ise 

 

t t t sol yoğun nokta ise 

 

t t t izole nokta ise 

 

t t

 

t t yoğun nokta ise 

 

t t

 

t ile tanımlanır[1].

Örnek 2.3.

(i) Eğer _{T }R _{ise her} _t_R noktası için

 

t inf



sR:st



inf



t,



t 

ve benzer şekilde

 

t sup



sR:st



sup



,t



t 

olacağından her _t_R_{noktası yoğun noktadır. Böylece}_{ fonksiyonu, her}_t_T_için

 

t 

 

t t tt0 

olarak bulunur.

(ii) _{T }Z_{olsun. Bu durumda, her t tamsayısı için,}

 

t inf



sZ:s t



inf



t1,t2,



t1 

ve benzer şekilde

 

t sup



sZ:st



sup



,t3,t2,t1



t1 

olacağından, 

 

t t 

 

t olur. Dolayısıyla her _t_Z_{noktası bir izole noktadır. Bu}

durumda  fonksiyonu her _t_Z_için

 

t 

 

t tt1t1 

olur.

Örnek 2.4. Aşağıda verilen zaman skalaları için , ve  fonksiyonlarını bulalım.

(i) 1: 

 

0         N T _n n (ii)         : ₀ 2 N T n _n

(13)

Çözüm: (i) 1: 

 

0         N T _n n zaman skalasında n n 1 1 1          olmak üzere,

 

         ise 1 , 1 ise 1 , 1 t t t t t 

elde edilir. Burada 

 

1 1 olup t 1 noktası T_{zaman skalasının maksimum noktasıdır.}

1 1 1         n n

 olduğundan her _t_T_için

 

1   t t t 

elde edilir. 

 

0 0 olmak üzere, t 0 noktası T_{zaman skalasının minimum noktasıdır.}

 

         ise, 1 , 0 ise, 1 , 1 2 t t t t t  bulunur. (ii)         N₀ T n_:_n

2 olmak üzere her

T  t için

 

2 1   t t 

 

         ise, 0 , 2 1 ise, 0 , 0 t t t t 

 

2 1  t  olarak bulunur.

Tanım 2.5. T_{zaman skalasındaki}_a_ve_b_{noktaları için}_{a }_b_olsun.



_a,_b



_aralığı,



a_,b







tT:atb



şeklinde tanımlanır. Benzer şekilde açık aralıklar ve yarı açık aralıklar da tanımlanabilir. Eğer b sol yoğun nokta ise



a,b



 



a,b



ve eğer b sol saçılmış nokta ise



a,b



 



a,b



(14)

2.1. Diferensiyellenebilirlik

Şimdi bir _f _:_{T }R_{fonksiyonunu gözönüne alalım ve bir}_t_T_noktasında _{f fonk-} siyonunun delta türevini tanımlayalım.

Tanım 2.6. _f _:_{T }R_{bir fonksiyon ve} _T



t olsun. Her  0 sayısı ve t nin bir U komşuluğundaki her s elemanı için

 





 



f  t  f s



 f 

   

t



 t s



 

 

t s

olacak şekilde f 

 

t _{sayısı mevcut ise, bu sayıya} _{f fonksiyonunun t noktasındaki delta} türevi veya Hilger türevi denir. Burada t noktasının bir U komşuluğu  0 olmak üzere



_ _



_T  t  t 

U , şeklindedir. Eğer her _t_T_için _f 

 

_t

sayısı mevcut ise f fonk- siyonuna T üzerinde delta diferensiyellenebilirdir denir [1]. 

R

T _

 

:

f

fonksiyonu f fonksiyonunun T daki türevi olarak adlandırılır [1]. 

Örnek 2.7. f fonksiyonunun iyi tanımlı olduğunu gösterelim.

Çözüm. _f _:_{T }R_{fonksiyonu verilsin.}_t_T_için _{f fonksiyonunun} _f 

 

_t

1 ve f

 

t  2

gibi iki farklı delta türevinin olduğunu kabul edelim. O halde,  0 sayısına karşılık t nin öyle bir U komşuluğu vardır ki, her s U için

 



t



f

 

s f

   

t



t s



 

t s f           2 1 ve

 



t



f

 

s f

   

t



t s



 

t s f           2 2

olur. Her s U

 

t için

 



 



 





 

t s f

 

t s f t f s t s f t f t f t f t f              ₂ ₁ ₂ 1    



 



 





 

t s f

 

t s f t f t f s t s f t f           ₁ ₂    

(15)

2 2      bulunur. Bu da

 

t f

 

t f₁  ₂

demektir. O halde delta türevi iyi tanımlıdır.

Örnek 2.8.

(i) _f _:_{T }R_{fonksiyonu her} _t_T_için _f

 

_t __



__R_sabit



_{ile tanımlanırsa}

 

0



t

f dır. Gerçekten delta türevin tanımından, her  0 sayısı ve her s U için

 



t



f

 

s



 

t s



 

t s

f   0      0  

olur.

(ii) _f _:_{T }R_{fonksiyonu her} _t_T_için _f

 

_t _{ ile tanımlanırsa}_t _f

 

_t _₁_dir.

Gerçekten de her  0 sayısı ve her s U için

 



t



f

 

s



 

t s



 

t s

 

t s

 

t s

f   1       0  

bulunur.

Örnek 2.9. f

 

t t2 ile tanımlanan _f _:_{T }R_{fonksiyonunun her}_t_T_için _{f fonk-}

siyonunu bulalım.

Çözüm: Verilen  0 sayısı için t noktasının bir U T



t,t



_{komşuluğunu göz} önüne alalım. Her s U için

f





 

t



 f

 

s 



t

 

t

  



 t s









 

t



2s2t

 

t ts





 

t



2

 

t s  s2 tst

 

t s

 

t







 

t s



st



 

 

t s st

 

 

t s

(16)

Teorem 2.10. _f _:_{T }R_{bir fonksiyon ve}_t_T_olsun.

(i) f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir ise, f fonksiyonu t noktasında süreklidir.

(ii) f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t sağ saçılmış nokta ise, f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilirdir ve

 



 



 

t t f t f t f      olur.

(iii) t sağ yoğun nokta ise f fonksiyonun t noktasında diferensiyellenebilir olması için gerek ve yeter şart

 

s t s f t f t s _  

lim limitinin var olmasıdır. Bu durumda

 

lim

 

s t s f t f t f t s _     olur.

(iv) f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir ise

 



t



f

 

t

 

t f

 

t

f    

eşitsizliği sağlanır [1].

İspat:

(i) Kabul edelim ki f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir olsun.  keyfi pozitif bir sayı olduğundan 

 

0,1 alalım ve

 





1 2 1       f t  t 

olarak tanımlansın. O halde _

 

0,1 _{olur. Tanım 2.6 dan t noktasının öyle bir}

U

komşuluğu vardır ki, her s U için

 





 



f  t  f s



 f 

   

t



 t s



*

 

t s eşitsizliği sağlanır. Buradan sU



t t, 



için

 





 



 

   











 



 

   





  

 

t t t s

 

t t s f

 

t t f s t t s t t f s t t f t t f t f s t t f s f t f s f t f                                        * * * *

(17)

 





 





                 t t f t f t s t t 2 1 * *

elde edilir. Böylece f fonksiyonun t noktasında sürekli olduğu ispat edilmiş olur.

(ii) Kabul edelim ki f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t sağ saçılmış nokta olsun. Süreklilikten,

 





 





 





 

t t f t f t t t f t f s t s f t f t s _              lim

elde edilir. Verilen  0 sayısı için t nin öyle bir U komşuluğu vardır ki, her s U için

 





 





 

          t t f t f s t s f t f kalır. Bu ise,

 



 



 

t t f t f t f      olması demektir.

(iii) Kabul edelim ki f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir ve t sağ yoğun nokta olsun.  0 sayısı verilsin. f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir olduğundan t nin öyle bir U komşuluğu vardır ki, her s U için

 





 



f  t  f s



 f 

   

t



 t s



 

 

t s

olur. 

 

t t olduğundan her s U için

 



f t  f s



 f

 

t ts



 ts

yazılabilir. s  olmak üzere yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafını t t s ye bölersek

 

_{ }

      t f s t s f t f

bulunur. Buradan ise,

 

lim

 

s t s f t f t f t s _    

eşitliği elde edilir.

Karşıt olarak, _t_T_{sağ yoğun nokta ve}

 

s t s f t f t s _  

(18)

 

s t s f t f t s _   lim =L

diyelim. Bu taktirde  0 için t noktasının öyle bir U komşuluğunu bulabiliriz ki her

U s  için

 

     L s t s f t f

olur. Her iki tarafı t s ile çarparsak her s U için

 

t f

 

s L



t s



t s f      bulunur. 

 

t t olduğundan

 



t



f

 

s



 

t s



 

t s f   L      olur. Buradan,

 

lim

 

L s t s f t f t f t s _      olduğu görülür.

(iv) Eğer 

 

t t ise, bu taktirde,

 

t 

 

t t tt0  ve

 



t



f

 

t f

 

t

 

t f

 

t f     

yazabiliriz. Diğer taraftan eğer 

 

t t ise, (ii) den

 





 



 



 

t

   

t f t f t t f t f t t f t f           

olur ki bu da ispatı tamamlar.

Şimdi en iyi bilinen zaman skalaları olan reel ve tam sayılarda verilen bir f fonksiyonu için delta diferensiyellenebilir olma durumlarına bakalım.

Örnek 2.11.

(i) _{T }R_{ise, Teorem 2.10 (iii) den} _f _:_{R }R_{fonksiyonunun}_t_R_için

 

s t s f t f t f t s _     lim

(19)

limitinin var olması, f fonksiyonunun t noktasında delta diferensiyellenebilir olduğunu ifade eder. Bu durumda f fonksiyonunun delta türevi

 

f

 

t s t s f t f t f t s   _     lim bulunur.

(ii) Eğer _{T }Z_{ise Teorem 2.10 (ii) den,} _{f fonksiyonu} _t_Z_{noktasında delta}

diferensiyellenebilirdir ve bu diferensiyel

 



 



 





 

_

_

_{ }

t f t f t f t f t f t t f t f t f        ₁   1 1  

şeklindedir. Eşitliğin sağındaki , ileri fark operatörünü göstermektedir.

Örnek 2.12. Aşağıda verilen _f _:_{T }R_{fonksiyonlarının yanlarında verilen zaman} skalalarındaki türevlerini bulunuz.

(i)

 

, 1: 

 

0          T _n N n t t f  , (ii) _f

 

_t __t2 ,T_



_n:_n_N₀



_. Çözüm:

(i) Örnek 2.4 (i) den _t_T-

 

1 _için

 

1 t

t t

 

 idi. 

 

t fonksiyonu t 1 noktası için süreklidir. Teorem 2.10 (ii) den

 



 



 

t t f t f t f      yazılabilir. O halde

 





 

                2 1 , 0 2 1 , 1 , 2 1 1 t t t t t t t t t     

olur. Teorem 2.10 (iii) den t 0 sağ yoğun nokta olduğundan

 

0 lim

 

0 

 

lim

 

lim 1 1

   s  s

(20)

bulunur.

(ii) _

 

t inf



sT:s t



 t2 1_ve _f

 

_t __t2_{fonksiyonu t noktasında sürekli ve}

 

t t

 olduğundan Teorem 2.10 (ii) den

 



 



 





 

_t _t t t t t t t t t f t t f t f t f                ₁ 1 1 1 ₂ 2 2 2 2 2    elde edilir. Teorem 2.13. _f_{, g}_:_{T }R_{fonksiyonları} _T 

t noktasında diferensiyellenebilir olsunlar. Bu taktirde,

(i) _f __g_:_{T }R_{fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilirdir ve bu fonksiyonun} diferensiyeli



f g

  

 t  f 

 

t g

 

t

şeklindedir.

(ii) Her  sabiti için _ _f _:_{T }R_{fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir olup}



 f

  

 t  f 

 

t

eşitliği vardır.

(iii) _f _g_:_{T }R_{fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilirdir ve}



f g

  

 t  f

   

t g t  f





 

t



g

 

t  f

 

t g

 

t  f

 

t g





 

t



eşitlikleri sağlanır.

(iv) Eğer f

 

t f





 

t



0 ise, f 1

fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilirdir. Üstelik,

 

t f



 

t



f t f t f            1 olur. (v) Eğer g

 

t g





 

t



0 ise g f

fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir olup

 

   

 

t g



 

t



g t g t f t g t f t g f            

(21)

eşitliği sağlanır [1].

İspat: Varsayalım ki f ve g fonksiyonları _t_T_{noktasında delta diferensiyellenebilir} olsunlar.

(i)  0olsun. Bu taktirde t noktasının öyle bir U komşuluğu vardır ki, her ₁ s U₁ için

 





 



f  t  f s



 f

 

t





 

t s



 

 

t s

2

kalır. Benzer şekilde t noktasının öyle bir U komşuluğu vardır ki, her 2 s U2 için

 





 



g t  f s



g

 

t





 

t s



  

 

t s

2

yazılabilir. U U₁U₂ olsun. O halde, her s U için



  



 

 



 





 



 





 



 





 



 



 



 





 

   







 



 



 



 

t s s t s t s t t g s g t g s t t f s f t f s t t g s g t g s t t f s f t f s t t g t f s g f t g f                                                   2 2

bulunur. Böylece _f __g_:_{T }R_{fonksiyonunun t noktasında diferensiyellenebilir olduğu} ve





     g f g f

eşitliğinin sağlanması gerektiği gösterilmiş olur. (ii)  0 için



f

  

 t f 

 

t



 olduğu açıktır.  0 ise her  0 sayısı için f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir olduğundan,

 



t



f

 

s f

   

t



t s



 

t s f           

yazılabilir. Bu eşitsizliğin her iki tarafı  ile çarpılırsa, her s U için

 



t



f

 

s f

   

t



t s



 

t s

f         

(22)



 f

  



 t

 

  f

 

s  f

   

t



 t s



 

 

t s elde edilir. O halde,

  

t f

  

t

f    

 olur.

(iii) 



0,1



ve  



1 f

 

t  g





 

t



 g

 

t



1 olsun. Bu taktirde 

 

0,1 olur. t noktasının öyle U₁,U₂ ve U₃ komşulukları bulunabilir ki, her s U₁ için

 



t



f

 

s f

   

t



t s



 

t s f          ve her s U₂ için

 



t



g

 

s g

   

t



t s



 

t s g         

olur. Teorem 2.10 (i) den, her s U₃ için

 

t  f

 

s  f yazılabilir. U U₁U₂U₃ ve s U olsun.



  



 

 



 



 



 





 



 





 

   











 







 



 



 





 





 

   











 





 



   



 



 



 



 





 



 



 



 



 



 



 

t s t g t g t f s t t g t f t g s t t g s t s t t f s t t g s t t f s f t g s t t f s f s t t g s g t g t f s t t g s g t g t g s t t f s f t f s t t g t f t g t f s g f t g f                                                                                        1

olur. Buna göre, t noktasında





     f g f g g f  olmalıdır.

(23)

(iv) f fonksiyonu t noktasında diferensiyellenebilir ise

 





 

t s f

 

t s f t f t s   _     lim olur. Buradan,

 





 





 



  

 





 



 

  

 



t

  

f t f t f s f t f s t s f t f s t s f t f s f t f s t s f t f t s t s t s t s                                       1 lim lim lim 1 1 lim elde edilir.

(v) g

 

t g





 

t



0 olsun. Teorem 2.13 (iii) ve (iv) den bulunur.

 





 

  



 



 



   

 

t g



 

t



g t g t f t g t f t g t f t g t g t g t f t g t f t g t f t g f t g f                                        1 ) ( 1 1 1

Örnek 2.14. Eğer x,y ve z fonksiyonları t noktasında delta diferensiyellenebilir ise,

)

(xyz  xyzxyzxyz

olduğunu gösterelim. Bu formülü n tane fonksiyon için genelleştirelim.

Çözüm: Öncelikle Teorem 2.13 (iii) den



xy



  xyxy yazılabilir. Buradan tekrar Teorem 2.13 (iii) nin özelliklerini kullanırsak

 





 





 

                 z y x z y x yz x z xy z y x y x z xy z xy z xy      

(24)

elde edilir. Şimdi



xyzp



 türevini hesaplayalım. p fonksiyonu t noktasında delta diferensiyellenebilir olsun. Buna göre,







   



       





   





                       p z y x p z y x p z y x p z y x p z p z xy p z y x y x zp xy zp xy zp xy xyzp          

bulunur. Benzer şekilde n tane fonksiyonun çarpımı için





         _n _n _n _n n x x x x x x x x x x x x x x₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₃  ₁ ₂ ₁

olduğu kolayca görülebilir. Bu ifade daha kısa olarak,

                        



 



        n k i i n k k k i i n k k x x x x 1 1 1 1 1  şeklinde gösterilebilir.

Teorem 2.15.  sabit ve _m_N_olsun.

(i) f

  

t  t



m şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun -türevi,

 



 

 



            



1 1 0 m m t t t f şeklindedir. (ii)

 





m t t g  

 1 olarak tanımlanan g fonksiyonu için



t

  



 t 



0 ise,

 











         1 0 1 1 m m t t t g       olur [1].

İspat: (i) yi tümevarım metodu ile ispatlayalım. Eğer m1 ise f

 

t  tolmak üzere Örnek 2.7 (i), (ii) ve Teorem 2.13 (i) den _f

 

_t 1_{olduğu açıktır. Şimdi}

_{  }

_

m

t t f   için

 



 

 



            

_

1 1 0 m m t t t

f sağlandığını kabul edelim ve bunun m1 için

sağlandığını gösterelim. F

  

t  t



m1 



t

  

f t olsun. Teorem 2.13 (iii) den yararlanarak

(25)

 



 

 

  

 











 

 



 







 

 



 



 





                            m m m m m m m m t t t t t t t t t t f t t f t F 0 1 0 1 0 1                          olduğu görülür. (ii)

 



t



f

 

t t g 1 _m  1  

 fonksiyonu için Teorem 2.13 (iv) den,



t

  



 t 



0 olmak üzere,

 



 



 



 









 









 





                      1 0 1 1 0 1 1 m v v m v m m m v v m v t t t t t t t f t f t f t g           elde edilir.

Örnek 2.16. T _{keyfi bir zaman skalası olmak üzere,} _f

 

_t __t2_{nin türevi,}

 

t

 

t



t t



t t t

 

t f  2     1   1  ve

 

t t g 1 nin türevi,

 

t t t t t t t g   1 1                şeklinde bulunur.

Tanım 2.17. Bir _f _:_{T }R_{fonksiyonu için} _{f diferensiyeli mevcut olmak üzere,} _f

fonksiyonunun T2 _

 

T _{üzerindeki ikinci mertebeden türevi}

 

T R 2       : f f

(26)

R

T _

n n

f : 

şeklinde tanımlanır. Ayrıca, _t_T_için

 



 



2 t t     ve

 

t 





 

t



2 

veya genel olarak _n_N_için_n

 

_t _ve_n

 

_t _{yukarıda ifade edildiği gibi tanımlanabilir.}

Bununla birlikte, yukarıdaki tanımlamalar için

 

0

 

0 t t t    f f0  T T0 _ olarak tarif edilir [1].

Örnek 2.18. Keyfi bir zaman skalasında aşağıda verilen fonksiyonlar için ikinci mertebeden türevleri bulalım.

(i) f

 

t 1; (ii) f

 

t t ; (iii) f

 

t t2.

Çözüm:

(i) f

 

t 1 ise f

 

t 0 olup, buradan f

 

t 0 olduğu açıktır.

(ii) f

 

t  olmak üzere t f 

 

t 1, dolayısıyla f

   

t  1  0 bulunur. (iii) f

 

t t2 ,f 

 

t t

 

t idi.Teorem 2.13 (i) den

 

t



t

 

t



 

t

f    1

bulunur.

Örnek 2.19. _f _:_{T }R_{olmak üzere,} _f

 

_t __t2_{şeklinde tanımlı} _{f fonksiyonunun}

0

2 1

N

(27)

Çözüm: f

 

t t2 fonksiyonunun birinci delta türevinin

 

2 1 2    t t f olduğu kolayca

gösterilebilir. Teorem 2.13 (i) ve (ii) den yararlanarak f

 

t t2 fonksiyonunun ikinci türevi,

 





 

2 0 2 2 1 2 2 1 2                           t t t f f şeklinde bulunur.

Örnek 2.20. f ve g fonksiyonları ikinci mertebeden türevlenebilir olmalarına rağmen g

f çarpım fonksiyonu genelde ikinci mertebeden türevlenemeyebilir. Biz biliyoruz ki çarpımın türevi;





     f g f g g f 

şeklinde idi. Eğer f ve g fonksiyonları ikinci mertebeden türevlenebilir ve f diferensi-  yellenebilir ise,











 



                       g f g f f g f g f g f g f g f g f g f g f        

olur. Burada f yerine genellikle f  gösterimi kullanılır.

Teorem 2.21 (Leibniz Formülü). S_k n ile k tane  , n k tane  dan oluşan tüm kombinasyonların kümesini gösterelim. Eğer her S_k n için f mevcut ise _{ n}_N için





 

 

               n k k S n g f g f n k 0 (2.22) olur [1].

(28)

İspat: İspatı tümevarım metodu ile yapalım. Öncelikle, eğer n1 ise (2.22) doğrudur (Örnek 2.20 den). Kabul edelim ki (2.22) eşitliği, _n_{ m}_N_{için doğru olsun. Teorem}

2.13 (i) ve (iii) den yararlanarak, n m1 için





                         

 



 



 

                                                                                                                                                                                                         1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 m k k S m k k S S m S m k k S S S m S m k m k k S k S m k k S k S m k k S m g f g f g f g f g f f g f g f g f g f g f g f g f g f m k m k m m m m k m k m m m m k m k m k m k m k    

bulunur. Böylece, (2.22) eşitliğinin her _n_N₀_{için sağlandığı gösterilmiş olur.}

2.2. Ortalama Değer Sonuçları

Tanım 2.22. Bir _f _:_{T }R_{fonksiyon ve} _T

0

t \



_maxT



_olsun. (i) t sağ saçılmış nokta ise, ₀ f





 

t₀



 f

 

t₀ ;

(ii) t sağ yoğun ise, bu taktirde ₀ t ın öyle bir ₀ U komşuluğu vardır ki t t₀ olacak şekildeki her t U için f

 

t  f

 

t₀

şartlarını sağlayan fonksiyona t noktasında sağ-artan denir [2]. ₀ Benzer şekilde, sağ azalan fonksiyon tanımı verilebilir.

(29)

Tanım 2.23. Bir _f _:_{T }R_{fonksiyon ve} _T

0

t \



_maxT



_olsun. (i) t sağ saçılmış nokta ise ₀ f





 

t₀



 f

 

t₀ ,

(ii) t sağ yoğun ise, bu taktirde ₀ t noktasının bir ₀ U komşuluğu vardır öyle ki t t₀ olacak şekildeki her t U için f

 

t  f

 

t₀ ,

şartlarını sağlayan fonksiyona t noktasında sağ-azalan denir [2]. ₀ Teorem 2.24. _f _:_{T }R_, _T

0

t \



_maxT



_{noktasında diferensiyellenebilir olsun. Eğer}

 

₀ 0

 _t

f ise, f fonksiyonu sağ artandır [2].

İspat: Kabul edelim ki _f 

 

_t₀ 0_{olsun. Eğer}

0

t sağ saçılmış nokta ise, bu taktirde

 



 



 

0 0 0 0 0 t t t f t f t f      

yazılabilir. Ayrıca f

 

t₀ 0 olduğundan,

 



t₀



 f

 

t₀ 0 f  olur. Buradan,

 



t0



f

 

t0 f  

elde edilir. Şimdi t sağ yoğun nokta olsun. O halde, ₀

 

t t t f t f t f t t _     0 0 0 0 lim

yazılabilir.   f

 

t₀ olsun. t noktasının öyle bir ₀ U komşuluğu vardır ki t t₀ olacak şekildeki her t U için