Zaman Skalası Üzerinde Diamond α - Grüss Tipi Eşitsizlikler

(1)

T.C.

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMONDα GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER

GAMZE SAĞLAR

EYLÜL 2013

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ G. SAĞLAR, 2013 R ENSTİTÜSÜ

(2)

(3)

T.C.

NĐĞDE ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

ZAMAN SKALASI ÜZERĐNDE DĐAMOND

− α

GRÜSS TĐPĐ EŞĐTSĐZLĐKLER

GAMZE SAĞLAR

Yüksek Lisans Tezi

Danışman

Yrd. Doç. Dr. Adnan TUNA

Eylül 2013

(4)

(5)

TEZ BİLDİRİMİ

Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Gamze SAĞLAR

(6)

ÖZET

ZAMAN SKALASINDA DİAMONDα GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER

SAĞLAR, Gamze Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Adnan TUNA Eylül 2013, 52 Sayfa

Bu tezde, zaman skalası analizi ile bağlantılı genel tanımlar ve teoremler, diamond–α dinamik türevinin, diamond–α integralinin tanımı ve bunların önemli temel özellikleri, ayrıca zaman skalası üzerinde diamond–α Grüss tipi eşitsizlikler çalışıldı. Buna ilaveten zaman skalasının özel durumları, bu elde edilen eşitsizliklere uygulandığında ortaya çıkan sonuçlar ve bu sonuçların literatürde olan bazı eşitsizlikler ile karşılaştırılmaları incelendi.

Anahtar Sözcükler: Zaman Skalası, Diamond–α Dinamik Türev, Diamond–α İntegral, Diamond–α Grüss Tipi Eşitsizlikler

(7)

v SUMMARY

DİAMONDα GRÜSS TYPE INEQUALITIES ON TIME SCALES

SAĞLAR,Gamze Niğde University

Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematics

Supervisor : Assistant Professor Dr Adnan TUNA September 2013, 52 Pages

In this thesis we study general definitions and theorems related to time scales, definitions and fundamental properties of diamond–α dynamic derivates, diamond–α integration, also diamond–α Grüss type inequalities. In addition, we examine the comparisons with some inequalities on the literature and other results applying the obtained these inequalities for the special cases of time scales.

Keywords: Time Scales, Diamond–α Dynamic Derivates, Diamond–α Integration, Diamond–α Grüss Type inequalities.

(8)

ÖN SÖZ

Ağırlık fonksiyonlu integral, yaklaşım teorisi ve spectral analiz, istatiksel analiz ve dağılım teorileri gibi sayısız matematik probleminde kullanıldı. 1935’de Grüss bir integral eşitsizliği geliştirdi. Ostrowski, nümerik integral, olasılık ve optimizasyon teorisi, olasılıksal, istatistik, bilgi ve integral operatör teorilerinde güçlü uygulamalara sahip diferensiyellenebilir fonksiyonlar ile ilgili ilginç bir integral eşitsizliği oluşturdu.

Son yıllarda birçok araştırmacı yukarıdaki iki eşitsizliğin genellemelerini ve çalışmalarını bu konular üzerine odaklanlandırdılar (Hussain ve Qayyum, 2013).

Ayrıca araştırılan sonuçlar daha önceki ağırlıklı olmayan eşitsizlikler yerine daha çok ağırlıklı olanlar üzerine yapılmıştır. Bu yaklaşımlar sadece sonuçlar üzerinde genelleştirmemiş, bundan başka özel durumlar gibi bazı değişik eşitsizlikler hakkında da bilgi verir (Hussain ve Qayyum, 2013).

Zaman skalası teorisi 1988 tarihinde Stefan Hilger tarafından sürekli ve ayrık analizi birleştirme metodları üzerine odaklanmıştır. Zaman skalası üzerinde dinamik denklemlerin çalışılması, diferansiyel ve fark denklemlerinden iki ayrı sonuç elde edilmesini engeller.

Bu bağlamda bu tezde, zaman skalasının tanımı ve önemli temel özellikleri, Diamond–α dinamik türevinin, Diamond–α integralinin tanımı ve bunların temel özellikleri, ayrıca zaman skalası üzerinde ağırlıklı Diamond-α Grüss tipi eşitsizlikler çalışıldı. Buna ek olarak zaman skalasının özel durumları göz önüne alınarak, elde edilen eşitsizliklere uygulanmaları sonucunda bulunan eşitsizliklerin literatürle karşılaştırılmaları ve başka diğer sonuçlar incelenmiştir.

Tez çalışmalarım, seminerim ve okul hayatım boyunca bana her zaman yardımcı olan ve beni tecrübeleri ve bilgileriyle yönlendiren danışman hocam, Sayın Adnan TUNA’

ya teşekkür ederim. Ayrıca, benim bugünlere gelmemde desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen ve benimle birlikte sabır gösteren çok kıymetli aileme özellikle ablam Arzu SAĞLAR’a, sevgili arkadaşlarıma minnet ve şükramlarımı sunarım.

(9)

vii

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... iv

SUMMARY ... v

ÖN SÖZ ... vi

İÇİNDEKİLER ...vii

ÇİZELGELER DİZİNİ ... viii

ŞEKİLLER DİZİNİ ... ix

SİMGE VE KISALTMALAR ... x

BÖLÜM I GİRİŞ ... 1

BÖLÜM II ZAMAN SKALASI ... 2

2.1 Zaman Skalasında Temel Kavramlar ... 2

2.2 Zaman Skalasında Delta Türev ... 4

2.3 Zaman Skalasında İntegral ... 10

2.4 Zaman Skalasında Nabla Türev ... 12

2.5 Zaman Skalasında Nabla Anti Türevin Varlığı ... 14

BÖLÜM III ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND–α DİNAMİK EŞİTSİZLİKLERİ ... 17

3.1 Diamond–α Dinamik Türevi... 17

3.2 Diamond–α İntegrali ... 27

BÖLÜM IV ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND–α GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLERİ ... 32

4.1 Ağırlıklı Diamond–α Grüss Eşitsizlikleri ... 33

4.2 Her İki Fonksiyonun Lipschitzan Şartını Sağlaması Durumu ... 38

4.3 f Fonksiyonun M g Lipschitzian Şartını Sağlaması Durumu ... 41

BÖLÜM V SONUÇLAR ... 45

KAYNAKLAR ... 46

ÖZ GEÇMİŞ ... 52

(10)

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması ... 3 Çizelge 2.2. Graininess fonksiyonu ve sıçrama operatörlerinin özel halleri ... 8

(11)

ix

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1. Noktaların gösterimi………..3

(12)

SİMGE VE KISALTMALAR

Simgeler Açıklama

Reel Sayılar Tam Sayılar Zaman Skalası

0 Doğal Sayılar

Kompleks Sayılar Rasyonel Sayılar

/ İrrasyonel Sayılar

 İleri sıçrama operatörü

 Geri sıçrama operatörü

 İleri sıçrama fonksiyonu

 Geri sıçrama fonksiyonu f^ Hilger (Delta) türev

f^ Nabla türev

f İleri fark operatörü

f Geri Fark Operatörü

C rd Sağda yoğun sürekli fonksiyonların kümesi

C ld Solda yoğun sürekli fonksiyonların kümesi

k Zaman Skalasından türetilmiş bir küme

k

k Zaman Skalasından türetilmiş bir küme

f^^ Diamond–α türev

(13)

BÖLÜM I

GİRİŞ

Hilbert uzay teorisi lineer operatörler, lineer olmayan analiz, kısmi diferansiyel denklemler, yaklaşım teorisi, optimizasyon teorisi, nümerik analiz, olasılık teorisi, istatistik ve çağdaş matematiğin diğer alanları için çok sayıda uygulamaları ile bir merkezi rol oynar. Schwarz, Üçgen, Bessel, Gram ve yakın zamanlarda Grüss eşitsizlikler yukarıda bahsedilen alanlarda oluşan çeşitli yaklaşım formülleri için hataları tahmin etmek ve sınırları elde etmek için kuvvetli araçlar olarak sıklıkla kullanıldı. Bazı Grüss tipi eşitsizlikler reel veya kompleks iç çarpım uzayında vektörlerin ortonormal ailesi için kullanılır. Bazı Grüss tipi eşitsizlikler de ayrık Fourier ve Mellin dönüşümleri için iç çarpım uzayları ve doğal uygulamalarında vektörlerin n dizileri için önemlidir (Dragomir., 2003).

1988 tarihinde Stefan Hilger tarafından, sürekli ve ayrık analizi birleştirmek amacıyla zaman skalası teorisi kurulmuştur. Zaman skalası üzerinde dinamik denklemlerin çalışılması, diferansiyel ve fark denklemlerinden iki ayrı sonuç elde edilmesini engeller (Bohner ve Peterson, 2001).

Tezin ikinci bölümünde zaman skalasının tanımı, zaman skalasında delta türev, delta integral ve bunların temel özellikleri ile zaman skalasında nabla türev, nabla integralin tanımı ve temel özellikleri incelenmiştir.

Tezin üçüncü bölümünde zaman skalasında diamond dinamik türev ve integralin tanımı ve özellikleri ispatlı olarak detaylı bir şekilde çalışılmıştır.

Son olarak tezin dördüncü bölümünde zaman skalası üzerinde, her iki fonksiyonun Lipschitzian şartını sağlaması durumu, fonksiyonun M –g Lipschitzian şartını sağlaması durumu göz önüne alınarak elde edilen diamond–Grüss eşitsizlikler ve ağırlıklı diamond– Grüss eşitsizlik olmak üzere diamond– Grüss tipi eşitsizlikler çalışılmıştır. Buna ilaveten zaman skalasının özel durumları, bu elde edilen eşitsizliklere uygulandığında ortaya çıkan sonuçlar ve bu sonuçların literatürde olan bazı eşitsizlikler ile karşılaştırılmaları incelendi.

(14)

BÖLÜM II

ZAMAN SKALASI

Bu bölümde ilerideki çalışmalarda temel teşkil edecek olan zaman skalasının tanımı, delta türevi, delta integrali ve temel özellikleri ile nabla türevi, nabla integrali ve temel özellikleri hakkında bilgi verilecektir. Zaman skalası analizi ile bağlantılı daha fazla bilgi için (Agarwal vd., 2001; Agarwal vd., 2002; Bohner ve Peterson, 2001; Bohner ve Peterson, 2003; Hilger, 1988; Hilger, 1990) referansları okuyuculara destek sağlayabilir.

2.1 Zaman Skalasında Temel Kavramlar

Tanım 2.1 Zaman skalası, keyfi boş olmayan kapalı bir gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesidir. , , , ₀ ile

   

^0,1 ^ ^{2, 3} ^ve

 

0,1  0 kapalı aralıkları zaman skalasına birer örnektir. Fakat , / , ve

 

^0,1 açık aralığı birer zaman skalası değildir.

t sağdan yoğun ( )t t

t soldan saçılımlı ( )t t

t soldan yoğun ( )t t

t izole ( )t  t ( )t

t yoğun ( )t  t ( )t

 

^t

 ve 

 

^t , Tanım 2.2 ye göre zaman skalasının elemanıdır. zaman skalasından türetilen bir ^k kümesi; eğer soldan saçılımlı bir m maksimumuna sahip ise ^k m, aksi taktirde ^k olarak tanımlanır.

t soldan yoğun ve sağdan saçılımlı ₁ t₁

t soldan yoğun ve sağdan yoğun ₂ t ₂

t sağdan yoğun ve soldan saçılımlı ₃ t₃

t soldan saçılımlı ve sağdan saçılımlı ₄ t₄

(16)

:

f  bir fonksiyon olmak üzere  t için f^ :  fonksiyonu

   

f^  f  t şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

Örnek 2.1 Zaman skalası olarak ve durumları için

(i) Eğer  alınırsa,  t noktası yoğun olmak üzere ve

 

^t ^sup



^s ^:^s ^t



^sup



^,^t



^t

      

olarak bulunur.  t için  graininess fonksiyonu ^

 

^t ^⁰^dır.

(ii) Eğer  olarak alınırsa  t noktası izole nokta olmak üzere

 

^t ^inf



^s ^:^s ^t



^inf



^t ^1,^t ^2,^t ^3,...



^t ¹

         

ve

^

 

^t ^^sup



^s^ ^:^s^{ }^t



^sup



^t^^1,^t^^2,^t^^3,...



^{ }^t ¹

elde edilir.  t için  graininess fonksiyonu ^

 

^t ^¹^dir.

Yukarıda verilen iki örnekte  grainniness fonksiyonu sabittir. Zaman skalasında  grainniness fonksiyonu analiz için önemli bir rol oynar (Bohner ve Peterson, 2001).

2.2 Zaman Skalasında Delta Türev

Tanım 2.5 f :  bir fonksiyon ve t ^k olsun.   0 verildiğinde   0 için t nin bir U komşuluğundaki ( yani ^U ^{ }



^t ^^,^t^^



^ ⁾ s U için

           

f  t  f s  f^ t  t s   t s

eşitsizliği sağlanırsa, ^f^

 

^t ifadesine f fonksiyonunun delta türevi denir (Bohner ve Peterson, 2001).

Örnek 2.2 (i)  olmak üzere ve  t için f :  , fonksiyonu ^{f t}

 

^^ ^ise

 

⁰

f^ t  dır. Zaman skalasında türev tanımı kullanılırsa  s ve    için

     

⁰

 

⁰

 

f  t  f s   t s      t s olur.

(i) Eğer f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise, bu durumda f fonksiyonu t noktasında süreklidir.

(ii) Eğer f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktası sağdan saçılımlı ise, bu taktirde f fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve

       

 

f t f t

f t

t t



 

 

şeklindedir.

(iii) Eğer t noktası sağdan yoğun ise, bu durumda gerek ve yeter koşul

   

lim

s t

f t f s t s





limiti sonlu bir değer olduğunda f fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve

     

lim

s t

f t f s f t

t s





 

 biçimindedir.

(iv) Eğer f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise, böylece

         

f  t  f t  t f^ t şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

Örnek 2.4 Zaman skalası ve olsun.

(i)  ve Teorem 2.1(iii) göz önüne alınırsa, t için, f :  tanımlı bir fonksiyonun delta türevi

     

lim

s t

f t f s f t

t s





 

 ^ ^f^

 

^t

şeklindedir.

(ii)  ve Teorem 2.1(ii) göz önüne alınırsa, t için, f :  tanımlı bir fonksiyonun delta türevi, ^^{f t}

 

^ ^{f t}



^{ }¹



^{f t}

 

ileri fark operatörü olmak üzere

(18)

      ^{ }

lim

 

s t

f t f t

f t

t









  



¹

  

f t f t

  

 

 f t

biçimindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.2 f g, :  tanımlı ve t ^k noktasında türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. Bu taktirde

^

 

^t



         

f^ t g t f  t g^ t

 

bulunur.

(iv) Eğer ^{f t f}

  

^

 

^t



^⁰ olmak üzere 1

f fonksiyonu türevlenebilirdir ve

   

     

1 f t

f t f t f  t

 

   

  

dir.

(v) Eğer ^{g t g}

  

^

 

^t



^⁰ olmak üzere f

g fonksiyonu türevlenebilirdir ve

         

     

f t g t f t g t

f t

g g t g  t

   

  

  

       

 

f t f t

f t

t





 



   

f t h f t h

 

 

şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

Örnek 2.6 q ve ^q ^



^q^k^:^k^



olmak üzere ^q ^^q ^

 

⁰ olarak tanımlanır. Bu durumda q olarak alınırsa ^

 

^t ^^inf



^qⁿ^:ⁿ^



^m^{  }^1,

 

^q^m^¹^^qq^m ^^qt^ve

tqm ise, ^

       

 

f t f t

f t

t





 





   



¹



f qt f t

q t

 

 ve

(20)

     

0

0 lim 0 0

s

f f s

f s





 



   

0

lim 0

s

f s f

 s

 

elde edilir.

Aşağıdaki Çizelge 2.2 de bazı farklı zaman skalaları göz önüne alınarak hesaplanan  grainniness fonksiyonu,  ileri sıçrama operatörü ve  geri sıçrama operatörüne örnekler verilmiştir (Bohner ve Peterson, 2001).

²



^t ^¹



²

Tanım 2.7 f :  tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonunun, üzerinde sağdan yoğun olan bütün noktalarda sağdan limitleri ve soldan yoğun olan bütün noktalarda soldan limitleri varsa, bu durumda f fonksiyonuna düzenli fonksiyon denir (Bohner ve Peterson, 2001).

Tanım 2.8 f :  tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu üzerinde sağda yoğun noktalarda sürekli ve üzerinde solda yoğun olan noktalarda soldan limiti varsa, bu durumda f fonksiyonuna rd sürekli fonksiyon denir. f :  tanımlı rd sürekli fonksiyonların kümesi

  

^,



rd rd rd

C C C

biçiminde gösterilir.

:

f  tanımlı türevlenebilir ve türevleri rd sürekli olan fonksiyonların kümesi

   

1 1 1

rd rd rd ,

C C C

(21)

şeklinde gösterilir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.3 f :  tanımlı bir fonksiyon olsun. Bu taktirde

(i) Eğer f fonksiyonu sürekli ise, bu durumda f fonksiyonu rd süreklidir.

(ii) Eğer f fonksiyonu rd sürekli ise, bu durumda f fonksiyonu düzenlidir.

(iii)  ileri sıçrama operatörü rd süreklidir.

(iv) Eğer f fonksiyonu düzenli veya rd sürekli ise, bu taktirde f^ fonksiyonu düzenli veya rd süreklidir.

(v) f sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer g:  tanımlı düzenli veya rd sürekli bir fonksiyon ise, bu durumda f g fonksiyonu düzenli veya rd süreklidir (Bohner ve Peterson, 2001).

Tanım 2.9 f :  tanımlı sürekli bir fonksiyonu olsun. D ^k ve ^k \D bölgesi sayılabilir ve nin sağdan saçılımlı elemanlarını içermeyen ve her bir tD noktasında f fonksiyonu türevlenebilir ise, bu taktirde f fonksiyonu D türevlenebilir bölgesinde ön türevlenebilirdir denir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.4 Kompakt bir aralıkta her düzenli fonksiyon sınırlıdır (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.5 f ve g fonksiyonları üzerinde tanımlanan reel değerli ve D türevlenebilir bölgesinde ön türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere t D  için

   

f^ t g^ t

şartı sağlanırsa, bu durumda rs olmak üzere r s,  için

       

f s  f r g s g r elde edilir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.6 (Ön anti türevin varlığı) f düzenli bir fonksiyon olsun. Böylece  t D için D türevlenebilir bölgesinde ön türevlenebilir ve ^F^

 

^t ^ ^{f t}

 

olacak biçimde bir

F fonksiyonu vardır (Bohner ve Peterson, 2001).

(22)

2.3 Zaman Skalasında İntegral

Tanım 2.10 f :  düzenli bir fonksiyon, f fonksiyonunun ön anti türevi F ve C keyfi bir sabit olmak üzere f fonksiyonun belirsiz integrali

   

f t  t F t C



biçiminde tanımlanır. r s,  için Cauchy integrali

     

s

r

f t  t F s F r



şeklindedir. Eğer  t ^k için

   

F^ t  f t

şartı sağlanıyorsa, bu durumda :F  fonksiyonuna f :  fonksiyonunun anti türevi denir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.7 Her rd sürekli fonksiyonun bir anti türevi vardır. Eğer, t₀ ve  t için f fonksiyonunun anti türevi F fonksiyonu olmak üzere

   

0

t

F t 



f  

olarak tanımlanır (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.8 f C_rd ve t ^k ise, bu durumda

 

   

t

f t f t



   



dir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.9 Eğer ^f^

 

^t ^⁰ ise, f fonksiyonu azalan değildir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.10 Eğer a b c, ,  , olmak üzere ve f g, C_rd ise, bu durumda (i) ^b

   

f t t f t t

   

 

^,

(iii) ^b

 

^a

 

a b

f t   t f t t

 

^,

(23)

(iv) ^b

^,

(vii) ^a

 

⁰

a

f t  t



^,

a a

f t  t g t t

 

^,

 

biçiminde bilinen Riemann anlamında integraldir.

(ii) Eğer

 

^{a b}^, kapalı aralığı sadece izole noktaları içeriyorsa

 

   

 

   

 

,

, 0, ,

t a b b

a

t b a

t f t a b

f t t a b

t f t a b





 



  

 





 

olur.

(iii) Eğer ^^h ^



^{hk k}^: ^



^,h0 ise

 

1

,

0,

,

b h

k a b h

a a

h

k b h

f kh h a b

f t t a b

f kh h a b









 



  



 











elde edilir.

(24)

(iv) Eğer  ise

 

1

, 0, ,

b

b t a

a a

t b

f t a b

f t t a b

f t a b









 



  

 









2.4 Zaman Skalasında Nabla Türev

zaman skalasından türetilmiş bir _k kümesi, eğer , sağdan saçılımlı bir m minimumuna sahip ise, k  

 

m şeklinde tanımlanır.

:

f  bir fonksiyon olmak üzere  t için f^:  fonksiyonu

     

f^ t  f  t şeklinde tanımlanır (Bohner ve Peterson, 2001).

Tanım 2.11 f :  bir fonksiyon ve t _k olsun.   0 olacak şekilde   0 için t nin bir V komşuluğundaki (yani ^V  



^t ^,^t



 )  s V için

           

f  t  f s  f^ t  t s   t s

eşitsizliği sağlanırsa ^f^

 

^t ifadesine, f fonksiyonunun nabla türevi denir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.12 f :  bir fonksiyon ve t _k olsun. Böylece

(i) Eğer f fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilir ise, bu durumda f fonksiyonu t noktasında süreklidir.

(ii) Eğer f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktası soldan saçılımlı ise, bu taktirde f fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilirdir ve

       

 

f t f t

f t

t





 



biçimindedir.

(iii) Eğer t noktası soldan yoğun ise f fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilirdir ve

(25)

     

lims t

f t f s f t

t s





 

 şeklindedir.

(iv) Eğer f fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilir ise, bu durumda

   

( ) ( )

f^ t  f t  t f^ t dır (Bohner ve Peterson, 2001).

Örnek 2.7 Eğer  ise, f^( )t  f t( ) alışılmış türev ve  ise,

   

( ) ( ) 1

f^ t  f t  f t  f t geri fark operatörü olarak yazılır (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.13 f g, :  tanımlı ve t _k noktasında nabla türevlenebilir olsun.

Böylece

   

  

olur.

(v) Eğer ^{g t g}

   

^ ^t ^⁰^ise, ^f

g fonksiyonu da nabla türevlenebilirdir ve

(26)

         

   

f t g t f t g t f t

g g t g t



  

  

  

şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

2.5 Zaman Skalasında Nabla Anti Türevin Varlığı

Tanım 2.12  t _k için ^F^

 

^t ^ ^{f t}

 

şartı sağlanırsa F:  fonksiyonuna :

f  fonksiyonunun nabla anti türevi denir ve f fonksiyonunun integrali  t için

     

t

a

f   F t F a



Tanım 2.13 f :  bir fonksiyon olsun. Eğer üzerinde soldan yoğun noktalarda sürekli ve üzerinde sağdan yoğun noktalarda sağdan limitleri olan fonksiyona ld - sürekli fonksiyonu denir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.14 Her ld -sürekli fonksiyonun, bir nabla anti türevi vardır (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.15 Eğer f :  ld -sürekli ve  t _k ise, böylece

 

   

t

f f t t



   



dır (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.16 Eğer a b c, ,  ,  ve f g, :  ld -sürekli ise, bu taktirde

(i) ^b

   

f t t f t t

   

 

^c ^{f t}

 

^{ }^t



^b ^{f t}

 

^^t^,

(27)

(v) ^b

           

^b

   

a a

f  t g^ t  t fg b  fg a  f^ t g t t

 

^,

(vi) ^b

         

^b

     

a a

f t g^ t  t fg b  fg a  f^ t g  t t

 

^,

(vii) ^a

 

⁰

a

f t  t



ifadeleri elde edilir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.17 a b,  ve f :  , ld -sürekli olsun. Böylece (i)  olsun. Bu durumda ^b

 

^a

 

a b

f t  t f t dt

 

olmak üzere sağdaki integral Riemann integralidir.

(ii) sadece izole noktaları içeriyorsa

 

   

 

   

 

,

, 0, ,

t a b b

a

t b a

f t t a b





 



  

 





 

dir.

(iii) h , h  olarak alınırsa

 

,

0,

,

b h

k a h b h

a a

h

k b h h

f kh h a b

f t t a b

f kh a b

 

 



  



 











olur.

(iv)  olarak alınırsa

 

1

, 0,

,

b

b t a

a a

t b

f t a b

f t t a b

f t a b

 

 



  

 









(28)

Sonuç 2.1 t _k^k ve f :  olsun. Bu durumda f fonksiyonunun t de delta türevinin var olması nabla türevinin de var olduğu anlamına gelmez. Tersten düşünüldüğünde de geçerlidir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).

İspat ^{   }



^{2, 1}

  

^0,1 zaman skalası için

 

^sin ¹ ^, ⁰

0, 0

t t

f t t

t

   

  

  

 



fonksiyonunu olmak üzere bu f fonksiyonu 0 noktasında süreklidir ve 0 noktasında sağda yoğun, soldan saçılımlıdır.

Teorem 2.1(ii)’den dolayı f , 0 noktasında nabla türevlenebilirdir. Fakat 0 noktasında

   

lims t

f t f s t s



 

 sonlu bir limiti yoktur. Böylece f , 0 noktasında delta türevlenebilir değildir.

Aynı f fonksiyonunun, 0 noktasında delta türevinin varlığında, nabla türevininin de var olduğu anlamına gelmeyeceğini göstermek için ^{ }



^{1, 0}

  

^ ^{1, 2} zaman skalası alınabilir.

(29)

BÖLÜM III

ZAMAN SKALASINDA DİAMOND DİNAMİK TÜREVİ VE İNTEGRALİ

Zaman skalası teorisinin gelişimi sürekli ve ayrık analitik yöntemlerin birleşmesi üzerine odaklanmıştır. Son tartışmalar zaman skalası teori ve metotları keyfi boş olmayan reel sayıların kapalı alt kümesinde lineer olmayan dinamik denklem sistemlerinin modellenmesi için fark ve diferansiyel metotların integral almanın bir yolunu sağlaması gerekliliğinden bahsetmiştir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).

Bu amaçla, standart  ve  türevleri içeren çeşitli dinamik türev formülünün kullanışlılığı, (Bohner ve Peterson, 2001; Bohner ve Peterson, 2003; Davis vd., 2006;

Eloe vd., 2006) referanslarında, lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerine ve fonksiyonlarına yaklaşmada incelenmiştir.  ve  dinamik türevlerin lineer kombinasyonu veya (Broyden, 1965; Srivastava, 1984) makalelerinde Broyden’in formülü olarak tanımlanan _ türevi olarak adlandırılan bir dinamik türev formülü geleneksel türevine daha doğru bir yaklaşım sağladığı (Davis vd., 2006; Sheng, ön baskı) da ispatlanmıştır (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).

Tezin bu kısmında ilerideki çalışmalara temel teşkil eden standart  ve  dinamik türevlerinden bağımsız olarak diamond– türevin tanımı ve ilave olarak  ve  dinamik türevleri ile bağlantılı diamond– türevin temel özellikleri ispatlı olarak detaylı bir şekilde incelendi. Bundan başka uygun bir diamond– integralin tanımı ve özellikleri de çalışılmıştır.

Zaman skalasında diamond– dinamik türev ve diamond– integrali, bir sonraki bölümde yapılmış olan zaman skalası üzerinde diamond– Grüss eşitsizliğinin ve bu eşitsizliğin ağırlıklı versiyonu için temel bilgi oluşturduğundan dolayı burada geniş bir biçimde sunulmuştur.

3.1 Diamond Dinamik Türevi

 

_ts _ts _{ts ts}

f^ t f s f^ t f s t

              ve  s U₂ için

   

_ts



1

    

_ts 2

 

_{ts ts} _ts _ts

f^ t f s f^ t f s t

              yazılabilir.    için

 

_ 2 olsun. Bu taktirde   s U U₁U₂ için

   

1 t 2 t ts ts

   

   

1 t tsvts 2 t tsvts

   

 

   

_ts



1

    

_ts 1

 

_ts _ts

f^ t f s f^ t f s t

       

          

   

_ts



1

    

_ts 2

 

_ts _ts

f^ t f s f^ t f s t

t  _ts _ts

ts ts ts ts

  

_

  

_

 

ts ts

  



elde edilir. Böylece 1

 

t 2

 

t  ,ve  0 giderken 1

 

t 2

 

t olur.

Dolayısıyla teorem ispatlanır (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).