İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
2+1 BOYUTLU KÜBİK SCHRÖDINGER DENKLEMİNİN GRUP-DEĞİŞMEZ ÇÖZÜMLERİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Cihangir ÖZEMİR
Anabilim Dalı : MATEMATİK
Programı : MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
2+1 BOYUTLU KÜBİK SCHRÖDINGER DENKLEMİNİN GRUP-DEĞİŞMEZ ÇÖZÜMLERİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Cihangir ÖZEMİR
509021003
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 9 Mayıs 2005 Tezin Savunulduğu Tarih : 31 Mayıs 2005
Tez Danışmanı : Prof. Dr. Faruk GÜNGÖR ( İTÜ ) Diğer Jüri Üyeleri Prof. Dr. Saadet ERBAY ( Işık Ü. )
Doç. Dr. Emanullah HIZEL ( İTÜ )
¨
ONS ¨OZ
˙IT¨U Matematik B¨ol¨um¨u b¨unyesine katılmamda beni te¸svik eden ve destek veren, bu ¸calı¸smanın y¨onlendirilmesinde engin bilgisiyle bana rehberlik eden de˘gerli hocam Prof. Dr. Faruk G¨ung¨or’e te¸sekk¨urlerimi sunarım.
Matematik gibi g¨uzel bir paydada bulu¸stu˘gumuz ¸calı¸sma arkada¸slarım Nurettin Cenk Turgay, ¨Ozg¨ur Aykanat, ¨Ozg¨ur Martin, Tongu¸c C¸ a˘gın, ¨Ozlem Laleo˘glu, Nayıf C¸ i¸cekli ve Ay¸se ¨Ozdemir’e, sevgili hocamız Yrd.Do¸c.Dr. Fatma ¨Ozdemir’e, ¸calı¸sma s¨uresince hep yanımda olan El¸cin G¨ultekin’e, hi¸c esirgemedi˘gi deste˘ginden ve bilim insanlarının yeti¸smesi i¸cin yaptıklarından dolayı a˘gabeyim M¨ucahit ¨Ozel’e ve Bilimsel E˘gitim Merkezi ¸calı¸sanlarına sonsuz te¸sekk¨urlerimi sunarım.
˙IC¸ ˙INDEK˙ILER KISALTMALAR iv TABLO L˙ISTES˙I v S¸EK˙IL L˙ISTES˙I vi ¨ OZET vii SUMMARY viii 1. G˙IR˙IS¸ 1
2. D˙IFERANS˙IYEL DENKLEMLER˙IN LIE GRUBU ANAL˙IZ˙I 3
2.1. Bir Diferansiyel Denklem Sisteminin Simetri Grubunun
Bulunması 3
2.2. Simetri ˙Indirgemesi 8
3. D˙IFERANS˙IYEL DENKLEMLER˙IN TEK˙ILL˙IK ANAL˙IZ˙I 11
3.1. Sabit Bir Nokta Etrafında D¨onen Katı Cisim Problemi 11 3.2. ˙Ikinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlerin
Painlev´e Sınıflandırması 12
3.3. Adi Diferansiyel Denklemler ˙I¸cin Painlev´e Testi 13
4. DENKLEM˙IN LIE GRUBU ANAL˙IZ˙I 16
4.1. Denklemin Simetri Grubu ve Lie Cebiri 16
4.2. Grup De˘gi¸smez C¸ ¨oz¨umler 18
5. ˙IND˙IRGENM˙IS¸ DENKLEMLER˙IN C¸ ¨OZ ¨UMLER˙I 24
5.1. L2,1 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 24
5.2. L2,2 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 26
5.3. L2,3 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 29
5.4. L2,4 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 31
5.5. L2,5 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 31
5.6. L2,6 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 34
5.7. L2,7 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 40
5.8. L2,10 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 41
5.9. L2,11 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 42
5.10. L2,12 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler 42
SONUC¸ LAR 44
KAYNAKLAR 46
¨
KISALTMALAR
KSD : K¨ubik Schr¨odinger Denklemi ODE : Ordinary Differential Equation PDE : Partial Differential Equation CSE : Cubic Schr¨odinger Equation KDD : Kısmi Diferansiyel Denklem ADD : Adi Diferansiyel Denklem ARS : Ablowitz, Ramani, Segur
TABLO L˙ISTES˙I Sayfa No
Tablo 4.1: ˙Indirgemede kullanılan iki boyutlu alt cebirler ... 19 Tablo 4.2: U¸c boyutlu alt cebirler ve ¸c¨oz¨umler ... 23¨ Tablo 5.1: Farklı alt cebirler i¸cin (5.5) katsayı terimleri ... 25
S¸EK˙IL L˙ISTES˙I Sayfa No
S¸ekil 5.1: (5.14) denklemi i¸cin ˙W2 = P (W ) grafikleri ... 27
S¸ekil 5.2: (5.19) denklemi i¸cin ˙W2 = P (W ) grafikleri ... 29
S¸ekil 5.3: (5.37) denklemi i¸cin ˙W2 = P (W ) grafikleri ... 36
2+1 BOYUTLU K ¨UB˙IK SCHR ¨ODINGER DENKLEM˙IN˙IN GRUP-DE ˘G˙IS¸MEZ C¸ ¨OZ ¨UMLER˙I
¨ OZET
Bu t¸ez ¸calı¸smasında diferansiyel denklemlerin Lie grubu analizi yardımıyla 2+1 boyutlu k¨ubik Schr¨odinger denklemi (KSD) i¸cin grup-de˘gi¸smez ¸c¨oz¨umler aranmı¸stır.
Diferansiyel denklemlerin simetri grupları yardımıyla incelenmesi, ¨ozellikle do˘grusal olmayan adi diferansiyel denklemler ve kısmi t¨urevli diferansiyel denklemlerin ¸c¨oz¨umlerinin ara¸stırılması i¸cin etkin bir ara¸ctır. Bu y¨ontemde ¨once, ele alınan denklemi de˘gi¸smez bırakan grup d¨on¨u¸s¨umleri bulunmaktadır. Ardından bu d¨on¨u¸s¨umler kullanılarak adi diferansiyel denklemlerin mertebesinin d¨u¸s¨ur¨ulmesi, kısmi t¨urevli diferansiyel denklemlerin ise de˘gi¸sken sayısının azaltılması hatta adi diferansiyel denklemlere indirgenmesi m¨umk¨un olmaktadır. KSDnin simetri cebiri bilinmektedir. C¸ alı¸smada bu cebirin a¸cık olmayan t¨um iki ve ¨u¸c boyutlu alt cebirlerine ait simetri grupları altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨umler ara¸stırılmı¸stır. Bu alt cebirlerin simetri indirgemesinde kullanılmasıyla, denklemin adi diferansiyel denklemlere ve cebirsel denklemlere indirgemeleri elde edilmi¸stir. Elde edilen adi diferansiyel denklemlerden Painlev´e ¨ozelli˘gine sahip olanların tam ¸c¨oz¨umleri, trigonometrik fonksiyonlar, eliptik fonksiyonlar ve Painlev´e transandan fonksiyonları t¨ur¨unden bulunmu¸stur. M¨umk¨un oldu˘gu hallerde bu denklemlerin sabit sayı ¸c¨oz¨umleri verilmi¸stir. Cebirsel denklemler sayesinde bulunan ¸c¨oz¨umler ise bir tablo halinde ¨ozetlenmi¸stir. ˙Integre edilebilir bir denklem olmayan KSDnin indirgemelerinin bazılarının integre edilebilir oldu˘gu, ¸c¨oz¨umlerin bir kısmının silindirik sınır ko¸sullarıyla uyumlu oldu˘gu g¨ozlenmi¸stir.
GROUP-INVARIANT SOLUTIONS of 2+1 DIMENSIONAL
CUBIC SCHR ¨ODINGER EQUATION
SUMMARY
In this thesis work, group invariant solutions for 2+1 dimensional cubic Schr¨odinger equation are investigated with the help of Lie group analysis of differential equations.
Analysis of differential equations through their symmetry groups is an effective tool especially for the investigation of solutions of nonlinear ODEs and PDEs. As the first step of analysis, the group of transformations leaving the equation studied invariant are found. Making use of this symmetry group, reducing the order of ODEs, lowering the number of independent variables of PDEs or even reducing PDEs to ODEs is possible.
The symmetry algebra of CSE is already known. All the solutions invariant under symmetry groups corresponding to non-trivial two and three-dimensional subalgebras of this algebra are investigated in the work. By the use of these subalgebras in symmetry reduction, reduction of the equation to ODEs or algebraic equations are obtained. Exact solutions in terms of trigonometric functions, elliptic functions and Painlev´e transcendent functions are found for the reduced equations which have the Painlev´e property. Constant solutions for these equations are given whenever it is possible. Solutions found through algebraic equations are summarized in a table. It is observed that, although CSE is not an integrable equation, some of its reductions are integrable and some of the solutions are suitable with cylindrical boundary conditions.
1. G˙IR˙IS¸
Bu ¸calı¸smanın amacı 2+1 boyutlu k¨ubik Schr¨odinger denklemi (KSD) i¸cin grup de˘gi¸smez ¸c¨oz¨umler bulmaktır. 2+1 boyutlu KSD; ψ(x, y, t) kompleks de˘gerli bir fonksiyon, a0 ∈ R ve ∆, R2’de Laplace operat¨or¨u olmak ¨uzere,
iψt+ ∆ψ = a0|ψ|2ψ (1.1)
denklemidir. Benzer bir problem [1]’de ele alınmı¸s ve vekt¨or de˘gerli KSD i¸cin
N = 2, 3 dalga durumuna ve n = 2 uzay de˘gi¸skeni durumunda benzer bir analiz
yapılmı¸stır. Burada, N = 1 tek dalga fonksiyonu i¸cin elde edilen sonu¸clar [1]’deki sonu¸cları tamamlayacaktır.
KSD ile fizi˘gin pek ¸cok dalında kar¸sıla¸sılmaktadır. ψ(x, y, t) fonksiyonu denklemin do˘gdu˘gu probleme g¨ore ¸ce¸sitli anlamlar ifade edebilmektedir. ¨Orne˘gin KSD, Kerr non-lineerli˘gine sahip ortamda olu¸sturulan lazer ı¸sını i¸cin en basit modeldir[2]. Bu model i¸cin ψ fonksiyonu elektrik alan zarfını temsil eder. Denklemin sonlu zaman de˘gerleri i¸cin tekilli˘ge sahip ¸c¨oz¨umlerinin oldu˘gu [3] ve k¨u¸c¨uk pert¨urbasyonlara duyarlılı˘gı [4] bilinmektedir.
1+1 boyutlu KSD ters sa¸cınım y¨ontemiyle integrallenebilmektedir. (1.1) i¸cin bu y¨ontem sonu¸c vermemektedir. Bu nedenle, diferansiyel denklemlerin Lie grubu analizi y¨ontemiyle denklemin ¸c¨oz¨umleri ¨uretilmeye ¸calı¸sılacaktır.
3+1 boyutlu k¨ubik-kuintik Schr¨odinger denklemi, a0, a1, a2 ∈ R, (a1, a2) 6= (0, 0)
ve ∆, R3’te Laplace operat¨or¨u olmak ¨uzere,
iψt+ ∆ψ = a0ψ + a1|ψ|2ψ + a2|ψ|4ψ (1.2)
denklemiyle verilir. Gagnon ve Winternitz tarafından, bu denklemin simetri grubunun bulunmasını, indirgenmi¸s denklemlerin elde edilmesini ve ¸c¨oz¨umlerinin yazılmasını i¸ceren kapsamlı bir ¸calı¸sma yapılmı¸stır [5-7].
2+1 boyutta, (1.1) denkleminin daha genel bir hali olan, s¨on¨um terimini i¸ceren
denklemi i¸cin simetri indirgemesiyle bazı ¨ozel ¸c¨oz¨umler elde edilmi¸stir [8]. Ancak adı ge¸cen ¸calı¸smada indirgenmi¸s denklemlerin ¸c¨oz¨umleri tam integraller olmayıp yalnızca trigonometrik fonksiyonlar t¨ur¨undendir.
Gagnon tarafından (1.1) denkleminin Lie cebirinin bazı iki boyutlu alt cebirleri i¸cin indirgenmi¸s denklemler yazılmı¸s ancak tam ¸c¨oz¨umler elde edilmemi¸stir [9]. Bu tezde, yukarıdaki literat¨ur¨un motivasyonuyla, (1.1) denkleminin grup de˘gi¸smez ¸c¨oz¨umlerinin ara¸stırıldı˘gı kapsamlı bir ¸calı¸sma yapılmı¸stır. C¸ ¨oz¨umde kullanılan Lie grubu analizi ile ilgili literat¨urde kaynaklar mevcuttur [10-12]. Denklemi de˘gi¸smez bırakan G Lie grubu bilinmektedir [13]. G simetri grubunun Lie
cebirinin ¸ce¸sitli iki ve ¨u¸c boyutlu alt cebirleri kullanılarak, (1.1) kısmi diferansiyel denkleminin adi diferansiyel denklemlere ya da cebirsel denklemlere indirgenmeleri elde edilmi¸stir. M¨umk¨un oldu˘gu hallerde, do˘grusal olmayan bu indirgenmi¸s denklemler adi diferansiyel denklemlerin Painlev´e sınıflandırmasındaki standart denklemlere d¨on¨u¸st¨ur¨ulerek tam ¸c¨oz¨umleri yazılmı¸stır.
˙Ikinci b¨ol¨umde, diferansiyel denklemlerin simetri grubu i¸cin bazı temel kavram ve tanımlar verimi¸stir. Tezin esasını simetri indirgemesi olu¸sturmaktadır. B¨ut¨unl¨uk a¸cısından, simetri grubunun uzatma i¸slemi ile nasıl bulunaca˘gı kısaca tartı¸sılmı¸stır.
¨
U¸c¨unc¨u b¨ol¨umde, bir diferansiyel denklemin integre edilebilirli˘gi ile yakından ili¸skili olan tekillik yapısının ara¸stırılması anlatılmı¸stır. Bu b¨ol¨umde bahsedilen adi diferansiyel denklemlerin Painlev´e sınıflandırması, indirgenmi¸s denklemlerin integre edilmesinde rehber olacaktır.
D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde, [13]’te yapılan ¸calı¸smada elde edilen simetri cebirinin 12 adet iki boyutlu alt cebiri kullanılarak, (1.1) denkleminin adi diferansiyel denklemlere indirgemeleri elde edilmi¸stir.
Be¸sinci b¨ol¨umde, ¨onceki b¨ol¨umde elde edilen ikinci ve ¨u¸c¨unc¨u mertebeden do˘grusal olmayan adi diferansiyel denklemlerin ¸c¨oz¨umleri tartı¸sılmı¸stır. Painlev´e ¨ozelli˘gine sahip olanların integralleri, trigonometrik fonksiyonlar, eliptik fonksiyonlar ve Painlev´e transandanları t¨ur¨unden yazılmı¸stır.
2. D˙IFERANS˙IYEL DENKLEMLER˙IN LIE GRUBU ANAL˙IZ˙I
2.1 Bir Diferansiyel Denklem Sisteminin Simetri Grubunun
Bulunması ¨
Oncelikle, soyut grup kavramıyla manifold kavramının ilgin¸c birlikteli˘gi olan ”Lie Grubu” tanımlanacaktır.
Tanım 2.1. Bir G grubu i¸cin,
m : G × G −→ G, m(g, h) = g · h, g, h ∈ G
grup i¸slemi ve
i : G −→ G, i(g) = g−1, g ∈ G
ters e¸slemesi r-boyutlu manifoldlar arasında d¨uzg¨un tasvirler ise, G bir manifoldun yapısını ta¸sır ve r-parametreli Lie grubu olarak adlandırılır.
Teori, uygulama alanını birim elamana yakın grup elemanları i¸cin bulabilmektedir. Grup ¨ozelliklerinin birim eleman civarındaki grup elemanları i¸cin sa˘glanmasını yeterli g¨ormekle, ”yerel Lie grubu” tanımlanır.
Tanım 2.2. r-parametreli yerel Lie grubu, orijini i¸ceren V0 ⊂ V ⊂ Rr
k¨umeleri ¨uzerinde, a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri ger¸cekleyen d¨uzg¨un tasvirler olan
m : V × V −→ Rr
grup i¸slemi ve
i : V0 −→ V
ters e¸slemesi ile tanımlanır.
(a)Birle¸sme. x, y, z, m(x, y), m(y, z) ∈ V ⇒ m(x, m(y, z)) = m(m(x, y), z). (b)Birim eleman. ∀x ∈ V, m(0, x) = x = m(x, 0).
Tanım 2.3. M bir d¨uzg¨un manifold olsun. M ¨uzerinde etkiyen bir yerel d¨on¨u¸s¨um grubu; bir yerel G Lie grubu, birim elamanı i¸ceren ve grup etkisinin tanım k¨umesi olan bir
{e} × M ⊂ U ⊂ G × M
U a¸cık k¨umesi ve Ψ : U −→ M d¨uzg¨un tasviriyle tanımlanır. Ψ(g, x) = g ·x olarak
g¨osterilirse, bu tasvir a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glamalıdır. (a) g · (h · x) = (g · h) · x, g, h ∈ G, x ∈ M,
(b) e · x = x ∀x ∈ M,
(c) g−1· (g · x) = x, g ∈ G, x ∈ M.
Tanım 2.4. Diferansiyel denklemin simetri grubu. ∆ bir diferansiyel denklem sistemi, M bu sistemin ba˘gımlı ve ba˘gımsız de˘gi¸skenler uzayı, G ise
M’nin a¸cık bir alt k¨umesi ¨uzerine etkiyen yerel d¨on¨u¸s¨um grubu olsun. u = f (x), ∆ sisteminin bir ¸c¨oz¨um olmak ¨uzere, g ∈ G i¸cin g · f tanımlı olsun.
˜
u = g · f (x) de ∆’nın bir ¸c¨oz¨um¨u ise, G, ∆’nın bir simetri grubudur. Ei(x, u, u(1), . . . , u(n)) = 0
x ∈ Rp, u ∈ Rq, i = 1, . . . , m, p, q, m, n ∈ N (2.1)
diferansiyel denklem sistemini ele alalım [14]. Burada u(n), u’nun her u
α
bile¸seninin n mertebesindeki t¨um t¨urevlerini g¨ostermektedir. Bu diferansiyel denklem sisteminin,
˜
x = Λg(x, u), u = Ω˜ g(x, u) (2.2)
yapısında, sistemin bir u = f (x) ¸c¨oz¨um¨un¨u bir ˜u = ˜f (˜x) ¸c¨oz¨um¨une d¨on¨u¸st¨urecek
nokta d¨on¨u¸s¨umleri ara¸stırılacaktır. Bu d¨on¨u¸s¨umlere ”nokta d¨on¨u¸s¨umleri” denmesinin sebebi, yeni (˜x, ˜u) ba˘gımlı ve ba˘gımsız de˘gi¸skenlerinin yalnızca
M ⊂ X × U, X ∼ Rp, U ∼ Rq
uzayındaki (x, u) noktalarına ba˘glı olmasıdır. (˜x, ˜u) de˘gi¸skenlerinin ux, uxx
gibi t¨urevlere ya da D−1u integraline ba˘glı olması durumu burada dikkate
alınmayacaktır.
Denklem (2.2)’deki g indisi sonlu yada sonsuz sayıdaki grup parametrelerini temsil etmektedir. (2.2) d¨on¨u¸s¨um¨u yerel bir Lie Grubu olu¸sturmaktadır. ”Yerel grup” kavramıyla kastedilen, yukarıdaki tanımlarda da belirtildi˘gi ¨uzere, d¨on¨u¸s¨umlerin,
X×U uzayının orijinine yeterince yakın (x, u) noktaları ve grubun birim elemanına
yakın grup parametresi g i¸cin tanımlı ve tersinir olmasıdır.
(2.2) denkleminden ˜ux˜ gibi ba˘gımlı de˘gi¸skenin t¨urevleri hesaplanarak (2.1)’de
yerine konursa Λ ve Ω fonksiyonları i¸cin bir diferansiyel denklem sistemi elde edilir. Ancak, elde edilen diferansiyel denklem sisteminin ¸c¨oz¨um¨u, (2.1) sisteminin ¸c¨oz¨um¨une e¸sde˘ger zorluktadır. Lie’nin etkin yakla¸sımı bu noktada devreye girmektedir: (2.2) d¨on¨u¸s¨um¨u yerine,
˜
xi = xi+ εξi(x, u), u˜α = uα+ εφα(x, u) (2.3)
d¨on¨u¸s¨um¨u dikkate alınıp, (2.1) de yerine konduktan sonra εp, p ≥ 2 terimleri
ihmal edilirse, ξi ve φα i¸cin do˘grusal bir kısmi diferansiyel denklem sistemi elde
edilir. ”Belirleyici denklem” adı verilen ve esas probleme kıyasla ¸c¨oz¨um¨u kolay olan bu diferansiyel denklem sisteminden ξi ve φα ¸c¨oz¨uld¨ukten sonra, denklemin
simetri grubunun sonsuz k¨u¸c¨uk ¨ureteci,
ˆ X = p X i=1 ξi(x, u)∂xi+ q X α=1 φα(x, u)∂uα (2.4)
¸seklindeki vekt¨or alanı ile yazılır. ˆX vekt¨or alanı ξi ve φα’dan gelen keyfi sabitler
i¸cermektedir. Bu sabitler sayesinde ˆX,
ˆ Y = p X i=1 Ξi(x, u)∂xi+ q X α=1 Φα(x, u)∂uα (2.5)
vekt¨or alanlarının do˘grusal bile¸simi ¸seklinde yazılabilir. Y vekt¨or alanları,ˆ
denklemin G simetri grubunun Lie cebiri L i¸cin bir baz olu¸sturacaktır. Tanım 2.5. Lie Cebiri. g bir vekt¨or alanı olsun. ’Lie parantezi’
[·, ·] : g × g → g
ikili i¸slemine g¨ore ∀ u, v, v0, w, w0 ∈ g ve ∀c, c0 ∈ R i¸cin a¸sa˘gıdaki ko¸sullar
sa˘glanıyorsa, g bir Lie cebiridir.
(a)Bilineer. [cv+c0v0, w] = c[v, w]+c0[v0, w], [v, cw+c0w0] = c[v, w]+c0[v, w0],
(b)Anti-simetrik. [v, w] = −[w, v],
ˆ
Y baz vekt¨orleri i¸cin, Lie parantezi i¸slemine g¨ore bir tablo olu¸sturulur. Buradan L
cebirinin alt cebirleri te¸shis edilebilir. Her ˆY vekt¨or alanı, vekt¨or alanının integral
e˘grisinin bulunmasıyla,
d˜xi
dε = Ξi(˜x, ˜u) x˜i |ε=0= xi d˜uα
dε = Φα(˜x, ˜u) u˜α |ε=0= uα (2.6)
simetri grubunun bir parametreli bir altgrubunu ¨uretir. Genel grup d¨on¨u¸s¨um¨u, bir parametreli grup d¨on¨u¸s¨umlerinin bile¸skesinin alınmasıyla bulunur.
Bir diferansiyel denklem sisteminin simetri grubunun bilinmesinin getirilerinden biri, bilinen ¸c¨oz¨umlerden yeni ¸c¨oz¨umlerin ¨uretilebilmesidir. Bilinen u = f (x) ¸c¨oz¨um¨une grup d¨on¨u¸s¨um¨un¨un uygulanmasıyla, ˜u = g · f (x) = ˜f (˜x) ¸c¨oz¨um ailesi
elde edilebilir.
Simetri cebirininin yani G grup d¨on¨u¸s¨um¨un¨u ¨ureten (2.4) vekt¨or alanının bulunması algoritmik bir i¸slemle yapılmaktadır. Bunun i¸cin, ”vekt¨or alanının uzatımı” tanımlanacaktır.
G simetri grubu, M manifoldu ¨uzerine etkir:
G : {x, u} ∈ M −→ {˜x, ˜u} ∈ M (2.7)
Fonksiyonları, fonksiyonlara d¨on¨u¸st¨ur¨ur:
u = f (x) −→ ˜u = ˜f (˜x) = g · f (x) (2.8)
G’nin n. uzatımı, bir f fonksiyonunun n. mertebeye kadar olan t¨urevlerinin
d¨on¨u¸s¨um¨un¨un kuralını belirler:
pr(n)G : {x, f (x), f(1)(x), . . . , f(n)(x)} −→ {˜x, ˜f (˜x), ˜f(1)(˜x), . . . , ˜f(n)(˜x)}. (2.9)
ˆ
X vekt¨or alanı x ve u’nun de˘gi¸skeni olan fonksiyonlara etkir. ˆX’nın n. uzatımı, x, u, ux, . . . , unx’e ba˘glı olan fonksiyonlara etkir. pr(n)X integre edilirse, prˆ (n)G
elde edilir. ˆ
X vekt¨or alanının n. uzatımı,
pr(n)X = ˆˆ X + q X α=1 n X k=1 X J φJ α ∂ ∂uα J (2.10)
Burada J ¸coklu-indis k¨umesidir:
J ≡ J(k) = (j1, . . . , jk), 1 ≤ jk ≤ p, k = j1+ · · · + jk
φJ
α katsayıları ξ, φ ve k. mertebeye kadar t¨urevlerine ba˘glı fonksiyonlardır. Bunlar
i¸cin form¨uller [10]’da bulunabilir. Burada, daha kullanı¸slı oldu˘gundan, tekrarlama ba˘gıntılarına de˘ginilecektir:
Birinci uzatım form¨ul¨u a¸sa˘gıdaki gibidir: pr(1)X =ˆ X +ˆ q X α=1 p X i=1 φi α(x, u, ux) ∂ ∂uα xi , (2.11a) φiα = Dxiφα− p X j=1 ¡ Dxiξj ¢ uα,xj. (2.11b)
Burada Dxi tam t¨urev operat¨or¨ud¨ur:
Dxi = ∂ ∂xi + q X α=1 ∂uα ∂xi ∂ ∂uα + q X α=1 p X j=1 ∂uα,xj ∂xi ∂ ∂uα,xj + · · · . (2.12)
n. uzatım bilinirken, (n + 1). uzatım a¸sa˘gıdaki gibi hesaplanır:
pr(n+1)X = prˆ (n)X +ˆ q X α=1 p X i1,...,in+1=1 φi1...in+1 α ∂ ∂uα,xi1,...,xin+1 , (2.13a) φi1...in+1 α = Dxin+1φxα1,...,in − p X j=1 ³ Dxin+1ξj ´ uα,xi1...xinxj. (2.13b)
Teorem 1.1. Diferansiyel denklemin de˘gi¸smezli˘gi. M ⊂ X ×U ¨uzerinde
tanımlı
Ei(x, u, u(1), . . . , u(n)) = 0, i = 1, . . . , m
diferansiyel denklem sistemini alalım. G, M ’ye etkiyen bir yerel grup d¨on¨u¸s¨um¨u olmak ¨uzere, G’nin her X sonsuz k¨u¸c¨uk ¨ureteci i¸cin,
pr(n)X ¡Ei¢|Ek=0= 0 i, k = 1, . . . , m
ko¸sulu sa˘glanıyorsa, G, sistemin bir simetri grubudur.
(2.1) sisteminin simetri cebirinin belirlenmesi i¸cin uygulanacak algoritma ¸simdi basit¸ce verilebilir. Simetri grubunun sonsuz k¨u¸c¨uk ¨uretecinin n. uzatımı sistem ¨uzerine uygulandı˘gında, ¸c¨oz¨um k¨umesi ¨uzerinde ¨ozde¸s olarak sıfırı vermelidir:
pr(n)Xˆ ¡Ei¢|
(2.14) denkleminden, sadece x, u’ya ba˘glı olan ξi ve φα belirlenecektir. (2.14)
denklemi x, u, ux, uxx, . . . , unx terimlerini de i¸cerecektir. Bu denklem t¨urevlere
g¨ore bir ¸cok de˘gi¸skenli polinom olarak ele alınıp t¨urev ¸carpımlarından olu¸san her do˘grusal ba˘gımsız terimin katsayısı sıfıra e¸sitlenir. Bu ¸sekilde, ”belirleyici denklem” denen, n. ya da daha d¨u¸s¨uk mertebeden kısmi diferansiyel denklem sistemi elde edilir. (2.1) do˘grusal olmayan bir sistem olsa bile, belirleyici denklem sistemi, do˘grusal bir denklem takımıdır. Algoritma ¨ozetlenirse:
(i) (2.4) vekt¨or alanının n. uzatımı (2.10) hesaplanır. Bu i¸slem ele alınan diferansiyel denklemden ba˘gımsız olup yalnızca denklemin ba˘gımsız ve ba˘gımlı de˘gi¸sken sayısına ba˘glıdır.
(ii) (2.1) sisteminin her bir denkleminden en y¨uksek mertebeden t¨urev terimi ¸cekilir.
(iii) (2.14) hesaplanarak (ii)’de ¸cekilen terimler yerine yazılır.
(iv) Kalan do˘grusal ba˘gımsız t¨urev terimleri belirlenir ve katsayıları sıfıra e¸sitlenir. Belirleyici denklemler elde edilmi¸s olur.
(v) Belirleyici denklemler ¸c¨oz¨ulerek, ξi(x, u) ve φα(x, u) bulunur.
Belirleyici denklem takımında denklem sayısı genellikle bilinmeyen sayısından fazladır. Bu sistemin ¸c¨oz¨um¨u sonucunda a¸sa˘gıdaki durumlardan birine ula¸sılır: (a) A¸cık ¸c¨oz¨um: ξi = φα = 0. Bu durumda (2.1) sisteminin simetri grubu yoktur
ve y¨ontem uygulanamaz.
(b) Belirleyici denklemler, N < ∞ sayıda integrasyon sabitine ba˘glı olarak ¸c¨oz¨ul¨ur. Bu durumda denklemin simetri cebirinin boyutu N’dir.
(c) Genel ¸c¨oz¨um keyfi fonksiyonları i¸cerir. Bu durumda simetri grubu sonsuz boyutludur. B¨ut¨un do˘grusal kısmi diferansiyel denklemlerde ve ¨u¸c boyutlu integrallenebilir do˘grusal olmayan denklemlerde bu sonuca ula¸sılır.
2.2 Simetri ˙Indirgemesi
Diferansiyel denklemin simetri grubunun bilinmesinin en ¨onemli uygulaması, simetri indirgemesidir. Simetri indirgemesi yoluyla kısmi t¨urevli diferansiyel denklemlerin de˘gi¸sken sayısının azaltılması hatta adi difensiyel denklemlere veya
cebirsel denklemlere d¨on¨u¸st¨ur¨ulmesi m¨umk¨und¨ur. Bu y¨ontemde denklemin G simetri grubunun bir G0 alt grubu alınır ve G0 altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨umler
aranır. Alt grubun sonsuz k¨u¸c¨uk ¨urete¸clerinin de˘gi¸smezleri olan bu ¸c¨oz¨umlerden denklemin ba˘gımlı de˘gi¸skeni ¸cekilerek denklemde yerine yazıldı˘gında de˘gi¸sken sayısı d¨u¸s¨ur¨ulm¨u¸s olur.
Simetri indirgemesi y¨ontemi, a¸sa˘gıdaki adımlardan olu¸smaktadır.
(i) (2.1) sistemini de˘gi¸smez bırakan (2.2) yerel grup d¨on¨u¸s¨um¨u G bulunur. Yerel grup d¨on¨u¸s¨um¨une kar¸sılık gelen (2.4) vekt¨or alanının Lie cebiri L elde edilir. (ii) G grubunun etkisi altında L’nin alt cebirleri denklik sınıflarına ayrılır. L’nin her farklı L0 alt cebirine kar¸sılık gelen G0 ⊂ G alt grubu denklemin do˘grusal
ba˘gımsız indirgemelerini verecektir.
(iii) L0 ⊂ L alt cebiri ve bu alt cebire kar¸sılık gelen G0 ⊂ G alt grubu alınır. G0
alt grubu M ∼ X ×U ba˘gımlı ve ba˘gımsız de˘gi¸skenler uzayına etkir. G0 grubunun
de˘gi¸smezleri; yani Xi, L0 alt cebirinin baz vekt¨orleri olmak ¨uzere
XiF (x, u) = 0, i = 1, . . . , n0 (2.15)
birinci mertebeden do˘grusal denklem sisteminin
ϕj = ϕj(x, u), j = 1, . . . , N (2.16)
fonksiyonel ba˘gımsız ¸c¨oz¨umleri bulunur. De˘gi¸smez sayısı N; d, G0’ın M’deki
orbitlerinin yani M’nin minimal G0-de˘gi¸smez alt k¨umelerinin boyutu olmak ¨uzere
orbitlerin e¸s boyutuna e¸sittir
N = p + q − d.
(2.16) sisteminin ¸c¨oz¨um¨u sonunda a¸sa˘gıdaki durumlarla kar¸sıla¸sılabilir.
(A) ϕj(x, u) de˘gi¸smez fonksiyonları arasından q tane ˆϕj(x, u) ba˘gımlı de˘gi¸skenlere
tersinir bir tasvir tanımlar. Bu de˘gi¸smezler, (2.1) sisteminin yeni ba˘gımlı de˘gi¸skenleri olacaktır. Tasvirin tersinir olması i¸cin Jakobiyen matrisinin determinantı sıfırdan farklı olmalıdır
J ≡ µ ∂( ˆϕ1, . . . , ˆϕq) ∂(u1, . . . , uq) ¶ , det J 6= 0. (2.17)
Kalan k = N − q sayıda de˘gi¸smez (2.16) sisteminden yalnızca ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin fonksiyonu olarak se¸cilebilir. Bunlar da
olarak adlandırılır ve (2.1) i¸cin yeni ba˘gımsız de˘gi¸skenler olarak se¸cilir. ˆ
ϕj = Fj(ζ1, . . . , ζk) (2.19)
(2.17) ko¸sulu (2.19)’dan ba˘gımlı de˘gi¸skenleri i¸cin ¸c¨oz¨ulmesini m¨umk¨un kılar.
uj(x) = Uj(x, Fj(ζ)) (2.20)
(2.1) denkleminde (2.20) yerine yazılırsa yalnızca Fj (j = 1, . . . , q) fonksiyonlarını
ve ζa (a = 1, . . . , k) de˘gi¸skenlerini i¸ceren bir denklem takımına ula¸sılır.
(2.1) G-de˘gi¸smez oldu˘gundan ve (2.15) t¨um G0-de˘gi¸smezleri tanımladı˘gından,
(2.20)’deki x terimleri yok olmalıdır. k < p oldu˘gundan, ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin sayısı azaltılmı¸stır. ˙Indirgenmi¸s denklem Fj(ζ) i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse, (2.20)’den esas
sistemin ¸c¨oz¨um¨u elde edilebilir.
(B) (2.17) ko¸sulu sa˘glanır ancak (2.18)’de verilen yeni ba˘gımsız de˘gi¸skenler, ba˘gımlı de˘gi¸sken u’nun fonksiyonu olarak elde edilir. Yukarıda belirtilen i¸slemlerin aynısı tekrarlanır ancak (2.20) denklemi (2.1) de yerine
uj(x) = Uj(x, Fj(ζ)), ζ = ζ(x, u) (2.21)
¸seklinde konur. (2.21), uj bile¸senleri cinsinden bir kapalı fonksiyondur. uj’lerin
¸c¨oz¨ul¨up, esas denklemde yerine yazılması m¨umk¨un olabilir.
(C) Jakobiyen matrisinin sıfır olması ko¸sulu (2.17) sa˘glanmaz. J’nin rankı
1 ≤ r(J) = q0 < q (2.22)
olsun. ϕj(x, u) de˘gi¸smezlerinden q0 sayıda se¸cilir. Bu de˘gi¸smezler i¸cin Jakobiyenin
sıfırdan farklı olması ko¸sulu sa˘glandı˘gından, yukarıdaki gibi devam edilip (2.20)
uj(x) = Uj(x, Fj(ζ)); j = 1, . . . , q0 (2.23)
¸seklinde yazılır. Kalan uq0+1,...,q de˘gi¸skenleri x1, . . . , xp’ye ba˘glıdır. Bunlar (2.1)’de
yerine yazılırsa, ba˘gımlı de˘gi¸skenlerinin bir kısmının ( Fj(ζ) ) daha az sayıda
de˘gi¸skene ba˘glı oldu˘gu bir denklem takımı elde edilir. Bu durum, indirgenmi¸s denklem ¨uzerinde bazı uygunluk ko¸sulları getirir. ˙Indirgenmi¸s denklemin ¸c¨oz¨um¨u, sistemin ”kısmen de˘gi¸smez ¸c¨oz¨umler”ini vermektedir.
(iv) ˙Indirgenmi¸s denklemler ¸c¨oz¨ul¨ur. Esas denklem integre edilemeyen bir denklem olsa bile, indirgenmi¸s denklem integrallenebilir olabilir. ˙Indirgenmi¸s denklem do˘grusal bir denkleme d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir veya ters spektral d¨on¨u¸s¨um y¨ontemiyle ¸c¨oz¨ulebilir. ˙Indirgenmi¸s denklemin simetri grubu da ara¸stırılabilir. Denklemin ¸c¨oz¨umlerinin tekillik yapısını ara¸stıran Painlev´e analizi de faydalı bir y¨ontemdir.
3. D˙IFERANS˙IYEL DENKLEMLER˙IN TEK˙ILL˙IK ANAL˙IZ˙I
3.1 Sabit Bir Nokta Etrafında D¨onen Katı Cisim Problemi
Katı bir cismin sabit bir nokta etrafında hareketi a¸sa˘gıdaki denklem takımı tarafından belirlenir: Adω1 dt = (B − C)ω2ω3+ Mg(y0γ3− z0γ2), dγ1 dt = ω3γ2− ω2γ3, Bdω2 dt = (C − A)ω1ω3+ Mg(z0γ1− x0γ3), dγ2 dt = ω1γ3− ω3γ1, Cdω3 dt = (A − B)ω1ω2+ Mg(x0γ2− y0γ1), dγ3 dt = ω2γ1− ω1γ2. (3.1)
Burada ω1, ω2, ω3 cismin a¸cısal hız vekt¨or¨un¨un bile¸senleri, γ1, γ2, γ3 konum
vekt¨or¨un¨un do˘grultu kosin¨usleridir. (x0, y0, z0) cismin k¨utle merkezinin
koordinatlarıdır. G¨or¨uld¨u˘g¨u gibi denklem A, B, C > 0 ve x0, y0, z0 ∈ R
parametrelerini i¸cermektedir. Kovalevskaya’nın bu denklem sisteminin ¸c¨oz¨um¨uyle ilgilenmesinden ¨once sabitlerin a¸sa˘gıdaki durumları i¸cin ¸c¨oz¨umler biliniyordu: (i) A = B = C
(ii) Euler ve Poinsot; x0 = y0 = z0
(iii) Lagrange ve Poisson; A = B, x0 = y0
Her ¨u¸c durum i¸cin de ¸c¨oz¨um eliptik fonksiyonlar t¨ur¨unden yazılmı¸stı. Dolayısıyla ¸c¨oz¨umler meromorfikti [15]. Weierstrass’ın ¨onerisiyle problemle u˘gra¸smaya ba¸slayan Kovalevskaya, hangi ¸sartlar altında sistemin meromorfik ¸c¨oz¨um¨un¨un olabilece˘gini ara¸stırdı. C¸ ¨oz¨umlerin Laurent serisinin yalnızca kutup t¨ur¨unden tekilliklere sahip olmasına izin veren
ωl = ∞ X j=0 ωl,jtnl+j , γl = ∞ X j=0 γl,jtnl+j l = 1, 2, 3; ωl,j, γl,j ∈ C (3.2)
a¸cılımlarını (3.1) denklem sisteminde yazan Kovalevskaya, elde etti˘gi cebirsel denklem sisteminin ¸c¨oz¨um¨un¨un, sabitlerin (i)-(iii) ve bunlara ek olarak
A = B = 2C, y0 = z0 = 0 (3.3)
ko¸sulunu sa˘gladı˘gı durumlarda var oldu˘gu sonucuna ula¸stı . Bunun ardından, sabitlerin (3.3) durumu i¸cin (3.1)’in ¸c¨oz¨um¨un¨u hipereliptik fonksiyonlar t¨ur¨unden elde ederek ¸c¨oz¨um¨un meromorfik yapısını g¨ostermi¸s oldu [16].
3.2 ˙Ikinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlerin Painlev´e Sınıflandırması
Gauss hipergeometrik fonksiyonu, Kummer konfluent hipergeometrik fonksiyonu, Bessel fonksiyonu gibi geni¸s bir sınıf ¨ozel fonksiyonlar, polinom katsayılı do˘grusal denklemlerin ¸c¨oz¨um¨u olarak ortaya ¸cıkar. De˘gi¸sken sayısının ya da denklemin mertebesinin artırılmasıyla bu fonksiyonlar sınıfının geni¸sletilmesi m¨umk¨und¨ur. 19. y¨uzyılda yeni bir t¨ur ¨ozel fonksiyon olan eliptik fonksiyonlar ve bunlarla ili¸skili θ fonksiyonlarının bulundu˘gu burada anımsanmalıdır. ¨Ozel fonksiyonlar sınıfının geni¸sletilmesi, 19. y¨uzyıl matematik¸cilerinin ilgisini ¸ceken problemlerden olmu¸stur. Kovalevskaya da, 4 yıl kadar s¨ure alan yukarıdaki ¸calı¸smasının ilk adımında problemine iki de˘gi¸skenli θ fonksiyonu ¸seklinde ¸c¨oz¨um ¨onerisinde bulunmu¸stu. Hipergeometrik fonksiyon gibi, do˘grusal bir denklemin ¸c¨oz¨um¨u olan ¨ozel fonksiyonların aksine, eliptik fonksiyonlar, ¨orne˘gin Weierstrass ℘ fonksiyonu, birinci mertebeden
˙
w2(z) = 4w3(z) − g
2w(z) − g3
denklemini sa˘glar. Jacobi’nin ¨u¸c eliptik fonksiyonu da birinci mertebeden bir denklem sistemini sa˘glar. Klasik ¨ozel fonksiyonların aksine, bu fonksiyonları temsil eden diferansiyel denklemler do˘grusal de˘gildir. Painlev´e de, eliptik fonksiyonlar gibi, ”uygun” do˘grusal olmayan diferansiyel denklemlerin ¸c¨oz¨um¨u olan yeni ¨ozel fonksiyonlar bulmayı ama¸cladı. Eliptik fonksiyonların t¨um hareketli tekillikleri kutup t¨ur¨unden oldu˘gundan, Painlev´e, aradı˘gı ”uygun” diferansiyel denklemin ¸c¨oz¨umlerinin de aynı ¨ozelli˘gi sa˘glaması ¨onerisinde bulundu. Kovalevskaya’nın problemine getirdi˘gi ¸c¨oz¨um ¨onerisiyle Painlev´e’nin sundu˘gu ¸sartın aynı oldu˘gu g¨or¨ulmektedir. Painlev´e, α-y¨ontemi denen bir y¨ontemle
d2w
dz2 = F (z, w, dw
¸seklinde, F ’nin z’ye g¨ore analitik, w’ye g¨ore rasyonel , dw
dz’ye g¨ore cebirsel bir
fonksiyon oldu˘gu, hareketli tekillikleri kutup t¨ur¨unden olan ikinci mertebeden denklemleri ara¸stırdı [17-19]. O˘grencisi Gambier tarafından bitirilen ¸calı¸sma¨ sonucunda, 50 denklik sınıfı bulundu. Bu denklemlerin tam bir listesi [20]’de mevcuttur. 50 denklemden 44 tanesi integre edilebilir olup bazılarının ¸c¨oz¨umleri eliptik fonksiyonlar t¨ur¨undendir. Kalan 6 tanesi indirgenemez (daha basit bir denkleme ya da daha basit denklemlerin bir kombinasyonuna d¨on¨u¸st¨ur¨ulemez) olup yeni transandan fonksiyonlar tanımlar. Bu indirgenemez denklemler tarafından temsil edilen fonksiyonlar, Painlev´e Transandanları olarak adlandırılır.
3.3 Adi Diferansiyel Denklemler ˙I¸cin Painlev´e Testi
Bir adi diferansiyel denklemin Painlev´e ¨ozelli˘gi, ¸su ¸sekilde tanımlanır [21].
1. Bir adi diferansiyel denklem i¸cin kritik nokta, ¸c¨oz¨um¨unde bulunan dallanma ya da esaslı t¨urden tekil noktadır.
2. Kritik noktanın karma¸sık d¨uzlemdeki yeri, denklemin integrasyon sabitine ba˘glı ise, hareketli kritik nokta adını alır.
3. Denklemin hareketli kritik noktası olmayan bir ¸c¨oz¨um ailesi, P -¨ozelli˘gine sahiptir. Burada P ”Painlev´e” yerine kullanılmı¸stır.
4. B¨ut¨un ¸c¨oz¨umleri P -¨ozelli˘gine sahipse denklem P -tipidir.
G¨or¨uld¨u˘g¨u gibi denklemin Painlev´e ¨ozelli˘gine sahip olması i¸cin, ¸c¨oz¨umlerinin hareketli tekillikleri en fazla kutup cinsinden olabilir. Painlev´e ¨ozelli˘gine sahip bir denklemin ¸c¨oz¨umlerinin esaslı ya da dallanma t¨ur¨unden tekil noktaları yoktur. Do˘grusal olmayan bir sistemin integrallenebilirli˘gi, denklemin tekillik yapısıyla yakından ili¸skilidir [22]. C¸ ¨oz¨umlerde hareketli tekilliklerin dallanma noktaları t¨ur¨unden olması, sistemin integre edilemezli˘gine bir i¸sarettir [22]. Ablowitz, Ramani, Segur bir denklemin integre edilebilirli˘gi i¸cin Painlev´e ¨ozelli˘gini gerek ko¸sul olarak veren a¸sa˘gıdaki iddiayı ortaya attılar :
ARS Sanısı: Ters sa¸cılım d¨on¨u¸s¨um¨u y¨ontemiyle integrallenebilen do˘grusal olmayan bir kısmi t¨urevli diferansiyel denklemin simetri indirgemesiyle elde edilen her do˘grusal olmayan adi diferansiyel denklem, Painlev´e ¨ozelli˘gine sahiptir [23]. Tahminin pek ¸cok denklem sınıfı i¸cin do˘grulu˘gu g¨osterilmi¸stir.
dnw dzn = F µ z, w,dw dz, . . . , dn−1w dzn−1 ¶ (3.4) ¸seklinde, n. mertebeden adi diferansiyel denklemin Painlev´e analizi i¸cin uygulanabilecek algoritmik y¨ontem Ablowitz, Ramani, Segur tarafından geli¸stirilmi¸stir [23]. Burada F, z cinsinden analitik, di˘ger de˘gi¸skenlerine g¨ore rasyonel bir fonksiyondur.
(A) Baskın davranı¸sın bulunması (3.4) denkleminin
w ∼ a0(z − z0)p, p ∈ Z− (3.5)
yapısında bir ¸c¨oz¨um¨u aranır. (3.5) denklemi (3.4)’te yerine yazılırsa p’nin belli de˘gerleri i¸cin denklemdeki iki ya da daha fazla terimin dengelendi˘gi ve kalan terimlerin z → z0 i¸cin ihmal edilebilece˘gi g¨or¨ul¨ur. p’nin her se¸cimi i¸cin
dengelenen terimler, ba¸sterim olarak adlandırılır. Genellikle bu a¸samada a0 terimi
hesaplanabilir. M¨umk¨un p’lerden hi¸cbiri tamsayı de˘gilse, denklem P -tipi de˘gildir.
p’lerin t¨um¨u tamsayı ise, (3.5), ¸c¨oz¨um¨un hareketli bir kutup noktası civarındaki
Laurent serisinin ilk terimini temsil edebilir. Bu durumda (3.4)’¨un bir ¸c¨oz¨um¨u
w(z) = (z − z0)p
∞
X
j=0
aj(z − z0)j, 0 < |z − z0| < R (3.6)
yapısındadır. Burada z0 keyfi sabit olup hareketli kutup noktasını temsil
etmektedir. ajkatsayılarından n−1 tanesi de keyfi olarak ortaya ¸cıkarsa, (3.6)’nın,
(3.4) denkleminin z0 civarındaki genel ¸c¨oz¨um¨u oldu˘gu anla¸sılır. Keyfi katsayılı
(z − z0) terimlerinin kuvveti rezonans olarak adlandırılır.
(B) Rezonansların bulunması
(A) adımındaki her (p, a0) ¸cifti i¸cin (3.4)’te
w(z) = a0(z − z0)p+ β(z − z0)p+r (3.7)
yazılır. β’yı i¸ceren terimler toparlanırsa
Q(r)β(z − z0)q= 0, q ≥ p + r − n (3.8)
elde edilir. Q(r)’nin k¨okleri rezonansları belirler. Her (p, a0) ¸cifti i¸cin, Q(r)’nin −1, 0 dı¸sında t¨um k¨okleri pozitif reel sayılar ise, ¸c¨oz¨um¨un cebirsel dallanma
(C) ˙Integrasyon sabitlerinin bulunması-Uygunluk ko¸sulları
Bir (p, a0) ¸cifti i¸cin r1 ≤ · · · ≤ rs, Q(r)’nin k¨okleri olsun (s ≤ n − 1). (3.4)’te
w =
rs
X
j=0
aj(z − z0)p+j (3.9)
yazılıp (z − z0)p+j−n teriminin katsayısı sıfıra e¸sitlenirse
Q(j)aj = Rj(z0, a0, a1, . . . , aj−1), 0 ≤ j ≤ rs (3.10)
bulunur. (3.10) uygunluk ko¸sulu olarak adlandırılır. Laurent serisinin katsayıları bu uygunluk ko¸sulundan hesaplanır. j = rk, k = 1, . . . , s rezonans d¨uzeylerinde
Q(rk) = 0 oldu˘gundan her rezonans d¨uzeyi i¸cin
Rrk = 0, l = 1, . . . , s (3.11)
ko¸sulu sa˘glanmalıdır.
Bu a¸samada iki durumla kar¸sıla¸sılır:
(i) (3.11) sa˘glanıyorsa, (3.10)’dan Laurent serisinin terimleri hesaplanabilir ve bu i¸slemlerin yapıldı˘gı (p, a0) ¸cifti i¸cin ¸c¨oz¨um¨un Painlev´e ¨ozelli˘gine sahip oldu˘gu
g¨osterilmi¸s olur. Her (p, a0) ¸cifti i¸cin (A)-(C) tekrarlandı˘gında (3.11) sa˘glanıyorsa,
denklemin P -tipi oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
Ayrıca, e˘ger s = n − 1 ise, rezonans d¨uzeylerine kar¸sılık gelen ark, k = 1, . . . , s
katsayıları (3.10) denklemine g¨ore keyfi sabitler olaca˘gından, Laurent serisi z0 ile
birlikte toplam n keyfi sabit i¸cerir ve (3.4) denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨u olur. (ii) Bir (p, a0) ¸cifti i¸cin j = rkrezonans d¨uzeyinde (3.11) sa˘glanmıyorsa, denklemin
(3.6) yapısında bir ¸c¨oz¨um¨un¨un olamayaca˘gı anla¸sılır. (3.11) e¸sitli˘ginin sa˘glanması i¸cin (3.6) a¸cılımına logaritmik terimler ilave etmek gerekir ki bu da serinin logaritmik dallanma noktalarına sahip olaca˘gının i¸saretidir. Bu ¸sekilde elde edilen serinin asimptotik davranı¸sı g¨osterilirse denklemin P -tipi olmadı˘gı kanıtlanmı¸s olur.
4. DENKLEM˙IN LIE GRUBU ANAL˙IZ˙I
4.1 Denklemin Simetri Grubu ve Lie Cebiri
G simetri grubu, ψ(t, x, y) denklemin bir ¸c¨oz¨um¨u iken ˜ψ(t, x, y)’yi de bir ¸c¨oz¨um
yapan
˜t = Tg(t, x, y, ψ, ¯ψ), x = X˜ g(t, x, y, ψ, ¯ψ),
˜
y = Yg(t, x, y, ψ, ¯ψ), ψ = Ψ˜ g(t, x, y, ψ, ¯ψ)
(4.1) yerel Lie d¨on¨u¸s¨um grubudur. Burada ¯ψ, ψ’nin kompleks e¸sleni˘gi olup g grup
parametresidir. G simetri grubunun L Lie cebiri ˆ
X = τ ∂t+ ξ∂x+ η∂y+ ϕ∂ψ+ ¯ϕ∂ψ¯. (4.2)
¸seklindeki vekt¨or alanı tarafından belirlenir. τ , ξ, η, φ, ¯φ katsayıları, t, x, y, ψ, ¯ψ’nin fonksiyonları ve E incelenen denklem olmak ¨uzere
pr(2)X(E)ˆ ¯¯¯
E=0= 0 (4.3)
diferansiyel denklemin de˘gi¸smezli˘gi ko¸sulundan elde edilir. Burada pr(2)X, ˆˆ X
vekt¨or alanının ikinci uzatımıdır. Bu ko¸sul ˆX’nın bile¸senleri i¸cin bir belirleyici
denklem takımı sunar.
(1.1) denklemini reel denklem sistemi olarak yazabilmek i¸cin ψ’nin faz ve mod¨ul¨u tanımlanır.
ψ = Reiφ, 0 ≤ R < ∞, 0 ≤ φ ≤ 2π. (4.4)
R ve φ cinsinden denklem tekrar yazılırsa, R ve φ, t, x, y’nin keyfi fonksiyonları
olmak ¨uzere
−Rφt+ ∆R − R|∇φ|2 = a0R3
Rt+ R∆φ + 2∇R · ∇φ = 0
(4.5) elde edilir.
Dokuz-boyutlu Schr¨odinger cebiri sch(2), sıfırdan farklı [P1, B1] = M/2, [P2, B2] = E/2, [J, B2] = −B1, [J, P2] = −P1, [J, B1] = B2, [J, P1] = P2, [T, Bj] = Pj, [D, Bj] = Bj, j = 1, 2 (4.6) [D, Pj] = −Pj, [C, Pj] = −Bj, j = 1, 2 [T, D] = 2T, [T, C] = D, [D, C] = 2C
kom¨utat¨or ba˘gıntılarına sahiptir.
{T, P1, P2, B1, B2, J, E, D} alt cebiri geni¸sletilmi¸s Galilei grubunu (¨oteleme,
d¨uzg¨un Gelilei d¨on¨u¸s¨um¨u, sabit faz de˘gi¸simi), C r¨olativistik olmayan konform d¨on¨u¸s¨umleri ¨uretir.
Standart Schr¨odinger cebiri i¸cin uygun bir baz
T = ∂t, P1 = ∂x, P2 = ∂y, E = ∂φ, (4.7a) B1 = t∂x+ x 2∂φ, B2 = t∂y+ y 2∂φ, J = −y∂x+ x∂y, (4.7b) D = 2t∂t+ x∂x+ y∂y− R∂R, (4.7c) C = t2∂ t+ xt∂x+ yt∂y − tR∂R+ 1 4(x 2+ y2)∂ φ (4.7d)
vekt¨or alanlarıyla verilir. (4.7d) konform d¨on¨u¸s¨umleri daha b¨uy¨uk boyutlu k¨ubik Schr¨odinger denklemlerine genelle¸stirilemez. Daha b¨uy¨uk uzay boyutunda, do˘grusal olmayan Schr¨odinger denklemi
iψt+ ∆ψ = |ψ|4/nψ
konform d¨on¨u¸s¨um altında de˘gi¸smezdir.
Geni¸sletilmi¸s Galilei grubuna kar¸sılık gelen d¨on¨u¸s¨umler global olup a¸sa˘gıdaki gibidir: ˜t = eλ(t − t 0), ˜ x = eλ/2{cos α[(x − x 0) + v1(t − t0) + sin α[(y − y0) + v2(t − t0)]}, ˜
y = eλ/2{− sin α[(x − x0) + v1(t − t0) + cos α[(y − y0) + v2(t − t0)]},
˜ R = e−λ/2R, φ = φ +˜ 1 2[v1(x − x0) + v2(y − y0)] + 1 4(v 2 1 + v22) + (t − t0) + δ. (4.8)
C tarafından ¨uretilen konform d¨on¨u¸s¨umler yerel olup, 1 − pt 6= 0 olmak ¨uzere, ˜t = t 1 − pt, x =˜ x 1 − pt, y =˜ y 1 − pt, ˜ R = (1 − pt)R, φ = φ +˜ p(x2+ y2) 4(1 − pt) , (4.9)
¸seklinde verilir. Bu d¨on¨u¸s¨umlerde t0, x0, y0, v1, v2, α, λ, δ, p grup parametreleridir.
KSD aynı zamanda uzay ve zaman koordinatlarının yansıması altında de˘gi¸smezdir:
Td: t → −t, x → x, y → y, ψ → ¯ψ,
Rx : t → t, x → −x, y → y, ψ → ψ,
Ry : t → t, x → x, y → −y, ψ → ψ.
(4.10)
T, Rx, Ry elemanları sonlu ayrık bir GD grubu olu¸sturur. Schr¨odinger grubunun
d¨on¨u¸s¨umlerini elde etmek ¨uzere (4.9) ve (4.10) d¨on¨u¸s¨umlerinin bile¸skesi alınabilir. (1.1) denkleminin simetri indirgemesini ger¸cekle¸stirmek i¸cin L = sch(2) geni¸sletilmi¸s Schr¨odinger cebirinin d¨u¸s¨uk boyutlu alt cebirlerinin Schr¨odinger grubunun etkisi altında denklik sınıflarına ayrılması gereklidir. (1.1) denklemini cebirsel bir denkleme, adi diferansiyel denkleme , ya da iki de˘gi¸skenli kısmı t¨urevli bir diferansiyel denkleme d¨on¨u¸st¨urmek i¸cin sırasıyla 3,2 ve 1 boyutlu t¨um L0 ⊂ L
alt cebirleri bilinmelidir. sch(2)’nin a¸cık olmayan alt cebir sınıflarının tam bir sınıflandırması [24]’te verilmi¸stir.
4.2 Grup De˘gi¸smez C¸ ¨oz¨umler
Bu b¨ol¨umde (1.1) denkleminin iki boyutlu alt cebirler altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨umleri incelenecektir. ˙Iki boyutlu alt cebirler kullanılarak simetri indirgemesi yapıldı˘gında ADD sistemine ula¸sılmaktadır. Her bir alt cebir i¸cin indirgenmi¸s denklemler elde edilecek ve m¨umk¨un ise sistemin ¸c¨oz¨um¨u yapılacaktır. Tablo 4.1’de ADD sistemine indirgeme sa˘glayan t¨um alt cebirler verilmi¸stir.
L2,1 Alt Cebiri :
Alt cebirin baz vekt¨orleri Tablo 4.1’den g¨or¨ulebilece˘gi gibi
X1 = J + aE = −y∂x+ x∂y+ a∂φ
Tablo 4.1: ˙Indirgemede kullanılan iki boyutlu alt cebirler. ε = ±1; a, b ∈ R. No Tip Baz L2,1 2A1 J + aE, C + T + bE L2,2 J + aE, T L2,3 J + aE, T + εE L2,4 J + aE, D + bE L2,5 T, P1 L2,6 T + εE, P1 L2,7 T + B1, P2 L2,8 P1, P2 L2,9 B1, P2 L2,10 J − ε(C + T ) + aE, B1+ εP2 L2,11 A2 J + aD + bE, T L2,12 D + aE, P1
olarak alınacaktır. {X1, X2} alt cebirinin de˘gi¸smez fonksiyonları X1,2F (x, y, t, φ, R) = 0 sisteminin ¸c¨oz¨um¨unden ϕ1(x, y, t) = φ − a arctany x − b arctan t − t(x2 + y2) 4(1 + t2) ϕ2(x, y, t) = R√1 + t2 ϕ3(x, y, t) = x 2+ y2 1 + t2
olarak bulunur. R, φ ba˘gımlı de˘gi¸skenlerini i¸ceren ϕ1, ϕ2 yeni ba˘gımlı de˘gi¸skenler
olarak se¸cilir, ϕ3 = ξ olarak adlandırılıp yeni ba˘gımsız de˘gi¸sken olarak belirlenirse, {X1, X2} alt cebirinin simetri grubu altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨umler i¸cin R , φ’nin
yapısının
R = √ 1
1 + t2M(ξ) φ = aθ + b arctan t +tξ
4 + Φ(ξ) ¸seklinde olaca˘gı bulunur. (4.4) hatırlanırsa, L2,1 i¸cin ¸c¨oz¨um¨un
ψ(t, x, y) = √M(ξ) 1 + t2e i(aθ+b arctan t+tξ/4+Φ(ξ)), ξ = x 2+ y2 1 + t2 , θ = arctan y x (4.11)
yapısında olaca˘gı g¨or¨ul¨ur. (4.11), (4.5)’te yerine yazılırsa, M(ξ), Φ(ξ)’nin ¸c¨oz¨ulece˘gi a¸sa˘gıdaki adi diferansiyel denklem sistemine ula¸sılır.
M2˙Φξ = C 0, C0 = sabit (4.12a) ¨ M = ( b 4ξ + a2 4ξ2 + 1 16)M − ˙ M ξ + C2 0 ξ3M3 + a0 4ξM 3 (4.12b)
L2,2 Alt Cebiri :
L2,1 alt cebiri i¸cin yapılan simetri indirgemesi i¸slemleri bu alt cebir i¸cin de
tekrarlanırsa, L2,2 alt cebiri altında de˘gi¸smezlik i¸cin ¸c¨oz¨um¨un yapısı, ψ(t, x, y) = M(ρ)ei(aθ+Φ(ρ)),
ρ = (x2+ y2)1/2, θ = arctany x
(4.13) ¸seklinde elde edilir. Burada M(ρ), Φ(ρ) a¸sa˘gıdaki sistemi sa˘glar.
M2˙Φρ = C0, C0 = sabit (4.14a) ¨ M = a 2 ρ2M + C2 0 ρ2M −3−M˙ ρ + M 3 (4.14b) L2,3 Alt Cebiri :
L2,3 alt cebiri altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨um
ψ(t, x, y) = M(ρ)ei(aθ+ε ln t+Φ(ρ)),
ρ = (x2+ y2)1/2, θ = arctany x
(4.15) yapısındadır. M(ρ), Φ(ρ) a¸sa˘gıdaki ADD sisteminden bulunur.
M2˙Φρ = C 0, C0 = sabit (4.16a) ¨ M = (ε + a2 ρ2)M + C2 0 ρ2 M −3− M˙ ρ + a0M 3 (4.16b) L2,4 Alt Cebiri :
L2,4 alt cebiri i¸cin simetri indirgemesi sonucu ¸c¨oz¨um a¸sa˘gıdaki gibidir: ψ(t, x, y) = M (ξ)√ t e i(aθ+b 2ln t+Φ(ξ)), ξ = x 2+ y2 t , θ = arctan y x (4.17) Burada M(ξ), Φ(ξ) fonksiyonları M2(8 ˙Φ − 1)ξ = C0, C0 = sabit (4.18a) ¨ M = ( b 8ξ + a2 4ξ2 − 1 64)M + C2 0 64ξ2M −3+ a0 4ξM 3 −M˙ ξ (4.18b)
L2,5 Alt Cebiri :
L2,5 alt cebiri altında de˘gi¸smezlik, ¸c¨oz¨um¨un
ψ(t, x, y) = M(y)eiΦ(y) (4.19)
yapısında olaca˘gını g¨osterir. Burada M(y), Φ(y) a¸sa˘gıdaki sistemi sa˘glar.
M2˙Φ = C
0, C0 = sabit (4.20a)
¨
M = C02M−3+ a0M3 (4.20b)
L2,6 Alt Cebiri :
L2,6 alt cebiri altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨um¨un yapısı
ψ(t, x, y) = M(y)ei(εt+Φ(y)) (4.21) olarak bulunur. M(y), Φ(y)’nin sa˘gladı˘gı sistem ¸su ¸sekildedir:
M2˙Φ = C0, C0 = sabit (4.22a)
¨
M = εM + C2
0M−3+ a0M3 (4.22b)
L2,7 Alt Cebiri :
(1.1) denkleminin ¸c¨oz¨um¨u bu alt cebir i¸cin
ψ(t, x, y) = M(ξ)ei(xt2−t36+Φ(ξ)),
ξ = x − t2
2
(4.23) ¸seklindedir. M(ξ), Φ(ξ) a¸sa˘gıdaki sistemi sa˘glar:
M2˙Φ = C 0, C0 = sabit (4.24a) ¨ M = ξ 2M + C 2 0M−3+ a0M3 (4.24b) L2,8 Alt Cebiri :
L2,8 alt cebiri altında de˘gi¸smezlik, ¸c¨oz¨um¨un
ψ(t, x, y) = M(t)ei(Φ(t)) (4.25) yapısında olaca˘gını g¨osterir. Bu alt cebir i¸cin M(t), Φ(t) kolaylıkla ¸c¨oz¨ulm¨u¸st¨ur:
Φ = −aC02t + C1, C0, C1 = sabit (4.26a)
L2,9 Alt Cebiri :
L2,9 alt cebiri i¸cin ¸c¨oz¨um
ψ(t, x, y) = M(t)ei(x24t+Φ(t)) (4.27)
yapısındadır. Bu alt cebir i¸cin de M(t), Φ(t) hemen bulunabilmi¸stir:
M = C0t− 1 2, (4.28a) Φ = −2aC0t 1 2 + C1, C0, C1 = sabit (4.28b) L2,10 Alt Cebiri :
L2,10 alt cebiri altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨um, ψ(t, x, y) = √M(ξ) 1 + t2e iφ(t,x,y), φ(t, x, y) = x 2 4t − aε arctan t + ξ2(t2− 1) 4t + Φ(ξ), ξ = εx − yt 1 + t2 (4.29)
yapısında olup M(ξ) ve Φ(ξ)’nin bulunaca˘gı denklem sistemi
M2˙Φ = C 0, C0 = sabit (4.30a) ¨ M = (ξ2− aε)M + C2 0M−3+ a0M3 (4.30b) olarak verilir.
L2,11 Alt Cebiri (Abelyen olmayan) :
L2,11 alt cebiri altında de˘gi¸smezlik i¸cin ¸c¨oz¨um¨un yapısı ψ(t, x, y) = M(ξ) ρ e i(b aln ρ+Φ(ξ)), ξ = ρ exp(−aθ), ρ = (x2+ y2)1/2, θ = arctany x (4.31)
¸seklindedir. M(ξ), Φ(ξ) tarafından sa˘glanan denklem a¸sa˘gıdaki gibidir. (1 + a2)ξ2M ¨Φ + 2(1 + a2)ξ2M ˙Φ˙ + (a2− 1)ξM ˙Φ + (2b/a)(ξ ˙M − M) = 0 (1 − b2/a2)M + (a2− 1)ξ ˙M + (a2 + 1)ξ2M¨ − (2b/a)ξM ˙Φ − (a2+ 1)ξ2M ˙Φ2 = a 0M3 (4.32)
L2,12 Alt Cebiri (Abelyen olmayan) : L2,12 alt cebiri altında de˘gi¸smez kalan ¸c¨oz¨um,
ψ(t, x, y) = M(ξ)√ t e i(a2ln t+Φ(ξ)) ξ = √y t, θ = arctan y x (4.33)
yapısındadır. M(ξ), Φ(ξ) a¸sa˘gıdaki sistemi sa˘glar. ˙Φ = C0+ ξ + ξ ˙X 4 ˙X , X = M˙ 2, C 0 = sabit (4.34a) 2XX − ¨... X2+ (ξ2 4 − 2a) ˙X 2 −1 4X 2− 4a ˙X3− C0 2 X − C2 0 4 = 0 (4.34b) ¨
U¸c Boyutlu Alt Cebirlerin Grup De˘gi¸smez C¸ ¨oz¨umleri ¨
U¸c boyutlu alt cebirlerden bir kısmı a¸cık ¸c¨oz¨um verirken bir kısmı da φ’nin yapısı hakkında bilgi vermemektedir. Bunlar dı¸sındaki alt cebirler ve ¨uretilen ¸c¨oz¨umler Tablo 4.2’de verilmi¸stir.
Tablo 4.2: ¨U¸c boyutlu alt cebirler ve ¸c¨oz¨umler
No Baz ψ
L3,1 T + εE, P1, P2 ψ = (ε/a0)1/2exp[i(εt + φ0)]
L3,2 J + aE, D + bE, T ψ = [a(x2+ y2)]−1/2exp[i(a0tan−1(y/x) + φ0)] L3,3 D + aE, T, P1 ψ = (
√
2/y) exp(iφ0) L3,4 J + εT + aE, P1, P2 ψ = (a/ε)1/2exp[i(at/ε + φ0)]
5. ˙IND˙IRGENM˙IS¸ DENKLEMLER˙IN C¸ ¨OZ ¨UMLER˙I B¨ut¨un indirgenmi¸s denklemler birle¸stirilmi¸s bir ¸sekilde yazılabilir:
¨
M = B1(ξ) ˙M + A1(ξ)M + A3(ξ)M3+ B0(ξ)M−3. (5.1)
Burada
M =√H, H > 0 (5.2)
d¨on¨u¸s¨um¨uyle ba˘gımlı de˘gi¸sken H olur ve (5.1) denklemi ¨ H = 1 2HH˙ 2+ B 1H + 2A˙ 1H + 2A3H2 + 2B0 H (5.3)
haline gelir. (5.3)’¨u basitle¸stirmek i¸cin
H = λ(ξ)W (η), η = η(ξ) (5.4) d¨on¨u¸s¨um¨u uygulanırsa a¸sa˘gıdaki denkleme ula¸sılır.
¨ W = 1 2WW˙ 2+ Ã B1 ˙η − ¨ η ˙η2 − 1 ˙η ˙λ λ ! ˙ W + (2A1 ˙η2 + ˙λ λ B1 ˙η2 + ˙λ2 2λ2˙η2 − ¨ λ λ ˙η2)W + 2λA3 ˙η2 W 2+ 2B0 λ2˙η2W −1 (5.5)
(5.5) denklemi, katsayıların belli de˘gerleri i¸cin Painlev´e’nin sınıflandırmasındaki kanonik denklemlerden birine d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir ve bu sayede do˘grusal denklemler, eliptik fonksiyonlar ya da Painlev´e transandanları t¨ur¨unden integre edilebilir. Aksi halde Painlev´e ¨ozelli˘gine sahip olmadı˘gı sonucuna varılacak ve ¸c¨oz¨ulemeyecektir.
5.1 L2,1 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler
(4.12b) denklemi i¸cin A1, A3, B0, B1 Tablo 5.1’ten alınıp (5.5) denkleminde
yazılırsa ¨ W = 1 2WW˙ 2− 1 ˙η( 1 ξ + ¨ η ˙η + ˙λ λ) ˙W + a0λ 2ξ ˙η2W 2+ 2C02 (ξλ ˙η)2W −1 + 1 ˙η2( b 2ξ + a2 2ξ2 + 1 8− ˙λ λξ + ˙λ2 2λ2 − ¨ λ λ)W (5.6)
Tablo 5.1: Farklı alt cebirler i¸cin (5.5) katsayı terimleri N0 A1 A3 B0 B1 L2,1 b/(4ξ) + a2/(4ξ2) + 1/16 a0/(4ξ) C02/ξ2 −1/ξ L2,2 a2/ρ2 a0 C02/ρ2 −1/ρ L2,3 ε + a2/ρ2 a0 C02/ρ2 −1/ρ L2,4 b/(8ξ) + a2/(4ξ2) − 1/64 a0/(4ξ) C02/(64ξ2) −1/ξ L2,5 0 a0 C02 0 L2,6 ε a0 C02 0 L2,7 ξ2 a0 C02 0 L2,10 ξ2− aε a0 C02 0
elde edilir. Bu denklem, Painlev´e’nin sınıflandırmasındaki kanonik denklemlerden PXXXIII ya da PXXXIV’e d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir.
PXXXIII : W =¨ 1 2WW˙ 2+ 4W2+ γW − 1 2W −1 (5.7) PXXXIV : W =¨ 1 2WW˙ 2 + 4γW2− ηW − 1 2W −1 (5.8)
(5.6) denklemi ile (5.7) ve (5.8) denklemlerinde W ve W˙ 2’nin katsayıları
kar¸sıla¸stırılırsa, λ ve η’nın
λ = λ0ξ−1/3, η = η0ξ1/3 (5.9)
¸seklinde se¸cilmesi gerekti˘gi g¨or¨ul¨ur. λ ve η’nın bu se¸cimiyle (5.6) denklemi ¨ W = 1 2WW˙ 2+9a0λ0 2η2 0 W2+ 18( C0 λ0η0 )2W−1+ · (9a2− 1) 2 η −2+ 9b 2η3 0 η + 9 8η6 0 η4 ¸ W (5.10) haline gelir. (5.7) ve (5.8)’e bakılırsa, W ’nin katsayısı bir sabit ya da η olmalıdır. (5.10) denklemindeki W ’nin katsayısında, a2 = 1/9 se¸cimiyle η−2 terimini yok
etmek m¨umk¨und¨ur ancak η4 terimi ortadan kaldırılamaz. Dolayısıyla (4.12b)
denklemi, kanonik denklemlerden birine d¨on¨u¸st¨ur¨ulemez ve Painlev´e ¨ozelli˘gine sahip de˘gildir.
(4.12b) denklemi C0 = 0 i¸cin ele alınırsa, (5.10) denkleminin C0 = 0 durumuna
ula¸sılır : ¨ W = 1 2WW˙ 2+9a0λ0 2η2 0 W2+ · (9a2− 1) 2 η −2+ 9b 2η3 0 η + 9 8η6 0 η4 ¸ W. (5.11)
Bu denklem, PXIX veya PXX denklemine d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir:
PXIX : W =¨ 1 2WW˙ 2+ 4W2+ 2W, (5.12) PXX : W =¨ 1 2WW˙ 2+ 4W2+ 2ηW. (5.13)
Yukarıda yapıldı˘gı gibi, λ ve η’nın se¸cimi, (5.9) denklemindeki gibi olmalıdır ve
W ’nin katsayısı, (5.11) denkleminin kanonik formlardan birine d¨on¨u¸smesine imkan
vermez.
Son olarak, (4.12b) denkleminin nokta simetrisi ve sabit ¸c¨oz¨um¨u bulunmamaktadır.
5.2 L2,2 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler
C0 6= 0 ˙I¸cin (4.14b) Denklemi
Bu denklem λ ve η’nın uygun bir se¸cimiyle birinci mertebeden t¨urevi i¸cermeyen ve ikinci dereceden terimin katsayısı sabit olan standart denkleme d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir.
λ ve η’nın se¸cimi ve (5.5)’e g¨ore denklemin d¨on¨u¸sm¨u¸s hali a¸sa˘gıdaki gibidir: λ = λ0ρ−2/3, η = η0ρ2/3, ¨ W = 1 2WW˙ 2+ (9a0λ0 2η2 0 )W2+ (9a 2− 1 2 η −2)W + 9 2( C0 λ0η0 )2W−1. a2 = 1/9 i¸cin bu denklem Painlev´e ¨ozelli˘gine sahiptir. Bu durumda η2
0 = 9a0λ0/8
se¸cilir ve bir kez integral alınırsa ˙
W2 = 4(W3 + CW − δ2), C = sabit, δ2 = 2C02 a0λ30
(5.14) denklemine ula¸sılır. (5.14) denkleminin ¸c¨oz¨um¨u Weierstrass ℘(ξ) fonksiyonu ya da Jacobi eliptik fonksiyonları t¨ur¨unden ifade edilebilir [25]. (5.2) e¸sitsizli˘ginden dolayı λW pozitif olmalıdır. W1, W2, W3; (5.14) e¸sitli˘ginin sa˘g tarafının k¨okleri
olmak ¨uzere ,
P (W ) = 4(W3+ CW − δ2) = 4(W − W
1)(W − W2)(W − W3)
yazılırsa, P (W )’nin k¨oklerine ve i¸saretine g¨ore (5.14) denkleminin ¸c¨oz¨umleri a¸sa˘gıdaki durumlar i¸cin incelenecektir:
(i) P (W )’nin tek k¨ok¨u olması durumu. P (W ), W2 terimini i¸cermedi˘ginden bu
m¨umk¨un de˘gildir.
(ii) P (W )’nin iki e¸sit, bir de bunlardan farklı k¨ok¨un¨un olması durumu. W1 = W2 6= W3 i¸cin P (W ),
W1 W3 W 2 W (a) W1 W2 W3 W 2 W (b) W1 W2 W3 W 2 W (c) W1 W 2 W (d)
S¸ekil 5.1: (5.14) denklemi i¸cin ˙W2= P (W ) grafikleri
¸sekline gelir.
Bu durum C = −3.2−23 δ43 i¸cin m¨umk¨und¨ur ve W1,2,3 k¨okleri W1,2 = −2−13δ23,
W3 = (2δ) 2
3 ¸seklinde bulunur. K¨oklerin bu de˘gerleri i¸cin ˙W2 = P (W ) grafi˘gi
S¸ekil 5.1(a)’da verilmi¸stir. ˙W2 > 0 olması gerekti˘ginden, W > W
3 i¸cin (5.14)’¨un
integrali alınırsa ¸su ¸c¨oz¨ume ula¸sılır:
M = 2c1 3 ( 2 a0 )12ρ−13(−1 3 + sec 2τ )1 2, τ = c1ρ23 + c2, c2 1 = 27 8 (a0c0) 2 3 Φ = tan−1( r 3 2tan τ ) − r 2 3τ + Φ0, ψ = M exp[i(± 1 3θ + Φ)]. (5.15)
(iii) P (W )’nin ¨u¸c farklı k¨ok¨un¨un olması durumu. Bu durumda, W1,2,3 k¨okleri W1+ W2+ W3 = 0, W1W2+ W1W3+ W2W3 = C, W1W2W3 = δ2
sisteminden belirlenir. K¨oklerin ikisinin aynı i¸saretli, ¨u¸c¨unc¨us¨un¨un daima pozitif oldu˘gu g¨or¨ulmektedir. K¨oklerin
(A) W1 < W2 < 0 < W3 (B) 0 < W1 < W2 < W3, W22 < δ2 W1
sıralanmaları i¸cin farklı ¸c¨oz¨umler elde edilmektedir. S¸ekil 5.1(b),5.1(c) dikkate alınarak W > W3 i¸cin (5.14) integre edilirse (A) ve (B) i¸cin, a0, λ0 > 0 olmak
¨uzere W = W2+ (W3− W2)[cn(τ, k)]−2, τ = c1ρ 2 3 + c2, k2 = W2− W1 W3− W1 , M = ρ−1/3(λ 0W )1/2, c21 = 9a0λ0 8 (W3− W1), Φ = √ δ W3− W1 Z dτ W + Φ0, ψ = M exp[i(± 1 3θ + Φ)] (5.16)
¸c¨oz¨um¨u elde edilir. W1 < W < W2 aralı˘gında integral alınırsa, (A) i¸cin a0, λ0 < 0
ve (B) i¸cin a0, λ0 > 0 olmak ¨uzere
W = W1+ (W2− W1)sn2(τ, k), τ = c1ρ 2 3 + c2, k2 = W2− W1 W3− W1 M = ρ−1/3(λ0W )1/2, c21 = 9a0λ0 8 (W3 − W1) Φ = √ δ W3 − W1 Z dτ W + Φ0, ψ = M exp[i(± 1 3θ + Φ)] (5.17) ¸c¨oz¨um¨une ula¸sılır.
(iv) P (W )’nin iki karma¸sık, bir reel sayı k¨ok¨un¨un olması durumu. W2 = p + iq, W3 = p − iq, W1 ∈ R olsun. p, q ve W1 2p + W1 = 0, δ 2 W1 + 2pW1 = C, p2+ q2 = δ 2 W1
denklem sisteminden bulunur. W1 > 0 oldu˘gundan, S¸ekil 5.1(d)’ye g¨ore W > W1
i¸cin alınan integral a0, λ0 > 0 i¸cin a¸sa˘gıdaki ¸c¨oz¨um¨u verir: W = A + W1+ (W1− A)cn(τ, k) 1 + cn(τ, k) , τ = c1ρ 2 3 + c2, M = ρ−1/3(λ 0W )1/2, k2 = A + p − W1 2A , Φ = δ 2√A Z dτ W + Φ0, c 2 1 = 3Aa0λ0 2 , Ψ = M exp[i(±1 3θ + Φ)], A 2 = (p − W 1)2+ q2. (5.18) C0 = 0 ˙I¸cin (4.14b) Denklemi
λ ve η’nın uygun bir se¸cimiyle (4.14b) denklemi P -tipi bir denkleme
d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir.
λ = λ0ρ−2/3, η = η0ρ2/3
se¸cilirse, C0 = 0 i¸cin bu denklem
¨ W = 1 2WW˙ 2+³9a0λ0 2η2 0 ´ W2+ (9a 2− 1 2 η −2)W
haline gelir. Elde edilen denklem yalnızca a2 = 1/9 durumunda Painlev´e ¨ozelli˘gine
sahiptir ve η2
0 = 9a0λ0/8 se¸cimiyle PXVIII denklemine d¨on¨u¸s¨ur:
¨ W = 1 2WW˙ 2+ 4W2 ˙Ilk integral, ˙ W2 = 4W (C + W2), C = sabit (5.19)
- p p W 2 W (a) W 2 W (b)
S¸ekil 5.2: (5.19) denklemi i¸cin ˙W2= P (W ) grafikleri
¸seklinde verilir. C integral sabitine sabitine ba˘glı olarak, (1.1) denklemi i¸cin a¸sa˘gıdaki ¸c¨oz¨umler elde edilmi¸stir:
(i) C = 0. ψ = 2 3( 2 a0 )1/2(ρ2/3− ρ 0)−1exp(iΦ0). (5.20) (ii) C = −p2 < 0. (5.19) denklemi ˙ W2 = 4W (W − p)(W + p)
¸seklinde yazılır. S¸ekil 5.2(a) dikkate alınarak W > p ve −p < W < 0 i¸cin integral alındı˘gında, c2 1 = 9a0λ0(−C)1/2/4, k2 = 1/2 olmak ¨uzere ψ = 2c1 3 ( 1 a0 )1/2ρ−1/3 [cn(c 1ρ2/3+ c2, k)]−1exp(iΦ0), a0, λ0 > 0(5.21a) ψ = 2c1 3 ( −1 a0 )1/2ρ−1/3 cn¡c 1ρ2/3+ c2, k ¢ exp(iΦ0), a0, λ0 < 0(5.21b)
¸c¨oz¨umleri elde edilir.
(iii) C = p2 > 0. (5.19) denkleminin, S¸ekil 5.2(b) dikkate alınarak integre
edilmesiyle, a0, λ0 > 0 i¸cin a¸sa˘gıdaki ¸c¨oz¨um elde edilir: ψ = 2c1 3 ( 2 a0 )1/2ρ−1/3tn(c 1ρ2/3+ c2, k) dn(c1ρ2/3+ c2, k) exp(iΦ0) c2 1 = 9a0λ0C1/2 8 k 2 = 1/2. (5.22)
5.3 L2,3 Alt Cebiri ˙I¸cin C¸ ¨oz¨umler
M2 = ε
a0 bu denklemin sabit sayı ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. (1.1)’in ¸c¨oz¨um¨u, ψ = M exp(iφ0)
