Belirli türden dördüncü basamaktan diferensiyel denklemelerin çözümlerinin sınırlılık ve kararlılığı

T.C

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

BELİRLİ TÜRDEN DÖRDÜNCÜ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SINIRLILIK VE KARARLILIĞI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Hazırlayan: Hatice CEVİZ

Danışman: Yrd.Doç.Dr. Ercan TUNÇ

BELİRLİ TÜRDEN DÖRDÜNCÜ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SINIRLILIK VE KARARLILIĞI

Hatice CEVİZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BELİRLİ TÜRDEN DÖRDÜNCÜ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SINIRLILIK VE KARARLILIĞI

HATİCE CEVİZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez …………..tarihinde aşağıda belirtilen jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile kabul edilmiştir.

Ünvanı, Adı ve Soyadı

Başkan :Prof.Dr. Oktay MUHTAROĞLU Üye :Prof.Dr. İskender ASKEROĞLU Üye :Yrd.Doç.Dr. Ercan TUNÇ

Üye :Yrd.Doç.Dr. Zülfigar AKDOĞAN Üye :Yrd.Doç.Dr. Osman ÖZDEMİR ONAY:

Bu tez …./…./2007 tarihli ve …………..sayılı Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu tarafından belirlenen jüri üyelerince kabul edilmiştir.

ÖZET

BELİRLİ TÜRDEN DÖRDÜNCÜ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SINIRLILIK VE KARARLILIĞI

Hatice CEVİZ

Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Yüksek Lisans Tezi 2007, 51 sayfa

Danışman : Yrd.Doç.Dr. Ercan TUNÇ Jüri : Prof.Dr. Oktay MUHTAROĞLU Jüri : Prof.Dr. İskender ASKEROĞLU Jüri : Yrd.Doç.Dr. Ercan TUNÇ

Jüri : Yrd.Doç.Dr. Zülfigar AKDOĞAN Jüri : Yrd.Doç.Dr. Osman ÖZDEMİR

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde diferensiyel denklemlerin doğası ve önemine vurgu yapıldı. İkinci bölümde temel tanım ve teoremler verildi. Ayrıca kararlılık tanımları esas alınarak bazı diferensiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık davranışı araştırıldı. Üçüncü bölümde, Liyapunov’un ikinci metodu tanıtıldı. Daha sonra J.O.C. Ezeilo tarafından 1962 yılında, Yuan-hong ve Wen-deng tarafından 1990 yılında ele alınan belirli türden dördüncü basamaktan diferensiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık ve sınırlılık özellikleri üzerinde duruldu. Dördüncü bölümde tartışma ve sonuç verildi.

Anahtar Kelimeler : Dördüncü mertebeden lineer olmayan diferensiyel denklemler, kararlılık, sınırlılık, Lyapunov fonksiyonu.

ABSTRACT

ON THE BOUNDEDNES AND STABILITY OF SOLITIONS OF CERTAIN DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FOURTH ORDER

Hatice CEVİZ Gaziosmanpaşa Universty

Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematics

Masters Thesis 2007, 51 pages

Supervisor : Yrd.Doç.Dr. Ercan TUNÇ

Jury : Prof.Dr. Oktay MUHTAROĞLU Jury : Prof.Dr. İskender ASKEROĞLU Jury :Yrd.Doç.Dr. Ercan TUNÇ

Jury :Yrd.Doç.Dr. Zülfigar AKDOĞAN Jury :Yrd.Doç.Dr. Osman ÖZDEMİR

This study consist of four chapters. In the first chapter, the importance and nature of differential equations were emphasized. In the second chapter, the basic definitions and theorems have been given. Also, basing on the stability definitions, the stability behaviour of solutions of some differential equations were investigated. In the third chapter, Lyapunov’s second method was presented. Then, the boundedness and the stability properties of solutions of certain fourth order differential equations given by (Ezelio, J.OC., 1962), (Yuan-hong and Wen-deng, 1990) have been investigated. In the fourth chapter, result and discussion were given.

Keywords : Nonlinear differential equations of the fourth order, stability, boundedness, Lyapunov function.

TEŞEKKÜR

Bu tez çalışmam boyunca fikir ve tecrübeleriyle daima yanımda olan değerli danışman hocam sayın Yrd.Doç.Dr. Ercan TUNÇ’a , desteklerinden dolayı ayrıca Matematik bölümündeki tüm hocalarıma, maddi desteğinden dolayı TÜBİTAK’ a, manevi olarak hep yanımda olan aileme teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER ÖZET………...i ABSTRACT………..…ii TEŞEKKÜR……….….iii İÇİNDEKİLER……….…iv 1.GİRİŞ……….1

2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER……….3

2.1.Diferensiyel Denklemlere İlişkin Varlık ve Teklik Teoremleri………..3

2.2. n. Mertebeden Lineer Homojen Denklemlerin Çözümlerinin Davranışı ……..9

2.3. Kararlılığa İlişkin Tanım ve Teoremler ………12

2.4. Lineer Sistemlerin Kararlılığı………15

3. LYAPUNOV’UN İKİNCİ METODU………21

3.1. Lyapunov’un İkinci Metodunun Önemi ………..……….21

3.2. Otonom Sistemler………..22

3.3. Otonom Olmayan Sistemler………..26

3.4. (4) 2 4 ( ) ( ) ( ) x + f x x




+α

x+g x
+α x=P t _{Denklemine İlişkin Kararlılık ve Sınırlılık} Sonucu ………..28

3.5.



x +ϕ( )




x x+ f x( )

+g x( )
+h x( )=P t x x x x( , , , , )





_{Denklemine İlişkin Kararlılık ve} Sınırlılık Sonucu………39

4. TARTIŞMA VE SONUÇ ……….47

KAYNAKLAR………..48

ÖZGEÇMİŞ………...51

1.GİRİŞ

Diferensiyel denklemler, ilk kez 17. yüzyılda Isaac Newton tarafından ortaya konuldu. Newton, diferensiyel denklemleri parçacık ve gezegen hareketlerinin incelenmesinde kullandı. Bu konu 19. ve 20. yüzyılda gelişerek modern matematiğin bir kolu oldu. Diferensiyel denklemlerin gelişmesinde Birkhoff, Cauchy, Lyapunov, Picard, Poincare ve Riemann’ın önemli katkıları olmuştur. Bu matematikçiler ve bunlardan sonra gelenlerin elde ettiği kuramsal sonuçlar bir çok bilimde uygulama alanı bulmuştur.

Doğal bilimler ve sosyal bilimlerdeki süreçlerin matematik modellerinin oluşturulmasında karşımıza genel olarak diferensiyel denklemler çıkmaktadır. Adi diferensiyel denklemler günümüzde fizik, kimya, biyoloji, sosyoloji, işletme ve hemen hemen bütün mühendislik dallarında yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bir çok fiziksel problemin matematiksel formülasyonu diferensiyel denklemler biçiminde sonuçlanır. Fakat bu denklemlerin önemli bir kısmı lineer olmayan türdendir. Lineer denklemlerin genel teori ve metotları oldukça gelişmesine karşın lineer olmayan denklemlerin genel karakteri hakkında daha az şey bilinmektedir. Lineer sistemler lineer olmayan sistemlerin incelemesinde, bir ilk yaklaşım niteliğinde olduklarından, önemli bir rol oynarlar. Lineer olmayan sistemlerin çözümlerinin bir çok geometrik özellikleri en azından lokal olarak çok genişletilmiş koşullar altında bu sistemlerin lineer yaklaşımlarının özelliklerini taşımaktadır. Fakat lineerleştirme her zaman mümkün olmadığından orijinal denklemin kendisinin göz önüne alınması gerekmektedir.

Diferensiyel denklemleri çözmeden onların çözümlerinin özelliklerinin incelenmesine diferensiyel denklemlerin nitel (kalitatif) teorisi denir. Diferensiyel denklemler oldukça geniş bir uygulama alanına sahip olduğundan bütün diferensiyel denklemler çözülmek istenmektedir. Ancak çok küçük sayıda diferensiyel denklemi sonuna kadar çözmek mümkün olduğu için aslında modern diferensiyel denklemler teorisi bir nitel teoridir. Bu yaklaşımın temeli, birbirinden bağımsız olarak çalışan Henri Poincare (1854-1912) ve Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) tarafından atılmıştır.

Lineer olmayan diferensiyel denklemler ve lineer olmayan diferensiyel sistemler uygulamalarda çok sık ortaya çıkmaktadır. Lineer olmayan denklemlerin birkaç tipi açık bir şekilde çözülebilir. Aynı durum lineer olmayan sistemler için de doğrudur. Fakat biz bu çalışmamızda esasen diferensiyel denklemler ve diferensiyel denklem sistemlerinin çözümleri ile değil çözümlerinin özellikleri ile ilgileneceğiz. Örneğin; çözümler sınırlı mıdır, kararlı mıdır, t→∞ halinde denklemin bir çözümü sıfıra gider mi? gibi sorulara cevap arayacağız. Ayrıca diferensiyel denklemin başlangıç değerlerinde yapılan küçük bir değişikliğin çözümde de küçük değişikliklere neden olup olmadığını bilmekte önemlidir. Ortaya çıkan bu tür sorular diferensiyel denklemlerin kalitatif teorisi olarak bilinir.

İkinci bölümde de görüleceği üzere lineer denklemlerin çözümlerinin kararlılık durumu tanımlar esas alınarak belirlenecektir. Ve bu inceleme ele alınan noktanın küçük bir komşuluğu ile sınırlandırılacaktır. Ayrıca bu teoremler uygulanırken verilen denklem veya sistemin çözümlerinin açıkça bilinmesi gerekir. Fakat tez çalışmamızda gerek lineer gerekse lineer olmayan sistemlerin çözümlerinin kararlılık davranışını araştırırken özellikle çok etkin bir yöntem olan Lyapunov’un ikinci metodu veya Lyapunov’un direk metodu olarak bilinen metot üzerinde duracağız. Bu metodun en büyük avantajı çözümler hakkında herhangi bir bilgi bilmeksizin geniş anlamda kararlılığın (stability in the large) elde edilebilmesidir. Bugün bu metot sadece diferensiyel denklemlerin çalışmasında değil ayrıca kontrol sistemler, dinamik sistemler teorisinde de mükemmel bir araç olarak bilinmektedir. Bu metodun başlıca karakteristiği skaler bir fonksiyon ya da Lyapunov fonksiyonunu kurmaktır. Fakat verilen sisteme uygun bir Lyapunov fonksiyonunu kurmak oldukça zordur. Lyapunov fonksiyonlarını oluşturmada bazı yöntemler bulunmakla birlikte tezimizde bunu ayrıca ele almayacağız.

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1. Diferensiyel Denklemlere İlişkin Varlık ve Teklik Teoremleri

n. mertebeden bir diferensiyel denklemin genel ifadesi bilindiği üzere ( )

( , , ,... n ) 0

f t x x
x = _{biçimindedir. Bu denklemin en yüksek mertebeli türevi olan x}( )n _’e

göre çözülebildiğini varsayalım. Bu taktirde, ( ) ( 1)

( , , , ,..., )

n n

x =G t x x x


x − _(2.1.1) biçiminde yazılır. 2.1.1 denklemi ve

( 1)

0 10 0 20 0 0

( ) , ( ) ,..., n ( )

n

x t =x x t
=x x − t =x _(2.1.2) başlangıç şartlarından oluşan başlangıç değer problemi;

1 2 3 ( 1) , , , n n x x x x x x x − x = = = =




değişken değişimi yardımıyla

1 2 2 3 3 4 1 2 , , , ( , , ,...., ) n n x x x x x x x G t x x x = = = =



(2.1.3)

şeklindeki sisteme dönüştürülebilir. Eğer

1 1 2 2 , n n x x x x x x x x             =_{ } =_{ }        


 
ve 2 3 1 ( , ) ( , ,..., )n x x F t x G t x x       =_{ }     

olarak yazılırsa sistem, x
=F t x( , )

biçiminde yazılabilir. x0 =(x10,x20,....,xn0)olmak üzere x t( ) ( ( ), ( ),..., ( ))₀ = x t_{1 0} x t_{2 0} x t_{n 0} =x₀

olur. Böylece 2.1.1 ve 2.1.2 başlangıç değer problemi;

0 0 ( , ) ( ) x F t x x t x = =
(2.1.4)

biçiminde ifade edilebilir.

Ω , _Rn+1 _{de (t,x) in bir açık irtibatlı kümesi olmak üzere :F Ω →R}n

sürekli bir fonksiyon olarak kabul edip kısaca , n

F∈C_Ω R _{ biçiminde göstereceğiz.} Tanım 2.1.1: t0’ı kapsayan bir I aralığında aşağıdaki koşullar sağlandığında x=x t( )ile tanımlı x fonksiyonuna 2.1.4 başlangıç değer probleminin I üzerinde çözümü denir: i) ( )x t fonksiyonu I aralığında türevlenebilir bir fonksiyondur;

ii) x t( )0 =x0;

iii) t∈ için ( , ( ))I t x t ∈ Ω ;

iv) her t∈ için ( )I x t
=F t x t( , ( )) _{eşitliği sağlanmaktadır (Rama Mohana Rao, M., 1980).} Teorem 2.1.1: 1

: n n

F R + →R vektör değerli fonksiyonunu göz önüne alalım. _B⊂Rn+1 olmak üzere

{

( , ) ( , ,..., ) :1 n 0 0, 1 1 1,..., n n n

}

B= t x = t x x t−t ≤a x −c ≤a x −c ≤a bölgesindeki her (t,x), (t,y) ∈B için

F t x( , )−F t y( , ) ≤k x−y

olacak şekilde bir k>0 sayısı var ise F fonksiyonuna B bölgesinde Lipschitz şartını sağlıyor denir. Buradaki norm öklid normu olabileceği gibi amaca yönelik olmak üzere başka normlarda alınabilir.

Teorem 2.1.2: F(t,x) fonksiyonu n 1

B⊂R + bölgesinde tanımlı ve sürekli olmak üzere ( , )

x
=F t x _{denklemi veriliyor. Ayrıca}

i

F x ∂

∂ fonksiyonlarının da B bölgesinde tanımlı ve sürekli olduklarını varsayalım. Bu durumda B de her ( , )t x0 0 noktasına karşılık

( , )

x
=F t x _denkleminin

0 0

( )

x t =x şartını sağlayan ve ( , )t x0 0 noktasının herhangi bir komşuluğunda bir tek x = x(t) çözümü vardır.

Teorem 2.1.3 (Picard-Lindelöf Teoremi ): a ve b pozitif reel sayılar olmak üzere, F(t,x) fonksiyonunun

B0=

{

( , ) :t x t0≤ ≤t t0+a x, −x0 ≤b

}

üzerinde sürekli olduğunu ve B0 da Lipschitz koşulunu sağladığını kabul edelim. 0 ( , )maxt x B ( , ) , min( , / ) M F t x α a b M ∈ = =

olsun. Bu taktirde 2.1.4 başlangıç değer problemi

_[

t t0, 0+α

_]

üzerinde bir tek x(t) çözümüne sahiptir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Şimdi de, 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ), ( ) ( ) ... ( ) ( ), ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n n n n n n nn n n dx a t x a t x a t x F t dt dx a t x a t x a t x F t dt dx a t x a t x a t x F t dt = + + + + = + + + + = + + + +  (2.1.5)

lineer sistemini göz önüne alalım. Burada a t i_ij( ), =1, 2,...,n , j= 1,2,….,n ve ( ),

i

F t i=1,2,…,n bir I ⊂ R aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlardır. Eğer i=1,2,…,n için ( )

i

F t =0 ise, bu taktirde 2.1.5 sistemine homojen lineer sistem denir. Aksi taktirde,

homojen olmayan lineer sistem denir. Vektör ve matrisler yardımıyla 2.1.5 sisteminin daha uygun bir biçimde ifadesi:

11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =_{ }            ve

1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , ( ) n n n F t x x F t x x F t x x F t x x                   =_{ } =_{ } =_{ }            


  
olmak üzere x
= A t x( ) +F t( ) _(2.1.6) biçiminde yazılabilir. Eğer F(t)=0 ise,

x
= A t x( ) _(2.1.7) homojen lineer sistemine varılır.

Teorem 2.1.4: A(t) matrisinin ( ), ,a t i jij =1, 2,...,n bileşenleri, bir I⊂R aralığında sürekli olsunlar. t0∈I ve c 1 2 n c c c       =_{ }       

olmak üzere 2.1.7 homojen vektör diferensiyel denkleminin φ( )t0 =c yani

1 0 1 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) n n t c t c t c φ φ φ = = = 

olacak şekilde I üzerinde geçerli bir tek

1 2 n φ φ φ φ       =_{ }      çözümü vardır (Ross, S. L., 1984).

Teorem 2.1.5: A(t) matrisinin ( ), ,a t i j_ij =1, 2,...,n bileşenleri ve F(t) vektörünün ( )F t_i bileşenleri, bir I ⊂ R aralığında sürekli olsunlar. t₀∈I ve

1 2 n c c c c       =_{ }     

olmak üzere 2.1.6 vektör diferensiyel denkleminin φ( )t0 =c yani

1 0 1 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) n n t c t c t c φ φ φ = = = 

olacak şekilde I üzerinde geçerli bir tek

1 2 n φ φ φ φ       =_{ }      çözümü vardır (Ross, S. L., 1984).

Şimdi bazı teoremlerin ifadesini vermek için

11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n nn t t t t t t t t t t t t φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ                   =_{ } =_{ } =_{ }                       (2.1.8) gösteriminden yararlanacağız. Tanım 2.1.2: 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) n n n n n nn W φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ =       

determinantına 2.1.8 ile tanımlanan φ φ₁, ,...,₂ φ_n fonksiyonlarının wronskiyeni denir. Teorem 2.1.6: Bir I ⊂ R aralığında tanımlanmış φ φ1, ,...,2 φn fonksiyonları lineer bağımlı

ise, bu taktirde her t ∈I için W(φ φ1, ,...,2 φn )(t)=0

Teorem 2.1.7: 2.1.8 ile tanımlanan φ φ1, ,...,2 φn fonksiyonları, I ⊂ R aralığında

x
=A t x( ) _(2.1.9) denkleminin n tane çözümü olsun. Bu n tane çözümün, I üzerinde lineer bağımsız olması için gerek ve yeter şart her t ∈I için

W(φ φ1, ,...,2 φn )(t) ≠ 0

olmasıdır (Ross, S. L., 1984).

Tanım2.1.3: 2.1.9 un r1< <t r2 üzerinde tanımlanmış, n tane φ1( ), ( ),..., ( )t φ2 t φn t lineer

bağımsız çözümüne 2.1.9 un temel çözümleri sistemi denir ve

Ф(t) 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn t t t t t t t t t φ φ φ φ φ φ φ φ φ       =_{ }             

matrisine de 2.1.9 un temel çözümleri matrisi denir (Rama Mohana Rao, M., 1980). Teorem 2.1.8 : 2.1.9 un temel çözümler sistemi vardır (Rama Mohana Rao, M., 1980). Sonuç 2.1.1: 2.1.9 un her çözümü 2.1.9 un temel çözümler sisteminin elemanlarının bir lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Teorem 2.1.9: ( ) ( ( ))A t = a t_ij , nxn tipinde; I ⊂ R de sürekli ve t0∈Iolmak üzere ( ) x
=A t x _denkleminin 0 0 ( ) x t =x koşulunu sağlayan ( )x t çözümü 1 0 0 ( ) ( ) ( ) x t = Φ t Φ− t x

biçiminde olup; burada ( )Φ t , 2.1.9 un temel çözümler matrisidir. Eğer Φ( )t₀ =I özelliğine sahip temel çözümler matrisi ise,

x t( )= Φ( )t x0

yazılır ( Jordan, D.W. and Smith, P., 1999 ).

Teorem 2.1.10: ( ) ( ( ))A t = a tij , nxn tipinde ve F =( ( ))F ti , nx1 tipinde, I ⊂ R aralığında

sürekli ve t₀∈I olmak üzere x
=A t x( ) +F t( ) _denkleminin

0 0 ( ) x t =x koşulunu sağlayan ( ) x t çözümü; 0 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t x t = Φ t Φ− t x + Φ t

∫

Φ− s F s ds

biçiminde olup burada ( )Φ t , x
=A t x( ) _{lineer homojen sisteminin temel çözümler} matrisidir ( Jordan, D.W. and Smith, P., 1999).

Tanım 2.1.4: x(t), 2.1.4 başlangıç değer probleminin I üzerinde bir çözümü olsun. Aşağıdaki şartların sağlanması durumunda y(t) fonksiyonuna x( t) çözümünün I⊂I1 aralığına sürdürülmesi denir:

i) y(t), I1 üzerinde tanımlıdır. ii) I üzerinde y(t) ≡ x(t) dır.

iii) y(t), I1 üzerinde 2.1.4 başlangıç değer problemini sağlar. Eğer sürdürme mümkün değilse I ya x(t) nin maksimum varlık aralığı denir (Rama Mohana Rao, M., 1980). Teorem 2.1.11 (Gronwall-Reid-Bellman Eşitsizliği) : c, negatif olmayan bir sabit, u ve v de 0 ( ) ( ) ( ) t t u t ≤ +c

∫

u s v s ds, t∈

[

t t0, 0+a

]

eşitsizliği sağlanacak şekilde t0≤ ≤t t0+aaralığı üzerinde negatif olmayan sürekli fonksiyonlar ise, 0 ( ) exp ( ) t t u t c v s ds   ≤     

∫

 , t∈

[

t t0, 0+a

]

dır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

2.2. n. Mertebeden Lineer Homojen Denklemlerin Çözümlerinin Davranışı

1, ,...,2 n

a a a reel sabitler olmak üzere, ( ) ( 1)

1

( ) n n .... 0

n

L D y=y +a y − + +a y= (2.2.1) denkleminin −∞ < < ∞t üzerinde tanımlı çözümlerinin davranışı göz önüne alınacaktır. Bir çok fizik ve mühendislik probleminde t→ ∞ iken 2.2.1 biçimindeki denklemlerin çözümlerinin davranışını incelemek önemlidir. 2.2.1 denkleminin çözümlerinin davranışı bu denklemin L(λ) karakteristik polinomunun köklerinin durumuna bağlıdır. Böylece

L(λ) nın köklerinin yapısıyla 2.2.1 in çözümlerinin davranışı arasındaki ilişkiyi tartışmak önemlidir.

Teorem 2.2.1: Eğer 2.2.1 in L(λ) karakteristik polinomunun bütün karakteristik kökleri negatif reel kısımlı ise, bu taktirde 2.2.1 in herhangi bir y(t) çözümü için,

( ) t, 0 y t ≤me−α t≥

olacak şekilde α>0, m>0 sayıları var ve

lim ( ) 0

t→∞ y t =

dır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Tanım 2.2.1: 2.2.1 in

_[

0, ∞ üzerinde tanımlı olan

)

y t( )= y t( ;0, )x0 çözümüne, her

[

0,

)

t∈ ∞ için ( )y t ≤M olacak şekilde bir M>0 sabiti var ise, sınırlıdır denir.

Teorem 2.2.2: L(λ) nin yineleme sayısı birden büyük olan bütün karakteristik kökleri negatif gerçel kısımlı ve yineleme sayısı bir olan bütün karakteristik kökleri pozitif

olmayan reel kısımlı ise bu taktirde 2.2.1 in her çözümü

_[

0,∞

)

aralığında sınırlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Uyarı 2.2.1 : Teorem 2.2.1 ve Teorem 2.2.2 yi kullanarak 2.2.1 in çözümlerinin davranışını incelemek için, L(λ) nin bütün köklerinin durumunu bilmek gerekir. Fakat L(λ) nin derecesi çok büyük olduğunda onun köklerini bulmak karmaşık (zor) olabilir. Bu sıkıntıdan kurtulmak için karakteristik denklemi çözmeden L(λ) nin bütün köklerinin negatif reel kısımlı olup olmadığını anlamak için aşağıdaki teoremden yararlanacağız. Teorem 2.2.3 (Hurwitz’s Teoremi ) :

1 1

( ) n n ...

n

L λ ₌λ ₊aλ − _{+ +}a

polinomunun bütün köklerinin negatif reel kısımlı olması için gerek ve yeter şart

1 3 2 1 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 n n a a a a H a a a a a         =                    

Hurwitz matrisinin bütün esas köşegen minörlerinin pozitif olmasıdır. Burada Hn =( )bik

biçiminde bir matris olup, bik =a2i k− ve a0=1 dır (Rama Mohana Rao, M., 1980). Örnek 2.2.1 : Şimdi, Hurwitz teoremini aşağıdaki polinomlara uygulayalım

i) 2

1 2

a a

λ + λ+ polinomu için Hurwitz şartları a₁>0 ve a₂ >0 biçiminde verilir. ii) 3 2

1 2 3

a a a

λ + λ + λ+ polinomu için Hurwitz şartları a1>0,a2>0,a3>0 ve a a1 2−a3>0 olur

iii) 4 3 2

1 2 3 4

a a a a

λ + λ + λ + λ+ polinomu için Hurwitz şartları a1>0,a2 >0,a3>0,a4 >0

ve 2 2

1 2 3 3 1 4 0

a a a −a −a a > şeklinde olur.

Teorem 2.2.4 : L(λ) karakteristik polinomunun kökleri negatif reel kısımlı ise, bu taktirde 1, ,...,2 n

a a a pozitiftir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Tanım 2.2.2 : 2.2.1 in L(λ) karakteristik polinomunun bütün kökleri negatif reel kısımlı ise, L(λ) karakteristik polinomununa kararlı (stable) dır denir.

Örnek 2.2.2 : _{( )} 3 ₅ 2 _{9 5}

L λ =λ + λ + λ+ karakteristik polinomu stabledir. Çünkü polinomun katsayıları pozitif ve a a1 2−a3=5.9-5=40>0 dır. Dolayısıyla

(3) _{5 9 5 0} y + y′′+ y′+ y=

denkleminin bütün çözümleri için lim ( ) 0

t→∞ y t = dır.

2.3. Kararlılığa İlişkin Tanım ve Teoremler

Kararlığa ilişkin tanımlar, varlık ve teklik sağlayan

dx F t x( , ) dt = (2.3.1) denklemi veya 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , ,..., ) ( , , ,..., ) ( , , ,..., ) n n n n n x F t x x x x F t x x x x F t x x x = = =



sistemi ve x t( )₀ =x₀başlangıç şartından oluşan probleme ilişkin olarak verilecektir. ( , )t x_{0 0} noktasından geçen çözümü x t( )=x t t x( ; , )0 0 ile göstereceğiz ve bu çözümün

[

t0,∞

)

aralığında tanımlı olduğu kabul edilecektir. Ayrıca kararlılık ile

_[

t0,∞

)

aralığı üzerinde

kararlılık kastededilecektir.

Tanım 2.3.1 : Her ε > için 2.3.1 in herhangi bir 0 x t( )=x t t x( ; , )0 0 çözümü için

0 0

( ) ( )

x t −x t ≤δ olduğunda her t≥t0 için ( )x t −x t( ) <ε olacak şekilde bir 0

( , ) 0t

δ =δ ε > sayısı bulunabilirse 2.3.1 in x t( )=x t t x( ; , )0 0 çözümüne kararlıdır (stable) denir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Tanım 2.3.2 : 2.3.1 in x(t) çözümü kararlı ve x0−x0 ≤δ0 olduğunda lim ( ) ( ) 0

t→∞ x t −x t = olacak şekilde bir δ0>0 sayısı var ise 2.3.1 in x(t) çözümüne asimtotik kararlıdır denir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Tanım 2.3.3 : Eğer 2.3.1 in x(t) çözümü kararlı değil ise bu x(t) çözümüne kararsız çözümdür denir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Tanım 2.3.4 : Eğer x(t) çözümü t≥t0 için kararlı ve Tanım 2.3.1 deki δ( , )t0 ε sayısı t0 dan bağımsız ise bu x(t) çözüme t≥t0 için düzgün kararlıdır denir ( Jordan, D.W. and Smith, P., 1999).

Uyarı 2.3.1 : Yukarıda 2.3.1 in bir x(t) çözümünün kararlılık kavramı verildi. Eğer

dönüşümü yapılırsa

z
=F t y( , )−F t x( , )

=F t z( , +x t( ))−F t x t( , ( ))

≡g t z( , ) (2.3.3) olur. Burada her t≥t0 için g(t,0)=0 olur. Böylece 2.3.3 ( ) 0z t ≡ çözümüne sahiptir. Ayrıca 2.3.1 in x(t) çözümünün kararlılığı problemi 2.3.3 in ( ) 0z t ≡ kararlılık problemine indirgenmiş olur.

Belirtelim ki 2.3.2 dönüşümü yapıldığında x(t) çözümünün kararlılık karakteri değişmiyor. Bu yüzden 2.3.1 in herhangi bir çözümü yerine 2.3.1 in ( , 0) 0F t ≡ olması halinde sıfır çözümünün kararlılığı konusu sıkça araştırılmıştır.

Örnek 2.3.1: x
+ =x 0 _(2.3.4) diferensiyel denklemini göz önüne alalım. 2.3.4 denkleminin x t( )0 =x0 koşulunu sağlayan çözümü

( 0)

0

( ) t t

x t =x e− −

biçiminde yazılabilir. 2.3.4 denkleminin x t( )₀ =x₀ koşulunu sağlayan çözümü ise ( 0)

0

( ) t t

x t =x e− −

olur. O halde Tanım 2.3.1 den x t( )0 −x t( )0 = x0−x0 ≤δ olduğundan t≥t0 için ( 0) ( 0) 0 0 ( ) ( ) t t t t x t −x t = x e− − −x e− − = ( 0) 0 0 ( ) t t x −x e− − ( 0) 0 0 t t x x e− − ≤ − ≤ x0−x0 <δ =ε

olacak şekilde δ = elde edilir. Böylece verilen denklemin ε x t( )=x t t x( ; , )0 0 çözümü kararlıdır. Örnek 2.3.2: 0 9 x x t + = +

_{denkleminin ( ) 0x t ≡ çözümünün kararlılık durumunu} inceleyelim. Bu denklemin x t( )0 ≡x0 koşulunu sağlayan çözümü

_{( )} 0(9 0) 9 x t x t t + = +

dır. O halde Tanım 2.3.1 den x t( )0 = x0 ≤δ olduğundan 0 0 0 0 0 (9 ) ( ) (9 ) (9 ) 9 x t x t x t t t δ ε + = ≤ + ≤ + = + olacak şekilde 0 9 t ε δ =

+ elde edilir. Böylece verilen denklemin x(t)=0 çözümü kararlıdır. Ayrıca _{lim ( ) lim} 0(9 0) ₀ 9 t t x t x t t →∞ →∞ + = = +

olduğundan verilen denklemin x(t) = 0 çözümü Tanım 2.3.2 den dolayı asimtotik kararlıdır.

Örnek 2.3.3: x
− =x 0_{denkleminin x(t)=0 çözümünün kararlılık durumunu inceleyelim.} Bu denklemin x t( )0 ≡x0 başlangıç şartını sağlayan çözümü

( ) 0

t

x t =x e

olarak elde edilir. Ayrıca Tanım 2.3.1 den x0 <δolduğundan ( ) 0 0 0 (1 ), 0 t t x t = x e = x e > x +t t> olduğu için lim ( ) t→∞x t → ∞

olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle ( ) 0x t ≡ çözümü kararsızdır. Örnek 2.3.4: 1 1 2 2 1 2 2 x x x x x x = + = − −

sistemini ele alalım. Bu sistem 1 2

1 1

x_{= } x

− −

 

_{biçiminde yazılabilir. Bu sistemin}

0 (0)

x =x koşulunu sağlayan çözümü her t için

0 01 02

01 02

(cos sin ) 2 sin ( ;0, )

sin (cos sin )

x t t x t x t x x t x t t + +   =   − + −  

olarak elde edilir. Aynı sistemin x(0)=x0 koşulunu sağlayan çözümü ise 0 01 02

01 02

(cos sin ) 2 sin ( ;0, )

sin (cos sin )

x t t x t x t x x t x t t + +   =   − + −  

şeklinde olur. O halde Tanım 2.3.1 den x t( )0 −x t( )0 = x0−x0 ≤δ olduğundan t≥ t0 için

x t( ;0, )x0 −x t( ;0, )x0 = (x01−x01)(cost+sin ) 2(t + x02−x02) sint + −( x01+x01) sint+(x02−x02)(cost−sin )t ≤3 x01−x01 +4 x02−x02 ≤4 x0−x0 ≤4δ olur. ε > için 0 4 ε δ = seçilirse x t( ;0, )x0 −x t( ;0, )x0 ≤ ε

kalır. O halde verilen sistemin x t( ;0, )x₀ çözümü kararlıdır.

2.4. Lineer Sistemlerin Kararlılığı

Burada

x
=A t x( ) +F t( ) _(2.4.1)

homojen olmayan lineer sistemini göz önüne alalım. A(t), n x n türünde bir matris, F(t) de nx1 boyutlu bir vektör olmak üzere t≥t₀ için süreklidir. Lineer sistemler hakkındaki varlık ve teklik teoremleri gereğince 2.4.1 in her x(t) çözümü t≥t₀ için tanımlıdır.

Amacımız 2.4.1 in bir x(t) çözümünün kararlılığını araştırmaktır. x t( ), 2.4.1 in başka bir

çözümü olmak üzere

ξ( )t =x t( )−x t( )

biçiminde tanımlansın. Dolayısıyla ξ( )t0 =x t( )0 −x t( )0

olur. Ayrıca ξ , 2.4.1 den dolayı

ξ
=A t( )ξ (2.4.2) homojen denklemini sağlar. Böylece 2.4.1 in herhangi bir x(t) çözümünün kararlılığı 2.4.2

in sıfır çözümünün kararlılığı ile aynıdır.

Teorem 2.4.1: x
= A t x( ) +F t( ) _{lineer sisteminin bütün çözümlerinin kararlı (kararsız,}

düzgün kararlı, asimtotik kararlı, düzgün ve asimtotik kararlı) olması ξ
=A t( )ξ homojen denkleminin sıfır çözümünün kararlı (kararsız, düzgün kararlı, asimtotik kararlı, düzgün ve asimtotik kararlı) olması ile aynıdır (Jordan, D.W. and Smith, P., 1999).

Yukarıdaki teoremden dolayı lineer sistemlerin kararlılık şartları 2.4.1 in özel

çözümünden ve homojen olmayan F(t) teriminden bağımsızdır. Ayrıca 2.4.1 in herhangi

bir çözümü kararlı (kararsız, düzgün kararlı, asimtotik kararlı, düzgün asimtotik kararlı) ise bütün çözümleri de kararlı (kararsız, düzgün kararlı, asimtotik kararlı, düzgün asimtotik kararlı) dır. Böylece 2.4.2 in herhangi bir çözümü kararlıdır demek yerine 2.4.2 lineer sistemine kararlıdır demek daha uygundur.

Teorem 2.4.2: A(t),

_[

0, ∞ üzerinde sürekli bir matris ve x, nx1 boyutlu bir vektör olmak

₎

üzere

x
= A t x( ) _(2.4.3)

denkleminin bütün çözümlerinin kararlı olması için gerek ve yeter şart bütün çözümlerinin

sınırlı olmasıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

İspat : Kabul edelim ki 2.4.3 in bütün çözümleri sınırlıdır. Bu taktirde Φ( )t , Φ( )t0 =I

olacak şekilde 2.4.3 in bir temel çözümler matrisi olmak üzere, her t≥ için t0

Φ( )t ≤M

olacak şekilde M>0 sayısı vardır. Kararlılığın tanımından ε >0 için x₀−x₀ <ε_2M =δ ε( ) 0> olduğunda x t t x( ; , )0 0 −x t t x( ; , )0 0 = Φ( )t x0− Φ( )t x0 0 0 ( )(t x x ) = Φ − ≤M x0−x0 <ε

kalır. Böylece 2.4.3 in bütün çözümleri kararlıdır.

Karşıt olarak 2.4.3 in bütün çözümleri kararlı olsun. Bu taktirde x t( ) 0≡ sıfır çözümü de kararlıdır. Bu yüzden her ε >0 sayısına karşılık x0 <δ olduğunda her t≥ t0

için

x t t x( ; , )0 0 <ε

olacak şekilde δ =δ ε( ) 0> sayısı vardır. x t t x( ; , )0 0 = Φ( )t x0

olduğundan

x t t x( ; , )0 0 = Φ( )t x0 < ε

olur. Şimdi x₀, i. bileşeni 2δ ve diğer bileşenleri sıfır olan bir vektör olsun. Bu taktirde

( ) i t

φ , Φ( )t nin i. sütunu olmak üzere ( ) 0 ( )

2 i

t x φ t δ ε

Φ = <

olur. Dolayısıyla her t≥t₀ için

φ_i( )t <2ε_δ (i=1,2,…,n) yazılır. Buradan her t≥t0 için

( )_t 2nε _M δ

Φ < =

elde edilir. Böylece

x t t x( ; , )_{0 0} = Φ( )t x₀ <M x₀

olup bu da 2.4.3 in bütün çözümlerinin sınırlı olduğu anlamına gelir.

Teorem 2.4.3 : A=( )a_ij , nxn tipinde sabit bir matris, x, nx1 boyutlu bir vektör olsun. Eğer A matrisinin bütün karakteristik kökleri negatif reel kısımlı ise bu taktirde

x
=Ax _(2.4.4)

sisteminin her çözümü asimtotik kararlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

İspat : Φ( ), ( )t Φ t0 = olacak I şekilde 2.4.4 denkleminin bir temel çözümler matrisi olmak

_Φ( )_{t ≤Me}−α(t t−0)

olacak şekilde α>0,M >0 sabitleri vardır. x t t x( ; , )0 0 ve x t t x( ; , )0 0 , 2.4.4 in iki çözümü

olsun. _Me−α(t t−0) azalan oldu_ğundan _{ε >}0 için,

0 0 ( ) 0 2 x x M ε δ ε − < = >

olduğunda t≥ için t₀

x t t x( ; , )0 0 −x t t x( ; , )0 0 ≤ Φ( )t x0−x0 ( 0) 0 0 t t Me−α − x x < − ( 0) 2 t t e α ε − − < <

ε

olur ve lim ( ; , )0 0 ( ; , )0 0 0 t→∞ x t t x −x t t x =

olduğundan 2.4.4 in bütün çözümleri asimtotik kararlıdır.

Teorem 2.4.4 : 2.4.4 denkleminde ki A matrisinin yineleme sayısı birden büyük olan bütün karakteristik kökleri negatif reel kısımlı ve yineleme sayısı bir olan bütün karakteristik kökleri pozitif olmayan reel kısımlı olması halinde 2.4.4 in her çözümü sınırlıdır ve dolayısıyla kararlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Eğer A nın özdeğerlerinden herhangi biri pozitif reel kısımlı ise bu taktirde 2.4.4

in sıfır çözümü kararsızdır. Örnek 2.4.1: 1 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 5 x x x x x x x x x = − + = − − + = −

sisteminin sıfır çözümünün kararlılık durumunu araştıralım. 1 2 3 x x x x     =       olmak üzere

3 0 2 1 3 5 1 0 0 x x Ax −     = −_ − _ = ₋   

biçiminde yazılabilir. Buradan

A−

λ

I = − +(1

λ

)(2+

λ

)(3+

λ

) 0=

karakteristik denkleminin özdeğerleri

λ

1= −1,

λ

2 = −2,

λ

3 = − olduğundan verilen sistemin 3 sıfır çözümü asimtotik kararlıdır. Örnek 2.4.2: 1 1 2 2 2 5 x x x x = − =

sisteminin sıfır çözümünün kararlılık durumunu araştıralım. 1 2 x x x   =     olmak üzere 1 2 2 0 0 5 x x Ax x −     =  =    

biçiminde yazılabilir. Buradan det(A−λI) ( 2= − −λ)(5−λ) 0= olduğundan

1 2, 2 5

λ

= −

λ

= olup verilen sistemin sıfır çözümü kararsızdır. Teorem 2.4.5 : Φ( ), ( )t Φ t0 =I olacak şekilde

x
=A t x( ) _(2.4.5) denkleminin temel çözümler matrisi olsun. Bu taktirde 2.4.5 sisteminin

i) kararlı olması için gerek ve yeter şart her t≥t0 için Φ( )t ≤M olacak şekilde M>0 sayısının var olmasıdır.

ii) düzgün kararlı olması için gerek ve yeter şart t₀≤ ≤ < ∞ için s t _{( )} 1_{( )}

t − s M

Φ Φ ≤

olacak şekilde bir M>0 sayısının var olmasıdır.

iii) asimtotik kararlı olması için gerek ve yeter şart t → ∞ iken Φ( )t → ∞ olmasıdır. iv) düzgün asimtotik kararlı olması için gerek ve yeter şart t0≤ ≤ < ∞ için s t

1 ( )

( ) ( ) t s

t − s Me−α −

Φ Φ ≤ olacak şekilde α>0,M > sayısının olmasıdır (Rama Mohana 0 Rao, M., 1980).

Örnek 2.4.3: 2 0 6 x x t + = +


_(2.4.6)

diferensiyel denklemini göz önüne alalım. 2.4.6 nın bir temel çözümler sistemi; 5, 6 t t+ olup ( )Φ t temel çözümler matrisi de,

2 5 6 ( ) 6 0 ( 6) t t t t     +   Φ =     +  

dır. Açıkça t≥ için 0 Φ( )t sınırlıdır. O halde 2.4.6 kararlıdır. Fakat, t → ∞ olması

durumunda 1

(2 )s − ( )s

Φ Φ → ∞ olduğundan 2.4.6 düzgün kararlı değildir.

3. LYAPUNOV’UN İKİNCİ METODU

3.1. Lyapunov’un İkinci Metodunun Önemi

Bu bölümde Lyapunov’un ikinci metodu veya Lyapunov’un direk metodu olarak bilinen metot tanıtılacaktır. Ayrıca, bu metot yardımıyla literatürde geçen iki lineer olmayan diferensiyel denklemin sıfır çözümünün kararlılığı ile başlangıç şartına bağlı çözümlerinin sınırlılığı değerlendirilecektir. Önceki bölümde verilen bir problemin çözümlerinin kararlılık durumu araştırılırken öncelikle denklemin çözümleri bulunup daha sonra kararlılık tanımları uygulanarak çözümlerin kararlı olup olmadığı sonucuna varıldı. Bilindiği üzere bütün diferensiyel denklemleri sonuna kadar çözmek oldukça zordur. Lineer diferensiyel denklemlerin çözümlerini bulmada bir çok yöntem olmasına rağmen lineer olmayan denklemlerin belli tipleri dışında açık çözümlerini bulmak oldukça zordur. Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık durumu araştırılırken uygulanan yöntemlerden biri de lineerleştirmedir. Fakat bunu da her zaman yapmak mümkün olmadığından orijinal denklemin kendisi göz önüne alınmalıdır. Bu yüzden 1892 de Lyapunov tarafından geliştirilen ve çok geniş denklem sınıfına uygulanan bir yöntem üzerinde duracağız. Bu yöntemin en ayırıcı özelliği diferensiyel denklemi çözmeden çözümlerin kararlılığı hakkında bilgi elde edilebilmesidir. Yani bu teknik çözümler hakkında hiçbir bilgi olmadan direk olarak diferensiyel denkleme uygulanabilir. Bunun için öncelikle bir skaler fonksiyon yada Lyapunov fonksiyonunu oluşturmak gerekir. Fakat genelde verilen sisteme uygun bir Lyapunov fonksiyonu oluşturmak oldukça zordur.

Şimdi

x
= f t x( , ) _(3.1.1)

diferensiyel denklemini göz önüne alalım. I =

_[

t₀,∞

₎

,t₀≥ , 0 n

R

Ω ⊂ orijini içine alan açık irtibatlı bir küme olmak üzere f:

: n, ( , ) ( , ) f IxΩ →R t x → f t x

olacak şekilde IxΩ üzerinde tanımlı ve sürekli bir fonksiyondur. 3.1.1 denklemindeki ( , )

f t x fonksiyonu t ve x değişkenlerinin her ikisine de bağlıdır. Fakat bazı problemlerde t zaman değişkeni açık olarak gözükmeyebilir. Bu gibi durumlarda 3.1.1 denklemi

x
=g x( ) _(3.1.2) biçimini alır. 3.1.2 biçimindeki bir sisteme otonom sistem denir. Şimdi sırasıyla otonom ve otonom olmayan diferensiyel sistemler üzerinde durulacaktır.

3.2. Otonom Sistemler

x
=g x( ) _(3.2.1) otonom sistemini göz önüne alalım. Burada : n n

g R →R sürekli bir fonksiyondur. Kabul edelim ki g, 3.1.1 in çözümlerinin varlık ve tekliğini garanti etmek için yeterince

düzgündür. Orijinin bir komşuluğunda g(0)=0 ve x≠ için ( )0 g x ≠ olsun. Bunun anlamı 0 3.2.1, x≡ çözümüne sahiptir ve orijin 3.2.1 in ayrık kritik (denge) noktasıdır. Ω , 0 _Rn _de

orijini içinde bulunduran açık irtibatlı bir küme ve V; :V Ω →R

reel değerli sürekli skaler bir fonksiyon olsun.

Tanım 3.2.1: Skaler bir V(x) fonksiyonuna Ω üzerinde pozitif tanımlıdır denir gerek ve yeter şart V(0)=0, x≠ ve x ∈ Ω için V(x)>0 (Rama Mohana Rao, M., 1980). 0

Tanım 3.2.2: Skaler bir V(x) fonksiyonuna Ω üzerinde pozitif yarı tanımlıdır denir gerek ve yeter şart V(0)=0, x≠ ve x ∈ Ω için ( ) 00 V x ≥ ( Rama Mohana Rao, M., 1980). Tanım 3.2.3: Skaler bir V(x) fonksiyonuna Ω üzerinde negatif tanımlı (negatif yarı tanımlı) dır denir gerek ve yeter şart -V(x) in pozitif tanımlı (pozitif yarı tanımlı) olmasıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Tanım 3.2.4: Bir a C_

[

0,ρ

)

,R+_

∈ _{  fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlarsa} a

fonksiyonuna Қ sınıfındandır denir. i) (0) 0a = ;

ii) ( )a r , r ye göre kuvveti monoton artan (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Örnek 3.2.1 : 4

( ) , 0

a r =

β

r

β

> , fonksiyonu K sınıfındandır.

Tanım 3.2.5: V(0)=0, x ∈ Ω ve (a x)≤V x( ) olacak şekilde bir ( )a r ∈K fonksiyonu varsa V fonksiyonuna Ω kümesi üzerinde pozitif tanımlıdır denir. Eğer –V(x) pozitif tanımlı ise V(x) fonksiyonuna negatif tanımlıdır denir ( Rama Mohana Rao, M., 1980). Şimdi de pozitif tanımlı matrisler hakkındaki Sylvester teoremi yardımıyla V(x) fonksiyonunun pozitif tanımlığını verelim.

Teorem 3.2.1 (Sylvester Teoremi):

11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn b b b b b b B b b b       =_{ }           

simetrik reel bir matris olsun. Bu taktirde B nin pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart 11 12 1 21 22 2 1 2 det det , ( 1, 2,..., ) j j j j j jj b b b b b b B j n b b b       = _{ } =             

nin her bir asli minörlerinin pozitif olmasıdır (Brauer, F. and Nohel, J.A., 1969). Tanım 3.2.6: B=( )b_ij simetrik bir matris olmak üzere

( )V x =x BxΤ

bir quadratik biçim olsun. V nin pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart Sylvester teoremine göre B=( )bij matrisinin bütün ardışık esas minörlerinin pozitif yani,

detB1>0, detB2 >0,...., detBn > 0

olmasıdır.

Bundan sonra V(x) fonksiyonunun Ω bölgesinin her noktasında sürekli birinci mertebeden kısmi türevlere sahip olduğunu kabul edeceğiz ve V nin 3.2.1 sistemine göre türevi

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... n( ) n V x V x V x g x g x g x x x x ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ (3.2.2)

ile tanımlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980). Eğer x=x(t), 3.2.1 in herhangi bir çözümü ise 3.2.2 ve zincir kuralı yardımıyla,

1 1 ( ( )) ( ) ... n( ) n d V V V x t x t x t dt x x ∂ _′ ∂ _′ = + + ∂ ∂ 1 ( ( )) ( ( )) n i i i V g x t V x t x = ∂ = = ∂

∑

olur. Yani, çözüm boyunca V nin t ye göre türevi V nin x=x(t) de sisteme göre türevi ile aynıdır.

Şimdi 3.2.1 in sıfır çözümünün kararlılık durumuna ilişkin teoremler verilecektir.

{

:

}

,

_[

0,

)

, 0 0

n

S_ρ = x∈R x <ρ I= t ∞ t ≥ , R+ =

[

0,∞

)

olsun. 3.2.1 in ( , )t x0 0 noktasından geçen çözümü x t( )=x t t x( ; , )_{0 0} ve t I∈ için ( )x t <

ρ

olsun. 3.2.1 otonom olduğundan genelliği bozmadan t0 = alabiliriz. 0

Teorem 3.2.2 : Sρ üzerinde ( ) 0V x ≤

_{olacak şekilde pozitif tanımlı skaler bir V(x)} fonksiyonu varsa bu taktirde 3.2.1 in sıfır çözümü kararlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Teorem 3.2.3 : Eğer S_ρ üzerinde ( )V x
negatif tanımlı olacak şekilde pozitif tanımlı skaler bir V(x) fonksiyonu varsa 3.2.1 in sıfır çözümü asimtotik kararlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Teorem 3.2.4 : S_ρ üzerinde ( )V x
negatif tanımlı yada pozitif tanımlı olacak şekilde skaler bir V(x), (V(0)=0) fonksiyonu var ve orijinin her N komşuluğunda (N ⊂S_ρ),V x( )0 ile

( )

V x
aynı işaretli olacak şekilde en az bir x0≠ noktası varsa bu taktirde 3.2.1 in sıfır 0 çözümü kararsızdır (Brauer, F. and Nohel, J.A., 1969).

Teorem 3.2.5 : 3.2.1 sistemine ilişkin olarak aşağıdaki şartları sağlayan bir skaler V(x) fonksiyonu mevcut olsun;

i) V, _Rn _{de pozitif tanımlı,}

ii) lim ( )

iii) n

R de, ( ) 0V x
< ,

bu taktirde 3.2.1 in sıfır çözümü geniş anlamda asimtotik kararlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980). Örnek 3.2.1: 1 2 2 1 5 5 x x x x = = −

sistemini göz önüne alalım. Bu sistem sıfır çözümüne sahiptir. 2 2

1 2 1 2

( , )

V x x =x +x

olmak üzere bu fonksiyonun pozitif tanımlı olduğu açıktır. Sistem boyunca türevi V x x
( , ) 2 (5 ) 2 ( 5 )1 2 = x1 x2 + x2 − x1

=0

dır. O halde Teorem 3.2.2 den bu sistemin sıfır çözümü kararlıdır. Örnek 3.2.2: 2 1 1 2 3 2 1 2 2 2 x x x x x x x = − − = −

sistemini göz önüne alalım.

2 2

1 2 1 2

( , ) 2

V x x =x + x olsun. V x x( , )1 2 pozitif tanımlıdır.

2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 2 ( , ) 2 ( 2 ) 4 ( ) V x x
= x − −x x + x x x −x 2 4 1 2 2(x 2x ) = − +

olup orijinin dışında her yerde negatiftir. Böylece Teorem 3.2.5 den sistemin sıfır çözümü asimtotik kararlıdır. Örnek 3.2.3: 3 1 1 2 3 2 2 1 3 4 x x x x x x = + = − +

sistemi için 2 2 1 2 1 2 ( , ) 4 3 V x x = x − x

fonksiyonunu seçelim.V fonksiyonu ile onun birinci mertebeden kısmi türevleri sürekli, V(0,0)=0 ve orijinin herhangi bir komşuluğunda pozitif değerlere sahiptir. Ayrıca

3 3 1 2 1 1 2 2 2 1 ( , ) 8 (3 ) 6 ( 4 ) V x x
= x x +x − x − x +x 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 24(x x ) (8x x 6x x ) = + + −

olup (0, 0) 0V
= dır. x1 ve x2 yeterince küçük olduğunda V
nin işareti sağ taraftaki ilk parantezli terim tarafından belirlenir. Böylece V
orijinin bir komşuluğunda pozitif tanımlıdır. Dolayısıyla (0,0) kritik noktası kararsızdır.

3.3. Otonom Olmayan Sistemler

x
= f t x( , ) _(3.3.1) biçimindeki sistemlere otonom olmayan sistemler denir. Burada

I=

_[

t0,∞

)

,t≥t0≥0,

{

:

}

n S_ρ = x∈R x <ρ olmak üzere : n f IxS_ρ →R , ( , )t x → f t x( , )

sürekli bir fonksiyondur. Her t I∈ için ( , 0) 0f t ≡ olsun. Böylece 3.3.1 sistemi ( ) 0

x t ≡ çözümüne sahiptir. Yani orijin 3.3.1 in denge veya kritik noktasıdır. Ayrıca f nin birinci mertebeden kısmi türevleri de IxS_ρ üzerinde sürekli olsun. Bu şart çözümlerin

varlığını ve tekliğini garanti eder. ( , )t x0 0 ∈IxSρ noktasından geçen ve her t I∈ için Sρ de

kalan çözümü dex t( )=x t t x( ; , )0 0 olsun. :V IxSρ R

+

→ sürekli bir fonksiyon olsun. Ayrıca V(t,x), t ve x e göre sürekli kısmi türevlere sahipse bu taktirde

( , )V t x V f t x( , ) V x t ∂ ∂ = + ∂ ∂

ile verilir. x(t), t I∈ için Sρ kalacak şekilde 3.3.1 in bir çözümü olsun. Bu taktirde

d V t x t( , ( )) V t x t( , ( ))

dt =

Tanım 3.3.1: V(t,0)=0 olacak şekilde bir V(t,x) fonksiyonu verilsin. Her ( , )t x ∈IxS_ρ için ( , ) ( )

V t x ≥a x olacak şekilde bir ( )a r ∈K fonksiyonu varsa V(t,x) fonksiyonuna pozitif tanımlıdır denir. Eğer her ( , )t x ∈IxS_ρ için ( , )V t x ≤ −a x( ) ise negatif tanımlıdır denir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Tanım 3.3.2: ( , )t x ∈IxS_ρ için ( , )V t x ≤b x( ) olacak şekilde bir ( )b r ∈K fonksiyonu varsa ( , ) 0V t x ≥ fonksiyonuna azalandır denir (Rama Mohana Rao, M., 1980).

Örnek 3.3.1: i) 2 2 2

1 2 1 2

( , , ) (2 )( )

V t x x = +t x +x , _{( , )} 2

t x ∈IxR fonksiyonu pozitif tanımlıdır. Çünkü ( , 0) 0V t = ve ( , )V t x ≥a x( ) olacak şekilde bir a K∈ , 2

( )

a r =r bulunabilir.

ii) 5 2 2

1 2 1 2

( , , ) (2 t)( )

V t x x = +e− x +x fonksiyonu hem azalan hem de pozitif tanımlıdır. Çünkü

2 2 5 2 2 2 2

1 2 (2 )( 1 2 ) 3( 1 2 )

t

x +x ≤ +e− x +x ≤ x +x

olarak yazılabilir. Burada 2 ( )

a r =r ve 2

( ) 3

b r = r biçiminde K sınıfına ait fonksiyonlar bulunabilir.

Teorem 3.3.1: Aşağıdaki şartları sağlayan bir V(t,x) Lyapunov fonksiyonu varsa 3.3.1 in ( ) 0

x t ≡ çözümü kararlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980). i) V C IxS_ ρ,R+_

∈   , ( , 0) 0V t ≡ , V(t,x) pozitif tanımlı ve V(t,x), x e göre Lipschitz şartını sağlar,

ii) ( , ) 0V t x
≤ , ( , )t x ∈IxSρ.

Teorem 3.3.2: Aşağıdaki şartları sağlayan bir V(t,x) fonksiyonu varsa 3.3.1 in sıfır çözümü asimtotik kararlıdır (Rama Mohana Rao, M., 1980).

i) V C IxS_ ρ,R+_

∈   , ( , 0) 0V t ≡ , V(t,x) pozitif tanımlı ve x e göre Lipschitz şartını sağlar; ii) IxSρ üzerinde ( , )f t x sınırlı;

3.4. (4)

2 4

( ) ( ) ( )

x + f x x




+

α

x

+g x
+

α

x=P t _{Denklemine İlişkin Kararlılık ve}

Sınırlılık Sonucu

Burada J.O.C. Ezelio tarafından 1962 yılında ele alınan (4)

2 4

( ) ( ) ( )

x + f x x




+

α

x

+g x
+

α

x=P t _{denklemine ilişkin iki sonuç üzerinde durulacaktır.}

Bunlardan birincisi

x



<sub>+ f( x

) x


+ α2 x

+ g ( x
) + α4 x = 0 (3.4.1)</sub> denklemine ilişkin kararlılık sonucu; ikincisi

x



<sub>+ f( x

) x


+ α2 x

+ g ( x
) + α4 x = P(t) (3.4.2)</sub> denkleminin başlangıç şartlarına bağlı çözümlerinin sınırlılığı üzerinde durulacaktır. α α2, 4 sabit sayılar ve her y, z, t için g' (y) mevcut ve f(z), g' (y) , P(t) sürekli fonksiyonlardır.

x
= y , y
= z , z
= w konumuyla 3.4.1 diferensiyel denklemi x
= y

y
= z z
= w

w
= -f(z)w - α2 z - g (y) - α4 x (3.4.3)

şeklinde eşdeğer sistemine indirgenebilir.

Bundan böyle 3.4.1 denklemi yerine buna eşdeğer 3.4.3 sistemi göz önüne alınacaktır.

Teorem 3.4.1 : 3.4.3 sistemine ilişkin aşağıdaki şartların sağlandığını kabul edelim: i) α2 ve α4 pozitif sabitler;

ii) g(0)= 0 , α1 > 0, α3 > 0 olmak üzere y ≠ 0 ve her z için

g y( )

y ≥ α3 ve f(z) ≥ α1 ; iii) her y ve z için

α1α2α3 - α3 g' (y) – α1α4 f(z) ≥
0

iv) δ1 < 4 ₂0

1 3 2α α α

∆

olmak üzere her y ≠ 0 için g' (y) – g y( )

y ≤ δ1 dır; v) 0 2 2 1 3 2 δ α α ∆

< olmak üzere her z ≠ 0 için;

1 z ₀

z

∫

f (ξ)dξ - f(z) ≤ δ2 .

Bu taktirde 3.4.1 in her x(t) çözümü için t → ∞ olduğunda

x (t) → 0 , x
(t) → 0 , x

(t) → 0 , x


_{(t) → 0 (3.4.4)} olur.

Teorem 3.4.1 ispatlamak için 3.4.3 in her ( x(t), y(t), z(t), w(t) ) çözümü için t → ∞ iken x (t) → 0 , y (t) → 0 , z (t) → 0 , w (t) → 0 (3.4.5) olduğunu göstermek yeterli olacaktır. 3.4.5 in ispatı için temel aracımız V=V(x,y,z,w) olmak üzere 2 2 4 2 2 2 4 1 0 ( , , , ) ( ) 2 ( ) y V x y z w =

α

d x +

α

d −

α

d y +

∫

g

η η

d 2 2 2 1 2 1 0 ( ) 2 ( ) z d d z f d d w α ξ ξ ξ + − +

∫

+ +2 xy

α

4 2 4 1 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 z o d xz d y f d d zg y d yw zw α ξ ξ + +

∫

+ + + (3.4.6) ile tanımlanan fonksiyondur. Burada

d1 = ε + 1 1 α , d2 = ε + 4 3 α α (3.4.7)

ve ε > 0 olup ε nun kesin değeri daha sonra tanımlanacaktır.

Lemma 3.4.1 : Teorem 3.4.1 in (i) - (v) şartları altında V (0, 0, 0, 0 ) = 0 ve her x, y, z ve w için

V ≥ D1x2 + D2y2 + D3z2 + D4w2 (3.4.8)

olacak şekilde sadece ε, α1 , α2 , α3 , α4 , δ1 , δ2 ve
0 a bağlı Di (i= 1,2,3,4) sabitleri vardır.

İspat : İlk önce Lemmanın ispatında kullanılacak bazı önemli eşitsizlikler üzerinde

durulacaktır. Her z için; f(z) ≥ α1 ve d1 = ε +

1 1 α olduğundan d1 - 1 ( ) f z ≥ ε (3.4.9) olur. Her y ≠ 0 için g(y) / y ≥ α3 ve d2 = ε + α4 / α3 olduğundan

d2 - α4

( ) y

g y ≥ ε (3.4.10) olur. ( iii) ve 3.4.7 kullanıldığında her y ve z için

[

]

4 2 1 2 2 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d g y d f z g y α f z g y f z α α ε α α ′ ′ ′ − − = − − − + = 1 3 1 α α

[

α α α

1 2 3−

α

3g y′( )−

α α

1 4f z( )

]

–

[

g y′( )+ f z( )

]

ε

≥ 0 1 3 α α ∆ -

[

g y′( )+ f z( )

]

ε

(3.4.11)

elde edilir. Ayrıca (iii) den her y ve z için α1 α2 > g' (y) ve 2 3

4 α α α > f(z) yazılabilir. Bu eşitsizlikler 3.4.11 de kullanıldığında 0 2 3 2 1 2 1 2 1 3 4 ( ) ( ) ( ) d g y d f z α α α α α ε α α α ∆ ′ − − ≥ − + 0 0 1 3 Dε α α ∆ = − (3.4.12)

olur. Şimdi 3.4.6 ile tanımlanan V(x,y,z,w) fonksiyonunu göz önüne alalım. g(0) = 0 olduğundan V(0, 0, 0, 0) = 0 olduğu açıktır. O halde 3.4.8 eşitsizliği ispatlandığında Lemma 3.4.1 in ispatı tamamlanmış olur. z= 0 durumu göz önüne alınsın; bu taktirde 2V =2 ( , , 0, )V x y w 2 2 2 4 2 2 2 4 1 1 4 2 0 ( ) 2 ( ) 2 2 y d x d d y g d d w xy d yw

α

α

α

η η

α

= + − +

∫

+ + + 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 4 2 2 2 4 1 2 1 0 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) y y d d w d d y d x d d y g d y d d d

α

α

α

α

η η

− = + + + + − − +

∫

−

4 2 4 2 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 0 y y g g d y d d d

α

η

α

η η

η η

η

  − =  −  ≥  

∫

∫

yazılabilir. Böylece 2 1 2 2 2 2 1 1 2 4 2 2 2 4 1 2 1 2 ( , , 0, )V x y w d w d d y( ) d x( y) ( d d d )y d d

α

α

α

− ≥ + + + + − − (3.4.13)

elde edilir. Şimdi γ = γ (y) fonksiyonu;

( ) , 0 ( ) '(0), 0 g y y y y g y

γ

γ

 ≠  = =   ₌  (3.4.14)

biçiminde tanımlansın. 3.4.13 eşitsizliğindeki y2 nin katsayısı

_[

_]

2 2 2 4 1 2 2 1 2 1 2 4 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) d d d d d f z d d d f z d d

α

− =

α

−

γ

− +

γ α

− +  −   , yazılabilir. Ayrıca g(0) = 0 olduğundan γ (y) = g' (θy) , (0≤ θ ≤1) olur. Dolayısıyla , 3.4.9, 3.4.10, 3.4.12 ve 3.4.7 den α2 d2 - α4 d1 - 2 2 1 d d ≥ 4 3 α α ( 0 1 3 α α ∆ - D0 ε ) > 0 4 2 1 3 2 α α α ∆ olur, burada ε ≤ 1 2
0 / (α1 α3 D0 ). Böylece 3.4.13 ifadesi , 1 2 2 0 4 2 1 1 2 4 2 2 2 1 3 2 ( , , 0, ) ( ) ( ) 2 y V x y w d w d d y d x y d α α α α − ∆ ≥ + + + +

biçiminde yazılabilir. Eğer

D5 = D5 (d1,d2 ,α1 , α3 ,α4 ,
0 ) > 0

olarak alındığında

2V( x,y,0,w) ≥ D5 (x2 + y2 + z2 + w2 )

olur. Bu da z = 0 için istenilen sonuçtur. z ≠ 0 durumu için; F (z) fonksiyonunu

F(z) = 0

z

∫

f (ξ) dξ (3.4.15) olarak tanımlansın. Ayrıca 3.4.6 fonksiyonu

2 2 2 2 4 4 2 2 2 4 1 2 0 ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) y F z V d x d d d y g d yg y y z α α α α η η γ       ≡ −  + − −  + −      

∫

{

2

}

2 2 2 1 2 1 1 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) z z d d d y z f d zF z d w F z α γ ξ ξ ξ   + − − + − + −   

∫

_{

_}

2 2 2 4 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z F z w F z d y x y y d z y F z z γ y α γ γ   +  + +  + + +   2 2 2 4 4 2 1 1 2 ( ) ( ) z d x d w V V y F z α α γ       ≥ −  + −  + +      

biçiminde yazılabilir. Burada ,

2 2 1 2 2 4 1 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) y F z V d d d y g d yg y z

α

α

η η

  = − −  + −  

∫

{

2

}

2 2 2 1 2 1 0 ( ) 2 ( ) ( ) z V = α d −d −d γ y z +

∫

ξf ξ ξd −zF z (3.4.16) şeklindedir. 3.4.10 eşitsizliği göz önüne alındığında

{α4 d2 - α42 / γ (y)} x2 ≥ α4 ε x2

olur. Ayrıca F(0) = 0 olduğundan F(z) = z f( θ2 z ) , ( 0 ≤ θ2 ≤ 1) olur. 3.4.9 eşitsizliğinden

{ d1 - ( ) z F z }w 2 _{≥ ε w}2 yazılır. Böylece 2V ≥ 2 2 4 x w

α ε

+

ε

+ V1 + V2 (3.4.17) elde edilir. 2 2 1 2 2 4 1 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) y F z V d d d y g d yg y z

α

α

η η

  = − −  + −  

∫

ifadesindeki her bir terimi ayrı ayrı ele alındığında,

2 2 4 1 22 ( ) F z d d d z α −α − = d2[α2 – d1 γ (y) - d2 F z( ) z ] + d1 [d2γ (y)- α4 ] olmak üzere 3.4.10, 3.4.12 ,