l amaç fonksiyonu sayısı, m yineleme sayısı olmak üzere (m l

(1)

1

KONU 7: ÇOK AMAÇLI KARAR VERME YÖNTEMLERİ – III Etkileşimli Yöntemler (STEP Yöntemi)

1971 yılında Benayoun, Montgolfier, Tergny ve Laritchev tarafından çok amaçlı doğrusal programlama problemlerinin çözüm yöntemi olarak sunulmuştur. Karar vericinin, amaç fonksiyonlarının göreli önemi hakkında yeterli bilgiye sahip olmadığı gibi durumlarda kolaylıkla kullanılabilmektedir. İteratif bir biçimde çözüm aranmaktadır. Ardı ardına yapılan yinelemeler sonucunda uzlaşık çözüme ulaşılır. STEP yönteminde uzlaşık çözüme amaç fonksiyonu sayısından daha az sayıda yineleme ile ulaşılır. Yöntem, en iyilik kavramının parametrik yorumuna dayanmaktadır. l amaç fonksiyonu sayısı, m yineleme sayısı olmak üzere (m l ) bu yöntem ile uzlaşık çözümün elde edilmesi iki aşamada olmaktadır. Bu aşamalar:

i. Hesaplama aşaması ii. Karar aşaması

i. Hesaplama Aşaması

Öncelikli olarak alternatif çözümler tablosu oluşturulur. Kısıtlar ile birlikte her bir amaç fonksiyonu ayrı ayrı incelenir. Amaç fonksiyon türü minimizasyon olursa, maksimizasyon olacak biçimde yeniden düzenlenir. Her bir amaç fonksiyonu ayrı bir d.p.p. olarak çözümlenir.

 ^ ^ ^

 



max f_i _j _j , i 1,2,..., ,l j 1,2,...,n

A S

X c X X b X X 0

 







1 1

1

2 2

1

max

max . . . max

n j j j

n

j j

j

n

l lj j

j

f

f S

X c X

X

 







1 1

1

max

n

j j

j

f S

X c X

X

 







2 2

1

max

n

j j

j

f S

X c X

X …  





1

max

n

l lj j

j

f S

X c X

X

*

X1, f₁^* X^*₂, f₂^* … ^*

Xl, f_l^*

(2)

2

Elde edilen optimal çözümler (ideal çözümler) yardımıyla, Alternatif Çözümler Tablosu (Ödemeler Matrisi) oluşturulur.

1 2

1 1* 12 1 1

2 21 2* 2 2

1 2 *

... ...

. . . . . . .

... ...

. . . . . . .

... ...

j l

j j j j jl

l l l lj l

f f f f

f f f f f

Burada, f , j. amaç fonksiyonunun en iyilenmesi sonucu elde edilen ideal çözümün l. amaç _jl fonksiyonundaki değeridir. Ödemeler matrisi oluşturulduktan sonra bir model kurulur.

 ^ 



   



*

min

, 1,2,...,

0

j j j

m

f f j l

X X

X (1)

: İdeal çözüme uzaklığın göreceli önem katsayısı

_j: j. amaç foksiyonuna karşılık gelen ağırlık, j1,2,...,l

 



*

j j

f f X : İdeal çözüm ile en büyük fark , j1,2,...,l Xm: m. yinelemedeki kısıt kümesi





 

1 j

j l

j j

,



 

1

l j j

. (2)

(3)

3

 ^



  

  

    

  

 

  

   

 

   

   

  

  





* min

*

2 1

min *

* min

2 1

1 , 0

j j

n j j

i i j

j j

n j j

i i

f f

c

f f

c

, j1,2,...,l (3)

ii. Karar Aşaması

m. yinelemede bulunan çözümün amaç fonksiyon değeri ideal çözüm ile karşılaştırılmak üzere karar vericiye sunulur. Eğer, bazı amaçlar tatminkar, diğerleri değil ise, karar vericiden tatminkar olunan amaçtan tatminkar olunmayan amacın lehine fedakarlık yapılması istenir.

Bu fedakarlık,  kadar tanımlanan bir büyüklük ölçüsü olacaktır. Daha sonra kısıt kümesi yeniden tanımlanarak (m+1). yinelemeye geçilir.

   





    

 



1 ,

m

m m

i

m j

X

X f f z i j

f f

X X

(4)

Tatminkar olunan amacın  ağırlık değeri sıfır olarak alınır ve (m+1). yinelemeye devam edilir.

STEP Yöntemi Algoritma Adımları

Adım 1: Ödemeler matrisi oluşturulur. Her amaç fonksiyonu için f , _j^* j1,2,...,l hesaplanır.

Adım 2: Her amaç foksiyonu için Eşitlik (2) ve Eşitlik (3) kullanılarak, _j ve _j, j1,2,...,l hesaplanır.

Adım 3: Eşitlik (1) ile tanımlı model çözülür. Modelin çözümü sonucunda, X çözümü (m. ^m yinelemedeki çözüm) elde edilir.

Adım 4: Karar vericiye X^m çözümü sonucunda her bir amaç fonksiyonunun aldığı değerler gösterilir. Burada iki durum söz konusudur. Karar verici süreci beğendiyse sürece son

(4)

4

verilir. Karar verici süreci tatminkar bulmadıysa, yineleme sayısı artırılarak Adım 5’ e geçilir.

Adım 5: Karar verici tatminkar olan f , _j^* j1,2,...,l amacından z sapmasını belirler ve Adım 6’ ya geçilir. Eğer karar verici böyle bir z sapması belirleyemiyorsa bu yöntem ile model çözülemez. Farklı yöntemlerin denenmesi gerekir.

Adım 6: Probleme yeni bir uygun çözüm uzayı tanımlanarak, hesaplama aşamasına geçilir.

Not: Burada, “Adım1, Adım2, Adım3” hesaplama aşamaları olup, “Adım4, Adım5” karar aşamalarıdır.

Örnek:

  

  

  

 

 

1 1

2 1 2

1 2

1 2 0 2

1 2

max

max 4

2 800

600 300

, 0

Z X

Z X X

X X

X X X X

biçiminde tanımlı çok amaçlı modele ilişkin uzlaşık çözümü STEP yöntemi ile elde ediniz.

Çözüm:

Her bir amaç fonksiyonu için ayrı ayrı çözüm yapılarak, optimal çözümler elde edilir.



¹ ⁰ ¹

max Z X

X X

 



*

1 600 0

X , f₁^*600

 

2 1 2

0

max Z X 4X

X X

 



*

2 200 300

X , f₂^*1400

Ödemeler Matrisi

f 1 f ₂ f 1 600 Z12 = 600 f 2 Z21 =200 1400

(5)

5 Hesaplama Aşaması

 

*

1 600 0

f olduğundan,   ^ ^^  ^^ ^ ^  ^

* min

1 1

1 * 2 2 2 2

1 1 2

1 600 200 1

0.6667

600 1 0

f f

f c c

.

 

*

2 1400 0

f olduğundan,   ^ ^^  ^^ ^ ^  ^

* min

2 2

2 * 2 2 2 2

2 1 2

1 1400 600 1

0.1386

1400 1 4

f f

f c c .



 

 

   

 

        

 

1 1

1 2

2 2 2 1

1 2

0.6667

0.828 0.6667 0.1386

0.1386

0.172 , ( 1 0.172)

0.6667 0.1386

  

 

  



  

   

  

1

1 2

0

min

600 0.828

1400 4 0.172

, 0

X

X X X

X X

 



* 497.57 102.42

X

 



* 497.57 907.28 f

^*84.7714

Elde edilen uzlaşık çözüm karar vericiye sunulur. Karar verici bu çözümü ideal çözüm vektörü olan ^f^*^^{600 1400} ile karşılaştırır. Karar verici bu çözümü tatminkar bulursa, elde edilen süreç tamamlanır. Çözüm, f^*^497.57 907.28 olarak değerlendirilir. Karar vericinin bu çözümü tatminkar bulmadığı durumda, hangi amaç fonksiyonundan fedakarlık yapacağını çözümleyiciye bildirir. Bu problem için 1. amaç fonksiyonu değeri olan 497.57’ den, 2. amaç fonksiyonu lehine 15 br lik bir fedakarlık yaptığını kabul edelim. Bu durumda, 2. yineleme için yeniden kısıt kümesi (X²) tanımlanır.

  



  

 



1 2

497.57 15 907.28 X

X f

f X

X

Burada, 1. amaç fonksiyonundan fedakarlık yapıldığı için  ₁ 0 olarak alınır.  ₂ 1 dir.

(6)

6

 



  

   

 

  

1

1 2

0

1

1 2

min

600 0

1400 4 1

, 0

482.57

4 907.28

X

X X

X

Ödünleşim Analizi

f den sapmalar 1 f ₁ f ₂ _X^* ^*

 z₁ 0 497.57 907.28 [497.57 102.42] 492.71

 z₂ 5 492.57 922.28 [492.57 107.42] 477.71

 z₃ 10 487.57 937.28 [487.57 112.42] 462.71

 z₄ 15 482.57 952.28 [482.57 117.42] 447.71

 z₅ 20 477.57 967.28 [477.57 122.42] 432.71