134)4()2()(

Makine Mühendisliği Bölümü

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI 10.11.2018 Süre: 70 dakika

Yazı, insanın okuması içindir. Okunaklı, yormayan ve anlaşılır ifadelerle yazmanız insana değer verdiğinizi gösterir.

1) Transfer fonksiyonu

^{( 4 )}  ^{4 13} 

) 2 ) (

(







 

s s s

s s K

T

a) Kutup ve sıfırları karmaşık “s” düzleminde gösteriniz. (7 puan)

b) Giriş sinyalinin frekansı sıfıra doğru azaltıldıkça sistemin kazancı mutlak değerce 3’e yakınsıyor.

0

K olduğuna göre K kaçtır? (5 puan) c) Sistem kararlı mıdır? (5 puan)

d) Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (8 puan)

2) Aşağıdaki iki sistemden istediğiniz birinin,
 = () ()⁄ transfer fonksiyonunu ve giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz. (25 puan)

3) Transfer fonksiyonu

3 4 ) 2

(



  s

s s

H

௕(0^ା) ve ௕(∞) değerleri belli olsun. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı kaça yakınsar?

(25 puan)

4) Yandaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %8 ve %2’lik durulma zamanı ௗ = 2 saniye isteniyor.

Buna göre K ve a ne olmalıdır? Bu durumda yükselme zamanı ௬ , sönüm katsayısı  , tepe zamanı ( ௣) ne olur? (25 puan)

 ) 4 2 (% 

td

d

t



  



d

t





 



   

n

cos

BAŞARILAR …

Makine Mühendisliği Bölümü

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI 10.11.2018

1) a) Payın tek kökü, yani bir tane sıfır vardır: z2 . Paydanın ise 3 kökü, yani 3 kutbu vardır: p1 4,

3

3 2

,

2 j

p  m . Yanda “s” düzleminde gösterilmiştir.

b) Giriş sinyalinin frekansı  için mutlak değerce kazanç j

s  transfer fonksiyonda yazılıp T( j ) şeklinde bulunur.

0



 _için s0 olacağından sistemin kazancı

  ^{52 3}

2 13

4 )

4 (

) 2 lim (

) 0

(

0

 

 





 



K s

s s

s T K

s

ve _{K }⁰ olduğuna göre K = 78

c) Sistem kararlıdır, çünkü bütün kutuplar negatif reel kısımlıdır, yani sol yarı bölgededir. Sağ yarı bölgede sıfır olmasının kararlılığa zararı yoktur.

d) 8 29 52

2 )

( ) ) (

( _{3 2}







 

 s s s

K Ks s

U s Y s

T ^





s çarpanı zaman uzayında türeve karşılık gelir: &y&&(t)8&y&(t)29y&(t)52y(t)Ku&(t)2Ku(t)

2) Mekanik sistemde: ^J&&^Tk ^b& ^{ J}&^y&^by&^{kyu }





k bs Js s U

s Y





 ₂ 1 )

( ) (

Elektrik devresinde ise paralel kolun gerilimi Y(s) olup gerilim bölücüden Y(s)=U(s)⸱(ortadaki paralel kolun empedansı) / (toplam empedans)

Ortadaki paralel kolun empedansı

s C R

R R

sC sC

R

2 2

2

2 2

2 2

1 1



 olduğundan,





s C R s C R s C R

s C R s

U s s Y

U R s C R R sC

s C R R s

Y

2 2 1

1 1 2 2 2

1 2

1 2 2 2 1

2 2 2

1 1

) (

) ) (

( 1

1 ) 1 (

























 





s C R C R C R s C C R R

s C R s

U s

Y _{1 2 1 2}&& _{1 1 2 1 2 2} & _{2 1}&

2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2

1 )

( )

(      











3) ௕0^ା = ∞ = 2 , ௕+∞ = 0 = 4 3⁄ , kutup = -3

→ ௕  = ^௕+∞ + ^௕0^ା − ^௕+∞ ^ିଷ௧ = ^ସ

ଷ+2 −^ସ_ଷ ^ିଷ௧

௕  =^ସାଶ௘_ଷ^షయ೟

Veya

3 3 2 3 4 1 3

4 ) 2

(

 



 

 

s s

s s s

Yb ’ün ters Laplace

dönüşümüyle de ௕  bulunabilirdi. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı =

∞ = 2 olur.

4) Geribeslemeli sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu

2 2

2 2

2 2

1 2 ) (

) (

n n

s s

K as s

K as

s K

as s

K s

U s Y









 



 

 

 

Yani _n  K ,  a 2_. 4 2s 2s ¹ 2 2s ¹

) 2

(%     ^  a  ^

td 



s 1

4 ^ a















1 2

526 , 2 ) 08 . 0 ln(

ln



M  ₂

2 2

646 1 , 526 0 , 2





    



 





2 1

2 0,627 2s 0,627 3,19rad s

646 , 1 646 ,

0       n  n    ^   K n

2 2 s rad 2 ,

10 K

rad/s 2,49 rad/s 627 , 0 1 19 , 3

1 ²   ² 

 

_{d n}

rad 894 , 0 2 , 51 627

, 0

cos    

   ^o



௬ =^{గି଴,଼ଽସ}

ଶ,ସଽ s = 0,90 s ௣ = ^గ

ଶ,ସଽs = 1,26 s

(Burada eğik yazılan “s” Laplace değişkeni, düz yazılan “s” saniye anlamında kullanıldı.)

SMOK-V-2018-CA-2