Elemanları Fibonacci ve Lucas sayılarından oluşan rCirculant matrislerin determinantları ve tersleri

T.C.

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Elemanları Fibonacci ve Lucas Sayılarından OluĢan rCirculant Matrislerin Determinantları

ve Tersleri Emrullah KIRKLAR YÜKSEK LĠSANS TEZĠ MATEMATĠK Anabilim Dalını

Temmuz-2013 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

ÖZET

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Elemanları Fibonacci ve Lucas Sayılarından OluĢan rCirculant Matrislerin Determinantları ve Tersleri

Emrullah KIRKLAR

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü MATEMATĠK Anabilim Dalı

DanıĢman: Prof. Dr. DURMUġ BOZKURT 2013, 27 Sayfa

Jüri

Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN Yrd. Doç. Dr. M. Emir KÖKSAL

Bu çalışmada elemanları Fibonacci ve Lucas sayılarından oluşan oluşan rcirculant matrislerin determinantlarını formülüze ettik. Bunu yaparken Fibonacci, Lucas ve rcirculant matrislerin matrislerin

özelliklerinden faydalandık. Daha sonra rcirculant matrislerin tersinin de rcirculant matris olduğunu gösterdik. Son olarak elemanları Fibonacci ve Lucas sayılarından oluşan oluşan rcirculant matrislerin terslerini yine Fibonacci, Lucas ve rcirculant matrislerin özelliklerini kullanarak formülize ettik.

Anahtar Kelimeler: circulant matris, determinant, Fibonacci sayıları, matris tersleri, Lucas sayıları, rcirculant matrisler.

ABSTRACT

MS THESIS

On the determinants and inverses of rCirculant matrices with Fibonacci and Lucas numbers

Emrullah KIRKLAR

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE

Advisor: Prof. Dr. DURMUġ BOZKURT 2013, 27 Pages

Jury

Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN

Asst. Prof. Dr. M. Emir KÖKSAL

Let n be a positive integer such that n2 and E_n rcirc F F( ,_{1 2},...,F_n) and

1 2

( , ,..., )

n n

K rcirc L L L be the rcirculant matrices where F_n and L_n are the nth Fibonacci and Lucas numbers, respectively. The determinants of E_n and K_n are obtained in terms of the Fibonacci and Lucas numbers. Afterwards, we also derive the inverses of the matrices E_n and K_n.

Keywords: circulant matrices, determinants, Fibonacci numbers, inverses, Lucas numbers,

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın her aşamasında ilgi, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen danışmanım Sayın Prof. Dr. Durmuş BOZKURT’a teşekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim. Ayrıca Arş. Gör. Fatih YILMAZ’a, fikir ve düşüncelerini paylaştığı için teşekkür ederim.

Emrullah KIRKLAR KONYA-2013

ĠÇĠNDEKĠLER

ÖZET ... iv

ABSTRACT ... v

ÖNSÖZ ... vi

ĠÇĠNDEKĠLER ... vii

SĠMGELER VE KISALTMALAR ... viii

1. GĠRĠġ ... 1

1.1. Temel Tanımlar ve Teoremler ... 1

1.1.1. Fibonacci ve Lucas Sayıları ... 1

1.1.2. Circulant matrisler………...………...……….3

1.1.3. rCirculant matrisler ……….5

1.1.4. rCirculant matrislerin tersleri………..………5

2. ELEMANLARI FĠBONACCĠ VE LUCAS SAYILARINDAN OLUġAN rCĠRCULANT MATRĠSLERĠN DETERMĠNANTLARI VE TERSLERĠ ………6

2.1. Teorem………6 2.2. Teorem………8 2.3.Teorem….………..10 2.4. Teorem………..13 3. ÖRNEKLER………..16 4. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER………..25 4.1 Sonuçlar……….25 4.2 Öneriler………..25 KAYNAKLAR………...26 ÖZGEÇMĠġ………...27

SĠMGELER VE KISALTMALAR

Simgeler

n

F : Fibonacci sayı dizisinin n elemanı . ( )

diag A : köşegen matris n

L : Lucas sayı dizisinin n elemanı . rcirc : rcirculant matris

VY : V ve Y matrislerinin direkt toplamı

n

C : circulant matris 1

n

1. GĠRĠġ

1.1. Temel Tanımlar ve Teoremler

1.1.1. Fibonacci ve Lucas Sayıları

p ve q keyfi tamsayılar olmak üzere 2

0

x px q _{denkleminin kökleri de}  , olsun. 2 4 d  p  q için ( ) ( ) , 2 2 p d p d      , , p q d         olur. 0 1 2 1 2 {wn} { w a b p qn( , ; , )} { w 0,w a w, b w, n pwn qwn (n2)}

{wn} genel sayı dizisini tanımlayalım. d 0 ve ,

b a a b A  B            için n n n w A B

olur. {w dizisinde _n} a1,b1,p1,q 1 _alınırsa

0 1 2 1 2

{wn} { wn(1,1;1, 1)} {  w 0,w 1,w 1,wn wn wn (n2)} { } Fn

Fibonacci sayı dizisi elde edilir [1].

Benzer şekilde { }w dizisinde n a2,b1,p1,q 1 alınırsa

0 1 2 1 2

{wn} { wn(2,1;1, 1)} {  w 0,w 2,w 1,wnwn wn (n2)} { } Ln

1.1.1.1. Binet formülleri

Fibonacci sayı dizisi için karakteristik denklem 2

1 0 x   x _{olup, bu denklemin} kökleri 1 5 2    ve 1 5 2

   dir. Buradan açıkça görülüyor ki, 1 ,

     1 ,   5 dir. Diğer taraftan

1 0 2 2 1 3 2 2 3 2 4 3 2 4 3 .1 0 (1 ) 1 ( 1) 1 2 1 (2 1) 2 2( 1) 3 2 F F F F aF F F F                                                                       ve 1 0 2 2 1 3 2 2 3 2 4 3 2 4 3 .1 0 (1 ) 1 ( 1) 1 2 1 (2 1) 2 2( 1) 3 2 F F F F F F F F                                                                       

eşitlikleri elde edilir [11]. Dolaysıyla aşağıdaki lemmalar yazılabilir. Lemma 1.1.1.1[11]: n0 için n ₁ n n F F    _ dir. Lemma 1.1.1.2[11]: n0 için n ₁ n n F F     dir.

Teorem 1.1.1.1[11] (Fibonacci Sayıları için Binet Formülü): 2

1 0

x   x

denkleminin pozitif kökü ve negatif kökü de  olsun. n1 _için

n n n F        eşitliği geçerlidir.

Teorem1.1.1.2[11] (Lucas Sayıları için Binet Formülü): 2

1 0

x   x

denkleminin pozitif kökü ve negatif kökü  ise n1 _için

n n

n

L  

1.1.2. Circulant matrisler Tanım 1.1.2.1 [5]: 0 1 2 1 1 0 1 2 2 1 0 3 0 1 2 1 1 2 3 0 . . . . . . . . . ( , , ,..., ) . . . . . . . . . . . . . . . n n n n n n n n c c c c c c c c c c c c C Circ c c c c c c c c                   _{  }          

şeklinde tanımlanan matrise circulant matris denir. Genel anlamda n n mertebeli bir circulant matris n elemanlı bir vektör ile temsil edilir ve bu vektör matrisin ilk satırını oluşturur. Böylece takip eden satırlar önceki satırın sağa doğru bir basamak kaydırılması ile elde edilir. Bu tip circulant matrislere aynı zamanda 1- circulant matris de denir. Bir circulant matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanları eşittir. Aynı şekilde esas köşegene parelel köşegenler üzerindeki elemanlar da birbirine eşittir. Dolayısıyla her circulant matris aynı zamanda Toeplitz matrisidir. Fakat bunun tersi her zaman doğru değildir.

1.1.2.1. Circulant matrislerin özellikleri

i) A ve B aynı mertebeli iki circulant matris ve a ve b iki skaler olmak üzere

aA+bB matrisi de bir circulant matristir.

Örnek: 1 2 , 2 1 A  _   3 4 , 4 3 B  _   a2 ve b3 olsun. 1.2 2.2 3.3 4.3 11 16 2.2 1.2 4.3 3.3 16 11 aA bB _  _{ }  _{ } _      

olup elde edilen matris de bir circulant matristir.

ii) Aynı mertebeli iki circulant matrisin çarpımı yine bir circulant matristir.

Örnek: 5 6 6 5 A  _   ve 4 3 3 4 B  _

  circulant matrisleri için

5.4 6.3 5.3 6.4 38 39 6.4 5.3 6.3 5.4 39 38

AB_    _{ } _

 

   

iii) Aynı mertebeli iki circulant matrisin çarpımı değişme özelliğine sahiptir. Örnek: 5 6 6 5 A  _   ve 4 3 3 4 B  _

  circulant matrisleri için

5.4 6.3 5.3 6.4 38 39 4 3 5 6 4.5 3.6 4.6 3.5

6.4 5.3 6.3 5.4 39 38 3 4 6 5 3.5 4.6 3.6 4.5

AB_   _{ }   _{ } _{ }   _{ }   _BA

   

         

olup değişme özeliği mevcuttur.

iv) Bir circulant matrisin transpozesi de circulant matristir.

Örnek: a b c A c a b b c a            ise T a b c A c a b A b c a     _{ }    

olup elde edilen matris de bir circulant matristir.

v) İlk satırı C_n ( , ,...,c c_{0 1} c_n1) olan n n _{mertebeli circulant matris ve} w _k, 1 0

n

w   denkleminin farklı çözümlerinden biri olmak üzere circulant matrisin öz değerleri 2 1 0 1 2 1 ( 0,1, 2,..., 1) n k a a wk a wk a wn k k n          

şeklindedir [5]. Bu öz değerlere karşılık gelen öz vektörler

2 1

(1, , ,..., n )T

i k k k

X  w w w

formülü ile verilir [5]. Bu circulant matrisin determinantı ve tersi 2 1 0 ( ) , i n i n i i g x a x w e     _{ }    



 olmak üzere 1 0 det ( ) n r n r C g w   



ve 1 1 0 1 ( ) . ( 0,1,..., 1) n r rs s r b g w w s n n     



  olmak üzere 1 0 1 1 ( , ,..., ) n n C Circ b b b

Lemma 1.1.2.1.1[7]: C_n circ c c( , ,...,_{0 1} c_n1) circulant matrisi verilsin. Bu taktirde; 1) C_n matrisinin terslenebilir olması için gerek ve yeter şart

1 1 ( ) n j j j f x a x   



ve 2 i n w e         olmak üzere ( k) 0 ( 0,1,..., 1) f w  k  n olmasıdır. 2) C_n terslenebilir bir matris ve tersi de 1

n C ise, 1 n C de circulant matristir. 1.1.3. rCirculant matrisler 0 1 2 1 1 0 1 2 2 1 0 3 0 1 2 1 1 2 3 0 . . . . . . . . . ( , , ,..., ) . . . . . . . . . . . . . . . n n n n n n n c c c c rc c c c rc rc c c A rcirc c c c c rc rc rc c                   _{  }          

şeklinde tanımlanan matrise rcirculant matris denir [8]. Bir rcirculant matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanları eşittir. Aynı şekilde esas köşegene parelel köşegenler üzerindeki elemanlar da birbirine eşittir. Dolayısıyla her rcirculant matris aynı zamanda Toeplitz matrisidir. Fakat bunun tersi her zaman doğru değildir. Eğer biz “r” katsayısını

1

r alırsak, rcirculant matris, circulant matris olur. 1.1.4. rCirculant matrislerin tersleri

Tanımdan da görüldüğü gibi, rcirculant matrisler aynı zamanda bir Toeplitz matristir. [9]’deki teoremden anlaşıldığı üzere, rcirculant tipindeki Toeplitz matrislerin tersi de Toeplitz matristir. [3]’deki Gohberg ve Semencul’un teoreminden de elde ettiğimiz Toeplitz matrisin rcirculant matris olduğu görülür.

2. ELEMANLARI FĠBONACCĠ VE LUCAS SAYILARINDAN OLUġAN rCĠRCULANT MATRĠSLERĠN DETERMĠNANTLARI VE TERSLERĠ

2.1. Teorem: E_n rcirc F F( ,_{1 2},...,F_n) rcirculant matris olsun. E matrisinin _n

determinantı; 1 1 n F r F_  ve ( 1) 2 1 1 1 1 . . n k n n n n k k n rF f F rF r F F rF           _{ }   



olmak üzere 2 1 1 1 det(E_n)F f. .(_n F rF_n )n dir.

Ġspat: n1 için det(E1) 1 olduğu açıktır. n1 için

2 1 1 3 1 _{1 1} 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 _{0 0 1 0} , 0 1 0 1 1 0 _{0 1 0 0} 0 1 1 1 0 1 0 0 0 n n n n n n n n rF r F rF r rF M N _{F rF} rF F rF            _{   } _  _{   }   _{ }  _{ }    _{ }  _{ }  _   _     _{       }     _{ }   _{ }  _  _   _     _{  }         _{ }                   _  şeklinde M ve N gibi iki tane ₁ n n matris alalım. Bu takdirde

( 1) 2 1 1 _{1 1} n k n n n n k k _n rF f F rF rF F rF     _      _{ }   



ve ( 1) 1 1 1 _{1 1} n k n n n k k _n rF f F F rF      _     _{ }   



olmak üzere 1 1 2 3 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n F f F F F F f rF rF rF rF F rF ME N rF F rF rF F rF rF F rF                     _   _  _        _{ }         

eşitliği yazılır. Bu eşitliğin her iki tarafının determinantı alınırsa 2

1 1 1 1

det det det . .( )n

n n n

olur. ( 1)( 2) 2 1 det det ( 1) n n M N      olduğundan 2 1 1 1 det . .( )n n n n E F f FrF_ 

olur ki, ispat tamamlanır.

Lemma 2.1: 1 1 n F r F_  için _, 2 , 1 n i j _{i j} P p        matrisi 1 1 , , , 1 0 , n i j n F rF i j p rF i j diğer durumlarda       _    

şeklinde (n  2) (n 2) tipinde bir matris olsun. Bu takdirde P matrisinin tersi olan 2 1 , _{, 1} 'i j n_{i j} P  p _ _ matrisi 1 1 1 ( ) , ( ) ' 0 , i j n i j n ij rF i j F rF p diğer durumlarda      _  _     formülüyle verilir.

Ġspat: Kabul edelim ki, P nin tersi 1

P olsun. olsun. i j _için c_ij 0 olduğu açıkça görülüyor. i j _ve 1 1 n F r F_  için 1 1 1 1 1 . ' ( ). 1 ( ) ii ii ii n n c p p F rF F rF        ve i j 1 _ve F₁rF_n10 için 2 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ' . ' . ' ( ) ( ) ( ). ( ). 0 ( ) ( ) n ij ik kj ii i j ii ij k i j i j n n n i j n i j n n c p p p p p p rF rF rF F rF F rF F rF                       



olur. O halde 1 2 n

PP I _ olur ki, istenen ters matris elde edilmiş olur. Benzer şekilde 1

2

n

2.2. Teorem: n2 _için Enrcirc F F( ,1 2,...,Fn) rcirculant matrisinin tersi; 1 1 n F r F_  ve ( 1) 2 1 1 _{1 1} . n k n n n n k k _n rF f F rF r F F rF     _      _{ }   



olmak üzere 1 1 2 2 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1 1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 , 1 . , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ... , ( ) ( ) ( ) i i n n n i n n i n n i i i i n n n n n n n n n n n n F rF F rF E rcirc r r f F rF F rF F rF rF rF rF F rF F rF F rF          _  _{ }          _{ }                _    _





dir. Ġspat: ( 1) 2 1 1 _{1 1} . n k n n n n k k _n rF f F rF r F F rF     _      _{ }   



ve ( 1) 1 1 1 _{1 1} n k n n n k k _n rF f F F rF      _     _{ }   



olmak üzere 2 1 3 2 1 2 2 3 1 2 . . . 1 . . . 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n r f r f r f f F F F F F F f f f r F r F r F f f f N           _{    }       _{  }                              olsun. O halde 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n F f F rF rF F rF M E N N rF rF F rF rF F rF               _{ }      _       _{ }                        

olur. V diag F f( ,_{1 n}) ve VY,V ileYnin direkt toplamı olmak üzere

1 2

n

ME N N  V Y

olarak yazılabilir. NN N1 2 alınırsa,

1 1 1

( )

n

E N V Y M

olarak elde edilir. N matrisinin son satırı

2 3 2 1 0,1, n , n ,..., , n n n n rF rF rF rF f f f f            

olur. E , rcirculant matris olduğundan _n 1

n

E matrisi de rcirculant olacaktır [3,4,9]. 1

1 2 ( , ,..., )

n n

E rcirc x x x

alınırsa, Lemma 2.1’den ve 1 1 1

( )

n

E N V Y M eşitliğinden faydalanılarak 1

n E rcirculant matrisinin son satır elemanları;

2 2 1 1 2 1 _{1 1} ( ) . , ( ) i n n i n i i n n n r r F rF r x f f F rF      _    



1 3 1 1 . , ( ) n n rF r x f F rF_    1 2 3 1 4 1 _{1 1 1 1} ( ) . , ( ) ( ) i i n i i n n n n r F rF rF r x f F rF f F rF    _{ }     



1 1 3 2 4 3 1 5 1 _{1 1} 1 _{1 1 1 1} ( ) ( ) . , ( ) ( ) ( ) i i i n i n i i i i n n n n n n r F rF r F rF rF r x f F rF f F rF f F F      _  _{ }       





 1 1 1 2 3 4 1 2 3 1 _{1 1} 1 _{1 1} 1 _{1 1} ( ) ( ) ( ) . , ( ) ( ) ( ) i i i n n n n i n n i n n i n n i i i i i i n n n n n n r F rF r F rF r F rF r x f F rF f F rF f F rF              _  _  _       







1 1 2 3 1 2 1 1 _{1 1} 1 _{1 1} 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i n n n i n n i n i i i i n n n n n r F rF r F rF x f f F rF f F rF          _  _     





olur. j1, 2,...,n2 _için 1 1 ( ) 1 _{1 1} ( ) ( ) i j j i n j n i i _n F rF B F rF     _  



olsun. O halde 1 2 ( 2) (1) 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) i i n n n n i i n n n F F rF rF B B F rF F rF F rF            



 

1 1 3 1 2 3 3 ( 2) ( 3) 1 2 1 1 2 2 1 _{1 1} 1 _{1 1 1 1} 1 _{1 1} 1 2 1 _{1 1} ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i n i n n n n n n i n n i n n n i n i n n n i i n i i _n i _{n n} i _n i n n i n i i _n F rF F rF F rF F F rF B B F rF F rF F rF F rF F rF F rF                    _  _{ }  _     _            









ve 1 1 1 2 1 3 2 1 ( 2) ( 1) ( ) 1 _{1 1} 1 _{1 1} 1 _{1 1} 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i i i j j j j i n j i n j i n j j j n n n i i i i _n i _n i _n j j j n n n j j j n n n j i j F rF F rF F rF B B B F rF F rF F rF F rF F rF F rF F rF F rF F rF F F               _  _  _                           







1 1 1 _{1 1} 1 2 1 1 )( ) ( ) ( ) , ( 1, 2,..., 4) ( ) i j i j i n i i _n j n j n F rF F rF rF j n F rF     _         



olur. Buradan da ( 2) ( 3) ( 2) (1) ( 2) (1) 1 (3) ( 2) (1) ( 2) ( 3) ( 4) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , ( ) ( ) 1 1 . , 1 . , ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n i n i n i n n i n i i i n n n rB rB rB B B B E rcirc f f f f B B B B B B f f F rF F rF rcirc r r f F rF F rF                       _           _       



  2 1 _{1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 , ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) n i _n n n n n n n n n F rF rF rF rF F rF F rF F rF   _           _         _    _



 olur ki, bu da istenendir.

2.3.Teorem: L , k. Lucas sayısı olmak üzere _k K_nrCirc L L( ,_{1 2},...,L_n) rcirculant matrisinin determinantı 1 1 n L r L_  ve ( 1) 2 1 2 1 1 _{1 1} 2 3 ( 3 ) n k n n n n k k k _n rL l L rL r L L L rL       _        _{ }   



için 2 1 1 det( ) .( )n n n n K l L rL_  dir.

Ġspat: n1 det(K1) 1 dir. n1 için 1 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 r r U   _        _{ }            _                 ve 2 1 1 3 1 _{1 1} 1 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 n n n n n n n n rL L rL rL Z _{L rL} rL L rL                  _{  }     _{  }   _{ }  _{    }      _{  }   _{ }                      olsun. Bu takdirde ( 1) 2 1 2 1 1 _{1 1} 2 3 ( 3 ) n k n n n n k k k _n rL l L rL r L L L rL       _        _{ }   



ve ( 1) 1 1 1 _{1 1} 2 n k n n n k k _n rL l L L rL      _      _{ }   



için 1 1 2 3 2 1 1 2 4 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 n n n n n n n n n n n n n n n n L l L L L L l r L L r L L r L L r L L L rL UK Z rL L rL rL L rL rL L rL              _{   }         _   _  _        _{ }         

olur. Her iki tarafın determinantı alınırsa

2

1 1 1 1

det(UK Z_n )det(K_n)L l. .(_n L rL_n)n dir.

( 1)( 2) 2 1 det det ( 1) n n U Z      olduğundan 2 1 1 1 det( ) . .( )n n n n K L l L rL_  olur ki, ispat tamamlanır.

Lemma 2.2: 1 1 , , 2 , 1 0 , n i j n L rL i j h rL i j diğer durumlarda      _      olmak üzere _, 2 , 1 n i j _{i j} H    h _ ve 1 1 n L r L_

 için (n  2) (n 2) tipinde bir matris olsun. H matrisinin tersi vardır ve 1 2

, 1 [ ' ]n ij i j H  h  tersi 1 1 1 ( 2) , ( ) ' 0 , i j n i j n ij rL i j L rL h diğer durumlarda       _  _     formülüyle verilir. Ġspat: 2 1 . ' n ij ik kj k t h h  





olsun. i j için t_ij 0 dır. i j _için

1 1 1 1 1 . ' ( ). 1 ( ) ii ii ii n n t h h L rL L rL        ve i j 1 için 2 , 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ' . ' . ' ( 2) ( 2) (2 ). ( ). 0 ( ) ( ) n ij ik kj i i i j ii ij k i j i j n n n i j n i j n n t h h h h h h rL rL rL L rL L rL L rL                         



olur ki, 1 2 n

HH I _ istenendir. Benzer şekilde 1

2

n

2.4. Teorem: K_n rcirc L L( ,_{1 2},...,L_n) _{rcirculant matrisinin tersi;} 1 1 n L r L_  ve ( 1) 2 1 2 1 1 _{1 1} 2 3 .( 3 ) n k n n n n k k k _n rL l L rL r L L L rL       _        _{ }   



olmak üzere 1 1 2 2 1 2 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) 1 1 . , 3 , ( ) ( ) 5( 2) 5( 2) 5( 2) 5 , , , ,..., ( ) ( ) ( ) i i n n n i n i n n i n i n n i i i i n n n n n n n n n n n n L L rL L L rL K rcirc r r l L rL L rL rL rL rL L rL L rL L rL L rL              _  _              _{ }                  _





  dir. Ġspat: ( 1) 2 1 2 1 1 _{1 1} 2 3 .( 3 ) n k n n n n k k k _n rL l L rL r L L L rL       _        _{ }   



ve ( 1) 1 1 1 _{1 1} 2 n k n n n k k _n rL l L L rL      _      _{ }   



olmak üzere 1 1 2 3 2 1 2 2 1 1 2 3 2 2 . .( 3 ) . .( 3 ) . .( 3 ) 1 3 3 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n l r L L l r L L l r L L l L L L l l l L L L L L L r r r l l l Z                _{    }                                         

olsun. O halde V diag L l( , )_{1 n} ve VD Vile Dnin direkt toplamı olmak üzere 1 2

n

UK Z Z  V D

yazabiliriz. Z Z Z_{1 2} olarak alınırsa,

1 1 1

( )

n

K Z V D U

elde edilir. Z matrisinin son satırı

1 2 1 2 3 .(3 ) .(3 ) .(3 ) 0,1, n n , n n , , n n n r L L r L L r L L l l l             

dir. K , rcirculant matris olduğundan _n 1

n

1

1 2 ( , ,..., )

n n

K rcirc y y y olsun. Lemma 2.2’den 1

n

K in son satır elemanları;

2 2 1 1 2 1 _{1 1} 3 ( 3 )( 2) . , ( ) i n n i n i n i i n n n r r L L rL r y l l L rL       _      



3 2 3 1 1 ( 3 ) , ( ) n n r L L ry l L rL_     1 2 3 2 5 4 4 1 1 1 1 1 ( 3 ) ( 3 )( 2) , ( ) ( ) i i i n i i n n n n r L L r L L rL ry l L rL l L rL            



 1 1 2 3 3 2 5 4 6 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3 ) ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) , ( ) ( ) ( ) i i i i n i i n i i i i n n n n n n r L L r L L rL r L L rL ry l L rL l L rL l L rL                    







  1 1 4 3 1 2 1 1 _{1 1} 1 _{1 1} 1 2 1 1 _{1 1} ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) ( ) ( ) ( 3 )( 2) , ( ) i i n n n i n i n n i n i n n i i i i n n n n i n n i n i n i i n n r L L rL r L L rL ry l L rL l L rL r L L rL l L rL             _  _       _            







1 1 3 2 1 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1} 1 ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) . ( ) ( ) i i n n n i n i n n i n i n i i i i n n n n n r L L rL r L L rL y l l L rL l L rL            _  _         





olarak elde edilir. j1, 2,...,n2 _için

1 3 2 ( ) 1 _{1 1} ( 3 )( 2) ( ) i j j i j i n j n i i _n L L rL T L rL       _    



olsun. Bu taktirde 1 2 (1) ( 2) 3 2 5 4 2 1 1 1 1 1 1 1 3 ( 3 )( 2) 5( 2) ( ) ( ) i i i n n n n i i n n n L L L L rL rL T T L L L rL L rL                



  1 1 3 2 ( 3) ( 2) 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1} 3 3 1 3 2 1 1 2 1 1 1 1 1 4 3 ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) ( ) ( ) ( 3 )( 2) ( 3 3 )( 2) ( ) ( ) ( 3 )( i i n n n n n i n i n n i n i n n n i i i _n i _n n n i n n i n i n i n i n n i i n n L L rL L L rL T T L rL L rL L L rL L L L L rL L rL L rL L L r              _  _                                  







3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 _{1 1} 2) ( 3 )( 2) ( ) ( ) ( 3 )( 2) , ( ) n n i n n i n i n n i i n n i n n i n i n i i _n L L L rL L rL L rL L L rL L rL                   _          





1 1 1 3 2 4 3 ( ) ( 1) ( 2) 1 _{1 1} 1 _{1 1} 1 2 5 4 1 _{1 1} 3 2 4 3 1 1 1 ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) ( ) ( ) ( 3 )( 2) ( ) ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) ( ) i i j j j i j i n j i j i n j j j n n n i i i _n i _n i j j i j i n i i _n j n n j n L L rL L L rL T T T L rL L rL L L rL L rL L L rL L L rL L rL               _  _        _                       







1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ( 3 )( 2) ( ) ( ) 5( 2) , ( 1, 2,..., 4) ( ) j j n j j n n j n j n L L rL L rL L rL rL j n L rL                   olur. Buradan da ( 3) ( 2) ( 2) (1) (1) 2 (1) ( 2) (3) ( 4) ( 3) ( 2) 1 1 2 2 1 1 1 _{1 1} 1 3 , , , , , , ( 3 )( 2) ( 3 )( 1 1 . , 3 . ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n i n n i n i n n i n i i i n n rT rT rT T T T T T T T T T K rcirc l l l l l l L L rL L L rcirc r r l L rL                  _            _  _        _     



 1 2 1 _{1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2) , ( ) 5( 2) 5( 2) 5( 2) 5 , , , , ( ) ( ) ( ) i n n i i _n n n n n n n n n n rL L rL rL rL rL L rL L rL L rL L rL    _          _              _{ }





3. ÖRNEKLER

Örnek 3.1: r2 için elemanları Fibonacci sayılarından oluşan E , rcirculant ₄

matrisinin determinantını hesaplayınız.

Çözüm: Bu problemi maple programı ile çözersek >

olur. Şimdi elde ettiğimiz formül ile sonuca gidelim.

2 4 2

1 1 1 4 1 4 1 5

det(E_n)F f. .(_n F rF_n )n  n 4 için det(E )F f. .(F2. )F 

( 1) 2 1 1 _{1 1} n k n n n n k k _n rF f F rF rF ise F rF     _      _{ }   



3 2 4 4 1 4 1 _{1 5} 2. 4 2 2. 2. 2. k k k F n ve r için f F F F F F          _{ }   



olur. Bu durumda det(E₄) f₄.( 9) 2dır.

2 4 6 6 49 5 2. 9 9 9 f    _ _{ }   _     olduğundan 2 4 49 det( ) .( 9) 441 9 E      olur.

Örnek 3.2: r3 için elemanları Fibonacci sayılarından oluşan E , rcirculant ₅

matrisinin determinantını hesaplayınız. Çözüm: Bu problemin maple çözümü >

212548

olur.

Şimdi elde ettiğimiz formül ile sonuca gidelim.

2 5 2

1 1 1 5 1 5 1 6

det(E_n)F f. .(_n FrF_n)n  n 5ve r3için det(E )F f. .(F3.F)  ( 1) 2 1 1 _{1 1} n k n n n n k k _n rF f F rF rF ise F rF     _      _{ }   



4 3 5 5 1 5 1 _{1 6} 3. 5 3 3. 3. 3. k k k F n ve r için f F F F F F          _{ }   



olur. Bu durumda det(E₅) f₅.( 23) 3 dır.

 

3 2 5 3 15 15 30 212548 1 3.5 3. 23 23 23 23 f    __{ } _ _   _         olduğundan 3 5 3 212548 det( ) .( 23) 212548 (23) E     olur.

Örnek 3.3: r4 için elemanları Lucas sayılarından oluşan K , rcirculant matrisinin ₃

determinantını hesaplayınız.

Çözüm: Problemin maple ile çözümü >

dır. Şimdi elde ettiğimiz formül ile sonuca gidelim.

2 3 2 1 1 3 3 1 4 det( ) .( )n 3 4 det( ) .( 4. ) n n n K l L rL_   n ve r için K l L  L  ( 1) 2 1 2 1 1 _{1 1} 2 3 .( 3 ) n k n n n n k k k _n rL l L rL r L L ise L rL       _        _{ }   



2 1 3 3 1 3 2 1 1 _{1 4} 4 2 3 4 3.4. 4.( 3 ) 4 k k k k L n ve r için l L L L L L L              _{ }   



olur. Bu durumda det(K₃)l₃.( 27) dır.

3 4.4 2 989 1 3.4.4 4.(4 3.3) 1 4.7 27 l     _  _     olduğundan det( ₃) 989.( 27) 989 27 K     olur.

Örnek 3.4: r2 için elemanları Lucas sayılarından oluşan K , rcirculant matrisinin ₄

determinantını hesaplayınız.

Çözüm: Problemin maple ile çözümü >

dir. Şimdi elde ettiğimiz formül ile istenen cevabı bulalım.

2 4 2 1 1 4 4 1 5 det( ) .( )n 4 2 det( ) .( 2. ) n n n K l L rL_   n ve r için K l L  L  ( 1) 2 1 2 1 1 _{1 1} 2 3 .( 3 ) n k n n n n k k k _n rL l L rL r L L ise L rL       _        _{ }   



3 2 4 4 1 4 2 1 1 _{1 5} 2 2 4 2 3.2. 2.( 3 ) 2 k k k k L n ve r için l L L L L L L              _{ }   



olur. Bu durumda 2 4 4 det(K )l .( 21) dır. 2 4 2 12 12 17001 1 3.2.7 2.(4 3.3) 2.(7 3.4) 21 21 (21) l     _ _   _ _       olduğundan 2 4 2 17001 det( ) .( 21) 17001 (21) K     olur.

Örnek 3.5: Örnek 3.1’deki E matrisinin tersini bulunuz. ₄

Çözüm: Problemin maple ile çözümü >

dir. Şimdi de elde ettiğimiz formülle cevabı bulalım.

1 1 2 2 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1 1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 , 1 , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ... , ( ) ( ) ( ) i i n n n i n n i n n i i i i n n n n n n n n n n n n F rF F rF E rcirc r r f F rF F rF F rF rF rF rF F rF F rF F rF          _  _{ }          _{ }                _    _





için





1 1 2 2 1 4 4 3 4 4 4 2 1 1 4 1 5 1 5 1 5 1 5 (2 ) (2 ) 2 1 1 1 2. , 1 2 , , ( 2 ) ( 2 ) 2 2 i i i i i i i i F F F F F E rcirc f F F F F F F F F            _    _  _   _  _  _   _{ } 





olur. Örnek 3.1’den ₄ 49 9 f   dur. 1 2 4 4 1 1 4 1 5 1 (2 ) 9 57 19 1 2. . ( 2 ) 49 81 147 i i i i F F x f F F     _{    }  _  _{ }  _{  }       



 1 2 3 4 2 1 4 1 5 4 1 (2 ) 1 2 12 9 87 29 1 2 1 ( 2 ) 9 81 49 81 147 i i i i F F x f F F f            _  _ _   _{ } _{ }        



 3 4 1 5 1 1 9 1 1 . 2 49 9 49 x f F F     _ _     



4



4 2 4 1 5 1 2 9 6 2 . 49 81 147 2 F x f F F  _{  }  _ _    

olup r2 için E , rcirculant matrisinin tersi ₄

1 4 1 2 3 4 19 29 1 2 147 147 49 147 4 19 29 1 147 147 147 49 ( , , , ) 2 4 19 29 49 147 147 147 58 2 4 19 147 49 147 147 E rcirc x x x x _{ }       _{ }     _{  } _{ }            olur.

Örnek 3.6: Örnek 3.2’deki E matrisinin tersini bulunuz. ₅

Çözüm: Problemin maple ile çözümü

Şimdi de elde ettiğimiz formülle cevabı bulalım. 1 1 2 2 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1 1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 , 1 , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ... , ( ) ( ) ( ) i i n n n i n n i n n i i i i n n n n n n n n n n n n F rF F rF E rcirc r r f F rF F rF F rF rF rF rF F rF F rF F rF          _  _{ }          _{ }                _    _





için 1 1 2 3 3 1 5 5 4 5 5 5 5 2 3 1 1 5 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 (3 ) (3 ) 3 (3 ) 1 1 1 3. , 1 3 , , , ( 3 ) ( 3 ) 3 ( 3 ) ( 3 ) i i i i i i i i F F F F F F E rcirc f F F F F F F F F F F               _  _   _  _  _  _      





olur. Örnek 3.2’den 5 3

212548 (23) f  tür. 1 3 3 5 5 1 2 3 3 1 5 1 6 5 (3 ) 1 1 3 30 225 (23) 8801 8801 1 3. . 1 3. . ( 3 ) 23 (23) (23) 212548 (23) 212548 i i i i F F x f F F f              _  _ _  _{ }  _ _{ }         



   1 3 3 4 5 2 2 3 3 1 5 1 6 5 1 (3 ) 1 2 15 225 (23) 14981 14981 1 3 1 3. . ( 3 ) 23 (23) (23) 212548 (23) 212548 i i i i F F x f F F f             _  _ _  _   _   _{ } 



   3 3 5 1 6 1 1 (23) 1 529 . 3 212548 23 212548 x f F F      _ _     3 5 4 2 2 5 1 6 3 1 (23) 15 345 . ( 3 ) 212548 (23) 212548 F x f F F      _ _     2 3 5 5 3 3 5 1 6 (3 ) 1 (23) 225 225 . ( 3 ) 212548 ( 23) 212548 F x f F F      _ _      

olup r3 için E , rcirculant matrisinin tersi ₅

1 5 1 2 3 4 5 8801 14981 529 345 225 212548 212548 212548 212548 212548 675 8801 14981 529 345 212548 212548 212548 212548 212548 1035 675 8801 14981 529 ( , , , , ) 212548 212548 212548 212548 212548 1587 1035 212548 2125 E rcirc x x x x x             675 8801 14981 48 212548 212548 212548 44943 1587 1035 675 8801 212548 212548 212548 212548 212548                                  olur.

Örnek 3.7: Örnek 3.3’deki K matrisinin tersini bulunuz. ₃

Çözüm: Problemin maple ile çözümü >

dir. Şimdi de elde ettiğimiz formülle cevabı bulalım.

1 1 2 2 1 2 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) 1 1 . , 3 , ( ) ( ) 5( 2) 5( 2) 5( 2) 5 , , , ,..., ( ) ( ) ( ) i i n n n i n i n n i n i n n i i i i n n n n n n n n n n n n L L rL L L rL K rcirc r r l L rL L rL rL rL rL L rL L rL L rL L rL              _  _              _{ }                  _





  için 1 1 1 1 1 5 4 3 4 3 3 3 1 1 3 1 4 1 4 1 4 ( 3 )(4 2) ( 3 )(4 2) 1 5 1 4. , 3 4. , ( 4 ) ( 4 ) 4 i i i i i i i i i i L L L L L L K rcirc l L L L L L L                   _   _   _{   }     





olur. Örnek 3.3’den 3

989 27 l   dir. 1 1 5 4 3 1 1 3 1 4 1 ( 3 )(4 2) 27 47 47 1 4. . ( 4 ) 989 27 989 i i i i i L L L y l L L           _  _    



 1 1 4 3 3 2 1 3 1 4 1 ( 3 )(4 2) 27 61 61 3 4. . ( 4 ) 989 27 989 i i i i i L L L y l L L            _  _   



 3 3 1 4 1 5 27 5 5 . 4 989 27 989 y l L L      _{ }    

1 3 1 2 3 47 61 5 989 989 989 20 47 61 ( , , ) 989 989 989 244 20 47 989 989 989 K rcirc y y y _         _  _    _      olur.

Örnek 3.8: Örnek 3.4’deki K , rcirculant matrisinin tersini hesaplayınız. 4

Çözüm: Problemin maple ile çözümü

dir. Şimdi de elde ettiğimiz formülle cevabı bulalım.

1 1 2 2 1 2 1 1 1 _{1 1} 1 _{1 1} 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3 )( 2) ( 3 )( 2) 1 1 . , 3 , ( ) ( ) 5( 2) 5( 2) 5( 2) 5 , , , ,..., ( ) ( ) ( ) i i n n n i n i n n i n i n n i i i i n n n n n n n n n n n n L L rL L L rL K rcirc r r l L rL L rL rL rL rL L rL L rL L rL L rL              _  _              _{ }                  _





  için 1 1 2 2 1 6 5 4 5 4 4 4 4 2 1 1 4 1 5 1 5 1 5 1 5 ( 3 )(2 2) ( 3 )(2 2) 5(2 2) 1 5 1 2. , 3 2. , , ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) i i i i i i i i i i L L L L L L L K rcirc l L L L L L L L L                    _   _   _{   }     





olur. Örnek 3.4’den ₄ 17001₂ (21)

l  dir.

1 2 2 6 5 4 1 2 1 4 1 5 ( 3 )(2 2) 1 (21) 20 120 247 1 2. 1 ( 2 ) 17001 21 21 5667 i i i i i L L L y l L L             _  _ _   _     



 1 2 2 2 5 4 4 2 2 2 1 4 1 5 ( 3 )(2 2) 1 (21) 10 120 (21) 1233 137 3 2. . 3 . ( 2 ) 17001 21 21 17001 21 1889 i i i i i L L L y l L L               _  _ _   _     



 2 3 4 1 5 1 5 (21) 5 35 . 2 17001 21 5667 y l L L      _{ }     2 4 4 2 2 4 1 5 5(2 2) 1 (21) 60 20 . ( 2 ) 17001 21 5667 L y l L L      _{ }     

olup r2 için K , rcirculant matrisinin tersi ₄

1 4 1 2 3 4 247 137 35 20 5667 1889 5667 5667 40 247 137 35 5667 5667 1889 5667 ( , , , ) 70 40 247 137 5667 5667 5667 1889 274 70 40 247 1889 5667 5667 5667 K rcirc y y y y _{ }      _{ }     _{  }  _{ }            olur.

4. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER

4.1 Sonuçlar

Sonuç olarak biz özel bir matrisi ele aldık. Bu özel matrisin elemanlarını da yaygın olarak bilinen Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin elemanlarından seçtik. Daha sonra bu matrislerin determinantlarını ve terslerini formülize etmiş olduk.

4.2 Öneriler

Bu çalışmaya benzer şekilde sayı dizilerini seçerek ve daha farklı matrisler seçerek elde ettiğimiz matrislerin determinantlarını ve terslerini formülize edebiliriz.

KAYNAKLAR

[1] A. F. Horadam, Basic properties of a certain generalized sequence of numbers, The University of North Carolina, Chapel Hill, N. C.

[2] D. Bozkurt, T. Y. Tam, Determinants and inverses of circulant matrices with Jacobsthal and Jacobsthal–Lucas Numbers, Appl. Math. Comput. 219 (2012) 544–551. [3] G. Labahn, T. Shalom, Inversion of Toeplitz Matrices with Only Two Standard Equations, Linear Algebra and Its Applications 175: 143-158(1992).

[4] I. C. Gohberg, A. A. Semencul, On the inversion of finite Toeplitz matrices and their continuous analogs (in Russian), Mat. Issled. 7(2):201-223(1972).

[5] P. J. Davis, Circulant matrices, A Wiley- Interscience Publication, Division of Applied Mathematics, Brown University.

[6] S. Solak, On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers, Appl. Math. Comput. 160 (2005) 125-132.

[7] S. Q. Shen, J. M. Cen, Y. Hao, On the determinants and inverses of circulant matrices with Fibonacci and Lucas numbers, Appl. Math. Comput. 217(2011) 9790-9797.

[8] S. Q. Shen, J. M. Cen, Spectral norms of rcirculant matrices with k-Fibonacci and

k-Lucas numbers, Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 5,2010, no. 12, 569-578.

[9] T. N. E. Greville, Toeplitz Matrices with Toeplitz Inverses Revisited, Linear Algebra and Its Applications 55: 87-92(1983).

[10] T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with Applications, A Wiley- Interscience Publication, Framingham State College.

ÖZGEÇMĠġ

KĠġĠSEL BĠLGĠLER

Adı Soyadı : Emrullah KIRKLAR

Uyruğu : T.C.

Doğum Yeri ve Tarihi : BİTLİS-1990 Telefon : 0506 335 17 07

Faks :

e-mail : emrullah.kirklar@gmail.com EĞĠTĠM

Derece Adı, Ġlçe, Ġl Bitirme Yılı

Lise : Ahlat Selçuklu Lisesi, Ahlat,BĠTLĠS 2006 Üniversite : Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, KONYA 2011 Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, KONYA - Doktora :

Ġġ DENEYĠMLERĠ

Yıl Kurum Görevi

UZMANLIK ALANI YABANCI DĠLLER İngilizce

BELĠRTMEK ĠSTEĞĠNĠZ DĠĞER ÖZELLĠKLER YAYINLAR