İdeal topolojik uzaylarda sürekliliğin dağılımı

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İDEAL TOPOLOJİK UZAYLARDA

SÜREKLİLİĞİN DAĞILIMI

Resul ÖZCAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

i ÖNSÖZ

Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Eşref HATIR yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Tez çalışmamı titizlikle takip ederek çalışmamın her safhasında bilgisiyle yanımda olan Sayın hocam Prof. Dr. Eşref HATIR’a sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

ii T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İDEAL TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİĞİN DAĞILIMI

Resul ÖZCAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez 22.12.2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

………. Prof. Dr. Eşref HATIR

(Danışman)

... ... Doç. Dr. Cengiz ÇINAR Yrd. Doç. Dr. Aynur KESKİN

iii ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

İDEAL TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİĞİN DAĞILIMI

Resul ÖZCAN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Eşref HATIR 2006, Sayfa: 27

Jüri: Prof. Dr. Eşref HATIR Doç. Dr. Cengiz ÇINAR Yrd. Doç. Dr. Aynur KESKİN

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez için gerekli olan temel kavramları verip, ideal topolojik uzaylarda literatürde elde edilen bazı küme kavramlarını inceleyip, yorumladık.

İkinci bölümde, D_I(c,

δ

_β)- küme

δ

−

β

−I−açık küme olarak adlandırdığımız iki yeni küme tanımladık ve daha önce elde edilen küme çeşitleriyle karşılaştırıp, yorumladık. Ayrıca topolojik uzayda verilen D(c,

β

)-küme ve

) , (c

δ

β

D -kümelerle ideal topolojik uzayda D_I(c,

β

)-küme DI(c,

δ

β)-kümelerin karşılaştırması yapılmıştır. Bu karşılaştırma ile ilgili bir çizelge oluşturulmuştur.

Üçüncü bölümde ise DI(c,

δ

β) – küme ve

δ

−

β

−I−açık küme kavramlarından yararlanarak sürekliliğin yeni bir dağılımını elde ettik.

Anahtar Kelimeler: D(c,

δ

β)-küme ,D(c,

β

)-küme, DI(c,

δ

β)-küme,

)

,

( β

c

iv

ABSTRACT

MS Thesis

DECOMPOSITIONS OF CONTIUNITY IN IDEAL TOPOLOGICAL SPACES

Resul ÖZCAN

Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Eşref HATIR

2006, Sayfa: 27

Jury: Prof. Dr. Esref HATIR

Assoc. Prof. Dr. Cengiz CINAR

Asst. Prof. Dr. Aynur KESKIN

This study consists of three sections. In the first section, we have given the

basic concepts required for the thesis, investigated and interpreted some set

definitions in the ideal topological spaces at the literature.

In the second section; we have introduced two new set definitions as we have

called

D

_I

(

c

,

δ

_β

)

-set and δ - β -

I

-open-set, and we have compared these two sets

with the sets defined before and interpreted them. Additionally, we have compared

)

, (c

β

D

-sets and

D

(

c

,

δ

_β

)

-sets given in topological spaces; and

D

_I

( β

c

,

)

-sets and

)

,

(

c

δ

_β

D

_I

-sets in ideal topological spaces. We have formed a diagram using these

v

In the third section; we have formed a new decomposition of continuity using

D

I

(c,

δ ) – set ve

β

δ - β -

I

-open-set concepts..

Key words: D(c,

δ

β)

-set,

D(c,

β

)

-set,

DI(c,

δ

β)

-set,

DI(c,

β

)

-set,

−

− −

β

I

vi

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ... i

ÖZET... iii

ABSTRACT... iv

İÇİNDEKİLER... vi

GÖSTERİMLER... vii

GİRİŞ... 1

1.

İ

DEAL TOPOLOJİK UZAYDA VERİLEN BAZI

KÜME ÇEŞİTLERİNİN İNCELENMESİ... 2

1.1

_İ

deal Topolojik Uzay... 2

1.2

İ

deal Topolojik Uzaylarda Bazı Küme Çeşitleri ve

Özellikleri... 6

2.

İ

DEAL TOPOLOJİK UZAYDA VERİLEN D

I

(c,p) - KÜME,

D

I

(c,α) - KÜME, D

I

(c,s) - KÜME, D

I

(c,β) - KÜME,

D

I

(α,p) - KÜMELERİN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ... 11

2.1 D

I

(c,p) - küme, D

I

(c,α) - küme, D

I

(c,s) - küme,

D

I

(c,β) - küme, D

I

(α,p) – küme... 11

3.

SÜREKLİLİĞİN DAĞILIMI... 21

vii

GÖSTERİMLER ∈

: Ait

∉

: Ait Değil

≠

: Eşit Değil

⇒

_{: Gerek Şart}

⇐

: Yeter Şart

Ø

: Boş Küme

X

: Evrensel Küme

B

A⊂

: B kümesi, A kümesini kapsar

B

A⊄

: B kümesi, A kümesini kapsamaz

B A∩

: A kesişim B

B A∪

: A birleşim B

I : İdeal

τ : Topolojik yapı

(X,τ) : Topolojik uzay

(X,τ,I) : İdeal topolojik uzay

α O(X,τ) : (X,τ) topolojik uzayındaki tüm α -açık kümelerin ailesi

PO(X,τ) : (X,τ) topolojik uzayındaki tüm pre-açık-kümelerin ailesi

GİRİŞ

1933 yılında Kuratowski [19], ideal kavramı yardımıyla bir topolojik uzayda

lokal fonksiyon tanımını verdi ve bu fonksiyonun özelliklerini inceledi. Ardından

1945 yılında Vaidyanathaswamy [27] lokal fonksiyon kavramından yararlanarak bir

kapanış işlemi tanımladı ve kapanış işlemi ile elde ettiği kapalı kümelerden yeni bir

topoloji oluşturdu ve oluşturduğu bu topolojinin tabanını elde etti. 1964 yılında

Hayashi [17] kendi adını verdiği yeni bir uzay tanımladı. Daha sonra 1965 yılında

Samuels [26] lokal fonksiyon kavramını ele alarak idealleri değiştirmek suretiyle

genel topolojide bildiğimiz kapanış noktası, yığılma noktası, yoğunlaşma noktası ve

ikinci kategoriden nokta kavramlarına lokal fonksiyonun eşit olduğunu gösterdi.

Böylece lokal fonksiyon kavramının bu nokta kavramlarının bir genellemesi olduğu

sonucuna vardı. Janković ve Hamlett [6], lokal fonksiyon kavramı ile ilgili o zamana

kadar yapılan tüm çalışmaları ayrıntılı bir

şekilde incelediler ve bu kavramla ilgili

yeni özellikler elde ettiler.

İlk defa 1933 yılında tanımlanmış ve daha sonraki yıllarda esas alınarak

incelenmiş olan lokal fonksiyon kavramı ile ilgili zamanımıza kadar çeşitli

araştırmalar yapılmış ve önemli sonuçlar bulunmuştur.

En genel anlamda, bir

f

fonksiyonunun sürekliliği literatürde

şöyle ifade

edilir:

( X,

τ

)

ve

( Y,

ϕ

)

topolojik uzayları ile

f :( X,

τ

)→(Y,

ϕ

)

fonksiyonu

verilsin. Eğer bir

x∈X noktası ve f(x)

noktasının her

V ⊂Y

komşuluğu için

V U

f( )⊂

olacak

şekilde x

noktasının bir

U

komşuluğu varsa,

f

fonksiyonuna

x

noktasında süreklidir denir. Eğer

f

fonksiyonu her

x∈X noktasında sürekli ise, bu

taktirde

f

fonksiyonuna süreklidir denir.

Bu çalışmada

( X,

τ

)

topolojik uzayı, hiçbir ayırma aksiyomuna sahip

olmayan uzay olarak alınacaktır. Ayrıca

( X,

τ

)

topolojik uzayındaki herhangi bir

X

A⊂

alt kümesinin kapanışı

A-

ve bu kümenin içi de

Ao

sembolü ile

-2 -

1.BÖLÜM

İDEAL TOPOLOJİK UZAYDA VERİLEN BAZI KÜME

ÇEŞİTLERİNİN İNCELENMESİ

Bu bölümde, çalışmamız için gerekli olan bazı temel kavramlar ile küme

tanımlarını inceleyeceğiz.

1.1 İdeal Topolojik Uzay

1.1.1 Tanım ([19]).

Topolojik uzayın herhangi bir

x

noktasının

(p)

özelliğine sahip

bir

U

komşuluğu varsa, topolojik uzaya

x

noktasında

(p) özelliğine sahiptir

denir.

Kuratowski [19], 1.1.1.Tanım’da incelediğimiz kavramın değilini alarak, bir

noktada verilen bu kavramı bir kümeye genişletti. Burada,

(p)

özelliği yerine ideal

kavramını alarak, lokal fonksiyon kavramını tanımladı ve bu fonksiyonun bazı

özelliklerini inceledi.

1.1.2Tanım ([19]).

Boş olmayan bir

X

kümesi verilsin.

P

(

X

) kuvvet kümesi olmak üzere, boş

olmayan bir

I ⊂P(X)

ailesi,

a)A∈ I

ve

B⊂ A ise, B∈ I b) A, B∈I

ise,

(A∪ B) ∈ I

1.1.3 Tanım ([19]).

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve bir

A⊂ X kümesi verilsin. Ayrıca I

ailesi,

X

kümesi üzerinde bir ideal olsun. Bu takdirde,

∀ ∈ = ∗

|

{

)

,

(

I x X A

τ

U∈N(x)

için,

( U∩ A )∉ I

}

kümesine,

A

kümesinin

I

ideali ve τ topolojisine bağlı

lokal fonksiyonu

denir.

Bu çalışmada, karışıklığa neden olmadıkça,

A∗

( τ

I

,

)

gösterimi yerine,

A∗

gösterimini kullanacağız.

1.1.1 Lemma ([19]).

( X,

τ

)

topolojik uzay olsun.

X

kümesi üzerinde bir

I

ideali ve

A, B⊂ X

kümeleri verilsin. Bu takdirde; aşağıdaki özellikler sağlanır:

a)

Eğer

A⊂ B

ise,

_A∗ _{⊂ B}∗

_,

b) ∗ ∗ − − ⊂ = A A A

(

)

,

c) ∗ ∗ ∗ ⊂ A A

)

(

,

d) ∗ ∗ ∗ ∪ = ∪B A B A

)

(

,

e) ∗ ∗ ∗ ∩ ⊂ ∩B A B A

)

(

,

f) ∗ ∗ ∗ − ⊂ −

)

(

)

(

A B A B

,

g)

Eğer

U∈

τ ise,

∗ ∗ ∩ ⊂ ∩

)

(

)

(

U A U A

Vaidyanathaswamy [27] ve Kuratowski [19] tarafından verilen

* :

P( X )→P( X )

biçiminde tanımlı olan lokal fonksiyon kavramı yardımıyla Vaidyanathaswamy [27]

yeni bir fonksiyon tanımladı ve bu fonksiyonun Kuratowski kapanış aksiyomlarını

sağladığını gösterdi.

( X,

τ

)

topolojik uzay olsun.

X

kümesi üzerinde bir

I

ideali verilsin.

Vaidyanathaswamy [27], herhangi bir

A⊂ X

alt kümesi için,

_A−∗ _{= A∪A}∗

şeklinde tanımlanan ∗

Cl

:

P( X )

→

P( X )

fonksiyonunun, Kuratowski kapanış

-4 -

1.1.4Tanım ([6]).

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve

X

kümesi üzerinde bir

I

ideali verilsin.

I

ideali

ile birlikte verilen

( X,

τ

)

topolojik uzayına,

ideal topolojik uzay

denir ve

(

X

, τ ,

I

) şeklinde gösterilir.

.

1.1.5Tanım ([28]).

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve

X

kümesi üzerinde bir

I

ideali verilsin. Bu taktirde,

}

)

(

)

(

|

{

)

(

* * U X U X X U I

=

⊂

−

−

=

−

τ

şeklinde tanımlanan *

(

)

I

τ

ailesi

X

kümesi üzerinde bir topoloji belirtir. Bu topoloji τ

topolojisinden daha ince bir topolojidir.

Janković ve Hamlett [6], minimal ideal ( =

I

{∅}) ile maksimal ideali

( =

I P(X) )

kullanarak

*

(

)

I

τ

topolojilerini aşağıdaki gibi elde ettiler.

(1)I

=

{∅} için

A*

=

A−

ve

A−*

=

A

_olduğundan

_τ

*

₍

₎

₌

_τ

I

,

(2)I

=

P(X)

için

A*

=

∅ ve

A−*

=

A

_olduğundan

*

₍

₎

₍

₎

X P I

=

τ

.

Ayrıca, diğer idealler bu iki ideal arasında yer aldığından, (1) ve (2) ifadelerinden

faydalanarak onlara karşılık gelen

*

(

)

I

τ

topolojileri ile ilgili

şu sonuçları verdiler.

(

X

, τ ) topolojik uzayı verilsin.

X

kümesi üzerindeki her

I

ideali için, {∅}

⊂ I ⊂

) ( X P

olduğundan,

{

(

*

τ

τ =

∅

})

*

(

)

*

(

(

)

)

(

)

X P X P I

⊂

=

⊂

τ

τ

elde edilir. Üstelik,

X

kümesi üzerinde

I⊂ J

olacak şekilde

I

ve

J

gibi iki ideal

verildiğinde 1.1.1 Lemma c) gereğince,

*

(

)

*

(

)

J

I

τ

τ

⊂

bağıntısını elde ettiler.

Diğer taraftan;

*

(

)

I

τ

topolojisinin açık kümelerini ifade etmek için topoloji

tabanını aşağıdaki gibi tanımladılar.

1.1.6Tanım ([28]).

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve

X

kümesi üzerinde bir

I

ideali verilsin. Bu

taktirde;

U I, ) { (

τ

=

β

\

I|U∈

τ

,

I

∈I}

ailesi,

*

(

)

I

τ

topolojisi için bir tabandır.

Janković ve Hamlett [6], topolojik uzay ve ideal kavramlarını kullanarak,

ideal topolojik uzay adlı yeni bir kavram tanımladılar.

1.1.7Tanım ([26]).

(

X

, τ ,

I

) ideal topolojik uzayında

τ

∩ I ={

∅} ise, bu takdirde (

X

, τ ,

I

)

ideal topolojik uzayına Samuels uzayı denir.

Janković ve Hamlett [6], Hayashi uzayı ile Samuels uzayı kavramlarının

çakışık olduğunu gösterdiler ve bu iki kavramı, Hayashi-Samuels uzayı olarak

adlandırdılar. Ayrıca, bu uzayı karakterize eden bazı özellikleri de verdiler. Şimdi, bu

özellikleri inceleyelim.

1.1.2 Lemma ([6]).

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve

X

kümesi üzerinde bir

I

ideali verilsin. Bu

taktirde aşağıdaki özellikler birbirine denktir:

a) X = X*

_,

b)

τ

∩ I ={

∅},

c)

Eğer I

∈ ise I

I o

_{= ∅,}

-6 -

1.2 İdeal Topolojik Uzaylarda Bazı Küme Çeşitleri ve Özellikleri

1933 yılında Kuratowski [19] ve 1945 yılında Vaidyanathaswamy [27]

tarafından ele alınan genel topolojideki ideal kavramı, 1964-1976 yılları arasında

Hashimoto [12], Hayashi [17], Newcomb [22] ve Njastad [23] tarafından çalışıldı.

İdeal topolojik uzay kavramı ise, ([2], [3], [4],[6] [8], [9], [10], [11] ) de incelenerek

çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Genel topolojideki pek çok kavram, bu çalışmalarda

ideal topolojik uzaya genelleştirildi. Bunlar,

( X,

τ

)

topolojik uzayında tanımlanan

genelleştirilmiş açık kümelerin, (

X

, τ ,

I

) ideal topolojik uzayına aktarılması ile

elde edildi.

Literatürde verilen bazı kümeleri ve ideal topolojik uzaylarda bu kümelere

karşılık gelen küme çeşitlerini inceleyip yorumlayacağız.

1.2.1 Tanım

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve herhangi bir

A⊂ X kümesi verilsin. A

kümesi için,

a) _A

_⊂

_Ao −o

_{ise, A kümesine α -açık küme ([23]),}

b) −

⊂ _Ao

A

ise, A kümesine semi-açık küme ([20]),

c) −o

⊂ A

A

ise, A kümesine pre-açık küme ([21]),

d) _A

_⊂

_A−o−

_{ise, A kümesine β -açık küme ([1]) denir.}

( X,

τ

)

topolojik uzayında verilen yukarıdaki tanımda geçen küme çeşitleri,

benzer şekilde (

X

, τ ,

I

) ideal topolojik uzayda 1.2.2 tanımda verilmiştir.

1.2.2 Tanım

(

X

, τ ,

I

) ideal topolojik uzayının

A

⊂

X

kümesine,

a)

₍

₍

o

₎

−∗

₎

o

⊂

A

A

ise;

α

-

I

-açık küme ([14]),

b) −∗

⊂

(

_Ao

)

A

ise; semi-

I

-açık küme ([14]),

c)

₍

−∗

₎

o

⊂

A

d) −∗ −

⊂

((

_A

)

o

)

A

ise; β -

I

-açık küme ([14]) denir.

1.2.1 Tanım ve 1.2.2 Tanımda verilen kümelerin aralarındaki bağıntılar [14]’

de verilmiş ve yorumlanmıştır. Aşağıdaki 1.2.1 çizelge ile [14]’ deki gerektirmeler

verilmiştir.

Açık küme α-I-açık küme semi-I-açık küme

α-açık küme semi-açık küme

I-açık küme pre-I-açık küme β-I-açık küme

pre-açık küme β-açık küme

1.2.1 Çizelge

Przemski [25] , Dontchev ve Przemski [7] aşağıdaki küme kavramlarını

tanımlayıp açık bir kümenin dolayısıyla sürekliliğin dağılımlarını elde etmişlerdir.

1.2.3 Tanım

( X,

τ

)

topolojik uzayı için aşağıdaki kümeler tanımlanmıştır.

a) D ( c, α ) =

{

A⊂ X: Ao = A∩Ao−o

} ( [25] ),

b) D ( c, s ) =

{

A⊂ X: _Ao = _A∩_Ao−

_{} ( [25] ),}

-8 -

d) D ( α, p ) = { A ⊂ X: _A

_∩

_Ao −o

₌

_A

_∩

_A−o

_{}( [25] ),}

e) D ( c, β ) = { A ⊂ X: Ao

=

_A∩_A−o−

_{} ( [7] ),}

f) D ( α, β ) = { A ⊂ X: _{A∩ A}o −o

₌

− − ∩_A o A

} ( [7] ).

1.2.4 Tanım( [24] ).

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve bir

A⊂ X

alt kümesi verilsin. Bu takdirde;

≠

∩

∈

=

− − _{x X A U} o A δ

{

:

_∅,

_τ

∈ U

ve

x∈U

}

şeklinde tanımlanan kümeye, A

kümesinin

δδ

δ

δ

-kapanışı

denir.

[16]

’

da, 1.2.3. Tanımda yer alan kavramlardan daha kuvvetli olan aşağıdaki

kavramlar verilmiştir. Bu kavramlar kullanılarak, açık kümenin ve

α-

açık kümenin

dolayısıyla sürekliliğin ve

α-

sürekliliğin dağılımları elde edilmiştir.

Şimdi bu

kavramları inceleyelim.

1.2.5 Tanım ( [16] )

( X,

τ

)

topolojik uzayı ve

A⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer;

a) D ( c,

δ

p) = { A⊂ X: o o

₍

−δ

₎

∩

=

A A A

} ise;

A

kümesine,

D ( c,

δ

_p

)-küme,

b) D ( c,

δ

β) = { A⊂ X: − −

∩

=

o o

₍

δ

₎

A A A

} ise;

A

kümesine,

D ( c,

δ

_β

)-küme,

c) D ( α,

δ

p) = { A⊂ X: o o− ∩ A A

=

₍

−δ

₎

o

∩

A A

}

ise;

A

kümesine,

D ( c,

δ

_β

)-küme,

d) D ( α,

δ

β) = { A⊂ X: A∩ Ao−o

=

− −

∩

₍

_A δ

₎

o A

} ise;

A

kümesine,

D ( α,

δ

_β)-

küme denir.

1.2.3 Tanım ve 1.2.5 Tanım ile ele aldığımız kümeler için, [7] ve [25]’ de

verilen karşılaştırmalar, 1.2.2 Çizelgede yer almaktadır.

SO

(X,

τ

)

D(α,

δ ) D(α,p)

p

_τ

α

_D(α,

β

δ

)

D(α,β )

D(c,

δ

_p

)

D(c,p )

τ

D(c,

δ )

_β

D(c,β)

1.2.2 Çizelge 1.2.1 Uyarı

1.2.3 Tanım ve 1.2.5 Tanımda verilen küme çeşitlerinden 1.2.2 Çizelgedeki

gerektirmelerin tersleri genelde doğru değildir. Bu durum [7] ve [25] de aşağıdaki

örnekler ile açıklanmıştır.

1.2.1 Örnek

X

= {a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan

τ

= {Ø,

X

,{a},{b},{a,b},{b,c},{a,b,c}} topolojisi ile verilsin.

A

= {c,d}⊂

X

alt

kümesini alalım. Bu durumda

A

kümesi, D(c,p) – kümedir, fakat

(

A−δ

)

o

=

{

b

,

c

}

_ve

o

A

= Ø olduğundan D ( c,

δ

p

) - küme değildir.

1.2.2 Örnek

( X,

τ

)

topolojik uzayı,

X ={a,b,c,d}

kümesi üzerinde tanımlanan

τ

= {Ø,

X

,{c},{e},{c,e},{a,b},{a,b,c},{a,b,e},{a,b,c,e}} topolojisi verilsin.

-10 -

B

= {d,e}⊂

X

alt kümesini alalım. Bu durumda

B

kümesi, D ( c,

δ ) - kümedir,

_p

fakat D ( c,

δ

_β

) - küme değildir.

_Bo

_{= {e}}

_≠

_{({d,e}) ∩}

_({

_d

_,

_e

_}

−δ

₎

o−

_{= {d,e} olup, bu}

durumda

B

kümesi aynı zamanda D ( α,

δ

_p

) - kümedir, fakat D ( α,

δ

_β

) - küme

değildir.

1.2.3 Örnek

( X,

τ

)

topolojik uzayı verilsin.

X

= {a,b,c,d,e,} kümesi üzerinde tanımlanan

τ = {Ø,

X

,{a},{b},{a,b},{d,e},{a,d,e},{b,d,e},{b,c},{b,c,d,e},{a,b,c},{a,b,d,e}}

topolojisi verilsin.

C

= {a,c} ⊂

X

alt kümesini alalım.

C

kümesi, D ( α, β) -

kümedir, fakat D ( α,

δ ) - küme değildir.

_β

o o −

∩ C

C

=({a,c})∩

({

a

,

c

}

o −

)

o

= {a}

≠

({a,c})∩

_({

_a

_,

_c

_}

−δ

₎

o−

_={a,c}

olduğundan,

C

kümesi aynı zamanda D ( α, p) - kümedir, fakat D ( α,

δ

_p

) - küme

değildir. Ayrıca

C

kümesi, D ( c, β) - kümedir, fakat D ( c,

δ

_β

) - küme değildir.

1.2.4 Örnek

X

= {a,b,c,d} kümesi üzerinde

τ

= {Ø,X,{b},{a,b},{b,c},{a,b,c}} topolojisi

verilsin.

D

= {b,d} kümesini ele alalım. Bu durumda,

D

kümesi

D

( α,

δ

_p

) -küme

fakat

D

( c,

δ

_β

) - küme değildir. Gerçekten,

o

}

,

{

b d

= {b} ≠ ({b,d})

∩

_({

_b

_,

_d

_}

−δ

₎

o−

_{= {b,d} ve ({b,d})}

_∩

_{

_b

_,

_d

_}

o−o

_{= {b,d}}

olduğundan;

D

kümesi aynı zamanda

D ( α,

δ ) - kümedir, fakat

p D

( c,

δ ) - küme

p

değildir.

2. BÖLÜM

İdeal Topolojik Uzayda Verilen

D I ( c, p ) - küme, D I ( c,

α

α

α

α

) - küme, D I ( c, s ) - küme, DI ( c,

β

β

β

β

) - küme,

D I (

α

α

α

α

, p ) - kümelerin Tanımı ve Özellikleri

Bu bölümde, açık bir kümenin yeni bir karakterizasyonunu elde edebilmek

için,

D_I (c,

δ

_β)

- küme olarak adlandırdığımız yeni bir küme çeşidi tanımladık. Bu

bağlamda, daha önce topolojik uzayda verilen

D(c,

β

)

- küme ve

D(c,

δ

β)

-

küme ile ideal topolojik uzaydaki

D_I (c,

β

)

- küme ve

D_I (c,

δ

_β)

- küme

aralarındaki bağıntıları inceleyip, yorumladık.

2.1 D I ( c, p ) - küme, D I ( c,

α

α

α

α

) - küme, D I ( c, s ) - küme, DI ( c,

β

β

β

β

) - küme, D I (

α

α

α

α

, p ) - küme

1.2.3 Tanımdaki küme kavramlarından daha genel olan küme kavramları

2.1.1 Tanımda verilmiştir. Bu durum 2.1.1 Önermede ifade edilmiştir.

2.1.1 Tanım ( [15] )

(

X

,

τ

,

I

) ideal topolojik uzayında aşağıdaki kümeler tanımla yapılmıştır.

a) _D (_c, _p)₌{_A⊂(_X, ,_I ):_Ao _{= A∩}(_A−∗)o)}, I

τ

b) _D (_c, )₌{_A⊂( _X, ,_I):_Ao _{= A∩}(_Ao)−∗)o}, I

α

τ

c) _D (_c,_s)₌{_A⊂(_X, ,_I):_Ao_=A∩(_Ao)−∗)}, I

τ

d) _D (_c, )₌ { _A⊂(_X, ,_I):_Ao _{= A∩}(_A−∗)o−}, I

β

τ

e) _D ( ,_p)₌{_A⊂(_X, ,_I):_A∩((_Ao)−∗)o _{= A∩}(_A−∗)o}. I

α

τ

2.1.1 Tanımda verilen kümeler arasındaki bağıntılar 2.1.1 Çizelge ile verilmiştir.

-12 -

) , (c

β

D_I - küme ⇒ D_I (c, p)- küme ⇒ D_I (c,

α

)- küme ⇑

D_I (c,s)- küme 2.1.1 Çizelge

2.1.1 Önerme ( [15] )

( X,

τ

, I ) ideal topolojik uzayda, aşağıdaki özellikler sağlanır: a) Her D ( c, p ) - küme, DI ( c, p ) - kümedir.

b) Her D ( c,

α

) - küme, DI ( c,

α

) - kümedir. c) Her D ( c, s ) - küme, DI ( c, s ) - kümedir.

d) Her D ( c,

β

) - küme, DI ( c,

β

) - kümedir.

İspat

a) A kümesi bir D ( c, p ) - küme olsun. Bu durumda _Ao _{= A∩A}−o _eşitliği

sağlanır. −∗ = ∪ ⊂ * ( ) A A A A olduğundan, _Ao _{⊂ A∩(A}−∗₎o _{= A∩(A}*_∪A)o _{⊂ A∩(A}− _∪A)o _{= A∩(A)}−o _{= A}o

elde edilir. Dolayısıyla, A kümesi bir DI ( c, p ) - kümedir.

b) A kümesi bir D ( c, α ) - küme olsun. Bu durumda, Ao = A∩Ao−o eşitliği

sağlanır. Lokal fonksiyon ile ilgili özelliklerden,

o o

o _{⊂ A∩((A )}−∗₎

A = _A∩((A)o_∪(Ao₎∗₎o_{⊂ A∩A}o −o_=Ao

elde edilir. Bu ise A kümesinin DI ( c,

α

) - küme olduğunu gösterir.

c) A kümesi bir D ( c, s ) - küme olsun. Bu durumda _Ao _{= A∩A}o− _eşitliği

sağlanır. Lokal fonksiyon ile ilgili özellikler kullanılarak, _Ao ⊂ _A∩(Ao₎−∗_=A∩((Ao₎∗_∪Ao_{)⊂ A∩(A}o− _∪Ao_)=A∩(Ao−_{)= A}o

d) A kümesi bir D ( c,

β

) - küme olsun. Bu durumda, eşitliği sağlanır. Lokal fonksiyon ile ilgili özelliklerden, _Ao _{= A∩A}−o−

o o o o o o _{A A A A A A A A A A A} A ⊂ ∩( −∗) − = ∩( ∗∪ ) − ⊂ ∩( − ∪ ) − = ∩ − − =

eşitliği elde edilir. Bu ise A kümesinin DI ( c,

β

) - küme olduğunu gösterir.

2.1.1 Uyarı

2.1.1. Önermedeki gerektirmelerin tersleri genelde doğru değildir. Bu Durum, [15] de aşağıdaki örnekler ile açıklanmıştır.

2.1.1 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi üzerinde

τ

= {∅,X,{a},{b,d},{a,b,d}} topolojisi ve

I = { ∅,{a},{b},{a,b}} ideali verilsin. A = {a,b} ⊂ kümesini alalım.A*={ ba, }*=∅ ve (A−∗)o ={a} _{olduğundan, A kümesi, DI ( c, p ) - küme, fakat D ( c, p ) - küme} değildir. A kümesi, DI ( c,

β

) - kümedir, fakat D ( c,

β

) - küme değildir.

2.1.2 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi üzerinde,

τ

= {∅,X,{d},{a,c},{a,c,d}} topolojisi ile

I = {∅,{c},{d},{c,d}} ideali verilsin. A = {b,d} ⊂ X kümesi için, (Ao)* =({d})* =∅ ve (Ao)−∗ ={d} _{olduğundan, A kümesi DI ( c, s ) - kümedir, fakat D ( c, s ) - küme} değildir.

2.1.3 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi ile üzerindeτ = {∅,X,{c},{b,c},{a,b,c},{a,c,d},{a,c}} topolojisi ve I = { ∅,{c},{d},{c,d}} ideali verilsin. A = {c,d} ⊂ X kümesini alalım.

-14 -

=

= *

* _{({ })}

)

(Ao c ∅ ve ((Ao)−∗)o ={c} _{olduğundan; A kümesi D I ( c,}

_α

_{) - kümedir,} fakat D ( c, α) - küme değildir.

2.1.4 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi üzerinde

τ

= {∅,X,{d},{b,d},{a,d},{b,c,d}} topolojisi ile birlikte I = {∅,{c},{d},{c,d}} ideali verilsin. A = {b,d} ⊂ X kümesini ele alalım.

= = * * }) ({ )

(Ao d _{∅ ve (A}−∗₎o _{= {d} olduğundan, A kümesi D I ( c,}

_α

_{) - kümedir,}

fakat DI ( c, p ) - küme değildir.

2.1.5 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi ile üzerinde tanımlanan

τ

= {∅,X,{b},{c,d},{b,c,d}} topolojisi ve I = {∅,{c}} ideali verilsin. A = {a,b} ⊂ X kümesini ele alalım. Bu

DI ( c,

α

) - küme, fakat DI ( c, s ) - küme değildir. Çünkü ((Ao)−∗)o=({b}−∗)o={b} yani, A kümesi, DI ( c,

α

) - küme, fakat (( ) ) ({ })* { , }

b a b

A o −∗ = = _{olduğundan, A} kümesi, DI ( c, s ) - küme değildir.

2.1.6 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan

τ

= {Ø,X,{a},{b,d},{a,b,d}} topolojisi ve I = { Ø,{a},{b},{a,b} } ideali verilsin. A = {a,b} ⊂ X alt kümesini ele alalım. _A∩(A−∗₎o− _{={a,b}∩{a,c}={a}= A}o _{olup, A kümesi D (c,}

_β

₎

I -

küme, fakat _A∩(A−₎o− _{={a,b}∩X ={a,b}≠{a}= A}o _{olduğundan, A kümesi}

) , (c

β

D - küme değildir.

1.2.5 Tanımdan ( [16] ) yararlanarak D_I (c,

δ

_β )- küme kavramını 2.1.2 Tanımda verdik.

2.1.2 Tanım

( X, τ , I ) topolojik uzayı ve bir A⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer } ) ) ( ( : ) , , ( { ) , ( _{= ⊂} o _{= ∩} −δ o −∗ β

τ

δ

A X I A A A c D_I ise, A kümesine ) , (c

δ

_β D_I - küme denir. 2.1.2 Önerme

( X, τ , I ) ideal topolojik uzayı ve bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer A kümesi, D(c,

δ

_β)- küme ise, D_I(c,

δ

_β)- kümedir.

İspat.

A kümesi bir D(c,

δ

β)- küme olsun.

_Ao _{⊂ A∩((A}−δ₎o₎−∗ _{= A∩((A}−δ₎o _∪((A−δ₎o₎∗_{)⊂ A∩(A}−δ₎o− _{= A}o

olduğundan, A kümesi D_I(c,

δ

_β)- küme olur.

2.1.2 Uyarı

2.1.2 Önermedeki gerektirmenin tersi genellikle doğru değildir.

2.1.7 Örnek

X = {a,b,c,d}kümesi üzerinde

τ

= {Ø,X,{d},{a,c},{a,c,d}} topolojisi ve

I = {Ø,{d}} ideali verilsin. A = {b,d} olsun.

o

o _{b d b d b d d A}

A

A∩₍ −δ₎ =_{{ , }}∩_{{ , }}=_{{ , }}≠_{{ }}= _A∩((A−δ₎o₎−∗ _{={b,d}∩{d}={d}= A}o

olduğundan, A kümesi, D(c,

δ

_β)- küme değildir, fakat A kümesi D_I(c,

δ

_β)- kümedir.

-16 -

2.1.3 Uyarı

( X,

τ

, I ) ideal topolojik uzayında D_I (c,

β

)-küme ile D_I (c,

δ

_β)-küme kavramlarının birbirinden bağımsız oldukları 2.1.8 Örnek ve 2.1.9 Örnekte verilmiştir.

2.1.8 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi üzerinde τ ={Ø,X,{a},{b},{a,b},{b,c},{a,b,c}}

topolojisi ve I = {Ø,{a},{b},{a,b}} ideali verilsin. A = {c,d} olsun. −∗ −

∩_{(A )}o

A =

Ø = _Ao _{olup, A kümesi D (c,}

_β

₎

I -küme, fakat

A∩((A−δ)o)−∗ ={c,d}∩{b,c,d}={c,d}≠Ø=Ao

olduğundan, A kümesi DI(c,

δ

β) -küme değildir.

2.1.9 Örnek

X = {a,b,c,d,e} kümesi üzerinde τ = {Ø,X,{a},{c},{a,c},{a,b},{a,b,c}} ve topolojisi I = {Ø,{c}} ideali verilsin. A = {c,d} olsun. Buna göre,

o o _{c d c c A} A A∩₍₍ −δ_{) )}−∗ =_{{ , }}∪_{{ }}=_{{ }}= _{olup, A kümesi ( , )} β

δ

c D_I - küme, fakat o o _{c d c d e c d c A} A A∩₍ −∗₎− =_{{ , }}∩_{{ , , }}=_{{ , }}≠_{{ }}= _{olduğundan, A kümesi D (c,}

_β

₎ I - küme değildir.

) , (c

δ

β D D(c,

β

) ) , (c

δ

_β D_I D_I(c,

β

) 2.1.2 Çizelge

Topolojik uzayda verilen

δ

-

β

- açık [13] küme kavramından yararlanarak ideal topolojik uzayda

δ

-

β

- I - açık küme kavramını elde ettik. Bu küme 2.1.4 Tanımda verilmiştir. 2.1.2 , ve 2.1.4 Tanımlardan yararlanarak, 2.1.1 Teoremi elde ettik.

2.1.3 Tanım( [13] )

( X,

τ

) topolojik uzayı ve bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer − −

⊂((_A δ)o)

A

ise, A kümesine δ

δδ

δ

-

β

β

β

β

-açık küme denir.

Bu bölümde;

δ

-

β

- açık kümeden daha kuvvetli olan

δ

-

β

- I - açık küme kavramını tanımladık ve bazı karakterizasyonlarını verdik. Öncelikle , açık kümenin daha önce elde edilen değişik karekterizasyonlarının yer aldığı 2.1.1 Teoremini ele alalım.

-18 -

2.1.1 Teorem ( [15] )

( X,

τ

, I ) ideal topolojik uzayı için aşağıdakiler doğrudur:

a) A kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart A kümesinin, hem

α

- I - açık hem de DI ( c,

α

) - küme olmasıdır.

b) A kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart A kümesinin, hem pre - I - açık hem de DI ( c, p ) - küme olmasıdır.

c) A kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart A kümesinin, hem semi -I - açık hem de DI ( c, s ) - küme olmasıdır.

d) A kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart A kümesinin, hem

β

- I - açık hem de DI ( c,

β

) - küme olmasıdır.

İspat.

) ⇒

Her açık küme aynı zamanda α - I - açık, pre - I - açık, semi - I - açık ve

β

- I - açıktır. Fakat tersi genelde doğru değildir.

Her açık küme DI ( c, p ), DI ( c,

α

), DI ( c, s ), DI ( c,

β

) kümedir. Bu

gerçek her açık küme DI ( c, p), DI ( c,

α

), DI ( c, s ), DI (c,

β

) olduğundan 2.1.1

Önermeden dolayıdır. )

⇐

a) A kümesi aynı zamanda α-I-açık ve DI ( c,

α

) - küme olsun. Bu durumda,

o

o_{) )}

(( −∗

⊂ A

A ve _Ao _{= A∩((A}o₎−∗₎o _{olur. A⊂ A∩((A}o₎−∗₎o _{= A}o _{olduğundan A}

kümesi açık bir kümedir.

b) A kümesi pre - I - açık ve DI ( c, p) - küme olsun. Bu durumda,

o

) ( −∗

⊂ A

A ve Ao = A∩(A−∗)oolur. A⊂ A∩((A)−∗)o = Ao olduğundan, A kümesi açık bir kümedir.

c) A kümesi, semi - I - açık ve DI ( c, s ) - küme olsun. Bu durumda ∗

−

⊂(_Ao)

A ve _Ao = _A∩(_Ao)−∗ _{olur. A⊂ A∩((A)}o₎−∗ _{= A}o _{olduğundan, A kümesi}

açık bir kümedir.

d) A kümesi,

β - I - açık ve D

I ( c,

β

) - küme olsun. Bu durumda −

∗ −

⊂_{(A )}o

A ve _Ao = _A∩_(A−∗₎o−_{olur. A⊂ A∩(A}−∗₎o− _{= A}o _{olduğundan A kümesi}

açık bir kümedir.

2.1.4 Tanım

( X, τ , I ) ideal topolojik uzayı ile herhangi bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer _⊂(( −δ₎o₎−∗

A

A ise, A kümesine δ

δδ

δ

-

β

β

β

β

-I-açık küme denir.

2.1.1 Teoremdeki karekterizasyonlara benzer şekilde 2.1.2 Teoremini elde ettik.

2.1.2 Teorem

( X, τ , I ) ideal topolojik uzayında A kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart A kümesinin, hem

δ

-

β

- I - açık hem de D_I (c,

δ

_β)- küme olmasıdır.

İspat.

⇒ )2.1.2 Tanım ve 2.1.4 Tanımdan açık. )

⇐ A kümesi hem

δ

-

β

- I - açık küme hem de DI (c,

δ

β)- küme olsun. Buradan _⊂(( −δ₎o₎−∗ A A ve o = ∩(( −δ)o)−∗ A A A olur. ⊂A A∩₍₍A−δ₎o₎−∗ = Ao

-20 -

2.1.3 Önerme

( X,

τ

, I ) ideal topolojik uzayı ve A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer A kümesi,

δ

-

β

- I - açık küme ise, δ -

β

- açık küme olur.

İspat.

A kümesi

δ

-

β

- I - açık olsun. İlgili tanımlar gereğince

− − ∗ − − ∗ − − _{= ∪ ⊂} ⊂_((A δ₎o_{) (A} δ₎o _((A δ₎o_{) (A} δ₎o A

olduğundan; A kümesi, δ -

β

- açık küme olur.

2.1.3 Önermenin tersi genellikle doğru değildir.

2.1.10 Örnek

X={a,b,c,d,e} kümesi üzerinde τ ={Ø,X,{a},{c},{a,c},{a,b},{a,b,c}}

topolojisi ve I={Ø,{c}} ideali verilsin. A={c,d} olsun. Bu durumda, _((A−δ₎o₎−∗ _=(A−δ₎o_∪((A−δ₎o₎∗ _={c}∪{c}∗

={c} ∪ Ø = {c}

ve dolayısıyla ((A−δ)o)− ={c,d,e}_{olup, A={c,d}⊂{c,d,e}=((A}−δ₎o₎−_{elde edilir}

ki, bu da A kümesinin bir δ -

β

- açık küme olduğunu gösterir. Fakat, A={ dc, }⊄ }

{ ) )

((A−δ o −∗ = c _{olduğundan; A kümesi,}

_δ

_-

_β

_{- I - açık küme değildir.}

3. BÖLÜM

SÜREKLİLİĞİN DAĞILIMI

Bu bölümde; DI ( c,

δ

_β) – küme ile

δ

-

β

- I - açık küme kavramlarından yararlanarak sürekliliğin yeni bir dağılımını elde ettik.

Abd El-Monsef , El-Deeb ve Mahmoud [1]; topolojik uzaylarda β- açık küme ve β-sürekli fonksiyon kavramlarını tanımladılar. Hatır ve Noiri [14] ise; ideal topolojik uzaylarda

β

- I - açık küme ve bu kümeyi kullanarak genelleştirilmiş sürekliliğin yeni bir çeşidi olan β -I-sürekli fonksiyon kavramlarını verdiler.

3.1.1 Tanım ( [14] ) ) , ( ) , ( : X

τ

Y

σ

f → fonksiyonu verilsin. Eğer (Y,

σ

) topolojik uzayının her

V∈τ açık kümesi için, f−1(V) kümesi ( X, τ ) topolojik uzayında

β

- açıksa; bu takdirde f fonksiyonuna, β

β

β

β

- süreklidir denir.

Hatır ve Noiri [14], ideal topolojik uzaylarda aşağıdaki tanımı verdiler.

3.1.2 Tanım ( [14] ) ) , ( ) , , ( : X

τ

I Y

σ

f → fonksiyonu verilsin. Eğer ( Y, σ ) topolojik uzayının her V∈σ açık kümesi için, f –1

(V ) kümesi ( X, τ , I ) ideal topolojik uzayında

β - I - açık küme ise; f fonksiyonuna, β

β

β

β

- I - süreklidir denir.

-22 - 3.1.3 Tanım ( [15] ) ) , ( ) , , ( : X

τ

I Y

σ

f → fonksiyonu olsun. Eğer ( Y, σ ) topolojik uzayının

her V açık kümesi için, f –1_{( V ) kümesi ( X, τ , I ) uzayında D}

I ( c,

β

) - küme ise,

bu takdirde f fonksiyonuna D I ( c,

β

β

β

β

) - süreklidir denir.

Hatır ve Noiri [14], yukarıdaki tanımlardan yararlanarak aşağıdaki teoremi verip sürekliliğin yeni bir dağılımını elde ettiler.

3.1.1 Teorem ( [14] )

( X,

τ

, I ) ideal topolojik uzayı ve f :(X,

τ

, I)→(Y,

σ

) fonksiyonu verilsin. Buna göre aşağıdaki ifadeler denktir.

a) f fonksiyonu, süreklidir.

b) f fonksiyonu,

α

- I - süreklidir ve DI ( c,

α

) - süreklidir. c) f fonksiyonu, pre - I - süreklidir ve DI ( c, p ) - süreklidir. d) f fonksiyonu, semi - I - süreklidir ve DI ( c, s ) - süreklidir. e) f fonksiyonu, β - I - süreklidir ve DI ( c,

β

) - süreklidir.

3.1.2 Tanım ( [14] ) ve 3.1.3 Tanımdan ( [15] ) yararlanarak, 3.1.4 Tanım ve 3.1.5 Tanımını vererek, 3.1.2 Teoremini elde ettik. Bu teoremden yararlanarak sürekliliğin yeni bir dağılımını elde ettik.

3.1.4 Tanım

f: ( X,

τ

, I ) → ( Y,σ ) fonksiyonu verilsin. Eğer ( Y,σ ) topolojik uzayının

her V∈σ açık kümesi için, f –1

( V ) kümesi ( X, τ , I ) ideal topolojik uzayında δ -β -I-açık küme ise; bu takdirde f fonksiyonuna, δδδδ-β

β

β

β

-I-sürekli denir.

3.1.5 Tanım

f :(X,

τ

,I)→(Y,

σ

) fonksiyonu olsun. Eğer ( Y,

σ

) topolojik uzayının

her V açık kümesi için, f –1_{( V ) kümesi ( X,}

_τ

_{, I ) ideal topolojik uzayında}

) , (c

δ

β

D_I - küme ise, bu takdirde f fonksiyonuna, DI ( c,

δ

δδ

δ

ββββ )-süreklidir denir.

3.1.2 Teorem.

f :(X,

τ

, I )→(Y,

σ

) fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart

f fonksiyonunun, hem δ -β -I-sürekli ve hem de D_I(c,

δ

_β)- sürekli olmasıdır.

İspat.

2.1.1 Teoremden sonuç görülür.

Yukarıda verdiğimiz 3.1.2 Teoreminde δ -β -I-sürekli ve D_I(c,

δ

_β)- sürekli kavramlarından biri eksik olduğunda 3.1.2 Teoreminin gerçekleşmediğini aşağıdaki örneklerde inceledik.

3.1.1 Örnek

X = {a,b,c,d} kümesi üzerinde, τ = {Ø,X,{b},{a,c},{a,b,c}} topolojisi ve I = {Ø,{b},{c},{b,c}} ideali ile birlikte ( X, τ, I ) ideal topolojik uzayı verilsin.

Y = {a,d} kümesi üzerinde,

σ

= {Ø,Y,{a}} topolojisi ile birlikte ( Y,

σ

) topolojik

uzayı verilsin. f :(X,

τ

,I)→(Y,

σ

) fonksiyonu, f (a) = f (b) = f (c) = a, f (d) = d şeklinde tanımlansın. {a}∈

σ

, A = f−1({a}) = {a,b,c}∈ τ olduğundan süreklidir. Ancak _A−δ _{= X , (A}−δ₎o_{= X , X}∗_{= {a,c,d} olup, ((A}−δ₎o₎−∗ _{= X ∪X}∗ _{= {a,b,c,d}}

} , , , { ) ) (( } , , {a b c A a b c d

A= ⊂ −δ o −∗ = _{olduğundan, A kümesi δ -β -I-açık bir küme} ve dolayısıyla f fonksiyonu, δ -β -I-sürekli bir fonksiyondur fakat,

-24 - } , , { ) ) (( } , {a c A A a b c Ao = ≠ ∩ −δ o −∗ = _{olduğundan, A kümesi ( , )} β

δ

c D_I -I-açık bir

küme değil ve dolayısıyla f fonksiyonu, DI(c,

δ

β)- sürekli değildir.

3.1.2 Örnek

X = {a,b,c,d,e} kümesi üzerinde τ = {Ø,X,{a},{c},{a,c},{a,b},{a,b,c}} topolojisi ve I = {Ø,{c}} ideali verilsin. Y = {a,b} kümesi üzerinde σ = { Ø,Y,{a}} topolojisi ile birlikte ( Y,

σ

) topolojik uzayı verilsin. f :(X,

τ

,I)→(Y,

σ

) fonksiyonu; f (c) = f (d) = a, f (a) = f (b) = f (d) = b şeklinde tanımlansın. {a}∈

σ

için, 1( ) V f− = A = {c,d} olsun. Dolayısıyla; o o _{c d c c A} A A∩(( −δ) )−∗ ={ , }∪{ }={ }=

olup, f fonksiyonunun DI(c,

δ

β)- sürekli olduğu elde edilir. Diğer taraftan, } { ) ) (( } , {c d A c A= ⊄ −δ o −∗ =

KAYNAKLAR

[1]. Abd El-Monsef, M. E., El-Deeb, S. N. and Mahmoud, R. A., 1983, β-open sets and β-continuous mappings, Bull. Fac. Sci. Assiut Univ.,

Studies 12: 77-90

[2]. Abd El-Monsef, M. E., Lashien, E. F. and Nasef, A. A., 1992, On I-open sets and I-continuous functions, Kyungpook Math. J.,

Studies 32(1): 21-30

[3]. Abd El-Monsef, M. E., Lashien, E. F. and Nasef, A. A., 1992, Some topological operators via ideals, Kyungpook Math. J.,

Studies 32(2): 273-284

[4]. Abd El-Monsef, M. E., Lashien, E. F. and Nasef A. A., 1993, S-compactness via ideals, Tamkang J. Math. J.,

Studies 24(4): 431-443

[5]. Dontchev, J., 1996, On pre-I-open sets and a decomposition of I-contiuity, Banyan Math.J.,

Studies 2.

[6]. Janković, D. and Hamlett, T. R., 1990, New topologies from old via ideals, Amer. Math. Monthly,

Studies 97: 295-310

[7]. Dontchev, J. and Przemski, M., 1996, On the various decompositions of continuous and some weakly continuous functions, Acta Math. Hungar., Studies 71:109-120

[8]. Hamlett, T. R. and Janković, D., 1990, Ideals in Topological Spaces and the Set Operator ψ, Bollettino U. M. I.,

Studies 7:863-874

[9]. Hamlett, T. R. and Rose, D., 1992, Local compactness with respect to an ideal, Kyungpook Math. J.,

Studies32(1):31-43

[10]. Hamlett, T. R. and Rose, D., 1992, Remarks on some theorems of Banach, McShane., and Pettis, Rocky Mountain J., Math.,

-26 -

[11]. Hamlett, T. R. and Rose, D., 1993, A note chracterizing countable compactness with respect to an ideal, New Zealand. J. Math., Studies22: 63--66

[12]. Hashimoto, H., 1976, On the *-topology and its applications, Fund. Math., Studies 91:5-10

[13]. Hatır, E. and Noiri, T., 2006, Decompositions of continuity and complete continuity, Acta Math.Hungar.,

Studies 113: 281-287

[14]. Hatır, E. and Noiri, T., 2002, On decompositions of continuity via idealization, Acta Math. Hungar.,

Studies 96: 341-349

[15]. Hatır, E., 2002, Idealization of Przemski’s decomposıtıon theorems Commun.Fac.Sci Univ. Ankara. Turkey

Studies 51: 57-62

[16]. Hatır, E., On decompositions of continuity and

α

-continuity (submitted) [17]. Hayashi, E., 1964, Topologies defined by local properties, Math. Ann.,

Studies 156: 205-215

[18]. Park, J. H., Lee, Y. and Son, M.J., 1997, On δ-semi open sets in topological spaces, J.Indian Acad. Math.,

Studies 19: 59-67

[19]. Kuratowski, K., 1933, Topologie I, Warszawa.

[20]. Levine, N., 1963, Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces, Amer. Math. Monthly,

Studies 70: 36-41.

[21]. Mashhour, A. S., Abd El-Monsef, M. E. and El-Deeb, S. N., 1982, On pre- continuous and weak pre-continuous mappings, Proc. Math. Phys. Soc. Egypt, Studies 53: 47-53.

[22]. Newcomb, R. L., 1967, Topologies which are compact modulo an ideal, Ph. D. Dissertation, Univ. of Cal. at Santa Barbara.

[23]. Njastad, O., 1965, On some nearly open sets, Pacific J. Math., Studies 15: 961-970

[24]. N.V. Velićko,1968, H-closed topological spaces, Amer.Math. Soc. Transl., Studies 78: 103-118

[25]. Przemski, M., A decompositions of continuity and α-continuity, Acta Math. Hungar.,

Studies 61:93-98

[26]. Samuels, P., 1975 A topology formed from a given topological space, J. London Math.Soc. (2),

Studies 10: 409-416

[27]. Vaidyanathaswamy, R., 1945, The localization theory in set-topology, Proc. Indian Acad. Sci.,

Studies 20: 51-61

[28]. Vaidyanathaswamy, R., 1960, Set topology, Chelsea Publishing Company, New York.