Maksimum-Çarpım operatörlerinin yaklaşım özellikleri

MAKSMUM-ÇARPIM OPERATÖRLERNN YAKLA“IM ÖZELLKLER

ENGN SARI

YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

NSAN 2015 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Osman ERO‡UL Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Mustafa BAYRAKTAR Anabilim Dal Ba³kan

ENGN SARI tarafndan hazrlanan MAKSMUM-ÇARPIM OPERATÖR-LERNN YAKLA“IM ÖZELLKLER adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Prof. Dr. Oktay DUMAN Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Prof. Dr. Mustafa BAYRAKTAR

Üye : Prof. Dr. Oktay DUMAN

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Matematik

Tez Dan³man : Prof. Dr. Oktay DUMAN Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  Nisan 2015

Engin SARI

MAKSMUM-ÇARPIM OPERATÖRLERNN YAKLA“IM ÖZELLKLER

ÖZET

Bu yüksek lisans tezinde istatistiksel yaknsaklk kavram kullanlarak pseudo-lineer yapdaki maksimum-çarpm operatörlerinin yakla³m özellikleri incelen-mi³tir.

Hem klasik hem de istatistiksel yakla³m sonuçlar üzerinde durulmu³tur. Üstelik elde edilen yakla³mn istatistiksel oranlar ile ilgili sonuçlara da yer verilmi³tir. Son olarak lineer olmayan bu operatörler için q-Bernstein polinomlar yardmyla yeni bir uygulama sunulmu³tur.

Anahtar Kelimeler: A-istatistiksel yaknsaklk, süreklilik modülü, maksimum-çarpm operatörleri, Shepard operatörleri, q-Bernstein polinomlar.

University : TOBB University of Economics and Technology Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Mathematics

Supervisor : Prof. Dr. Oktay DUMAN

Degree Awarded and Date : M.Sc.  April 2015

Engin SARI

APPROXIMATION PROPERTIES OF MAX-PRODUCT OPERATORS

ABSTRACT

In this thesis, by using the notion of statistical convergence, we investigate the aproximation properties of max-product operators that are pseudo-linear.

Both classical and statistical approximation results are studied. Moreover, the results related to the statistical rates of the approximation are discussed. Finally, a new application is presented for those nonlinear operators by means of q-Bernstein polynomials.

Keywords: A-statistical convergence, modulus of continuity, max-product operators, Shepard operators, q-Bernstein polynomials.

TE“EKKÜR

Bu çal³ma konusunu bana veren ve çal³malarm boyunca ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren de§erli dan³man hocam Prof. Dr. Oktay DUMAN'a ve ayrca çal³malarmn her a³amasnda bana yardmc olan karde³im Deniz SARI'ya sayg ve te³ekkürlerimi sunarm.

ÇNDEKLER

ÖZET iv ABSTRACT v TE“EKKÜR vi ÇNDEKLER vii SEMBOLLER ix 1 GR“ 1 2 TEMEL TANIMLAR 2 2.1 Yo§unluk . . . 2 2.2 statistiksel Yaknsaklk . . . 3 2.3 A-Yo§unluk . . . 4 2.4 A-statistiksel Yaknsaklk . . . 5 2.5 Süreklilik Modülü . . . 6

3 MAKSMUM- ÇARPIM OPERATÖRLER 8 3.1 A-statistiksel Yakla³m Teoremi . . . 9 3.2 A-statistiksel Yaknsaklk Oran . . . 13

4 SONUÇLAR VE UYGULAMALAR 20

4.1 q-Bernstein Polinomlar . . . 20 4.2 Sonuç Uyarlar . . . 26

KAYNAKLAR 27

SEMBOLLER

Bu çal³mada kullanlm³ olan semboller açklamalaryla birlikte a³a§da verilmek-tedir.

Semboller Açklama

(X, d) kompakt metrik uzay

|K| K kümesinin eleman says

δ(K) K kümesininin yo§unlu§u

δA(K) K kümesinin A-yo§unlu§u

C1 birinci mertebeden Ces`aro matrisi

χK K kümesinin karakteristik fonksiyonu

C(X, [0, ∞)) X metrik uzay üzerinde tanml, negatif olmayan sürekli fonksiyonlarn uzay

ω(f, δ) (δ > 0) f fonksiyonunun süreklilik modülü Ln(f ; x) maksimum-çarpm operatörü

Sλ

n(f ; x) Shepard maksimum-çarpm operatörü

stA− o(pn) o(pn) orannda A-istatistiksel yaknsaklk

1. GR“

Korovkin tipinde yakla³mlar teorisi temel olarak operatör dizilerinin düzgün yaknsakl§na, pozitii§ine ve lineerli§ine dayanmaktadr. Literatürde her üç dayanak noktas için çe³itli ilerlemeler ve geni³letmeler bulunmaktadr. Örne§in düzgün yaknsaklk yerine toplam süreci (aritmetik ortalama yaknsaklk, hemen hemen yaknsaklk vb.) ve istatistiksel yaknsaklk gibi daha zayf yaknsaklk metotlar kullanlm³tr (bkz: [3],[4],[13],[17]). Operatörlerin pozitii§i kavram da fonksiyonun artanl§, azalanl§, konveksli§i ve konkavl§ özelliklerinden yararlanlarak zayatlm³tr (bkz: [2],[3]).Yakla³m operatörlerinin lineerli§i ise son yllarda Bede ve arkada³lar tarafndan pseudo-lineerlik kavram kullanlarak geli³tirilmi³tir (bkz: [5],[6],[7],[8]). Duman tarafndan verilen [9] no'lu makalede ise hem yaknsaklk metotu hem de lineerlik kavram zayatlm³tr. Bu yüksek lisans tezinde daha çok [9] da elde edilen sonuçlar üzerinde duraca§z. Bunun için önce çal³lacak yakla³m operatörleri tanmlanacak daha sonra onun klasik ve istatistiksel yakla³m özellikleri incelenecektir. Tezin son ksmnda elde edilen sonuçlar özel bir yakla³m operatörü üzerine uygulanacaktr. Burada q-tamsaylaryla tanmlanan genelle³tirilmi³ Bernstein operatörlerinin lineer ol-mayan versiyonlar in³a edilecektir.

2. TEMEL TANIMLAR

Bu bölümde, ilerde ihtiyaç duyaca§mz baz temel tanm ve notasyonlara yer verece§iz. Öncelikle "yo§unluk", "A-yo§unluk" tanmlar yaplarak, bu tanmlar yardmyla "istatistiksel yaknsaklk" ve "A-istatistiksel yaknsaklk" kavramlar verilecektir. Son olarak teoremlerin ispatlarnda kullanaca§mz "süreklilik modülü" tanm verilerek, süreklilik modülünün baz temel özelliklerine de§inilecektir.

2.1 Yo§unluk

N do§al saylar kümesini göstermek üzere bir K ⊂ N altkümesi verilsin ve Kn=

{k ≤ n : k ∈ K} ³eklinde bir küme tanmlansn. K kümesinin eleman says da |K| ile gösterilsin.

Tanm 2.1.1. Bir K ⊂ N altkümesi için

lim

n

1 n|Kn|

limiti mevcut ise, bu limit de§erine K kümesinin yo§unlu§u denir ve δ(K) ile gösterilir [20]. Bu tanma göre asal saylar kümesi 0 yo§unluklu iken do§al saylar kümesinin yo§unlu§u 1 olup, do§al saylarn her bir sonlu altkümesi de 0 yo§unlukludur. Bunun yansra, örne§in δ({n2 _{: n ∈ N}) = δ({n}3 _{: n ∈ N}) = 0}

ve δ({2n : n ∈ N}) = δ({2n − 1 : n ∈ N}) = 1/2 oldu§u tanmdan çkarlabilir. Bir küme 0 yo§unluklu ise onun her alt kümesi de 0 yo§unlukludur. Ayrca bir B kümesi yo§unlu§a sahip ise, bu durumda δ(N\B) = 1 − δ(B) olacaktr [12],[20].

2.2 statistiksel Yaknsaklk

Bu bölümde yo§unluk kavram kullanlarak bilinen klasik yaknsaklk tanmndan daha zayf olan istatistiksel yaknsaklk tanmna yer verilecektir.

Tanm 2.2.1. Bir x dizisinin L saysna istatistiksel yaknsak olmas demek her ε > 0 için

lim

j

1

j|n ≤ j : |xn− L| ≥ ε| = 0

olmas demektir. Denk bir ifade ile, K := K(ε) = {n ≤ j : |xn− L| ≥ ε} olmak

üzere her ε > 0 için

δ(K(ε)) = 0

olmas demektir. statistiksel yaknsaklk xn → L(stat) veya st − limnxn = L

³eklinde gösterilir [11],[22].

Bu tanma göre, e§er x dizisi bir L saysna istatistiksel yaknsak ise bu durumda L saysnn herhangi bir ε > 0 kom³ulu§unda dizinin sonsuz çoklukta terimi bulunurken bu kom³ulu§un d³nda da indis kümesinin yo§unlu§u sfr olmak ko³uluyla yine diziye ait sonsuz çoklukta terim bulunabilir. Bu durum istatistiksel yaknsakl§n klasik yaknsaklktan daha genel oldu§unu gösterir. Buradan anla³lmaktadr ki yaknsak her dizi ayn de§ere istatistiksel yaknsaktr; fakat yaknsak olmamasna ra§men istatistiksel yaknsak diziler tanmlanabilir.

Örnek 2.2.1. Genel terimi

x = (xn) =

(

1, n = m2 ise 0, n 6= m2 ise

³eklinde tanmlanan x dizisi için st−limnxn= 0 oldu§u görülebilir, fakat buradaki

x dizisi klasik anlamda yaknsak de§ildir.

Yaknsak her dizi snrldr fakat istatistiksel yaknsak dizilerin snrl olmas gerekmez. Bu ilginç özelli§i sa§layan bir dizi örne§ini a³a§daki ³ekilde verebiliriz. Örnek 2.2.2. x = (xn) dizisinin genel terimi

x = (xn) =

( √

n, n = m2 _ise

0, n 6= m2 ise

³eklinde tanmlayalm. Bu durumda yine st − limnxn = 0 olmasna ra§men bu x

dizisi üstten snrszdr.

2.3 A-Yo§unluk

Bu bölümde yo§unluk ve istatistiksel yaknsaklk kavram regüler matrisler kullanlarak geli³tirilecektir.

Tanm 2.3.1. A = (ajn) j, n = 1, 2,...; sonsuz bir matris olmak üzere verilen

bir x = (xj) dizisi için, x in "A-dönü³üm dizisi", Ax := ((Ax)j) ile gösterilir ve

(Ax)j = ∞

X

n=1

ajnxn

³eklinde tanmlanr. Burada her bir n için seri yaknsak kabul edilmektedir. E§er limjxj = L oldu§unda limj(Ax)j = L ko³ulu gerçekleniyorsa, bu durumda A

"regüler matris" adn alr [14].

Toplanabilme teorisinde C1 := (cjn) Ces`aro matrisi

cjn=

( ₁

j, 1 ≤ n ≤ j ise

ile tanmlanr. Kolayca görülece§i üzere Ces`aro matrisi regülerdir. Bir A = (ajn) matrisinin regüler olmas, Silverman - Toeplitz ko³ullar olarak da bilinen

a³a§daki teorem ile karakterize edilir. “imdi bu teoremi ispatsz olarak verece§iz. Teorem 2.3.1. (Silverman-Toeplitz) Bir A = (ajn) matrisinin regüler olmas

için gerek ve yeter ko³ul

i. supj

P∞

n=1|ajn| < ∞,

ii. ∀ n için an:= limjajn= 0,

iii. limj

P∞

n=1ajn= 1

ko³ullarnn sa§lanmasdr [14],[18].

Tanm 2.3.2. A = (ajn), negatif olmayan regüler bir toplanabilme matrisi olsun.

Bir K ⊂ N altkümesi için

δA(K) = lim j ∞ X n=1 ajnχK(n) (2.1)

limiti mevcut ise, bu limit de§erine K kümesinin A-yo§unlu§u denir. Buna denk olarak, δA(K) = lim j X n∈K ajn (2.2)

yazabiliriz. (2.1) deki χK sembolü, K kümesinin karakteristik fonksiyonunu

göstermektedir [12].

2.4 A-statistiksel Yaknsaklk

Bu ksmda da A-yo§unluk yardmyla A-istatistiksel yaknsaklk kavramn tantaca§z.

Tanm 2.4.1. A = (ajn)negatif olmayan regüler bir matrsi olsun. E§er her ε > 0

için K := K(ε) = {n ≤ j : |xn− L| ≥ ε} olmak üzere

lim j ∞ X n=1 ajnχK(ε)(n) = 0 (2.3)

ise, ya da buna denk olarak her ε > 0 için

lim

j

X

n:|xn−L|≥ε

ajn= 0 veya δA(K(ε)) = 0 (2.4)

gerçekleniyorsa, bu durumda x = (xn) dizisi L saysna A-istatistiksel yaknsaktr

denir ve stA− lim x = L ile gösterilir [12],[19].

Bu tanma göre, e§er (2.4) ile verilen denklemde A matrisi yerine I birim matrisini alrsak, bu durumda klasik anlamda yaknsaklk elde edilir. Yani; stI− lim x =

lim x = L bulunur. A yerine C1 Ces`aro matrisi alnd§nda ise, A-istatistiksel

yaknsaklk istatistiksel yaknsakl§a indirgenir.

A-istatistiksel yaknsaklk tanm kullanlarak yaknsak her dizinin A- istatistiksel yaknsak oldu§u görülebilir. Fakat bunun kar³t her zaman için do§ru de§ildir. limjmaxn{ajn} = 0 ³artn sa§layan negatif olmayan regüler A = (ajn) matrisi

için A-istatistiksel yaknsaklk klasik yaknsaklktan daha güçlü bir ifadedir [15].

2.5 Süreklilik Modülü

(X, d) kompakt metrik uzay ve f, X üzerinde sürekli, reel de§erli bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun süreklilik modülü ω(f, δ) ile gösterilir ve

olarak tanmlanr. Burada W sembolü maksimumu göstermektedir. Süreklilik modülü, δ > 0 uzunlu§unu a³mayan bir aralkta fonksiyonunun maksimum salnmn ifade etmektedir.

“imdi süreklilik modülünün baz temel özelliklerini verelim (bkz: [1],[16]).

i. Her x, y ∈ X için |f(x) − f(y)| ≤ ω(f, d(x, y)) e³itsizli§i gerçeklenir, ii. Her δ > 0 ve her n ∈ N için ω(f, nδ) ≤ nω(f, δ) e³itsizli§i sa§lanr, iii. Her λ, δ > 0 için ω(f, λδ) ≤ (1 + λ)ω(f, δ) e§itsizli§i gerçeklenir.

3. MAKSMUM- ÇARPIM OPERATÖRLER

(X, d), kompakt metrik uzay ve A = (ajn), negatif olmayan regüler bir matris

olsun. Bu durumda maksimum-çarpm operatörü

Ln(f ; x) = n

_

k=0

Kn(x, xk).f (xk), x ∈ X ve f ∈ C(X, [0, ∞)) (3.1)

³eklinde tanmlanr (bkz: [6],[9]). Bu çal³mada ∀x ∈ X için

δA {n ∈ N : n

_

k=0

Kn(x, xk) = 1}
= 1 (3.2)

e³itli§inin sa§land§ kabul edilecektir. Burada k = 0, 1, ..., n için xk lar X metrik

uzayndan alnan temsilci noktalar olup Kn(x, xk) çekirdek fonksiyonunun da X

metrik uzay üzerinde tanml, negatif olmayan x'e göre sürekli bir fonksiyon oldu§u kabul edilmektedir.

“imdi maksimum-çarpm operatörleri için pseudo-lineerlik özelli§ini hatrlayalm.

∀f, g ∈ C(X, [0, ∞)) ve ∀α, β ≥ 0 için Ln(α.f _ β.g; x) = α.Ln(f ; x) _ β.Ln(g; x)

e³itli§i gerçeklenir [6]. Bu e³itlik bize göstermektedir ki maksimum-çarpm operatörleri klasik anlamda lineer operatörler de§ildir.

3.1 A-statistiksel Yakla³m Teoremi

Makimum-çarpm operatörlerinin yakla³m teoreminden önce a³a§daki lemmaya ihtiyaç duyaca§z.

Lemma 3.1.1. ∀ak, bk ∈ [0, ∞) ve k = 0, 1, ..., n için

| n _ k=0 ak− n _ k=0 bk| ≤ n _ k=0 |ak− bk| e³itsizli§i gerçeklenir [6].

spat. Maksimum-çarpm operatörlerinin azalmayan özelli§ini kullanarak

n _ k=0 ak= n _ k=0 |bk+ ak− bk| ≤ n _ k=0 bk+ |ak− bk|

e³itsizli§ini elde ederiz. Bu e³itsizli§i düzenlersek istenileni elde etmi³ oluruz. “imdi O. Duman tafarndan 2010 ylnda verilen istatistiksel yakla³m teoremini ifade edebiliriz (bkz: [9]).

Teorem 3.1.1. (X, d), kompakt metrik uzay ve A = (ajn), negatif olmayan

regüler bir matris olsun. E§er (3.1) ve (3.2) ile verilen Ln operatörü,

stA− lim

n  _{|Ln(ϕx; x)| : x ∈ X} = 0, ϕx(y) = d 2_{(y, x)}

³artn sa§lyorsa ∀f ∈ C(X, [0, ∞)) için

stA− lim

n  _{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} = 0

spat. x ∈ X ve f ∈ C(X, [0, ∞)) verilsin. f nin X üzerindeki düzgün süreklili§inden ∀ε > 0 için ∃ δ > 0 öyle ki,

|f (x) − f (y)| ≤ ε + 2Mf

δ2 ϕx(y) (3.3)

e³itsizli§i ∀y ∈ X için sa§lanr. Burada Mf := W{|f (y)| : y ∈ X} olarak

tanmlanm³tr. K := {n ∈ N : n _ k=0 Kn(x, xk) = 1}

kümesini göz önüne alrsak (3.2) den δA(K) = 1 ya da δA(N \ K) = 0 bulunur.

∀n ∈ K için (3.3) ve Lemma 3.1.1 uyarnca

|Ln(f ; x) − f (x)| = | n _ k=0 Kn(x, xk).f (xk) − n _ k=0 Kn(x, xk).f (x)| ≤ n _ k=0 Kn(x, xk).|f (xk) − f (x)| ≤ n _ k=0 Kn(x, xk). ε + 2Mf δ2 ϕx(xk)
≤ ε +2Mf δ2 n _ k=0 Kn(x, xk).ϕx(xk) = ε +2Mf δ2 Ln(ϕx; x)

elde edilir. x ∈ X üzerinden maksimum alrsak, ∀n ∈ K için

_ {|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} ≤ ε + 2Mf δ2 _ {|Ln(ϕx; x)| : x ∈ X}

e³itsizli§i gerçeklenir. Verilen bir r > 0 says için ε < r olacak ³ekilde ε > 0 seçerek D ve D0 _{kümelerini a³a§daki ³ekilde tanmlayabiliriz:}

D :=n ∈ N : (_{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X}) ≥ r ,

D0 :=n ∈ N : (_{|Ln(ϕx; x)| : x ∈ X}) ≥

(r − ε)δ2

2Mf

.

D ve D0 kümelerinin tanmndan yararlanarak

D ∩ K ⊆ D0 ∩ K

oldu§unu kolaylkla görebiliriz. Buna göre ∀j ∈ N için a³a§daki e³itsizlik gerçeklenir: X n∈D∩K ajn≤ X n∈D0_∩K ajn ≤ X n∈D0 ajn.

“imdi j → ∞ üzerinden limit alrsak

lim

j

X

n∈D∩K

ajn = 0

bulunur. Ayrca ∀j ∈ N için

X n∈D ajn = X n∈D∩K ajn+ X n∈D∩(N\K) ajn ≤ X n∈D∩K ajn+ X n∈(N\K) ajn

lim

j

X

n∈D

ajn = 0

ifadesi bulunur ki bu da bize maksimum-çarpm operatörlerinin istatistiksel yaknsakl§n verir. Yani sonuç olarak

stA− lim

n  _{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} = 0

bulunur.

“imdi Teorem 3.1.1 in bir sonucu olarak a³a§dakini elde edebiliriz.

Sonuç 3.1.1. (X, d), kompakt metrik uzay olsun. E§er (3.1) ile tanmlanan Ln

operatörleri

n

_

k=0

Kn(x, xk) = 1(∀n ∈ N, x ∈ X)

³artn sa§lyor ve {Ln(ϕx)}n∈N dizisi, sfr fonksiyonuna X üzerinde düzgün

yaknsaksa, her f ∈ C(X, [0, ∞)) için {Ln(f )}n∈N dizisi de f fonksiyonuna X

üzerinde düzgün yaknsaktr [9].

Teorem 3.1.1, maksimum-çarpm operatörlerinin bir f ∈ C(X, [0, ∞)) fonksiy-onuna istatistiksel yaknsakl§n verirken; Sonuç 3.1.1, bize klasik yaknsakl§ vermektedir. Fakat a³a§daki örnek ikisi arasndaki ili³kiyi ortaya koymaktadr. Örnek 3.1.1. (X, d), kompakt metrik uzay olsun. x ∈ X, λ, n ∈ N ve f ∈ C(X, [0, ∞)) için Shepard maksimum-çarpm operatörü:

S_nλ(f ; x) = n _ Kn,λ(x, xk).f (xk) = Wn k=0 f (xk) dλ_(x,x k) Wn 1

³eklinde tanmlanr. Burada Kn,λ(x, xk) çekirdek fonksiyonu a³a§daki ³ekilde verilmektedir: Kn,λ(x, xk) = 1 dλ_(x,x k) Wn j=0 1 dλ_(x,x j) , x /∈ {xk : k = 0, 1, ..., n}. Her f ∈ C(X, [0, ∞)) için {Sλ

n(f ; x)} dizisi f fonksiyonuna X üzerinde düzgün

yaknsaktr [7]. Sfr fonksiyonuna A-istatistiksel olarak yaknsak fakat klasik anlamda raksak bir (un) dizisi tanmlayabiliriz [15]. Tanmlad§mz (un) dizisi

ve {Sλ

n(f ; x)}dizisi yardmyla, x ∈ X ve f ∈ C(X, [0, ∞)) için maksimum-çarpm

operatörünü

Tn(f ; x) = (1 + un)Snλ(f ; x) (3.4)

³elinde tanmlarsak Teorem 3.1.1 in tüm ³artlar Tn operatörü için gerçeklenir.

Buradan ∀f ∈ C(X, [0, ∞)) için

stA− lim

n  _{|Tn(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} = 0

buluruz. Fakat dikkat edilirse (un) klasik anlamda yaknsak olmad§ndan (3.4)

ile verilen (Tn(f )) dizisiyle f fonksiyonuna yakla³mak imkanszdr.

3.2 A-statistiksel Yaknsaklk Oran

Bu bölümde Teorem 3.1.1 de elde edilen istatistiksel yakla³mn oranlarna de§inece§iz. Önce [10] da verilen a³a§daki iki tanma ihtiyaç vardr.

Tanm 3.2.1. A = (ajn) negatif olmayan regüler bir matris ve (pn)n∈N pozitif

lim j 1 pj X n:|xn−L|≥ε ajn= 0

ise, bu durumda x = (xn)n∈N dizisine o(pn) orannda L saysna A-istatistiksel

yaknsaktr denir ve xn− L = stA− o(pn) (n → ∞) ile gösterilir.

Tanm 3.2.2. A = (ajn) negatif olmayan regüler bir matris ve (pn)n∈N pozitif

terimli artmayan bir dizi olsun. Her ε > 0 için

lim

j

X

n:|xn−L|≥εpn

ajn= 0

ise, bu durumda x = (xn)n∈N dizisine om(pn) orannda L saysna A-istatistiksel

yaknsaktr denir ve xn− L = stA− om(pn)(n → ∞) ile gösterilir.

statistiksel yaknsaklk oranlaryla ilgili Teoremlere geçmeden önce maksimum-çarpm operatörleri için a³a§daki lemmaya itiyaç duyarz.

Lemma 3.2.1. Her ak, bk ≥ 0(k = 0, 1, , n) için

n _ k=0 akbk≤ v u u t n _ k=0 a2 k v u u t n _ k=0 b2 k e³itsizli§i sa§lanr [9]. spat. p, q ∈ {0, 1, , n} için n _ k=0 ak = ap ve n _ k=0 bk = bq

oldu§unu farzedelim. ∀k = 0, 1, , n için n _ k=0 akbk≤ apbq, n _ k=0 a2_k = a2_p ve n _ k=0 b2_k= b2_q

e³itsizlikleri sa§lanr. Buradan da sonuç kolaylkla elde edilir.

Teorem 3.2.1. (X, d), kompakt metrik uzay, A = (ajn), negatif olmayan regüler

bir matris ve (pn)n∈N pozitif terimli artmayan bir dizi olsun. E§er (3.1) ve (3.2)

ile verilen Ln operatörü f ∈ C(X, [0, ∞)) için

ω(f, δn) = stA− o(pn) (n → ∞)

δn :=

q _

{Ln(ϕx; x) : x ∈ X}, ϕx(y) = d2(y, x)

³artn sa§lyorsa, her n ∈ N için qn ≥ pn ve qn ≥ 1 ³artn sa§layan pozitif

terimli artmayan bir (qn) dizisi için

_

{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} = stA− o(qn) (n → ∞)

e³itli§i gerçeklenir [9].

spat. x ∈ X ve f ∈ C(X, [0, ∞)) olsun. Teorem 3.1.1 in ispatndaki ayn K kümesini kullanarak ∀n ∈ K ve δ > 0 için Lemma 3.2.1 uyarnca

|Ln(f ; x) − f (x)| ≤ n _ k=0 Kn(x, xk).|f (xk) − f (x)| ≤ n _ k=0 Kn(x, xk).ω(f, d(xk, x)) ≤ ω(f, δ) n _ k=0 Kn(x, xk).(1 + d(xk, x) δ ) = ω(f, δ)1 +1 δ n _ k=0 Kn(x, xk)d(xk, x) = ω(f, δ) ( 1 + 1 δ v u u t n _ k=0 [Kn(x, xk)]. v u u t n _ k=0 [Kn(x, xk)d2(xk, x)] )

elde edilir. Buradan ∀n ∈ K ve δ > 0 için

|Ln(f ; x) − f (x)| ≤ ω(f, δ){1 +

1 δ

p

Ln(d2(., x); x)}

e³itsizli§i bulunur. Ayn n ve δ de§eri için

_

{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} ≤ ω(f, δ){1 +

δn

δ } e³itsizli§ini elde ederiz. Özel olarak δ := δn seçersek

_

{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} ≤ 2ω(f, δn)

buluruz. ε > 0 için E ve E0 _{kümelerini a³a§daki gibi tanmlayabiliriz:}

E0 : n ∈ N : ω(f, δn) ≥

ε 2 . Bu tanmlardan yararlanarak

E ∩ K ⊆ E0 ∩ K

yazabiliriz. ∀j ∈ N için qj ≥ pj oldu§undan

1 qj X n∈E∩K ajn ≤ 1 pj X n∈E0_∩K ajn≤ 1 pj X n∈E0 ajn

e³itsizli§ini elde ederiz. j üzerinden limit alrsak

lim j 1 qj X n∈E∩K ajn = 0

buluruz. Teorem 3.1.1 in ispatnda oldu§u gibi

X n∈E ajn= X n∈E∩K ajn+ X n∈E∩(N\K) ajn≤ X n∈E∩K ajn+ X n∈(N\K) ajn yazabiliriz. Buradan 1 qj X n∈E ajn ≤ 1 qj X n∈E∩K ajn+ 1 qj X n∈(N\K) ajn

1 qj X n∈E ajn≤ 1 qj X n∈E∩K ajn+ X n∈(N\K) ajn

e³itsizli§i sa§lanr. j → ∞ üzerinden limit alrsak

lim j 1 qj X n∈E ajn = 0 buluruz. Buradan _ {|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} = stA− o(qn) (n → ∞) sonucuna ula³rz.

Bir di§er A-istatistiksel oran teoremini de a³a§daki ³ekilde ifade edebiliriz. Teorem 3.2.2. (X, d), kompakt metrik uzay, A = (ajn), negatif olmayan regüler

bir matris ve (pn)n∈N pozitif terimli artmayan bir dizi olsun. E§er (3.1) ve (3.2)

ile verilen Ln operatörü f ∈ C(X, [0, ∞)) için

ω(f, δn) = stA− om(pn) (n → ∞)

δn :=

q _

{Ln(ϕx; x) : x ∈ X}, ϕx(y) = d2(y, x)

³artn sa§lyorsa, her n ∈ N için qn≥ pn³artn sa§layan pozitif terimli artmayan

bir (qn) dizisi için

_

e³itli§i gerçeklenir [9].

spat. ε > 0 için F ve F0 _kümelerini

F : n ∈ N : (_{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X}) ≥ εqn ,

F0 : n ∈ N : ω(f, δn) ≥

εpn

2

³eklinde tanmlayalm. Bu durumda az önceki ispat tekni§inden yararlanarak

F ∩ K ⊆ F0∩ K yazabiliriz. Buradan lim j X n∈F ∩K ajn= 0

e³itli§ini elde ederiz. Sonuç olarak

lim j X n∈F ajn= 0 olup, bu ise W{|Ln(f ; x) − f (x)| : x ∈ X} = stA− om(qn) (n → ∞) demektir.

4. SONUÇLAR VE UYGULAMALAR

Bu bölümde, maksimum-çarpm operatörlerinin klasik Bernstein polinomu ve onun q-genelle³tirmesi üzerine olan uygulamalarna yer verilecektir.

4.1 q-Bernstein Polinomlar

Kabul edelim ki; n ∈ N, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1] ve q ∈ (0, 1] olsun. Bernstein polinomu ve onun q-genelle³tirmesi

Bn(f ; x) = n X k=0 n k  fk n  xk(1 − x)n−k, (4.1) Bn(f ; x; q) = n X k=0 " n k # q f[k]q [n]q  xk n−k−1 Y s=0 (1 − qsx) (4.2)

olarak tanmlanmaktadr [17],[21]. Burada

[n]q := 1 + q + ... + qn−1(n = 1, 2, ...); [0]q := 0, [n]q = ( _1−qn 1−q , q 6= 1 ise [n]q= n, q = 1 ise ve

[n]q! = ( [n]q...[2]q[1]q, n = 1, 2, ... ise 1, n = 0 ise " n k # q := [n]q! [k]q![n − k]q! olarak tanmlanmaktadr.

Burada Bn(f ; x) derecesi en fazla n olan bir polinomu göstermektedir. Kolayca

görebiliriz ki; Bn(f ; 0) = f (0) ve Bn(f ; 1) = f (1) e³itlikleri gerçeklenir.

Bernstein teoremi, [0, 1] aral§ üzerinde Bn(f ) dizisinin f fonksiyonuna düzgün

yaknsad§n ifade etmektedir. E§er q = 1 seçersek, genelle³tirilmi³ Bernstein polinomu klasik Bernstein polinomuna dönü³ür. Her n ∈ N ve her q ∈ (0, 1] için q-Bernstein polinomlar

Bn(f ; 0; q) = f (0), Bn(f ; 1; q) = f (1)

özelliklerini sa§lamaktadr.

(4.1) ve (4.2) ile tanmlanan Klasik Bernstein polinomlar ve q-Bernstein polinom-lar pozitif ve lineer operatörlerdir. Bu nedenle yakla³n özellikleri klasik Korovkin teoremi yardmyla incelenebilir [16]. Klasik Bernstein polinomlarnn lineer olmayan yapdaki modikasyonu Bede ve Gal tarafndan üretilmi³tir [5]. Lineer olmayan yapdaki operatörler için klasik Korovkin teoremini uygulayamayz ancak bu yeni operatörlerin klasik Bernstein polinomlaryla benzer yakla³m özellikleri oldu§u Bede ve Gal tarafndan gösterilmi³tir [5]. Operatörler lineer olmad§ndan dolay bu çal³malar yakla³m teoremine önemli katklar sa§lamaktadr. “imdi q-Bernstein polinomlarnn lineer olmayan yapdaki versiyonunu inceleyece§iz.

olarak tanmlayalm. Binom açlmndan dolay n X k=0 n k  xk(1 − x)n−k = [x + (1 − x)]n = 1

oldu§unu biliyoruz. Bundan yararlanarak klasik Bernstein polinomunu

Bn(f ; x) = Pn k=0 n k
f  k n  xk_{(1 − x)}n−k Pn k=0 n k
xk(1 − x)n−k

³eklinde ifade edebiliriz. Bu formülde toplam operatörünü, maksimum oper-atörüyle yer de§i³tirerek Bede ve Gal [5] a³a§daki lineer olmayan yakla³m operatörünü elde etmi³tir:

B_n(M )(f ; x) = Wn k=0 n k
f  k n  xk_{(1 − x)}n−k Wn k=0 n k
xk(1 − x)n−k , (f ∈ C+[0, 1], n ∈ N). (4.3)

Burada "M" har maksimumun ksaltmasdr. Bu lineer olmayan yakla³m operatörlerinin süreklilik modülü yardmyla yakla³m hz a³a§daki ³ekilde hesaplanm³tr: |B(M ) n (f ; x) − f (x)| = ω(f, 1 √ n + 1).

Benzer ³ekilde lineer olmayan q-Bernstein operatörlerini de a³a§daki ³ekilde tanmlayabiliriz: B_n(M )(f ; x; q) = Wn k=0pn,k(x; q)f  [k]q [n]q  n . (4.4)

Burada n ∈ N, f ∈ C+[0, 1], x ∈ [0, 1] ve q ∈ (0, 1) olmak üzere pn,k(x; q), pn,k(x; q) = " n k # q xk n−k Y s=1 (1 − qsx)

³eklinde verilmektedir. E§er xn,k ve Kn(x, xn,k) ifadeleri

xn,k = [k]q [n]q ve Kn(x, xn,k) = pn,k(x; q) Wn k=0pn,k(x; q)

³eklinde tanmlanrsa q-Bernstein operatörleri için daha önce de (3.1) de verildi§i gibi a³a§daki formu elde ederiz:

B_n(M )(f ; x; q) =

n

_

k=0

Kn(x, xn,k).f (xn,k).

q → 1− iken (4.4) ile verilen Bn(M )(f ; x; q) operatörü (4.3) ile verilen B(M )n (f ; x)

operatörüne indirgenir. Kolayca görebiliriz ki; her x ∈ [0, 1] ve her q ∈ (0, 1) için

n

_

k=0

pn,k(x; q) > 0

e³itsizli§i gerçeklenir. Bu nedenle B(M )

n (f ; x; q) operatörü iyi tanmldr. Her

f ∈ C+[0, 1] için

B_n(M )(f ; 0; q) = f (0)

e³itli§i gerçeklenir. Ayrca f ∈ C+[0, 1] ve f fonksiyonu [0, 1] aral§ üzerinde

B_n(M )(f ; 1; q) = f (1)

e³itli§ini elde ederiz. Gerçekten, f fonksiyonu [0, 1] aral§ üzerinde azalmayan oldu§unda pn,k(1; q)f [k]_q [n]q  ≤ pn,n(1; q)f [n]_q [n]q  = f (1)

e³itsizli§i gerçeklenir. Buradan B(M )

n (f ; 1; q) = f (1) ifadesine ula³rz. Fakat

her f ∈ C+[0, 1] için bu sonuç elde edilemez. Örne§in [0, 1] aral§ üzerinde

f (x) = 1 − x fonksiyonunu göz önüne alrsak, her q ∈ (0, 1) için

B_n(M )(f ; 1; q) > pn,0(1; q)f (0) = n

Y

s=1

(1 − qs) > 0 = f (1)

e³itsizli§ini elde ederiz. f ∈ C+[0, 1] iken, her n ∈ N ve q ∈ (0, 1) için

Bn(M )(f ; .; q) ∈ C+[0, 1] oldu§unu görebiliriz; ancak C+[0, 1] üzerinde lineer

de§ildir.

f, g ∈ C+[0, 1] için B (M )

n (f ; x; q) operatörü monoton artandr. Yani

f ≤ g ⇒ B(M )_n (f ; x; q) ≤ B_n(M )(g; x; q) (4.5)

e³itsizli§i sa§lanr. Ayrca her f, g ∈ C+[0, 1] için

B_n(M )(f + g; x; q) ≤ B_n(M )(f ; x; q) + B_n(M )(g; x; q) (4.6)

e³itsizli§i sa§lanr. Bu e³itsizlik B(M )

n (f ; x; q) operatörünün C+[0, 1] üzerinde

“imdi (4.5) ve (4.6) ile verilen e³itsizlikleri ve B(M )

n (e0; 1; q) = 1 e³itli§ini

kullanarak B(M )

n (f ; x; q) operatörü için a³a§daki sonucu elde ederiz.

Sonuç 4.1.1. Her f ∈ C+[0, 1], n ∈ N, x ∈ [0, 1] ve q ∈ (0, 1) için

|B(M )

n (f ; x; q) − f (x)| ≤ 2ω(f, δn(x; q))

olur. Burada

δn(x; q) := Bn(M )(ϕx; x; q), ϕx(t) = |t − x|

³eklinde tanmlanmaktadr.

“imdi (0,1) aral§nda bulunan sabit q de§erini, terimleri (0,1) aral§nda bulunan ve 0 < qn< 1, ∀n ∈ N stA− lim n qn= 1 ve stA− lim q n n = 1

³artlarn sa§layan uygun bir qn dizisi ile yer de§i³tirirsek

stA− lim n

_ {B(M )

n (ϕx; x; qn) : x ∈ [0, 1]} = 0

e³itli§i gerçeklenmi³ olur. Yukardaki ifade B(M )

n (ϕx; x; qn) operatörünün sfr

4.2 Sonuç Uyarlar

Bu yüksek lisans tezinde pseudo-lineer yapdaki (lineer olmayan) maksimum-çarpm operatörlerinin yakla³m özellikleri incelenmi³tir. Özellikle yakla³mdaki klasik yaknsaklk yerine daha zayf olan "istatistiksel yaknsaklk" kavram kullanlrken Duman [9] tarafndan elde edilen sonuçlara yer verilmi³tir. Bu yakla³mlarn istatistiksel oranlar da incelenmi³tir. Son olarak q-Bernstein operatörleri yardmyla burada bulunan sonuçlara örnek te³kil edecek yeni bir maksimum-çarpm operatör dizisi in³a edilmi³tir.

Maksimum-çarpm operatörleriyle elde edilen bu sonuçlarn gelecek yllardaki çal³malarda maksimum-minimum operatörlerine de aktarlma potansiyeli bu-lunmaktadr. Üstelik istatistiksel yakla³m için elde edilen teoremlerin "toplam süreci" kavramyla yeniden ele alnmas da bir ba³ka ara³trma problemi olarak önerilebilir.

KAYNAKLAR

[1] Altomare, F. and Campiti, M., Korovkin-type approximation theory and its applications, Walter de Gruyter & Co. Berlin, 17, 1994.

[2] Anastassiou, G.A. and Duman, O., On relaxing the positivity condition of linear operators in statistical Korovkin-type approximations, Journal of Computational Analysis, 11, 7-9, 2009.

[3] Anastassiou, G.A. and Duman, O., Towards intelligent modeling: Statistical approximation theory, Springer-Verlag, Berlin, 14, 2011.

[4] Atlhan, Ö.G. and Orhan, C., Matrix summability and positive linear operators, Positivity, 11, 387-398, 2007.

[5] Bede, B. and Gal, S.G., Approximation by nonlinear Bernstein and Favard-Szász-Mirakjan operators of max-product kind, J. Concr. Appl. Math., 8, 193-207, 2010.

[6] Bede, B., Nobuhara, H., Danková, M. and Nola, A. D., Approximation by pseudo - linear operators, Fuzzy Sets & Systems, 159, 804-820, 2008.

[7] Bede, B., Nobuhara, H., Fodor, J. and Hirota, K., Max-product Shepard approximation operators, J. Adv. Comput. Intelligence Intelligent Informatics, 10, 494-497, 2006.

[8] Bede, B., Schwab, E. D., Nobuhara, H. and Rudas, I.J., Approximation by Shepard Type pseudo-linear operators and applications to image processing, Internat. J. Approx. Reason., 50, 21-26, 2009.

[9] Duman, O., Statistical convergence of max-product approximating operators, Turk J Math, 34,501-514, 2010.

[10] Duman, O., Khan, M.K. and Orhan, C., A-Statistical convergence of approximating operators, Math. Inequal. Appl., 6, 689-699, 2003.

[11] Fast, H., Sur la convergence statistique, Colloq. Math., 2, 241-244, 1951. [12] Freedman, A. R. and Sember, J. J., Densities and summability, Pacic J.

Math., 95, 293-305, 1981.

[13] Gadjiev, A.D. and Orhan, C., Some approximation theorems via statistical convergence, Rocky Mountain J. Math., 32, 129-138, 2002.

[14] Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford Univ. Press, London, 1949.

[15] Kolk, E., Matrix summability of statistically convergent sequences, Analysis, 13, 77-83, 1993.

[16] Korovkin, P.P., Linear Operators and Approximation Theory, Hindustan Publishing Corp. (India), Delhi, 1960.

[17] Lorentz, G.G., Bernstein Polynomials, Mathematical Expositions, no. 8, University of Toronto Press, Toronto, 1953.

[18] Maddox, I. J., Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, 1970.

[19] Miller, H. I., A measure theoretical subsequence characterization of statistical convergence, Trans. Amer. Math. Soc., 347, 1811-1819, 1995.

[20] Niven, I. and Zuckerman, H. S., An Introduction to the Theory of Numbers. John Wiley & Sons, 4th ed. New York, 1980.

[21] Phillips, G.M., Bernstein Polynomials based on the q-integers, Ann. Numer. Math., 4, 511-518, 1997.

[22] Steinhaus, H., Sur la convergence ordinaire et la convergence asymptotique. Collog. Math., 2, 73-74, 1951.

ÖZGEÇM“

Ki³isel Bilgiler

Soyad, Ad : ENGN, SARI

Uyru§u : T.C.

Do§um tarihi ve yeri : 05.07.1981 Ankara Medeni hali : Bekar

Telefon : 0506 217 97 58

e-mail : esari@etu.edu.tr

E§itim

Derece E§itim Birimi Mezuniyet Tarihi Lisans Mersin Üniversitesi 2005

³ Deneyimi

Yl Yer Görev

2006 Peker n³. Tic. ve San. A.“. Çevre Müh. 2007-2008 A.Z.K.-sutek “ ORTAKLI‡I Çevre Müh. 2014 Sivas Çevre ve “ehircilik l Müdürlü§ü Çevre Müh. 2014-2015 TCDD Genel Müdürlü§ü Çevre Müh.

Yabanc Dil ngilizce

Uluslararas Konferans Bildirileri

• E. Sar, "Approximation Properties of Max-Product Operators", Recent Advances in Pure and Applied Mathematics (ICRAPAM14), 6-9 November, 2014, Antalya, Turkey.