Genelleştirilmiş Gadjiev operatörlerinin yaklaşım özellikleri

Tam metin

(1)KIRIKKALE ÜNI˙ VERSI˙ TESI˙ FEN BI˙ LI˙ MLERI˙ ENSTI˙ TÜSÜ. MATEMATI˙ K ANABI˙ LI˙ M DALI DOKTORA TEZI˙. GENELLE¸ STI˙ RI˙ LMI˙ S ¸ GADJIEV OPERATÖRLERI˙ NI˙ N YAKLA¸ SIM ÖZELLI˙ KLERI˙. Tuncer. ACAR. OCAK 2015.

(2) Matematik Anabilim Dalında Tuncer ACAR tarafından hazırlanan GENELLE¸STI˙ RI˙ LMI˙ S ¸ GADJIEV OPERATÖRLERI˙ NI˙ N YAKLA¸SIM ÖZELLI˙ KLERI˙ adlı Doktora Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun oldugunu onaylarım.. 12/01/2015 Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Ba¸skanı. Bu tezi okudu˘ gumu ve tezin Doktora Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdi˘ gini onaylarım.. Prof. Dr. Ali ARAL Danı¸sman. Jüri Üyeleri:. Ba¸skan. : Prof. Dr. Kerim KOCA. Üye (Danı¸sman) : Prof. Dr. Ali ARAL Üye. : Prof. Dr. Gülen BA¸SCANBAZ TUNCA. Üye. : Doç. Dr. Harun KARSLI. Üye. : Doç. Dr. Ali OLGUN. Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onaylamı¸stır.. Doç. Dr. Erdem Kamil YILDIRIM Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü.

(3) . ÖZET GENELLEùTøRøLMøù GADJøEV OPERATÖRLERøNøN YAKLAùIM ÖZELLøKLERø ACAR, Tuncer KÕrÕkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim DalÕ, Doktora Tezi DanÕúman: Prof. Dr. Ali ARAL OCAK 2015, 66 sayfa Bu tez beú bölümden oluúmaktadÕr. Birinci bölüm giriú için ayrÕlmÕútÕr. økinci bölümde tezde gerekli olan tanÕmlar ve kavramlar verilmiútir. Üçüncü bölümde Bernstein-Chlodowsky polinomlarÕnÕn Gadjiev tipli genelleútirmesi tanÕmlanmakta ve a÷ÕrlÕklÕ uzaylarda yaklaúÕm özellikleri incelenmektedir. AyrÕca, yeni tanÕmlanan operatörlerin türevlerinin yaklaúÕm özellikleri de çalÕúÕlmÕútÕr. Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde tanÕmlanan operatörlerin iki de÷iúkenli versiyonu tüm kenarlarÕ hareketli olan üçgensel bölgeler üzerinde tanÕmlanmÕú, bazÕ úekil koruyan özellikleri ve a÷ÕrlÕklÕ yaklaúÕm özellikleri incelenmiútir. Beúinci bölümde ise hareketli aralÕklar üzerinde Bernstein-Durrmeyer operatörleri tanÕmlanmakta ve yaklaúÕm hÕzÕ, noktasal yakÕnsaklÕ÷Õ incelenmekte, daha iyi yaklaúÕm sonuçlarÕ veren genelleútirmeleri çalÕúÕlmaktadÕr.. Anahtar kelimeler: Bernstein PolinomlarÕ, Bernstein-Chlodowsky PolinomlarÕ, A÷ÕrlÕklÕ YaklaúÕm, Korovkin teoremi, YakÕnsaklÕk HÕzÕ, Süreklilik Modülü, Voronovskaya Teoremi.. i .

(4) . ABSTRACT APPROXIMATION PROPERTIES OF GENERALIZED GADJIEV OPERATORS ACAR, Tuncer KÕrÕkkale University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, Ph. D. Thesis Advisor: Prof. Dr. Ali Aral January 2015, 66 pages This thesis consist of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction. The second chapter contains concepts and definitions which are needed throughout the thesis. In the third chapter, the Gadjiev type generalization BernsteinChlodowsky polynomials are introduced and approximation properties in weighted spaces are investigated and approximation properties of the derivatives of new operators are studied as well. In the chapter fourth, bivariate versions of the operators defined in third chapter are defined on triangular domains with mobile boundaries and some shape-preserving properties and weighted approximation properties of the operators are investigated. In the last chapter, new type Bernstein-Durrmeyer operators on mobile intervals are introduced and rate of convergence, pointwise convergence and a generalization presenting better approach are studied.. Key Words: Bernstein Polynomials, Bernstein-Chlodowsky Polynomials, Weighted Approximation, Korovkin Theorem, Rate of Convergence, Modulus of Continuity, Voronovskaya Theorem.. ii .

(5) . TEùEKKÜR. ølk olarak doktora tez konumun belirlenmesinden, tezin yazÕm aúamasÕna kadar her türlü deste÷ini esirgemeyen, bilgi ve tecrübesi ile zaman ayÕrÕp, doktora çalÕúmamÕ tamamlamamda rehberli÷i ile ÕúÕk tutan danÕúman hocam SayÕn Prof. Dr. Ali ARAL’ a teúekkürlerimi sunarÕm. Tez çalÕúmam boyunca, öneri, bilgi ve tecrübeleri ile doktora tezimin geliúmesine yardÕmcÕ olan de÷erli tez izleme komitesi üyeleri SayÕn Prof. Dr. Gülen BAùCANBAZ TUNCA ve SayÕn Doç. Dr. Harun KARSLI hocalarÕma da teúekkürlerimi sunarÕm. Doktora e÷itimim boyunca 2211 Yurtiçi Lisansüstü Burs ProgramÕ kapsamÕnda maddi destek veren TÜBøTAK’ a ve YurtdÕúÕ Doktora Tez AraútÕrma Bursu kapsamÕnda yurtdÕúÕ doktora tez araútÕrmasÕ için maddi destek veren YÖK’e teúekkürlerimi sunarÕm. Doktora çalÕúmam boyunca her türlü deste÷i veren eúim Özlem ACAR’a ve sevgili anne ve babama teúekkürlerimi sunarÕm.. iii .

(6) . øÇøNDEKøLER DøZøNø Sayfa ÖZET…………………………………………………………………………………i ABSTRACT…………………………………………………………………………ii TEùEKKÜR………………………………………………………………………...iii SøMGELER DøZøNø………………………………………………………………..vi 1.GøRøù………………………………………………………………………………1 1.1. Kaynak Özetleri................................................................................................5 2.TEMEL KAVRAMLAR……………………………………….…………...……7 2.1. Lineer Pozitif Operatörler ……………….…………………………….…......7 2.2. Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin YakÕnsaklÕk KoúullarÕ……………….....8 2.3. m-Boyutlu Uzaylarda Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin YakÕnsaklÕk KoúullarÕ….……………………………….……………………………...…..8 2.4. A÷ÕrlÕklÕ Uzaylarda Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin YakÕnsaklÕk KoúullarÕ…………….…………………….………………………………....9 2.5. Süreklilik Modülü ve K-Fonksiyoneli............................................................11 2.6. Hipergeometrik Fonksiyonlar……………………………………………….13 2.7. Bölünmüú Farklar, øleri Fark Operatörü Ve Konvekslik…...…………...…..16 2.8. Lipschitz ùartÕ…………………….…………………………………………18 2.9. Bernstein PolinomlarÕ Ve BazÕ Genelleútirmeleri……......………………….18 3. BERNSTEIN-CHLODOWSKY-GADJIEV OPERATÖRLERø………....….22 3.1. Tn,B,C Operatörlerinin A÷ÕrlÕklÕ YaklaúÕm Özellikleri………...………..…23. iv .

(7) . 3.2. Tn,B,C Operatörlerinin Türevinin YakÕnsaklÕ÷Õ……...…………….……....29 4. øKø DEöøùKENLø BERNSTEIN- CHLODOWSKY-GADJIEV. OPERATÖRLERø…………………………...…………………………………….34 B,Br ,C ,Cr. 4.1. C n. B,Br ,C ,Cr. 4.2. C n. Operatörlerinin Konveksli÷i…………………………..........….35. Operatörlerinin YakÕnsaklÕk Özellikleri……..………...……....39. 5. BERNSTEIN-DURRMEYER OPERATÖRLERø……………………......….48 5.1. Dn ,B,C Operatörlerinin Lokal YaklaúÕm Özellikleri………..…...………...53 5.2. Dn ,B,C Operatörlerinin Globak YaklaúÕm Özellikleri…………...……..….55 5.3. Dn ,B,C Operatörlü øçin Voronovskaya Teoremi………………...………...57 5.4. Dn ,B,C Operatörlerinin King Tipli Modifikasyonu……………...…...…...58 6. TARTIùMA VE SONUÇ………………………………………………..…….62 KAYNAKLAR……………………………………………………………..…….63 ÖZGEÇMøù………………………………………………………………...…….66. v .

(8) SIC MGELER DIC ZIC NIC. B2 [0, ). [0, ) üzerinde tanPmlP 1 + x2 fonksiyonu ile sPnPrlP fonksiyonlar uzayP. C2 [0, ). B2 [0, ) uzayPna ait sürekli fonksiyonlar uzayP. C2 [0, ). C2 [0, ) uzayPna ait ve x için |f (x)| 1+x2. sabit özelliS gindeki fonksiyonlar uzayP. fn f. (fn ) fonksiyon dizisi f fonksiyonuna düzgün yakPnsar. rh f (·). f fonksiyonuna ait r-inci ileri fark operatörü. Lp (X). X üzerinde Lebesgue p-integrallenebilir fonksiyonlar uzayP. LipM . M sabitiyle -PncP mertebeden Lipschitz ¸sartPnP saS glayan fonksiyonlar uzayP. . 2. C R+ 0. 2. C R+ (i,j). [0, ) × [0, ) üzerinde (x, y) aS gPrlPk fonksiyonuna göre sPnPrlP olan sürekli fonksiyonlar uzayP C R2+ uzayPna ait ve x + y için |f (x)| (x,y). sabit özelliS gindeki fonksiyonlar uzayP. h f (·). IQ ki deS gi¸skenli fonksiyona ait ileri fark operatörü. C (i,j) (D). D R2 üzerinde birinci deS gi¸skenine göre i kez, ikinci deS gi¸skenine göre j kez türevi sürekli olan fonksiyonlar uzayP. (n)k 2 F1. (·, ·; ·; ·). Pochhammer Sembolü Hipergeometrik Fonksiyon. (f ; ). f fonksiyonuna ait klasik süreklilik modülü. K2 (f ; ). f fonksiyonuna ait K-fonksiyoneli. 2 (f ; ). f fonksiyonuna ait ikinci mertebeden düzgünlük modülü. K2, (f ; ). f fonksiyonuna ait aS gPrlPklP K-fonksiyoneli. 2 (f ; ) (f, ). f fonksiyonuna ait Ditzian-Totik düzgünlük modülü f fonksiyonuna ait birinci mertebeden Ditzian-Totik modülü. vi.

(9) 1. GIC RIC S ¸ Yakla¸sPm teorisinde amaç keyK bir fonksiyonun daha basit, daha kullanP¸slP fonksiyonlar cinsinden gösterimini elde etmektir. Yakla¸sPm teorisindeki en temel problemlerden birisi, yakla¸sPm yapPlmak istenilen fonksiyon kümesinin elemanlarP kullanPlarak olu¸sturulan bir fonksiyon ailesi, yakla¸sPlmak istenen fonksiyon ailesinde yoS gun mudur, sorusunun cevabPnP ara¸stPrmak olmu¸stur. Bu problemin pozitif cevabP K. Weierstrass [1] (AyrPca bkz. [2,3]) tarafPndan 1885 yPlPnda verilmi¸s ve [a, b] kompakt aralPS gPnda sürekli her fonksiyona [a, b] aralPS gPnda düzgün gP ispatlanmP¸stPr. Cebirsel ve yakPnsayan bir {Pn (x)} polinomlar dizisinin varlPS trigonometrik fonksiyonlar için verilen bu ispatPn uzun olmasP ve karma¸sPk ispat yöntemi, dönemin birçok ünlü matematikçisi tarafPndan ele alPnmP¸s, kPsa ve basit bir ispatP verilmeye çalP¸sPlmP¸stPr. Bu matematikçilerden bazPlarPnP Carl Runge (1885), Henri Lebesgue (1908), Charles de la Vallée-Poussin (1908), Lipot Fejér (1916) olarak söyleyebiliriz.Weierstrass yakla¸sPm teoreminin ispatP için verilen yöntemler olasPlPk teorisi, lineer pozitif operatörlerle yakla¸sPm teorisi gibi bilimsel çalP¸sma alanlarPnPn doS gmasPna sebep olmu¸stur. Lineer pozitif operatörlerle yakla¸sPm metodlarPnPn öncüsü ise Sergej N. Bernstein [4] olmu¸stur. 1912 yPlPnda Bernstein Weierstrass yakla¸sPm teoreminin ispatP için kendi adP ile anPlan, [0, 1] aralPS gPnda sürekli fonksiyonlara yakla¸sPm için

(10)

(11) n ! n k k x (1 x)nk , 0 x 1 f Bn (f ; x) = n k k=0 ile tanPmlanan operatörler dizisini tanPmlamP¸stPr. Bernstein operatörlerinin önemi bu yüzyPlPn ilk yarPsPnda tam olarak anla¸sPlamamP¸stPr. Fakat Paul de Faget’in Citroën KrmasPnda ve Pierre Bézier’in Renault KrmasPnda kendi endüstriyel dizaynlarP için Bernstein polinomlarPnP kullanmasP ile, Bernstein polinomlarP matematikçiler arasPnda popüler olmaya ba¸slamP¸stPr. Tezimizde tam olarak Bernstein operatörleri ile çalP¸smayacaS gPz fakat bu operatörlerin yapPsal özelliklerini kullanarak yeni operatörler tanPmlayacaS gPz. Weierstrass yakla¸sPm teoremi hergP hangi [a, b] aralPS gP için verilmesine raS gmen, Bernstein polinomlarP [0, 1] aralPS 1.

(12) üzerinde tanPmlPdPr, ancak keyK [a, b] aralPS gPnPn ve [0, 1] aralPS gPnPn, y

(13) [a, b] olmak üzere x = (a y) / (a b) ve y = (b a) x + a dönü¸sümleri altPnda birbirine dönü¸stürülebildikleri göz önüne alPndPS gPnda Bernstein polinomlarP, Weierstrass’Pn yakla¸sPm teoremi için keyK [a, b] aralPS gP üzerinde de bir ispat yöntemi olu¸sturmaktadPr. H. Bohman [5] ise Bernstein’Pn metodunun daha genel formu olarak kabul edilecek genel bir lineer pozitif operatörler dizisi için, bu tip dizilerin [0, 1] kompakt aralPS gPnda sürekli fonksiyonlara yakla¸sPm ko¸sullarPnP vermi¸s ve P. P. Korovkin [6] kompakt aralPklar üzerinde lineer pozitif operatörler dizisinin yakla¸sPm problemini ele alarak Korovkin teoremi olarak bilinen ve yakla¸sPm teorisinde büyük öneme sahip teoremini ispatlamP¸stPr. Bernstein polinomlarP kullanP¸slP yapPsP ve birçok bilim dalPndaki (Kzik, mühendislik bilimleri, bilgisayar teknolojileri, v.s.) uygulamalarPyla yüzyPlP a¸skPn süredir aktif bir çalP¸sma konusu olmu¸s ve birçok genelle¸smesi ile modiKkasyonlarP çalP¸sPlmP¸stPr. Bu genelle¸sme ve modiKkasyonlardaki temel amaçlardan bazPlarP, kompakt aralPklar üzerinde sürekli fonksiyonlara yakla¸sPm yapmaya imkan tanPyan Bernstein polinomlarPnPn sPnPrsPz aralPklar üzerine ta¸sPnmasP ve yakla¸sPlmak istenilen fonksiyonun ait olduS gu sPnPfP geni¸sletmek olarak söylenebilir. ÖrneS gin; Chlodowsky [7] Bernstein polinomlarPnPn yeni bir modiKkasyonunu elde ederek, gPna ta¸sPmP¸stPr. DiS ger [0, 1] aralPS gPnda tanPmlP bu polinomlarP [0, bn ] (bn ) aralPS yandan, D. D. Stancu [8] Bernstein polinomlarPnP modiKye ederek [0, 1] aralPS gP üzerinde tanPmlP, Bernstein-Stancu polinomlarPnP tanPmlamP¸s ve bu polinomlarPn daha iyi yakla¸sPm sonuçlarP verdiS gini göstermi¸stir. DiS ger taraftan, yakla¸sPm yapPlacak fonksiyonun ait olduS gu uzaylar da geni¸sletilmeye çalP¸sPlmP¸stPr. Biliyoruz ki, Bernstein operatörlerini tanPmlamak için yakla¸sPm fonksiyonunun f (k/n) (k = 0, 1, ..., n) deS gerlerinin bilinmesi yeterlidir. Fakat Lebesgue anlamPnda integrallenebilen fonksiyonlar ölçüsü sPfPr olan küme dP¸sPnda tanPmlanmaktadPr. Bu nedenle integrallenebilen fonksiyonlara yakPnsayan dizileri bir integral ¸seklinde almak daha uygundur. Bu amaçla J. L. Durrmeyer [9] Bernstein polinomlarPnPn [0, 1] aralPS gP üzerinde integallenebilen fonksiyonlar için tanPmlP olan yeni bir genelle¸stirmesini tanPmlamP¸stPr. Bernstein polinomlarP üzerine olan çalP¸smalar sadece R reel sayPlar ve kapalP alt aralPklarP üzerinde sPnPrlP kalmamP¸s, çok boyutlu uzaylarda da çalP¸sPlmP¸stPr. 2.

(14) Bernstein polinomlarPnPn iki deS gi¸skenli fonksiyonlar sPnPfPndaki yakla¸sPmP ilk defa D. D. Stancu [10] tarafPndan incelenmi¸stir. = (x, y)

(15) R2 : x 0, y 0, x + y 1. sabit üçgensel bölge olmak üzere, üzerinde sürekli fonksiyonlara yakla¸sPm için iki deS gi¸skenli Bernstein polinomlarP

(16)

(17). nk

(18) n ! ! n nk k j k j Bn (f ; x, y) = x y (1 x y)nkj , f , n n k j k=0 j=0. (1.1). olarak tanPmlanmP¸stPr. AyrPca F. L. Martinez [11] Bn (f ; x, y) polinomlar dizisini S = {(x, y)

(19) R2 : x, y

(20) [0, 1]} sabit karesel bölgesi üzerinde tanPmlamP¸stPr. Her iki çalP¸smada da süreklilik modülü yardPmPyla, tanPmlanan iki deS gi¸skenli Bernstein polinomlarPnPn yakla¸sPm fonksiyonuna yakPnsaklPk hPzlarP hesaplanmP¸stPr. (1.1) operatörlerinin Chlodowsky tipli genelle¸stirmeleri A. IQ zgi [12] tarafPndan sabit bölgeler üzerinde tanPmlanmP¸s ve yakla¸sPm özellikleri çalP¸sPlmP¸stPr. Yakla¸sPm teorisinin ikinci temel problemi yakla¸sPm hPzPnPn hesaplanmasP problemidir. Korovkin teoremine göre, Ln : C [a, b] C [a, b] lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olmak üzere, n iken Ln (f ) f = max |Ln (f ; x) f (x)| 0 axb. olduS gundan Ln (f ) f = n dizisinin bir sPfPr dizisi olduS gu görülür. Bu (n ) dizisinin n iken hangi hPzla sPfPra yakPnsamasPnPn bulunmasP, (Ln (f )) dizisinin de f ’e düzgün yakPnsamasPnPn hPzPnP belirlemektedir. Bunu bulmak için (n ) dizisinin ba¸ska bir sPfPr dizisi ginin saS glanile kar¸sPla¸stPrPlmasP yeterlidir. Çünkü her n için n n e¸sitsizliS masP (n ) dizisinin ( n ) dizisinden daha hPzlP sPfPra gitmesinin veya en azPndan n ’den zayPf hPzla sPfPra gitmemesinin kanPtPdPr. Fonksiyon uzaylarPnda n dizisi f fonksiyonunun süreklilik modülü ile baS glantPlP bir ¸sekilde ele alPnabilir. Bernstein polinomlarP üzerine devam eden çalP¸smalardaki amaçlardan bir diS geri ise, yakla¸sPm hPzPnP arttPrmak ve yakla¸sPmPn doS gal sonucu olan hata miktarPnP azaltmaktPr. Bu çalP¸smalardan biri de 2010 yPlPnda A. D. Gadjiev ve A. M. 3.

(21) Ghorbanalizadeh [13] tarafPndan yapPlmP¸stPr ve Bernstein polinomlarPnPn yeni bir modiKkasyonu olarak, k , k , k = 1, 2 için pozitif ve 0 2 1 2 1 e¸sitsizliS gini saS glamak üzere [0, 1] aralPS gPnda sürekli fonksiyonlara yakla¸sPm için 2 n+ 2. x. n+2 n+ 2. Sn,, (f ; x) =.

(22). hareketli aralPklarP üzerinde tanPmlanan. n + 2 n. n !

(23)

(24) r

(25)

(26) nr n 2 r + 1 n n + 2 x f x , n + n + n + r 1 2 2 r=0. polinomlarPdPr. AyrPca yazarlar aynP makalede = (x, y)

(27) R2 : x + y (n + 2) / (n + ) , x, y / (n + ). hareketli üçgensel bölgeleri üzerinde

(28)

(29) n

(30)

(31) k n nk n+ k,l pn,, (x, y) = x k l n n+ l

(32)

(33) nkl n + 2 × y xy n+ n+ olmak üzere Sn,k ,, k. n ! nk

(34) ! k + 1 l + 2 (f ; x, y) = f , pk,l n,, (x, y) n + n + 1 2 k=0 l=0. (1.2). iki deS gi¸skenli Bernstein polinomlarPnP tanPmlamP¸slardPr. Bu yeni operatörler dizisinin düzgün yakPnsaklPS gP gösterilmi¸s, yakPnsamanPn hPzP hesaplanmP¸s ve k , k larPn özel durumlarPna göre Sn,, operatörler dizisinin Bernstein operatörlerine göre, ,k ,, k. Sn. operatörlerinin (1.1) ile verilen iki deS gi¸skenli Bernstein polinomlarPna. göre daha iyi yakla¸sPm sonuçlarP verdiS gi gösterilmi¸s, elde edilen sonuçlarPn daha iyi olduS gu nümerik örneklerle ve graKklerle de desteklenmi¸stir. Bu tez birinci bölümü giri¸s bölümü olmak üzere dört bölümden olu¸smaktadPr. IQ kinci bölümde diS ger bölümlerde kullanPlacak olan temel kavram ve teoremler verilmi¸s, tez boyunca göz önüne alPnacak fonksiyon uzaylarP tanPmlanmP¸stPr. Tezin üçüncü, dördüncü ve be¸sinci bölümleri tamamen orjinal olup a¸saS gPdaki sonuçlar elde edilmi¸stir: Üçüncü bölümde [0, 1] aralPS gPnPn hareketli alt aralPklarP üzerinde tanPmlP olan Sn,, operatörlerinin, n için [0, )’a geni¸sleyen hareketli alt aralPklar üzerin4.

(35) de Chlodowsky tipli genelle¸stirmeleri tanPmlanPp, aS gPrlPklP yakla¸sPm özellikleri incelenmi¸s, ayrPca elde edilen yeni operatörlerin türevlerinin de yakla¸sPm fonksiyonunun türevine aS gPrlPklP yakla¸sPmP, Lipschitz uzayPna ait fonksiyonlar için verilmi¸stir. Dördüncü bölümde ise üçgensel bölgeler üzerinde tanPmlP iki deS gi¸skenli ,k ,, k. Sn. operatörlerinin, n için [0, )×[0, ) bölgesine geni¸sleyen tüm ke-. narlarP hareketli olan üçgensel bölgeler üzerinde Chlodowsky tipli genelle¸stirmeleri tanPmlanPp, bazP ¸sekil koruyan özellikleri ve aS gPrlPklP yakla¸sPmlarP incelenmi¸stir. gPnPn Be¸sinci bölümde ise Sn,, operatörleri temel alPnarak, [0, 1] aralPS hareketli alt aralPklarP üzerinde yeni tipten Durrmeyer operatörleri tanPmlanmP¸s, tanPmlanan operatörlerin momentleri için hipergeometrik fonksiyonlar ile bir gösterimi elde edilmi¸stir. AyrPca yeni operatörlerin direk yakla¸sPm özelliS gi çalP¸sPlmP¸s ve yakla¸sPm hPzP elde edilmi¸stir. Yakla¸sPm teorisinde noktasal yakla¸sPm açPsPndan temel teoremlerden olan Voronovskaya teoremi bu yeni operatörler için elde edilmi¸s, daha iyi yakla¸sPm sonuçlarP veren King tipli genelle¸stirmeleri çalP¸sPlmP¸stPr.. 1.1.. Kaynak Özetleri Tez hazPrlanPrken temel kavramlar bölümünün ilk dört alt bölümünde H.. Hilmi HacPsalihoS glu ve A. D. Gadjiev’ in ”Lineer Pozitif Operatörler Dizilerinin YakPnsaklPS gP” kitabPndan, H. Bohman’Pn, ”On approximation of continuous and of analytic functions” adlP makalesinden, P. P. Korovkin’in, ”On convergence of linear positive operators in the space of continuous functions” adlP kitabPndan yararlanPlmP¸stPr. Temel kavramlar bölümünün diS ger alt bölümlerinde Z. Ditzian ve V. Totik’in ”Moduli of Smoothness” adlP kitabPnndan, G. A. Anastassiou ve S. Gal’Pn ”Approximation Theory: Moduli of Continuity and Global Smoothness Preservation” adlP kitabPndan, V. Gupta, R. P. Agarwal’Pn ”Convergence Estimates in Approximation Theory” adlP kitabPndan, G. G. Lorentz’in ”Approximation of Functions” adlP doktora tezinden, P. L. Butzer’in ”On the Extension of Bernstein Polynomials to the InKnite Interval” adlP makalesinden, P. L. Butzer ve R. J. Nessel’in ”Fourier Analysis and Approximation” adlP kitabPndan, G. Gasper ve M. Rahman’Pn ”Basic Hypergeometric Series” adlP kitabPndan, G. M. Phillips’in 5.

(36) ”Interpolation and Approximation by Polynomials” adlP kitabPndan, O. Agratini’nin ”Linear operators that preserve some test functions” adlP makalesinden, D. Cárdenas-Morales ve F. J. Muñoz-Delgado’nun, ”Improving certain Bernsteintype approximation processes” adlP makalesinden faydalanPlmP¸stPr. Tezin orjinal olan diS ger bölümlerinde sPrasPyla A. D. Gadjiev ve A. M. Ghorbanalizadeh’in ”Approximation properties of a new type Bernstein -Stancu polynomials of one and two variables” adlP makalesinden, E. A. Gadjieva ve E. Ibikli’nin, ”On Generalization of Bernstein-Chlodowsky Polynomials” adlP makalesinden, E. A. Gadjieva ve T. Kh. Gasanova’nPn ”Approximation by two dimensional Bernstein-Chlodowsky polynomials in triangle with mobile boundary” adlP makalesinden faydalanPlmP¸stPr.. 6.

(37) 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1.. Lineer Pozitif Operatörler. Bu bölümde lineer pozitif operatörler ile ilgili bazP temel kavramlar ve özellikler verilecektir. Verilen tanPmlar ve özellikler [19] ve [20] numaralP kaynaklarda bulunabilir.. TanBm 2.1.X ve Y lineer normlu fonksiyon uzaylarP olsun. L : X Y operatörü, her f, g

(38) X ve her ,

(39) K (K, R veya C ) için L (f + g) = L (f ) + L (g) e¸sitliS gini saS glarsa, L operatörüne X den Y ye bir lineer operatör denir. L (X, Y ) = {L : X Y : L lineer operatör} kümesi bir reel veya komplex vektör uzayPdPr.. TanBm 2.2.L : X Y lineer operatör ve X + = {f

(40) X : f (t) 0} , Y + = {g

(41) Y : g (t) 0} olmak üzere, L lineer operatörü X + kümesindeki her bir f fonksiyonunu Y + kümesinde bir fonksiyona dönü¸stürüyorsa, L operatörüne lineer pozitif operatör denir.. Önerme 2.1.L : X Y lineer pozitif operatör olsun. Bu durumda, f, g

(42) X olmak üzere t için f (t) g (t) ise L (f (t) ; x) L (g (t) ; x) dir ve buna L lineer pozitif operatörünün monotonluk özelliS gi denir. AyrPca monoton operatörler |L (f ; x)| L (|f | ; x) e¸sitsizliS gini saS glar. TanBm 2.3.X ve Y lineer normlu fonksiyon uzaylarP ve L : X Y lineer operatör olsun. L operatörünün normu L ile gösterilir ve L =. sup f X,

(43) f

(44) =1. olarak tanPmlanPr. 7. Lf .

(45) 2.2.. Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin YakBnsaklBk Ko¸sullarB [a, b] kompakt aralPS gPnda sürekli fonksiyonlara lineer pozitif operatörler dizisi. ile yakla¸sPm için gerek ve yeter ko¸sullar birçok matematikçi tarafPndan çalP¸sPlmP¸stPr. Her ne kadar uzun bir süre bilinmese de, Popoviciu [21] 1951 yPlPnda a¸saS gPdaki teoremi ifade ve ispat etmi¸stir:. Teorem 2.1.Ln : C [a, b] C [a, b] lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. ES ger i = 0, 1, 2 için ei = ti olmak üzere [a, b] aralPS gP üzerinde limn Ln ei = ei düzgün olarak mevcut ise, bu durumda [a, b] aralPS gP üzerinde her f

(46) C [a, b] için limn Ln f = f yakPnsamasP düzgündür.. AyrPca Teorem 2.1 Bohmann [5] ve Korovkin [22] tarafPndan da incelenmi¸s ve a¸saS gPdaki genel formu elde edilmi¸stir.. Teorem 2.2.(Bohman-Korovkin Teoremi) Ln : C [a, b] C [a, b] lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. n (x) , n (x) , n (x), [a, b] aralPS gP üzerinde düzgün olarak sPfPra yakPnsayan fonksiyon dizileri olmak üzere, x

(47) [a, b] için Ln (1; x) = 1 + n (x) , Ln (t; x) = x + n (x) , Ln t2 ; x = x2 + n (x). ko¸sullarP saS glanPyorsa bu durumda Ln (f ; x), [a, b] aralPS gP üzerinde f (x) sürekli fonksiyonuna düzgün olarak yakPnsar.. Teorem 2.1 de ei = ti , i = 0, 1, 2 fonksiyonlarP yakla¸sPm teorisinde önemli bir role sahip olup, Korovkin test-fonksiyonlarP olarak adlandPrPlPr.. 2.3.. m-Boyutlu Uzaylarda Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin YakBnsaklBk Ko¸sullarB Korovkin teoremi R2 = R × R’ nin sPnPrlP alt bölgeleri üzerinde V. I. Volkov. [23] tarafPndan a¸saS gPdaki gibi verilmi¸stir: 8.

(48) Teorem 2.3.(Volkov Teoremi) Ln : C ([a, b] × [c, d]) C ([a, b] × [c, d]) lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. ES ger Ln operatörleri n için Ln (1; x, y) 1, Ln (t; x, y) x, Ln (s; x, y) y, Ln t2 + s2 ; x, y x2 + y 2. ¸sartlarPnP saS glarsa, bu durumda Ln (f ; x), [a, b] × [c, d] kümesi üzerinde f (x, y) sürekli fonksiyonuna düzgün olarak yakPnsar. Burada düzgün yakPnsama anlamPndadPr. Korovkin teoremi m-boyutlu uzaylarda da çalP¸sPlmP¸s ve A. D. Gadjiev ve H. H. HacPsalihoS glu [20] tarafPndan 1995 yPlPnda a¸saS gPdaki teorem elde edilmi¸stir.. Teorem 2.4.D Rm sPnPrlP bir bölge olmak üzere Cb (D) ile, D bölgesinde gerli fonksiyonlarPn uzayP gösterilsin. ES ger sürekli ve tüm Rm de sPnPrlP reel deS (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi, K D kompakt bölgesinde n için Ln (1; x) 1, Ln (ti ; x) xi , i = 1, 2, ..., m Ln |t|2 ; x |x|2 ,. ¸sartlarPnP saS glarsa, keyK f

(49) Cb (D) için K üzerinde n için Ln (f ; x) f (x) yakPnsamasP mevcuttur. (Burada |x|2 = 2.4.. m k=1. x2k dir.). AE gBrlBklB Uzaylarda Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin YakBnsaklBk Ko¸sullarB Bir önceki kesimde verdiS gimiz tüm teoremler sonlu aralPklar ve sonlu bölgeler. üzerinde verilmi¸stir. SPnPrsPz aralPklar ve bölgeler üzerinde tanPmlP BernsteinChlodowsky, Szasz-Mirakyan, Baskakov operatörleri gibi operatörler tanPmlandPkça 9.

(50) Korovkin teoreminin sPnPrsPz aralPklar üzerinde verilme gereksinimi olu¸smu¸stur. 1976 yPlPnda A. D. Gadjiev tarafPndan Korovkin teoreminin tüm R’ de geçerli olan versiyonu a¸saS gPdaki gibi verilmi¸stir. (x) reel eksende sürekli, monoton artan bir fonksiyon olmak üzere (x) = 1 + 2 (x) olsun. Bu durumda Mf pozitif bir sabit olmak üzere B (R) = {f : |f (x)| Mf (x)}. (2.1). ve C (R) = {f

(51) B (R) : f , R de sürekli} fonksiyon sPnPLarPnP göz önüne alalPm. Bu uzaylar |f (x)| f = sup , x

(52) R (x) normu ile birer normlu uzaydPr. Burada ’ya aS gPrlPk fonksiyonu, B (R) ve C (R) uzaylarPna ise aS gPrlPklP uzaylar denir. AyrPca kf

(53) R olmak üzere f (x) k = kf C (R) = f

(54) C (R) : lim |x| (x). (2.2). olarak tanPmlanan fonksiyon uzayP C (R) uzayPnPn bir alt uzayP olur.. Teorem 2.5. (x) reel eksende sürekli, monoton artan bir fonksiyon olmak üzere (x) = 1 + 2 (x) aS gPrlPk fonksiyonu olsun. Bu durumda (i) C (R) uzayPndan B (R) uzayPna öyle bir {An } lineer pozitif operatörler dizisi tanPmlanabilir ki bu operatörler dizisi için lim An ( ; x) (x) = 0, = 0, 1, 2. n. (2.3). ¸sartlarP saS glanmasPna raS gmen öyle bir f

(55) C (R) fonksiyonu bulunabilir ki lim An (f ; x) f (x) 1. n. olur. (ii) C (R) uzayPndan B (R) uzayPna öyle bir {An } lineer pozitif operatörler dizisi (2.3) ko¸sullarPnP saS glPyor ise her f

(56) Ck (R) için lim An (f ; x) f (x) = 0. n. 10.

(57) e¸sitliS gi saS glanPr.. AyrPca, iki deS gi¸skenli fonksiyonlar için aS gPrlPklP Korovkin teoremi de A. D. Gadjiev [24] tarafPndan incelenmi¸stir.. 2.5.. Süreklilik Modülü ve K-Fonksiyoneli Lineer pozitif operatörlerle yakla¸sPm teorisinde önemli çalP¸smalardan biri de. yakla¸sPmPn hPzPnP belirlemek ve bu yakla¸sPmPn hatasP için bir üst sPnPr bulmaktPr. Bunu yaparken süreklilik modülü ve K-fonksiyoneli kullanmak en yaygPn metodlardan birisidir. A¸saS gPdaki tanPm ve teoremler [25] ve [26] numaralP kaynaklarda bulunabilir.. TanBm 2.4.f , [a, b] de sürekli reel deS gerli bir fonksiyon olsun. Her > 0 sayPsP için (f, ) = sup |f (x) f (y)| x,y [a,b] |xy|<. ile tanPmlanan fonksiyonuna, f fonksiyonunun süreklilik modülü denir.. Lemma 2.1.f , [a, b] R’de sürekli reel deS gerli fonksiyonu için a¸saS gPdaki sonuçlar doS grudur: (a) (f, ) fonksiyonu ya göre artandPr. (b) lim0 (f, ) = 0. (c) > 0 reel sayPsP için (f, ) (1 + ) (f, ) dPr.. AyrPca yüksek mertebeden süreklilik modülü ve K-fonksiyoneli a¸saS gPdaki gibi tanPmlanPr:. TanBm 2.5. f , [a, b] de sürekli reel deS gerli bir fonksiyon olsun. Her > 0 11.

(58) sayPsP için 2 (f, ) = sup. sup. 0<h x,x+2h [a,b]. |f (x + 2h) 2f (x + h) + f (x)|. ile tanPmlanan 2 fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci mertebeden süreklilik modülü denir.. TanBm 2.6. W 2 = {g

(59) C [a, b] : g , g

(60) C [a, b]} ve · , C [a, b] üzerinde maksimum normu göstermek üzere K-fonksiyoneli & % K2 (f, ) = inf f g + g : g

(61) W 2 ( > 0) ,. e¸sitliS gi ile tanPmlanPr.. Lemma 2.2. K2 (f, ) ve 2 (f, ) için. K2 (f, ) C 2 f, . (2.4). olacak ¸sekilde C > 0 vardPr.. TanBm 2.6. f

(62) C [0, 1] ve (x) =. 2 f, = sup. sup. 0<h x±h (x) [0,1]. '. x (1 x), x

(63) [0, 1] olmak üzere. |f (x + h (x)) 2f (x) + f (x h (x))|. ifadesine ikinci mertebeden Ditzian-Totik düzgünlük modülü denir. UyarB 2.1. 2 (·, ·) fonksiyonunun tanPmPnda (x) = 1 olarak seçilirse TanPm 2.5 ile verilen 2 (·, ·) fonksiyonu elde edilir. gPnPn her alt aralPS gPnda mutlak sürekli fonksiyonTanBm 2.8. ACloc [0, 1], [0, 1] aralPS lar uzayP ve % & 2 W () = g

(64) C [0, 1] : g

(65) ACloc [0, 1] , g

(66) C [0, 1] 2. olmak üzere, 2 (·, ·) fonksiyonuna kar¸sPlPk gelen K-fonksiyoneli. . % & ¯ 2, (f, ) = inf f g + K 2 g + 2 g : g

(67) W 2 () ( > 0) 12.

(68) e¸sitliS gi ile tanPmlanPr.. ¯ 2, (f, ) ve 2 f, için Lemma 2.3. K. ¯ 2, (f, ) C 2 f, K. olacak ¸sekilde C > 0 vardPr.. TanBm 2.9. fonksiyonu [0, 1] üzerinde bir aS gPrlPk fonksiyonu olmak üzere (f, ) = sup. sup. 0<h x±h (x) [0,1]. |f (x + h (x)) f (x)|. ifadesine birinci mertebeden Ditzian-Totik modülü denir.. 2.6.. Hipergeometrik Fonksiyonlar Lineer pozitif operatörlerin Korovkin tipli yakla¸sPmlarPnP incelerken Korovkin. test fonksiyonlarPnPn yüksek mertebeden operatörler altPnda hesaplanmasPna ihtiyaç duyulmaktadPr. Operatörlerin yapPsP deS gi¸stikçe bu test fonskiyonlarPnPn operatörler altPndaki görüntüleri uzun ve karma¸sPk bir yapPya bürünmektedir. Bu durumlarda a¸saS gPda tanPmPnP ve özelliklerini vereceS gimiz hipergeometrik fonksiyonlar kullanP¸slP bir metod sunmaktadPr. A¸saS gPdaki tanPmlar ve lemmalar [27] numaralP kaynakta bulunabilir.. TanBm 2.10. (x) ile gösterilen ve (x) =. ". tx1 et dt. 0. genelle¸stirilmi¸s integralle ifade edilen fonksiyona Gamma fonksiyonu denir.. TanBm 2.11. B (x, y) ile gösterilen ve. B (x, y) =. "1. tx1 (1 t)y1 dt. 0. 13. (2.5).

(69) ¸seklinde ifade edilen fonksiyona Beta fonksiyonu denir.. Lemma 2.4. Gamma ve Beta fonksiyonlarP arasPnda B (x, y) =. (x) (y) (x + y). e¸sitliS gi mevcuttur.. TanBm 2.12. reel ya da kompleks bir sayP, n sPfPr ya da pozitif bir tamsayP olmak üzere ()n = ( + 1) ( + 2) ... ( + n 1). (2.6). ifadesine sayPsPnPn Pochhammer gösterilimi denir.. Lemma 2.5. (·), Gamma fonksiyonunu göstermek üzere, Pochhammer sembolü ()n =. ( + n) , (). ()n+1 = ( + 1)n özelliklerine sahiptir.. Lemma 2.6. |x| < 1 için (1 x). . =. ! () n=0. n!. n. xn. (2.7). dir.. TanBm 2.13. , ve reel ya da kompleks sabitler olmak üzere 1+. x ( + 1) ( + 1) x2 + + ... 1 ( + 1) 2!. (2.8). olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir.. gundan bu (2.8) ifadesi 1 + x + x2 + ... geometrik serisinin bir genelle¸stirilmesi olduS adP alPr. (2.8) ifadesine göre deS geri sPfPr ya da negatif bir tamsayP olmamalPdPr. 14.

(70) (2.8) hipergeometrik serisi |x| < 1 için yakPnsak, |x| > 1 için PraksaktPr. |x| = 1 olduS gu zaman > + ise seri mutlak yakPnsaktPr. x = 1 iken > + 1 olduS gunda seri yakPnsaktPr. (2.6) gösterimi dikkate alPnarak (2.8) hipergeometrik serisi. ! ()n ()n xn 2 F1 (, ; ; x) = ()n n! n=0. (2.9). ¸seklindede ifade edilebilir. (2.9)’de görülen F ’nin altPndaki 2 ve 1 alt indisleri F ’nin yapPsPnda biri ve , diS geri olmak üzere iki tip parametre bulunduS gunu ifade eder. (2.9)’un genelle¸stirilmi¸s ifadesi p Fq (1 , · · · , p ; 1 , · · · , q ; x) =. ! (1 )n (2 )n · · · (p )n xn ( ) ( ) · · · q n n! 1 2 n n n=0. dir. Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden 2 F1 gösterimi yerine F gösterimi de kullanPlPr. Yani 2 F1 (, ; ; x). = F (, ; ; x). olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu veya hipergeometrik fonksiyon olarak bilinir.. Lemma 2.7. 2 F1 (, ; ; x) fonksiyonu 1 2 F1 (, ; ; x) = B(, ). "1. u1 (1 u)1 (1 ux) du. 0. ¸seklinde bir integral gösterimine sahiptir.. Lemma 2.8. Re( ) > 0 için 2 F1 (, ; ; 1). =. B(, ) ()( ) = ( )( ) B(, ). dPr.. Lemma 2.9. |x| <. 1 2. için. 2 F1 (, . ; ; x) = (1 x) 2 F1 (, ; ;. dir. 15. x ) x1. (2.10).

(71) 2.7.. Bölünmü¸s Farklar, IC leri Fark Operatörü Ve Konvekslik Bu bölümde verilen tanPm, teorem ve lemmalar, kaynak [28]’de bulunabilir.. TanBm 2.14. n 1 olmak üzere x0 , x1 , ..., xn ler f fonksiyonunun tanPm kümesinde ¸seklinde n + 1 tane nokta olsun. Bu durumda f [x] = f (x0 ) f [x1 , ..., xn ] f [x0 , x1 , ..., xn1 ] f [x0 , x1 , ..., xn ] = xn x0. (2.11). ifadesine fonksiyonun verilen noktalara göre bölünmü¸s farkP denir.. Teorem 2.6. x0 , x1 , ..., xn

(72) [a, b] ve bu aralPk üzerinde f ve f ’nin n. türevi sürekli , n + 1-inci türevi ise (a, b)’ de mevcut olsun. Bu durumda. f [x0 , ..., xn ] =. f (n) ( x ) n!. olacak ¸sekilde en az bir x

(73) (a, b) noktasP vardPr. TanBm 2.15. n

(74) N ve h > 0 0h f (x) = f (x) h f (x) = 1h f (x) = f (x + h) f (x) nh f (x) = h n1 h f (x). ¸seklinde tanPmlanan operatörüne ileri fark operatörü denir.. Lemma 2.10. , TanPm 2.15 deki gibi verilen ileri fark operatörü olmak üzere k. f (xj ) =. k !. (1). ks. s=0.

(75) k f (xj+s ) s. e¸sitliS gi geçerlidir.. Lemma 2.11. i, k 0 için xj = j olmak üzere f [xj , xj+1 , ..., xj+k ] = 16. 1 k f (xj ) k!. (2.12).

(76) e¸sitliS gi saS glanPr.. Sonuç 2.1. Teorem 2.6 ve Lemma 2.11 göz önüne alPnPrsa, k,r

(77) üzere r1/n f.

(78)

(79) r 1 k = f (r) (k,r ) n n. k. n. olmak , k+r n (2.13). bulunur.. 2008 yPlPnda D. Cardenes-Morales ve F. J. Munoz-Delgado [29], S = (x, y)

(80) R2 : x, y 0, x + y 1 üçgensel küme olmak üzere, f

(81) C (S), (x, y)

(82) S ve h

(83) R+ için (1,0). f (x, y) = f (x + h, y) f (x, y),. (0,1). f (x, y) = f (x, y + h) f (x, y),. (1,1). f (x, y) = f (x + h, y + h) + f (x, y). h h h. f (x + h, y) f (x, y + h), (2,0). f (x, y) = f (x + 2h, y) 2f (x + h, y) + f (x, y),. (0,2). f (x, y) = f (x, y + 2h) 2f (x, y + h) + f (x, y). h h. ¸seklindeki ileri fark operatörlerini tanPmlamP¸slardPr. TanPmlanan bu ileri fark operatörü yardPmPyla iki deS gi¸skenli fonksiyonlar için konvekslik tanPmP a¸saS gPdaki gibi verilmektedir: (i,j). TanBm 2.16. i, j

(84) N, 0 < i + j 2 olmak üzere, eS ger h

(85) R+ için h f 0 ise, f (x, y) fonksiyonuna (i, j) dereceden konvekstir denir.. UyarB 2.2. ES ger f

(86) C (i,j) (S) ve her (x, y)

(87) S için i+j f (x, y) 0 xi y j ise bu durumda f (x, y) fonksiyonu (i, j) dereceden konvekstir.. 17.

(88) 2.8.. Lipschitz S ¸ artB. TanBm 2.17. a, b

(89) R olmak üzere [a, b] aralPS gPnda bir f fonksiyonu verilsin. Her x, t

(90) [a, b] , M > 0 ve 0 < 1 için |f (t) f (x)| M |t x| e¸sitsizliS gini saS glayan f fonksiyonlarPnPn sPnPfPnP LipM ile gösterelim.. Lemma 2.12. f , [a, b] sPnPrlP aralPS gPnda tanPmlP bir fonksiyon ve 0 < 1, M > 0 olsun. (a) f

(91) LipM ise f süreklidir. (b) f türevlenebilir ve f (x) M ise f

(92) LipM 1 dPr. (c) f

(93) LipM (f ; ) M .. (d) < ise Lip Lip olup bu ifadeler M ’ den baS gPmsPzdPr.. 2.9.. Bernstein PolinomlarB ve BazB Genelle¸stirmeleri Bu bölümde Bernstein polinomlarP ve bazP genelle¸stirmelerinin tanPmlarPnP. vereceS giz. IQ lk olarak 1912 yPlPnda Sergej N. Bernstein [4] tarafPndan tanPmlanan Bernstein polinomlarPnP verelim.. TanBm 2.18. (Bernstein PolinomlarP) f , [0, 1] üzerinde tanPmlP ve sürekli fonksiyonlar olmak üzere

(94)

(95) n ! n k k Bn (f ; x) = x (1 x)nk f n k k=0. (2.14). olarak tanPmlanan polinomlara f fonksiyonuna kar¸sP gelen Bernstein polinomlar dizisi denir.. Sabit bir b pozitif reel sayPsP için f fonksiyonu [0, b] aralPS gPnda tanPmlP olsun. Bu aralPk üzerinde Bernstein polinomlarPnP tanPmlamak için, 0 y 1 olmak üzere y = x/b dönü¸sümü yapPlmalPdPr. [0, 1] aralPS gPnda tanPmlP Bernstein polinomlarPnPn yakla¸sPm özellikleri ile [0, b] aralPS gPnda tanPmlP Bernstein polinomlarPnPn yakla¸sPm 18.

(96) özellikleri teorik açPdan benzer olmakla beraber, her iki operatörde kompakt aralPklar üzerinde bir yakla¸sPm metodu olu¸sturmaktadPr. Ancak, (bn ) pozitif reel sayPlarPn n için bn özelliS gindeki bir dizisi olmak üzere, b = bn olarak seçilirse yakla¸sPm fonksiyonu f , 0 x < de tanPmlP olarak kabul edilebilir. Ancak, yakla¸sPm fonksiyonunun iki ardP¸sPk kbn /n noktasP arasPndaki fark n için sPfPra gitmelidir. AyrPca f (t) = t2 fonksiyonunun b = bn seçimi altPnda Bernstein operatörleri altPndaki görüntüsü

(97). 1 1 n. x2 +. bn x n. olup, Korovkin teoremi gereS gi bn /n 0 olmalPdPr.. YukarPdaki gereklilikler. P¸sPS gPnda I. Chlodowsky [7] 1937 yPlPnda a¸saS gPdaki polinomlarP tanPmlamP¸stPr:. TanBm 2.19.(Bernstein-Chlodowsky PolinomlarP) (bn ) pozitif reel sayPlarPn lim bn = ve lim (bn /n) = 0. n. n. (2.15). ¸sartPnP saS glayan bir dizisi olmak üzere, [0, ) üzerinde tanPmlP ve her [0, bn ] [0, ) alt aralPS gP üzerinde sPnPrlP f fonksiyonlarP için,

(98)

(99) k

(100) nk

(101) n ! x n x k 1 f , 0 x bn Cn (f ; x) = bn k n b b n n k=0. (2.16). olarak tanPmlanan polinomlar dizisine Bernstein-Chlodowsky polinomlar dizisi denir.. 1995 yPlPnda ise E. A. Gadjieva ve E. IQ bikli [30] Bernstein-Chlodowsky polinomlarPnPn bir genelle¸stirmesi olarak a¸saS gPdaki operatörler dizisini tanPmlamP¸slardPr.. TanBm 2.20.(Genelle¸stirilmi¸s Bernstein-Chlodowsky Operatörleri) 0, > 0 gP ve + = 1 olmak üzere, [0, ) üzerinde tanPmlP ve her [0, bn ] [0, ) alt aralPS üzerinde sPnPrlP f fonksiyonlarP için

(102)

(103) k

(104) nk

(105) n ! x k n x Cn (f ; x) = 1 f x + bn , 0 x bn n bn bn k k=0 olarak tanPmlanan polinomlar dizisine genelle¸stirilmi¸s Bernstein-Chlodowsky polinomlar dizisi denir. 19.

(106) TanBm 2.21.(Bernstein-Stancu PolinomlarP) ve , 0 ¸sartPnP saS glayan reel sayPlar olmak üzere, [0, 1] aralPS gP üzerinde sürekli f fonksiyonlarP için

(107)

(108) n ! n k k+ x (1 x)nk , 0 x 1 Bn (f ; x) = f k n+ k=0. (2.17). olarak tanPmlanan polinomlara Bernstein-Stancu polinomlar dizisi denir.. Bernstein operatörleri ile süreksiz fonksiyonlara yakla¸sPm uygun olmadPS gPndan, integrallenebilen fonksiyonlar uzayPnda J. L. Durrmeyer [9] tarafPndan a¸saS gPdaki toplamsal integral tipli operatörler tanPmlanmP¸stPr.. TanBm 2.22.(Bernstein-Durrmeyer PolinomlarP) f

(109) L1 [0, 1] ve x

(110) [0, 1] olmak üzere Dn (f ; x) =. n

(111) ! n k=0. k. k. x (1 x). nk. "1

(112) n k t (1 t)nk f (t) dt k 0. olarak tanPmlanan polinomlara Bernstein-Durrmeyer polinomlarP denir.. A. D. Gadjiev ve A. M. Ghorbanalizadeh [13] tarafPndan 2010 yPlPnda Bernstein polinomlarPnPn a¸saS gPdaki tek ve iki deS gi¸skenli genelle¸stirmeleri tanPmlanmP¸stPr.. TanBm 2.23.(Gadjiev tipli Bernstein-Stancu PolinomlarP) k , k , k = 1, 2 için gini saS glamak üzere [0, 1] aralPS gPnda pozitif ve 0 2 1 2 1 e¸sitsizliS sürekli fonksiyonlara yakla¸sPm için. Sn,, (f ; x) =.

(113). n + 2 n. 2 n+ 2. x. n+2 n+ 2. hareketli aralPklarP üzerinde.

(114)

(115) r

(116)

(117) nr n ! n 2 n n + 2 r + 1 x f x , r n + n + n + 1 2 2 r=0 (2.18). olarak tanPmlanan polinomlara Gadjiev tipli Bernstein-Stancu polinomlarP denir.. TanBm 2.24.(IQ ki DeS gi¸skenli Gadjiev tipli Bernstein-Stancu PolinomlarP) = (x, y)

(118) R2 : x + y (n + 2) / (n + ) , x, y / (n + ) 20.

(119) hareketli üçgensel bölgeleri üzerinde sürekli fonksiyonlara yakla¸sPm için pk,l n,,.

(120). n+ (x, y) = n

(121) × y.

(122) n

(123)

(124) k n nk x l k n+ l

(125) nkl n + 2 xy n+ n+. olmak üzere iki deS gi¸skenli Gadjiev tipli Bernstein-Stancu PolinomlarP Sn,k ,, k. n ! nk

(126) ! k + 1 l + 2 pk,l (f ; x, y) = f , n,, (x, y) n + n + 1 2 k=0 l=0. olarak tanPmlanPr.. 21.

(127) 3. BERNSTEIN-CHLODOWSKY-GADJIC EV OPERATÖRLERIC. Tezimizin bu kPsmPnda Sn,, (f ; .) operatörlerinin Chlodowsky tipli genelle¸stirmesini tanPmlPyoruz. k , k , (k = 1, 2, 3) pozitif sayPlarP 0 2 1 2 1 , 3 + 3 = 1 ¸sartlarPnP saS glamak üzere, f fonksiyonlarP [0, ) üzerinde tanPmlP ve her 2 n + 2 bn , bn [0, ) n + 2 n + 2 hareketli alt aralPS gP üzerinde sPnPrlP olsun. r

(128) nr n

(129)

(130)

(131) n x n + 2 2 x n + 2 2 , 2 pn,r (x) = r n bn n + 2 n + 2 bn olmak üzere, Gadjiev tipli Bernstein-Stancu polinomlarPnPn Chlodowsky tipli genelle¸stirmesini.

(132) n ! r + 1 Tn,, (f ; x) = f 3 x + 3 bn pn,r2 , 2 (x) , n + 1 r=0. (3.1). olarak tanPmlayabiliriz. Bu operatörleri Bernstein-Chlodowsky-Gadjiev operatörleri olarak isimlendireceS giz. TanPmladPS gPmPz bu yeni operatörler dizisi lineer ve pozitiftir. AyrPca; (1) 1 = 2 = 3 = 1 = 2 = 0 ve bn = 1 seçilirse, (2.14) ile verilen Bernstein polinomlarPnP, (2) 1 = 2 = 3 = 1 = 2 = 0 seçilirse, (2.16) ile verilen Bernstein-Chlodowsky polinomlarPnP, (3) 2 = 3 = 2 = 0 ve bn = 1 seçilirse, (2.17) ile verilen Bernstein-Stancu polinomlarPnP, (4) 3 = 0 ve bn = 1 seçilirse, (2.18) ile verilen Gadjiev tipli Bernstein-Stancu polinomlarPnP. elde ederiz. Operatörümüzün tanPmPna dikkat edilirse, yeni tanPmlanan operatörlerin genelde polinom olmadPS gP görülmektedir. ÖrneS gin; 3 = 0 ve f (x) = 22.

(133) sin (x2 ) olarak seçilirse, Tn,, (f ; x) polinom tipli deS gildir. Ancak polinomlarP polinomlara dönü¸stürmektedir. 3.1.. gBrlBklB Yakla¸sBm Özellikleri Tn,, Operatörlerinin AE Tn,, operatörlerinin yakla¸sPm özelliklerini çalP¸sPrken (2.1) ve (2.2) ile verilen. aS gPrlPklP uzaylarP özel olarak (x) = x alacaS gPz. Yani, C[0, ) = {f : f, [0, ) üzerinde sürekli} . Mf , f ’ e baS glP pozitif sabit olmak üzere,. B2 [0, ) = f : f, [0, ) üzerinde tanPmlP ve |f (x)| Mf 1 + x2 , C2 [0, ) = B2 [0, ) C[0, ) ve C2 [0, ). =. . . |f (x)| f

(134) C2 [0, ) : lim = Kf < x 1 + x2. ¸seklinde tanPmlanan fonksiyon uzaylarPnP gözönüne alacaS gPz. Bu uzaylar üzerindeki norm ise f 2 = sup x0. |f (x)| 1 + x2. olarak tanPmlanPr. A¸saS gPda yeni tanPmlanan operatörlerimizin (x) = 1 + x2 aS gPrlPk fonksiyonuna göre yakla¸sPmPnP verelim:. Teorem 3.1. f

(135) C2 [0, ) olmak üzere, lim. n. sup 2 n+ b x n+ 2 bn n+ 2 n 2. |Tn,, (f ; x) f (x)| =0 1 + x2. dPr. IC spat. IQ¸slemlerimizde kolaylPk saS glamasP açPsPndan Tn,, (f ; x) =. n. r ! pn,r2 , 2 (x) , f n r=0. 23. (3.2).

(136) yardPmcP operatörünü kullanacaS gPz. Tn,, (f ; .) operatörünün tanPmPnP ve Tn,, (f ; .). operatörünü göz önüne alPrsak. Tn,, (1; x) = Tn,, (1; x) n ! = pn,r2 , 2 (x). r=0 n

(137)

(138) n 2 n + 2 x x n + 2 + = 1, = n bn n + 2 n + 2 bn. (3.3). elde edilir. DolayPsPyla;. sup. lim. n. 2 n+ b x n+ 2 bn n+ 2 n 2. |Tn,, (1; x) 1| =0 1 + x2. (3.4). e¸sitliS gi saS glanPr. AyrPca (3.2) e¸sitliS gi kullanPlPrsa Tn,, (t; x)

(139) r

(140) nr n !

(141)

(142) n 2 x r n n + 2 n + 2 x = n n r bn n + 2 n + 2 bn r=0

(143) n ! r+1

(144) nr1

(145) n1

(146) x n1 n + 2 n + 2 2 x = r n bn n + 2 n + 2 bn r=0

(147) n1

(148). n

(149) 2 n + 2 n x = n n + 2 bn n + 2

(150).

(151) x n + 2 2 (3.5) = n bn n + 2. elde edilir. Benzer ¸sekilde 2 Tn,, t ;x n !

(152)

(153) r

(154) nr

(155) n 2 x r2 n n + 2 n + 2 x = 2 r n n b n + n + bn n 2 2 r=0 n !

(156)

(157) r

(158) nr

(159) n 2 x r (r 1) n n + 2 x n + 2 = n n2 bn n + 2 n + 2 bn r r=2

(160)

(161) r

(162) nr n !

(163) n 2 x r n x n + 2 n + 2 + 2 r n n b n + n + bn n 2 2 r=1 24.

(164)

(165) r+2

(166) nr2 n2

(167) n1! n2 x n + 2 2 x = r n r=0 bn n + 2 n + 2 bn

(168) n !

(169) r+1

(170) nr2 n1

(171) x n + 2 2 x n1 n + 2 1 + r n n r=0 bn n + 2 n + 2 bn 2

(172).

(173) 2

(174)

(175) (n 1) n + 2 2 2 n + 2 1 x x = + , (3.6) n n bn n + 2 n n bn n + 2

(176). n + 2 n. n. elde edilir. Operatörün ve yardPmcP operatörün tanPmPndan,. Tn,, (t; x). n

(177) ! r + 1 3 x + 3 = bn pn,r2 , 2 (x) n + 1 r=0 r

(178) nr

(179) n ! n

(180)

(181) n x n + 2 n + 2 2 x = 3 x r n b n + n + bn n 2 2 r=0 r

(182) nr n

(183)

(184)

(185) n ! 2 x n 3 r n n + 2 x n + 2 + bn n n + 1 r=0 n r bn n + 2 n + 2 bn n r

(186) nr

(187) n

(188)

(189) ! 3 1 2 x n x n + 2 n + 2 + bn n n + 1 r=0 r bn n + 2 n + 2 bn = 3 xTn,, (1; x) +. n 3 1 bn Tn,, (t; x) + Tn,, (1; x) 3 bn , n + 1 n + 1. bulunur. (3.3) ve (3.5) e¸sitlikleri gözönüne alPnPrsa,. Tn,, (t; x) = 3 x +.

(190). n + 2 n + 1. 3x +.

(191). 1 2 n + 1. 3 bn. elde edilir. Böylece. |Tn,, (t; x) x| n 2 n+ 1 + x2 b x n+ 2 bn n+ 2 n 2

(192) .

(193) n + 1 2 2 3 1 + 3 bn lim 3 + n n + 1 n + 1 lim. sup. = 3 + 3 1 = 0. 25. (3.7).

(194) bulunur. Benzer olarak, Tn,, t2 ; x 2 n

(195) ! r + 1 = bn pn,r2 , 2 (x) 3 x + 3 n + 1 r=0 = (3 x). 2. n !. pn,r2 , 2 (x). r=0. n

(196) !. r + 1 2x3 3 + bn pn,r2 , 2 (x) n + 1 r=0

(197). n 2 ! r + 1 3 bn pn,r2 , 2 (x) + n + 1 r=0 bulunur ve yardPmcP operatör kullanPlPrsa Tn,, t2 ; x. n = (3 x) (1; x) + 2x3 3 bn Tn,, (t; x) n + 1

(198). 1 bn Tn,, (1; x) + 2x3 3 n + 1 2

(199) 2 n 3 + bn Tn,, t ;x n + 1.

(200) 2 23 1 n 2 + 2 bn Tn,, (t; x) (n + 1 ) 2

(201) 3 1 + bn Tn,, (1; x) n + 1 2. Tn,,.

(202). elde edilir. (3.3), (3.5), ve (3.6) e¸sitlikleri kullanPlPrsa Tn,, t2 ; x . 2 .

(203). 1 3 1 bn + bn n + 1 n + 1

(204)

(205). 2 n + 2 x + 3 bn n + 1 n + 2

(206).

(207) 3 bn 2 bn 2 3 1 bn 3 (n 1) (n + 2 ) + x + × 2x3 + n + 1 n (n + 1 ) n + 2 n + 1 =. (3 x)2 + 2x3 3. 26. (3.8).

(208) bulunur. Buradan da |Tn,, (t2 ; x) x2 | n 2 n+ 1 + x2 b x n+ 2 bn n+ 2 n 2

(209). 3 (n + 2 ) 3 (n 1) (n + 2 ) x2 2 1 + 23 + = lim sup n 2 n+2 1 + x2 3 n + 1 n (n + 1 ) b x b n n n+ 2 n+ 2

(210). x 3 bn 3 (n + 2 ) 2 3 1 3 (n 1) 2 bn 23 3 1 + + bn + bn 1 + x2 n + 1 n + 1 n + 1 n (n + 1 ) n + 1

(211)

(212) 2 3 1 1 (n 1) (n + 2 ) 2 bn 23 + 3 + bn 3 2 n + 1 n (n + 1 ) 1+x n + 1

(213)

(214)

(215) 3 2 bn 2 3 1 n1 3 bn bn 2 1 n + 1 n + 1 n + 1 n sup. lim. 23 + 23 3 + 23 1 = 0.. (3.9). e¸sitsizliS gi elde edilir ki bu da sup. lim. n. 2 n+ b x n+ 2 bn n+ 2 n 2. |Tn,, (t2 ; x) x2 | =0 1 + x2. olduS gu anlamPna gelir. DiS ger taraftan f (x) Tn (f ; x) := Tn,, (f ; x) f (x). ,. 0x. ,. 2 b n+ 2 n. ,. n+2 b n+ 2 n. 2 b n+ 1 n. x. n+2 b n+ 2 n. (3.10). x<. operatörünü kullanPrsak,. lim Tn (f ) f 2 = lim. n. n. sup 2 n+ b x n+ 2 bn n+ 2 n 2. |Tn,, (f ; x) f (x)| . 1 + x2. e¸sitliS gini elde ederiz. (3.4), (3.7) ve (3.9) kullanPlPrsa, lim Tn (t ; ) x 2 = 0, = 0, 1, 2. n. e¸sitliS gi elde edilir. Teorem 2.5 (ii) ifadesine göre f

(216) C2 [0, ) için lim Tn (f ) f 2 = 0. n. elde edilir.. Teorem 3.2 f

(217) C2 [0, ) olmak üzere, 1 lim n bn. sup 2 n+ b x n+ 2 bn n+ 2 n 2. |Tn,, (f ; x) f (x)| =0 1 + x2. 27. (3.11).

(218) dir. gundan limx IC spat. f

(219) C2 [0, ) olduS. |f (x)| 1+x2. = Kf dir. DolayPsPyla limx. |f (x)| 1+x2. 0 özelliS gindeki fonksiyonlar için ispatP vermek yeterlidir. ÖrneS gin, (x) = f (x) Kf 1 + x2 gunda olsun. Bu durumda yeterince büyük bir x0 > 0 için x > x0 olduS. |f (x)| 1+x2. <. olacak ¸sekilde > 0 sayPsP vardPr. (3.10) ile verilen operatör kullanPlPrsa, |Tn (f ; x) f (x)| 1 sup 1 + x2 bn 0x< 1 1 |Tn (f ; x) f (x)| |Tn (f ; x) f (x)| sup + sup 2 1+x 1 + x2 bn 0xx0 bn x>x0 1 1 Tn (1 + t2 ; x) Tn (f ) f C[0, x0 ] + f 2 sup 1 + x2 bn bn x>x0 1 |f (x)| + sup bn x>x0 1 + x2 e¸sitsizliS gi elde edilir. Korovkin teoreminden e¸sitsizliS gin saS g tarafPndaki ilk terim gunda n için sPfPra gider. AyrPca, x > x0 olduS. |f (x)| 1+x2. < olduS gundan son. terimde n için sPfPra gider. IQ kinci terim için ise (3.8) e¸sitliS ginden 1 T (1 + t2 ; x) sup n 1 + x2 bn x>x0 23 + 23 3 3 1 +2 3 bn bn bn n + 1

(220) 2 1 3 1 + bn bn n + 1 1 2 23 1 1 23 (n 1) + bn + n bn n + 1 bn 2 1 3 bn + bn n + 1 e¸sitsizliS gini elde ederiz. E¸sitsizliS gin saS g tarafP n için sPfPra gider. DolayPsPyla 1 |Tn (f ; x) f (x)| lim sup n 1 + x2 bn 0x< 1 |Tn,, (f ; x) f (x)| = lim sup =0 n 1 + x2 bn 2 bn x n+2 bn n+ 2. n+ 2. elde edilir. Böylece teorem ispatlanmP¸s olur.. 28. (3.12). =.

(221) 3.2.. Tn,, Operatörlerinin Türevinin YakBnsaklBE gB Bu bölümde çalP¸smalarPmPzP 3 = 0 seçimi altPnda yapacaS gPz ve bu seçim. giz. IQ lk olarak Tn,, altPnda (3.1) operatörlerini de Tn,, sembolü ile göstereceS operatörünün k-PncP türevini, f fonksiyonunun k-PncP ileri farklarP cinsinden verelim.. Lemma 3.1. k 0 herhangi bir pozitif tamsayP, h = bn+k /n + k + 1 ve kh f da f fonksiyonunun k-PncP ileri farkP olmak üzere, (k) Tn+k,,.

(222) n+k ! k

(223).

(224) n 1 (n + k)! n + k + 2 r + 1 k (f ; x) = h f bn+k n! bn+k n+k n + k + 1 r=0 r

(225) nr

(226)

(227) 2 x n + k + 2 n x × bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k r. dPr. IC spat. Operatörün tanPmPnP kullanarak,

(228) n+k !. n+k

(229) n+k n + k + 2 r + 1 f bn+k Tn+k,, (f ; x) = n+k n + k + 1 r r=0 r

(230) n+kr

(231) 2 x n + k + 2 x × bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k

(232). yazabiliriz. Tn+k,, (f ; x) operatörünün k-kez türevini alPrsak, dk P (x) = k dx.

(233). x bn+k. 2 n + k + 2. r

(234). x n + k + 2 n + k + 2 bn+k. n+kr. olmak üzere, (k) Tn+k,,. (f ; x) =.

(235). n + k + 2 n+k. n+k ! n+k

(236) f r=0. r + 1 bn+k n + k + 1.

(237). n+k P (x) r. olarak yazabiliriz. DiS ger taraftan . s. rs 2 r! 1 x , r-s 0

(238) r (rs)! bn+k bn+k n+k+ 2 s 2 x d = s dx bn+k n + k + 2 0 , r-s < 0 29.

(239) ve. =.

(240) n+kr dks n + k + 2 x dxks n + k + 2 bn+k . ks. n+sr (n+kr)! n+k+2 -1 x , r-s n n+k+ 2 bn+k (n+sr)! bn+k 0. , r-s > n. e¸sitlikleri ile P (x) için Leibnitz kuralPnP kullanPrsak,

(241) k r! (n + k r)! (1) P (x) = s (r s)! (n + s r)! bn+k s=0 rs

(242) n+sr

(243) n + k + 2 2 x x × bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k

(244). 1. k ! k. ks. e¸sitliS gi elde edilir. AyrPca

(245).

(246). n+k r! (n + k r)! (n + k)! n = r (r s)! (n + s r)! n! rs e¸sitliS gi kullanPlPrsa, Tn+k,, (f ; x) operatörünün k-PncP türevini. n+k !. n

(247)

(248) n + k + 2 k r + s + 1 f bn+k bn+k n+k n + k + 1 s r=0

(249)

(250) r

(251) nr k ! 2 x x n + k + 2 ks n × (1) . r bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k s=0 (n + k)! n!.

(252). 1. k

(253). olarak yazabiliriz. (2.12) e¸sitliS gine göre h = bn+k /n + k + 1 olarak seçilirse k !. (1). ks. s=0.

(254)

(255).

(256) k r + s + 1 r + 1 k f bn+k = h f bn+k n + k + 1 n + k + 1 s. yazPlabilir. Buradan da (k) Tn+k,,.

(257) n+k ! k

(258).

(259) n (n + k)! 1 n + k + 2 r + 1 k (f ; x) = h f bn+k n! bn+k n+k n + k + 1 r=0 r

(260) nr

(261)

(262) 2 x n x n + k + 2 , × bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k r. e¸sitliS gi elde edilir. S ¸ imdi Lipschitz uzayPna ait fonksiyonlar için operatörlerimizin türevlerinin yakla¸sPm fonksiyonunun türevine aS gPrlPklP yakla¸sPmPnP veren teoremimizi verelim.. 30.

(263) Teorem 3.3. f fonksiyonu [0, ) üzerinde (k 1)-inci (k 1) mertebeden sürekli türevlenebilir ve 0 < 1 olmak üzere k-PncP türevi LipM sPnPfPndan olsun. Bu durumda,. lim. n. (k) (k) T (f ; x) f (x) n+k,, . sup. 1 + x. 2 n+k+ b x n+k+ 2 bn+k n+k+ 2 n+k 2. =0. dPr. IC spat. (2.13) e¸sitliS gine göre. (r + 1 ) bn+k / (n + k + 1 ) < r < (r + 1 + k) bn+k / (n + k + 1 ). olmak üzere. kh f.

(264). r + 1 bn+k n + k + 1. = f (k) ( r ). (bn+k )k (n + k + 1 )k. olacak ¸sekilde r sayPsP vardPr. 0 < r < 1 için r =. r+1 +r k b n+k+ 1 n+k. olup, Lemma. 3.1’ den,. (k) Tn+k,,. n+k !

(265). n n + k + 2 r + 1 + r k (k) (f ; x) = f bn+k n+k n + k + 1 n! (n + k + 1 )k r=0

(266)

(267) r

(268) nr n x 2 x n + k + 2 × r bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k (n + k)!.

(269). olarak yazabiliriz. Böylece,. (k). Tn+k,, (f ; x) f (k) (x)

(270) n+k !

(271). n (n + k)! n + k + 2 r + 1 + r k (k) (k) f = bn+k f (x) n+k n + k + n! (n + k + 1 )k 1 r=0 r

(272) nr

(273)

(274) 2 x n + k + 2 n x × bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k r

(275) k n + k + (n + k)! 2 +f (k) (x) 1 , k n + k n! (n + k + 1 ) 31.

(276) dPr. Hipotezimize göre f (k)

(277) LipM olduS gundan, (k) Tn+k,, (f ; x) f (k) (x) k

(278) (n + k)! n + k + 2 M n+k n! (n + k + 1 )k

(279)

(280) n ! n r + 1 + r k n n + k + 2 × bn+k x r n+k n + k + 1 r=0 r

(281) nr

(282) 2 x n + k + 2 x × bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k

(283) k (k) (n + k)! n + k + 2 + f (x) 1 , n! (n + k + 1 )k n+k 2 yazPlabilir. p = 2 , q = 2 olarak seçip Hölder e¸sitsizliS gi ve (k) f (x) f (k) (0) + M x Mf (1 + x ). e¸sitsizliS gini kullanPrsak, (k) (k) Tn+k,, (f ; x) f (x) k

(284) n + k + 2 (n + k)! M n+k n! (n + k + 1 )k

(285) n ! 2 n

(286) r + 1 + r k n + k + 2 × bn+k x n+k n + k + 1 r=0

(287)

(288) r

(289) nr /2 n x 2 x n + k + 2 × r bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k

(290) k (n + k)! n + k + 2 +Mf (1 + x ) 1 (3.13) n! (n + k + 1 )k n+k. e¸sitsizliS gini elde ederiz. T˜n,, operatörü.

(291)

(292) n ! n n + k + 2 r + 1 + k ˜ f bn+k Tn,, (f ; x) = n+k n + k + 1 r=0 r

(293) nr

(294)

(295) x 2 x n + k + 2 n × r bn+k n + k + 2 n + k + 2 bn+k olarak tanPmlanPrsa (3.13) e¸sitsizliS gi (k) Tn+k,, (f ; x) f (k) (x) k

(296) $/2 (n + k)! n + k + 2 # ˜ 2 M T ; x (t x) n,, n+k n! (n + k + 1 )k

(297) k n + k + (n + k)! 2 +Mf (1 + x ) 1 n! (n + k + 1 )k n+k 32.

(298) olarak yazPlabilir. DiS ger taraftan, T˜n,, (t x)2 ; x hesaplanPrsa,

(299)

(300). 2