Test 11 Asal Çarpanlarına Ayırma ve Ebob - Ekok I

(1)

– 67 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 11 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – I

1.

Bilgi:

Asal çarpanlara ayırma sorularında kullanılması gereken bilgilerden bazıları aşağıda verilmiştir:

, , , , ,

A m n p!Z+ x y ve z_{birbirinden farklı asal}

sayılar olmak üzere,

A₌xm_$y zn_$ p_{şeklinde yazılsın. Buna göre, A}

sayı-sının, • ö › › ( . . ) ( ) ( ) ( ) . Pozitif b len say s P B S = m+1 $ n+1 $ p+1 dir

f

p

• Negatif bölen sayısı (N.B.S) = P.B.S dir. • Tam bölen sayısı = 2·P.B.S

• Tam bölenlerin toplamı (T.B.T) = 0 dır.

• Asal bölenleri tabanda bulunan x, y ve z asal sayılarıdır. • ö . Asal olmayan tam b len say s Tam b len say s Asal b len say s d r › › ö › › ö › › › = -J L K K KK e e N P O O OO o o • A₌2m_$3 5n_$ p olsun.

Buna göre, A sayısının 10 un katı pozitif bölen sayısı-nı bulmak için A sayısı 10 parantezine alısayısı-nır.

( )

A₌2 51_$ 1_$ 2m-1_$3 5n_$ p-1

Elde edilen parantez içindeki ifadelerin üsleri 1 artırılıp çarpılarak pozitif bölen sayısı bulunur. Yani

( ) .

m n$ +1 $p dir

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 504 sayısı önce asal çarpanlarına ayrılır.

. dir 504 252 126 63 21 7 1 2 2 2 3 3 7 504₌2 3 73_$ 2_$ 1

Bu durumda 504 sayısının asal bölenleri 2, 3 ve 7 dir.

. . ö ö › ( ) ( ) . Asal olmayan T B T toplam Asal olan b len Tam b len toplam bulunur 0 2 3 7 0 12 12 › = -= - + + = = -e o e o e o Cevap: E

2.

300 sayısı asal çarpanlarına ayrılır.

. dir 2 2 2 3 300 150 75 25 5 1 3 5 5 300= 2$ 1$52

300 sayısı 6 parantezine alınır.

( ) dir. 300 2 3 5 2 3 2 3 5 2 1 2 1 1 1 0 2 $ $ $ $ $ $ = =

Elde edilen parantez içindeki ifadelerin üsleri 1 artırı-lıp çarpılarak pozitif bölen sayısı bulunur.

( ) . olur 300 2 3 2 3 5 2 1 3 6 1_$ 1_$ 1_$ 0_$ 2 $ $ = =

O hâlde, 300 sayısının 6 nın katı pozitif bölen sayısı 6 bulunur.

Cevap: B

3.

Bilgi:

Bu tür sorularda izlenecek yollar sırasıyla aşağıda verilmiştir.

• Sayılar çarpım durumunda olmalıdır. Eğer çarpım durumunda değilse ortak paranteze alınarak çar-pım durumuna getirilir.

• Tabandaki sayılar asal sayı olmalıdır.

• Aynı tabanda birden fazla ifade olmamalıdır. Eğer varsa aynı tabandaki ifadelerin üsleri toplanarak düzenlenmelidir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; • İfadenin tabanları asal hâle getirilir.

81 10$ a=3 2 54$ a$ a

• Aynı tabanda birden fazla ifade olmadığından üsler 1 artırılıp çarpılarak pozitif bölen sayısına eşitlenir. ( ) ( ) ( ) ( ) . a a a a a a bulunur 3 2 5 5 1 1 180 1 36 1 6 1 6 5 a a 4 36 2 2 2 $ $ $ + $ + = + = + = + = = Cevap: C

(2)

– 68 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 11 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – I

4.

• İfadeler çarpım durumunda olmalı. Ancak

verilen ifade çarpım durumunda olmadığından ortak paranteze alınarak çarpım durumuna getirilir. ( ) ü . A t r 33 66 99 33 2 33 3 33 33 1 2 3 33 14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 $ $ $ $ = + + = + + = + + =

• İfadelerin tabanları asal hâle getirilir. . A dir 33 14 3 11 2 7 2 2 2 1 1 $ $ $ $ = =

• Aynı tabanda birden fazla ifade olmadığından üsler 1 artırılıp çarpılarak pozitif bölen sayısı bulu-nur. A 3 11 2 7 2 2 36 2_$ 2_$ 1_$ 1 $ $ $ = = 3 3

O hâlde A sayısının pozitif bölen sayısı 36 bulunur.

Cevap: D

5.

. dir 2 380 190 95 19 1 2 5 19 380₌2 5 192_$ 1_$ 1 O hâlde, ( ) ( ) . olur 380 2 5 19 2 5 19 3 2 1 1 3 6 3 3 $ $ $ $ = =

(380)3_{sayısının en büyük asal böleni tabandaki}

asal-lardan en büyük olanı yani 19 dur.

Cevap: D

6.

. dir 2 2 0 2 1800 900 450 225 75 25 5 1 2 3 3 5 5 180 ₌ 3_$3 52_$ 2

1800·a ifadesinin sonucu bir sayının üçüncü

kuvve-tine (yani b3_{) eşit olduğundan a sayısı 1800 sayısının}

asal çarpanlarının kuvvetlerini 3 e tamamlamalıdır.

Buna göre, 32_{ve 5}2_{sayılarını 3}3_{ve 5}3_biçimine

getir-mek için a sayısı en az › › . a olmal d r 3 5 15 1_$ 1 = =

Bulunan a değeri yerine yazılırsa,

( ) ( ) . a b b b b b b olur 1800 2 3 5 3 5 2 3 5 2 3 5 30 30 3 3 2 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ = = = = = =

Buna göre, a + b toplamının en küçük değeri . a b bulunur 15 30 45 + = + = Cevap: A

(3)

– 69 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 11 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – I

7.

Bilgi:

İki veya daha fazla sayının Ebob’unu bulmak için sayıların tam bölen ortak bölenleri bulunur.

Ekok unu bulmak için sayılar 1 oluncaya kadar tam bölenlerine bölünür.

Pratik çözüm yapmak için verilen sayıların önce ortak bölenleri bulunur. Sayıların ortak bölenleri kalmayın-ca çizgi çekilir. Çizginin üst kısmında kalan sayıların çarpımı Ebob u verir.

Daha sonra çizginin altındaki sayılar 1 oluncaya kadar işleme devam edilir. Bulunan tüm sayıların çarpımı Ekok u verir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

36 48 6 6 8 2 3 4 3 4 1 4 1 Ebob "

4

Ekok " _ ` a b b bb b b b Bu durumda ( , ) . ( , ) ü . Ebob dir Ekok t r 36 48 6 2 12 36 48 6 2 3 4 144 $ $ $ $ = = = =

O hâlde 36 ve 48 sayılarının Ekok u Ebob undan 144 – 12 = 132 fazladır. Cevap: A

8.

6 2 3 3 1 1 24 16 4 4 2 2 2 Ekok = (24, 16) = 4·2·3·2 = 48 dir. Bu durumda, Ekok(24, 16) = 12x + 8y 48 = 12x + 8y olur.

Bu tür durumda çaprazlama metodu uygulanır. Ancak metodu uygulamadan önce sadeleştirme yapılmalıdır.

0 0 6 x x y y 3 12 2 3 12 8 48 2 + = + = . . 4 –2 +3 –2 +3

Buna göre, ifadeyi sağlayan (x, y) sıralı ikilileri x ve y doğal sayı olduğundan (4, 0), (2, 3), (0, 6) olmak üzere 3 tanedir.

Cevap: C

9.

Bilgi:

Bu tür sorularda

• Ebob u bulmak için, bütün ifadelerde ortak olarak bulunan asal sayılardan kuvveti en küçük olanı alınır.

• Ekok u bulmak için, ifadelerin herhangi birinde bulunan asal sayılardan kuvveti en büyük olanı alınır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

A x y z B x y z C x y z 3 2 3 2 2 $ $ $ $ $ $ = = =

A, B ve C sayılarında ortak olarak bulunan asal sayı-lardan kuvveti en küçük olanlar x, y ve z dir. O hâlde,

Ebob(A, B, C) = x·y·z dir.

A, B ve C sayılarından herhangi birinde bulunan asal

sayılardan kuvveti en büyük olanlar x3_{, y}3_{ve z}2_dir.

O hâlde,

Ekok(A, B, C) = x3_·y3_·z2_dir.

Buna göre, ( , , ) ( , , ) . Ebob A B C Ekok A B C x x y z y z x y z bulunur 3 3 2 2 2 $ $ $ $ $ $ = = Cevap: A

10.

Bilgi:

• a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere, Ebob(a, b) = 1

Ekok(a, b) = a·b dir.

• a ve b ardışık doğal veya ardışık tek sayılar olmak üzere,

Ebob(a, b) = 1 Ekok(a, b) = a·b dir.

• a ve b ardışık çift sayılar olmak üzere, ( , ) ( , ) . Ebob a b Ekok a b a b dir 2 2 $ = =

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; I. Ebob(a, b) = 2 dir. (Doğru)

II. Ekok a b( , ) a b 2 $ = dir. (Doğru) III. a = 4 ve b = 6 olsun. . ü . a dir b _{t r} 2 2 4 2 2 2 6 ₃ = = = = Dolayısıyla a ve b

2 2 ardışık tam sayılardır. (Doğru)

(4)

– 70 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 11 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – I

11.

Bu tür sorularda Ekok sırasıyla en küçük pozitif tam

sayıya (yani 1 e) bölünür. Ancak x ve y birbirinden farklı sayılar olacağından Ekok sırasıyla 1 ve 2 sayı-larına bölünerek x ve y sayılarının en büyük değerleri bulunur. x y 1 60 ₆₀ 2 60 ₃₀ = = = =

olur. Buna göre, x + y toplamının en büyük değeri . x y bulunur 60 30 90 + = + = Cevap: B

12.

Bilgi:

Eğer soruda Ebob verilmişse, sayılar Ebob un bir katı şeklinde yazılmalıdır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; ( , , ) Ebob x y z x a y b z c 15 15 15 15 & $ $ $ = = = =

olur. x + y + z toplamının en küçük değeri soruldu-ğundan a, b ve c sayıları en küçük pozitif tam sayılar seçilmelidir. x, y ve z birbirinden farklı olacağından a = 1, b = 2 ve c = 3 alınırsa, . x y z x y z bulunur 15 1 15 15 2 30 15 3 45 90 $ $ $ = = = = + = = + + = Cevap: D

13.

Ebob(a, b) = 5 olduğundan a = 5·x ve b = 5·y alınır.

a ve b sayılarının Ebob ve Ekok u bulunursa

y x y x y x y 5 5 5 1 1 $ $ ."Ebob Ekok " _ ` a b bb b b

Ekok(a, b) = 5·x·y dir. Ekok(a, b) = 100 olduğundan, 100 = 5·x·y

x·y = 20 dir.

Çarpımları 20 yi veren aralarında asal ve birbirine en yakın iki sayı (yani 4 ve 5) toplamının en küçük değerini verecektir. . a x b y a b bulunur 5 5 4 20 5 5 5 25 45 $ $ $ $ = = = + = = = + = Cevap: E

14.

_yx 8 x k ve y k d r› . 5& 8 5 = = =

Sayıların Ebob ve Ekok u bulunursa,

k k k 8 8 5 8 5 5 1 8 1 Ebob " . Ekok " _ ` a b bb b b Ebob(x, y) = k ve Ekok(x, y) = 40·k dır. Bu durumda, Ebob(x, y) = 5 k = 5 olur. Buna göre, x + y toplamı,

. x k y k x y bulunur 8 8 5 40 5 5 5 25 65 $ $ = = = + = = = + = Cevap: B