T.C.
SELC
¸ UK ¨
UN˙IVERS˙ITES˙I
FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨
US ¨
U
GRUPLAR ¨
UZER˙INDE ¨
OZEL GRAFLAR
Sercan TOPKAYA
Y ¨
UKSEK L˙ISANS TEZ˙I
Matematik Anabilim Dalı
A˘gustos - 2016
KONYA
¨
OZET
Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I
GRUPLAR ¨UZER˙INDE ¨OZEL GRAFLAR
Sercan TOPKAYA
Selc¸uk ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit ¨us ¨u Matematik Anabilim Dalı
Danıs¸man: Prof. Dr. Ahmet Sinan C¸ EV˙IK
2016, 60 Sayfa
J ¨uri
Prof. Dr. Ahmet Sinan C¸ EV˙IK Prof. Dr. Ays¸e Dilek MADEN Doc¸. Dr. ˙Ibrahim YALC¸ INKAYA
Bu tezin ilk ana b¨ol¨um¨unde, yarı direkt c¸arpım grupları ve bu gruplarının ¨ozellikleri g¨oz ¨on¨unde bulundurularak, yarı direkt c¸arpım gruplarından elde edilen Γ(G) grafının bazı spektral ¨ozellikleri (C¸ ap, Girth, Derece dizisi, Maksimum ve Minimum dereceleri, Baskınlık sayısı, Klik sayısı ve Kromatik sayısı vb.) c¸alıs¸ılmıs¸, ayrıca cebirsel ve teorik y¨ontemlerle elde edilen sonuc¸lar ispatlanarak, esas ana bilim dalımız olan Cebir ve Sayılar Teorisi Ana Bilim Dalı ic¸inde bu kavramların yerleri tespit edilmeye c¸alıs¸ılmıs¸tır. Bunu takiben, Cebir anabilim dalının ugulamalı bilimlere uyarlanabilmesi anlamını yakalayabilmek ic¸in, elde edilen Γ(G) grafının kimya anabilim dalı ic¸erisinde ¨ozellikle molek¨ul hesaplamalarında kul-lanılan m¨ukemmel graf oldu˘gu g¨osterilmis¸tir. Bu b¨ol¨umdeki sonuc¸lar tarafımızdan yapılan tamamen ¨ozg¨un c¸alıs¸malar olup, (Topkaya ve Cevik (2016)) da belirtilen makalede yayın-lanmıs¸tır.
¨
Uc¸¨unc¨u b¨ol¨umde, sonlu de˘gis¸meli olmayan G grubunun de˘gis¸meli olmayan grafı ΓG tanıtılmıs¸ ve bu grafın ikinci b¨ol¨umde incelenen spektral ¨ozellikleri verilmis¸tir. Ayrıca
grup izomorfizmalarına tas¸ınmıs¸tır. Bu b¨ol¨umdeki kavramlar (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınmıs¸tır.
D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde, ¨uc¸¨unc¨u b¨ol¨umde verilen ΓG de˘gis¸meli olmayan grafının ¨ozel
hali olan Γ(H,K)genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafı tanıtılmıs¸ ve ¨onceki b¨ol¨umlerde
yapılan is¸lemler Γ(H,K) ¨uzerinde uygulanmıs¸tır. Ek olarak, Γ(H,K)grafının yıldız graf
ol-masına ba˘glı sonuc¸lar verilmis¸tir. Bu b¨ol¨umdeki kavramlar (Ghayekhloo ve dig. (2014)) referansından alınmıs¸tır.
Bes¸inci b¨ol¨umde, P (G) kuvvet grafları tanıtılmıs¸ ve bu kuvvet graflarının yukarıda belirtilen ¨ozelliklerine benzer aras¸tırmalar yapılmıs¸tır. Ayrıca, bazı sonlu grupların P (G) kuvvet grafları yardımıyla sınıflandırılabilece˘gi g¨osterilmis¸tir. Bu b¨ol¨umdeki kavramlar (Mirzargar ve dig. (2012)) referansından alınmıs¸tır.
Tezimizin son b¨ol¨um¨u, standart olarak verilen ve t¨um tezde incelenen sonuc¸ların de˘gerlendirildi˘gi ve yeni ¨onerilerin tartıs¸ıldı˘gı kavramlardan olus¸maktadır.
Anahtar Kelimeler: Yarı direkt c¸arpım grafı, De˘gis¸meli olmayan graf, Genelles¸ti-rilmis¸ de˘gis¸meli olmayan graf, Klik sayısı, Kromatik sayısı, Kuvvet grafı, M¨ukemmellik ¨ozelli˘gi.
ABSTRACT
Ms.C THESIS
SPECIAL GRAPHS OVER GROUPS
Sercan TOPKAYA
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELCUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS
Advisor: Prof. Dr. Ahmet Sinan C¸ EV˙IK
2016, 60 Pages
Jury
Prof. Dr. Ahmet Sinan C¸ EV˙IK Prof. Dr. Ays¸e Dilek MADEN Assoc. Prof. Dr. ˙Ibrahim YALC¸ INKAYA
The first main chapter of this thesis, by considering the semi-direct product of groups and their fundamental properties, it is defined a new graph Γ(G) and then presented some fundamental spectral properties, namely Diameter, Girth, Maximum and Minimum Degrees, Degree Sequences, Domination Number, Chromatic and Clique Numbers. Also it is used the algebraic methods to prove the theories that obtained in here in the meaning of make a connection between algebra. After that, to capture the meaning converted into the applied sciences of algebra, it is showed that our graph Γ(G) is actually perfect which is used in particularly molecular calculations in the science of chemistry. We note that all results in this chapter are original and published in (Topkaya ve Cevik (2016)).
In Chapter 3, by introducing the non-abelian graph of non-abelian finite group G, notated as ΓG, the similar spectral properties as in the previous section are studied.
Addi-tionally, the isomorphisms applied over these graphs are carried to the group isomorphisms. Whole material in this section are taken from the reference (Abdollahi ve dig. (2006)).
In the fourth chapter, it is defined the generalised non-commuting graph Γ(H,K)
which coincides the special case of non-commuting graph ΓGintroduced in the third
chap-ter. In fact the theories studied in above chapters are studied again over Γ(H,K). Moreover
some other theories that are related to the star graphs are studied as well. Whole material in this section are taken from the reference (Ghayekhloo ve dig. (2014)).
In Chapter 5, the power graphs P (G) are introduced and same properties as in the previous sections are studied. Further, some classifications over finite groups in terms of power graphs are presented. Whole material in this section are taken from the reference (Mirzargar ve dig. (2012)).
The final chapter of our thesis is presenting the discussions and suggestions about the whole material that investigated in this thesis.
Anahtar Kelimeler: Semi-direct product graphs, Chromatic number, Clique num-ber, Generalised non-commuting graph, Non-commuting graph, Perfecness property, Power graph.
¨
ONS ¨
OZ
Bu tezi yazmaya bas¸ladı˘gım g¨unden beri, de˘gerli bilgilerini ve deneyim-lerini benimle paylas¸an, kullandı˘gı her kelimenin hayatıma kattı˘gı ¨onemi asla unut-mayaca˘gım, her zaman yardımını, deste˘gini ve sabrını esirgemeyen, bir abi gibi her is¸te arkamda duran, bana g¨uvenen de˘gerli hocam ve danıs¸manım Prof. Dr. Ahmet Sinan C¸ EV˙IK’e sonsuz tes¸ekk¨urlerimi sunarım.
C¸ alıs¸ma s¨uresince t¨um zorlukları benimle g¨o˘g¨usleyen ve hayatımın her evre-sinde bana maddi ve manevi destek olan, her zaman yanımda hissetti˘gim, dualarıyla beni y¨ucelten g¨uzeller g¨uzeli anneme, da˘g gibi arkamda duran babama, kardes¸lerime ve kuzenlerime tes¸ekk¨ur¨u bir borc¸ bilirim.
Son olarak, ¨ozellikle tezin hazırlanma as¸amasında bana moral, motivasyon ve nes¸e veren, beni hırslandıran ve her zaman yardımcı olan arkadas¸larıma tes¸ekk¨ur ederim.
Sercan TOPKAYA KONYA-2016
˙IC¸˙INDEK˙ILER
¨ OZET . . . iii ABSTRACT . . . v ¨ ONS ¨OZ . . . vii S¸EK˙ILLER L˙ISTES˙I . . . x S˙IMGELER VE KISALTMALAR . . . xi 1. G˙IR˙IS¸ . . . 11.1. Graflar ve temel ¨ozellikleri. . . 1
2. YARI D˙IREKT C¸ ARPIM GRUPLARI ˙IC¸ ˙IN YEN˙I B˙IR GRAF . . . 5
2.1. Giris¸. . . 5
2.2. Yarı direkt c¸arpım . . . 5
2.3. Yarı direkt c¸arpım grupları ¨uzerinde yeni bir graf . . . 7
2.4. Γ(G) grafının bazı spektral ¨ozellikleri. . . 8
2.5. Γ(G) grafının m¨ukemmellik ¨ozelli˘gi . . . 16
3. DE ˘G˙IS¸MEL˙I OLMAYAN GRAF . . . 20
3.1. Giris¸. . . 20
3.2. De˘gis¸meli olmayan grafın bazı ¨ozellikleri. . . 20
3.3. Benzer de˘gis¸meli olmayan graflara sahip gruplar. . . 25
3.4. Bazı grupların klik sayısı ve kromatik sayısı. . . 28
4. GENELLES¸T˙IR˙ILM˙IS¸ DE ˘G˙IS¸MEL˙I OLMAYAN GRAF . . . 31
4.1. Giris¸. . . 31
4.2. Genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan graf. . . 31
4.3. Genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafın de˘gis¸melilik derecesi. . . 37
4.4. K = G ¨ozel durumu. . . 41
5. KUVVET GRAFLARI . . . 45
5.1. Giris¸. . . 45
5.2. Sonlu grupların kuvvet grafları . . . 45
5.3. Kuvvet graflarının temel sonuc¸ları. . . 46
5.4. Kuvvet graflarının d¨uzlemsel graflar ile ilis¸kisi. . . 49
5.6. Grupların kuvvet grafları ile sınıflandırılması. . . 51 6. SONUC¸ VE ¨ONER˙ILER . . . 55 KAYNAKLAR . . . 56
¨
S¸EK˙ILLER L˙ISTES˙I
S¸ekil Sayfa
S¸ekil 2.1. Tanım 2.2’e g¨ore tanımlanan graf ¨ornekleri I . . . 14 S¸ekil 2.2. Tanım 2.2’e g¨ore tanımlanan graf ¨ornekleri II . . . 19
S˙IMGELER VE KISALTMALAR
Simgeler Tanımları
Γ Basit graf
V (Γ) Γ basit grafının nokta k¨umesi 1G G grubunun birim elemanı
E(Γ) Γ basit grafının kenar k¨umesi
dΓ(v1, v2) Γ basit grafında v1 ve v2 noktaları arasındaki uzunluk
Kn n noktalı tam graf
|V | V k¨umesinin eleman sayısı ∼
= Gruplar veya graflar arasındaki izomorfizma diam(Γ) Γ basit grafının c¸apı
girth(Γ) Γ basit grafının girthi
degΓ(w) Γ basit grafında w noktasının derecesi
∆(Γ) Γ basit grafının maksimum derecesi δ(Γ) Γ basit grafının minumum derecesi γ(Γ) Γ basit grafının baskınlık sayısı
Sn n kenara ve n + 1 noktaya sahip yıldız graf
Km,n ˙Iki parc¸alı tam graf
Aut(N ) N ’nin t¨um otomorfizmalarının k¨umesi N oϕH N ve H gruplarının yarı direkt c¸arpımı
PG G grubunun sunus¸u
Γ(G) G yarı direkt c¸arpım grubu ¨uzerindeki yeni graf o(x) x elemanının mertebesi
< x > x tarafından ¨uretilen devirli grup DS(Γ) Γ basit grafının derece dizisi t(Γ) Γ basit grafının d¨uzensizlik indeksi v1 ∼ v2 v1ve v2noktaları koms¸udur
v1 v2 v1ve v2noktaları koms¸u de˘gildir
spec(Γ) Γ basit grafının koms¸uluk spektrumu Cn n mertebeli devirli grup
V4 Klein-4 grubu
ω(Γ) Γ basit grafının klik sayısı C(a) a elemanın merkezleyicisi Z(G) G grubunun merkezi
ΓG G grubunun de˘gis¸meli olmayan basit grafı
N G G grubunun normal alt grubu
G/N G grubunun N normal alt grubu ile olus¸turdu˘gu b¨ol¨um grubu Q8 Kuaterniyon grubu
An Alterne gruplar
Γ(H,K) H ve K alt gruplarının genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafı
d(G) G grubunun de˘gis¸melilik derecesi
d(H, K) H ve K alt gruplarının genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸melilik derecesi H × K H ve K gruplarının direkt c¸arpımı
Zn Kalan sınıfları
D2n 2n mertebeli dihedral grubu
P (G) G grubunun kuvvet grafı
H < · G G grubunun maksimal alt grubu πe(G) G grubunun spektrumu
Ωk(G) G grubundaki k mertebeli elemanların k¨umesi
1. G˙IR˙IS¸
Tezimizin 1.1 alt b¨ol¨um¨unde genellikle tez boyunca kullanaca˘gımız graf ve grafın bazı ¨ozelliklerinin tanımı verilecektir. Bu temel tanım ve ¨ozellikler, (Griffin) kayna˘gındaki kitaptan alıntı yapılarak incelenmis¸tir.
1.1. Graflar ve temel ¨ozellikleri
Sonlu bir nokta k¨umesine sahip ve bu k¨ume ic¸indeki noktaları birbirine ba˘glayan c¸izgeler (kenarlar) toplulu˘guna graf adı verilir. Tanımından rahatlıkla anlas¸ılaca˘gı ¨uzere, graflar nokta ve kenar k¨umelerinden olus¸maktadır. Buna g¨ore V nokta k¨umesi ve E kenar k¨umesini g¨ostermek ¨uzere, graf Γ(G) = (V, E) no-tasyonuyla temsil edilir. Bazı durumlarda, kolaylık sa˘glaması bakımından,
Γ(G) = (V, E)
g¨osterimi yerine Γ notasyonu kullanılacaktır. ¨
Ozel olarak, V k¨umesinden alınacak herhangi iki nokta arasında birden faz-la kenar yoksa ve alınacak her nokta ic¸in noktafaz-ların kendi ¨uzerine bir d¨ong¨u yoksa Γ’ya basit graf denir. Tezimizde genel olarak basit graflar ¨uzerinde c¸alıs¸malar yapılacaktır.
Herhangi bir Γ basit grafında
w = (v1, e1, v2, ..., vn, en, vn+1) (vi ∈ V ve ei ∈ E)
bir y¨ur¨ume olarak tanımlanır. E˘ger w y¨ur¨umesinde v1 = vn+1 ise w y¨ur¨umesine
kapalı y¨ur¨ume, aksi taktirde ac¸ık y¨ur¨ume denir.
En az iki k¨os¸e ve bir kenara sahip bir Γ grafının w y¨ur¨umesinde e˘ger her-hangi bir kenar ve herher-hangi bir k¨os¸e tekrar etmiyorsa bu y¨ur¨umeye yol denir.
Γ grafından aldı˘gımız herhangi iki v1, v2 ∈ V k¨os¸eleri arasında bir yol varsa,
bu yolların en kısasına v1 ve v2 arasındaki uzunluk denir, ve dΓ(v1, v2) s¸eklinde
Γ grafında sadece ilk ve son noktaların tekrar etti˘gi ve hic¸bir kenarın tekrar etmedi˘gi en az 3 uzunluklu kapalı bir y¨ur¨umeye d¨ong¨u denir. E˘ger, Γ grafının b¨ut¨un noktalarını ic¸eren bir d¨ong¨u var ise buna Hamilton d¨ong¨us¨u denir. Ayrıca, Hamilton d¨ong¨us¨u ic¸eren grafa Hamiltondur denir.
Γ = (V, E) herhangi bir basit graf olmak ¨uzere, Γ0 = (V0, E0) grafı Γ nın bir alt grafı olsun. Her v1, v2 ∈ V0ic¸in,
{v1, v2} ∈ E ⇐⇒ {v1, v2} ∈ E0
s¸artı sa˘glanıyorsa, Γ0 = (V0, E0) grafına indirgenmis¸ alt graf denir.
Tanım 1.1 Γ = (V, E) grafı |V | = n (n ≥ 1) noktaya sahip basit bir graf olsun. E˘ger Γ grafının derece dizisi (n − 1, n − 1, . . . , n − 1) s¸eklinde ise, Γ grafı n noktalı tam graf olarak adlandırılır veKns¸eklinde g¨osterilir.
Γ = (V, E) ve Γ0 = (V0, E0) herhangi iki basit graf olsun. Her v1, v2 ∈ V
ic¸in,
{v1, v2} ∈ E ⇐⇒ {φ(v1), φ(v2)} ∈ E0
kos¸ulunu sa˘glayacak s¸ekilde en az birtane birebir ve ¨orten φ : V → V0 fonksi-yonu varsa bu φ fonksifonksi-yonu Γ grafından Γ0 grafına bir graf izomorfizması olarak adlandırılır ve Γ ∼= Γ0 s¸eklinde g¨osterilir.
Tanım 1.2 Herhangi bir Γ basit grafındaki en uzun uzaklı˘gın uzunlu˘guna, yani;
diam(Γ) = max
v1,v2∈V
dΓ(v1, v2)
Γ grafının c¸apı denir, ve diam(Γ ) s¸eklinde g¨osterilir.
Tanım 1.3 Γ herhangi bir basit graf olsun. E˘ger bu Γ grafı bir d¨ong¨uye sahip ise (s¸¨oyle ki, Γ’da devirli bir alt grafı olan) bu d¨ong¨ulerin uzunluklarının en kısasına o grafın girth’i denir vegirth(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
Tanım 1.4 Γ herhangi bir basit graf olsun. Γ grafı ic¸erisinde w noktasına koms¸u olan noktaların sayısınaw noktasının Γ grafındaki derecesi denir ve degΓ(w)
s¸eklin-de g¨osterilir.
Γ basit grafı ic¸erisindeki noktalar arasında en b¨uy¨uk dereceye sahip nok-tayaΓ grafının maksimum derecesi, en k¨uc¸¨uk dereceye sahip noktaya ise Γ grafının minumum derecesi denir ve sırasıyla∆(Γ) ve δ(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
Tanım 1.5 Γ herhangi bir basit graf ve D 6= ∅ k¨os¸e k¨umesi V (Γ)’nın bir alt k¨umesi olsun. E˘ger V (Γ)\D k¨umesi ic¸erisindeki her nokta D k¨umesi ic¸erisindeki en az bir nokta ile bir kenar tarafından ba˘glanır ise D k¨umesi baskın k¨ume olarak ad-landırılır. Ayrıca,Γ ic¸erisindeki en k¨uc¸¨uk baskın k¨umenin nokta sayısına Γ grafının baskınlık sayısı denir veγ(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
Tanım 1.6 V = {v0, v1, . . . , vn} nokta k¨umesine ve E kenar k¨umesine sahip
Γ = (V, E)
bir basit graf olsun. E˘ger,
e ∈ E ⇐⇒ e = {v0, vi} i ∈ {1, 2, . . . , n}
sa˘glanıyorsa Γ = (V, E) basit grafına n kenara ve n + 1 noktaya sahip yıldız graf denir veSnile g¨osterilir.
Ayrıca, n noktaya sahip bir a˘gac¸ ¨uzerindeki yıldız grafın herhangi bir nok-tasının derecesi n − 1, di˘ger b¨ut¨un noktaların derecesinin 1 oldu˘gunu hatırlayalım.
Tanım 1.7 Γ = (V, E) basit bir graf olsun. E˘ger,
V = V1∪ V2, V1 ∩ V2 = ∅vee = {v1, v2} ∈ E
olacak s¸ekilde t¨um kenarlar v1 ∈ V1 ve v2 ∈ V2 olur ise Γ = (V, E) grafına iki
parc¸alı graf denir.
E˘ger, ¨ozel olarak V1 k¨umesindeki her nokta V2 noktasındaki her nokta ile
ba˘glı ise Γ = (V, E) grafına iki parc¸alı tam graf denir ve Km,ns¸eklinde g¨osterilir.
Γ = (V, E), |V | = n noktaya sahip basit bir graf olsun. E˘ger, Γ grafının derece dizisi {k, k, . . . , k}, k ≤ n − 1 s¸eklinde ise, Γ = (V, E) k-d¨uzg¨un graf olarak adlandırılır ve b¨oyle graflara d¨uzg¨un graf denir.
Γ basit grafının koms¸u noktalarına farklı renkler atamasına Γ grafının renk-lendirmesi denir. E˘ger n farklı renk kullanılır ise, renklendirme n-renklendirme olarak adlandırılır. Ayrıca, Γ grafı n-renklendirmeye sahip ise Γ grafına n-renklendi-rilebilir denir. n-renklendin-renklendi-rilebilir olan Γ grafı ic¸in en k¨uc¸¨uk n sayısına Γ grafının kromatik sayısıdenir ve χ(Γ) olarak g¨osterilir.
Γ = (V, E) herhangi bir basit graf olsun. Γ basit grafının k¨os¸e k¨umesinin alt k¨umesi olan S ⊆ V ic¸in, e˘ger Γ basit grafı;
(I) S k¨os¸e k¨umesinin elemanları tarafından olus¸turulan graf maksimum tam alt graf olus¸turuyorsa, ve
(II) E˘ger S ⊂ S0 olacak s¸ekilde en az bir tane S0 k¨os¸e k¨umesi var ise, S0 k¨umesi ic¸erisindeki nokta c¸iftleri arasında en az birtane E kenar k¨umesinden bir kenar ile ba˘glanmamıs¸tır (yani tam graf de˘gildir).
Yukarıda verilen S alt k¨umesi (I) ve (II) s¸artlarını sa˘glıyorsa S k¨umesine klikdenir. Ayrıca, Γ grafındaki kliklerin en b¨uy¨uk sayısına klik sayısı denir ve ω(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
Tanım 1.8 Herhangi iki kenarın kesis¸meyece˘gi s¸ekilde c¸izilebilen graflara d¨uzlem-sel graf denir.
2. YARI D˙IREKT C
¸ ARPIM GRUPLARI ˙IC
¸ ˙IN YEN˙I B˙IR
GRAF
2.1. Giris¸
Bu b¨ol¨umdeki t¨um teorem ve ispatlar, tarafımızdan yapılan orjinal c¸alıs¸malar olup, bu teorem ve ispatlar (Topkaya ve Cevik (2016)) kayna˘gında belirtilen makale olarak basılmıs¸tır. Tezimizin bu b¨ol¨um¨u, genel olarak, belirtilen kaynaktaki ifadelerin genis¸letilerek yazılmasından elde edilmis¸tir.
Bu b¨ol¨umde ilk olarak, daha ¨once (Karpuz ve dig. (2013)) referansında oldu˘gu gibi monoidlerin yarı direkt c¸arpımları ¨uzerinde graflar olus¸turulmus¸tur. Bu yaklas¸ımdan esinlenerek monoidlerin yarı direkt c¸arpımları yerine grupların yarı direkt c¸arpımları kullanılıp yeni bir graf tanımlanmıs¸tır.
Ayrıca, bu Γ(G) yeni grafının bazı spektral ¨ozellikleri incelenmis¸ ve bu spektral ¨ozellikleri kullanılarak bazı graf izormorfizmalarından grup izomorfizmala-rının varlı˘gı g¨osterilmis¸tir.
Son olarak, Γ(G) yeni grafının m¨ukemmel graf oldu˘gu g¨osterilir ve bulunan t¨um sonuc¸ların daha anlas¸ılır olmasını sa˘glamak adına bir ¨ornek ¨uzerinde incelenir.
2.2. Yarı direkt c¸arpım
Tanım 2.1 G bir grup ve H, N ≤ G olsun. Ayrıca
G = N H, N / G ve H ∩ N = {1}
s¸artları sa˘glansın. Bu durumda G’ye N alt grubunun H ile olan yarı direkt c¸arpım grubu adı verilir.
H ve N birer grup olmak ¨uzere, her h ∈ H ic¸in, tanımlanacak ϕh : N → N, ϕh(n) = hnh−1 otomorfizması ve ϕ : H → Aut(N ), ϕ(h) = ϕh homomorfizması altında G = {(n, h) : n ∈ N, h ∈ H}
k¨umesini tanımlayalım. Buna g¨ore G k¨umesi
(n1, h1)(n2, h2) = (n1θh1(n2), h1h2)
iyi-tanımlı is¸lemi altında bir yarı direkt c¸arpım grubu olus¸turur ve G = N oϕ H
s¸eklinde g¨osterilir.
Bu tez boyunca, aksi belirtilmedikc¸e, yukarıda kullanılan ϕ 6= idG (yani ϕ
homomorfizması birimden farklı) alınacaktır.
G tanımlandı˘gı ¨uzere bir yarı direkt c¸arpım grubu olsun. Ayrıca H ve N sonlu gruplarının sunus¸ları, sırasıyla, PH = [X ; r] ve PN = [Y ; s] s¸eklinde
tanımlansın. ¨Ozel olarak
x → hx (x ∈ X), y → ny (y ∈ Y )
d¨on¨us¸¨umlerini g¨oz ¨on¨une alalım. Bu veriler ıs¸ı˘gı altında G = N oϕ H yarı direkt
c¸arpım grubunun sunus¸u
PG = [X, Y ; s, r, t] (2.1)
s¸eklinde tanımlanır (Bknz. Cevik (2012); Johnson (1997)). Burada
t = {xyλ−1xyy−1 | x ∈ X, y ∈ Y }
¨oyleki λxy elemanı H grubu ic¸indeki
(nx)ϕhy (h ∈ H, n ∈ N, x ∈ X, y ∈ Y )
etkisi altında X ¨uzerinde temsil edilen yeni bir kelimedir.
Grup sunus¸ları temsil ettikleri grupların cebirsel ¨ozelliklerini daha siste-matik ve c¸¨oz¨umleyici yaklas¸ım sa˘glayan birer kavram olduklarından, sunus¸larla il-gili olarak daha fazla is¸lem kolaylı˘gı sa˘glamaları ac¸ısından, bir c¸ok ¨ozellik ifade ve
ispat edilmis¸tir. Bunlardan bir tanesi, normal form teori olarak bilinen ve kısaca “Her bir denklik sınıfında sadece tek bir indirgenmis¸ kelime bulunur” ifadesiyle verilen teoridir (Bknz. Cohen, 1989). Normal form teori ic¸in bilinmesi gereken ¨onemli bir kavram indirgenmis¸ kelime olup, kısaca X ¨uretec¸ k¨umesi ¨uzerinde tanım-lanan bir w kelimesinin xx− (x ∈ X, = ±1) formunda alt kelimeler ic¸ermesi s¸eklinde tanımlanır.
2.3. Yarı direkt c¸arpım grupları ¨uzerinde yeni bir graf
Bu alt b¨ol¨um¨un amacı, aslında cebir ve sayılar teorisi ana bilim dalında is-pat edilmesi zor olan ifadeleri daha kolay ifade edebilmek ic¸in yarı gruplar, mono-idler, gruplar, halkalar ve cisimler ¨uzerinde graflar tanımlanarak bu zor ifadeleri geometrik s¸ekiller ¨uzerine tas¸ıyıp daha basit ve anlas¸ılır kılmaktır. Daha ¨once (Karpuz ve dig. (2013)) monoidlerin yarı direkt c¸arpımlarını kullanarak, (Das ve dig. (2013)) ise monojenik yarı grupları kullanarak yeni bir graf tanımlamıs¸lardır. Bizde bunlardan esinlenerek grupların yarı direkt c¸arpımını kullanarak yeni bir graf tanımlayaca˘gız.
Tanım 2.2 ¨Onceki b¨ol¨umde tanımladı˘gımız gibi G aslında H ve K gibi sonlu iki gruptan olus¸turulan bir yarı direkt c¸arpım grubu oldu˘gu ic¸in X ∪ Y ¨uretec¸ k¨umesi de sonlu olacaktır. G grubu tarafından olus¸turulan Γ(G) = (V, E) grafının V = G (sadece ¨uretec¸ elemanları de˘gil) olacak s¸ekilde k¨os¸e k¨umesini, ve E kenar k¨umesi ise as¸a˘gıda verilen s¸artlar altında olus¸turulur.
(I) Bu graftaki k¨os¸elerin t¨um¨u G grubunun birim elemanı (yani 1G) ile
ba˘glanma-lıdır (Grafımız basit bir graf oldu˘gu ic¸in 1Gk¨os¸esi kendi kendine ba˘glanmaz).
(II) (i) w1 = xε11x ε2
2 . . . xεmm ve w2 = y1δ1y δ2
2 . . . yδnn (n > 2, εi, δj ∈ Z)
Γ(G) = (V, E) grafından aldı˘gımız herhangi iki k¨os¸e olsun. Her xi,
yj ∈ X ∪ Y (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n) ic¸in xi 6= yj isew1vew2 k¨os¸eleri
birbirine ba˘glanır (kısaca w1 ∼ w2).
(ii) (i)’nin sonucu olarak, E˘ger Γ(G) ic¸erisinde w1 = xki ve w2 = xtj
(1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, ve k, t ∈ Z) gibi iki k¨os¸e noktamız varsa bunlar do˘grudan w1 ∼ w2 olarak alınır. Ancak i = j ise w1 ve w2 k¨os¸eleri
2.4. Γ(G) grafının bazı spektral ¨ozellikleri
Bu alt b¨ol¨umde Γ(G) = (V, E) grafının bas¸lıca c¸ap, girth, maksimum derece, minumum derece, derece dizisi, d¨uzensizlik indeksi ve baskınlık sayısı gibi bazı spektral ¨ozellikleri incelenecektir. Oldukc¸a iyi bilinen bu ¨ozelliklerin c¸o˘gu toplam k¨os¸e sayısı veya uzaklıkları kontrol edilerek elde edilir. Bu y¨uzden bu b¨ol¨umde sonuc¸ları ispatlamak ic¸in teorik ve cebirsel y¨ontemler kullanılacaktır. Aksi s¨oylen-medikc¸e Γ(G) = (V, E) yerine notasyon kolaylı˘gından Γ(G) alınacaktır.
S¸imdi, Tanım 1.2 g¨oz ¨on¨une alınarak as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.
Teorem 2.1 G sonlu iki grubun yarı direkt c¸arpım grubu ve Γ(G) ise G grubunun ¨uzerinde yukarıda olus¸turdu˘gumuz s¸ekilde bir grafı olsun. Buna g¨ore
diam(Γ(G)) = 2 es¸itli˘gi sa˘glanır.
˙Ispat Γ(G) grafındaki noktaların s¸ekilleri d¨us¸¨un¨ulerek ¨uc¸ durumda ispatlanacaktır. 1.Durum Γ(G) grafından w1 = xεii ve w2 = y
δj
j gibi tek ¨uretec¸li farklı iki nokta
alındı˘gında, Tanım 2.2’deki (II)-(ii)’den dolayı w1 ile w2 ba˘glı (w1 ∼ w2)
olur. Bu ise dΓ(G)(w1, w2) = 1 olmasını gerektirir.
2.Durum w1 = xε11x ε2
2 . . . xεnn ve w2 = yδ11y δ2
2 . . . ynδn yeni graf Γ(G)’de herhangi iki
nokta olsun. Her xi 6= yj, (i, j = 1, 2, . . . , n) ise Tanım 2.2’deki (II)-(i)’den
dolayı w1 ∼ w2 olup, bu y¨uzden dΓ(G)(w1, w2) = 1 olmasını gerektirir. Aksi
taktirde herhangi bir (i, j = 1, 2, . . . , n) ic¸in ∃ xi = yj varsa w1 w2 olur,
ama Tanım 2.2’deki (I)’den dolayı
w1 ∼ 1Gve w2 ∼ 1G oldu˘gu ic¸in w1 ∼ 1G∼ w2
olup, bu ac¸ık bir s¸ekilde dΓ(G)(w1, w2) = 2 oldu˘gunu verecektir.
3.Durum w1 = xε11x ε2
2 . . . xεnnve w2 = y δj
j yeni graf Γ(G)’de herhangi iki nokta olsun.
2.Durum’a benzer bir yaklas¸ımla, ∀ xi 6= yj, (i = 1, 2, . . . , n) ise Tanım
2.2’deki (II)-(i)’den dolayı w1 ∼ w2 olup, bu y¨uzden dΓ(G)(w1, w2) = 1
olmasını gerektirir. Ancak, herhangi bir (i = 1, 2, . . . , n) ic¸in ∃ xi = yj
varsa w1 w2olur, ama Tanım 2.2’deki (I)’den dolayı w1 ∼ 1Gve w2 ∼ 1G
Fakat 1.Durum tek bas¸ına sa˘glanmayacaktır. C¸ ¨unk¨u, G yarı direkt c¸arpım grubu tek ¨uretec¸ten olus¸an bir grup olursa (G =< x >) bu devirli grup olur. Bu ise G grubunun abelyan olmasını verecektir. Fakat, bu c¸elis¸kidir. Yani, yarı di-rekt c¸arpım grubu tanımlarken kullanılan fonksiyon birim olmadı˘gı ic¸in (s¸¨oyle ki ϕ 6= idG) G grubu de˘gis¸meli olmayacaktır. Bu durumda G grubu x gibi tek bir
¨uretec¸ten olus¸mayaca˘gını, ∃ y gibi bir ¨uretec¸ elemanının var oldu˘gunu verir. Bu ise 1.Durum’un tek bas¸ına sa˘glanmadı˘gını verir. B¨oylece, bu bilgiler bilinen grup ¨ozelliklerinden G grubunun en az bir tane xy gibi en az iki elemandan olus¸an bir elemanının var oldu˘gunu g¨osterir. Bu ise bizi 2. veya 3.Durum’a g¨ot¨urecektir. 2. ve 3.Durum’da noktalar arasındaki minimum uzaklık iki oldu˘gundan, t¨um durumlar g¨oz ¨on¨une alınırsa Tanım 2.1 ifadesinden diam(Γ(G)) = 2 oldu˘gu bulunur.
Tanım 1.3 kullanılarak as¸a˘gıdaki teorem elde edilir.
Teorem 2.2 G sonlu iki grubun yarı direkt c¸arpım grubu ve Γ(G) ise G grubu tarafından olus¸turdu˘gumuz bir graf olsun. O halde
girth(Γ(G)) = 2
es¸itli˘gi elde edilir.
˙Ispat Γ(G)’deki noktaların s¸ekilleri d¨us¸¨un¨ulerek, Teorem 2.1’dekine benzer olarak iki ana durumda ispatlanacaktır.
1.Durum w1 = xε11x ε2
2 . . . xεnn(n ≥ 2) yeni graf Γ(G)’de bir nokta olsun. E˘ger yeni graf
Γ(G) ic¸erisinde w1’e koms¸u farklı bir w2 = yδ11y δ2
2 . . . ymδm (m ≥ 2) noktası
yok ise, (yani ∃ xi = yj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) varsa ), bu noktaya koms¸u
herhangi bir nokta olmadı˘gından Γ(G) bir d¨ong¨uye sahip de˘gildir. Ancak,
∀ xi 6= yj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m)
olacak s¸ekilde bir w2 noktası var ise, Tanım 2.2’deki (II)-(i)’den dolayı w1
ile w2 birbirine ba˘glıdır (w1 ∼ w2). Ayrıca, Tanım 2.2’deki (I)’den 1G hem
w1 hemde w2 ile ba˘glıdır (w1 ∼ 1G ∼ w2 ∼ w1). B¨oylece Tanım 1.3’den
girth(Γ(G) = 3) bulunur.
2.Durum 1.Durum’a benzer olarak, w1 = xεii, (i = 1, 2, . . . n) yeni graf Γ(G)’de
tarafından ¨uretilen H =< xi > gibi devirli bir alt grubu vardır. B¨oylece Γ(G)
ic¸erisinde bas¸ka bir w2 = xti (veya, e˘ger o(xi) = 2 ise, Tanım 2.2’den dolayı
yeni graf Γ(G) ic¸erisinde w3 = xj, (j = 1, 2, . . . m) noktası vardır, ve Tanım
2.2’deki (II)-(ii)’den w1 ∼ w3 olur) noktası vardır. Bundan dolayı Tanım
2.2’den w1 ∼ w2 (veya w1 ∼ w3), w1 ∼ 1G ve w2 ∼ 1G veya (w3 ∼ 1G)
sa˘glanır (w1 ∼ 1G ∼ w2 veya (w3) ∼ w1 ). Bu ayrıca girth(Γ(G)) = 3
olmasını gerektirir.
1.ve 2.Durum’un sonucu olarak girth(Γ(G)) = 3 bulunur.
Giris¸ b¨ol¨um¨unde ifade edilen Tanım 1.4 ile as¸a˘gıdaki sonuc¸ bulunur.
Teorem 2.3 G, n mertebeli yarı direkt c¸arpım grubu ve Γ(G) Tanım 2.2’de tanım-landı˘gı gibi G t¨uzerinde olus¸turulan yeni graf olsun. Γ(G) grafının maksimum ve minumum derecesi sırasıyla
∆(Γ(G)) = n − 1 ve δ(Γ(G)) = 1
olarak belirlenir.
˙Ispat G yarı direkt c¸arpım grubu birim eleman dahil (1G ∈ G) toplamda n elemana
sahip oldu˘gu ic¸in, G tarafından Tanım 2.2’ye g¨ore olus¸turulan Γ(G) de n noktaya sahip bir graftır. Tanım 2.2’deki (I)’den ∀ w ∈ Γ(G) ic¸in w ∼ 1Gvardır. Bu y¨uzden
1G noktasına koms¸u n − 1 nokta vardır ve bundan dolayı degΓ(1G) = n − 1’dir.
Ayrıca, n noktaya sahip basit bir grafta maksimum derece en fazla n−1 olaca˘gından ∆(Γ(G)) = n − 1 olur.
S¸imdi G, n elemena sahip, hx1, x2, . . . , xki ¨uretec¸leri tarafından olus¸turulan
bir yarı direkt c¸arpım grubu olsun. (Ayrıca, ¨uretec¸ k¨umesi tanım gere˘gi sonlu sayıda eleman ic¸ermelidir). Bu y¨uzden ∀ i 6= 0 olacak s¸ekilde bir w1 = xε11x
ε2
2 . . . x εk
k
noktası kesinlikle vardır. C¸ ¨unk¨u G grubu hx1, x2, . . . , xki gibi k farklı ¨uretec¸ten
olus¸turulmus¸ bir yarı direkt c¸arpım grubu ise grup tanımı gere˘gi x1, x2 ∈ G ise
x1x2 ∈ G olmalıdır. Aynı s¸ekilde x1x2, x3 ∈ G ise x1x2x3 ∈ G olmalıdır. Bu
s¸ekilde k’ya kadar devam edecek olursak x1x2 . . . xk ∈ G olacak s¸ekilde G yarı
direkt c¸arpım grubunda t¨um ¨uretec¸leri en az bir defa kullandı˘gımız bir eleman kesin-likle vardır. B¨oylece, 1G 6= w2 = y1δ1y
δ2
2 . . . y δk
k (∀ xi 6= yj ve i, j = 1, 2, . . . , k)
olacak s¸ekilde w1 noktasına koms¸u herhangi bir nokta olmadı˘gı ic¸in w1 sadece 1G
2.2’deki (I)’den dolayı her nokta 1G ile koms¸u oldu˘gundan Γ(G) ba˘glantılı olup
Γ(G)’de en k¨uc¸¨uk derece 1 olaca˘gından δ(Γ(G)) = 1 bulunur.
Tanım 2.3 Γ grafı ic¸erisindeki noktaların derecelerinin dizisine Γ grafnının derece dizisi denir ve DS(Γ) ile g¨osterilir. Ayrıca, DS(Γ) k¨umesi ic¸erisindeki farklı te-rimlerin sayısına da d¨uzensizlik indeksi denir ve t(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
D¨uzensizlik indeksi ilk defa (Cohen (1989)) tarafından basit graflar ¨uzerinde tanımlanan yeni bir graf parametresidir. Bu parametre ve derece dizisi as¸a˘gıda sonlu devirli iki grubun yarı direkt c¸arpım grubu tarafından Tanım 2.2’e g¨ore olus¸turulan Γ(G) yeni grafı ¨uzerinde ispatlanacak. Ayrıca, d¨uzensizlik indeksi ¨uzerindeki sonuc¸-ların c¸o˘gu es¸itsizlik olarak ifade edilmesine ra˘gmen bizim bir sonraki teoremde tam bir es¸itlik kurulacaktır.
Teorem 2.4 Cm = hxi ve Cn = hyi sırasıyla m ve n mertebeli devirli sonlu iki
grup veG = Cm oϕ Cn birimden farklı (ϕ 6= idG) bir yarı direkt c¸arpım grubu
olsun. Bu s¸artlar altındaΓ(G) grafının derece dizisi ve d¨uzensizlik indeksi sırasıyla,
DS(Γ(G)) = ( 1, 1, . . . , 1 | {z } ((m−1)(n−1)) times , (m + n − 2), (m + n − 2), . . . , (m + n − 2) | {z } (m+n−2) times , , (mn − 1) ) vet(Γ(G)) = 3 es¸itlikleri sa˘glanır.
˙Ispat G = CmoϕCngrubu m ve n mertebeli devirli iki grubun yarı direkt c¸arpımı
oldu˘gundan G’nin mertebesi ve G tarafından olus¸turulan Γ(G) grafının k¨os¸e sayısı |G| = |V (Γ(G))| = mn olur. S¸imdi, ispat bu mn tane k¨os¸enin s¸ekilleri d¨us¸¨un¨ulerek bir kac¸ durumda yapılacaktır.
• Tanım 2.2’deki (I)’den ∀ w ∈ V (Γ(G)) ic¸in w ∼ 1G ve Γ(G) basit bir
graf oldu˘gu ic¸in 1G 1G, yani 1G kendisi haric¸ geriye kalan (mn − 1) nokta ile
koms¸udur. Bu ise degΓ(G)(1G) = mn − 1 olmasını gerektirir.
• G = hxi oϕ hyi, devirli iki grubun yarı direkt c¸arpım grubu oldu˘gu ic¸in
Γ(G) yeni grafı ic¸erisinde kesinlikle xk (1 ≤ k < m) ve yt (1 ≤ t < n) gibi tek
¨uretec¸li noktalar vardır. Bu y¨uzden, Tanım 2.2’deki (I)’den dolayı ∀ xkve yt, 1 Gile
koms¸udur (∀ xk∼ 1Gve yt ∼ 1G). Ayrıca, Tanım 2.2’deki (II)-(ii)’den dolayı
yt∼ y, yt∼ y2, . . . , yt∼ yt−1, yt∼ yt+1, . . . , yt ∼ yn−1 xk ∼ y, xk ∼ y2, . . . , xk ∼ yn−1ve yt ∼ x, yt∼ x2, . . . , yt∼ xm−1
vardır. Dikkat edelim ki Γ(G) basit bir graf oldu˘gu ic¸in xkve ytkendi kendilerine koms¸u de˘gildir (xk
xkve yt yt). Bunlara ek olarak, Tanım 2.2’deki (II)-(i)’den dolayı xk ve ytnormal form teoriye g¨ore indirgenmis¸ noktalardan en az iki ¨uretec¸li olanlar ile koms¸u de˘gildir (xk
xsyt (1 ≤ s < m, 1 ≤ t < n) ve yt ylxu (1 ≤ t < n, 1 ≤ u < m)).
T¨um bu is¸lemler sonucunda Cm = hxi devirli grubu ic¸erisindeki xk
ele-manlarının yine Cm = hxi ic¸erisinde kendisi haric¸ m − 1, ve Cn = hyi devirli
grubunun ic¸erisinde birim haric¸ (C¸ ¨unk¨u, Cm ve Cn birimleri ortak oldu˘gundan)
n − 1 noktaya koms¸udur. Bu ise tek ¨uretec¸li formdaki xk noktalarının derecesinin
(m + n − 2) oldu˘gunu verir. Benzer is¸lemler ile Cn = hyi devirli grubu ic¸erisindeki
yt elemanlarının yine C
n = hyi ic¸erisinde kendisi haric¸ n − 1, ve Cm = hxi
de-virli grubunun ic¸erisinde birim haric¸ (C¸ ¨unk¨u, Cmve Cnbirimleri ortak oldu˘gundan)
m − 1 noktaya koms¸udur. Bu ise tek ¨uretec¸li formdaki ytnoktalarının derecesinin
(m + n − 2) oldu˘gunu verir. Ayrıca bu tek ¨uretec¸li noktaların sayısı da birimleri c¸ıkarırsak m + n − 2 tane oldu˘gu bulunur.
Son olarak, en az iki ¨uretec¸ten olus¸an xkyt (1 ≤ k < m, 1 ≤ t < n)
formundaki noktaları inceleyece˘giz. Aslında, bu tipteki noktalar Tanım 2.2’deki (I) ve (II)’den dolayı sadece birim eleman (1G) ile koms¸udur, ve bu noktaların toplam
sayısı G grubunun mertebesinden birim eleman ve xk, yt formundaki noktaların
toplam sayısının c¸ıkarılması ile elde edilen
mn − (m + n − 2) − 1 = mn − m − n + 1 = [(m − 1)(n − 1)]
sayısıdır.
T¨um durumlar ve Tanım 2.3’dan teoremde g¨osterildi˘gi gibi derece dizisi DS(Γ(G)) k¨umesi ac¸ıkc¸a elde edilir. Bununla birlikte d¨uzensizlik indeksi
t(Γ(G)) = 3
oldu˘gu kolaylı g¨or¨ul¨ur.
Tanım 2.4 Γ herhangi basit bir graf olsun. Bu Γ basit grafının koms¸uluk mat-risinin ¨ozde˘gerlerinin c¸oklu k¨umesine Γ basit grafının koms¸uluk spektrumu denir ve spec(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
E˘ger spec(Γ) = spec(Γ0) koms¸uluk spektrumları birbirine es¸it olan herhangi iki Γ ve Γ0 grafları varsa bu graflar es¸-spektraller olarak adlandırılır ve Γ0 basit grafı Γ basit grafı ic¸in bir spektral orta˘gı olur. Ayrıca, e˘ger Γ basit grafı t¨um es¸-spektral ortaklarına izomorf ise, Γ basit grafı spektrum tarafından belirlenmis¸ olarak adlandırılır.
Tanım 2.4’a g¨ore as¸a˘gıdaki yorum ve teoremi ifade edebiliriz.
Yorum 2.1 CmveCnsırasıylam ve n mertebeye sahip sonlu devirli iki grup olsun.
E˘ger (m, n) 6= 1 ise yarı direkt c¸arpım tanımından
G ∼= CmoϕCnveG0 ∼= CmoϕidCn
gibi sonlu iki grup vardır. O zaman Tanım 2.2 tarafından, Γ(G) ve Γ(G0) gibi iki graf elde edildi˘gi zaman bu grafların spec(Γ(G)) = spec(Γ(G0)) spektrumlarının birbirine es¸it oldu˘gu kolaylıkla g¨or¨ul¨ur. Bu ise Γ(G) ∼= Γ(G0) izomorf graflar oldu˘gunu verir.
Teorem 2.5 G ve G0 gibi herhangi iki farklı sonlu yarı direkt c¸arpım grupları ic¸in, Tanım 2.2’e g¨ore olus¸turulan Γ(G) ve Γ(G0) grafları izomorf olmalıdır.
Koms¸uluk spektrumu ve Teorem 2.5 verildikten sonra, Teorem 2.4 ifadesi kullanılarak as¸a˘gıdaki sonuc¸ elde edilir.
Sonuc¸ 2.1 Cm = hxi ve Cn = hyi sırasıyla m ve n mertebeli, (m, n) = k olacak
s¸ekilde devirli sonlu iki grup olsun. Ayrıca, G1 = Cm oidG1 Cn ( ϕ = idG1) bu
devirli grupların bir yarı direkt c¸arpım grubu olsun. Bundan dolayı,
ya DS(Γ(G1)) = {(mn − 1), (mn − 1), . . . , (mn − 1)
| {z }
mn times
} ve t(Γ(G1)) = 1
ya da DS(Γ(G)) = DS(Γ(G1)) ve t(Γ(G)) = t(Γ(G1)), (burada G grubu
Teorem 2.4’de tanımlandı˘gı gibidir) es¸itlikleri sa˘glanmıs¸ olur. ˙Ispat k’ya ba˘glı olarak iki durumda ispatlanır.
• ˙Ilk olarak k = 1 as¸ikar durumu ispatlayalım. Yarı direkt c¸arpım ¨ozelli˘ginden ac¸ıkc¸a G1 grubunun mn mertebeli Cmn devirli grubuna izomorf olmasını
mn k¨os¸eye sahip bir tam graf oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. B¨oylece, Γ(Cmn) grafının
derece dizisi mn kere (mn − 1)’den olus¸ur, ve d¨uzensizlik indeksi
t(Γ(G)) = 1
elde edilir.
• Di˘ger yandan, e˘ger k 6= 1 ise G1grubu mn mertebeli olur. Dikkat edilmelidir
ki ϕ = idG1 kos¸ulu hala devam etti˘gi ic¸in, G1 grubu yukarıda aras¸tırdı˘gımız
G1 ∼= Cmngrubu ile aynı de˘gildir. Fakat, Yorum 2.1 ve Teorem 2.5
d¨us¸¨un¨ule-rek kesinlikle Γ(G1) ∼= Γ(G) izomorflu˘gu bulunur ve bundan dolayı, Teorem
2.4’in sonucu olarak
DS(Γ(G)) = DS(Γ(G1)) ve t(Γ(G)) = t(Γ(G1))
es¸itlikleri elde edilir.
As¸a˘gıdaki teorem, Tanım 1.5 ifadesini kullanarak elde edilmis¸tir.
Teorem 2.6 G, n mertebeli yarı direkt c¸arpım grubu ve Γ(G) Tanım 2.2’de tanım-landı˘gı gibi G tarafından olus¸turulan bir graf olsun. ¨Oyle ise
γ(Γ(G)) = 1
olarak bulunur.
˙Ispat Bundan ¨onceki ispatların c¸o˘gunda kullanıldı˘gı gibi Tanım 2.2’deki (I)’den ∀ w ∈ V (Γ(G)) birim eleman ile koms¸udur (w ∼ 1G). Bu y¨uzden {1G} bir baskın
k¨umedir. O halde Γ(G) yeni grafının tanımına g¨ore en k¨uc¸¨uk baskın k¨ume {1G}
olup (tek elemandan daha kaba olan bir baskın k¨ume olmadı˘gından) bu ise baskınlık sayısının γ(Γ(G)) = 1 olmasını gerektirir.
(a)a ve b gibi iki ¨uretece sahip G ∼= D8grubu (b)a, b ve c gibi ¨uc¸ ¨uretece sahip G grubu
1G bc ac ab abc c b a a2 a b a3 1G ab a2b a3b
¨
Ornek 2.1 C4 = ha ; a4i oϕC2 = hb ; b2i yarı direkt c¸arpım grubu
D8 = ha, b ; a4, b2, b−1ab = a−1i
sunus¸una sahip iyi bilinenD8 dihedral grubuna izomorftur.D8dihedral grubua ve
b gibi iki ¨uretece sahip oldu˘gu ic¸in, k¨os¸e k¨umesi
V (Γ(D8)) = {1G, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b}
ve Γ(D8) grafı S¸ekil 2.1-((a))’deki gibi c¸izilebilir. B¨oylece, yukarıda verilen
teo-remlerin uygulaması olarak, • diam(Γ(D8)) = 2,
• girth(Γ(D8)) = 3,
• ∆(Γ(D8)) = 7 ve δ(Γ(D8)) = 1,
• DS(Γ(D8)) = {1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 7} ve t(Γ(D8)) = 3,
• γ(Γ(D8)) = 1
sonuc¸ları elde edilir. ¨
Ornek 2.2 PV4 = ha, b ; a
2, b2, (ab)2i sunus¸una sahip V
4 Klein-4 grubu ve devirli
C2 = hc ; c2i grubunun yarı direkt c¸arpımı G ∼= V4 oϕ C2 olsun. G yarı direkt
c¸arpım grubua, b ve c gibi ¨uc¸ ¨uretece sahip oldu˘gu ic¸in, k¨os¸e k¨umesi
V (Γ(G)) = {1G, a, b, c, ab, ac, bc, abc}
olarak tanımlanır ve b¨oylece Γ(G) grafı S¸ekil 2.1-((b)) deki gibi sunulabilir. Ac¸ıkc¸a, Teorem 2.4 bu ¨ornek ic¸in uygulanamaz, c¸¨unk¨u V4grubu devirli de˘gildir. Ama, S¸ekil
2.1-((b))’deki grafı d¨us¸¨unerek kolaylıkla DS(Γ(G)) = {1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 7} oldu˘gu g¨or¨ulebilir ve bu y¨uzden t(Γ(G)) = 4 bulunur. Ayrıca, yukarıda verilen teoremlerin uygulaması olarak (Teorem 2.4 ve 2.5 haric¸)
• diam(Γ(G)) = 2, • girth(Γ(G)) = 3,
• ∆(Γ(G)) = 7 ve δ(Γ(G)) = 1, • γ(Γ(G)) = 1
sonuc¸ları elde edilir.
2.5. Γ(G) grafının m ¨ukemmellik ¨ozelli˘gi
Tezin bu b¨ol¨um¨u boyunca yarı direkt c¸arpım gruplarını hx1, x2, . . . , xki
¨uretec¸ k¨umesine sahip sonlu mertebeli gruplar olarak alaca˘gız. Bu b¨ol¨umdeki asıl amacımız Tanım 2.2’de tanımlanan Γ(G) yeni grafının aslında m¨ukemmel graf oldu˘gunu g¨ostermektir.
M¨ukemmel graflar, grafların ¨onemli bir sınıfını olus¸turur, ¨ozellikle, sınır de˘ger problemleri ve (Chudnovsky ve dig. (2006); Hougardy (2006); Lov´asz (1984)) referanslarında verildi˘gi gibi c¸es¸itli di˘ger uygulama alanları ile ilis¸kilidir. ¨Orne˘gin, m¨ukemmel graflar kimya alanında kullanılmıs¸tır. Bu m¨ukemmel grafların burada neden ¨onemli oldu˘gunu da g¨osterir.
Genel olarak, (Gross ve Yellen (2004))’de verilen herhangi bir Γ basit grafı ic¸in χ(Γ) ≥ ω(Γ) es¸itsizli˘gi iyi bilinir.
Tanım 2.5 (Lov´asz, 1984) Herhangi bir Γ basit grafının her indirgenmis¸ alt grafı ΓH ⊆ Γ ic¸in, e˘ger χ(ΓH) = ω(ΓH) ise, Γ bir M¨ukemmel graf olarak adlandırılır.
S¸imdi, kromatik ve klik sayıları tek bir teoremde ifade edilecek, fakat teo-rem Γ(G) grafı ic¸in ayrı ayrı ispatlanacaktır. Dahası Γ(G) grafının m¨ukemmel graf oldu˘gu elde edilecektir. Bu b¨ol¨umde fazlasıyla kullanaca˘gımız bir xi (1 ≤ i ≤ k)
elemanının mertebesi o(xi) s¸eklinde g¨osterildi˘gini hatırlatalım. Ayrıca, G yarı
di-rekt c¸arpım grubu sonlu oldu˘gu ic¸in, G grubunun her bir elemanının mertebesi de sonludur.
Teorem 2.7 G yarı direkt c¸arpım grubu tarafından olus¸turulan Γ(G) grafının kro-matik ve klik sayısı
χ(Γ(G)) = (" k X i=1 o(xi) # − (k − 1) ) = ω(Γ(G)). olarak bulunur.
˙Ispat k farklı ¨uretec¸ten olus¸turulmus¸ G = hx1, x2, . . . , xki yarı direkt c¸arpım
grubu ic¸in, ilk olarak x1elemanını alalım. Aslında, x1elemanı sadece Γ(G) grafında
g¨ore olus¸turulan o(x1) noktaya sahip Γ(H1) tam bir alt grafı elde edilir. Benzer
s¸ekilde, bu ¨uretec¸lerin her biri ic¸in Tanım 2.2 tarafından Γ(Hi) (i = {1, 2, · · · , k})
tam alt grafları elde edilir. Ayrıca, Tanım 2.2’daki (II)-(ii)’den dolayı bu farklı ¨uretec¸lere sahip olan noktaların her biri birbirlerine ba˘glandıkları ic¸in, onlar toplam da {(o(x1) + o(x2) + · · · + o(xk)) − (k − 1)} k¨os¸eye sahip tam bir alt graf olus¸turur
(di˘ger bir deyis¸le, Γ(Hi) alt graflarının birles¸imi tam bir alt graf olan Γ(Hk)’yı
verir). Aslında, bu son Γ(Hk) tam alt grafı bir nh
Pk
i=1o(xi)
i
− (k − 1)o -renklendi-rilebilir’dir. C¸ ¨unk¨u, (k > 2) ic¸in ∀ w = xε1
1 x ε2 2 . . . x εk k k¨os¸esi ∃ x εi i = y δj j
olacak s¸ekilde bir yδj
j k¨os¸esine sahiptir. Bu ise Tanım 2.2’daki (II)-(i)’den dolayı
w k¨os¸esinin yδj
j k¨os¸esi ile koms¸u olamayaca˘gını gerektirir. B¨oylece, w ve y δj
j
k¨os¸elerinin renklendirme tanımından Γ(G) yeni grafında aynı renkler ile atanırlar. Yapılan t¨um is¸lemlerden sonucunda, Γ(G) yeni grafının klik sayısı, Γ(Hk) tam alt
grafının k¨os¸elerinin toplam sayısına es¸it, yani χ(Γ(G)) = nh Pk i=1o(xi) i − (k − 1)o oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
Di˘ger yandan, klik sayısını belirlemek ic¸in, yukarıdaki paragtafta elde etti˘gi-miz Γ(Hk) tam alt grafını yeniden kullanaca˘gız. V (Γ(Hk)) k¨os¸e k¨umesinin toplam sayısınınnhPk
i=1o(xi)
i
− (k − 1)o’e es¸it oldu˘gunu biliyoruz. Ancak, Γ(Hk) tam
alt grafının maksimum tam alt graf oldu˘gunu g¨ostermeliyiz. Bu y¨uzden, olmayana ergi y¨ontemini kullanarak, Γ(Hk) tam alt grafı Γ(G) grafının maksimum alt grafı
olmasın. B¨oylece, Γ(Hk) tam alt grafından bas¸ka V (Γ(Hk)) <
V (Γ(Tk)) ola-cak s¸ekilde en az birtane Γ(Tk) tam alt grafı vardır. Fakat, V (Γ(Tk)) k¨os¸e k¨umesi
w = xε1
1 x ε2
2 . . . x εk
k (k > 2) formunda en az birtane k¨os¸eye sahip oldu˘gu zaman,
Tanım 2.2’daki (II)-(i)’den dolayı ∃ xεi
i = y δj
j olacak s¸ekilde y δj
j k¨os¸esine sahip
ol-malıdır. Ancak, bu durum Tanım 2.2’daki (II)-(i)’den dolayı w ve yδj
j k¨os¸elerinin
koms¸u olmadı˘gını (c¸¨unk¨u, Γ(Hk) tek ¨uretec¸li t¨um elemanlardan olus¸an tam alt
graf oldu˘gu ic¸in), ve Γ(Tk)’nın bir tam alt graf olması ile c¸elis¸ir. Bu y¨uzden, Γ(Hk), V (Γ(Hk)) = nh Pk i=1o(xi) i
− (k − 1)ok¨os¸e sayısına sahip maksimum alt graftır. Bu ise ispatı tamamlar.
Teorem 2.7’in sonucu olarak, as¸a˘gıdaki sonucu elde ederiz.
Sonuc¸ 2.2 Tanım 2.2’de tanımlanan Γ(G) basit grafı m¨ukemmeldir.
Tanım 2.6 Γ herhangi bir basit graf olsun. E˘ger, Γ grafı en az bes¸ uzunluklu tek bir d¨ong¨uye sahip ise Γ basit grafı berge olarak adlandırılır (Bknz. Berge (1962)).
Bazı kaynaklarda g¨uc¸l¨u m¨ukemmellik varsayımı olarak adlandırılan as¸a˘gı-daki lemma, aslında m¨ukemmel ve berge graflar arasınas¸a˘gı-daki ilis¸kiyi anlamak ic¸in (Chudnovsky ve dig. (2006)) tarafından ispatlanmıs¸tır.
Lemma 2.1 (Chudnovsky ve dig. (2006)) Bir graf m¨ukemmel ise, ancak ve ancak berge’dir.
Aslında, Tanım 2.6 ile verilen ilis¸kiyi kullanarak, bir sonraki teoremde Sonuc¸ 2.2’de verilen sonuc¸tan daha kesin bir sonuc¸ ile Γ(G) grafının m¨ukemmelli˘gini verebiliriz.
Teorem 2.8 k farklı ¨uretec¸ten olus¸turulmus¸ G = hx1, x2, . . . , xki yarı direkt
c¸ar-pım grubu ic¸in,
(1) k ≥ 3 ise Γ(G) m¨ukemmeldir.
(2) k = 2 durumunda o(x1) + o(x2) ≥ 6 ise Γ(G) m¨ukemmeldir.
sonuc¸ları elde edilir.
˙Ispat ˙Ilk olarak (1)’in ispatıyla bas¸layalım.
(1) k = 3 ise, Tanım 2.2’daki (I) ve (II)-(ii)’den dolayı kuvvetleri haric¸ sadece x1, x2, x3 ¨uretec¸lerinin kendilerini ve birim eleman 1G’yi kullanarak d¨ort
uzun-luklu bir d¨ong¨u elde edilir.
Ayrıca, Tanım 2.2’daki (II)-(i) kullanılarak x1, x2x3 ∈ G ic¸in x1 ∼ x2x3elde
edilir. Bunlara ek olarak, Tanım 2.2’deki (I)’den dolayı 1G ∼ x2x3 k¨os¸eleri
koms¸u oldu˘gu ic¸in, 1G ∼ x2x3 ∼ x1 ∼ x2 ∼ x3 ∼ 1G bes¸ uzunluklu bir
d¨ong¨u elde edilir. Ayrıca, k > 3 ic¸in sadece Tanım 2.2’daki (II)-(ii) kul-lanılarak ¨uretec¸ elemanlarının kuvvetleri kullanılmadan en az bes¸ uzunluklu bir d¨ong¨u elde edildi˘gini g¨ormek kolaydır. B¨oylece, bu kos¸ullar altında Γ(G) bergedir ve Lemma 2.1’den dolayı m¨ukemmeldir.
(2) k = 2 ic¸in, Γ(G) basit grafı iki ¨uretec¸li G = hx1, x2i grubu tarafından
olus¸turuldu˘gu ic¸in, Γ(G) ic¸erisinde ∀ w = xε1
1 x ε2
2 formundaki noktalar Tanım
2.2’daki (I) ve (II)-(i)’den dolayı sadece birim eleman 1Gile koms¸udur.
B¨oy-lece, gerekli d¨ong¨uler x1, x2 ¨uretec¸leri ve onların kuvvetlerinden elde
edile-cektir. Fakat, en az bes¸ uzunluklu tek bir d¨ong¨u elde etmek ic¸in, birim ele-man 1Gdahil en az bes¸ nokta gereklidir. Bu y¨uzden, Tanım 2.2’daki (II)-(ii)
kullanılarak en az bes¸ uzunluklu d¨ong¨u elde etmek ic¸in o(x1) + o(x2) ≥ 6
kos¸ulunun sa˘glanması gerekti˘gi kolaylıkla g¨or¨ul¨ur. B¨oylece, k = 2 du-rumu ic¸in sadece bu kos¸ul altında Γ(G) bergedir ve Lemma 2.1’den dolayı m¨ukemmeldir.
a ve b gibi iki ¨uretece sahip G grubu
a2 a b b2 b3 1G ab ab2 ab3 a2b a2b2 a2b3
S¸ekil 2.2. Tanım 2.2’e g¨ore tanımlanan graf ¨ornekleri II
¨
Ornek 2.3 G = ha, b ; a3, b4, b−1ab = x−1i sunus¸una sahip, C
3 = ha ; a3i ve
C4 = hb ; b4i devirli grupların yarı direkt c¸arpım grubu olan G aslında (Rotman
(2012)) referansında tanıtılan bir metacyclic gruptur. Tanım 2.2 d¨us¸¨un¨ulerek, G tarafındanΓ(G) grafı S¸ekil 2.2’deki gibi c¸izilebilir. Bu y¨uzden, Γ(G) ic¸i as¸a˘gıdaki sonuc¸lar elde edilir.
• V (Γ(G)) = {1G, a, a2, b, b2, b3, ab, ab2, ab3, a2b, a2b2, a2b3} ve bu y¨uzden
|V (Γ(G))| = 12.
• diam(Γ(G)) = 2, girth(Γ(G)) = 3, γ(Γ(G)) = 1, ∆(Γ(G)) = 11 ve δ(Γ(G)) = 1.
• DS(Γ(G)) = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 11) ve bundan dolayı t(Γ(G)) = 3. • G yarı direkt c¸arpım grubunun ¨uretec¸ sayısı iki iken o(a) + o(b) = 7 oldu˘gu
ic¸in Teorem 2.8 tarafından, χ(Γ(G)) = 6 = ω(Γ(G)) oldu˘gu ic¸in Γ(G) m¨ukemmeldir, ve Lemma 2.1’den dolayı bergedir.
3. DE ˘
G˙IS¸MEL˙I OLMAYAN GRAF
3.1. Giris¸
Tezin bu b¨ol¨um¨unde verilecek olan teorem, ¨onerme ve sonuc¸lar (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak incelenmis¸tir. Ayrıca, bu ifadelerin ispatları yine (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca bahsedilmis¸tir.
G herhangi bir grup ve a bu gruptan alınan sabit bir eleman olsun. G gru-bunun ic¸inde a elemanı ile de˘gis¸meli olan t¨um elemanların k¨umesini
C(a) = {x ∈ G : xa = ax}
olarak tanımladı˘gımızda, bu C(a) k¨umesine a elemanının G ic¸indeki merkezleyicisi denir (Bknz. Cevik (2010)).
Herhangi bir G grubunun
Z(G) = {x ∈ G : ∀ g ∈ G, xg = gx}
alt k¨umesi (yani G grubu ic¸inde birbiriyle de˘gis¸meli olan t¨um elemanların k¨umesi) olarak tanımlanan Z(G) k¨umesine G grubunun merkezi denir (Bknz. Cevik (2010)). G herhangi de˘gis¸meli olmayan bir grup ve Z(G) ise G grubunun merkezi olsun. G grubunun de˘gis¸meli olmayan grafı ΓG olarak g¨osterilir. ΓG de˘gis¸meli
olmayan grafının nokta k¨umesi V (ΓG) = G \ Z(G) ve kenar k¨umesi E(ΓG) ise her
x, y ∈ V (ΓG) ic¸in xy 6= yx s¸artını sa˘glayan nokta c¸iftlerinin k¨umesidir.
Bu b¨ol¨umde ΓG nin graf teori ¨ozelliklerinin G nin grup teori ¨ozelliklerini
nasıl etkiledi˘gi aras¸tırılacaktır. Yani graflar arasında sa˘glanan izomorfizmalar grup-ların mertebesine tas¸ınmıs¸, b¨oylece graf ¨ozelliklerini kullanarak cebirsel yapılar aras¸tırılmıs¸tır. Ayrıca, herhangi iki de˘gis¸meli olmayan graf arasında bir izomor-fizma varsa bu gruplarının arasında da bir izomorf oldu˘gunu g¨osterilmis¸tir.
3.2. De˘gis¸meli olmayan grafın bazı ¨ozellikleri
G grubunun
G0 = G, Gn= 1 ve Gi+1⊆ Gi (i = 0, 1, . . . , n − 1)
olacak s¸ekilde alt gruplarının
(G0, G1, . . . , Gn) (3.1)
serisini d¨us¸¨unelim. Buna g¨ore her 0 ≤ i ≤ n − 1 ic¸in, Gi+1 Gis¸artı sa˘glanıyorsa
(3.1) ile verilen seriye alt normal seri denir.
Herhangi bir G grubunun 0 ≤ i ≤ n − 1 ic¸in her Gi+1/Gi b¨ol¨um grupları
de˘gis¸meli olacak s¸ekilde en az bir tane altnormal serisi varsa G ye c¸¨oz¨ulebilir grup, elde edilen bu seriye ise G nin c¸¨oz¨ulebilir serisi denir. Daha ayrıntılı s¸ekilde (Cevik (2012)) referansına bakılabilir.
S¸imdi, Tanım 1.2 ve 1.3 g¨oz ¨on¨une alınarak as¸a˘gıdaki teorem elde edilir.
Teorem 3.1 (Abdollahi ve dig., 2006) De˘gis¸meli olmayan G grubu ic¸in, ΓG
ba˘g-lantılıdır. diam(ΓG) = 2 dir. Ayrıca, girth(ΓG) = 3’t¨ur.
Yukarıda verilen teoremin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıdaki gibi verilmis¸tir.
x ve y noktaları ΓG grafında farklı iki nokta olsun. E˘ger, x ile y noktaları
koms¸u ise d(x, y) = 1 dir. O halde, x ve y koms¸u olmadı˘gı durumda xy = yx olur. Ayrıca, x ve y noktaları G grubunun merkezinin elemanı olmadı˘gı ic¸in x ve y de˘gis¸meli olmayan ∃ x0, y0 noktaları vardır ve bu noktalar sırasıyla x ve y ile koms¸udur. (yani, {x, x0} ve {y, y0} arasında bir kenar vardır). E˘ger, x noktası y0
noktası ile veya y noktası x0 noktası ile koms¸u ise, d(x, y) = 2 dir. Aksi tak-tirde, grup tanımından x0y0 noktası hem x noktası hemde y noktası ile de˘gis¸meli oldu˘gundan hem x noktası hemde y noktası ile koms¸u olur. B¨oylece, yeniden d(x, y) = 2 olur. B¨oylece, Tanım 1.2 diam(ΓG) = 2 olmasını gerektirir.
Ayrıca, ΓGgrafının her {x, y} kenarı ic¸in {x, y, xy} ¨uc¸gensel b¨olgesi vardır.
Bu y¨uzden, girth(ΓG) = 3’t¨ur.
¨
Onerme 3.1 (Abdollahi ve dig., 2006) Her sonlu de˘gis¸meli olmayan grubun de-˘gis¸meli olmayan grafı Hamiltondur.
Bu ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak ince-lenmis¸tir. ˙Ilk olarak ΓGgrafı ic¸indeki herhangi bir x noktasının derecesi
deg(x) = |G \ CG(x)| dir. Ayrıca, x ∈ G \ Z(G) oldu˘gu ic¸in, alt grubun grubun
mertebesini b¨old¨u˘g¨u gerc¸e˘ginden |G| ≥ 2 |CG(x)| olmalıdır. Bunların sonucunda
d(x) < (|G| − |Z(G)|)/2 c¸ıkar. Bu y¨uzden, (Bondy ve Murty (1976)) referansında verilen Dirac’s teoreminden ΓG grafı Hamiltondur.
Teorem 3.2 (Abdollahi ve dig., 2006) G herhangi bir de˘gis¸meli olmayan grup ol-sun. O halde,
ΓGd¨uzlemsel graftır ⇐⇒ G grubu S3, D8veQ8gruplarından birine izomorftur
ifadesi sa˘glanır.
Teoremin ispatı, yanında verilen referansdan alınarak ¨ozet olarak as¸a˘gıda verilmis¸tir.
S3, D8ve Q8gruplarının de˘gis¸meli olmayan graflarının d¨uzlemsel graf
oldu-˘gunu g¨ormek oldukc¸a kolaydır. S¸imdi, ΓGgrafının d¨uzsemsel graf oldu˘gunu
varsa-yalım. O halde, 5 noktalı tam graf d¨uzlemsel olmadı˘gı ic¸in, klik sayısı ω(Γ) < 5 olmalıdır. B¨oylece (Pyber (1987)) referansının ana sonucu olarak G \ Z(G) sonlu bir gruptur. Bu durumda, biz |Z(G)| ≤ 5 oldu˘gunu ispatlayaca˘gız. Bunun ic¸in olmayana ergi y¨ontemini kullanarak, |Z(G)| > 5 oldu˘gunu varsayalım. O halde, Z(G) grubunun |Z(G)| > 5 mertebeye sahip sonlu bir Z alt grubu ve G grubu de˘gis¸meli olmadı˘gı ic¸in xy 6= yx olacak s¸ekilde ∃ x, y ∈ G vardır. Bu nokta-lar ve Z grubunun T = Zx ∪ Zy s¸eklinde olus¸turulan grup T olsun. S¸imdi, ΓG
grafının T tarafından indirgenmis¸ alt grafı ΓT d¨uzlemsel graftır. C¸ ¨unk¨u, (Bondy
ve Murty (1976)) referansından ΓT sonlu d¨uzlemsel graf oldu˘gu ic¸in, dΓT(v) ≤ 5
olacak s¸ekilde ∃ v ∈ T noktası vardır. Fakat, ∀ z1, z2 ∈ Z elemanları ic¸in xz1 ve
yz2 de˘gis¸meli de˘gildir. Bu durumda, ∀ w ∈ T noktası ic¸in dΓT(w) = |Z| > 5
olup bir c¸elis¸kidir. Bundan dolayı, G grubu sonlu oldu˘gu ic¸in, ΓGgrafıda sonludur.
B¨oylece, yine (Bondy ve Murty (1976)) referansından d(x) ≤ 5 olacak s¸ekilde ∃ x ∈ G \ Z(G) noktası var oldu˘gu ic¸in, d(x) = |G \ CG(x)| ≤ 5 olur. Dahası,
|CG(x)| ≤ |G| /2 ve |G| ≤ 10 bulunur. Fakat, 10 mertebeli de˘gis¸meli olmayan
grupların de˘gis¸meli olmayan graflarının planar olmadı˘gını g¨ormek kolaydır. Di˘ger yandan, en az 9 mertebeli de˘gis¸meli olmayan her grup aslında S3,D8 ve Q8
S¸imdi, as¸a˘gıdaki ¨onermede kullanaca˘gımız kesik k¨ume ve nokta ba˘glanabi-lirli˘gini tanımlayalım.
S ba˘glantılı Γ = (V, E) grafında E kenar k¨umesinin alt k¨umesi olsun. E˘ger, Γ \ S k¨umesi tarafından olus¸an graf ba˘glantısız ise S k¨umesine Γ ba˘glantılı grafının kesik k¨umesidenir.
Ba˘glantılı Γ grafında bazı noktaların c¸ıkarılması ile Γ grafını ba˘glantısız ya-pan noktaların en k¨uc¸¨uk sayısına nokta ba˘glanabilirli˘gi denir, ve κ(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
¨
Onerme 3.2 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan bir grup ve S ise ΓG
grafının kesik k¨umesi olsun. E˘ger ΓG\ S nin x ve y gibi iki noktası farklı ba˘glantılı
biles¸enlere sahip ise,S kesi k¨umesi CG(x) ∩ CG(y) c¸ift kosetlerinin bir birles¸imidir.
¨
Ozellikle,G grubu sonlu ise, κ(ΓG) = t |Z(G)| (1 < t ∈ Z) elde edilir.
Yukarıda verilen ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıda ifade edilmis¸tir.
H = CG(x) ∩ CG(y) ve HaH ∩ S 6= ∅ olacak s¸ekilde a ∈ G olsun. Daha
sonra HaH ⊆ S durumunda, h1, h2 ∈ H ic¸in h1ah2 ∈ S varsa {x, h/ 1ah2} ve
{y, h1ah2} ΓG grafının kenarlarıdır. Fakat bu c¸elis¸kidir. H’ın c¸ift kosetleri G ic¸in
bir parc¸alanıs¸ olus¸turdu˘gu ic¸in birinci kısım tamamlanır.
Varsayalım |S| = κ(ΓG) olsun. S k¨umesi H’ın c¸ift kosetlerinin birles¸imi
oldu˘gu ic¸in, Z(G)’nin de c¸ift kosetlerinin bir birles¸imidir. Bundan bazı t ≥ 1 tamsayıları ic¸in κ(ΓG) = t |Z(G)| sonucu c¸ıkar. E˘ger t = 1 ise, G grubundaki
merkezin elemanı olmayan bazı b elemanları ic¸in S = bZ(G) dir. Di˘ger yandan, r ve s noktaları ΓG\ S grafının farklı ba˘glantılı biles¸enlere sahip iki elemanı olsun.
O halde rs = sr ve rb noktaları hem r hemde s noktaları ile koms¸u oldu˘gu ic¸in, c¸elis¸ki olus¸ur. Bu ise ispatı tamamlar.
S¸imdi, as¸a˘gıdaki yorumu yapabilmek ic¸in ba˘gımsızlık k¨umesi ve ba˘gımsız-lık sayısını kısaca hatırlatalım.
Γ grafının k¨os¸e elemanlarının alt k¨umesi X olsun. E˘ger X k¨umesinin k¨os¸e-leri tarafından olus¸turulan indirgenmis¸ alt graf herhangi bir kenara sahip de˘gil ise, X k¨umesine Γ grafının ba˘gımsızlık k¨umesi denir. Ayrıca, Γ grafındaki ba˘gımsızlık k¨umelerinin maksimumuna maksimal ba˘gımsızlık k¨umesi ve bunun boyutuna ise ba˘gımsızlık sayısıdenir, α(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
grubunun maksimal de˘gis¸meli olmayan alt grubudur. Bunu g¨ormek ic¸in, e˘ger x ∈ S ise x−1 ∈ S oldu˘gu ac¸ıktır. S¸imdi, x, y ∈ S ∪ Z(G) oldu˘gunu varsayalım. Biz xy ∈ S ∪ Z(G) oldu˘gunu g¨ostermek istiyoruz. O halde, S maksimal ba˘gımsızlık k¨umesi ve xy elemanı S k¨umesinin b¨ut¨un elemanları ile de˘gis¸meli oldu˘gu ic¸in, xy ∈ S ∪ Z(G) oldu˘gu ac¸ıkc¸a bulunur.
¨
Onerme 3.3 (Abdollahi ve dig., 2006) G sonlu de˘gis¸meli olmayan bir grup ve ΓG
ise d¨uzg¨un bir graf olsun. Bu durumda, G grubunun nilpotentlik sınıfı en fazla 3 ve G grubu ¨oyle A de˘gis¸meli grubu ile ΓP d¨uzg¨un graf olan bir p-grubunun (p-asal)
direkt c¸arpımıG = P × A’dır.
Bu ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak as¸a-˘gıdaki gibi kısa bir s¸ekilde sunulmus¸tur.
Herhangi bir x noktası ic¸in dΓ(x) = |G| − |CG(x)| oldu˘gu ic¸in, merkezin
elemanı olmayan herhangi x, y elemanları ic¸in |CG(x)| = |CG(y)| olur. Buradan G
grubunun es¸lenik sınıflarının sadece iki boyuta sahip oldu˘gu sonucu c¸ıkar. S¸imdi, (Itˆo ve dig. (1953)) referansı G grubunun nilpotent ve A de˘gis¸meli grubu ile ΓP
d¨uzg¨un graf olan bir p-grubunun (p-asal) direkt c¸arpımı oldu˘gunu gerektirir. Ayrıca, (Ishikawa (2002)) referansının sonucu olarak G grubunun nilpotentlik sınıfının en fazla 3 olaca˘gı sonucuna varılır.
¨
Onerme 3.4 (Abdollahi ve dig., 2006) G sonlu de˘gis¸meli olmayan bir grup ve
|{dΓ(v)|v ∈ V (ΓG)}| = 2
olsun. Bu durumdaG grubu c¸¨oz¨ulebilirdir.
(Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınan bu ¨onerme yanında verilen referansdan kısaca ¨ozetlenmis¸tir.
Her v ∈ V (ΓG) ic¸in dΓ(v) = |G| − |CG(v)| oldu˘gu ic¸in G grubunun es¸lenik
sınıflarının 3 farklı boyuta sahip oldu˘gu sonucu c¸ıkar. Bu sonuc¸ ise (Itˆo ve dig. (1970)) referansından G nin c¸¨oz¨ulebilir oldu˘gunu kanıtlar.
Teorem 3.3 (Neumann, 1976) G de˘gis¸meli olmayan grafı sonsuz bir klik ic¸ermeyen sonlu bir grup olsun. O halde |G : Z(G)| sonludur ve ¨ozellikle ΓG grafının klik
¨
Onerme 3.5 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan bir grup olsun. Buna g¨ore {x} k¨umesi ΓG grafının baskın k¨umesi ise
Z(G) = 1, x2 = 1 ve CG(x) =< x >
sonuc¸ları elde edilir.
Yukarıda verilen ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak as¸a˘gıda verilmis¸tir.
{x} baskın k¨ume olsun. E˘ger Z(G) k¨umesi birimden farklı bir z elemanı ic¸eriyorsa, xz noktası x’e koms¸u de˘gildir. Bu ise c¸elis¸ki olus¸turur ve Z(G) = 1 oldu˘gu kolaylıkla g¨or¨ul¨ur. Ayrıca, x2 6= 1 ise x−1 noktası x’e koms¸u de˘gildir.
Benzer yaklas¸ımla x2 = 1 oldu˘gu ac¸ıktır. S¸imdi, Z(G) = 1 ve x noktası Γ G
grafının t¨um noktalarına koms¸u oldu˘gu ic¸in, CG(x) =< x > olur.
¨
Onerme 3.6 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan bir grup olsun. Bu durumda
S k¨umesi ΓGgrafının baskın k¨umesidir ⇐⇒ CG(S) ⊆ Z(G) ∪ S
es¸itli˘gi sa˘glanır.
Bu ¨onermenin ispatı yanında verilen referansdan alınarak kısaca as¸a˘gıdaki gibi verilmis¸tir.
Bunu g¨ormek ic¸in, S’nin baskın k¨ume oldu˘gunu varsayalım. a /∈ Z(G) ∪ S ise baskın k¨umenin tanımından xa 6= ax olacak s¸ekilde bir x ∈ S elemanı vardır. Bundan dolayı a /∈ CG(S) oldu˘gu ac¸ıktır. O halde CG(S) ⊆ Z(G) ∪ S oldu˘gu
kolaylıkla g¨or¨ul¨ur.
S¸imdi, CG(S) ⊆ Z(G) ∪ S oldu˘gunu varsayalım. E˘ger a /∈ Z(G) ∪ S ise
hipotezi kullanarak a /∈ CG(S) olur. Bu y¨uzden a noktası S’nin en az bir elemanına
koms¸udur. Bu ise S k¨umesinin ΓG’nin baskın k¨umesi oldu˘gunu g¨osterir ve ispat
tamamlanır.
3.3. Benzer de˘gis¸meli olmayan graflara sahip gruplar
G de˘gis¸meli olmayan bir grup olsun. E˘ger G \ Z(G) k¨umesindeki her ele-manın merkezleyicisi de˘gis¸meli oluyor ise G grubuna AC -grup denir (Bknz. Itˆo ve dig. (1953); Rocke (1975); Wu (1998)).
AC-gruplarına ¨ornek olarak Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k} kuaterniyon grupları
verilebilir. S¸¨oyle ki, Q8\ Z(Q8) = {±i, ±j, ±k} k¨umesinin elemanlarının
merkez-leyicileri
CQ8(+i) = CQ8(−i) = {±1, ±i}
CQ8(+j) = CQ8(−j) = {±1, ±j}
CQ8(+k) = CQ8(−k) = {±1, ±k}
de˘gis¸meli gruplar oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Bundan dolayı Q8 bir AC-gruptur.
Lemma 3.1 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan bir grup olsun. E˘ger ΓG ∼= ΓH olacak s¸ekilde birH grubu var ise, H sonlu de˘gis¸meli olmayan bir grup
ve|Z(H)|
ebob(|G| − |Z(G)| , |G| − |CG(x)| , |CG(x)| − |Z(G)| : x ∈ G \ Z(G))
ifadesini b¨oler.
Yukarıda verilen lemmanın ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısa bir s¸ekilde as¸a˘gıda sunulmus¸tur.
ΓG ∼= ΓH oldu˘gu ic¸in, 0 6= |G \ Z(G)| = |H \ Z(H)| dır. B¨oylece H
abelyan de˘gildir. S¸imdi, |Z(H)| ≤ |H \ Z(H)| oldu˘gu ic¸in, Z(H) sonsuz olamaz. Bu y¨uzden |H| = |H \ Z(H)| + |Z(H)| oldu˘gu ic¸in, H sonlu bir gruptur. Ayrıca ΓG ∼= ΓH oldu˘gu ic¸in, {dΓG(v) | v ∈ V (ΓG)} = {dΓH(v) | v ∈ V (ΓH)} es¸itli˘gi
elde edilir. Fakat, herhangi v ∈ V (ΓG) ic¸in dΓG(v) = |G| − |CG(v)| ve |Z(H)|
ac¸ıkca ∀ v ∈ V (ΓH) ic¸in dΓH(v)’yi b¨oler. C¸ ¨unk¨u, |G| − |Z(G)| = |H| − |Z(H)|
oldu˘gu ic¸in |Z(H)| ifadesi |G| − |Z(G)| b¨oler. Di˘ger yandan, ∀ x ∈ H \ Z(H) ic¸in, |CH(x)| − |Z(H)| = |CG(φ(x))| − |Z(G)| (φ : ΓH −→ ΓG bir graf
izomorfiz-masıdır) olur. B¨oylece, |Z(H)| ifadesi ∀ x ∈ G \ Z(G) ic¸in, |CG(x)| − |Z(G)|
ifadesini b¨oler. T¨um bu sonuc¸lardan |Z(H)|’ın
ebob(|G| − |Z(G)| , |G| − |CG(x)| , |CG(x)| − |Z(G)| : x ∈ G \ Z(G))
ifadesini b¨old¨u˘g¨u elde edilir. ¨
Onerme 3.7 (Abdollahi ve dig., 2006) G grubu ΓG ∼= ΓS3 olacak s¸ekilde
de˘gis¸-meli olmayan bir grup olsun. O halde, G ∼= S3
Teorem 3.2 den de˘gis¸meli olmayan graflarının 5 noktaya sahip olan d¨uzlemsel graf oldu˘gu sadece sonlu de˘gis¸meli olmayan S3d¨ur. Bu y¨uzden G ∼= S3 d¨ur.
Teorem 3.4 (Abdollahi ve dig., 2006) G grubu G \ Z(G) ∼= S4 olan sonlu
de˘gis¸-meli olmayan bir grup olsun. V ise G’nin de˘gis¸meli olmayan bir alt grubu olsun. Bu durumda,v\Z(G) aslında G\Z(G)’nin Klein-4 grubudur. E˘ger bazı H grupları ic¸in,ΓG ∼= ΓH ise|G| = |H| dir.
Yukarıda verilen teoremin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıdaki gibi verilmis¸tir.
(Schmidt (1970)) referansını kullanarak, ¨oyle x, y, z elemanlarını ic¸eren ve AC-grup olan G ic¸in,
|CG(x)| = 4 |Z(G)| , |CG(y)| = 3 |Z(G)| ve |CG(z)| = 2 |Z(G)|
es¸itlikleri vardır. S¸imdi, Lemma 3.1’den |Z(H)| ifadesi |Z(G)|’yi b¨oler. B¨oylece |Z(H)| = m |Z(H)| olacak s¸ekilde bir m tam sayısı vardır. Di˘ger yandan
|G| − |Z(G)| = |H| − |Z(H)|
oldu˘gu ic¸in, |H| / |Z(H)| = 23m + 1 es¸itli˘gi vardır. Ayrıca, |CG(x)| − |Z(G)| = |CH(a)| − |Z(H)|
olacak s¸ekilde bir a ∈ H varsa, bu y¨uzden |CH(a)| / |Z(H)| = 3m + 1 vardır.
B¨oylece 3m + 1 sayısı m + 7’yi b¨olmesi gerc¸e˘ginden 3m + 1 aslında 23m + 1’ide b¨oler, fakat ∀ m > 3 ic¸in 3m+1 > m+7 ve m = 2 ise 3m+1 - m+7 olur. Bundan dolayı m = 1 veya m = 3 d¨ur. Benzer y¨ontemler kullanılarak, m + 1 | 23m + 1 oldu˘gu elde edilir. Bu y¨uzden m = 1 ve |Z(G)| = |Z(H)| bulunur. Sonuc¸ olarak |G| = |H| es¸itli˘gi elde edilir.
Teorem 3.5 (Abdollahi ve dig., 2006) G bir grup ve n > 2 s¸eklinde bir tam sayı ise, as¸a˘gıdaki
(1) ΓG ∼= ΓSn ise,|G| = |Sn| es¸itli˘gi sa˘glanır.
(2) n > 3 ve ΓG∼= ΓAise,|G| = |An| elde edilir.
ifadeleri sa˘glanır.
(1) (1, 2, . . . , n) ve (1, 2, . . . , n − 1) sırasıyla a ve b’nin d¨ong¨uleri ise,
CSn(a) ∼=< a > ve CSn(b) ∼=< b >
sa˘glanır. S¸imdi, Lemma 3.1 den G sonlu bir gruptur ve |Z(G)| ifadesi
n − (n − 1) = 1
ifadesini b¨oler. Bu y¨uzden |Z(G)| = 1 ve |G| = |Sn| dir.
(2) ˙Ilk olarak varsayalım ki n tek sayı olsun. Bu durumda
a ∈ Anve CAn(a) ∼=< a >
elde edilir. n > 3 oldu˘gu ic¸in, Lemma 3.1 kullanılarak, G’nin sonlu bir grup oldu˘gu ve |Z(G)|’nin ebob(n − 1,n!2 − 1) = 1’i b¨old¨u˘g¨u bulunur. Bu y¨uzden |Z(G)| = 1 bulunur. Ayrıca bu durumda |G| = |An| elde edilir.
S¸imdi, n’nin c¸ift sayı oldu˘gunu varsayalım. O halde
b ∈ Anve CAn(b) ∼=< b >
bulunur. ˙Ilk b¨ol¨ume benzer olarak, n > 3 oldu˘gu ic¸in, Lemma 3.1 kul-lanılarak, |Z(G)| ifadesinin ebob(n − 1,n!2 − 1) = 1’yi b¨old¨u˘g¨u bulunur. Bu y¨uzden |Z(G)| = 1 ve |G| = |An| es¸itlikleri elde edilir. Bu ise ispatı
tamamlar.
Lemma 3.2 (Abdollahi ve dig., 2006) G sonlu bir grup ve k ise G’nin es¸lenik sı-nıflarının sayısı olsun. O halde
2 |E(ΓG)| = |G|2− k |G|
es¸itli˘gi sa˘glanır.
Yukarıda verilen lemmanın ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıdaki gibi verilmis¸tir.
2 |E(ΓG)| sayısı G’nin de˘gis¸meli olmayan nokta c¸iftlerinin sayısı oldu˘gu
ic¸in, (Hirsch (1950)) referansı kullanılarak
2 |E(ΓG)| = |G|2− k |G|
3.4. Bazı grupların klik sayısı ve kromatik sayısı
Bu kısımda, giris¸te tanımladı˘gımız kromatik sayısı ve klik sayısı kavram-larını ve aynı notasyonkavram-larını kullanaca˘gız.
Teorem 3.6 (Abdollahi ve dig., 2006) G sonlu de˘gis¸meli olmayan bir grup olsun. O haldeχ(ΓG) kromatik sayısı, birs¸elimi G’yi veren G’nin de˘gis¸meli alt gruplarının
minumum sayısına es¸ittir. Ayrıca,
ω(ΓG) ≤ χ(ΓG) ≤ |G : Z(G)|
es¸itli˘gide sa˘glanır.
Bu teoremin ispatı (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak burada ¨ozet olarak sunulmus¸tur.
k, birles¸imi G’yi veren G’nin de˘gis¸meli alt gruplarının sayısı olsun ve G grubu A1, A2, . . . , Akde˘gis¸meli alt grupları tarafından kapsansın. O halde Ai deki
ΓG’nin noktaları ba˘gımsız oldu˘gundan, χ(ΓG) ≤ k es¸itsizli˘gi sa˘glanır. Bu durumda
χ = χ(ΓG) oldu˘gunu varsayalım. B¨oylece M1, M2, . . . , Mχ, birs¸elimi G \ Z(G)
olan ΓG’nin noktalarının ba˘gımsız alt k¨umeleri olsun. Dahası < Mj, Z(G) >
tarafından ¨uretilen alt gruplar ∀ j ic¸in G’nin de˘gis¸meli alt gruplarıdır. Ac¸ıkc¸a G bu χ de˘gis¸meli alt gruplar tarafından kaplanır. Bu y¨uzden χ ≤ k es¸itsizli˘gi elde edilir.
Herhangi bir Γ grafı ic¸in χ(Γ) ≤ ω(Γ) oldu˘gu ac¸ıktır. |G : Z(G)| = m ise, bazı α1, α2, . . . , αm ∈ G ic¸in G = Smi=1αZ(G) vardır. Ayrıca Zi :=< αi, Z(G) >
grubu ∀ i ic¸in de˘gis¸meli oldu˘gundan, G de˘gis¸meli alt gruplar olan Z1, Z2, . . . , Zm
tarafından kapsanır. Bu y¨uzden ilk kısım χ(ΓG) ≤ |G : Z(G)|’nin sa˘glanmasını
gerektirir.
Teorem 3.7 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan sonlu bir AC-grup ol-sun. Buna g¨ore
χ(ΓG) = ω(ΓG)
es¸itli˘gi sa˘glanır.
Yukarıda verilen teoremin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıda ifade edilmis¸tir.
ω = ω(ΓG) ve χ = χ(ΓG) oldu˘gunu varsayalım. Ayrıca, x1, x2, . . . , xω
ise ΓG’de maksimal klik olsun. B¨oylece ∀ xi elemanı G’nin merkezinin elemanı
de˘gildir ve bu y¨uzden CG(xi) de˘gis¸meli de˘gildir. Bu durumda G = Sωi=1CG(xi)
oldu˘gunu g¨ormek kolaydır. S¸imdi, Teorem 3.6’dan χ = ω es¸itli˘gi sa˘glanmıs¸ olur. ¨
Ornek 3.1 S mertebesi 22m+1olan ekstra ¨ozel bir grup olsun. Buna g¨ore, (1) ω(ΓS) = 2m + 1.
(2) |S : Z(S)| = 22m.
(3) χ(ΓS) = 2m+ 1.
4. GENELLES¸T˙IR˙ILM˙IS¸ DE ˘
G˙IS¸MEL˙I OLMAYAN
GRAF
4.1. Giris¸
Tezin bu b¨ol¨um¨unde verilecek olan teorem, ¨onerme ve sonuc¸lar (Ghayekhloo ve dig. (2014)) referansından alınarak incelenmis¸tir. Ayrıca, bu ifadelerin ispatları yine (Ghayekhloo ve dig. (2014)) referansından alınarak kısaca ifade edilmis¸tir.
3.b¨ol¨umde tanımlanan de˘gis¸meli olmayan grafı d¨us¸¨un¨ulerek, hem cebirsel olarak grubun alt gruplarını temel alıp hemde son zamanlarda ¨uzerinde fazlasıyla durulan graf kavramları c¸¨oz¨umleyici bir s¸ekilde incelenmis¸tir.
Burada temel olarak genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafın tanımı ve-rilecek ve bu tanımdan yola c¸ıkarak farklı k¨ume ic¸erisindeki noktaların dereceleri incelenecektir.
Sonrasında, bu grafın temel spektral ¨ozellikleri incelenip, bu incelemelere ba˘glı sonuc¸lar elde edilecektir. Bu sonuc¸lardan biri (Erfanian ve Tolue (2012)) referansında verilen ba˘gıl de˘gis¸meli olmayan grafın yıldız grafı olmamasına ra˘gmen genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafın yıldız grafı vardır.
Ayrıca, genelles¸tirlmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafın de˘gis¸melilik derecesi ta-nımlanıp, bu de˘gis¸melilik derecesine ba˘glı olarak grafın kenar sayısını veren form¨ul bulunacaktır.
Son olarak, bulunan t¨um teorem ve sonuc¸lar ıs¸ı˘gında varmak istedi˘gimiz sonuc¸ olan, grafların izomorfizmasından grupların izomorfizmasına bir ba˘glantı ku-rulacaktır.
