3. DE ˘ G˙IS¸MEL˙I OLMAYAN GRAF
3.2. De˘gis¸meli olmayan grafın bazı ¨ozellikleri
G grubunun
G0 = G, Gn= 1 ve Gi+1⊆ Gi (i = 0, 1, . . . , n − 1)
olacak s¸ekilde alt gruplarının
(G0, G1, . . . , Gn) (3.1)
serisini d¨us¸¨unelim. Buna g¨ore her 0 ≤ i ≤ n − 1 ic¸in, Gi+1 Gis¸artı sa˘glanıyorsa
(3.1) ile verilen seriye alt normal seri denir.
Herhangi bir G grubunun 0 ≤ i ≤ n − 1 ic¸in her Gi+1/Gi b¨ol¨um grupları
de˘gis¸meli olacak s¸ekilde en az bir tane altnormal serisi varsa G ye c¸¨oz¨ulebilir grup, elde edilen bu seriye ise G nin c¸¨oz¨ulebilir serisi denir. Daha ayrıntılı s¸ekilde (Cevik (2012)) referansına bakılabilir.
S¸imdi, Tanım 1.2 ve 1.3 g¨oz ¨on¨une alınarak as¸a˘gıdaki teorem elde edilir.
Teorem 3.1 (Abdollahi ve dig., 2006) De˘gis¸meli olmayan G grubu ic¸in, ΓG ba˘g-
lantılıdır. diam(ΓG) = 2 dir. Ayrıca, girth(ΓG) = 3’t¨ur.
Yukarıda verilen teoremin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıdaki gibi verilmis¸tir.
x ve y noktaları ΓG grafında farklı iki nokta olsun. E˘ger, x ile y noktaları
koms¸u ise d(x, y) = 1 dir. O halde, x ve y koms¸u olmadı˘gı durumda xy = yx olur. Ayrıca, x ve y noktaları G grubunun merkezinin elemanı olmadı˘gı ic¸in x ve y de˘gis¸meli olmayan ∃ x0, y0 noktaları vardır ve bu noktalar sırasıyla x ve y ile koms¸udur. (yani, {x, x0} ve {y, y0} arasında bir kenar vardır). E˘ger, x noktası y0
noktası ile veya y noktası x0 noktası ile koms¸u ise, d(x, y) = 2 dir. Aksi tak- tirde, grup tanımından x0y0 noktası hem x noktası hemde y noktası ile de˘gis¸meli oldu˘gundan hem x noktası hemde y noktası ile koms¸u olur. B¨oylece, yeniden d(x, y) = 2 olur. B¨oylece, Tanım 1.2 diam(ΓG) = 2 olmasını gerektirir.
Ayrıca, ΓGgrafının her {x, y} kenarı ic¸in {x, y, xy} ¨uc¸gensel b¨olgesi vardır.
Bu y¨uzden, girth(ΓG) = 3’t¨ur.
¨
Onerme 3.1 (Abdollahi ve dig., 2006) Her sonlu de˘gis¸meli olmayan grubun de- ˘gis¸meli olmayan grafı Hamiltondur.
Bu ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak ince- lenmis¸tir. ˙Ilk olarak ΓGgrafı ic¸indeki herhangi bir x noktasının derecesi
deg(x) = |G \ CG(x)| dir. Ayrıca, x ∈ G \ Z(G) oldu˘gu ic¸in, alt grubun grubun
mertebesini b¨old¨u˘g¨u gerc¸e˘ginden |G| ≥ 2 |CG(x)| olmalıdır. Bunların sonucunda
d(x) < (|G| − |Z(G)|)/2 c¸ıkar. Bu y¨uzden, (Bondy ve Murty (1976)) referansında verilen Dirac’s teoreminden ΓG grafı Hamiltondur.
Teorem 3.2 (Abdollahi ve dig., 2006) G herhangi bir de˘gis¸meli olmayan grup ol- sun. O halde,
ΓGd¨uzlemsel graftır ⇐⇒ G grubu S3, D8veQ8gruplarından birine izomorftur
ifadesi sa˘glanır.
Teoremin ispatı, yanında verilen referansdan alınarak ¨ozet olarak as¸a˘gıda verilmis¸tir.
S3, D8ve Q8gruplarının de˘gis¸meli olmayan graflarının d¨uzlemsel graf oldu-
˘gunu g¨ormek oldukc¸a kolaydır. S¸imdi, ΓGgrafının d¨uzsemsel graf oldu˘gunu varsa-
yalım. O halde, 5 noktalı tam graf d¨uzlemsel olmadı˘gı ic¸in, klik sayısı ω(Γ) < 5 olmalıdır. B¨oylece (Pyber (1987)) referansının ana sonucu olarak G \ Z(G) sonlu bir gruptur. Bu durumda, biz |Z(G)| ≤ 5 oldu˘gunu ispatlayaca˘gız. Bunun ic¸in olmayana ergi y¨ontemini kullanarak, |Z(G)| > 5 oldu˘gunu varsayalım. O halde, Z(G) grubunun |Z(G)| > 5 mertebeye sahip sonlu bir Z alt grubu ve G grubu de˘gis¸meli olmadı˘gı ic¸in xy 6= yx olacak s¸ekilde ∃ x, y ∈ G vardır. Bu nokta- lar ve Z grubunun T = Zx ∪ Zy s¸eklinde olus¸turulan grup T olsun. S¸imdi, ΓG
grafının T tarafından indirgenmis¸ alt grafı ΓT d¨uzlemsel graftır. C¸ ¨unk¨u, (Bondy
ve Murty (1976)) referansından ΓT sonlu d¨uzlemsel graf oldu˘gu ic¸in, dΓT(v) ≤ 5
olacak s¸ekilde ∃ v ∈ T noktası vardır. Fakat, ∀ z1, z2 ∈ Z elemanları ic¸in xz1 ve
yz2 de˘gis¸meli de˘gildir. Bu durumda, ∀ w ∈ T noktası ic¸in dΓT(w) = |Z| > 5
olup bir c¸elis¸kidir. Bundan dolayı, G grubu sonlu oldu˘gu ic¸in, ΓGgrafıda sonludur.
B¨oylece, yine (Bondy ve Murty (1976)) referansından d(x) ≤ 5 olacak s¸ekilde ∃ x ∈ G \ Z(G) noktası var oldu˘gu ic¸in, d(x) = |G \ CG(x)| ≤ 5 olur. Dahası,
|CG(x)| ≤ |G| /2 ve |G| ≤ 10 bulunur. Fakat, 10 mertebeli de˘gis¸meli olmayan
grupların de˘gis¸meli olmayan graflarının planar olmadı˘gını g¨ormek kolaydır. Di˘ger yandan, en az 9 mertebeli de˘gis¸meli olmayan her grup aslında S3,D8 ve Q8 grup-
S¸imdi, as¸a˘gıdaki ¨onermede kullanaca˘gımız kesik k¨ume ve nokta ba˘glanabi- lirli˘gini tanımlayalım.
S ba˘glantılı Γ = (V, E) grafında E kenar k¨umesinin alt k¨umesi olsun. E˘ger, Γ \ S k¨umesi tarafından olus¸an graf ba˘glantısız ise S k¨umesine Γ ba˘glantılı grafının kesik k¨umesidenir.
Ba˘glantılı Γ grafında bazı noktaların c¸ıkarılması ile Γ grafını ba˘glantısız ya- pan noktaların en k¨uc¸¨uk sayısına nokta ba˘glanabilirli˘gi denir, ve κ(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
¨
Onerme 3.2 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan bir grup ve S ise ΓG
grafının kesik k¨umesi olsun. E˘ger ΓG\ S nin x ve y gibi iki noktası farklı ba˘glantılı
biles¸enlere sahip ise,S kesi k¨umesi CG(x) ∩ CG(y) c¸ift kosetlerinin bir birles¸imidir.
¨
Ozellikle,G grubu sonlu ise, κ(ΓG) = t |Z(G)| (1 < t ∈ Z) elde edilir.
Yukarıda verilen ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıda ifade edilmis¸tir.
H = CG(x) ∩ CG(y) ve HaH ∩ S 6= ∅ olacak s¸ekilde a ∈ G olsun. Daha
sonra HaH ⊆ S durumunda, h1, h2 ∈ H ic¸in h1ah2 ∈ S varsa {x, h/ 1ah2} ve
{y, h1ah2} ΓG grafının kenarlarıdır. Fakat bu c¸elis¸kidir. H’ın c¸ift kosetleri G ic¸in
bir parc¸alanıs¸ olus¸turdu˘gu ic¸in birinci kısım tamamlanır.
Varsayalım |S| = κ(ΓG) olsun. S k¨umesi H’ın c¸ift kosetlerinin birles¸imi
oldu˘gu ic¸in, Z(G)’nin de c¸ift kosetlerinin bir birles¸imidir. Bundan bazı t ≥ 1 tamsayıları ic¸in κ(ΓG) = t |Z(G)| sonucu c¸ıkar. E˘ger t = 1 ise, G grubundaki
merkezin elemanı olmayan bazı b elemanları ic¸in S = bZ(G) dir. Di˘ger yandan, r ve s noktaları ΓG\ S grafının farklı ba˘glantılı biles¸enlere sahip iki elemanı olsun.
O halde rs = sr ve rb noktaları hem r hemde s noktaları ile koms¸u oldu˘gu ic¸in, c¸elis¸ki olus¸ur. Bu ise ispatı tamamlar.
S¸imdi, as¸a˘gıdaki yorumu yapabilmek ic¸in ba˘gımsızlık k¨umesi ve ba˘gımsız- lık sayısını kısaca hatırlatalım.
Γ grafının k¨os¸e elemanlarının alt k¨umesi X olsun. E˘ger X k¨umesinin k¨os¸e- leri tarafından olus¸turulan indirgenmis¸ alt graf herhangi bir kenara sahip de˘gil ise, X k¨umesine Γ grafının ba˘gımsızlık k¨umesi denir. Ayrıca, Γ grafındaki ba˘gımsızlık k¨umelerinin maksimumuna maksimal ba˘gımsızlık k¨umesi ve bunun boyutuna ise ba˘gımsızlık sayısıdenir, α(Γ) s¸eklinde g¨osterilir.
grubunun maksimal de˘gis¸meli olmayan alt grubudur. Bunu g¨ormek ic¸in, e˘ger x ∈ S ise x−1 ∈ S oldu˘gu ac¸ıktır. S¸imdi, x, y ∈ S ∪ Z(G) oldu˘gunu varsayalım. Biz xy ∈ S ∪ Z(G) oldu˘gunu g¨ostermek istiyoruz. O halde, S maksimal ba˘gımsızlık k¨umesi ve xy elemanı S k¨umesinin b¨ut¨un elemanları ile de˘gis¸meli oldu˘gu ic¸in, xy ∈ S ∪ Z(G) oldu˘gu ac¸ıkc¸a bulunur.
¨
Onerme 3.3 (Abdollahi ve dig., 2006) G sonlu de˘gis¸meli olmayan bir grup ve ΓG
ise d¨uzg¨un bir graf olsun. Bu durumda, G grubunun nilpotentlik sınıfı en fazla 3 ve G grubu ¨oyle A de˘gis¸meli grubu ile ΓP d¨uzg¨un graf olan bir p-grubunun (p-asal)
direkt c¸arpımıG = P × A’dır.
Bu ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak as¸a- ˘gıdaki gibi kısa bir s¸ekilde sunulmus¸tur.
Herhangi bir x noktası ic¸in dΓ(x) = |G| − |CG(x)| oldu˘gu ic¸in, merkezin
elemanı olmayan herhangi x, y elemanları ic¸in |CG(x)| = |CG(y)| olur. Buradan G
grubunun es¸lenik sınıflarının sadece iki boyuta sahip oldu˘gu sonucu c¸ıkar. S¸imdi, (Itˆo ve dig. (1953)) referansı G grubunun nilpotent ve A de˘gis¸meli grubu ile ΓP
d¨uzg¨un graf olan bir p-grubunun (p-asal) direkt c¸arpımı oldu˘gunu gerektirir. Ayrıca, (Ishikawa (2002)) referansının sonucu olarak G grubunun nilpotentlik sınıfının en fazla 3 olaca˘gı sonucuna varılır.
¨
Onerme 3.4 (Abdollahi ve dig., 2006) G sonlu de˘gis¸meli olmayan bir grup ve
|{dΓ(v)|v ∈ V (ΓG)}| = 2
olsun. Bu durumdaG grubu c¸¨oz¨ulebilirdir.
(Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınan bu ¨onerme yanında verilen referansdan kısaca ¨ozetlenmis¸tir.
Her v ∈ V (ΓG) ic¸in dΓ(v) = |G| − |CG(v)| oldu˘gu ic¸in G grubunun es¸lenik
sınıflarının 3 farklı boyuta sahip oldu˘gu sonucu c¸ıkar. Bu sonuc¸ ise (Itˆo ve dig. (1970)) referansından G nin c¸¨oz¨ulebilir oldu˘gunu kanıtlar.
Teorem 3.3 (Neumann, 1976) G de˘gis¸meli olmayan grafı sonsuz bir klik ic¸ermeyen sonlu bir grup olsun. O halde |G : Z(G)| sonludur ve ¨ozellikle ΓG grafının klik
¨
Onerme 3.5 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan bir grup olsun. Buna g¨ore {x} k¨umesi ΓG grafının baskın k¨umesi ise
Z(G) = 1, x2 = 1 ve CG(x) =< x >
sonuc¸ları elde edilir.
Yukarıda verilen ¨onermenin ispatı, (Abdollahi ve dig. (2006)) referansından alınarak as¸a˘gıda verilmis¸tir.
{x} baskın k¨ume olsun. E˘ger Z(G) k¨umesi birimden farklı bir z elemanı ic¸eriyorsa, xz noktası x’e koms¸u de˘gildir. Bu ise c¸elis¸ki olus¸turur ve Z(G) = 1 oldu˘gu kolaylıkla g¨or¨ul¨ur. Ayrıca, x2 6= 1 ise x−1 noktası x’e koms¸u de˘gildir.
Benzer yaklas¸ımla x2 = 1 oldu˘gu ac¸ıktır. S¸imdi, Z(G) = 1 ve x noktası Γ G
grafının t¨um noktalarına koms¸u oldu˘gu ic¸in, CG(x) =< x > olur.
¨
Onerme 3.6 (Abdollahi ve dig., 2006) G de˘gis¸meli olmayan bir grup olsun. Bu durumda
S k¨umesi ΓGgrafının baskın k¨umesidir ⇐⇒ CG(S) ⊆ Z(G) ∪ S
es¸itli˘gi sa˘glanır.
Bu ¨onermenin ispatı yanında verilen referansdan alınarak kısaca as¸a˘gıdaki gibi verilmis¸tir.
Bunu g¨ormek ic¸in, S’nin baskın k¨ume oldu˘gunu varsayalım. a /∈ Z(G) ∪ S ise baskın k¨umenin tanımından xa 6= ax olacak s¸ekilde bir x ∈ S elemanı vardır. Bundan dolayı a /∈ CG(S) oldu˘gu ac¸ıktır. O halde CG(S) ⊆ Z(G) ∪ S oldu˘gu
kolaylıkla g¨or¨ul¨ur.
S¸imdi, CG(S) ⊆ Z(G) ∪ S oldu˘gunu varsayalım. E˘ger a /∈ Z(G) ∪ S ise
hipotezi kullanarak a /∈ CG(S) olur. Bu y¨uzden a noktası S’nin en az bir elemanına
koms¸udur. Bu ise S k¨umesinin ΓG’nin baskın k¨umesi oldu˘gunu g¨osterir ve ispat
tamamlanır.