Genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan graf

Bu b¨ol¨umde G de˘gis¸meli olmayan grup ve H, K alt grupları ile genelles¸tiril- mis¸ de˘gis¸meli olmayan grafı tanımlayaca˘gız.

Tanım 4.1 G de˘gis¸meli olmayan bir grup H ve K alt grupları olsun. H ve K alt gruplarından olus¸turulanΓ(H,K)basit grafının nokta k¨umesi

V (Γ(H,K)) = (H ∪ K) \ (CH(K) ∪ CK(H))

ve bu nokta k¨umesinden alınan herhangi farklı iki x ve y noktaları ic¸in,

x ∼ y ⇐⇒ ∃ x, y ∈ H ve [x, y] 6= 1 (4.1) s¸artını sa˘glayan herbir {x, y} ikilisi Γ(H,K)basit grafınınE(Γ(H,K)) kenar k¨umesini

olus¸turur. Γ(H,K)basit grafınaG grubunun H ve K alt gruplarının genelles¸tirilmis¸

de˘gis¸meli olmayan grafı denir.

As¸a˘gıda nokta dereceleri ile ilgili sonuc¸lar verece˘giz, fakat ispatları kolayca g¨or¨ul- d¨u˘g¨u ic¸in yapılmayacaktır.

¨

Onerme 4.1 (Ghayekhloo ve dig., 2014) Γ(H,K), G de˘gis¸meli olmayan grubun H

veK alt gruplarından olus¸turulmus¸ genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafı olsun. O halde,

(i) E˘ger x ∈ H\(K∪CH(K)) ise deg(x) = |H ∪ K|−|CH(x) ∪ CK(x) ∪ CH(K)|,

(ii) E˘ger x ∈ H ∩ K ise deg(x) = |H ∪ K| − |CH(x) ∪ CK(x)|,

(iii) E˘ger x ∈ K \ (H ∪ CK(H)) ise deg(x) = |H| − |CH(x) ∪ CH∩K(H)| dır.

es¸itlikleri sa˘glanır.

S¸imdi, Γ(H,K)genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafın bazı spektral ¨ozel-

likleri cebirsel ve teorik ¨ozellikler kullanılarak ifade ve ispat edilecektir. ˙Ilk olarak Tanım 2.1’de tanıtılan c¸ap kavramı Γ(H,K) grafına bazı s¸artlar getirilerek ifade ve

ispat edilecektir.

Teorem 4.1 (Ghayekhloo ve dig., 2014) G de˘gis¸meli olmayan bir grup ve H, K merkezi birimden olus¸an alt gruplar ise

es¸itsizli˘gi sa˘glanır.

Yukarıda verilen teoremin ispatı, (Ghayekhloo ve dig. (2014)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıdaki gibi verilmis¸tir.

Γ(H,K)grafının herhangi bir x noktasını alalım. E˘ger H ⊆ CK(x) ise x = 1

veya x ∈ CK(H) olur. Burada x ∈ CK(H) durumu bize x noktasının aslında H

grubunun merkez elemanı oldu˘gunu verdi˘gi ic¸in, teoremin ifadesinden kolaylıkla bir c¸elis¸ki oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. O halde H * CK(x) ve benzer s¸ekilde K * CK(x) alt

k¨umesi de˘gildir.

S¸imdi, 2. ve 3. b¨ol¨umde yaptı˘gımız ispatlara benzer olarak Γ(H,K)grafından

alınan herhangi x, y koms¸u olmayan noktaların durumuna g¨ore ¨uc¸ durumda ispat yapaca˘gız.

1.Durum E˘ger x, y ∈ K ise, [x, h1] 6= 1 ve [y, h2] 6= 1 (yani x, h1 noktası ile koms¸u

ve y, h2 noktası ile koms¸u) olacak s¸ekilde ∃ h1, h2 ∈ H noktaları vardır.

E˘ger [x, h2] 6= 1 (x noktası h2 noktası ile koms¸u) veya [y, h1] 6= 1 (y noktası

h1 noktası ile koms¸u) oluyorsa (s¸¨oyle ki, x ∼ h1 (veya h2) ∼ y), x ve y

noktaları arasındaki uzaklık d(x, y) = 2 olur. Aksi taktirde, yani [x, h2] = 1

(x noktası h2 noktası ile koms¸u olmasın) ve [y, h1] = 1 (y noktası h1 noktası

ile koms¸u olmasın) olursa, grup ¨ozelliklerinden h1, h2 ∈ H ise G grubunun

is¸lemi altında h1h2 ∈ G olur. Bu durumda, yine grup ¨ozelliklerinden h1h2

noktası merkezin elemanı olmayan bir nokta olup hem x hemde y noktası ile koms¸u olacaktır. B¨oylece, x ve y noktaları arasındaki uzaklık d(x, y) = 2 olacaktır.

2.Durum x ∈ H ve y ∈ K ise, Γ(H,K)genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan graf tanımın-

dan x /∈ CH(K) ve y /∈ CK(H) olur, bu durumda Γ(H,K)grafında ¨oyle k ∈ K

ve h ∈ H vardır ki [x, k] 6= 1 (x noktası k noktası ile koms¸u) ve [y, h] 6= 1 (y noktası h noktası ile koms¸u) olsun. E˘ger, h noktası x noktası ile koms¸u olmayıp k ile koms¸u ise d(x, y) = 3 d¨ur. Fakat, h noktası hem x hemde k noktası ile koms¸u de˘gil ise, yine grup tanımından x, h ∈ H ise xh ∈ H vardır ve [xh, k] 6= 1 (xh noktası k noktası ile koms¸u) ve [xh, y] 6= 1 (xh noktası y noktası ile koms¸u) olur. B¨oylece, d(x, y) = 3 bulunur.

3.Durum E˘ger x, y ∈ H ise, x, y /∈ CH(K) genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan graf

k1 noktası ile koms¸u) ve [y, k2] 6= 1 (y noktası k2 noktası ile koms¸u) olsun.

E˘ger, x noktası k2 noktası ile koms¸u veya y noktası k1 noktası ile koms¸u

ise d(x, y) = 2 olur. Aksi taktirde, yine grup tanımından k1, k2 ∈ K ise

k1k2 ∈ K merkezin elemanı olmayan K alt grubunda bir nokta olup hem x

hemde y noktası ile koms¸u olaca˘gından d(x, y) = 2 bulunur.

Yukarıdaki durumlar da bulunan sonuc¸lar Γ(H,K)genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli

olmayan grafının c¸apının diam(Γ(H,K)) ≤ 3 olmasını gerektirir.

Teorem 4.2 (Ghayekhloo ve dig., 2014) G de˘gis¸meli olmayan bir grup ve H, K merkezi birimden olus¸an alt gruplar ise

girth(ΓH,K) ≤ 4

sonucu sa˘glanır.

Bu teoremin ispatı, (Ghayekhloo ve dig. (2014)) referansından alınarak ince- lenmis¸tir.

Teorem 4.1’nin aksine benzer de˘gis¸kenler x ve y genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan Γ(H,K)grafında koms¸u olan iki nokta olsun. Teorem 4.1’ye benzer olarak

noktaların durumuna g¨ore iki durumda ispat yapılacak.

1.Durum E˘ger, x, y ∈ H ise [x, z] 6= 1 (x noktası z noktası ile koms¸u) veya [y, z] 6= 1 (y noktası z noktası ile koms¸u) olacak s¸ekilde ∃ z ∈ V (Γ(H,K)) var ol-

sun. [x, z] 6= 1 (x noktası z noktası ile koms¸u) olması durumunda, e˘ger [y, z] 6= 1 (y noktası z noktası ile koms¸u) ise x, z, y noktaları ¨uc¸gensel bir b¨olge olus¸turur. Aksi taktirde, yani y noktası z noktasına koms¸u olmasın. O halde, [xz, y] 6= 1 (xz noktası y noktası ile koms¸u) olup x, xz, y ¨uc¸gensel b¨olgesi olus¸ur.

2.Durum E˘ger, x ∈ K ve y ∈ H ise Γ(H,K) grafında ¨oyle h ∈ H ve k ∈ K noktaları

vardır ki [x, h] 6= 1 (x noktası h noktası ile koms¸u) ve [y, k] 6= 1 (y noktası k noktası ile koms¸u) olsun. E˘ger, y noktası h noktası ile koms¸u ise x, h, y ¨uc¸gensel b¨olgesi olus¸ur. Aksi halde, yani y noktası h noktası ile koms¸u de˘gil ve h noktası k noktası ile koms¸u ise x, y, k, h s¸eklinde d¨ortl¨u bir devir olus¸ur. S¸imdi varsayalım, h noktası hem y hemde k noktası ile koms¸u olmasın. O halde, yine grup tanımından [xy, h] 6= 1 (xy noktası h noktası ile koms¸u)

[xy, y] 6= 1 (xy noktası y noktası ile koms¸u) olacak s¸ekilde ¨oyle xy ∈ K noktası vardır ki x, y, xy, h d¨ortl¨u devrini olus¸turur.

Bulunan sonuc¸lar Γ(H,K)genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafın girthinin

girth(Γ(H,K)) ≤ 4 olmasını gerektirir.

S¸imdi, Tanım 1.5’de verilen baskın k¨ume ve baskınlık sayısı tanımlarının bir kac¸ uygulaması Γ(H,K) genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan graf ¨uzerinde ince-

lenecek. Ayrıca, bu tanımlar ıs¸ı˘gında (Erfanian ve Tolue (2012)) de verilen sonuc¸lar- ın genelles¸tirilmis¸ durumları as¸a˘gıdaki ¨onermelerde verilecektir.

¨

Onerme 4.2 (Ghayekhloo ve dig., 2014) G de˘gis¸meli olmayan bir grup H ve K bunun alt grupları olsun. E˘ger x ∈ H k¨umesinden aldı˘gımız herhangi bir eleman tek bas¸ına {x} s¸eklinde Γ(H,K) genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafının basın

k¨umesi ise CH(K) ∩ CK(H) = 1, x2 = 1 ve CH(x) =< x >, veya < x, y > olur

(burada,y ∈ CH(K) ve xy ∈ CK(H)).

Bu ¨onermenin ispatı, yanında verilen referansdan alınarak ¨ozet olarak as¸a˘gı- da verilmis¸tir.

Olmayana ergi y¨ontemini kullanarak 1 6= z ∈ CH(K) ∩ CK(H) oldu˘gunu

varsayalım. Bundan dolayı z elemanı aslında H ve K grubundaki b¨ut¨un elemanlar ile koms¸u olmadı˘gından ∀ h ∈ H ve k ∈ K ic¸in [z, h] = 1 ve [z, k] = 1 olur. Ayrıca, x, z ∈ H ise grup tanımını kullanarak xz ∈ H olup xz noktası x noktası ile koms¸u de˘gildir (yani [x, xz] = 1), ve bu bir c¸elis¸kidir. C¸ ¨unk¨u, x noktası Γ(H,K)

grafının {x} s¸eklinde bir baskın k¨umesi oldu˘gu ic¸in Γ(H,K)grafındaki her nokta ile

koms¸u olmalıdır. O halde CH(K) ∩ CK(H) = 1 olur.

S¸imdi benzer y¨ontemi kullanarak x2 6= 1 oldu˘gunu varsayalım. Bu du- rumda, [x, x−1] = 1 (x noktası x−1noktası ile koms¸u de˘gil) olup c¸elis¸kidir. Bunun nedeni yine x noktası Γ(H,K) grafının {x} s¸eklinde bir baskın k¨umesi oldu˘gu ic¸in

Γ(H,K)grafındaki her nokta ile koms¸u olmalıdır. Sonuc¸ olarak x2 = 1 olmalıdır.

Son olarak, t ∈ CH(x) oldu˘gu ic¸in t noktası x noktasının koms¸u olmadı˘gı

elemanlardan biri ve t /∈ {1, x} k¨umesinin elemanı de˘gil ise t noktası x noktasına koms¸u de˘gildir, bu ise c¸elis¸kidir. Benzer s¸ekilde bunun nedeni x noktası Γ(H,K)

grafının {x} s¸eklinde bir baskın k¨umesi oldu˘gu ic¸in Γ(H,K)grafındaki her nokta ile

koms¸u olmalıdır. O halde CH(x) =< x >, veya < x, y > olur.

¨

bunun alt grupları veS ⊆ V (Γ(H,K)) olsun.

S, Γ(H,K)grafının baskın k¨umesidir ⇐⇒ CK(S)∪CH(S) ⊆ CK(H)∪CH(K)∪S.

Yukarıda verilen ¨onermenin ispatı, (Ghayekhloo ve dig. (2014)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıda ifade edilmis¸tir.

(=⇒) Varsayalım ki S genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan Γ(H,K) grafının

baskın k¨umesi ve t ∈ CK(S) ∪ CH(S) k¨umesinin elemanı olsun, o halde biz t ele-

manının CK(H) ∪ CH(K) ∪ S k¨umesinin de elemanı oldu˘gunu g¨ostermeliyiz. E˘ger

t elemanı Γ(H,K) grafında bir nokta ise t ∈ CK(S) ∪ CH(S) k¨ume tanımından ya

t ∈ CK(S) yada t ∈ CH(S) olur. Bu bize t elemanının S baskın k¨umesinde ki

b¨ut¨un elemanlar ile de˘gis¸meli olaca˘gını (yani, [t, S] = 1) verir. Ayrıca, S baskın k¨umesinin tanımından t ∈ S olur. Aksine, e˘ger t elemanı Γ(H,K)grafında bir nokta

de˘gilse bu sefer Γ(H,K)grafınının tanımından t ∈ CK(H ∪ CH(K)) olur.

(⇐=) Olmayana ergi y¨ontemini kullarak, S genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan Γ(H,K)grafının baskın k¨umesi olmasın. Bu durumda t /∈ S ve t noktası S k¨umesinde

ki hic¸bir nokta ile koms¸u de˘gildir. Bundan dolayı

[t, s] = 1 ve t ∈ CK(S) ∪ CH(S) ⊆ CK(H) ∪ CH(K) ∪ S

olur. Buradan t ∈ S oldu˘gu g¨or¨ul¨ur ve bu bir c¸elis¸ki oldu˘gundan, S k¨umesi Γ(H,K)

grafının baskın k¨umesidir. ¨

Onerme 4.4 (Ghayekhloo ve dig., 2014) G de˘gis¸meli olmayan bir grup, X = {h1, h2, . . . , hn} ve Y = {k1, k2, . . . , kl}

hihj, kskt∈ C/ H(K)∪CK(H) (1 ≤ i < j ≤ n ve 1 ≤ s < t ≤ l) s¸artını sa˘glayacak

s¸ekilde sırasıylaH ve K alt gruplarının ¨uretec¸ k¨umeleri olsun. E˘ger, X ∩ CH(K) = {hm+1, . . . hn} ve Y ∩ CK(H) = {ks+1, . . . kl}

ise

S = {h1, . . . , hm, k1, . . . , ks} ∪ {h1hm+1, . . . , h1hn, k1ks+1, . . . , k1kl}

Γ(H,K)grafının baskın k¨umesidir.

Bu ¨onermenin ispatı, (Ghayekhloo ve dig. (2014)) referansından alınarak as¸a˘gıdaki gibi kısa bir s¸ekilde sunulmus¸tur. t elemanı S baskın k¨umesinin elemanı olmasın. Bu durumda ispatı iki durumda inceleyece˘giz.

1.Durum E˘ger t ∈ H ise k = kα1 i1 k α2 i2 . . . k αl im (kij ∈ Y, αi ∈ Z) olacak s¸ekilde,

t noktasına koms¸u ([t, k] 6= 1) ez birtane k ∈ K noktası vardır. Grup ¨ozel- liklerinden t elemanı k noktasının b¨ut¨un ¨uretec¸leri ile de˘gis¸meli de˘gildir, bun- dan dolayı t noktası k noktasının b¨ut¨un ¨uretec¸leri ile koms¸udur([t, kij] 6= 1 ).

E˘ger 1 ≤ ij ≤ s olması t noktası ile kij ∈ S noktasının koms¸u olmasını

gerektirir. E˘ger kij ∈ S ise S baskın k¨umesi ic¸inde t noktasına koms¸u olan/

ki1kij noktası vardır.

2.Durum E˘ger t ∈ K ise h = hβ1

i1h

β2

i2 . . . h

βl

im (hij ∈ X, βi ∈ Z) olacak s¸ekilde,

t noktasına koms¸u ([t, h] 6= 1) ∃ h ∈ H noktası vardır. B¨oylece, grup ¨ozelliklerinden t elemanı h noktasının 1 ≤ ij ≤ n aralı˘gındaki b¨ut¨un ¨uretec¸leri

ile de˘gis¸meli de˘gildir, bundan dolayı t noktası h noktasının 1 ≤ ij ≤ n

aralı˘gındaki b¨ut¨un ¨uretec¸leri ile koms¸u ([t, hij] 6= 1 ) olur. E˘ger, hij noktası

S baskın k¨umesinin elemanı ise sonuc¸ ac¸ıkla g¨or¨ul¨ur. Aksine, hij ∈ S ise t/

noktasına koms¸u olan hi1hij ∈ S baskın k¨umesinde bir nokta vardır.

Yukarıda bulunan sonuc¸lardan ispat tamamlanmıs¸ olur.

Graf teoride birbirine koms¸u olmayan noktalardan olus¸an noktalar k¨umesine grafın ba˘gımsız k¨umesi denir. Bu b¨ol¨umde ac¸ıkc¸a g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi Γ(H,K)genelles¸ti-

rilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafının ba˘gımsız k¨umesi V (Γ(H,K)) \ H dır.

4.3. Genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan grafın de˘gis¸melilik