5. KUVVET GRAFLARI
5.5. EPO ve EPPO-gruplarının kuvvet grafları
G bir grup olsun. E˘ger G grubunun as¸ikar olmayan t¨um elemanlarının mer- tebeleri asal ise G’ye EPO -grup denir.
E˘ger G’nin elemanlarının mertebeleri asalların kuvvetleri s¸eklinde ise G’ye EPPO -grup denir.
Sonlu bir G grubu ic¸in G’nin t¨um maksimal alt devirli gruplarının k¨umesi M axCyc(G) s¸eklinde ifade edilir.
E˘ger G sonlu bir grup ise
M (G) = {x ∈ G |< x >< ·G}
olarak tanımlanır.
Bir p-grup Q’nun kuvvet grafı p mertebeli bazı tam grafların birles¸imi olur ancak ve ancak Q grubu p ¨usse sahip olur, ifadesi ac¸ıkca g¨or¨ul¨ur. S¸imdi, as¸a˘gıda verece˘gimiz teoremdeki amacımız keyfi bir grup ile aynı problemi aras¸tırmaktır.
Teorem 5.3 (Mirzargar ve dig., 2012) P (G) birim elemanlarını ortak olarak kul- lanan tam grafların birles¸imi olsun. Ancak ve ancakG grubu A 6= B, A ∩ B = {e} olacak s¸ekilde herA, B maksimal devirli alt grupları ic¸in, bir EP P O-gruptur.
Yukarıda verilen ¨onermenin ispatı, (Mirzargar ve dig. (2012)) referansından alınarak kısaca as¸a˘gıda ifade edilmis¸tir.
x ∈ G ve p1, p2|o(x) olacak s¸ekilde p1, p2 asal sayılar olsun. Buna g¨ore
< x > devirli alt grubu koms¸u olmayan p1mertebeli x1 ve p2mertebeli x2 eleman-
larını ic¸eriyor. x1 ve x2 noktaları x’e koms¸u oldu˘gu ic¸in, P (G)’de aynı blokta olur
ve bu c¸elis¸kidir. Yani A =< a > ve B =< b > ¨oyleki e 6= x ∈ A∩B olacak s¸ekilde G’nin maksimal devirli alt grupları ise, x noktası a ve b ile kars¸ılıklı koms¸udur, bu y¨uzden A ⊆ B veya B ⊆ A olur, fakat bu imkansızdır.
Tersine, G’nin A 6= B, A ∩ B = {e} olacak s¸ekilde her A, B maksimal devirli alt grupları asal mertebeli kuvvetlere sahip oldu˘gunu varsayalım. kendi referansını kullanarak, S =S
x∈M (G)r(x) = e oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Ayrıca M axCyc(G) = {< x1 >
, . . . < xr >} ve A = {x1, x2, . . . xr} ise P (G) − e’nin her biles¸eni P (G)’nin tam
alt grafları olan bazı i (1 ≤ i ≤ r) ic¸in < xi > −{e} formuna sahiptir. Bu ise ispatı
bitirir.
Sonuc¸ 5.4 (Mirzargar ve dig., 2012) G bir EP O-grup ise P (G) aslında G’nin birim elemanının ortak oldu˘gu bazı tam grafların birles¸imidir.
Lemma 5.2 (Mirzargar ve dig., 2012) G sonlu grubu EP P O dur. Ancak ve an- cakP (G)’nin her maksimal kli˘ginin noktaları G’nin maksimal devirli alt gruplarıdır.
Bu ¨onermenin ispatı, (Mirzargar ve dig. (2012)) referansından alınarak as¸a˘gı- daki gibi kısa bir s¸ekilde sunulmus¸tur.
(=⇒) H k¨umesi P (G)’de maksimal bir klik ve x ∈ H olsun. E˘ger o(x) grubu p ve q gibi en az iki asal b¨olene sahip ise, H grubunda bu mertebelere sahip elemanların olması imkansızdır.
(⇐=) Lemma 5.1 kullanılarak, P (G)’deki maksimal H kli˘gi bir zincir 1 ⊆< x1 >⊆< x2 >⊆ · · · ⊆< xt>
ile es¸les¸ir. O halde xtelemanı pαasal mertebeli kuvvete sahiptir ve G aslında
EP P O-grup oldu˘gu ic¸in, pα = 1+φ(p)+· · ·+φ(pα) olur. Bu ise H =< xt >
olmasını gerektirir.
5.6. Grupların kuvvet grafları ile sınıflandırılması
(HE ve dig. (2013); Mazurov ve Khukhro (1995)) referanslarında eleman- ların mertebelerinin k¨umesi ve aynı mertebelere sahip sonlu gruplar veya sonlu ba-
sit grupların izomorf oldu˘gu aras¸tırılmıs¸tır. Ayrıca, (Vasil’ev ve dig. (2009)) refe- ransındaki bu soruna da olumlu bir cevap vermis¸tir. S¸imdi, as¸a˘gıdaki teorem ve sonuc¸lar kuvvet graflarını kullanarak sonlu basit grupların yeni bir sınıflandırmasını verecektir.
Teorem 5.4 (Mirzargar ve dig., 2012) E˘ger G1as¸a˘gıdaki sonlu grupların biri ise,
a) Basit grup, b) Devirli grup, c) Simetrik grup, d) Dihedral grup,
e) Genelles¸tirilmis¸ kuaterniyon grubu,
veP (G1) ∼= P (G2) olacak s¸ekilde bir G2 grubu varsaG1 ∼= G2sa˘glanır.
(Mirzargar ve dig. (2012)) referansından alınan bu teorem yanında verilen referansdan kısaca ¨ozetlenmis¸tir.
P (G1) ∼= P (G2) oldu˘gu ic¸in, (Cameron (2010))’daki sonuc¸dan G1ve G2’nin
her bir elemanının mertebesi aynıdır.
a) Bunu ispatlamak ic¸in, (Cameron (2010); Vasil’ev ve dig. (2009)) referansla- rındaki ana sonuc¸ları kullanmak yeterli olacaktır.
b) E˘ger P (G2) ∼= P (Zn) ise, yine (Cameron (2010)) referansını kullanarak
G2’nin n mertebeli bir elemana sahip olması gerekir. Bu ise G2’nin devirli
grup oldu˘gunu g¨osterir.
c) (HE ve dig. (2013)) kullanılarak
G2 ∼= Sn ⇐⇒ πe(G2) = πe(Sn) ve |G2| = |Sn|
ifadesinden sonuc¸ ac¸ıktır.
d) Varsayalım ki P (G2) ∼= P (D2n) olsun. O halde |G| = 2n ve G2grubu n mer-
tebeli bir a elemanına sahiptir. Ayrıca, G grubundaki 2 mertebeli elemanların sayısı D2n dihedral grubu ile aynı oldu˘gu ic¸in, G2’de < a > ∩ < b >= 1
olacak s¸ekilde 2 mertebeli bir b elemanını sec¸ebiliriz. Bu ise G2 grubunun Z2
ile Zn devirli gruplarının yarı direkt c¸arpımı olmasını gerektirir. Bu y¨uzden
e) Q4nifadesi 4n mertebeli genelles¸tirilmis¸ kuaterniyon grubunu g¨ostersin. E˘ger
P (G2) ∼= P (Q4n) ise |S| > 1 (S burada di˘ger t¨um noktalara koms¸u olan
P (G2) kuvvet grafının noktalarının k¨umesidir) olur. S¸imdi, (Cameron (2010))
kullanılarak G2’nin Q4n’e izomorf oldu˘gu sonucu c¸ıkarılır.
Bir Γ grafında ortak bir nokta ile ba˘glanmayan kenarların k¨umesine es¸les¸tir- me denir. Ayrıca, Γ grafındaki es¸les¸tirmelerin arasındaki en genis¸ boyuta sahip es¸les¸tirmeye maksimum es¸les¸tirme denir. E˘ger maksimum es¸les¸tirme b¨ut¨un nokta- ları ic¸eriyorsa bu graflara m¨ukemmel es¸les¸tirme denir.
Teorem 5.5 (Mirzargar ve dig., 2012) P (Zpn) kuvvet grafı pnmertebelip-grupla-
rının t¨um kuvvet grafları arasında maksimum kenar sayısına sahip olanıdır.
Yukarıda verilen teoremin ispatı, (Mirzargar ve dig. (2012)) referansından alınarak as¸a˘gıda verilmis¸tir.
G grubu pn mertebeli devirli olmayan bir p-grup olsun. O halde as¸a˘gıdaki
gibi Γ = (X, Y ) s¸eklinde iki parc¸alı graf:
X = G, Y = Zpnve E(Γ) = {ab | a ∈ X, b ∈ Y ve o(a) ≤ o(b)}
ins¸a edilebilir.
S¸imdi, ilk olarak Γ grafının M gibi m¨ukemmel bir es¸les¸tirmeye sahip oldu- ˘gunu ve ∀ a ∈ G ic¸in birebir ve ¨orten f : G −→ Zpn fonksiyonun var oldu˘gunu
varsayalım. B¨oylece, o(a) − ϕ(o(a)) ≤ o(f (a)) − ϕ(o(f (a)) ve G devirli olmadı˘gı ic¸in,
X
a∈G
[2o(a) − ϕ(o(a))] <X
a∈G
[2o(f (a)) − ϕ(o(f (a)))] es¸itsizli˘gi elde edilir.
Fakat, {P
a∈G[2o(a)−ϕ(o(a))]−1} ve {
P
a∈G[2o(f (a))−ϕ(o(f (a)))]−1}
sırasıyla P (G) ve P (Zpn)’deki kenarların sayısıdır. Bu y¨uzden ispatı tamamlamak
ic¸in Γ grafının m¨ukemmel bir es¸les¸tirmeye sahip oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir. (West ve dig. (2001)) referansındaki K¨onig-Egerv´ary teoremini kullanarak, Γ’nın minimum nokta ¨ort¨us¨un¨un tam olarak pn elemana sahip oldu˘gunu g¨ostermeliyiz.
Varsayalım ki A k¨umesi Γ grafının minimum nokta ¨ort¨us¨u ve pβ = max{o(x) | x ∈ G}
olarak verilsin. E˘ger A = X ise |A| = pnoldu˘gu ac¸ık olup ispatlanacak birs¸ey yok- tur. Aksine, Y ’nin pβ+1, pβ+2, . . . , pnmertebeli elemanları G’nin t¨um elemanlarına
koms¸udur, bu y¨uzden bu elemanlar A k¨umesindedir. Ayrıca, A k¨umesi pβ (k ≤ β) mertebeli Y ’nin t¨um elemanlarını ic¸erdi˘gini varsayalım. O halde,
Lk = {(x, y) ∈ X × Y | o(x) = o(y) = pk} (k ≤ β)
k¨umesini tanımlayabiliriz. Tanımımızdan, e˘ger (x, y) ∈ Lk ise x ile y koms¸udur
ve x ∈ A veya y ∈ A vardır. Birincisi Lk’nın Γ tarafından indirgenmis¸ iki parc¸alı
tam grafa indirgenmesi ve bu y¨uzden Ωpk(G) ⊆ A veya Ωpk(Zpn) ⊆ A oldu˘gundan
kolaylıkla g¨or¨ulebilir. Ayrıca Ωpk(G)
≤
Ωpk(Zpn)
oldu˘gu ic¸in, minimallikten Ωpk(Zpn) ⊆ A (1 ≤ k ≤ β) oldu˘gunu varsayabiliriz. B¨oylece A = Y ve Γ
m¨ukemmel bir es¸les¸tirmeye sahiptir. Bu ise ispatı bitirir.
Sonuc¸ 5.5 (Mirzargar ve dig., 2012) G grubu pnmertebeli devirli olmayan birp- grup ise, X x∈G o(x) < X x∈Zpn o(x) es¸itsizli˘gi sa˘glanır.
6. SONUC¸ VE ¨ONER˙ILER
Tez altı ana bas¸lık altında toplanmıs¸ ve as¸a˘gıdaki sonuc¸lar elde edilmis¸tir. Tezin giris¸ b¨ol¨um¨unde basit graflar hatırlatılarak, bu basit grafların temel bilinen spektral ¨ozellikleri verilmis¸tir.
˙Ikinci b¨ol¨umde yarı direkt c¸arpım grupları ¨uzerinde yeni bir graf tanıtılıp, bu grafın spektral ¨ozellikleri cebirsel ve teorik y¨ontemler kullanılarak ifade ve ispat edilmis¸tir. Ayrıca bu ¨ozel grafın m¨ukemmel graf oldu˘gu ispatlanmıs¸tır.
Tezin ¨uc¸¨unc¨u ve d¨ord¨unc¨u b¨ol¨um¨unde sırasıyla de˘gis¸meli olmayan graflar ve genelles¸tirilmis¸ de˘gis¸meli olmayan graflar tanımlanıp, bu graflar yardımı ile graf izomorfizmasından grup izomorfizmasına gec¸is¸ yapılmıs¸tır. Bu b¨ol¨umler cebir ve sayılar teorisinde ispatlanması zor olan ifadeleri uygulamalı bilimlere tas¸ıyarak daha kolay ve anlas¸ılır bir s¸ekilde ispat etme imkanı sunmus¸tur.
Bes¸inci b¨ol¨umde sonlu gruplar ic¸in kuvvet graflarının tanımı verilip, bu kuvvet graflarının yukarıdaki b¨ol¨umlerde yapıldı˘gı gibi ilk olarak spektral ¨ozellikleri incelenmis¸ ve ispatlar grupların ¨ozellikleri yardımıyla elde edilmis¸tir. Bunu takiben gruplar ic¸in yeni bir kavram olan EP O ve EP P O-gruplar tanıtılıp, kuvvet grafları ile ilis¸kilendirilmis¸tir. Son olarak kuvvet graflarını kullanarak bilinen sonlu gruplar sınıflandırılmaya c¸alıs¸ılmıs¸tır.
KAYNAKLAR
Abdollahi, A., Akbari, S., ve Maimani, H. (2006). Non-commuting graph of a group. Journal of Algebra, 298(2):468–492.
Berge, C. (1962). Theory of graphs and its applications. 1962. Methuen, London.
Bondy, J. A. ve Murty, U. S. R. (1976). Graph theory with applications, volume 290. Citeseer.
Cameron, P. J. (2010). The power graph of a finite group, ii. Journal of Group Theory, 13(6):779–783.
Cevik, A. S. (2010). Cebire giris¸. Nobel yayınları.
Cevik, A. S. (2012). Soyut Cebir-¨ozel konular. Nobel yayınları.
Chakrabarty, I., Ghosh, S., ve Sen, M. (2009). Undirected power graphs of semi- groups. In Semigroup Forum, volume 78, s. 410–426. Springer.
Chudnovsky, M., Robertson, N., Seymour, P., ve Thomas, R. (2006). The strong perfect graph theorem. Annals of mathematics, s. 51–229.
Cohen, D. E. (1989). Combinatorial group theory: a topological approach, vol- ume 14. Cambridge University Press.
Das, A. ve Nath, R. (2010). On generalized relative commutativity degree of a finite group. Internation electronic journal of algebra, 7:140–151.
Das, K. C., Akg¨unes¸, N., ve C¸ evik, A. S. (2013). On a graph of monogenic semi- groups. Journal of Inequalities and Applications, 2013(1):1–13.
Erfanian, A. ve Tolue, B. (2012). Relative non-commuting graph of a finite group. Journal of Algebra and Its Applications, in press. doi, 10:S0219498812501575.
graph of a finite group. Comptes rendus de l’Acad´emie bulgare des Sciences, 67(8).
Griffin, C. Graph theory: Penn state math 485 lecture.
Gross, J. L. ve Yellen, J. (2004). Handbook of graph theory. CRC press.
Gustafson, W. (1973). What is the probability that two group elements commute? The American Mathematical Monthly, 80(9):1031–1034.
HE, L., CHEN, G., ve XU, H. (2013). A new characterization of sporadic simple groups. Ital. J. Pure Appl. Math, 30:373–392.
Hirsch, K. (1950). On a theorem of burnside. The Quarterly Journal of Mathemat- ics, 1(1):97–99.
Hougardy, S. (2006). Classes of perfect graphs. Discrete mathematics, 306(19):2529–2571.
Ishikawa, K. (2002). On finitep-groups which have only two conjugacy lengths. Israel Journal of Mathematics, 129(1):119–123.
Itˆo, N. ve others (1953). On finite groups with given conjugate types. i. Nagoya Mathematical Journal, 6:17–28.
Itˆo, N. ve others (1970). On finite groups with given conjugate types. ii. Osaka Journal of Mathematics, 7(1):231–251.
Johnson, D. L. (1997). Presentations of groups. Number 15. Cambridge university press.
Jones, G. A. ve Jones, J. M. (1998). Elementary number theory. Springer Science & Business Media.
Karpuz, E. G., Das, K. C., Cangul, I. N., ve C¸ evik, A. S. (2013). A new graph based on the semi-direct product of some monoids. Journal of Inequalities and
Applications, 2013(1):1–8.
Lov´asz, L. (1984). Normal hypergraphs and the weak perfect graph conjecture. Annals of Discrete Mathematics, 21(29-42):52.
Mazurov, V. D. ve Khukhro, E. I. (1995). Unsolved problems in group theory: The Kourovka Notebook.
Miller, G. A., Blichfeldt, H., ve Dickson, L. E. (1961). Theory and applications of finite groups. New York.
Mirzargar, M., Ashrafi, A., ve Nadjafi-Arani, M. (2012). On the power graph of a finite group. Filomat, 26(6):1201–1208.
Neumann, B. (1976). A problem of paul erd¨os on groups. Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 21(04):467–472.
Pyber, L. (1987). The number of pairwise non-commuting elements and the index of the centre in a finite group. Journal of the London Mathematical Society, 2(2):287–295.
Rocke, D. M. (1975). p-groups with abelian centralizers. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(1):55–75.
Rotman, J. (2012). An introduction to the theory of groups, volume 148. Springer Science & Business Media.
Scapellato, R. ve Lauri, J. (2003). Topics in graph automorphisms and reconstruc- tion. London Math. Soc., Student Text, 54.
Schmidt, R. (1970). Zentralisatorverb¨ande endlicher gruppen. Rendiconti del Sem- inario Matematico della Universit`a di Padova, 44:97–131.
Solomon, R. M. ve Woldar, A. J. (2013). Simple groups are characterized by their non-commuting graphs. Journal of Group Theory, 16(6):793–824.
Topkaya, S. ve Cevik, A. S. (2016). A new graph over semi-direct products of groups. Filomat, 30(3):611–619.
Vasil’ev, A. V., Grechkoseeva, M. A., ve Mazurov, V. D. (2009). Characterization of the finite simple groups by spectrum and order. Algebra and Logic, 48(6):385– 409.
West, D. B. ve others (2001). Introduction to graph theory, volume 2. Prentice hall Upper Saddle River.
Wu, Y.-F. (1998). Groups in which commutativity is a transitive relation. Journal of Algebra, 207(1):165–181.
¨
OZGEC¸ M˙IS¸
K˙IS¸˙ISEL B˙ILG˙ILER
AdıSoyadı: Sercan TOPKAYA
Uyru˘gu : T ¨URK˙IYE CUMHUR˙IYET˙I Do˘gum Yeri ve Tarihi : Akyaka / 25.06.1991 Telefon : 05392103223
Faks :
e-mail : topkaya.sercan@hotmail.com E ˘G˙IT˙IM
Derece Adı, ˙Ilc¸e, ˙Il Bitirme Yılı
Lise Kars Alparslan Lisesi 2009
Merkez/KARS
Lisans Selc¸uk ¨Universitesi 2014
Selc¸uklu/KONYA
Y¨uksek Lisans Selc¸uk ¨Universitesi 2016 Selc¸uklu/KONYA
UZMANLIK ALANI
Matematik, Cebir ve Sayılar Teorisi YABANCI D˙ILLER
YDS (68.75) YAYINLAR
Topkaya, S. ve Cevik, A. S. (2015). ”A new graph over semi-direct products of groups”, ICRAPAM 2015, ˙Istanbul, konferansının ¨ozet kitapc¸ı˘gında basıl- mıs¸tır.
Topkaya, S. ve Cevik, A. S. (2016). ”A new graph over semi-direct products of groups”. Filomat, 30(3):611–619.