Bazı metrik uzaylar üzerinde sabit nokta teoremleri

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI METRİK UZAYLAR ÜZERİNDE SABİT NOKTA

TEOREMLERİ

RESİME BOZYİKIT

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

DR. ÖĞR. ÜYESİ İZZETTİN DEMİR

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI METRİK UZAYLAR ÜZERİNDE SABİT NOKTA

TEOREMLERİ

Resime BOZYİKIT tarafından hazırlanan tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS

TEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Danışmanı

Dr. Öğr. Üyesi İzzettin DEMİR Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Dr. Öğr. Üyesi İzzettin DEMİR

Düzce Üniversitesi _____________________

Prof. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

Afyon Kocatepe Üniversitesi _____________________

Dr. Öğr. Üyesi Nejla ÖZMEN

Düzce Üniversitesi _____________________

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

01 Ağustos 2018

TEŞEKKÜR

Bu tezin konu seçiminde ve çalışmalarımın yürütülmesi sürecinde yardımlarını benden esirgemeyen, değerli tecrübelerini paylaşan, fikirleri ve deneyimleriyle çalışmalarıma ışık tutan, insani ve ahlaki değerleri ile örnek edindiğim, birlikte çalışmaktan onur duyduğum çok değerli hocam Dr. Öğr. Üyesi İzzettin DEMİR’e canı gönülden teşekkür eder, saygılarımı sunarım.

Tezimin hazırlanması sırasında beni cesaretlendiren, manevi desteğiyle her zaman yanımda olan başta değerli arkadaşım Ebru TOPALOĞLU olmak üzere tüm arkadaşlarıma ve matematik bölümü hocalarıma en içten dileklerimle teşekkür ederim. Hayatım boyunca her zaman ilk adresim ve tek dayanağım olan, çalışmalarımın başarıyla tamamlanması için elinden gelen her şeyi yapan, çalışmamın görünmeyen emektarları sevgili dünyam babam Bahattin BOZYİKIT, çok kıymetli annem Zeliha BOZYİKIT ve benim için her zaman bir abladan daha fazlası olan biricik ablam Zahire BOZYİKIT başta olmak üzere tüm aileme gösterdikleri sabır ve hoşgörüden dolayı sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

SİMGELER ... VI

ÖZET ... VII

ABSTRACT ... VIII

1.

GİRİŞ ... 1

2.

ÖN BİLGİLER ... 3

3.

KISMİ

𝒃-METRİK UZAY VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ11

3.2. SABİT NOKTA TEOREMLERİ ... 16

4. GENELLEŞTİRİLMİŞ 𝒃-METRİK UZAYLARDA BAZI SABİT

NOKTA TEOREMLERİ... 22

5. ESNEK METRİK ... 27

6.

BİR ESNEK DÖNÜŞÜME GÖRE TANIMLANAN ESNEK

TOPOLOJİ

ÜZERİNDE

BAZI

SABİT

ESNEK

NOKTA

TEOREMLERİ ... 39

6.1. BİR ESNEK DÖNÜŞÜME GÖRE ESNEK TOPOLOJİ ... 39

6.2. ESNEK ORBİT ... 44

7.

KAYNAKLAR ... 48

SİMGELER

𝐸, 𝐾, … Parametre kümeleri 𝐹, 𝐺, 𝐻, … Esnek kümeler

𝐽, 𝛬 İndeks kümesi

ℕ Doğal sayılar kümesi

𝒫(𝑋) 𝑋 in kuvvet kümesi

ℝ(𝐸)∗ Negatif olmayan tüm esnek reel sayıların ailesi ℝ+ Pozitif reel sayılar kümesi

ℝ Reel sayılar kümesi

𝑆𝑃(𝑋) 𝑋 üzerindeki tüm esnek noktaların ailesi

𝑆(𝑋, 𝐸) 𝐸 parametresine göre 𝑋 üzerindeki tüm esnek kümelerin ailesi 𝑥𝑒_{, 𝑦}𝑘_{, … Esnek noktalar}

𝑥̃, 𝑦̃, 𝑧̃, … Esnek elemanlar 𝑋, 𝑌, … Klasik kümeler

𝑋̃ Mutlak esnek küme

𝑋𝐸 𝐸 parametresine göre 𝑋 üzerindeki tüm esnek elemanların ailesi ∅

̃ Boş esnek küme

∘ Bileşke işlemi

\̃ Esnek kümelerde fark işlemi ∈

̃ Esnek noktaların aitliği 𝛼̃, 𝛽̃, 𝛾̃, … Esnek reel sayılar

ÖZET

BAZI METRİK UZAYLAR ÜZERİNDE SABİT NOKTA

TEOREMLERİ

Resime BOZYİKIT Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Dr. Öğr. Üyesi İzzettin DEMİR Ağustos 2018, 50 sayfa

Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez konusu tanıtılmış, ikinci bölümde ise tezin daha kolay anlaşılması için esnek kümeler ve metrik uzaylar ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde 𝑏-metrik uzayın bir genellemesi olan kısmi 𝑏-metrik uzay kavramı verilerek bu metrik uzaylardan nasıl bir topolojik uzay üretilebileceği araştırılmıştır. Daha sonra bu uzaylar üzerinde yakınsaklık özellikleri incelenmiş ve çeşitli sabit nokta teoremleri verilmiştir. Dördüncü bölümde genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay tanımlanarak 𝑏-metrik uzay ile ilişkisi araştırılmıştır. Ayrıca bu uzaylar üzerinde sabit nokta teoremleri incelenmiş ve örnekler ile desteklenmiştir. Beşinci bölümde esnek küme teorisi kullanılarak esnek metrik uzay tanımlanmış ve bu uzaydan bir esnek topolojik uzay elde edilmiştir. Daha sonra esnek metrik uzaylar üzerinde esnek yakınsaklık ve esnek Cauchy dizisi gibi temel kavramlar verilerek ilgili önemli özellikleri incelenmiştir. Son bölümde ise bir esnek dönüşüme göre bir esnek topoloji verilmiş ve bu esnek topolojinin bazı temel özellikleri çalışılmıştır. Ayrıca esnek orbit kavramı tanımlanmış ve bu kavramı destekleyen örnekler sunulmuştur. Bunun yanı sıra 𝑏-metrik uzayların bir esnek versiyonu olan esnek 𝑏-metrik uzaylar üzerinde durulmuştur. Son olarak bu kavramlar kullanılarak bazı sabit nokta teoremleri ispatlanmıştır.

Anahtar sözcükler: 𝑏-metrik uzay, Esnek küme, Esnek metrik uzay, Esnek topoloji,

ABSTRACT

FİXED POİNT THEOREMS ON SOME METRİC SPACES

Resime BOZYİKIT Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master’s Thesis

Supervisor: Assist. Prof. Dr. İzzettin DEMİR August 2018, 50 pages

This thesis consists of six chapters. In the first chapter, the subject of the thesis is introduced, in the second chapter, in order to make the understanding easy, some basic notions about soft sets and metric spaces are given. In the third chapter, the concept of a partial 𝑏-metric space, which is an generalization of 𝑏-metric space, is presented and investigated how a topological space is derived from this metric space. Then, convergence properties on this metric space are studied and some fixed point theorems are established. In the fourth chapter, generalized 𝑏-metric space is defined and its relation with 𝑏-metric space is investigated. Also, fixed point theorems are studied on this space and supported with examples. In the fifth section, by using soft set theory, soft metric space is defined and a soft topological space is obtained from this space. Next, basic concepts such as soft convergence and soft Cauchy sequence are given on soft metric spaces and their important properties are investigated. In the last chapter, a soft topology is introduced with regard to a soft mapping and some basic properties of this soft topology are studied. Also, the concept of a soft orbit is presented and supported with examples. Moreover, the concept of a soft 𝑏-metric space is given, which is a soft version of 𝑏-metric spaces. Finally, by using these concepts, some fixed point theorems are proved.

1. GİRİŞ

Belirsizlik içeren bazı problemleri matematiksel olarak modellerken klasik mantık her zaman yeterli olmayabilir. Bu sebeple birçok alanda karşılaşılan bu belirsizlikler ile başa çıkmak için birbirinden farklı teoriler ortaya atılmaktadır. Bunlardan en önemlileri aralık matematiği, olasılık teorisi, bulanık küme teorisi, yaklaşımlı küme teorisi, sezgisel bulanık küme teorisi ve esnek küme teorisidir.

Esnek küme teorisi ilk olarak 1999 yılında Molodstov tarafından ortaya atılmıştır. Molodstov bu teoriyi oyun teorisi, Riemann integrali ve ölçüm teorisi gibi çeşitli alanlara uygulamıştır [1]. Ardından karar verme problemlerine esnek kümeler teorisi uygulanmıştır [2],[3]. Daha sonra esnek kümeler ile bilgi sistemleri arasındaki ilişkiler araştırılmıştır [4]. Esnek küme sınıfları üzerinde bir esnek dönüşüm tanımlanıp bu dönüşümün temel özellikleri çalışılmıştır [5]. Ayrıca esnek kümeler yardımıyla bir topolojik uzay tanımlanmıştır [6]. Esnek kompaktlık ve çarpım esnek topolojisi kavramları verilmiştir [7]. Bunun yanı sıra esnek reel sayılar tanımlanmış ve ilgili özellikleri incelenmiştir [8]. Esnek noktanın komşuluk sistemi araştırılmış ve ayrıca bir esnek kümenin klasik anlamdaki bir dönüşüme göre durumları elde edilmiştir.

Sabit nokta teorisi ise matematiğin temel konularından biri olup ekonomi, fizik, bilgisayar uygulamaları ve mühendislik gibi daha birçok bilim dalında önemli bir araştırma alanıdır. Özellikle ortaya çıkardığı pratik çözüm yollarından dolayı kısa sürede matematikçiler arasında bir araştırma konusu haline gelmiştir. Örneğin diferansiyel ve integral denklemlerin çözümlerinin varlığını ve tekliğini araştırmada sıkça kullanılmaktadır. Bu teorideki en temel çalışma 1922 yılında Banach tarafından verilen Banach Daralma Prensibidir [10]. Daha sonra birçok matematikçi bu alanda önemli çalışmalar yapmıştır [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19] [20], [21]. Sabit nokta teoremleri, metrik uzaylardan daha genel uzaylar için de önemli bir araştırma konusu olmuştur. Bunlardan bazıları bulanık metrik uzaylarda [22], kısmi metrik uzaylarda [23], 𝑏-metrik uzaylarda [24], 𝐺-metrik uzaylarda [25], konik metrik uzaylarda [26], kısmi 𝑏-metrik uzaylarda [27] ve genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzaylarda

[28] çalışılan sabit nokta teoremleridir. Sabit nokta çalışmaları daha birçok matematikçi tarafından yapılmakta olup bu alandaki çalışmalar büyük bir hız kazanmaktadır.

Metrik uzayların esnek versiyonu ilk olarak Das ve Samanta tarafından çalışılmıştır [29]. Daha sonra birçok araştırmacı esnek metrik uzaylar üzerinde çeşitli sabit nokta teoremleri incelemiştir. Esnek metrik uzaylar üzerinde esnek Meir-Keeler tip büzülme dönüşümleri kullanılarak sabit nokta teoremleri verilmiştir [30]. Metrik uzaylarda çalışılan bazı önemli sabit nokta teoremleri esnek anlamda çalışılmıştır [31]. Esnek 𝐺-metrik uzaylar kavramı verilmiş ve çeşitli sabit nokta sonuçları elde edilmiştir [32]. Dahası esnek 𝑏-metrik uzaylar üzerinde bazı sabit nokta çalışmaları yapılmıştır [33]. Esnek anlamda sabit nokta çalışmaları daha birçok matematikçi tarafından devam etmektedir.

Bu çalışmada, ilk olarak esnek kümeler ve metrik uzaylar ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Daha sonra 𝑏-metrik uzayın genellemeleri olan kısmi 𝑏-metrik uzay ve genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay makaleleri incelenmiştir. Bunun yanı sıra, Das ve Samanta tarafından verilen esnek metrik uzay ile ilgili temel tanımlar ve önemli özellikler çalışılmıştır [29]. Son olarak esnek 𝑏-metrik uzay ve esnek orbit kavramları verilmiş ve bu sayede bazı sabit esnek nokta teoremleri elde edilerek özgün bir çalışma yapılmıştır.

2. ÖN BİLGİLER

2.1. ESNEK KÜMELER

Tanım 2.1.1. 𝑋 bir evrensel küme, 𝐸 𝑋 için uygun parametrelerin bir kümesi ve 𝒫(𝑋)

𝑋 in bir kuvvet kümesi olsun. 𝐹 ∶ 𝐸 → 𝒫(𝑋) bir dönüşüm olmak üzere (𝐹, 𝐸) ikilisine 𝑋 üzerinde bir esnek küme denir.

Diğer bir deyişle, esnek küme 𝑋 in alt kümelerinin parametrelerle ifade edilen bir ailesidir. Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐹(𝑒) değer kümesine esnek kümenin bir 𝑒-elemanı denir.

Burada, 𝐹(𝑒) kümesi boş küme veya 𝑋 in boş olmayan bir alt kümesidir. Bir (𝐹, 𝐸) esnek kümesi

(𝐹, 𝐸) = {(𝑒, 𝐹(𝑒)) | 𝑒 ∈ 𝐸, 𝐹(𝑒) ∈ 𝒫(𝑋)} şeklinde ikililer yardımıyla gösterilir [1].

𝑋 üzerindeki tüm esnek kümelerin ailesi 𝑆(𝑋, 𝐸) ile gösterilir [7].

Uyarı 2.1.2. Bir (𝐹, 𝐸) esnek kümesi sadelik olması açısından kısaca 𝐹 ile

gösterilecektir ve esnek küme sadece 𝐹 ∶ 𝐸 → 𝒫(𝑋) dönüşümü olarak düşünülecektir.

Örnek 2.1.3. 𝑋 = {ℎ₁, ℎ₂, ℎ₃, ℎ₄, ℎ₅} evlerin kümesi olsun.

𝑒₁ =pahalı, 𝑒₂ =güzel, 𝑒₃ =ahşap, 𝑒₄ =ucuz ve 𝑒₅ =bahçeli

olmak üzere 𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5} parametreler kümesi ele alınsın. 𝑋 üzerinde bir 𝐹 esnek kümesi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:

𝐹 = {(𝑒1, {ℎ2, ℎ4}), (𝑒2, {ℎ1, ℎ3}), (𝑒3, {ℎ3, ℎ4, ℎ5}), (𝑒4, {ℎ1, ℎ3, ℎ5}), (𝑒5, {ℎ1})}. Böylece 𝐹 esnek kümesi, bir kişinin satın almayı düşündüğü evlerin özelliklerini belirtir. Örneğin 𝐹(𝑒1) = {ℎ2, ℎ4} pahalı evler anlamındadır [3].

Tanım 2.1.4. 𝐹, 𝐺 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Bu durumda,

(i) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐹(𝑒) = ∅ ise bu esnek kümeye boş esnek küme denir ve ∅̃ ile gösterilir.

(ii) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐹(𝑒) = 𝑋 ise bu esnek kümeye mutlak esnek küme denir ve 𝑋̃ ile gösterilir.

(iii) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐻(𝑒) = 𝐹(𝑒) ∪ 𝐺(𝑒) şeklinde tanımlanan 𝐻 esnek kümesine 𝐹 ve 𝐺 esnek kümelerin birleşimi denir ve bu durum 𝐻 = 𝐹 ⊔ 𝐺 ile gösterilir [3].

Tanım 2.1.5. 𝐹, 𝐺 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Bu durumda,

(i) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐹(𝑒) ⊆ 𝐺(𝑒) ise 𝐹 esnek kümesine 𝐺 nin bir esnek alt kümesi denir ve bu durum 𝐹 ⊑ 𝐺 ile gösterilir. Ayrıca, 𝐹 ⊑ 𝐺 ve 𝐺 ⊑ 𝐹 ise 𝐹 ve 𝐺 eşittir denir. (ii) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐻(𝑒) = 𝐹(𝑒) ∩ 𝐺(𝑒) şeklinde tanımlanan 𝐻 esnek kümesine 𝐹 ve 𝐺 esnek kümelerin kesişimi denir ve bu durum 𝐻 = 𝐹 ⊓ 𝐺 ile gösterilir [4].

Tanım 2.1.6. 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Bu durumda, her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐹𝑐_{(𝑒) = 𝑋\𝐹(𝑒) şeklinde}

tanımlanan 𝐹𝑐 _{∶ 𝐸 → 𝒫(𝑋) dönüşümüne 𝐹 esnek kümesinin tümleyeni denir.} (𝐹𝑐₎𝑐 _{= 𝐹 olduğu açıktır [34].}

Teorem 2.1.7. 𝐽 bir indeks kümesi olmak üzere her 𝑖 ∈ 𝐽 için 𝐹_𝑖 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır.

(i) (⨅_𝑖∈𝐽𝐹_𝑖)𝑐 = ⨆_𝑖∈𝐽𝐹_𝑖𝑐. (ii) (⨆𝑖∈𝐽𝐹𝑖)

𝑐

= ⨅_𝑖∈𝐽𝐹_𝑖𝑐 [35].

Tanım 2.1.8. 𝑆(𝑋, 𝐸) ve 𝑆(𝑌, 𝐾), sırasıyla 𝑋 ve 𝑌 kümeleri üzerinde tanımlanmış, 𝐸 ve

𝐾 parametre kümelerine sahip tüm esnek kümelerin aileleri olsun. 𝜑 ∶ 𝑋 → 𝑌 ve

𝜓 ∶ 𝐸 → 𝐾 iki dönüşüm olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan 𝜑_𝜓 ∶ 𝑆(𝑋, 𝐸) → 𝑆(𝑌, 𝐾) dönüşümüne bir esnek dönüşüm denir.

(i) 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Bu durumda 𝜑_𝜓(𝐹), 𝑌 üzerinde bir esnek kümedir ve her 𝑘 ∈ 𝐾 için

𝜑_𝜓(𝐹)(𝑘) = {_𝑒∈𝜓⋃−1_(𝑘)𝜑(𝐹(𝑒))

, 𝜓−1(𝑘) ≠ ∅ ∅, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟

şeklinde tanımlanır. 𝜑_𝜓(𝐹) esnek kümesine 𝐹 nin bir esnek görüntüsü denir.

(ii) 𝐺 ∈ 𝑆(𝑌, 𝐾) olsun. Bu durumda 𝜑_𝜓−1(𝐺), 𝑋 üzerinde bir esnek kümedir ve her 𝑒 ∈ 𝐸 için

şeklinde tanımlanır. 𝜑_𝜓−1_{(𝐺) esnek kümesine 𝐺 nin bir esnek ters görüntüsü denir [5].} 𝜑 ve 𝜓 dönüşümleri bire-bir (örten) ise 𝜑𝜓 esnek dönüşümü de bire-bir (örten) olarak adlandırılır [7], [35].

Teorem 2.1.9. 𝐽 bir indeks kümesi olmak üzere her 𝑖 ∈ 𝐽 için 𝐹_𝑖 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) ve 𝐺_𝑖 ∈ 𝑆(𝑌, 𝐾) olsun. Bir 𝜑_𝜓 ∶ 𝑆(𝑋, 𝐸) → 𝑆(𝑌, 𝐾) esnek dönüşümü için aşağıdaki

özellikler sağlanır. (i) 𝐹₁ ⊑ 𝐹₂ ise 𝜑_𝜓(𝐹₁) ⊑ 𝜑_𝜓(𝐹₂). (ii) 𝐺₁ ⊑ 𝐺₂ ise 𝜑_𝜓−1(𝐺₁) ⊑ 𝜑_𝜓−1(𝐺₂). (iii) 𝜑_𝜓(⨆_𝑖∈𝐽𝐹_𝑖) = ⨆_𝑖∈𝐽𝜑_𝜓(𝐹_𝑖). (iv) 𝜑_𝜓−1(⨆_𝑖∈𝐽𝐺_𝑖) = ⨆_𝑖∈𝐽𝜑_𝜓−1(𝐺_𝑖). (v) 𝜑_𝜓−1(⨅_𝑖∈𝐽𝐺_𝑖) = ⨅_𝑖∈𝐽𝜑_𝜓−1(𝐺_𝑖). (vi) 𝜑_𝜓−1(𝑌̃) = 𝑋̃, 𝜑_𝜓−1(∅̃) = ∅̃ ve 𝜑𝜓(∅̃) = ∅̃ [5].

Teorem 2.1.10. 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) ve 𝐺 ∈ 𝑆(𝑌, 𝐾) olsun. Bir 𝜑_𝜓 ∶ 𝑆(𝑋, 𝐸) → 𝑆(𝑌, 𝐾) esnek dönüşümü için aşağıdaki özellikler sağlanır.

(i) 𝐹 ⊑ 𝜑_𝜓−1(𝜑_𝜓(𝐹)) dir. Ayrıca, 𝜑_𝜓 bire-bir ise eşitlik sağlanır.

(ii) 𝜑_𝜓(𝜑_𝜓−1(𝐺)) ⊑ 𝐺 dir. Ayrıca, 𝜑_𝜓 örten ise eşitlik sağlanır [7], [35].

Tanım 2.1.11. 𝑋 boştan farklı bir küme ve 𝐸 parametrelerin bir kümesi olsun. Bir

𝜀 ∶ 𝐸 → 𝑋 fonksiyonuna 𝑋 üzerinde bir esnek eleman denir. 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olmak üzere her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝜀(𝑒) ∈ 𝐹(𝑒) ise 𝜀 esnek elemanı 𝐹 esnek kümesine aittir denir ve bu durum 𝜀 ∈̂ 𝐹 ile gösterilir. Buradan bir 𝐹 esnek kümesi, her 𝑒 ∈ 𝐸 için

𝐹(𝑒) = {𝜀(𝑒) | 𝜀 ∈̂ 𝐹} olarak ifade edilebilir [8].

𝐸 parametreler kümesine sahip 𝑋 üzerindeki tüm esnek elemanların ailesi 𝑋𝐸 ile gösterilir.

Uyarı 2.1.12. Tek elemanlı her esnek küme (yani, her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐹(𝑒) tek elemanlı bir

Tanım 2.1.13. ℝ reel sayılar kümesi, 𝐸 parametrelerin bir kümesi ve 𝔅(ℝ), ℝ nin

boştan farklı tüm sınırlı alt kümelerinin bir ailesi olsun. Bu takdirde, 𝐹 = {(𝑒, 𝐹(𝑒)) | 𝑒 ∈ 𝐸, 𝐹(𝑒) ∈ 𝔅(ℝ)} esnek kümesi ℝ üzerinde bir esnek reel küme olarak adlandırılır.

Özel olarak 𝐹 esnek kümesi tek elemanlı bir esnek küme olsun. Bu esnek küme bir esnek eleman olarak düşünülürse bu esnek kümeye bir esnek reel sayı denir [8].

Tanım 2.1.14. 𝐹, 𝐺 esnek reel sayılar olsun. Bu takdirde

(i) Esnek reel sayıların toplamı, her 𝑒 ∈ 𝐸 için (𝐹 + 𝐺)(𝑒) = 𝐹(𝑒) + 𝐺(𝑒) şeklinde tanımlanır.

(ii) Esnek reel sayıların farkı, her 𝑒 ∈ 𝐸 için (𝐹 − 𝐺)(𝑒) = 𝐹(𝑒) − 𝐺(𝑒) şeklinde tanımlanır.

(iii) Esnek reel sayıların çarpımı, her 𝑒 ∈ 𝐸 için (𝐹. 𝐺)(𝑒) = 𝐹(𝑒). 𝐺(𝑒) şeklinde tanımlanır.

(iv) 𝐹 esnek reel sayısının mutlak değeri, her 𝑒 ∈ 𝐸 için |𝐹|(𝑒) = |𝐹(𝑒)| şeklinde tanımlanır.

(v) 𝐹 esnek reel sayısının bir 𝑘 reel sayısı ile çarpımı, her 𝑒 ∈ 𝐸 için (𝑘. 𝐹)(𝑒) = 𝑘. 𝐹(𝑒) şeklinde tanımlanır.

𝐹 + 𝐺, 𝐹 − 𝐺, 𝐹. 𝐺 ve |𝐹| nin bir esnek reel sayı olduğu esnek reel sayıların tanımından kolayca görülür [8].

Tanım 2.1.15. 𝐹 bir esnek reel sayı olsun. Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝐹(𝑒) negatif olmayan bir reel

sayı ise bu durumda 𝐹 esnek reel sayısına negatif olmayan bir esnek reel sayı denir. Negatif olmayan tüm esnek reel sayıların kümesi ℝ(𝐸)∗ _{ile gösterilir.}

Bir esnek kümeye ait esnek elemanlar 𝑥̃, 𝑦̃, 𝑧̃ ile gösterilirken esnek reel sayılar 𝛼̃, 𝛽̃, 𝛾̃ olarak gösterilecektir. Özel olarak 𝛼̅, 𝛽̅, 𝛾̅ ile her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝛼̅(𝑒) = 𝛼 olacak şekildeki esnek reel sayılar gösterilecektir. Örneğin, her 𝑒 ∈ 𝐸 için 0̅(𝑒) = 0 olmak üzere 0̅ bir esnek reel sayıdır [8].

Tanım 2.1.16. 𝛼̃ ve 𝛽̃ iki esnek reel sayı olsun.

(ii) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝛼̃(𝑒) ≥ 𝛽̃(𝑒) ise bu durum 𝛼̃ ≥̃ 𝛽̃ olarak ifade edilir. (iii) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝛼̃(𝑒) < 𝛽̃(𝑒) ise bu durum 𝛼̃ <̃ 𝛽̃ olarak ifade edilir. (iv) Her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝛼̃(𝑒) > 𝛽̃(𝑒) ise bu durum 𝛼̃ >̃ 𝛽̃ olarak ifade edilir [36].

Tanım 2.1.17. {𝛼̃_𝑛}, esnek reel sayılardan oluşan bir dizi olsun. Her 𝜖̃ >̃ ₀̅ _{esnek reel}

sayısına karşılık 𝑛 ≥ 𝑛₀ özelliğindeki her 𝑛 doğal sayısı için |𝛼̃_𝑛− 𝛼̃| <̃ 𝜖̃ olacak şekilde bir 𝑛0∈ ℕ sayısı varsa {𝛼̃𝑛} dizisi 𝛼̃ esnek reel sayısına esnek yakınsıyor denir ve bu durum lim

𝑛→∞𝛼̃𝑛 = 𝛼̃ ile gösterilir [37].

Tanım 2.1.18. {𝛼̃_𝑛}, esnek reel sayılardan oluşan bir dizi olsun. Her 𝜖̃ >̃ ₀̅ _{esnek reel}

sayısına karşılık her 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 için |𝛼̃𝑛− 𝛼̃𝑚| <̃ 𝜖̃ olacak şekilde bir 𝑛0∈ ℕ doğal sayısı varsa {𝛼̃_𝑛} dizisine bir esnek Cauchy dizisi denir [37].

Tanım 2.1.19. 𝑋 ≠ ∅ bir küme olmak üzere aşağıdaki aksiyomları sağlayan

𝜏 ⊆ 𝑆(𝑋, 𝐸) ailesine 𝑋 üzerinde bir esnek topoloji denir. (ET1) ∅̃, 𝑋̃ ∈ 𝜏.

(ET2) 𝐹₁, 𝐹₂, … , 𝐹_𝑛 ∈ 𝜏 ise ⨅_𝑖=1𝑛 𝐹_𝑖 ∈ 𝜏. (ET3) Her 𝑖 ∈ 𝐽 için 𝐹_𝑖 ∈ 𝜏 ise ⨆_𝑖∈𝐽𝐹_𝑖 ∈ 𝜏.

Bu durumda, (𝑋, 𝜏, 𝐸) üçlüsü bir esnek topolojik uzay olarak adlandırılır. 𝜏 nun elemanlarına da esnek açık küme denir. 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olmak üzere 𝐹𝑐 _{∈ 𝜏 ise 𝐹 esnek} kümesine 𝑋 üzerinde bir esnek kapalı küme denir [6].

Tanım 2.1.20. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay ve 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. 𝐹 nin esnek içi

𝐹𝑜 _{= ⨆{𝐺 | 𝐺 𝑏𝑖𝑟 𝑒𝑠𝑛𝑒𝑘 𝑎ç𝚤𝑘 𝑘ü𝑚𝑒 𝑣𝑒 𝐺 ⊑ 𝐹}} esnek kümesidir.

Buna göre 𝐹0_{, 𝐹 tarafından içerilen en büyük esnek açık kümedir [35].}

Tanım 2.1.21. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay ve 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. 𝐹 nin esnek

kapanışı

𝐹̅ = ⨅{𝐺 | 𝐺 𝑏𝑖𝑟 𝑒𝑠𝑛𝑒𝑘 𝑘𝑎𝑝𝑎𝑙𝚤 𝑘ü𝑚𝑒 𝑣𝑒 𝐹 ⊑ 𝐺} esnek kümesidir.

Tanım 2.1.22. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay ve 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Bu durumda

𝜏𝐹 = {𝐹 ⊓ 𝐺 ∶ 𝐺 ∈ 𝜏} ailesi bir esnek topolojidir. Bu esnek topolojiye 𝐹 üzerinde bir esnek relatif topoloji ve (𝐹, 𝜏_𝐹, 𝐸) üçlüsüne de (𝑋, 𝜏, 𝐸) nin bir esnek alt uzayı denir [6].

Tanım 2.1.23. 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Bir 𝑥 ∈ 𝑋 için 𝐹(𝑒) = {𝑥} ve her 𝑒′_{∈ 𝐸\{𝑒} için} 𝐹(𝑒′) = ∅ olacak şekilde bir 𝑒 ∈ 𝐸 varsa 𝐹 esnek kümesine bir esnek nokta denir ve 𝑥𝑒 ile gösterilir [9], [29], [38].

𝑋 üzerindeki tüm esnek noktaların ailesi 𝑆𝑃(𝑋) ile gösterilir.

Tanım 2.1.24. 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) ve 𝑥𝑒 _{∈ 𝑆𝑃(𝑋) olsun. 𝑥 ∈ 𝐹(𝑒) ise 𝑥}𝑒 _{esnek noktası 𝐹} esnek kümesine aittir denir ve bu durum 𝑥𝑒 _{∈̃ 𝐹 ile gösterilir [9], [29].}

Tanım 2.1.25. 𝑥₁𝑒1_{, 𝑥} 2 𝑒2 _{∈ 𝑆𝑃(𝑋) olsun. 𝑒} 1 = 𝑒2 ve 𝑥1 = 𝑥2 ise 𝑥1 𝑒1 ve 𝑥₂𝑒2 esnek noktalarına eşittir denir. Diğer yandan, 𝑒₁ ≠ 𝑒₂ veya 𝑥₁ ≠ 𝑥₂ ise 𝑥₁𝑒1 _{≠ 𝑥}

2 𝑒2

dir [29].

Önerme 2.1.26. Esnek noktaların herhangi bir birleşimi bir esnek küme oluşturur.

Ayrıca, her esnek küme kendisine ait olan tüm esnek noktaların bir birleşimidir [29].

Tanım 2.1.27. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay, 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) ve 𝑥𝑒 _{∈ 𝑆𝑃(𝑋) olsun.} 𝑥𝑒 _{∈̃ 𝐺 ⊑ 𝐹 olacak şekilde bir 𝐺 ∈ 𝜏 esnek açık kümesi varsa 𝐹 ye 𝑥}𝑒 _{esnek noktasının} bir esnek komşuluğu denir [9].

Teorem 2.1.28. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay ve 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. 𝑥𝑒 _{∈̃ 𝐹̅ olması} için gerek ve yeter koşul 𝑥𝑒 _{esnek noktasının her esnek komşuluğunun 𝐹 ile kesişiminin} boştan farklı olmasıdır [38].

Tanım 2.1.29. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay olsun. 𝑥1𝑒1 ≠ 𝑥2𝑒2 özelliğindeki her 𝑥₁𝑒1_{, 𝑥}

2𝑒2 ∈ 𝑆𝑃(𝑋) için 𝑥1𝑒1 ∈̃ 𝐹, 𝑥2𝑒2 ∈̃ 𝐺 ve 𝐹 ⊓ 𝐺 = ∅̃ olacak şekilde 𝐹, 𝐺 ∈ 𝜏 varsa (𝑋, 𝜏, 𝐸) esnek topolojik uzayına bir esnek Hausdorff uzay denir [6].

Tanım 2.1.30. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay ve 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun.

(i) 𝑋 üzerindeki esnek açık kümelerden oluşan bir 𝒞 = {𝐹_𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼} ailesi 𝐹 ⊑ ⨆_𝑖∈𝐼𝐹_𝑖 koşulunu sağlıyorsa 𝒞 ailesine 𝐹 esnek kümesinin bir esnek örtüsü denir. 𝒞 ailesinin her elemanı bir esnek açık küme ise 𝒞 ye bir esnek açık örtü denir. Ayrıca 𝒞 nin bir alt ailesi 𝐹 nin bir esnek örtüsü oluyorsa bu alt aileye 𝒞 nin bir esnek alt örtüsü denir. (ii) 𝑋 üzerindeki her esnek açık örtünün sonlu bir esnek alt örtüsü varsa (𝑋, 𝜏, 𝐸) esnek topolojik uzayına esnek kompakt uzay denir [7], [35].

Teorem 2.1.31. (𝑋, 𝜏, 𝐸) bir esnek topolojik uzay ve 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. O halde (𝐹, 𝜏𝐹, 𝐸) nin bir esnek kompakt uzay olması için gerek ve yeter koşul 𝑋 deki esnek açık kümelerden oluşan 𝐹 nin her esnek örtüsünün bir sonlu alt örtüye sahip olmasıdır [39].

Teorem 2.1.32. Bir esnek Hausdorff uzayın her esnek kompakt alt uzayı esnek kapalıdır

[39].

2.2. METRİK UZAYLAR

Tanım 2.2.1. 𝑋 boştan farklı bir küme olsun. Aşağıdaki aksiyomları sağlayan

𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ dönüşümüne 𝑋 üzerinde bir metrik denir. (M1) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦.

(M2) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥).

(M3) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦). O halde, (𝑋, 𝑑) ikilisine bir metrik uzay denir [40].

Örnek 2.2.2. 𝑋 = ℝ olsun. Her 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ için

𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|

şeklinde tanımlanan 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{dönüşümü 𝑋 üzerinde bir metriktir [40].} Örnek 2.2.3. 𝑋 = 𝐶[𝑎, 𝑏] olsun. Her 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] için

𝑑(𝑓, 𝑔) = sup{|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| ∶ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]}

şeklinde tanımlanan 𝑑 ∶ 𝐶[𝑎, 𝑏] × 𝐶[𝑎, 𝑏] → ℝ+ _{dönüşümü 𝑋 üzerinde bir metriktir} [40].

Tanım 2.2.4. (𝑋, 𝑑) bir metrik uzay ve {𝑥_𝑛}_𝑛∈ℕ 𝑋 üzerinde bir dizi olsun.

(i) Her 𝜖 > 0 sayısına karşılık her 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 için 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝜖 olacak şekilde bir 𝑛₀ ∈ ℕ sayısı varsa {𝑥_𝑛}_𝑛∈ℕ dizisi 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsıyor denir ve bu durum

lim

𝑛→∞𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) = 0 veya 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) → 0 ile gösterilir.

(ii) Her 𝜖 > 0 sayısına karşılık her 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 için 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝜖 olacak şekilde bir 𝑛₀ ∈ ℕ sayısı varsa {𝑥_𝑛}_𝑛∈ℕ dizisine bir Cauchy dizisi denir.

(iii) (𝑋, 𝑑) metrik uzayında her Cauchy dizisi yakınsak ise bu uzaya bir tam metrik uzay denir [40].

Tanım 2.2.5. (𝑋, 𝑑) bir metrik uzay olsun. 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) → 0 ve 𝑑(𝑦𝑛, 𝑦) → 0 olacak şekilde (𝑋, 𝑑) metrik uzayında {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ ve {𝑦𝑛}𝑛∈ℕ dizileri alınsın. Eğer, 𝑑(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) → 𝑑(𝑥, 𝑦) koşulu sağlanıyorsa 𝑑 metrik fonksiyonuna dizisel süreklidir denir [40].

3. KISMİ

𝒃-METRİK UZAY VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ

3.1. KISMİ 𝒃-METRİK UZAY

Tanım 3.1.1. 𝑋 boştan farklı bir küme olsun. Aşağıdaki aksiyomları sağlayan

𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{dönüşümüne 𝑋 üzerinde bir 𝑏-metrik denir.} (b1) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦.

(b2) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥).

(b3) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠(𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦)) olacak şekilde bir 𝑠 ≥ 1 reel sayısı vardır.

O halde, (𝑋, 𝑑) ikilisine bir 𝑏-metrik uzay denir [24].

Uyarı 3.1.2. Eğer 𝑏-metrik uzayında 𝑠 = 1 alınırsa o zaman bu tanım ile metrik uzay

tanımı çakışır [24].

Örnek 3.1.3. 𝑙_𝑝(ℝ) = {{𝑥𝑛} ⊆ ℝ ∶ ∑∞𝑛=1|𝑥𝑛| < ∞} olmak üzere 𝑋 = 𝑙𝑝(ℝ) ve 0 < 𝑝 < 1 olsun. 𝑥 = {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ ve 𝑦 = {𝑦𝑛}𝑛∈ℕ olmak üzere 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ dönüşümü

𝑑(𝑥, 𝑦) = (∑|𝑥𝑛− 𝑦𝑛|𝑝 ∞

𝑛=1

) 1 𝑝⁄

şeklinde tanımlansın. Buradan 𝑠 = 21 𝑝⁄ _{olmak üzere (𝑋, 𝑑) bir 𝑏-metrik uzaydır.} (b1) Açıktır. (b2) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) = (∑∞𝑛=1|𝑥𝑛− 𝑦𝑛|𝑝)1 𝑝⁄ = (∑∞𝑛=1|𝑦𝑛 − 𝑥𝑛|𝑝)1 𝑝⁄ = 𝑑(𝑦, 𝑥). (b3) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑑(𝑥, 𝑦) = (∑∞𝑛=1|𝑥𝑛− 𝑦𝑛|𝑝)1 𝑝⁄ = (∑∞𝑛=1|𝑥𝑛− 𝑧𝑛+ 𝑧𝑛− 𝑦𝑛|𝑝)1 𝑝⁄

≤ 21 𝑝⁄ _{((∑ |𝑥} 𝑛− 𝑧𝑛|𝑝 ∞ 𝑛=1 )1 𝑝⁄ + (∑∞𝑛=1|𝑧𝑛− 𝑦𝑛|𝑝) 1 𝑝₎ = 21 𝑝⁄ _{(𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦)).} Buradan, 𝑑 fonksiyonu 𝑋 üzerinde bir 𝑏-metriktir [24].

Tanım 3.1.4. 𝑋 boştan farklı bir küme olsun. Aşağıdaki aksiyomları sağlayan

𝑝 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{dönüşümüne 𝑋 üzerinde bir kısmi metrik denir.} (p1) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑝(𝑥, 𝑥) = 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑦, 𝑦). (p2) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑝(𝑥, 𝑥) ≤ 𝑝(𝑥, 𝑦).

(p3) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑦, 𝑥).

(p4) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑝(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑝(𝑥, 𝑧) + 𝑝(𝑧, 𝑦) − 𝑝(𝑧, 𝑧). O halde, (𝑋, 𝑝) ikilisine bir kısmi metrik uzay denir [27].

Tanım 3.1.5. 𝑋 boştan farklı bir küme olsun. Aşağıdaki aksiyomları sağlayan

𝑏 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ dönüşümüne 𝑋 üzerinde bir kısmi 𝑏-metrik denir. (pb1) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑏(𝑥, 𝑥) = 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑏(𝑦, 𝑦). (pb2) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑥) ≤ 𝑏(𝑥, 𝑦).

(pb3) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑏(𝑦, 𝑥).

(pb4) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠(𝑏(𝑥, 𝑧) + 𝑏(𝑧, 𝑦)) − 𝑏(𝑧, 𝑧) olacak şekilde bir 𝑠 ≥ 1 reel sayısı vardır.

O halde, (𝑋, 𝑏) ikilisine bir kısmi 𝑏-metrik uzay denir [27].

Uyarı 3.1.6. (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzay olsun. Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑦) = 0 ise

𝑥 = 𝑦 dir. Fakat bunun tersi doğru olmak zorunda değildir [27].

Uyarı 3.1.7. Her 𝑏-metrik uzay bir kısmi 𝑏-metrik uzaydır, fakat aşağıdaki örnek bunun

tersinin genelde doğru olmadığını gösterir [27].

Örnek 3.1.8. 𝑋 = ℝ+ _{ve 𝑝 > 1 olmak üzere 𝑠 = 2}𝑝 _{> 1 olsun. Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için} 𝑏(𝑥, 𝑦) = (𝑚𝑎𝑥 {𝑥, 𝑦})𝑝+ |𝑥 − 𝑦|𝑝

şeklinde tanımlanan 𝑏 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{fonksiyonu bir kısmi 𝑏-metrik uzaydır.} (pb1) Açıktır.

(pb2) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑥) = 𝑥𝑝 ve 𝑏(𝑥, 𝑦) = (𝑚𝑎𝑥 {𝑥, 𝑦})𝑝+ |𝑥 − 𝑦|𝑝 olmak üzere 𝑥𝑝 ≤ (𝑚𝑎𝑥 {𝑥, 𝑦})𝑝+ |𝑥 − 𝑦|𝑝 sağlanır. (pb3) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑦) = (𝑚𝑎𝑥 {𝑥, 𝑦})𝑝+ |𝑥 − 𝑦|𝑝 = (𝑚𝑎𝑥 {𝑦, 𝑥})𝑝+ |𝑦 − 𝑥|𝑝 = 𝑏(𝑦, 𝑥) (pb4) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için (𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑦})𝑝_{≤ (𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑧})}𝑝_{+ (𝑚𝑎𝑥{𝑧, 𝑦})}𝑝 ve |𝑥 − 𝑦|𝑝 _{≤ 2}𝑝_{(|𝑥 − 𝑧|}𝑝_{+ |𝑧 − 𝑦|}𝑝₎ olmak üzere (𝑚𝑎𝑥 {𝑥, 𝑦})𝑝_{+ |𝑥 − 𝑦|}𝑝 _{≤ (𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑧})}𝑝_{+ (𝑚𝑎𝑥{𝑧, 𝑦})}𝑝_{+ 2}𝑝_{(|𝑥 − 𝑧|}𝑝_{+ |𝑧 − 𝑦|}𝑝₎ ≤ 2𝑝_{((𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑧})}𝑝_{+ (𝑚𝑎𝑥{𝑧, 𝑦})}𝑝_{+ |𝑥 − 𝑧|}𝑝_{+ |𝑧 − 𝑦|}𝑝_{) − 𝑧}𝑝 O halde, (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzaydır. Fakat 𝑏(𝑥, 𝑥) = 𝑥𝑝 ≠ 0 olduğundan bir 𝑏-metrik uzay değildir [27].

Önerme 3.1.9. 𝑋 boştan farklı bir küme olmak üzere 𝑝 bir kısmi metrik uzay ve 𝑑 bir

𝑏-metrik uzay olsun. Bu durumda 𝑠 > 1 olacak şekilde her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑥, 𝑦)

şeklinde tanımlanan 𝑏 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{fonksiyonu bir kısmi 𝑏-metriktir.} İspat. (pb1), (pb2) ve (pb3) koşulları kolayca elde edilir.

(pb4) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑥, 𝑦)

≤ 𝑝(𝑥, 𝑧) + 𝑝(𝑧, 𝑦) − 𝑝(𝑧, 𝑧) + 𝑠(𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦)) ≤ 𝑠(𝑝(𝑥, 𝑧) + 𝑝(𝑧, 𝑦) − 𝑝(𝑧, 𝑧) + 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦))

= 𝑠(𝑏(𝑥, 𝑧) + 𝑏(𝑧, 𝑦) − 𝑏(𝑧, 𝑧)) ≤ 𝑠(𝑏(𝑥, 𝑧) + 𝑏(𝑧, 𝑦)) − 𝑏(𝑧, 𝑧)

Buradan, (𝑋, 𝑏) uzayı bir kısmi 𝑏-metrik uzaydır [27].

Önerme 3.1.10. (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzay ve 𝑠 ≥ 1 olsun. 𝑥 ∈ 𝑋 ve 𝜖 > 0 için

𝐵(𝑥, 𝜖) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∶ 𝑏(𝑥, 𝑦) < 𝑏(𝑥, 𝑥) + 𝜖} olmak üzere ℬ = {𝐵(𝑥, 𝜖) ∶ 𝑥 ∈ 𝑋 𝑣𝑒 𝜖 > 0} olsun. Bu durumda ℬ, 𝑋 üzerindeki bir 𝜏𝑏 topolojisi için alt tabandır.

İspat. 𝜖 > 0 alınsın. Bu durumda, her 𝑥 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑥, 𝑥) < 𝑏(𝑥, 𝑥) + 𝜖 olur. Buradan

𝑋 = ⋃ ℬ sağlanır. Böylece ℬ, 𝑋 üzerindeki bir 𝜏𝑏 topolojisi için alt tabandır [41].

Önerme 3.1.11. (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzay olsun. Bu durumda (𝑋, 𝜏𝑏) bir 𝑇₀-uzaydır.

İspat. 𝑥 ≠ 𝑦 olmak üzere 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 olsun. (pb2) gereğince 𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑥, 𝑥) ≥ 0 ve

𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑦, 𝑦) ≥ 0 olur. Bunun yanı sıra (pb1) den 𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑥, 𝑥) ≠ 0 ya da

𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑦, 𝑦) ≠ 0 bulunur. Buradan 𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑥, 𝑥) > 0 ya da 𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑦, 𝑦) > 0 dır. 𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑥, 𝑥) > 0 olduğu kabul edilsin. Bu durumda

𝑏(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑥, 𝑥) > 𝜖 olacak şekilde bir 𝜖 > 0 sayısı vardır, yani 𝑏(𝑥, 𝑦) > 𝑏(𝑥, 𝑥) + 𝜖 sağlanır. Böylece 𝑦 ∉ 𝐵(𝑥, 𝜖) ve 𝐵(𝑥, 𝜖) ∈ ℬ olacak şekilde bir 𝐵(𝑥, 𝜖) açık kümesi elde edilir. Dolayısıyla, (𝑋, 𝜏_𝑏) bir 𝑇₀-uzaydır [41].

Tanım 3.1.12. (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzay, {𝑥𝑛} 𝑋 üzerinde bir dizi ve 𝑠 ≥ 1 olsun. (i) Her 𝜖 > 0 sayısına karşılık her 𝑛 ≥ 𝑛₀ için 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥) < 𝑏(𝑥, 𝑥) + 𝜖 olacak şekilde bir 𝑛₀ ∈ ℕ doğal sayısı varsa {𝑥_𝑛} dizisi 𝑏 ye göre 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsıyor denir ve

lim

𝑛→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑥) = 𝑏(𝑥, 𝑥) ile gösterilir [41].

(ii) Her 𝑈 ∈ 𝒰(𝑥) açık komşuluğuna karşılık her 𝑛 ≥ 𝑛₀ için 𝑥_𝑛 ∈ 𝑈 olacak şekilde bir 𝑛₀ ∈ ℕ doğal sayısı varsa {𝑥_𝑛} dizisi 𝜏_𝑏 topolojisine göre 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsıyor denir [27].

(iii) lim

𝑛,𝑚→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) var ve sonlu ise {𝑥𝑛} dizisine 𝑏 ye göre bir Cauchy dizisi denir [27].

(iv) Her {𝑥_𝑛} Cauchy dizisi için lim

olacak şekilde bir 𝑥 ∈ 𝑋 elemanı varsa (𝑋, 𝑏) ye bir tam kısmi 𝑏-metrik uzay denir [27].

Önerme 3.1.13. (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzay olsun. 𝑋 üzerindeki bir {𝑥𝑛} dizisi 𝜏𝑏 topolojisine göre 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsıyor ise 𝑏 ye göre de 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsar.

İspat. 𝑋 deki bir {𝑥𝑛} dizisi 𝜏𝑏 topolojisine göre 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsıyor olsun. Her

𝜖 > 0 için 𝑥 ∈ 𝐵(𝑥, 𝜖) ve 𝐵(𝑥, 𝜖) ∈ 𝜏_𝑏 olduğundan hipotezden her 𝑛 ≥ 𝑛₀ için 𝑥_𝑛 ∈ 𝐵(𝑥, 𝜖) olacak şekilde bir 𝑛₀ ∈ ℕ doğal sayısı bulunabilir, yani 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥) < 𝑏(𝑥, 𝑥) + 𝜖 olur. Dolayısıyla {𝑥_𝑛} dizisi 𝑏 ye göre 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsar

[41].

Aşağıdaki örnek Önerme 3.1.13 ün tersinin doğru olmadığını gösterir.

Örnek 3.1.14. 𝑋 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} olsun. 𝑏 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{dönüşümü}

𝑏(𝑥, 𝑥) = 𝑏(𝑧, 𝑧) = 1, 𝑏(𝑦, 𝑦) = 0.5, 𝑏(𝑥, 𝑧) = 𝑏(𝑧, 𝑥) = 1.5, 𝑏(𝑦, 𝑧) = 𝑏(𝑧, 𝑦) = 1, 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑏(𝑦, 𝑥) = 3

şeklinde tanımlansın. O halde 𝑠 = 3 olmak üzere (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzaydır. Öncelikle, her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑢_𝑛 = 𝑦 olacak şekilde bir {𝑢_𝑛} dizisi alınsın ve {𝑢_𝑛} dizisinin 𝑏 ye göre 𝑧 ∈ 𝑋 noktasına yakınsadığı gösterilsin. Her 𝜖 > 0 için

𝑏(𝑧, 𝑦) = 1 < 1 + 𝜖 = 𝑏(𝑧, 𝑧) + 𝜖

olur, yani her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑏(𝑧, 𝑢_𝑛) < 𝑏(𝑧, 𝑧) + 𝜖 elde edilir. Böylece {𝑢𝑛} dizisi 𝑏 ye göre 𝑧 ∈ 𝑋 noktasına yakınsar. Şimdi ise {𝑢_𝑛} dizisinin 𝜏_𝑏 topolojisine göre 𝑧 ∈ 𝑋 noktasına yakınsamadığı gösterilsin. İlk olarak {𝑧} ∈ 𝜏_𝑏 olduğu bulunsun. 𝜖 = 0.2 olmak üzere 𝑧 yi içeren 𝐵(𝑧, 0.2) açık kümesi alınsın.

𝑏(𝑥, 𝑧) = 1.5 > 1 + 0.2 = 𝑏(𝑧, 𝑧) + 0.2 ve

𝑏(𝑧, 𝑦) = 1 < 1 + 0.2 = 𝑏(𝑧, 𝑧) + 0.2

olduğundan sırasıyla 𝑥 ∉ 𝐵(𝑧, 0.2) ve 𝑦 ∈ 𝐵(𝑧, 0.2) olur. Ayrıca 𝑧 ∈ 𝐵(𝑧, 0.2) olduğundan 𝐵(𝑧, 0.2) = {𝑦, 𝑧} ∈ ℬ ⊆ 𝜏_𝑏 elde edilir. Benzer şekilde 𝜖 = 2 olmak üzere 𝑥 i içeren 𝐵(𝑥, 2) açık kümesi alınsın.

𝑏(𝑥, 𝑦) = 3 = 1 + 2 = 𝑏(𝑥, 𝑥) + 2 ve

olduğundan sırasıyla 𝑦 ∉ 𝐵(𝑥, 2), 𝑧 ∈ 𝐵(𝑥, 2) olur. Ayrıca 𝑥 ∈ 𝐵(𝑥, 2) olduğundan 𝐵(𝑥, 2) = {𝑥, 𝑧} ∈ ℬ ⊆ 𝜏𝑏 elde edilir. Böylece {𝑧} = 𝐵(𝑧, 0.2) ∩ 𝐵(𝑥, 2) ∈ 𝜏𝑏 olur.

Fakat her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑢_𝑛 = 𝑦 ∉ {𝑧} dir. Dolayısıyla {𝑢_𝑛} dizisi 𝜏𝑏 topolojisine göre 𝑧 ∈ 𝑋 noktasına yakınsamaz.

Metrik uzaylarda yakınsak her dizinin limiti tektir. Fakat aşağıdaki örnek bu durumun kısmi 𝑏-metrik uzaylarda genelde doğru olmadığını gösterir [41].

Örnek 3.1.15. 𝑋 = ℝ+ _{ve 𝑎 > 0 olmak üzere her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ}+ dönüşümü

𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑦} + 𝑎

şeklinde tanımlansın. O halde (𝑋, 𝑏) bir kısmi 𝑏-metrik uzaydır. Şimdi, her 𝑛 ∈ ℕ için

𝑥_𝑛 = 1 olacak şekilde bir {𝑥_𝑛} dizisi alınsın. Buradan 𝑦 ≥ 1 için 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑦) = 𝑦 + 𝑎 = 𝑏(𝑦, 𝑦) olur. Bunun yanı sıra 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑦) < 𝑏(𝑦, 𝑦) + 𝜖 bulunur.

Böylece her 𝑦 ≥ 1 için lim

𝑛→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑦) = 𝑏(𝑦, 𝑦) olacağından {𝑥𝑛} dizisinin yakınsadığı nokta kısmi 𝑏-metrik uzaylarda tek olmak zorunda değildir [27].

3.2. SABİT NOKTA TEOREMLERİ

Teorem 3.2.1. (𝑋, 𝑏) bir tam kısmi 𝑏-metrik uzay olsun ve 𝜆 ∈ [0, 1) olmak üzere aşağıdaki koşulu sağlayan bir 𝑇: 𝑋 → 𝑋 dönüşümü alınsın:

Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝜆𝑏(𝑥, 𝑦).

Bu durumda 𝑇 bir tek 𝑢 ∈ 𝑋 sabit noktasına sahiptir ve 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0 dır.

İspat. Öncelikle 𝑇 nin bir sabit noktası varsa tek olduğu gösterilsin. Bunun için 𝑇𝑢 = 𝑢

ve 𝑇𝑣 = 𝑣 olacak şekilde 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 gibi iki farklı sabit noktası olduğu kabul edilsin. Bu durumda,

𝑏(𝑢, 𝑣) = 𝑏(𝑇𝑢, 𝑇𝑣) ≤ 𝜆𝑏(𝑢, 𝑣) < 𝑏(𝑢, 𝑣)

bulunur. Bu ise 𝑏(𝑢, 𝑣) < 𝑏(𝑢, 𝑣) çelişkisine neden olur. Böylece 𝑇 nin bir sabit noktası varsa tektir. Diğer yandan, 𝑢 noktası 𝑇 nin bir sabit noktası ise 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0 olur. Aksi takdirde 𝑏(𝑢, 𝑢) ≠ 0 olsaydı bu durumda

çelişkisi elde edilirdi. Şimdi ise sabit noktanın varlığı gösterilsin. 𝜆 ∈ [0, 1) olduğundan bir 0 < 𝜖 < 1 sayısı için 𝜆𝑛0 _< 𝜖

4𝑠 olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ vardır. Bunun yanı sıra 𝑇𝑛0 _{= 𝐹 ve 𝑥}

0 ∈ 𝑋 olmak üzere her 𝑘 ∈ ℕ için 𝐹𝑘𝑥0 = 𝑥𝑘 olsun. Buradan her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için

𝑏(𝐹𝑥, 𝐹𝑦) = 𝑏(𝑇𝑛0_{𝑥, 𝑇}𝑛0_{𝑦) ≤ 𝜆}𝑛0_{𝑏(𝑥, 𝑦)}

olur. Her 𝑘 ∈ ℕ için

𝑏(𝑥_𝑘+1, 𝑥_𝑘) = 𝑏(𝐹𝑥𝑘, 𝐹𝑥𝑘−1) ≤ 𝜆𝑛0𝑏(𝑥𝑘, 𝑥𝑘−1) ≤ 𝜆𝑘𝑛0𝑏(𝑥1, 𝑥0) olduğundan 𝑘 → ∞ iken 𝑏(𝑥_𝑘+1, 𝑥_𝑘) → 0 bulunur. Buradan

𝑏(𝑥𝑙+1, 𝑥𝑙) < 𝜖 4𝑠 olacak şekilde bir 𝑙 ∈ ℕ doğal sayısı vardır. Ayrıca

𝐵𝑏[𝑥𝑙, 𝜖 2] = {𝑦 ∈ 𝑋 ∶ 𝑏(𝑥𝑙, 𝑦) ≤ 𝜖 2 + 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙)} olsun. 𝐵𝑏[𝑥𝑙, 𝜖 2] ≠ ∅ olduğu kolayca görülür. 𝑧 ∈ 𝐵𝑏[𝑥𝑙, 𝜖 2] alınsın. Bu takdirde, 𝑏(𝐹𝑧, 𝐹𝑥𝑙) ≤ 𝜆𝑛0𝑏(𝑧, 𝑥𝑙) < 𝜖 4𝑠( 𝜖 2+ 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙)) < 𝜖 4𝑠(1 + 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙)) olduğundan 𝑏(𝐹𝑧, 𝑥_𝑙) ≤ 𝑠(𝑏(𝐹𝑧, 𝐹𝑥_𝑙) + 𝑏(𝐹𝑥_𝑙, 𝑥_𝑙 )) − 𝑏(𝑥_𝑙, 𝑥_𝑙) < 𝑠 (𝜖 4𝑠(1 + 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙)) + 𝑏(𝐹𝑥𝑙, 𝑥𝑙 )) − 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙) < 𝜖 4(1 + 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙)) + 𝜖 4− 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙) =𝜖 2+ ( 𝜖 4− 1) 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙) < 𝜖 2+ 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙) ifadesi sağlanır. Böylece 𝐹𝑧 ∈ 𝐵𝑏[𝑥𝑙,

𝜖

2] elde edilir. O halde 𝑥𝑙 ∈ 𝐵𝑏[𝑥𝑙, 𝜖

2] olması sebebiyle 𝐹𝑥_𝑙∈ 𝐵_𝑏[𝑥_𝑙, 𝜖

2] olur. Dolayısıyla her 𝑛 ∈ ℕ için 𝐹 𝑛_𝑥

𝑙 ∈ 𝐵𝑏[𝑥𝑙, 𝜖

2] ve buradan her 𝑚 ≥ 𝑙 için 𝑥_𝑚 ∈ 𝐵_𝑏[𝑥_𝑙, 𝜖

2] dir. Bu durumda her 𝑛, 𝑚 > 𝑙 için 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚) < 𝜖

2+ 𝑏(𝑥𝑙, 𝑥𝑙) olur, yani {𝑥_𝑛} bir Cauchy dizisidir. Ayrıca

𝑏(𝑥_𝑙, 𝑥_𝑙) ≤ 𝑠(𝑏(𝑥_𝑙, 𝑥_𝑙+1) + 𝑏(𝑥_𝑙, 𝑥_𝑙+1)) − 𝑏(𝑥_𝑙+1, 𝑥_𝑙+1) < 2𝑠𝑏(𝑥_𝑙, 𝑥_𝑙+1) < 𝜖 2 olduğundan 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚) <𝜖

2+

𝜖

2= 𝜖 dur. (𝑋, 𝑏) bir tam kısmi 𝑏-metrik uzay olduğundan 𝑢 ∈ 𝑋 olacak şekilde

lim

𝑛→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑢) = lim𝑛,𝑚→∞𝑏 (𝑥𝑛, 𝑥𝑚) = 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0

sağlanır. Son olarak 𝑢 ∈ 𝑋 in 𝑇 nin bir sabit noktası olduğu gösterilsin. Her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑠(𝑏(𝑢, 𝑥_𝑛+1) + 𝑏(𝑥_𝑛+1, 𝑇𝑢 )) − 𝑏(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑛+1)

≤ 𝑠(𝑏(𝑢, 𝑥_𝑛+1) + 𝑏(𝑇𝑥_𝑛, 𝑇𝑢 )) ≤ 𝑠𝑏(𝑢, 𝑥_𝑛+1) + 𝑠𝜆𝑏(𝑥𝑛, 𝑢 ) ve lim

𝑛→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑢) = 0 ifadelerinden 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) = 0 elde edilir, yani 𝑢 = 𝑇𝑢 olur. Böylece 𝑢 𝑇 nin bir sabit noktasıdır [27].

Aşağıdaki örnek Teorem 3.2.1 in sağlandığını gösterir.

Örnek 3.2.2. 𝑋 = {1, 2, 3, 4} olsun. 𝑏 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{dönüşümü}

𝑏(𝑥, 𝑦) = {

|𝑥 − 𝑦|2_{+ 𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑦}, 𝑥 ≠ 𝑦} 𝑥, 𝑥 = 𝑦 ≠ 1 0, 𝑥 = 𝑦 = 1

şeklinde tanımlansın. O halde 𝑠 = 4 > 1 olmak üzere (𝑋, 𝑏) bir tam kısmi 𝑏-metrik uzaydır. 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın.

𝑇1 = 1, 𝑇2 = 1, 𝑇3 = 2, 𝑇4 = 2. Bu durumda, 𝜆 ∈ [3

4, 1) olmak üzere 𝑇 dönüşümü Teorem 3.2.1 koşulunu sağlar. Buradan 𝑇 nin bir tek sabit noktası vardır, yani 1 ∈ 𝑋 noktası 𝑇 nin tek sabit noktasıdır [27].

Teorem 3.2.3. (𝑋, 𝑏) bir tam kısmi 𝑏-metrik uzay ve 𝜆 ≠1

𝑠 olmak üzere 𝜆 ∈ [0, 1 2) olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan bir 𝑇: 𝑋 → 𝑋 dönüşümü alınsın:

Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝜆(𝑏(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝑏(𝑦, 𝑇𝑦)). Bu durumda 𝑇 bir tek 𝑢 ∈ 𝑋 sabit noktasına sahiptir ve 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0 dır.

𝑏(𝑢, 𝑢) = 𝑏(𝑇𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝜆(𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢)) = 2𝜆𝑏(𝑢, 𝑢) < 𝑏(𝑢, 𝑢)

elde edilir ki bu da bir çelişkidir. Böylece 𝑢 noktası 𝑇 nin bir sabit noktası ise 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0 ifadesi sağlanır. Şimdi 𝑇 nin bir sabit noktası varsa tek olduğu gösterilsin. Bunun için 𝑇𝑢 = 𝑢 ve 𝑇𝑣 = 𝑣 olacak şekilde 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 gibi iki farklı sabit noktası olduğu kabul edilsin. Bu durumda, 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0 ve 𝑏(𝑣, 𝑣) = 0 dır. Ayrıca

𝑏(𝑢, 𝑣) = 𝑏(𝑇𝑢, 𝑇𝑣) ≤ 𝜆(𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑇𝑣)) = 𝜆(𝑏(𝑢, 𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑣)) = 0

olduğundan 𝑏(𝑢, 𝑣) = 0, yani 𝑢 = 𝑣 dir. Böylece 𝑇 nin bir sabit noktası varsa tektir. 𝑥₀ ∈ 𝑋 olmak üzere her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑥_𝑛 = 𝑇𝑛𝑥₀ ve 𝑏_𝑛 = 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1) alınsın. Diğer yandan her 𝑛 ≥ 0 için 𝑏𝑛 > 0 alınsın. Aksi takdirde 𝑏𝑛 = 0 olsaydı en az bir 𝑛 ≥ 0 için 𝑥_𝑛 𝑇 nin bir sabit noktası olurdu ve ispat biterdi. O halde her 𝑛 ∈ ℕ için

𝑏_𝑛 = 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1) = 𝑏(𝑇𝑥𝑛−1, 𝑇𝑥𝑛) ≤ 𝜆(𝑏(𝑥𝑛−1, 𝑇𝑥𝑛−1) + 𝑏(𝑥𝑛, 𝑇𝑥𝑛)) = (𝑏(𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛) + 𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1)) = 𝜆(𝑏_𝑛−1+ 𝑏_𝑛)

olduğundan 𝜇 = 𝜆

1−𝜆 < 1 olmak üzere 𝑏𝑛 ≤ 𝜇𝑏𝑛−1 olur ve böylece 𝑛→∞lim 𝑏𝑛 = 0 dır. Buradan her 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ için

𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚) = 𝑏(𝑇𝑛_𝑥 0, 𝑇𝑚𝑥0 ) = 𝑏(𝑇𝑥𝑛−1, 𝑇𝑥𝑚−1 ) ≤ 𝜆(𝑏(𝑥_𝑛−1, 𝑇𝑥_𝑛−1) + 𝑏(𝑥𝑚−1, 𝑇𝑥𝑚−1)) = 𝜆(𝑏(𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛) + 𝑏(𝑥𝑚−1, 𝑥𝑚)) = 𝜆(𝑏𝑛−1+ 𝑏𝑚−1) ve lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 0 olduğundan her 𝜖 > 0 sayısına karşılık her 𝑛, 𝑚 > 𝑛0 için 𝑏𝑛 < 𝜖 2 ve 𝑏𝑚 <

𝜖

2 olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ vardır. O halde, 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚) <𝜖

2+ 𝜖 2= 𝜖

ifadesi elde edilir. Dolayısıyla {𝑥𝑛} bir Cauchy dizisidir, yani lim

𝑛,𝑚→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) = 0

lim

𝑛→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑢) = lim𝑛,𝑚→∞𝑏 (𝑥𝑛, 𝑥𝑚) = 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0

sağlanır. Son olarak 𝑢 ∈ 𝑋 in 𝑇 nin bir sabit noktası olduğu gösterilsin. Her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑠(𝑏(𝑢, 𝑥𝑛+1) + 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑇𝑢 )) − 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑛+1) ≤ 𝑠(𝑏(𝑢, 𝑥𝑛+1) + 𝑏(𝑇𝑥𝑛, 𝑇𝑢 )) ≤ 𝑠 (𝑏(𝑢, 𝑥𝑛+1) + 𝜆(𝑏(𝑥𝑛, 𝑇𝑥𝑛) + 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢))) ≤ 𝑠 1−𝑠𝜆𝑏(𝑢, 𝑥𝑛+1) + 𝑠𝜆 1−𝑠𝜆𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1)

ifadesi sağlanır ve 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) = 0 bulunur. Böylece 𝑢 = 𝑇𝑢 olur ve dolayısıyla 𝑢 𝑇 nin bir sabit noktasıdır [27].

Teorem 3.2.4. (𝑋, 𝑏) bir tam kısmi 𝑏-metrik uzay olsun ve 𝜆 ∈ [0,1

𝑠) olmak üzere aşağıdaki koşulu sağlayan bir 𝑇: 𝑋 → 𝑋 dönüşümü alınsın:

Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝜆 max {𝑏(𝑥, 𝑦), 𝑏(𝑥, 𝑇𝑥), 𝑏(𝑦, 𝑇𝑦)}. Bu durumda 𝑇 bir tek 𝑢 ∈ 𝑋 sabit noktasına sahiptir ve 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0 dır.

İspat. Öncelikle 𝑇 nin bir sabit noktası varsa tek olduğu gösterilsin. Bunun için 𝑇𝑢 = 𝑢

ve 𝑇𝑣 = 𝑣 olacak şekilde 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 gibi iki farklı sabit noktası olduğu kabul edilsin. Bu durumda,

𝑏(𝑢, 𝑣) = 𝑏(𝑇𝑢, 𝑇𝑣) ≤ 𝜆 max {𝑏(𝑢, 𝑣), 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢), 𝑏(𝑣, 𝑇𝑣)} = 𝜆 max {𝑏(𝑢, 𝑣), 𝑏(𝑢, 𝑢), 𝑏(𝑣, 𝑣)}

= 𝜆𝑏(𝑢, 𝑣) < 𝑏(𝑢, 𝑣)

bulunur. Bu ise 𝑏(𝑢, 𝑣) < 𝑏(𝑢, 𝑣) çelişkisine neden olur. Bu durumda 𝑏(𝑢, 𝑣) = 0 ve (pb2) gereğince 𝑢 = 𝑣 elde edilir. Böylece 𝑇 nin bir sabit noktası varsa tektir. 𝑥₀ ∈ 𝑋 alınsın. Ayrıca her 𝑛 ≥ 0 için 𝑥_𝑛+1 = 𝑇𝑥_𝑛 olmak üzere bir {𝑥_𝑛} dizisi tanımlansın. Şimdi, her 𝑛 ∈ ℕ için

𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑛) = 𝑏(𝑇𝑥𝑛, 𝑇𝑥𝑛−1)

≤ 𝜆 max{𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛−1), 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑇𝑥_𝑛), 𝑏(𝑥_𝑛−1, 𝑇𝑥_𝑛−1)} = 𝜆 max{𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛−1), 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1), 𝑏(𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛)} = 𝜆 max{𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1), 𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1)}

olur. Eğer max{𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛−1), 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1)} = 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1) olsaydı 𝑏(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑛) ≤ 𝜆𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1) < 𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1) elde edilirdi ki bu bir çelişkidir. Bu durumda, max{𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛−1), 𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1)} = 𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1) dir ve 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑛) ≤ 𝜆𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1) bulunur. Her 𝑛 ≥ 0 için bu işleme devam edilirse

𝑏(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑛) ≤ 𝜆𝑛_𝑏(𝑥 1, 𝑥0) elde edilir. 𝑚 > 𝑛 olmak üzere her 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ için

𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) ≤ 𝑠(𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1) + 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑚)) − 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑛+1) ≤ 𝑠𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1) + 𝑠2(𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑛+2) + 𝑏(𝑥𝑛+2, 𝑥𝑚)) − 𝑠𝑏(𝑥𝑛+2, 𝑥𝑛+2) ≤ 𝑠𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛+1) + 𝑠2_𝑏(𝑥 𝑛+1, 𝑥𝑛+2) + 𝑠3𝑏(𝑥𝑛+2, 𝑥𝑛+2) + ⋯ + 𝑠𝑚−𝑛−1_𝑏(𝑥 𝑚−1, 𝑥𝑚) ve buradan da 𝑏(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚) ≤ 𝑠𝜆𝑛_𝑏(𝑥 1, 𝑥0) + 𝑠2𝜆𝑛+1𝑏(𝑥1, 𝑥0) + 𝑠3𝜆𝑛+2𝑏(𝑥1, 𝑥0) + ⋯ + 𝑠𝑚−𝑛−1𝜆𝑚−1𝑏(𝑥1, 𝑥0) ≤ 𝑠𝜆𝑛(1 + 𝑠𝜆 + (𝑠𝜆)2_{+ ⋯ )𝑏(𝑥} 1, 𝑥0) = 𝑠𝜆𝑛 1−𝑠𝜆𝑏(𝑥1, 𝑥0) olduğundan lim

𝑛,𝑚→∞ 𝑏(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) = 0 bulunur. Dolayısıyla {𝑥𝑛} bir Cauchy dizisidir.

Bunun yanı sıra (𝑋, 𝑏) bir tam kısmi 𝑏-metrik uzay olduğundan 𝑢 ∈ 𝑋 olacak şekilde lim

𝑛→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑢) = lim𝑛,𝑚→∞𝑏 (𝑥𝑛, 𝑥𝑚) = 𝑏(𝑢, 𝑢) = 0

sağlanır. Son olarak 𝑢 ∈ 𝑋 in 𝑇 nin bir sabit noktası olduğu gösterilsin. Her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑠(𝑏(𝑢, 𝑥𝑛+1) + 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑇𝑢)) − 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑛+1)

≤ 𝑠(𝑏(𝑢, 𝑥𝑛+1) + 𝑏(𝑥𝑛+1, 𝑇𝑢)) ≤ 𝑠𝑏(𝑢, 𝑥_𝑛+1) + 𝑠𝜆𝑏(𝑥_𝑛, 𝑢) ve lim

𝑛→∞𝑏(𝑥𝑛, 𝑢) = 0 ifadelerinden 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) = 0 elde edilir, yani 𝑢 = 𝑇𝑢 olur. Böylece 𝑢 𝑇 nin bir sabit noktasıdır [27].

4. GENELLEŞTİRİLMİŞ

𝒃-METRİK UZAYLARDA BAZI SABİT

NOKTA TEOREMLERİ

Tanım 4.1. 𝑋 boştan farklı bir küme ve 𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → [1, ∞) olsun. Aşağıdaki

aksiyomları sağlayan 𝑑_𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → [0, ∞) dönüşümüne 𝑋 üzerinde bir genelleştirilmiş 𝑏-metrik denir.

(gb1) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑_𝜃(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦. (gb2) Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝜃(𝑦, 𝑥).

(gb3) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑑_𝜃(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜃(𝑥, 𝑦)(𝑑_𝜃(𝑥, 𝑧) + 𝑑𝜃(𝑧, 𝑦)). O halde, (𝑋, 𝑑_𝜃) ikilisine bir genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay denir [28].

Uyarı 4.2. 𝑠 ≥ 1 için 𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑠 ise genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay ile 𝑏-metrik uzay

tanımları çakışır [28].

Örnek 4.3. 𝑋 = {1, 2, 3} olsun. 𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → [1, ∞) ve 𝑑_𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ dönüşümleri 𝜃(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥 + 𝑦 ve 𝑑_𝜃(1, 1) = 𝑑𝜃(2, 2) = 𝑑𝜃(3, 3) = 0, 𝑑_𝜃(1, 3) = 𝑑_𝜃(3, 1) = 1000, 𝑑_𝜃(1, 2) = 𝑑_𝜃(2, 1) = 80, 𝑑_𝜃(2, 3) = 𝑑_𝜃(3, 2) = 600 şeklinde tanımlansın. O halde, (𝑋, 𝑑𝜃) bir genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzaydır.

(gb1) ve (gb2) koşulları açıktır. (gb3) Her 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için

𝑑_𝜃(1, 2) = 80 ≤ 𝜃(1,2)(𝑑_𝜃(1, 3) + 𝑑_𝜃(3, 2)) = 4(1000 + 600) = 6400, 𝑑_𝜃(1, 3) = 1000 ≤ 𝜃(1,3)(𝑑_𝜃(1, 2) + 𝑑_𝜃(2, 3)) = 5(80 + 600) = 3400, 𝑑_𝜃(2, 3) = 600 ≤ 𝜃(2,3)(𝑑_𝜃(2, 1) + 𝑑_𝜃(1,3)) = 6(80 + 1000) = 6480. Buradan, 𝑑_𝜃 fonksiyonu 𝑋 üzerinde bir genelleştirilmiş 𝑏-metriktir [28].

(i) Her 𝜖 > 0 sayısına karşılık her 𝑛 ≥ 𝑛_𝑜 için 𝑑_𝜃(𝑥_𝑛, 𝑥) < 𝜖 olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ sayısı varsa {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ dizisi 𝑥 ∈ 𝑋 noktasına yakınsıyor denir ve bu durum

lim

𝑛→∞𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥) = 0 veya 𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥) → 0 ile gösterilir.

(ii) Her 𝜖 > 0 sayısına karşılık her 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 için 𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝜖 olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ sayısı varsa {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ dizisine bir Cauchy dizisi denir.

(iii) (𝑋, 𝑑_𝜃) genelleştirilmiş 𝑏- metrik uzayında her Cauchy dizisi yakınsak ise bu uzaya bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay denir [28].

Örnek 4.5. 𝑋 = 𝐶([𝑎, 𝑏], ℝ) uzayı [𝑎, 𝑏] aralığında tanımlı tüm sürekli reel değerli

fonksiyonların uzayı olsun. 𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → [1, ∞) ve 𝑑_𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ _{dönüşümleri} sırasıyla

𝜃(𝑥, 𝑦) = |𝑥(𝑡)| + |𝑦(𝑡)| + 2 𝑑_𝜃(𝑥, 𝑦) = sup_{𝑡∈[𝑎,𝑏]}|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|2

şeklinde tanımlansın. O halde, (𝑋, 𝑑_𝜃) bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzaydır [28]. Aşağıdaki örnek bir 𝑏-metrik fonksiyonunun dizisel süreklilik koşulunu sağlamadığını gösterir. Böylece genelleştirilmiş 𝑏-metrik fonksiyonu da dizisel süreklilik koşulunu sağlamaz. Örnek 4.6. 𝑋 = ℕ ∪ {+∞} olsun. 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ dönüşümü 𝑑(𝑥, 𝑦) = { 0, 𝑚 = 𝑛 |1 𝑚− 1 𝑛| , 𝑚, 𝑛 ç𝑖𝑓𝑡 𝑦𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑛 = +∞ 5, 𝑚, 𝑛 𝑡𝑒𝑘 𝑦𝑎 𝑑𝑎 𝑚 ≠ 𝑛 2, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟

şeklinde tanımlansın. Buradan 𝑠 = 3 olmak üzere 𝑑 bir 𝑏-metrik fonksiyondur. Şimdi, her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑥_𝑛 = 2𝑛 ve 𝑦_𝑛 = 1 olacak şekilde {𝑥_𝑛} ve {𝑦_𝑛} dizileri alınsın. Buradan 𝑑(𝑥𝑛, +∞) → 0 ve 𝑑(𝑦𝑛, 1) → 0 elde edilir. Fakat her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑑(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 2 ve 𝑑(+∞, 1) = 1 olduğundan 𝑑 fonksiyonu dizisel süreklilik koşulunu sağlamaz [28].

Lemma 4.7. (𝑋, 𝑑_𝜃) bir genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay olsun. 𝑑_𝜃 dizisel süreklilik koşulunu sağlıyor ise bu uzaydaki yakınsak her dizinin limiti tektir.

Teorem 4.8. 𝑑_𝜃 dizisel süreklilik koşulunu sağlayacak şekilde (𝑋, 𝑑_𝜃) bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay ve her 𝑥0 ∈ 𝑋 için 𝑥𝑛 = 𝑇𝑛𝑥0 (𝑛 = 1, 2, … ) olmak üzere

lim

𝑛,𝑚→+∞𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 1

𝑘 olacak şekilde bir 𝑘 ∈ (0, 1) olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan bir 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 dönüşümü alınsın:

Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑑_𝜃(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝑘𝑑𝜃(𝑥, 𝑦).

Bu durumda 𝑇 bir tek 𝑢 ∈ 𝑋 sabit noktasına sahiptir. Ayrıca her 𝑦 ∈ 𝑋 için 𝑇𝑛𝑦 → 𝑢 olur.

İspat. 𝑥0 ∈ 𝑋 olsun ve aşağıdaki gibi bir {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ dizisi tanımlansın: 𝑇𝑥₀ = 𝑥₁, 𝑇𝑥₁ = 𝑇(𝑇𝑥₀) = 𝑇2_𝑥

0 = 𝑥2, … , 𝑇𝑥𝑛−1 = 𝑇(𝑇𝑛−1𝑥0) = 𝑇𝑛𝑥0 = 𝑥𝑛, … . Buradan,

𝑑_𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1) ≤ 𝑘𝑛𝑑𝜃(𝑥0, 𝑥1) olur. Şimdi 𝑚 > 𝑛 için

𝑑_𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) ≤ 𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚)(𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1) + 𝑑𝜃( 𝑥𝑛+1, 𝑥𝑚 )) ≤ 𝜃(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚)𝑘𝑛_𝑑 𝜃(𝑥0, 𝑥1) + 𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚)𝜃(𝑥𝑛+1, 𝑥𝑚)𝑘𝑛+1𝑑𝜃(𝑥0, 𝑥1) + ⋯ + 𝜃(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚)𝜃(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑚) … 𝜃(𝑥_𝑚−1, 𝑥_𝑚)𝑘𝑚−1_𝑑 𝜃(𝑥0, 𝑥1) ≤ 𝑑_𝜃(𝑥₀, 𝑥₁)(𝜃(𝑥₁, 𝑥_𝑚)𝜃(𝑥₂, 𝑥_𝑚) … 𝜃(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑚)𝑘𝑛₊ 𝜃(𝑥₁, 𝑥_𝑚)𝜃(𝑥₂, 𝑥_𝑚) … 𝜃(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑚)𝑘𝑛+1_{+ ⋯ +} 𝜃(𝑥₁, 𝑥_𝑚)𝜃(𝑥₂, 𝑥_𝑚) … 𝜃(𝑥_𝑚−1, 𝑥_𝑚)𝑘𝑚−1₎ bulunur. Bunun yanı sıra lim

𝑛,𝑚→+∞𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 1

𝑘 olduğundan her 𝑚 ∈ ℕ için ∑ 𝑘𝑛∏𝑛 𝜃(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑚)

𝑖=1 ∞

𝑛=1 serisi oran testi gereğince yakınsaktır. Ayrıca

𝑆 = ∑ 𝑘𝑛∏ 𝜃(𝑥𝑖, 𝑥𝑚) 𝑛 𝑖=1 ∞ 𝑛=1 , 𝑆𝑛 = ∑ 𝑘𝑗∏ 𝜃(𝑥𝑖, 𝑥𝑚) 𝑗 𝑖=1 𝑛 𝑗=1

olsun. Böylece 𝑚 > 𝑛 için

𝑑_𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) ≤ 𝑑𝜃(𝑥0, 𝑥1)(𝑆𝑚−1− 𝑆𝑛−1)

olur. Bu durumda, 𝑛 → +∞ iken {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ bir Cauchy dizisidir ve (𝑋, 𝑑𝜃) bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay olduğundan 𝑑_𝜃(𝑥𝑛, 𝑢) → 0 olacak şekilde bir 𝑢 ∈ 𝑋

𝑑_𝜃(𝑇𝑢, 𝑢) ≤ 𝜃(𝑇𝑢, 𝑢)(𝑑_𝜃(𝑇𝑢, 𝑥_𝑛) + 𝑑_𝜃(𝑥_𝑛, 𝑢)) ≤ 𝜃(𝑇𝑢, 𝑢)(𝑘𝑑_𝜃(𝑢, 𝑥_𝑛−1) + 𝑑_𝜃(𝑥_𝑛, 𝑢))

eşitsizliğinden 𝑛 → +∞ iken 𝑑𝜃(𝑇𝑢, 𝑢) = 0 elde edilir ve buradan da 𝑇𝑢 = 𝑢 sağlanır. Son olarak tekliğini göstermek için 𝑇𝑢 = 𝑢 ve 𝑇𝑣 = 𝑣 olacak şekilde 𝑇 nin iki farklı sabit noktası olsun.

𝑑_𝜃(𝑢, 𝑣) = 𝑑𝜃(𝑇𝑢, 𝑇𝑣) ≤ 𝑘𝑑𝜃(𝑢, 𝑣)

ifadesi sadece 𝑑𝜃(𝑢, 𝑣) = 0 durumunda geçerlidir. Böylece 𝑢 = 𝑣 olur [28].

Tanım 4.9. 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 bir dönüşüm ve 𝑥0 ∈ 𝑋 için 𝑂(𝑥0) = {𝑥0, 𝑇2𝑥0, 𝑇3𝑥0, … } kümesi 𝑥₀ noktasının bir orbiti olsun. {𝑥_𝑛}_𝑛∈ℕ, 𝑂(𝑥₀) ın elemanlarından oluşan bir dizi ve 𝑡 ∈ 𝑋 olmak üzere 𝑑_𝜃(𝑥𝑛, 𝑡) → 0 iken 𝑓(𝑡) ≤ lim_𝑛→∞𝑖𝑛𝑓 𝑓(𝑥𝑛) oluyorsa 𝑓: 𝑋 → ℝ dönüşümüne 𝑡 noktasında bir 𝑇-orbitsel alttan yarı sürekli denir [28].

Teorem 4.10. 𝑑_𝜃 dizisel süreklilik koşulunu sağlayacak şekilde (𝑋, 𝑑_𝜃) bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay ve her 𝑥₀ ∈ 𝑋 için 𝑥_𝑛 = 𝑇𝑛𝑥₀ (𝑛 = 1, 2, … ) olmak üzere

lim

𝑛,𝑚→∞𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 1

𝑘 olacak şekilde bir 𝑘 ∈ (0, 1) olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan bir 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 dönüşümü alınsın:

Her 𝑦 ∈ 𝑂(𝑥0) için 𝑑𝜃(𝑇𝑦, 𝑇2𝑦) ≤ 𝑘𝑑𝜃(𝑦, 𝑇𝑦). Bu durumda, 𝑑_𝜃(𝑇𝑛_𝑥

0, 𝑢) → 0 olur. Ayrıca 𝑢 noktasının 𝑇 nin bir sabit noktası olması için gerek ve yeter koşul 𝑓(𝑥) = 𝑑(𝑥, 𝑇𝑥) şeklinde tanımlanan 𝑓: 𝑋 → ℝ fonksiyonunun 𝑢 noktasında bir 𝑇-orbitsel alttan yarı sürekli olmasıdır.

İspat. 𝑥₀ ∈ 𝑋 olsun ve aşağıdaki gibi bir {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ dizisi tanımlansın: 𝑇𝑥₀ = 𝑥₁, 𝑇𝑥₁ = 𝑇(𝑇𝑥₀) = 𝑇2_𝑥

0 = 𝑥2, … , 𝑇𝑥𝑛−1 = 𝑇(𝑇𝑛−1𝑥0) = 𝑇𝑛𝑥0 = 𝑥𝑛, … . Buradan 𝑦 = 𝑇𝑥₀ için

𝑑_𝜃(𝑇𝑛_𝑥

0, 𝑇𝑛+1𝑥0) = 𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1) ≤ 𝑘𝑛𝑑𝜃(𝑥0, 𝑥1)

olur. Teorem 4.8 in ispatıyla aynı yol izlenirse bir {𝑥_𝑛}_𝑛∈ℕ Cauchy dizisi elde edilir. Buradan (𝑋, 𝑑_𝜃) bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzay olduğundan 𝑢 ∈ 𝑋 olmak üzere 𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑢) → 0 bulunur. Şimdi, 𝑓 fonksiyonunun 𝑢 da bir 𝑇-orbitsel alttan yarı sürekli olduğu kabul edilsin. Bu durumda,

𝑑_𝜃(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ lim

𝑛→∞𝑖𝑛𝑓 𝑑𝜃(𝑇 𝑛_𝑥

≤ lim 𝑛→∞𝑖𝑛𝑓 𝑘

𝑛_𝑑

𝜃(𝑥0, 𝑥1) = 0

ifadesi elde edilir. Böylece 𝑑𝜃(𝑢, 𝑇𝑢) = 0, yani 𝑢 = 𝑇𝑢 sağlanır. Tersine 𝑢 = 𝑇𝑢 ve 𝑥_𝑛 → 𝑢 olmak üzere 𝑥_𝑛 ∈ 𝑂(𝑥₀) olsun. O halde,

𝑓(𝑢) = 𝑑_𝜃(𝑢, 𝑇𝑢) = 0 ≤ lim

𝑛→∞𝑖𝑛𝑓 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑑𝜃(𝑇 𝑛_𝑥

0, 𝑇𝑛+1𝑥0) bulunur [28].

Örnek 4.11. 𝑋 = [0, ∞) olsun. Her 𝑐 ≥ 1 için 𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → [1, 𝑐) ve 𝑑_𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ+

dönüşümleri sırasıyla

𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 2, 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)2

şeklinde tanımlansın. Buradan, (𝑋, 𝑑_𝜃) bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzaydır. Bunun yanı sıra 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 dönüşümü 𝑇𝑥 =𝑥

2 olarak alınsın. Bu durumda,

𝑑_𝜃(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = (𝑥 2− 𝑦 2) 2 ≤1 3(𝑥 − 𝑦) 2 _{= 𝑘𝑑} 𝜃(𝑥, 𝑦) elde edilir. Ayrıca her 𝑥 ∈ 𝑋 için 𝑇𝑛_{𝑥 =} 𝑥

2𝑛 dir. Böylece, lim 𝑚,𝑛→∞(𝑇 𝑚_{𝑥, 𝑇}𝑛_{𝑥 ) = lim} 𝑚,𝑛→∞( 𝑥 2𝑚+ 𝑥 2𝑛+ 2) = 2 < 3

bulunur. O halde Teorem 4.8 deki tüm koşullar sağlanır ve dolayısıyla 𝑇 nin bir tek sabit noktası vardır [28].

Örnek 4.12. 𝑋 = [0,1

4] olsun. 𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → [1, ∞) ve 𝑑𝜃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ

+ _{dönüşümleri} sırasıyla

𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 2, 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)2

şeklinde tanımlansın. Buradan, (𝑋, 𝑑_𝜃) bir tam genelleştirilmiş 𝑏-metrik uzaydır. Bunun yanı sıra 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 dönüşümü 𝑇𝑥 = 𝑥2 _{olarak alınsın. Bu durumda,}

𝑑_𝜃(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = (𝑥2 _{− 𝑦}2₎2 _≤1

4(𝑥 − 𝑦)

2 _{= 𝑘𝑑}

𝜃(𝑥, 𝑦) elde edilir. Ayrıca her 𝑥 ∈ 𝑋 için 𝑇𝑛_{𝑥 = 𝑥}2𝑛 _{dir. Böylece,}

lim

𝑚,𝑛→∞(𝑇

𝑚_{𝑥, 𝑇}𝑛_{𝑥 ) = lim}

𝑚,𝑛→∞(𝑥

2𝑛_{+ 𝑥}2𝑚 _{+ 2) = 2 < 4}

bulunur. O halde Teorem 4.10 daki tüm koşullar sağlanır ve dolayısıyla 𝑇 nin bir tek sabit noktası vardır [28].