Tanım 5.1. 𝑋 boştan farklı bir küme ve 𝐸 parametrelerin bir kümesi olsun. Aşağıdaki
aksiyomları sağlayan 𝑑 ∶ 𝑆𝑃(𝑋) × 𝑆𝑃(𝑋) → ℝ(𝐸)∗ dönüşümüne 𝑋 üzerinde esnek noktalara göre tanımlanan bir esnek metrik denir.
(EM1) Her 𝑥1𝑒1, 𝑥 2 𝑒2 ∈̃ 𝑋̃ için 𝑑(𝑥 1 𝑒1, 𝑥 2 𝑒2) ≥̃ 0̅. (EM2) 𝑑(𝑥1𝑒1, 𝑥 2 𝑒2) = 0̅ ⇔ 𝑥 1 𝑒1 = 𝑥 2 𝑒2. (EM3) Her 𝑥1𝑒1, 𝑥 2 𝑒2 ∈̃ 𝑋̃ için 𝑑(𝑥 1 𝑒1, 𝑥 2 𝑒2) = 𝑑(𝑥 2 𝑒2, 𝑥 1 𝑒1). (EM4) Her 𝑥1𝑒1, 𝑥 2 𝑒2, 𝑥 3 𝑒3 ∈̃ 𝑋̃ için 𝑑(𝑥 1 𝑒1, 𝑥 2 𝑒2) ≤̃ 𝑑(𝑥 1 𝑒1, 𝑥 3 𝑒3) + 𝑑(𝑥 3 𝑒3, 𝑥 2 𝑒2).
O halde, (𝑋, 𝑑, 𝐸) üçlüsüne de esnek noktalara göre tanımlanan bir esnek metrik uzay denir [29].
Örnek 5.2. 𝑋 boştan farklı bir küme ve 𝐸 boştan farklı parametreler kümesi olsun.
Aşağıdaki gibi bir 𝑑 ∶ 𝑆𝑃(𝑋) × 𝑆𝑃(𝑋) → ℝ(𝐸)∗ fonksiyonu tanımlansın. Her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝑋̃ için
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) = {0̅, 𝑥
𝑒 = 𝑦𝑘
1̅, 𝑥𝑒 ≠ 𝑦𝑘.
Buradan, 𝑑 fonksiyonu 𝑋 üzerinde bir esnek metriktir. Bu metriğe esnek ayrık metrik denir [8].
Örnek 5.3. 𝑋 = 𝐸 = ℝ olsun. Her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝑋̃ için
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) = |𝑥̅ − 𝑦̅| + |𝑒̅ − 𝑘̅|
şeklinde tanımlanan 𝑑 ∶ 𝑆𝑃(𝑋) × 𝑆𝑃(𝑋) → ℝ(𝐸)∗ fonksiyonu bir esnek metriktir. (EM1) Açıktır.
(EM2) Her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝑋̃ için
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) = 0̅ ⇔ |𝑥̅ − 𝑦̅| + |𝑒̅ − 𝑘̅| = 0̅ ⇔ |𝑥̅ − 𝑦̅| = 0̅ ve |𝑒̅ − 𝑘̅| = 0̅ ⇔ 𝑥 = 𝑦 ve 𝑒 = 𝑘 ⇔ 𝑥𝑒 = 𝑦𝑘
(EM3) Her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝑋̃ için
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) = |𝑥̅ − 𝑦̅| + |𝑒̅ − 𝑘̅| = |𝑦̅ − 𝑥̅| + |𝑘̅ − 𝑒̅| = 𝑑(𝑦𝑘, 𝑥𝑒) (EM4) Her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘, 𝑧𝑡 ∈̃ 𝑋̃ için
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) = |𝑥̅ − 𝑦̅| + |𝑒̅ − 𝑘̅| = |𝑥̅ − 𝑧̅ + 𝑧̅ − 𝑦̅| + |𝑒̅ − 𝑡̅ + 𝑡̅ − 𝑘̅|
≤̃ (|𝑥̅ − 𝑧̅| + |𝑒̅ − 𝑡̅|) + (|𝑧̅ − 𝑦̅| + |𝑡̅ − 𝑘̅|) = 𝑑(𝑥𝑒, 𝑧𝑡) + 𝑑(𝑧𝑡, 𝑦𝑘) Buradan, 𝑑 fonksiyonu 𝑋 üzerinde bir esnek metriktir [8].
Tanım 5.4. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ⊑ 𝑋̃ olsun. Her 𝜆 ∈ 𝐸 için
𝛿(𝐹)(𝜆) = 𝑠𝑢𝑝 {𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘)(𝜆) ∶ 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹}
olarak tanımlanan 𝛿(𝐹) esnek reel sayısına 𝐹 esnek kümesinin çapı denir. Boştan farklı her 𝐹 ⊑ 𝑋̃ esnek kümesi için 𝛿(𝐹) ≥̃ 0̅ olduğu açıktır [8].
Teorem 5.5. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. Bu durumda,
(i) 𝛿(𝐹) = 0̅ olması için gerek ve yeter koşul 𝐹 nin bir esnek nokta olmasıdır. (ii) Her 𝐹, 𝐺 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) için 𝐹 ⊑ 𝐺 ise 𝛿(𝐹) ≤̃ 𝛿(𝐺) dir.
(iii) Her 𝐹, 𝐺 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) için 𝐹 ⊓ 𝐺 ≠ ∅̃ ise 𝛿(𝐹 ⊔ 𝐺) ≤̃ 𝛿(𝐹) + 𝛿(𝐺) dir.
İspat. (i) ve (ii) özellikleri çap tanımından açıktır.
(iii) 𝐹 ⊓ 𝐺 ≠ ∅̃ olacak şekilde 𝐹, 𝐺 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. 𝐹 ⊑ 𝐺 olduğu kabul edilsin. Buradan, 𝛿(𝐹 ⊔ 𝐺) = 𝛿(𝐺) ve 𝛿(𝐹) ≥̃ 0̅ olduğundan 𝛿(𝐹 ⊔ 𝐺) ≤̃ 𝛿(𝐹) + 𝛿(𝐺) olur. Benzer ifade 𝐺 ⊑ 𝐹 içinde sağlanır. Şimdi, ne 𝐹 ⊑ 𝐺 ne de 𝐺 ⊑ 𝐹 sağlansın. 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹 ⊔ 𝐺 olsun. Buradan 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ̃ 𝐹 veya 𝑥∈ 𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐺 olur. İlk olarak 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹 olsun. Bu durumda, 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝛿(𝐹) ve buradan 𝛿(𝐹 ⊔ 𝐺) ≤̃ 𝛿(𝐹) + 𝛿(𝐺) elde edilir. Benzer şekilde 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐺 içinde sağlanır. Şimdi, 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹 ve 𝑦𝑘∈̃ 𝐺 olsun. 𝐹 ⊓ 𝐺 ≠ ∅̃ olması sebebiyle 𝑧𝑡 ∈̃ 𝐹 ⊓ 𝐺 olacak şekilde bir 𝑧𝑡 ∈̃ 𝑋̃ vardır.
Dolayısıyla her 𝜆 ∈ 𝐸 için
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘)(𝜆) ≤ 𝑑(𝑥𝑒, 𝑧𝑡)(𝜆) + 𝑑(𝑧𝑡, 𝑦𝑘)(𝜆)
≤ 𝑠𝑢𝑝 {𝑑(𝑥𝑒, 𝑧𝑡)(𝜆) ∶ 𝑥𝑒, 𝑧𝑡∈̃ 𝐹} + 𝑠𝑢𝑝 {𝑑(𝑧𝑡, 𝑦𝑘)(𝜆) ∶ 𝑥𝑒, 𝑧𝑡 ∈̃ 𝐹} = 𝛿(𝐹)(𝜆) + 𝛿(𝐺)(𝜆)
dir. O halde her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹 ⊔ 𝐺 için
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝛿(𝐹) + 𝛿(𝐺) olduğundan her 𝜆 ∈ 𝐸 için
𝑠𝑢𝑝 {𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘)(𝜆) ∶ 𝑥𝑒, 𝑦𝑘∈̃ 𝐹 ⊔ 𝐺} ≤̃ (𝛿(𝐹) + 𝛿(𝐺))(𝜆) bulunur. Böylece,
𝛿(𝐹 ⊔ 𝐺)(𝜆) ≤̃ (𝛿(𝐹) + 𝛿(𝐺))(𝜆) elde edilir ve ispat tamamlanır [8].
Tanım 5.6. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olmak üzere 𝐹 ⊑ 𝑋̃ ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ olsun. Her 𝜆 ∈ 𝐸 için
𝑑(𝑥𝑒, 𝐹)(𝜆) = 𝑖𝑛𝑓 {𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘)(𝜆) ∶ 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹}
olarak tanımlanan 𝑑(𝑥𝑒, 𝐹) esnek reel sayısına 𝑥𝑒 esnek noktasının 𝐹 esnek kümesine uzaklığı denir. 𝑥𝑒, 𝐹 esnek kümesinin bir esnek noktası ise 𝑑(𝑥𝑒, 𝐹) = 0̅ olduğu açıktır [8].
Tanım 5.7. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹, 𝐺 ⊑ 𝑋̃ olsun. Her 𝜆 ∈ 𝐸 için
𝑑(𝐹, 𝐺)(𝜆) = 𝑖𝑛𝑓 {𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘)(𝜆) ∶ 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹, 𝑦𝑘∈̃ 𝐺}
olarak tanımlanan 𝑑(𝐹, 𝐺) esnek reel sayısına 𝐹 ile 𝐺 esnek kümeleri arasındaki uzaklık denir. Ayrıca 𝐹 ⊓ 𝐺 ≠ ∅̃ ise 𝑑(𝐹, 𝐺) = 0̅ olur, fakat aşağıdaki örnek bunun tersinin genelde doğru olmadığını gösterir [8].
Örnek 5.8. Örnek 5.3 deki (ℝ, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayı alınsın. Bir 𝑒 ∈ 𝐸 için
𝐹(𝑒) = (𝑢, 𝑣) ⊆ ℝ, 𝐺(𝑒) = (𝑣, 𝑤) ⊆ ℝ ve her 𝑘 ∈ 𝐸\{𝑒} için 𝐹(𝑘) = ∅, 𝐺(𝑘) = ∅ olacak şekilde 𝐹 ve 𝐺 esnek kümeleri alınsın. Buradan,
𝑑(𝐹, 𝐺)(𝜆) = 𝑖𝑛𝑓 {(|𝑥̅ − 𝑦̅| + |𝑒̅ − 𝑒̅|)(𝜆) ∶ 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐺}
= 𝑖𝑛𝑓 {(|𝑥̅ − 𝑦̅|)(𝜆) ∶ 𝑢 < 𝑥 < 𝑣, 𝑣 < 𝑦 < 𝑤} = 0 = 0̅(𝜆) Böylece 𝑑(𝐹, 𝐺) = 0̅, fakat 𝐹 ⊓ 𝐺 = ∅̃ dır [8].
Tanım 5.9. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ ve 𝑟̃ negatif olmayan bir esnek reel sayı olmak üzere 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) <̃ 𝑟̃ koşulunu sağlayan 𝑋 üzerindeki tüm 𝑦𝑘 esnek noktalarının birleşimine 𝑥𝑒 merkezli 𝑟̃ yarıçaplı esnek açık yuvar denir. Bu esnek açık yuvar da 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ile gösterilir [8].
Tanım 5.10. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ ve 𝑟̃ negatif olmayan bir esnek reel sayı olmak üzere 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝑟̃ koşulunu sağlayan 𝑋 üzerindeki tüm 𝑦𝑘 esnek noktalarının birleşimine 𝑥𝑒 merkezli 𝑟̃ yarıçaplı esnek kapalı yuvar denir. Bu esnek kapalı yuvar da 𝐵[𝑥𝑒, 𝑟̃] ile gösterilir [8].
Örnek 5.11. Örnek 5.2 deki (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek ayrık metrik uzayı alınsın. Her 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ için 1̅ <̃ 𝑟̃ ise 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) = 𝑋̃ ve 𝑟̃ ≤̃ 1̅ ise 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) = 𝑥𝑒 olur. Ayrıca 1̅ ≤̃ 𝑟̃ ise 𝐵[𝑥𝑒, 𝑟̃] = 𝑋̃ ve 𝑟̃ <̃ 1̅ ise 𝐵[𝑥𝑒, 𝑟̃] = 𝑥𝑒 dir [8].
Tanım 5.12. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. Her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹 için 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝑟̃ olacak şekilde bir 𝑟̃ esnek pozitif reel sayısı varsa 𝐹 esnek kümesine esnek sınırlıdır denir [8].
Teorem 5.13. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ⊑ 𝑋̃ olsun. Bu takdirde aşağıdaki önermeler denktir.
(𝑖) 𝐹 esnek kümesi esnek sınırlıdır.
(ii) 𝐹 esnek kümesini kapsayan bir esnek kapalı (veya açık) yuvar vardır.
İspat. (i) ⇒ (ii) 𝐹 esnek kümesi esnek sınırlı olsun. Buradan her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹 için 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝑟̃ olacak şekilde bir 𝑟̃ esnek pozitif reel sayısı vardır. Bir 𝑧𝑡 ∈̃ 𝑋̃ esnek noktası ve 𝜖̃ = 𝑟̃ + 𝑑(𝑦𝑘, 𝑧𝑡) alınsın. Şimdi, 𝐹 ⊑ 𝐵[𝑧𝑡, 𝜖̃] olduğunu gösterelim. Her 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹 için (EM4) gereğince
𝑑(𝑥𝑒, 𝑧𝑡) ≤̃ 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) + 𝑑(𝑦𝑘, 𝑧𝑡) ≤̃ 𝑟̃ + 𝑑(𝑦𝑘, 𝑧𝑡) = 𝜖̃
olduğundan 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐵[𝑧𝑡, 𝜖̃] olur. Böylece istenilen 𝐹 ⊑ 𝐵[𝑧𝑡, 𝜖̃] ifadesi elde edilir.
(ii) ⇒ (ii) 𝑧𝑡 ∈̃ 𝐹 olmak üzere 𝐵[𝑧𝑡, 𝜖̃], 𝐹 esnek kümesini kapsayan bir esnek kapalı yuvar olsun. Bu durumda hipotezden her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘∈̃ 𝐹 için 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐵[𝑧𝑡, 𝜖̃] olur. Buradan,
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝑑(𝑥𝑒, 𝑧𝑡) + 𝑑(𝑧𝑡, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝜖̃ + 𝜖̃ = 2𝜖̃
elde edilir. Böylece 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 2𝜖̃ dır, yani 𝐹 esnek kümesi esnek sınırlıdır [8].
Tanım 5.14. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) >̃ 0̅ özelliğindeki her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝑋̃ için 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) = ∅̃ olacak şekilde sırasıyla 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 merkezli 𝑟̃ yarıçaplı 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ve 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) esnek açık yuvarları varsa (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayına esnek Hausdorff uzay denir [8].
Teorem 5.15. Her esnek metrik uzay esnek Hausdorff uzaydır.
İspat. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) >̃ 0̅ özelliğini sağlayan 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝑋̃ iki esnek nokta ve 0̅ <̃ 𝑟̃ <̃ 1
2𝑑(𝑥
𝑒, 𝑦𝑘) olacak şekilde bir 𝑟̃ esnek reel sayısı alınsın. Şimdi 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) = ∅̃ olduğu gösterilsin. 𝑤𝑢 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) olacak şekilde bir 𝑤𝑢 ∈̃ 𝑋̃ olduğu kabul edilsin. Bu durumda 𝑤𝑢 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ve 𝑤𝑢 ∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) olur. Yani 𝑑(𝑥𝑒, 𝑤𝑢) <̃ 𝑟̃ ve 𝑑(𝑦𝑘, 𝑤𝑢) <̃ 𝑟̃ dir. Böylece (EM4) den
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝑑(𝑥𝑒, 𝑤𝑢) + 𝑑(𝑦𝑘, 𝑤𝑢) <̃ 𝑟̃ + 𝑟̃ = 2𝑟̃ elde edilir. Bu ise 𝑟̃ <̃ 1
2𝑑(𝑥
𝑒, 𝑦𝑘) çelişkisine neden olur. O halde 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) = ∅̃ dir [8].
Tanım 5.16. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay, 𝐹 ⊑ 𝑋̃ ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ olsun. Bu durumda, 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹 olacak şekilde bir 𝑟̃ >̃ 0̅ varsa 𝑥𝑒 esnek noktasına 𝐹 esnek kümesinin bir esnek iç noktası denir [8].
Tanım 5.17. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ⊑ 𝑋̃ olsun. 𝐹 nin esnek içi
𝐹𝑜 = ⨆{𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹 ∶ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹 𝑜𝑙𝑎𝑐𝑎𝑘 ş𝑒𝑘𝑖𝑙𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑟 𝑟̃ >̃ 0̅ 𝑣𝑎𝑟𝑑𝚤𝑟}
şeklinde tanımlanır. Yani, 𝐹 esnek kümesinin esnek içi 𝐹 deki esnek iç noktaların birleşiminden oluşur [8].
Teorem 5.18. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹, 𝐺 ⊑ 𝑋̃ olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır.
(i) 𝐹𝑜 ⊑ 𝐹.
(ii) 𝐹 ⊑ 𝐺 ise 𝐹𝑜 ⊑ 𝐺𝑜. (iii) 𝐹𝑜⊓ 𝐺𝑜 = (𝐹 ⊓ 𝐺)𝜊. (iv) (𝐹 ⊔ 𝐺)𝜊 ⊒ 𝐹𝑜⊔ 𝐺𝑜.
İspat. (i), (ii) ve (iv) özellikleri esnek iç tanımından kolayca görülür.
(iii) 𝑥𝑒 ∈̃ (𝐹 ⊓ 𝐺)𝜊 olsun. Buradan 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹 ⊓ 𝐺 olacak şekilde en az bir 𝑟̃ esnek pozitif reel sayısı vardır. O halde 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹 ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐺 olur. Buna göre 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹𝜊 ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐺𝜊 dir, yani 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹𝜊⊓ 𝐺𝜊elde edilir.
Tersine, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹𝑜⊓ 𝐺𝑜 olsun. O halde 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐹𝑜 ve 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐺𝑜 dir. Buradan 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟
1
̃ ) ⊑ 𝐹 ve 𝑦𝑘∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟 2
sayıları vardır. Şimdi, 𝜆 ∈ 𝐸 için 𝑟̃(𝜆) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑟̃ (𝜆), 𝑟1 ̃ (𝜆)} olmak üzere bir 𝑟̃ esnek 2 pozitif reel sayısı alınsın. Böylece 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) ⊑ 𝐹 ve 𝑦𝑘∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) ⊑ 𝐺 olur. Dolayısıyla 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟̃) ⊑ 𝐹 ⊓ 𝐺 dir, yani 𝑦𝑘 ∈̃ (𝐹 ⊓ 𝐺)𝜊 elde edilir [8].
Tanım 5.19. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ⊑ 𝑋̃ olsun. 𝐹 esnek kümesinin tüm
esnek noktaları esnek iç nokta ise 𝐹 ye 𝑑 metriğine göre bir esnek açık küme denir [8].
Teorem 5.20. Bir esnek metrik uzayda her esnek açık yuvar bir esnek açık kümedir.
İspat. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃), 𝑥𝑒 merkezli 𝑟̃ yarıçaplı bir esnek açık yuvar olsun. Şimdi, 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) esnek açık yuvarının bir esnek açık küme olduğu gösterilsin. Gerçekten de herhangi bir 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) esnek noktası için
𝑦𝑘 ∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝑟 𝑦𝑘
̃ ) ⊑ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃)
olacak şekilde bir 𝑟̃ >𝑦𝑘 ̃ 0̅ esnek pozitif reel sayısının var olduğu açıktır. Böylece,
𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) esnek açık yuvarı (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayında bir esnek açık kümedir [8]. Teorem 5.21. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır.
(i) ∅̃ ve 𝑋̃ esnek kümeleri esnek açıktır.
(ii) Esnek açık kümelerin herhangi bir birleşimi esnek açıktır. (iii) Esnek açık kümelerin sonlu sayıda kesişimi esnek açıktır.
İspat. (i) koşulunun sağlandığı açıktır.
(ii) 𝛬 keyfi bir indeks kümesi olsun. Her 𝛼 ∈ 𝛬 için 𝐹𝛼 ⊑ 𝑋̃ esnek açık kümesi alınsın. Şimdi, 𝐹 = ⨆ 𝛼∈𝛬𝐹𝛼 nin esnek açık olduğu gösterilsin. 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹 = ⨆ 𝛼∈𝛬𝐹𝛼 olmak üzere bir 𝛼 ∈ 𝛬 için 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹𝛼 olur. O halde 𝐹𝛼 bir esnek açık küme olduğundan 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹
𝛼 ⊑ ⨆ 𝛼∈𝛬𝐹𝛼= 𝐹 olacak şekilde bir 𝑟̃ >̃ 0̅ esnek reel sayısı vardır. Dolayısıyla 𝐹 bir esnek açık kümedir.
(iii) İspatı (ii) ye benzer şekildedir [8].
Tanım 5.22. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ⊑ 𝑋̃ olsun. 𝐹 esnek kümesinin
Teorem 5.23. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır.
(i) ∅̃ ve 𝑋̃ esnek kümeleri esnek kapalıdır.
(ii) Esnek kapalı kümelerin sonlu sayıda birleşimi esnek kapalıdır. (iii) Esnek kapalı kümelerin herhangi bir kesişimi esnek kapalıdır.
İspat. Teorem 5.21 den açıktır [8].
Tanım 5.24. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve ℬ de esnek açık kümelerin bir ailesi
olsun. (𝑋, 𝑑, 𝐸) deki her esnek açık küme ℬ deki esnek kümelerin birleşimi şeklinde yazılabiliyorsa ℬ ye (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayı için bir esnek taban denir [8].
Tanım 5.25. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay, 𝐹 ⊑ 𝑋̃ ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ olsun. 𝑥𝑒 esnek noktasını içeren her esnek açık yuvar 𝐹 esnek kümesinin 𝑥𝑒 den başka en az bir esnek noktasını içeriyorsa 𝑥𝑒 esnek noktasına 𝐹 nin bir esnek limit noktası denir.
𝐹 esnek kümesinin esnek limit noktası 𝐹 ye ait olmak zorunda değildir.
𝐹 nin tüm esnek limit noktalarının kümesine 𝐹 esnek kümesinin türev kümesi denir ve 𝐹′ ile gösterilir [8].
Örnek 5.26. Örnek 5.3 deki (ℝ, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayı alınsın. 𝐹(𝑒) = (𝑎, 𝑏) ⊆ ℝ ve
her 𝑘 ∈ 𝐸\{𝑒} için 𝐹(𝑘) = ∅ olacak şekilde bir 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) olmak üzere bir 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ esnek noktası için 𝑟̃(𝑒) = 𝑟
𝑒 olacak şekilde bir 𝑟̃ esnek reel sayısı alınsın. Buradan,
𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃)(𝑒) ∩ (𝐹\̃𝑥𝑒)(𝑒) = (𝑥 − 𝑟𝑒, 𝑥 + 𝑟𝑒) ∩ ((𝑎, 𝑏)\{𝑥}) ≠ ∅
olduğundan 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ (𝐹\̃𝑥𝑒) ≠ ∅̃ ve böylece 𝑥𝑒 esnek noktası 𝐹 nin esnek limit noktasıdır [8].
Teorem 5.27. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ⊑ 𝑋̃ olsun. 𝐹 nin esnek kapalı olması için gerek ve yeter koşul 𝐹𝑐 nin hiçbir esnek noktası 𝐹 nin bir esnek limit noktası değildir.
İspat. (⇒) 𝐹 esnek kapalı bir küme ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹𝑐 bir esnek nokta olsun. Buradan 𝐹𝑐 bir esnek açık kümedir. 𝑥𝑒 esnek noktası 𝐹𝑐 nin bir iç noktası ise 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹𝑐 olacak şekilde en az bir 𝑟̃ esnek pozitif reel sayısı vardır. O halde 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) esnek açık yuvarı 𝐹 nin bir esnek noktasını içermez ki bu da 𝑥𝑒 nin 𝐹 nin bir esnek limit noktası
olamayacağını gösterir. Böylece 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹𝑐 bir keyfi esnek nokta olduğundan 𝐹𝑐 nin hiçbir esnek noktası 𝐹 nin bir esnek limit noktası değildir.
(⇐) 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹𝑐 olsun. Buradan 𝑟̃ esnek pozitif reel sayı olmak üzere 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹𝑐 olur. O halde 𝐹𝑐 = ⨆𝑥𝑒∈̃𝐹𝑐𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ve dolayısıyla 𝐹𝑐 bir esnek açık kümedir. Böylece
𝐹, bir esnek kapalı kümedir [8].
Teorem 5.28. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹, 𝐺 ⊑ 𝑋̃ olsun. Bu durumda, (i) ∅̃′= ∅̃ ve 𝑋̃′= 𝑋̃.
(ii) 𝐹 ⊑ 𝐺 ise 𝐹′ ⊑ 𝐺′. (iii) 𝐹′′ ⊑ 𝐹′.
(iv) 𝐹′⊔ 𝐺′= (𝐹 ⊔ 𝐺)′. (v) 𝐹′⊓ 𝐺′⊑ (𝐹 ⊓ 𝐺)′.
İspat. Tanımdan kolaylıkla elde edilir [8].
Tanım 5.29. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹 ⊑ 𝑋̃ olsun. 𝐹 nin tüm esnek noktaları
ile esnek limit noktalarından oluşan esnek kümeye 𝐹 nin esnek kapanışı denir [8].
Teorem 5.30. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐹, 𝐺 ⊑ 𝑋̃ olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. (i) ∅̃̅ = ∅̃ ve 𝑋̃̅ = 𝑋̃. (ii) 𝐹 ⊑ 𝐹̅. (iii) 𝐹′⊑ 𝐹̅. (iv) 𝐹̅ = 𝐹̿. (v) 𝐹 esnek kapalı ⇔ 𝐹 = 𝐹̅. (vi) 𝐹 ⊑ 𝐺 ise 𝐹̅ ⊑ 𝐺̅. (vii) 𝐹̅ ⊔ 𝐺̅ = (𝐹 ⊔ 𝐺)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. (viii) 𝐹 ⊓ 𝐺̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊑ 𝐹̅ ⊓ 𝐺̅.
İspat. Teorem 5.28 ve Tanım 5.29 dan kolaylıkla elde edilir [8].
Tanım 5.31. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve 𝐴 ⊆ 𝑋 olsun. Her 𝑥𝑒, 𝑦𝑘 ∈̃ 𝐴̃ için 𝑑 (𝑥𝑒, 𝑦𝑘) = 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘)
şeklinde tanımlanan 𝑑𝐴 ∶ 𝑆𝑃(𝐴) × 𝑆𝑃(𝐴) → ℝ(𝐸)∗ dönüşümüne 𝐴 üzerinde 𝑑 esnek metriği ile üretilen esnek metrik denir. (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸) üçlüsüne de (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayının alt esnek metrik uzayı denir [8].
Teorem 5.32. (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸), (𝑋, 𝑑, 𝐸) uzayının bir alt esnek metrik uzayı, 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐴̃ ve 𝑟̃ >̃ 0̅ bir esnek reel sayı olsun. 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃), (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayında bir esnek açık yuvar ve 𝐵𝐴(𝑥𝑒, 𝑟̃), (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸) alt esnek metrik uzayında bir esnek açık yuvar ise
𝐵𝐴(𝑥𝑒, 𝑟̃) = 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐴̃ dır.
İspat. 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐴̃ = ⨆{𝑦𝑘 ∈̃ 𝑋̃ ∶ 𝑑(𝑦𝑘, 𝑥𝑒) <̃ 𝑟̃ } ⊓ 𝐴̃ = ⨆{𝑧𝑡∈̃ 𝐴̃ ∶ 𝑑(𝑧𝑡, 𝑥𝑒) <̃ 𝑟̃} olur. Ayrıca 𝑥𝑒, 𝑧𝑡 ∈̃ 𝐴̃ için 𝑑(𝑧𝑡, 𝑥𝑒) = 𝑑
𝐴(𝑧𝑡, 𝑥𝑒) olduğundan
𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐴̃ = {𝑧𝑡 ∈̃ 𝐴̃ ∶ 𝑑𝐴(𝑧𝑡, 𝑥𝑒) <̃ 𝑟̃} = 𝐵𝐴(𝑥𝑒, 𝑟̃) elde edilir [8].
Teorem 5.33. (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸), (𝑋, 𝑑, 𝐸) uzayının bir alt esnek metrik uzayı olsun. Bu durumda,
(i) 𝐹 ⊑ 𝐴̃ esnek kümesinin (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸) alt esnek metrik uzayında esnek açık olması için gerek ve yeter koşul 𝐺 ⊑ 𝑋̃ esnek kümesi 𝑑 metriğine göre esnek açık olmak üzere 𝐹 = 𝐺 ⊓ 𝐴̃ olmasıdır.
(ii) 𝐻 ⊑ 𝐴̃ esnek kümesinin (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸) alt esnek metrik uzayında esnek kapalı olması için gerek ve yeter koşul 𝐾 ⊑ 𝑋̃ esnek kümesi 𝑑 metriğine göre esnek kapalı olmak üzere 𝐻 = 𝐾 ⊓ 𝐴̃ olmasıdır.
İspat. (i) (⇒) 𝐹, (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸) alt esnek metrik uzayında esnek açık ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹 olsun. Buradan her 𝑟̃ >̃ 0̅ için 𝐵𝐴(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐹 dir. O halde Teorem 5.36 dan
𝐹 = ⨆𝑥𝑒∈̃𝐹𝐵𝐴(𝑥𝑒, 𝑟̃) = ⨆𝑥𝑒∈̃𝐹𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐴̃
elde edilir. Ayrıca, ⨆𝑥𝑒∈̃𝐹𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) = 𝐺 esnek kümesi 𝑑 metriğine göre esnek açık
olduğundan istenilen eşitlik sağlanır.
(⇐) 𝐺 ⊑ 𝑋̃ bir esnek açık küme olmak üzere 𝐹 = 𝐺 ⊓ 𝐴̃ olsun. Buradan her 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐹 için 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐺 ve 𝑥𝑒 ∈̃ 𝐴̃ dır. O halde 𝐺, 𝑋 üzerinde esnek açık olduğundan 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊑ 𝐺
olacak şekilde en az bir 𝑟̃ >̃ 0̅ esnek reel sayısı vardır. Böylece 𝐵𝐴(𝑥𝑒, 𝑟̃) = 𝐵(𝑥𝑒, 𝑟̃) ⊓ 𝐴̃ ⊑ 𝐺 ⊓ 𝐴̃ = 𝐹 olur. Dolayısıyla 𝐹, (𝐴, 𝑑
𝐴, 𝐸) alt esnek metrik uzayında esnek açıktır.
(ii) (⇒) 𝐻 esnek kümesi (𝐴, 𝑑𝐴, 𝐸) alt esnek metrik uzayında esnek kapalı olsun.
Buradan, 𝐻𝐴𝑐 esnek kümesi 𝐴 üzerinde bir esnek açık kümedir. O halde, (i) den 𝐻𝐴𝑐 = 𝐺 ⊓ 𝐴̃ olacak şekilde 𝑋 üzerinde bir 𝐺 esnek açık kümesi vardır. Dolayısıyla
𝐻 = 𝐴̃\̃𝐺 = 𝐺𝑐⊓ 𝐴̃ ve 𝐾 = 𝐺𝑐 olmak üzere 𝐻 = 𝐾 ⊓ 𝐴̃ olur.
(⇐) Açıktır [8].
Tanım 5.34. {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ esnek noktalardan oluşan bir dizi olsun. Her 𝜖̃ >̃ 0̅ esnek reel sayısına karşılık 𝑛 ≥ 𝑛0 özelliğindeki her 𝑛 doğal sayısı için 𝑑(𝑥𝑛
𝑒𝑛, 𝑥𝑒) <̃ 𝜖̃ olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ sayısı varsa {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisi 𝑥𝑒 esnek noktasına esnek yakınsıyor denir ve bu durum lim
𝑛→∞𝑥𝑛
𝑒𝑛 = 𝑥𝑒 ile gösterilir [8].
Örnek 5.35. Örnek 5.3 deki (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayı alınsın. Bir 𝑒 ∈ 𝐸 için
𝐹(𝑒) = (0,1] ve her 𝑘 ∈ 𝐸\{𝑒} için 𝐹(𝑘) = ∅ olacak şekilde bir 𝐹 ∈ 𝑆(𝑋, 𝐸) olsun. 𝑥𝑛𝑒(𝑒) = {1
𝑛} olmak üzere {𝑥𝑛 𝑒}
𝑛∈ℕ esnek noktalardan oluşan bir dizi alınsın. Bu dizi 𝐹 deki hiçbir esnek noktaya yakınsamaz. Fakat her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑦𝑛𝑒(𝑒) = {
1
2} olmak üzere {𝑦𝑛𝑒}𝑛∈ℕ esnek noktalardan oluşan dizi 𝐹 deki 0,5𝑒 esnek noktasına yakınsar [8].
Teorem 5.36. Bir esnek metrik uzaydaki esnek noktalardan oluşan her esnek yakınsak
dizi bir tek esnek noktaya yakınsar.
İspat. {𝑥𝑛𝑒𝑛} esnek noktalardan oluşan bir dizi olsun ve bu dizinin 𝑥𝑒 ve 𝑦𝑘 gibi iki farklı esnek noktaya yakınsadığı kabul edilsin. Bir 𝜖̃ =𝑑(𝑥𝑒,𝑦𝑘)
2 alınsın. Öncelikle 𝐵(𝑥𝑒, 𝜖̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝜖̃) = ∅̃ olduğu gösterilsin. 𝑧𝑡 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝜖̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝜖̃) olsun. Bu durumda 𝑑(𝑥𝑒, 𝑧𝑡) <̃ 𝜖̃ ve 𝑑(𝑧𝑡, 𝑦𝑘) <̃ 𝜖̃ olur. Ayrıca (EM4) gereğince
𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) ≤̃ 𝑑(𝑥𝑒, 𝑧𝑡) + 𝑑(𝑧𝑡, 𝑦𝑘) <̃ 𝜖̃ + 𝜖̃ = 2𝜖̃
elde edilir. Bu ise 2𝜖̃ = 𝑑(𝑥𝑒, 𝑦𝑘) olması ile çelişir. O halde 𝐵(𝑥𝑒, 𝜖̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝜖̃) = ∅̃ dır. Bunun yanı sıra {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisi 𝑥𝑒 esnek noktasına yakınsadığından 𝑛 ≥ 𝑛0 özelliğindeki her 𝑛 doğal sayısı için 𝑥𝑛𝑒 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝜖̃) olacak şekilde bir 𝐵(𝑥𝑒, 𝜖̃) esnek
açık yuvarı vardır. Benzer şekilde {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisi 𝑦𝑘 esnek noktasına yakınsadığından 𝑛 ≥ 𝑛1 özelliğindeki her 𝑛 doğal sayısı için 𝑥𝑛𝑒𝑛 ∈̃ 𝐵(𝑦𝑘, 𝜖̃) olacak şekilde bir 𝐵(𝑦𝑘, 𝜖̃) esnek açık yuvarı vardır. O halde her 𝑛 ≥ 𝑚𝑎𝑥{𝑛0, 𝑛1} için 𝑥𝑛
𝑒𝑛 ∈̃ 𝐵(𝑥𝑒, 𝜖̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝜖̃) olur. Bu da 𝐵(𝑥𝑒, 𝜖̃) ⊓ 𝐵(𝑦𝑘, 𝜖̃) = ∅̃ eşitliği ile çelişir. Dolayısıyla {𝑥
𝑛 𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisi bir tek esnek noktaya yakınsar [8].
Tanım 5.37. {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ esnek noktalardan oluşan bir dizi olsun. Her 𝜖̃ >̃ 0̅ esnek reel sayısına karşılık 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 özelliğindeki her 𝑛, 𝑚 doğal sayıları için 𝑑(𝑥𝑛𝑒𝑛, 𝑥𝑚𝑒𝑚) <̃ 𝜖̃ olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ sayısı varsa {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisine bir esnek Cauchy dizisi denir [8].
Teorem 5.38. Bir esnek metrik uzaydaki her esnek yakınsak dizi esnek Cauchy
dizisidir.
İspat. {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ esnek noktalardan oluşan bir dizi olsun ve bir 𝑥𝑒 ∈̃ 𝑋̃ esnek noktasına yakınsasın. 𝜖̃ >̃ 0̅ alınsın. Buradan {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisi 𝑥𝑒 esnek noktasına yakınsadığından 𝑛 ≥ 𝑛0 özelliğindeki her 𝑛 doğal sayısı için 𝑑(𝑥𝑛
𝑒𝑛, 𝑥𝑒) <̃ 𝜖̃
2 olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ sayısı vardır. O halde 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 özelliğindeki her 𝑛, 𝑚 doğal sayıları için
𝑑(𝑥𝑛𝑒𝑛, 𝑥 𝑚 𝑒𝑚) ≤̃ 𝑑(𝑥 𝑛 𝑒𝑛, 𝑥𝑒) + 𝑑(𝑥𝑒, 𝑥 𝑚 𝑒𝑚) <̃ 𝜖̃ 2+ 𝜖̃ 2= 𝜖̃ elde edilir. Böylece {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisi bir esnek Cauchy dizisidir [8].
Teorem 5.39. Bir esnek metrik uzaydaki her esnek Cauchy dizisi esnek sınırlıdır.
İspat. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay ve {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ 𝑋 de bir esnek Cauchy dizisi olsun. Bu durumda 𝜖̃ = 1̅ >̃ 0̅ esnek reel sayısına karşılık 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 özelliğindeki 𝑛, 𝑚 doğal sayıları için 𝑑(𝑥𝑛𝑒𝑛, 𝑥
𝑚
𝑒𝑚) <̃ 1̅ olacak şekilde bir 𝑛
0 ∈ ℕ sayısı vardır. Buradan 𝑚 = 𝑛0 olmak üzere 𝑛 ≥ 𝑛0 için 𝑑(𝑥𝑛
𝑒𝑛, 𝑥
𝑛0
𝑒𝑛0
) <̃ 1̅ olur. Diğer bir deyişle, 𝑛 ≥ 𝑛0 için 𝑥𝑛𝑒𝑛 ∈̃ 𝐵(𝑥 𝑛0 𝑒𝑛0 , 1̅) dir. Şimdi, 𝑟̃ >̃ 𝑚𝑎𝑥 {1̅, 𝑑(𝑥1𝑒1, 𝑥 𝑛0 𝑒𝑛0 ), 𝑑(𝑥2𝑒2, 𝑥 𝑛0 𝑒𝑛0 ), … , 𝑑 (𝑥𝑛 0−1 𝑒𝑛0−1 , 𝑥𝑛𝑒0𝑛0 ) } alınsın. Dolayısıyla 𝑥1𝑒1, 𝑥 2 𝑒2, . . . , 𝑥 𝑛0−1 𝑒𝑛0−1 ∈ ̃ 𝐵(𝑥𝑛𝑒𝑛00 , 𝑟̃) ve
𝐵(𝑥𝑛 0 𝑒𝑛0 , 1̅) ⊑ 𝐵(𝑥𝑛 0 𝑒𝑛0 , 𝑟̃) sağlanır. Böylece her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑥𝑛𝑒𝑛 ∈̃ 𝐵(𝑥
𝑛0
𝑒𝑛0
, 𝑟̃) elde edilir. O halde Teorem 5.13 gereğince {𝑥𝑛𝑒𝑛}
𝑛∈ℕ dizisi esnek sınırlıdır [8].
Tanım 5.40. (𝑋, 𝑑, 𝐸) bir esnek metrik uzay olsun. 𝑋 deki her esnek Cauchy dizisi 𝑋 de
bir esnek noktaya yakınsıyorsa (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayına esnek tamdır denir [8].
Örnek 5.41. 𝐸 parametreler kümesi sonlu olmak üzere Örnek 5.3 deki (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek
metrik uzayı alınsın. Her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑥𝑛𝑒(𝑒) = {1
𝑛} olacak şekilde esnek noktalardan oluşan bir {𝑥𝑛𝑒}
𝑛∈ℕ dizisi tanımlansın. Bu dizi (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayında bir esnek Cauchy dizisidir. Gerçekten de, 𝜖̃ >̃ 0̅ olmak üzere her 𝑒 ∈ 𝐸 için 𝑛0 > 1
𝜖̃(𝑒) olacak şekilde bir 𝑛0 ∈ ℕ alınsın. Buradan, her 𝑚 > 𝑛 > 𝑛0 için
𝑑(𝑥𝑛𝑒, 𝑥 𝑚𝑒) = |𝑥̅̅̅ − 𝑥𝑛 ̅̅̅̅| = |𝑚 1 𝑛 ̅ − 1 𝑚 ̅ | = |𝑚 − 𝑛 𝑚𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅̅ | = |𝑚̅ − 𝑛̅ 𝑚𝑛 ̅̅̅̅ | <̃ 𝑚 𝑚𝑛 ̅̅̅̅ = 1 𝑛 ̅ <̃ 1 𝑛0 ̅̅̅ olduğundan 𝑑(𝑥𝑛𝑒, 𝑥
𝑚𝑒) <̃ 𝜖̃ olur. Ayrıca, bu dizi (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayında 0𝑒 esnek noktasına yakınsar. Böylece esnek noktalardan oluşan {𝑥𝑛𝑒}
𝑛∈ℕ dizisi (𝑋, 𝑑, 𝐸) esnek metrik uzayında esnek tamdır [8].