Hiperbolik-schrödinger denklemleri için lokal olmayan sınır-değer problemleri

(1)

T.C

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

HİPERBOLİK-SCHRÖDINGER DENKLEMLERİ İÇİN LOKAL

OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MEHMET KÜÇÜKÜNAL

TEMMUZ 2012

(2)

T.C

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ KABUL VE ONAY BELGESİ

Mehmet KÜÇÜKÜNAL tarafından hazırlanan HİPERBOLİK-SCHRÖDINGER

DENKLEMLERİ İÇİN LOKAL OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMLERİ isimli Lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim

Kurulu’nun 13/06/2012 tarih ve 2012/196 sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Ana Bilim Dalı’nda Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.

Üye

Yrd. Doç. Dr. Yıldırım ÖZDEMİR Düzce Üniversitesi

Üye Üye

Prof. Dr. Allaberen ASHYRALYEV Prof. Dr. İsmet YILDIZ

Fatih Üniversitesi Düzce Üniversitesi

Tezin savunulduğu tarih:17/07/2012

ONAY

Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Mehmet KÜÇÜKÜNAL’ın Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onaylamıştır.

Doç. Dr. Haldun MÜDERRİSOĞLU

(3)

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

17/07/2012

(4)

(5)

i

TEŞEKKÜR

Başlamış olduğum bu yolda, en başından sonuna dek tüm görüşlerini paylaşan, engin bilgi ve tecrübelerini hiçbir zaman esirgemeyen, bilim tutkusunu içinde barındıran, tüm sorularıma sabır ile yanıt veren ve her türlü konuda desteğini eksik etmeyerek, yanımda olduğunu hissettiğim saygıdeğer hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Yıldırım ÖZDEMİR’e teşekkürü bir borç bilirim.

Tüm görüşlerini ve bilgisini herkes ile paylaşmaktan sakınmayan, bilgi ve deneyimleriyle sonuca ulaşmamda yol gösteren, herkese eşit tavrı ve işine tutku ile bağlı olan, sayın Prof. Dr. Allaberen ASHYRALYEV’e çok teşekkür ederim.

Ayrıca diğer jüri üyesi ve matematik bölüm başkanımız, sayın Prof. Dr. İsmet YILDIZ hocama göstermiş olduğu ilgi ve yol gösterici yardımlarından ötürü çok teşekkür ederim.

Tez dönemim boyunca moralimi en üst düzeyde tutan ve kendilerinden her fırsatta güç aldığım aileme ve arkadaşlarıma müteşekkirim.

(6)

ii İÇİNDEKİLER Sayfa TEŞEKKÜR…... ... i İÇİNDEKİLER.. ... ii ÖZET………….. ... 1 ABSTRACT…... ... 2 EXTENDED ABSTRACT.. ... 3 1. GİRİŞ………. ... 5 2. KURAMSAL KAVRAMLAR ………. ... 17

2.1 Hilbert Uzayının Elementleri ... 17

3. MATERYAL VE YÖNTEM ... 19

3.1 HİPERBOLİK-SCHRÖDINGER DENKLEMLERİ İÇİN LOKAL OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMLERİ... 19

3.2 HİPERBOLİK-SCHRÖDİNGER FARK DENKLEMLERİ ... 33

3.3 NÜMERİK ANALİZ ... 53 4. BULGULAR ve TARTIŞMA ... 61 4.1 Hata Analizi ... 61 5. SONUÇLAR ve ÖNERİLER ... 64 6. KAYNAKLAR ... 65 7. EKLER……… ... 68 EK-1. Algoritma ... 65

EK-2. Birinci Basamaktan Doğruluklu Fark Şeması İçin Matlab Programı ... 65

EK-3. Algoritma ... 71 EK-4. r-iyileştirilmiş Crank-Nicholson Fark Şeması İçin Matlab Programı . 71 ÖZGEÇMİŞ

(7)

1

ÖZET

HİPERBOLİK-SCHRODINGER DENKLEMLERİ İÇİN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

Mehmet KÜÇÜKÜNAL Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Yıldırım ÖZDEMİR Temmuz 2012, 74 sayfa

Birinci Bölüm giriş kısmıdır. İkinci Bölüm Çalışmamızda ihtiyaç duyulan bazı temel tanım ve kavramları içermektedir. Üçüncü Bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Bu alanda yapılan araştırmalar hakkında kısa bir inceleme, hiperbolik-Schrodinger denklemleri için lokal olmayan sınır-değer problemlerinin kararlılıkları hakkındaki temel teoremin ispatı ve bu soyut sonuçların uygulamalar yardımıyla, hiperbolik-Schrodinger denklemleri için fark şemalarının kararlılık kestirimlerini elde edilmesini sağlaması birinci kısımda verilmiştir. İkinci kısımda bir H Hilbert uzayında öz-eşlenik pozitif tanımlı A operatörlü hiperbolik-Schrodinger denklemi için lokal olmayan sınır-değer problemini yaklaşık olarak çözen, birinci ve ikinci basamaktan doğruluklu kararlı fark şemaları sunulmaktadır. Ayrıca, hiperbolik-Schrodinger denklemi için karma tipli sınır-değer problemlerinin çözümlerinin kararlılık kestirimleri elde edilmiştir. Üçüncü kısımda ise sayısal analizler bulunmaktadır. Dördüncü Bölüm Bu bölümde hata analizi yapılırken kullanılan formüller, hiperbolik-Schrödinger denklemi için lokal olmayan sınır-deeğer probleminin tam çözümünün ve fark şemaları yöntemiyle birinci ve ikinci basamaktan doğruluklu fark şemaları yardımıyla elde edilen yaklaşık çözümlerinin grafikleri bulunmaktadır. Bu bölüm ayrıca, birinci ve ikinci basamaktan fark şemaları kullanılarak yazılan matlab programı sonrasında elde edilen verilerin karşılaştırıldığı tabloları içermektedir. Beşinci bölüm sonuç ve öneriler kısmıdır.

Anahtar sözcükler: Hiperbolik-Schrödinger denklemi, Kararlılık, Lokal olmayan

(8)

2

ABSTRACT

NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR HYPERBOLIC-SCHRÖDINGER DIFFERENTIAL EQUATIONS

Mehmet KÜÇÜKÜNAL Duzce University

Graduade School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assit. Prof. Yildirim OZDEMIR July 2012, 74 pages

First chapter is the introduction. In the second chapter basic concepts and definitions that we need in the thesis are given. Third chapter consists of three sections. A brief survey of all investigations in this area, the proof of main theorem about the stability of the nonlocal boundary value problem for hyperbolic-Schrödinger equations in a Hilbert space and in applications this abstract result permits to obtain the stability estimates for the solution of the difference schemes for hyperbolic-Schrödinger equations can be found in the first section. In the second section the stable first and second order of accuracy difference schemes approximately solving the nonlocal boundary value problem for hyperbolic-Schrödinger equation in a Hilbert space H with self-adjoint positive definite operator A are presented and the stability estimates for the solutions of the difference schemes of the mixed type boundary value problems for hyperbolic-Schrödinger equations are obtained. The last section is the numerical analysis. The first and second order of accuracy difference schemes are studied. Fourth chapter a matlab program is given to conclude that the second order of accuracy is more accurate. The figures and table are included. Fifth chapter is conclusions and discussions.

Keywords: Hyperbolic- Schrödinger equation; Nonlocal boundary value problems;

(9)

3

EXTENDED ABSTRACT

NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR HYPERBOLIC-SCHRÖDINGER DIFFERENTIAL EQUATIONS

Mehmet KÜÇÜKÜNAL Düzce University

Graduade School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assist. Prof. Yildirim OZDEMIR July 2012, 74 pages

1.INTRODUCTION

First chapter is the introduction. In the second chapter basic concepts and definitions that we need in the thesis are given. Third chapter consists of three sections. A brief survey of all investigations in this area, the proof of main theorem about the stability of the nonlocal boundary value problem for hyperbolic-Schrödinger equations in a Hilbert space and in applications this abstract result permits to obtain the stability estimates for the solution of the difference schemes for hyperbolic-Schrödinger equations can be found in the first section. In the second section the stable first and second order of accuracy difference schemes approximately solving the nonlocal boundary value problem for hyperbolic-Schrödinger equation in a Hilbert space H with self-adjoint positive definite operator A are presented and the stability estimates for the solutions of the difference schemes of the mixed type boundary value problems for hyperbolic-Schrödinger equations are obtained. The last section is the numerical analysis. The first and second order of accuracy difference schemes are studied. Fourth chapter a matlab program is given to conclude that the second order of accuracy is more accurate. The figures and table are included. Fifth chapter is conclusions and discussions.

It is known that certain problems of modern physics and technology can be effectively described in terms of nonlocal problems for partial differential equations. These nonlocal conditions arise mainly when the data on the boundary cannot be measured directly.

Methods of solutions of nonlocal boundary value problems for partial differential equations and partial differential equations of mixed type have been studied extensively by many researches (see [Salakhitdinov, M. S., 1974], [Djuraev, T. D., 1979], [Karatopraklieva, K. G., 1991], [Bazarov, D. and Soltanov, H., 1995], [Glazatov,

(10)

4

S. N., 1998], [Ashyralyev, A. and Aggez, N., 2004], [Ashyralyev, A. and Ozdemir, Y., 2005], [Ashyralyev, A. and Gercek, O., 2008], [Ashyralyev, A. and Sirma, A., 2008], [Ashyralyev, A. and Yildirim, O., 2010], [Ashyralyev, A. and Hicdurmaz, B., 2011], [Ashyralyev, A. and Ozger, F., 2011] and the references given therein).

Our goal in this work is to investigate the stability of difference schemes of the approximate solutions of the nonlocal boundary value problems for equations of hyperbolic-Schrodinger type.

(11)

1 G˙IR˙IS

¸

Modern fizi˘gin ve teknolojinin bazı problemlerinin lokal olmayan kısmi diferansiyel den-klemler üzerinden etkili bir bi¸cimde ifade edilebilir oldu˘gu bilinmektedir. Bu lokal olmayan ko¸sullar ¸co˘gunlukla sınırdaki veriler do˘grudan öl¸cülemedi˘gi zaman ortaya ¸cıkar. Kısmi diferansiyel denklemler ve karma tipli kısmi diferansiyel denklemler i¸cin lokal olmayan sınır-de˘ger problemlerinin ¸cözüm yöntemleri üzerine bir ¸cok ara¸stırmacı tarafından ¸calı¸smalar yapılmı¸stır. (bkz. [Salakhitdinov, M. S., 1974], [Djuraev, T. D., 1979], [Karatopraklieva, K. G., 1991], [Bazarov, D. ve Soltanov, H., 1995], [Glazatov, S. N., 1998], [Ashyralyev, A. ve Aggez, N., 2004], [Ashyralyev, A. ve Ozdemir, Y., 2005], [Ashyralyev, A. ve Gercek, O., 2008], [Ashyralyev, A. ve Sirma, A., 2008], [Ashyralyev, A. ve Yildirim, O., 2010], [Ashyralyev, A. ve Hicdurmaz, B., 2011], [Ashyralyev, A. ve Ozger, F., 2011]).

Bu ¸calı¸smadaki amacımız hiperbolik-Schrödinger tipindeki denklemler i¸cin lokal olmayan sınır-de˘ger problemlerinin yakla¸sık ¸cözümleri i¸cin kurulan fark ¸semalarının kararlılı˘gını incelemektir.

Bilindi˘gi gibi hiperbolik-Schrödinger denklemler i¸cin karma tipli problemler, Fourier serileri yöntemi ile, Fourier dönü¸sümü yöntemi ile ve Laplace dönü¸sümü yöntemi ile ¸cözülebilir.

S¸imdi bunlara ¨ornekler verelim.

˙Ilk olarak hiperbolik-Schr¨odinger denklemi i¸cin                            ∂2u ∂t2 − ∂2u ∂x2 + u = cos t sin x, 0 ≤ t ≤ 1, 0 < x < π, i∂u ∂t − ∂2_u

∂x2 + u = (2 cos t − sin t) sin x, −1 ≤ t ≤ 0, 0 < x < π,

u(1, x) = 1 2u(−1, x) + 1 2cos 1 sin x, 0 ≤ x ≤ π, u(t, 0) = u(t, π) = 0, −1 ≤ t ≤ 1, (1.1)

lokal olmayan sınır-de˘ger problemini ele alalım.

(1.1) probleminin ¸cözümü i¸cin, de˘gi¸skenlerine ayırma yöntemi ya da ”Fourier Seri-leri Yöntemi” adıyla bilinen ¸cözüm yöntemini kullanılacaktır. Problemin ¸cözümü i¸cin u(t, x)fonksiyonu

(12)

¸seklinde iki fonksiyonun toplamı olarak ifade edilir. Burada,                            ∂2_v ∂t2 − ∂2_v ∂x2 + v = 0, 0 ≤ t ≤ 1, 0 < x < π, i∂v ∂t − ∂2v ∂x2 + v = 0, −1 ≤ t ≤ 0, 0 < x < π, v(1, x) = 1 2v(−1, x), 0 ≤ x ≤ π, v(t, 0) = v(t, π) = 0, −1 ≤ t ≤ 1 (1.2) ve                            ∂2_w ∂t2 − ∂2_w ∂x2 + w = cos t sin x, 0 ≤ t ≤ 1, 0 < x < π, i∂w ∂t − ∂2_w

∂x2 + w = (2 cos t − i sin t) sin x, −1 < t < 0, 0 < x < π,

w(1, x) = 1 2w(−1, x) + 1 2cos 1 sin x, 0 ≤ x ≤ π, w(t, 0) = w(t, π) = 0, −1 ≤ t ≤ 1 (1.3) dir. ¨

Oncelikle, (1.2) probleminin ¸cözümünü elde edece˘giz. 0 ≤ t ≤ 1 olsun. De˘gi¸skenlerine ayırma yöntemi ile,

v(t, x) = T (t)X(x) 6= 0 ve T00(t) + T (t) T (t) − X00(x) X(x) = 0

elde ederiz. Buradan,

T00(t) + T (t) T (t) = X00(x) X(x) = −k 2 _{= λ} yazılır. ¨Oyleyse, √ −λ = kπ L = kπ π = k ve X00(x) + k2X(x) = 0 olur. Yani, Xk(x) = sin kx

¸seklinde bulunur. S¸imdi, T (t) ifadesini elde etmek i¸cin, T00(t) + T (t) = −k2T (t) ya da

(13)

yazabiliriz. Buna g¨ore, Tk(t) = Aksin √ 1 + k2_{t + B} kcos √ 1 + k2_t

olarak buluruz. B¨oylece,

v(t, x) = T (t)X(x) = ∞ X k=1 Aksin √ 1 + k2_{t + B} kcos √ 1 + k2_t_{sin kx} olur.

S¸imdi, −1 ≤ t ≤ 0 durumu incelenecektir. Benzer ¸sekilde de˘gi¸skenlerin ayrılması y¨ontemini kullanarak

v(t, x) = T (t)X(x) 6= 0 ifadesini ve T0(t) + T (t) T (t) − X00(x) X(x) = −k 2 = λ e¸sitli˘gini elde ederiz. Bu y¨uzden,

X00(x) + k2X(x) = 0 veya

Xk(x) = sin kx

olarak yazılır. S¸imdi de,

T0(t) − i(1 + k2)T (t) = 0 denklemini yazalım. B¨oylece,

Tk(t) = Ckei(1+k

2_)t

olarak elde edilir. Dolayısıyla,

v(t, x) = ∞ X k=1 Ckei(1+k 2_)t sin kx

¸cözümü bulunmu¸s olur.

Lokal olmayan sınır ko¸sulu ve s¨ureklilik ko¸sulları,              v(1, x) = 1 2v(−1, x), v(0+, x) = v(0−, x), v0(0+_{, x) = v}0₍₀−_{, x),}

bir arada kullanılarak

Ak = Bk = Ck= 0

(14)

Daha sonra, (1.3) ifadesinin ¸cözümü bulunacaktır. Öncelikle, 0 ≤ t ≤ 1 durumunu inceleyelim. w(t, x) = ∞ X k=1 Dk(t) sin kx olsun. Ardından, wtt− wxx+ w = ∞ X k=1

D00_k(t) + (1 + k2)Dk(t) sin kx = cos t sin x

yazılabilir. Bu da,

D00

1(t) + 2D1(t) = cos t e˘ger k = 1 ise,

D_k00(t) + (1 + k2_)D

k(t) = 0 e˘ger k 6= 1 ise

oldu˘gunun g¨ostergesidir. Bu sebeple, Dk(t) = c1sin √ 1 + k2_{t + c} 2cos √ 1 + k2_t

elde edilecektir. Sonrasında, −1 ≤ t ≤ 0 durumunu göz önüne alalım. Benzer olarak, w(t, x) = ∞ X k=1 Ek(t) sin kx olur. Ardından, iwt− wxx+ w = ∞ X k=1

iE_k0(t) + (1 + k2)Ek(t) sin kx = (2 cos t − i sin t) sin x

yazabiliriz. Bu da, iE0

1(t) + 2E1(t) = 2 cos t − i sin t e˘ger k = 1 ise,

iE_k0(t) + (1 + k2_)E

k(t) = 0 e˘ger k 6= 1 ise

oldu˘gu anlamına gelecektir. Bu durumda,

Ek(t) = c3ei(1+k

2₎_t

elde edilecektir. Lokal olmayan sınır ko¸sulu ve s¨ureklilik ko¸sulları              Dk(1) = 1

2Ek(−1) e˘ger k 6= 1 ise, Dk(0) = Ek(0) , ∀k

D0_k(0) = E_k0(0), ∀k

birlikte kullanılırsa, c1 = c2 = c3 = 0 elde edilir. Bu nedenle, t¨um k 6= 1 i¸cin Dk(t) ≡

Ek(t) ≡ 0 olur.

E˘ger k = 1 olursa,

(15)

denklemi ortaya ¸cıkacaktır. Dolayısıyla, D1(t) ifadesi D1(t) = n1sin √ 2t + n2cos √ 2t + cos t ¸seklindedir. B¨oylece, w (t, x) =n1sin √ 2t + n2cos √ 2t + cos tsin x olur. Benzer ¸sekilde k = 1 olursa,

E₁0 (t) + 2E1(t) = 2 cos t − i sin t

yazılır. O halde, E1(t) form¨ul¨u

E1(t) = e−2it(n3− 1) + cos t

bi¸ciminde olacaktır. B¨oylece,

w (t, x) =e−2it(n3− 1) + cos t sin x

yazılır. Lokal olmayan sınır ko¸sulu ve s¨ureklilik ko¸sulları              D1(1) = 1 2(cos 1 + E1(−1)) , D1(0) = E1(0) , D0₁(0) = E₁0(0)

kullanılarak n1 = n2 = 0 ve n3 = 1 bulunur. Bu y¨uzden,

w (t, x) = cos t sin x olacaktır. Dolayısıyla,

u (t, x) = v (t, x) + w (t, x) = cos t sin x ifadesi (1.1) probleminin tam ¸cözümüdür.

Benzer ¸sekilde a¸sa˘gıdaki                                                        ∂2_{u(t, x)} ∂t2 − n X r=1 αr ∂2_{u(t, x)} ∂x2 r = f (t, x), x = (x1, · · · , xn) ∈ Ω, 0 ≤ t ≤ T, i∂u(t, x) ∂t − n X r=1 αr ∂2u(t, x) ∂x2 r = g(t, x), x = (x1, . . . , xn) ∈ Ω, −T ≤ t ≤ 0, ut(0+, x) = ut(0−, x), x ∈ Ω, u(−T, x) = u (T, x) + ϕ(x), x ∈ Ω, u(t, x) = 0, x ∈ S

(16)

¸cok boyutlu hiperbolik-Schrödinger denklemleri i¸cin lokal olmayan sınır-de˘ger prob-leminin ¸cözümü elde edilebilir. Burada, αr > 0 ve f (t, x) (t ∈ [0, T ] , x ∈ Ω),

g(t, x) (t ∈ [−T, 0] , x ∈ Ω), ϕ(x), ψ(x) (x ∈ Ω) verilmi¸s d¨uzg¨un (smooth) fonksiy-onlardır. Ayrıca Ω, Rn _{n-boyutlu ¨}_{Oklit uzayında S ve Ω = Ω ∪ S sınırı ile birim a¸cık}

k¨up olup,

(x : x = (x1, · · · , xn) , 0 < xk < 1, 1 ≤ k ≤ n)

dir.

Ancak, de˘gi¸skenlerine ayırma yöntemi yalnızca sabit katsayılı denklemlerin ¸cözümünde kullanılabilmektedir. Oysa ki fark ¸semaları yöntemi katsayıların sabit olmadı˘gı durum-larda da kullanılabilen ¸cok kullanı¸slı bir yöntemdir.

˙Ikinci olarak, hiperbolik-Schr¨odinger denklemi i¸cin                              utt− uxx+ u = − [(1 − x) e−x] cos t, 0 ≤ t ≤ 1, 0 < x < ∞,

iut− uxx+ u = −i [1 − (1 + x)e−x] sin t

+(1 − 2e−x) cos t, −1 ≤ t ≤ 0, 0 < x < ∞, u (1, x) = 1 2u (−1, x) + 1 2[1 − (1 + x) e −x_{] cos 1, 0 ≤ x < ∞,} u (t, 0) = ux(t, 0) = 0, −1 ≤ t ≤ 1 (1.4)

problemini ele alalım. (1.4) problemi Laplace dönü¸sümü yöntemi (x’e göre) ile ¸cözülebilir. ¨

Oncelikle, 0 ≤ t ≤ 1 aralı˘gını göz önüne alalım. Diferansiyel denklemin her iki tarafının Laplace Dönü¸sümünü alalım. Bu durumda,

L {utt} − L {uxx} + L {u} = − cos tL(1 − x) e−x veya (L {u (t, x)})_tt− s2L {u (t, x)} + su (t, 0) + ux(t, 0) + L {u (t, x)} = − cos t s (s + 1)2 olacaktır. Burada, L {u (t, x)} = u (t, s) olarak g¨osterelim. B¨oylece denklem,

utt(t, s) − s2u (t, s) + u (t, s) = − cos t s (s + 1)2 veya utt(t, s) + 1 − s2 u (t, s) = − cos t s (s + 1)2

haline gelir. Bu denklemin tamamlayıcı ¸cözümü uc(t, s) = c1e √ s2_−1t + c2e− √ s2_−1t

(17)

dir. Kısmi ¸c¨oz¨um i¸cin ise,

up(t, s) =

cos t s (s + 1)2 yazılacaktır. Buna g¨ore,

u (t, s) = c1e √ s2_−1t + c2e− √ s2_−1t + cos t s (s + 1)2 olarak elde edilir.

S¸imdi, −1 ≤ t ≤ 0 durumunu göz önüne alalım. Buna göre,

iut− uxx+ u = −i1 − (1 + x)e−x sin t + (1 − 2e−x) cos t

dir. Diferansiyal denklemin her iki tarafının Laplace dönü¸sümü alınırsa,

iL {ut} − L {uxx} + L {u} = −i sin tL1 − (1 + x) e−x + cos tL 1 − 2e−x

elde edilir. O halde,

iut(t, s) − s2u (t, s) + u (t, s) = −i sin t 1 s (s + 1)2 − cos t s − 1 s (s + 1) veya iut(t, s) + 1 − s2 u (t, s) = −i sin t 1 s (s + 1)2 − cos t s − 1 s (s + 1)

yazılır. Bu diferansiyel denklemin tamamlayıcı ¸cözümü uc(t, s) = c3ei(1−s

2₎_t dir. Kısmi ¸c¨oz¨um i¸cin ise

up(t, s) =

cos t s (s + 1)2 yazılır. Böylece denklemin genel ¸cözümü,

u (t, s) = c3ei(1−s

2₎_t

+ cos t

s (s + 1)2

dir. Lokal olmayan sınır ko¸sulu ve s¨ureklilik ko¸sulları kullanılarak, u (t, s) = cos t

s (s + 1)2

¸cözümü elde edilir. Son olarak, ters Laplace dönü¸sümü uygulanırsa, verilen (1.4) lokal olmayan sınır-de˘ger probleminin ¸cözümü

u (t, x) = L−1{u (t, s)} = cos tL−1 1 s (s + 1)2 ya da u (t, x) = 1 − (1 + x) e−x cos t

(18)

olarak bulunur.

Benzer ¸sekilde a¸sa˘gıdaki                                                        ∂2u(t, x) ∂t2 − n X r=1 αr ∂2u(t, x) ∂x2 r = f (t, x), x = (x1, · · · , xn) ∈ Ω + , 0 ≤ t ≤ T, i∂u(t, x) ∂t − n X r=1 αr ∂2_{u(t, x)} ∂x2 r = g(t, x), x = (x1, · · · , xn) ∈ Ω + , −T ≤ t ≤ 0, u(−T, x) = u(T, x) + ϕ(x), ut(0+, x) = ut(0−, x) + ϕ(x), x ∈ Ω + , u(t, x) = 0, x ∈ S+

¸cok boyutlu hiperbolik-Schrödinger denklemleri i¸cin lokal olmayan sınır de˘ger prob-leminin ¸cözümü elde edilebilir. Burada, αr > 0 ve f (t, x)

t ∈ [0, T ] , x ∈ Ω+, g (t, x) t ∈ [−T, 0] , x ∈ Ω+, ϕ (x) , ψ (x)x ∈ Ω+verilmi¸s d¨uzg¨un fonksiyonlardır. Ayrıca Ω+_{, R}n_{n-boyutlu ¨}_{Oklit uzayında S ve Ω = Ω ∪ S ile sınırlı a¸cık birim k¨}_{up olup,}

(x : x = (x1, · · · , xn) , 0 < xk < 1, 1 ≤ k ≤ n)

dir.

Ancak, Laplace dönü¸süm yöntemi yalnızca sabit katsayılı denklemlerin ¸cözümünde kullanılabilmektedir. Oysa ki fark ¸semaları yöntemi katsayıların sabit olmadı˘gı durum-larda da kullanılabilen ¸cok kullanı¸slı bir yöntemdir.

Son olarak, Fourier dönü¸sümü yöntemi ile ¸cözülecek olan              utt− uxx+ u = (2 − 4x2) e−x 2 cos t, 0 ≤ t ≤ 1, −∞ < x < ∞, iut− uxx+ u = −i sin te−x 2 + (3 − 4x2_{) e}−x2 cos t, −1 ≤ t ≤ 0, −∞ < x < ∞, u (1, x) = 1 2u (−1, x) + 1 2e −x2 cos 1, −∞ < x < ∞ (1.5) bir karma tipli lokal olmayan sınır-de˘ger problemini ele alalım.

¨

Oncelikle, 0 ≤ t ≤ 1 aralı˘gındaki ¸cözümü bulalım. Her iki tarafın Fourier dönü¸sümü alınırsa F {utt} − F {uxx} + F {u} = F n 2 − 4x2 e−x2 o cos t e¸sitli˘gi elde edilecektir. Burada,

(19)

g¨osterimini kullanalım. B¨oylece denklem,

utt(t, s) + 1 + s2 u (t, s) = s2F

n

e−x2ocos t ¸seklinde yazılır. Buna göre, tamamlayıcı ¸cözüm

uc(t, s) = c1cos √ s2_{+ 1t + c} 2sin √ s2_{+ 1t}

dir. Kısmi ¸c¨oz¨um i¸cin ise

up(t, s) = A cos t + B sin t

yazılır. up(t, s) nin t¨urevleri alınarak denklemde yerine yazılırsa,

−A cos t − B sin t + 1 + s2 (A cos t + B sin t) = s2

F n e−x2 o cos t veya A = F ne−x2o ve B = 0 elde edilecektir. Bu y¨uzden,

up(t, s) = F n e−x2ocos t olacaktır. Dolayısıyla, u (t, s) = c1cos √ s2 _{+ 1t + c} 2sin √ s2_{+ 1t + F} n_e−x2o_{cos t} bi¸ciminde bulunur.

S¸imdi, −1 ≤ t ≤ 0 aralı˘gını göz önüne alalım. Her iki tarafın Fourier dönü¸sümü alınırsa, iF {ut} − F {uxx} + F {u} = −iF n e−x2osin t +hF ne−x2o+ Fn 2 − 4x2 e−x2oicos t ya da iut(t, s) + 1 + s2 u (t, s) = −iF n e−x2osin t + 1 + s2 Fne−x2ocos t veya ut(t, s) − i + is2 u (t, s) = −F n e−x2osin t − i + is2 Fne−x2ocos t elde edilir. Öyleyse, tamamlayıcı ¸cözüm

uc(t, s) = c3ei(1+s

2₎_t olacaktır. Kısmi ¸c¨oz¨um ise

(20)

¸seklinde olmalıdır. Buradan,

−D sin t+E cos t− i + is2_{(D cos t + E sin t) = − sin tF}n_e−x2o

− i + is2_{cos tF}n_e−x2o yazılarak,

D = F ne−x2o ve E = 0 elde edilir. Buna g¨ore,

up(t, s) = F n e−x2ocos t dir. O halde, u (t, s) = c3ei(1+s 2₎_t + F ne−x2ocos t dir. Lokal olmayan sınır ko¸sulu ve s¨ureklilik ko¸sulları kullanılırsa,

( u (0+_{, s) = c} 1+ F n e−x2o, ut(0+, s) = c2 √ s2_{+ 1,} ( u (0−, s) = c3+ F n e−x2o, ut(0−, s) = i (1 + s2) c3, u (1, s) = 1 2u (−1, s) + 1 2F n e−x2ocos t c1 = c2 = c3 = 0 elde edilir. B¨oylece,

u (t, s) = F ne−x2ocos t

olur. Son olarak, ters Fourier dönü¸sümü uygulanırsa, (1.5) lokal olmayan sınır-de˘ger probleminin tam ¸cözümü

u (t, x) = e−x2cos t elde edilir.

Benzer ¸sekilde a¸sa˘gıdaki                                                ∂2u ∂t2 − X |r|=2m ar ∂|τ |u ∂xr1 1 · · · ∂xrnn = f (t, x), 0 ≤ t ≤ T, x, r ∈ Rn_{, |r| = r} 1+ · · · + rn, i∂u ∂t − X |r|=2m ar ∂|τ |u ∂xr1 1 · · · ∂xrnn = f (t, x), −T ≤ t ≤ 0, x, r ∈ Rn_{, |r| = r} 1+ · · · + rn, u(−T, x) = u (T, x) + ϕ(x), x ∈ Rn, ut(0+, x) = ut(0−, x), x ∈ Rn

(21)

¸cok boyutlu hiperbolik-Schrödinger denklemleri i¸cin lokal olmayan sınır de˘ger prob-leminin ¸cözümü elde edilebilir. Burada αr, f (t, x) (t ∈ [0, T ] , x ∈ Rn), g(t, x) (t ∈

[−T, 0] , x ∈ Rn), ϕ(x), ψ(x) (x ∈ Rn) verilmi¸s d¨uzg¨un fonksiyonlardır.

Ancak, Fourier dönü¸süm yöntemi yalnızca sabit katsayılı denklemlerin ¸cözümünde kullanılabilmektedir. Oysa ki fark ¸semaları yöntemi katsayıların sabit olmadı˘gı durum-larda da kullanılabilen ¸cok kullanı¸slı bir yöntemdir.

Bu ¸calı¸smada bir H Hilbert uzayında verilen fark denklemlerinin, öz-e¸slenik pozitif tanımlı A operatörlü lokal olmayan sınır-de˘ger problemi

                 d2_u(t) dt2 + Au(t) = f (t) (0 ≤ t ≤ 1) , idu(t) dt + Au(t) = g(t) (−1 ≤ t ≤ 0) , Au(−1) = αu (µ) + ϕ, 0 < µ ≤ 1

ele alınmı¸stır. Operatör yakla¸sımı uygulanarak bu lokal olmayan sınır-de˘ger problemi-nin ¸cözümü i¸cin kararlılık kestirimleri elde edilmi¸stir. Uygulamalarda bu soyut sonu¸clar, hiperbolik-Schrödinger denklemleri i¸cin fark ¸semalarının kararlılık kestirimlerini elde edilmesini sa˘glamı¸stır. Bu sonu¸c lokal olmayan sınır ko¸sulları tarafından olu¸sturulan fark operatörünün pozitifli˘gine dayanmaktadır. Bu fark ¸semalarının ¸cözümü i¸cin yapılan teorik sonu¸cların do˘grulu˘gu, sayısal denemelerle de desteklenmi¸stir.

¨

Oncelikle, be¸s bölümden olu¸san bu ¸calı¸smanın i¸ceri˘gini tarif edelim. Birinci Bölüm giri¸s kısmıdır.

˙Ikinci Bölüm Ç alı¸smamızda ihtiya¸c duyulan bazı temel tanım ve kavramları i¸cermektedir. ¨

U¸cüncü Bölüm ü¸c kısımdan olu¸smaktadır. Bu alanda yapılan ara¸stırmalar hakkında kısa bir inceleme, hiperbolik-Schrodinger denklemleri i¸cin lokal olmayan sınır-de˘ger problemlerinin kararlılıkları hakkındaki temel teoremin ispatı ve bu soyut sonu¸cların uygulamalar yardımıyla, hiperbolik-Schrodinger denklemleri i¸cin fark ¸semalarının kararlılık kestirimlerini elde edilmesini sa˘glaması birinci kısımda ver-ilmi¸stir. ˙Ikinci kısımda bir H Hilbert uzayında öz-e¸slenik pozitif tanımlı A op-eratörlü hiperbolik-Schrodinger denklemi i¸cin lokal olmayan sınır-de˘ger problem-ini yakla¸sık olarak ¸cözen, birinci ve ikinci basamaktan do˘gruluklu kararlı fark ¸semaları sunulmaktadır. Ayrıca, hiperbolik-Schrodinger denklemi i¸cin karma tipli sınır-de˘ger problemlerinin ¸cözümlerinin kararlılık kestirimleri elde edilmi¸stir. Ü¸cüncü kısımda ise sayısal analizler bulunmaktadır.

Dördüncü Bölüm Bu bölümde hata analizi yapılırken kullanılan formüller, hiperbolik-Schrödinger denklemi i¸cin lokal olmayan sınır-dee˘ger probleminin tam ¸cözümünün ve fark ¸semaları yöntemiyle birinci ve ikinci basamaktan do˘gruluklu fark ¸semaları yardımıyla elde edilen yakla¸sık ¸cözümlerinin grafikleri bulunmaktadır. Bu bölüm ayrıca, birinci ve ikinci basamaktan fark ¸semaları kullanılarak yazılan matlab programı sonrasında elde edilen verilerin kar¸sıla¸stırıldı˘gı tabloları i¸cermektedir. Be¸sinci bölüm sonu¸c ve öneriler kısmıdır.

(22)

2 KURAMSAL KAVRAMLAR

Bu b¨ol¨umde Hilbert uzayı teorisinin se¸cilmi¸s elementer kavramlar ve ¸calı¸smamızda kul-lanaca˘gımız bazı temel tanımlar verilecektir (bkz: [Soykan, Y., 2012] ve [Kızıltun¸c, H., 2007] ).

2.1 Hilbert Uzayının Elemanları

Tanım 2.1. Bir M k¨umesi ¨uzerinde tanımlı bir metrik ∀x, y, z ∈ M i¸cin (a) d (x, y) ≥ 0;

(b) d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (c) d (x, y) = d (y, x)

(d) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (¨u¸cgen e¸sitsizli˘gi) ¨

ozelliklerini sa˘_{glayan bir d : M × M → R fonksiyonudur.}

E˘ger d, M ¨uzerinde bir metrik ise o zaman (M, d) ¸ciftine bir metrik uzay denir. ¨

Ornek 2.1. Herhangi bir k ≥ 1 tamsayısı i¸cin,

d (x, y) = k X j=1 |xj − yj| 2 !1/2

ile tanımlı d : Fk_×Fk _{→ R fonksiyonu F}k _¨_{uzerinde bir metriktir. Bu metrik F}k _uzerinde_¨

standart metrik olarak adlandırılır.

Tanım 2.2. X = (X, d) bir metrik uzay ve {xn} bu uzayda bir dizi olsun. Her ε > 0

i¸cin m, n > n0 oldu˘gunda, d (xm, xn) < ε olacak ¸sekilde bir n0 = n0(ε) sayısı varsa,

{xn} dizisine Cauchy dizisi denir.

Tanım 2.3. X = (X, d) bir metrik uzay olsun. X’deki her {xn} Cauchy dizisi yakınsaksa

yani, xn→ x ∈ X ise, (X, d) metrik uzayına tam metrik uzay denir.

Tanım 2.4. L bo¸s olmayan bir k¨ume ve F bir cisim olsun. + : L × L → L ve · : F × L → L i¸slemleri tanımlansın. E˘ger a¸sa˘gıdaki ¸sartlar sa˘glanıyorsa L’ye F cismi ¨

uzerinde lineer uzay (vekt¨or uzayı) denir:

A)L, + i¸slemine g¨ore de˘gi¸smeli bir gruptur. Yani, G1. Her x, y ∈ L i¸cin x + y ∈ L dir,

G2. Her x, y, z, ∈ L i¸cin x+(y + z) = (x + y) + z dir,

G3. Her x ∈ L i¸cin x + θ = θ + x = x olacak ¸sekilde θ ∈ L vardır,

G4. Her x ∈ L i¸cin x + (−x) = (−x) + x = olacak ¸sekilde −x ∈ L vardır, G5. Her x, y ∈ L i¸cin x + y = y + x dir.

(23)

L1. a · x ∈ L dir,

L2. a · (x + y) = a · x + a · y dir, L3. (α + β) · x = α · x + β · x dir, L4. (αβ) · x = α · (βx) dir,

L5. θ · x = x dir (Burada θ, F nin birim elemanıdır).

F = R ise L ye reel lineer uzay, F = C ise L ye kompleks lineer uzay denir. Tanım 2.5. N bir lineer uzay olsun. k·k : N → R fonksiyonunun x’deki de˘gerini kxk ile g¨osterelim. Bu fonksiyon i¸cin,

N1. kxk = 0 ⇔ x = 0 N2. kaxk = |a| kxk (a ∈ F ) N3. kx + yk ≤ kxk + kyk

¸sartları sa˘glanıyorsa k·k fonksiyonuna N ¨uzerinde norm, (N, k·k) ikilisine de normlu uzay adı verilir.

Tanım 2.6. L, F cismi ¨uzerinde bir lineer uzay olmak ¨uzere h·i : L×L → F fonksiyonu I1. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi

I2. hax, yi = a hx, yi (a ∈ F ) I3. hx, yi = hy, xi

I4. hx, xi ≥ 0 ve hx, xi = 0 ⇔ x = 0

¸sartları sa˘glanıyorsa h·i fonksiyonuna i¸c ¸carpım fonksiyonu denir.

Tanım 2.7. X bir i¸c ¸carpım uzayı ve k·k, i¸c ¸carpım normu olsun. d (x, y) = kx − yk = phx − y, x − yi olarak tanımlansın. Bu durumda (X, d) bir metrik uzay olur. X i¸c ¸

carpım uzayı, i¸c ¸carpımın normuyla tanımlanan bu d metri˘gine g¨ore tam ise X’e Hilbert uzayı denir.

N ve N0 normlu uzay ve A : N → N0 bir lineer operat¨or olmak ¨uzere ∀x ∈ N i¸cin, kAxk ≤ M kxk

olacak bi¸cimde bir M ≥ 0 reel sayısı varsa A’ya sınırlı lineer operat¨or adı verilir. Burada, kAk = inf M

(24)

3 MATERYAL ve Y ¨

ONTEM

Bu bölümde sırasıyla operatör yakla¸sımı ve sonlu fark yöntemleri kullanılmı¸stır. Ayrıca nümerik denemelerde iyile¸stirilmi¸s-Gauss yok etme yöntemi kullanılmı¸stır.

3.1 H˙IPERBOL˙IK-SCHRODINGER DENKLEMLER˙I ˙IC

¸ ˙IN

LOKAL OLMAYAN SINIR-DE ˘

GER PROBLEMLER˙I

¨

Onc¨uller ve Motivasyon

H Hilbert uzayında kendine e¸s pozitif tanımlı bir A operat¨or¨u ile                  d2_{u (t)} dt2 + Au (t) = f (t) (0 ≤ t ≤ 1) , idu (t) dt + Au (t) = g (t) (−1 ≤ t ≤ 0) , Au (−1) = αu (µ) + ϕ, 0 < µ ≤ 1 (3.1)

yukarıdaki lokal olmayan sınır de˘ger problemini ele alalım.

Bir¸cok hiperbolik-Schrodinger denkleminin lokal olmayan sınır-de˘ger problemi (3.1) problemine indirgenebildi˘gi bilinmektedir.

E˘ger a¸sa˘gıdaki ¸sartlar sa˘glanırsa u (t) fonksiyonu (3.1) probleminin ¸cözümüdür: i. u (t) fonksiyonu (0, 1] aralı˘gında iki kez türevlenebilir sürekli ve [−1, 1] arasında sürekli türevlenebilir olmalıdır. Aralı˘gın u¸c noktalarında türev tek taraflı türev manasındadır.

ii. u (t) , her t ∈ [−1, 1] i¸cin D (A)’nin elemanıdır ve Au (t) [−1, 1] aralı˘gında s¨ureklidir.

iii. u (t) (3.1) probleminin denklemlerini ve lokal olmayan ko¸sula uygundur.

Buradaki amacımız (3.1) probleminin kararlılı˘gını incelemektir. Bu kısımda (3.1) probleminin ¸cözümünün kararlılık kestirimleri elde edilecektir. Uygulamalarda karma tipli hiperbolik-Schrödinger denklemlerinin ¸cözümleri i¸cin kararlılık kestirimleri elde edilmi¸stir.

Son olarak bilinmelidir ki hiperbolik-Schr¨odinger denklemleri fizik ve m¨uhendislikte ¨

onemli bir rol oynamaktadır (Bkz, ¨orne˘gin, [Zheng, Z. ve Xuegang, Y., 2004], [Oblomkov, A. A. ve Penskoi, A. V., 2005], [Avila, A. ve Krikorian, R., 2006], [Kozlowski, K. ve Kozlowska, J. M., 2010], ve ayrıntılı bilgiler kaynaklar kısmında verilmi¸stir.)

Ayrıca, ba¸slangı¸c de˘ger problemlerinin nümerik ¸cözümlerinin ve Schrödinger den-kleminin son on yıl i¸cerisinde kapsamlı bir ara¸stırma faaliyeti konusu oldu˘gu bilinmekte-dir (Bkz, örne˘gin[Tselios, K. ve Simos, T. E., 2005], [Sakas, D. P. ve Simos, T. E., 2005], [Psihosiyos, G. ve Simos, T. E., 2005], [Anastassi, Z. A. ve Simos, T. E., 2005], [Simos,

(25)

T. E., 2009], [Stavroyiannis, S. ve Simos, T. E., 2009] ve ayrıntılı bilgiler kaynaklar kısmında verilmi¸stir.)

Temel Teorem

Teorem 3.1. ϕ ∈ D(A1/2_{), g (0) ∈ D(A}1/2_{), g}0_{(0) ∈ D(A}1/2_{) ve f (0) ∈ H oldu˘}_gunu

varsayalım. f (t), [0, 1] aralı˘gında sürekli türevlenebilir ve g (t), [−1, 0] aralı˘gında iki kez türevenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (3.1) probleminin tek bir ¸cözümü vardır ve a¸sa˘gıdaki kararlılık e¸sitsizlikleri sa˘glanır.

max −1≤t≤1ku (t)kH ≤ M A−1/2ϕ H + A−1/2g (0) H (3.2) + max −1≤t≤0 A−1g0(t) H + max_0≤t≤1 A−1/2f (t) H , max −1≤t≤1 du (t) dt H + max −1≤t≤1 A1/2u (t) H ≤ M [kϕkH (3.3) + kg (0)k_H + max −1≤t≤0 A−1/2g0(t) H + max_0≤t≤1kf (t)kH , max −1≤t≤0 du (t) dt H + max 0≤t≤1 d2_{u (t)} dt2 H + max −1≤t≤1kAu (t)kH (3.4) ≤ M A1/2ϕ H + A1/2g (0) H + kg 0 (0)k_H + max −1≤t≤0kg 00 (t)k_H + A1/2f (0) H + max_0≤t≤1 A1/2f0(t) H . Burada M , f (t), t ∈ [0, 1], g(t), t ∈ [−1, 0] ve ϕ ifadelerinden ba˘gımsızdır.

˙Ispat: (3.1) probleminin ¸cözümü i¸cin formül elde edece˘giz. Bilindi˘gi gibi ba¸slangı¸c de˘ger problemlerinin

     d2_{u (t)} dt2 + Au (t) = f (t) (0 ≤ t ≤ 1), u (0) = u0, u0(0) = u00, (3.5)      idu (t) dt + Au (t) = g (t) (−1 ≤ t ≤ 0), u (−1) = u−1 (3.6)

tek ¸cözümü vardır ve dolayısıyla,

u (t) = c (t) u (0) + s (t) u0(0) +

t

Z

0

(26)

form¨ul¨u sa˘glanır. Burada, c (t) = e itA1/2 + e−itA1/2 2 , s (t) = A −1/2eitA 1/2 − e−itA1/2 2i ,

kosinüs ve sinüs operatör fonksiyonları ve

u (t) = ei(t+1)Au−1− i t

Z

−1

ei(t−y)Ag (y) dy, −1 ≤ t ≤ 0, (3.8)

olur. (3.7), (3.8) form¨ulleri ve (3.1) denklemi kullanılarak a¸sa˘gıdaki e¸sitli˘gi yazabiliriz,

u (t) = [c (t) + iAs (t)]    eiAu−1− i 0 Z −1 e −iyAg (y) dy    (3.9) −is (t) g (0) + t Z 0 s (t − y) f (y) dy. S¸imdi, lokal olmayan sınır ko¸sulu kullanılırsa,

Au (−1) = αu (µ) + ϕ operat¨or denklemi I − α A−1_{c (µ) + is (µ) e}iA_u −1 (3.10) = α    −iA−1c (µ) 0 Z −1 e−iyAg (y) dy −s (µ)  iA−1g (0) + 0 Z −1 e−iyAg (y) dy   +A−1 µ Z 0 s (µ − y) f (y) dy    + A−1ϕ, elde edilir. Burada,

|α| < √ δ 1 + δ, olsun. Bu durumda,

I − αA−1c (µ) + is (µ) eiA ¸seklindedir. Bu operat¨or¨un tersi

T = I − αA−1c (µ) + is (µ) eiA−1 olmak ¨uzere mevcuttur ve a¸sa˘gıdaki e¸sitsizli˘gi sa˘glar:

(27)

Bu kestirimin ispatı a¸sa˘gıdaki kestirime ba˘glıdır:

−αA−1_{c (µ) + is (µ) e}iA

H→H < 1.

Kosinüs ve sinüs operatör fonksiyonlarının tanımları kullanılarak, A ≥ δI, δ > 0 ve A = A∗, −αA−1_{c (µ) is (µ) e}iA H→H ≤ sup δ≤ρ<∞ −α 1 ρcos ( √ ρµ) + √i ρsin ( √ ρµ) eiρ ≤ sup δ≤ρ<∞ |α| 1 ρcos ( √ ρµ) + √i ρsin ( √ ρµ) eiρ ≤ |α| sup δ≤ρ<∞ r 1 ρ2 cos 2₍√_{ρµ) +} 1 ρsin 2₍√_ρµ) ≤ |α| √ 1 + ρ ρ .

elde edilir. Di˘ger taraftan, _√ 1 + ρ ρ ≤ √ 1 + δ δ , oldu˘gundan, −αA−1_{c (µ) + is (µ) e}iA H→H < δ √ 1 + δ · √ 1 + δ δ = 1.

Dolayısıyla, (3.11) kestirimi elde edilir. Böylece operatör denkleminin (3.10) ¸cözümü i¸cin u−1 = T  α    −iA−1c (µ) 0 Z −1 e−iyAg (y) dy (3.12) −s (µ)  iA−1g (0) + 0 Z −1 e−iyAg (y) dy   +A−1 µ Z 0 s (µ − y) f (y) dy    + A−1ϕ  

denklemi yazılır. Sonu¸c olarak, (3.1) lokal olmayan sınır-de˘ger probleminin ¸cözümü i¸cin (3.8), (3.9) ve (3.12) denklemlerini elde ederiz.

S¸imdi, (3.1) lokal olmayan sınır-de˘ger probleminin ¸cözümü i¸cin (3.2), (3.3) ve (3.4) kestirimleri ispat edilecektir. A operatörünün simetri özelli˘ginden yararlanılarak,

kc (t)k_H→H ≤ 1, A1/2s (t) H→H ≤ 1, t ≥ 0, (3.13) e±itA H→H ≤ 1, t ≥ 0 (3.14)

(28)

yazılabilece˘gi a¸cıktır. Öncelikle (3.2) kestirimi elde edilecektir. (3.12) formülü ve kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak

u−1 = T α −A−2c (µ) g (0) − eiAg (−1) − Z 0 −1 e−iyAg0(y) dy (3.15) −iA−1_{s (µ)} eiAg (−1) + Z 0 −1 e−iyAg0(y) dy +A−1 Z µ 0 s (µ − y) f (y) dy + A−1ϕ

denklemini elde ederiz. (3.11), (3.13) ve (3.14) kestirimlerini kullanarak ku−1k_H ≤ kT k_H→H |α| A−1 H→Hkc (µ)kH→H A−1g (0) H + eiA H→H A−1g (0) H + A−1[g (−1) − g(0)] H + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1g0(y) H dy + |i| A1/2s (µ) H→H A−1/2 H→H eiA H→H × A−1g (0) H + A−1[g (−1) − g(0)] H + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1g0(y) Hdy + A−1/2 H→H × Z µ 0 A1/2s (µ − y) H→H A−1f (y) Hdy + A−1/2 H→H A−1/2ϕ H ≤ M A−1/2ϕ H + A−1g(0) H + max −1≤t≤0 A−1g0(t) _H + max 0≤t≤1 A−1f (t) _H (3.16) e¸sitsizli˘gi yazılır. (3.15) form¨ul¨une A1/2 _uygulanırsa

A1/2u−1 = T α −A−3/2c (µ) g (0) − eiAg (−1) − Z 0 −1 e−iyAg0(y) dy (3.17) −iA−1/2s (µ) eiAg (−1) + Z 0 −1 e−iyAg0(y) dy +A−1/2 Z µ 0 s (µ − y) f (y) dy + A−1/2ϕ

denklemi bulunur. (3.17) form¨ul¨u ve (3.11), (3.13), (3.14) kestirimleri kullanılarak, A1/2u−1 H ≤ kT kH→H |α|kc (µ)kH→H A−1 H→H A−1/2g (0) H + eiA _H→H A−1/2g (0) _H + A−1/2[g (−1) − g(0)] _H

(29)

+ Z 0 −1 e−iyA H→H A−1/2g0(y) Hdy + |i| A1/2s (µ) H→H A−1/2 H→H × eiA H→H A−1/2g (0) H + A−1/2[g (−1) − g(0)] H + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1/2g0(y) Hdy + A−1/2 H→H Z µ 0 A1/2s (µ − y) H→H A−1/2f (y) Hdy + A−1/2ϕ H ≤ M kϕkH + A−1/2g(0) H + max −1≤t≤0 A−1/2g0(t) H + max_0≤t≤1 A−1/2f (t) H (3.18) kestirimi elde edilir. (3.8), (3.9) form¨ulleri ve kısmi integrasyon y¨ontemi kullanılarak,

u (t) = ei(t+1)Au−1− A−1 g (t) − ei(t+1)Ag (−1) − Z t −1 ei(t−y)Ag0(y) dy , −1 ≤ t ≤ 0, (3.19) u (t) = c (t) eiAu−1− A−1 g (0) − eiAg (−1) − Z 0 −1 e−iyAg0(y) dy (3.20) −iAs (t) eiAu−1− A−1 g (0) − eiAg (−1) − Z 0 −1 e−iyAg0(y) dy −is (t) g (0) + Z t 0 s (t − y) f (y) dy, 0 ≤ t ≤ 1 e¸sitli˘gi yazılır. (3.13) ve (3.14) kestirimleri kullanılarak,

ku (t)k_H ≤ ei(t+1)A H→Hku−1kH + A−1g (0) H + ei(t+1)A H→H × A−1g (0) H + A−1[g (t) − g (0)] H + ei(t+1)A H→H A−1[g (−1) − g (0)] H + Z t −1 ei(t−y)A H→H A−1g0(y) Hdy ≤ M ku−1k_H + A−1g(0) H + max_−1≤t≤0 A−1g0(t) H , −1 ≤ t ≤ 0 (3.21) ve ku (t)k_H ≤ kc (t)k_H→H eiA H→Hku−1kH + A−1/2 H→H A−1/2g (0) H + eiA H→H × A−1/2g (0) H + A−1/2[g (−1) − g (0)] H + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1g0(y) Hdy

(30)

+ |i| A1/2s (t) _H→H eiA _H→H A1/2u−1 _H + A−1/2g (0) _H + eiA H→H A−1/2g (0) H + A−1/2[g (−1) − g (0)] H + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1g0(y) H dy + |i| A1/2s (t) H→H A−1/2g (0) H + Z t 0 A1/2s (t − y) H→H A−1/2f (y) H dy ≤ M A1/2u−1 H + A−1/2g(0) H + max −1≤t≤0 A−1g0(t) H + max_0≤t≤1 A−1/2f (t) H , 0 ≤ t ≤ 1 (3.22)

e¸sitsizli˘gi yazılır. Sonrasında, (3.16), (3.18), (3.21) ve (3.22) kestirimlerinin kullanılması ile (3.2) bulunur.

˙Ikinci olarak, (3.3) kestirimi elde edilecektir. (3.17) form¨ul¨u ve (3.11), (3.13), (3.14) kestirimleri yardımıyla, A1/2u−1 H ≤M kϕkH + A−1/2g(0) H (3.23) + max −1≤t≤0 A−1/2g0(t) H + max_0≤t≤1 A−1/2f (t) H

kestirimi yazılır. (3.15) formülüne A uygulanırsa ve aynı zamanda (3.11), (3.13), (3.14) kestirimleri kullanılırsa, kAu−1k_H ≤ kT k_H→H |α|kc (µ)k_H→H A−1 H→H[kg (0)kH + eiA H→H(kg (0)kH + k[g (−1) − g(0)]kH) + Z 0 −1 e−iyA H→Hkg 0_(y)k Hdy + |i| A1/2s (µ) H→H × A−1/2 H→H eiA H→H[kg (0)kH + k[g (−1) − g(0)]kH] + Z 0 −1 e−iyA H→Hkg 0 (y)k_H dy + A−1/2 H→H Z µ 0 A1/2s (µ − y) H→Hkf (y)kHdy + A−1/2 A1/2ϕ H ≤ M A1/2ϕ H + kg(0)kH + max_−1≤t≤0kg 0 (t)k_H + max 0≤t≤1kf (t)kH (3.24) e¸sitsizli˘gi elde edilecektir. (3.19), (3.20) formüllerine A1/2 _{uygulanır, (}_3.13_{) ve (}_3.14₎

kestirimleri kullanılırsa, A1/2u (t) H ≤ ei(t+1)A H→H A1/2u−1 H

(31)

+ A−1/2g (0) _H + A−1/2[g (t) − g (0)] _H + ei(t+1)A H→H A−1/2g (0) H + A−1/2[g (−1) − g (0)] H + Z t −1 ei(t−y)A H→H A−1/2g0(y) Hdy ≤ M A1/2u−1 H + A−1/2g(0) H + max_−1≤t≤0 A−1/2g0(t) H , −1 ≤ t ≤ 0 (3.25) ve A1/2u (t) H ≤ kc (t)kH→H eiA H→H A1/2u−1 H + A−1/2 H→H kg (0)kH + eiA H→H[kg (0)kH + k[g (−1) − g (0)]kH] + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1/2g0(y) Hdy + |i| A1/2s (t) H→H eiA H→H kAu−1kH + kg (0)k_H + eiA H→H[kg (0)kH + kg (−1) − g (0)kH] + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1/2g0(y) Hdy + |i| A1/2s (t) H→Hkg (0)kH + Z t 0 A1/2s (t − y) H→Hkf (y)kHdy ≤ M kAu−1k_H + kg(0)k_H + max −1≤t≤0 A−1/2g0(t) H + max_0≤t≤1kf (t)kH , 0 ≤ t ≤ 1 (3.26) e¸sitsizlikleri elde edilecektir. Sonu¸c olarak (3.23), (3.24), (3.25), (3.26) kestirimleri birle¸stirilerek, (3.3) e¸sitsizli˘gi elde edilir.

¨

U¸cüncü olarak, (3.4) kestirimi elde edilecektir. (3.15) formülü ve kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak,

u−1 = T α−A−2c (µ) g (0) − eiAg (−1) + iA−1 (3.27) × g0(0) − eiAg0(−1) − Z 0 −1 e−iyAg00(y) dy + iA−1s (µ) × eiAg (−1) − iA−1 g0(0) − eiAg0(−1) − Z 0 −1 e−iyAg00(y) dy −A−2 f (µ) + c (µ) f (0) − Z µ 0 c (µ − y) f0(y) dy + A−1ϕ

denklemi bulunur. (3.27) form¨ul¨une A uygulanır ve (3.11), (3.13), (3.14) kestirimleri ile birlikte kullanılrsa,

kAu−1k_H ≤ kT k_H→H |α|kc (µ)k_H→H

A−1

(32)

×kg (0)k_H + eiA _H→H(kg (0)k_H + kg (−1) − g (0)k_H + |i| A−1/2 H→H A−1/2g0(0) H + eiA H→H + |i| A−1 H→H A−1/2 H→H A1/2g0(0) H + e−iA H→H × A−1/2g0(0) H + A−1/2[g0(−1) − g0(0)] H + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1/2g00(y) Hdy + |i| A1/2s (µ) H→H A−1/2 H→H × e−iA H→H (kg (0)kHkg (−1) − g(0)kH) + |i| A−1/2 H→H A−1/2g0(0) H + e−iA H→H × A−1/2g0(0) H→H + A−1/2[g0(−1) − g0(0)] H + Z 0 −1 e−iyA H→H A−1/2g00(y) Hdy + A−1 H→H [kf (0)kH + kf (µ) − f (0)kH + kc (µ)kH→Hkf (0)kH] + A−1/2 H→H Z µ 0 kc (µ − y)k_H→H kf0(y)k_Hdy + A−1/2 H→H A1/2ϕ H ≤ M A1/2ϕ _H + kg(0)k_H + A−1/2g0(0) _H + max −1≤t≤0 A−1/2g00(t) H + kf (0)kH + max_0≤t≤1kf 0 (t)k_H (3.28) e¸sitsizli˘gi yazılır. (3.27) form¨ul¨une A3/2 _{uygulanırsa,}

A3/2u−1 = T α−A−1/2c (µ) g (0) − eiAg (−1) + iA−1 × g0(0) − eiAg0(−1) − Z 0 −1 e−iyAg00(y) dy + iA1/2s (µ) × eiAg (−1) − iA−1 g0(0) − eiAg0(−1) − Z 0 −1 e−iyAg00(y) dy −A−1/2 f (µ) + c (µ) f (0) − Z µ 0 c (µ − y) f0(y) dy + A1/2ϕ (3.29) e¸sitli˘gi elde edilir. (3.29) form¨ul¨u ve (3.11), (3.13), (3.14) kestirimleri kullanılırsa,

A3/2u−1 H ≤ kT kH→H |α|kc (µ)kH→H A−1/2 H→H × A−1/2 H→H A1/2g (0) H + eiA H→H × A1/2g (0) H + A1/2[g (−1) − g(0)] H + |i| A−1 H→H kg 0 (0)k_H→H + e−iA H→H × [kg0(0)k_H + kg0(−1) − g0(0)k_H]

(33)

+ Z 0 −1 e−iyA H→Hkg 00 (y)k_Hdy + |i| A1/2s (µ) H→H × e−iA H→H A−1/2 H→H A1/2g (0) H + A1/2[g (−1) − g(0)] H + |i| A−1 H→H kg 0 (0)k_H→H + eiA H→H(kg 0 (0)k_H→H + kg0(−1) − g0(0)k_H) + Z 0 −1 e−iyA H→Hkg 00 (y)k_Hdy + A−1 H→H A1/2f (0) H + A1/2[f (µ) − f (0)] H + kc (µ)kH→H A1/2f (0) H + Z µ 0 kc (µ − y)k_H→H A1/2f0(y) _Hdy + A−1/2 kAϕk_H ≤ MkAϕk_H + A1/2g(0) H + kg 0 (0)k_H + max −1≤t≤0kg 00 (t)k_H + A1/2f (0) H + max_0≤t≤1 A1/2f0(t) H (3.30) e¸sitsizli˘gi elde edilir. (3.19), (3.20) form¨ulleri ve kısmi integrasyon y¨ontemi kullanılarak, u (t) = ei(t+1)Au−1− A−1g (t) − ei(t+1)Ag (−1) (3.31) −iA−1 g0(t) − ei(t+1)Ag0(−1) − Z t −1 ei(t−y)Ag00(y) dy , −1 ≤ t ≤ 0, u (t) = [c (t) + iAs (t)]eiAu−1− A−1 g (0) − eiAg (−1) (3.32) −iA−1 g0(0) − eiAg0(−1) − Z 0 −1 e−iyAg00(y) dy −is (t) g (0) − A−1[f (t) − c (t) f (0) − Z t 0 c (t − y) f0(y) dy , 0 ≤ t ≤ 1

e¸sitli˘gi yazılır. (3.31), (3.32) form¨ullerine A uygulanır ve (3.13), (3.14) kestirimleri kullanılırsa, kAu (t)k_H ≤ e−i(t+1)A H→HkAu−1kH + A−1/2 H→H A1/2g (0) H + A1/2[g (t) − g (0)] H + e−i(t+1)A _H→H A1/2g (0) _H + A1/2[g (−1) − g (0)] _H + |i| A−1/2 H→H(kg 0 (0)k_H + kg0(t) − g0(0)k_H + e−i(t+1)A H→H(kg 0_(0)k H + kg 0_{(t) − g}0_(0)k H) + Z t −1 eiyA H→Hkg 00 (y)k_H dy ≤ M kAu−1k_H + A1/2g(0) H + kg 0_(0)k H + max_−1≤t≤0kg 00_(t)k H , −1 ≤ t ≤ 0, (3.33)

(34)

ve kAu (t)k_H ≤ kc (t)k_H→H eiA H→HkAu−1kH + A−1/2 H→H A1/2g (0) H + eiA H→H A1/2[g (−1) − g (0)] H + |i| A−1 H→Hkg 0 (0)k_H + e−iA H→H(kg 0 (0)k_H + kg0(t) − g0(0)k_H) + Z 0 −1 e−iyA H→Hkg 00 (y)k_Hdy + |i| A1/2s(t) H→H eiA H→H A3/2u−1 H + A1/2g (0) H + eiA H→H A1/2[g (−1) − g (0)] H + |i| A−1/2 H→H kg 0 (0)k_H + e−iA H→H(kg 0 (0)k_H + kg0(t) − g0(0)k_H) + Z 0 −1 e−iyA H→Hkg 00 (y)k_Hdy |i| A1/2s(t) H→H A1/2g (0) H + A−1/2 H→H A1/2f (0) H + A1/2f (t) − f (0) H + kc (t)k_H→H A1/2f (0) H + Z t 0 kc (t − y)k_H→H kf0(y)k_Hdy ≤ M A3/2u−1 H + A1/2g(0) H + kg 0_(0)k H + max −1≤t≤0kg 00 (t)k_H + A1/2f (0) _H + max 0≤t≤1 A1/2f0(t) _H , 0 ≤ t ≤ 1, (3.34)

e¸sitsizlikleri elde edilecektir. O halde, (3.28), (3.30), (3.33) ve (3.34) kestirimleri ile (3.4) e¸sitsizli˘ginin bulunmasını sa˘glar. Dolayısıyla Teorem 3.1 in ispatını tamamlanmı¸s olur.

Uygulamalar

S¸imdi, Teorem 3.1 i¸cin bir uygulama verilecektir. ˙Ilk olarak;                      vyy − (a(x)vx)x+ δv = f (y, x), 0 < y < 1, 0 < x < 1, ivy − (a(x)vx)x+ δv = g(y, x), −1 < y < 0, 0 < x < 1, −(a(x)vx(−1, x))x+ δv(−1, x) = v (1, x) + ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1,

v(y, 0) = v(y, 1), vx(y, 0) = vx(y, 1), −1 ≤ y ≤ 1,

v(0+, x) = v(0−, x), vy(0+, x) = vy(0−, x), 0 ≤ x ≤ 1,

|α| < √ δ 1 + δ,

(3.35)

karma tipli hiperbolik-Schr¨odinger denklemi ele alınacaktır. Burada δ > 0 olmak ¨

uzere bir sabittir. (3.35) problemi v (y, x) ¸seklinde düzgün tek bir ¸cözüme sahiptir. Bunun i¸cin a (x) ≥ a > 0, (x ∈ (0, 1)), ϕ (x) (x ∈ [0, 1]), f (y, x) (y ∈ [0, 1] , x ∈ [0, 1]) ve g (y, x) (y ∈ [−1, 0] , x ∈ [0, 1]) ¸seklinde fonksiyonlar olmalıdır.

(35)

L2[0, 1] Hilbert uzayınının [0, 1] aralı˘gında t¨um kare integrallenebilir fonksiyonlarını

ve W1

2 [0, 1], W22[0, 1] Hilbert uzaylarını sırasıyla a¸sa˘gıdaki normlarla

kϕk_W1 2[0,1] = Z 1 0 |ϕ (x)|2dx 1/2 + Z 1 0 |ϕ_x(x)|2dx 1/2 , kϕk_W2 2[0,1] = Z 1 0 |ϕ (x)|2dx 1/2 + Z 1 0 |ϕ_x(x)|2dx 1/2 + Z 1 0 |ϕ_xx(x)|2dx 1/2 , tanımlayalım. Bu ¸sartlar altında (3.35) karma tipli problemi; Hilbert uzayında kendine e¸s pozitif tanımlı bir A operat¨or¨u ile tanımlanan, lokal olmayan (3.1) sınır-de˘ger prob-lemine indirgenebilir.

Teorem 3.2. Lokal olmayan sınır-de˘ger probleminin ¸cözümü a¸sa˘gıdaki kararlılık ke-stirimlerini sa˘glayacaktır;

max

−1≤y≤1kvy(y, ·)kL2[0,1]+ max_−1≤y≤1kv(y, ·)kW21[0,1] ≤ M h

kϕk_L 2[0,1]

+ kg(0, ·)k_L

2[0,1]+ max_−1≤y≤0kgy(y, ·)kL2[0,1]+ max_0≤y≤1kf (y, ·)kL2[0,1]

, max

−1≤y≤1kv(y, ·)kW22[0,1]+ max−1≤y≤0kvy(y, ·)kL2[0,1]+ max_0≤y≤1kvyy(y, ·)kL2[0,1] ≤ Mhkϕk_W1

2[0,1]+ kg(0, ·)kW21[0,1]+ kgy(0, ·)kW21[0,1] + max

−1≤y≤0kgyy(y, ·)kL2[0,1]+ kf (0, ·)kL2[0,1]+ max_0≤y≤1kfy(y, ·)kL2[0,1]

.

Burada M , f (y, x) (y ∈ [0, 1] , x ∈ [0, 1]), g (y, x) (y ∈ [−1, 0] , x ∈ [0, 1]) ve ϕ (x) (x ∈ [0, 1]) den ba˘gımsızdır.

Bu teoremin ispatı Teorem 3.1. ve problem (3.35) tarafından üretilen operatörün simetri özelli˘gine dayanmaktadır.

˙Ikinci olarak, ¸cok boyutlu hiperbolik-Schrodinger denklemi i¸cin karma tipli lokal olmayan sınır-de˘ger problemi

                                                   vyy− m X r=1 (ar(x)vxr)xr = f (y, x), 0 ≤ y ≤ 1, x = (x1, · · · , xm) ∈ Ω, ivy − m X r=1 (ar(x)vxr)xr = g(y, x), −1 ≤ y ≤ 0, x = (x1, · · · , xm) ∈ Ω, − m X r=1 (ar(x)vxr(−1, x))xr = v(1, x) + ϕ(x), x ∈ Ω, v(y, x) = 0, x ∈ S, −1 ≤ y ≤ 1 (3.36)

(36)

ele alınacaktır. ¨Oyle ki Ω, m-bouytlu ¨_{Oklid uzayında R}m_,

(x : x = (x1, · · · , xm) , 0 < xk< 1, 1 ≤ k ≤ m)

S ve Ω = Ω ∪ S tarafından sınırlanan bir a¸cık birim k¨upt¨ur. Burada, ar(x), (x ∈

Ω), ϕ(x) (x ∈ Ω) ve f (y, x) (y ∈ (0, 1), x ∈ Ω), g(y, x) (y ∈ (−1, 0), x ∈ Ω) ifadeleri [0, 1] × Ω de verilen d¨uzg¨un fonksiyonlar ve ar(x) ≥ a > 0 dir.

L2(Ω) Hilbert uzayının Ω ¨uzerinde t¨um integrallanebilir fonksiyonlarını

kf k_L 2(Ω) =      Z · · · Z x∈Ω |f (x)|2dx1· · · dxm      1/2 ve W1

2 Ω, W22 Ω uzaylarını sırasıyla a¸sa˘gıdaki normlarla

tanımlayalım. (3.36) problemi d¨uzg¨un ar(x), f (y, x) ve g(y, x) fonksiyonları i¸cin v(y, x)

bi¸ciminde düzgün ve tek bir ¸cözüme sahiptir. Bu ¸sartlar altında (3.36) karma tipli problemi, Hilbert uzayında kendine e¸s pozitif tanımlı bir A operatörü ile tanımlanan, lokal olmayan (3.1) sınır-de˘ger problemine indirgenebilir.

Teorem 3.3. A¸sa˘gıdaki kararlılık kestirimlerini, max

−1≤y≤1kvy(y, ·)kL2(Ω) + max_−1≤y≤1kv(y, ·)kW21(Ω) ≤ M h

kg(0, ·)k_L 2(Ω) + max

−1≤y≤0kgy(y, ·)kL2(Ω) + max_0≤y≤1kf (y, ·)kL2(Ω) + kϕkL2(Ω)

, max

−1≤y≤1kv(y, ·)kW22(Ω) + max−1≤y≤0kvy(y, ·)kL2(Ω) + max_0≤y≤1kvyy(y, ·)kL2(Ω) ≤ Mhkϕk_W1

2(Ω) + kg(0, ·)kW21(Ω) + kgy(0, ·)kW21(Ω) + max

−1≤y≤0kgyy(y, ·)kL2(Ω) + kf (0, ·)kL2(Ω) + max_0≤y≤1kfy(y, ·)kL2(Ω)

(3.36) lokal olmayan sınır-de˘ger probleminin ¸cözümünü sa˘glar. Burada, M , katsayısı f (y, x) (y ∈ [0, 1] , x ∈ Ω) , g (y, x) (y ∈ [−1, 0] , x ∈ Ω) ve ϕ (x) (x ∈ Ω)den ba˘gımsızdır.

(37)

Teorem 3.3’ün ispatı Teorem 3.1’e, (3.36) tarafından tanımlanan operatörün simetri ¨

ozelli˘gine ve a¸sa˘gıdaki L2 Ω i¸cindeki eliptik diferensiyel problemin ¸cözümünün koersif

e¸sitsizli˘gine dayanmaktadır[Sobolevskii, P. E., 1975]. Teorem 3.4. Eliptik diferansiyel problemin ¸cözümü i¸cin

− m X r=1 (ar(x)uxr)xr = ω (x) , x ∈ Ω, u (x) = 0, x ∈ S, a¸sa˘gıdaki koersif e¸sitsizli˘gi sa˘glanmaktadır:

m

X

r=1

(38)

3.2 H˙IPERBOL˙IK-SCHR ¨

ODINGER FARK DENKLEMLER˙I

Birinci Basamaktan Do˘gruluklu Fark S¸eması

Bu bölümde kolaylık i¸cin µ > 2τ alınmı¸stır. (3.1) sınır-de˘ger probleminin yakla¸sık ¸cözümü i¸cin

                           uk+1− 2uk+ uk−1 τ2 + Auk+1 = fk, fk= f (tk+1) , tk= kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1, iu1− u0 τ = −Au0+ g0, iuk− uk−1 τ + Auk = gk, gk= g (tk) , tk= kτ , −N + 1 ≤ k ≤ 0, Au−N = αu[µ/τ ]+ ϕ (3.37)

birinci basamaktan do˘gruluklu fark ¸seması incelenmi¸stir. Bilindi˘gi gibi, H Hilbert uzayında öz-e¸slenik pozitif tanımlı A diferansiyel operatörlü lokal olmayan sınır-de˘ger probleminin bir de˘gi¸skenli diskritizasyon (discretization) fark ¸semalarını ara¸stırmak de-mek, Hh Hilbert uzaylarında h’ye (0 < h ≤ h0) göre düzgün öz-e¸slenik pozitif tanımlı

Ah fark operat¨orl¨u ¸cok de˘gi¸skenli diskritizasyon fark ¸semalarını ara¸stırmak demektir.

¨

Oncelikle ileriki b¨ol¨umlerde ihtiya¸c duyaca˘gımız yardımcı teoremleri verelim. Yardımcı Teorem 3.1. A¸sa˘gıdaki

R ±τ A1/2 H→H ≤ 1, (3.38) τ A1/2R ±τ A1/2 H→H ≤ 1, (3.39) Rk H→H ≤ M (1 + δτ ) −k , (3.40) I ± iτ A 1/2 I ∓ iτ A1/2−1 H→H ≤ 1 (3.41)

kestirimleri sa˘glanır. Burada M katsayısı τ ’dan ba˘gımsızdır ve R ±τ A1/2 = I ± iτ A1/2−1,

R = R (τ A) = (I − iτ A)−1 dir.

Yardımcı Teorem 3.2. A¸sa˘gıdaki

Qτ =                    I − αA−11₂R[µ/τ ]−1 τ A1/2 + R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 RN +1 2iA 1/2_{(I + τ}2_A)_R[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2_RN ,

(39)

operatörünün tersi Tτ =                    I − αA−11₂R[µ/τ ]−1 τ A1/2 + R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 RN +1 2iA 1/2_{(I + τ}2_A)_R[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2_RN −1 , vardır ve ||Tτ||H→H ≤ M (3.42)

kestirimi sa˘glanır. Burada M katasyısı τ ’dan ba˘gımsızdır. ˙Ispat: (3.42) kestiriminin ispatı

I − αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 RN +1 2iA 1/2 _{I + τ}2_{A R}[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2_RN H→H < 1 kestiriminin ispatına dayanır. Bu e¸sitsizlik

−αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 RN +1 2iA 1/2 I + τ2A R[µ/τ ] −τ A1/2 − R[µ/τ ] τ A1/2 RN = −αA−1 1 2+ A1/2 2i − A1/2 2i · 1 I + iτ A1/2 R[µ/τ ]−1 τ A1/2 + 1 2+ A1/2 2i + A1/2 2i · 1 I − iτ A1/2 R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 RN = −αA −1 2 1 + A1/2i −1 + 1 I + iτ A1/2 R[µ/τ ]−1 τ A1/2 + 1 + A1/2i 1 + 1 I − iτ A1/2 R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 RN

¸seklinde de yazılabilir. A operatörünün pozitif ve öz-e¸slenik olma özellikleri kullanılarak −αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 τ A1/2 + R[µ/τ ]−1 −τ A1/2

(40)

+1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 RN +1 2iA 1/2 I + τ2A R[µ/τ ] −τ A1/2 − R[µ/τ ] τ A1/2 RN H→H ≤ sup δ≤ρ<∞ |α| ρ−1 2 (1 + √ ρ + 1 +√ρ) = sup δ≤ρ<∞ |α|1 + √ ρ ρ ≤ δ √ 1 + δ · 1 +√δ δ = 1 +√δ √ 1 + δ < 1 elde ederiz. Dolayısıyla, (3.42) kestiriminin ispatı tamamlanır.

Teorem 3.5. E˘ger ϕ ∈ D(A) ise, bu durumda (3.37) fark ¸semasının ¸cözümü i¸cin a¸sa˘gıdaki max −N ≤k≤NkukkH ≤ M A−1/2ϕ H +_{1≤k≤N −1}max A−1/2fk H (3.43) + A−1/2g0 H +_{−(N −1)≤k≤0}max A−1/2(gk− gk−1) τ−1 H , max −N ≤k≤N A1/2uk H ≤ M kϕk_H + max 1≤k≤N −1kfkkH (3.44) + kg0kH +_{−(N −1)≤k≤0}max (gk− gk−1) τ−1 H , max 1≤k≤N −1 τ−2(uk+1−2uk+ uk−1) H (3.45) + max −(N −1)≤k≤0 τ−1(uk−uk−1) H +_{−N ≤k≤N}max kAukkH ≤ M A1/2ϕ H + A1/2f1 H+ + max 2≤k≤N −1 A1/2(fk− fk−1) τ−1 H + A1/2g0 H + (g0− g−1) τ−1 H +_{−(N −1)≤k≤−1}max (gk+1− 2gk+ gk−1) τ−2 H

kararlılık kestirimleri sa˘glanır. Burada, M katsayısı τ , fk, 1 ≤ k < N, gk, −N < k ≤ 0

ve ϕ’den ba˘gımsızdır.

˙Ispat: Her¸seyden önce, (3.37) fark ¸semasının ¸cözümü i¸cin gerekli formüller elde edilecektir. Bilindi˘gi gibi,

   τ−2(uk+1− 2uk+ uk−1) + Auk+1 = fk, fk = f (tk+1) , tk+1 = (k + 1) τ , 1 ≤ k ≤ N − 1, u0 = ξ, τ−1(u1− u0) = ψ, (3.46) iτ−1_(u k− uk−1) + Auk = gk, gk= g(tk), tk = kτ , − (N − 1) ≤ k ≤ 0, u−N veriliyor , (3.47)

(41)

ba¸slangı¸c de˘ger fark problemlerinin tek ¸cözümü vardır ve a¸sa˘gıdaki formüller                                        u1 = ξ + τ ψ, uk = ₁ 2R k−1 _{τ A}1/2_{+ R}k−1 _{−τ A}1/2 +1 2iA 1/2_Rk−1 _{τ A}1/2_{+ R}k−1 _{−τ A}1/2 ξ +1 2iA −1/2_{(I + τ}2_A)_Rk _{−τ A}1/2_{− R}k _{τ A}1/2_ψ + k−1 X s=1 τ 2iA −1/2_Rk−s _{−τ A}1/2_{− R}k−s _{τ A}1/2_f s, 2 ≤ k ≤ N, (3.48) uk = RN +ku−N − iτ k X s=−N +1 Rk−s+1gs, − (N − 1) ≤ k ≤ 0 (3.49)

sa˘glanır. Buradaki (3.48), (3.49) denklemleri ve

τ−1(u1− u0) = −Au0+ g0, u0 = ξ, τ−1(u1 − u0) = ψ

form¨ulleri kullanılarak,

ξ = u0 = RNu−N − iτ 0 X s=−N +1 R−s+1gs, ψ = τ−1(u1− u0) = −A " RNu−N − iτ 0 X s=−N +1 R−s+1gs # + g0

form¨ulleri elde edilir. Bu drurumda,

u1 = (I − τ A) " RNu−N− iτ 0 X s=−N +1 R−s+1gs # + τ g0, (3.50)

(42)

                                                               uk = 1 2R k−1 _{τ A}1/2_{+ R}k−1 _{−τ A}1/2 +1 2iA 1/2_Rk−1 _{τ A}1/2_{+ R}k−1 _{−τ A}1/2 −1 2iA 1/2_{(I + τ}2_A)_Rk _{−τ A}1/2_{− R}k _{τ A}1/2 × " RN_u −N − iτ 0 X s=−N +1 R−s+1gs # +1 2iA −1/2_{(I + τ}2_A)_Rk _{−τ A}1/2_{− R}k _{τ A}1/2_g 0 + k−1 X s=1 τ 2iA −1/2_Rk−s _{−τ A}1/2_{− R}k−s _{τ A}1/2_f s, 2 ≤ k ≤ N (3.51)

dir. Lokal olmayan sınır ko¸sulu

Au−N = αu[µ/τ ]+ ϕ, kullanılarak, u−N = αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 τ A1/2 + R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 −1 2iA 1/2 _{I + τ}2_{A R}[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2 × " RNu−N − iτ 0 X s=−N +1 R−s+1gs # +1 2iA −1/2 _{I + τ}2_{A R}[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2_g 0 + [µ/τ ]−1 X s=1 τ 2iA −1/2_R[µ/τ ]−s _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ]−s _{τ A}1/2_f s  + A −1 ϕ operat¨or denklemi elde edilir. A¸sa˘gıdaki

I − αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2

(43)

−1 2iA

1/2 _{I + τ}2_{A R}[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2

RN operatörünün

Tτ = I − αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 −1 2iA 1/2 _{I + τ}2_{A R}[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2 RN −1 tersi vardır ve u−N = Tτ αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 τ A1/2 + R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 (3.52) +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 −1 2iA 1/2 _{I + τ}2_{A R}[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2 × −iτ 0 X s=−N +1 R−s+1gs ! +1 2iA −1/2 I + τ2A R[µ/τ ] −τ A1/2 − R[µ/τ ] τ A1/2 g0 + [µ/τ ]−1 X s=1 τ 2iA −1/2_R[µ/τ ]−s _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ]−s _{τ A}1/2_f s  + A −1 ϕ   e¸sitli˘gi sa˘glanır.

S¸imdi, (3.43), (3.44) ve (3.45) kestirimlerini elde edece˘giz. ˙Ilk olarak, ku−Nk_H i¸cin

kestirim elde edece˘giz.

Abel formülü ve (3.52) formülü kullanılarak, u−N = Tτ αA−1 1 2R [µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 (3.53) +1 2iA 1/2_R[µ/τ ]−1 _{τ A}1/2_{+ R}[µ/τ ]−1 _{−τ A}1/2 −1 2iA 1/2 _{I + τ}2_{A R}[µ/τ ] _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2 ×A−1R−1 RNg−N +1 − g0+ 0 X s=−N +2 R−s+1[gs− gs−1] ! +1 2iA −1/2 I + τ2A R[µ/τ ] −τ A1/2_{− R}[µ/τ ] _{τ A}1/2_g 0

(44)

+ [µ/τ ]−1 X s=1 τ 2iA −1/2_R[µ/τ ]−s _{−τ A}1/2_{− R}[µ/τ ]−s _{τ A}1/2_f s  + A −1 ϕ  

elde edilir. (3.53) formülü ve (3.38), (3.39), (3.40), (3.41), (3.42) kestirimleri kul-lanılarak, ku−Nk_H ≤ kTτk_H→H |α| 1 2 A−1 H→H R[µ/τ ]−1 τ A1/2 H→H + R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 H→H + 1 2 |i| A−1/2 H→H R[µ/τ ]−1 τ A1/2 H→H + R[µ/τ ]−1 −τ A1/2 H→H + 1 2 |i| A−1/2 H→H I + τ2A R[µ/τ ] −τ A1/2 H→H + I + τ2A R[µ/τ ] τ A1/2 H→H × R−1 _H→H RN _H→H A−1g−N +1 _H + A−1g0 _H + 0 X s=−N +2 R−s+1 H→H A−1[gs− gs−1] H ! + 1 2 |i| A−1/2 H→H I + τ2A R[µ/τ ] −τ A1/2 H→H + I + τ2A R[µ/τ ] τ A1/2 H→H A−1g0 H + [µ/τ ]−1 X s=1 τ 2 |i| A−1/2 H→H R[µ/τ ]−s −τ A1/2 H→H + R[µ/τ ]−s τ A1/2 H→H A−1fs H + A−1/2 H→H A−1/2ϕ H ≤ M A−1/2ϕ H + A−1g0 H+ max −N +1≤k≤0 A−1(gk− gk−1) τ−1 H +_{1≤k≤N −1}max A−1fk H (3.54) elde edilir. (3.53) formüllerine A1/2 uygulanır ve (3.38), (3.39), (3.40), (3.41), (3.42) kestirimleri kullanılırsa, A1/2u−N H ≤ MkϕkH + A−1/2g0 H + max −N +1≤k≤0 A−1/2(gk− gk−1) τ−1 H +_{1≤k≤N −1}max A−1/2fk H (3.55) yazılır. S¸imdi, −N + 1 ≤ k ≤ N olmak üzere kukkH i¸cin kestirim elde edece˘giz.

− (N − 1) ≤ k ≤ 0 olsun. Bu durumda, Abel formülü ve (3.49) formülü kullanılarak,

(45)

+A−1R−1 " RN +kg−N +1− gk+ k X s=−N +2 Rk−s[gs− gs−1] #

bulunur. (3.56) formülü ve (3.40) kestirimi kullanılarak, kukk_H ≤ RN +k H→Hku−NkH + R−1 _H→H RN +k _H→H A−1g−N +1 _H + A−1gk _H + k X s=−N +2 Rk−s H→H A−1[gs− gs−1] H # ≤ M ku−Nk_H + A−1g0 H +_{−N +1≤k≤0}max A−1(gk− gk−1) τ−1 H (3.57) elde edilir. 1 ≤ k ≤ N olsun. Bu durumda, Abel formülü ve (3.50), (3.51) formülleri kullanılarak, u1 = (I − τ A) RNu−N + A−1R−1RNg−N +1− g0 (3.58) + 0 X s=−N +2 R−s+1[gs− gs−1] #! + τ g0, uk= 1 2R k−1 _{τ A}1/2_{+ R}k−1 _{−τ A}1/2 (3.59) +1 2iA 1/2_Rk−1 _{τ A}1/2_{+ R}k−1 _{−τ A}1/2 −1 2iA 1/2 I + τ2A Rk −τ A1/2 − Rk τ A1/2 × " RNu−N + A−1R−1 RNg−N +1 − g0+ 0 X s=−N +2 R−s+1[gs− gs−1] !# +1 2iA −1/2 (I + τ2A)Rk −τ A1/2 − Rk τ A1/2 g0 + k−1 X s=1 τ 2iA −1/2_Rk−s _{−τ A}1/2_{− R}k−s τ A1/2 fs, 2 ≤ k ≤ N

bulunur. (3.58), (3.59) form¨ulleri ve (3.38), (3.39), (3.40), (3.41) kestirimlerinin kul-lanılmasıyla, ku1kH ≤ (I − τ A) RN H→Hku−NkH + R−1 H→H × (I − τ A) RN H→H A−1/2 H→H A−1/2g−N +1 H + A−1/2g0 H→H + 0 X s=−N +2 (I − τ A) R−s+1 H→H A−1[gs− gs−1] H # ≤ M ku−Nk_H + A−1/2g0 H +_{−N +1≤k≤0}max A−1(gk− gk−1) τ−1 H (3.60)