SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
GECĠKMELĠ FARK DENKLEMLERĠN KARARLILIĞI
DÖNDÜ ERGĠN
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI
Ağustos-2019
KONYA
iii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
GECĠKMELĠ FARK DENKLEMLERĠN KARARLILIĞI
Döndü ERGĠN
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Haydar BULGAK
2019, 44 Sayfa
Jüri: Prof. Dr. Haydar BULGAK
Prof. Dr. Kemal AYDIN
Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU
Bulgakov ve Godunov (1988)‟de N boyutlu bir karesel matrisin spektrumunun circular dichotomy (spektrumun çembersel ayrılması) parametresini tanıtmışlardır. Bulgakov (1995)‟te, Schur problemi için bu parametrenin özel hali olan Schur kararlığının kalitesini gösteren bir sayısal parametre tanıtıldı. Sabit katsayılı fark denklemine bağlı olan kompanyan matrisini kullanarak sabit katsayılı fark denklem sisteminin yazılması bilinmektedir. Ancak kompanyan matrisi simetrik değildir. Simetrik olmayan matrislerin öz değer problemi genel olarak iyi konulmadığından dolayı kompanyan matrislerin öz değerlere dayanan yöntemleri, dezavantajdır. Bu doğrultuda denklemlerden sistemlere geçişte, alternatif yaklaşımlar ele alındı ve farklı geçişlerde Schur kararlılığın kalite parametresinin ne kadar etkilendiği incelendi.
Anahtar Kelimeler : Gecikmeli fark denklemler ,Kararlılık, Lyapunov matris denklemi ,Schur kararlılık parametresi
iv
ABSTRACT
Master Thesis
STABILITY OF DELAY DIFFERENCE EQUATIONS Döndü ERGIN
Selçuk University
Graduate School of Natural and Applied Scienceds
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Haydar BULGAK
2019, 44 pages
Jury: Prof. Dr. Haydar BULGAK
Prof. Dr. Kemal AYDIN
Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU
Bulgakov and Godunov (1988) also introduced the circular dichotomy parameter of the spectrum of an N-dimensional square matrix. In Bulgakov (1995), a numerical parameter for the Schur problem is presented, which demonstrates the quality of the Schur stability, a special case of this parameter. It is known to write a constant coefficient difference equation system by using the matrix matrix which is connected to the constant coefficient difference equation. However, the companion matrix is not symmetrical. Since the eigenvalue problem of unsymmetric matrices is generally not well placed, the methods of companion matrices based on eigenvalues are disadvantageous. In this direction, alternative approaches to the transition from equations to systems were discussed and the effect of Schur stability quality parameter on different transitions was examined.
v
ÖNSÖZ
Bu tezi hazırlamamda karşılaştığım güçlüklerde değerli yardımlarını esirgemeyen, beni büyük sabır ve titizlikle yönlendiren, bu işi başaracağıma inandıran saygıdeğer danışman hocam Prof. Dr. Haydar BULGAK‟ a, çalışmalarım boyunca bilgi birikimleri ve destekleriyle teşvik edici olan değerli hocam Prof. Dr. Kemal AYDIN‟ a ve hayatımın her alanında maddi manevi yardımlarıyla yanımda olan aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Döndü ERGİN
vi SĠMGELER VE KISALTMALAR SĠMGELER ‖ ‖ : Öklid norm ( ) : Kuadratik form : A matrisinin transpozu
: A matrisinin eşlenik transpozu ( ) : Schur kararlılık parametresi ‖ ‖ : Spektral norm
(A) : Spektral yarıçap
( ) : Pratik Schur kararlılık parametresi
KISALTMALAR
: Matrix Vector Calculator (Matris Vektör Hesap Makinesi)
vii
ĠÇĠNDEKĠLER
TEZ ONAY SAYFASI ... i
TEZ BĠLDĠRĠMĠ ... ii ÖZET ... iii ABSTRACT ... iv ÖNSÖZ ... v SĠMGELER VE KISALTMALAR ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii 1.GĠRĠġ ... 1 2.KAYNAK ARAġTIRMASI ... 6 3.MATERYAL VE YÖNTEM ... 7
4.FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN SCHUR KARARLILIĞI ... 8
5.YÜKSEK MERTEBEDEN FARKDENKLEMLERĠN SCHUR KARARLILIĞI ... .13
6. GECĠKMELĠ FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠ ... 18
7. GECĠKMELĠ FARK DENKLEMLERĠN SCHUR KARARLILIĞI ... 19
7.1. Schur Kararlılık ... 21
8. SONUÇ VE DEĞERLENDĠRME ... 41
KAYNAKLAR ... 42
1. GĠRĠġ
Gecikmeli fark denklemin çözümlerinden ziyade gecikmeli fark denklemin Schur kararlılığı üzerinde duracağız. Ayrıca literatürde lineer fark denklem sistemlerinin asimptotik kararlılığı veya Lyapunov‟a göre fark asimptotik kararlılığı yerine Schur kararlılık kavramı da kullanılmaktadır (Wang ve Michel 1993; Rohn 1994). Burada da bu ifadeler yerine Schur kararlılık anlanmalıdır. Asimptotik kararlılık incelenirken ( ) ve ( ) gibi bazı araştırmacılar gecikmeli fark denklemin köklerine dayanarak incelemede bulunmuşlar ve gecikmeli fark denklemin asimptotik kararlı olması şartını denkleme ait karakteristik denklemin köklerinin birim çember içerisinde kalmasına dayalı olarak verilmişlerdir. Bu alanda ( ) ‟daki çalışması birçok araştırmacıya kaynak teşkil etmiştir. reel sabit ve k gecikme olmak üzere
( )
ile verilen birinci dereceden k- gecikmeli fark denkleminin asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart ( ) „ da incelendi ve
( )
ile verildi. Daha sonrasında ( )‟ te ( ) gecikmeli denklemini daha genel alarak
( )
ile elde edilen ( ) denklemi üzerinde çalıştı ve bu denklemin asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter | | ( ) ⁄ olmak üzere,
| | ( | | ) ⁄ ( )
veya
| | | | ( | | ) ⁄ ( )
ile verildi. Burada , ( ) ,( ) -⁄ | |⁄ „nın ( ⁄ ) aralığındaki çözümü olarak ifade edildi. Burada durumu için elde edilen denklemin
asimptotik kararlılığı için gerek ve yeter şartı ( )‟ ten elde ederiz. Görüldüğü üzere bu aynı zamanda ( ) şartıdır. O halde ( )‟ daki teorinin ( )‟ deki teorinin daha özel bir halidir demek mümkündür. Bu teoriler çalışmamızda bize bazı noktalarda yardımcı olacaktır.
( )
. mertebeden homojen, sabit katsayılı lineer fark denklemi Kompanyan matris yardımıyla doğrusal boyutlu denklem sistemi haline getirilebilir ve Kompanyan matrisi Schur kararlı ise bu takdirde verilen denklemde Schur kararlıdır (Akın ve Bulgak,1998). Ayrıca
( )
ile verilen gecikmeli bir fark denklemin
( )
ile verilen yüksek mertebeden fark denkleme eş değer olduğu biliniyor ( ). Bu ifadeyi örneklemek adına
( )
4. mertebeden fark denklemini ele alalım ve bu denklem
( ) 2. mertebeden 2- gecikmeli fark denkleme veya
( ) 3.mertebeden 1- gecikmeli fark denkleme eşdeğerdir. Bu ifadelerden hareketle, aşağıdaki gibi bir sonuca ulaşırız.
Sonuç 1.1. Sabit katsayılı doğrusal homojen yüksek mertebeden bir fark
denklem, sabit katsayılı doğrusal homojen gecikmeli bir fark denkleme eş değerdir. O halde gecikmeli fark denklemi Kompanyan matris yardımıyla sistem haline getirmek mümkündür. Kompanyan matrisi Schur kararlı ise bu takdirde verilen gecikmeli fark denklem de Schur kararlıdır
Sonuç 1.1. „ den hareketle gecikmeli fark denklemlerin Schur kararlılığını, sisteme dayalı inceleyeceğiz. Fark denklem sistemlerinde Schur kararlılık, denklemin matrisinin öz değerlerinin birim çember içerisinde kalması şartına dayandığı gibi gecikmeli fark denklem sistemlerinde asimptotik kararlılık kriterleri incelendi ve sistemin matrisinin öz değerlerinin birim çember içerisinde kalmasıdır olarak verildi( ). Fakat Uygulamalı Matematik ‟teki matrislerin spektral problemi yani öz değer problemleri ana problemden birisidir. Meşhur Wilkinson (1965)‟teki kitabı bu problemle ilgilidir. Parlett(1980)‟deki kitabında simetrik spektral problemi inceleniyor. Bu kitaplardan anlaşılıyor simetrik spektral problemi iyi problemdir. Dolayısıyla bilgisayarda bu problemi çözebilecek güçlü yöntemler vardır. Bunlar Golub (1982) ve Godunov(1997)‟ deki kitaplarında bulunabilir. Genel olarak ise spektral problemi iyi konulmuş problem değildir. Bunu Ostrowski tipi örnekle görebiliriz (bak Wilkinson (1965)). Schur kararlığı özdeğerlere göre iyi konulmuş olmadığını gösteren Ostrowski tipi örneği ( ) kitapta bulunabilir. Buradan da anlaşıldığı üzere genel olarak matrislerin küçük eleman değişikliği öz değerlerin büyük değişmesine getirebilir. Hatta Schur kararlılığını da etkileyebilir. Bu, Godunov‟un ekibini “-spektr” ve Trefethen‟i “sözde spektrum” kavramlara götürdü.
A simetrik matrisi durumunda || || ‖ ‖ A simetrik matrisi durumunda || || ((A))k ifadeleri sağlanır ve burada (A) – spektral yarıçaptır.
Bir matrisinin spektral normu hesaplama problemi iyi konulmuş bir problemdir. Gerçekten,
|‖ ‖ ‖ ‖| ‖ ‖
olduğu açıktır. Burada ‖ ‖ nin spektral normudur; ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Schur kararlığı ölçen parametre simetrik matrislerin spektral yarıçapı ve ||A|| < 1 olan simetrik matrislerin ölçmesi ||A|| ile yapılabilir. Son durumunda
||Ak|| ||A||k, k=0, 1, 2,
diğer durumlarda ise Bulgakov ve Godunov (1988)‟de A, N boyutlu bir karesel matris olmak üzere, A matrisinin spektrumunun circular dichotomy (spektrumun çembersel ayrılması) parametresini tanıtmışlardır ve daha sonra Bulgakov (1995)‟te Schur problemi için bu parametrenin özel hali olarak tanıtmış olduğu (A) parametresi kullanılabilir.
( ) Lyapunov fark matris denkleminde, , N boyutlu birim matris olmak üzere çözümü varsa bu durumda Schur kararlılık parametresi
( ) ‖ ‖ ( ) ile verildi. Ayrıca Prof. Dr. Haydar BULGAK tarafından kurulan bir matematik teorisi ortaya konulmuştur ( ) Bu teori, bir matrisin ve ona yakın olan matrislerin pratik kararlı olup olmadığını incelemek için ne kadar hassas bilgisayar hesaplamaları yapmak gerekmektedir sonucuna bağlandı. Ayrıca *
parametre ile pratik Schur kararlı matrisler de tanıtıldı. Bu parametreleri bilgisayarda hesaplamak için ( )‟ de MVC (Matrix Vector Calculator) kulanma kılavuzu verildi. MVC‟ deki QdaStab yazılımı sayesinde A ve *
kullanarak (A) > * tespit edilir veya (A) değeri hata oranıyla birlikte hesaplanarak kararlılığın kalitesi bulunur. Bu teorilere dayalı olarak, burada genel olarak Schur kararlılığı üzerinde duracağımız denklem, ( ) denkleminde durumu için
( ) ile elde ettiğimiz birinci mertebeden 1- gecikmeli fark denklemdir. Bu doğrultuda, Sonuç 1.1.‟inden hareketle sisteme geçiş yapacağız. Bu geçiş matrisi, Kompanyan bir matristir. Fakat Kompanyan matrisler uygulamada kolaylık sağlamazlar. Bundan dolayı sisteme simetrik matrisle geçiş var mı? Sorusuna cevap arayacağız. Ayrıca başka alternatif geçişlerin var olup olmadığını araştıracağız ve bu geçişlerde Schur kararlılığın
kalitesinin ne kadar etkilendiğini görmeye çalışacağız. Bunun yanı sıra gecikmenin, başlangıçta Schur kararlı olan fark denklemi Schur kararsız hale getirdiğini ve gecikmenin Schur kararsız bir fark denklemi Schur kararlı hale getirebildiğini gözlemleyeceğiz. Tüm bunları Discrete Cauchy Solver uygulaması grafiklerle görselleştireceğiz. S.Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümünün resmi internet sayfasında “software” başlığı altında Discrete Cauchy Solver bilgisayar uygulamasına ulaşılabilir. Bu uygulamayı kullanılırken veriler N boyutlu karesel A matris ve * birden büyük sayı seçildikten sonra Check düğmesini basıldıktan sonra veya “matris pratik kararlı yazı çıkar veya “Maksimal” ve “Minimal düğmeler aktif olur. Maksimal seçilirse başlangıç
vektörü uygulama tarafından doldurulur. Bu vektörle başlayan {
fark sisteminin Cauchy probleminin çözümü ∑ ‖ ‖
‖ ‖
“en kötü” kararlılık açısından çözümdür. Uygulama bu çözümünün grafiğini çizer (Bulgak ve Eminov,2001).
2. KAYNAK ARAġTIRMASI
Gecikmeli fark denklemlerin kararlılığı üzerine birçok araştırma yapılmıştır. Levin ve May (1976)‟ daki çalışması bu araştırmalara öncülük etmiştir. Daha sonrasında Kuruklıs (1994)’ teki çalışması bunun devamını getirmiştir. Bu araştırmacılar gecikmeli fark denklemin asimptotik kararlılığını karakteristik denklemin köklerinin birim çember içerisinde kalmasına dayanarak incelemişlerdir. Yu (1998)’ de değişken gecikme değerler altında lineer fark denklemin asimptotik kararlılık konusunu işlemiş ve düzgün kararlılık, global asimptotik kararlılık gibi tanımlara da yer vermiştir. Ogita ve ark. (2000)‟ deki çalışmasında yüksek mertebeden gecikmeli fark denklemin asimptotik kararlılığını, Ren (2007)‟ deki çalışmasında 2. Mertebeden gecikmeli fark denklemin asimptotik kararlılığını incelemiştir. Barbarossa (2011)‟de nüfus dinamikleri örnekleri olan gecikmeli Beverton-Holt modeli, gecikmeli Lojistik fark denklemi ve gecikmeli Ricker denklemi modelleri verilmiş ve burada kararlılık durumu ele alınırken dominant kök tanımından hareketle kararlılık durumları incelenmiştir. Akın ve Bulgak (1998)‟ de yüksek mertebeden bir fark denklemin sisteme dönüşümünü ve sistemin kararlı olması durumunda denklemin de kararlı olduğunu ifade etmiştir. Ayrıca Elaydi (2005)‟ te gecikmeli fark denklem ile yüksek mertebeden fark denklem arasında bir bağ kurulmuştur. Bunlar neticesinde gecikmeli fark denklemlerin de sisteme dönüşümünün var olduğu sonucuna ulaşılabilir. Bu durumda gecikmeli fark denklemlerin kararlılığı için ayrıca bir yöntemdir. Ayrıca fark denklem sistemlerinde Schur kararlılığın araştırmasını ayrıntılı olarak Akın ve Bulgak (1998), Elaydi (2005) , Bereketoğlu ve Kutay (2012) „ deki kitaplarda ele alınmıştır. Matsunaga (2005), Matsunaga (2007), Kipnis ve Komissarova (2006), Kaslik (2009), Kipnis ve Malygani (2011), Değer ve Bolat (2017) farklı gecikmeli fark denklem sistemlerini incelemişler ve asimptotik kararlılık için gerek ve yeter şartı öz değerlerin birim çember içerisinde kalmasıdır sonucuna dayandırmışlar. Kaslik (2009)‟ da kararlılık bölgelerinin gecikmelere bağlı değişimini ele almıştır.
Yukarıda kararlılık problemlerinin öz değerlere dayalı incelenmiş olması, öz değer problemlerinin Uygulamalı Matematikte ana problemlerden biri olmasını akla getirmektedir. Bundan dolayı spektral problemler üzerine yapılan çalışmalara dikkat çekmekte yarar vardır. Bu alanda birçok araştırma yapılmıştır. (Wilkinson,1965; Goldberg, 1991;Parlett, 1998; Godunov, 1998; Golub, 1989; Bulgak ve Bulgak, 2001).
3. MATERYAL VE YÖNTEM
Tez süresince, tez ile ilgili kitap, seminer, sempozyum, makaleler ve bilgisayar yazılımlarından yararlanılacaktır. Yöntem olarak Fark Denklemler, Analiz ve Sayısal Analiz yöntemleri kullanılacaktır. Bunun yanında Selçuk Üniversitesi Uygulamalı Matematik Araştırma merkezinde Prof. Dr. Haydar Bulgak, Dilyaver Eminov ve Dr. Ayşe Bulgak tarafından hazırlanan “Matrix Vector Calculator” ve “Discrete Cauchy Solver” bilgisayar yazılımları kullanılarak hesaplamaları yapılacaktır.
4. FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠN SCHUR KARARLILIĞI
Lineer homojen fark denklem sistemini A, ( ) - reel sayılardan oluşan bir matris ve ( ) uygun N boyutlu vektör dizisi (elemanları ( ) ) olmak üzere
( ) ( ) ( ) ( ) sistemi lineer homojen fark denklem sistemi olarak bilinir.
( ) ders kitabında Lyapunova göre kararlılık ve Lyapunova göre asimtotik kararlılık tanımlarını bulunur. Kaynaklarda daha kısa yazmak amacıyla Lyapunova göre asimptotik kararlı yerine Schur kararlı ismi kullanılır.
Hatırlatma: ‖ ( )‖ √∑ , ( )- olmak üzere Öklid norm
Teorem 4.1.( Lyapunov 1.Kriteri) ( ) sistemi verilsin. Eğer A matrisinin öz
değerleri ise bu takdirde | ( )| ise ancak ve ancak A matrisi asimptotik kararlıdır( ). Bu kritere Spektral Kriter de denilmektedir.
Teorem 4.2. (Lyapunov 2. Kriteri veya Lyapunov Teoremi) ( ) sistemi verilsin.
Eğer sistemin aşikar çözümünün (A matrisinin) asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart için
( )
Lyapunov fark matris denkleminin pozitif tanımlı bir tek (simetrik pozitif tanımlı matris) çözümü olmasıdır ( Elaydi, 2005; Akın ve Bulgak, 1998). Ayrıca pozitif tanımlı matrisi için positive defined ifadesi Bereketoğlu ve Kutay (2012)‟ de kullanmıştır.
Açıklama 4.3. Teorem 4.2.‟ deki C matrisi yerine I birim matrisi alınabilir.
( )
o zaman (4.3) „ün bir çözümü,
şeklinde olur. ( )
Not : ∑ ( ) serisi Neumann Serisidir. ( )
( ) sisteminin Schur kararlı olması için gerek ve yeter şartlar Lyapunov 1. Kriteri ve Lyapunov 2. kriteri ile ifade edilir. Lyapunov fark denklemini sağlayan pozitif tanımlı H matrisi varsa ( ) ‖ ‖ aksi halde ( ) seçilir. ( ) matris fonksiyoneline A matrisinin Schur kararlılık parametresi ( veya kararlılığın şart sayısı, kalitesi) denir (Bulgakov ve Godunov, 1988; Akın ve Bulgak, 1988; Bulgak, 1999). Burada matrisi seçilmesi durumunda ( ) elde edilir ki bu da Schur kararlılık parametresinin alabileceği en iyi değerdir. Buradan ( ) sonucuna ulaşılır. O halde
( )
Örnek 4.1.
.
/
matrisi için ( ) parametresini hesaplayalım.
Lyapunov‟ un 1. Kriterine (Spektral Kriter) göre A matrisinin Schur kararlı olup olmadığını inceleyelim;
A matrisinin öz değerleri ve olsun. A matrisinin öz değerlerini karakteristik denklem yardımıyla bulabiliriz fakat A matrisi üst üçgen bir matris olduğundan karakteristik denkleme gerek kalmaksızın esas köşegen üzerindeki elemanlar direkt olarak öz değerleri verir. O halde
ve ve
| | bu durumda ( ) dır.
Lyapunov‟ un 2. Kriterinden ( ) Schur kararlılık parametresini hesaplayalım;
denklemini kullanarak ve ( * olsun. ( * . / . / olduğundan ( *
Olur. Kaba olarak ( )
Örnek 4.2.
(
+
ile verilsin. A matrisinin kararlılık parametresini hesaplayalım, ( ) dir.
Tanım 4.1. ( ) , A‟nın kararlılık parametresi , ( ) kararlılığın derecesini belirtmek için kullanacağımız pratik kararlılık parametresi olmak üzere,
I. ( ) ise A matrisi Schur pratik kararsızdır.
II. ( ) ise A matrisi Schur pratik kararlıdır.( Akın ve Bulgak, 1998;
Bulgak 1999)
Uyarı 4.3.3. denkleminde pratik Schur kararlı A matrisinin Schur kararlılık parametresini ve H matrisini bilgisayar ortamında hesaplamakta mümkündür. Bu hesaplama ( ) „ de tanıtılan MVC programındaki QdaStab fonksiyonu yardımıyla yapılabilir.
Örnek 4.4. ( + ,
olmak üzere bazı değerlerine karşılık gelen ( ) parametrelerini MVC programı yardımıyla Tablo 4.1. de görelim. elde edilir. Tanım 4.1.‟ ten hareketle Tablo 4.1. incelendiğinde değeri için ( ) olduğundan bu değerde pratik Schur kararsız diğer değerlerde pratik Schur kararlıdır. Bunu Discrete Cauchy Solver ile görebiliriz. Bu programı kullanarak «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,10] dikdörtgen içinde Şekil 4.1 ile gösterildi. Burada mavi renk değerine , kırmızı , yeşil , sarı karşılık çizilmiştir.
1 2 3 4 5
( ) 6,62 43,29 168,29 473,4 1084,89
Tablo 4.1.
ġekil 4.1
Şekil 4.1.‟ i yorumlayacak olursak, değerleri büyüdükçe grafikteki sıçrama oranı artmaktadır. Bu da gösteriyor ki çözümler sıfıra yaklaşmaktan uzaklaşıyor. Bu da Schur
kararlılığın kalitesini düşürüyor. O halde şunu demek mümkündür. değerleri büyüdükçe matris Schur kararsız bir matrise dönüşecektir.
5. YÜKSEK MERTEBEDEN FARK DENKLEMLERĠN SCHUR KARARLILIĞI
Tanım 5.1. a bir reel sayı ve * ( )+ reel sayıların bir dizisi olmak üzere
( ) ( ) ( ) denklemine fark denklem denir. ( )
Tanım 5.2. ( ) reel sabitler olmak üzere
( ) denklemine N. mertebeden lineer sabit katsayılı homojen fark denklem denir ve denkleminin karakteristik polinomu
( ) ( )
şeklindedir ( ) .
Teorem 5.1. ( ) fark denkleminin sıfır çözümünün asimptotik kararlı olması için
gerek ve yeter şart ( ) polinomunun her karakteristik kökü için | | olmasıdır. ( )
Örnek 5.1.
( )
2. mertebeden fark denklemini alalım:
denklemin bir kökü olmak üzere , denklemin karakteristik polinomu
( ) ( ) dir. Buradan denklemin kökleri
bu durumda kökler birim çember dışında kaldığından ( ) denklemi Schur kararlı değildir. Bunu aşağıdaki Şekil 5.1. ile görelim:
ġekil 5.1.
Yüksek mertebeden fark denklemler ile fark denklem sistemleri arasında bağlantı vardır. Bu bağ ( ) „ de , N. Mertebeden bir fark denklem N- boyutlu lineer sisteme dönüşümü verildi. Bu dönüşümü kullanarak
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fark denklemini ele alıp fark denklem sistemi haline getirelim; ( ) ( )
dönüşümleri altında
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeklinde N- boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de
( ) ( ) olmak üzere ( ) ( ) ( ) -2 x y 2 1 -1
matris vektör şeklinde yazabiliriz. Bu geçişten dolayı yüksek mertebeden bir fark denklemin kararlılığının kalitesini araştırmakta daha kolay olacaktır. Sistemlerde kullandığımız Lyapunov 1. Kriteri ve Lyapunov 2. Kriterini burada da kullanabileceğiz.
Örnek 5.2.
( )
denklemini ele alalım.
Lyapunov 1. Kriterine göre; ( )
ve
| | olduğundan ( ) denklemi Schur kararlıdır. Lyapunov 2. Kriterine göre;
İlk olarak ( ) denklemini fark denklem sistemi haline getirelim: ( ) ( )
dönüşümleri altında
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
şeklinde 2- boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de . / ( ) ( ( )( )*
olmak üzere
( ) ( )
matris vektör şeklinde yazabiliriz. Lyapunov 2. Kriterinden,
( * olsun. ( * . / olduğundan, ( )
olur ve kaba olarak ( ) bulunur. Bu durumda sistem Schur kararlıdır. Dolayısıyla ( ) denklemi de Schur kararlıdır. Ayrıca bu sistem Schur kararlıdır. Bunu Discrete Cauchy Solver yardımıyla görebiliriz. Bu programı kullanarak «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,1.5] dikdörtgen içinde Şekil 5.2 ile gösterildi.
ġekil 5.2.
Şekil 5.2. grafiğine ek olarak farklı başlangıç şartları seçerek Şekil 5.3. grafiğini elde edebiliriz.
. / . / (Siyah ile çizilen) . / . / (Mavi ile çizilen)
6. K- GECĠKMELĠ FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠ
Tanım 6.1. ve tipinde reel matrisler olmak üzere, tam sayı ise
( )
denklem sistemi ( )- gecikmeli fark denklem sistemi olarak tanıtıldı ( ). Bu tanım ( ) „daki tanımın bir genişlemesidir; ( ). ( ), 2005‟ te verilen tanımın bir özel halidir.
Gecikmeli fark denklemler sistemi için bir ışık olması adına aşağıdaki sistemden hareketle kararlılık, düzgün kararlılık, asimptotik kararlılık tanımlarını verelim.
Tanım 6.2.
( ) , ( ) ve | ( )| , , negatif olmayan tamsayılar, reel sabitler olmak üzere
( ) ( ) ( ( )) ∑ ( ) . ( )/,
( )
gecikmeli fark denklem sistemi verilsin. ( )
Tanım 6.3. Her için en az bir ( ) , sayısı vardır öyle ki (6.2) ile verilen sistemin ‖ ‖ şartını sağlayan aşikar çözümü için | ( )| ,
( )sağlanıyorsa bu taktirde (6.2) ile verilen sistemin aşikar çözümü kararlıdır denir. Eğer „ dan bağımsız ise bu durumda aşikar çözüm düzgün kararlıdır denir. ( )
Tanım 6.4. Her için en az bir ( ) vardır öyle ki (6.2) ile verilen sistemin, herhangi ( ) için ‖ ‖ şartını sağlayan aşikar çözümü kararlı ve için | ( )| ise (6.2) ile verilen sistemin aşikar çözümü asimptotik
7. GECĠKMELĠ FARK DENKLEMLERĠN SCHUR KARARLILIĞI Tanım 7.1. a,b reel sabitler ve k negatif olmayan tamsayı olmak üzere,
( )
ile verilen denklem 1.dereceden k-gecikmeli fark denklemdir. ( )
Tanım 7.2. a, b sıfırdan farklı sabitler ve k(gecikme) tamsayı olmak üzere,
( )
ile verilen denklem 2. dereceden k-gecikmeli fark denklemdir. ( )
Tanım 7.3. a,b reel sabitler, k ve I pozitif tamsayılar olmak üzere,
( ) ( ) ( ) , ( ) ile verilen denklem yüksek mertebeden gecikmeli fark denklemdir. ( )
Bu tanımlardan hareketle gecikmeli fark denklem örnekleri verelim.
Örnek 7.1.
I) ile verilen denklem 1.mertebeden 3-gecikmeli fark denklemdir.
II) ile verilen denklem 2. mertebeden 4-gecikmeli fark denklemdir.
Giriş bölümünde yüksek mertebeden fark denklem ile gecikmeli fark denklem arasındaki bağı vermiştik. Şimdi de bu bağdan hareketle gecikmeli fark denklemden sisteme Kompanyan matrisle geçiş yapalım. Bunun için ( ) ile verilen gecikmeli fark denklemini ele alalım;
( ) ( ) dönüşümleri altında
( ) ( ) ( )
şeklinde - boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de kalan elemanlar 0; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olmak üzere ( ) ( ) ( )
matris vektör şeklinde yazabiliriz.( ) gecikmeli fark denkleminde ve alarak benzer şekilde dönüşüm yapalım:
Bu değerler altında
( )
gecikmeli fark denklemini elde ederiz. ( ) ( ) dönüşümleri altında
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ), için şeklinde - boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de
( ) , ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) olmak üzere ( ) ( ) ( )
matris vektör denklemi şeklinde yazabiliriz.
Burada incelemesini yapmayacağız fakat bir ışık olması açısından nasıl ki gecikmeli fark denklemlerden fark denklem sistemi elde edebiliyoruz aynı mantıkta
gecikmeli fark denklem sistemi de elde etmek mümkündür.. Bu çıkarımı doğrulamak için ( ) gecikmeli fark denklemini alalım
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dönüşümleri altında bu sistemi
( + , ( + ( ) olmak üzere ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Matris vektör gecikmeli fark denklem sistemi elde ederiz.
7.1. Schur Kararlılık
Farklı gecikme denklemlerinin asimptotik kararlılığı üzerine birçok araştırma mevcuttur. Fakat biz burada Schur kararlılık parametresini (kalitesini) görmek adına gecikme denkleminden sistemlere geçiş yapıp, sistemler üzerinden Schur kararlılık inceleyeceğiz.
Örnek 7.1.1. ( ) „de verilen
( ) gecikmeli fark denklemi ele alalım ve Schur kararlılığını inceleyelim:
Lyapunov 1. Kriterine (Spektral Kritere ) göre;
( ) „ ler karakteristik denklemin kökleri olmak üzere,
( )
Lyapunov 2. Kriterine göre; ilk olarak ( ) denklemine ait Kompanyan matrisi elde edelim: ( ) ( ) dönüşümleri altında ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), için şeklinde - boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de
( ) , ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) olmak üzere ( ) ( ) ( ) matris vektör denklemi şeklinde yazabiliriz. Bu sistemin Schur kararlılığını Lyaunov matris denkleminden hareketle araştıracağız. Bunun için MVC programını kullanacağız. buradan
( ) ‖ ‖
elde edilir ki ( ) ‖ ‖ olduğundan A matrisi Schur kararlıdır. Dolayısıyla ( ) denklemi de Schur kararlıdır. pratik Schur kararlılık parametresi olmak üzere şartını sağlayan değeri için ( ) denklemi pratik Schur kararlıdır. Burada olarak seçelim. Bunu Discrete Cauchy Solver yazılımıyla görebiliriz. «En iyi»( mavi) ve «en kötü» (siyah) çözümlerin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,2] dikdörtgen içinde Şekil 7.1. ile gösterelim.
ġekil 7.1.
Burada esas olarak inceleyeceğimiz gecikmeli fark denklem ( ) ile verilen denklemde durumu için elde edeceğimiz
( )
1. mertebeden 1- gecikmeli fark denklemidir. Sisteme farklı alternatif geçişler yapıldığında kararlılığın ne şekilde etkilendiği üzerinde durulacak ve siteme geçiş yapılırken elde edilen katsayılar matrisinin simetrik olması durumu araştırılacak. Ayrıca simetrik matrisin araştırılmasının amacı, uygulamada pratiklik sağlamasıdır. Bu geçişleri 3 geçiş olarak inceleyeceğiz. Şimdi ( ) denklemini ele alalım ve bu üç farklı geçişle Schur kararlılığın nasıl etkilendiğini gösterelim:
1. Birinci Geçiş:(Kompanyan Matris)
( ) ( ) dönüşümü altında
( ) ( )
( ) ( ) ( )
şeklinde - boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de
.
olmak üzere
( ) ( ) ( )
matris vektör denklemi şeklinde yazılabilir. Şimdi de ( ) sistemin Schur kararlılık parametresini Lyapunov‟un 2. yöntemine göre inceleyelim;
Lyapunov matris denkleminden ( * olsun. . / olmak üzere, olduğundan ( * ( * buradan H matrisi ( ). /
olarak bulunur. MVC programını kullanarak farklı ve b değerleri için matrisinin Schur kararlılık parametresi ( ) incelemesini Tablo 7.1. üzerinde gösterelim.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) 2.68 2.64 3.17 5.6 13.5
Tablo 7.1.
Ayrıca pratik Schur kararlılık parametresi olarak seçelip ve Tablo 7.1.‟den hareketle değerleri için Discrete Cauchy Solver yardımıyla «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,5] dikdörtgen içinde Şekil 7.2. ile gösterildi. Burada kırmızı renk ( ) ikilisine, mavi renk ( ) ikilisine ,yeşil renk ( ), sarı renk ( ) ve pembe renk ( ) ikilisine karşılık çizilmiştir.
ġekil 7.2.
Şekil 7.2.‟yi yorumlayacak olursak değerleri sabit iken değerleri sıfıra yaklaştıkça Schur kararlılığın kalitesinin arttığını değerleri 1‟den uzaklaştıkça Schur kararlılığının kalitesinin azaldığını söylemek mümkündür.
2.İkinci Geçiş:(Alternatif geçiş)
( ) ( ) dönüşümü altında
( ) ( )
( ) ( ) ( )
şeklinde - boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de
( ⁄ *, ( ) . ( )( )/ ( )
olmak üzere
( ) ( ) ( )
matris vektör denklemi olarak yazabiliriz. Şimdi de ( ) sistemin Schur kararlılık parametresini Lyapunov‟un 2. yöntemine göre inceleyelim;
Lyapunov matris denkleminden
( * olsun. . ⁄ / olmak üzere,
olduğundan
( ⁄ ⁄
⁄ * (
*
buradan H matrisi buradan
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )) bulunur. MVC programını kullanarak, Tablo 7.1‟i göz önünde bulundurarak ve değerleri için matrisinin Schur kararlılık parametresi ( ) incelemesini sırasıyla Tablo 7.2. ve Tablo 7.3. üzerinde gösterelim.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.9 4.2 10.9 37.6 120.5 Tablo 7.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.43 2.4 2.9 5.3 13.5 Tablo 7.3.
Ayrıca pratik Schur kararlılık parametre olarak seçilip ve Tablo 7.2.‟den hareketle değerleri için Discrete Cauchy Solver yardımıyla «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,5] dikdörtgen içinde Şekil 7.3. ile gösterildi. Burada kırmızı renk ( ) ikilisine, mavi renk ( )
ikilisine ,yeşil renk ( ), sarı renk ( ) ve pembe renk ( ) ikilisine karşılık çizilmiştir.
ġekil 7.3.
Şekil 7.3.‟ü yorumlayacak olursak, değeri için Şekil7.2.‟ den daha kötü olduğunu söyleyebiliriz. Yani Birinci Geçiş (Kompanyan matris) , değeri için İkinci Geçiş (Alternatif geçiş)‟ e göre daha iyidir fakat en iyi geçiş değildir. Şimdi de pratik Schur kararlılık parametresi olarak seçilip ve Tablo 7.3.‟ten hareketle değerleri için Discrete Cauchy Solver yardımıyla «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,5] dikdörtgen içinde Şekil 7.4. ile gösterildi. Burada kırmızı renk ( ) ikilisine, mavi renk ( ) ikilisine ,yeşil renk ( ), sarı renk ( ) ve pembe renk ( ) ikilisine karşılık çizilmiştir.
ġekil 7.4.
Şekil 7.4.‟ü yorumlayacak olursak, değeri için Şekil7.3.‟ ten daha iyi bir geçiş olduğunu olduğunu söyleyebiliriz. Buradan toparlayacak olursak Birinci Geçiş (Kompanyan matris) alınan değerlerine karşın İkinci Geçiş (alternatif geçiş)‟ e göre daha iyi bir geçiştir. Fakat burada şunu görüyoruz İkinci Geçiş (alternatif geçiş) , c değerlerine karşın Birinci Geçiş (Kompanyan matris)‟ten daha iyi bir geçişte olabilir. Burada bizim seçimlerimiz Schur kararlılığı etkilemektedir.
( ) denklemini kullanarak farklı geçişlerde farklı katsayılar matrisleri elde edildi. Ancak görüldüğü üzere bu matrisler simetrik matris değillerdir. Bundan dolayı burada denklemin Schur kararlılığını araştırırken Lyapunov matris denklemlerini çözmek durumunda kaldık. Bu durum da Schur kararlılık parametresini bulurken uygulamada pratiklik sağlamadı. Oysa simetrik matrislerde Lyapunov matris denklemi çözülmeden katsayılar matrisinin öz değerleri yardımıyla Schur kararlılık parametresi bulunur. Bu da uygulamada pratiklik sağlar. O halde sisteme nasıl bir geçiş yapalım ki elde edilen sistemin katsayılar matrisi simetrik olsun. Şimdi de geçişi üçüncü geçiş verelim:
3.Üçüncü Geçiş:(Simetrik matris)
( ⁄ *
olarak bulmuştuk. Bu matrisin simetrik olması için ⁄
olmalı. Dolayısıyla b negatif bir sayı olmalı ve √ geçişi yapılmalı. Yeni durumda katsayılar matrisini
( √
√ )
ile verelim. Bu durumda katsayılar matrisi simetrik matris haline getirildi.
( ) ‖ ‖ ‖
‖
ile bulunur. Burada yapmış olduğumuz üçüncü geçişten hareketle aşağıdaki teoremi verebiliriz:
Teorem 7.1.1. reel sabit sayı olmak üzere
ile verilen 1. mertebeden 1- gecikmeli fark denklem için
durumunda sisteme simetrik bir matrisle geçmek mümkündür. Bu geçiş ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) dönüşümü ile mümkündür.
durumunda sisteme simetrik bir matrisle geçiş mümkün değildir.
Örnek 7.1.2.
denkleminin Schur kararlılığını ve Schur kararlılık parametresini araştıralım. ( olduğundan simetrik geçiş mümkün)
( ) √ ( ) ( ) ( ) dönüşümü altında sisteminin matrisi
( )
olarak elde edilir.
denklemlerin kökleri
;
dir. | ( )| olduğundan Schur kararlı dolayısıyla ( ) denklemi de Schur kararlıdır ve Schur kararlılık parametresi
( ) ‖ ‖ ‖ ‖
olarak bulunur. Şimdi de ( ) denkleminin sisteme Kompanyan matrisi
( )
matrisini ele alarak Lyapunov 2. Kriterinden ( )‟ yi hesaplayalım: Lyapunov matris denkleminden
( * olsun. ( ) olmak üzere, olduğundan ( * ( * Buradan . /
elde edilir ve ( ) bulunur. Bu iki geçiş matrisleri incelediğinde ( ) ( ) olduğu görülür. Bu durumda da simetrik matrisle geçişin daha iyi olduğu sonucuna varılır. Bu durumu daha iyi görebilmek adına pratik Schur kararlılık parametresi olarak seçilip ve «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,1.5] dikdörtgen içinde Şekil 7.5. ile gösterildi. Burada mavi Kompanyan matrisle elde edilen sistemin çözümlerini, kırmızı ise simetrik matrisle elde edilen sistemin çözümleridir.
ġekil 7.5.
Grafikten görüldüğü üzere simetrik matris kullanılarak elde edilen sistemin çözümleri sıçrama yapmadan sıfıra yakınsarken, Kompanyan matris kullanılarak elde edilen
sistemin çözümleri sıçrama yaparak sıfıra yakınsıyor. Bu demek oluyor ki sıçrama arttıkça Schur kararlılığın zayıfladığını söylemek mümkündür. O halde simetrik geçiş Kompanyan matrisle geçişe göre daha iyidir.
Örnek 7.1.3.
( ) denkleminin Schur kararlılığını ve Schur kararlılık parametresini araştıralım.
( olduğundan simetrik geçiş mümkün)
( ) √ ( ) ( )
√ ( ) Dönüşümü altında sisteminin matrisi
( √
√
)
olarak elde edilir.
denklemlerin kökleri
;
dir. | ( )| olduğundan Schur kararlı dolayısıyla ( ) denklemi de Schur kararlıdır ve Schur kararlılık parametresi.
( ) ‖ ‖ ‖ ‖
olarak bulunur. Şimdi de ( ) denkleminin sisteme Kompanyan matrisi
matrisini ele alarak Lyapunov 2. Kriterinden ( )‟ yi hesaplayalım: Lyapunov matris denkleminden
( * olsun. ( ) olmak üzere ( ) ( * olur. Buradan ( )
olarak elde edilir. Bu durumda ( ) olarak bulunur. Bu iki geçiş matrisleri incelendiğinde ( ) ( ) olduğu görülür. Bu durumda da simetrik matrisle geçişin daha iyi olduğu sonucuna varılır. Bu durumu daha iyi görebilmek adına pratik Schur kararlılık parametresi olarak seçilip ve «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,1.5] dikdörtgen içinde Şekil 7.6. ile gösterildi. Burada mavi Kompanyan matrisle elde edilen sistemin çözümlerini, kırmızı ise simetrik matrisle elde edilen sistemin çözümlerini göstermektedir..
ġekil 7.6.
Grafikten görüldüğü üzere simetrik matris kullanılarak elde edilen sistemin çözümleri sıçrama yapmadan sıfıra yakınsarken, Kompanyan matris kullanılarak elde edilen sistemin çözümleri sıçrama yaparak sıfıra yakınsıyor. Bu demek oluyor ki sıçrama arttıkça Schur kararlılık zayıflıyor. O halde simetrik geçiş Kompanyan matrise göre daha iyidir.
Örnek 7.1.4
( ) ile verilen gecikmeli fark denklemin Schur kararlılığını araştıralım: ( olduğundan simetrik geçiş mümkün değildir.
Sisteme Kompanyan matrisle geçiş yapalım: Bu sistemin Kompanyan matrisi olmak üzere
. /
elde edilir. Şimdi de sisteme alternatif bir matrisle geçiş yapalım geçiş yapalım ( ) ( )
dönüşümü altında elde edilen matris olmak üzere,
( )
elde edilir. Buradaki geçişlerde Schur kararlılık parametreleri hesaplanmadı. Discerete Cauchy Solver programı yardımıyla pratik Schur kararlılık parametresi olarak seçilip ve «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,15] dikdörtgen içinde Şekil 7.7. ile gösterildi. Alternatif geçişte elde etmiş olduğumuz matrisinde değerine karşılık gelen çözümler kırmızı , değerine karşılık gelen çözümler yeşil ile gösterilmektedir. Ayrıca olması durumu bizi Kompanyan matrisine götürür. matrisine karşılık gelen çözümler de mavi ile gösterilmektedir.
ġekil 7.7.
Bu grafiği yorumlayacak olursak, Grafikten hareketle Schur kararlılık parametrelerini ( ( )) ( ( )) ( ( )) olduğu açıktır. Burada alternatif geçişle elde etmiş olduğumuz matris için „ ya verilen değerler matrisi Pratik Schur kararlı bir matrise de dönüştürebilir. Pratik Schur kararsız bir matrise de dönüştürebilir. Bu yüzden alternatif geçişte bizim için bu nokta itibari ile önem arz ediyor.
Yukarıdaki örneklerde sistemlere farklı geçişler yapılarak, bu geçişlerde Schur kararlılığın ne derece etkilendiği gözlendi. Simetrik bir geçişin hangi şartlar altında var
olduğu ifade edildi. Simetrik geçişin daha iyi bir yol olduğu grafiklerle gösterildi. Şimdi de gecikme miktarının fark denklemlerin Schur kararlılığı üzerindeki etkisini örnekler üzerinden gösterelim.İlk olarak, gecikme durumu olmadan Schur kararsız olan bir fark denkleme gecikme eklediğimiz yeni durumda denklemin Schur kararlı olabileceği durumu verelim. Bu durum için özel olarak seçmiş olduğumuz 1. mertebeden fark denkleme ekleyeceğimiz gecikme miktarı, denklemi 1. mertebeden 1-gecikmeli fark denkleme dönüştürecek şekilde yapacağız.
( ) , karakteristik denklemin kökü olmak üzere
| | olduğundan ( ) denklemi Schur karasızdır. ( ) denklemine gecikme ekleyerek elde ettiğimiz
( )
gecikmeli fark denklemin Schur kararlılığını araştıralım. Bu araştırmayı yaparken Levin ve May (1976)‟ daki çalışması ve Kuruklis (1994)‟ teki çalışmasında bu gecikme denkleminin asimptotik kararlılığı için verilen teoremden yararlanacağız.
denkleminin köklerinin birim çember içerisinde kalması için gerek ve yeter şart
sağlanmasıdır. O halde ( ) denklemine eklemiş olduğumuz gecikmenin denklemi Schur kararlı hale getirmesi için gerek ve yeter şart
( ) sağlanmasıdır. Bu durumu örneklemek adına Örnek 7.1.5.‟i verelim:
Örnek 7.1.5.
( ) denklemini alalım. ( ) şartı altında gecikeme durumu eklersek
( ) elde ederiz. ( ) denkleminin karakteristik denklemi, ‟ ler denklemin kökleri olmak üzere
buradan
;
olarak bulunur. | | olduğundan ( ) denklemi Schur kararlıdır. Yani başlangıçta Schur kararlı olmayan ( ) denklemi gecikme alarak Schur kararlı bir denklem haline geldi.
İkinci olarak, gecikme durumu olmadan Schur kararlı olan bir fark denkleme gecikme miktarı eklediğimiz yeni durumda Schur kararsız olabileceği durumu verelim:
Örnek 7.1.6.
( ) , karakteristik denklemin kökü olmak üzere
| | olduğundan ( ) denklemi Schur kararlıdır. ( ) denklemine gecikme miktarı eklersek
denklemini elde ederiz. ( ) denkleminin köklerinin birim çember içerisinde kalması için gerek ve yeter şart Kuruklis ( )‟ te
( )
ile verildi. O halde ( ) denkleminin Schur kararsız olması için değerinin ( ) dışında değerler almasıdır. için
( ) elde edilir. ( ) denkleminin karakteristik denklemi,
‟ ler denklemin kökleri olmak üzere ;
olarak bulunur ki | | fakat | | olduğundan ( ) denklemi Schur kararsızdır. Yani başlangıçta Schur kararlı olan ( ) denklemi gecikme alarak Schur kararsız bir denklem haline geldi.
Son olarak gecikmeli bir fark denkleme eklemiş olduğumuz gecikme miktarının Schur kararlılığa etkisini aşağıdaki örnekte verelim:
Örnek 7.1.7.
( ) , karakteristik denklemin kökü olmak üzere
| | olduğundan ( ) denklemi Schur kararlıdır. Ayrıca bunu ( ) şartından da direkt görmek mümkündür. ( ) denklemine gecikme eklersek
( ) elde ederiz. ( ) ( ) dönüşümleri altında ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), için şeklinde - boyutlu bir fark denklem sistemi yazabiliriz. Bu sistemi de
( , , ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) olmak üzere ( ) ( ) ( ) matris vektör denklemi şeklinde yazabiliriz. Bazı b değerlerine karşılık gelen Schur kararlılık parametreleri ( )‟lar MVC programı yardımıyla Tablo 7.4. ile verildi.
( ) 11.48 10.9 11.3 13.1 17.5
Tablo 7.4.
Tablo 7.4‟ ten anlaşıldığı üzere b değerleri ( ) denklemini Schur kararlı yapan değerlerdir. Discerete Cauchy Solver programı yardımıyla pratik Schur kararlılık parametresi olarak seçilip ( ) sisteminin «en kötü» çözümlerinin Öklid vektör normların hareketi [0,30]×[0,3] dikdörtgen içinde Şekil 7.8. ile gösterildi. Burada durumu mavi , durumu kırmızı , durumu yeşil , durumu sarı ve durumu pembe ile çizilendir.
ġekil 7.8.
Şekil 7.8. „i yorumlayacak olursak değerlerinin sıfırdan uzaklaştıkça sistemin kararsızlığa doğru gittiğini görüyoruz. Burada sistem için en iyi durumun durumu olduğu görülmektedir. O halde toparlayacak olursak örneğimizi, başlangıçta Schur kararlı olan ( ) gecikme denklemi, eklenen gecikme miktarıyla ( ) gecikme denklemine dönüştü. değerlerinin Tablo 7.4. teki gibi seçilmesi durumunda Schur kararlılık bozulmayacaktır. Fakat | | seçilmesi durumunda başlangıçta Schur kararlı olan ( ) gecikme denklemini Schur kararsız hale getirecektir.
8. SONUÇ VE DEĞERLENDĠRME
Bu tez çalışmasında son yıllarda da üzerinde durulan gecikmeli fark denklemler konusu ele alınmıştır. Gecikmeli fark denklemlerin yüksek mertebeden fark denklemlerle olan ilişkisi göz önünde bulundurulup, bu doğrultuda sisteme geçişler yapılmıştır. Bu geçişler Kompanyan matristen hareketle, eğer varsa simetrik matristen hareketle ve Alternatif matristen hareketle geçişler yapılmıştır. Bu geçişlerde Schur kararlılık ve parametresi incelenmiştir. Burada Simetrik matrislerle uğraşmanın uygulamada kolaylık sağladığı görülmüştür. Aynı zamanda alternatif geçiş matrisinin Pratik Schur kararlılık üzerinde etkisi gösterilmiştir. Tüm bunların yanında gecikme miktarı eklemenin fark denklemler üzerinde Schur kararlılığa etkisi gözlemlenmiştir. Tüm bunlar yapılırken tezin daha anlaşılır olması adına Schur kararlılığın ne derece etkilendiğini gösteren grafiklerin çizimleri için kullandığımız Discrete Cauchy Solver programı teze bir ışık tutmuştur. Schur kararlılık parametrelerini hesaplarken bazen farklı değerlerle uğraşmak durumunda kaldığımız durumda MVC programı fazlasıyla bu konuda yardımcı olmuştur.
Tez çalışmasında 1. mertebeden 1- gecikmeli fark denklemi üzerinde duruldu. Farklı geçişlerde Schur kararlılık parametresinin değişimi gözlemlendi. Sisteme geçişte simetrik bir matrisle geçişin hangi durumda mümkün olduğu incelendi. Simetrik matrisle uğraşmanın daha kolay ve daha iyi olduğu gözlemlendi. Bundan dolayı bu durum 1. mertebeden 1- gecikmeli fark denklemlerle sınırlı kalmamalıdır. Daha yüksek mertebeden gecikmeli fark denklemler için de simetrik matrisle geçişin var olduğu durumların araştırılmasının bilim dünyamıza bu noktada katkı sağlayacağı kanaatindeyim. Ayrıca alternatif geçiş matrisi üzerinde durulmaya değer önemli bir araştırma konusudur.
KAYNAKLAR
Akın Ö., Bulgak H., 1998,Lineer Fark Denklemleri ve Kararlılık Teorisi, Selçuk Üniversitesi Rektörlüğü Basımevi, 180.
Barbarossa M., 2011,Delay Difference Equations,Supplementary Material,February 11,5 pp.
Bereketoğlu, H., Kutay, V., 2012. Fark Denklemleri. Gazi Kitabevi, Ankara,300. Bulgak A., Bulgak H., 2001,Lineer Cebir, Sel.Ün. Vakfı, Konya.
Bulgak H., 1995, Algoritm for Solving the Lur‟e-Riccati Matrix Equation with Guaranteed Accuracy, Siberian Adv. in Mathematics, V.5,N:4, pp. 1-49.
Bulgak H. , Eminov D, 2001.Computer Dialogue System MVC, Selcuk. J. Math., v2, n2, pp.17-38.
Bulgak A., Eminov D., 2003., Cauchy Solver, Selcuk. J. Appl. Math.,v4, n2, pp.13-22. Bulgakov A. Ya. and Godunov S. K., 1988, Circle dichotomy of the matrix spectrum,
Siberia Math. J., 29, No: 5, 59−70, Novosibirsk.
Bulgak H., 1999, Pseudoeigenvalues, spectral portrait of a matrix and their connections with different criteria of stability, Error Control and Adaptivity in Scientific Computing, 95−124.
Chen W. H., Lu X., 2004, Asymptotic Stability in Pertubed Delay Difference Systems, Journal Mathematical Analysis and Applications 299 , 261-272.
Değer S.U., Bolat Y., 2017,Stability Conditions a Class of Linear Delay Difference Systems, Applied and Interdisciplinary Mathematics/Research Artıcle, 4:1294445, 1-13.
Duman A. and Aydın K., 2011, Sensitivity of Schur Stability of Systems of Linear Difference Equations with Constant Coefficients, Scientific Research and Essays Vol.6(28), pp. 5846-5854, 23 November.
Elaydi S., 2005,An Introduction to difference Equations, Springer Science +Business Media. Inc., Third Edition, USA, 546.
Godunov S. K.,1997, Modern Aspects of the Linear Algebra, Novosibirsk, Nauchnaya Kniga, -388p. ( in Russian )
Goldberg D., 1991, What Every Computer Scientist Should Know About
Floating-Point Arithmetic, Xerox Palo Alto Research Center, 3333 Coyote Hill Road, Palo Alto, California 94304.
Kaslik E., 2009, Stability Results for a Class of Difference Systems with Delay, Hindawi Publishing Corporation Advances in Diff erence Equations Volume, Article ID 938492, 13 pages doi:10.1155/2009/938492.
Kipnis M. and Komissarova D., 2006,Stabılıty of a Delay Difference System, Hindawi Publishing Corporation Advances in Diff erence Equations Volume 2006, Article ID 31409, Pages 1–9 DOI 10.1155/ADE/31409.
Kipnis M.M. and Malygina V.V., 2011,The Stability Cone for a Matrix Delay Difference Equation, Hindawi Publishing Corporation ,İnternational Journal of Mathematical Sciences ,Volume 2011,Article ID 860326,15 pages,doi:10.1155/860326.
Kuruklıs S.A., 1994,The Asymptotic Stability of Journal of Mathematıcal Analys and Applications 188,pp. 719-731.
Levin S.A.,and May R.M., 1976, A Note on Difference-Delay Equations , Theoretical Population Biology,9, pp.178-187.
Matsunaga H., 2005,A Note on Asymptotic Stability of Delay Difference Systems, Journal of İnequalities and Applications ,pp.119-125.
Matsunaga H., 2007,Exact Stability Criteria for Delay Differential and Difference Equations, Applied Mathematics Letters , pp.183-188.
Ogita R.,Matsunaga H. and Hara T., 2000,Asymptotic Stability Conditionfor a Class of Linear Delay Difference Equations of Higher Order, Journal of Mathematical Analysis and Applications 248, 83-96.
Parlett B.,1980, The Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice-Hall, Series in Computational Mathematics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.
Ren H., 2007,Stability Analysis of Second Order Delay Difference Equations, Funkcialaj Ekvacioj ,405-419.
Rohn J., 1994. Positive definiteness and stability of interval matrices, Siam Journal on Matrix Analysis and Applications, 15 (1), 175−184.
Trefethen L. N., Pseudospectra of Matrices. In : D.F.Grifits and G.A. Watson eds. Numerical Analysis. 1991. Longman Sci. Tech. Publ. 1992. P. 234-366.
Neumann J., Goldstine H.H., 1947,Numerical inverting of matrices of high order, Bull. Amer. Math Soc., v. 53, no. 11, 1021-1099.
Wilkinson J.H. ,1965 , The algebraic Eigenvalue Problem, Clarendom Press Oxford. Wang K. N. and Michel A. N., 1,93.On sufficient conditions for the stability of interval matrices, Systems & Control Letters, 20 (5), 345−351.
Yu J.S., ,1998,Asymptotic Stability for a linear Difference Equation with Variable Delay, Computers Math. Applic. Vol. 36,No. 10-12.pp. 203-210.
ÖZGEÇMĠġ
KĠġĠSEL BĠLGĠLER
Adı Soyadı : Döndü ERGİN
Uyruğu : TC
Doğum Yeri ve Tarihi : AKSARAY- 03/08/1991
Telefon : 05437352264
Faks :
e-mail : dnd13ergin@gmail.com
EĞĠTĠM
Derece Adı, Ġlçe, Ġl Bitirme Yılı
Lise : Ortaköy Anadolu Lisesi/Ortaköy/Aksaray 2009 Üniversite : Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi/Konya 2014 Yüksek Lisans :
YABANCI DĠLLER
