Faber polinomlarının asimptotik özellikleri

T.C

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

FABER POLİNOMLARININ ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Teslime IŞIK

ÖZET

FABER POLİNOMLARININ ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Teslime IŞIK

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı

(Yüksek Lisans Tezi / Tez Danışmanı: Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV) Balıkesir, 2008

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar, gösterimler ve teoremler verilmiştir.

Üç kısımdan oluşan ikinci bölümde, Faber polinomları ve onların asimptotik ve yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Birinci kısımda Faber polinomları tanımlanmış, ikinci kısımda Faber polinomlarının basit asimptotik özellikleri araştırılmıştır, üçüncü kısımda ise Faber polinomlarının yaklaşım özellikleri incelenmiştir.

Üçüncü bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda genelleşmiş Faber polinomları ve ikinci kısımda ise p-Faber polinomları tanımlanmıştır. Son kısım ise p-Faber polinomlarının asimptotik özelliklerine ayrılmıştır.

ANAHTAR KELİMELER: Faber polinomu / genelleşmiş Faber polinomu / p-Faber polinomu / p-Faber serisi

ABSTRACT

ASYMPTOTIC PROPERTIES OF FABER POLYNOMIALS Teslime IŞIK

Balıkesir University, Institue of Science, Deparment of Mathematics

(M. Sc. Thesis / Supervisor: Prof. Dr. Daniyal M. ISRAFILOV) Balıkesir-Turkey, 2008

This work consists of three chapters.

In the first chapter basic definitions, notations and theorems which are used in the following chapters are given.

In the second chapter, which consists of three sections the Faber polynomials and their asymptotic and appoximation properties are investigated. Here, in first section Faber polynomials are defined, in second section the simple asymptotic properties of Faber polynomials are investigated, in third section appoximation properties of Faber polynomials are studied.

The third chapter consists of three sections. In the first section the generalized Faber polynomials and in second section p-Faber polynomials are defined. The last section devoted to the asymptotic properties of p-Faber polynomials.

KEY WORDS: Faber polynomial / generalized Faber polynomial / p-Faber polynomial / Faber series

İÇİNDEKİLER Sayfa

ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER ii

ABSTRACT, KEY WORDS iii

İÇİNDEKİLER iv

SEMBOL LİSTESİ v

ÖNSÖZ vi

1. ÖN BİLGİLER 1

1.1 Temel Tanım ve Teoremler 1

2. FABER POLİNOMLARI 5

2.1 Faber Polinomlarının Tanımı 5

2.2 Faber Polinomlarının Basit Asimptotik Özellikleri 12

2.3 Faber Polinomlarının Yaklaşım Özellikleri 20

3. GENELLEŞMİŞ FABER POLİNOMLARI 27

3.1 Genelleşmiş Faber Polinomlarının Tanımı 27

3.2 p-Faber Polinomları 28

3.3 p-Faber Polinomlarının Asimptotik Özellikleri 29

SONUÇ 40

SEMBOL LİSTESİ

Simge Adı

C _{Karmaşık sayılar kümesi} R Gerçel sayılar kümesi N Doğal sayılar kümesi

K Bağlantılı tümleyene sahip sınırlı bir kontinyum G Sınırlı basit bağlantılı bölge

Γ _{G bölgesinin sınırı}

R

Γ _{K kontinyumunun seviye çizgisi}

R

G Γ_{R seviye çizgisinin içi} R

D Γ_{R seviye çizgisinin dışı}

)} (

{F_n z K _{kontinyumunun Faber polinomları} )

(Γ

l Γ _{eğrisinin uzunluğu}

G G bölgesinin kapanışı

U {z∈C: z <1} kümesi ( açık birim disk) D(z0,δ) {z∈ C: z−z0 <δ } kümesi

ÖNSÖZ

Faber polinomları, genelleşmiş Faber polinomları ve onların asimptotik

özelliklerini konu alan bu çalışmam boyunca bana zamanını ayıran ve yardımlarını

esirgemeyen danışmanım Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV’a teşekkürlerimi

sunarım.

Ayrıca bu noktaya gelmemde büyük emekleri olan, desteklerini her zaman hissettiğim annem, babam ve ağabeyime de teşekkürlerimi bildiririm.

1. ÖN BİLGİLER

1.1 Temel Tanımlar ve Teoremler

1.1.1 Tanım: Karmaşık düzlemde bağlantılı ve açık bir kümeye bölge, bağlantılı ve kapalı bir kümeye de kontinyum denir [1, s:1].

1.1.2 Tanım: [a,b] ⊂ R olmak üzere sürekli bir

Γ [a,b]: →C

fonksiyonuna karmaşık düzlemde bir eğri denir. Burada Γ(a) ve Γ(b) noktalarına sırasıyla eğrinin başlangıç ve bitim noktaları denir. Bir Γ eğrisi verildiğinde

) (a

Γ =Γ(b) ise Γ ’ya kapalı eğri; bir Γ eğrisi sadece t1 =t2 için Γ(t1)=Γ(t2)

oluyorsa Γ ’ya Jordan eğrisi; Γ' türevi var ve sürekli ise Γ ’ya diferansiyellenebilir

eğri; diferansiyellenebilir bir Γ eğrisi için eğer, Γ t'( )≠0 oluyorsa Γ ’ya düzgün eğri

denir [2, s:126].

1.1.3 Tanım: B karmaşık düzlemde bir bölge olmak üzere f :B→C sürekli

dönüşümü verilsin. Eğer bir z0∈B noktasından geçen ve aralarında α açısı yapan

herhangi iki düzgün γ₁ ve γ₂ eğrilerinin f(γ₁) ve f(γ₂) resim eğrileri de w₀ da

aralarında yön ve büyüklük bakımından α açısı yapıyorlarsa f fonksiyonuna z₀ da bir konform dönüşümdür denir [2, s:309-310].

1.1.4 Tanım: Bir f karmaşık fonksiyonu bir z₀ noktasının belli bir D(z₀,δ) , δ >0, komşuluğundaki bütün noktalarda diferansiyellenebiliyorsa f, z₀’da analitiktir denir [2, s:100].

1.1.5 Tanım: Γ karmaşık düzlemde bir eğri olsun. Eğer bir T çemberini Γ’ya

resmeden ve T çemberinin bir komşuluğunda konform olan bir dönüşüm varsa

Γ eğrisine analitik eğri denir [3, s:20].

1.1.6 Tanım: Bir γ (t) = z(t) = x(t) + iy(t), 0≤ t ≤1 eğrisini alalım. Bunun uç

noktaları z₀= z(0) ve z₁= z(1) olsun. Eğer, eğri üzerindeki noktalar, z₀’dan

başlamak üzere t’nin artışına karşılık geliş sırasına göre taranırsa, γ pozitif yönde

dönülmüş olur [2, s:129].

1.1.7 Teorem(Riemann Dönüşüm Teoremi): G⊂C sınırı en az iki noktadan

oluşan basit bağlantılı bir bölge ve z0∈G olsun. Bu durumda, G bölgesini U’ya,

f(z0)=0 ve f'(z0)>0

koşulları altında resmeden bir tek f konform dönüşümü vardır [4, s:8].

1.1.8 Teorem: E⊂C en az iki noktadan oluşan, bağlantılı tümleyene sahip, sınırlı

bir kontinyum olsun. Bu durumda, CE bölgesini UC ’ ya

ϕ(∞)=∞ , '(∞)=lim ( ) >0 ∞ → _z z z ϕ ϕ

koşulları altında resmeden bir tek ϕ konform dönüşümü vardır [4, s:104].

R>1 olmak üzere, merkezi 0 ve yarıçapı R olan çemberin ϕ fonksiyonu

altındaki ters görüntüsü

ΓR ={z:ϕ(z) =R,R>1}

olsun. R

1.1.9 Teorem(Sınırsız Bölgeler İçin Cauchy İntegral Teoremi): G, sonlu

uzunluklu bir Jordan eğrisi ile sınırlanmış sınırlı bir bölge ve Γ bunun pozitif

yönlendirilmiş sınırı olsun. f, CG bölgesinde analitik bir fonksiyon ise

∫

Γ     ∈ ∞ ∈ − ∞ = − f z G G C z z f f d z f i ( ); ); ( ) ( ) ( 2 1 ς ς ς π olur [6, s:486].

1.1.10 Teorem(Hölder Eşitsizliği): E bir ölçüm uzayı olmak üzere, p>1 , q>1 ve 1 1 1 = + q p için f L (E) p ∈ ve g Lq(E) ∈ ise 1( ) E L fg∈ ve q E q p E p E dx x g dx x f dx x g x f 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( _               ≤

∫

∫

∫

olur [7, s: 388].

1.1.11 Teorem(Sınırların uygunluğu teoremi): G, Γ ile sınırlı basit bağlantılı bir

bölge ve w=f(z), G’yi w <1 diskine konform ve birebir olarak dönüştüren bir

dönüşüm olsun. Bu dönüşümün G ve w <1 kümeleri arasında bir homeomorfizme genişletilebilmesi için gerek ve yeter koşul Γ ’nın bir Jordan eğrisi olmasıdır

[4, s:70].

1.1.12 Teorem(Weierstrass M-Testi): A⊂ C ve gn, A üzerinde tanımlı fonksiyonların bir dizisi olsun. Gerçel sayıların aşağıdaki koşulları gerçekleyen bir

n

M dizisi varsa,

∑

∞

1

k

(i) Mn ≥0,

∑

∞ 1

n

M yakınsak,

(ii) Her z∈A için, gk(z) ≤Mk , k=1,2,3,…

[2, s:189].

1.1.13 Tanım: xn ve yn iki pozitif dizi olsun. Eğer xn ≤c.yn , n=1,2,3,…, olacak

şekilde n’den bağımsız bir c>0 var ise x_n =O(y_n) gösterimi kullanılır.

2. FABER POLİNOMLARI

2.1 Faber Polinomlarının Tanımı

Γ sınırı en az iki noktadan oluşan basit bağlantılı bir G bölgesi verilsin.

Γ ∪ = G

G kapalı bölgesinin tümleyeni D olsun (D=C−G). Riemann konform dönüşüm teoremine göre D bölgesini w >1bölgesine birebir ve konform resmeden ve ϕ(∞)=∞, '(∞)=lim ( ) >0 ∞ → _z z z ϕ ϕ (2.1)

koşullarını sağlayan ϕ dönüşümü tektir. Gerçekten; D bölgesinin z=∞ noktasını 0 1 = z noktasına taşıyan 0 1 1 z z z − = (z₀∈G)

dönüşümü altındaki görüntüsü G₁ bölgesi olsun ve w₁ =φ(z₁), G₁ bölgesini

φ(0)=0, φ'(0)= lim 1 1 1 0 1 = → _z w z

koşulları altında w₁ <1 bölgesine dönüştüren fonksiyon olsun. Buradan D bölgesini

1

1 >

      − = = 0 1 1 ) ( z z z w φ ϕ

fonksiyonu (2.1)’de istenen özellikleri sağlar. Gerçekten

∞ = =∞ ) 0 ( 1 ) ( φ ϕ 1 0 1 1 lim ) ( lim 1 1 1 0 0 1 > = + = → ∞ → _w z z z z z z z ϕ dır.

ϕ fonksiyonu D’de sadece ∞ noktasında analitik değildir. (2.1)’deki şartlar

altında ∞ noktası ϕ fonksiyonun birinci mertebeden kutup yeridir. Buradan hareketle ϕ fonksiyonunun ∞ ’un komşuluğundaki Laurent açılımı

( ) 1 ₂2 ... 0 + + + + = z z z z γ γ γ γ ϕ biçimindedir. n = 0,1,2,3,… için

[

]

n n z z z z       + + + + = ... ) ( 1 ₂2 0 γ γ γ γ ϕ ... ... ... ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 + + + + + + + + + = ₋ − ₋ − _k n k n n n n n n n n n n n n z b z b z b a z a z a z a z γ

olduğu görülmektedir. Sonuncu eşitliğin sağındaki z’nin negatif olmayan

kuvvetlerinden oluşan ( ) 0 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 ... ) ( n n n n n n n n n n n z z a z a z a z a F =γ + ₋ − + ₋ − + + +

... ... ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 _{+ + +} k n k n n z b z b z b

toplamını da −En(z)ile gösterirsek

[

ϕ(z)

]

n =F_n(z)−E_n(z) eşitliğinden F (z)

[

(z)

]

En(z) n n = ϕ + elde ederiz.

Bazı önemli kümelerin Faber polinomlarını verelim.

2.1.1 Örnek : Eğer G bölgesi z−z₀ < R₀ diski ise bu diskin dışının w >1

bölgesine, ϕ(∞)=∞ ve '(∞)=lim ( ) >0 ∞ → _z z z ϕ

ϕ koşullarını sağlayan konform

dönüşümü 0 0 ) ( R z z z w=ϕ = −

dir. Bu durumda her n doğal sayısı için

n n n z z R z F ( ) 1 ( ₀) 0 − =

olur. Görüldüğü gibi z−z₀ <R₀ diski için Faber polinomları konform dönüşüm

2.1.2 Örnek: K =[−1,1] olsun. Bu durumda K kontinyumunun dışının 1 > w bölgesine, ϕ(∞)=∞ ve '(∞)=lim ( ) >0 ∞ → _z z z ϕ

ϕ koşulları altındaki konform

dönüşümü w=ϕ(z)= z+ z2 −1 şeklindedir. Karekök fonksiyonunun 1 1 1 lim 2 _{− =} ∞ → _z z

z koşulunu sağlayan dalını seçtiğimizde ϕ fonksiyonunun tersi

      + = = w w w z 1 2 1 ) ( ψ , w >1

Zhukovskii fonksiyonu olur. Bu fonksiyonu

∑

∞ = + = − = 0 1 ) ( ) ( ) ( ' ) , ( n n n t z F z t t z t ψ ψ ϕ , z∈G_R, t >R

formülünde yerine yazarsak

∑

∞ = + = + − − = − 2 0 1 2 _{( )} ) 1 2 ( 1 ) ( ) ( ' n n n t z F tz t t t z t t ψ ψ olur. Buradan

∑

∞ = = + − − 0 2 2 _{( )} 1 2 1 n n n t z F tz t t , t >R, ϕ(z) <R elde edilir. w t = 1 dersek ( ) 2 1 1 0 2 2 z F w w wz w n n n

∑

∞ = = + − − _{, 1} < w olduğu görülür.

Diğer yandan ortagonal polinomlar teorisinde ispatlanmıştır ki ) arccos cos( ) (x n x

T_n = biçiminde tanımlı Chebyshev polinomları için

( ) 2 ( ) 2 1 1 1 0 2 2 z T w z T w wz w n n n

∑

∞ = + = + − −

açılımı geçerlidir. Böylece

F₀(z)=T₀(z) ve Fn(z)=2Tn(z), n≥1

elde edilir.

2.1.3 Örnek: R>1 olmak üzere düzlemde odakları ∓1, yarı eksenleri

      + = R R a 1 2 1 ,       − = R R b 1 2 1

olan elips verilsin. Bu elipsin denklemi

      + = iθ _iθ z Re 1 Re 2 1 , 0≤θ ≤2π

şeklinde yazılabilir. Böylece konform dönüşüm fonksiyonu

      + = = Rw Rw R w z 1 2 1 ) ; ( ψ ,

(

1

)

2 1 ) ; ( 2 − + = = z R z z w ϕ

formülleri ile tanımlanabilir. Bu elips için Faber polinomları

( ; ) 1 ( ) 2 T (z) R z F R R z F_n = _{n n} = _{n n} , n≥1

şeklinde bulunur. 2.1.4 Örnek: K kontinyumu z a z a zp a z a a p p p p _{+ +} − _{+ + + ≤} − − − 1 0 2 2 1 1 ...

koşulunu sağlayan noktalar kümesinin belirlediği p odaklı lemniscate olsun.

Bu durumda konform dönüşüm fonksiyonu

p p p p p z a z a z a z a a z z w 1 0 1 1 2 2 1 ... 1 ) ( _      + + + + + = =ϕ − − ₋ , z∈D

dir. Kökün temel değerini alırsak (lim(1 .... ) 1

1 0 1 = + + − ∞ → p p p z _z a z a olacak şekilde)

(

p

)

m p p mp mp a z a z a z a z) 1 ₁ 1 ... _{1 0} ( = + ₋ − + + + ϕ , m=1,2,…

(

p

)

m p p mp mp z a z a z a a z F ( )= 1 + ₁ −1 +...+ ₁ + ₀ − , m=1,2,… olur.

Bu örnekte m=1,2… iken mp mertebeli bütün Faber polinomları hesaplanabilir. Özellikle eğer iki odaklı z2 −1≤1 lemniscate verilirse

n

n z z

F₂ ( )=( 2 −1) elde edilir. Üstelik

... 16 1 8 1 2 1 1 1 ) ( 2 _{3 5} 1 2 _ = − − − +     − = z z z z z z z ϕ

formülüne dayanarak küçük derecelerin tek Faber polinomları hesaplanabilir. Örneğin

F₁(z)=z, F z z z 2 3 ) ( 3 3 = − elde ederiz. 2.1.5 Örnek: ₃ 3 1 ) ( w w w z =ψ = + , w >1 (2.2)

fonksiyonu w >1 bölgesinde basit kutba sahip olduğu ∞noktası hariç analitiktir.

Bu fonksiyonda iθ e w= yazarsak (cos3 sin3 ) 3 1 sin cos 3 1 ) ( 3 θ θ θ θ ψ eθ eθ e θ i i z = i = i + −i = + + −

buluruz. Reel ve imaginer kısımları ayırarak _4cos3θ_{, 4sin}3θ

=

= y

x astroid

denklemlerini elde ederiz. Sınırların uygunluğu kuralına dayanarak (2.2) fonksiyonu

1 >

w bölgesini birebir ve konform olarak astroidin dışına dönüştürür. Faber

polinomlarının üreteç fonksiyonunu hesaplayarak

∑

∞ = + = − + − = − 4 3 0 1 4 _{( )} ) 3 1 ( 1 ) ( ) ( ' n n n w z F zw w w w z w w ψ ψ elde ederiz.

Bu durumda z’nin keyfi değerleri için Faber polinomlarını yazmak kolay

değildir. Sadelik için bu polinomların değerlerini z=0 için hesaplayalım. z=0

olduğunu farz edersek

∑

∑

∑

∞ + ∞ ∞ + − − − = − − = + − 5 4 1 4 4 5 4 4 5 4 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 1 ) 3 / 1 ( 1 1 . 1 k k k k k k k k k w w w w w w w w

elde ederiz. Bu açılımdan k _k k k k k k F 3 4 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 0 ( ₁ 1 4 = − − − − = ₋ − , k ≥1 Fn(0)=0, n≠4k olduğu görülür.

2.2 Faber Polinomlarının Basit Asimptotik Özellikleri

ΓR :={z:ϕ(z) =R}, R>1

seviye çizgisini tanımlayalım. Her Γ seviye çizgisi iki kanonik bölge tanımlar; _R Eğrinin içi G_R ve dışıD_R:

G_R := intΓ_R, D_R :=extΓ_R

2.2.1 Teorem: R>1 olmak üzere her z∈G_Riçin

ς ς ς ϕ πi z d z F R n n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 ) ( olur.

İspat: z∈G_R alalım. E_n(z)fonksiyonu DR kapalı bölgesinde analitiktir. Sınırsız bölgeler için Cauchy integral teoremi’ne göre

∫

Γ     ∈ ∞ ∈ − ∞ = − R n R R n n n G z E D z z E E d z E i _{( );} ); ( ) ( ) ( 2 1 ς ς ς π

dir. R G z∈ olduğundan ( ) ( ) 0 2 1 = ∞ = −

∫

Γ n n E d z E i R ς ς ς π olur. Buradan ς ς ς ς π ς ς ς ϕ π z d E F i d z i R R n n n

∫

∫

Γ Γ − − = − ) ( ) ( 2 1 )] ( [ 2 1 ς ς ς π ς ς ς π zd E i d z F i R R n n

∫

∫

Γ Γ − − − = ( ) 2 1 ) ( 2 1 ( ) ( ) 2 1 z F d z F i n n R = − =

∫

Γ ς ς ς π olduğu görülür.

Böylece her z∈GR için

ς ς ς ϕ πi z d z F R n n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 ) ( bulunur.

2.2.2 Teorem: R>1 olmak üzere her z∈DR için

ς ς ς ϕ πi z d z E R n n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 ) ( olur.

İspat: z∈D_R alalım. Sınırsız bölgeler için Cauchy integral teoreminden ( ) ( ) ( ) 2 1 z E E d z E i n n n R − ∞ = −

∫

Γ ς ς ς π

elde edilir. En(∞)=0 olduğundan

ς ς ς π zd E i z E R n n

∫

Γ − − = ( ) 2 1 ) ( ς ς ς ϕ ς π z d F i R n n

∫

Γ − − − = ( ) [ ( )] 2 1 ς ς ς ϕ π ς ς ς π zd i z d F i R R n n

∫

∫

Γ Γ − + − − = [ ( )] 2 1 ) ( 2 1 ς ς ς ϕ πi z d R n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 bulunur. ς ς ς ϕ πi z d z E R n n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 ) ( , z∈D_R elde edilir. Böylece ς ς ς ϕ πi z d z F R n n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 ) ( , z∈GR (2.3) ς ς ς ϕ πi z d z E R n n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 ) ( , z∈D_R (2.4) olur.

2.2.3 Teorem: K, bağlantılı D tümleyenine sahip bir kontinyum ve F_n(z)

polinomları K kontinyumunun Faber polinomları olmak üzere her z ∈K için

lim ( ) ≤1 ∞ → n n n F z olur.

İspat: z∈K olsun. ε >0olmak üzere (2.3) eşitliğinde R= 1+ε olduğunu

varsayalım.

Böylece (2.3) formülünden z∈K için

∫

+ Γ − = ε ς ς ς ϕ π 1 )] ( [ 2 1 ) ( d z i z F n n ) , ( ) ( ) 1 ( 2 1 )] ( [ 2 1 1 1 1 ε ε ρ ε π ς ς ς ϕ π ε + + Γ Γ Γ + ≤ − ≤

∫

+ K l d z n n elde edilir.

Burada l(Γ1+ε), Γ1+ε eğrisinin uzunluğunu, ρ(K,Γ1+ε) da K kontinyumu ile ε

+

Γ₁ eğrisi arasındaki uzaklığı göstermektedir.

) , ( ) ( 2 1 ) ( 1 1 ε ε ρ π ε + + Γ Γ = K l c dersek n n z c F ( ) ≤ (ε)(1+ε) , z∈K

Fn(z)1/n ≤

[

c(ε)

]

1/n(1+ε)

elde ederiz. n→∞ için limit alırsak

≤ +ε ∞ → ( ) 1 limn n n F z

olduğu görülür. ε keyfi küçüklükte olduğundan ve sol taraf ε ’a bağlı olmadığından

lim ( ) ≤1 ∞ → n n n F z elde edilir.

2.2.4 Teorem: 1< r < R olacak şekilde r ve R iki sabit sayı olsun.

) (z

F_n polinomları K kontinyumunun Faber polinomları olmak üzere, ∀z∈DR için

( ) [ ( )]n ( n)

n z z O r

F = ϕ +

olur.

İspat:z∈DR olsun. (2.4)’den

) , ( ) ( 2 1 )] ( [ 2 1 )] ( [ 2 1 ) ( R r r n n n n l r d z d z i z E r r Γ Γ Γ ≤ − ≤ − =

∫

∫

Γ Γ π ρ ς ς ς ϕ π ς ς ς ϕ π

elde edilir. Burada l(Γ ; _r) Γ er ğrisinin uzunluğunu, ρ(Γr,ΓR) de Γ ile r Γ eR ğrileri arasındaki uzaklığı göstermektedir.

) , ( ) ( 2 1 : ) , ( R r r l r R c Γ Γ Γ = ρ π

dersek n n z c R r r E ( ) ≤ ( , ) olur. Buradan ( ) ( n) n z O r E = olduğu görülür. F_n(z)=[ϕ(z)]n +E_n(z) eşitliğinden ( ) [ ( )]n ( n) n z z O r F = ϕ + (2.5) bulunur. 2.2.5 Teorem: ∀z ∈ Γ_R için limn F (z) (z) n n→∞ = ϕ

olur ve bu eşitlikteki yakınsama D içindeki her F kompaktında düzgündür.

İspat: z ∈ Γ_R olsun. (2.5)’den

_      + = _n n n n z r O z z F )] ( [ ) ( 1 )] ( [ ) ( ϕ ϕ _      + = ) ( ) ( 1 )] ( [ _n n n R O r O z ϕ =[ ( )] _1+ ( _n)_ n n r O z ϕ

olur. Buradan 1 ( ) )] ( [ ) ( n n n n R r O z z F + = ϕ 1 ( ) )] ( [ ) ( n n n n R r O z z F = − ϕ _n n n n R r c z z F ≤ −1 )] ( [ ) ( ϕ −1≤ )] ( [ ) ( n n z z F ϕ n n n n R r c z z F ≤ −1 )] ( [ ) ( ϕ _n n n n n n R r c z z F R r c ≤ − ≤ − 1 )] ( [ ) ( ϕ _n n n n n n R r c R z F R r c ≤ ≤ + − ( ) 1 1 elde edilir. _n n R r c R c₁( )= 1− , _n n R r c R c₂( )= 1+ denirse ₁( ) ( ) c₂(R) R z F R c ≤ n _n ≤ n n n R R c z F R R c₁( ) ≤ ( ) ≤ ₂( )

olur. Bu eşitsizliğin her üç tarafının n. dereceden kökünü alırsak

[

c₁(R)

]

1/nR ≤ F_n(z)1/n ≤

[

c₂(R)

]

1/nR

R n F z R n n ≤ ≤ ∞ → ( ) lim limn F (z) R (z) n n→∞ = = ϕ limn F (z) (z) n n→∞ = ϕ , z∈D

elde edilir. Bu eşitlikteki yakınsama D içindeki her F kompaktı üzerinde düzgündür.

2.2.6 Teorem: ∀z∈ΓRiçin ( ) ) ( ) ( lim 1 z z F z F n n n =ϕ + ∞ →

olur ve bu yakınsama D içindeki her F kompaktında düzgündür.

İspat: z ∈ Γ_R olsun. n ve n+1 için (2.5) formülünden

) ( )] ( [ ) ( )] ( [ ) ( ) ( 1 1 1 n n n n n n r O z r O z z F z F + + = + + + ϕ ϕ       +       + = + + + n n n n n n z r O z z r O z )] ( [ ) ( 1 )] ( [ )] ( [ ) ( 1 )] ( [ ₁ 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ       +       + = + + n n n n R r O R r O z 1 1 ) ( 1 1 ϕ       +       −       +       + = + + n n n n n n n n R r O R r O R r O R r O z 1 1 ) ( 1 1 ϕ

                    +       −       + = + + n n n n n n R r O R r O R r O z 1 1 ) ( 1 1 ϕ _      + = _n n R r O z) ( ϕ

elde edilir. Böylece

_      + = + n n n n R r O z z F z F ) ( ) ( ) ( 1 _{ϕ ,} R z∈Γ

olduğu görülür. n→∞ için limit alırsak

( ) ) ( ) ( lim 1 z z F z F n n n =ϕ + ∞ → , z∈D

elde edilir. D içindeki her F kompaktında bu yakınsama düzgündür.

2.3 Faber Polinomlarının Yaklaşım Özellikleri

}

{cn karmaşık sayılar dizisi için

R c l n n n 1 lim = = ∞ → , R>0 (2.6)

olduğunu varsayalım. Cauchy-Hadamard Teoremine göre

∑

∞ = − 0 0) ( n n n z z c

kuvvet serisi z−z0 < R diskinde yakınsak, z−z0 > R iken ıraksaktır.

K kontinyumu ve bunun {Fn(z)} Faber polinomları dizisi verilsin.

∑

∞ =0 ) ( n n nF z c (2.7)

Faber polinomları serisini düşünelim. Doğal olarak bir soru ortaya çıkar: (2.7)

serileri nerede yakınsak nerede ıraksaktır? Yani (2.7) serisinin yakınsama bölgesi nedir? Bu serinin yakınsama bölgesi (2.6) değerine bağlıdır.

2.3.1 Teorem: {c_n} bir karmaşık sayı dizisi, {F_n(z)}∞_n=0’ler de K

kontinyumunun Faber polinomları dizisi olsun.

=lim = 1 <1 ∞ → c _R l n n n , R>1 ise

∑

∞ =0 ) ( n n nF z

c Faber serisi GR bölgesi içinde düzgün yakınsak, DR bölgesinde ıraksaktır.

İspat: 1<R₁<R olacak şekilde birR₁sayısı alalım. 2.2.5 teoremin ispatından

n n n R A z F R A_{1 1} ≤ ( ) ≤ _{2 1} , 1 R z∈Γ

olduğunu biliyoruz. Diğer yandan

R c l n n n 1 lim = = ∞ →

R R R c n n ε ε = + + < 1 1 olur. R R ε ε ε + = 1 2 0 dersek 0 1 ε − < R c n n

elde ederiz. ε0 sayısını R1 < R−ε0 olacak şekilde seçtiğimizde

n n n R R A z F c _      − ≤ 0 1 2 ) ( ε olur. 0 1 ε − = R R q dersek 0<q<1 için n n nF z A q c ( ) ≤ ₂ olur. Böylece 1 R

z∈Γ için (2.7) serisinin mutlak değeri N+1 den başlayarak diğer

indeksler için üstten sınırlanmış oldu. Bu yüzden (2.7) serisi

1 R

Γ üzerinde düzgün ve mutlak yakınsaktır.

Diğer taraftan z∈D_R olsun. ϕ(z) =R₂ denirse R2 >R ve z∈ΓR2 olur. Bu durumda 2.2.5 teoremin ispatından

n n n R A z F R A_{3 2} ≤ ( ) ≤ _{4 2} , 2 R z∈Γ olur. R c n n n 1 lim = ∞

R R R c k k n n ε ε = − − > 1 1 1

olacak biçimde bir {

k

n

c } alt dizisi vardır. _{1 2}

) 1 ( 1 R ε ε − = denirse 1 1 _{1 1} ε ε + = − > R R R c k k n n

olur. ε sayısını, R+ε₁ <R₂ olacak şekilde seçersek

k k k k k n n n n n R R A R R A z F c _      + = + > 1 2 3 1 2 3 ) ( ) ( ε ε elde edilir. 1 1 2 > +ε R R olduğundan

∑

∞ =      + 0 1 2 k n_k R R

ε serisi ıraksak olur. Buradan

∑

∞ =0 ) ( n n nF z

c serisinin ıraksak olduğu çıkar.

2.3.2 Teorem: G basit bağlantılı ve sınırlı bir bölge ve bu bölgenin Γ sınırı

analitik bir eğri olsun. Bu durumda G bölgesinde analitik herhangi bir f(z)

fonksiyonu K = G∪Γ kontinyumunun Faber polinomları serisine açılabilir ve bu

açılım G bölgesi içinde düzgün yakınsaktır.

İspat: Γ analitik bir eğri olduğundan w=ϕ(z) dönüşüm fonksiyonu G’nin

içine analitik ve birebir olarak genişletilebilir ve bazı 0<ρ₀ <1 için

0

ρ

D bölgesinde

birebir olur. Bu durumda z =ψ(w) fonksiyonu w=∞ noktası hariç w > ρ₀

bölgesinde analitiktir ve ∞ noktasında basit kutba sahiptir.

G

z∈ olsun. Bu durumda ρo <ρ<1 ve z∈Gp olacak şekilde bir ρsayısı vardır. ζ =ψ(t) değişken değişimini ve Cauchy formülünü uygularsak

∫

∫

= Γ − = − = ρ ψ ψ ψ π ζ ζ ζ π ρ t dt z t t t f i d z f i z f ) ( ) ( ' )] ( [ 2 1 ) ( 2 1 ) ( (2.8) elde ederiz.

∑

∞ = + = − 0 1 ) ( ) ( ) ( ' n n n t z F z t t ψ ψ , z∈G_ρ, t ≥ρ (2.9)

olduğunu biliyoruz.

Göstermek kolaydır ki (2.9) serisi t ≥ρ ve G_ρ bölgesindeki herhangi bir F kompaktında düzgün yakınsaktır. Gerçekten F, G_ρ’nin kapalı bir alt kümesi ve

F

z∈ olsun. F ⊂Gr ve ρ_o < r<ρ olacak şekilde bir r sayısı vardır. Bu durumda

n n n r r c z F r r c₁( ) ≤ ( ) ≤ ₂( ) , z∈Γ_r

yazabiliriz. Böylece (2.9) serisi üstten sınırlanmış oldu. (2.9) açılımını (2.8)’de

yerine yazıp integral alırsak

t dt z F t f i z f t n n n

∫

∑

= ∞ = +       = ρ ψ π 0 1 ) ( )] ( [ 2 1 ) ( dt t t f i z F t n n n

∫

∑

= + ∞ = = ρ ψ π 1 0 )] ( [ 2 1 ) ( olur.

∫

∫

Γ + = + = = ρ ζ ζ ϕ ζ ϕ ζ π ψ π _ρ d f i dt t t f i a _n t n n ) ( ) ( ' ) ( 2 1 )] ( [ 2 1 1 1 (2.10) gösterimini kullanırsak

∑

∞ = = 0 ) ( ) ( n n nF z a z f , z∈G (2.11)

elde ederiz. Böylece teorem ispatlanmış olur. Burada (2.10) formülü ile tanımlanan

(2.11) açılımının {an} katsayıları K kontinyumu için f(z) fonksiyonunun Faber katsayılarıdır.

2.3.3 Teorem: K kontinyumu üzerinde analitik her f(z) fonksiyonu bütün K

üzerinde düzgün yakınsak Faber serilerine açılabilir.

İspat: f, K’da analitik bir fonksiyon olsun. Bu teoremde K tümleyeni

bağlantılı sınırlı bir kontinyumdur ve sınırında herhangi bir kısıtlama yoktur. f; K’da

analitik bir fonksiyon olduğundan R=1+ε >1 iken bu fonksiyon GR bölgesinde analitiktir. 1<ρ<R olacak şekilde bir ρ sayısı alalım. z∈K için

∫

∫

= Γ − = − = ρ ψ ψ ψ π ζ ζ ζ π ρ t dt z t t t f i d z f i z f ) ( ) ( ' )] ( [ 2 1 ) ( 2 1 ) ( (2.12)

elde edilir. Diğer taraftan z∈K ve t =ρ için

∑

∞ = + = − 0 1 ) ( ) ( ) ( ' n n n t z F z t t ψ ψ

açılımı düzgün yakınsaktır. Bu açılımı (2.12)’in sağ tarafındaki integralde yerine

yazarak dt t t f i a t n n

∫

= + = ρ ψ π 1 )] ( [ 2 1 , n=0,1,2,3,… için

∑

∞ = = 0 ) ( ) ( n n nF z a z f , z∈K elde ederiz. M =max

{

f(z) :z∈Gρ

}

denirse a_n M_n ρ ≤ buluruz.

1<r<ρ biçiminde bir r sayısı alalım. Her z∈G için

ς ς ς ϕ πi z d z F R n n

∫

Γ − = [ ( )] 2 1 ) ( olduğundan n n z c r r F ( ) ≤ ( )

olur. Bu durumda her n doğal sayısı ve her z∈G için

n n n r M r c z F a _      ≤ ρ ) ( ) ( elde edilir. n r M r c _      ρ )

( serisi yakınsak olduğundan Weierstrass-M testi gereğince

) (z

F

3. GENELLEŞMİŞ FABER POLİNOMLARI

3.1 Genelleşmiş Faber Polinomlarının Tanımı

g(z) fonksiyonu D bölgesinde analitik ve g(∞)>0 olsun. Bu durumda ∈n N

için

[

]

n

z z

g( )ϕ( ) fonksiyonu ∞ noktasında n. mertebeden kutba sahiptir. Bu nedenle

∞’ daki Laurent açılımı

[

]

n z z g( )ϕ( ) ... ... ... ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 0 + + + + + + + + = − − − − k n k n n n n n n n n n n n z b z b a z a z a z a z a γ

biçiminde olur. Bu açılımdaki z’nin negatif olmayan kuvvetlerinden oluşan

( ) 0 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 0 ... ) ; ( n n n n n n n n n n n z g a z a z a z a z a F = + + − − + + + − − γ

polinomuna K kontinyumunun g ağırlık fonksiyonuna göre n. mertebeden

genelleşmiş Faber polinomu denir.

... ... ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 + + + _k n k n n z b z b z b

toplamını da −E_n( gz; )ile gösterirsek

g(z)

[

(z)

]

Fn(z;g) En(z;g) n − = ϕ eşitliğinden F_n(z;g)= g(z)[ϕ(z)]n +E_n(z;g)

elde edilir.

3.2 p-Faber Polinomları

Γ ile sınırlı basit bağlantılı bir G bölgesi verilsin. G= G∪Γ kapalı

bölgesinin tümleyeni D olsun (D=C−G). ϕ, D bölgesini w >1bölgesine birebir ve konform resmeden, ϕ(∞)=∞, '(∞)=lim ( ) >0 ∞ → _z z z ϕ ϕ

koşullarını sağlayan bir dönüşüm ve ∈n N, p∈( ∞1, )olsun. p

[

]

n

z z) ( )

(

' ϕ

ϕ , ∞’un

çıkarılmış komşuluğunda analitik olduğundan

'( )

[

( )

]

... 1 ₂2 ... 0 1 1 1 + + + + + + = − − z z z z z z z n n n n n p_{ϕ ϕ γ γ γ γ} δ δ

Laurent serisine açılabilir. Bu eşitliğin sağındaki z’nin negatif olmayan

kuvvetlerinden oluşan 1 _{1 0} 1 , ( )=γ +γ +...+γ +γ − − z z z z F n n n n p n

polinomuna G kümesi için n. dereceden p-Faber polinomu denir.

1 _{+ 2}2 ₊..._{+ +}... k k z z z δ δ δ

toplamını da −En_,p(z) ile gösterirsek

'(z)

[

(z)

]

Fn_,p(z) En_,p(z) n

eşitliğinden

[

( )

]

( ) ) ( ' ) ( _, , z z z E z F p n _np p n = ϕ ϕ + olur.

3.3 p-Faber Polinomlarının Asimptotik Özellikleri

3.3.1 Teorem: Her z∈GR için

ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d z F R n p p n

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( , olur.

İspat: z∈GR alalım. En,p(z) fonksiyonu DR bölgesinde analitiktir. Sınırsız bölgeler için Cauchy integral teoremine göre

( ) ( ) 0 2 1 , , = ∞ = −

∫

Γ p n p n E d z E i R ς ς ς π dır. Buradan ς ς ς ς π ς ς ς ϕ ς ϕ π z d E F i d z i R R p n p n n p

∫

∫

Γ Γ − − = − ) ( ) ( 2 1 )] ( [ ) ( ' 2 1 , , ς ς ς π ς ς ς π z d E i d z F i R R p n p n

∫

∫

Γ Γ − − − = ( ) 2 1 ) ( 2 1 , ,

∫

Γ = − = R z F d z F i np p n ) ( ) ( 2 1 , , ς ς ς π

olur. Böylece ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d z F R n p p n

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( , , z∈GR elde edilir.

3.3.2 Teorem: Her z∈DR için

ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d z E R n p p n

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( , , z∈DR dir.

İspat: z∈D_R alalım. En,p(z) fonksiyonu DR bölgesinde analitiktir. Sınırsız

bölgeler için Cauchy integral teoremine göre

( ) ( ) ( ) 2 1 , , , z E E d z E i n p np p n R − ∞ = −

∫

Γ ς ς ς π

elde edilir. En_,p(∞)=0olduğu için

ς ς ς π z d E i z E R p n p n

∫

Γ − − = ( ) 2 1 ) ( , , ς ς ς ϕ ς ϕ ς π z d F i R n p p n

∫

Γ − − − = ( ) '( )[ ( )] 2 1 , ς ς ς ϕ ς ϕ π ς ς ς π z d i z d F i R R n p p n

∫

∫

Γ Γ − + − − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( 2 1 , ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d R n p

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1

olduğu görülür. Buradan ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d z E R n p p n

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( , , z∈DR

bulunur. Böylece ∈n N için

ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d z F R n p p n

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( , , z∈GR (3.1) ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d z E R n p p n

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( , , z∈DR (3.2)

formülleri elde edilir.

3.3.3 Teorem: K bağlantılı D tümleyeni ile sınırlı kontinyum ve )

( , z

F_np ,n=0,1,2,… K kontinyumunun Faber polinomları olmak üzere her z ∈K için

lim _, ( ) ≤1 ∞ → n p n n F z olur.

İspat: z ∈K olsun. ε >0 olmak üzere (3.1) eşitliğinde R= 1+ε olduğunu

varsayalım. Bu durumda (3.1) formülünden z ∈K için

∫

+ Γ − = ε ς ς ς ϕ ς ϕ π 1 )] ( [ ) ( ' 2 1 ) ( , d z i z F n p p n

∫

+ Γ + + Γ Γ + ≤ ε ς ς ϕ ρ ε π ε ε 1 / 1 1 1 _{'( )} ) , ( ) ( ) 1 ( 2 1 d K l p n elde edilir.

Burada l(Γ1+ε); Γ1+ε eğrisinin uzunluğunu, ρ(K,Γ1+ε)’da K kontinyumu ile ε

+

Γ₁ eğrisi arasındaki uzaklığı göstermektedir.

Hölder eşitsizliğini kullanarak

q p p d d d 1 1 / 1 1 1 1 ) ( ' ) ( ' _               ≤

∫

∫

∫

+ + + Γ Γ Γ _{ε ε ε} ς ς ς ϕ ς ς ϕ , 1 +1 =1 q p

[

(

)

]

q p w l dw 1 1 1 1 ε ε + + = Γ         =

∫

p p q l _{1 )} 1/ / 1 / 1 _{(1 ) [ ( ]} ) 2 ( π +ε Γ+_ε = buluruz. Böylece p p q n p n l K l z F 1/ 1/ ₁ 1/ 1 1 , (2 ) (1 ) [ ( )] ) , ( ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( _ε ε ε _{π ε} ρ ε π + + + Γ + Γ Γ + ≤ ) , ( )] ( [ ) 1 ( ) 2 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 _ε ε ρ ε π + + + + − Γ Γ + = K l q p n p bulunur. ) , ( )] ( [ ) 2 ( 1 ) , ( 1 1 1 1 1 1 1 ε ε ρ π ε + + + − Γ Γ = K l p c q p dersek n p p n z c p F 1 1 , ( ) ( , ) (1 ) + + ≤ ε ε , z ∈K

elde edilir. Burada c1(ε,p) sabiti ε’a ve p’ ye bağlıdır ve ε →0 iken sınırlı artışa sahiptir. Bu eşitsizliği n p p n z c p F _, ( ) ≤ ₁(ε, ) (1+ε) (1+ε)1/

şeklinde yazıp her iki tarafın n. dereceden kökünü alalım.

n

[

]

n np

p

n z c p

F _, ( )1/ ≤ ₁(ε, )1/ (1+ε) (1+ε)1/

eşitsizliğinde n→∞ için limit alırsak

≤ +ε

∞

→ ( ) 1

limn n,p

n F z

elde ederiz. ε keyfi küçüklükte olduğundan ve sol taraf ε ‘a bağlı olmadığından,

lim _, ( ) ≤1 ∞ → n p n n F z , z ∈K elde ederiz.

3.3.4 Teorem: 1< r < R olacak şekilde r ve R iki sabit sayı olsun. )

( , z

F_np polinomları K kontinyumunun Faber polinomları olmak üzere, ∀z∈DR için

, ( ) '( )[ ( )] ( ) n n p p n z z z O r F = ϕ ϕ + olur.

ς ς ς ϕ ς ϕ πi z d z E r n p p n

∫

Γ − = '( )[ ( )] 2 1 ) ( , ϕ ς ς ρ π d l r p R r r n r / 1 ) ( ' ) , ( ) ( 2 1

∫

Γ Γ Γ Γ ≤ elde edilir.

Burada l(Γ ; _r) Γ er ğrisinin uzunluğunu, ρ(Γr,ΓR) de Γ ile r Γ eR ğrileri arasındaki uzaklığı göstermektedir.

Hölder eşitsizliği yardımıyla

q p p r r r d d d 1 1 / 1 ) ( ' ) ( ' _               ≤

∫

∫

∫

Γ Γ Γ ς ς ς ϕ ς ς ϕ , 1 +1 =1 q p

[

( )

]

q r p r w l dw 1 1 Γ         =

∫

= q r p p l r1/ ₎ 1/ / 1 _{[ ( ]} ) 2 ( Γ = π buluruz. Böylece, q r p p R r r n p n r l l r z E _, (2 )1/ 1/ [ ( )]1/ ) , ( ) ( 2 1 ) ( Γ Γ Γ Γ ≤ π ρ π ) , ( )] ( [ ) 2 ( 1 1/ 1 1 1 1 _{r R} p q r n p r l r Γ Γ Γ = + − ρ π olur.

) , ( )] ( [ ) 2 ( 1 ) , , ( / 1 1 1 1 1 _{r R} p q r p r l p r R c Γ Γ Γ = + − ρ π dersek n p n z c R r p r E _, ( ) ≤ ( , , )

elde ederiz. Buradan _, ( ) ( n) p n z O r E = yazabiliriz. Böylece F_, (z) '(z)[ (z)] En_,p(z) n p p n = ϕ ϕ +

eşitliğini kullanarak p-Faber polinomları için en basit asimptotik formülü elde ederiz:

_, ( ) p '( )[ ( )]n ( n) p n z z z O r F = ϕ ϕ + , z∈DR, 1<r<R. (3.3) 3.3.5 Teorem:∀z ∈ Γ_R için limn Fn,p(z) (z) n→∞ = ϕ

olur ve bu eşitlikteki yakınsama D içindeki her F kompaktında düzgündür.

İspat: z ∈ Γ_R olsun. (3.3)’den

_      + = _n n p n p n z r O z z z F )] ( [ ) ( ) ( ' )] ( [ ) ( , ϕ ϕ ϕ _      + = ) ( ) ( ) ( ' )] ( [ _n n p n R O r O z z ϕ ϕ _      + =[ ( )] '( ) ( _n) n p n R r O z z ϕ ϕ

dir. Buradan '( ) ( ) )] ( [ ) ( , n n p n p n R r O z z z F + = ϕ ϕ '( ) ( ) )] ( [ ) ( , n n p n p n R r O z z z F = − ϕ ϕ _n n p n p n R r c z z z F ≤ − '( ) )] ( [ ) ( , ϕ ϕ − p ≤ n p n z z z F ) ( ' )] ( [ ) ( , ϕ ϕ n n p n p n R r c z z z F ≤ − '( ) )] ( [ ) ( , ϕ ϕ _n n p n p n n n R r c z z z F R r c ≤ − ≤ − '( ) )] ( [ ) ( , ϕ ϕ p n n n p n n n p z R r c z z F R r c z '( ) )] ( [ ) ( ) ( ' , ϕ ϕ ϕ − ≤ ≤ +

elde ederiz. ϕ'(z)≠0, ∀z∈CGiçin z ∈ Γ_R olduğundan

∞ < ≤ ≤ < 1 '( ) 2 0 c p_ϕ z c _olacak

şekilde c₁ ve c₂ sabitleri bulunabilir.

Buradan _n n n p n n n R r c p c z z F R r c p c − ≤ ≤ ( )+ )] ( [ ) ( ) ( , ₂ 1 ϕ bulunur. _n n R r c p c p r R c₃( , , )= ₁( )− ve _n n R r c p c p r R c₄( , , )= ₂( )+ denirse ₃( , , ) , ( ) c₄(R,r,p) R z F p r R c ≤ n p_n ≤

n p n n R p r R c z F R p r R c₃( , , ) ≤ _, ( ) ≤ ₄( , , ) , z∈Γ_R

olur. Bu eşitsizliğin her üç tarafının n. dereceden kökünü alırsak

[

c R r p

]

R Fnp z n

[

c R r p

]

nR n 1/ 4 / 1 , / 1 3( , , ) ≤ ( ) ≤ ( , , )

olduğu görülür. n→∞ için limit alırsak

R n F z R p n n ≤ ≤ ∞ → ( ) lim , limn Fn,p(z) R (z) n→∞ = = ϕ limn F_, (z) (z) p n n→∞ = ϕ , z∈D

elde edilir ve bu eşitlikteki yakınsama D içindeki her F kompaktı üzerinde

düzgündür. 3.3.6 Teorem: ∀z∈ΓRiçin ( ) ) ( ) ( lim , , 1 z z F z F p n p n n =ϕ + ∞ →

olur ve bu yakınsama D içindeki her F kompaktında düzgündür.

İspat: z ∈ Γ_R olsun. n ve n+1 için (3.3) formülünden

) ( )] ( [ ) ( ' ) ( )] ( [ ) ( ' ) ( ) ( 1 1 , , 1 n n p n n p p n p n r O z z r O z z z F z F + + = + + + ϕ ϕ ϕ ϕ     +       + = + + + n n p n n n p n r O z z z r O z z )] ( [ ) ( ) ( ' )] ( [ )] ( [ ) ( ) ( ' )] ( [ ₁ 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

      +       + = + + ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( 1 1 n n p n n p R O r O z R O r O z z ϕ ϕ ϕ         +         + = + + ) ( ) ( ' ) ( 1 ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( 1 ) ( ' ) ( 1 1 n p n p n p n p R O z r O z R O z r O z z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ) ( ) ( ' ) ( 1 ) ( ) ( ' ) ( 1 ) ( 1 1 n p n n p n R O z r O R O z r O z ϕ ϕ ϕ + + = + +

elde edilir. ϕ'(z)≠0, ∀z∈CG için z ∈ Γ_R olduğundan

0<c1 ≤ '(z) ≤c2 <∞

p_ϕ

olacak şekilde c₁ ve c₂ sabitleri bulunabilir. Böylece

      +       + = + + + n n n n p n p n R r O R r O z z F z F 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 , , 1 ϕ       +       −       +       + = + + n n n n n n n n R r O R r O R r O R r O z 1 1 ) ( 1 1 ϕ                     +       −       + = + + n n n n n n R r O R r O R r O z 1 1 ) ( 1 1 ϕ

bulunur. Diğer yandan _      −       ≤       +       −       + + + + n n n n n n n n n n R r O R r O z R r O R r O R r O z ₁ 1 1 1 ) ( 1 ) ( ϕ ϕ _      = _n n R r O z) ( ϕ _      = _n n R r RO olur. Böylece, _      + =       +       −       + = + + + n n n n n n n n p n p n R r O z R r O R r O R r O z z z F z F ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 , , 1 ϕ ϕ ϕ

olduğu görülür. Son olarak

_      + = + n n p n p n R r O z z F z F ) ( ) ( ) ( , , 1 ϕ , z∈Γ_R

olur. Buradan n→∞ için limit alırsak

( ) ) ( ) ( lim , , 1 z z F z F p n p n n =ϕ + ∞ → , z∈D

SONUÇ

Yüksek lisans tezinde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir.

1. Faber polinomları ve genelleşmiş Faber polinomlarının tanımları verilmiş ve bazı

asimptotik özellikleri ile ilgili bilgiler elde edilmiştir.

2. Genelleşmiş Faber polinomlarının sık uygulanmakta olan özel bir durumu,

p-Faber polinomları tanımlanmış ve bunların asimptotik özellikleri incelenmiştir.

3. İki ardışık p-Faber polinomlarının oranı ve bunları doğuran konform dönüşüm

arasındaki bağlantı incelenmiş, ayrıca p-Faber polinomlarının sınırsız bölgelerde

asimptotik özellikleri konform dönüşüme bağlı olarak öğrenilmiştir.

KAYNAKLAR

[1] Pommerenke, C., Univalent functions, Vandenhoeck & Ruprecht ( 1975). [2] Başkan, T., Kompleks fonksiyonlar teorisi, Vipaş A.Ş, Bursa, (2000).

[3] Lehto, O. and Virtanen, K., Quasiconformal mappings in the plane, Springer- Verlag ( 1973).

[4] Markushevich, A.I., Theory of functions of a complex variable III, Chelsea Publishing Company, New York, (1977).

[5] Suetin, P.K., Series of Faber polynomials, Gordon and Breach Science Publishers (1998).

[6] Gonzalez, M.O., Classical complex analysis, Marcel Dekker, Inc (1992). [7] Goluzin, G.M, Geometric theory of functions of a Complex Variable, Translations of Mathematical Monographs, Vol.26, Amer.Math.Soc (1969).