Çokyollu ortamda çapraz belirsizlik işlevi-yön bulma tekniğinin başarım analizi

(;okyollu Ortamda (;apraz Belirsizlik

i~levi

- Yon Bulma

Tekniginin

Ba~arlm

Analizi

Performance Analysis of Cross Ambiguity Function - Direction

Finding Technique in Multipath Environments

Mehmet Burak Gil/dogan, Orhan Arlkan

Elektrik ve Elektronik Miihendisligi Boliimii

Bilkent Universitesi, Ankara

{guldogan,oarikan}@ee.bilkent.edu.tr

AhcI (A), dairesel olarakkonu~landlnlml~

M

adet antenden

olu~maktadlr. ~ekil l' de goruldiigii gibi, vericiden 9lkan sinyal dfarkll yoldangecikmi~,Doppler kaymaslnaugraml~

vezaYlf1aml~bir~ekildeherbir anteneul~maktadlr.

2. Sinyal ve Kanal Modeli

Vericiden (V) yaylnlanan sinyal b(t), periodik olarak

tekrarlanan

T

uzunlugunda kiplenmi~, q adet darbeden

olu~maktadlr.

kestirim ve belirlenimci paramerik kestirim olmak iizere ii9

kategoride incelenebilir. Spektral kestirim methodlan

araslnda en yaygln olarak kullantlan MUSIC teknigidir [5]. ikinci gruptaki kestirimlere ornek olarak ESPRIT algoritmasl verilebilir [6]. Gecikme veya GY kestirimlerinde yaygln olarak kullanllan beklenti enbiiyiitme (EM) algoritmasl belirlenimci parametrik kestirim metodlanndandtr [7,8,9].

Birle~ik gecikme, Doppler ve GY kestirimi yapan SAGE algoritmasl EM algoritmaslnln geni~letilmi~ versiyonudur [10,11,12]. Bu makalede teknik detaylan [13,14]'de verilen CAF-DF algoritmasl ile MUSIC ve SAGE algoritmalannln sentetik sinyaller kullantlarak ge~itli iGO degerlerindeki kOKH cinsinden performanslansunulmu~tur.

A (1 ) r"

r

r

m\\,

'"

Anten (antendizilimi) q bet)=

U(t

-

(k -1)T) k=l

$ekil1:ileti~imortamlndaki 90kyollu yaylhm.

1.

Giri~

Gelecek nesil mobil radyohaberle~mesistemleri, her gegen giin artan iletim kapasitesine olan ihtiyaci kar~tlamak

zorundadlrlar. Bu engeli ~mak i9in, kanal ozelliklerinin dogru kestirimine ihtiya9 vardrr. ihtiya9 duyulan kanal ozellikleri araslnda, 90kyollu ortamda anten dizilimine 9arpan sinyallerin zaman gecikmesi, Doppler kaymasl,geli~yonleri ve genligi yer alrr. Bu kana! ozellikleri veya kanal parametrelerinin giivenilir kestirimi amaclyla yiiksek 90ziiniirliiklii algoritmalar geli~tirilmi~tir [1,2,3,4]. Bu algoritmalar spektral kestirim, parametrik altuzay-tabanh

Abstract

In this paper, recently proposed Cross Ambiguity Function

-Direction Finding (CAF-DF) array signal processing

technique, which make use of the cross ambiguity function

calculation, is compared with the MUltiple SIgnal

Classification (MUSIC) and Space Alternating Generalized Expectation Maximization (SAGE) techniques. The CAF-DF estimates direction of arrival (DOA), time delay, Doppler shift and amplitude corresponding to each impinging signal onto a sensor array in an iterative manner. Performances of the algorithms are tested on synthetic signals in terms of root Mean Squared Error (rMSE) for different Signal-to-Noise Ratio (SNR) values based on Monte Carlo trials. For statistical comparisons Cramer-Rao lower bound is included. Obtained results show that CAF-DF technique is superior to its alternatives for medium and low SNR values.

Ozet~e

Bu bildiride, C;apraz Belirsizlik i~levi- Yon Bulma (CAF-DF) tekniginin 90kyollu ortamlardaki sinyallerin zaman gecikmesi, Doppler kaymasl, geli~ yonii (GY) ve genlik kestirimindekiba~anmlile yiiksek 90ziiniirliiklii algoritmalar olan Uzay-Alma~an Genelle~mi~ Beklenti-Enbiiyiitme (SAGE) ve C;oklu Sinyal Slnlf1andlnlmasl (MUSIC)'in sentetik sinyaller iizerindeki ba~anmlan klyaslanml~t1r.

Algoritmalann performanslan, kok Ortalama Karesel Hata (kOKH) cinsinden degi~ik i~aret Giiriiltii Oranl (iGO) degerlerinde Monte Carlo denemelerine dayah olarak

sunulmu~tur. Sentetik kanallarda istatiksel klyaslama ama9h Cramer-Rao alt slnlrlan eklenmi~tir. Simiilasyon sonu9lan gostermektedir ki, orta vedii~iik iGO degerlerinde CAF-DF diger iki algoritmaya gore iistiinliik saglamaktadlr.

3. CAF-DF Algoritmasl

Bu tip bir ortamda, m. antendeki ana bant sinyalia~agldaki

gibi modellenebilir.

Temel olarak, ahcI anten dizilimineula~an90kyollu sinyaller vericiden yaylnlanan sinyalin zamanda gecikmi~, Doppler kaymaslna ugraml~ ve zaYlflaml~ versiyonlandlr. En iyi performansl almak amaCl ile radar sinyali~lemedeyaygln bir

~ekilde kullanlldlgl gibi, Doppler kaymaslna ugraml~

sinyallerin geli~ anlarlnln kestirimi amaclyla herbir anten 9lkl~lnda<;Bi hesaplanlr.

(5)

IXYl,b (if'Vt)leJV/1

IXY2 ,b (if'

v

t)leJ'I'2 XYl,b (it,

~t)

P,

= X>2,b,(

Tt ,

v,)

Xy.\f,b (it,Vt) IXYM,b (it,V_t)leJ'I'M

Burada t tepe noktayl, If/m

m.

antende hesaplanan <;Bi diizlemi iizerindeki tepe noktaslna ait fazl belirtir. Gecikme ve Doppler kaymasl (it,v_{t ) olarak kestirilen sinyalin GY}

a9tlana~agldakidenklem kullanllarak bulunur.

("") _

e,¢

-arg9~

[11(1

I

S(

II~II

B,¢)I

]-1

(6) burada

S(B,¢)

antenlerin referans noktasl olan dizilim merkezine gore faz farklnl igermektedir:

s(

e,¢)

=

k

_[ej~IA9,(»

,

ej~2i(9,(»

, "', egA/A9,;)

J

(7) GY kestirimi i9in gerekli olan tarama nokta arahklan azimut veyfikseli~a91 90ziiniirliikleri kadar olan bir diizlem iizerinde

gen;ekle~tirilir. X gen(r,

v)

diizl7Ti" iizerinde sezimlenen

birin.ci sinyal kaynaglna ait GY,

~B,~)

'.

kestirildikten sonra, herblr anten 91kttslnda hesaplanan <;BrIer faz uyumlu bir

~ekilde toplanarak daha kesin gecikme ve Doppler kestirimleri elde edilir. Faz uyumlu toplam (8)' deki gibi yazllabilir.

Xlaz(T,

v)

=

Xy~b

(T,

V)el2JrVc;jj(B,~)

+...+XW,b(T,

v)el2mC~Mj(B,~)

.(8)

Bu denklemden kolayhkla gosterilebilir ki, dogru

iJ

ve ~

kestirimleri kullantlarak iGO'nun

M

kat arttnlmasl

miimkiindiir. Faz uyumlu toplama ile elde edilen sinyalin <;Bi'si hesaplanarak, tepe noktaslna kar~lhk gelen zaman gecikmesi ve Doppler kaymasl daha hassas bulunur.

Sinyalin zaman gecikmesi, Doppler kaymasl, azimut ve

yiikseli~ a9tlan kestirildikten sonra uygun bir maliyet fonksiyonu kullantlarak sinyalin kompleks genligi bulunur. Kestirilen 90kyolluluk parametreleri kullanllarak herbir antenden ahnan sinyala~agldakigibi yazllabilir.

.(t)=;. .b(t_" .) J2m",jt -J2m'c;mj(B,q1)

sm,1 '='m,1 io,1 e e m=1,2, ...,M . (9) Anten dizilimindeki antenlerin kalibrasyon giivenilirligine bagh olarak, (m,i degeri herbir anten i9in 90k farkh veya olduk9a yakln degerler alabilir. Denklem (10)' da verilen maliyet fonksiyonunu minimum yapan deger sinyalin kompleks genligi olarak ahnlr.

T

Jm(Sm,i)= fIYm(t)-Sm,i(t)12dt (10)

o

Sinyal kaynaglnln bu son parametresi de kestirildikten sonra (9) kullanllarak sinyalin kOpyasl yaratthr ve herbir anten 9lkttslndan 9lkanhr. Boylece birinci sinyalin tUm etkileri aylklanlr ve bir sonraki sinyalin parametrelerinin kestirimine ge9ilir.

degerleri ahnarak a~agldaki faz bilgisini igeren vektor

olu~turulur. (4) (2) d Ym(t)

=

LXm,i(t) i=1 d

Ym(t)=L[Sm,i(t)

+

nm,i(t)]

i=1

d

Ym(t)

=

21

~

m,ib(t-To,;

)e.i

2RV_;t

_e

_-

_{j2m'6mi(9,(» +nm/t)]}

i=1

d

yet)

=

L[

a(tI;,~

)b(t- To,i )eJ2m/t

+

ni(t)]

i=1

Eger Ym(t), b(t) , nin gecikmi~ ve Doppler kaymaslna

ugraml~ hali ise kompleks degerli

X

Y_m,b(i,

v)'

nin genlik diizleminde beklenen gecikme ve Doppler kaymaslnda bir tepe gozlemlenir. Sonu9 olarak <;Bi, gecikme ve Doppler kaymasl diizlemi iizerinde sezim imkanl saglamaktadlr. Antenler verici-ahcl araslndaki mesafeye oranla birbirlerine 90k yakln olduklan i9in, herbir ahcI antende gelen sinyalin gecikme ve Doppler kaymasl hemen hemen aynl olacakttr.

Ba~lang19ta GY bilgisi mevcut olmadlgl i9in anten 9lkttlanndaki <;Bi'leri (4)' deki gibi genliklerini toplayarak giiriiltfi seviyesinin fistUndeki gergek sinyal kaynaglnln gecikme ve Doppler indisleri kestirilebilir.

Bu denklemde, d 90kluyol sinyal saYIslnl, manten indisini,

Smi m.antene i.yoldan gegerekula~ansinyalin faz kaymasl ve 'ugradlgl zaylflamayl, Toi i.yoldan gelen sinyalin anten dizilim merkezine gore zaman gecikmesini,

11

i.yoldan gelen sinyalin Doppler kaymaslnl, V_c ta~lYlcl frekansl,

¢

ve () slraslyla ylikseli~ ve yanca(azimut) a9tlannl, ;m,i

(B,¢)

9arpan sinyalin referans noktasl olan anten dizilim merkezine gore antenlerde olu~turdugubagtl fazl,

a(

tI;,~)yonlendirme vektoriinii ve nm,i (t) kompleks dairesel simetrik Gauss giiriiltiiyii belirtir. Bu 9ah~mada, bet) sinyalinin bant

geni~liginin ta~IYlcl frekans Vc 'den 90k dii~iik oldugu

varsaytlml~ttr.

X

gen(r,

v)

sezim diizlemi bize 9okyollu sinyallerin

kestiriminde herbir anten 91ktlslndaki sezim diizlemlerine oranla onemlib~an artl~l saglar. (if'

v

t ) 'yi, Xgen(i,

V)

,

nin maksimum tepesinin konumu kabul edelim. Daha soma herbir anten 91kttslnda hesaplanan <;Bi' lerin (if'v_{t ) noktaslndaki}

4. SAGE Algoritmaslnin Klsa Tanltlml

SAGE algoritmasl [10], klasik EM algoritmaslnln [8] daha

verimli 9ah~an altematif bir versiyonudur. SAGE

kullantlmasl ilk defa [I2]'de sunulmu~tur. Algoritmanin herbir iterasyonu bazl parametreleri bir onceki iterasyonda kestirilen degerlerinde sabit tutarken diger parametrelerini tekrar kestiren EM iterasyonlanndan olu~ur. Parametreler aynl anda kestirilmek yerine teker teker ve ard arda kestirilir. Algoritmanin karma~lkhglnln azalttlmasl amaCI ile, tek bir

sinyal kaynagl parametrelerinin maksimum olaslhk

kestirimlerinin hesaplanmasl i9in kullantlan ii9 boyutlu optimizasyon prosediirleri yerine, her bir parametre i9in ayn bir boyutlu prosediirlerkullantlml~t1r.

SAGE algoritmaslnl temel olarak beklenti-adlml ve enbiiyiitme-adlml olmak iizere iki klslmda inceleyebiliriz. Birinci adlm a~agldaki gibi bir sinyal ayn~lm i~lemi ile

ba~lar:

d

xm,;(t)=sm,;(t)+Ym(t)- LSm;,(t)

;'=1 '

(11 )

ilklendirme dongiisiinde (12) ve (I3)'deki gecikme ve GY kestirimi i9in kullantlan enbiiyiitme prosediirleri a~agldaki

denklemler ile yerdegi~tirilir.

ii'

=argrn;tX(L:=Hb'(t-T)Xm,d(t)dfl

'

(17)

(~·,l)=arg~(L:=ll}·(t-T)eHmp(o,;)xm'd(t)dfl.

(18)

Bu ve onceki denklemlerden de goruldiigii gibi, parametre kestirimleriilklendirilmi~olan dalgalann sinyal kestirimleri, gozlemlenen sinyal y(t) ,den 9lkanhr. Parametrelerin herbir dongii i9indeki giincellenmeleri, iki iterasyon araslnda kOKH cinsindeniyile~tirmeolmaylncaya kadar devam eder.

(15) (14) (12) (13)

5. CAF-DF, MUSIC ve SAGE Tekniklerinin

Kiyasianmasl

Bu boliimde, ge~itli iGO degerlerinde CAF-DF, SAGE ve

MUSIC algoritmalannln ba~anmlarl sentetik sinyaller

iizerinde Monte Carlo simiilasyonu kullantlarak

kar~tla~t1nlml~t1r.Bir vericiden yaytnlanan sinyaller dairesel olarak konu~lanml~ altl antenli bir dizilim taraftndan toplanmaktadlr. Uzamsal ortii~meyi engellenmek amaCI ile herbir anten araSI mesafe sinyalin dalga boyunun yanslndan kii9iiktiir. Yaymlanan sinyal Barker-I3 kodlu darbelerden

olu~maktadlr.Herbir darbenin siiresi 7.8 ms. ve toplam sinyal siiresi 0.1 s.' dir. (2) kullantlarak r

=

[0.6; 0.7]

ms ,

l'

=

[7; 20]

Hz

,

{}

=

[194; 191]0 ,

¢

=

[34; 36]0

parametrelerine sahip iki (d=2) 9okyollu sinyalyarat1lml~ttr.

Herbir sinyalin kompleks genligi, [0,2ff] araslnda diizgiin

degi~en bir faza sahip iistsel fonksiyon olarak ahnml~t1r.

Herbir algoritmanm, degi~ik iGO degerlerindeki zaman

gecikmesi, Doppler kaymasl, ve GY kestirimlerinin kok ortalama karesel hatalan 300 Monte Carlo denemesine dayanarakhesaplanml~ttr.Birinci ve ikinci sinyal kaynaglna ait sonu9lar ~ekil 2-3' de Cramer-Rao alt Slnln ile beraber

9izilmi~tir.

Bu denklemin sonucu, enbiiyiitme adlmlna girdi olarak kullanlhr ve bir sinyal kaynaglna ait parametre kestirimleri

a~agldakigibi giincellenir:

i;

=

arg~

{Ig(

T,

(~,¢;),v;;~

(1»1]

(~.,~.)

=argmax

{Ig(

T;·,

({},¢),

v;'

;x;(t))I}

(),¢J

v;

=

arg~{lg(r;,(~',~'),

v;

x;

(t))!J

". 1 ". ". ". "."

S;

=

*II ". ". 112g(r;

,(ll;,~

),V; ;X;(t)) (b(t) xbet))

a(tL~ )

Bu denklemlerde g(r,¢,v;xJ MOO g(r,({},¢),v;X;(t))

~

L

f

b*(t-r)xm,; (t)e-J2Jn1eRm((),¢)dt , (16) m=I-oo ~eklinde tanlmlanml~t1r.

Algoritmaninba~lattlmasl i9in ge~itli metodlar mevcuttur [12]. Bunlann birincisi, zaman gecikmeleri ilk kestirimlerinde MUSIC algoritmaslnln kullantlmasldlr [5]. Daha soma, kalan parametrelerin ilk kestirimleri i9in SAGE algoritmaslnln bir ilklendirme dongiisii gergeklenir. Bu makalede, SAGE

algoritmaslnln gergekle~tiriminde ~agldaki gibi bir

ilklendirme yolu izlenmi~tir [12]. Kompleks genliklerin fazlan onsel olarak bilinemedigi i9in zaman gecikmeleri ve GY'ler faz uyumsuz bir ~ekilde kestirilir. Bu ama9la,

35 20 iGO, db b-)

---_._--._

..

_._----._----d-) 10 1

F==:::--~;::::::::::---_---.J

i

10° ~ 10-1 - -~:~~._._._. 10-2 - -MUSIC - C A F - D F 10-3 -'-'-'- CRLS 5 10 101 ~ 10°

~

--._---.

10-1 35 30 35 25

--.-

..

_--.-.---_._---_

..

-

..

_.-20 iGO,db a-) _ - - - "_ _---"_ _----l.._ _- - - - ' - ._. ---l....--...~ _ 10 15 20 IGO, db c-) 10.2 10-3 rtJ

§

10-4 10-5 10.6 5 10 1

F::::::==---:::e:::::;::::::---J

i

10°

~

10-1 fr-

_-_'---'---;A-'~-';-'-i

10.2 - -MUSIC - C A F - D F 10-3 _._._.- CRLS 5 10

Sekil2: CAF-DF, SAGE ve MUSIC tekniklerininge~itliiGO degerleri i9in a-)azimut-I, b-)yiikseli~-I,c-) zaman gecikmesi-I, d-)Doppler-I kestirimlerinin kOKH'lanverilmi~tir.Kesikli 9izgi Cramer-Rao alt Slntnnl ifade eder.

35 30 25 20 iGO,db b-) 15 101_{~::F=li~:::::;;:::::---_-}

__

""""!

i

10° ~ 10-1 .

-~

10.2

~-~~~~~_._-_._-_._---_._._._._-_._-_._-_._._._._._._.-.-.-

• --+-CAF~DF 10-3 _.-._ .• CRLS 5 10 35 30 25 20 iGO,db a-) .

-

..

_

...

_.-

....

.

_

...

-._._

...

_.-

....

_{._}

...

-.-._.

15 .101_{~iiIE3;::;:=:---d}

i

10° ~ 10-1 t.---_ _ 10-2 35 30 25

._._._._._._._._._._._._._._._.--

...

-._

....

15 10 10-6 5 10-21-- - ----; 10-1 _{- S A G E} --MUSIC --+-CAF-DF 10-2 _._.- •• CRLS 20 25 30 35 5 10 15 20 iGO, db iGO, db c-) d-)

~ekiI3:CAF-DF, SAGE ve MUSIC tekniklerininge~itliiGO degerleri i9in a-)azimut-2, b-)Yiikseli~-2,.c-) zaman gecikmesi-2, d-)Doppler-2 kestirimlerinin kOKH'lanverilmi~tir.Kesikli 9izgi Cramer-Rao alt slnlnnllfade eder.

6.

Sonu~

Daha once onerdigimiz CAF-DF yon bulma ve kanal parametreleri kestirim teknigi uygulamalarda yogun olarak kullantlan MUSIC ve SAGE teknikleri ile klyaslanml~ttr.

Elde edilen sonu9lar gostermektedir ki, CAF-DF teknigi MUSIC tekniginden her durumda, SAGE tekniginden ise orta

ve dii~iik

i

GO degerlerinde iistiin ba~anmh kestirimler

iiretmektedir. Orta ve dti.~iik

i

GO degerlerindeki ba~anmln onemi goz oniinde tutulursa, CAF-DF'in SAGE teknigine onemli iistiinliigti. vardlr. Bu9ah~manlndevamlnda, CAF-DF tekniginin sonu9larlyla ilklendirilmi~olan SAGE tekniginin

b~anml irdelenecektir. Su anki beklentimiz boyle bir ilklendirmeylegeli~tirilenkarma teknik mm iGO degerlerinde CAF-DF ve SAGE tekniklerinden daha iyi sonu9lar verecektir.

7.

Kaynak~a

[1] H. Krim and M. Viberg, "Two decades of array signal processing research",IEEE Signal Processing Magazine,

13(14):67-94, 1996.

[2] P. Stoica and K. C. Sharman, "Maximum likelihood methods for direction-of-arrival estimation",IEEE Trans. on A.SSP.,34: 1132-1144, 1990.

[3] A. Jakobsson, A. L. Swindlehurst, and P. Stoica, "Subspace-based estimation of time delays and doppler shifts", IEEE Trans. on Signal Processing,

46(9):2472-2482, 1998.

[4] M. Viberg and B. Ottersten, "Sensor array processing based on subspace fitting", IEEE Trans. on Signal Processing,39:1110-1121,1991.

[5] R. O. Schmidt, "Multiple emitter location and signal parameter estimation", IEEE Transactions on Antennas and Propagation,34(3):276-281, 1986.

[6] R. Roy and T. Kailath, "ESPRIT - Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques", IEEE Trans. on A.SSP.,37:984-995, 1989.

[7] M. Feder and E. Weinstein, "Parameter estimation of superimposed signals using the EM algorithm", IEEE Trans. on A.SSP.,36:477-489, 1988.

[8] T. Moon, "The expectation-maximization algorithm",

IEEE Signal Processing Magazine,47-60, 1997. [9] A. P. Dempster, N. M. Laird, and D. B. Rubin,

,'Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm",1. Royal Statist. Soc., Ser.B,39: 1-38, 1977. [10] 1. A. Fessler and A. O. Hero, "Space-alternating

generalized expectation-maximization algorithm", IEEE Trans. on Signal Processing,42:2664-2677, 1994. [11] B. H. Fleury, D. Dahlhaus, R. Heddergott, and M.

Tschudin, "Wideband angle of arrival estimation using the SAGE algorithm", in Proc. IEEEFourth Int. Symp. Spread Spectrum Techniques and Applications (ISSSTA'96)Mainz, Germany,79-85, 1996.

[12] Bernard H. Fleury, Martin Tschudin, Ralf Heddergott, Dirk Dahlhaus and Klaus Ingeman Pedersen, "Channel Parameter Estimation in Mobile Radio Environments Using the SAGE Algorithm", IEEE Journal on Selected Areas in Comm.,17:434-450, 1999.

[13] M.Burak Giildogan, Orhan Ankan, " A novel array signal processing technique for multipath channel parameter estimation", Proc. of IEEE Conf on Signal Processing and Communications Applications (SIU'07), Eskisehir, Turkey, June 2007.

[14] M. B. Giildogan, A Novel Array Signal Processing

Technique for Multipath Channel Parameter Estimation,