Test 70 Katı Cisimler

www

.krakademi.com

1.

Küpün bir kenarı a olsun.

a a a =6 $a › Hacmi a Y zey alan ü 3 2 =

• Küpün yüzey alanı x cm2 _ise 6a2 _{= x olur.} • Küpün hacmi y cm3 _ise, a3 _{= y olur.} • a >6a , ( , .) . , oldu una g re

E itsizli in iki taraf a b l n rse a pozitif oldu u i in e itsizlik y n de i tirmez a a a a a bulunur 6 6 8 7 € ö fl € › ifadesine ö ü ü € ç fl ö € fl > > > 2 2 2 2 2 3 2 2 . f . . y x

Buna göre, küpün bir kenarı olan a nın en küçük değeri 7 dir.

Cevap: B

2.

Ayrıtlarınının uzunluklar x, y ve z cm olan dikdörtgen-ler prizmasının, y x z (x y y z x z) 2 $ $ $ $ = + + Hacmi x y z Y zey alan ü › $ $ =

• Bize verilen bilgiye göre dikdörtgenler prizması-nın yüzey alan A cm ise,

(x y y z x z) A olur. x y y z x z A 2 2 $ $ $ $ $ $ $ + + = + + = • ( ) ( ) ( ) , x y z y x z z x y A ise x y z y z x z x y _A x y z A A x y z A A x y z x y z cm 1 1 1 18 1 18 2 18 2 18 2 18 9 3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ + + = + + = = = = =

Buna göre, küpün hacmi x·y·z = 9 cm3 _bulunur.

www

.krakademi.com

dikdörtgenler prizmasının hacmi tüm ayrıtların çarpımına eşittir. Yani,

› › Dikd rtgenler Prizmas n n Hacmi 8 10 18 ö $ $ =

• Prizmanın 8 ve 18 cm olan ayrıtları 2

1 oranında kısaltılırsa, iki ayrıtının uzunluğu

cm ve cm 8 2 1 _{4 18} 2 1 ₉ $ = $ = bulunur.

Üçüncü ayrıtın uzunluğuda x cm olsun.

• Dikdörtgenler prizmasının hacmi değişmediğin-den iki durumda da dikdörtgenler prizmasının hacmi birbirine eşittir. Buna göre.

. .

I Durumdaki Dikd rtgenler Prizma

Hacmi

II Durumdaki Dikd rtgenler Prizma

Hacmi x x x cm 8 10 18 4 9 2 10 2 40 ö ö 2 2 $ $ $ $ $ $ = = = =

Buna göre, birinci durumda 10 cm uzunluğunda olan dikdörtgenler prizmasının ayrıtı ikinci durumda hac-minin değişmemesi için 40 cm oluyorsa, üçüncü ayrıt 40 – 10 = 30 cm uzatılmalıdır.

Cevap: E

4. • Dikdörtgenler prizmasının üç ayrıtının uzunluk-larına x, y, z denilirse, dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 20, 25 ve 30 cm2 oldu-ğundan ayrıtların ikişerli çarpımları dikdörtgenler prizmasının ayrıtlarının alanlarına eşit olduğun-dan,

(

) x y Denklemler taraf y z tarafa arp l rsa

x x z x y z 20 24 30 20 24 30 ç › › 2 2 2 $ $ $ $ $ $ $ = = = =

Bir dik silindirin,

h r =2rr h$ +2rr › Hacmi r h Y zey Alan ü 2 2 $ r = ( ) r h r 2r $ = +

• Buna göre, yüksekliği çap uzunluğunun 2 katı olan bir silindirin yarıçapı r ise çapı 2r olur. Yüksekliği çapının 2 katı ise h = 2·2r = 4r olur. • Bu silindirin hacmi 108r cm3 _ise,

Silindir Hacmi r h r r r r r r cm 108 4 108 4 27 3 3 2 2 3 3 3 3 $ $ $ $ r r r = = = = = =

• Silindirin taban alanı daire şeklindedir. Dairenin alanı = rr2 _{şeklinde hesaplandığından,}

. ›

Silindirin taban alan r

cm bulunur 3 9 2 2 2 $ r r r = = = Cevap: A

www

.krakademi.com

6.

Yarıçapı r cm ve yüksekliği h cm olan bir dik koninin,

O h r Hacmi r h 3 1_$r2_$ = O h 15 A B ₉ C

• Dik koninin A noktasından O noktasına çizilen doğru dik kesişir. Yani AO ⊥ OC olur. Yüksekliği bulmak için AOC üçgeninde pisagor bağıntısın-dan, . AO OC AC h h h h h h cm dir 9 15 81 225 225 81 144 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = -= = = • . Dik koninin hacmi r h

cm bulunur 3 1 3 1 _{9 12} 3 1 _{81 12} 324 2 2 4 3 $ $ $ $ $ $ $ $ r r r r = = = = Cevap: D

7.

Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzle-mine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir. Tüm dik prizmaların hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Bilgi:

Bir eşkenar üçgen bir kenarı x olsun.

60° 60° 60° › Alan x 4 3 2_$ =

• Tabanındaki eşkenar üçgenin bir kenarı x cm, yüksekliği 3 cm olan eşkenar üçgen prizmanın hacmi 72 3 cm3 _ise, fl fl › E kenar gen prizma hacmi E kenar gen alan x Y kseklik x x x x x x cm 72 3 4 3 3 72 4 3 24 4 96 96 4 6 üç üç ü 2 24 2 2 2 $ $ $ $ $ = = = = = = =

Prizmanın tabanı olan eşkenar üçgenin bir kenarı x=4 6 cm dir.

www

.krakademi.com

Bütün yüzeyleri boyalı ve ayrıtları 2, 4, 12 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki boyalı tahta parçası bir kenarı 2 cm olan küplere bölünürse şekildeki gibi 12 adet küp elde edilir.

Bu küplerden en üstteki ve en alttaki toplam 4 adet küpün dört yüzü boyalıdır. Cevap: B

9.

Karenin alanı, bir kenarının karesine eşittir.

• Kare biçimindeki kartonun köşelerinden alanı 16 cm2 _{olan kareler çıkartılmış. O halde köşelerden} kesilen karenin bir kenarı 4 cm dir.

• Bir kenarı 4 cm olan kareler kesilerek kalan kısımlar noktalı yerlerden katlanarak bir kutu elde edilmiştir. Oluşan bu kutu kare prizmadır. Bu prizmanın kare olan tabanının bir kenarının uzun-luğuna x denilirse hacmi 6400 cm3 _olduğundan Kare prizma B _C D A x 5

• Küp biçimindeki bir bloğun köşesinden bir küçük küp alınırsa kalan bloğun hacmi, büyük küp hacminden küçük küp hacminin çıkarılmasıyla bulunur.

• Küçük küpün bir kenarı x cm olsun. Büyük küpün bir kenarı x + 5 cm olur.

• Kalan tahta bloğu hacmi 335 cm3 _ise,

( ) ( )( ) . . B y k k p hacmi K k k p hacmi Tahta blo un hacmi x x x x x x x x x x O x x O x x O x x x x O x O x O x olmaz x dir 5 335 3 5 3 5 5 335 15 75 125 335 15 75 125 335 15 15 15 75 15 210 15 5 14 7 2 7 2 7 2 7 2 ü ü ü üçü ü € 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 $ $ $ + - = + + + - = + + = + + - = + - = + -+ - = + = - = = - = x x O 15 +75 -210= + - = - =

• Buna göre büyük küpün bir kenar x + 5 = 2 + 5 = 7 cm bulunur.

www

.krakademi.com

11.

Silindirin açılımı yapılırsa

h h

r 2rr

r r

• Dikdörtgenin kısa kenarı kıvrılarak oluşturulan silindirin yüksekliği kısa kenarına eşit, dikdörtge-nin uzun kenarı ise tabandaki çemberin çevresi 2rr ye eşittir.

•

30

2rr

Şekildeki dikdörtgenin alannı iki dik kenarının çarpı-mına eşittir. Dikdörtgenin alanı 1800 cm2 _ise

. r r r r cm bulunur 30 2 1800 2 60 2 60 30 60 $ r r r r = = = = Cevap: D

12.

Bir kaptaki sıvının başka bir kaba boşaltılırsa, sıvının hacmi değişmez.

Sıvılar bulundukları kabın şeklini aldığından, sıvının hacmi bulunduğu kabın hacminin hesaplanması ile bulunur.

• Şekil – I deki suyun hacmi, silindirin tamamını doldurduğu için silindirin hacmine eşittir.

( ) Suyun hacmi r h x _h 4 3 2 1 2 1 $ $ $ $ r r = =

• Şekil – II deki suyun hacmi, h2 yüksekliğine kadar olan kare prizmanın hacmine eşittir.

( )

Suyun hacmi Taban alan x y kseklik

x _h 2 3 › ü 2 2 $ = =

• Şekil – I ve Şekil – II deki suyun kapladığı hacim-ler eşit olduğundan,

( ) ( ) . x _h x _h x h x h h h h h dir 4 3 2 3 16 9 4 9 4 4 2 1 2 2 4 2 1 2 2 1 2 2 1 $ $ $ $ $ $ $ r r r r = = = = Cevap: A

www

.krakademi.com

• C ve D noktalarından AB doğrusuna paralel çizi-lirse, oluşan DKC dik üçgeninde pisagor bağıntı-sından, | | | | | | | | | | | | | | . DK KC DC KC KC KC KC cm olur 5 13 169 25 144 12 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = = -= =

• Şekildeki dik yamuk AD kenarı etrafında dön-dürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulmak için AB yarıçaplı silindir hacminden LC yarıçaplı koni alanı çıkarılmalıdır.

. hacmi Silindir hacmi Koni hacmi

r h r h cm bulunur 3 1 5 14 ₃1 5 12 25 14 25 4 350 100 250 Cismin koni 2 2 2 2 4 3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ p p p p p p p p p = -= -= -= -= -= Cevap: C B K L x x x y x x x y x x y A 4 4 4

• Dikdörtgenler prizmasının açık hâlinde en kısa ayrıt uzunluğu x birim, en uzun ayrıt uzunluğuna y birim diyelim.

• A dikdörtgen bölgesinin alanı 12 br2 _ise dikdörtge-nin alanı iki dik kenarının çarpımına eşit olduğun-dan, . x x birim olur 4 12 3 $ = =

• Dikdörtgenler prizmasının açılımının çevresi 72 birim olduğundan, x y y y y y y birim 4 2 8 4 72 8 8 3 4 72 8 24 4 72 4 72 32 4 40 10 $ $ $ $ $ $ $ $ + + = + + = + + = = -= =

• B dikdörtgensel bölgesinin alanını bulmak için iki dik kenarı çarparsak,

x·y = 3·10 = 30 birimkare bulunur.