T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
k-JACOBSTHAL VE k-JACOBSTHAL LUCAS SAYI DİZİLERİNİN MATRİS
METOTLARIYLA TOPLAMI TUĞBA AYDIN
YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı
Temmuz-2019 KONYA Her Hakkı Saklıdır
iv
ÖZET
YÜKSEK LİSANS TEZİ
k-JACOBSTHAL ve k-JACOBSTHAL LUCAS SAYILARININ MATRİS METOTLARIYLA TOPLAMI
Tuğba AYDIN
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Hasan KÖSE 2019 , 52 sayfa
Jüri
Doç. Dr. Tuncer ACAR Dr. Öğr. Üyesi Hasan KÖSE Dr. Öğr. Üyesi Ahmet CİHANGİR
Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tam sayı dizilerinin tarihçesinden ve kullanım alanlarından bahsedilmiştir. Ayrıca çalışmamız boyunca kullandığımız kaynakların literatür özetlerine yer verilmiştir.
İkinci bölümde ise Fibonacci, Lucas sayı dizilerinin tanımları verilmiş ve bu sayı dizileri ile ilgili bazı özellikler verilmiştir. Ayrıca 1996 yılında ilk defa Horadam tarafından tanımlanan Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin tanımları verilmiştir. Bu sayı dizileriyle ilgili temel özellikler, aralarındaki özdeşlikler verilmiş ve kısaca ispat edilmiştir.
Üçüncü bölümde, Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin genelleştirilmiş hali olan k-Jacobsthal ve k-k-Jacobsthal Lucas sayı dizilerine yer verilmiştir.
Dördüncü bölümde, sayı dizilerinin matris temsillerinden bahsedilmiştir. Bu matris temsilleri kullanılarak sayı dizileri arasındaki özdeşlikler verilmiştir.
Beşinci bölümde, çalışmada kullanılacak olan ve elemanları k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı dizilerinden oluşan T matrisi tanımlanmıştır. Bu sayı dizileri arasındaki özdeşlikler T matrisini kullanarak ispatlanmıştır. Ayrıca k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı dizileri arasındaki toplam formülleri verilip, tanımlanan T matrisi kullanılarak ispatlar yapılmıştır.
Altıncı bölümde sonuç ve öneriler ile yararlanılan kaynaklara yer verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Jacobsthal, Jacobsthal Lucas, k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı
v
ABSTRACT MS. THESIS
k-JACOBSTHAL AND k-JACOBSTHAL LUCAS NUMBERS SUMS BY MATRİX METHODS
TUĞBA AYDIN
SELCUK UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLİED SCİENCES DEPARTMENT OF MATHEMATİCS
Advisor: Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE 2019, 52 Pages
Jury
Assoc. Prof. Dr. Tuncer ACAR Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE Asst. Prof. Dr. Ahmet CİHANGİR
This study consist of six sections.
In the first section, we have mentioned the history of integer sequences and usage areas. In addition,we have given literature review of the resourches that we have used during our study.
In the second section, we have given definitions of Fibonacci , Lucas numbers sequences. We have identified some of the properties of this sequence of numbers. We have given jacobsthal and jacobsthal lucas numbers definitions that were defined by Horadam in 1996.
In the third section, we have given k-Jacobsthal and k-Jacobsthal lucas numbers.
In the fourth section, we have mentioned matrix representations of number sequences.Identities between number sequences have been given by using these matrix.
In the fifth section, we have used T matrix.The elements of this matrix occurs k-Jacobsthal and k-Jacobsthal Lucas numbers.Some properties of these sequences have been proven by using T matrix. Also,We have given two theorems that are known before about k-Jacobsthal and k-Jacobsthal Lucas numbers.
In the sixth section, conclusions and suggestions and the resourches used have been given. Keywords: Jacobsthal, Jacobsthal Lucas, k-Jacobsthal and k-Jacobsthal Lucas numbers ,Matrix Methods.
vi
ÖNSÖZ
Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Ana Bilim Dalı Öğretim Üyesi Dr. Öğr. Üyesi Hasan Köse danışmanlığında yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Bu çalışma boyunca emeği geçen danışmanım Dr. Öğretim üyesi Hasan Köse’ye, Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ereğli Eğitim Fakültesi öğretim üyesi Doç. Dr. Hafize Gümüş’e ve maddi manevi her zaman yanımda olan sevgili aileme teşekkür ederim.
Tuğba AYDIN KONYA-2019
vii
İÇİNDEKİLER
ÖZET ... iv
ABSTRACT ... v
ÖNSÖZ ... vi
SİMGELER VE KISALTMALAR ... viii
1. GİRİŞ ... 1
1.1. Tam Sayı Dizilerinin Tarihçesi………...1
1.2. Kaynak Araştırması ... 3
2. SAYI DİZİLERİ VE ÖZELLİKLERİ ... 7
2.1. Fibonacci Sayıları ve Özellikleri ... 7
2.2. Üreteç Fonksiyonu………...…...7
2.3. Lucas Sayıları ve Özellikleri………...8
2.4. Jacobsthal Sayı Dizisi……….9
2.5. Jacobsthal Lucas Sayı Dizisi………11
2.6. Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas Sayı Dizisi Arasındaki Bağıntılar………12
3. GENELLEŞTİRİLMİŞ SAYI DİZİLERİ………...13
3.1. k-Fibonacci Sayı Dizisi………....13
3.2. k-Lucas Sayı Dizisi………...14
3.3. k-Jacobsthal Sayı Dizisi………....15
3.3.1. k-Jacobsthal Sayı Dizisinin Üreteç Fonksiyonu………18
3.4. k-Jacobsthal Lucas Sayı Dizileri………...19
3.4. 1.k-Jacobsthal Lucas Sayı Dizisinin Üreteç Fonksiyonu……….21
3.4.2. k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas Dizisi Arasındaki İlişki……….22
4. SAYI DİZİLERİNİN MATRİS GÖSTERİMİ ………...………...26
4.1. Sayı Dizilerinin Matris Gösterimi………....26
5. k-JACOBSTHAL ve k-JACOBSTHAL LUCAS T MATRİSİ………...…..30
6. SONUÇ ve ÖNERİLER…………...……….41
KAYNAKLAR………...42
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler
𝑁 :Doğal sayılar kümesi 𝑍 :Tam sayılar kümesi 𝐹𝑛 :n. Fibonacci sayısı 𝐿𝑛 :n.Lucas sayısı 𝐽𝑛 :n. Jacobsthal sayısı 𝑗𝑛 :n. Jacobsthal Lucas sayısı 𝐹𝑘,𝑛 :n. k-Fibonacci sayısı 𝐿𝑘,𝑛 :n. k-Lucas sayısı 𝐽𝑘,𝑛 :n. k-Jacobsthal sayı
𝑗𝑘,𝑛 :n. k-jacobsthal lucas sayısı 𝐶̂𝑘,𝑛 :k-Jacobsthal Lucas matris dizisi 𝐽̂𝑘,𝑛 :k-Jacobsthal matris dizisi
𝐽𝑘(𝑥) :k-Jacobsthal sayı dizisinin üreteç fonksiyonu 𝒥𝑘(𝑥) :k-Jacobsthal lucas sayı dizisinin üreteç fonksiyonu K :T matrisinden üretilen bir kare matris
S,W :k-Jacobsthal matris
T :k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal lucas matris Q :Fibonacci matrisi
Kısaltmalar
D :𝑑𝑒𝑡(𝐼 − 𝑇𝑚) d : 𝑑𝑒𝑡(𝐼 + 𝑇𝑚)
1.GİRİŞ
Bu bölümde öncelikle tamsayı dizilerinin tarihçesinden bahsedeceğiz. Önce bu sayı dizilerinin parlayan iki yıldızı olan Fibonacci ve Lucas dizilerinden, gündelik hayatta nerelerde karşımıza çıkacağından ve altın orandan bahsedeceğiz. Daha sonra ise çalışmamızda yararlandığımız kaynaklardan kısa özetler vereceğiz.
1.1.Tam Sayı Dizilerinin Tarihçesi
Leonardo Fibonacci 12. yüzyılda İtalya’nın Pisa şehrinde doğmuştur ve ortaçağın ünlü matematikçisidir. Çocukluğu başarılı bir tüccar olan babasıyla birlikte Cezayir’de geçmiştir. Fibonacci ilk eğitimini Arap sayı sistemiyle Müslüman matematikçilerden almıştır. Yetişkinliğinde Mısır, Suriye, Yunanistan, Fransa ve İstanbul’a seyahat etmiştir. Burada aritmetiğin farklı sistemleri üzerine çalışmış ve yerli matematikçilerinden farklı bakış açıları kazanmıştır.1200’lü yıllarda Pisa’ya geri dönmüş ve Arap sayı sisteminin Roma sayı sisteminden daha pratik ve üstün olduğunu ortaya koymuştur(Koshy, 2001).
1202 yılında Fibonacci “Liber Abaci” adlı kitabını yazmıştır. Bu kitabın yeni versiyonunu 1228’de tamamlayan Fibonacci’nin “Practica Geometria (1220)”, “Flos(1225)” ve “Liber Quadratorum (1225)” kitapları ise matematik alanındaki diğer eserleridir. Bu kitapların içinde en ünlü olanı ise Fibonacci sayılarıyla Altın Oran’ın anlatıldığı “Liber Abaci”dir. Kitapta karşılaşılan bir problemin çözümünde Fibonacci dizisi anlatılmaktadır. Bu problem şöyledir:
“Dört yanı duvarlarla çevrili bir yere bir çift tavşan konulmuştur. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de ergenleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği varsayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?”
Burada ilk ayın sonunda sadece bir çift vardır. İkinci ayın sonunda dişi bir çift yavru doğurur ve elimizde iki çift tavşan olur. Üçüncü ayın sonunda ilk dişimiz bir çift yavru doğurur ve üç çift yavrumuz olur. Dördüncü ayın sonunda, ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce doğan dişide bir çift yavru doğurur ve artık 5 çift tavşanımız vardır. Yani her ayın sonundaki tavşan çifti sayısı; aydan hemen önceki iki ayın tavşan çiftlerinin toplamına eşittir. Bu sorudan ortaya çıkan dizi;
Yukarıda gösterilen Fibonacci sayıları, kendisinden önceki son iki sayının toplamı ile devam etmektedir. Bu sayı dizisinde her bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğümüzde, birbirine yakın sayılar çıkar. 13. terimden sonra bu oran sabitlenir ve 1,618 olur. Bu değere “Altın Oran” denir.(Aydın ve Ayran, 2017)
Fibonacci sayı dizisi ilginç sayı dizilerinden biridir. Bu dizi; amatör ve profesyonel matematikçilerin ufuklarını genişletmeye devam etmektedir. Matematik literatüründe çok önemli olan bu dizi için Fibonacci Derneği bile kurulmuştur. Bu dernek 1963 yılında Verner E. Hoggat tarafından kurulmuştur. Dernek; tamsayı dizileriyle ilgili ilginç makaleleri “The Fibonacci Quarterly” dergisinde yayınlamıştır. Bu diziye yakından bakıldığında büyüleyici bir özelliği olduğu ortaya çıkar.
Her Fibonacci sayısı ilk iki terimi hariç, kendinden önce gelen son iki teriminin toplamıdır.
n. Fibonacci dizisinin tanımı ; 𝐹0 = 0 𝑣𝑒 𝐹2 = 1 olmak üzere; 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1+ 𝐹𝑛−2 , 𝑛 ≥ 2
şeklinde ifade edilir (Koshy,2001).
Bu diziye bakıldığında basit bir kuralla oluşturulmuş gibi görünüyor olsa da bu sayılara doğanın her yerinde rastlamak mümkündür. Bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki yapraklar, hiçbir yaprak alttaki yaprağı kapamayacak şekilde dizilmiştir. Bu da her bir yaprak güneş ışığını eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor demektir. Birçok çiçeğin taç yaprak sayısı Fibonacci dizisinin terimlerinden bazılarını verir. Fibonacci sayısının hayvanlarda da örnekleri vardır. Mesela, yavru bir salyangoz büyüdükçe kabuğunda yeni odacıklar oluşur. Her bir oda, kendinden önceki iki odanın toplamı kadardır. Fibonacci sayılarına ayrıca Pascal ve Binom üçgenlerinde, Mimar Sinan’ın eserlerinde, Da Vinci’nin resimlerinde de rastlanmaktadır (Baykut ve Kıvanç, 2004). Ayrıca el parmaklarımızdaki boğumların birbirine oranında, kolumuzu ikiye ayırdığımızda dirsek ile omuz ve el arasındaki mesafeye oranı da altın oranı vermektedir. Yüzümüzde de altın orana rastlamak mümkündür (Kutlu, 2011).
Fibonacci sayı dizisinin başlangıç noktalarını farklı seçtiğimizde yeni bir dizi olan Lucas dizisini elde ederiz. 𝐿𝑛 ,dizinin 𝑛. terimidir. Başlangıç noktalarını
𝐿0 = 2 𝑣𝑒 𝐿1 = 1 seçersek; 𝐿𝑛 = 𝐿𝑛−1+ 𝐿𝑛−2 , 𝑛 ≥ 2
şeklinde Lucas dizisini elde ederiz.
Günümüzde de devam eden çalışmalar bu iki dizi arasında ilginç bağıntıların olduğunu kanıtlamıştır. Bu özellikleri matematik literatüründe birçok çalışmada görebiliriz. Sadece bilimsel olarak değil doğada da birçok örneği bulunmaktadır.
Örneğin, 123 sağ sarmalı ve 76 sol sarmalı olan Lucas ayçiçekleri bunlardan bazılarıdır (Koshy, 2001).
1.2. Kaynak Araştırması
Bu bölümde sayı dizileriyle ilgili daha önce yapılmış olan ve çalışmamızda yararlandığımız kaynakların özetlerine yer verilmiştir.
Silvester (1979), “ Fibonacci Properties by Matrix Methods ” adlı makalesinde
Fibonacci 𝑄 = [1 1
1 0] matrisini tanımlamıştır. Bu matris yardımıyla Fibonacci dizisinin bazı özelliklerine yer vermiştir.
Horadam (1996), “Jacobsthal Repesentation Numbers” adlı çalışmasında
Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayı dizileri tanımlanmıştır. Bu sayı dizilerinin rekürans bağıntıları verilerek karakteristik denklemleri oluşturulmuştur. Ayrıca bu sayı dizileri arasındaki ilişkileri veren bağıntılar incelenmiştir.
Cerrin (2007), “ Sums of Squares and products of Jacobsthal Numbers” adlı
çalışmasında; tek ve çift terimli Jacobsthal Sayı dizilerinin kareleri toplamını elde etmiştir. Bu toplamlar benzer sayı dizileriyle ilişkilendirilmiştir.
Falcon ve Plaza (2007), “On the Fibonacci k-Numbers” adlı çalışmasında;
Fibonacci sayı dizilerinin genelleştirilmesi olan k-Fibonacci sayı dizilerini tanımlamıştır. {𝐹𝑘,𝑛}
𝑛=0 ∞
şeklinde gösterilen sayı dizisini 4TLE (four triangle longest edge) yöntemini kullanarak açıklamıştır. Bu sayı dizisinin birçok özelliği elemanter matris cebiri kullanılarak açıklanmıştır. Ayrıca k-Fibonacci sayı dizisinin tanımı verilmiş ve k’nın değerlerine göre hangi dizilere yakınsadığı ifade edilmiştir. Ek olarak R ve L şeklinde iki matris tanımlanmış ve bu sayı dizisinin bazı özellikleri bu matrisler yardımıyla gösterilmiştir.
Yosma (2008), “Fibonacci ve Lucas Sayıları” adlı yüksek lisans tezinde
Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin genel özellikleri incelenmiştir. Fibonacci sayılarının temelini oluşturan “Tavşan Problemlerine” yer vermiştir. Fibonacci sayısının nasıl ortaya çıktığı anlatılıp Fibonacci sayı dizilerinin bölünebilme özelliklerine yer verilmiştir. Bu sayı dizisinin Binet formülü verilmiştir. Daha sonra Lucas sayı dizisinin tanımı verilerek Fibonacci ve Lucas sayıları arasındaki bağıntılar ifade edilmiştir. Ayrıca bu sayı dizilerinin matris temsillerine yer verilmiştir.
Bolat (2008), “ k-Fibonacci ve k-Lucas Sayılarının Özellikleri ve Uygulamaları”
adlı yüksek lisans tezinde; k-Fibonacci ve k-Lucas sayı dizileri üzerine durulmuştur. Binet formülü ve matris cebirinden yararlanılarak bu sayı dizileri için bazı önemli özellikler bulunmuştur. Ardından k-Fibonacci ve k-Lucas sayıları için üreten fonksiyonları içeren özdeşlikler elde edilmiştir. Son olarak da bu sayıların sürekli kesir cinsinden yazılabileceği gösterilmiştir.
Demirtürk (2010), “Fibonacci and Lucas Sums by Matrix Methods” adlı
çalışmasında; S ve K şeklinde iki matris tanımlanarak bu matrisler yardımıyla Fibonacci ve Lucas sayı dizileri arasındaki ilişkileri veren özellikler ve teoremler ifade edilmiştir
Falcon (2011), “ On the Lucas Numbers” adlı çalışmasında 2007 yılında
k-Fibonacci sayılarıyla ilgili yaptığı çalışmadan yola çıkarak k-Lucas sayı dizisini tanımlamıştır. Bu sayı dizisinin rekürans bağıntısını verilmiş ve bu sayı dizileri arasındaki ilişkileri veren teoremler ispatlanmıştır. Son olarak da bu sayı dizisinin toplam formülü ve üreteç fonksiyonlarına yer verilmiştir.
Jhala ve Ark. (2013), “ On Some Identities for k-Jacobsthal Numbers” adlı
çalışmasında k-Jacobsthal sayı dizilerinin rekürans bağıntısını vermiştir. Karakteristik denklemi verip binet formülünü elde etmiştir. Ayrıca bu sayı dizisinin özelliklerini binet formülü yardımıyla ispatlamıştır. Son olarak da bu sayı dizisinin üreteç fonksiyonunu vermiştir.
Jhala ve Rathore (2014), “ Some Properties of k-Jacobsthal Lucas Sequences”
adlı çalışmasında; k-Jacobsthal Lucas dizisinin rekürans bağıntısını tanımlayıp karakteristik denklemini ve binet formülünü vermiştir. Binet formülü yardımıyla
Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas dizileri arasındaki eşitlikleri ispatlamıştır. Ayrıca k-Jacobsthal Lucas dizisi için üreteç fonksiyonunu elde etmiştir.
Falcon (2014), “ On the k-Jacobsthal Numbers” adlı çalışmasında k-Jacobsthal
dizisini
𝐽𝑘,𝑛+1= 𝐽𝑘,𝑛+ 𝑘𝐽𝑘,𝑛−1 ; 𝑛 ≥ 1
şeklinde Jhala ve arkadaşlarınınkinden farklı bir rekürans bağıntısıyla tanımladı.k-Fibonacci dizisine ait birçok özelliği bu diziye uyguladı. Son olarak da bu diziyi pascal üçgeniyle ilişkilendirdi.
Compos ve Ark. (2014), “On Some Identities of k-Jacobsthal Lucas Numbers”
adlı çalışmasında Horadam tarafından tanmlanan Jacobsthal Lucas dizilerini k-Jacobsthal Lucas dizisine genelleştirmiştir. Bu sayı dizisi için Binet formülü, Catalan ve D’ocagne özdeşliği ve üreteç fonksiyonları bulunmuştur.
Srisawat ve ark. (2015), “On the k-Jacobsthal Numbers by Matrix Methods”
adlı çalışmasında k-Jacobsthal S ve W martislerini tanımlamışlardır. Bu matrisleri kullanarak k-Jacobsthal sayıların bazı özellikleri ve Binet Formülü elde edilmiştir.
Uygun ve Eldoğan (2016(a)), “Properties of k-Jacobsthal and k-Jacobsthal
Lucas Sequences” adlı çalışmasında k-Jacobsthal sayı dizisini {𝑗𝑘,𝑛}𝑛∈𝑁 olarak, k-Jacobsthal Lucas dizisini {𝑐𝑘,𝑛}
𝑛∈𝑁 olarak tanımlamıştır. Ardından bu sayı dizileri arasındaki bazı özellikleri ve bazı önemli ilişkileri vermiştir. Üreteç fonksiylonarını elde etmiştir.
Uygun ve Eldoğan (2016(b)), “ k-Jacobsthal and k-Jacobsthal Lucas Matrix
Sequences” adlı çalışmasında matris dizilerini tanımlamıştır. k-Jacobsthal matris dizisini {𝐽̂𝑘,𝑛}𝑛∈𝑁 ile göstermiştir. 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑘 > 0 olmak üzere; 𝐽̂𝑘,𝑛+2= 𝑘𝐽̂𝑘,𝑛+1+ 2𝐽̂𝑘,𝑛 ; 𝐽̂𝑘,0 = (1 0 0 1) , 𝐽̂𝑘,1 = ( 𝑘 2 1 0) şeklinde tanımlamıştır.
k-Jacobsthal Lucas matris dizisini ise {𝐶̂𝑘,𝑛}𝑛∈𝑁ile tanımlamıştır. 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑘 > 0 olmak üzere; 𝐶̂𝑘,𝑛+2= 𝑘𝐶̂𝑘,𝑛+1+ 2𝐶̂𝑘,𝑛; 𝐶̂𝑘,0 = (𝑘 4 2 −𝑘) , 𝐶̂𝑘,1 = (𝑘 2+ 4 2𝑘 𝑘 4 ) olarak tanımlamıştır.
2. SAYI DİZİLERİ VE ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde öncelikle Fibonacci ve Lucas tam sayı dizilerinin tanımını ve bunlarla ilgili özellikleri vereceğiz. Daha sonra ise farklı bir sayı dizisi olan Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin tanımını verip özelliklerini vereceğiz.
2.1. Fibonacci Sayıları ve Özellikleri Tanım 2.1 (Fibonacci Dizisi)
𝐹0 = 0 ve 𝐹1 = 1 olmak üzere;
𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1+ 𝐹𝑛−2, 𝑛 ≥ 2 (2.1) ile tanımlanan {𝐹𝑛}𝑛∈𝑁 sayı dizisine Fibonacci sayı dizisi ve bu dizinin elemanlarına da Fibonacci sayıları denir. Fibonacci dizisinde her n tamsayısına karşılık gelen değere n. Fibonacci sayısı denir.n=0,1,2,3,4,5,6,7,… tamsayılarına karşılık gelen değerler 𝐹𝑛 = {0,1,1,2,3,5,8,13, … } şeklindedir.
(2.1) ile verilen ifadenin karakteristik denklemi;
𝜆2− 𝜆 − 1 = 0 dır.Denklemin kökleri 𝛼 ve 𝛽 olmak üzere 𝛼 =1+√5 2 𝑣𝑒 𝛽 = 1−√5 2 dir. Binet formülü; 𝐹𝑛 =𝛼𝑛−𝛽𝑛 𝛼−𝛽 şeklindedir. (2.2) Binet formülü yardımıyla 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝐹𝑛+1
𝐹𝑛 = 𝛼=1,618…olarak adlandırılan “altın orana” yakınsadığı görülür.
Negatif indisli Fibonacci sayı dizilerinin 𝐹−𝑛 = (−1)𝑛+1𝐹
𝑛
şeklinde de tanımlanır. (Vajda, 1989; Koshy, 2001)
2.2. Üreteç Fonksiyonu
Tanım 2.2 (Üreteç Fonksiyonu)
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2+ 𝑎
3𝑥3+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ ∞
𝑛=0 (2.3)
Şimdi Fibonacci sayı dizisi için üreteç fonksiyonunu verelim. 𝐹(𝑥) = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥2+ 𝐹 3𝑥3 + ⋯ + 𝐹𝑛𝑥𝑛+ ⋯ olsun. O halde 𝐹(𝑥) = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥2+ 𝐹 3𝑥3+ ⋯ + 𝐹𝑛𝑥𝑛+ ⋯ −𝑥𝐹(𝑥) = −𝐹1𝑥2− 𝐹 2𝑥3− 𝐹3𝑥4 − ⋯ − 𝐹𝑛𝑥𝑛+1− ⋯ −𝑥2𝐹(𝑥) = −𝐹 1𝑥3− 𝐹2𝑥4− 𝐹3𝑥5 − ⋯ − 𝐹𝑛𝑥𝑛+2− ⋯ olur. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa;
(1 − 𝑥 − 𝑥2)𝐹(𝑥) = 𝐹
1𝑥 + (𝐹2− 𝐹1)𝑥2+ (𝐹3− 𝐹2− 𝐹1)𝑥3+(𝐹4− 𝐹3− 𝐹2)𝑥4+ (𝐹5 − 𝐹4− 𝐹3)𝑥5+ ⋯ + (𝐹𝑛−1− 𝐹𝑛−2− 𝐹𝑛−3)𝑥𝑛−1+ (𝐹𝑛− 𝐹𝑛−1− 𝐹𝑛−2)𝑥𝑛+ ⋯ dir. Fibonacci sayı dizisinin tanımı kullanılarak
(1 − 𝑥 − 𝑥2)𝐹(𝑥) = 𝐹
1𝑥 = 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑥
1 − 𝑥 − 𝑥2
üreteç fonksiyonu elde edilir. (Horadam, 1965) Simpson Formülü,(Koshy, 2001)
𝐹𝑛+1𝐹𝑛−1− 𝐹𝑛2 = (−1)𝑛
Toplam Formülü, (Koshy, 2001) ∑ 𝐹𝑘= 𝐹𝑛+2− 1
𝑛
𝑘=1
şeklindedir.
2.3.Lucas Sayıları ve Özellikleri Tanım 2.3 (Lucas Dizisi)
𝐿0 = 2 ve 𝐿1 = 1 olmak üzere,
𝐿𝑛+2 = 𝐿𝑛+1+ 𝐿𝑛, 𝑛 ≥ 0 (2.4) şeklinde tanımlanan {𝐿𝑛}𝑛∈𝑁 sayı dizisine Lucas dizisi denir ve bu dizinin elemanlarına da Lucas sayıları denir. Lineer rekürans bağıntısı ile verilen tamsayılar dizisine Lucas dizisi denir. Lucas dizisinde her n tam sayısına karşılık gelen her bir değere n.Lucas
sayısı denir.
n=0,1,2,3,4,5,6,…değerlerine karşılık gelen Lucas sayıları {2,1,3,4,7,11,18,…} dir.(2.4) ile verilen ifadenin karakteristik denklemi
Denklemin kökleri 𝛼 ve 𝛽 olmak üzere 𝛼 =1+√5
2 𝑣𝑒 𝛽 = 1−√5
2 dir.
Lucas sayı dizilerinin Binet Formülü,
𝐿𝑛 = 𝛼𝑛+ 𝛽𝑛 (2.5) şeklindedir. 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝐿𝑛+1 𝐿𝑛 = 𝛼 değerine ulaşılır.
Negatif indisli Lucas sayı dizisi 𝐿−𝑛 = (−1)𝑛+1𝐿𝑛
şeklinde tanımlanır.
Lucas sayılarının üreten fonksiyonları, 𝐿(𝑥) = ∑ 𝐿𝑛𝑥𝑛 = 2 − 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑥2 ∞ 𝑛=1 Simpson formülü, 𝐿𝑛+1𝐿𝑛−1− 𝐿𝑛2 = 5(−1)𝑛−1 ve toplam formülü, ∑ 𝐿𝑖 = 𝐿𝑛+2− 3 𝑛 𝑖=1
şeklinde verilir. (Koshy,2001)
2.4.Jacobsthal Sayı Dizisi
Tanım 2.4 (Jacobsthal Sayı dizisi)
𝐽0 = 0 𝑣𝑒 𝐽1 = 1 olmak üzere
𝐽𝑛+2 = 𝐽𝑛+1+ 2𝐽𝑛, 𝑛 ≥ 0 (2.6) rekürans bağıntısı ile verilir.
Bu sayı dizisi {𝐽𝑛}𝑛∈𝑁 ile gösterilir. Jacobsthal sayı dizisindeki her n tamsayısına karşılık gelen elemana n. Jacobsthal sayısı denir. Şimdi bazı n değerleri için Jacobsthal değerleri bulalım.
n=0,1,2,3,4,5… için 𝐽𝑛 = {0,1,1,3,5,11,21, … } elde edilir. (2.6) ile gösterilen fark denkleminin karakteristik denklemi 𝜆2− 𝜆 − 2 = 0 dır.
𝛼 ve 𝛽 bu denklemin kökleri olmak üzere ; 𝛼 = 2, 𝛽 = −1 dir. 𝛼 + 𝛽 = 1, 𝛼𝛽 = −2, 𝛼 − 𝛽 = 3 olur. Binet formülü; 𝐽𝑛=2 𝑛−(−1)𝑛 3 (2.7) şeklinde elde edilir.
Horadam, Jacobsthal sayı dizisinin elemanlarının negatif değerler içinde hesaplanabileceğini belirtmiştir. O halde negatif tam sayılar için Jacobsthal binet formülü;
𝐽−𝑛= (−1) 𝑛+1 2𝑛 𝐽𝑛 şeklindedir.
Jacobsthal sayılar için üreteç formülünü bulalım. 𝐽(𝑥) = 𝐽1𝑥 + 𝐽2𝑥2+ 𝐽3𝑥3+ ⋯ + 𝐽𝑛𝑥𝑛 + ⋯ −𝑥 𝐽(𝑥) = −𝐽1𝑥2− 𝐽
2𝑥3− 𝐽3𝑥4− ⋯ − 𝐽𝑛𝑥𝑛+1+ ⋯ -2𝑥2𝐽(𝑥) = −2𝐽
1𝑥3− 2𝐽2𝑥4− 2𝐽3𝑥5− ⋯ − 2𝐽𝑛𝑥𝑛+2+ ⋯ olduğndan bu üç eşitlik taraf tarafa toplanırsa;
(1 − 𝑥 − 2𝑥2) = 𝐽 1𝑥 + (𝐽2− 𝐽1)𝑥2 + (𝐽3− 𝐽2− 2𝐽1)𝑥3+ ⋯ +(𝐽𝑛− 𝐽𝑛−1− 2𝐽𝑛−2)𝑥𝑛 + ⋯ 𝐽(𝑥) = 𝑥 1 − 𝑥 − 2𝑥2 ∑ 𝐽𝑖𝑥𝑖−1= (1 − 𝑥 − 2𝑥2)−1 ∞ 𝑖=1 Üreteç fonksiyonunu elde ederiz.
Simpson Formülü; 𝐽𝑛+1𝐽𝑛−1− 𝐽𝑛2 = (−1)𝑛2𝑛−1 Toplam Formülü; ∑ 𝐽İ= 1 2(𝐽𝑛+2− 3) 𝑛 𝑖=2 Şeklindedir. (Horadam ,1996)
2.5. Jacobsthal Lucas Sayı Dizisi Tanım 2.5(Jacobsthal Lucas)
𝑗0 = 2 ve 𝑗1 = 1 olmak üzere;
𝑗𝑛+2 = 𝑗𝑛+1+ 2𝑗𝑛, 𝑛 ≥ 0 (2.8) Şeklinde lineer rekürans bağıntısı ile verilen sayı dizisine Jacobsthal Lucas sayı dizisi denir ve {𝑗𝑛}𝑛∈𝑁 ile gösterilir. Bu sayı dizisinin elemanlarına da jacobsthal lucas sayıları denir. Jacobsthal Lucas sayı dizisindeki her n tamsayısına karşılık gelen elemana n. Jacobsthal Lucas sayısı denir.
n=0, 1, 2, 3, 4, 5, … için n. Jacobsthal Lucas sayıları 𝑗𝑛 = {2, 1, 5, 7, 17, 31, 65,…} şeklinde yazabiliriz.
(2.8) ile verilen ifadenin karakteristik denklemi 𝜆2− 𝜆 − 2 = 0
dır.𝛼 ve 𝛽 bu denklemin kökleri olmak üzere ;
𝛼 = 2, 𝛽 = −1 dir. 𝛼 + 𝛽 = 1, 𝛼𝛽 = −2, 𝛼 − 𝛽 = 3 olur. Binet formülü;
𝑗𝑛 = 2𝑛+ (−1)𝑛 (2.9) şeklindedir.
Horadam Jacobsthal sayı dizilerinde olduğu gibi Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin de negatif n tamsayıları için hesaplanabileceğini ifade etmiştir. Bu sayı dizisinin binet formülü;
𝑗−𝑛 =(−1) 𝑛 2𝑛 𝑗𝑛
Jacobsthal Lucas Sayılarının Üreteç Fonksiyonu; ∑ 𝑗𝑖𝑥𝑖−1= (1 + 4𝑥)(1 − 𝑥 − 2𝑥2)−1 ∞ 𝑖=1 şeklindedir. Simpson Formülü; 𝑗𝑛+1𝑗𝑛−1− 𝑗𝑛2 = 9(−1)𝑛−12𝑛−1 = −9(𝐽 𝑛+1𝐽𝑛−1− 𝐽𝑛2 Toplam Formülü; ∑ 𝑗𝑖 = 𝑗𝑛+2− 5 2 𝑛 𝑖=1 dir.(Horadam, 1996)
2.6. Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas Sayı Dizileri Arasındaki Bağıntılar 𝑗𝑛.𝐽𝑛 = 𝐽2𝑛 (2.10) 𝑗𝑛 = 𝐽𝑛+1+ 2𝐽𝑛−1 9𝐽𝑛 = 𝑗𝑛+1+ 2𝑗𝑛−1 𝑗𝑛+1+ 𝑗𝑛 = 3(𝐽𝑛+1+𝐽𝑛) = 3. 2𝑛 𝑗𝑛+1− 𝑗𝑛 = 3(𝐽𝑛+1− 𝐽𝑛) + 4(−1)𝑛+1 = 2𝑛 + 2(−1)𝑛+1 𝑗𝑛+1− 2𝑗𝑛 = 3(2𝐽𝑛 − 𝐽𝑛+1) = 3(−1)𝑛+1 2𝑗𝑛+1+ 𝑗𝑛−1 = 3(2𝐽𝑛+1+ 𝐽𝑛−1) + 6(−1)𝑛+1 𝑗𝑛+𝑟+ 𝑗𝑛−𝑟= 3(𝐽𝑛+𝑟+ 𝐽𝑛−𝑟) + 4(−1)𝑛−𝑟 = 2𝑛−𝑟(22𝑟 + 1) + 2(−1)𝑛−𝑟 𝑗𝑛+𝑟− 𝑗𝑛−𝑟= 3(𝐽𝑛+𝑟− 𝐽𝑛−𝑟) = 2𝑛−𝑟(22𝑟− 1) 𝑗𝑛 = 3𝐽𝑛+ 2(−1)𝑛 3𝐽𝑛+ 𝑗𝑛 = 2𝑛+1 𝐽𝑛+ 𝑗𝑛 = 2𝐽𝑛+1 lim 𝑛→∞( 𝐽𝑛+1 𝐽𝑛 ) = lim𝑛→∞( 𝑗𝑛+1 𝑗𝑛 ) = 2 lim 𝑛→∞( 𝑗𝑛 𝐽𝑛) = 3 𝑗𝑛+2𝑗𝑛−2− 𝑗𝑛2 = −9(𝐽𝑛+2𝐽𝑛−2− 𝐽𝑛2)9(−1)𝑛2𝑛−2 𝐽𝑚𝑗𝑛+ 𝐽𝑛𝑗𝑚 = 2𝐽𝑚+𝑛 (m=n ise (2.10)) 𝑗𝑚𝑗𝑛+ 9𝐽𝑚𝐽𝑛 = 2𝑗𝑚+𝑛 𝑗𝑚𝑗𝑛− 9𝐽𝑚𝐽𝑛 = (−1)𝑛2𝑛+1𝑗𝑚−𝑛 (2.11) ((2.11) de m=n seçersek ) 𝑗𝑛2 − 9𝐽𝑛2 = (−1)𝑛2𝑛+2 bulunur.
Bu özellikleri Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin Binet formülünü kullanarak ispatlayabiliriz. (Horadam, 1996)
3. GENELLEŞTİRİLMİŞ SAYI DİZİLERİ
Bu bölümde ise sayı dizilerinin genelleştirilmiş hali olan k-Fibonacci, k-Lucas, k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin tanımını verip bu sayı dizileriyle ilgili bazı özellikleri açıklayacağız.
3.1 k-Fibonacci Sayı Dizisi Tanım 3.1
∀ 𝑘 > 0 reel sayısı için 𝐹𝑘,0 = 0, 𝐹𝑘,1 = 1 olmak üzere,
𝐹𝑘,𝑛+1= 𝑘𝐹𝑘,𝑛+ 𝐹𝑘,𝑛−1 𝑛 ≥ 1 (3.1) şeklinde tanımlanır.
{𝐹𝑘,𝑛}
𝑛∈𝑁 sayı dizisine k-Fibonacci sayı dizisi denir. Dizinin elemanlarına da k-Fibonacci sayıları denir.
k-Fibonacci sayı dizisinin elemanlarından bazılarını yazarsak; 𝐹𝑘,1 = 1 𝐹𝑘,6 = 𝑘5+ 4𝑘3+ 3𝑘 𝐹𝑘,2 = 𝑘 𝐹𝑘,7 = 𝑘6 + 5𝑘4+ 6𝑘2+ 1 𝐹𝑘,3 = 𝑘2+ 1 𝐹𝐾,8= 𝑘7+ 6𝑘5+ 10𝑘3+ 4𝑘 𝐹𝑘,4 = 𝑘3+ 2𝑘 𝐹𝑘,5 = 𝑘4+ 3𝑘2+ 1 olur.
k-Fibonacci sayı dizisi Fibonacci sayı dizisinin bir genellemesidir. Farklı k değerleri için farklı sayı dizileri elde ederiz.
k=1 alırsak klasik Fibonacci dizisi elde edilir. 𝐹0 = 0, 𝐹1 = 1 ve 𝐹𝑛+1 = 𝐹𝑛+ 𝐹𝑛−1, n≥ 1
{𝐹𝑛}𝑛∈𝑁 = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … } şeklinde olur. k=2 alırsak Pell Sayı dizisini elde edilir.
𝑃0 = 0, 𝑃1 = 1 𝑣𝑒 𝑃𝑛+1 = 2𝑃𝑛+ 𝑃𝑛−1, 𝑛 ≥ 1
{𝑃𝑛}𝑛∈𝑁 = {0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, … } k=3 alırsak farklı bir sayı dizisi
𝐹3,0 = 0, 𝐹3,1 = 1 𝑣𝑒 𝐹3,𝑛+1 = 3𝐹3,𝑛+ 𝐹3,𝑛−1, 𝑛 ≥ 1
{𝐻𝑛}𝑛∈𝑁 = {0, 1, 3, 10, 33, 109, … } olarak elde edilir.
(3.1) ile verilen bağıntının karakteristik denklemi; 𝜆2 = 𝑘𝜆 + 1
şeklindedir.
k-Fibonacci sayılarının binet formülü; 𝐹𝑘,𝑛 =𝛼𝑘𝑛−𝛽𝑘𝑛
𝛼𝑘−𝛽𝑘 (3.2) şeklindedir.
Karakteristik denklemin pozitif kökü 𝛼𝑘 ya “k-altın oran “denir. k=1,2,3,… değerleri için farklı isimler almıştır.
k=1 için 𝛼1 =1+√5
2 ye “altın oran” denir. k=2 için 𝛼2 = 1 + √2 ye “gümüş oran” denir. k=3 için 𝛼3 =3+√3
2 de “bronz oran” olarak adlandırılır.
Şimdi k-Fibonacci sayı dizileriyle ilgili bazı özdeşlikleri verelim.
Catalan Özdeşliği: 𝐹𝑘,𝑛−𝑟𝐹𝑘,𝑛+𝑟 − 𝐹𝑘,𝑛2 = (−1)𝑛+1−𝑟𝐹 𝑘,𝑟2 Simpson Özdeşliği: 𝐹𝑘,𝑛−1𝐹𝑘,𝑛+1− 𝐹𝑘,𝑛2 = (−1)𝑛 D’ocagne Özdeşliği: 𝐹𝑘,𝑚𝐹𝑘,𝑛+1− 𝐹𝑘,𝑚+1𝐹𝑘,𝑛 = (−1)𝑛𝐹 𝑘,𝑚−𝑛 İlk n terim Toplamı: 𝑆𝑘,𝑛 = ∑ 𝐹𝑘,𝑖 n i=1 = 1 𝑘(𝐹𝑘,𝑛+1+ 𝐹𝑘,𝑛−1) Üreteç Fonksiyonu: 𝑓𝑘(𝑥) = 𝑥 1 − 𝑘𝑥 − 𝑥2 (Falcon ve Plaza, 2007)
3.2 k-Lucas Sayı Dizisi Tanım 3.2
∀𝑘 > 0 reel sayısı için
𝐿𝑘,0 = 2 𝑣𝑒 𝐿𝑘,1 = 𝑘 olmak üzere
𝐿𝑘,𝑛+1 = 𝑘𝐿𝑘,𝑛+ 𝐿𝑘,𝑛−1 𝑛 ≥ 1 (3.3) Şeklinde tanımlanan {𝐿𝑘,𝑛}
𝑛∈𝑁 sayı dizisine k-Lucas sayı dizisi denir. Dizinin elemanlarına da k-Lucas sayıları denir.
k=1 alırsak
𝐿1 = {𝐿1,𝑛} = {2,1,3,4,7,11,18,29, … } klasik Fibonacci sayı dizisini elde ederiz.
k=2 alırsak 𝐿2 = {𝐿2,𝑛} = {2,2,6,14,34,82,198,478, … } k=3 alırsak {𝐿3,𝑛}={2,3,11,36,119,393,1243,4287,…} k-Lucas sayı dizisi için bazı terimleri verelim.
𝐿𝑘,0 = 2 𝐿𝑘,5 = 𝑘5+ 5𝑘3+ 5𝑘 𝐿𝑘,1 = 𝑘 𝐿𝑘,6 = 𝑘6 + 6𝑘4+ 9𝑘2+ 2 𝐿𝑘,2 = 𝑘2+ 2 𝐿 𝑘,7= 𝑘7+ 7𝑘5+ 14𝑘3+ 7𝑘 𝐿𝑘,3 = 𝑘3+ 3𝑘 𝐿𝑘,4 = 𝑘4+ 4𝑘2+ 2
(3.3) ile gösterilen ifadenin kökleri 𝛼𝑘 ve 𝛽𝑘 olmak üzere; 𝛼𝑘 =𝑘 + √𝑘 2+ 4 2 𝛽𝑘= − 1 𝛼𝑘 =𝑘 − √𝑘 2+ 4 2 şeklindedir. Binet Formülü: 𝐿𝑘,𝑛 = 𝛼𝑘𝑛 + 𝛽𝑘𝑛 (3.4) şeklindedir. (Falcon, 2011)
3.3 k-Jacobsthal Sayı Dizisi Tanım 3.3
∀𝑘 > 0 reel sayısı için başlangıç koşulları 𝐽𝑘,0 = 0 ve 𝐽𝑘,1 = 1 seçilerek
𝐽𝑘,𝑛+1= 𝑘𝐽𝑘,𝑛+ 2𝐽𝑘,𝑛−1 𝑛 ≥ 1 (3.5) rekürans bağıntısı ile tanımlanan (𝐽𝑘,𝑛)𝑛∈𝑁dizisine “k-Jacobsthal dizi” denir.
{𝐽𝑘,𝑛}
𝑛∈𝑁 ile gösterilir. (Jhala ve ark. , 2013)
Şimdi k-Jacobsthal sayı dizisinin bazı elemanlarını bulalım. 𝐽𝑘,2 = 𝑘 𝐽𝑘,7 = 𝑘6 + 10𝑘4+ 24𝑘2+ 8 𝐽𝑘,3 = 𝑘2+ 2 𝐽
𝑘,8 = 𝑘7+ 12𝑘5+ 40𝑘3 + 32𝑘 𝐽𝑘,4 = 𝑘3+ 4𝑘 𝐽𝑘,9= 𝑘8 + 14𝑘6+ 60𝑘4+ 80𝑘2 + 16
𝐽𝑘,5 = 𝑘4+ 6𝑘2+ 4 𝐽𝑘,10= 𝑘9+ 16𝑘7+ 84𝑘5+ 160𝑘3+ 80𝑘 𝐽𝑘,6 = 𝑘5+ 8𝑘3+ 12𝑘
k-Jacobsthal sayı dizisi k=1 için klasik jacobsthal sayı dizisine dönüşür. (3.5) ile verilen ifadenin karakteristik denklemi 𝑟2− 𝑘𝑟 − 2 = 0 şeklindedir. Kökleri 𝑟1 𝑣𝑒 𝑟2 olmak üzere
𝑟1 =
𝑘+√𝑘2+8 2 , 𝑟2 =
𝑘−√𝑘2+8 2
şeklinde bulunur. (Jhala ve ark. , 2013)
Teorem 3.3.1 (Binet Formülü)
k-Jacobsthal dizisi için Binet Formülü;
𝑟1 𝑣𝑒 𝑟2 (3.5) ile gösterilen ifadenin karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere 𝐽𝑘,𝑛 =
𝑟1𝑛−𝑟2𝑛
𝑟1−𝑟2 ( 𝑟1 > 𝑟2) (3.6) dir. (Jhala ve ark., 2013)
İspat:
𝑟2− 𝑘𝑟 − 2 = 0
denkleminin kökleri 𝑟1 𝑣𝑒 𝑟2 olmak üzere 𝑟1 = 𝑘+√𝑘2+8 2 , 𝑟2 = 𝑘−√𝑘2+8 2 ( 𝑟2 < 0 < 𝑟1 ) , | 𝑟2| < |𝑟1 | 𝑟1 + 𝑟2 = 𝑘 , 𝑟1 − 𝑟2 = √𝑘2+ 8, 𝑟1 𝑟2 = −2 şeklindedir. 𝐽𝑘,𝑛 = 𝑐1𝑟1𝑛+ 𝑐 2𝑟2𝑛
şeklinde genel denklemini yazarsak; 𝐽𝑘,0 = 0 dan 𝑐1+ 𝑐2 = 0 ise 𝑐1 = −𝑐2 dir. 𝐽𝑘,1 = 1 den 𝑐1𝑟1+ 𝑐2𝑟2 = 1 𝑐1𝑟1− 𝑐1𝑟2 = 1 𝑐1(𝑟1− 𝑟2) = 1 𝑐1 = 1 𝑟1−𝑟2, 𝑐2 = −1 𝑟1−𝑟2 dir. 𝐽𝑘,𝑛 = 𝑟1𝑛 − 𝑟2𝑛 𝑟1− 𝑟2 şeklinde elde edilir.
Teorem 3.3.2( Catalan Özdeşliği)
𝐽𝒌,𝒏−𝒓𝐽𝒌,𝒏+𝒓− 𝐽𝑘,𝑛2 = (−1)𝑛+1−𝑟𝐽𝑘,𝑟22𝑛−𝑟 (3.7) eşitliği sağlanır.
(Jhala ve ark., 2013)
İspat:Bu özdeşliği ispatlamak için (3.6) ile ifade edilen binet formülü kullanılmıştır.
𝐽𝑘,𝑛−𝑟𝐽𝑘,𝑛+𝑟− 𝐽𝑘,𝑛2 =𝑟1 𝑛−𝑟− 𝑟 2𝑛−𝑟 𝑟1− 𝑟2 𝑟1𝑛+𝑟 − 𝑟 2𝑛+𝑟 𝑟1− 𝑟2 − ( 𝑟1𝑛− 𝑟 2𝑛 𝑟1− 𝑟2 ) 2 = 𝑟12𝑛+ 𝑟22𝑛− (𝑟1𝑟2)𝑛(𝑟2 𝑟1) 𝑟 − (𝑟2𝑟1)𝑛(𝑟1 𝑟2) 𝑟 (𝑟1− 𝑟2)2 − (𝑟12𝑛− 2(𝑟1𝑟2)𝑛+ 𝑟 22𝑛) (𝑟1− 𝑟2)2 =(−1) n+12n (r1− r2)2 ((r1 2r+ r 22r) (r1r2)r − 2) = (−1)𝑛+1−𝑟2𝑛−𝑟𝐽 𝑘,𝑟2.
Teorem 3.3.3 (Cassini Özdeşliği)
𝐽𝑘,𝑛−1𝐽𝑘,𝑛+1− 𝐽𝑘,𝑛2 = (−1)𝑛𝐽
𝑘,𝑟22𝑛−1 (3.8) dir.
(Jhala ve ark., 2013)
İspat: Catalan Özdeşliğinde r=1 yazarsak Cassini Özdeşliğini elde ederiz.
Teorem 3.3.4 (D’ocagne’s Özdeşliği) m> 𝑛 olmak üzere;
𝐽𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛+1− 𝐽𝑘,𝑚+1𝐽𝑘,𝑛 = (−2)𝑛 (3.9) dir. (Jhala ve ark., 2013)
İspat: Bu özdeşliği ispatlamak için (3.6) ile ifade edilen binet formülünü kullanılırsa;
𝐽𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛+1− 𝐽𝑘,𝑚+1𝐽𝑘,𝑛 = 𝑟1𝑚− 𝑟2𝑚 𝑟1− 𝑟2 𝑟1𝑛+1− 𝑟2𝑛+1 𝑟1− 𝑟2 −𝑟1 𝑚+1− 𝑟 2𝑚+1 𝑟1− 𝑟2 𝑟1𝑛 − 𝑟2𝑛 𝑟1 − 𝑟2 = (−2)𝑛𝐽 𝑘,𝑚−𝑛 elde edilir.
Teorem 3.3.5. k-Jacobsthal sayı dizileri için ardışık sayıların limitleri oranı;
lim𝑛→∞𝐽𝑘,𝑛+1
𝐽𝑘,𝑛 =𝑟1 (3.10) şeklindedir. (Jhala ve ark., 2013)
İspat: Bu oran k-Jacobsthal sayı dizisinin diğer özdeşliklerin ispatında yapıldığı gibi
lim 𝑛→∞ 𝐽𝑘,𝑛+1 𝐽𝑘,𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑟1𝑛+1− 𝑟 2𝑛+1 𝑟1− 𝑟2 𝑟1𝑛− 𝑟 2𝑛 𝑟1− 𝑟2 = lim 𝑛→∞ 𝑟1𝑛+1− 𝑟2𝑛+1 𝑟1𝑛− 𝑟2𝑛 (𝑟1 > 𝑟2 olduğu için) lim 𝑛→∞( 𝑟2 𝑟1 ) 𝑛 = 0 dır. lim 𝑛→∞ 𝑟1𝑛(𝑟 1 − (𝑟𝑟2 1 ) 𝑛 𝑟2) 𝑟1𝑛(1 − (𝑟𝑟2 1 ) 𝑛 ) = 𝑟1 elde edilir.
3.3.1.k-Jacobsthal Sayı Dizilerinin Üreteç Fonksiyonu
Bu kısımda k-Jacobsthal sayı dizisinin üreteç fonksiyonu elde edilmiştir. Öncelikle (2.3) ile tanımlanan üreteç fonksiyonunun genel tanımından yola çıkılarak elde edilen k-Jacobsthal sayı dizisi için tanımlanan üreteç fonksiyonunu verelim.
𝐽𝑘(𝑥) = 𝐽𝑘,0+ 𝐽𝑘,1𝑥 + 𝐽𝑘,2𝑥2+ 𝐽𝑘,3𝑥3+ ⋯ + 𝐽𝑘,𝑛𝑥𝑛+ ⋯
𝑘𝑥𝐽𝑘(𝑥) = 𝑘𝐽𝑘,0𝑥 + 𝑘𝐽𝑘,1𝑥 + 𝑘𝐽𝑘,2𝑥3+ 𝑘𝐽𝑘,3𝑥4+ ⋯ + 𝑘𝐽𝑘,𝑛𝑥𝑛+1+ ⋯ 2𝑥2𝐽𝑘(𝑥) = 2𝐽𝑘,0𝑥2+ 2𝐽𝑘,1𝑥3+ 2𝐽𝑘,2𝑥4 + 2𝐽𝑘,3𝑥5+ ⋯ + 2𝐽𝑘,𝑛𝑥𝑛+2+ ⋯
Yukarıdaki eşitlikleri taraf tarafa çıkarırsak;
𝐽𝑘(𝑥) − 𝑘𝑥𝐽𝑘(𝑥) − 2𝑥2𝐽 𝑘(𝑥) = 𝐽𝑘,0+ 𝑥(𝐽𝑘,1− 𝑘𝐽𝑘,0) + 𝑥2(𝐽𝑘,2− 𝑘𝐽𝑘,1− 2𝐽𝑘,0) + 𝑥3(𝐽𝑘,3− 𝑘𝐽𝑘,2− 2𝐽𝑘,1)+…+ 𝑥𝑛(𝐽 𝑘,𝑛− 𝑘𝐽𝑘,𝑛−1− 2𝐽𝑘,𝑛−2) + ⋯ 𝐽𝑘(𝑥)(1 − 𝑘𝑥 − 2𝑥2) = 𝑥 𝐽𝑘(𝑥) = 𝑥 (1 − 𝑘𝑥 − 2𝑥2) bulunur. Böylece
k-Jacobsthal dizisinin üreteç fonksiyonu: 𝐽𝑘(𝑥) =
𝑥
(1 − 𝑘𝑥 − 2𝑥2)
3.4. k-Jacobsthal Lucas Sayı Dizileri Tanım 3.4
∀𝑘 > 0 reel sayı dizisi için 𝑗𝑘,0= 2, 𝑗𝑘,1 = 𝑘 seçilerek
𝑗𝑘,𝑛+1= 𝑘𝑗𝑘,𝑛+ 2𝑗𝑘,𝑛−1 𝑛 ≥ 1 (3.11) rekürans bağıntısıyla tanımlanan diziye k-Jacobsthal Lucas sayı dizisi denir.{𝑗𝑘,𝑛}
𝑛∈𝑁 ile gösterilir. k-Jacobsthal Lucas dizisinin her bir elemanına k-Jacobsthal Lucas sayısı denir. (Jhala ve Rathore, 2014)
Bu sayı dizisinin k nın bazı değerleri için elemanlarını bulalım. 𝑗𝑘,0 = 2 𝑗𝑘,6 = 𝑘6+ 12𝑘4 + 36𝑘2+ 16 𝑗𝑘,1 = 𝑘 𝑗𝑘,7 = 𝑘7 + 14𝑘5+ 56𝑘3+ 56𝑘 𝑗𝑘,2=𝑘2+ 4 𝑗 𝑘,8 = 𝑘8+ 16𝑘6 + 80𝑘4+ 28𝑘2+ 32 𝑗𝑘,3 = 𝑘3+ 6𝑘 𝑗𝑘,9= 𝑘9+ 18𝑘7 + 108𝑘5+ 140𝑘3+144k 𝑗𝑘,4 = 𝑘4+ 8𝑘2+ 8 𝑗 𝑘,10 = 𝑘10+ 20𝑘8+ 140𝑘6+ 300𝑘4+ 272𝑘2+ 64 𝑗𝑘,5 = 𝑘5+ 10𝑘3+ 20𝑘 şeklindedir.
(3.11) ile verilen ifadenin karakteristik denklemi 𝑟2− 𝑘𝑟 − 2 = 0
şeklindedir.
𝑟1𝑣𝑒 𝑟2 denklemin kökleri olmak üzere; 𝑟1 = 𝑘 + √𝑘 2+ 8 2 , 𝑟2 = 𝑘 − √𝑘2+ 8 2 (𝑘 > 0) 𝑟2 < 0 < 𝑟1 , |𝑟2| < |𝑟1|, 𝑟1+ 𝑟2 = 𝑘, 𝑟1𝑟2 = −2, 𝑟1− 𝑟2 = √𝑘2+ 8 (3.12) olarak bulunur. (Jhala ve Rathore, 2014)
Teorem 3.4.1 (Binet Formülü )
𝑟1𝑣𝑒 𝑟2 (3.15) ifadesinin karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere 𝑗𝑘,𝑛 = 𝑟1𝑛+ 𝑟
2𝑛 (𝑟1 > 𝑟2) (3.13) dir. (Jhala ve Rathore, 2014)
İspat: (3.13) ile verilen karakteristik denklemin genel çözümü;
𝑗𝑘,𝑛 = 𝑐1𝑟1𝑛+ 𝑐 2𝑟2𝑛 şeklindedir.
n=0 için 𝑗𝑘,0 = 𝑐1+ 𝑐2 = 2 n=1 için 𝑗𝑘,1 = 𝑐1𝑟1+ 𝑐2𝑟2 = 𝑘
𝑐1 = 𝑐2 = 1 elde edilir. O halde binet formülünü; 𝑗𝑘,𝑛 = 𝑟1𝑛+ 𝑟2𝑛
şeklinde elde ederiz.
Teorem 3.4.2 (Catalan’s Özdeşliği)
𝑗𝑘,𝑛−𝑟𝑗𝑘,𝑛+𝑟− 𝑗𝑘,𝑛2 = (−2)𝑛−𝑟{𝑗𝑘,𝑟2− 4(−2)𝑟} (3.14) dir. (Jhala ve Rathore , 2014)
İspat: k-Jacobsthal lucas sayı dizisinin binet formülü yardımıyla bu özdeşliği
ispatlayalım. 𝑗𝑘,𝑛−𝑟𝑗𝑘,𝑛+𝑟− 𝑗𝑘,𝑛2 =𝑟1 𝑛−𝑟− 𝑟 2𝑛−𝑟 𝑟1− 𝑟2 𝑟1𝑛+𝑟− 𝑟2𝑛+𝑟 𝑟1− 𝑟2 − ( 𝑟1𝑛− 𝑟2𝑛 𝑟1− 𝑟2 ) 2
Gerekli düzenlemeler yapılıp
(3.12 den) 𝑟1𝑟2 = −2 yi yerine yazarsak (−2)𝑛−𝑟{𝑗𝑘,𝑟2 − 4(−2)𝑟}
elde edilir.
Teorem 3.4.3 (Cassini Özdeşliği)
𝑗𝑘,𝑛−1𝑗𝑘,𝑛+1− 𝑗𝑘,𝑛2 = (−2)𝑛−1(𝑘2+ 8) (3.15) dir. ( Jhala ve Rathore , 2014)
İspat: Catalan Özdeşliğinde r=1 yazarsak k-Jacobsthal Lucas sayı dizisi için Cassini
Özdeşliği elde edilir.
Teorem 3.4.4 (D’ocagne Özdeşliği)
m>n olmak üzere 𝑗𝑘,𝑚𝑗𝑘,𝑛+1− 𝑗𝑘,𝑚+1𝑗𝑘,𝑛 = (−2)𝑛√𝑘2+ 8 {𝑗 𝑘,𝑚−𝑛− 2 ( 𝑘+√𝑘2+8 2 ) 𝑚−𝑛 } (3.16) dır.(Jhala ve Rathore, 2014)
3.4.1 k-Jacobsthal Lucas Sayı Dizilerinin Üreteç Fonksiyonu
𝒥𝑘(𝑥) k-Jacobsthal Lucas sayı dizisinin üreteç fonksiyonu olmak üzere (2.3) te verilen üreteç fonksiyonu tanımından yararlanarak;
𝒥𝑘(𝑥)=𝑗𝑘,0+ 𝑗𝑘,1𝑥 + 𝑗𝑘,2𝑥2+ 𝑗𝑘,3𝑥3 + ⋯ + 𝑗𝑘,𝑛𝑥𝑛 + ⋯ = 2 + 𝑘𝑥 + ∑∞ 𝑗𝑘,𝑛𝑥𝑛 𝑛=0 = 2 + 𝑘𝑥 + ∑∞ (𝑘𝑗𝑘,𝑛−1+ 2𝑗𝑘,𝑛−2)𝑥𝑛 𝑛=0 = 2 + 𝑘𝑥 + 𝑘 ∑ 𝑘𝑗𝑘,𝑛−1𝑥𝑛+ 2 ∞ 𝑛=0 ∑ 𝑗𝑘,𝑛−2𝑥𝑛 ∞ 𝑛=0 =2+kx+kx∑∞𝑛=2𝑘𝑗𝑘,𝑛−1𝑥𝑛−1+ 2𝑥2∑∞𝑛=2𝑗𝑘,𝑛−2𝑥𝑛−2 𝑛 − 2 = 𝑗 𝑣𝑒 𝑛 − 1 = 𝑝 seçelim; 𝒥𝑘(𝑥)=2 + 𝑘𝑥 + 𝑘𝑥(∑ 𝑗𝑘,𝑝𝑥𝑝+ 𝑗 𝑘,0 ∞ 𝑝=0 ) + 2𝑥2∑∞𝑗=0𝑗𝑘,𝑗𝑥𝑗 𝒥𝑘(𝑥)=2 − 𝑘𝑥 + 𝑘𝑥 ∑∞𝑝=0𝑗𝑘,𝑝𝑥𝑝+2𝑥2∑∞𝑗=0𝑗𝑘,𝑗𝑥𝑗 𝒥𝑘(𝑥) = 2 − 𝑘𝑥 + 𝑘𝑥𝒥𝑘(𝑥) +2𝑥2𝒥 𝑘(𝑥) 𝒥𝑘(𝑥)(1 − 𝑘𝑥 − 2𝑥2) = 2 − 4𝑥 𝒥𝑘(𝑥) = 2 − 𝑘𝑥 (1 − 𝑘𝑥 − 2𝑥2) k-Jacobsthal Lucas dizisi için üreteç fonksiyonu elde edilir. (Jhala ve Rathore,2014)
Teorem 3.4.5 (Campos ve ark., 2014)
m>n olmak üzere lim𝑛→∞ 𝑗𝑘,𝑛
𝑗𝑘,𝑛−1 = 𝑟1 , | 𝑟2
𝑟1| < 1 (3.17) dir. (Jhala ve Rathore,2014)
İspat:
(3.13) ile ifade edilen binet formülünü yerine yazarsak; lim 𝑛→∞ 𝑟1𝑛+ 𝑟 2𝑛 𝑟1𝑛−1+ 𝑟 2𝑛−1
lim 𝑛→∞ 𝑟1𝑛(1 + (𝑟𝑟2 1) 𝑛 ) 𝑟1𝑛(1 𝑟1+ ( 𝑟2 𝑟1) 𝑛 1 𝑟2) = 𝑟1 elde edilir.
Teorem 3.4.6 (Toplam Formülü)
∑𝑛𝑖=1𝑗𝑘,𝑖 = 𝑗𝑘,𝑛+1+2𝑗𝑘,𝑛−𝑘−4
𝑘+1 (3.18) dir. (Jhala ve Rathore , 2014)
İspat:Toplam ifadesinin özelliğinden;
∑ 𝑗𝑘,𝑖 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑟1𝑖+ 𝑟2𝑖 = 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑟1𝑖+ ∑ 𝑟2𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 şeklinde yazılır.
Toplam formüllerini açarsak; ∑ 𝑗𝑘,𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑟1(1 − 𝑟1 𝑛) 1 − 𝑟1 + 𝑟2 (1 − 𝑟1𝑛) 1 − 𝑟2 elde edilir. ∑ 𝑗𝑘,𝑖 𝑛 𝑖=1 =𝑟1− 𝑟1𝑟2− 𝑟1 𝑛+1+ 𝑟 1𝑛+1𝑟2+ 𝑟2− 𝑟2𝑟1− 𝑟2𝑛+1+ 𝑟2𝑛+1𝑟1 (1 − 𝑟1)(1 − 𝑟2) ∑ 𝑗𝑘,𝑖 𝑛 𝑖=1 =−(𝑟1 𝑛+1+ 𝑟 2𝑛+1) + 𝑟1𝑟2(𝑟1𝑛+ 𝑟1𝑛) + (𝑟1+ 𝑟2) − 2𝑟1𝑟2 (1 − 𝑟2− 𝑟1+ 𝑟1𝑟2) (3.12) den ∑ 𝑗𝑘,𝑖 𝑛 𝑖=1 =𝑗𝑘,𝑛+1+ 2𝑗𝑘,𝑛− 𝑘 − 4 𝑘 + 1 elde edilir.
Şimdi ise k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı dizileri arasındaki ilişkileri verelim:
3.4.2.k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas Dizisi Arasındaki İlişkiler:
𝑗𝑘,𝑛 :k-Jacobsthal Lucas ve 𝐽𝑘,𝑛: k-Jacobsthal dizi olmak üzere 𝐽𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑛= 𝐽𝑘,2𝑛 𝐽𝑘,𝑛+1+ 2𝐽𝑘,𝑛−1 = 𝑗𝑘,𝑛 (3.20) 𝑗𝑘,𝑛+1+ 2𝑗𝑘,𝑛−1= (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛2+ 4(−2)𝑛 = 𝑗𝑘,𝑛2
𝑘𝐽𝑘,𝑛+ 4𝐽𝑘,𝑛−1= 𝑗𝑘,𝑛 𝑘𝐽𝑘,𝑛+ 𝑗𝑘,𝑛 = 2𝐽𝑘,𝑛+1 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛+ 𝑘𝑗𝑘,𝑛 = 2𝑗𝑘,𝑛+1 √(𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛+ 𝑘𝑗𝑘,𝑛 = 2𝛼𝑛, √(𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛− 𝑗𝑘,𝑛 = −2𝛽𝑛 2𝐽𝑘,𝑚+𝑛= 𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚+ 𝐽𝑘,𝑚𝑗𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑚+𝑛+1 = 𝐽𝑘,𝑚+1𝐽𝑘,𝑛+1+ 2𝐽𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛 𝑗𝑘,𝑚+𝑛+1 = 𝐽𝑘,𝑚+1𝑗𝑘,𝑛+1+ 2𝐽𝑘,𝑚𝑗𝑘,𝑛 (Uygun ve Eldoğan, 2016(a))
Verilen bu özelliklerden hareketle daha sonra bunlardan bazıları ispatlanmıştır.
Teorem 3.4.2.1
𝑗𝑘,𝑛2 = (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛2+ 4(−2)𝑛 (3.21) dir. (Jhala ve Rathore, 2014)
İspat: Binet formülünü kullanarak teorem ispat edilmiştir.
(𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛2+ 4(−2)𝑛 = (𝑘2+ 8) ( 𝑟1𝑛− 𝑟 2𝑛 𝑟1− 𝑟2 ) 2 + 4(−2)𝑛 = 𝑟12𝑛− 2(𝑟1𝑟2)𝑛+ 𝑟22𝑛+ 4(𝑟1𝑟2)𝑛 = 𝑟12𝑛+ 2(𝑟1𝑟2)𝑛+ 𝑟22𝑛 = (𝑟1𝑛+ 𝑟 2𝑛)2 = 𝑗𝑘,𝑛2 elde ederiz.
Teorem 3.4.2.2 (Convolution Product)
𝑗𝑘,𝑛+𝑚 = 𝑗𝑘,𝑛+1𝐽𝑘,𝑚+ 2𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚−1 (3.22) dir. (Jhala ve Rathore, 2014)
İspat: Bu teoremi ispatlamak için k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı dizinin binet
formüllerinden yararlanılmıştır. 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 = 𝑗𝑘,𝑛+1𝐽𝑘,𝑚+ 2𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚−1
eşitliğinin binet formülü yardımıyla sağ tarafının sol tarafına eşit olduğunu gösterelim. 𝑗𝑘,𝑛+1𝐽𝑘,𝑚+ 2𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚−1=(𝑟1𝑛+1+ 𝑟 2𝑛+1) ( 𝑟1𝑚−𝑟2𝑚 𝑟1−𝑟2 ) + 2(𝑟1 𝑛+ 𝑟 2𝑛) ( 𝑟1𝑚−1−𝑟2𝑚−1 𝑟1−𝑟2 )
= 1 𝑟1−𝑟2{(𝑟1 𝑛+1+ 𝑟 2𝑛+1)(𝑟1𝑚− 𝑟2𝑚) + 2(𝑟1𝑛+ 𝑟2𝑛)(𝑟1𝑚−1− 𝑟2𝑚−1)} = 1 𝑟1−𝑟2{𝑟1 𝑚+𝑛(𝑟 1+ 2𝑟1−1) − 𝑟2𝑚+𝑛(𝑟2+ 2𝑟2−1) − 𝑟1𝑛𝑟2𝑚(𝑟1+ 2𝑟2−1) + 𝑟2𝑛𝑟 1𝑚(𝑟2+ 2𝑟1−1)} = 1 𝑟1−𝑟2{𝑟1 𝑚+𝑛(𝑟 1− 𝑟2) + 𝑟2𝑚+𝑛(𝑟1− 𝑟2)} , (𝑟1𝑟2 = −1) den = (𝑟1𝑚+𝑛+ 𝑟 2𝑚+𝑛) = 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 Teorem 3.4.2.3 𝑗𝑘,𝑛 = 2𝐽𝑘,𝑛−1+ 𝐽𝑘,𝑛+1 ; 𝑛 ≥ 1 (3.23) dir. (Jhala ve Rathore, 2014)
İspat: Bu teoremin ispatında tümevarım metodu kullanılmıştır.
n=1 için; 𝑗𝑘,1 = 2𝐽𝑘,0+ 𝐽𝑘,2
𝑘 = 0 + 𝑘 olup doğruluğu gösterilmiştir.
İfadenin n=n-1 e kadar aldığı değerler için doğru olduğunu kabul edelim; 𝑗𝑘,𝑛−2= 2𝐽𝑘,𝑛−3+ 𝐽𝑘,𝑛−1
𝑗𝑘,𝑛−1= 2𝐽𝑘,𝑛−2+ 𝐽𝑘,𝑛
k-Jacobsthal Lucas dizisinin tanımından; 𝑗𝑘,𝑛 = 𝑘𝐽𝑘,𝑛−1+ 2𝐽𝑘,𝑛−2 yazarsak = 𝑘(2𝐽𝑘,𝑛−2+ 𝐽𝑘,𝑛) + 2(2𝐽𝑘,𝑛−3+ 𝐽𝑘,𝑛−1) =2(𝑘𝐽𝑘,𝑛−2+ 2𝐽𝑘,𝑛−3) + (𝑘𝐽𝑘,𝑛+ 2𝐽𝑘,𝑛−1) = 2𝐽𝑘,𝑛−1+ 𝐽𝑘,𝑛+1 𝑗𝑘,𝑛 = 2𝐽𝑘,𝑛−1+ 𝐽𝑘,𝑛+1 eşitliğini elde etmiş oluruz.
Teorem 3.4.2.4
𝑛 ∈ 𝑁 için 𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑛 = 𝐽𝑘,2𝑛 (3.24) dir. (Jhala ve Rathore, 2014)
İspat:
“Convolution Product “ özelliğinin (3.22) de 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 = 𝑗𝑘,𝑛+1𝐽𝑘,𝑚+ 2𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚−1 olduğunu vermiştik.
Bu özellikte m=n seçersek 𝐽𝑘,2𝑛 = 𝐽𝑘,𝑛+1𝐽𝑘,𝑛+ 2𝐽𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑛−1 = 𝐽𝑘,𝑛(𝐽𝑘,𝑛+1+ 2𝐽𝑘,𝑛−1) = 1 𝑘(𝐽𝑘,𝑛+1− 2𝐽𝑘,𝑛−1)( 𝐽𝑘,𝑛+1+ 2𝐽𝑘,𝑛−1) (3.20) den = 𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑛 elde edilir.
4.SAYI DİZİLERİNİN MATRİS GÖSTERİMİ 4.1. Sayı Dizilerinin Matris Gösterimi
Bu bölümde matematik literatüründe çok geniş kullanımı olan sayı dizilerinin matris temsillerinden bahsedeceğiz. Bilindiği gibi Fibonacci, Lucas, Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas dizileri ve bunların k- parametresiyle genelleştirilmiş hali olan sayı dizilerinin matris temsilleriyle ilgili birçok çalışma yapılmıştır.
1960 lı yıllarda Charles H. King master tezinde 𝑄 matrisini tanımlamıştır. 𝑄 = [1 1 1 0] şeklinde tanımlanmıştır. 𝑄𝑛 = [𝐹𝑛+1 𝐹𝑛 𝐹𝑛 𝐹𝑛−1] 𝑣𝑒 det(𝑄 𝑛) = −1 olduğunu gösterdi. (𝑑𝑒𝑡𝑄)𝑛 = det(𝑄𝑛) = (−1)𝑛 olduğundan; 𝐹𝑛+1𝐹𝑛−1− 𝐹𝑛2 = (−1)𝑛(𝐶𝑎𝑠𝑠𝑖𝑛𝑖 𝐹𝑜𝑟𝑚ü𝑙ü) elde etti.
Silvester, bu matris gösterimini kullanarak Fibonacci sayılarının birçok özelliğinin ortaya çıkabileceğini gösterdi.
Somruk Srisawat ve ark (2015) de k-Jacobsthal sayı dizisinin elemanlarından olan S ve W matrisini tanımladı. S matrisi yardımıyla bu sayı dizisiyle ilgili eşitliklerden bazılarını ispatlamıştır. S=[𝑘 2 1 0] 𝑣𝑒 𝑊 = [𝑘 2+ 1 2𝑘 𝑘 2] (4.1) şeklindedir. Teorem 4.1.1 S=[𝑘 2 1 0] olmak üzere 𝑆 𝑛 = [𝐽𝑘,𝑛+1 2𝐽𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑛 2𝐽𝑘,𝑛−1] 𝑛 ≥ 1 (4.2) dir. (Somruk Srisawat ve ark., 2015)
İspat: İspat Tümevarım metodu kullanılarak yapılmıştır.
n=1 için 𝑆1 = [𝐽𝑘,2 2𝐽𝑘,1 𝐽𝑘,1 2𝐽𝑘,0] = [
𝑘 2
1 0] olup doğrudur.
n=m için 𝑆𝑚 = [𝐽𝑘,𝑚+1 2𝐽𝑘,𝑚 𝐽𝑘,𝑚 2𝐽𝑘,𝑚−1] olduğunu kabul edelim.
n=m+1 için 𝑆𝑚+1 = 𝑆𝑚𝑆 = [𝐽𝑘,𝑚+1 2𝐽𝑘,𝑚 𝐽𝑘,𝑚 2𝐽𝑘,𝑚−1] [ 𝑘 2 1 0] = [𝐽𝑘,𝑚+2 2𝐽𝑘,𝑚+1 𝐽𝑘,𝑚+1 2𝐽𝑘,𝑚 ] olduğu gösterildi.
Teorem 4.1.1 in sonucu olarak; 𝑖) det(𝑆𝑛) = (−2)𝑛 𝑖𝑖)𝐽𝑘,𝑛+1𝐽𝑘,𝑛−1− 𝐽𝑘,𝑛2 = (−1)𝑛2𝑛−1 dır. İspat: S=[𝑘 2 1 0] olmak üzere ;
det(𝑆) = −2, det(𝑆𝑛) = (det 𝑆)𝑛 olduğundan det(𝑆𝑛) = (−2)𝑛 dir. 𝑆𝑛 = [𝐽𝑘,𝑛+1 2𝐽𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑛 2𝐽𝑘,𝑛−1] olmak üzere; det(𝑆𝑛) = 2𝐽𝑘,𝑛−1𝐽𝑘,𝑛+1− 2𝐽𝑘,𝑛2 dir. det(𝑆𝑛) = (−2)𝑛
olduğunu yukarıdaki eşitlikten biliyoruz. O halde det(𝑆𝑛) = 𝐽
𝑘,𝑛−1𝐽𝑘,𝑛+1− 𝐽𝑘,𝑛2 = (−1)𝑛2𝑛−1 olur. (Somruk Srisawat ve ark., 2015)
Teorem 4.1.2
𝑆𝑛 matrisinin karakteristik denkleminin kökleri 𝜆1 𝑣𝑒 𝜆2 olmak üzere; 𝜆1, 𝜆2 =𝑗𝑘,𝑛±√𝑘2+8𝐽𝑘,𝑛 2 dir. (4.3) Ayrıca 𝑟1 = 𝑘+√𝑘2+8 2 , 𝑟2 = 𝑘−√𝑘2+8 2 olmak üzere 𝐽𝑘,𝑛 = 𝑟1𝑛−𝑟2𝑛 𝑟1−𝑟2 ve 𝑗𝑘,𝑛= 𝑟1 𝑛+ 𝑟 2𝑛 dir. (Somruk Srisawat ve ark., 2015)
İspat: 𝑆𝑛 matrisinin karakteristik denkleminin köklerini bulalım. det(𝑆𝑛 − 𝜆𝐼) = |𝜆 − 𝐽𝑘,𝑛+1 −2𝐽𝑘,𝑛 −𝐽𝑘,𝑛 𝜆 − 2𝐽𝑘,𝑛−1| 𝜆𝟐− 𝜆 (𝐽 𝑘,𝑛+1+ 2𝐽𝑘,𝑛−1) ⏟ 𝑗𝑘,𝑛 + 2 (𝐽⏟ 𝑘,𝑛+1𝐽𝑘,𝑛−1− 𝐽𝑘,𝑛2) (−1)𝑛2𝑛−1 = 0 𝜆𝟐− 𝜆𝑗 𝑘,𝑛+ (−2)𝑛 = 0
Şeklinde karakteristik denklem elde edildi. Kökleri 𝜆1 𝑣𝑒 𝜆2 olmak üzere;
𝜆1, 𝜆2 = 𝑗𝑘,𝑛± √𝑗𝑘,𝑛2 − 4(−2)𝑛 2 dir. 𝑗𝑘,𝑛2− 4(−2)𝑛 = (𝑘2+ 8) olduğundan (3.21 den ) 𝜆1, 𝜆2 = 𝑗𝑘,𝑛± √𝑘2+ 8𝐽 𝑘,𝑛 2 elde edilir.
Sonuç olarak 𝑟1 𝑣𝑒 𝑟2 S matrisinin özdeğerleri olmak üzere; 𝑟1𝒏 =𝑗𝑘,𝑛+ √𝑘 2+ 8𝐽 𝑘,𝑛 2 𝑣𝑒 𝑟2 𝒏 = 𝑗𝑘,𝑛− √𝑘2+ 8𝐽𝑘,𝑛 2 𝐽𝑘,𝑛 = 𝑟1𝒏− 𝑟2𝒏 𝑟1− 𝑟2 𝑣𝑒 𝑗𝑘,𝑛= 𝑟1𝒏+ 𝑟2𝒏 olduğu yerine konularak görülür.
Teorem 4.1.3 (Somruk Srisawat ve ark., 2015)
(4.1) ile tanımlanan W matrisi olmak üzere n≥ 1 için 𝑊𝑛 = [𝐽𝑘,2𝑛+1 2𝐽𝑘,2𝑛
𝐽𝑘,2𝑛 2𝐽𝑘,2𝑛−1,] dir. (4.4)
İspat:
Bu matrisin doğruluğu tümevarım metoduyla gösterilmiştir.
Teorem 4.1.3 ün sonucu olarak; i)det 𝑊𝑛 = 22𝑛 ve
𝑖𝑖)𝐽𝑘,2𝑛+1𝐽𝑘,2𝑛−1− 𝐽𝑘,𝑛2 = 22𝑛−1olduğu W ve 𝑊𝑛 matrislerinin determinantları kullanılarak ispatlanmıştır.
5.k-JACOBSTHAL VE k-JACOBSTHAL LUCAS T MATRİSİ
Bu bölümde elemanları k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı dizilerinden oluşan T matrisi tanımlanmıştır. Öncelikle bir kare matris ve k-Jacobsthal sayı dizisi arasındaki ilişkiyi gösteren bir Lemma verilerek ispatı yapıldı. Bu Lemmanın sonucu olarak ise kare matris yerine daha önceden Somruk Srisawat ve ark. (2015) tarafından tanımlanan k-Jacobsthal 𝑆 matrisini alabileceğimiz ifade edildi. Daha sonra tanımladığımız 𝑇 matrisini kullanarak k-Jacobsthal ve k-Jaobsthal Lucas sayı dizileri arasındaki ilişkileri gösteren Lemmalar verilerek ispatlandı.
Lemma 5.1
𝑋 kare matris ve 𝑋2 = 𝑋𝑘 + 2𝐼 olmak üzere;
∀𝑛 ∈ 𝑍 için 𝑋𝑛 = 𝐽𝑘,𝑛𝑋 + 2𝐽𝑘,𝑛−1𝐼 (5.1) dir.
(Aydın ve Köse, 2019)
İspat: Lemmanın ispatını Tümevarım metodunu kullanarak yapacağız. n=1 için 𝑋=𝐽𝑘,1𝑋 + 2𝐽𝑘,0𝐼
𝑋 = 𝑋 doğru olur.
n=m için doğruluğunu kabul edelim. 𝑋𝑚 = 𝐽
𝑘,𝑚𝑋 + 2𝐽𝑘,𝑚−1𝐼
n=m+1 için 𝑋𝑚+1= 𝐽
𝑘,𝑚+1𝑋 + 2𝐽𝑘,𝑚𝐼 olduğunu göstermeliyiz.
𝑋𝑚+1 = 𝑋𝑚𝑋 = (𝐽𝑘,𝑚𝑋 + 2𝐽𝑘,𝑚−1𝐼)𝑋 = 𝑋2𝐽𝑘,𝑚+ 2𝑋𝐽𝑘,𝑚−1 olduğundan ve
(𝑋2 = 𝑋𝑘 + 2𝐼) olduğu (Lemma 5.1) de verildiğinden, 𝑋𝑚𝑋 = 𝑋𝑘 + 2𝐼𝐽𝑘,𝑚+ 2𝑋𝐽𝑘,𝑚−1
= 𝑋(𝑘𝐽𝑘,𝑚+ 2𝐽𝑘,𝑚−1) + 2𝐼𝐽𝑘,𝑚 = 𝐽𝑘,𝑚+1𝑋 + 2𝐽𝑘,𝑚𝐼
dir.
Böylece ispat pozitif tam sayılar için gösterilmiş olur. Aynı zamanda, Lemma 5.1. ∀𝑛 ∈ 𝑍 için geçerli olduğundan ifadenin negatif tam sayılar için de doğruluğu yani, 𝑋−𝑛 = 𝐽𝑘,−𝑛𝑋 + 2𝐽𝑘,−𝑛−1𝐼 olduğu ispatlanmalıdır.
Lemma 5.1 den; 𝑋2 = 𝑋𝑘 + 2𝐼 ise −𝑋−1 = (𝑘𝐼−𝑋 2 ) = 𝑌 dersek 𝑌2 = (−𝑋−1)2 = (𝑘𝐼−𝑋 2 ) 2 = (𝑘𝑌 2 + 𝐼 2) 𝑌2 =𝐽𝑘,2𝑌 + 𝐽𝑘,1𝐼 2 dir. 𝑌4 = (𝑘𝑌 2 + 𝐼 2) 2 =𝐽𝑘,4𝑌 + 𝐽𝑘,3𝐼 23 ⋮ 𝑌𝑛 =𝑌𝐽𝑘,𝑛+ 𝐽𝑘,𝑛−1𝐼 2𝑛−1 (−𝑋−1)𝑛 = 𝑌𝐽𝑘,𝑛+ 𝐽𝑘,𝑛−1𝐼 2𝑛−1 (−1)−𝑛𝑋−𝑛 =( 𝑘𝐼 − 𝑋 2 ) 𝐽𝑘,𝑛 + 𝐽𝑘,𝑛−1𝐼 2𝑛−1 =𝐽𝑘,𝑛𝑘𝐼 − 𝑋𝐽𝑘,𝑛+ 2𝐽𝑘,𝑛−1𝐼 2𝑛 =𝐽𝑘,𝑛+1𝐼 − 𝑋𝐽𝑘,𝑛 2𝑛 { 𝐽𝑘,𝑛 = −𝐽𝑘,−𝑛(−2)−𝑛 𝐽𝑘,−𝑛 = −𝐽𝑘,𝑛(−2)−𝑛 } 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢𝑛𝑑𝑎𝑛 𝑋−𝑛 =−(−2) 𝑛+1𝐽 𝑘,−𝑛−1𝐼 + 𝑋(−2)𝑛𝐽𝑘,−𝑛 (−2)𝑛 𝑋−𝑛 = 𝐽𝑘,−𝑛𝑋 + 2𝐽𝑘,−𝑛−1𝐼 elde ederiz. Böylece negatif tamsayılar için de ispat verilmiş olur.
Sonuç 5.1
Somruk Srisawat ve ark. (2015) tarafından S=[𝑘 2
1 0] 𝑆
𝑛 = [𝐽𝑘,𝑛+1 2𝐽𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑛 2𝐽𝑘,𝑛−1]
şeklinde tanımlanan matris Lemma (5.1) i sağlar. Kare matris yerine S matrisini alabiliriz. Sonuç 5.2 𝑇=1 2[𝑘 𝑘2 + 8 1 𝑘 ] 𝑇 𝑛 =1 2[ 𝑗𝑘,𝑛 (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑛 𝑗𝑘,𝑛 ] 𝑛 ≥ 0 (5.3) şeklinde tanımladığımız T matrisi de yukarıda Lemma (5.1) i sağlar. Şimdi bu T matrisinin doğruluğunu gösterelim.
İspat: n=1 için 𝑇1 = 1 2[ 𝑗𝑘,1 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,1 𝐽𝑘,1 𝑗𝑘,1 ] = 1 2[𝑘 𝑘2+ 8 1 𝑘 ] doğru
n=m için doğru olduğunu kabul edelim; 𝑇𝑚= 1
2[
𝑗𝑘,𝑚 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑚 𝐽𝑘,𝑚 𝑗𝑘,𝑚 ]
n=m+1 için doğru olduğunu gösterelim; 𝑇𝑚+1= 𝑇𝑚𝑇 = 1 2[ 𝑗𝑘,𝑚 (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑚 𝐽𝑘,𝑚 𝑗𝑘,𝑚 ] 1 2[𝑘 𝑘2+ 8 1 𝑘 ] =1 4[ 𝑘𝑗𝑘,𝑚+ (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑚 (𝑘2+ 8)𝑗𝑘,𝑚+ 𝑘(𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑚 𝑘𝐽𝑘,𝑚+ 𝑗𝑘,𝑚 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑚+ 𝑘𝑗𝑘,𝑚 ] (3.4.2) ile verilen ifadelerden;
𝑇𝑚+1= [𝑗𝑘,𝑚+1 (𝑘
2+ 8)𝐽 𝑘,𝑚+1
𝐽𝑘,𝑚+1 𝑗𝑘,𝑚+1 ] elde edilir.
Böylece T matrisinin doğruluğunu göstermiş olduk. (Aydın ve Köse, 2019)
Lemma 5.2
𝐴 = [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑] şeklinde A matrisini alalım. 𝐾 = 𝑇 + (𝑇 − 𝑘𝐼) = [0 (𝑘 2+ 8)
1 0 ]
KA=[𝑏 𝑎(𝑘 2+ 8)
𝑑 𝑐(𝑘2+ 8)] (5.4) Bu Lemmayı k-Jacobsthal ve k-Jacobsthal Lucas sayı dizileriyle ilgili toplam
formüllerini ispatlarken kullanacağız. (Aydın ve Köse, 2019)
Lemma 5.3
∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑖ç𝑖𝑛 , 𝑗𝑘,𝑛2− (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛2 = (−2)𝑛4 (5.5) dir.(Aydın ve Köse, 2019)
İspat:
İspatta T matrisini kullanacağız. T=1
2[𝑘
𝑘2+ 8
1 𝑘 ] det 𝑇 = −2, 𝑑𝑒𝑡𝑇
𝑛 = 𝑑𝑒𝑡𝑇𝑛 = (−2)𝑛 Şimdi 𝑇𝑛 matrisinin determinantına bakalım;
𝑇𝑛 =1 2[
𝑗𝑘,𝑛 (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑛 𝑗𝑘,𝑛 ]
det(𝑇𝑛) = |𝑗𝑘,𝑛 (𝑘 2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑛 𝑗𝑘,𝑛 | = 1 4(𝑗𝑘,𝑛 2− (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛2) = (−2)𝑛 Böylece; 𝑗𝑘,𝑛2− (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛2 = (−2)𝑛4 elde edilir. Lemma 5.4 ∀𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍 𝑖ç𝑖𝑛 2𝑗𝑘,𝑛+𝑚= 𝑗𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚+ (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚 (5.6) 2𝐽𝑘,𝑛+𝑚= 𝐽𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚+ 𝑗𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛 (5.7) dir.(Aydın ve Köse, 2019) İspat:
𝑇𝑛𝑇𝑚 = 𝑇𝑛+𝑚 ifadelerinin karşılığı olan matrisleri yazarsak; 1 2[ 𝑗𝑘,𝑛 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛 𝐽𝑘,𝑛 𝑗𝑘,𝑛 ] 1 2[ 𝑗𝑘,𝑚 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑚 𝐽𝑘,𝑚 𝑗𝑘,𝑚 ] = 1 2[ 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛+𝑚 𝐽𝑘,𝑛+𝑚 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 ] =1 4[ 𝑗𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚+ (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚 (𝑘2+ 8)𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚+ (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚 𝑗𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛+ 𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚 (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛+ 𝑗𝑘,𝑚𝑗𝑘,𝑛 ] =1 2[ 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛+𝑚 𝐽𝑘,𝑛+𝑚 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 ] İki matrisin eşitliğinden; 𝑗𝑘,𝑛+𝑚 2 = 𝑗𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚+ (𝑘2+ 8)𝐽 𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚 4 2𝑗𝑘,𝑛+𝑚= 𝑗𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚+ (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚 olur. 𝐽𝑘,𝑛+𝑚 2 = 𝑗𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛+ 𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚 4 2𝐽𝑘,𝑛+𝑚= 𝐽𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚+ 𝑗𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛
elde ederiz. Böylece istenilen ifadeler elde edilir.
Lemma 5.5 ∀𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍 𝑖ç𝑖𝑛 2(−2)𝑚𝐽 𝑘,𝑛−𝑚= 𝐽𝑘,𝑛𝑗𝑘,𝑚− 𝑗𝑘,𝑛𝐽𝑘,𝑚 (5.8) 2(−2)𝑚𝑗𝑘,𝑛−𝑚 = 𝑗𝑘,𝑚𝑗𝑘,𝑛− (𝑘2+ 8)𝐽𝑘,𝑚𝐽𝑘,𝑛 (5.9) dir.(Aydın ve Köse, 2019)
