Başlık: ABU KAMİL ŞUCA'IN "KİTAB EL-CEBR VE'L-MUKABELE" ADLI ESERİYazar(lar):DOSAY,Melek Cilt: 15 Sayı: 0 Sayfa: 157-191 DOI: 10.1501/Felsbol_0000000126 Yayın Tarihi: 1994 PDF

ABCJ KAMİL ŞUCA:IN "KITAB EL-CEBR VE'L-MUKABELE" ADLI ESERI*

Melek DOSAY "Sayın Hocam Ord. Prof. Dr. Aydın Sayılı'ya Armağan" Bu yazıda, X. yüzyılda yaşamış, Islam Dünyasında Harezrni

son-rası dönemin önemli matematikçilerinden olan Abû Kamil Suca'ın

"Kitab el-Cebr ve'l-Mukabele" adlı eserinin' ilk onsekiz sayfalık kı s-mının (eserin yaklaşık onda biri) Arapça metini ve Türkçe tercümesi verilmiştir. Eserin İbranice nüshasının Martin Levey tarafından yapı l-mış olan İngilizce tercümesiyle2 mukayese yapılmak suretiyle, metin tesbitinde İbranice yazmadan da dolaylı olarak yararlanma imkanı elde edilmiştir.

Latin cebircileri, özellikle de Fibonacci üzerinde etkisi saptanmış olan Abisi Kamil, ana çizgileri ile Hat ezınrnin cebir geleneğini sürdürüp,

Cebir kitabının, metni burada verilen kısmında 3 . ikinci derece denklem çözümlerini incelemiştir. ax 2 =bx, ax2 =c, ve bx =c yalın den klem tiple-rinin ; ve ax 2 +bx =c, ax 2 +c =bx katışık denklem tiplerinin örneklerle cebirsel ve geometrik çözüm yollarını vermiştir.

Abû Kamil'in cebiri de öncellerininki gibi retoriktir. Sembol ve formüllerle karşılaşılmayıp, çözüm yolları her zaman belli tiplere indir-gendiğinden, bu çözümlerde genel bir çözüm ve formül düşüncesi

ol-duğu söylenebilir. Geometrik çözümlerinde, Euclid geometrisine

da-yanmış, Euclid'in, Elementler Il, Teorem 6 (Bir doğru parçası iki eşit kısma bölünür, ve buna aynı doğrultuda bir doğru parçası eklenirse, eklenen doğru parçası da dahil olmak üzere bütün doğru parçası ve eklenen doğru parçasının oluşturdukları dikdörtgen ile, doğru parçası-

(*) Bu yazı, Ord. Prof. Dr. Aydın Sayılı'mn nezaretinde yapılmış yüksek lisans tezinin bir kısmından oluşmuştur.

(1) Istanbul, Bayezit Umumi Kütüphanesi, 19046 (yazma). (2) Martin Levey, The Algebra of Abit Kâmil, Londra 1966.

(3) Eserin kalan kısmı hakkında bilgi edinmek için bakınız; "Abi) Kamil Şuca", Dil ve Tarih Coğrafya Fakültesi Dergisi, cilt XXXII, sayı 1-2, Ankara 1988, 127-130; "Mü Kamil Şuca'm Cebiri", A.G.E., cilt XXXIV, sayı 1-2, Ankara 1990, 57-68.

nın yarısı üzerindeki karenin toplamı; doğru parçasının yarısı ve ekle-nen doğru parçasının toplamları ile oluşan doğru parçası üzerindeki kareye eş_{ittir) 4, ve Teorem 5 (Bir do}ğru parçası eşit ve eşit olmayan iki kısma bölünürse, bölünme noktaları arasındaki doğru parçası üzerin-deki kare ve eşit olmayan doğru parçalarının oluşturduğu dikdörtge-nin toplamı, doğru parçasının yarısı üzerindeki kareye eşittir) 5'i kul-lanmıştır. Denklemlerin, doğrudan doğruya x2 için, geometrik çözüm-lerini verirken, x 2'yi bir doğru parçası ile temsil ettiği için, aynı yaklaşı -mı _{gösteren Descartes'dan 6 yediyüz y}ıl önce Abû Kamil'in böyle bir yola girmiş olması, dizgeli bir şekilde bu yöntemi kullanmamış olsa da şüphesiz çok ilginç sayılmalıdır.

TÜRK ÇE TERCÜME

Esirgeyen ve yargılayan Tanrının adıyla ve bana yardım ancak Tannylaclır.

Bu kitap Abû Kamil adıyla meşhur, Eslem'in oğlu Şuca'ın yazdı -ğı bir kitaptır ve kitabına Allah'a hamd ederek, onu zikrederek ve onu överek başlamışdır. Hakim olanların en adaletlisi ve bilgili olanların en kudretlisi, merhamet edenlerin en yufka yüreklisi, kendisinden çe-kinilenlerin ve hamd edilenlerin çekinilmeye ve hamd edilmeye en layık olanı, kendisine tapılanların ve yalvarılanların en faziletlisi, varlığının bir olduğunun kesin bilgisine sahip olarak, onu methederek, tanr ıliğı -na tanıklık ec'erek, kendisinin hiç benzeri olmayan eşsiz yaratıcı ve ben-zeri olmayan yenilik getirici varlık olduğunun bilgisiyle donatılmış ola-rak şöyle söyledi: Değeri takdir edilemez, va sfma ulaşılamaz, büyük-lüğü tanımlanamaz, izzeti arzulanamaz, lütufları sayılamaz adları kut-saldır, onun büyüklüğü yücedir, zikri yücedir ,nesneleri yoktan var etti, onların yara tılışmı mükemmel bir biçimde yaptı ve bilgisinin sağ -lamlığı ile onları takdir etti, onların değerlendirilmesini güzel yaptı, hikmetinin güzelliği ile onları nizama koydu, ne gizli ne açık ne batın ne ince ne de yüce hiç bir şeyin bilgisi ona gizli kalmadı. Karada ve

(4) Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements, Great Books of the Western World,

Chicago 1952, s. 33. (5) Heath, A.G.E., s. 32.

(6) RenkDescartes, The Geometry of, Translated from the French and Latin by David Eugene Smith and Marcia L. Latham, Dover Publications, New York 1954, s. 5; J.F. Scott, The Scientific Work of Rene Descartes, London 1952, s. 89; A. Wolf, A History of Science, Technology, Philosophy in the 16th-17th Centuries, yol. 1, New

"K1TAB EL-CEBR VE L-MUKABELE" 159

den izdeki her şeyin bilgisine sahip oldu. Tanrının bilgisi dışında bir yaprak bile yere düşmez, yerin karanlıklarında sarih olan kitapta (Kur'

an) bulunmayan bir tohum, ne nemli ne kuru hiç bir şey yokdur7.

Tanrı, kendisini ve ailesini esinlediği Muhammed'i resullüğü ile gönderdi ve vahyi ile onu doğru yola yöneltti, peygamber Tanrının em-rinin içerdiği gerçeği yaydı, kendisine gönderileni lasaltmaksızın ve eklemeksizin başkalarına yaydı, sabrederek, inanmış olarak nasihat etti. Eski bilgi sahibi, kültürlü, hikmetli kimselerin önde gelenlerinin üzerinde durmadıklan, iyice incelemedikleri, geliştirmeyi başaramadı k-ları, soyut yönlerine, amaçlarına, sınırlarına vukuf kazanmadıkça, UZUE

uzadıya düşünerek ve yöntemlerini pekiştirerek gerek genişliğine gerek derinlemesine hiç bir bilim dalında herhangi bir iddiada bulunmadı k-lanna şahid oldum. Onlar bu bilgilerini sadece kendilerine saklamaya-rak, kendilerinden sonra gelenler de yararlans ınlar diye ulaşılabilir hale getirdiler. Bilgilerini onlardan gizlemezler, böylece gizleyip de onun suçunu yüklenmek ve böyle bir hata yı işlemek durumuna düş -mezler.

Matematik bilginlerinin kitaplarında uzun uzadıya inceleme yap-tım ve sözlerini araştırdım, yazdıkları şeyler üzerinde düşündüm, kay-nak olarak en sahihi ve diğerlerine kıyazla en güvenilirinin Hârezmi' nin El-Cebr ve'l Mukâbele adıyla tanınmış kitabı olduğunu gördüm. Onun bilgisi ve erdemi üzerine dikkati çekme ve bunu doğrulamanın biz matematikçiler üzerine düşen bir görev olduğuna karar verdim. Çünkü, o cebir kitabı yazanların ilkiydi, cebir biliminin başlatıcısıydı, ve cebir disiplini içinde bulunan, Tanrının kapalı olanı onlarla bizim için açtığı, uzakta olanı yakına getirdiği, onlarla güç olanı kolaylaştı r-dığı, karmaşık olanı aydınlattığı ilkelerin ilk bulucusuydu. Hârezmi için aziz ve yüce olan Tanrıya yalvanyoruz, Tanrı ona merhametli ol-sun. Onun bilgisinden gizli kalanın açığa çıkmasına, onun sırlanndan bilinmeyenin ortaya çıkarılmasına yardım için Tanrıya yalvarıyoruz. Onun içinde açıklanmamış sorular gördüm, o sorular aziz yüce Tanrının bana matematik bilgisi bahsederek ve sırlarını açarak, müp-hem yerlerini sarahate kavuşturarak, fazlından, ihsanmdan, nimetlerin-den bana ayırdığı olanaklarla çözülebilecek tipten sorulardı. Bunlar

(7) 6. Sure, 59. Ayet. (8) ax2 =bx ax2 1-bx=c

ax2 =c ax2 +c=bx

yardımıyla açılmamış temellere ve dafia önce çözülmemiş kıyaslara ulaşdım. Hârezmi'nin kitabında zikrettiği durub-u sitteden 8 çoğunlukla başka çıkan bir çok soruları aktardım. Hârezmi beni bunu keşfe, açı k-lamaya teşvik etti, yüce Tanrırın üzerime farz kıldığı ve peygamberi Muhammed'e indirilmiş olan, tanrı katından ve arkasından hatanın nüfuz etmediği kitapta zikredilen meşakkatlere katlanmama yol açtı. — Tanrı= selatı onun üzerine olsun- Tanrı9 "Kitap verilenler-den onu insanlara açıklayacaksınız ve gizlemeyeceksiniz diye ahid al-mıştı" demesi üzerine cebir konusunda bir kitap yazd ım ve orada Hâ-rezmi'nin kitabında zikrettiklerinin bazıların' gösterdim. Kitabım Hâ-rezmi'nin kitabına ihtiyaç bırakmasın diye, Hârezmi'nin açıklamadığı, yorumlamadığı yerleri ben açıkladım ve yorumladım. Tanrımn bana bilgiden ihsan ettiğini ve gizli temelleri, zincirleme mantıki bağları, sıkışık durumda bulunan noktaları açtığını değerlendirmek suretiyle bu amacıma ulaşdım. Cebir hesabında bilgili kimselere bir katkı olsun diye, benim onlar üzerindeki hakkımı takdir etsinler diye bütün bun-ları yaptım. Çünkü ben onlar için, cebirin temelinde bulunan, onların açıklama hırsı göstermedikleri ve bilgisine ulaşma suretiyle ferahlığa kavuşmadıkları şeyleri keşfettim, açıkladım ve yorumladım. Böylece bana teşekkür ederler, benim için. Allah'a, Tanrı bana dünyada ve ahi-rette merhamet göstersin, beni selamet yoluna soksun diye dua ederler. Tanrı gerçekten her şeye kadirdir. ödüllendirileceğimi ümit ederek ve hayatta iken ve öldükten sonra hakkımda iyi haberler yayılması ve gü-zel şeyler söylenmesini umarak, tanrının yardımının sağladığı olanaklar ölçüsünde cebiri özetledim. Yardım ancak tanrıdan gelir. Ben ona gü-venirim ve onun affına sığınmak için ona yönelirim.

Benim bu kitabım' inceleyenlerin başta gelen gereksinmesi Hârez-mrnin kitabında zikrettiği üç terimdir. Bunlar; kök, kare, ve sayı'dır. Kök; birim ve birimden büyük veya küçük olan kesirlerden, kendi ken-disiyle çarpılma durumunda bulunan herhangi bir sayıdır. Kareye ge-lince, kökü oluşturan tam sayı, tam ve kesirli sayı yahutta sadece kesi-rin kendi kendisiyle çarpımmdan meydana gelen sayıdır. Sayı ise, ken-di kenken-dine yeterli olan (başka bir şey aracılığı ile tanımlanması gerek-meyen), ne kök ne de kare adı verilmesi söz konusu olmayan sayıdır, ve tam sayı grubu içine dahildir. Bu üç çeşitin bazen her biri kalan iki-sinden birine eşit olur, nitekim kareler köklere eşit (ax 2 =bx), kareler sayıya eşit (ax2 =c) ve kökler sayıya eşit (bx =c) deriz.

"KİTAB EL-CEBR VE L-MUKABELE" 161

Karenin köklere eşit olması özel .haline gelince; buna örnek, x 2 = 5x olsun, bunun anlamı karenin, lökünün beş katına eşit olması de-mektir. Karenin kökü, köklü terimin katsayısına eşittir (x =5), yani x kök sayısına eşittir. Bu problemde kök 5, kare 25'dir. Kare, kökünün beş katına eşittir. Bu problemde niçin bunun böyle olduğunu açı klaya-cağız.

Üzerinde A, B, C, D harflerinin bulunduğu bir kate yüzey çizelim, kenarları AB, BC, CD ve DA olsun. Kenarlann her biri bu yüzeyin uzunluğunu gösteren kenarın birim uzunluğu ile çarpıldığında, bu yüze-yin kökü elde edilir. Örneğin. AB kenarı BH doğru parçası olan birim-le çarpıldığında AH yüzeyi meydana gelir. Şu halde AH yüzeyi AC yüzeyinin köküdür. AC yüzeyi, kökünün beş katına eşittir. AC yüzeyi AH yüzeyinin beş katıdır. Şu halde AC yüzeyi beş eşit kısma bölünür.

Bunlar, AH, TW, SN, MU, EC yüzeyleri olsun. Şu halde BH, HW,

WN, NU, HC doğru parçaları birbirlerine eşittirler. BH doğru parçası birimdir. BC =5 =x ve x 2 —25'dir, ve bu AC yüzeyinin alanıdır. Ispat-lamak istediğimiz de budur. (Bakınız: şekil 1)

Örneğin, (x 2 / --10x ise, x 2 —20x olur. x = 20, x 2 =400 dür. 5x 2 —20x örneğinde x 2 =4x olur, x =4 dür. Şu halde x 2 =16'dır. x 2 'nin katsayısı 1 den ister çok olsun ister az olsun aynı şekilde x 2'nin katsayısı bir yapılır. Böylece, xrlere kaçar x tekabül ettiğini gösteren yöntemle hareket edilir.

ax 2 =c

denklem tipi örneklerine gelince, örneğin x 2 =16 olsim. Yani x =4'dür. 5x 2 =45 ' olursa, x 2 =(45 / 5) =9 olur. (1 / 3)x 2 =27 olursa, x 2 =81 olur. Aynı şekilde, x2'nin katsayısı 1 den ister az ister çok olsun, bir tek x 2ye dönüştürülür. x 2 'lere ne kadar sayı tekabül et-tiğini gösteren bir yöntemle harekat edilir.

bx =c durumuna gelince, x =4 olsun, x 2 =16 olur. Başka bir örnek, 5x =30 olsun, x =6 olur, şu halde x 2 =36'dır. Başka bir örnek (x / 2) =10 olsun, x =20, x 2 =400 olur. x'in katsayısı 1 den ister büyük ister küçük olsun, problem, bir tek x'in neye eşit olduğuna dönüştürülüı. x'lere ne kadar sayı tekabül ettiğini gösteren bir yöntemle hareket edilir. Bir de, kökler, kareler ve sayı olan bu üç çeşidin birbirleriyle birleş -mesi, bunların ikişer ikişer üçüncüye eşit olması haliyle karşılaşılır. Yani karelerle kökler toplamı bir sayıya eşit olur (ax--1--bx =c), kareler-le sayı toplamı köklere eşit olur (ax 2 +c --bx), köklerle sayı toplamı karelere eşit olur (bx c =ax2).

Kare ve kökler toplamının sabit bir sayıya eşit olması durumuna

örnek, x 2 +10x =39 olsun. Bunun anlamı, herhangi bir kareye

kökü-nün on katı eklenirse, bunların toplamı 39 dirhem olur demektir.. Bu problemde iki yol vardır: Bu yollardan birincisi karekökün çözümüne (x'e), diğeri karenin çözümüne (x 2 'e) götürür. Her ikisinin de açı kla-masını sunacağız. Geometri konusunu Euclid'in geometrisine dayanarak bilen geometricilerin usulüne uygun teoremler yoluyla ispatını yapacağız. x'e götüren yola gelince, bunu Inrezmi kitabında açıklamıştı. Bu ispat şöyledir; kök katsayısı ikiye bölünür, katsayının yarısı bu prob lemde 5'dir, bu kendi kendisiyle çarpılır, 25 olur. Sonra, buna 39 ek-lenir; 64 elde edilir. Bunun karekökü alınır, 8 bulunur. Bundan kök kat-sayısının yarısı çıkarılır, kök katsayısının yarısı ise 5 idi, geriye 3 kalır, bu x 2'nin köküdür. Şu halde x 2 =9'dur.

x2 'nin çözümüne götüren şıkka gelince, bu ispat şöyledir: x'in katsayısı olan 10 kendi kendisiyle çarpılır, 100 elde edilir, bu 100, kare ve kök toplamma eşit olan 39 ile çarpıhr, 3900 olur. Sonra 100'ün yarı -sı alınır, 50 elde edilir. Karesi alınır, 2500 elde edilir. Bu, 3900'e eklenir-se 6400 olur. Bunun kare kökü olarak 80 bulunur. 100'ün yar ısı olan 50 ile x 2 ve x'in toplamına eşit olan 39'un toplamından, ki bu 89'dur, çıkarılır, geriye 9 kalır. x 2 ---9'dur. 11 İster 2x 2, ister 3x 2 olsun, x 2'nin katsayısı 1 den büyük veya küçük olsun yine x 2'ye dönüştürülür. Aynı dönüşüm, x 2'ye yapıldığı gibi köklere ve sayıya da uygulanır.

Örneğin, 2x2 +10x =48 olsun. Bunun anlamı, herhangi 2x 2'ye

bunlardan birinin kökünün 10 katı eklenirse sonuç 48 olur. 2x 2 , x2'ye dönüştürülürse, 2x 2 'nin yarısının x 2 olduğunu biliriz. Bu problemde her terime 1 / 2 dönüşümü uygulanır. Bu durumda x 2 +5x =24 olur. Bunun anlamı ise, herhangi bir kareye kökünün 5 katı eklenirse 24 olur demektir.

x'in çözümünü veren şıkka gelince, kök katsayısının yarısı alınır, 2(1 / 2) elde edilir, bu kendi kendisiyle çarpılır 6(1 / 4) bulunur. Buna 24 eklenir, 30(1 / 4) bulunur. Bunun karekökü alınır, 5(1 / 2) olur. Bun-dar kök katsayısının yarısı çıkarılır, ki bu 2(1 / 2) idi, geriye 3 kalır. x =3'dür. x 2 =9'durlo.

x 2'ye götüren şıkka gelince, kök katsayısı olan 5 kendisiyle çarpı -lırsa 25 olur. Bu, 24 ile çarpılır, 600 bulunur. Sonra, 25'in yarısı alınır,

12(1 / 2) bulunur. Karesi alınır, 156 (1 / 4) bulunur. Bu, 600'e eklenir,

"KITAB EL-CEBR VE L-MUKABELE" 163

756 (1 / 4) bulunur. Bunun karekökü alınırsa 27 (1 / 2) elde edilir. Bu, 25'in yarısı olan 12 (1 / 2) nin, kare ve kökler toplamına eşit olan 24'e eklenmesiyle bulunan 36 (1 / 2) den çıkarılır. Geriye 9 kalır. x 2 = 9, x=3'dür 11 .

(1 / 2)x 2 +5x=28 olduğu söylenirse, bunun anlamı, herhangi bir karenin yarısına kökünün beş katı eklenirse 28'e eşit olması demektir. x 2'nin katsayısı 1 e dönüştürülür. Bu da x 2'nin iki ile çarpılması gerek-tiğ_{ini gösterir. $u halde x 2 iki ile çarp}ılır, yanındaki x'li terim de iki kata çıkarılır, denklemin içindeki diğer terimler de iki kat yapılır. x 2 +10x----,-56 olur.

x'in çözümüne götüren şıkka gelince, eğer kök katsayısının yarısı alınırsa 5 olur, kendi kendisiyle çarpılırsa 25 bulunur. Bu, 56'ya ekle-nir, 81 elde edilir. Bunun karekökü alınır, 9 bulunur. Kök katsayısınm yarısı olan 5 çıkarılır, 4 geriye kalır. x=4'düi. Bu durumda x 2=16 olur. 1 ° Bu 100 sayısı 56 ile çarpılırsa 5600 elde edilir. Bundan sonra, 100 ikiye bölünür ve buradan 50 bulunur. 50 kendi kendisiyle çarpılır, 2500 elde edilir. Bu, 5600'e eklenirre, 8100 elde edilir. Bunun karekökü alınır, 90 bulunur. Bu, 100'ün yarısı olan 50 ve kare ile kökler toplamı olan 56'nın toplamları olan 106'dar, çıkarılırsa, 16 bulunur. x 2 =16'dır 11 . x ve x 2

toplam ı sabit sayıya eşit olan denklem örneklerinde Allah'ın izniyle aynı şey yapılır.

x 2 lOx=39 denkleminin çözümüne gelince, x'in çözümüne götü-ren şı_{kta x 2, üzerinde A, B, C, D, harfleri bulunan kare} şeklinde bir yüzey olarak gösterilir. Ona, denklemin kökleri eklenir, bu da 10x=

ABWH yüzeyidir. BH=10 olduğu aşik'ardır, çünkü ABCD yüzeyinin

bir kenarı olan AB, birimle çarpılırsa, ABCD yüzeyinin kökü olur. 10 ile çarpılınca ABCD yüzeyinin kökünün 10 katı olur. Öyleyse BH= 10'dur. WHCD yüzeyi 39'dur. Çünkü, x 2 +10x'dir. WHCD=HC.CD

çarpımından oluşur. CD=CB dir. HC.CB=39 bulunur. HB=10'dur.

HB doğru parçası H noktası ile iki eşit kızma bölünür. Böylece HB doğru parçası H noktasından iki eşit kısma bölünmüş ve uzunlamasına olarak CB doğru parçası eklenmiş oldu. Euclid'in Elementler, II'ye göre HC .CB+ 1.1B . HB=HC. HC.CB=39'dur. IIB. HB=25 bulunur. HC. HC=64 olur. Bu durumda, 1.1C-8'dir. 10 HB=5'dir. Geriye kalan BC'nin değeri 3'dür. x=3 ve x 2 =9'dur. Dediğimi çok açık bir şekilde açıklamam istenirse HC doğru parçası üzerine kare bir yüzey çizeriz. Bu, HKNC yüzeyi olsun. AB doğru parçasını E noktası-

na kadar uzatırız. 1.1C=CN'dir. BC=CD'dir. Geriye kalan BH doğ -ru parçası DN doğru parçasına eşit olur. HA yüzeyi AN yüzeyine eşit olur. HA yüzeyi MH yüzeyine eşittir. MH yüzeyi de AN yüzeyine eşit olur. MB, BD, DE yüzeylerinin üçü birden 39'dur. AK yüzeyi 25'dir. Çünkü, AK=1:IB..11B'dir. AK yüzeyi 25 olunca, KC yüzeyinin tümü 64'dür. HC kenarı ise onun kareköküdür ve değeri 8'dir. HB=5'dir. Geriye kalan BC=3'dür. Ispatlamak istediğimiz de buydu. (Bakınız: şekil 2)

Karenin çözümüne götüren şıkka gelince, x 2'yi AB doğru parçası y-la gösteririz, ona kökünün on katını ekleyelim, ki bu BC doğru parça-sı olsun. Bu durumda AC=39 olur. AB doğru parçasının uzunluğunun ne kadar olduğunu öğrenmek istiyoruz. BC doğru parçası üzerine kare bir yüzey çizeriz. Bu yüzey DHBC yüzeyi olsun. AB doğru parçası nda-ki birimlerin her biriyle 100'ün çarpımına eşittir. Çünkü BC kenarı AB'nin kökünün on katıdır. 10x .10x=100x 2 olur. BH karesine eşit

AH yüzeyi çizilir. MA=100 olur. AN yüzeyini tamamlarız, şu halde

AN yüzeyi 3900 olur. Çünkü AC=39 ve MA=100'dür. AH yüzeyi

BH yüzeyine eşit idi. DN yüzeyi de 3900'dür; ve NH ile HC'nin

çar-pımından oluşur. Çünkü HC=HD, MA=CN=100'dür. CN doğru

parçası L noktası ile iki eşit kısma bölünür. Böylece CN doğru parçası L ile iki eşit kısııia bölünmüş oldu ve uzunlamasma olarak CH doğru parçası eklendi. Euclid'in Elementler, 11'de dediğine göre, NH. 11C+CL.CL=LH.LH'dir. NH.HC=3900'dür. CL.CL=2500'dür. Bunları toplarsak 6400 olur. LH. LH=6400'dür. LH doğru parçasının CH kısmı BC doğru parçasına eşittir. LC+BC =80 olur. Eğer toplam- ları 80 olan LC ve BC'yi 89 olan AC ve CL toplamından çıkarırsak

kart, yani 9=AB geriye kalır. AC+CL—(LC+BC)=89-80=9=

AB=x. Ispatlamak istediğimiz de buydu. (Bakınız: şekil 3)

x 2 +c—bx durumuna örnek, x 2 +21=10x olsun. Bunun anlamı,

herhangi bir kareye yirmibir eklendiğinde kökünün on katına eşit ol-ması demektir. Bu problemde de iki yol vardır. Yolların her biri artır- ma ve eksiltme metodunu kullanarak, birinci yol karenin kökünün çö-zümüne, diğeri karenin çözümüne götürür.

Karekökün çözümüne götüren şıkka gelince, kök katsayısı

n

ın ya-rısı olan 5 kendi kendisiyle çarpıldığında, 25 bulunur. Bundan, x 2 ile toplam durumunda bulunan 21 sayısı çıkarılır. Geriye 4 kalır. Bunun karekökü alınır, 2 elde edilir. Bu, 5 olan kök katsayısının yarısından çıkarılır. Üç kalır. Bu, bizim istediğimiz olan kökdür 12. x 2 =9'dur.

"KİTAB EL-CEBR VE L-MUKABELE" 165

Kök katsayısının yarısı olan 5'e 2 eklenmesi istenirse, 7 olur ve bu, ka-renin köküdür. 13 x 2 =49 dur. Burada, kök katsayısının yarısı bulunup kendi kendisiyle çarpıldığında, kareye eklenen sabit sayıdan daha kü-çük olduğu zaman, problemin çözümü imkânsadır. (b / 2) 2 =c ise, çözüm kök katsayısının yarısı (b / 2) olur. Bu problemde söyledikleri-mizin hepsini geometrik şekillerle yüce Tanrının da izni ile açı klaya-cağız.

x 2'nin çözümüne götüren şıkka gelince, kök katsayısı olan on, kendi kendisiyle çarpılırsa 100 olur. Bu 100, x 2 ile toplam durumunda bulunan 21 ile çarpılırsa, 2100 elde edilir. Bundar sonra, 100'ün yarısı alınır ve 50 bulunur. Bu, kendi kendisiyle çarpılırsa 2500 elde edilir. Bundan 2100 çıkarılır, geriye 400 kalır. Bunun karekökü alınır, 20 bu-lunur. Bu, 100'ün yarısı olan 50'den çıkarılır, geriye 30 kalır. Bundan, x 2 ile toplam durumunda bulunan 21 çıkarılır, geriye 9 kalır. x 2 =9' dur1 4

.

Eğer 50'ye 20'nin eklenmesi istenirse, 70 elde edilir. Bundan, x 2 ile toplam halinde bulunan 21 çıkarılır, geriye 49 kalır. x 2 =49'dur. 15 Her zaman, x 2'nin katsayısı 1 den ister daha az ister daha çok olsun, daha önceki bölümde açıkladığı= gibi, bir tek x 2'ye dönüştürülür.

x

2+

21=10x denkleminin açıklanmasına gelince, x'in çözümüne götüren şıkta, x 2 kendisine eklenen sabit sayıdan daha büyük veya da-ha küçük, olabilir. (b / 2) 2 =c durumunda. x 2 kendisine eklenen sayıya eşit olur (x 2=c). Tanrım izni ile bütün bunları açıklayacağız ve yorumlayacağız.

x 2'ye eklenen bir sayı alınır, ki burada bu sayı 21'dir. İlkin bu sayı x 2'den büyük olsun (x 2 <c). tlzerinde A,B,C,D harfleri bulunan kare bir yüzey çizilir. Buna, x 2ile toplam durumunda bulunan 21 eklenir.

Bu da AHBL yüzeyi olsun. ABHL yüzeyi çizimden dolay ı ABCD

yü-zeyinden daha büyüktür. Bu nedenle BL doğru parçası BD doğru par-çası_{ndan büyüktür. HD yüzeyi ABCD yüzeyinin kökünün on kat}ıdır.

DL=10'dur. HB yüzeyi=LB.BA'dır. BA=13D'dir. LB.BD=HB

yüzeyi=21'dir. LD doğru parçası 11 noktası ile iki eşit kısma bölünür. Böylece LD doğru parçası 1.1 noktasından iki eşit kısma, B noktası ile de eşit olmayan iki kısma bölünmüş oldu. Euclid'in Elementler, II'de söylediğine göre, LB.BD4-1:1B.1.1B=1.-ID.I.ID yazılabilir. 1.ID. IID=- 25'dir. Çünkü 1:1D=5'dir. LB.BD=21'dir. Geriye kalan 1.1B.1.1B=4'

(13) x=(b / 2) +V(b / 2) 2—c (14) x2 = (1)2/ 2)—V(b2 / 2)2--b2c—c (15) x2 =(b2 / 2) + V(b2 2)2—b2c—c

dür. 1.1B= .a/T=2'dir. HD=5 idi. Geriye kalan BD=x=3'dür. x 2= 9 olur. Bu dediğimi çok açık bir şekilde açıklamam istenirse, HD doğru parçası üzerine kare bir yüzey çizeriz.

Bu, DK yüzeyi olsun. KD yüzeyi 25'dir. Çünkü. 1.1D=5'dir. HC yüzeyi HH yüzeyine eşittir. Çünkü, I.11=1:1D'dir. A1.1 yüzeyi AN yüzeyine eşittir. AH, AN, AD yüzeylerinin üçü birden 21'dir. Geriye degeri 4 olan AK yüzeyi kalır. Bu, karedir. Çünkü, KN=KI.I'dir. HS=

NM'dir. Geriye kalan KS=KM'dir. Şu halde MK=2'dir. MK=IIB'

dir. HB=2 olur. Geriye kalan BD=x=3 bulunur. x 2 =9 olur. Ispatla-mak istediğimiz de buydu. (Bakınız: şekil 4)

(b / 2) 2 >e ve c <x 2 durumunda, x 2 kare şeklinde bir yüzey olarak çizilir Bu, ABCD yüzeyi olsun. Buna, 21=ABHW yüzeyi eklenir. AD yüzeyi >AW yüzeyidir. Çünkü öyle çizildi. Aynı şekilde DB >BW'

dır. HD yüzeyi AD yüzeyinin kökünün on katidir. DW=10'dur. WB.

i3D=21'dir. WD doğru parçası H noktası ile iki eşit kısma bölünür. WD doğru parçası 1;1 noktasından iki eşit kısma, B noktası ile de eşit olmayan iki kısma bölünmüş oldu. Euclid'in Elementler, II'de dediği ne göre, WB .BDH-B11.B1.1=-1.1D. 1.1D yazılır. 1.1.D.1.1D=25'dir. DB. BW =21'dir. Geı_{iye kalan B1.1.B11=4'dür. Bu durumda. B 1.1 =}Ş4:, ve B1:1=2'dir. Bu, 1:11)=5'e eklenirse BD=x=7 bulunur. x 2 -49 olur. x 2 <c olduğu zaman, çıkarma yoluyla, x 2 >c olduğu zaman ekleme yoluyla• çözüm bulunur.

Dediğimi sarih bir şekilde açıklamam istenirse, WH doğru parça-sı üzerine WN karesini çizelim. 1.1N doğru parçası. K noktası doğ

rul-tusunda uzatılır. BN yüzeyi=NH yüzeyi olur. Çünkü, NL=NI.I'dir.

WN yüzeyi=25'dir. Yani WS yüzeyi+HN yüzeyi=25 olur. AW yüze-yi =-21'dir. Geriye kalan AN yüzeyüze-yi =4'dür ve ka.redir. Çünkü,AB =AC

KC -=1.1D, HD =IIW, HW =kıN, 13N =BS, ve BS =KC'dir. Geriye

kalan AK =AS olur.

AN yüzeyi bir karedir. SN =2'dir. SN =1311'dir. B11=2 olur. Buna, 1.1D=-5 eklenir. BD =x -=7 olur,

x 2 =49'dur. Bu problemde, (b / 2) 2, AN yüzeyi kadar farkla eden büyük olacağı da açıktır. Ispatlamak istediğimiz de buydu. (Bakınız: şekil 5)

x 2 <c durumunda, denklemin çözümünün çıkarma yoluyla bulun-duğunu, x 2 >c olması halinde denklemin çözümünün toplama yoluyla bulunacağını açıkladık.

"KITAB EL-CEBR VE L-MUICÂBELE" 167

Verdiğimiz ayrıntılardan gerek ilave yoluyla gerek çıkarma yoluy-la elde edilen her iki çözüm biçiminde de, (b / 2) 2 <c olursa, bu durum-da problemin çözümü imkansızdır. Çünkü, her iki şekilde de açıkladık ki, (b / 2) 2 >c olur. Eğer (b / 2) 2 =c olursa, o zaman x =b / 2 bulunur. Şimdi buna bir örnek verelim. x 2 +25 =10x olsun. x 2 , üzerinde A, B, C,D harfleri bulunan kare bir yüzey ile gösterilsin. Buna, 25 = ABHW yüzeyi eklensin. CW yüzeyinin tümü ABCD yüzeyinin on kö-küdür. DW =10'dur. Eğer DW doğru parçasını iki eşit kısma böler-sek, bölme noktası ya B noktasının tam üstünde, ya B noktasının iç tarafında, ya da dış tarafında olur. Bunlardan birine muhakkak uy-ması lazım. İlkin, eğer mümkünse B noktasının iç tarafında olması du-rumunu alalım. Ikiye ayıran nokta H olsun, DW doğru parçası 1.1 nok-tası ile iki eşit kısma, B noktası ile de eşit olmayan iki kısma bölünmüş

oldu. Euclid'in Elementler, Irde dediğine göre, DB.BW+BII

=

uw

olur. 25 dir. DB =25'dir. DB.

BW =BH yüzeyidir. Çünkü, DB =BA'dır. BH yüzeyi =25'dir. DB.

BW =25'dir. Bu ise yanlıştır. DW doğru parçasının orta noktasının 1.1 noktası üzerinde olması mümkün değildir. Irnin B noktasının dış tara-fında olmasının da mümkün olmadığını söyleriz. Eğer mümkünse orta nokta M noktası üzerinde olsun. DW doğru parçası M noktası ile iki eşit kısma, B noktası ile eşit olmayan iki kısma bölünmüş oldu.

DB . BW BM . BM =25'dir. Çünkü, bu, MW.MW çarpımına eşittir.

MW =5'dir. DB BW —25'dir. Bu ise yanlıştır, mümkün değildir. Şu halde, DW doğru parçasının orta noktası B noktasının iç tarafında da dış tarafında da olmaz. Bu durumda B noktası üzerindedir. BD =5 =x' dir. x 2 =25 =AD yüzeyidir. Ispatlamak istediğimiz de buydu. (Baki-nız: şekil 6)

x 2'nin çözümüne götüren şıkka gelince x 2'yi AB doğru parçası ile gösterelim. Buna 21----BC doğru parçası eklenir. Bu durumda AC doğru parçası AB doğru parçasının on köküdür. AC doğru parçası üze-rine kare bir yüzey çizilir, bu ACDH karesi olsun. Ve bu yüZey 100x 2'

dir. Çünkü AC=10x'dir. 10x .10x=100x 2 olur. AH karesine eşit

AH yüzeyi çizilir. MA=100'dür. AN yüzeyini tamamlarız. Şu halde

BN yüzeyi = 2100 olur. Çünkü, BC=21 ve CN=100'dür. Şu halde

BN yüzeyi=2100'dür. AH yüzeyine eşit ME yüzeyi çizilir. AH yüzeyi=

AH yüzeyidir. O halde, AH yüzeyi—ME yüzeyidir. TH yüzeyi müş

te-rektir. Geriye kalan AK yüzeyi=KN yüzeyidir. KC yüzeyi ortak

çizi-lir. Şu halde BN yüzeyinin tümü AE yüzeyinin tümüne eşittir. BN

pımından oluşur. Çünkü, EN=ET'dir. CN, L noktası ile iki eşit par-çaya bölünür. CN doğru parçası L noktası ile iki eşit kısma, E noktası ile de eşit olmayan iki kısma bölünmüş oldu.

CE.EN-FLE.LE=LC.LC olur. LC.LC =2500'dür. CE.EN=

2100'dür. Geriye, LE.LE=400 kalır. LE=20 olur. LN=50'dir.

Geri-ye kalan EN=30'dur. EN=ET'dir. ET=AC, AC=30, CB=21'dir.

Geriye kalan AB=9=x 2 olur. Ispatlamak istediğimiz de buydu.

(Bakınız: şekil 7)

Bu kısımda çıkarma yoluyla çözüm şeklini açıkladık. Yüce Tan-rı= izni ile toplama ile çözümü de açıklayacağız.

CN doğru parçası TN yüzeyi içinde bulunan L noktası ile iki eşit kısma bölünür. x'in çözümüne götüren şıkta belirttiğimiz gibi, x 2 >c

alınır. CE.EN+EL.EL=LC.LC'dir. LC.LC=2500'dür. CE.EN=

2100'dür. Geriye kalan EL. EL=400'dür. EL=20, LN=50 olur. NE= 70 bulunur. NE=TE, TE=AC, AC=70, BC=21'dir. Geriye kalan AB=49=x 2 olur. Ispatlamak istediğimiz de buydu. (Bakınız: şekil 8)

12. . 41/45 7, o .4 Y7 11 , o, LA • 5 Ol ys _/3 , ıo. /4. t1...17

"KİTAB EL—CEBR VE'L—MUKABELE" 169

.. - .diı ,...‘, ' '

.f

i '

,. , •

fr ,t, -, 4 Ş> ..., 4L>-■-+' -5' j•Y * ı....11 (1.... S i....' ' ✓ . •,:kıl ...

L

f1..0 , , ., • --,..., , (),:'

Lim`

, 3. •'' ı 1 '•'-' (••• , •—; .- ii ,(rIİLÇ cj.. rç _9 r.C9' ()_.sl . ' ■-) j.cl 41) .),..£ I. 1/4)11; ad. L',11 9' 9% • / L • r / 2 ; I— • . l ' İ ' 1 .,1 , İ , . ,,,. İ

1 >0, is...' 4;:...; 1> o _.ı2 I, "J.. e .. .■ ... - 7 ı 3.--0 , ,-- e • 2 < j•-• ..A.- , 1 ı _»-o- .,

, ı / _{i U * ı} V ı

• ,' • 4. 3 • ı -.4 ıı

/

>,JY, _" ab. ; -- ¥ _{(f- s_r} .;)1

_z,:

>ilk) _• J Y >.)1 / .xJI _..›.

_J-

_-,- ' 1, _{— • „-:..,..,,,,- ul, 4.,} 41/7- .— >if o i'-' .., Z , ".s , //Z..." 6'. ..• .. ° if 5 •7 J / ...• e ı ;..• .. iA 2< .: _30 , ,,;,•, ,...4 s '. * ' . .... 41...• ... 2,4 -.t> Y D „/ ...h. " , tl 10 ,__ ı ı ı _. , ., , • 3 . •-• , fr -- ' ,,1 Y 1. (,:-: ‘‘I J.L.•

,,,s- 1

)1,6 , İ, ,J J,,, o L.-1 , , _{- . /} • , ,. 12 .1 , İ _{• • ı ı • '} 't''. i;

'1/

-- 1/2J21 ‘4.;-•■• 9 lo,,,.' ›ii7 (j..„, <„,L (:) ".1-. 10 ;;„.. , , o

12LA. , ;;J1,:;_ibt. IÇI: yLlj.

ı

:

_ii,J?)

,

ı

rd,1 Li

ı L, k,,, ri..

/ ı / • \61 _jp, ..<;7; , • 7". , 4-•••-•• (5•L 4.41.c .41 4 1.1 /./ / • ı ..s." ı ı • ı ı ı ı ı / • • .• _,/. 13 L Y 1 I. yu --.:/ı.; ,. ı . 1 '''.1 Ş .Ar La ( :>>t.• 1 _{.., .} 9,2•:.• b ,..4, I. ..., ....„....,..; dl. j... ./ ] t. 2,1-,.." 0 /.4 İ 5 ı _{• ı ı %} / • / • a / / . / ....• Y • ı ı • • /ı •

170 _{MELEK DOSAY}

▪ • İ./ _{, l•}

, ı 1 /: ı /•5 ,f1)] >Ç.Zo ,}p. o ,> „ı...>-,1 4; 1.0-• , ..0 jı-7_,P \510- jii;_.> .., .4..A1..";,..;.;

. 4 ..,/

_

, 16 .. / , ı5 . .-54,), ("0 >3‘ C.,-.J, ° _ft- ; > ." 1,.:,,e)/ i r•

içi

1 ),—.2.:€ y...., 51 .4, 1..„ , sz

__ ..„,4., - , , • ,, . ..::,

I • A 1 .2.. ./ ..., „F. • . i • / 1 ı • / / 4.- , ol s,. ., / , • 1 -, ,, ' l )..,

: Ime.

•

. o _I L

r,

_{" 2.,,..Z..Ç D , 1.4 .,) 4}-ZP ı--g-‘' ii- 2-1 ./ı _{//• , //•}

,

•

LI

• ı• , (7'5' • (7; `" 4J:Af., . 1?1 2,1; .;..- .

''—,-1 • 1"5-(fil.5-fLil ,") 3- - 1 J..--.j1, 1J,,.il."t1,1,;

\ii,

./;,L;:J I .

, ,..,

JWL1,9 1:J '4.1,)1 ( j•►

ı

J,, Y

ı

,-,..,..,i u,(1,,J

ı

,',

İ

.f.,,,,-,,Ç'll .,4'L.i

ı

,:.-. .,,

,

,

,,,

. 1.,

,

, „„_ , . ,,

„

_

✓

_{,,,... „ ', • _}

s-Ari.

ı

K )._„.; ,

ıı

... .-)

Tl.

L. J.

İ

r. „.1›..

_{, .} L.:.:.. ilS-1. lo- .«.- ,; , LIk.

• , ,t- / '.7 • — •..• • ,.... ,

.031.42;v, IA !

,,zi

ı

, 4i, L ',A 3;

. , , ...,.... ,

41.

ıı

j

ı

,.:J I

,

,

:. /. t 1 • /

_►

, 1 / 5 ı 0.12: . .• / , J, ıs 1 • i jnowı. 4-•••• •:-.••••: i ..., (f. ıı• .1.Ş.' ı (i. • L _.>"5" 4£;..."0 .• ‹....r. 0 "L.' 1., ,•?, Ilri; • / ı ,s- ı :st. . , .7 ./ ,,, ,:. . I le

s

ı

CbLg; .., 4.5/./. , ',d. ;"_

-

ııP 1%., .., JP , . 'kU , r' ııi

s-,,V

L .0 I , L.;..- , -

C) ı-ı 1 ı <- 1 ,....i. • '.'", .)•; (j. cFy , f - 5-

-1..„.)

k

ı

.,,,JI 0- 151 _.,_0 .p. ,J1 .t,

.,

. ,

,

ç

/.1,, ,, 1

,

1 i

, I. ,

,

. ,

..k.9:•:-.;• ."2-0: •-• L•••• 4,:ki■fıL• .),, .AS" I dli d ., -2~Los. , _, :-.-‘,' t•4; 1... 4..49 La;

. _{./ //} J, _I ı . <./. • / ,5- A '' .ıj1,.- - j.,..e.'2Jı - j 1

b;„5-

- • - 1;,..'.

1_

: 0 -4-- -' ,.. , ---k--- I 5 /‘, 17, _J- >r,i( ", ,• is; / „ı

"KİIA3 EL-CEBR VE'L-MUKABELE" 171 / dic ı .j-j-cfl

I

. ;)/I, 14' • •• / 'd, ..çı ....„ , ., ı•, i • ., .., .

.dit.,/6..s. 4, k, - -

JJ,LJI

‹..).[;\ıs ,y,->il 4.L si ,; ıf.:JI <}; Jf., 7

,.- o" ı • , _{, ''} {

L., il

ı

l ' I

ı ::/, 41 j

ı

.,

.. ,L..Ju

l, '

, • .. ., _{/ı ' '' ı 2.1,} ,><•fr j ı • .4, b.jıy,/ "

L 4;,,;SY

/ • ıl 7 „S./ / .ı 15-jrcr ci d; ; / J. ı • ı. / • ı _{• 4: /} • ı o / t/7100.2, — ) j 1)7 Jj / / •ft ı ı I; j>. j , , I , 1 „ –J..., I

,..1

_{–,:_z; ri ›;,-, L,iG -;.d L-11 '.-1 › L`. .' ••,} ,- • - 31 J ı , „...7-/ ,-- ....,, •.., , / 4..,..,_,J) ,f-,L.., (.U.. ,...,; ,,-,. .' ''' .: L- (..:4dw7 (.4.i ;,i),-.1 1 <J1 ,d1(,-) . >s, g ___:J, c);,r.:',.; ,ti >,...,5111_, . ., .„, „ ....;., ... / .., / • ..8. . Yi , , , • ıı / J 4/ ■ 110 f. af . ft >0 d.r'..::2.", L1 , 'J >::...JJ L.U., ,;:, «):::11 ----'• • , . •, , • , "61 L 1 j ' - 4,11 , ö

ilı - / 10 • t10 ().1.5 <j _{fzs.L J,1‘} 1.• • • c, L5-■•• j _{. > >}" Z J , ₀ 0, _{. 5)}

_1}:

_{• -31.•} I İ •

7

Yr -;L;

_J

ı

cy; _ft—f _fr _ _ <J •••• g • -• -P. • ,

_7.1

L y

ı

• .6 , / o i ,g / _{jp. • / , . .,} . • ı , .. „ „, ...?.•

JL 4),i.

L

it;

)

,

>

/

ı

,),.y

J

-J'

Jk., YI

_{L L}

„

»,..",.1...

,

13.

.

/

Î

4.3',C, JUI _.., .., 1;_ I •.;,•), , L.

_{. ,}

_., JU) il ,,, L .../ .. ....„ •I .! _{. i ,..,} ,,... , • ..., , . o ,,,, .,,„ _{, ,, 21 ,} / . ), .... i• / / •,• ı

,i.,,.:1., :,L... _{J t•JI -ft. :i...; 411.11 03-7 (j_,), (s) ..., L ..s. .)1.11}

3,JJ1 .,1;r 11

ı _,ft 21 ı *

,1,.X1 .>

•

Jf.,

_{it.1)[:;?.3 A-}

_r

_j

_1/4

_;z

_{I?. /}

L'ı_{•••;/ < 14J”} ı , ... ı .ft I • .f )? . ✓ i, / ..r. P ".. / _{0 10/ /} / • '' • / J.

-,- I 41,. L.,„, l

i

k.. J1.11

,Li - k_ı L.11,, ;,, ',;(: / ,',1,, ,./ . ı ..?..ft >4 ,:fj ..,>3' t., ii •-•-,f54ft <ş_{le >1.0 I (.55. ;,5- LIP jş--, ..5 >7: 7-;} — ■7••

44 ,

ı

1— -- ___

"i" i ,i_ 1

12 , JU) L J .. ıfte•-ej e cai _ft,ıı■ en ıftek" 41

k

4,1.n _ r ..;7 k..fr e Ilıft• 3...3rmiurr • ı ft , -s,

',A-Y

ft

?.;-:, r

---4

_{•-••■}•:‘,J3J1 •%-•;-; r.

WI,

,,J1_,

2

_' , '. ,/ -.. • , ., •-4, / • , •,;} ı _{.7 .." .1}

6) .,,s5,/,

_{„-- - - •}

li

ı

_„

....",kJ_, ı _{-- -} r. I,

iY J,,,

• ı ı .1, _{..,• •} ... . . / ı• « i • I > >4 J .)-16 . ) ., )”- ,

I,

_{.›.4 J ..1-15 4).!_••• J} %,

• 23 I • I

>ğl., yb.:;2.- '71 /

Şekil 1

"KİTAB EL-CEBR VE'L-MUKABELE" 173

1 1 -›;1 1> • / -7 f 0)1;7,1 7/ 9 ' / y ,... 1 2, 3> /

F

.L.P. O (-) I it...0 )

I

Ç / 3 s t7 -lıe;ÇP _9.1. ol 3iı £ ı ı , i ‘i 9 • / O,. ı 4 / tft ı i ı .., ft J1.11 J .j_.ft }, ft '.k... --- je..* >... J., o---7/ iğ-;•' ft •, - / 9 1---'ı , , ■ Z, 7 7-j ?,-;"" - ı ' i ı 2it*,— / 07 * ..,

"ji.:)11;>7IL

&-›,

71

._).0 , % JUI

Ll'-'

1 .>.

.,•

2

,

:

-

:

_, ,J.,... 435

..9 ,1-,. I is,-.-., J

›

..

f

. )L,..".

;

..„;,-,

ı

(

rY.,

, • , „

,,

,,,J1.11

•-•,- , ,

..„ , , t.

Ş / ıif , ı . • ı

Jl

y

• I ...

"

Js:,,,, .,:u-'1.. )

i J1.11, ,..).,,.L. J, UI L, ,

—,

. , ,, .4

/ • J , • " . i

,•,

b

Y t41';

ı

1

)

_;"(1.,-

)

.

;

;;-<",

>

J,,,:i

3

.11

,,,)

•P ı I • 7

bi>

. ,

.4 k , • ı

'›;.1„)

ı

'il,a1;

23, ,2 4, <5. c.w Jw r kt.tın. Lly".iıı" k- ya I k 'vb/ yrn 64- po.i cconnt alc r mus-en.,;-kr, el (totivı., k":“Ird";., Ikna fiff

/ /r.

25,1 1‘ 1.

•• 4 "/' " _•

I C" _ı

; /.r •

1.1,, I>:

YI -

_(Y-

;

L 1,,

_)Lj

ı

>.;:;

ÇaP'—; L

)): (k t-furl '‘)>?, ;? ; ;

_J

_İ

_{ösu'j-i)2).;-}

_ı

_I

- • „ _ •

JU

►

n .1 J>A-,

1;

ı•/ ıç, ı •

JJ

skj.

13-?'

ıı. h. kx.„ / • eıl •/. // ./j." •/ /41

)1

JI.J1,

J

.>„)

.5a

isof,

‘./' / >

>

/ * ı •

JI

"• I ı. • • , / -•*!." . J", ı

:3

)

>J1-,

„ t • bi• I J .ı.,)„, 1),..-); j.ş.st)'

i

>„), 1.)1_,■ 1C .f.• 4 ir •

,

_{,„ . ,}

/ I J* '4, _•1

1.

_(11-,

Nirı, ,fır. r,J Ş / 25. „

"KİTAB EL—CEBR VE'L—MUKABELE" 175

0,f; >ii, J 1.11 )

,511

f • 'C• 4

p

ı

L. (; u:

L5- I

İJ / ıi- °

3-1 jcsi ,)

- u.,1;;S

t

jci

..)15,_;)1

.., /- l ' -‘ i; /2:" -;- l."» • ,, , - I s , / .1 .1 • / ,.., 1 / 10 / / •? • L..j j sj;L ,-, • • L; .. ) .T— •.. . , i J c , ) j_j;' , :r•jj£J1, :=Iut--W) U' • .• ı . — 1}-, ı , 7 ey e ı P Ii, ı, • 6 e . jı. j Uf J U) J , }' ) IS?' \‘I ..t,, /- + , ,..1=£••• *

(;

"db d"

,

, , ,...,

O /• / / •

•,

•

ı

„31„,\ti•,)L

ıı

j

ıı

(if?...i j-)1_,',p

ı

(,

• „„

•

/ ı

"j. len ,3; ti-->7 ' aA41 A.,./' . , jlit j ıçj .)1);4 1

:iul'.) .;.

-

4. - I , /! .1 , ..9 • . / / . . . .... 5 . . ı . .. ( ..' • /" _İ ., _-, f--- _

1

1-1 4

,•/ ,/ , -,,..<-

Y •"; i j"Ji. „;

i:b, )_,,,>;;,f

ı

. 2.,,

ı

,,J

ı

;(L;_ J.Ç,›; .l. ,_,

/ ;

.,.J.J1

..,,JI

• ,

ı

,

..„ ,,

..JT.j

ı

c<141J1,

2k• ;A, . 1.11j...;/ (yo jil:şj ₁ (3., kr e1.5

.., ,, $1, ,• , ,,. ., . ,', , • „ i 1 e /5 , ■ I_ ) 5); J Lil ,•1 , ..Le—j j;e:.; Lj.,/. t2'., S....7 ()ü :N , ..) U 1 i

ı

l; Y1 J.,.:;

,.

, ,

, İ j ; .7.,,, /, •, , • ,,, , İ • /

j

ı

,3)'; ;",); 1;1 if;st;i .JI: t .;i11•i

ı

.

JI; JJ

.551., >71.7 J

1.

,

/ / • ,,

JLI) AJI ») Ji-.)

„

1 , • •'/1. • 4. • ı

c))L. f

(yı ,),...›Gp _{I _P} I i I / • ₄ kiLC L 3"::j .*:4.ji j d ı, •• ı 5., 16• _1,s—L L ı.%), , .1 J U I J.,_,L; _• gir, . . . / „ J „ 1)-7. , 1 1 , • ı •11 „ , ,/ //ı _{/ <,•} .t.••Cs"' .4) -> L/ >7 I I >7 o _{k..7 _P} • ı •/, /

)>)

L cf, L 5

ı

j

ı

tiS u

ı

1

I

L„.,- Loi •

`:

"1

• o i? J il

J

.L

0>j- Ig•

1,

'-it•Z‘-; L');

_{f\r ;::, (1 14,f/. .;}

L L.;; ,- (y„;ii *),f,X

,,,, _ _{,,,•,,, , ,} ,

L

.

; .,. , ..„, . r- _., [o . -, ,!, . . I • , (71, r- . /. ... ,I., . ..s. -1/4—..- ,..) _ft... ,>...7. y.,„,9 . ha/ ./ . „P • - j...."1::..., , ,...._{%.../.• -7} • ,,,,„' • .9 az, JI _ı

ıi '

• / 6741 /. / ı/ 4 l• • 4 _{• fr /'}

`)111) )%7Jii, -- :()/:%i --i-" , 1.4:t)}ı., }, i1 .>-' V J.,ğ;. t.:. ( j.,?_.iji;

o .5 >, ; I> 0, •4 /I , ?' ‘‘I , ı ı. / / " 61 ,' 4.„.." 3. ) • • • ı ;:' ı f •• 4 . x ). İS bi / / , • ./ I il _{,;11 .ft, t..)15; ,i,",,.i; L;)"1} ....

. ,, , , ,, . , •.,, , , „ ,

ii> Li/ ■,./..:;-; .9 k....k-‘ - .. • ' J -- $0 >-:,'

, . ı

JL cti -› _{i —} ,

1,0

4, J. ft

"KİTAB EL-CEBR VE'L-MUICÂBELE" 177

/ 1 H ı t /1/' (1, ı Llf," y o ">-? JUİ • lı ,/ ı / : I . / / iı • S ı•! fi • • _, s«) ) L» > ;l...-ıji ,-.):, () ? lj- :7' 1 et...6; lıt26.1 4-£.0-j jit f • / ı ) • "; 1 ° •' ft / • .' • /ı 4 / ı -

4,-. L jb 1 1 A;1-1k. .6U3). j t_i 1 L L Y L 46tıL - L

j£

(..f. / , •/ •(/ / , /1 , e!, / ı," 4 j . 5_2h Ul / • ı • • I • / • .6• 4" // 1. , , „ JUI, , .., • „ 1 • / ı • / y • ;;;J.7- 1 /j, f1.11 5):>, /• ı. ; fi • / / • / ,

3ç

p

ı

ı 5'. • 5 6 LL, 5 .;L.J . " ••.> / ı 9 ly .J1.11 .• • jj-}4 i>•7

Ju

ı

j1T(31 24, >71

ui • WIl ıı 2u1;j1i1 ?-;1.

!LC.r.

3. , y 4-4.t

/ , • / // .e,„ -e., ,, .5•4

;J

iı<11,A

.41)I5I›1

fYı

, , .,•

_„,

,f 3)1 !--1)1; jjli _{;>2:1 )>.f ;; J )[on}

, •

, • , ,.._ ..._

J

_;,_.;e,-

, )7 7

-1

4,

f,,..,/J(j,:'

Ju

ı

1,:; 17

İ

.,;?

ı

j

ı

is

ş

;;

,... ,

1 ,%-, <, e ...: / / ,... ..-- .." • , _{, . .*, .." i ./ ı} J ii ı I . f,, o., _{■12'-' t) I -:,-,-i O , `',}

,- -.•

ı

_{,- • ,}

ı

• 4- •f•

J.,£. >' 1-,(/ 1_{.•;-k'7-] iz.''.0 ' .)---7 '7' 1 ,11* CL}

_°

_{j )ji}

_, 1 j; t'''/'

7

7 "7:7,22-./..,? 1,•:r.16/:„,-:-.07 i` ı ,_{...i"...,C*d...-'1-0 j ‘-,-- -'..,•-•'2* ->V; -.N? .74 (''' *ıl?'} .„, , 0_ _{.1 ‹t/ ,..) ' , 4.2-4} )7 _tı, .., cı_{...„...•:_• ,..) .> 0-7., •} 1)-7. t ?_,.../// .5J14, / S( ( L'i r.' '• . — ' . / j / .. f İ '-- :4k ',./ . _ti,"/ •//t .Z. , / , , , _, / • , ,-. I . ., . ,,ı , i... . .:

■

-1?-: , ,-." - , • , , —› ji.0„ _{. , • . —. , _ . ı .} 7.0 . -;-.,-0-, ,----• .k.w •t•i_.4.9j ..ı.), 7 ak..-a;_ U" ,; j i, --...: , .., ,.. ı _{ı •} L_{p tf: j_.5 liı; İ} .5.k..,- j.zz ,iz.;, .,. ,4.,.„ 5.:::,, ;- , -_7;.12.,i ,,...., , -7.'.,... J LS:,111.1 kg-.7 7 j2;. . - - - - .k; ' • ' / •- I I •"

Ft r;

1/4

). LI.," LL g J.;

_{- I (}

, • II IL • :r /ı • I • ı " /

z _{r 6} ^^•// ? ıi3.1 -- EL •

/.217:_157

Şekil 2

"K1TAB EL-CEBR VE'L-MUKRBELE" 179

/ J f ı • t • iiı7, j • ,5 _c,f7j.) r;'" c9-4 t ...._ .4 ı E ,

.e.

/ . ., ., t „ ..tr ,'-', :1-,...0"-"/ ‘-r? JZ-4'..ı ,;(....; kii -40' jıı.):$-,>"". ft 2:

..1?--9-; ,.<3 }IZ- -, "i-s-' ı .1 I "z-iş-

wıı •/. ..ı t .4. ıı

i' . •

fl; fl

/

.,- i,d)-

'III —

. ci...,) J / / -, ' t) ,-. 7, ,,--

k;)

f-1- .r.,;/ i U 1 ‘).e; .;,

J

-,,J

ı

,/,f,,-;)1 7 .ii .4J1

El,

, 1,

_ z,

_£

_{(. ,}

;ili,

ft • / * •*:./,' wı ..:,/ , ,•ıı „..../ •". ,,/•/ „,..; _

?,--.• OS _„•41 j

Q,. t>._ ?.y Jt..,ji. J..x.;

,--I .11,... ij

(

_{I.; ji :k).}

27. ,l<fd

/41-4,14r... ("e. tinhoti. me‘,41, cd.„4

Ct 4r• CANİ • 44.

o ıZı j‘t

Y,

Jo;., 55

J a -( k. . / • • / /

r

i; .›:s 3 c>7 4j.'"' J -" 57: • , / •I f° • 1 Şekil 3 _{(iL• f} J _Z l • ı 1."" • , - > _

,L." o-

_{L 3} .5

Y

_,

J,6:. -J

11

`tı _{, •} ı t • ,

fu

JI

ı

• /-" -- / ,/,, • < f • / r-TY A. fr , / ft ?/Le:/ •./ o'"`",■ ,IL,/ , İ 4,, _d J

,)

ı

'

L

..7j11,1, Y1 J. 6.6 • ,~.■ .4 İ / J)- .k1 • ..0 ;1..e.,7 • Cam.Y 3,11 •»-;' Uk4 fC:,">=;' 3Y, t-6 j 2j1, jJ1 **/ , _{ı ı .4} • „, , •• / J _{* er-•" 145-' J 7 7' ■"" • ,} r•-• 6 •.1 ky'r./ 07, k.;£ j...j' • 14% • * /Y. 4t.1.- Fr 63

"5- / i 'l. 4

•('Pj 111;L

İ

I.

xs-5

1;;"

"KİTAB EL--CEBR VE'L-MUKABELE" 181

• / ı. /./ / •/

>7

J 1 YI f,

}-)

1

.

4

J1.

ı

, L

1>; 1.,

/ )-r , - •

j

ı

14L

,Jı8; ,:ob

•JUI

b)

'

, •,

/J5 ?-

fr J —11.11)).

f

.

o

_{, t -}

_4:

}LII

_?«.

J) ()....,,,i

ı

, >4.1,»

ı

v

:. cr.,;)

b

. ,e. ,

,...,;,JA

6 _{ı • -fr j 4, ı ., ıı} i. . . ., f J '4•4

":

4

S 1Ç''' i J )`7 ) j. 'L

.

<

J. 3 ( S ' 1' L7 .1./ ".4 • / / • i • 0 / • , , • ! , ./ 0//ı o .31 f .;t.ıtj

JI.11,,...„-,,-)1

J1.11/». j

.,1 , ..k.tirk.:

...;

,

,

_,•

i

ı

,,

ıı

_{,)1.1 ;;,,",..; L'_:: i,C; `‘..J}

_'

_{''',13 ,}

_{,lb-,..)(1._.,-2,*,- - (}

_p.j•YI

j

L.... „-9 ,

LA 1.;,/ j ;1 ?.<1.:...!..:1-4 1 `1.1:1, L.,<';i,

L:4'4

, ,

•,,

; •

., ...‘-....J. 4....

ıı

; Ju

ı

j

ı

cJ, I, >

ı

l (-7.

Jil ,..,.U> • ..-.)1 lal4

•

1

,A

- fl • 4••• ft ›2

YI

0.)J ,-,,zz; 4"

L.

.3

JiG

ı

1;r

YI

•, _

(JJ

İ

11

a,1.11, 1›,i3Y1

/ J., yzJL.

_{JÇ: ı'.Y7 4,kt.} , , • J' . _• I ı' • / ■••j <4.".» _{>•')}1.)1 •}

I; j",;:-.1J ui,s

,

(

4Lu

ı

,

o

' 1 ," • L.:.); 14. t∎

■

• • 1,J'

<DIL, ..).1„

• , .

6,41JI

_{;11.11 ,j11}

_4,)11:1

P i• ■ _{ıı '}

,

L,

_{1.,;.r >,}

•!,

, •,

_,

_•

f ., 1 p, 1/:* I, Are J 3 „o I ı • , , • ı,Ç;;_fl 40

Yl

:1_:./j

ı

•

4 /-t 'ii I • ı I4,, 4 ı; )1.11

I, ;11

Ij Ii: y..4 .fl/ 4 / • , '?" •; • • / /0, / • . NŞ / 1' ı • / • ı

"Kİ_{TA.B EL-CEBR VE'L-MUK,kBELE" 183}

>7 bıi

■

<J,: :: - ;; , ;»Ş ' .1[.: ;1«-si J1•11 ,jJ ' J 1•11 - ;:? ı r•-• • ı J " 's ---- .-- >1 . " •.--. İ. -'''' 1 ,* / ' , , S 't' l 112' (3- 4 , ğ 1 i ° '7-1 ?- - ; J C "71 c I , - - - _ J t g J 4+:. 311 •( . . ;-til t -, ıı. / ı-, • I ''''' / , / '' 4 .--- 30 • 4 ı 4 1. 6 ;;*:. c). 92— ,

>-:, Jzs., . ,-,.; J )10 I J., ,k:

►

,, :

_,

Ş

o

1,1,14

t; Y

_,

,---

• .•

, • .•

o

,

, ',2

.., — 4

/ •

iy>

I., ii

_{YJ Y - 15° ';' ). 2'--- ` J> ,k'- >7'77-1 .' )if-ri}

--. / ı

• Oi ,..._. );1;;_ı ' • ı _{ı . ""1 ..• • '.' — 1 .,} ıi-,ı';" ' Y 1). ''° / '—'° 9•£- .Jt" >Y J Y--'`.--..'2; -7- ,..)--

— / •, , . .,

',` -i.1.. ,,,1° „F.J-2-•,;" • • şi , I 2 s • (---7A—,- -• J,,..--=,' i. >f 1,• ry Li :: - 5 :', ...e,- •

ı /•■•••• 4 /, ı ı,

1

•,

.

.

>,!, •-!?› r 7 _'>I,...)`7" j • ",

,

;j:ıi

JUI / 5)(.11))q.,,,

_{>7 .1,-;.>}

_L.;14,fro,

fi #

1

' ‘/,3 :)_9; C 1, ı _"i*, 30, o İL,

184 MELEK DOSAY d 1 r şekil 4 r L ,/ )2;

Fs-

,

k;

,•./ / / ft 1."- ı 9 ..; i „7 1, / ° 4, ı ..' ,».

I

)'Z

,k;

J \‘, .İ' , "a-...; g ;: -- , • , fl• J ° I o I ., OT

J

:

‘'

'

,

_•.? .a...-4' ı xı

e

r,"Sit;. 3Uİ _{%)L11 ;?ii •k->} .) // / L„,

.36.1

I; ;IL

'

•

• • 4.4

<k1;:.

y

ı

,;,-

1 s

l

/

1.>,Y

1

_I

_.5›

_.3.0

O/ _ •

Js I

ıı

‘)UI rO, İı;)I ()..,

Ifj 1) ,.3.>5-4•L',. ;fl>r), ji .3. )1.11r- -dil 31 irP

`14

JJ-,

>7. l'cr∎"

r•-• • _{• / •} ,„ • ,

I j.

57

‘, , • / 47/ 47';

• p rf •ı ı • 4* ı •

o 2 ›..) 91 9

"KİTAB EL—CEBR VEL—MUKABELE" 185

I

3 • • „ _• ' 9, ,ler >j ı I J O /-:;--4 1 `7- ./ • > l• • . y 2,.

J"

L,s.,,i). -

₁₅

7-(-

'J;-... -:- ----

_{',--4'-' J 7';' , )Y}

ı

_{---- - --- i _.,-;}

_{J, ----"'}

_{''' ..--j2. s}

_'' O ı • i _{..--- 9 • /} ı _{- • 4}

9 ;=L,... 4.-iti j >7 ,,,,,,c., 1,5,- j,.., ,..,-•

L-il '

li•j( j j .... }..,.. I 9 . ı • • ■■• ., ı . 4, I /... • ...««"' , .." 4--du,3 ?•-,- -;--.='dı,..-' .iyı , -;. I , .,;-- J ';_ `. -,-- ..-''' ji*, ,-- ',= , „ .4 ., , :•. • ı i J ,, e If )l, , )? JP-;. diC 1 .l ' ,5 /. l j• 3t, i I /,. f■-:/ . t./ )I ' / / • -t 3.5 Lt / • ,i ş ! I • İ -4 ı , ,..,. ot ı • ı ı I, :1.«...J. J1.11 _{J \)1.11 i' ›.-,› • 9 e A , ..:t.ce/..--:,: )7' .1?-;} J _1...---- :4 ı • !.• l a>l<;JL.L, 01;ı 3.),,j1.2J 4. • 32 .12:11; 33 • 1 ig; » yi-Z.4_ 9 >fi > j •ı İ., g • /

;•-• f ıl ,, /ıt .,-- 1' • I ı / ,77 z,

J2. >7 iz,

LA/ " 1» 31 • H — )2;iş J Şekil 5 • -•• P / ı , „, .• ,Ş . . , .., L•1 4::-...7 ,;* 4LI , 1/4f ))I .> },:i I _o-

I JL11 U., I

• y

i

, t-,1 l:.., >.:.: ••

, .., .. .

s ; ,, • f

ı • ,

6

- - i > L ;J i. - 11.,Q1

...,,• ,..1

■

,,A (5 • ,J- 1 . 1;.1.«. ,

3 ,

1

iitj i-d

L

if-> -.

,

k

• ..,

.:.- , , - , •? , -, ,, . ., - - , • .. ıı

. I ;)I

j0

! J Lei.;31 i,G. - •

ı

L.,

Li.;

L. L

1

,

"KİTAB EL—CEBR VE'L—MUKABELE" 187 . , • •

_,„.;2J

ı

Ijız. • >I.

_{J ,}

i;i1

1

u j

ı

Z. 9 „11' . / / • • / •i " j. I r■ lj>J1 (y• 149,∎ 1>«f' j • / ı • _35,

1,›1I

Ju

ı

I

1/4)(,112_ji)

1,))1 J;,„

,YL 14-1

j4".>

YI

,

• 4, ,•,

• ı •" ,/, o -4t 4-..• 3.11 r: 4.-1

I ),

ğ

.: I

., • .

• ,,,•

, it;

ı

.:::;

ı

•

1:

,:„.._ ..,

. .„ 6,.::.,

.".>

kot >

,,,-- J i'-' c i /::;_c ,y'.

ı / /..i. 4 • .'r ,•••• ı ı I

">k; I› ., I /

z. l7,

t• ., I

...-},

. ,

• ,

J ı ı • ft' • ji ,).•, 121. • ' / ... _{.. . ı .,• „0 „..} .1 / • , ,z, S ),,,e//. .('--- ı .).1/4314 '0 :)—:-APj , i—L

,,T .1 ,= +

P

- (-). y

ı

; I)

f/

Y., I .,i,J

,

r.-

,

,

• ,

Jüi,31, „il? •

,

/ • i . / •• / J .. ı ı ..-- / '• ft ı o j2Uto • ;.i:., .. 12? . ... u• • ı 1,r...^."(1 ,. / j. iı (7> • ı . 6 i /ı ., / ı --- ft • I ı

i

/ r' >15; I ,ı-r:> 1.3-4...i; • 1/4,L, . - • •-- - • ,-• "/ ıf .2? 4--u J ?''.-- ' , '-.' J `7-> -..-->' • ° e • r fl • -' L4; f il / I . . 1 • • / • • O .3 5 ,

.! •!., • .4-k* J10 ü• _{'' ' /} / I • /

J

y •••••• o • • ı°''.! • ıı, • • ' (}* ‘' • 40 Nter7-, - r , _„„ ›.9 ". / • / o J.:Zo • j y j jge j yr< , ■r• / °, _/ £0 .0 • ı I >i; >) I >, J 9 4~7' • ı • L9 ı • / • / , . • cp , 188 MELEK DOSAY o

1.;

;

7) J.-;

, • I

J

1.117

J

İ

•11);\? ,i,

• ,

• ,

• .1- „ jilı))

IL

Şekil

vi

• / •-•

» J1.1)

1;

J1.11 dil ,s5

f

.

tr,u

ı

ı • !, ıkk .•1 Lf

j

▪

i I

1

7

ıf # / • , l • ,"ı //, > < 7. 7 1 L"' (IL "--1 1 ;7

t •=f ,5 7 k; o J E Şekil 7 (.1J) _J fr • ı ol o / •

İ

>.?' I

1)

.f.

.

,J;.• • d:o.' , • , J4> 71

j

z. •„ • , , , _, l)-f: f;.- ,k--; 5 ,Y -;(11. " L

_

•

36•

"KİTAB EL-CEBR VE'L-MUKABELE" 189