EYLÜL 2008
Anabilim Dalı : ĠNġAAT MÜHENDĠSLĠĞĠ Programı : YAPI MÜHENDĠSLĠĞĠ
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Tümer DUMAN
ELASTĠK ZEMĠNE OTURAN RADYE TEMELLERĠN HESABI
EYLÜL 2008
Tez DanıĢmanı : Doç. Dr. Necmettin GÜNDÜZ Diğer Jüri Üyeleri Prof. Dr. Metin AYDOĞAN (Ġ.T.Ü.)
Doç. Dr. Oğuz TAN (Ġ.T.Ü.) Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 15 Eylül 2008
Tezin Savunulduğu Tarih : 23 Eylül 2008 YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
ĠnĢ. Müh. Tümer DUMAN (501041114)
ELASTĠK ZEMĠNE OTURAN RADYE TEMELLERĠN HESABI
ii ÖNSÖZ
Ġstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü ĠnĢaat Anabilim dalı yapı analizi ve tasarımı programında gerçekleĢtirilen bu yüksek lisans çalıĢmasında elastik zemine oturan temel plakların hesabı yapılmıĢtır.
Bu çalıĢma süresince değerli bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım te z danıĢmanım saygı değer Doç. Dr. Necmettin Gündüz’e ve maddi, manevi desteğini hiç esirgemeyen sevgili aileme yardımlarından dolayı çok teĢekkür ederim.
iii ĠÇĠNDEKĠLER
SEMBOL LĠSTESĠ v
ġEKĠL LĠSTESĠ vi
TABLO LĠSTESĠ viii
ÖZET ix
SUMMARY x
1. GĠRĠġ 1
1.1. Konu 1
1.2. ÇalıĢmanın Amacı ve Kapsamı 2
2. ALAN TEMELLERĠ 3
2.1. Alan temeli tanımı
2.2. Alan temeli kullanım sebepleri 2.3. Alan temeli seçim kriterleri
3 3 4
3. TEMEL ZEMĠNĠ YAPI TOPLAM SĠSTEMĠ DAVRANIġI 7
3.1. Toplam sistem kavramı
3.2. Temel zemini ile yapı sistemi arasındaki karĢılıklı etkileĢim 3.3. Zemin sıkıĢabilirliği ile yapı sistemi rijitliğinin taban basıncına ve kesit kuvvetleri üzerine etkisi
7 8 10 4. ELASTĠK ZEMĠNE OTURAN PLAK PROBLEMĠ ĠÇĠN
KULLANILAN ZEMĠN MODELLERĠ 16
5. ALAN TEMELĠNĠN STATĠK HESABI ÜZERĠNE GENEL
BĠLGĠLER 21
5.1. Hesap varsayımları ve hesap esasları 21
5.2. Alan temeli hesabında gerçek koĢulların araĢtırılması 23 5.3. Alan temelinin hesabı için geliĢtirilen metotlar 24
5.4. Sağlıklı hesap metotları 24
5.4.1. Ġki parametreli model ve sayısal modelleme 28 6. ĠKĠ PARAMETRELĠ ELASTĠK ZEMĠNE OTURAN KĠRĠġ 33
6.1. Elastik zemine oturan kiriĢler için Vlasov modelinin
iyileĢtirilmesi 33
7. ÖRNEKLER 37
7.1. Tekil temel örneği 37
7.2. 7 Katlı betonarme binanın radye temelinin karĢılaĢtırmalı çözümü 41 7.3. 15 Katlı betonarme binanın radye temelinin karĢılaĢtırmalı çözümü 46 7.4. Tek parametreli elastik zemine oturan kiriĢ 53
iv
7.5. Ġki parametreli elastik zemine oturan kiriĢ 55 7.6. Ġki parametreli elastik zemine oturan plak 58
8. SONUÇLAR 63 KAYNAKLAR 65 EKLER 66 EK A 66 EK B 67 EK C 72 ÖZGEÇMĠġ 77
v SEMBOL LĠSTESĠ
x, y, z : Kartezyen koordinatlar u, v, w : Plaktaki yer değiĢtirmeler
εx, εy : x ve y doğrultularındaki Ģekil değiĢtirmeler
qi : Yayılı yük
P : Tekil yük
Eb, Es : KiriĢin ve zeminin elastisite modülleri
νb, νs : KiriĢin ve zeminin poisson oranları
ko : Zemin yatak katsayısı
k : Birinci zemin parametresi 2t : Ġkinci zemin parametresi
γ : Vlasov modelinde zemin parametrelerinin hesabında kullanılan katsayı
H : Elastik zemin tabakası kalınlığı
σx, σz, τxz : Zeminin herhangi bir noktasındaki gerilme bileĢenleri
M, N, T : Moment, normal kuvvet ve kesme kuvvetleri bx, by : Temel plağı boyutları
σzem, σzo : Zemin emniyet gerilmesi ve ortalama gerilme Vpr : Betonun zımbalama dayanımı
Vpd : Tasarım kesme kuvveti
Vcr : Betonun çatlama dayanımı
mdx, mdy : Kesitteki eğilme momentleri
Asx, Asy : Donatı alanları
fyd, fcd : Donatı çeliği ve beton tasarım mukavemetleri
fctd : Beton tasarım çatlama mukavemeti
fzu : ArtırılmıĢ zemin emniyet gerilmesi (1.5σzem)
fzn : AzaltılmıĢ zemin dayanımı
fyk, fck : Donatı çeliği ve beton için karakteristik mukavemetler
Vt : Taban kesme kuvveti
S(T) : Spektrum katsayısı
W, A0, R : Bina ağırlığı, etkin yer ivme katsayısı, deprem yükü azaltma
katsayısı ΔFn : Ek tepe kuvveti
Ctx, Cty : X ve y yönlerinde taban kesme kuvveti katsayıları
G, Q : Sabit ve hareketli yük
β : Mod birleĢtirme yöntemi ile hesaplanan büyüklüklerin alt sınırlarının belirlenmesi için kullanılan katsayı
vi ġEKĠL LĠSTESĠ
Sayfa No
ġekil 3.1 : Temel zemini ve yapı toplam sistemi………... 7
ġekil 3.2 : Bir yapı sisteminde değiĢik rijitlik oranlarına göre deformasyon biçimlerinin abartılmıĢ olarak gösterimi ……… 9
ġekil 3.3 : Bina rijitliği………... 11
ġekil 3.4 : SıkıĢabilir tabaka kalınlığının temel plağı deformasyonları üzerine etkisi……….. 13
ġekil 3.5 : Yeter kalınlıkta sıkıĢabilir zemin tabakasına oturan bükülebilir temel plağı üzerindeki üstyapının sınır durumları………... 14
ġekil 4.1 : Winkler zemin modeli……….. 17
ġekil 4.2 : Filonenko-Borodich Zemin modeli..………... 18
ġekil 4.3 : Hetenyi Zemin modeli.………. 19
ġekil 4.4 : Pasternak zemin modeli………... 19
ġekil 4.5 : Vlasov zemin modeli………... 20
ġekil 5.1 : Bir alan temeline etki eden dıĢ kuvvetler……….. 22
ġekil 5.2 : Yatak modülü metodu………... 25
ġekil 5.3 : Rijitlik modülü metodu.………... 26
ġekil 5.4 : Repnikov’a göre rijitlik modülü ile yatak modülü metodlarının karıĢımı……….. 27
ġekil 6.1 : Elastik zemine oturan kiriĢ modeli parametreleri………. 33
ġekil 7.1 : Tekil temel hesabında kullanılan gerilme dağılımı ………. 38
ġekil 7.2 : Zımbalama çevresi ve kolon yüzü kesitindeki gerilme dağılımı…….. 39
ġekil 7.3 : Tekil temel bilgisayar modeli ……….. 40
ġekil 7.4 : Kolon yüzü kesitinde 1m lik uzunluktaki yayılı moment dağılımı….. 40
ġekil 7.5 : 7 katlı binanın tipik kat planı……… 42
ġekil 7.6 : Kolon mesnetleri ankastre olan bina modeli………. 43
ġekil 7.7 : Radye temelli bina modeli……… 45
ġekil 7.8 : Radye temel plan görünüĢü……….. 45
ġekil 7.9 : Ankastre kolonlu modelden alınmıĢ kolon yükleri ile yüklenmiĢ radye temel……… 46
ġekil 7.10 : 15 katlı binanın tipik kat planı……….. 48
ġekil 7.11 : Radyesiz bina modeli……… 48
ġekil 7.12 : Deprem hsabı için gerekli parametreler (a) deprem yükü azalyma katsayısı(b) spektrum katsayısı(c)azaltılmıĢ spektrum katsayısı grafikleri……… 50
ġekil 7.13 : 15 Katlı radyeli bina modeli………. 51
ġekil 7.14 : 15 Katlı radye temel plan görünüĢü……….. 52
ġekil 7.15 : Tek parametreli basit kiriĢ modeli……… 53
ġekil 7.16 : KiriĢ ortasındaki moment Mc………... 54
vii
ġekil 7.18 : Ġki parametreli kiriĢ modeli………... 55
ġekil 7.19 : Ġki parametreli elastik zemine oturan kiriĢ ………... 55
ġekil 7.20 : Tek parametreli durum için kiriĢ ortasındaki çökme……… 56
ġekil 7.21 : Ġki parametreli durum için kiriĢ ortasındaki çökme……….. 56
ġekil 7.22 : Tek parametreli durum için kiriĢ ortasındaki moment……….. 56
ġekil 7.23 : Ġki parametreli durum için kiriĢ ortasındaki moment……… 57
ġekil 7.24 : Ġki parametreli durum için Vallabhan a nd Das (1991) de bulunan çökme değerleri……… 57
ġekil 7.25 : Ġki parametreli durum için Vallabhan and Das (1991) de bulunan moment değerleri……….. 57
ġekil 7.26 : Ortadan tekil yükle yüklü iki parametreli plak modeli………. 59
ġekil 7.27 : Plağın uzun doğrultusunda plak ortasından geçen kesitin çökme grafiği……… 61
ġekil 7.28 : Plağın kısa doğrultusunda plak ortasından geçen kesitin çökme grafiği……… 61
ġekil 7.29 : Plağın yarısı için çökme grafiği Vallabhan and Das (1991)…………. 62
ġekil A.1 : N =1500kN, M = 370kN için Mx dağılımı………. 66
ġekil A.2 : N =1500kN, M = 370kN için My dağılımı………. 66
ġekil B.1 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için Mx moment dağılımı……… 67
ġekil B.2 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için My moment dağılımı………. 68
ġekil B.3 : DEPENV kombinasyonu için Mx moment dağılımı……… 68
ġekil B.4 : DEPENV kombinasyonu için My moment dağılımı……… 69
ġekil B.5 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için Mx moment dağılımı………. 69
ġekil B.6 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için My moment dağılımı………. 70
ġekil B.7 : DEPENV kombinasyonu için Mx moment dağılımı……… 70
ġekil B.8 : DEPENV kombinasyonu için My moment dağılımı……… 71
ġekil C.1 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için Mx moment dağılımı……… 72
ġekil C.2 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için My moment dağılımı………. 73
ġekil C.3 : DEPENV kombinasyonu için Mx moment dağılımı……… 73
ġekil C.4 : DEPENV kombinasyonu için My moment dağılımı……… 74
ġekil C.5 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için Mx moment dağılımı………. 74
ġekil C.6 : 1.4G +1.6Q kombinasyonu için My moment dağılımı………. 75
ġekil C.7 : DEPENV kombinasyonu için Mx moment dağılımı……… 75
ġekil C.8 : DEPENV kombinasyonu için My moment dağılımı……… ………… 76
viii TABLO LĠSTESĠ
Sayfa No
Tablo 7.1 : Ġki parametreli durumda kiriĢ ortasındaki çökme ve moment
değerleri………... 58 Tablo 7.2 : Tek ve iki parametreli durumlardaki çökme ve momentler……. 58 Tablo 7.3 : Zemin kalınlığına bağlı olarak değiĢen zemin parametreleri…... 59 Tablo 7.4 : Plak modeli için kullanılan yay katsayıları……….. 60 Tablo 7.5 : Tek parametreli durum için plak ortasındaki çökmeler………... 60 Tablo 7.6 : Çit parametreli durumda plak ortasındaki çökmeler……… 60 Tablo 7.7 : Ortadan tekil yükle yüklü plağın tek ve çift parametreli
ix
ELASTĠK ZEMĠNE OTURAN TEMEL PLAKLARININ HESABI ÖZET
Bilgisayar olanaklarının geliĢmesiyle birlikte mühendislik çözümlerinde bilgisayar kullanımı da artmıĢtır. Bununla birlikte bilgisayar ortamındaki modelleme Ģekilleri binanın davranıĢı ve hesap sonuçlarını etkilediğinden önem teĢkil etmektedir.
Bu çalıĢmada elastik zemine oturan plaklar iki değiĢik Ģekilde modellenen üst yapıya göre çözülmüĢ ve sonuçları karĢılaĢtırılmıĢtır.
ÇalıĢma sekiz bölümden oluĢmaktadır. Birinci bölüm giriĢ kısmıdır. Ġkinci bölümde temel plakları hakkında bilgi verilmiĢtir. Temel plaklarının seçim kriterleri ve tercih edilme sebepleri anlatılmıĢtır
Üçüncü bölümde temel zemini ve yapı toplam sistemi tanıtılmıĢ ve zemin, temel ve üst yapı dan oluĢan toplam sitem de zemin, temel, üst yapı arasındaki etk ileĢimden bahsedilmiĢtir.
Dördüncü bölümde zemin modelleri hakkında kısaca bilgi verilmiĢ, eksiklikleri ve kullanım avantajlarından bahsedilmiĢtir
BeĢinci bölümde alan temellerinin statik hesabı üzerine genel bilgiler verilmiĢ ve hesap metotları tanıtılmıĢtır. Bu kapsamda sağlıklı hesap metotlarından bahsedilmiĢ ve parametreler metodu ile sonlu elemanlar metotlarına da değinilmiĢtir
Altıncı bölümde iki parametreli elastik zemine oturan kiriĢlerin çözümü hakkında bilgi verilmiĢtir.
Yedinci bölümde konu ile ilgili altı tane örnek yapılmıĢtır
Sekizinci bölümde örneklerden çıkarılan sonuçlar ortaya konmuĢtur.
x
THE ANALYSĠS OF PLATES ON ELASTĠC FOUNDATĠON SUMMARY
Computer possibility has increased use of computer in engineering solutions.In additional to buildings modelling shapes were essential in computer area because of it influence building’s behavior and end of calculation.
In this study, the analysis of p lates on elastic foundation has been done in two different building modelling shape and compeared that two different calculation results.
The study consist of six sections. In the first section is introduction. In the second section, information about reinforced concrete base plates has been given. Reasons of chosen of reinforced concrete base plates and criterions of it’s chose have been expressed.
In the third section, foundation of base and building total system have been described. Otherwise relationship between foundation, base and building have been expressed.
In the fourth section, a little information about model of foundation has been given, additionaly it’s advantage and disadvantage have been mentioned.
In the fifth section, general information static calculation of area bases has been given and calculation metods have been described.
In the sixth section, analysis of beam on two parameter elastic foundation has been performed.
In the seventh section, six examples about the study have been done. In the eighth section results of study have been expressed.
1 1. GĠRĠġ
1.1 Konu
Temeller üst yapıdan gelen yükleri güvenli bir Ģekilde zemine iletmekle görevlidirler. Bu sebeple temeller üst yapıdan aldıkları yükleri taĢıyabilecek rijitlikte olmalıdırlar. Temellerin mühendislik çözümü yapılırken temel ile zemin arasındaki etkileĢimin doğru ve gerçekçi bir Ģekilde ortaya konulması kesin çözüme ulaĢılması açısından önem taĢımaktadır.
Zemin temelden gelen yükler altında, sıkıĢabilirliği ölçüsünde, yer değiĢtirir. Zemindeki bu yer değiĢtirmenin büyüklüğü oranında üst yapıda ve temelde ek kesit zorları meydana gelir. Kullanma durumunda istenmeyen çatlakların oluĢmaması ve oturma farklarından dolayı sınır durumların aĢılmaması için üst yapının statik hesabında uygulamadan sonra oluĢacak bu oturma farklarının dikkate alınması gerekir.
Temeller üst yapıdan gelen yükleri zemin emniyet gerilmesini aĢmadan zemine aktaracak Ģekilde boyutlandırılırlar. Zemine oturan yapı elamanlarının ve zeminin kendi davranıĢı birbiriyle karĢılıklı etkileĢim halindedir. Bu etkileĢim çok karmaĢıktır ve henüz kesin bilimsel bir çözüme ulaĢmamıĢtır.
1.2 ÇalıĢ manın Amacı ve Kapsamı
Bu çalıĢmanın amacı; plak temeli ile birlikte modellenmiĢ bina ve temel ortak sisteminin statik ve dinamik hesabı sonucunda plak temelde oluĢan etkiler ile; bina sisteminin plak temelsiz olarak, kolon ve perde tabanlarında mesnet koĢulları tanımlanarak, çözümü sonucunda bulunan mesnet reaksiyonlarının ayrı modellenen plak temel üzerine etkittirilmesi suretiyle plak temelin statik ve dinamik çözümü sonucunda bulunan etkilerin karĢılaĢtırılmasıdır.
2
ÇalıĢmanın kapsamı içinde önce plak temeller hakkında bilgi verilmiĢtir. Plak temellerin seçilme sebepleri ve seçimde göz önüne alınan etkenler anlatılmıĢtır. Daha sonra temel zemini ve yapı toplam sisteminin davranıĢı hakkında bilgi verilmiĢtir. Zemin modellerinden kısaca bahsedildikten sonra alan temellerinin statik hesabı üzerine genel bilgiler verilmiĢtir. Son olarak örnekler ve sonuçlarla çalıĢma tamamlanmıĢtır.
3 2. ALAN TEMELLERĠ
2.1 Alan te meli tanımı
Yükler çok büyük veya taban güvenlik basınçları çok küçük ise, bir yapının tümü ya da bir bölümünün duvarları veya kolonları altında sürekli plak veya plak Ģeridi olarak bir yüzey temeli düzenlenir. Alan temeli deyimi ile tüm yapı veya yapı bölümleri altındaki kolonların (veya duvarların) yüklerini zemine aktaran sistemin deformasyonu ve taban basıncı dağılımı genel olarak üst yapı + temel ortak sistemi ile temel zemininin deformasyon yeteneği oranına bağlı olarak belirlenebilen temel gövdeleri amaçlanmıĢtır.
Böylece alan temellerinin Ģekil değiĢtirmeleri ve buna bağlı olarak taban basıncı dağılımı, bir yandan üst yapı + temel sisteminin toplam rijitliğine, öte yandan temel zeminin deformasyon yeteneğine bağlıdır.
Bu nedenle sürekli alan temellerinde taban basınçları genellikle doğrusal yayılı olarak alınamazlar. Taban basıncının gerçektekinden farklı olarak doğrusal yayılı alınması ile yapılacak hesaplar, çoğu kez ekonomik olmayan, bazen de güvensiz sonuçlar verir.
Sürekli alan temelleri ile ilgili sorunlar çok karmaĢıktır. Bu nedenle zeminin davranıĢını idealize ederek bazı yaklaĢık yöntemler geliĢtirilmiĢtir. Çözüm bekleyen ana problem taban basıncının zemin sıkıĢmasıyla orantılı olarak değiĢmesidir. Bu kurala yalnızca zeminin esneklik modülü değil, klasik yatak modülü metodunun kabul ettiği gibi kayma modülü ve kayma dayanımı da dahildir.
2.2 Alan te meli kullanım sebepleri
Alan temelleri deyiminden, yapının tümü veya bir bölümü altında uzanan kiriĢli ve kiriĢsiz temel plaklarının oluĢturduğu yüzey temelleri anlaĢılır. Alan temelleri ülkemizde radye veya temel plağı olarak bilinir. Genellikle radye deyimi, ters kemer ve ters kubbe biçiminde eğrisel yüzeyli temelleri de içine alır.
4
Fakat günümüzde düzlemsel olmayan bu tür temeller artık kullanılmadığından, radye genel deyimi yerine “temel plağı” (veya plak temel) deyiminin kullanılması yerinde olur.
Temel plaklarının yapımına genellikle iki ana nedenden dolayı gerek görülür: Birincisi, üst yapı yükleri çok büyük veya zeminin taban güvenlik basıncı çok küçüktür. Ġkincisi, yapının taban suyuna karĢı yalıtılması gerekmektedir.
Temel plağı diğer temel türlerine (tekil ve Ģerit temel) göre aĢağıdaki üstünlüklere sahiptir:
(a) Yapı temelinin plak temel olarak seçilmesi ile çalıĢma tekniği yönünden inĢaatın seyrinde hissedilir ölçüde bir kolaylık sağlanabilir. Çoğunlukla basit bir temel kazısı ile temiz ve rahat bir çalıĢma alanı elde edilir.
(b) Temel plağı geniĢ ölçüde derzsiz olarak uygulanabildiğinden, özellikle prefabrike yapılarda taban suyuna karĢı yalıtımda kolaylık sağlanır.
(c) Tekil ve Ģerit temellerin boyutları çok büyük çıkarsa, böyle durumlarda çoğunlukla temel plağının seçimi ekonomik olur. Bu durumda temel plağının ekonomik olup olmadığının araĢtırılması amacıyla; kalıp giderlerindeki düĢüĢ, kazı çalıĢmalarındaki basitleĢtirme ve donatı yerleĢiminin basitliğinden kaynaklanan iĢçilik tasarrufunun, temel betonunun artmasından dolayı yapılan fazla harcama ile karĢılaĢtırılması gerekir.
(d) Temel plağı aracılığıyla yükleme durumunda zemin, plağın ke nar bölgeleri dıĢında yana geniĢlemesi önlenmiĢ bir deformasyona zorlandığından, diğer tür yüzeysel temellere (tekil ve Ģerit temel) oranla daha küçük bir oturma ortaya çıkar. Örneğin, temel plakları tekil temellere oranla yaklaĢık %30 daha az oturma yapar. Ayrıca temel plakları büyük alanları kapladığından, zemindeki kısmi bozukluklardan kaynaklanan oturma farkları için de dengeleyici bir etkiye sahiptir.
2.3 Alan te meli seçim kriterle ri
Temel plağının boyutları, normal olarak yapı plan boyutlarına, arsa sınırlarının elveriĢli olması durumunda, uygun bir çıkma uzunluğu eklenerek bulunur. Böylece temel plaklarında taban alanı aĢağı yukarı yapı taban alanı ile sınırlıdır. Çıkmalarla sağlanan ek alan, çıkma boylarının sınırlı ölçüde olması ve arsa sınırının yapı sınırı
5
ile çakıĢtığı yerlerde çıkma yapılamaması gibi nedenlerle, yapı alanına oranla oldukça küçüktür. Bunun sonucu olarak temel plağı taban alanı genelde yapı alanına bağlıdır ve çıkmalarla pek fazla artırılamaz. Öte yandan temel plağının, ortalama oturması da zeminde oluĢan 0 ortalama taban basıncı ile orantılıdır. Ortalama taban basıncı üst yapı yükleri ile temel ağırlığı toplamının taban alanına bölünmesi sonucu elde edildiğine göre, taban basıncı da temel plaklarında pek fazla değiĢtirilemez. Demek, temel plaklarında üst yapı yükleri ile temel ağırlığı toplamının mertebesinden, taban basıncının mertebesi aĢağı yukarı belirlenmiĢ olur. Elde edilen taban basıncı, zeminin taban güvenlik basıncından küçük veya en fazla ona eĢit olması gerekir:
σ0 = (ΣN + G)/A ≤ σgüv (2.1) Eğer taban basıncı, taban güvenlik basıncından büyükse taban alanı yukarıda belirtilen nedenlerle daha fazla artırılamayacağından, zeminin taban güvenlik basıncını artırıcı önlemlere baĢvurulması gerekir: Bunun için ya zemin sağlamlaĢtırma yöntemleri ile zeminin taĢıma gücü artırılır; ya da mevcut zayıf zemin kazılıp atılarak, yerine yeter kalınlıkta taĢıma gücü yüksek (örneğin, sıkıĢtırılmıĢ kum-çakıl karıĢımı) bir zemin tabakası konulur. Böylece zemine gelen ortalama gerilme taban güvenlik basıncının altına düĢürülmüĢ olur. Sonuncu durumda kum-çakıl tabakasının yük altında yana kaçmasını önlemek için, ya bu tabaka planda taban boyutlarından yeter ölçüde daha büyük yapılır ya da etrafına duvar örülerek sağlam zeminin yanlara kaçması önlenir. Temel tabanı altına konulan sağlam zemin tabakasının tümü arazi yüzeyi altında ise, gerekli önlem alınmak koĢuluyla çevre duvarı yapılmayabilir.
Taban basıncının taban güvenlik basıncından büyük olması durumunda, baĢvurulacak baĢka bir yol, temel derinliğini artırarak taban güvenlik basıncını artırmaktır.
Temel plakları altındaki zeminin güvenlik basıncı aynı özelliklere sahip zeminde bile derinlere inildikçe artar. Çünkü derindeki zeminin taĢıma gücünde en azından temel çukurundan uzaklaĢtırılan toprak ağırlığı kadar bir artıĢ görüleceği doğaldır. Hatta temel çukurundan uzaklaĢtırılan toprak ağırlığının yapı ağırlığına eĢit olması özel durumunda teorik olarak hiçbir basınç artıĢı ya da oturma oluĢmayacağı söylenebilir.
6
Fakat yukarıda söylendiği gibi yapı altında hiçbir oturma doğmaması için, yapı üzerinden jeolojik yükün kaldırılması sırasında, zeminde basınç azalmasından dolayı bir kabarma oluĢmaması gerekir. Bu koĢul gerçekte hiçbir zaman tam olarak yerine getirilemez. Bu koĢulun ancak tam konsolide olmuĢ zeminlerde pratik sınırlar içinde sağlandığı söylenebilir.
Temel plaklarının tasarımı ve boyutlandırılmasında önemli olan bir konu da taban suyunun kaldırma kuvvetidir. Taban suyu kaldırma kuvvetinin temel plağının tasarımı ve boyutlandırılması üzerine etkisi Ģu Ģekilde açıklanabilir: Öncelikle, temel plağı kesit kuvvetlerinin hesabında esas alınan net taban basıncının toplam değeri, denge denkleminden dolayı üst yapı yüklerinin toplamına eĢit olması gerekir. Böylece net taban basıncının toplam değeri, suyun kaldırma kuvveti bileĢkesi üstyapı yüklerinin bileĢke değerinden küçük olduğu sürece suyun kaldırma kuvveti değiĢmez. Hatta taban basıncı üniform yayılı olarak alındığında, taban suyu kaldırma kuvvetinin kesit kuvvetleri üzerine de etkisi yoktur. Eğer taban basıncı üniform yayılı değil de, gerçekte olduğu gibi kenar bölgelere yığılmıĢ olarak alınırsa, su kaldırma kuvvetindeki değiĢiklik plağın kesit kuvvetlerini de değiĢtirir. Örneğin, kenarlardan kolon veya duvar aracılığı ile yüklenmiĢ, tek açıklıklı basit bir plakta su kaldırma kuvveti açıklık momentlerini artırıcı yönde etki eder.
Öte yandan taban suyu kaldırma kuvveti oturmaların küçülmesine neden olur. Çünkü zemindeki oturmalar, üst yüklerden oluĢan zemin basıncından su basıncının çıkarılmasıyla elde edilen efektif basınca bağlıdır.
KuĢkusuz taban suyu kaldırma kuvvetinin etkisi konusunda yukarıda söylenenler, su kaldırma kuvveti bileĢke değerinin tüm yapı yüklerinin toplamından küçük olması durumunda geçerlidir. Eğer taban suyu kaldırma kuvvetinin toplam değeri üst yapı ve temel ortak sisteminin toplam ağırlığından daha fazla ise sistemin dengesi tehlikeye girer. Bu kaldırma kuvveti fazlalığı çevre sürtünmesini de yenebilecek büyüklükte ise, yapı toptan yukarı doğru hareket eder. Bu olay çoğunlukla, taban suyu düzeyi indirilerek kuruda temel çalıĢması yapılırken, üst yükler yeter ölçüde oluĢmadan, ( yapı yeter ağırlığa ulaĢmadan ) temel birden bire taban suyu etkis inde kalırsa ortaya çıkabilir. Bu olay uygulamada çoğunlukla gözden kaçmakta ve büyük hasarlara yol açmaktadır.
7
3. TEMEL ZEMĠNĠ-YAPI TOPLAM SĠSTEMĠNĠN DAVRANIġI
3.1 Toplam Sistem Kavramı
Yapı sistemleri, kullanılan malzeme ve seçilen taĢıyıcı sisteme gö re, çok farklı rijitliklere sahiptir. Alan biçiminde düzenlenen bir yapı sistemi yalnızca deforme olabilen temel zeminini sıkıĢtırmaz, aynı zamanda kendisi de uygun biçimde deformasyona uğrar. Temel zemini – yapı toplam sisteminde kuvvetler ve deformasyonlar arasındaki bağıntı çok karmaĢıktır. Böyle bağıntıların statik olarak anlaĢılması ve göz önüne alınması için bunların ortak bir tanımlamaya sokulması gerekir.
ġekil 3.1’de bir temel zemini – yapı toplam sistemi Ģematik olarak gösterilmiĢtir. Burada tekil bölümler yanında, yapı sistemi için alıĢılagelmiĢ genel kavram ve tanımlamalar da topluca verilmektedir.
ġekil 3.1: Temel zemini ve yapı toplam sistemi
Yapı sistemi, üst yapı ve alan temelinden oluĢur. “Alan temeli” kavramı temel plağı, temel kiriĢi ve sömel gibi tüm yüzeysel temel elemanlarını içine alır. Yapı sistemi temel zemini ile birlikte temel zemini – yapı toplam sistemini oluĢturur.
8
3.2 Temel zemini ile yapı sistemi arasındaki karĢılıklı etkileĢim
Üst yapı, temel ve temel zemini öğeleri arasındaki karĢılıklı etki sistemin bir bütün olarak davranıĢından elde edilir. Burada üst yapının ve temelin rijitliği ile zeminin sıkıĢabilirliği, yapı sisteminin davranıĢı ve taban basıncı üzerine etki eden en önemli faktörlerdir.
Bir yapının stabilite güvenliği yalnız zemin kırılmasına karĢı yeterli güvenliğin varlığı ile değil, aynı zamanda zemin kırılmasına ulaĢılmadan önce oturma ve oturma farklarının sınırlandırılması ile sağlanır. Bu sınırlandırma, yapı elemanları üzerinde hiçbir zararlı etki ortaya çıkmayacak biçimde yapılır. AĢağıdaki incelemede toplam sisteme iliĢkin oturmaların ve zemin kırılması olasılığının güvenlik sınırları içinde bulunduğu varsayılmıĢtır.
Alan temellerinin tabanında yapı yükleri düzgün yayılı olmayan basınç gerilmeleri (taban basıncı) ile zemine iletilir. Oturmalar, temel sisteminin sehimleri ve üst yapının zorlanmıĢ deformasyonları birbirine bağlıdır. Temel ve üst yapının statik yönden araĢtırılmasında taban basıncının yanında, öncelikle oturma farklarının bilinmesi gerekir. Çünkü yapıdaki ek zorlamalara yalnızca oturma farkları neden olur. Öncelikle tam rijit bir temelde (bununla birlikte bu mükemmel duruma hiçbir vakit ulaĢılamaz) üst yapı taĢıyıcı sisteminde hiçbir rölatif deformasyon ortaya çıkmaz. ġekil 3.2’de üst yapı ile temelin değiĢik eğilme rijitlikleri oranına bağlı olarak bir doğrultuda çalıĢma durumu için (düzlemsel problem) deformasyon biçimleri abartılmıĢ biçimde gösterilmiĢtir. ġekilde mafsallı olarak gösterilen birleĢme yerleri uygulamada eğilmeye karĢı kısmen veya tamamen rijit olarak da düzenlenebilir. Bununla birlikte çok sağlıklı çözümler dıĢında, kolon ve perdelerin sürekli temel kiriĢi ve temel plağına mafsallı bağlandığı varsayımına göre hesap yapılabilir.
Eğer temel plağı geliĢigüzel düzenlenmiĢ duvar veya kolonlara sahip üst yapı tarafından yüklenmiĢse, uzaysal bir deformasyon durumu ortaya çıkar. Uzaysal problemin çözümü için pratikte çoğunlukla ortogonal doğrultuda iki düzlemsel problemin birleĢtirilmesiyle yetinilir.
9
Alan temelleri uygulamada yapımsal esaslardan dolayı belirli bir rijitliğe sahip olması gerektiğinden, plak temel genel olarak hiçbir yerde zeminden ayrılmaz (zemin ile temel arasında aralık kalmaz.)
Bu durumda temel sisteminin eğilme yüzeyi deformasyon eğrisi ile büsbütün örtülür. Bundan dolayı alan temelleri için çoğunlukla klasik hesap metotlarında deformasyon koĢulu bu esasa göre düzenlenir. Bununla birlikte ekstrem yük durumunda veya oldukça ince alan temellerinde temel konstrüksiyonu zeminden ayrılabilir. Bu durumlarda hesapsal taban basıncının göz önüne alınması için yapılacak iĢlem Kany tarafından verilmiĢtir.
a) Elastik üst yapı altında rijit temel b) Elastik üst yapı altında elastik temel plağı durumu plağı durumu
c) Rijit üst yapı altında rijit temel d) Rijit üst yapı altında elastik temel plağı durumu plağı durumu
ġekil 3.2: Bir yapı sisteminde değiĢik rijitlik oranlarına göre deformasyon biçimlerinin abartılmıĢ olarak gösterimi
ġekil 3.2 a) ve b)’de elastik üst yapı altındaki rijit ve elastik temel plağı için deformasyon durumları gösterilmiĢtir. Elastik temel plağına sahip yapı sistemi zeminin deformasyon eğrisine büyük ölçüde uyabilmesine karĢın, rijit temel plağına sahip yapı sistemi zeminin deformasyonlarına uyamaz. Bundan dolayı rijit temel
10
plağı durumunda önemli ölçüde ek zorlamalar doğar. Bu ek zorlama temel gövdesi için ek eğilme momenti anlamına gelir.
Burada üst yapı elastik olduğundan ek eğilme momentinin büyük bir bölümünün temel gövdesi tarafından alınması gerekir.
ġekil 3.2 c) ve d)’de rijit üst yapı altındaki rijit ve elastik temel plaklarının deformasyon durumları gösterilmiĢtir. Burada rijit temel plağı durumunda daha fazla olmak üzere, her iki durumda da yapı sistemi zeminin deformasyonlarına uyamaz. Bu nedenle önemli ölçüde ek zorlamalar ortaya çıkar. Bu ek momentin rijit temel plağı durumunda, rijit üst yapı ve temel plağına rijitlikleri oranında paylaĢtırılması gerekir. Elastik temel plağı durumunda ise, ek momentin büyük bir bölümün rijit üst yapı tarafından alınması zorunludur.
3.3 Ze minin sıkıĢabilirliği ile yapı sistemi rijitliğinin taban basıncı ve kesit kuvvetleri üze rine etkisi
Temel plağı (veya temel kiriĢi) ilk bakıĢta ters çevrilmiĢ normal kat plağı (veya kat kiriĢi) olarak düĢünülebilir. Temel plağının (temel kiriĢinin) sürekli kat plağından (veya sürekli kat kiriĢinden) en önemli farkı, mesnet olarak düĢünülen yapı kolonlarının zeminin sıkıĢabilirliği nedeniyle farklı çökmeler etkisinde bulunmasıdır. Kısaca, temel plağına (veya temel kiriĢine) mesnetleri belirli bir kurala göre çöken ters çevrilmiĢ normal sürekli plaklar (veya sürekli kiriĢler) gözüyle bakılması daha doğru olur.
Taban basıncı dağılımı ve buna bağlı olarak kesit kuvvetleri zeminin deformasyon özelliği ile yapı sisteminin deformasyon özelliği arasındaki bağıntıdan bulunur. Yani taban basıncı dağılımı yapı sistemi rijitliği ile temel zemini rijitliği arasındaki orana bağlıdır.
Yapı sisteminin eğilmeye karĢı rijitliği temel gövdesinin rijitliği ile üst yapının rijitliği toplamı olarak düĢünülmesi gerekir. Üst yapı statik yönden fiktif bir sürekli kiriĢ veya birbiri arkasına dizilmiĢ tek açıklı kiriĢler olarak Ģematize edilebilir. Böylece çerçeve sistemi, sürekli döĢeme, prefabrike eleman, levha gibi üst yapı sistemlerine ait rijitliklerin göz önüne alınması sağlanmıĢ olur. Özellikle çok açıklıklı ve çok katlı çerçeve sistemlerinde üst yapı rijitliğinin hesabında Meyerhof (1953) formülünün çok iĢe yaradığını önemle belirtmek gerekir:
11
ġekil 3.3 Bina rijitliği ġekil 3.3 teki gösterilen değerlerle
IB = Ib.nk.nb2.(2Kk/(Kb+2Kk)) (3.1)
formülü yazılır. Burada; Kk = Ik / h (cm3
), Kb = Ib / l1(cm3) kolon ve kiriĢ rijitliklerini gösterir.
Bu formülün sağlıklı sonuç vermesi için çerçeveye ait nb açıklık sayısı ile nk katsayısının en az 4 olması öğütlenmektedir. Kat sayısı ve açıklık sayısı az olan çerçeve sistemlerinde üst yapının etkisini, temel plağının deformasyonları ile çerçeve sisteminin deformasyonları arasında bağıntı kurarak göz önüne almak uygun olur. Böylece temel plağının deformasyonlarından dolayı çerçeve sisteminde oluĢan ek zorlamalarda bulunabilir.
Çok açıklıklı bir çerçeve sisteminde Meyerhof ampirik formülüne göre bulunan El çerçeve rijitliği ile Netzel (1972) tarafından sağlıklı deformasyon hesaplarına dayanarak bulunan çerçeve rijitliği arasında büyük bir uyum olduğu söylenebilir. Pratik hesaplarda, pek fazla donatılmamıĢ yapılarda ve Ģüpheli durumlarda en iyisi üst yapının “fleksibl” olarak kabul edilmesidir. Yapılan pek çok deneydeki ölçmeler bu sonucu nitelikli olarak doğrulamaktadır. AzaltılmıĢ üst yapı rijitliği için bulunan değerlerin deney sonuçlarına uygun düĢmesinin nedeni, inĢaat sırasında betonarme malzemede çatlak oluĢumundan dolayı rijitlik kaybı ve sünme olayı nedeniyle ortaya çıkan statik sistemdeki ve rijitliklerdeki değiĢmelerin hesapsal olarak göz önüne alınmamıĢ olmasıdır.
12
Zeminin rijitliği ile üst yapı+temel sistemi rijitliğinin taban basıncı ve eğilme momentleri üzerine etkisinin iyi anlaĢılabilmesi için öncelikle zeminin rijitliğinin ve üst yapı rijitliğinin sınır durumlarının incelenmesinde yarar vardır:
(1) Ġlk olarak oldukça fleksibl bir temel plağını üst yapı etkisi olmaksızın düĢünelim (Iü = 0 tam fleksibl üst yapı durumu):
(a) Bu durumda sıkıĢabilir tabaka, kalınlığı büyükse, toplam yapı yükleri için derinlik etkisinden dolayı, tüm temel plağı boyunca tekil yükler altında artan, açıklıklarda azalan ondülelere sahip, ortalama değeri tekne biçiminde olan bir deformasyon eğrisi ortaya çıkar (ġekil 3.4 a). Oturmaya etkili zemin tabakalarında, derinlere doğru basınç yayılma bölgelerinin birbirini kesmesi nedeniyle, sıkıĢabilir tabaka kalınlığının plak uzunluğuna oranına bağlı ola rak içbükeyliği artan bir deformasyon eğrisinin oluĢacağı akla uygundur. Burada temel plağı oldukça fleksibl olduğundan, zeminin deformasyon eğrisine aynen uyar.
(b) Eğer sıkıĢabilir tabaka kalınlığı küçükse veya oldukça ince temel plağı kaya, sıkı yerleĢmiĢ kum - çakıl vb. gibi oldukça rijit zeminler üzerine oturuyorsa, oturma eğrisi yalnız yükler altında bulunan lokal sıkıĢmalarla karakterize edilir. KomĢu yüklerin karĢılıklı etkisi ya hiç yok veya yok denecek kadar azdır. Zeminin Es rijitlik modülü betonun elastisite modülünden genellikle çok küçük olduğundan (yaklaĢık onda bir mertebesinde), fleksibl temel plaklarında yük aralıklarının oldukça büyük olması durumunda oturma ondüleleri ortaya çıkar (ġekil 3.4 b). Bu durumla genellikle hava alanı kaplamalarında karĢılaĢılır.
a) SıkıĢabilir tabaka kalınlığının büyük b) SıkıĢabilir tabaka kalınlığının küçük olması durumu olması durumu
13
Ġkinci olarak üst yapının var olduğu düĢünülürse, üst yapı sistemine bağlı olarak birleĢme yerlerindeki normal kuvvet ve eğilme rijitliği etkinlik kazanır ve oturma farkları üzerinde dengeleme etkisi yapar.
ġekil 3.4 teki deformasyon biçimlerinden, üst yapının temel plağı üzerine etkisinin özellikle sıkıĢabilir tabaka kalınlığının büyük olması durumunda etkili olduğu görülür. SıkıĢabilir tabaka kalınlığının küçük olması veya oldukça ince temel plağının doğrudan doğruya, kaya gibi rijit zeminler üzerine oturması durumunda, üst yapının rijit veya fleksibl olmasının temel plağının deformasyonu, dolayısıyla taban basıncı ve kesit kuvvetleri üzerinde önemli hiçbir etkisi yoktur. Zira, bu durumda üst yapı kolonları altındaki oturmalar yaklaĢık birbirine eĢittir ve oturma farkları yok denecek kadar azdır.
AĢağıda yeter kalınlıkta sıkıĢabilir zemin tabakası üzerine oturan bükülebilir temel plakları için, fleksibl ve rijit üst yapı durumlarının eğilme zorlamalarına etkisi araĢtırılacaktır:
(a) Üst yapının tam fleksibl olması durumu (Iü = 0):
Üst yapının tam fleksibl olması durumunda, toplam eğilme momenti; temel plağının oturma kalıbına uygun biçimde deforme oluĢu sırasında oluĢan ek eğilme zorlaması (1) ile sabit mesnetli sürekli kiriĢ eğilme momentinin (2) toplamından elde edilir. Üst yapı tam fleksibl olduğundan eğilme zorlamasının tümü fleksibl temel plağı tarafından taĢınmak zorundadır (ġekil 3.5 a).
(b) Üst yapının tam rijit olması durumu (Iü = ∞)
Üst yapının tam rijit olması durumunda temel plağı kolonlar altında eĢit oturmaya zorlanacağından, temel plağı zeminin deformasyon eğrisine uyamaz. Bunun sonucu olarak taban basıncı dıĢ bölgelere yığılır. Böylece oluĢan ek zorlamalar fleksibl üst yapı durumuna göre daha da fazla olur. Bu ek zorlamanın tümünün sonsuz rijit üst yapı tarafından taĢınması gerekir. Zira temel plağının eğilme rijitliği sonsuz rijit üst yapı yanında ihmal edilebilir ve hiçbir ek zorlama almadığı düĢünülebilir. Üst yapı bu ek zorlamalara göre de boyutlandırılmalıdır. Ters durumda ek zorlamalar üst yapıda istenmeyen çatlak ve hasarlara yol açacağından, yapının kullanma amacını veya güvenliğini yitirmesine neden olur.
14
a) Tam fleksibl üst yapı durumu b) Tam rijit üst yapı durumu
ġekil 3.5: Yeter kalınlıkta sıkıĢabilir zemin tabakasına oturan bükülebilir temel plağı üzerindeki üstyapının sınır durumları
Bu durumda temel plağının eğilme momenti diyagramı ideal sürek li kiriĢin tipik moment diyagramına aynen uyar (ġekil 3.5 b). Bunun sonucu olarak, rijit üst yapılar altındaki fleksibl temel plaklarında, sürekli temel plağının alttan etki eden taban basıncı yük ve kolonlar mesnet kabul edilerek aynen ters çevrilmiĢ sürekli kiriĢ gibi çözülmesi gerçeğe yakın sonuçlar verir.
Rijit üst yapı varsayımında ana amaç temel plağına oturan kolonların rölatif çökmelerinin sıfır olmasıdır. Bu koĢulu sağlayamayan elastik üst yapılar altındaki temel plaklarının çözümünde; “ideal sürekli kiriĢ” momentleri ile kolon çökmelerinden elde edilen ek eğilme momentleri süperpoze edilirse, gerçeğe çok yakın sonuçlar elde edilir. Burada kolon çökmesi olarak kolondan kolona oturma farkı alınır.
Temel sistemlerinin yaklaĢık çözümlerinde veya ön hesaplarda basit yoldan iĢe yarar sonuçlara ulaĢılmak istendiğinde, yukarıdaki düĢünceler yanında üst yapı rijitliğinin taban basıncı dağılımı üzerine etkisinin gerçeğe yakın bir biçimde tahmin edilmesi gerekir. Genel olarak temel plağı fleksibl duruma yaklaĢtıkça veya temel zemini rijitleĢtikçe yük etki noktaları altındaki taban basıncı yığılmaları fazlalaĢır ve böylece
15
plağın eğilme zorlamaları küçülür. Bu olay plak kalınlığının ince ve kolon (veya duvar) aralıklarının büyük olması durumuna karĢılık olur. Bu temel zemini yönünde n ise rijitlik modülünün büyük ve sıkıĢabilir tabaka kalınlığının küçük olması anlamına gelir.Bu rijitlik bağıntısı alıĢılmıĢ biçimde aĢağıdaki rijitlik oranı ile tanımlanabilir:
3 3 1 12 e s s h EI E K E l b E l (3.2)
Sistem rijitliği olarak da adlandırılan bu boyutsuz oran temel ze mininin genel tabakalanma durumu için kullanılamaz. Formülden de kolayca anlaĢılacağı üzere EI yapı rijitliği arttıkça bu oran büyür. Bu temel zemini için Es rijitlik modülünün küçük olması anlamına gelir. l toplam temel uzunluğu ve b temel geniĢliği K oranı ile ters orantılıdır.
16
4. ELASTĠK ZEMĠNE OTURAN PLAK PROBLEMĠ ĠÇĠN KULLANILAN ZEMĠN MODELLERĠ
Elastik zemine oturan plakların analizini üç aĢamadan oluĢtuğu kabul edilebilir. Ġlk aĢama, yapının ve zeminin karĢılıklı davranıĢlarını en iyi Ģekilde temsil edecek uygun zemin modelinin seçilmesidir. Ġkinci aĢama zemine ve plağa ait değerlerin seçilmesidir. Son aĢamada ise daha önceki aĢamalardan elde edilen verilerin kullanılarak, matematik model yardımıyla problemin çözülmesi ve sonuçların değerlendirilmesidir.
Elastik zemine oturan plak ve kiriĢ problemi Winkler (1867) tarafından incelenmiĢ ve teorinin esasları belirlenmiĢtir. Bu teori, q zemin tepkilerinin, w plak çökmeleri ile doğru orantılı olduğu kabulüne dayanarak
q(x, y) = kw(x,y) (4.1) bağıntısını vermektedir.
Winkler modelinde zeminin, (4.1) ifadesinin bir sonucu olarak, birbirinden bağımsız, sadece düĢey doğrultuda çalıĢan, lineer elastik yaylardan oluĢan bir sistem olduğu kabul edilmiĢtir. Bunun sonucunda yükün etkidiği yaylarda çökmeler oluĢur. Diğer yaylarda ise hiçbir çökme oluĢmaz. Winkler modelinde zemini karakterize eden sadece k (zemin yatak katsayısı) parametresi vardır. ġekil (4.1) de Winkler zemin modelinde değiĢik yüklere ait deplasman durumları gösterilmiĢtir.
Winkler zemin modelinin, bazı durumlarda yetersiz kalması üzerine araĢtırmacılar zemin sürekli ortamını daha iyi idealize edebilmek için yeni zemin modelleri geliĢtirmiĢlerdir.
Filonenko – Borodich modelinde (1940-1945), Winkler modelindeki yayların üst yüzeyi ġekil 4.2’de görüldüğü gibi elastik bir zarla bağlı olduğu kabul edilmiĢtir. Bu modelde sisteme yükleme yapıldığında yüzeydeki zarda gerilme meydana gelir.
17
Zar ve yay sisteminin dengesinden zeminin reaksiyonu 2
2
( , ) w
q x y kw T
x (4.2)
gibi ifade edilebilir
a) Üniform olmayan yayılı yük durumu b) Tekil yük durumu
c) Rijit cisimle yükleme durumu d) Üniform yayılı yük durumu ġekil 4.1: Winkler zemin modeli
Filonenko – Borodich modelinde, (4.2) ifadesinde de görüldüğü gibi, k Winkler modelindeki zemin yatak katsayısı, T değeriyse yayları birbirine bağlayan zarda oluĢtuğu kabul edilen sabit çekme kuvveti olmak üzere zemine ait iki parametre bulunmaktadır.
Hetenyi (1946) modelinde ise Winkler yaylarının üzerinde (ġekil 4.3), iki boyutlu problemler için elastik bir plak, tek boyutlu problemler için elastik bir kiriĢin olduğu kabul edilir.
Bu modelde k ve D elastik zemin parametreleri olmak üzere zemin reaksiyonu (4.3) ifadesiyle belirtilebilir.
18 4 4 ( , ) w q x y kw D x (4.3)
Pasternak modelinde (1954) Winkler modelindeki yayların üzerinde (Ģekil 4.4) sadece düĢey deplasman yapabilen ve sıkıĢmayan elemanlardan oluĢan, kayma tabakası göz önüne alınmıĢtır.
Kayma tabakası (x,y) düzleminde izotropik olduğu kabul edilmiĢtir. Dolayısıyla kayma tabakasının kayma modülleri arasında (4.4) bağıntısı geçerlidir.
Gx = Gy = Gp (4.4)
19
ġekil 4.3: Hetenyi Zemin modeli
ġekil 4.4 : Pasternak zemin modeli
(4.4) ifadesindeki Gp ikinci zemin parametresi olmak üzere zemin reaksiyonu 2
( , ) p
q x y kw G w (4.5) olarak ifade edilebilir. (4.5) ifadesindeki 2Laplace operatörü olup
2 2
2
2 2
x y (4.6)
Ģeklinde ifade edilir.
Vlasov modelinde ise diğer zemin modellerinden farklı olarak ġekil (4.5)’te görüldüğü gibi x-z düzleminde ele alınan zemin kolonu için yer değiĢtirmeler (4.7) ifadesindeki Ģekilleriyle kabul edilmiĢlerdir.
20
(4.7) ifadesinde u(x, y) x-z düzleminde yatay deplasman, w(x,z) aynı düzlemdeki düĢey deplasman ve ϕ(z) fonksiyonu ise w(x) yer değiĢtirmelerinin derinlik boyunca (z ekseni boyunca) değiĢimini veren yaklaĢım fonksiyonudur.
ġekil 4.5 : Vlasov zemin modeli Burada zemin reaksiyonu
2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 w x y q x y kw x y t x (4.8)
olarak ifade edilebilir. Bu modeldeki elastik zemin parametreleri k ve t dir. Yukarıda gösterilen zemin modelleri Gören (2002) adlı kaynaktan alınmıĢtır.
21
5. ALAN TEMELĠNĠN STATĠK HESABI ÜZERĠNE GENEL BĠLGĠLER
5.1 Hesap varsayımları ve hesap esasları
Fleksibl alan temelinin hesabı ve boyutlandırılması için yapı sis teminden oluĢan kuvvet ve momentler ile temel zemininin reaksiyon kuvvetlerinin (taban basıncı büyüklüğü ve dağılımının) bilinmesi gerekir. Üst yapıdan gelen yüklerin toplam büyüklüğü ve etki yeri statik hesapla daima bulunabilir. Buna karĢılık toplam yükün üst yapıdan temel plağına yük aktaran kolonlara dağılımı, toplam sistemin rijitliği ve zeminin rijitliğine bağlı olarak farklı olur. ġekil 3.5b’de üst yapı yüklerinin toplamının bilinmesine karĢın, kolonlara gelen yükler belli değildir. Fakat pratik te çoğunlukla alan temeli üzerindeki kolon yükleri, üst yapının rijit bir a lan temeline oturduğu varsayımına göre hesaplanarak basitleĢtirme yapılabilir. Bu durumda kolon yükleri fleksibl üst yapı varsayımına göre bulunabilir. Aynı bağıntı reaksiyon kuvveti olarak taban basıncı için de geçerlidir ve taban basıncı temel plağının üst yükleri ile kendi ağırlığı toplamı altında dengededir.
Bir alan temelinin hesabı uzaysal bir problemdir. Temel plağının boyutları ve biçimi taban basıncı dağılımı üzerine kesin olarak etki eder. Bu yüzden sorunun çözümü yüksek dereceden hiperstatiktir. Bunun istisnası çok nadir olarak görülür. Üst yapının, temelin ve temel zemininin tüm deformasyon koĢullarının kesin matematik formda gösterilmesi olanaklı değildir. Ayrıca plak temele etki eden dıĢ yüklerin hesabı için elde edilen kapalı formüller arasında bağıntı kurmak ise hiç olanaklı değildir. Bu nedenle tüm hesap metotlarında az veya çok oranda basitleĢtirme yapılmaktadır.
Üst yapının çok katlı olması durumunda deprem kuvveti nedeniyle üst yapı yükleri yatay bileĢene de sahiptir. Bu yatay yük bileĢeninin üst yapı üzerindeki etkisinin, öteki yük bileĢenlerine oranla önemli ölçüde büyük olduğu deneyimlere dayanılarak söylenebilir. Yatay öz ağırlığın zeminin düĢey oturmaları üzerine etkisi küçük olduğundan, onun etkisi zeminin deformasyon hesaplarında genellikle göz önüne alınmaz. Hatta çoğunlukla zemin deformasyonundan dolayı taban plağındaki ya tay kayma gerilmesi de göz önüne alınmaz. Bununla birlikte yapı, örneğin toprak basıncından dolayı dayanma duvarlarında veya çarpma basıncından dolayı, köprü
22
ayağında olduğu gibi, çok büyük yatay yük bileĢenine sahipse, bu durumda temel tabanındaki kayma gerilmelerinin ihmal edilmesi artık doğru olmaz. Çünkü bu du-rumda söz konusu kayma gerilmesi yumuĢak davranıĢlı zeminlerde hissedilir bir sıkıĢma doğurur ve böylece yapının düĢeyden kaçma (eğiklik) durumuna neden olabilir. Ayrıca bu durumda kayma güvenliğinin sağlandığı da kontrol edilmelidir. Elastik alan temellerinin hesabında aĢağıdaki dıĢ kuvvet grupları ayırt edilir
ġekil 5.1 : Bir alan temeline etki eden dıĢ kuvvetler 1) Üst yapı yükleri (Ni, Mi ve qi),
2) Öz ağırlık ( g),
3) Dinamik kütle kuvvetleri (Fi), 4) Taban basınçları ( 0i),
5) Taban suyu basıncı ( w)
Bu dıĢ kuvvetlerin büyüklüğü ve dağılımı bilindiğinde, kesit kuvvetlerin hesabı ve plak temelin boyutlandırılması yalnızca elemanter statiğin sorunudur.
Üst yapı yükleri; tekil yükler (örneğin, kolon yükleri), yüzey yükleri (örneğin, temel plağı üzerindeki yayılı yükler), çizgisel yükler (örneğin, duvar yükleri) ve momentler (örneğin, kolonların dibindeki ankastrelik momentleri) olarak sıralanabilir. Bu üst yüklerin toplam büyüklüğü ve etki yeri denge denklemlerinden kolayca bulunabilir. Fakat üst yapı yüklerinin dağılımı toplam sistemin deformasyon koĢuluna göre ayarlanması gerekir. Bu bağlılık geniĢ kapsamlı matematiksel bir çalıĢma gerektirir ve genellikle bu tür çözümler bilgisayar kullanılarak yapılabilir.
Fakat pratikte çoğunlukla elastik veya rijit temel plakları üzerinde fleksibl bir üst yapı varsayımına göre, üst yapının statik hesabından elde ed ilen kolon yükleri aynen
23
temel yükleri olarak alınır (ġekil 3.2a ve b). KuĢkusuz bu varsayım elastik temel plağı durumunda, ancak üst yapıdaki (örneğin, karkas bir yapıdaki) kolonlar düĢey doğrultuda serbest olarak birbirine göre yer değiĢtirebilir ve düğüm noktalarının çoğu mafsal gibi etki ederse gerçeğe yakın olur. Pek çok yapıda en azından inĢaat sırasında edinilen deneyimler bu koĢulun yaklaĢık biçimde yerine getirildiğini gösterdiğinden, yukarıdaki varsayım belirli bir haklılık kazanmaktadır.
Elastik üst yapı fleksibl olarak kabul edilemeyecek oranda bir rijitliğe sahipse veya daha sağlıklı hesap yapılması isteniyorsa, pratik olarak yaklaĢık formüllerden bulunan üst yapı rijitliği temel plağı rijitliğine eklenerek hesap yapılabilir. Fakat bu durumda üst yapı hesaba katılmadan bulunan kesit kuvvetleri ile üst yapı rijitliği göz önüne alınarak bulunan kesit kuvvetleri arasındaki farkın (özellikle eğilme momentleri farkının) üst yapı tarafından taĢınması gerekir.
Karkas yapı kolonlarının temel sistemine ankastre veya mafsallı olarak bağlanmasının taban basıncı üzerine etkisi önemli değildir. Bununla birlikte bu konu eğilme momenti dağılımı üzerine önemli ölçüde etkilidir.
Temel gövdesinin kendi yükü seçilen boyutlardan kolayca bulunur. Üst yapı yükleri ile temel gövdesinin kendi ağırlığının toplamı taban basıncı ile dengededir. Fleksibl bir üst yapı varsayımı durumunda üst yapı yükünün büyüklüğü ve dağılımı önceden bilindiğine göre, çoğunlukla hesap metotlarında taban basıncı dağılımı temel gövdesinin ve onun altındaki zeminin deformasyon koĢulundan bulunur. Elastik bir alan temeli hesabının ana amacı taban basıncı dağılımının bulunmasıdır. Taban basıncı bulunduktan sonra kesit kuvvetleri, üstten gelen kolon yükleri ve alttan etki eden taban basıncı altında izostatik kiriĢ esasına göre hesaplanır.
5.2 Alan te mellerinin hesabında gerçek koĢulların araĢtırılması
Yapı sistemi ve temel zemininin davranıĢı hakkında farklı varsa yımlar yapılarak, sonunda alan temelinin boyutlandırılmasında farklı kesit kuvvetleri veren bir dizi yaklaĢık metot geliĢtirilmiĢtir. Bu nedenle pratikte çalıĢan mühendisler çoğunlukla Ģu soruyu sorar; acaba teklif edilen hesap metotlarından hangisi en iyisidir? Bu sorunun kısa cevabı Ģöyledir: Hangi hesap metodu yapı sistemi+temel zemini ortak sisteminin deformasyon koĢuluna uygun düĢerse, temel gövdesinin boyutlandırılmasında en doğru kesit kuvvetlerini o hesap metodu verir.
24
Bununla birlikte hesap metotları elde edilen kesit kuvvetlerinin büyüklüğüne bağlı olarak aĢağıdaki biçimde değerlendirilir:
a) En büyük kesit kuvvetlerini veren hesap metoduna göre güvenli yönde boyutlandırma,
b)En küçük kesit kuvvetlerini veren hesap metoduna göre ekonomik yönde boyutlandırma.
Bir tek özel durum (örneğin, dairesel plak) hesaba katılmazsa, tüm alan temelleri için uzaysal problem, ortogonal iki düzlemsel probleme dönüĢtürülerek çözülebilir. Bu nedenle geliĢtirilen hesap metotları için genellikle “düzlemsel deformasyon durumu” söz konusudur. Buna göre Temel kirişi ve Temel plağı kavramları hiçbir statik anlam taĢımaz, yalnızca temelin plan biçimi hakkında bilgi verir. Burada çok dar temeller kiriĢ olarak (b/l 0,3), öteki tüm temeller plak olarak gösterilir
5.3 Alan te mellerinin hesabı için geliĢtirilen metotlar
Hesap metotları, Ģimdiki durumda kullanılan hesap metotları ve geleceğe dönük geliĢmeler olmak üzere iki grupta incelenebilir. ġimdiki durumda kullanılan hesap metotları da, basit hesap metotları ve sağlıklı hesap metotları olarak ikiye ayrılır. Geleceğe dönük geliĢmelerden amaç, Ģimdiki durumda kullanılan hesap metotlarında alan temelinin hesabı üzerine etkisi ihmal edilen bir dizi faktörün hesap metotlarında göz önüne alınarak, onların iyileĢtirilmesini sağlamaktır. Bu faktörler; plastik oturmalar, temel tabanındaki yatay sürtünme gerilmesi ve zemin sıkıĢabilirliğinin lokal olarak değiĢmesi seklinde sıralanabilir.
5.4 Sağlıklı hesap metotları a) Yatak modülü metodu (YM ):
Deforme olabilen bir temel zemini üzerindeki fleksibl temel kiriĢinin (veya plak Ģeridi) hesabı için en eski metot yatak katsayısı metodu olarak bilinmektedir. Bu metotta taban basıncı dağılımının temel kiriĢinin oturmaları ile orantılı olduğu varsayılır (ġekil 5.2). Orantı faktörü ks olarak gösterilir. Yatak modülü saf bir ze min değeri olmayıp, aynı zamanda temelin boyutlarına bağlıdır. Bu yüzden yatak modülü bulunurken zeminden baĢka, temel taban boyutlarının da bilinmesi gerekir.
25
ġekil 5.2 : Yatak modülü metodu
Burada temel zemininin birbirinden bağımsız sıkıĢabilen yaylardan oluĢan bir sistem gibi davrandığı varsayılmıĢtır. Böylece her yay payına düĢen taban basıncı tarafından sıkıĢtırılmaktadır. KomĢu taban basınçlarının etkisi bu metotta göz önüne alınmamıĢtır. Bu konu yatak modülü metodunun en belirgin ek sikliği olarak nitelendirilir.
Pratikte kullanılmak üzere yatak modülü esas alınarak düzenlenen tablolar mevcuttur. Bu hazır tablolarla sabit ve değiĢken yatak katsayısı için fleksibl kiriĢ ve plak Ģeritlerinin taban basıncı, oturması, eğilme momenti ve kesme kuvveti değiĢik yük durumlarına bağlı olarak bulunabilir. Rijit temeller için yatak modülü metodundan elde edilen sonuçlarla, gerilme yamuğu metodundan elde edilen sonuçlar birbirine uyumludur. Demek, gerilme yamuğu metodu; yatak modülü metodunda, temelin tam rijit olması özel durumuna karĢılık olur.
b) Rijitlik modülü metodu (RM ):
Rijitlik modülü metodunda hem temel kiriĢinin (veya plak Ģeridinin) deformasyonları hem de temel zemininin oturmaları, temel kiriĢinin eğilme eğrisi ile zeminin oturma eğrisi birbirine çakıĢacak biçimde göz önüne alınmaktadır (ġekil 5.3).
Burada yatak modülü metodundan farklı olarak, yatak yayları arasında “bağ” bulunduğu varsayıldığından, bir noktada oluĢan taban basıncının baĢka bir noktada da oturmaya neden olduğu göz önüne alınır.
26
ġekil 5.3 : Rijitlik modülü metodu
Rijitlik modülü metotlarının tümü ilk kez Ohde tarafından öne sürülen aynı ana düĢünceler üzerine kurulmuĢtur. Yapı sistemi ve temel zemininin her ikisi de elastisite teorisine göre hesaplanır. Ġlk olarak çubuk sistem statiği metotlarından yararlanılır. Temel zeminine “sürekli ortam” gözüyle bakılır ve elastik izotrop yarı uzay yerine geçer. Oturmalar Steinbrenner yöntemine göre hesaplanır. Steinbrenner tarafından dikdörtgen alanlar üzerinde bulunan alan yük leri altındaki oturmalar için formül ve abaklar verilmiĢtir.
Her ne kadar Es rijitlik modülü zemindeki düĢey gerilmeye bağlı olarak değiĢirse de, hesaplarda kolaylık sağlamak için sabit olarak alınır. Bu metodun pratikte kolay uygulanabilmesi için çeĢitli yazarlar tarafından tablo ve abaklar düzenlenmiĢtir. Bunlardan en önemlileri Grasshoff, Kany ve Sherif/König tarafından düzenlenen tablo ve abaklardır.
c) Yatak modülü ile rijitlik modülü metotlarının karıĢımı (YRM ):
Rijitlik modülü metodunda sabit rijitlik modülünün kullanılması gerçek verilere uygun olmadığından, bundan bulunan gerilme ve deformasyonların gerçektekinden daima sapma göstereceği doğaldır. Bunun üzerine Schultze yaptığı araĢtırmalarda rijitlik modülünün derinliğe bağlı olarak önemli ölçüde değiĢtiğini göstermiĢtir. Ay-rıca Gibson hacmi değiĢmeyen bir cisim için (Poisson oranı =0,5 için) temel tabanı düzeyinde sıfırdan baĢlayan ve derinlikle doğrusal artan rijitlik modülünün sabit yatak katsayısı yerine geçeceğini ispatlamıĢtır. Bu sonuncu (YM ile RM karıĢımı) metotta yatak modülü doğru seçilirse, sabit rijitlik modülüne sahip elastik- izotrop yarı uzay için rijitlik modülü ve yatak modülü metotları aynı çözümü verir. Sömelin
27
rijit olduğu varsayılırsa, bu durumda yukarıdaki koĢullar için Ģimdiye kadar açıklanan metotların tümünün (YRM, YM ve RM) sonuçları birbirine uygun düĢer.
a) Zemin modeli ve temel yüklemesi
b) Es modülünün derinlikle değiĢimi
ġekil 5.4 : Repnikov’a göre rijitlik modülü ile yatak modülü metodlarının karıĢımı Temel zemini rijitlik modülünün düĢey gerilmelere bağlı olması ne deniyle, rijitlik modülü temel tabanı düzeyinde çoğunlukla belirli bir baĢlangıç değerine sahiptir ve bu değer derinlikle artar. Buradan sağlıklı bir taban basıncı dağılımının yatak modülü ile rijitlik modülü metotlarının sonuçları arasında bulunması gerektiği sonucu çıkarılır.
Bu düĢünceden hareket edilerek Ģimdilik hesap metotlarının geliĢtirilmesinde sonuncu durum olarak Repnikov ve Schultze tarafından yatak modülü ile rijitlik modülü karıĢımı önerilmiĢtir. Burada temel zemini modeli olarak aralara düĢey ve serbest hareket edebilir yaylar ek lenmiĢ elastik izotrop yarı uzay seçilmiĢtir (ġekil 5.4). Böylece temel kiriĢinin yükü eĢit büyüklükte oturmalar etkisindeki yaylar ile yarı uzay arasında paylaĢtırılmaktadır. Bundan sonra yarı uzaya düĢen yük için taban basıncı dağılımı hesabı aynen rijitlik modülü metodunda olduğu gibi yapılır. Hesabın bu bölümünde rijitlik modülü metoduna ait tablolardan yararlanılabilir. Bununla birlikte yükün paylaĢtırılması ile ilgili hesapların tümü elle yapılmak zorundadır. (d) Elastik Zemine Oturan Plaklar Ġçin Parametreler Elastik zemine oturan kiriĢ ve plak problemlerinin çözümünde matematiksel formülasyonu kolaylaĢtırmak için değiĢik kabuller yapılmaktadır. Winkler modelinde zeminin birbirine komĢu olan
28
noktalarında herhangi bir etkileĢimin söz konusu olmadığı kabul edilmektedir. Diğer bir ifadeyle, zemin aralarında etkileĢim olmayan bir seri yaylarla temsil edilmektedir. Winkler modelinde yapılan ve gerçekçi olmayan bu kabule rağmen, söz konusu yöntem uygulamadaki basitliği nedeniyle halâ kullanılmaktadır. Yöntemi kullanmadaki esas sorun, zemin modülü olarak tanımlanan yay katsayısının, k, ampirik bağıntılardan elde edilmesidir. Aynı zamanda model her ne kadar tekil yük durumunda tatminkâr sonuç verse de yayılı yük durumunda gerçekçi olmayan sonuçlara götürmektedir. Bununla birlikte zemin modülü k’nın doğru değerini bilmeden hesaplanan yer değiĢtirmelerde, eğilme momentlerinde ve kesme kuvvetlerinde yapılan hata oranını da hesaplamak mümkün olmamaktadır. 5.4.1 Ġki parametreli model ve sayısal modelleme
Ġki parametreli modelde eğilme rijitliği D olan bir plağa ait yük-yer değiĢtirme iliĢkisi,
4 2
2
D w t w kw q (5.1)
Ģeklinde yazılabilir. Burada q plak üzerindeki yayılı yükü, k zemin modülünü, 2t ise Winkler modelinde ihmal edilen yaylar arasındaki kesme deformasyonunu temsil eden zemin parametresini göstermektedir. Diğer bir ifadeyle 2t sıfıra eĢit alındığında Winkler modeline ait denklem elde edilmektedir. Bu iki zemin parametresini hesaplayabilmek için Vlasov ve Leont’ev elastik zemin derinliğince düĢey deplasman profilini temsil eden diğer bir parametre, , tanımlamıĢlardır. Bu yaklaĢımın avantajı zemin modülü k ile yaylar arası etkileĢimi temsil eden 2t’nin zemin ve plağın geometrisi ve malzeme özelliklerine bağlı olarak hesaplanmasıdır. Düzlem Ģekil değiĢtirme durumu olan elastik zemine oturan plak probleminin çözümü için, zeminin herhangi bir noktasındaki deplasman Vlasov ve Leont’ev tarafından aĢağıdaki gibi tanımlanmıĢtır:
( , , ) 0
( , , ) ( , ) ( ) u x y z
w x y z w x y z (5.2) burada Ø(z) zemin yüzeyinden kaya tabakaya doğru yer değiĢtirmenin değiĢimini göstermektedir ve aĢağıdaki gibi ifade edilmektedir.
29 sinh (1 ) ( ) sinh z H z (5.3) 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 1 2 2 1 ( , ) s s w x y w x y dxdy x y H w x y dxdy (5.4)
Yukarıdaki ifadelerde H zemin derinliği ve vs poisson oranıdır. ise yukarıda tanımlandığı üzere plak ve elastik zeminin yer değiĢtirmesine bağlıdır. (5.1) denklemindeki, k ve 2t, 2 0 (1 ) (1 )(1 2 ) H s s s s E d k dz dz (5.5) 2 0 2 2(1 ) H s s E t dz (5.6)
olarak verilebilir, burada Es zeminin elastisite modülünü göstermektedir.
Kalınlığı sabit olan bir plak için karakteristik uzunluk olarak yeni bir parametre, r, tanımlanabilir. 4 s DH r E (5.7)
Buna göre plağın koordinat eksenleri ve yer değiĢtirmesi boyutsuz o larak
, , ,
x y z w
X Y Z W
r r r r (5.8)
Ģeklinde yazılabilir.
Bu eĢitlikler (5.1) ile verilen denklemde yerine yazılırsa, alan denklemi
4 2
2 v
W T W K W Q (5.9)
olarak yazılabilir. Burada Kv, Vlasov modeli için boyutsuz zemin modülü, 2T ise yaylar arası etkileĢimi temsil eden boyutsuz parametrelerdir:
30 4 2 2 , 2 v kr tr K T D D (5.10)
Boyutsuz düzgün yayılı yük terimi ise 3
qr Q
D (5.11)
Ģeklinde yazılabilir. (5.9) denkleminde 4
ve 2 sırasıyla biharmonik ve Laplace operatörleridir ve türevlerin yeni koordinat sistemine, X ve Y, göre alınması gerekmektedir. Yukarıdaki denklemlerde kısa kenarı 2a, uzun kenarı 2b olan dikdörtgen plağın boyutları iĢleme girmemektedir. Plağın boyutlarını da iĢleme katmak için yeni bir boyutsuz parametre, 2a/r, tanımlanabilir.
Burada açıklanan, elastik zemine oturan plak problemini çözmek üzere sonlu farklar veya sonlu elemanlar modellerinden biri kullanılabilir. Yeterli eleman sayısı kullanıldığı sürece her iki yöntemin de aynı sonucu vereceği aĢikârdır. Bu çalıĢmada sonlu elemanlar yöntemi tercih edilmiĢtir.
Sonlu elemanlar modelinde plağı temsil eden eleman rijitlik matrisi, [kp], yanında zemindeki eksenel deformasyonları temsil eden rijitlik matrisi, [kk], ve zemindeki kesme deformasyonlarını temsil eden [k2t] matrisleri elde edilmiĢtir. Standart sonlu elemanlar modelleme iĢlemlerini takip ederek eleman rijitlik matrislerini toplamak suretiyle global rijitlik matrisi elde edilir. [K], global rijitlik matrisini göstermek üzere aĢağıdaki ifade yazılabilir.
2 1 ne p k t i K k k k (5.12)
Burada ne sonlu eleman modellemesindeki toplam plak eleman sayısını göstermektedir. Sonuç denklem sistemi aĢağıdaki gibi yazılabilir.
K W F (5.13) Bu ifadede {W} ve {F} sırasıyla global deplasman ve yük vektörleridir. (5.13) denklemini çözebilmek için sınır Ģartlarını uygulamak gerekmektedir.
