Sağlıklı hesap metotları a) Yatak modülü metodu (YM ):

Deforme olabilen bir temel zemini üzerindeki fleksibl temel kiriĢinin (veya plak Ģeridi) hesabı için en eski metot yatak katsayısı metodu olarak bilinmektedir. Bu metotta taban basıncı dağılımının temel kiriĢinin oturmaları ile orantılı olduğu varsayılır (ġekil 5.2). Orantı faktörü ks olarak gösterilir. Yatak modülü saf bir ze min değeri olmayıp, aynı zamanda temelin boyutlarına bağlıdır. Bu yüzden yatak modülü bulunurken zeminden baĢka, temel taban boyutlarının da bilinmesi gerekir.

25

ġekil 5.2 : Yatak modülü metodu

Burada temel zemininin birbirinden bağımsız sıkıĢabilen yaylardan oluĢan bir sistem gibi davrandığı varsayılmıĢtır. Böylece her yay payına düĢen taban basıncı tarafından sıkıĢtırılmaktadır. KomĢu taban basınçlarının etkisi bu metotta göz önüne alınmamıĢtır. Bu konu yatak modülü metodunun en belirgin ek sikliği olarak nitelendirilir.

Pratikte kullanılmak üzere yatak modülü esas alınarak düzenlenen tablolar mevcuttur. Bu hazır tablolarla sabit ve değiĢken yatak katsayısı için fleksibl kiriĢ ve plak Ģeritlerinin taban basıncı, oturması, eğilme momenti ve kesme kuvveti değiĢik yük durumlarına bağlı olarak bulunabilir. Rijit temeller için yatak modülü metodundan elde edilen sonuçlarla, gerilme yamuğu metodundan elde edilen sonuçlar birbirine uyumludur. Demek, gerilme yamuğu metodu; yatak modülü metodunda, temelin tam rijit olması özel durumuna karĢılık olur.

b) Rijitlik modülü metodu (RM ):

Rijitlik modülü metodunda hem temel kiriĢinin (veya plak Ģeridinin) deformasyonları hem de temel zemininin oturmaları, temel kiriĢinin eğilme eğrisi ile zeminin oturma eğrisi birbirine çakıĢacak biçimde göz önüne alınmaktadır (ġekil 5.3).

Burada yatak modülü metodundan farklı olarak, yatak yayları arasında “bağ” bulunduğu varsayıldığından, bir noktada oluĢan taban basıncının baĢka bir noktada da oturmaya neden olduğu göz önüne alınır.

26

ġekil 5.3 : Rijitlik modülü metodu

Rijitlik modülü metotlarının tümü ilk kez Ohde tarafından öne sürülen aynı ana düĢünceler üzerine kurulmuĢtur. Yapı sistemi ve temel zemininin her ikisi de elastisite teorisine göre hesaplanır. Ġlk olarak çubuk sistem statiği metotlarından yararlanılır. Temel zeminine “sürekli ortam” gözüyle bakılır ve elastik izotrop yarı uzay yerine geçer. Oturmalar Steinbrenner yöntemine göre hesaplanır. Steinbrenner tarafından dikdörtgen alanlar üzerinde bulunan alan yük leri altındaki oturmalar için formül ve abaklar verilmiĢtir.

Her ne kadar Es rijitlik modülü zemindeki düĢey gerilmeye bağlı olarak değiĢirse de, hesaplarda kolaylık sağlamak için sabit olarak alınır. Bu metodun pratikte kolay uygulanabilmesi için çeĢitli yazarlar tarafından tablo ve abaklar düzenlenmiĢtir. Bunlardan en önemlileri Grasshoff, Kany ve Sherif/König tarafından düzenlenen tablo ve abaklardır.

c) Yatak modülü ile rijitlik modülü metotlarının karıĢımı (YRM ):

Rijitlik modülü metodunda sabit rijitlik modülünün kullanılması gerçek verilere uygun olmadığından, bundan bulunan gerilme ve deformasyonların gerçektekinden daima sapma göstereceği doğaldır. Bunun üzerine Schultze yaptığı araĢtırmalarda rijitlik modülünün derinliğe bağlı olarak önemli ölçüde değiĢtiğini göstermiĢtir. Ay- rıca Gibson hacmi değiĢmeyen bir cisim için (Poisson oranı =0,5 için) temel tabanı düzeyinde sıfırdan baĢlayan ve derinlikle doğrusal artan rijitlik modülünün sabit yatak katsayısı yerine geçeceğini ispatlamıĢtır. Bu sonuncu (YM ile RM karıĢımı) metotta yatak modülü doğru seçilirse, sabit rijitlik modülüne sahip elastik- izotrop yarı uzay için rijitlik modülü ve yatak modülü metotları aynı çözümü verir. Sömelin

27

rijit olduğu varsayılırsa, bu durumda yukarıdaki koĢullar için Ģimdiye kadar açıklanan metotların tümünün (YRM, YM ve RM) sonuçları birbirine uygun düĢer.

a) Zemin modeli ve temel yüklemesi

b) Es modülünün derinlikle değiĢimi

ġekil 5.4 : Repnikov’a göre rijitlik modülü ile yatak modülü metodlarının karıĢımı Temel zemini rijitlik modülünün düĢey gerilmelere bağlı olması ne deniyle, rijitlik modülü temel tabanı düzeyinde çoğunlukla belirli bir baĢlangıç değerine sahiptir ve bu değer derinlikle artar. Buradan sağlıklı bir taban basıncı dağılımının yatak modülü ile rijitlik modülü metotlarının sonuçları arasında bulunması gerektiği sonucu çıkarılır.

Bu düĢünceden hareket edilerek Ģimdilik hesap metotlarının geliĢtirilmesinde sonuncu durum olarak Repnikov ve Schultze tarafından yatak modülü ile rijitlik modülü karıĢımı önerilmiĢtir. Burada temel zemini modeli olarak aralara düĢey ve serbest hareket edebilir yaylar ek lenmiĢ elastik izotrop yarı uzay seçilmiĢtir (ġekil 5.4). Böylece temel kiriĢinin yükü eĢit büyüklükte oturmalar etkisindeki yaylar ile yarı uzay arasında paylaĢtırılmaktadır. Bundan sonra yarı uzaya düĢen yük için taban basıncı dağılımı hesabı aynen rijitlik modülü metodunda olduğu gibi yapılır. Hesabın bu bölümünde rijitlik modülü metoduna ait tablolardan yararlanılabilir. Bununla birlikte yükün paylaĢtırılması ile ilgili hesapların tümü elle yapılmak zorundadır. (d) Elastik Zemine Oturan Plaklar Ġçin Parametreler Elastik zemine oturan kiriĢ ve plak problemlerinin çözümünde matematiksel formülasyonu kolaylaĢtırmak için değiĢik kabuller yapılmaktadır. Winkler modelinde zeminin birbirine komĢu olan

28

noktalarında herhangi bir etkileĢimin söz konusu olmadığı kabul edilmektedir. Diğer bir ifadeyle, zemin aralarında etkileĢim olmayan bir seri yaylarla temsil edilmektedir. Winkler modelinde yapılan ve gerçekçi olmayan bu kabule rağmen, söz konusu yöntem uygulamadaki basitliği nedeniyle halâ kullanılmaktadır. Yöntemi kullanmadaki esas sorun, zemin modülü olarak tanımlanan yay katsayısının, k, ampirik bağıntılardan elde edilmesidir. Aynı zamanda model her ne kadar tekil yük durumunda tatminkâr sonuç verse de yayılı yük durumunda gerçekçi olmayan sonuçlara götürmektedir. Bununla birlikte zemin modülü k’nın doğru değerini bilmeden hesaplanan yer değiĢtirmelerde, eğilme momentlerinde ve kesme kuvvetlerinde yapılan hata oranını da hesaplamak mümkün olmamaktadır. 5.4.1 Ġki parametreli model ve sayısal modelleme

Ġki parametreli modelde eğilme rijitliği D olan bir plağa ait yük-yer değiĢtirme iliĢkisi,

4 2

2

D w t w kw q (5.1)

Ģeklinde yazılabilir. Burada q plak üzerindeki yayılı yükü, k zemin modülünü, 2t ise Winkler modelinde ihmal edilen yaylar arasındaki kesme deformasyonunu temsil eden zemin parametresini göstermektedir. Diğer bir ifadeyle 2t sıfıra eĢit alındığında Winkler modeline ait denklem elde edilmektedir. Bu iki zemin parametresini hesaplayabilmek için Vlasov ve Leont’ev elastik zemin derinliğince düĢey deplasman profilini temsil eden diğer bir parametre, , tanımlamıĢlardır. Bu yaklaĢımın avantajı zemin modülü k ile yaylar arası etkileĢimi temsil eden 2t’nin zemin ve plağın geometrisi ve malzeme özelliklerine bağlı olarak hesaplanmasıdır. Düzlem Ģekil değiĢtirme durumu olan elastik zemine oturan plak probleminin çözümü için, zeminin herhangi bir noktasındaki deplasman Vlasov ve Leont’ev tarafından aĢağıdaki gibi tanımlanmıĢtır:

( , , ) 0

( , , ) ( , ) ( ) u x y z

w x y z w x y z (5.2) burada Ø(z) zemin yüzeyinden kaya tabakaya doğru yer değiĢtirmenin değiĢimini göstermektedir ve aĢağıdaki gibi ifade edilmektedir.

29 sinh (1 ) ( ) sinh z H z (5.3) 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 1 2 2 1 ( , ) s s w x y w x y dxdy x y H w x y dxdy (5.4)

Yukarıdaki ifadelerde H zemin derinliği ve vs poisson oranıdır. ise yukarıda tanımlandığı üzere plak ve elastik zeminin yer değiĢtirmesine bağlıdır. (5.1) denklemindeki, k ve 2t, 2 0 (1 ) (1 )(1 2 ) H s s s s E d k dz dz (5.5) 2 0 2 2(1 ) H s s E t dz (5.6)

olarak verilebilir, burada Es zeminin elastisite modülünü göstermektedir.

Kalınlığı sabit olan bir plak için karakteristik uzunluk olarak yeni bir parametre, r, tanımlanabilir. 4 s DH r E (5.7)

Buna göre plağın koordinat eksenleri ve yer değiĢtirmesi boyutsuz o larak

, , ,

x y z w

X Y Z W

r r r r (5.8)

Ģeklinde yazılabilir.

Bu eĢitlikler (5.1) ile verilen denklemde yerine yazılırsa, alan denklemi

4 2

2 v

W T W K W Q (5.9)

olarak yazılabilir. Burada Kv, Vlasov modeli için boyutsuz zemin modülü, 2T ise yaylar arası etkileĢimi temsil eden boyutsuz parametrelerdir:

30 4 2 2 , 2 v kr tr K T D D (5.10)

Boyutsuz düzgün yayılı yük terimi ise 3

qr Q

D (5.11)

Ģeklinde yazılabilir. (5.9) denkleminde 4

ve 2 sırasıyla biharmonik ve Laplace operatörleridir ve türevlerin yeni koordinat sistemine, X ve Y, göre alınması gerekmektedir. Yukarıdaki denklemlerde kısa kenarı 2a, uzun kenarı 2b olan dikdörtgen plağın boyutları iĢleme girmemektedir. Plağın boyutlarını da iĢleme katmak için yeni bir boyutsuz parametre, 2a/r, tanımlanabilir.

Burada açıklanan, elastik zemine oturan plak problemini çözmek üzere sonlu farklar veya sonlu elemanlar modellerinden biri kullanılabilir. Yeterli eleman sayısı kullanıldığı sürece her iki yöntemin de aynı sonucu vereceği aĢikârdır. Bu çalıĢmada sonlu elemanlar yöntemi tercih edilmiĢtir.

Sonlu elemanlar modelinde plağı temsil eden eleman rijitlik matrisi, [kp], yanında zemindeki eksenel deformasyonları temsil eden rijitlik matrisi, [kk], ve zemindeki kesme deformasyonlarını temsil eden [k2t] matrisleri elde edilmiĢtir. Standart sonlu elemanlar modelleme iĢlemlerini takip ederek eleman rijitlik matrislerini toplamak suretiyle global rijitlik matrisi elde edilir. [K], global rijitlik matrisini göstermek üzere aĢağıdaki ifade yazılabilir.

2 1 ne p k t i K k k k (5.12)

Burada ne sonlu eleman modellemesindeki toplam plak eleman sayısını göstermektedir. Sonuç denklem sistemi aĢağıdaki gibi yazılabilir.

K W F (5.13) Bu ifadede {W} ve {F} sırasıyla global deplasman ve yük vektörleridir. (5.13) denklemini çözebilmek için sınır Ģartlarını uygulamak gerekmektedir.

31

Sınır Ģartı olarak plağın etrafındaki elastik zeminin plak kenarlarına olan etkisi dikkate alınmaktadır.

Bu amaçla, plağı çevreleyen zeminin etkisi eĢdeğer reaksiyon kuvvetleri olarak hesaplanmıĢ ve plak kenarlarına etkittirilmiĢtir.

Vlasov modelindeki boyutsuz zemin parametresi Kv’den Winkler modelinde kullanılan boyutsuz zemin modülü Kw’nin elde ediliĢi aĢağıdaki Ģekilde özetlenebilir. Plağın deplasmanları Vlasov modeliyle elde edilerek (5.10) denklemi yardımıyla zemin modülü Kv ve yük altındaki maksimum deplasman hesaplanmıĢtır. Elde edilen Kv değeri kullanılarak aynı plağın Winkler yöntemiyle analizi yapılmıĢ ve yük altındaki maksimum deplasman değeri hesaplanmıĢtır. Her iki yöntemden elde edilen maksimum deplasman değerlerinin oranı belirlenmiĢ ve Vlasov modelinden elde edilen zemin modülü Kv bu değerle çarpılmıĢtır. Yeni bulunan değer kullanılarak plak Winkler modeli ile yeniden analiz edilmiĢtir. Bu adımda elde edilen yer değiĢtirme değeri Vlasov modeliyle elde edilen değere daha yakın olacaktır. Maksimum yer değiĢtirmeler arasındaki oran bir kez daha hesaplanarak zemin modülü Kv yeni oranla çarpılmıĢtır. Aynı iĢleme Vlasov ve Winkler modellerinden elde edilen maksimum yer değiĢtirme değerleri arasındaki fark sıfıra yaklaĢana kadar devam edilmiĢtir.

Herhangi bir elastik zemine oturan plak problemine ait r değeri (5.7) denklemiyle hesaplanır. H/r oranı belirlenip yükleme durumuna göre Winkler modelinde kullanılabilecek olan boyutsuz zemin modülü, Kw, aĢağıdaki bağıntılar yardımıyla hesaplanabilir. 2 0.7409 0.2997 0.0471 w H H K r r (5.14) 2 0.2232 1.6875 0.1152 w H H K r r (5.15) 2 2.4425 5.1822 0.2718 w H H K r r (5.16)

32

Kw değeri tekil yük plağın merkezinde ise (5.14) denklemi kullanılarak, yük plağın kenar ortasında ise (5.15) denklemi yardımıyla ve yük plağın köĢesinde ise (5.16) denklemi ile hesaplanır.

Daha sonra Winkler yönteminde kullanılacak zemin modülü

4

w K D k

r (5.17)

ifadesi ile belirlenir. Elde edilen k değeri kullanılarak elastik zemine oturan plağın deplasmanları ve iç kuvvetleri Winkler yöntemi ile ve pratik açıdan yeterli hassasiyetle hesaplanabilir.

33