Eksik Veri İçin Yüksek Çözünürlüklü Radar Görüntüleme

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Salim ÇOPUROĞLU

Anabilim Dalı : Elektronik ve Haberleşme

Programı : Telekomünikasyon Mühendisliği

HAZĐRAN 2009

EKSĐK VERĐ ĐÇĐN YÜKSEK ÇÖZÜNÜRLÜKLÜ RADAR GÖRÜNTÜLEME

HAZĐRAN 2009

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ



FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Salim ÇOPUROĞLU

(504051330)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 04 Mayıs 2009 Tezin Savunulduğu Tarih : 02 Haziran 2009

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Işın ERER (ĐTÜ)

Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Cankut ÖRMECĐ (ĐTÜ) Prof. Dr. Tayfun GÜNEL (ĐTÜ)

EKSĐK VERĐ ĐÇĐN YÜKSEK ÇÖZÜNÜRLÜKLÜ RADAR GÖRÜNTÜLEME

ÖNSÖZ

Tezimin hazırlanması sırasında bana değerli vaktini ayırarak bilgi ve tecrübesiyle aydınlatan Sayın Doç.Dr. Işın ERER’e ve çalışmam boyunca bana yardımcı olan Sayın Araş.Gör. Özgür GÜLTEKĐN’e gönülden teşekkürü bir borç bilirim.

Öğrenim hayatım boyunca maddi ve manevi desteğini hep yanımda hissettiğim aileme de sevgilerimi sunarım.

Haziran 2009 Salim Çopuroğlu

ĐÇĐNDEKĐLER

Sayfa

ÖNSÖZ ... iii

ĐÇĐNDEKĐLER...v

KISALTMALAR...vii

ÇĐZELGE LĐSTESĐ ...ix

ŞEKĐL LĐSTESĐ ...xi

ÖZET ... xiii

SUMMARY...xv

1. GĐRĐŞ...1

1.1 Yapay Açıklıklı Radarlar...1

1.2 Görüntü Oluşturma ...3

1.3 Eksik Veri Problemi ...3

2. YÜKSEK ÇÖZÜNÜRLÜKLÜ ISAR GÖRÜNTÜLEME ...5

2.1 Fourier Dönüşüm Tabanlı Görüntüleme Yöntemi...5

2.1.1 Veri toplama ...5

2.1.2 Menzil Profili ...6

2.1.3 Görüntünün Elde Edilmesi ...9

3. SPEKTRAL KESTĐRĐM YÖNTEMLERĐ ...11

3.1 Özbağlanımlı (AR) Modelleme ...11

3.2 APES ...15

3.2.1 Formülasyon ...15

3.2.2 Đleri Yönde APES ...16

3.2.3 Đleri ve Geri Yönde Ortalama ...18

3.2.4 Hızlı Gerçekleme...21

4. BOŞLUK DOLDURMA YÖNTEMLERĐ...23

4.1 AR Modelleme Tabanlı Boşluk Doldurma...23

4.1.1 Doğrusal öngörü ...23

4.1.2 Burg yöntemi ...27

4.2 GAPES Yöntemi...29

4.2.1 APES ile başlangıç kestirimi ...29

4.2.2 GAPES ile boşluk doldurma ...31

4.3 LSL Yöntemi ...33

4.3.1 Öngörü katsayılarının kestirimi...33

4.3.2 Öngörü filtresinin kararlı hale getirilmesi ...36

4.4 Veride Bulunan Boşluğun Doğrusal Öngörü ile Doldurulması...36

4.5 Uygulama...38

4.5.1 MĐG-25 benzetimi üzerinde uygulama...38

4.5.1.1 Veride bir boşluk olması durumu 39

4.5.1.2 Veride iki ayrı boşluk olması durumu 47

4.5.2 B727 benzetimi üzerinde uygulama ...54

4.5.2.1 Veride bir boşluk olması durumu 55

4.5.2.2 Veride iki ayrı boşluk olması durumu 59

5. SONUÇ VE ÖNERĐLER ...65 KAYNAKLAR ...67 ÖZGEÇMĐŞ ...69

KISALTMALAR

AFD : Ayrık Fourier Dönüşüm

APES : Genlik ve Faz Kestirimi (Amplitude and Phase Estimation) AR : Özbağlanımlı (Autoregressive)

ARMA : Özbağlanımlı Hareketli Ortalamalı (Autoregressive Moving Average)

dk : Dakika

FIR : Sonlu Đmpuls Cevaplı (Finite Impuls Response)

GHz : Gigahertz

GAPES : Eksik Veri Genlik ve Faz Kestirimi (Gapped-data Amplitude and Phase Estimation)

ISAR : Ters Yapay Açıklıklı Radar (Inverse Synthetic Aperture Radar)

kHz : Kilohertz

LS : En Küçük Kareler

LSL : En Küçük Kareler Kafes

MA : Hareketli Ortalamalı (Moving Average)

MHz : Megahertz

MSE : Ortalama Karesel Hata (Mean Squared Error) SAR : Yapay Açıklıklı Radar (Synthetic Aperture Radar)

sn : Saniye

SNR : Đşaret Gürültü Oranı (Signal to Noise Ratio) WSS : Geniş Anlamda Durağan (Wide Sense Stationary)

1-B : Bir Boyutlu

ÇĐZELGE LĐSTESĐ

Sayfa Çizelge 4.1 : Bir boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin MSE değerleri. ...43 Çizelge 4.2 : Bir boşluk içeren veriden görüntü elde edilmesi için gereken süreler .44 Çizelge 4.3 : Đki boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin MSE değerleri. ...50 Çizelge 4.4 : Satır ve sütunlarında boşluk bulunan veriye uygulanan yöntemlerin

MSE değerleri...54 Çizelge 4.5 : Satır ve sütunlarda boşluk içeren veriden görüntü elde edilmesi için

gereken süreler. ...54 Çizelge 4.6 : Bir boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin MSE değerleri. ...59 Çizelge 4.7 : Bir boşluk içeren veriden görüntü elde edilmesi için gereken süreler .59 Çizelge 4.8 : Đki boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin MSE değerleri. ...63

ŞEKĐL LĐSTESĐ

Sayfa

Şekil 1.1 : SAR sistemi: radar hareketli, hedef sabit. ...2

Şekil 1.2 : ISAR sistemi: hedef hareketli, radar sabit. ...2

Şekil 2.1 : Veri oluşturulması için gönderilen radar darbeleri...6

Şekil 2.2 : ISAR görüntüleme geometrisi ...7

Şekil 2.3 : Hedef üzerindeki saçıcıların koordinat ekseninde gösterimi...7

Şekil 2.4 : Doğrudan 2-B ters Fourier dönüşüm ile elde edilen ISAR görüntüsü...10

Şekil 2.5 : Verinin pencerelenmesinin ardından 2-B ters Fourier dönüşümü ile elde dönüşümü ile elde edilen ISAR görüntüsü...10

Şekil 3.1 : AR(p) sürecin tüm kutup bir süzgeç çıkışı olarak gösterimi. ...12

Şekil 4.1 : Đleri yönde öngörü filtre yapısı. ...24

Şekil 4.2 : Đleri yönde öngörü hata filtresi. ...24

Şekil 4.3 : Geri yönde öngörü filtre yapısı...26

Şekil 4.4 : Geri yönde öngörü hata filtresi. ...26

Şekil 4.5 : Đleri ve geri yönde öngörü ile kestirilen örnekler. ...26

Şekil 4.6 : Kafes yapısının bir basamağı...34

Şekil 4.7 : p. derece kafes yapısı blok gösterimi...34

Şekil 4.8 : 1-B veri üzerinde bulunan boşluk ve mümkün olan örnekler...37

Şekil 4.9 : MĐG-25 savaş uçağı...38

Şekil 4.10 : Eksiksiz veriden elde edilen ISAR görüntüsü. ...39

Şekil 4.11 : Radar verisi üzerinde eksik veri içeren sütunlar...40

Şekil 4.12 : Bir boşluk içeren eksik veriden elde edilen MĐG-25 görüntüsü...41

Şekil 4.13 : Bir boşluk içeren veriden GAPES yöntemi ile elde edilen MĐG-25 görüntüsü... ...42

Şekil 4.14 : Bir boşluk içeren veriden Burg yöntemi ile elde edilen MĐG-25 görüntüsü... ...42

Şekil 4.15 : Bir boşluk içeren veriden LSL yöntemi ile elde edilen MĐG-25 görüntüsü... ...43

Şekil 4.16 : Bir boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin farklı SNR oranlarına karşı MSE değerleri...43

Şekil 4.17 : Boşluğun 41-50 sütunlar arasında olduğu durumda elde edilen sonuçlar. ...45

Şekil 4.18 : Boşluğun 31-50 sütunlar arasında olduğu durumda elde edilen sonuçlar. ...46

Şekil 4.19 : Radar verisi üzerinde eksik veri içeren sütunlar...47

Şekil 4.20 : Đki boşluk içeren eksik veriden elde edilen görüntü... ...48

Şekil 4.21 : Đki boşluk içeren veriden GAPES yöntemi ile elde edilen görüntü...48

Şekil 4.22 : Đki boşluk içeren veriden Burg yöntemi ile elde edilen görüntü. ...49

Şekil 4.23 : Đki boşluk içeren veriden LSL yöntemi ile elde edilen görüntü. ...49

Şekil 4.24 : Đki boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin farklı SNR oranlarına karşı MSE değerleri...50

Şekil 4.25 : Radar verisi üzerinde eksik veri içeren satır ve sütunlar. ...51

Şekil 4.27 : Satır ve sütunlarda boşluk içeren veriden GAPES yöntemi ile

elde edilen görüntü. ...52

Şekil 4.28 : Satır ve sütunlarda boşluk içeren veriden Burg yöntemi ile elde edilen görüntü. ...52

Şekil 4.29 : Satır ve sütunlarda boşluk içeren veriden LSL yöntemi ile elde edilen görüntü. ...53

Şekil 4.30 : Satır ve sütunlarda boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin farklı SNR oranlarına karşı MSE değerleri. ...53

Şekil 4.31 : B727 jet uçağı. ...54

Şekil 4.32 : Eksiksiz siz veriden elde edilen B727 görüntüsü. ...55

Şekil 4.33 : Radar verisi üzerinde boşluğun yeri. ...55

Şekil 4.34 : Bir boşluk içeren eksik veriden elde edilen B727 görüntüsü. ...56

Şekil 4.35 : Bir boşluk içeren veriden GAPES yöntemi ile elde edilen B727 görüntüsü...57

Şekil 4.36 : Bir boşluk içeren veriden Burg yöntemi ile elde edilen B727 görüntüsü...57

Şekil 4.37 : Bir boşluk içeren veriden LSL yöntemi ile elde edilen B727 görüntüsü...58

Şekil 4.38 : Bir boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin farklı SNR oranlarına karşı MSE değerleri. ...58

Şekil 4.39 : Radar verisi üzerinde eksik veri içeren sütunlar. ...60

Şekil 4.40 : Đki boşluk içeren eksik veriden elde edilen B727 görüntüsü.... ...60

Şekil 4.41 : Đki boşluk içeren veriden GAPES yöntemi ile elde edilen B727 görüntüsü...61

Şekil 4.42 : Đki boşluk içeren veriden Burg yöntemi ile elde edilen B727 görüntüsü...61

Şekil 4.43 : Đki boşluk içeren veriden LSL yöntemi ile elde edilen B727 görüntüsü...62

Şekil 4.44 : Đki boşluk içeren veriye uygulanan yöntemlerin farklı SNR oranlarına karşı MSE değerleri. ...62

EKSĐK VERĐ ĐÇĐN YÜKSEK ÇÖZÜNÜRLÜKLÜ RADAR GÖRÜNTÜLEME ÖZET

Radar teknolojilerindeki gelişmelere paralel olarak, hedef hız ve konum bilgilerinin yanında, görüntülerinin de elde edilebildiği yüksek çözünürlüklü radarlar geliştirilmiştir. Klasik radarlarda, çapraz menzil çözünürlüğü, küçük demet genişliği ile dolayısıyla büyük boyutlarda antenler ile sağlanmaktadır. Yapay açıklıklı radarlar olarak isimlendirilen yüksek çözünürlüklü radarlarda ise, hedef ile anten arasındaki göreceli hızdan faydalanılarak elde edilen yapay açıklık sayesinde anten boyutunu artırmadan çapraz menzil çözünürlüğü artırılabilmektedir.

Radar anteninden yayımlanan darbelerin hedef üzerindeki saçıcı noktalardan geri saçılması ve bu geri saçılan darbelerin radar tarafından algılanarak işlenmesi sonucu hedef görüntüsü elde edilmektedir. Elde edilen veriden, radar görüntüsü oluşturulması için literatürde farklı yöntemler önerilmiştir. Bu yöntemler; Fourier dönüşüm tabanlı yöntemler ve parametrik modelleme tabanlı yöntemler olarak iki ana başlık altında toplanabilir.

Matematiksel kolaylığı ve gürbüzlüğü nedeni ile tercih edilen Fourier dönüşüm tabanlı yöntemlerde, ölçülen verinin sınırlı olması nedeniyle, düşük çözünürlük ve doğruluk problemi oluşmaktadır. Parametrik modelleme tabanlı yöntemlerin çözünürlüğü ve doğruluğu genelde daha iyidir. Ancak bu yöntemler de, matematiksel zorluklarının yanında, model ve model derecesi seçimine karşı duyarlıdırlar.

Görüntü oluşturma için geliştirilen yöntemlerin çoğu, eksiksiz ve düzgün örneklenmiş veri için kullanılmaktadır. Oysaki uygulamada bu her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman, çevresel koşullar, girişim, boğma gibi nedenlerle radar verisinde eksik örnekler bulunmaktadır. Elde edilen veride eksik örneklerin bulunması, görüntüde yalancı tepecikler ve istenmeyen yan loplar oluşmasına neden olmaktadır.

Bu çalışmada, eksik veriden yüksek çözünürlüklü görüntü elde edilmesi maksadıyla, boşluk doldurma yöntemleri incelenmiş, bu yöntemler ile elde edilen veriden Fourier dönüşüm tabanlı yöntem ile görüntü oluşturulmuştur.

AR modelleme tabanlı kestirim yöntemlerinden Burg yönteminde, ileri ve geri yönde öngörü hata güçlerinin ortalamasını minimize ederek bir yansıma katsayısı elde edilmekte, ardından bu yansıma katsayısından ileri ve geri yönde öngörü katsayıları elde edilmektedir. Elde edilen katsayılar veri üzerindeki boşluğun doğrusal öngörü ile doldurulmasında kullanılmaktadır.

GAPES yöntemi, yakın geçmişte APES spektral kestirim yönteminden, eksik veri durumu için geliştirilen bir yöntemdir. Yöntem, mümkün olan veriden APES yöntemi ile spektral kestirim yapmakta, daha sonra eksik verinin de aynı spektral içeriğe sahip olduğu varsayımı ile eksik örnekleri kestirmektedir. Bu yöntemin doğruluk ve çözünürlük açısından performansı oldukça iyidir. Ancak işlem yoğunluğunun fazla olması nedeniyle, çok yavaş çalışan bir algoritmadır.

Bu çalışmada, boşluk doldurma için yeni yöntem olarak En Küçük Kareler Kafes Yapısı önerilmiştir. Bu yöntemde, ileri ve geri yönde öngörü hata güçlerinin ayrı ayrı minimizasyonundan, iki ayrı yansıma katsayısı dolayısıyla da birbirinden bağımsız ileri ve geri yönde öngörü katsayıları elde edilmektedir. Elde edilen öngörü katsayları, doğrusal öngörüde kullanılarak, radar verisinde bulunan boşluklar doldurulmaktadır. Önerilen yöntemin avantajları, öncelikle matematiksel kolaylığı nedeniyle işlem süresinin kısa olması ve boşluk doldurma yöntemi olarak kullanıldığında yeterli performansı sağlamasıdır.

Bahsedilen yöntemlerin performansları, ISAR benzetim verisi üzerinde uygulamalar yapılarak karşılaştırılmıştır.

HIGH RESOLUTION RADAR IMAGING FOR GAPPED DATA SUMMARY

In parallel to advances in radar technology, high-resolution radars have been developed, through which the image of the target can also be obtained, besides the velocity and position information. In classical radars, cross-range resolution is provided with small beam width; therefore it requires large sized antennas. However, in the high-resolution radars called Synthetic Aperture Radars, cross-range resolution can be increased without increasing the size of the antenna thanks to the synthetic aperture obtained via the relative velocity between the antenna and the target.

Target’s image is obtained as a result of detecting and processing the pulses backscattered from the scatterers on the target which are transmitted by the radar antenna. There are different methods proposed in the literature to obtain image from data obtained from the radar. These methods can be grouped under two main headings, Fourier transform-based methods and parametric modeling-based methods. Fourier transform-based methods which are preferred for their mathematical simplicity and robustness have low resolution and accuracy problem due to the fact that the measured data is limited. The resolution and accuracy of parametric modeling-based methods are usually better. However, these methods are highly sensitive to the selection of the model and the model order, along with the mathematical difficulties.

Most of the developed imaging methods are used for complete and regularly sampled data. However, this is not always possible in practice. Most of the time, for reasons such as environmental conditions, interference and jamming; radar data have missing samples. The fact that missing samples in data causes artifacts and undesired sidelobes in the image.

In this study, with the purpose to obtain high-resolution images from the missing data, gap filling methods are examined, and image is obtained from the data using the Fourier transform-based methods.

In Burg’s method, an AR modeling based estimation method, a reflection coefficient is obtained by minimizing the average of forward and backward prediction error power. Then this reflection coefficient is used for obtaining forward and backward prediction coefficients. Obtained coefficients are used to fill gaps on the data with linear prediction.

GAPES, recently developed from APES spectral estimation method, is a method for the case of missing data. This method, estimates the spectrum of the available data, then with the assumption that the missing data have the same spectral content, estimates the missing part of the data. The performance of this method is considerably good in terms of accuracy and resolution. However, because of its mathematical complexity, the algorithm runs very slowly.

In this study, Least Square Lattice Structure is proposed as a new methods for gap filling. In this method, two independent reflection coefficients, i.e., forward and backward prediction coefficients are obtained through the minimization of forward and backward prediction error powers separately. The obtained coefficients are used in linear prediction for gap filling. The advantages of the proposed method are, primarily, that the processing time is short due to the method’s mathematical simplicity, and secondly, that provides sufficient performance when used as a gap filling method.

The performances of the methods that are mentioned in the study are compared to each other through making implications on the ISAR simulated data.

1. GĐRĐŞ

1.1 Yapay Açıklıklı Radarlar

Başlangıcı Alman Hülsmeyer’in 1904 yılında deniz trafiğini denetlemek için icat ettiği Telemobileskop’a kadar uzanan radar teknolojisinde en hızlı gelişme Đkinci Dünya Savaşı sonrasında yaşanmıştır. Radar teknolojisinin temelinde üç fiziki kural rol oynamaktadır. Bunlar; elektromanyetik dalgaların, ışık hızına yakın sabit bir hız ile yayılmaları, elektriksel iletken bir yüzeye çarpmaları halinde yansımaları ve radarların frekans bölgesinde doğrusal olarak yayılmalarıdır. Radarın çalışma prensibi ses dalgasının yayılmasına benzetilebilir. Radar anteninden yayılan dalga hedeften geri yansır, yansıyan dalga alıcı anten tarafından algılanır ve bu işaretten hedefin konum ve hız bilgileri elde edilir.

Gelişen teknoloji ile birlikte, konum ve hız bilgilerinin yanı sıra, hedef görüntülerini de oluşturabilen yapay açıklıklı radarlar geliştirilmiştir[1,2]. Elde edilen görüntünün kalitesi menzil ve çapraz menzil çözünürlüğü ile ilgilidir. Menzil çözünürlüğü, aynı azimut açısında bulunan iki farklı saçıcının ayırtedilebilen minimum uzaklığı olarak tanımlanabilir. Eğer iki ayrı saçıcıdan saçılan darbeler, iki ayrı darbe olarak alıcı antene ulaşırsa, bu iki saçıcı ayrıtedilebilmektedir. Bu nedenle menzil çözünürlüğü; radar darbe genişliği ile ters, anten demet genişliği ile doğru orantılıdır [2].

Çapraz menzil çözünürlüğü ise aynı menzildeki ayırtedilebilen iki ayrı saçıcı arasındaki minimum mesafe olarak tanımlanabilir. Çapraz menzil çözünürlüğü anten demet genişliği ile ters orantılıdır. Aralarındaki mesafe demet genişliğinden daha küçük olan iki saçıcı aynı demet içerisinde kaldığından radar tarafından tek bir saçıcı gibi algılanacaktır. Demet genişliği, anten açıklığı ile ters orantılı olduğundan, çapraz menzil çözünürlüğünü artırmak için büyük boyutlarda antene ihtiyaç duyulmaktadır. Büyük boyutlarda anten kullanımı çoğu zaman mümkün olmayacağından, çapraz menzil çözünürlüğünün yapay açıklık ile sağlandığı radarlara Yapay Açıklıklı Radarlar denmektedir. Yapay açıklık, radar ile hedef arasındaki göreceli hız farkının yüksek olması sayesinde oluşmaktadır. Hava platformlarında kullanılan SAR (Yapay

Açıklıklı Radar, Synthetic Aperture Radar) sistemleri, hedefin sabit (yada yavaş hareketli), radarın ise hareketli (yada hızlı hareketli) olması ile oluşan yapay açıklıktan faydalanmaktadır (Şekil 1.1).

Şekil 1.1 : SAR sistemi: radar hareketli, hedef sabit.

ISAR (Ters Yapay Açıklıklı Radar, Inverse Synthetic Aperture Radar) ise SAR’ın tersine; radarın sabit, hedefin hareketli olması nedeniyle elde edilen yapay açıklıktan faydalanan sistemdir (Şekil 1.2).

1.2 Görüntü Oluşturma

ISAR görüntüsü oluşturmada kullanılan yöntemler temelde ikiye ayrılabilir. Bunlar Fourier dönüşüm tabanlı ve parametrik modelleme tabanlı yöntemlerdir. Parametrik olmayan yöntemler olarak da bilinen Fourier dönüşüm tabanlı yöntemler özet olarak, saçıcı cismin iki boyutlu yansıtıcılık işlevi ile iki boyutlu frekans tepkesi arasındaki ilişkinin Foruier dönüşüm çifti olmasına dayanmaktadır [3-5].

Parametrik modelleme tabanlı yöntemlerde ise; öncelikle saçınım merkezlerinin genlik ve konum bilgilerini içeren bir model varsayımı yapılmakta, daha sonra bu model parametreleri değişik yöntemler ile kestirilmektedir [6-8].

Matematiksel kolaylıkları ve gürbüzlükleri (robustness) nedeniyle tercih edilen Fourier dönüşüm tabanlı yöntemlerde, ölçülen verinin sınırlı olması nedeniyle düşük çözünürlük ve doğruluk problemi bulunmaktadır. Bu yöntemlerin bir diğer olumlu yanı ise çalışılan veri hakkında herhangi bir varsayım içermemeleridir. Parametrik yöntemlerin, doğruluk ve yüksek çözünürlük performansı genelde daha iyidir. Bu yöntemlerin olumsuz yanı ise modelleme hatasına ve model derecesi seçimine karşı duyarlı olmasıdır. Düşük derece seçimi, spektrumda bazı tepelerin atlanmasına, yüksek derece seçimi ise, bazı tepelerin ayrışarak yalancı tepecikler, dolayısıyla da yalancı saçıcı noktalar oluşmasına neden olmaktadır.

Bu çalışmada; görüntü oluşturma yöntemlerinden sadece Fourier dönüşüm tabanlı yöntem ele alınmıştır.

1.3 Eksik Veri Problemi

Eksik veri problemi, sürekli ölçümün mümkün olmadığı ya da belirli bir periyotta girişim (interference) yada boğma (jamming) gibi nedenlerle ölçümün yapılamadığı durumlarda ortaya çıkmaktadır. Eksik veri problemi için en basit yöntem, Lomb-Scargle periodogram yöntemidir [9,10]. Bu yöntemde, veride bulunan eksik örnekler sıfıra eşitlenerek AFD ile spektral kestirim yapılmaktadır. Aslında, eksik örneklerin sıfıra eşitlenmesi, mümkün olan örneklere karşılık değeri bir, mümkün olmayan örneklere karşılık ise değeri sıfır olan bir pencereleme fonksiyonu ile orjinal veriyi çarpmak anlamına gelmektedir. Bu işlem, frekans domeninde orjinal veri ile pencereleme fonksiyonunun Fourier dönüşümlerinin konvolüsyonuna karşılık gelmektedir. Genellikle, pencereleme fonksiyonlarının Fourier dönüşümü, ana lop

yanında istenmeyen yan loplardan oluştuğundan, bu şekilde elde edilen görüntüde yalancı tepecikleroluşmaktadır.

CLEAN yöntemi, hedef saçıcı merkezlerinin, yan loblar bastırılarak kestirimini sağlayan özyineli bir yöntemdir [11,12]. Bu yöntem birbirine yakın saçıcı merkezlerin yada başka bir deyişle spektrumda bulunan birbirine yakın tepeciklerin kestiriminde yetersiz kaldığından, yüksek çözünürlük sağlayamamaktadır.

Yüksek çözünürlük için; Özbağlanımlı (Autoregressive, AR) Modelleme ve Özbağlanımlı Hareketli Ortalamalı (Autoregressive Moving Average, ARMA) Modelleme tabanlı yöntemler de kullanılmıştır [13-16]. Parametrik yöntemler olarak da adlandırılan bu yöntemler ile elde edilen çözünürlük genelde daha iyidir. Ancak bu yöntemlerin dezavantajı da model ve model derecesi seçimine karşı duyarlı olmalarıdır.

GAPES yöntemi [17], yakın geçmişte APES spektral kestirim yönteminden, eksik veri durumu için geliştirilen bir yöntemdir. Yöntem, mümkün olan veriden APES yöntemi ile spektral kestirim yapmakta, daha sonra eksik verinin de aynı spektral içeriğe sahip olduğu varsayımı ile eksik örnekleri kestirmektedir.

Bu çalışmada, radar tarafından elde edilen veride oluşan boşlukların doldurularak yüksek çözünürlüklü görüntü elde edilmesi amaçlanmaktadır. Bunun için; AR modelleme tabanlı yöntemlerden Burg yöntemi ile GAPES yöntemi incelenecek ve son olarak yeni yöntem olarak önerilen En Küçük Kareler Kafes (Least Square Lattice, LSL) yapısı anlatılacak, ardından tüm bu yöntemler ile ISAR verisi üzerinde uygulama yapılarak performansları karşılaştırılacaktır.

2. YÜKSEK ÇÖZÜNÜRLÜKLÜ ISAR GÖRÜNTÜLEME

2.1 Fourier Dönüşüm Tabanlı Görüntüleme Yöntemi

Bir ISAR görüntüsü, özetle iki adımda elde edilir. Bunlardan ilki veri toplama, ikincisi ise bu veriden görüntünün elde edilmesi adımlarıdır.

2.1.1 Veri toplama

ISAR sistemlerinde menzil profili ve görüntünün gerçek zamanlı elde edilebilmesi maksadıyla frekans atlamalı darbeler kullanılmaktadır. Görüntü elde edilmesinde kullanılacak iki boyutlu veri, geri saçılan darbede oluşan frekans ve zaman farklarından faydalanılarak elde edilir.

Radar anteninden, ∆ frekans aralıklı f n tane darbe gönderildiği düşünülürse; bu durumda i . darbenin frekansı,

0 i

f = f + ∆ i f _(2.1)

olacaktır. Bu darbelerden n adedinin toplamını bir grup olarak isimlendirebiliriz. Đki darbe arasında geçen süre

τ

olsun, bu durumda bir grup için toplam süre;

( 1)

t n τ

∆ = − _(2.2)

olacaktır. Menzil profili, frekans farklarından, iki boyutlu görüntü ise hem frekans hem de zaman farklarından faydalanılarak elde edilecektir. Görüntünün elde edilebilmesi için N adet gruba (satırlar) karşılık n adet darbe (sütunlar) ve bu darbelerin hedeften geri saçılan karşılıkları kaydedilmekte daha sonra her bir grubun ters Fourier dönüşümü alınmaktadır [2]. Şekil 2.1’de N adet grup içerisinde gönderilen n adet darbe gösterilmiştir.

Şekil 2.1 : Veri oluşturulması için gönderilen radar darbeleri 2.1.2 Menzil Profili

Radar teknolojilerinin temelinde menzil ölçümü bulunmaktadır. Verici antenden yayımlanan dalga formu, yansıtıcı cisimden yansıyarak radar alıcısına ulaşır ve dalga yayılım hızından, hedefin bulunduğu mesafe yani menzil hesaplanır. c yayılım hızı olmak üzere, bir darbe radarı tarafından yayımlanan darbenin R menzilinde bulunan hedeften yansıyarak tekrar radara ulaşması arasında geçen toplam süre

τ

=2R c

olacaktır. T genişlikte bir darbe, menzilde ∆ =R cT 2 kadar artış sağlayacağından, aralarındaki mesafe ∆ ’den büyük olan iki saçıcı, radar tarafından iki ayrı nokta R olarak algılanabilecektir.

Yukarıdaki açıklamadan da anlaşılacağı üzere, menzil çözünürlüğü, darbe genişliği azaltılarak artırılabilir. Menzil işaret işlemede iki önemli nokta doğruluk ve çözünürlüktür. Doğruluk, hedef menzilinin yansız (unbiased) olarak elde edilmesi, çözünürlük ise birbirine yakın iki saçıcıyı ayırtedebilme yeteneği olarak tanımlanabilir.

Hedefin dönen bir cisim olduğu, sabit bir antenin verici ve alıcı olarak kullanıldığı ISAR görüntüleme geometrisi Şekil 2.2’de görülmektedir. Hedefin tam bir 3600 dönüşünde, her bir gözlem açısında (θ), geri saçılan alanın genlik ve faz bilgileri kaydedilmektedir.

Şekil 2.2 : ISAR görüntüleme geometrisi.

Şekil 2.2 üzerinde uve v sabit, x ve y dönen cisim üzerindeki hareketli koordinat sistemidir. K adet saçıcı noktadan oluşan Şekil 2.3’teki gibi bir cismin menzil profilini elde etmeye çalışalım.

Şekil 2.3 : Hedef üzerindeki saçıcıların koordinat ekseninde gösterimi

Bu durumda, belli bir θ açısı ve f frekansı için, k . saçıcıdan geri saçılan alan yada başka bir deyişle k . saçıcının frekans tepkesi,

(

)

(

)

2

, , j ftk

k k

ile ifade edilebilir. Burada A_k

(

f,

θ

)

, k. saçıcının referans noktasında olması durumundaki geri saçılan alanı, t_k ise, c ışık hızını göstermek üzere;

(

)

2 _kcos _ksin k x y t c

θ

+

θ

= _(2.4)

ile hesaplanabilen, saçıcı noktanın (x y_k, _k) noktasında bulunmasından kaynaklanan zaman gecikmesidir. K adet saçıcıdan oluşan cismin toplam frekans tepkesi,

(

)

(

)

4 ( cos sin ) 1 , , k k f x y K _j c k k G f A f e π θ θ

θ

θ

+ = =

∑

_(2.5)

olacaktır. Frekansın f_min ve f_max arasında, gözlem açısının ise −

θ

_max ve

θ

_max arasında değiştiği düşünülürse,

(

)

max max

(

)

max min 2 ( , ) , , f j ft x y f g x y G f e dfd θ π θ

θ

−

θ

− =

_{∫ ∫}

_(2.6)

dönüşümü ile toplam geri saçılan alan verisi kartezyen koordinatlara geçirilmiş olur. Spektral sızıntı (leakage) ve dalgalanma kayıplarından (scalloping losses) kaynaklanan hatayı azaltmak için, menzil profili oluşturulurken pencereleme yapılmaktadır. (2.6) ifadesi ile elde edilen veri W f( , )

θ

pencere fonksiyonu ile pencerelendiğinde,

(

)

max max

(

)

max min 2 ( , ) , ( , ) , f j f t x y f g x y W f G f e dfd θ π θ

θ

θ

−

θ

− =

_{∫ ∫}

_(2.7)

elde edilir. Son olarak herhangi bir

θ

_i gözlem açısı için menzil profili,

( )

max

(

)

min 2 ( ) ( , ) , i f j f t r i i i f g r =

∫

W f

θ

G f

θ

e− π df _(2.8)

ile bulunabilir. Burada r menzil mesafesini, _i t r

( )

_i ise zaman gecikmesini göstermektedir. Görüldüğü gibi, (2.8) eşitliği 1-B (bir boyutlu) Fourier dönüşümüne

karşı gelmektedir. Dolayısıyla, belirli bir gözlem açısında cismin frekans tepkesinin 1-B Fourier dönüşümü menzil profilini vermektedir.

2.1.3 Görüntünün Elde Edilmesi

Şekil 2.3’teki gibi K adet saçıcı noktadan oluşan bir cismin görüntüsü, (2.8) eşitliği ile elde edilen menzil profillerinin Fourier dilim teoremi kullanılarak [7,8] gözlem açıklığı boyunca birleştirilmesiyle yada 2-B frekans tepkesinin ters Fourier dönüşümü alınarak elde edilebilmektedir.

cos , sin

x y

f = f θ f = f θ _(2.9)

dönüşümü yapılırsa; açısal koordinatlarda (2.5) ifadesi ile verilen cismin iki boyutlu frekans tepkesi uzamsal koordinatlarda;

(

)

(

)

4 ( ) 1 , , x k y k f x f x K _j c x y k x y k G f f A f f e π + = =

∑

_(2.10)

şeklinde yazılabilir. Benzer dönüşüm ile (2.7) eşitliği de yeniden düzenlenebilir.

(

,

)

( , )

(

,

)

4 ( ) x y f x f y j c x y x y x y g x y W f f G f f e df df π + ∞ ∞ − −∞ −∞ =

_{∫ ∫}

_(2.11)

Aslında integral sınırları hedef cismin sınırlarıdır. Cismin sınırları dışında integrandlar sıfır olacağından, sınırlar sonsuz alınabilir. (2.11) eşitliği, pencere fonksiyonu ile çarpılan cismin frekans cevabının 2-B ters Fourier dönüşümüdür.

(

,

)

g x y , cismin yansıtıcılık işlevi yada başka bir deyişle 2-B ISAR görüntüsüdür.

Menzil profilinde olduğu gibi görüntü elde edilirken de pencere fonksiyonu kullanılmıştır. Görüntünün elde edilmesinden önce 2-B verinin pencerelenmesi, görüntüde oluşan yalancı tepecikleri azaltmak için kullanılmıştır. Pencereleme işleminin görüntü üzerindeki etkisi Şekil 2.4 ve Şekil 2.5’te görülmektedir. Şekil 2.4’te, radar verisinin doğrudan 2-B ters Fourier dönüşümü alınarak elde edilen görüntü, Şekil 2.5’te ise Hanning penceresi ile pencerelenmesinin ardından elde edilen görüntü görülmektedir.

10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60

Şekil 2.4 : Doğrudan 2-B ters Fourier dönüşüm ile elde edilen ISAR görüntüsü

10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60

Şekil 2.5 : Verinin pencerelenmesinin ardından 2-B ters Fourier dönüşümü ile elde edilen ISAR görüntüsü.

3. SPEKTRAL KESTĐRĐM YÖNTEMLERĐ

3.1 Özbağlanımlı (AR) Modelleme

Đşaret modelleme bir çok uygulaması olan önemli bir problemdir. Bu tezde önerilen boşluk doldurma yöntemlerinde de kullanılan işaret dışdeğerleme (extrapolation) ve işaret aradeğerleme (interpolation) uygulamaları bu uygulamalara örnek verilebilir. Her iki uygulamada da işaretin belirli bir zaman aralığındaki değerleri bilinirken, amaç bu aralık dışındaki değerleri belirlemektir. Örneğin dışdeğerleme probleminde,

0,1,..., 1

n= N− için bilinen ( )x n işaretinden, bir sonraki değer ( )x N ’in kestirimi amaçlanmaktadır. Aradeğerleme probleminde ise, belirli bir

[

N N₁, ₂

]

aralığındaki değerler eksiktir yada ciddi anlamda bozulmaya maruz kalmıştır. Bu nedenle amaç, bu aralıktaki değerleri, aralık dışındaki değerler kullanılarak kestirmektir.

Đşaret modelleme işlemi iki adımda ele alınabilir. Birincisi; modelleme için uygun bir parametrik form seçimidir. Uygulamada farklı modelleme çeşitleri ile karşılaşılabilir [18]. Bizim kullanacağımız modelleme ise rasgele süreçler için kullanılan özbağlanımlı (AR) modellemedir. Spektral kestirim yöntemlerinde; özbağlanımlı hareketli ortalamalı (autoregressive moving average, ARMA) ve hareketli ortalamalı (moving average, MA) modellemeler yerine AR modellemenin kullanılmasının nedeni: AR modellemede, parametrelerin bir grup doğrusal eşitliğin çözümünden bulunabilmesidir. ARMA ve MA modellemelerde ise, model parametrelerini bulmak için doğrusal olmayan denklemleri çözmemiz gerekmektedir. Uygun modelin seçilmesinin ardından bir sonraki adım verilen işarete en iyi yaklaşımı sağlayan, model parametrelerinin kestirilmesidir. Model parametrelerinin bulunması için farklı yöntemler önerilmiş ve kullanılmıştır [18,19].Biz bu çalışmada Yule-Walker yöntemi ve Burg Yöntemini ele alacak daha sonra yeni yöntem olarak En Küçük Kareler Kafes (Least Squares Lattice, LSL) Yapısı’nı önereceğiz.

p ve q model derecelerini göstermek üzere, geniş anlamda durağan (Wide Sense Stationary, WSS) bir AR(p) süreci, q= için özbağlanımlı hareketli ortalamalı 0

(ARMA(p,q) ) sürecin özel bir durumudur. AR(p) süreç sıfır ortalamalı varyansı σ2

olan beyaz bir gürültünün tüm kutup bir süzgeç ile süzgeçlenmesi ile elde edilir.

Şekil 3.1 : AR(p) sürecin tüm kutup bir süzgeç çıkışı olarak gösterimi.

Şekil 3.1’de gösterilen H z tüm kutup süzgeç aşağıdaki matematiksel gösterime ( ) sahip bir süzgeçtir.

2 1 ( ) 1 ( ) p k p k H z a k z σ − = = +

∑

(3.1)

Burada, a k , AR(p) model katsayılarını göstermektedir. AR bir sürecin özilişki _p( ) (autocorrelation) serisi aşağıda gösterilen Yule-Walker eşitliğini sağlamalıdır [19].

1 2 1 ( ) ( ); 1 , ( ) ( ) ( ) ; 0 . p p x l x _p p x l a l r k l k için r k a l r l σ k için = =  − − ≥  =  − − + = 

∑

∑

_(3.2) Burada ( )r k , _x

{

}

( ) ( ) ( ) x r k =E x n x n k∗ − _(3.3)

ile elde edilen istatistiksel özilişkidir. (3.2) Yule-Walker eşitliğini, k=1, 2,...,p için matris formunda yazarsak,

(1) (0) (1) (2) ( 1) (1) (2) (2) (1) (0) (1) ( 2) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3) (0) p x x x x x p x x x x x x p x x x x a r r r r p r a r r r r r p r p a p r p r p r p r x ∗ ∗ ∗ ∗ ∗    −          −     _{= −}      _{ }        _{− − −}   _{ }    ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ _   a b R (3.4) ( ) x n ( ) H z ( ) w n

elde edilir. (3.4) eşitliği bize k =0,1,…,p için verilen r k özilişki değerlerinden, _x( ) ( )

p

a k katsayılarını bulmamızı sağlar. Burada; özilişki değerlerinden elde edilen korelasyon matrisi R ’in boyutu (_x x+1)(x+ olmaktadır. Direkt olarak Yule-1) Walker eşitliğinin çözümünden a k katsayılarının bulunması yöntemine Yule-_p( ) Walker yöntemi de denmektedir. Birçok uygulamada, istatistiksel özilişki değerlerinin bilinmesi mümkün değildir. Bu nedenle, n=0,1,...,N− için bilinen 1

( )

x n değerlerinden aşağıdaki eşitlik ile verilen örnek özilişkisi hesaplanarak kullanılabilir. 1 0 1 ˆ ( ) ( ) ( ) N x n r k x n x n k N − = =

∑

− _(3.5)

(3.4)’te verilen Yule-Walker eşitliğinin çözümü için, Levinson tarafından 1947 yılında, R a_X =b şeklindeki Toeplitz denklemlerin çözümü için önerilen ve daha sonra 1961 yılında Durbin tarafından geliştirilen yöntem kullanılacaktır. Bu yöntem, Levinson-Durbin Yenileme Yöntemi olarak isimlendirilir. R a_X =b , gösteriminde kullanılan kalın karakter, o harfin vektör yada matrisi simgelediğini belirlemek amacıyla kullanılmış ve bundan sonra da aynı amaçla kullanılacaktır.

.

j derece bir model için (3.2) eşitliğini,

1 ( ) ( ) ( ) 0, 1, 2, , j x j x l r k a l r k l k j = +

∑

− = = … _(3.6)

şeklinde yazalım. Burada modelleme hatası

1 (0) ( ) ( ) j j x j x l r a l r l = ∈ = +

∑

_(3.7)

 1 1 (0) (1) (2) ( ) 1 (1) 0 (1) (0) (1) ( 1) ( ) 0 ( ) ( 1) ( 3) (0) j x x x x j x x x x j j x x x x j r r r r j a r r r r j a j r j r j r j r ∗ ∗ ∗ ∗ ∗         _{ } −   _=∈         _ _{  }  _{− −} _{   }   ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯   u a R (3.8)

elde edebiliriz. Levinson-Durbin yenileme yöntemi, .j derece model katsayıları

j

a ’den, j+ . derece model katsayıları 1 a_j+1’i bulmamızı sağlar. Bunun için a_j vektörünün sonuna bir sıfır eklenir ve elde edilen j+ uzunluktaki vektör, 1 R_j matrisi ile benzer şekilde elde edilen R_j+1 matrisi ile çarpılırsa,

1 (0) (1) (2) ( ) ( 1) 1 (1) (1) (0) (1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 3) (0) (1) 0 ( 1) ( ) ( 1) (1) (0) x x x x x j x x x x x j x x x x x x x x x x j r r r r j r j a r r r r j r j a j r j r j r j r r r j r j r j r r ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ +  +    ₋            − −     _{+ −} _{ }   ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯  R 1 0 0 j j j+ ∈         =        _ϒ    ⋮  a (3.9)

kolaylıkla elde edilir. Burada, ϒ parametresi, _j

1 ( 1) ( ) ( 1 ) j j x j x i r j a i r j i = ϒ = + +

∑

+ − _(3.10)

ile bulunabilir. R_j+1 matrisinin Hermitsel Toeplitz özelliğinin kullanılması ve bazı ara işlemlerden sonra;

2 1 1 1 j+ j  j+  ∈ =∈ _ − Γ _   (3.11) 1( ) ( ) 1 ( 1), 0,1, , 1 j j j j a ₊ i =a i + Γ ₊a∗ j i− + i= … j+ _(3.12)

eşitlikleri yazılabilir. Burada; (3.11) j+ ’inci dereceden model hatasını, (3.12) ise 1 Levinson derece güncelleme eşitliğini vermektedir. Eşitlikte kullanılan Γ ise _j+1 bundan sonra j+ Yansıma Katsayısı olarak isimlendirilecek ve değeri, 1.

1 j j j + ∗ ϒ Γ = − ∈ (3.13)

ile bulunan parametredir.

Özet olarak; j= için başlamak suretiyle, yukarıda verilen derece güncelleme ve 0 yansıma katsayısı eşitlikleri kullanılarak, bulunmak istenen dereceden model parametrelerine ulaşılır. Yönteme j= için, 0 a₀(0)= ∈ =1, ₀ r_x(0) değerleri alınarak başlanır. Daha sonra j . derece model parametrelerinden j+ . derece parametreler 1 yukarıdaki eşitlikler kullanılarak elde edilir.

AR modelleme yöntemlerinden Burg Yöntemi ile yeni yöntem En Küçük Kareler Kafes Yapısının boşluk doldurma amacıyla nasıl kullanılacağı Bölüm 2’de anlatılacaktır.

3.2 APES

Filtre bankası (Filter-bank) yaklaşımları, parametrik olmayan yöntemlerde olduğu gibi, işaretin spektral içeriğini, herhangi bir varsayım yapmaksızın bulmaya çalışmaktadır. Bu yaklaşımların temelini, merkezi ilgili frekans değerinde olan dar bandlı filtreler oluşturur. Aslında periodogram yöntemi de bir veri-bağımsız filtre bankası yaklaşımdır. Ancak veri-bağımlı yöntemler daha iyi sonuç verdiğinden, birçok uygulamada tercih edilmektedir. En iyi bilinen veri-bağımlı filtre bankası yaklaşım CAPON yöntemidir [20]. APES (Genlik ve Faz Kestirimi, Amplitude and Phase EStimation) yöntemi ise yakın zamanda geliştirilen bir başka veri-bağımlı filtre bankası yaklaşımdır [21,22]. Burada detaylı olarak anlatılacak olan APES yöntemi, bir sonraki bölümde ele alınacak GAPES (Eksik Veri Genlik ve Faz Kestirimi, Gapped-Data Amplitude and Phase EStimation) yönteminin kullandığı spektral kestirim yöntemidir. Başka bir deyişle GAPES yöntemi, boşluk içeren veri problemi için APES yönteminden elde edilmiştir [23].

3.2.1 Formülasyon

Kompleks değerli, düzgün örneklenmiş, bir boyutlu x n , ( ) n=0,1,...,N− , 1 işaretinin genlik spektrumunu kestirmek istiyoruz. Herhangi bir w frekansında ( )x n aşağıdaki şekilde modellenebilir.

( )

( ) jwn ( ) n

x n = α w e +e w , n=0,1,...,N− 1, w∈

[

0, 2π

)

, _(3.14)

Burada α( )w , w frekansındaki sinüzoidal bileşenin kompleks genliğini, e w ise _n( ) gürültü ve w frekansı dışındaki frekans bileşenlerinin girişimini içeren artık terimi göstermektedir. Amaç, verilen herhangi bir w frekansı için x n 'den ( ) α( )w ’yı kestirmektir.

3.2.2 Đleri Yönde APES

M boyutlu FIR (Sonlu Đmpuls Cevaplı, Finite Impuls Response) bir filtrenin impuls cevabı ( )h w olsun.

0 1 1

( )w =[h w h w( ) ( ) ...h_M− ( ) ]w T

h _(3.15)

Burada, M kullanıcı tarafından seçilen filtre boyutu ve ( )⋅ devrik anlamına T gelmektedir. ( )x n işaretinden elde edilen, Mx boyutlu üstüste binen ileri yönde veri 1 altvektörleri xl ile gösterilmek suretiyle,

1 1

[ ... ] ,T 0,..., 1

l = x xl l+ xl M+ − l = L−

x _(3.16)

şeklinde bir matris yazılması mümkündür ki burada L=N−M + ile bulunur. Bu 1 tanımlamalar kullanılarak, (3.15)’teki filtrenin çıkışı, hH( )w x_l şeklinde elde edilebilir. Burada ( )⋅ eşlenik devriği göstermektedir. H

Herhangi bir w için, ( )h w ve ( )α w ’yı,

1 ₂ ( ), ( ) 0 min ( ) ( ) L H jwl l w h w l w w e α α − = −

∑

h x , hH( ) ( ) 1w a w = (3.17)

fonksiyonunu minimize ederek bulabiliriz. Bundan sonra, h( )w ’yı APES filtresi, ( )w

α ’yı ise spektral kestirim olarak isimlendireceğiz. (3.17) eşitliğindeki ( )a w _,

( 1)

( )w =[1ejw...ejw M− ]T a

ifadesi ile verilen Mx boyutlu bir vektördür. Bölümün başında, dar bandlı filtreler 1 diye açıkladığımız filtre bankası h( )w , aşağıdaki iki koşulu sağlayacak şekilde tasarlanmalıdır.

1. Filtrelenen işaret, bir sinüzoidal işarete LS (En Küçük Kareler, Least Squares) açısından mümkün olduğunca yakın olmalı,

2. Spektral içerik ( )α w , filtreleme sonucunda bozulmamalı.

Şimdi (3.17) minimizasyon probleminin çözümüne tekrar dönersek; g( )w , x ’nin _l normalize Fourier dönüşümü ve ˆR koveryans matrisi olmak üzere;

1 0 1 ( ) L jwl l l w e L − − = =

∑

g x _(3.19) 1 0 1 ˆ L H l l l L − = =

∑

R x x _(3.20)

eşitlikleri ile hesaplanabilir. Bu durumda (3.17) ile verilen amaç fonksiyonu,

1 2 0 2 2 2 1 ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L H jwl l l H H H H H H w w e L w w w w w w w w w w w w w w w w

α

α

α

α

α

− = ∗ − = − − + = − + −

∑

h x h Rh h g g h h g h Rh h g (3.21)

şeklinde tekrar yazılabilir. Burada ( )⋅ karmaşık eşleniği göstermektedir. (3.21) ∗ ( )w

α

’ya göre minimize edildiğinde,

ˆ ( )w H( ) ( )w w

α

= h g _(3.22)

bulunur. ( )h w ’yı bulmak için, (3.22) eşitliğini (3.21)’de yerine yazarsak, aşağıdaki minimizasyon problemini verir.

( )

ˆ

min H( ) ( ) ( ) , H( ) ( ) 1

w w w w w w =

h h S h h a (3.23)

Burada ˆ ( )S w , gösterimde kolaylık olması açısından aşağıdaki şekilde tanımlanan bir değişkendir.

ˆ_{( )} ˆ _{( )} H_{( )}

w ≜ − w w

S R g g _(3.24)

Ara işlemlerden sonra (3.23)’ün çözümünden, APES filtresi ve spekral kestirimi bulunur. 1 1 ˆ ( ) ( ) ˆ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) H w w w w w w − − = S a h a S a (3.25) 1 1 ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) H H w w w w w w w α =a S−₋ g a S a (3.26)

Burada sadece ileri yönde veri altvektörleri kullanıldığından, (3.25) eşitliği ile bulunan ( )h w ileri yönde APES filtresi ve (3.26) eşitliği ile bulunan α( )w ileri yönde APES spektral kestirimi olarak adlandırılmaktadır.

3.2.3 Đleri ve Geri Yönde Ortalama

Đleri ve geri yönde ortalama (forward-backward averaging), birçok spektral analiz uygulamasında, performansın artırılması amacıyla kullanılmaktadır. Önceki bölümde sadece ileri yönde veri altvektörleri kullanarak elde edilen APES filtresinin tasarımında, ileri ve geri yönde ortalama ile, hem ileri hem de geri yönde veri altvektörlerinin kullanılması sağlanabilmektedir.

Geri yönde veri altvektörleri aşağıdaki gibi oluşturulsun.

1 2 ... , 0,1,..., 1. T l xN l xN l xN l M l L ∗ ∗ ∗ − − − − − −   =_{ } = − ⌣ x _(3.27)

Hem ileri hem de geri yönde filtreden geçirilen işaretin w frekansında bir sinüzoidal işarete mümkün olduğunca yakın olması gerekir. Bu minimizasyon problemi, ( )β w , geri yönde spektral kestirim olmak üzere,

{

}

1 _{2 2} ( ), ( ), ( ) 0 1 min ( ) ( ) ( ) ( ) 2 L H jwl H jwl l l w w w l w w e w w e L α β α β − = − + −

∑

⌣ h h x h x ( ) ( ) 1 H w w = h a (3.28)

şeklinde yazılabilir. (3.28) minimizasyon probleminin α( )w ve β( )w ’ya göre çözümü, x ’nin normalize Fourier dönüşümü ( )⌣_l g⌣ w olmak üzere,

α

ˆ ( )w = h( ) ( )w g w

ve ˆ( )β w =h( ) ( )w g⌣ w olarak bulunur. Normalize Fourier dönüşümünü veren ifade ise

1 0 1 ( ) L jwl l l w e L − − = =

∑

⌣ ⌣ g x _(3.29)

şeklindedir. Benzer şekilde (3.28)’in çözümünden

( ) ˆ min H( ) _fb( ) ( ), H( ) ( ) 1 h w h w S w h w h w w = a (3.30)

yazılabilir ki burada ˆ ( )S_fb w yazım kolaylığı sağlamak amacıyla;

( ) ( ) ( ) ( ) ˆ _{( )} ˆ 2 H H fb fb w w w w w − + ⌣ ⌣ ≜ g g g g S R _(3.31)

eşitliği ile tanımlanır. Eşitliğin sağ yanındaki ˆR , ˆfb R ileri yönde koveryans matrisi f

ve Rˆ_b geri yönde koveryans matrislerinin ortalamasıdır.

1 0 1 ˆ L H f l l l L − = =

∑

R x x _(3.32) 1 0 1 ˆ L H b l l l L − = =

∑

⌣ ⌣ R x x _(3.33) ˆ ˆ ˆ 2 f b fb + = R R R _(3.34)

(3.20)’de ˆR ile gösterilen ileri yönde koveryans matrisi, notasyon anlaşılırlığı amacıyla (3.32) eşitliğinde ˆR ile gösterilmiştir. Burada tekrar (3.30) eşitliğine f

dönersek, bu eşitliğin çözümüden ileri ve geri yönde APES filtresi;

1 1 ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) fb fb _H fb w w w w w w − − = S a h a S a (3.35)

olarak bulunabilir. Ters köşegen elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan aşağıdaki gibi bir değişim matrisi (exchange matrix) tanımlarsak,

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0         =             ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ J _(3.36)

geri yönde yaklaşımla bulduğumuz tüm değişkenleri, ileri yönde yaklaşımla bulduğumuz değişkenler cinsinden yazabiliriz.

1 L l ∗ − − = ⌣ x J x _(3.37) ( 1) ( ) ( ) jw L w = ∗ w e− − ⌣ g J g _(3.38) ˆ ˆT b = f R JR J _(3.39)

Benzer şekilde aşağıdaki eşitlik de yazılabilir.

( )w H( )w = [ ( )w H( )]w T

⌣ ⌣

g g J g g J _(3.40)

Bu yeni yaklaşıma uygun olarak (3.31) eşitliği ile verilen ˆ ( )Sfb w aşağıdaki gibi

yeniden yazılabilir. ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ ( ) 2 T f f fb w w w = S +JS J S _(3.41)

Burada ˆ ( )S_f w , ileri yönde yaklaşım ile bulunan (3.24) eşitliğindeki ˆ( )S w ’ya eşittir. Son olarak, ileri ve geri yönde APES spektral kestirimi aşağıdaki gibi yazılabilecektir. 1 1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) H fb fb H fb w w w w w w w

α

− − =a S g a S a (3.42)

Özet olarak, ileri ve geri yönde APES filtresi ve APES spektral kestirimi halen ileri yönde yaklaşımda bulunan (3.25) ve (3.26) ile aynı formdadır. Đleri yönde yaklaşım ile ileri ve geri yönde yaklaşım arasındaki fark, persimetrik olmayan ˆR ve ˆ( )S w matrisleri yerine, persimetrik ˆR ve ˆ ( )_fb S_fb w matrislerinin gelmesidir ki bu durum genelde daha iyi kestirim sağlamaktadır.

Đşlem kolaylığı açısından, bundan sonraki bölümlerde ve uygulamalarda ileri yönde APES yaklaşımı kullanılacaktır. Đstenirse, ileri ve geri yönde ortalama kullanılarak daha iyi bir kestirim sağlanabilir.

3.2.4 Hızlı Gerçekleme

APES spektral kestirimi direkt olarak (3.26) eşitliğini, tüm w değerleri için hesaplayarak bulabiliriz ki bu çok ciddi bir işlem yükü demektir. Literatürdeki bazı makalelerde de söz edilen bu problemin çözümü için hızlı gerçekleme yöntemi önerilmiştir [24].

Matris evirme önsavı (matrix inversion lemma) kullanılarak, MxM boyutlu ˆ( )S w matrisinin tersi her bir w değeri için hesaplanabilir.

1 1 1 1 1 ˆ _{( ) ( )}ˆ ˆ _{( )} ˆ ˆ 1 ( ) ( ) H H w w w w w − − − − − = + − R g g R S R g R g (3.43) 1 2 ˆ

R− , korelasyon matrisinin tersi _ˆ 1

R− ’in Cholesky faktörünü göstermek üzere aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

1/ 2 1/ 2 ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H H H w w w w w w w w w w w w w − − = = = = = ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ a R a g R g a a a g g g

ζζζζ

δδδδ

εεεε

(3.44)

Bu eşitlikler kullanılarak (3.25) ve (3.26) ile verilen APES filtresi ve spektral kestirim eşitliklerini tekrar yazabiliriz.

[

]

1 2 2 ˆ _{(1 ( )) ( ) ( )} ˆ( ) ( )(1 ( )) ( ) H w w w (w) w w w w

ε

δ

ζ

ε

δ

−   − +   = − + ⌣ ⌣ R g h a (3.45) 2 ( ) ˆ ( ) ( )(1 ( )) ( ) w w w w w

δ

α

ζ

ε

δ

= − + (3.46)

Bu gerçeklemeler sadece Rˆ−1’in Cholesky faktörünü gerektirmektedir ki o da w’dan bağımsızdır.

4. BOŞLUK DOLDURMA YÖNTEMLERĐ

4.1 AR Modelleme Tabanlı Boşluk Doldurma

AR model parametrelerinin kestirimi için, literatürde birçok yöntemle karşılaşılabilir. Özilişki, kovaryans ve iyileştirilmiş kovaryans (Modified Covariance) yöntemleri bunlardan birkaçıdır. Bu çalışmada Burg yöntemi ve yeni yöntem olarak En Küçük Kareler Kafes (Least Square Lattice, LSL) yapısı kullanılarak parametre kestirimi yapılacaktır.

AR model parametrelerinin kestiriminin ardından, literatürde doğrusal öngörü (linear prediction) olarak bilinen uygulama ile boşluk doldurulacaktır.

4.1.1 Doğrusal öngörü ( )

x n , n=0,1,…,N−1, işaretinin AR(p) bir süreç olduğu varsayımı ile, n’inci örneğin kestirimi, geçmiş p örneğin,

1 ˆ ( ) ( ) ( ), p f p p k x n a k x n k = = −

∑

− _(4.1)

ile verilen doğrusal kombinasyonu ile elde edilir. Bu eşitlik ile elde edilen kestirim, ileri yönde öngörü (forward prediction) olarak adlandırılmaktadır. Eşitliğin sol yanındaki f üstsimgesi öngörünün ileri yönde yapıldığını göstermek için kullanılmıştır. Đleri yönde öngörü Şekil 4.1’deki gibi bir filtre yapısında gösterilebilir. Burada öngörü katsayıları;

( ), 1, 2,

k p

a =a k k = … p _(4.2)

ile gösterilmiştir. Benzer şekilde gelecek değerlerden geçmiş değerin kestirimi olan geri yönde öngörü (backward prediction) daha sonra açıklanacaktır.

Şekil 4.1 : Đleri yönde öngörü filtre yapısı.

Burada öngörü katsayılarını ifade etmek için, daha önce AR model katsayılarında da kullanılan a k gösterimi kasıtlı olarak kullanılmıştır. Çünkü AR süreç ve doğrusal _p( ) öngörü dereceleri aynı olduğunda, öngörü katsayıları, AR model katsayılarına eşit olmaktadır [18]. Bu özellik sayesinde, AR modelleme yöntemleri, boşluk doldurma probleminde kullanılabilmektedir. (4.1) ile verilen doğrusal öngörünün hata hesabı,

1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p f f p p p k e n x n x n x n a k x n k = = − = +

∑

− _(4.3)

yazılabilir. Bu tanımlamadan yola çıkılarak Şekil 4.2’deki gibi bir öngörü hata filtresi gösterimi mümkündür.

Şekil 4.2 : Đleri yönde öngörü hata filtresi. ( )

p

a k katsayıları, ortalama karesel hatayı minimize edecek şekilde seçilmelidir. Öngörü hata gücü olarak da ifade edilebilen ortalama karesel hata,

( ) f p e n ( ) x n x n( −1) 1 z− z−1 ∑ 1 a a₂ ( 2) x n−

⋯

x n( − +p 1) 1 p a ₋ ∑ p a ∑ ( ) x n−p 1 z−

⋯

⋯

∑ ( ) x n x n( −1) 1 z− z−1 ∑ 1 a − −a₂ ( 2) x n−

⋯

x n( − +p 1) 1 p a ₋ − ∑ p a − ∑ ( ) x n− p 1 z−

⋯

⋯

ˆ ( ) f p x n

1 ₂ 1 ( ) N f f p p n p e n

ε

− = + =

∑

_(4.4)

ile bulunur. ( )x n bir WSS süreç olduğundan, öngörü katsayılarını n’den bağımsız olarak, özilişki fonksiyonlarından elde edebiliriz. Buradan hareketle, ortogonallik prensibini de kullanarak; ˆ ( )( ( ) f( )) 0, 1, 2, , p E x n k x n_ − −x n _= k = … p _(4.5) yada 1 ( ) ( ) ( ), 1, 2, , p x p x l r k a l r k l k p = = −

∑

− = … _(4.6)

yazılabilir ki bu eşitlik (3.2) ile verilen Yule-Walker eşitliği ile aynıdır. Sonuç olarak, daha önce de söylendiği gibi, AR süreç ve doğrusal öngörü dereceleri aynı olduğunda, öngörü katsayıları AR model katsayılarına eşit olmaktadır. (4.6) eşitliği doğrusal öngörü teorisinde Wiener-Hopf eşitliği olarak da isimlendirilmektedir. Boşluk doldurma algoritmalarında kullanılacak olan ve daha önce de bahsedilen geri yönde (backward) öngörüyü veren ifade ise,

1 ˆ ( ) ( ) ( ) p b p p k x n p g k x n k p = − = −

∑

+ − _(4.7)

şeklindedir. Burada, g k geri yönde öngörü katsayılarını, b üstsimgesi ise _p( ) öngörünün geri yönde yapıldığını göstermek için kullanılmıştır. Đleri yönde öngörü için elde edilen hata, ve hata gücü hesapları, geri yönde öngörü için de yapılabilir:

1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b p p p p k e n x n p x n p x n p g k x n k p = = − − − = − +

∑

+ − (4.8) 1 ₂ 1 ( ) N b b p p n p e n

ε

− = + =

∑

_(4.9)

Đleri yönde öngörü için Şekil 4.1 ve 4.2’de gösterilen filtre yapılarının benzerleri geri yönde öngörü için Şekil 4.3 ve 4.4’te gösterilmiştir [25].

Şekil 4.3 : Geri yönde öngörü filtre yapısı.

Şekil 4.4 : Geri yönde öngörü hata filtresi.

Đleri ve geri yönde öngörünün karşılaştırılması, Şekil 4.5’te gösterilmiştir. Burada, çerçeve ile gösterilen örnekler kullanılarak gelecek değerin kestirimi ileri yönde öngörü ile, geçmiş değerin kestirimi ise geri yönde öngörü ile yapılmaktadır.

Şekil 4.5 : Đleri ve geri yönde öngörü ile kestirilen örnekler.

zaman n-p n-1 n Geri yönde öngörü ile kestirilen Đleri yönde öngörü ile kestirilen ( ) x n x n( −1) 1 z− z−1 ∑ 1 p g ₋ gp−2 ( 2) x n−

⋯

x n( − +p 1) 1 g ∑ ∑ ( ) x n−p 1 z−

⋯

⋯

( ) b p e n ∑ p g ∑ ( ) x n x n( −1) 1 z− z−1 ∑ 1 p g ₋ − −g_p−2 ( 2) x n−

⋯

⋯

⋯

p g − ∑ ∑ 1 g − ∑ ˆ (b ) p x n−p ( 1) x n− +p 1 z−

4.1.2 Burg yöntemi

Bu çalışmada özilişki, koveryans ve iyileştirilmiş koveryans yöntemlerinin değil de Burg yönteminin ele alınmasının nedeni; Burg yönteminin, spektral kestirim, işaret dışdeğerleme ve işaret aradeğerleme uygulamalarında, özilişki yönteminden daha iyi, diğer yöntemler ile benzer derecede kestirim sağlamasının yanında, matris tersi alma gibi işlem ağırlığının olmamasıdır. Ayrıca Burg yöntemi, kafes yapısı içermesi yönüyle de önerilen yönteme benzemektedir.

Burg yöntemi, AR parametrelerini direkt olarak kestirmek yerine, önce yansıma katsayılarını kestirir ve ardından Levinson Yenileme yöntemini kullanarak AR parametrelerini kestirir. Yansıma katsayılarının kestirimi, ileri ve geri yönde öngörü hata güçlerinin ortalamasını minimize ederek elde edilir. Bu noktadan hareketle;

1 ₂ 1 ₂ 1 1 ( ) ( ) N N burg f b f b j j j j j n j n j e n e n

ε

ε

ε

− − = + = + = + =

∑

+

∑

_(4.10)

Burg öngörü hata gücü tanımlanabilir. Burada, j altsimgesi, ilgili parametrenin j . derece modele ilişkin olduğunu göstermektedir. Burg yönteminin, etkin ve cazip olmasının sebebi, burg

j

ε

hata gücünün minimize edilmesinin yansıma katsayılarının genliğinin 1 ile sınırlı olmasını sağlamasıdır. Yansıma katsayılarının genliklerinin 1 ile sınırlı olması ise modelin kararlı olmasını sağlamaktadır.

burg j

Γ Burg yansıma katsayılarını bulmak için,

ε

burg_j ’ün

(

burg

)

j

∗

Γ ’e göre türevi alınarak sıfıra eşitlenirse;

(

)

(

)

{

}

{

}

1 _{2 2} 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) 0 N burg f b j j j burg burg n j j j N f b b f j j j j n j e n e n e n e n e n e n

δ

δ

ε

δ

δ

− ∗ ∗ = + − _{∗ ∗} − − = + = + Γ Γ     = _ − _ +_{ } =

∑

∑

(4.11)

elde edilir. Buradan,

ε

burgj hata gücünü minimize eden burg

j

{

}

1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 ( ) ( 1) ( ) ( 1) N f b j j n j burg j N f b j j n j e n e n e n e n − _∗ − − = + − − − = +  −    Γ = − + −

∑

∑

(4.12)

ile hesaplanır. Bu eşitlikten, Γburg_j ≤ olduğu gösterilebilir [18]. Yansıma katsayıları 1 bilindiğinde j derece AR model parametreleri yada başka bir deyişle öngörü . katsayıları; 1( ) 1( ), 1, 2, , 1 ( ) , j j j j j a k a j k k j için a k k j için ∗ − −  + Γ − = −  =  Γ =  … (4.13)

eşitliklerinden elde edilir. Geri yönde öngörü katsayıları g k ise, ileri yönde j( ) katsayıların ters çevrilip karmaşık eşleniği alınmak suretiyle,

(

)

( ) R( )

p p

a k = g k ∗ _(4.14)

eşitliğinden elde edilir. Burada ( )_{⋅ , ters çevirme (reverse) anlamına gelmektedir.} R

Verilen bir ( ),x n n=0,1,…,N−1 işaretinden, j+ derece öngörü katsayılarının 1. bulunması için Burg yöntemi adım adım özetlenecek olursa:

Adım 1: Yenileme algoritmasına başlamak için,

0 0 ( ) ( ), 1, 2, , 1 ( ) ( ), 0,1, , 2 f b e n x n n N e n x n n N = = − = = − … … alınır. Adım 2: j=1, 2,… için;

a) Đleri ve geri yönde öngörü hataları:

1 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) f f burg b j j j j b b burg f j j j j e n e n e n e n e n e n − − ∗ − − = + Γ − = − + Γ eşitliklerinden hesaplanır.

b) j+ . derece yansıma katsayısı 1 1 burg j+ Γ ;

{

}

1 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( ) ( 1) N f b j j n j burg j N f b j j n j e n e n e n e n − _∗ = + + − = +  −    Γ = − + −

∑

∑

c) j+ . derece öngörü katsayıları 1 aj+1( ),k gj+1( )k ise;

(

)

1 1 1 1 1 ( ) ( 1 ), 1, 2, , ( ) , 1 ( ) ( ) , 1, 2, , 1 j j j j j R j j a k a j k k j için a k k j için g k a k k j için ∗ + + + ∗ + +  + Γ + − =  =  Γ = +  = = + … … eşitliklerinden hesaplanır. 4.2 GAPES Yöntemi

GAPES (Gapped-Data APES), eksik veriden spektrum kestirimi ve boşluk doldurma için Bölüm 2’de anlatılan APES filtresini kullanmaktadır. Eksik olan verinin, mümkün olan veri ile aynı spektral içeriğe sahip oluğu varsayımı ile boşluk dolduran GAPES algoritması kısaca şu iki adımdan oluşmaktadır.

1. Mümkün olan veriden APES filtresi ve spektrum kestirilir. 2. LS çözümü ile boşluklar doldurulur.

4.2.1 APES ile başlangıç kestirimi

Bir boyutlu ( ),x n n=0,1,…,N−1, işareti boşluklar içerdiği varsayımı ile aşağıdaki şekilde yazılsın.

[

1 2 1

]

1 2 ... ... T N T T T T P x x x ₋     ≜ ≜ x x x x (4.15)

Burada x₁,x₂,...,x_P’ler, uzunlukları N N₁, ₂,...,N olan altvektörlerdir ve _P

1 2 P

gelenlerin eksik örnek içermeyen vektörler olduğu varsayımı ile aşağıdaki tanımlamalar yapılabilir. 1 3 [ T T ... T T] a ≜ P x x x x _(4.16) 2 4 1 [ T T ... T ]T u ≜ P− x x x x _(4.17)

Bu durumda mümkün olan örneklerin toplam uzunluğu, g =N1+N3+⋯+NP ile

tanımlanırsa, x_a vektörü g x , boşluk içeren örneklerin toplamı olan 1 x_u vektörü ise (N−g x) 1 boyutunda olacaktır.

Mümkün olan veri vektörü x_a’dan başlangıç APES filtresi ve spektral kestirimi şu şekilde hesaplanacaktır.

Öncelikle başlangıç için bir filte uzunluğu M seçilmelidir. Bu uzunluk, mümkün ₀ olan veri segmentinden, full-rank bir koveryans matrisi oluşturabilecek bir değer seçilmelidir. Bu koşulu yerine getirebilecek bir M değerinin aşağıdaki eşitsizliği ₀ sağlaması gerekmektedir. 0 0 {1,3,...., } max(0, _P 1) p P N M M ∈ − + >

∑

_(4.18) 0 1 P P

L =N −M + olmak üzere,

J

,

{

1, 3,..., P

}

indislerine ait altvektörler kümesi olsun. Bu durumda başlangıç filtre bankası kestirimi ˆ( )h w ve başlangıç spektral kestirim

α

ˆ ( )w aşağıdaki tanımlamalar kullanılarak, (3.25) ve (3.26) eşitliğinden hesaplanabilir. 1 1 1 1 ... 1 ... 1 ˆ P p P N N L H l l p J l N N P p JL − − + + + − ∈ = + + ∈ =

∑

∑

∑

R x x _(4.19) 1 1 1 1 ... 1 ... 1 ( ) P p P N N L jwl l p J l N N P p J w e L − − + + + − − ∈ = + + ∈ =

∑

∑

∑

g x (4.20)

(4.29) ve (4.30) eşitliklerinde boyutları M x₀ 1 olan ve eksik veri içermeyen veri parçaları kullanıldığından, bulunan ˆR ve ( )g w matrislerinin boyutları, M x M_{0 0} ve

0 1

M x olacaktır.

Bulunan h( )w filtre bankası mümkün olan veri x_a’ya uygulanarak, (3.22) eşitliğinden

α

( )w bulunabilir. Burada, (4.20) eşitliğinden bulunan g( )w kullanılmalıdır.

4.2.2 GAPES ile boşluk doldurma

Şimdi GAPES algoritmasının ikinci adımı olan boşluk doldurma kısmını ele alacağız. Bunun için, eksik verinin, mümkün olan veri kısmı ile aynı spektral içeriğe sahip olduğu varsayımından yola çıkacağız. Mümkün olan veri kısmı x_a ve mümkün olmayan örneklerin kestirimi ˆx_u’dan elde edilecek verinin ile Bölüm 4.2.1’de bulunan başlangıç filtre bankası ˆ( )h w ’ya uygulanmasından elde edilen çıkış,

ˆ ( ) jwl

w e

α

−

’ye, LS bakımından mümkün olduğunca yakın olmalıdır. Genelde,

ˆ ( )w

α

’yı, k =0,1,…,K−1 için w_k =2

π

k K alarak, K noktalı AFD (Ayrık Fourier Dönüşüm) ile elde ettiğimizden, boşlukların kestirimi ˆx_u’yu aşağıdaki LS probleminin çözümünden elde edebiliriz.

2 1 1 ˆ 0 0 ˆ _ˆ min ( ) ( ) k u K L jw l H k l k k l w

α

w e − − = = −

∑∑

x h y (4.21)

Burada dikkat edilmesi gereken husus, ˆx_u’nun bu şekilde hesaplanması, APES’in LS yapısından ayrılmamamızı sağlamaktadır. Şimdi, ikinci derece bir minimizasyon problemi olan (4.21)’in çözümü için bazı tanımlamalar yapalım. LxN boyutlu

(w_k)

H matrisi ve Lx1 boyutlu (z w_k) matrisi,

0 0 0 0 1 0 1 0 1 ˆ ˆ _{0 0 0} ˆ ˆ 0 0 0 ( ) ˆ ˆ 0 0 0 M M k M h h h h w h h ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ −       =           ⋯ ⋯ ⋱ ⋱ ⋱ ⋯ H _(4.22)

( 1) ˆ ( ) ( ) 1 k k T jw jw L k k w =α w _ e ⋯e − _ z _(4.23)

olsun. Bu matris notasyonlarını kullanarak, (4.21) fonksiyonunu yeniden yazabiliriz.

2 0 1 0 1 ( ) ( ) K k k k N x w w x − = −    _{ −}      

∑

H ⋮ z _(4.24) (w_k)

H matrisinden de aşağıdaki paylaşım ile, Lxg boyutlu A(w_k) ve Lx N( −g) boyutlu (B w_k) matrisleri elde edilebilir.

0 1 ( _k) ( _k) _a ( _k) _u N x w w w x ₋    _{ = +}       ⋮ H A x B x _(4.25) Benzer şekilde; (w_k)= (w_k)− (w_k) _a y z A x _(4.26) tanımlanırsa (4.24) fonksiyonu, 2 1 0 ( ) ( ) K k u k k w w − = −

∑

B x y _(4.27)

şekline dönüşür ki x ’ya göre minimizasyonundan boşlukların kestirimi, _u

1 1 1 0 0 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) K K H H u k k k k k k w w w w − − − = =     =     

∑

 

∑

 x B B B y _(4.28)

bulunur. Daha iyi bir kestirim için bulunan kestirim ˆx ve mümkün olan veri _u x ile _a oluşturulan ˆx işaretinden tekrar APES filtresi ve spektral kestirimi hesaplanıp tekrar mümkün olmayan veri kısmı kestirilebilir. Bu kestirim için;

2 1 1 0 0 ˆ _{( )}ˆ _{ˆ( )} k K L jw l H k l k k l w α w e − − = = −

∑∑

h x _(4.29)