FONKSİYONLARIN LİMİTİ 01

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT

EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT

EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT

SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT

SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN

LİMİTLERİ

LİMİTLERİ

SONSUZ İÇİN LİMİT

SONSUZ İÇİN LİMİT

SONSUZ LİMİT

SONSUZ LİMİT

FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ

FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ

TEOREMLER

TEOREMLER

LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT

DİZİLER YARDIMIYLA LİMİT

ÖRNEK ÖRNEK ANA MENÜ ANA MENÜ

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Tanım:

Tanım: olmak üzere, fonksiyonu verilmiş

olsun. Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisi için dizisine;

dizisinin f fonksiyonuna göre görüntü dizisi denir.

dizisi için, görüntü dizisi; dir.

R

A



f

:

A



R

) (x_n

))

f(x

(

_n (x_n)

,....)

x

,....,

x

,

x

,

x

(

)

(x

_n



_{1 2 3 n}

(

f(x

_n

))

),....)

f(x

),...

f(x

),

f(x

),

f(x

(

))

f(x

(

_n



_{1 2 3 n}

GÖRÜNTÜLER DİZİSİ

GÖRÜNTÜLER DİZİSİ

ÖRNEK:

ÖRNEK:

dizisi ve f(x)=2x+3 fonksiyonu veriliyor:

a) dizisinin limitini bulalım. b) görüntüler dizisini bulalım.

c) görüntüler dizisinin limitini bulalım.











 



n

1

1

)

(x

_n ) (x_n

₍

_lim

_(x

₎₎

n n )) f(x ( _n )) f(x ( _n

))

(x

lim

(

_{n n} ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: a) dir. b) bulunur. c) bulunur.

1

n

1

1

lim

)

(x

lim

_{n n n}

_











 



_  











 



























 







n

2

5

3

n

1

1

2

)

3

)

(x

2

(

))

f(x

(

_{n n}

5

n

2

5

lim

))

f(x

(

lim

_{n n n}

_











 



_  

Tanım:

Tanım: olmak üzere, ya da fonksiyonu verilmiş olsun.

Terimleri kümesinde bulunan ve a’ya yakınsayan her dizisi için, dizileri bir L sayısına

yakınsıyorsa; x, a’ya giderken f(x)’in limiti L’dir, denir ve biçiminde gösterilir.

Limitin Olmaması:

Limitin Olmaması:

Terimleri kümesine ait ve a’ya yakınsayan en az iki ve dizileri için ise için f fonksiyonunu limiti yoktur.

R

L

R,

a

R,

A







f

:

A



R

 

a

R

-A

:

f



A

-

 

a

) (x_n )) f(x ( _n

L

f(x)

lim

(

_xa



 

a

-A

) (x_n

(x

,_n

)

₍

_lim

_f(x

_n

₎



₍

_lim

_f(x

,_n

₎

x  a

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ

BİR FONKSİYONUNUN LİMİTİ

ÖRNEK: ÖRNEK: fonksiyonunun için limitini bulunuz.

4

-3x

f(x)

R,

R

:

f





x



1

ÇÖZÜM ÇÖZÜM

ÇÖZÜM:

ÇÖZÜM:

Terimleri 1’den farklı ve 1’e yakınsayan iki dizi seçelim. dizilerinin f fonksiyonu ile elde edilen görüntü dizilerinin limitlerini alalım.

O halde, limiti 1 olan her dizisi için,











 













 



n

1

1

)

(x

,

n

1

1

)

(x

_n ,_n

1

4

n

1

1

3

))

f(x

(

,

1

4

n

1

1

3

))

f(x

(

_n ,_n

_



























 































 



) (x_n

1

4

3

)

4

x

3

(

))

f(x

(

_n



_n











Tanım:

Tanım: bir fonksiyon olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a’ya yakınsarken f’nin limiti L’dir denir ve biçiminde yazılır.

Tanımı aşağıdaki şekiller üzerinde inceleyiniz.

R

A

:

f

R,

A





a



R,

L



R,







R













f(x)

-

L

a

-x



   R

L

f(x)

lim

(

_xa



f(x) f(x) _f(x) y=f(x) f(x) f(x) f(x) y=f(x) y=f(x)   L   L   L   L   L   L L _L L  -a a a  a- a a  a- a a  f(a) 0 0 0

EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT

EPSİLON TEKNİĞİ İLE LİMİT

ÖRNEK ÖRNEK

ÖRNEK:ÖRNEK:

fonksiyonu veriliyor.

olduğunu epsilon yöntemiyle gösterelim.

1

-2x

f(x)

,

R

R

:

f





3

f(x)

lim

_x2



ÇÖZÜM ÇÖZÜM

ÇÖZÜM:ÇÖZÜM:

için önermesine uyan

bulmalıyız. X-2  

0







X

-

2







f

 

x



3





0



















x

-

2





2x

-

4

2

-2











2

x

-

1

-

3

2

2













f(x)

-

3

2

-2







 

x

3

2



f







O halde alınabilir. İçin, olduğundan tanıma göre2 olur.

     ₀ 0 2  





3

f(x)

lim

_x2



SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT

SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT

ya da şeklinde tanımlı f fonksiyonunda:

Tanım1: x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan)a ya yaklaşırken, f(x) ler de bir reel sayısına,f

fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve biçiminde gösterilir. Tanım2:x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak (sağdan) a ya yaklaşırken f(x) ler de bir reel sayısına yaklaşıyorsa; reel sayısına, f

fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve biçiminde gösterilir.

1. yazılışı x lerin a ya soldan yaklaştığını gösterir.yani daima x<a dır. 2. yazılışı x lerin a ya sağdan yaklaştığını gösterir.yani daima x>a dır.

R

R

:

f



_f

_:

_R

_-

 

_a



_R

1

L

1 -a x

f(x)

L

lim

_



2

L

2

L

lim

_xa



-a

x





 a

x

2

L

ANA MENÜ ANA MENÜ

Şekildeki grafiklerde , x in a ya soldan ve sağdan yaklaşması durumunda soldan ve sağdan limitleri görülmektedir.

1 L 2 L

a

_a

y y X _X Sonuçlar: ve için; 1. ise, dir. 2. ise yoktur. 1 -a x

f(x)

L

lim

_



lim

_xa



L

₂

R

L

L

L

₁



₂





2

L



1

L

lim

xa

f(x)



L

f(x)

lim

_xa

Aralığının uç noktalarındaki limiti

fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken:

1.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir.

2.b noktasındaki limit, sadece soldan limitle belirlenir.

 

a

,

b

R

,

y

f

 

x

:

f





 

x

lim

f

 

x

P

f

 

a

f

lim

_xa



_xa





 

x

lim

f

 

x

K

f

 

b

f

lim

_xb



_xb





x y 0 a b K=f(b) P=f(a) y=f(x)

fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken:

1.a noktasındaki limit,sadece sağdan limitle belirlenir. dir.f(a) tanımsızdır.

2.b noktasındaki limit sadece soldan limitle belirlenir. dir. f(b) tanımsızdır.

 

a

,

b

R

,

y

f

 

x

:

f





 

x

lim

f

 

x

P

f

lim

_xa



_xa



 

x

lim

f

 

x

K

f

lim

_xb



_xb



x y 0 a b K P y=f(x) ÖRNEK ÖRNEK

ÖRNEK:

ÖRNEK:

fonksiyonunun grafiği aşağıda

verilmiştir. x in –1,1 ve 2 değerleri için fonksiyonun limitinin olup olmadığını araştırınız.

 

x

f

y

,

R

R





y x -1 _{1 2} 2 3 1 y=f(x) ÇÖZÜM ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: a.

_lim

_f

 

_x

₂

1 x 



 

x

2

f

lim

_x1





 

x

lim

f

 

x

2

f

lim

_x1



_x1



b.

lim

x1

f

 

x



1

 

x

1

f

lim

_x1





lim

_x1

f

 

x



lim

_x1

f

 

x



1

c.

lim

_x2

f

 

x



3

 

x

0

f

lim

_x2





lim

x2

f

 

x



lim

x2

f

 

x

1. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

1. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

2. MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN

2. MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN

LİMİTLERİ

LİMİTLERİ

3. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

3. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

4. TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ

4. TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ

ANA MENÜ

ANA MENÜ

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

 

 

_{ }













a

x

,

x

h

a

x

,

x

g

x

f

ise

ise fonksiyonu verilsin.

Kritik nokta dışında limit sorulursa o noktadaki fonksiyon dalı belirlenir. O dalın durumuna göre çalışma yapılır.

Kritik noktada,yani koşuldaki değerinde limit sorulursa,soldan ve sağdan limit incelenir.

a

x



 

 

 

 

_















        2 a x a x 1 a x a x

L

x

h

lim

x

f

lim

L

x

g

lim

x

f

lim

1

L

ve

L

2 ye göre cevaplama yapılır.

a

x

₁



a

x

₂



 

x

lim

g

 

x

f

lim

1 1 x x x x





 

x

lim

h

 

x

f

lim

2 2 x x x x



 için

ÖRNEK: ÖRNEK:

 

1

R

R

:

f





 



















1

x

,

1

x

1

x

,

1

x

x

f

ise ise

Fonksiyonunun x=1, x=-2 ve x=2 noktalarındaki limiti bulalım.

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM:

 





 





_





















       

0

1

x

lim

x

f

lim

0

1

x

lim

x

f

lim

1 x 1 x 1 x 1 x

 





 





_























         

3

1

x

lim

x

f

lim

3

1

x

lim

x

f

lim

2 x 2 x 2 x 2 x

 





 





_



















       

1

1

x

lim

x

f

lim

1

1

x

lim

x

f

lim

2 x 2 x 2 x 2 x

 

x

0

f

lim

_x1



 

x

3

f

lim

_x2



 

x

1

f

lim

_x2



olduğundan olduğundan olduğundan dır. tür. dir.

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN LİMİTİ

 

x

f

lim

,

R

R

:

f



_xa

 



f

a



0



 

x

f

 

a

f

lim

_xa



in bulunuşunda:

x=a noktası kritik nokta ise, soldan ve sağdan limit incelenmelidir.

Limit sorulan nokta kritik nokta değilse, limit değeri ile görüntü olacağından

dır.

 



f

a



0



ÖRNEK: ÖRNEK:





 

x

2

4

x

x

f

,

R

2

,

2

R

:

f

2













fonksiyonunun;

x =-2, x =0, x =2 ve x =4 noktalarında limitinin olup

f(x) fonksiyonunu tablo yardımıyla parçalı fonksiyon şeklinde yazalım ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: x 4 x2 _ x

 

x

f

+ + + + - -2 x x 2 4 x2     2 x x 2 x 4 2      2 x x 2 x 4 2      _{x 2} x 2 4 x2      -2 0 2  

_

_

 













































2

x

,

2

x

2

x

0

,

2

x

0

x

2

,

2

x

2

x

,

2

x

x

f

ise ise ise ise

a.

 





 





_























           

4

2

x

lim

x

f

lim

4

2

x

lim

x

f

lim

2 x 2 x 2 x 2 x

_lim

_f

 

_x

2 x yoktur.

b.

 





 





_





















       

2

2

x

lim

x

f

lim

2

2

x

lim

x

f

lim

0 x 0 x 0 x 0 x

_lim

_f

 

_x

₂

0 x



dir.

c.

 





 





_























       

4

2

x

lim

x

f

lim

4

2

x

lim

x

f

lim

2 x 2 x 2 x 2 x

lim

f

 

x

2 x yoktur.

 

6

2

12

4

f

x

2

4

x

lim

2 4 x















d.

bulunur.

İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ

İŞARET (sgn) FONKSİYONUNUN LİMİTİ

 

x

f

sgn

lim

,

R

R

:

f



_xa

 

₁ a x

sgn

f

x

L

lim

_ 



lim

_xa

sgn

f

 

x



L

₂ 2 1

L

L



_lim

_xa

_sgn

_f

 

_x



_L

₁



_L

₂ 2 1

L

L



lim

_xa

sgn

f

 

x

 



f

a



0



 

x

sgn

f

 

a

f

sgn

lim

_xa



nın bulunuşunda:

1. x=a noktası kritik nokta f(a)=0 ise, bu noktalarda soldan ve sağdan limit incelenmelidir.

ve olsun

Eğer ise dir.

Eğer ise yoktur.

2. Limiti sorulan nokta kritik nokta değilse

Limit değeri ile görüntü değeri eşit olacağından,

ÖRNEK: ÖRNEK:

 





2

3

x

sgn

x

f

,

R

R

:

f







fonksiyonunun, x =3 ve x =2

noktalarındaki limitinin olup olmadığını araştıralım.

ÇÖZÜM

 

 

 

 

_















       

1

1

lim

x

f

lim

1

1

lim

x

f

lim

3 x 3 x 3 x 3 x

_lim

_f

 

_x

₁

3 x



   

x

f

2

lim

sgn



x

3



1

f

lim

_x2





_x2



2



ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: olduğundan, dir. 1 0 y x 1 2 3

TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ

TAM KISIM FONKSİYONUN LİMİTİ

 

x

f

lim

,

R

R

:

f



_xa

a

x



f

 

a



Z

0

h







h

a

x





h



0

 

_{h 0}





₁ a x

f

x

lim

f

a

h

L

lim

_ 



_





h

a

x





 

_{h 0}





₂ a x

f

x

lim

f

a

h

L

lim

_ 



_





 

x

f

lim

L

L

₁



₂



_xa

 

x

L

f

lim

L

L

L

₁



₂





_xa



 

a Z f 

 

x

f

 

a

f

lim

_xa



ın bulunuşunda:

için ise, soldan ve sağdan limit incelenir. Soldan limit incelenirken, x<a yani olmak üzere,

yazabiliriz.Sonra için limitini alabiliriz. Sağdan limit incelenirken olduğundan,yani olmak üzere yazabiliriz.

a

x



h







0

0

h



Sonra için limitini alabiliriz.

Eğer dir.

Eğer yoktur.

a

x



için ise, limit değeri ile görüntü değeri eşit

ÖRNEK: ÖRNEK:

 

x

2

x

1

f





2

1

x



5

3

x



fonksiyonunun ve

noktalarında limitlerinin olup olmadığını inceleyelim.

ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: 2 1 x  1 0 Z 2 1 1 x 2 _          2 1 x 

h







0

h 2 1 x  

h



0

 

h

1

lim



1

2

h

1



0

1

1

2

1

2

lim

x

f

lim

_{h 0 h 0} 2 1 x







































 



_{ }        

 

h

1

lim



1

2

h

1



1

1

0

2

1

2

lim

x

f

lim

_{h 0 h 0} 2 1 x





































 



_{ }        

 

x

f

lim

2 1 x için,

olduğundan fonksiyonun soldan ve sağdan limitini inceleyelim.

Soldan limit incelerken, olduğundan, yani olmak üzere yazalım ve için limitini alalım.

Sağdan limit incelenirken, olduğundan, yani

2 1 x 

h







0

h 2 1 x  

h



0

Olmak üzere, yazalım ve için limitini alalım.

2 1

x  _{noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan;}

yoktur.

Z            5 1 1 5 3 2 1 x 2

 

1 1 1 0 5 6 1 5 3 2 5 3 f x f lim 5 3 x                    

5

3

x



b. için, olduğundan, limit değeri ile görüntü değeri eşit olur.

SONSUZ İÇİN LİMİT

SONSUZ İÇİN LİMİT

ÖRNEK ÖRNEK

Aynı şekilde bir fonksiyon olsun. Terimleri aralığında bulunan ve a

ıraksayan her dizisi için ise; için, f nin limiti K dır, denir ve

biçiminde gösterilir.

 



f x



K lim_{n n} 

 

x K f lim_n 

 

x_n

aralığında bulunan ve a ıraksayan her dizisi için, ise; için, f nin limiti L dir denir ve biçiminde gösterilir.



x

,



R

:

f

₀





 

x

L

f

lim



f

 

x

_n



L



lim

_{n n}



x  

bir fonksiyon olsun.Terimleri



x

₀

,









 

xn



,

x



R

:

f





₀









,

x

₀











x

ANA MENÜ ANA MENÜ

ÖRNEK: ÖRNEK:

 

















0

x

,

3

0

x

,

x

1

x

f

,

R

R

:

f

ise

ise fonksiyonu veriliyor.

a.

lim

_x

f

 

x

_b.

_lim

_f

 

_x

x

a.

 

_{xn dizisi için, olsun.}

 

_

_

n

x

lim

 

 

1

0

x

1

lim

x

f

lim

x

f

lim

n n n n x





_

_

















_{ }  

 

 

1

0

x

1

lim

x

f

lim

x

f

lim

n n n n x

























_{ }  

b.

 

xn dizisi için, olsun.

lim

 

x

_n





dır.

dır. ÇÖZÜM:

SONSUZ LİMİT

SONSUZ LİMİT

ve olmak üzere, ya da fonksiyonu için , terimleri;

kümesine ait ve a sayısına yakınsayan dizisi için, :

R

A



a



A

f

:

A



R

 

a

R

A

:

f





A



 

a

 

x

_n





x

_n



0



 



f

x

_n







lim

xa

f

 

x





 



f

x

_n







1. ise,

 







f

x

lim

_{x a} 2. ise, dur. y x a 0

P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonu olmak üzere

fonksiyonunun paydasını sıfır yapan x değerlerinde limit sorulursa, soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır.

 

 

_{ }

x Q x P x f  ÖRNEK: ÖRNEK:

3

x

1

3x

lim

_{x 3}







 değerini bulalım. ÇÖZÜM_ÇÖZÜM

x=3 noktasında soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan, ÇÖZÜM: ÇÖZÜM:





_

_







































   

_h

3h

8

lim

3

h

3

1

h

3

3

lim

3

x

1

3x

lim

_{x 3 h 0 h 0}









_

_

































   

_h

3h

8

lim

3

h

3

1

h

3

3

lim

3

x

1

3x

lim

_{x 3 h 0 h 0}

3

x

1

3x

lim

_{x 3}







 yoktur.

FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ

FONKSİYONLARIN LİMİTİ İLE İLGİLİ

TEOREMLER

TEOREMLER

olmak üzere, ye ya da ye tanımlı f ve g fonksiyonları için;

A



R

Teorem: Teorem:

A



R,

a



A,

b,

c



R

 

a

R

A





 

x

b

f

lim

_xa



lim

_xa

g

 

x



c

   



f

x

g

x



b

c

lim

_xa

_



_

ve ise, 1.

2.

lim

_xa



f

   

x

.g

x





lim

_xa

f

 

x

.lim

_xa

g

 

x



b.c

3.

 

 

 

 

c



lim

g

 

x

0



b

x

g

lim

x

f

lim

x

g

x

f

lim

_{x a} a x a x a x



















    4.

 

n

 

n a x n a x

f

x

lim

f

x

b

lim

_



_



ÖRNEKÖRNEK

ANA MENÜ

ÖRNEK : ÖRNEK :

 



3.f

x



lim

_x2



 

3

 



1 x

2.f

x

g

x

lim

_



 

 



_











x

g

x

f

lim

_{x 2}

 

x

2x

1

f





g

 

x _ x2 _1 fonksiyonları veriliyor: a. _b. c. değerlerini gösteriniz. ÇÖZÜM ÇÖZÜM

ÇÖZÜM 1. ÇÖZÜM 1. a.

lim

_x2



3.



2x



1







3.lim

_x2



2x



1





3.5



15





 

5

3

1

x

lim

1

2x

lim

1

x

1

2x

lim

₂ 2 x 2 x 2 2 x





































   c.













3 2 1 x 1 x 3 2 1 x

2

2x

1

x

1

lim

2

2x

1

lim

x

1

lim

_









_





_



b.

2

0

2











1.

2.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ 3. 4. 5.

0

0

BELİRSİZLİĞİ





_{BELİRSİZLİĞİ:}







BELİRSİZLİĞİ



.

0

BELİRSİZLİĞİ

LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI

LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI

LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI

limiti hesaplanırken; ise belirsizliği oluşur.Bu durumda; ve ifadeleri çarpanına sahiptir.Yani ve olacağından, olur. Bu limitte yine belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrarlanır. Bu bölümde belirsizliklerini inceleyeceğiz. , , , 0 0 _{  }  

_

.

0

ve 0 0 _{BELİRSİZLİĞİBELİRSİZLİĞİ}

 

 

lim g

 

 

x x f lim x g x f lim a x a x a x    

lim

_xa

f

 

x



lim

_xa

g

 

x



0

0 0

_f

 

_x

_g

 

_x

_

_

a x 

  

x x a

  

f x f   _{1 g}

  

_{x  x a}

  

_{g1 x}

 

 





  

  

g

 

 

x x f lim x .g a x x .f a x lim x g x f lim 1 1 a x 1 1 a x a x  _     0 0 ÖRNEK: ÖRNEK:

6

5x

x

4

4x

x

lim

₂ 2 2 x

_

_





 değerini bulunuz. ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM:

0

3

x

2

x

lim

3)

2).(x

(x

2)

(x

lim

0

0

6

10

4

4

8

4

6

5.2

2

4

4.2

2

6

5x

x

4

4x

x

lim

2 x 2 2 x 2 2 2 2 2 x















































  

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ

Sinüs ve cosinüs fonksiyonları her noktada süreklidir.

R

a



olmak üzere,

cosa

cosx

lim

sina,

sinx

lim

_xa



_xa



dır.

cosx

sinx

tanx



olduğundan, tanjant fonksiyonu için süreksizdir.

0

cosx 

tana

tanx

lim

_xa



sinx cosx

cotx  olduğundan, cotanjant fonksiyonu için

süreksizdir. 0 sinx 

cota

cotx

lim

_xa



ÖRNEK: ÖRNEK:

_?

)

3

tan(

9

lim

2 3









x

x

x ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM:

6

6

.

1

)

3

(

lim

.

)

3

tan(

3

lim

)

3

tan(

)

3

)(

3

(

lim

0

0

)

3

tan(

9

lim

3 3 3 2 3

























   

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x B.H

ve ise,

limitinin hesabında; belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.Bu durumdaki belirsizlik belirsizliğidir. Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve payda en yüksek dereceli x parantezine alınıp kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir.





_{BELİRSİZLİĞİ:BELİRSİZLİĞİ:}

 





 _

f

x



lim

_x

lim

_x

g

 

x



_



 

 

x g x f lim_x                 , , ,





ÖRNEK: ÖRNEK: 3 4 x

x

2

5x

x

lim





  değerini hesaplayalım. _{ÇÖZÜMÇÖZÜM}

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM:

 

 

 

































  3 4 3 4 x

2

5.

x

2

5x

x

lim

 







                 _               _                 1 1 0 0 1 1 x 2 x 5 1 x lim 1 x 2 x x 5 1 x lim x 2 5x x lim 3 3 x 3 3 3 4 x 3 4 x belirsizliği vardır.

veya

belirsizliği genellikle; yada belirsizliklerinden birine dönüştürülür.







BELİRSİZLİĞİBELİRSİZLİĞİ

   

















f

x

g

x

lim

_{x a}

lim

_{x  }



f

   

x



g

x











0

0

  ÖRNEK: ÖRNEK:





















1

x

1

1

x

2

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM:                     0 1 0 2 1 1 1 1 1 2 1 x 1 1 x 2 lim_{x 1 2 2}













0 0 1 1 1 lim 1 1 1 2 lim 1 x 1 1 x 2 lim_{x 1 2 1 1 }                                  x x x x x x x x







2 1 1 x 1 lim 1 x 1 x x 1 lim_{x 1 x 1}                 B.H belirsizliğine dönüşür. bulunur.



.

0

BELİRSİZLİĞİBELİRSİZLİĞİ

   











f

x

.

g

x

0

.

lim

_{x a} veya

lim

_{x } 



f

   

x

.

g

x





0

.



belirsizliğinin oluşması durumunda;

   





 

 

0 0 x g 1 x f lim x .g x f lim_xa  _xa 

   





 

 









_ 

x

f

1

x

g

lim

x

.g

x

f

lim

_{x a x a} ya da biçimine dönüştürülerek limit hesaplanır. ÖRNEK: ÖRNEK:



3x

1



4

x

1

lim

_x





  değerini hesaplayalım. ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÇÖZÜM: ÇÖZÜM:













 

0.

4

x

1

1

3x

lim

_x











 

4

x

1

3x

lim

_x

3

4

x

1

3x

lim

_x







  belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür. bulunur.

ÇÖZÜMLÜ TEST

ÇÖZÜMLÜ TEST

SORU 1. SORU 1. _f

 

_{x  sgn}



_x2 _{3x  4}



_{ x}2 _{ 2} dir.

 

x f

lim_x4 in değeri nedir?

SORU 2.

SORU 2. _f

 

_{x  2x  7 dir.}

 

x

f

lim

_x2 in değeri nedir?

SORU 3.

SORU 3.

_f

 

_x

_

_x

2

_

_4x

_

₄

dür.

2

x



için limit değeri ne olabilir? SORU 4. SORU 4.





9 x x 9 sgn lim ₂ 2 3 x _     ın değeri nedir? SORU 5. SORU 5.

_f

 

_x





_2x

3



_3x

2



_4x



₂

 

x

f

lim

_x ve

lim

_x

f

 

x

ise, in değeri nedir? ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ ANA MENÜ

limitini bulunuz. SORU 6. SORU 6.





4

x

x

2

sin

lim

_{x 2 2}





 nedir? SORU 7. SORU 7. 3 2 x

x

1

5

3x

x

lim







  değerini hesaplayalım.













_



sinx

1

tanx

1

lim

_{x 0} SORU 8. SORU 8. değerini hesaplayalım.         x 4 .sin 2 x lim_x SORU 9. SORU 9. değerini hesaplayalım.





2

x

x

1

x

2.sgn

3

x

lim

_{x 1}













  SORU 10. SORU 10. ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM

ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ANA MENÜ ANA MENÜ ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM

2

x

2

x

2x

lim

_{x 2}







 

3

2x

x

lim

_x2





SORU 11. SORU 11. SORU 12. SORU 12. SORU 13. SORU 13.

_?

a

x

a

sin

x

sin

lim

_{2 2} 2 2 a x

_





 SORU 14. SORU 14. SORU 15. SORU 15.

?

2

3x

1

2x

lim

_{x -}









 

?

3)

(x

5

3x

lim

_{x 3 2}









ÇÖZÜM 1 ÇÖZÜM 1 17 2 16 1 f(x) lim -1 4) -3x sgn(x 0 4 -3x x -4 x 2 2           x -1 4 + - +    4 -3x x2 

ÇÖZÜM 2 ÇÖZÜM 2

4

3

1

3

2h

-lim

3

2h

lim

7

-h)

-2(2

lim

7

2x

lim

h)

f(2

lim

f(x)

lim

0

h

4

7

2x

lim

4

7

2x

3

7

2x

7

4

7

2x

4

2x

2

x

2

x

0 h 0 h 0 h 2 x 0 h 2 x 2 x

-





































































        1.Yol 1.Yol 2. Yol 2. Yol

ÇÖZÜM 3 ÇÖZÜM 3

0

f(x)

lim

0

h

2)

h

(2

lim

h)

f(2

lim

f(x)

lim

0

h

2)

h

(2

lim

h)

f(2

lim

f(x)

lim

2)

(x

4

4x

x

f(x)

2 x 2 2 0 h 0 h 2 x 2 2 0 h 0 h 2 x 2 2









































        

ÇÖZÜM 4 ÇÖZÜM 4

7

1

9

16

1

9

4)

(

1

9

x

)

x

sgn(9

lim

göre

Buna

1

)

x

-sgn(9

ve

0

x

9

9

x

9

x

4

x

3

x

3

x

2 2 2 -3 x 2 2 2 2 -





















































 

ÇÖZÜM 5 ÇÖZÜM 5











































        3 3 x x 3 3 x x 3 2 3 2 3

)

2(

)

2x

(

lim

f(x)

lim

)

2(

)

2x

(

lim

f(x)

lim

x

2

,

x

4

,

x

3

için

x

)

x

2

x

4

x

3

2

(

x

f(x)

ÇÖZÜM 6 ÇÖZÜM 6

4

1

2

2

1

1.

2

x

1

.

x

2

x)

sin(2

lim

2)

2).(x

(x

x)

sin(2

lim

4

x

x)

sin(2

lim

1

x

2

x)

sin(2

lim

0

x)

(2

için

2

x

2 x 2 x 2 2 x 2 x













































    olduğundan dir. Buna göre

ÇÖZÜM 7 ÇÖZÜM 7













  ₃ 2 x

x

1

5

3x

x

lim

0

1

x

1

x

x

5

x

3

1

lim

1

x

1

x

x

5

x

3

1

x

lim

x

1

5

3x

x

lim

3 2 x 3 3 2 2 x 3 2 x













 













_

_















_













_

_









      belirsizliği vardır.

ÇÖZÜM 8 ÇÖZÜM 8





















_



sinx

1

tanx

1

lim

_{x 0} 0 0 sinx 1 cosx lim sinx 1 tanx 1 lim_{x 0 x 0 }               _   0 1 0 2 x cos 2 x sin lim 2 x .cos 2 x 2sin 1 2 x 2sin 1 lim sinx 1 cosx lim 0 x 2 0 x 0 x                  B.H belirsizliğine dönüştürülür.

ÇÖZÜM 9 ÇÖZÜM 9































 

.sin0

0.

4

.sin

2

x

4

.sin

2

x

lim

_x

0

0

x

2

x

4

sin

lim

_x



2

1.2

.2

x

4

x

4

sin

lim

x

2

x

4

sin

lim

0 x 1 x



_





belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür.





x

₀

x

1 

için, olduğundan; bulunur.

ÇÖZÜM 10 ÇÖZÜM 10



















 

_x

₂

x

1

x

2.sgn

3

x

lim

_{x 1}



 



























2

h

1

h

1

1

h

1

2.sgn

3

h

1

lim

_{h 0}

 

1 1 1 2 2 h 1 h 1 h 2.sgn h 2 lim_{h 0}              bulunur.

ÇÖZÜM 11 ÇÖZÜM 11









 

_x

₂

2

x

2x

lim

_{x 2}





2

h

2

2

h

2

h

2

2

lim

2

x

2

x

2x

lim

_{x 2 h 0}





















  

0

h

2

2

4

lim

h

2

2

4

lim

h

2

h

2

2h

4

lim

0 h 0 h 0 h























  



x

2x

3



lim

3

2x

x

lim

_x2







_x2













1

3

3

1

3

2h

4

h

2

lim

3

2x

x

lim

_{x 2 h 0}























_  









1

3

4

2

3

2h

4

h

2

lim

3

2x

x

lim

_{x 2 h 0}























_  

1

3

2x

x

lim

_x2







ÇÖZÜM 12 ÇÖZÜM 12

sin2a

2a

1

2a

2sina

2

1

2.cosa

2a

sina

sina

.

a

x

2

a

x

.sin

2

a

x

2.cos

lim

a

x

sina

sinx

.lim

a

x

sina

sinx

lim

a)

a)(x

(x

sina)

sina)(sinx

(sinx

lim

BH

0

0

a

x

a

sin

x

sin

lim

a x a x a x a x 2 2 2 2 a x



















































     ÇÖZÜM 13 ÇÖZÜM 13

ÇÖZÜM 14 ÇÖZÜM 14

3

2

0

3

0

2

x

2

3

x

x

1

2

x

lim

2

3x

1

2x

lim

2

3x

1

2x

lim

2

3x

2

3x

0

2

3x

iken

x

x x x























 















_

_



































      olduğundan