FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOĞRUSAL OLMAYAN KISMİ DİFERANSİYEL
DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN
MATEMATİKSEL DAVRANIŞI
Hatice TAŞKESEN
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
DİYARBAKIR Haziran–2012
Tecrübe ve rehberlikleriyle bu tez çalışmasının her anında yanımda olan değerli danışmanım Prof. Dr. Abdulkadir Ertaş’ a, tez konumu seçmemde bana yardımcı olan ve tezin oluşturulması sırasında bilgilerinden fazlasıyla yararlandığım ikinci danışmanım Doç. Dr. Necat Polat’ a şükranlarımı sunuyorum.
Ayrıca manevi desteklerinden dolayı aileme ve eşime sonsuz teşekkürlerimi sunmak istiyorum.
Son olarak da, maddi desteklerinden dolayı TÜBİTAK’ a teşekkürlerimi sunuyorum. TÜBİTAK’ ın maddi desteği olmasaydı bu çalışma var olamazdı.
Canım kızıma…
Sayfa TEŞEKKÜR………. I İÇİNDEKİLER………... III ÖZET………... V ABSTRACT………... VI 1. GİRİŞ………... 1 2. ÖN BİLGİLER………... 7
2.1. Normlu Uzay, İç Çarpım ve Hilbert Uzayı ………... 7
2.2. Lebesgue Uzayı ……….……….. 10
2.3. Sobolev Uzayı ……… 11
2.4. Operatörler ……….. 14
2.5. Eşitsizlikler ……….. 15
2.6. Fourier Dönüşümü ……….. 18
3. POTENTIAL WELL METODU………... 21
3.1. Potential Well Metoduyla İlgili Temel Bilgiler……….……….……. 21
3.2. Potential Well Metodunun Hiperbolik ve Parabolik Denklemlere Uygulanması……….………... 26
3.2.1 (3.6)-(3.8) Probleminin Çözümlerinin Global Varlık ve Yokluğu……….. 34
3.2.2. (3.9)-(3.11) Probleminin Çözümlerinin Global Varlık ve Yokluğu …………... 37
4. DURAĞAN FAZ (STATIONARY PHASE) METODU………….…..…….. 41
5. ALTINCI MERTEBEDEN UZAMSAL TÜREVLER İÇEREN BOUSSINESQ-TİPLİ BİR DENKLEM İÇİN CAUCHY PROBLEMİ ….. 45
5.1. α =1 İçin Lokal Varlık ………..……….……. 46
5.2. Potential Well……….………...…... 48
5.3. α =1 Global Varlık ve Yokluk……….. 51
5.4. α = −1 İçin Blow Up………... 56
6. ALTINCI MERTEBEDEN BOUSSINESQ-TİPLİ BİR DENKLEM İÇİN
CAUCHY PROBLEMİ ……… 61
6.1 Üstkritik Başlangıç Enerjili Durum İçin Global Çözümlerin Varlığı………... 66
7. GENELLEŞTİRİLMİŞ KÖTÜ BOUSSINESQ TİPLİ BİR DENKLEM İÇİN ÇÖZÜMLERİN GLOBAL VARLIĞI VE AZALMASI……….. 71
7.1. Lokal Varlık ……….……….……….. 72
7.2. Doğrusal Kestirimler……….………... 75
7.3 Temel Sonuçların İspatı ……….. 83
8. TARTIŞMA ve SONUÇLAR……… 87
9. KAYNAKLAR……… 89
ÖZGEÇMİŞ ………... 96
DOĞRUSAL OLMAYAN KISMİ DİFERANSİYEL
DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN
MATEMATİKSEL DAVRANIŞI
DOKTORA TEZİ Hatice TAŞKESEN DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI2012
Bu tezin ilk bölümünde davranışları çalışılacak olan denklemlerin tarihi gelişimleri ve bu denklemlerle ilgili literatür çalışmasına yer verilmiştir.
İkinci bölümde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, teorem ve lemmalar hakkında bilgi verilmiştir.
Üçüncü bölümde bu tezde kullanılan metotlardan ilki olan potential well metodu anlatılmış, bu metotla ilgili literatür çalışmasına yer verilmiş ve metodun uygulandığı bir denklemin davranışı (global varlık ve blow up) ele alınmıştır.
Dördüncü bölümde tezde kullanılan ikinci metot olan durağan faz (stationary phase) metoduna değinilmiştir.
Beşinci bölümde altıncı mertebeden sadece uzamsal türevler içeren iyi Boussinesq-tipli bir denklem için lokal, global varlık ve blow up incelenmiş, ayrıca altıncı mertebeden sadece uzamsal türevler içeren kötü Boussinesq-tipli bir denklem için de çözümlerin blow up’ı verilmiştir.
Altıncı bölümde iyi Boussinesq-tipli altıncı mertebeden bir denklem için çözümlerin global varlığı superkritik başlangıç enerjili durum için potential well metodu yardımıyla incelenmiştir.
Yedinci bölüm ise, kötü Boussinesq-tipli bir denklem için çözümlerin lokal, global varlığını ve azalmasını (decay) içermektedir. Çözümlerin davranışı durağan faz (stationary phase) metoduyla çalışılmıştır.
Anahtar Kelimeler : İyi Boussinesq-Tipli Denklem, Kötü Boussinesq-Tipli Denklem, Potential Well Metodu, Durağan Faz (Stationary Phase) Metodu, Lokal Varlık, Global Varlık, Patlama (Blow up), Azalma (Decay)
ABSTRACT
MATHEMATICAL BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL
EQUATIONS
PhD THESIS Hatice TAŞKESEN UNIVERSITY OF DICLE
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS
2012
In the first chapter of this thesis historical development of the equations which will be investigated in the next chapters, and relevant literature are given.
In the second chapter, basic definitions, theorems and lemmas that will be used throughout the thesis are given.
In the third chapter, the first method used in this thesis, the potential well method, is explained and related literature is given. Moreover, global existence and blow up of solutions of a problem is given by aid of this method.
In the fourth chapter, the second method of the thesis, namely stationary phase method is mentioned.
In the fifth chapter, local and global existence and blow up is investigated for a purely spatial sixth order good Boussinesq-type equation by potential well method. Moreover, blow up of solutions is given for a purely spatial sixth order bad Boussinesq-type equation.
In the sixth chapter, a sixth order Boussinesq-type equation with supercritical initial energy is investigated by aid of potential well method.
The seventh chapter contains local and global existence and decay of solutions for a bad Boussinesq type equation. The behavior of solutions is studied by stationary phase method.
Keywords: Good Boussinesq-Type Equation, Bad Boussinesq- Type Equation, Potential Well, Stationary Phase, Local and Global Existence, Blow up, Decay .
1. G·IR·I¸S
Dünya yüzeyinin %70’inden fazlas¬ sularla kapl¬d¬r. Rüzgarl¬ bir günde bir botla küçük bir gezi yap¬ld¬¼g¬nda suyun durgun bir yap¬ya sahip olmad¬¼g¬görülür. Deniz al-t¬ndaki depremlerin olu¸sturdu¼gu dalgalar veya bir okyanusa dü¸sen bir meteor, k¬y¬larda 5 000 kilometreden daha uza¼ga ciddi zararlar verebilir. Yanl¬¸s h¬zla giden bir geminin olu¸sturdu¼gu neredeyse sürekli formdaki dalgalar k¬y¬ya ula¸st¬¼g¬nda çok y¬k¬c¬olabilir-ler. Tüm bu örnekler, yüzeydeki su dalgalar¬n¬n davran¬¸slar¬n¬n gözlemlenmesinin gün-lük hayat aç¬s¬ndan ne kadar önemli oldu¼gunu göstermektedir (Schneider ve Wayne, 2002). Dalgalar¬n y¬k¬c¬ etkilerinin d¬¸s¬nda, sa¼glad¬¼g¬ faydalar aç¬s¬ndan da gözlem-lenmeleri ve formule edilerek davran¬¸slar¬n¬n belirlenmesi büyük önem ta¸s¬maktad¬r. ¸
Söyle ki, dalgalar kontrol alt¬na al¬namam¬¸s çok büyük enerji bar¬nd¬rmaktad¬rlar. Günümüzde de yenilenebilir enerji kaynaklar¬büyük önem ta¸s¬d¬¼g¬ndan, bu enerjinin en az¬ndan bir bölümü kontrol alt¬na al¬nabilirse, dünyan¬n günlük elektrik ihtiyac¬n¬ (baz¬tahminlere göre dünya enerji tüketiminin %10’unu) kar¸s¬layabilir. Bu kapsamda Portekiz’de Pelamis ayg¬tlar¬ kullan¬larak dünyan¬n ilk dalga çiftli¼gi kurulmu¸s. · In-giltere, ·Irlanda, Norveç gibi ülkelerde de dalga enerjisinin önemi anla¸s¬lm¬¸s, santraller kurulmu¸s, devlet deste¼giyle pilot çal¬¸smalar ba¸slat¬lm¬¸s ya da konu, enerji planla-malar¬nda yak¬n hedef olarak yer alm¬¸st¬r. Norveç’in kuzey sahillerinde, Endonezya-Avustralya aras¬nda dalga enerjisi ile çal¬¸san santraller de hizmettedir.
Fiziki oldu¼gu kadar matematiksel problemler de su dalgalar¬ve onlar¬n sahil üzerine k¬r¬lmalar¬, nehirlerdeki su ta¸sk¬nlar¬ndan olu¸san dalgalar, okyanuslardaki f¬rt¬nalar-dan olu¸san dalgalar, sulardaki gemi dalgalar¬, göller ve limanlar gibi kapal¬sulardaki serbest sal¬n¬mlarla ilgilenmi¸slerdir (Debnath, 1994). Newton taraf¬ndan yap¬lan ilk çal¬¸smalardan sonra, 18. yüzy¬l ve 19. yüzy¬l¬n ba¸slar¬nda Frans¬z matematikçiler Laplace, Lagrange, Poisson ve Cauchy su dalgalar¬n¬n do¼grusal teorisi üzerine önemli ilerlemeler kaydetmi¸sler, Almanya’da Gerstner do¼grusal olmayan dalgalar¬ ele alm¬¸s ve Weber karde¸sler de bunlarla ilgili önemli deneyler yapm¬¸slard¬r. ·Ingiltere’de 1837– 1847 y¬llar¬aras¬nda Russell, Green, Kelland, Airy ve Earnshaw, daha sonralar¬Stokes ve di¼gerlerinin çal¬¸smalar¬na kaynak olu¸sturacak önemli katk¬larda bulunmu¸slard¬r (Craik, 2004). Scott Russell, Edinburgh ve Glasgow ¸sehirlerini birbirine ba¼glayan kanalda bir gemi ¸sirketi için ara¸st¬rmalar yaparken, h¬z ve ¸sekil de¼gi¸sikli¼gine u¼ gra-madan ilerleyen ve h¬z¬ genli¼gine ba¼gl¬ olan solitary dalgalar¬ ke¸sfetmi¸s ve 1844 teki "Reports on waves" isimli çal¬¸smas¬nda bu dalgalar için matematiksel bir ba¼ g¬nt¬ver-erek, ak¬¸skanlardaki, plazmalardaki ve elastik ortamlardaki dalgalar¬n modellenmesine öncülük etmi¸stir. Ancak Scott Russell, solitary dalgalar¬n önemini anlamakta ça¼g¬n¬n çok ötesindeydi, öyle ki Airy, Stokes gibi ça¼gda¸slar¬ Scott Russell’¬n gözlemlerine ve aç¬klamalar¬na inanmam¬¸slard¬. Bu gözlemler uzun y¬llar sonra, 1872’de Boussinesq
1. G·IR·I¸S
ve 1895’te Korteweg ve De Vries taraf¬ndan do¼gru temellere oturtulabildi. Korteweg ve De Vries, hidrodinami¼gin temel kurallar¬ndan ve problemde iki küçük parametre (kanaldaki su dalgalar¬n¬n yüksekli¼ginin kanal¬n derinli¼gine oran¬ (genlik) ve kanal¬n derinli¼ginin kanal¬n uzunlu¼guna oran¬) olmas¬ndan hareketle, sabit ve serbest (do¼grusal olmayan) s¬n¬r ko¸sullar¬n¬kullanarak, sistematik (asimtotik) aç¬l¬mla Scott Russell’¬n gözlemlerinin (x; t) genli¼gi için
ut+ 6uux+ uxxx = 0
do¼grusal olmayan dalga denklemiyle (KdV denklemi) modellenebilece¼gini göstermi¸stir. Burada u (x; t) ; (x; t) genli¼giyle do¼grusal olarak ba¼glant¬l¬d¬r.
Ne yaz¬k ki böylesine önemli bir konu, solitary dalgalar¬n varl¬¼g¬n¬kapsaml¬olarak gösteren ve do¼grusal olmayan bir k¬smi diferansiyel denklemle modelleyen Korteweg-De Vries’in analizlerinden 70 y¬l sonras¬na kadar bile, Zabusky ve Kruskal (1965) tamamen yeni bir …ziksel durum için yani do¼grusal olmayan bir latiste, Fermi-Pasta-Ulam (FPU) latisinde, dalgalar¬n yay¬l¬m¬için tamamen ayn¬KdV denklemini elde edinceye kadar, bilim camias¬ndan yeteri kadar ilgi görmemi¸stir. Zabusky ve Kruskal’¬n 1965’teki bu bulgular¬ bir yandan soliton kavram¬n¬ (Scott Russel’¬n solitary dalgas¬ asl¬nda bir solitondur) ve en nihayetinde integrallenebilirlik kavram¬n¬ ortaya ç¬kar¬rken, di¼ger yandan da Hamilton kaosunun ortaya ç¬kmas¬na öncülük etmi¸stir. Daha sonra 1970-1996 y¬llar¬aras¬nda bu iki yeni kavram hem daha iyi anla¸s¬lm¬¸s, hem de …zi¼gin hemen hemen her alan¬nda uygulama alanlar¬ bulmu¸stur (Detayl¬ literatür bilgisi için bkz. Craik, 2004).
Daha önce bahsetti¼gimiz gibi, KdV denkleminden önce elde edilen, s¬¼g sular¬n yüzeyindeki uzun dalgalar¬n yay¬l¬m¬n¬ modelleyen ve Scott Russell’¬n deneysel gö-zlemlerini destekleyen di¼ger bir denklem de Boussinesq denklemidir. 1872’de Joseph Valentin Boussinesq’in (Boussinesq, 1872) yay¬lma ve do¼grusal olmama etkilerini de hesaba katarak Euler’in hareket denklemlerinden olu¸sturdu¼gu bu denklem a¸sa¼g¬daki gibi yaz¬labilir:
utt = uxx uxxxx+ u2 xx: (1.1)
Burada u (x; t) ak¬¸skan¬n serbest yüzeyindeki yükselti (genlik), ; ( < 0) ak¬¸skan¬n derinli¼gine ve uzun dalgalar¬n karakteristik h¬z¬na ba¼gl¬ olan sabitlerdir. (1.1) den-klemi, s¬¼g su dalgalar¬n¬n d¬¸s¬nda, serbest yüzeyli ince ak¬¸smaz tabaka dinamikleriyle il-gili çal¬¸smalarda, do¼grusal olmayan ¸seritlerde, ¸sekil-koruyan ala¸s¬mlarda, elastik çubuk-lardaki dalgalar¬n yay¬l¬m¬nda, birle¸stirilmi¸s elektrik devreleri gibi birçok yerde kar¸s¬m¬za ç¬kmaktad¬r. Sonralar¬ (1.1) denkleminin Cauchy problemi için, k¬sa dalga uzunluk-lar¬nda …ziksel problemden kaynaklanmayan do¼grusal karars¬zl¬¼ga sahip oldu¼gu, yani Hadamard anlam¬nda iyi konulmam¬¸s oldu¼gu görülmü¸stür. Bir problemin Hadamard anlam¬nda kararl¬ olmas¬ için, bir çözümünün olmas¬, var olan çözümün tek olmas¬
ve çözümün ba¸slang¬ç verilerine sürekli ba¼g¬ml¬ olmas¬ (yani, ba¸slang¬ç verilerindeki küçük bir de¼gi¸siklik çözümde çok büyük de¼gi¸sikliklere neden olmamal¬) gerekmektedir. Bir modelin pratik önem ta¸s¬mas¬için yap¬sal olarak kararl¬olmas¬gerekti¼gi iyi bilinen bir gerçektir. Ancak bu durumda, model nümerik olarak simüle edilebilir ve modeli yöneten parametrelerin büyük aral¬klardaki de¼gi¸simi için gözlemler yap¬labillir.
Bu karars¬zl¬¼g¬ gidermek amac¬yla denklemde baz¬ de¼gi¸siklikler yap¬lm¬¸st¬r. Bun-lardan ilki, denklemdeki dördüncü mertebeden dispersif terimin negatif olan i¸saretini pozitif ile de¼gi¸stirmektir. Bu durum ak¬¸skanlar dinami¼ginde çok güçlü bir yüzey geril-imine kar¸s¬l¬k gelirken, latislerde uzun mesafeli etkile¸simlerin bask¬nl¬¼g¬anlam¬na gelir ki, bunlar gerçekte kar¸s¬la¸s¬lmayan durumlard¬r. Dolay¬s¬yla, dördüncü mertebeden terimin i¸sareti derin …ziksel anlamlar ta¸s¬d¬¼g¬ndan, model elde edilirken al¬nan temel varsay¬mlar de¼gi¸stirilmeden, basit gibi görünse de bu i¸saret de¼gi¸stirmesi yap¬lamaz (Christov ve ark., 1996).
(1.1) denklemini Hadamard anlam¬nda kararl¬k¬lmak için bir di¼ger yol, dördüncü mertebeden uzamsal türevi, kar¬¸s¬k türevle de¼gi¸stirmektir. Bu durumda denklem geli¸stirilmi¸s Boussinesq denklemi ad¬n¬al¬r ve
utt uxx uxxtt = u2 xx
¸seklindedir. Bu de¼gi¸siklik …ziksel varsay¬mlar¬ de¼gi¸stirmez, ancak bu durumda da denklem tam integrallenebilirlik özelli¼gini kaybetti¼ginden analitik teknikler aç¬s¬ndan elveri¸slili¼gini kaybeder.
Üçüncü bir yol da, dispersiyon ba¼g¬nt¬lar¬ yaz¬l¬rken alt¬nc¬ mertebeden uzamsal türevin de denklemde bulundurulmas¬d¬r, yani
utt = uxx+ u2 xx+ uxxxx+ uxxxxxx; > 0
denklemidir. Bu durumda da denklem tam olarak integrallenebilir de¼gildir.
Görüldü¼gü gibi Boussinesq’in 1872’de elde etti¼gi denklem, s¬¼g sular¬n yüzeyindeki küçük genlikli uzun dalgalar¬ modelleyen tek denklem de¼gildir. Ba¼g¬ms¬z de¼gi¸ sken-lerin farkl¬seçimi ve dü¸sük mertebeden terimlerin, dispersiyon ba¼g¬nt¬lar¬kullan¬larak modi…ye edilmeleri farkl¬Boussinesq denklemlerini (Boussinesq-tipli denklemleri) or-taya ç¬karm¬¸st¬r. Tüm bu denklemler do¼grusal olmama ve dispersiyonun küçük etki-lerinin hesaba kat¬larak olu¸sturuldu¼gu do¼grusal dalga denklemlerinin pertürbeleridir. Boussinesq-tipli denklemler do¼grusal olmayan dispersif dalga yay¬l¬m¬n¬n ilk model-leri olmalar¬na ra¼gmen, bu denklemlerin matematiksel teorisi KdV-tipli denklemlerde oldu¼gu gibi henüz tamamlanmam¬¸st¬r. Bu da bir anlamda Boussinesq-tipli denklem-lerin ba¸slang¬ç de¼ger problemlerinin her zaman iyi konumlu olmamas¬yla ilgilidir (Bona ve Sachs, 1988).
1. G·IR·I¸S
alan bir çok makale bulunmaktad¬r. Matematiksel davran¬¸s kapsam¬nda, bir prob-lemin, verilen ba¸slang¬ç/ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼gerleri için çözümünün sonlu bir [0; T ) zaman aral¬¼g¬nda var olup olmad¬¼g¬(lokal çözüm), bu sonlu aral¬¼g¬n baz¬yerlerinde singü-laritelerin olu¸sup olu¸smad¬¼g¬(blow-up), e¼ger sonlu aral¬kta çözüm var ise bunun (0; 1) aral¬¼g¬na geni¸sletilebilip geni¸sletilemeyece¼gi (global çözüm) ve çözümün T sonsuza giderken azalmas¬ve saç¬lmas¬gibi konular ele al¬n¬r. Bu bölümün geri kalan k¬sm¬nda k¬saca bu çal¬¸smalara de¼ginece¼giz.
Bona ve Sachs (1988),
utt = uxx u2+ uxx xx (1.2)
denklemi için ba¸slang¬ç de¼ger probleminin her zaman için lokal olarak iyi konumlu oldu¼gunu Kato’nun soyut teorisini kullanarak gösterdikten sonra, lokal çözümlerin baz¬ ko¸sullar alt¬nda global çözüme geni¸sletilebilece¼gini göstermi¸slerdir. Ayr¬ca, dalgan¬n yay¬lma h¬z¬n¬n belli bir aral¬¼g¬ için, do¼grusal olmayan solitary dalga çözümlerinin kararl¬l¬¼g¬n¬ispatlam¬¸slard¬r. Daha sonra bu kararl¬l¬k ve lokal varl¬k sonuçlar¬n¬bir-le¸stirerek global varl¬¼g¬ispatlam¬¸slard¬r.
Linares (1993), do¼grusal olmayan ¸seritlerin modellenmesiyle olu¸san
utt uxx+ uxxxx+ (u)xx = 0 (1.3)
u (x; 0) = f (x) ; ut(x; 0) = g (x) (1.4)
ba¸slang¬ç de¼ger probleminin çözümlerinin lokal ve global varl¬¼g¬n¬çal¬¸sm¬¸s, daha önce Schrödinger denklemi için kullan¬lm¬¸s olan Lp Lq Stricthartz kestirimlerini
kulla-narak, ba¸slang¬ç verilerinin (f; g) = (f; @xh)2 L2(R) H_ 1(R)ve (f; g) = (f; @xh)2
H1(R) L2(R) durumlar¬için lokal varl¬¼g¬vermi¸
s, ayr¬ca f 2 H1(R) ve g = @
xh 2
L2(R) nin yeterince küçük olma ko¸sulu alt¬nda çözümlerin global varl¬¼g¬n¬
ispat-lam¬¸st¬r.
Linares ve Scialom (1995), (1.3) ve (1.4) probleminde do¼grusal olmayan terimi (u) = juj 1u ¸seklinde alarak, çözümlerin asimtotik davran¬¸s¬n¬ incelemi¸sler ve ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬n yeterince küçük olmas¬durumunda kukp C (1 + t) =2oldu¼gunu ispatlam¬¸slard¬r.
Sachs’¬n (1990) (1.3) denkleminde (u) = u2 do¼grusal olmayan terimiyle
çözüm-lerin blow up olmas¬yla ilgili çal¬¸smas¬, Liu (1993, 1997) taraf¬ndan geni¸sletilmi¸s ve blow up ile ilgili daha iyi sonuçlar elde edilmi¸stir.
Fang ve Grillakis (1996), (1.3), (1.4) problemi için çözümlerin varl¬k ve tekli¼gini birim çemberde ele al¬p, Bourgain’in (1993 a,b) çal¬¸smalar¬ndan esinlenerek elde et-tikleri kestirimler yard¬m¬yla lokal varl¬¼g¬ve enerjinin korunumundan yola ç¬karak da global varl¬¼g¬ispatlam¬¸slard¬r.
Xue (2006), (u) = uk+1 do¼grusal olmayan terimiyle (1.3) denklemini çal¬¸sm¬¸s, k > 4için Besov uzay¬nda lokal ve global çözümlerin varl¬¼g¬n¬göstermi¸stir. Bu amaçla
daralma dönü¸sümü prensibini kullanm¬¸s ve Bourgain (1998), Cazanave ve Weissler (1990), Molinet ve Ribaud (2003) taraf¬ndan sunulan teknikleri modi…ye etmi¸stir.
(1.3) denkleminin genel bir do¼grusal olmayan terimle çok boyutta Zhijian ve Guo (2008) taraf¬ndan zay¬f çözümlerinin global varl¬k ve yoklu¼gu ispatlanm¬¸st¬r.
Turitsyn (1993), geli¸stirilmi¸s Boussinesq denklemini
utt uxx uxxtt+ u2 xx = 0 (1.5)
periyodik s¬n¬r ko¸sullar¬yla ele alm¬¸s ve bu denklemin çözümlerinin blow up ¬için bir teorem vererek ispatlam¬¸st¬r. Ayr¬ca (1.5) denkleminin do¼grusal halinin s¬n¬r de¼ger problemi için Godefroy (1998) çözümlerin blow up oldu¼gunu göstermi¸stir.
Chen ve Wang (1999), (1.5) denkleminin s¬n¬r de¼ger problemini genel bir do¼grusal olmayan terimle çal¬¸sm¬¸slard¬r. Çözümlerin lokal ve global varl¬¼g¬n¬ ispatlad¬ktan sonra, blow up olmas¬n¬ vermi¸sler ve f (u) = k jujq özel durumunda çözümler için blow up ve global varl¬¼g¬da ayr¬ca ispatlam¬¸slard¬r.
(1.5) denkleminin Cauchy problemi çok boyutta, Wang ve Chen (2002a) taraf¬ndan çözümlerin lokal, global varl¬k ve global yoklu¼gu çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Di¼ger bir makalede yine ayn¬ yazarlar (Wang ve Chen, 2002b) taraf¬ndan ayn¬ problem için küçük genlikli çözümlerin global varl¬¼g¬ve küçük ba¸slang¬ç verileriyle saç¬lmas¬ele al¬nm¬¸st¬r.
Ayr¬ca (1.5) denklemi,çe¸sitli makalelerde farkl¬aç¬lardan ele al¬nm¬¸st¬r [(Xue, 2008), (Chen ve Chen, 2008)].
Dördüncü mertebeden çift dispersif terimli Boussinesq denklemi
utt uxx uxxtt+ uxxxx= u2 xx (1.6)
¸seklinde olup, bu denklemin ba¸slang¬ç ve s¬n¬r de¼ger problemi için lokal, global varl¬k ve blow up tek ve çok boyutta baz¬yazarlar taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.
Alt¬nc¬mertebeden Boussinesq-tipli ve çift dispersiyon terimli Boussinesq-tipli den-klemler s¬ras¬yla
utt uxx+ uxxxx+ uxxxxtt = u2 xx; (1.7)
utt uxx uxxtt+ uxxxx+ uxxxxtt = u2 xx (1.8)
¸seklindedir. (1.7) denklemi 3. bölümde çal¬¸s¬laca¼g¬ndan denklemle ilgili literatür çal¬¸ s-malar¬ 3. bölümde verilecektir. Wang ve Mu (2007), (1.8) denklemini bir boyutta ve çok boyutta genel bir do¼grusal olmayan terimle ele alm¬¸slard¬r. Bir boyutta den-klemin lokal, global varl¬¼g¬n¬, çözümlerinin blow up olmas¬n¬ve küçük genlikli çözüm-lerin global varl¬k ve saç¬lmas¬n¬ incelemi¸slerdir. Çok boyutta da yine lokal, global varl¬k ve blow up ile ilgili sonuçlar bulmu¸slard¬r. Çok boyutlu durum, Xia ve Yuan (2010) taraf¬ndan Besov uzaylar¬kullan¬larak tekrar ele al¬nm¬¸st¬r.
1. G·IR·I¸S
edilen denklemlerle ilgili çal¬¸smalara yer verilecektir. (1.3) denklemi zay¬f dampingle R2nin silindirik olmayan bir bölgesinde Clark ve ark. (2007) taraf¬ndan ve güçlü damp-ingle Varlamov (1999a, 1999b) taraf¬ndan birim çemberde ve R2 de çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. (1.5) denklemi güçlü dampingle Polat (2008) ve Wang ve Xu (2012) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. (1.6) denklemi Chen ve ark. (2004), Wang ve Chen (2006), Chen ve Xue (2008), Polat ve Erta¸s (2009)taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.
2. ÖN B·ILG·ILER
Bu bölümde, sonraki bölümlerde gerekli olabilecek baz¬tan¬mlar, uzaylar ve e¸ sitsi-zlikler verilecektir [Adams ve Fournier (2003), Kreyszig (1989), Musayev (2000), Stein (1986, 1993, 2003)].
2.1. Normlu Uzay, ·Iç Çarp¬m ve Hilbert Uzay¬ Tan¬m 2.1.1.X bir K cismi üzerinde bir vektör uzay¬olsun. k:k : X ! R+; x! kxk dönü¸sümü 8x; y 2 X ve 8a 2 K için
(N1) kxk = 0 () x = ;
(N2) kaxk = jaj kxk ;
(N3) kx + yk kxk + kyk (üçgen e¸sitsizli¼gi)
özelliklerini sa¼gl¬yorsa X üzerinde norm ad¬n¬al¬r ve bu durumda (X; k:k) ikilisine bir normlu vektör uzay¬ ad¬verilir.
Verilen bir norm arac¬l¬¼g¬yla kuk olarak tan¬mlanan u bir uzakl¬k fonksiyonudur ve böylece her normlu uzay ayn¬zamanda bir metrik uzay olur.
Tan¬m 2.1.2. fxng ; (X; k:k)normlu uzay¬nda bir dizi olsun. Her " > 0 için
n; m N oldu¼gunda kxn xmk < " olacak ¸sekilde bir N do¼gal say¬s¬ varsa fxng
dizisine Cauchy dizisi denir.
Tan¬m 2.1.3. fxng ; (X; k:k) normlu uzay¬nda bir dizi olsun.
lim
n!1kxn xk = 0
olacak ¸sekilde bir x 2 X varsa fxng dizisine yak¬nsakt¬r denir ve xn ! x ile gösterilir.
Tan¬m 2.1.4. Bir normlu uzayda her Cauchy dizisi yak¬nsak ise bu uzaya tam uzay denir. (X; k:k) uzay¬tam ise bu uzaya Banach uzay¬ denir.
Tan¬m 2.1.5. X vektör uzay¬üzerinde tan¬ml¬iki norm, k:k1 ve k:k2 olsun. A > 0; B > 0sabitleri için
Ak:k1 kxk2 Bk:k1
e¸sitsizli¼gi X uzay¬ndaki her x noktas¬için geçerli ise, k:k1 ve k:k2 normlar¬na e¸sde¼ger normlar denir.
Tan¬m 2.1.6. K cismi üzerinde bir X vektör uzay¬ verildi¼ginde, X X uzay¬ üzerinde tan¬ml¬K de¼gerli
(:; :) : X X ! K
bir fonksiyonun her x; y 2 X ve a; b 2 C için a¸sa¼g¬daki özellikleri varsa, bu fonksiyona iç çarp¬m denir;
2. ÖN B·ILG·ILER
(i) (x; y) = (y; x)(burada c; c 2 C nin karma¸s¬k e¸sleni¼gini belirtir), (ii) (ax + by; z) = a (x; z) + b (y; z) ;
(iii) (x; x) 0; (x; x) = 0 () x = 0:
K = R halinde (x; y) = (y; x) oldu¼gu hemen görülür. Bir iç çarp¬m ile
kxk = (x; x)12
tan¬mlanan k:k : X ! R fonksiyonunun norm oldu¼gunu görmek oldukça kolayd¬r. Normu yukar¬da oldu¼gu gibi bir iç çarp¬m taraf¬ndan tan¬mlanan uzaya iç çarp¬m uzay¬ denir.
Tan¬m 2.1.7. Normlu bir uzay olan bir iç çarp¬m uzay¬bir Banach uzay¬ise bu uzaya Hilbert uzay¬ denir. Ba¸ska bir ifadeyle, bir iç çarp¬m uzay¬ndaki her Cauchy dizisinin bu uzay¬n bir ö¼gesine yak¬nsak olmas¬halinde bu uzaya Hilbert uzay¬ denir.
Tan¬m 2.1.8. n boyutlu Rn ve gerçel Euclid uzay¬nda bir nokta x = (x1; :::; xn)
ve bu noktan¬n normu jxj = Pnj=1x 2 j
1 2
ile tan¬mlan¬r. x ve y nin iç çarp¬m¬ x y =Pnj=1xjyj ¸seklindedir.
Tan¬m 2.1.9. X bir normlu uzay olsun. X üzerindeki tüm s¬n¬rl¬lineer fonksiy-onellerin kümesi X uzay¬n¬n dual uzay¬n¬ olu¸sturur. X0 veya X ile gösterilen bu
uzay kfkX0 = sup x2X;x6=0 jf (x)j kxkX <1
normuyla bir Banach uzay¬d¬r. X0 uzay¬n¬n duali (X0)0 = X00 ¸seklindeki lineer vektör
uzay¬d¬r ve ikinci dual olarak adland¬r¬l¬r.
Tan¬m 2.1.10. X normlu uzay¬nda bir dizi (xn)olsun.
lim
n!1kxn xkX = 0
olacak ¸sekilde bir x 2 X varsa (xn)dizisine güçlü yak¬nsak dizi denir ve bu yak¬nsama
xn! x ¸seklinde gösterilir.
Tan¬m 2.1.11. (xn) ; X normlu uzay¬nda bir dizi olsun. Her f 2 X0 için
lim
n!1f (xn)! f (x)
olacak ¸sekilde bir x 2 X varsa (xn) dizisine zay¬f yak¬nsak dizi denir. Bu yak¬nsama
xn* xveya xn z
! x ile gösterilir.
Tan¬m 2.1.12. (fn); X normlu uzay¬ üzerinde s¬n¬rl¬ lineer fonksiyonellerin bir
dizisi olsun. Bu durumda (a)
olacak ¸sekilde bir f 2 X0 varsa (fn) güçlü yak¬nsakt¬r denir. fn ! f ¸seklinde
yaz¬l¬r.
(b) her x 2 X için
fn(x)! f (x)
olacak ¸sekilde bir f 2 X0 varsa (f
n) zay¬f* yak¬nsakt¬r denir. fn w
! f ¸seklinde yaz¬l¬r.
Tan¬m 2.1.13. = ( 1; :::; n) negatif olmayan j lerin n-bile¸senlisi ise ya
çoklu-indis denir ve x ; j j = Pnj=1 j mertebeye sahip olan x 1
1 :::xnn tek terimlisi,
yani x = x 1
1 :::xnn ile tan¬mlan¬r. Benzer ¸sekilde 1 j n için Dj = @=@xj ise, o
zaman
D = D 1 1 :::Dnn
j j : mertebeden bir diferansiyel operatör belirtir. D(0;:::;0)u = uolur.
Tan¬m 2.1.14. E¼ger G Rn ise Rn de G nin kapan¬¸s¬G ile belirtilir. G ve
G Rn in kompakt (kapal¬ve s¬n¬rl¬) altkümesi ise G ¸seklinde gösterilir. u; G de
tan¬ml¬bir fonksiyon ise, u fonksiyonun deste¼gi
supp u =fx 2 G : u (x) 6= 0g
¸seklinde tan¬mlan¬r. supp u ise u fonksiyonu da kompakt deste¼ge sahiptir denir.
Tan¬m 2.1.15. ; Rn de bir bölge olsun. Negatif olmayan her m tamsay¬s¬için bölgesinde sürekli bütün fonksiyonlar¬ve j j m mertebesine kadar bütün D k¬smi türevleri sürekli olan vektör uzay¬ Cm( ) ile gösterilir. C0( ) C ( ) ve C1( ) = T1
m=0C
m( ) olur. C ( ) ve C1( ) uzaylar¬na ait ve kompakt deste¼ge
sahip olan fonksiyonlar¬n olu¸sturdu¼gu uzaylar s¬ras¬yla C0( )ve C01( ) ile gösterilir.
Tan¬m 2.1.16. aç¬k bir bölge oldu¼gundan, Cm( ) deki fonksiyonlar¬n
böl-gesinde s¬n¬rl¬olmas¬gerekmeyebilir. Cm
B ( ) ile 0 j j m için bölgesinde D
lerin s¬n¬rl¬oldu¼gu 2 Cm( ) fonksiyonlar¬belirtilir. Cm
B ( ) uzay¬
k kCm
B( ) = max0 j j msup
x2 jD
(x)j
normu ile bir Banach uzay¬d¬r.
Tan¬m 2.1.17. E¼ger 2 C ( ) bölgesinde s¬n¬rl¬ ve düzgün sürekli ise, bölgesinin kapan¬¸s¬olan bölgesinde de tek, s¬n¬rl¬ve süreklidir. Cm ile 0
j j miçin bölgesinde D lerin s¬n¬rl¬ve düzgün sürekli oldu¼gu 2 Cm( )fonksiyonlar¬
belirtilir. (E¼ger bölgesi s¬n¬rs¬z ise simgelerin yanl¬¸s kullan¬m¬belirsizli¼ge yol açar; örne¼gin, Rn = Rn olsa bile Cm Rn 6= Cm(Rn) d¬r.) Cm uzay¬Cm
2. ÖN B·ILG·ILER
kapal¬bir alt uzay¬d¬r. Bu nedenle Cm uzay¬da
k kCm
B( ) = max0 j j msup
x2 jD
(x)j
ayn¬norm ile bir Banach uzay¬d¬r.
2.2. Lebesque Uzay¬
Tan¬m 2.2.1. , Rn de bir bölge ve p pozitif gerçel say¬lar olsun. bölgesinde
tan¬ml¬bütün ölçülebilir u fonksiyonlar s¬n¬f¬na a¸sa¼g¬daki ko¸sul alt¬nda R
ju (x)jpdx <1
Lp( ) uzay¬denir. Bu uzay bir vektör uzay¬d¬r. 1 p < 1 olmak üzere bu uzay
kukLp( ) =
R
ju (x)jpdx 1=p
normu ile bir Banach uzay¬d¬r.
Tan¬m 2.2.2. bölgesinde ölçülebilir bir u fonksiyonu için hemen hemen her yerde ju (x)j K olacak ¸sekilde bir K sabiti varsa u fonksiyonuna hemen hemen s¬n¬rl¬d¬r denir. Böyle K lar¬n en büyük alt s¬n¬r¬na da juj n¬n bölgesindeki esas (essential) supremumu denir ve ess sup
x2
ile gösterilir. bölgesinde hemen hemen s¬n¬rl¬ ufonksiyonlar¬yla tan¬mlanan uzaya L1( ) uzay¬denir. L1( ) uzay¬
kukL1( ) = esssup x2 ju (x)j
normu ile bir Banach uzay¬d¬r.
Tan¬m 2.2.3. , Rn de bir bölge ve 1 p
1 olmak üzere bölgesinin her bir kompakt altkümesinde p: kuvveti integrallenebilen bütün ölçülebilir fonksiyonlar uzay¬na Lp;loc( ) uzay¬denir.
Tan¬m 2.2.4. X ve Y normlu uzaylar olsun. E¼ger (i) X; Y nin bir alt uzay¬,
(ii) Her x 2 X için X den Y ye Ix = x ile tan¬mlanan I birim operatörü sürekli ise, X uzay¬Y uzay¬na gömülür denir ve X ! Y ile gösterilir.
I birim operatörü do¼grusal oldu¼gundan ii) ko¸sulu
kIxkY MkxkX; x2 X
Tan¬m 2.2.5. vol ( ) = R 1dx ve 1 p q 1 olsun. E¼ger u 2 Lq( ) ise o zaman u 2 Lp( ) d¬r ve kukp (vol ( )) (1=p) (1=q) kukq olur. Bu nedenle Lq( )! Lp( ) gömülmesi geçerlidir. Tan¬m 2.2.6. L2( ) uzay¬ (u; v) = R u (x) v (x)dx
iç çarp¬m¬na göre bir Hilbert uzay¬d¬r.
Tan¬m 2.2.7. 1 a < b 1 olsun. kf (:)kX 2 Lp(a; b) ko¸sulunu sa¼glayan
(a; b)den X e tan¬mlanm¬¸s ölçülebilir f fonksiyonlar¬uzay¬na Lp(a; b; X) uzay¬denir.
Lp(a; b; X) uzay¬ kfkLp(a;b;X) = 8 > < > : nRb akf (t)k p Xdt o1=p ; 1 p < 1 ess sup t2(a;b) kf (t)kX ; p =1
normu ile bir Banach uzay¬d¬r.
Benzer ¸sekilde a < c < d < b olmak üzere her bir c; d için f 2 Lp(c; d; X) ise, o
zaman f 2 Lp(a; b; X) yaz¬l¬r ve p = 1 için f lokal integrallenebilirdir denir.
Tan¬m 2.2.8. Her t 2 [0; T ] için [0; T ] den X e tan¬mlanm¬¸s ve m. mertebeden türevleri sürekli olan u fonksiyonlar¬uzay¬na Cm([0; T ] ; X) uzay¬denir. Cm([0; T ] ; X) uzay¬
kukCm([0;T ];X)= max
0 j j m
sup
t2[0;T ]kD u (t)kX
normu ile bir Banach uzay¬d¬r.
2.3. Sobolev Uzay¬
Tan¬m 2.3.1. u 2 L1;loc( ) olsun. Bir çoklu-indisi verilsin. Her ' 2 C01( )
için
R
'vdx = ( 1)j jR uD 'dx
e¸sitli¼gi sa¼glan¬rsa, v 2 L1;loc( )fonksiyonuna u fonksiyonunun : zay¬f türevi denir. v
fonksiyonu, u fonksiyonunun genelle¸stirilmi¸s türevi olarak da adland¬r¬l¬r ve v = D u ¸seklinde yaz¬l¬r.
2. ÖN B·ILG·ILER
E¼ger u fonksiyonu, klasik anlamda D u sürekli k¬smi türevlere sahip olacak ¸ sek-ilde yeterince düzgün ise, o zaman D u ayn¬ zamanda u fonksiyonunun zay¬f k¬smi türevidir. Elbette D u klasik anlamda olmaks¬z¬n zay¬f anlamda mevcut olabilir.
Tan¬m 2.3.2. , Rn de bir bölge, m herhangi bir pozitif tamsay¬ve 1 p
1 olmak üzere,
Wm;p( ) =fu 2 Lp( ) : D u2 Lp( ) ; 0 j j mg
¸seklinde tan¬mlanan uzaya Sobolev uzay¬ denir. Wm;p( ) uzay¬
kukWm;p( ) = P 0 j j m kD ukpLp( ) !1=p ; 1 p <1; kukWm;1( ) = max 0 j j mkD ukL1( ); p =1
tan¬mlanan bu normlar ile bir Banach uzay¬d¬r. Wm;p( ) uzay¬nda C01( ) uzay¬n¬n kapan¬¸s¬W
m;p
0 ( )ile gösterilir.
A¸sikâr olarak W0;p( ) = L
p( ) d¬r ve 1 p < 1 olmak üzere C01( ) uzay¬
Lp( ) uzay¬nda yo¼gun oldu¼gundan W00;p( ) = Lp( ) d¬r. Herhangi bir m pozitif
tamsay¬s¬için
W0m;p( ) ! Wm;p( )! Lp( )
gömülmeleri geçerlidir.
Tan¬m 2.3.3. E¼ger p = 2 ise Wm;2( ) = Hm( ), Wm;2
0 ( ) = H0m( ) olur ve Hm( ) uzay¬nda norm kukHm( ) = P 0 j j mkD uk 2 L2( ) !1=2 ile verilir. Tan¬m 2.3.4. Hm( ) uzay¬ (u; v)Hm( ) = P 0 j j m (D u; D v) (1)
iç çarp¬m¬ile bir Hilbert uzay¬d¬r, burada (u; v) =R u (x) v (x)dx olup L2( )
uzay¬n-daki iç çarp¬md¬r. H1
0 ( ) uzay¬için iç çarp¬m
(u; v)H1 0( ) =
R
¸seklinde tan¬mlan¬r ve bu uzayda norm kukH1 0( ) = R (ru)2dx 1=2 olur.
Tan¬m 2.3.5. Sobolev Gömülme Teoremi. , RN de koni özeli¼gine sahip aç¬k
bir bölge, 1 m ve 0 j ¸seklindeki tamsay¬lar ve 1 p < 1 olmak üzere;
(i) mp < N ise
Wj+m;p( ) ,! Wj;p( ) ; p q q
ya da
Wm;p( ) ,! Lq( ) ; p q q
gömülmesi elde edilir.
(ii) mp = N ise
Wj+m;p( ) ,! Wj;p( ) ; p q <1
ya da
Wm;p( ) ,! Lq( ) ; p q <1
gömülmesi elde edilir. Üstelik p = 1 olarak al¬n¬rsa
Wj+n;1( ) ,! CBj ( )
elde edilir.
(iii) mp > N ise
Wj+m;p( ) ,! CBj ( )
gömülmesi elde edilir. Burada
p =
( N p
N mp N > mp
+1 N mp ¸seklindedir.
Yukar¬daki gömülmelerde W yerine W0 uzay¬al¬n¬rsa, bölgesi üzerinde herhangi
bir k¬s¬tlama yap¬lmaks¬z¬n yukar¬daki gömülmeler yine geçerli olur. Teorem 2.3.6. E¼ger Wm;p( ) ,
! Lq( ) gömülmesi baz¬ p q de¼gerleri için
kompakt ise, o zaman j j < 1 dur.
Teorem 2.3.7. E¼ger Wm;p( ) ,! Lq( ) gömülmesi 1 q < p özelli¼gini sa¼glayan baz¬p ve q de¼gerleri için mevcut ise, o zaman j j < 1 dur.
2. ÖN B·ILG·ILER
2.4. Operatörler
Tan¬m 2.4.1. X ve Y ayn¬ K cismi üzerinde iki vektör uzay¬ olsun. A : DA
X ! Y dönü¸sümü X deki bir x eleman¬n¬ Y de bir tek elemana götürüyorsa A ya operatör, DA ya da A operatörünün tan¬m kümesi denir.
Tan¬m 2.4.2. DA X; X in bir alt uzay¬ olmak üzere A : DA X ! Y
operatörüne her x; y 2 DA ve her ; 2 K için
A ( x + y) = A (x) + A (y)
ko¸suluyla birlikte do¼grusal operatör denir.
Tan¬m 2.4.3. Bir H Hilbert uzay¬nda tan¬ml¬A operatörüne her x; y 2 DA için
(Ax; y) = (x; Ay)
e¸sitli¼gi ile birlikte simetrik operatör denir.
Tan¬m 2.4.4. A : DA X ! Y operatörüne belli bir M 0say¬s¬ve her x 2 DA
için
kAxk Mkxk e¸sitsizli¼gi ile birlikte s¬n¬rl¬operatör denir.
Tan¬m 2.4.5. H Hilbert uzay¬nda tan¬ml¬ do¼grusal, simetrik bir A operatörüne her x 2 DA H
(Ax; x) 0
e¸sitsizli¼gi ile birlikte negatif olmayan operatör denir. Negatif olmayan A operatörü için
(Ax; x) > 0) x = 0 ile pozitif operatör denir.
Tan¬m 2.4.6. X ve Y iki Hilbert uzay¬ ve (:; :) X uzay¬n¬n, [:; :] de Y uzay¬n¬n iç çarp¬m¬ve A : X ! Y do¼grusal, s¬n¬rl¬operatörü tüm X Hilbert uzay¬nda tan¬ml¬ olsun. Her x 2 X ve her y 2 Y için
[Ax; y] = (x; A y)
ko¸sulunu sa¼glayan A : Y ! X operatörüne, A operatörünün e¸s operatörü denir. E¼ger A = A ise böyle bir operatöre öz-e¸slenik (self-adjoint) operatör denir.
Tan¬m 2.4.7. HHilbert uzay¬nda tan¬ml¬do¼grusal ve öz-e¸slenik bir A operatörüne her x 2 H için
(Ax; x) Ckxk2H; C > 0 ile birlikte pozitif belirli bir operatör denir.
2.5. E¸sitsizlikler
Tan¬m 2.5.1. Cauchy E¸sitsizli¼gi. E¼ger " > 0; a; b 2 R1 ise, o zaman
jabj " 2jaj 2 + 1 2"jbj 2
e¸sitsizli¼gi geçerlidir.
Tan¬m 2.5.2. Young E¸sitsizli¼gi. E¼ger " > 0; a; b 2 R1, p > 1 ve 1p +1q = 1 ise, o zaman jabj j"aj p p + jb="jq q e¸sitsizli¼gi geçerlidir.
Tan¬m 2.5.3. Hölder E¸sitsizli¼gi. u 2 Lp( ) ; v 2 Lq( ) ; p 1 ve 1p + 1q = 1
ise, o zaman uv 2 L1( ) olup
kuvkL1( ) kukLp( )kvkLq( )
e¸sitsizli¼gi geçerlidir. p = 1 durumunda, q = 1 ve kvkLq( ) = ess supjvj al¬r¬z. p = q = 2 iken bu e¸sitsizli¼ge Cauchy-Schwartz-Bunyakowski e¸sitsizli¼gi denir. Ayr¬ca u 2 Lr( ) ; p q r ve 1q = p + 1r olmak üzere
kukL1( ) kukLp( )kuk 1 Lr( )
ara de¼ger e¸sitsizli¼gi geçerlidir. = p ve = (1 ) q al¬n¬r ve Hölder e¸sitsizli¼gi uygulan¬rsa z = p= q ve y = r= (1 ) q için
R
jujqdx =R juj juj dx R juj zdx 1=z R juj ydx
1=y
e¸sitsizli¼ginin geçerli oldu¼gu görülür.
Tan¬m 2.5.4. Minkowski E¸sitsizli¼gi. u; v 2 Lp( ) ve p 1 olmak üzere
ku + vkL1( ) kukLp( )+kvkLp( )
e¸sitsizli¼gi geçerlidir.
Tan¬m 2.5.5. Sobolev E¸sitsizli¼gi. n > 1 olmak üzere Rnaç¬k olsun. n > p,
p 1 ve u 2 W01;p( ) ise, o zaman
kukLnp=(n p)( ) CkDukLp( )
2. ÖN B·ILG·ILER
p > n ve s¬n¬rl¬ise, o zaman u 2 C ve
supjuj Cj j1=n 1=pkDukL
p( )
olur.
Tan¬m 2.5.6. K¬smi ·Integral Alma Formülleri. Rn ( @
2 C1 s¬n¬r¬na
sahip) bölgesinde tan¬ml¬A (x) = (A1(x) ; :::; An(x)) vektörü i = 1; :::; n olmak üzere
Ai(x)2 C \ C1( ) bile¸senleri ile verilsin. div A (x) = @A@x11 + ::: + @A@xnn fonksiyonu
( Rn uzay¬nda s¬n¬rl¬ bölge) bölgesinde sürekli veya bölgesinde integrallenebilir
ise,
R
div A (x) dx =R@ A (x) n (x) dS
olup burada n (x) bölgesine göre d¬¸sa yönlendirilmi¸s @ s¬n¬r¬ için birim normal vektördür. Bu formül, Ostrogradskii formülü olarak bilinmektedir.
u (x)2 C2( )\C1 ; v (x)2 C1 ve u = div (ru) fonksiyonu bölgesinde integrallenebilir olsun. v u = v div (ru) = div (vru) rurv; rurv = ux1vx1 +
::: + uxnvxn oldu¼gundan Ostrogradskii formülüne göre
R
v udx =R@ v@u @ndS
R
rurvdx
elde edilir. Burada ru nj@ = @u
@n @ olup bu formül Green formülü olarak
bilin-mektedir.
Tan¬m 2.5.7. Daralma Dönü¸sümü. X bir metrik uzay olsun. Bir T : X ! X dönü¸sümü verilsin. E¼ger
d (T (x) ; T (y)) cd (x; y) ; x; y 2 X
olacak ¸sekilde bir 0 c < 1sabit say¬s¬varsa, T daralma dönü¸sümü olarak adland¬r¬l¬r. Teorem 2.5.8. Daralma Dönü¸sümü Prensibi. X tam bir metrik uzay olsun. T : X ! X; c daralma sabiti ile verilmi¸s bir daralma dönü¸sümü olsun. x0 2 X olsun
ve tümevar¬msal olarak
xn+1 = T (xn) ; n 0
tan¬mlans¬n. Bu durumda T bir tek a sabit noktas¬na sahip, xn dizisi a ya yak¬nsak
ve
d (a; xn) cnd (a; x0)
Tan¬m 2.5.9. Gronwall E¸sitsizli¼gi (·Integral Form)
(i) (t) ; hemen hemen her t ve C1; C2 0 sabitleri için
(t) C1
Rt
0 (s) ds + C2
integral e¸sitsizli¼gini sa¼glayan negatif olmayan, [0; T ] üzerinde toplanabilir fonksiyon olsun. O zaman hemen hemen her 0 t T için
(t) C2 1 + C1teC1t
olur.
(ii) Özel olarak, e¼ger hemen hemen her 0 t T için
(t) C1
Rt
0 (s) ds
ise, o zaman her yerde (t) = 0 d¬r.
Lemma 2.5.10. Van der Corput Lemmas¬.(Stein 2003) Rn olmak üzere,
f; üzerinde iki defa diferansiyellenebilir konveks veya konkav bir fonksiyon olsun. Bu durumda Z
eif (r)dr Cnmin D2f (r)o
1 2
olup, burada bölgesinde D2f (r)
6= 0 dir.
Theorem 2.5.11. Fubini Teoremi.(Adams ve Fournier 2003) f; Rm+nde ölçülebilir
bir fonksiyon ve I1 = Z Rm+njf (x; y)j dxdy; I2 = Z Rm Z Rnjf (x; y)j dx dy; I3 = Z Rn Z Rmjf (x; y)j dy dx
integrallerinden en az birinin var ve sonlu oldu¼gu kabul edilsin. I2 ve benzer olarak I3
"Rn üzerinde integrallenebilir öyle bir g fonksiyonu vard¬r ki, g (y) hemen hemen her
(h.h.h.) y için içteki integrale e¸sittir" ¸seklinde yorumlanabilir. Bu durumda
(a) h.h.h. y 2 Rm
için f (:; y) 2 L1(Rn) dir.
(b) h.h.h. x 2 Rn
için f (x; :) 2 L1(Rm) dir.
2. ÖN B·ILG·ILER
(d) RRnf (x; :)dx2 L 1(Rm)
(e) I1 = I2 = I3:
2.6. Fourier Dönü¸sümü
Fourier dönü¸sümü, birçok do¼grusal k¬smi diferansiyel denklemin ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünde faydalan¬lan çok kullan¬¸sl¬bir dönü¸sümdür. Bu dönü¸süm yard¬m¬yla problem daha basit bir forma indirgenir.
Tan¬m 2.6.1. Bir u (x; t) fonksiyonunun x 2 R de¼gi¸skenine göre Fourier dönü¸sümü F fu (x; t)g = bu (k; t)ile gösterilir ve F fu (x; t)g = bu (k; t) = p1 2 Z 1 1 e ikxu (x; t) dx
integrali ile tan¬ml¬d¬r. Burada k bir reel say¬d¬r ve dönü¸süm de¼gi¸skeni olarak ad-land¬r¬l¬r. Ters Fourier dönü¸sümü F 1
fbu (k; t)g = u (x; t) ¸seklinde gösterilir ve F 1fbu (k; t)g = u (x; t) = p1 2 Z 1 1 eikxbu (k; t) dk
integrali ile tan¬ml¬d¬r.
u (x; t) ; n defa sürekli türevlere sahip ve jxj ! 1 iken, k = 1; 2; 3; ::; (n 1) için
@ku @xk ! 0 olsun. Bu durumda F @ nu @xn = (ik) n F fu (x; t)g = (ik)nbu (k; t)
olur. Tan¬m 2.6.1 den
F @u@t = dbu dt; F @2u @t2 = d2bu dt2; F @nu @tn = dnbu dtn dir.
Teorem 2.6.2. Konvolüsyon Teoremi. E¼ger F ff (x)g = F (k) ve F fg (x)g = G (k) ise, o zaman
F ff (x) g (x)g = F (k) G (k) veya
F 1fF (k) G (k)g = f (x) g (x)
sa¼glan¬r. Burada f (x) g (x) ; integrallenebilir f (x) ve g (x) fonksiyonlar¬n¬n kon-volüsyonudur ve
f (x) g (x) = p1 2
Z 1
ile tan¬ml¬d¬r.
f g süreklidir. Buradan iki fonksiyonun konvolüsyonu olan f g nin f veya g den daha düzgün oldu¼gu anla¸s¬lmaktad¬r, çünkü f ve g sadece integrallenebilir (Riemann anlam¬nda) fonksiyonlard¬r.
Teorem 2.6.3. Plancherel Teoremi. u 2 L1(R)
\ L2(R) olsun. Bu durumda
bu; u 2 L2(R) olur ve
kbukL2(R)=kukL2(R)=kukL2(R)
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. Burada u ters Fourier dönü¸sümünü göstermektedir. Hm(R) uzay¬, kukHm(R)= Z 1 1 1 + k2 mjbuj2dt 1 2 normuyla Hm(R) =nu2 L2(R)j 1 + k2 m 2 bu (k) 2 L2(R)o
¸seklinde de tan¬mlanabilir. Burada, k 2 R dir.
m 0 tamsay¬lar¬yerine s 0 reel say¬lar¬al¬n¬rsa, Hs(R) uzay¬
Hs(R) =nu2 L2(R)j 1 + k2
s 2
bu (k) 2 L2(R)o
olur. Bu uzay üzerindeki norm
kukHs = I @2x s 2 u = 1 + k2 s 2 bu ¸seklindedir. s1 < s2 iken Hs2 , ! Hs1
sürekli gömülmesi geçerlidir ve H0(R)) = L2(R) dir. Ancak Lp(R) Lebesgue
uzay-lar¬nda bu gömülme geçerli de¼gildir.
Tan¬m 2.6.4. Schwartz Uzay¬. f; R üzerinde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. f ve f nin tüm türevleri, yani f0; f00; :::; f(l); :::her k; l 0için
sup
x2Rjxj
k
f(l)(x) < 1
anlam¬nda h¬zl¬ olarak azalan ise bu tür fonksiyonlar¬n olu¸sturdu¼gu küme Schwartz uzay¬olarak adland¬r¬l¬r. Schwartz uzay¬S (R) ile gösterilmektedir.
E¼ger f 2 S (R) ise o zaman f0 = dxdf 2 S (R) ve xf (x) 2 S (R) dir. Dolay¬s¬yla Schwartz uzay¬türev alma ve polinomla çarp¬m alt¬nda kapal¬d¬r.
E¼ger f 2 S (R) ise o zaman ^f 2 S (R) dir.
Fourier dönü¸sümünde önemli bir rolü bulunan f (x) = e x2
fonksiyonu bu uzaya ait olan fonksiyonlara basit bir örnek olarak verilebilir. Bu fonksiyonun türevi f0(x) =
P (x) e x2
formundad¬r, bu da f (x) 2 S (R) oldu¼gunu göstermektedir. a > 0 olmak üzere f (x) = e ax2 fonksiyonu da bu uzay¬n bir eleman¬d¬r. e jxj fonksiyonu h¬zl¬ olarak azalan bir fonksiyon olmas¬na ra¼gmen 0 noktas¬nda türevlenebilir olmad¬¼g¬ndan bu uzaya ait de¼gildir.
3. POTENTIAL WELL METODU
Bu bölümde, tezin özünü olu¸sturan problemlerin çözümlerinde kullan¬lan metot-lardan ilki olan potential well (potansiyel kuyusu) metoduyla ilgili baz¬ bilgilere yer verilecek ve bu metodun bir probleme uygulanmas¬örnek olarak verilecektir.
3.1. Potential Well Metoduyla ·Ilgili Temel Bilgiler
Potential well metodu ilk olarak 1968 y¬l¬nda Sattinger taraf¬ndan
utt r2u + f (x; u) = 0; x2 ; t > 0; (3.1)
u (x; 0) = U (x) ; x2 ; ut(x; 0) = V (x) ; x2 ;
; (3.2)
uj@ = 0; t 0 (3.3)
ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemine uygulanm¬¸s ve bu problemin pozitif tan¬ml¬enerjiye sahip olmayan global çözümlerinin varl¬¼g¬n¬ ispatlamak amac¬yla kullan¬lm¬¸st¬r. Bu-rada Rn parçal¬düzgün s¬n¬ra sahip bir bölge, x = (x1; x2; :::; xn)dir. Metot, (3.1)
denkleminin enerji integralleri üzerine kurulu baz¬ analizlere dayanmaktad¬r. (3.1) denklemi için kinetik ve potansiyel enerji s¬ras¬yla
K (u) = 1 2 Z u2tdx; J (u) = Z 1 2jgrad uj 2 + F (x; u) dx
¸seklindedir. Burada Fu = f dir. Sonlu say¬da serbestlik derecesine (bir …ziksel
sis-temin durumunu hesaplamak için belirlenmesi gereken parametre say¬s¬) sahip mekanik bir sistemin potansiyel fonksiyonunun lokal minimumuna benzer olarak, fonksiyon uzay¬nda u = u0 da konumlanm¬¸s bir W potential well dü¸sünülebilir. E¼ger U; W
nun içindeyse ve ba¸slang¬ç verilerinin toplam enerjisi W nun derinli¼ginden küçük ise, o zaman (3.1)-(3.3) probleminin bir global çözüme sahip olmas¬ beklenir. Sat-tinger, buradan yola ç¬karak problemini bir varyasyonel probleme dönü¸stürdükten sonra, do¼grusal olmayan f (u) terimi üzerine koydu¼gu baz¬ko¸sullar yard¬m¬yla global zay¬f çözümün varl¬¼g¬n¬ispatlam¬¸st¬r. u (x; t) fonksiyonunun zay¬f türevi, test fonksiy-onu olmak üzere
1 R 0 R u@ @xi dx = 1 Z 0 R ui dx
3. POTENTIAL WELL METODU
ile tan¬ml¬ui, i = 0; :::; n fonksiyonudur. (3.1), (3.3) probleminin yakla¸s¬k çözümleri
u (x; t) = 1 X i=1 qi(t) i(x) ¸seklindedir. Burada f i(x)g ; r2 i+ i i = 0
denkleminin özde¼gerleridir.
u (x; 0) = U (x) ba¸slang¬ç ko¸sulunun zay¬f formu
1 R 0 R u0 + u 0dxdx0 = R U (x) dx (3.4)
¸seklinde olup, burada u0; unun zay¬f türevidir.
ut(x; 0) = V (x) ba¸slang¬ç ko¸sulunun zay¬f formu ise
R V (x) dx + 1 R 0 R ( ut t n X i=1 ui @ @xi f (x; u) ) dxdt = 0 ¸seklindedir. u0(x)fonksiyonu r2u0+ f (x; u0) = 0; u0 j@ = 0 (3.5)
denklemini sa¼gl¬yorsa, bu durumda (3.1) in bir dura¼gan çözümüdür. Sattinger, (3.1), (3.5) probleminin dura¼gan çözümünün orjinde oldu¼gunu kabul etmi¸stir. (3.6) denklemi Jpotansiyel fonksiyonelinin ekstremumlar¬için Euler denklemidir. (3.5) in zay¬f formu
Z (Xn i=1 ui @ @xi + f (x; u0) ) dx = 0 d¬r.
J nin ikinci varyasyoneli
2J ( ) = Z (Xn i=1 @ @xi 2 + fu(x; 0) 2 ) dx
dir. 2J ( ) ; A = r2+ fu(x; 0) operatörü için (3.3) s¬n¬r ko¸suluyla birlikte kuadratik
formdad¬r. Böylece J nin orjinde bir lokal minimuma sahip olmas¬için gerekli ko¸sul A operatörünün pozitif olmas¬d¬r. Dolay¬s¬yla, her 2 _H1 için
olacak ¸sekilde bir r > 0 sabiti vard¬r.
J fonksiyoneli her u 2 _H1 fonksiyonu için tan¬ml¬ olsun. J ba¸slang¬çta bir min-imuma sahip oldu¼gundan J ( u) ; ba¸slang¬c¬n bir kom¸sulu¼gunda n¬n ( > 0 için) artan bir fonksiyonudur. 1 > 0; J ( u) nun azalmaya ba¸slad¬¼g¬ ilk de¼ger olsun. d
potential well derinli¼gi
d = inf
u2H1
J ( 1u)
dir ve 0 d 1 oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger d > 0 ise, potential well
W = u : u2 H1; 0 J ( u) < d; 0 1
¸seklindedir. Böylece u 2 W olmas¬için, J(u) < d olmal¬ve 0 ile u aras¬ndaki bütün noktalar¬n, yani u (0 1) biçimindeki bütün noktalar¬n d potential well se-viyesinin alt¬nda kalmas¬gerekir.
(3.1)-(3.3) problemi için uk2 C1 1 ve uk = 0; u2 @ ; uk2 W; 8t 0; Z (Xn i=1 @ @xi 2 + fu(x; 0) 2 ) dx d; 8t 0
özelliklerine sahip fuk(x; t)g yakla¸s¬k çözümleri olu¸sturulmu¸s ve
(i) f (x; u) fonksiyonu, her x 2 için u ya göre iki defa sürekli türevlenebilirdir. (ii) Her x 2 ve 1 < u < 1 için, F (x; u); alttan düzgün s¬n¬rl¬veya 0 < c < 12
iken
cuf (x; u) F (x; u) N ko¸sulunu sa¼glayacak birer c ve N sabitleri vard¬r.
(iii) A = r2+ fu(x; 0) operatörü (3.3) s¬n¬r ko¸suluyla pozitif tan¬ml¬d¬r.
(iv) fu(x; 0) ; üzerinde s¬n¬rl¬ve ölçülebilirdir.
(v) n = 1 durumunda, e¼ger u ise, fuu(x; u) M olacak ¸sekilde bir M sabiti
vard¬r. Buradan da u ise, f (x; u) 1 2 2M oldu¼gu görülür. (vi) n = 2 durumunda fuu(x; u) C1+ C2juj q ; f (x; u) C1+ C2jujq; uf (x; u) C1+ C2jujq
3. POTENTIAL WELL METODU
olacak ¸sekilde C1; C2 ve q (1 q <1) sabitleri vard¬r.
(vii) n = 3 durumunda fuu(x; u) C1+ C2jujq; f (x; u) C1+ C2juj q+2 ; uf (x; u) C1+ C2jujq+3
olacak ¸sekilde C1; C2 ve q (q < 3) sabitleri vard¬r.
ko¸sullar¬alt¬nda a¸sa¼g¬daki teorem ispatlanm¬¸st¬r.
Teorem 3.1.1. J fonksiyoneli u = u0(x)da bir lokal minimuma sahip olsun. Basit
bir dönü¸sümle u0 orjine kayd¬r¬labilir ve u0 = 0ve f (x; 0) = F (x; 0) = 0 oldu¼gu kabul
edilebilir. f (x; u) fonksiyonu yukar¬daki (i)-(vii) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n. Bu durumda bir d pozitif say¬s¬ve d derinli¼gine sahip bir W potential well’i vard¬r. Ayr¬ca (3.1)-(3.3) ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemi, U 2 W ve toplam ba¸slang¬ç enerjisinin d den küçük olmas¬durumunda bir global zay¬f çözüme sahiptir.
Sattinger son olarak, kulland¬¼g¬bu metodun do¼grusal olmayan evolüsyon denklem-lerin varl¬k teoremdenklem-lerini ispatlamak için genel bir yakla¸s¬m olabilece¼gini, metodun ba¸sar¬l¬bir ¸sekilde parabolik denklemlere veya sistemlere uygulanabilece¼gini ve ayr¬ca,
r2u = f (u) ; x2 ; t > 0; uj@ = 0; t 0
¸seklindeki do¼grusal olmayan eliptik s¬n¬r de¼ger problemlerinin çözümlerinin varl¬¼g¬n¬ ispatlamak için de kullan¬labilece¼gini söylemi¸stir.
Potential well metodu sonradan birçok yazar taraf¬ndan çe¸sitli denklemlere uygu-lanm¬¸st¬r.
Nakao ve Ono (1993),
utt u + ut jujpu = 0
damping terimli dalga denklemi için Cauchy problemini ele alm¬¸slard¬r. Damping terimin etkisiyle lokal çözüm için enerjinin azalmas¬na dair bir sonuç elde edip, (u0; u1)
üzerine her t > 0 için u 2 W olmas¬n¬sa¼glayacak bir ko¸sul koyarak global çözümlerin varl¬¼g¬n¬ispatlam¬¸slard¬r.
Esquivel-Avila (2003),
utt u + g (ut) = f (u)
varl¬¼g¬n¬, blow up ¬n¬ve asimtotik davran¬¸s¬n¬potential well metodu yard¬m¬yla vermi¸s, ayr¬ca Kirchhof denklemi için de global olmayan çözümlerin varl¬¼g¬n¬yine bu yöntemle ispatlam¬¸st¬r.
Yacheng (2003),
utt u =jujp 1u
denkleminin s¬n¬r de¼ger problemi için potential well metodunu modi…ye ederek global çözümlerin varl¬¼g¬yla ilgili yeni teoremler bulmu¸stur. Kulland¬¼g¬modi…ye metot yard¬m¬yla bilinen potential well’i özel bir durum olarak içeren yeni potential well aileleri olu¸ stur-mu¸s, daha sonra bunlar¬kullanarak herhangi bir e 2 (0; d) için, 0 < E (0) eko¸sulunu sa¼glayan E (0) ba¸slang¬ç enerjili tüm çözümlerin sadece H0
1 ( ) uzay¬n¬n ya küçük bir
yuvar¬n¬n içinde ya da daha büyük bir yuvar¬n¬n d¬¸s¬nda oldu¼gunu göstermi¸stir. Cavalcanti ve Domingos Cavalcanti (2004), A bir self-adjoint operatör olmak üzere,
utt Au + g (ut) = juj u
denklemini bir kompakt manifoldu üzerinde çal¬¸sarak, global zay¬f çözümlerin var-l¬¼g¬n¬potential well metodunu kullanarak ispatlam¬¸slard¬r.
Yacheng ve Junsheng (2004), do¼grusal olmayan parabolik
@u @t = n X i=1 @ @xi @u @xi p 2 @u @xi ! + u1+
denkleminin s¬n¬r de¼ger problemi için 0 u0(x) 2 W01;p( ) ; J (u0) = d; I (u0) > 0
veya I (u0) = 0; 0 < J (u0) d ko¸sullar¬ alt¬nda bir u 2 L1 0;1; W 1;p
0 ( ) ; ut 2
L2(0;1; L2( )) ve u 2 W global çözümüne sahip oldu¼gunu göstermi¸stir. Esquivel-Avila (2005), utt+ 2u n X i=1 ( i(uxi))xi = f (u)
denklemini s¬n¬rl¬bir bölgede çal¬¸sarak, çözümlerin nitel davran¬¸slar¬n¬ileriye ve geriye dönük olarak çal¬¸sm¬¸st¬r. t ! 1 iken blow up, s¬n¬rl¬l¬k ve en dü¸sük enerji seviye-sine yak¬nsamay¬karakterize etmek için potential well i ve çe¸sitli de¼gi¸smez ve pozitif de¼gi¸smez kümeleri kullanm¬¸st¬r.
Gazzola ve Squassina (2006), Rn nin aç¬k, s¬n¬rl¬ve Lipschitz bir alt kümesinde
utt u + ! ut+ ut =jujp 2u
denkleminin her global çözümünün düzgün s¬n¬rl¬ oldu¼gunu, çözümler için blow up ¬ ve yüksek ba¸slang¬ç enerjili çözümlerin blow up ¬n¬ yine potential well metodunu kullanarak ispatlam¬¸slard¬r.
3. POTENTIAL WELL METODU
Wang ve ark. (2007), Benney-Luke denkleminin
utt utt+ 2u m u + (2ru rut+ ut u) + r (jruj p
ru) = 0
Cauchy problemi için global çözümlerin varl¬k ve tekli¼gini, 0 için enerji korunum kanunlar¬n¬kullanarak, > 0 için ise kararl¬(potential well) ve karars¬z kümeyi ku-rarak ispatlam¬¸slard¬r.
Lin ve ark. (2008)
utt ut+ 2u u = f (u)
denklemi için Rn nin düzgün s¬n¬rl¬ bir bölgesinde global çözümlerin varl¬¼g¬n¬ ispat-lam¬¸slard¬r.
Taskesen ve ark. (2012)
utt uxx+ uxxxx+ uxxxxtt= (f (u))xx
denkleminin Cauchy problemi için global çözümlerin varl¬¼g¬n¬üstkritik ba¸slang¬ç ener-jili durum ve f (u) = jujp do¼grusal olmayan terimiyle, ba¸slang¬ç h¬z¬n¬da içeren yeni bir fonksiyonel tan¬mlayarak vermi¸slerdir.
3.2. Potential Well Metodunun Hiperbolik ve Parabolik Denklemlere Uygulanmas¬
Bu k¬s¬mda, potential well metodunun daha iyi anla¸s¬lmas¬n¬ sa¼glamak için bu metodun hiperbolik utt u = f (u) ; x2 ; t > 0; (3.6) uj@ = 0; t 0; (3.7) u (x; 0) = u0(x) ; x2 ; ut(x; 0) = u1(x) ; x2 ) (3.8) ve parabolik ut u = f (u) ; x2 ; t > 0; (3.9) u (x; 0) = u0(x) ; x2 (3.10) uj@ = 0; t 0; (3.11)
denklemlerinin ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemlerine uygulanmas¬ örnek olarak verile-cektir (Yacheng ve Junsheng 2006).
(1) f 2 C1 ve f (0) = f0(0) = 0
(2) f (u) ; u > 0 için monoton ve konveks, u < 0 için konkavd¬r.
(3) F (u) = R0uf (s) ds olmak üzere, (p + 1) F (u) uf (u) ; juf (u)j F (u) ; n = 1; 2 ise 2 < p + 1 <1; n 3ise 2 < p + 1 2n= (n 2)
Burada k:kp ve k:k2; s¬ras¬yla k:kLp( ) ve k:kL2( ) normlar¬n¬ göstermekte olup,
(u; v) =R uvdx dir.
(3.6)-(3.8), (3.9)-(3.11) problemleri için global varl¬k ve yoklu¼ga geçilmeden önce, bu problemler için potential well ve baz¬özellikleri verilecektir.
J (u) = 1 2kruk 2 Z F (u) dx; I (u) = kruk2 Z uf (u) dx olmak üzere W = u2 H01( )j I (u) > 0; J (u) < d [ f0g ; ve u 2 H1
0 ( ) ; kruk 6= 0 ve I (u) = 0 için
d = inf J (u)
dir.
Lemma 3.2.1. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n. O zaman
(i) Baz¬A > 0 ve her u 2 R için jF (u)j Ajuj d¬r. (ii) Baz¬B > 0 ve her juj 1 için jF (u)j Bjujp+1:
(iii) u (uf0(u) f (u)) 0 (e¸sitlik sadece u = 0 da sa¼glan¬r).
Sonuç 3.2.2. Yukar¬daki lemman¬n ko¸sullar¬alt¬nda
(i) Her u 2 R için juf (u)j Ajuj ; jf (u)j Ajuj 1; (ii) juj 1 için uf (u) (p + 1) Bjujp+1
sa¼glan¬r.
Lemma 3.2.3. (Payne ve Sattinger 1975) f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬ sa¼glas¬n ve u2 H01( ) ; kruk 6= 0 olsun. Bu kabuller alt¬nda
(i) lim
!1J ( u) = 1; lim!0J ( u) = 0;
3. POTENTIAL WELL METODU
(iii) dd22 J ( u) < 0;
(iv) J ( u) ; [0; ]aral¬¼g¬nda kesin artan, [ ;1) aral¬¼g¬nda kesin azaland¬r ve = da maksimum de¼gerini al¬r,
(v) 2 (0; )için I ( u) > 0, 2 ( ; 1) için I ( u) < 0 ve I ( u) = 0
olur.
Lemma 3.2.4. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n ve u 2 H1
0 ( ) ; kruk 6= 0;
' ( ) = 1 Z
uf ( u) dx
olsun. O zaman
(i) 2 [0; 1) için kesin olarak artand¬r. (ii) lim
!1' ( ) = +1; lim!0' ( ) = 0:
·
Ispat. > 0 için Lemma 3.2.1 (iii) den
'0( ) = 12 Z
u2f0( u) uf ( u) dx = 13 Z
u ( uf0( u) f ( u)) dx > 0
olur. Dolay¬s¬yla ' ( ) ; 0 < <1 aral¬¼g¬nda kesin olarak artand¬r. (ii) Sonuç 3.2.2 (i) den
j' ( )j 12
Z
uf ( u) dx A2 Z
j uj = A 2kuk
olur. Buradan lim
!0' ( ) = 0elde edilir. uf (u) 0 ve Sonuç 3.2.2 (ii) den
' ( ) = 12 Z uf ( u) dx 12 Z uf ( u) dx (p + 1) B 2 Z j ujp+1dx = (p + 1) B p 1 Z jujp+1dx
olur. Burada = x : x2 ; juj 1 d¬r. lim
!1
R
jujp+1dx = kukp+1p+1 > 0 olaca¼g¬ aç¬kt¬r. Dolay¬s¬yla (ii) ispatlanm¬¸s olur.
Yeni bir fonksiyonel
I (u) = kruk2 Z
uf (u) dx
ve u 2 H1
0 ( ) ; kruk 6= 0; I (u) = 0 için
olarak tan¬mlans¬n.
Lemma 3.2.5. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n ve 0 < kruk < r ( ) olsun. O zaman I (u) > 0 d¬r. Özel olarak, 0 < kruk < r (1) ise I (u) > 0 olur. Burada C ; H1
0 ( ) den L ( ) ya gömülme sabiti olmak üzere
r ( ) = aC 1 2 ; a = supuf (u) juj d¬r. ·
Ispat. E¼ger 0 < kruk < r ( ) ise, o zaman Z
uf (u) dx a Z
juj dx = a kuk aC kruk = aC kruk 2kruk2 kruk2
olur ki bu da I (u) > 0 sonucunu verir.
Lemma 3.2.6. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬ sa¼glas¬n ve I (u) < 0 olsun. O zaman kruk > r ( ) olur. Özel olarak, I (u) > 0 isekruk > r (1) olur.
·
Ispat. I (u) < 0dan
kruk2 < Z
uf (u) dx akuk aC kruk 2kruk2 (3.12)
e¸sitsizli¼gi bulunur. Bu e¸sitlsizlikten de kruk > r ( ) bulunur.
Lemma 3.2.5 ve 3.2.6 n¬n ispat¬na benzer olarak a¸sa¼g¬daki lemma ispatlanabilir. Lemma 3.2.7. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬ sa¼glas¬n ve I (u) = 0 olsun. O zaman kruk = 0 veya kruk r ( ) olur. Özel olarak, I (u) = 0 ise kruk = 0 veya kruk r (1) dir.
Lemma 3.2.8. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n.
(i) 0 < < p+12 için d ( ) > a ( ) r2( ) dir. Burada a ( ) = 1
2 p+1:
(ii) lim
!0d ( ) = 0d¬r ve 0 < < biçin d (b) = 0 ve d ( ) > 0 olacak ¸sekilde p+1
2 b 2
ko¸sulunu sa¼glayan bir tek b vard¬r.
(iii) d ( ) ; [0; 1] aral¬¼g¬nda kesin artan, [1; b] aral¬¼g¬nda kesin azaland¬r. d = d (1) maksimumunu = 1 de al¬r.
·
3. POTENTIAL WELL METODU
Buradan ve (3) ko¸sulundan
J (u) = 1 2kruk 2 Z F (u) dx 1 2kruk 2 1 p + 1 Z uf (u) dx = 1 2 p + 1 kruk 2 + I (u) a ( ) r2( ) ; 0 < < p + 1 2 bulunur.
(ii) Lemma 3.2.4 den herhangi bir u 2 H1
0( ) ; kruk 6= 0 ve > 0 için
kr ( u)k2 = Z
uf ( u) dx (3.13)
olacak ¸sekilde bir tek = ( ) tan¬mlanabilir. Buradan ( ) = ' 1
kruk2 ve I ( u) = 0olur. Ayr¬ca Lemma 3.2.4 den
lim
!0 ( ) = 0; lim!1 ( ) =1
sonucuna var¬l¬r. Lemma 3.2.2 ve 3.2.3 den
lim
!0J ( u) = lim!0J ( u) = 0; lim!0d ( ) = 0;
lim
!1J ( u) = lim!1J ( u) = 1; lim!1d ( ) = 1
olur. Bu lemman¬n (i) ¸s¬kk¬ndan 0 < < b için d (b) = 0 ve d ( ) > 0 olacak ¸sekilde bir b p+12 vard¬r. Di¼ger taraftan uf (u) 0dan F (u) 0olur. Buradan I (u) = 0; kruk 6= 0 ve > =2 için uf (u) jF (u)j ile
J (u) = 1 2kruk 2 Z F (u) dx 1 2kruk 2 1Z uf (u) dx = 1 2 kruk 2 + 1I (u) = 1 2 kruk 2 < 0
oldu¼gu sonucuna var¬l¬r. Böylece b < =2 bulunur.
(iii) Herhangi bir 0 < 0 < 00 < 1 veya 1 < 00 < 0 < b için d ( 0) < d ( 00) oldu¼gu ispatlanacakt¬r. Bu amaçla herhangi bir 0 < 0 < 00 < 1 veya 1 < 00 < 0 < b ve herhangi bir u 2 H1
olmas¬n¬ sa¼glayan bir v 2 H01( ) ve J (v) < J (u) " ( 0; 00) olmas¬n¬ sa¼glayan bir
" ( 0; 00) sabitinin varl¬¼g¬n¬ ispatlamak yeterli olacakt¬r. Asl¬nda u için 3.13 ile ( ) tan¬mlanm¬¸st¬, buradan I ( ( ) u) = 0; ( 00) = 1 olur. g ( ) = J ( u) olsun. Basit bir hesaplamayla d d g ( ) = 1 kr ( u)k2 Z uf ( u) dx = 1 (1 )kr ( u)k2+ I ( u) = (1 ) kr ( u)k2
bulunur. v = ( 0) u al¬n¬rsa, I 0(v) = 0 ve kruk 6= 0 olur. 0 < 0 < 00 < 1 ise , o
zaman
J (u) J (v) = g (1) g ( ( 0)) > (1 00) r2( 00) ( 0) (1 ( 0)) " ( 0; 00)
olur. E¼ger 1 < 00 < 0 < b ise, o zaman
J (u) J (v) = g (1) g ( ( 0)) > ( 00 1) r2( 00) ( 0) ( ( 0) 1) " ( 0; 00)
olur ve böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
Lemma 3.2.9. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n ve 0 < < p+12 olsun.
(i) J (u) d ( ) ve I (u) > 0 oldu¼gu kabul edilirse, 0 < kruk2 < d( )a( ) olur. Özel olarak, J (u) d ve I (u) > 0 ise, 0 < kruk2 < 2(p+1)p 1 d olur.
(ii) J (u) d ( ) ve kruk2 > d ( ) =a ( ) oldu¼gu kabul edilirse, I (u) < 0 olur. Özel olarak, J (u) d ve kruk2 > (2 (p + 1)) = (p 1) d ise, I (u) < 0 olur.
(iii) J (u) d ( ) ve I (u) = 0 oldu¼gu kabul edilirse, kruk2 < d ( ) =a ( ) olur. Özel olarak, J (u) d ve I (u) = 0 ise, kruk2 < (2 (p + 1)) = (p 1) d olur.
· Ispat.
a ( )kruk2+ 1
p + 1I (u) < J (u) d ( ) (3.14) e¸sitsizli¼gi (i) ¸s¬kk¬n¬ispatlayacakt¬r. (ii) ve (iii) de (3.14) kullan¬larak ispatlanabilir.
Not 3.2.10. 3.2.5-3.2.7 ve 3.2.9 lemmalar¬H1
0( ) uzay¬n¬n I (u) = 0 (kruk 6= 0)
yüzeyi taraf¬ndan I (u) > 0 ve I (u) < 0 ¸seklinde iki k¬sma ayr¬ld¬¼g¬n¬göstermektedir. I (u) = 0 ¬n iç k¬sm¬ I (u) > 0, d¬¸s k¬sm¬ ise, I (u) < 0 d¬r. kruk = r ( ) küresi I (u) > 0¬n içinde, kruk = d ( ) =a ( ) küresi ise I (u) < 0 ¬n içinde kalmaktad¬r.
Potential well ailesi a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlanabilir:
3. POTENTIAL WELL METODU W = W [ @W = u 2 H01( )j I (u) 0; J (u) d ( ) ; 0 < < b: 0 < < b için ayr¬ca V = u2 H01( )j I (u) < 0; J (u) < d ; V = u2 H01( )j I (u) < 0; J (u) < d ( ) ; B = u2 H01( )j kruk < r ( ) ; B = B [ @B = u 2 H01( )j kruk r ( ) ; Bc = u2 H01( )j kruk > r ( ) kümeleri tan¬mlans¬n.
Lemma 3.2.11. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬ sa¼glas¬n ve 0 < < p+12 olsun. Bu durumda
Br1( ) W Br2( ); V B c
sa¼glan¬r. Burada
Br1( ) = u2 H 1 0( )j kruk 2 < min r2( ) ; 2d ( ) ; Br2( ) = u2 H 1 0( )j kruk 2 < d ( ) =a ( ) d¬r. ·
Ispat. kruk < r ( ) dan kruk = 0 veya I (u) > 0 sonucuna var¬l¬r. Di¼ger taraftan, J (u) 12kruk2 ve kruk2 < 2d ( ) ; J (u) < d ( )y¬verir. Buradan Br1( )
W elde edilir. Lemman¬n geri kalan¬ Lemma 3.2.6 ve 3.2.9 un (i) ¸s¬kk¬ kullan¬larak ispatlanabilir.
W , V ve Lemma 3.2.8 kullan¬larak a¸sa¼g¬daki lemma elde edilebilir. Lemma 3.2.12.
(i) 0 < 0 < 00 1 ise, W 0 W00 dir.
(ii) 1 00 < 0 < b ise, V 0 V 00 dir.
Lemma 3.2.13. Baz¬ u 2 H01( ) için 0 < J (u) < d olsun. 1 < 2; d ( ) = J (u)
nun iki kökü olsun. Bu durumda 1 < < 2 iken I (u) nun i¸sareti de¼gi¸smez.
·
Ispat. J (u) > 0 dan kruk 6= 0 elde edilir. I (u) nun i¸saretinin de¼gi¸sti¼gi varsay¬l-s¬n, bu durumda öyle bir 2 ( 1; 2) vard¬r ki I (u) = 0 olur. d ( ) n¬n tan¬m¬ndan
J (u) d elde edilir ki, bu da
J (u) = d ( 1) = d ( 2) < d
A¸sa¼g¬daki lemmalar (3.6)-(3.8) in ak¬¸s¬alt¬nda yukar¬da tan¬mlanan baz¬kümelerin de¼gi¸smezli¼gini göstermektedir.
(3.6)-(3.8) problemi için enerji
E (t) = 1 2kutk 2 + 1 2kruk 2 Z F (u) dx 1 2kutk 2 + J (u) olarak tan¬mlans¬n.
Theorem 3.2.14. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n ve u0(x)2 H01( ) ; u1(x)2
L2( ) olsun. 0 < e < d oldu¼gu kabul edilsin ve 1 < 2; d ( ) = e nin iki kökü olsun.
O zaman
(i) (3.6)-(3.8) probleminin E (0) = e enerjisine sahip tüm çözümleri 1 < < 2 iken
I (u0) > 0 veya kruk = 0 ko¸sullar¬n¬n sa¼glanmas¬durumunda W ya aittir.
(ii) (3.6)-(3.8) probleminin E (0) = e enerjisine sahip tüm çözümleri 1 < < 2 iken
I (u0) < 0 ko¸sulunun sa¼glanmas¬durumunda V ya aittir.
·
Ispat. (i) u (t) ; (3.6)-(3.8) probleminin E (0) = e enerjisine sahip ve I (u0) > 0
veya kruk = 0 ko¸sullar¬n¬sa¼glayan herhangi bir çözümü, T de u (t) nin varl¬k zaman¬ olsun. E¼ger kruk = 0 ise, 0 < < b için u0(x) 2 W olur. I (u0) > 0 ise, d ( ) n¬n
tan¬m¬ve 1 2ku1k
2
+ J (u0) = E (0) = d ( 1) = d ( 2) < d ( ) ; 1 < < 2 (3.15)
den I (u0) > 0ve J (u0) < d ( ) ;yani 1 < < 2 için u0(x)2 W olur. 1 < < 2 ve
0 < t < T için u (t) 2 W oldu¼gu gösterilirse (i) nin ispat¬tamamlanm¬¸s olur. Bunun do¼gru olmad¬¼g¬kabul edilsin, bu durumda öyle bir t0 2 (0; T ) vard¬r ki, baz¬ 2 ( 1; 2)
için u (t0) 2 @W d¬r, yani I (u (t0)) = 0; kru (t0)k 6= 0 veya J (u (t0)) = d ( ) d¬r.
Enerji e¸sitli¼ginden 1
2kutk
2
+ J (u) = E (0) < d ( ) ; 1 < < 2; 0 < t < T (3.16)
J (u (t0)) = d ( ) n¬n imkans¬z oldu¼gu görülür. Di¼ger taraftan, I (u (t0)) = 0 ve
kru (t0)k 6= 0 ise d ( ) n¬n tan¬m¬ndan J (u (t0)) d ( ) elde edilir ki bu da (3.16) ile
çeli¸sir.
(ii) u (t) ; (3.6)-(3.8) probleminin E (0) = e enerjisine sahip ve I (u0) < 0ko¸sulunu
sa¼glayan herhangi bir çözümü, T de u (t) nin varl¬k zaman¬olsun. (3.15) den I (u0) < 0
ve J (u0) < d ( ) ; yani 1 < < 2 için u0(x) 2 V olur. (i) ye benzer olarak 1 < < 2 ve 0 < t < T için u (t) 2 V oldu¼gu gösterilirse ispat tamamlanm¬¸s olur.
E¼ger bu do¼gru de¼gilse, öyle bir t0 2 (0; T ) vard¬r ki, 0 t < t0 için u (x) 2 V ve
3. POTENTIAL WELL METODU
d¬r. (3.16) dan J (u (t0)) = d ( ) n¬n imkans¬z oldu¼gu görülür. E¼ger I (u (t0)) = 0
ise, 0 t < t0 için I (u (t)) < 0 olur ve Lemma 3.2.6 dan kru (t)k > r ( ) ve
kru (t0)k r ( ) elde edilir. d ( ) n¬n tan¬m¬ndan J (u (t0)) d ( ) olur. Bu da bir
çeli¸skidir. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
Teorem 3.2.14 ve Lemma 3.2.8 yard¬m¬yla a¸sa¼g¬da teoremler ispatlanabilir.
Teorem 3.2.15. Teorem 3.2.14 de E (0) = e kabulü, 0 < E (0) e de¼gi¸stirilirse Teorem 3.2.14 ün sonuçlar¬yine de geçerli olur.
Teorem 3.2.16. f (u) ; ui(x) (i = 0; 1) ; e ve i (i = 0; 1) Teorem 3.2.14 dekilerle
ayn¬olsun. Bu durumda herhangi bir 2 ( 1; 2)için W ve V de¼gi¸smezdir, dolay¬s¬yla
W1 2 = [ 1< < 2 W ve V 1 2 = [ 1< < 2 V
kümelerinin ikisi de 0 < E (0) e olmas¬ durumunda (3.6)-(3.8) in ak¬¸s¬ alt¬nda de¼gi¸smezdir.
Teorem 3.2.17. (3.6)-(3.8) probleminin E (0) = 0 enerjisine sahip tüm çözümleri
Bcr 0 = ( u2 H01( ) j kruk > r0 = 1 2AC 1=( 2)) kümesine aittir.
3.2.1. (3.6)-(3.8) Probleminin Çözümlerinin Global Varl¬k ve Yoklu¼gu
Tan¬m 3.2.1.1. u 2 L1(0; T ; H1 0 ( )) ; ut 2 L1(0; T ; L2( )) olmak üzere, (0; T )de u 2 H1 0 ( ) için (ut; ) + Z t 0 (ru; r ) d = Z t 0 (f (u) ; ) d + (u1; ) ; 8 2 H01( ) ; t 2 (0; T ) ; u (x; 0) = u0(x)
e¸sitli¼gini sa¼glayan u = u (x; t) ¸seklindeki çözümlere zay¬f çözüm denir.
Teorem 3.2.1.2. f (u) ; (1)-(3) ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n ve u0(x) 2 H01( ) ; u1(x) 2
L2( ) olsun. 0 < E (0) < d ve I (u0) > 0 veya kru0k = 0 oldu¼gunu kabul edelim.
O zaman (3.6)-(3.8) problemi u (t) 2 L1(0;1; H1
0( )) ; ut(t) 2 L1(0;1; L2( ))
sa¼glanacak ¸sekilde bir global zay¬f çözüme sahiptir ve 0 t <1 için u (t) 2 W olur. ·
Ispat. !j(x) ; H01( ) da baz fonksiyonlar¬n¬n bir taban¬olsun. (3.6)-(3.8)
prob-leminin um(x; t) = m X j=1 gjm(t) !j(x) ; m = 1; 2; :::
