Farklı basamaktan tamsayı dizileri ile tanımlı özel matrislerin özellikleri

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

FARKLI BASAMAKTAN TAMSAYI DİZİLERİ İLE

TANIMLI ÖZEL MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ELİF ARDIYOK

ŞUBAT 2016 DÜZCE

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

09 ŞUBAT 2016

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanması süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Arzu ÖZKOÇ’a en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen sevgili aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

TEŞEKKÜR SAYFASI ……..……….………..…..…...i

İÇİNDEKİLER………..……….……...ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ………...…iii

ÖZET ………...1 ABSTRACT ……….……...2 EXTENDED ABSTRACT ……...……….……….……….…………...3 1. GİRİŞ ……….…………...…...6 2.KURAMSAL KAVRAMLAR ...7 2.1. TAMSAYI DİZİLERİ………...…...………..………..….7 2.2. ÖZEL MATRİSLER………...….………..12 2.3. MATRİS NORMLARI………....……….…...…17

3.LUCAS VE KOMPANION-LUCAS TAMSAYI DİZİLERİ İLE TANIMLI MATRİSLER VE MATRİS NORMLARI……….….19

3.1. CIRCULANT MATRİSLER...20

3.2. NEGACYCLIC MATRİSLER………..….………....…..27

3.3. SEMICIRCULANT MATRİSLER……….………...………….…...….30

3.4. KOMPANION MATRİSLER………..30

4.TETRANACCI VE KOMPANION-TETRANACCI TAMSAYI DİZİLERİ İLE TANIMLI MATRİSLER...34

4.1 CIRCULANT MATRİSLER...37

4.2 NEGACYCLIC MATRİSLER……….…..……....42

5. k-BALANS SAYILARI VE TRIDIAGONAL MATRİSLER………...47

6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ...57

7. KAYNAKLAR ...58

SİMGELER VE KISALTMALAR

n B n. balans sayısı I Birim matris k n B n. k-balans sayısı n b n. cobalans sayısı n V

Kompanion-Lucas tamsayı dizisi

n K

Kompanion-tetranacci sayı dizisi

k n b _{n. k-cobalans sayısı} ) (x T_n 1. tür Chebyshev polinomu ) (x U_n 2. tür Chebyshev polinomu ) (c C Circulant(dairesel) matris E

A Amatrisinin Euclidean normu

n F n. Fibonacci sayısı ) (h H Henkel matris 𝒞 _{Karmaşık sayılar} n

U Lucas tamsayı dizisi n C n. Lucas-balans sayısı n c n. Lucas-cobalans sayısı k n

C n. k-Lucas balans sayısı k

n

c n. k-Lucas cobalans sayıları

. Matris normu ) ( A j  A matrisinin özdeğeri *

A A matrisinin eşlenik transpozu

) (x

j

 Negacyclic matrisin özdeğeri ) (a N Negacyclic matris n P n. Pell sayısı

n Q n. Pell-Lucas sayısı  Reel sayılar ) (x S Semicirculant matris 1

A Amatrisinin sütun normu



A Amatrisinin satır normu

2

A Amatrisinin spektral normu ) (t T Toeplitz matris ) (n T Tridiagonal matris n

ÖZET

FARKLI BASAMAKTAN TAMSAYI DİZİLERİ İLE TANIMLI ÖZEL MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ

Elif ARDIYOK Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Arzu ÖZKOÇ Şubat 2016, 60 sayfa

Bu tez çalışmasında ikinci basamaktan tamsayı dizileri olan Lucas ve kompanion-Lucas tamsayı dizileri ile tanımlı circulant, negacyclic ve semicirculant matrisler için matris normları olan Euclidean norm, spektral norm, 1-norm ve sonsuz norm elde edilmiştir. Daha sonra bu matrisler için özdeğerler ve determinantlar bulunmuştur. Benzer sonuçlar tetranacci ve kompanion-tetranacci tamsayı dizileri için elde edilmiş yani dördüncü basamaktan tamsayı dizilerine genişletilmiştir. Son olarak kbalans sayıları ile ilişkili olacak şekilde tanımlanan, k parametresine bağlı tridiagonal matris aileleri ele alınmıştır. Chebyshev polinomlarından yararlanarak B_(n)(k) tridiagonal matris ailesi için özdeğer ve determinant, kofaktör matrisinden yararlanarak da W_(n)(k) tridiagonal matris ailesinin tersleri kbalans sayılarına bağlı olarak verilmiştir.

Anahtar sözcükler: Tamsayı dizileri, Circulant matrisler, Matris normları, Özdeğer, Determinant, kbalans sayıları

ABSTRACT

CHARACTERISTICS OF SPECIAL MATRICES WHICH IS DEFINED BY INTEGER SEQUENCES WITH DIFFERENT STEP

Elif ARDIYOK Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Arzu ÖZKOÇ February 2016, 60 pages

In this work we are considered the norm of matrices as Euclidean norm, spektral norm, 1-norm and infinity norm which is defined by Lucas and companion-Lucas sequences with second step integer sequences. After that eigenvalues and determinants are found for these matrices. Same results are obtained for tetranacci and companion-tetranacci integer sequences so these results have been expanded to the fourth step. Finally, the family of tridiagonal matrix are investigated which is connected parameter k related to be defined kbalancing numbers. For the family of tridiagonal matrice B_(n)(k), eigenvalues and determinants are given by using Chebyshev polinomials, also inverse of tridiagonal matrix family W_(n)(k)is given related to kbalancing numbers benefit from cofactor matrix.

Keywords: Integer sequences, Circulant matrices, Norms of matrices, Eigenvalues, Determinants, kbalancing numbers

EXTENDED ABSTRACT

CHARACTERISTICS OF SPECIAL MATRICES WHICH IS DEFINED BY INTEGER SEQUENCES WITH DIFFERENT STEP

Elif ARDIYOK Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Arzu ÖZKOÇ February 2016, 60 pages

1. INTRODUCTION:

There are some results concerning integer sequences and matrices in the literature. To combine these two issues, we create by selecting the elements of the matrix in terms of the number of integer sequences. Thus, new results to integer sequences can be obtained with matrix application in terms of integer sequences.

In this thesis, there are five chapters. In the first chapter, a brief introduction is made. In the second chapter, some preliminary informations are given. In the third chapter, we are considered some special matrices which is defined by Lucas and companion-Lucas sequences with second step integer sequences. We can be deduced the norms of matrices as euclidean norm, spectral norm, 1-norm and infinity norm and also eigenvalues and determinant. In the fourth chapter, Tetranacci numbers are worked which is the number of digits of the integer sequences. Similar results are found for tetranacci and companion-tetranacci sequences which is the fourth step integer sequences. In the fifth chapter, depending on parameter k, two different families of tridiagonal matrix which are to be associated with kbalancing numbers are examined.

2. MATERIAL AND METHODS:

Firstly, the results concerning of that subject are investigated which has no results that have been observed. Then, the results which can be deduced with the application of special matrix explored, then cases are examined by the two concepts are combined. The sums of first n terms and Binet formulas can help to be the results for integer sequences. Also eigenvalues and determinant formulas are used for matrices.

3. RESULTS AND DISCUSSIONS:

The following results are obtained:

i) For n2, Lucas sequences U and companion-Lucas sequences _n V are _n

investigated andthe sums of first n terms are obtained for  U and _n V . _n

ii) Moreover we study some special matrices which is defined by Lucas and companion-Lucas sequences. Then we calculate the norms of matrices as Euclidean norm, spectral norm, 1-norm and infinity norm and also eigenvalues and determinants.

iii) Results are obtained by the terms of U and _n V of companion matrix powers _n

are given.

iv) Tetranacci M and companion-tetranacci sequences _n K are examined and the _n

difference between the general terms are found for the matrices.

v) Similarly circulant ve negacyclic matrices which is defined by M and _n K are _n

discussed and the norms of these matrices are obtained.

vi) kbalancing numbers and different forms of kbalancing numbers are described in order to obtain the tridiagonal matrices B_(n)(k) and W_(n)(k) which is in type nn and depending on the parameter k.

vii) Eigenvalues and determinants are found for the tridiagonal matrices B_(n)(k) benefiting from the Chebyshev polynomials.

viii) Taking advantage of the cofactor matrix C_(n1)(k), we find the inverse of the family of tridiagonal matrix W_(n)(k) including k balancing numbers.

4. CONCLUSION AND OUTLOOK:

The main purpose of this thesis is to obtain matrices which is defined with integer sequences that are not used in the literature previously and to find their eigenvalues, determinants and matrix norms which is matrix applications. In addition, tridiagonal matrix which is the other matrix groups, to relate the number of kbalancing numbers. In this case, the theory of numbers commonly used to describe the application of some special matrices with integer sequences is the main aim of the thesis.

111

1.GİRİŞ

Tamsayı dizileri ve matrislerin her ne kadar birbirinden farklı uygulama alanları olsa da bu iki kavram birçok makale ve tez çalışmasında bir arada kullanılmıştır. Örneğin [1, 2] çalışmalarında özel matrisler olan circulant, negacyclic matrislerin elemanları tamsayı dizileri olarak seçilmek suretiyle matrisin uygulamaları kapsamında matrisin özdeğerleri, determinantları, matris normları ki bu normlar; euclidean norm, spektral norm, 1-norm ve sonsuz normları, elde edilebilmektedir. Bundan başka kompanion matrisin kuvvetleri de tamsayı dizisinin terimleri cinsinden elde edilebilmektedir. Ayrıca diğer bir matris çeşidi olan tridiagonal matrisleri içinde [3] çalışmasında genelleştirilmiş kFibonacci sayıları için bu matris çeşidi için oluşturulan farklı matris

uygulamalarının Chebyshev polinomlarından ve kofaktör matristen yararlanarak bulunduğu gözlemlenmektedir.

Bu tez çalışmasının amacı, literatürde daha önce kullanılmamış olan tamsayı dizileri ile tanımlı circulant, negacyclic ve semicirculant matrisler oluşturulup bunların uygulamaları olan özdeğer, determinant, matris normlarını elde etmektir. Çalışma boyunca ikinci basamaktan ve dördüncü basamaktan tamsayı dizileri için sonuçlar elde edilmiştir. Aynı zamanda diğer bir matris grubu olan tridiagonal matrisleri, kbalans sayıları ile ilişkilendirmek diğer bir amaçtır. Bu durumda sayılar teorisinde sıkça kullanılan tamsayı dizileri ile özel bazı matrislerin uygulamalarını açıklamak tezin esas amacıdır.

2.KURAMSAL KAVRAMLAR

Bu bölümde çalışmanın ileriki bölümlerinde kullanılacak olan tamsayı dizileri, bazı özel matris çeşitleri olan circulant, negacyclic, semicirculant, kompanion ve tridiagonal matrisler ve matris normları ile ilgili temel kavramlara, notasyonlara ve teoremlere yer verilmiştir.

2.1 TAMSAYI DİZİLERİ

Tamsayı dizileri, ilk olarak meşhur bir tamsayı dizisi olan Fibonacci tamsayı dizisi ile ortaya çıkmıştır. Diziye adını veren İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (1170-1250), matematiği araplardan alıp Avrupa’ya tanıtan kişi olup orta çağın en yetenekli matematikçilerinden biridir. Fibonacci ‘Liber Abaci’ isimli kitabında kapalı bir ortamdaki bir tavşan ailesinin artışını şu problemle aktarmıştır: Biri erkek biri dişi bir çift tavşanımız var, bir aylıkken çok genç olduklarından üreyemiyorlar, ama ikinci ayın sonunda erginleşip üremeye başlıyorlar. Her ay ergen her çiftin biri erkek biri dişi olmak üzere yeni bir çift ürettiğini ve hiç ölmediklerini varsayılsın. Tavşanlar bu şekilde üremeye devam ederlerse bir yılın sonunda kaç çift tavşanınız olur? Sorunun genelleştirilmiş hali, n ay sonra kaç çift tavşanınız olur? Birinci ay 1 çift, ikinci ay üreyemediklerinden yine 1 çift ve üçüncü ay 2 çift ve bu şekilde devam edilirse her ayda kaç çift tavşan olduğunu hesaplamak aynı zamanda 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,  dizisini hesaplamaktır. Burada üçüncü terimden itibaren her sayı kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir. F_n, n. aydaki çift sayısı veF_n1, (n1). aydaki çift sayısı olmak üzere, (n2).aydaki çift sayısı F_n2 F_n1F_n şeklindedir. [4].

Buna göre, Fibonacci dizisi, ilk iki terimi haricinde diğer tüm terimleri arasında kendisinden hemen önce gelen ilk iki terimin toplamı olarak ifade edilebilen, başlangıç değerleri F₀ 0,F₁1olanven2 için

2 1     _{n n} n F F F

indirgeme bağıntısı ile tanımlanan dizidir. Dizinin terimleri arasında birçok cebirsel bağıntı bulunmaktadır, bunlardan bazıları aşağıdaki gibidir:

. ) 1 ( ) ( ) ( 2 3 3 2 1 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 4 2 4 1 4 2 2 1 2 2 1 2 2 4 2 2 2 2                                n n n n n n n n n n n n n n n k n k k n n n n n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

Ayrıca bu dizinin ardışık iki teriminin oranının limiti altın orana yakınsar, yani

        ₂ 1.6180339887 5 1 lim 1 n n n _F F dir.

Fibonacci sayı dizisinden başka bir diğer önemli sayı dizisi ise Lucas sayı dizisidir. Bu dizinin başlangıç terimleri L₀ 2,L₁1 olup genel terimi n2 için

2 1     n n n L L L şeklindedir.

Bu iki tamsayı dizisinden başka önemli iki tamsayı dizisi Pell ve Pell-Lucas tamsayı dizileridir. Bu iki tamsayı dizisinin başlangıç terimleri P₀ 0,P₁1 ve Q₀ 2,Q₁ 2

olup genel terimleri n2 için

2 1 2 _  _  _{n n} n P P P ve Qn 2Qn₁Qn₂ şeklinde tanımlanmaktadır.

Yukarıda ele alınan tüm tamsayı dizileri, p ve q, p24q0 özelliğinde iki tamsayı olmak üzere başlangıç değerleri U₀ 0,U₁ 1, V₀ 2,V₁ pve genel terimleri n2 için 2 1 ) , (  _  _  _{n n n} n U p q pU qU U ve V_n V_n(p,q) pV_n1qV_n2 olarak tanımlanan U ve_n V_n tamsayı dizilerinin özel halleridir. Gerçekten de

n n

n U F

U  (1,1) , U_n U_n(2,1)P_n, V_n V_n(1,1)L_n, V_n V_n(2,1)Q_n dir. Bu tamsayı dizilerin karakteristik denklemi

0

2_{  } q px x olup bu denklemin kökleri

2 4 ve 2 4 2 2 q p p q p p        

dir (p24q0 alınmasının sebebi, denklemin farklı iki kökünün olması istendiği için). Bu diziler için Binet (Jacques Phillipe Marie Binet, 1786-1856) formülleri

       n n n U ve V_n n n dir [5].

Karakteristik denklemin köklerinin n. kuvvetlerinin toplamı ve farkı sırasıyla

nn U_n p24q(p p2 4q)n21n (2.1.1) n n U_n p2 4q (2.1.2) dır. Bu iki tamsayı dizisi arasındaki bir çok cebirsel bağıntı olup bunlardan bazıları

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n q U q p V q V V V q U q p U q V U U q V V V U U 4 ) 4 ( ) 3 ( ) 3 ) 4 (( ) ( 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2              (2.1.3) dır [4].

Son zamanlarda tamsayı dizilerinde ortaya çıkan diğer önemli bir tamsayı dizisi de balans tamsayı dizisidir. r pozitif bir tamsayı olmak üzere

12 (n1)(n1)(n2) (nr) (2.1.4) eşitliğini gerçekleyen pozitif n tam sayısına balans sayısı denir. Burada r sayısına n nin dengeleyicisi (veya cobalans sayısı) denir. 6, 35, 204, 1189 ve 6930 birer balans sayısı olup bu sayılara karşılık gelen cobalans sayıları sırasıyla 2, 14, 84, 492 ve 2870 dir.

(2.1.4) eşitliğinde gerekli düzenlemeler yapılırsa 2 ) 1 ( 2 ) 1 (  _{ }r r rn n n

elde edilir. Bu son eşitlik r ve n ye göre çözülürse

2 1 8 8 1 2 ve 2 1 8 ) 1 2 ( 2   2         n n n r r r r (2.1.5) elde edilir.

Balans sayıları B_n ve cobalans sayıları b_n ile gösterilirse bu sayıların başlangıç terimleri B₁1,B₂ 6 ve b₁0,b₂ 2 olup genel terimleri n2 için sırasıyla

1

1 6 

  n n

n B B

B ve b_n16b_n b_n12 şeklindedir. Balans sayılarının karakteristik denklemi

0 1 6 2_{  } x x

olup bu denklemin kökleri

8 3 ve 8 3     

dir. (2.1.5) eşitliğine dikkat edilirse, B_n balans ve b_n cobalans sayıları için 8Bn21 ve 1

8

8b_n2 b_n nin birer tam kare olduğu görülür. Dolayısıyla 1 8 8 ve 1 8 2   2    _{n n n n} n B c b b C

birer tamsayı olup bu sayılara sırasıyla n. Lucas-balans ve n. Lucas-cobalans sayıları denir. Balans sayılarının terimleri arasında aşağıdaki gibi cebirsel bağıntılar vardır.

Teorem 2.1.1 Her bir n >1 tamsayısı için

) ( ) 1 )( 1 ( 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1                    n n n n n n n k n k k n k n n n n n B B B B B B B B B B B B B B B B dir [6].

Teorem 2.1.2 B_m balans sayı için

) ( ₁ 2 2 1 1 2 4 2 2 1 2 2 1                      m m m m m m m m m B B B B B B B B B B B B B B B dir [6]. 8 3 ve 8 3    

 olmak üzere balans sayıları için Binet formülü

       n n n B

dir. Pell sayılarının karakteristik denkleminin kökleri olan  1 2 ve  1 2 sayıları için

2 32 2 ve 2 32 2 olduğundan balans sayılarının Binet formülü  ve  ya bağlı olarak

2 4 2 2n n n B  

şeklinde de verilebilir. Böylece balans ve Pell sayıları arasında bir ilişki kurulmuş olur. Diğer balans sayılarının Binet formülleri de sırasıyla

2 ve 2 , 2 1 2 4 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2    _        n n _n n n _n n n n C c b       şeklindedir.

Tanım 2.1.3 xcos olmak üzere

(i) T_n(x)cosn şeklinde tanımlı n. derece polinoma 1. tür Chebyshev polinomu denir. Buna göre, 1. tür Chebyshev polinomları

 x x x T x x T x x T x T 3 4 ) ( 1 2 ) ( ) ( 1 ) ( 3 3 2 2 1 0      

şeklinde olup n2için

T_n(x)2xT_n1(x)T_n2(x) (2.1.6) dir. Üstelik bu polinomlar

                x x x x 2 1 1 2 1 1 2 1 1   

şeklindeki nn tipinde matrisin determinantı olarak da elde edilebilir. (ii)   sin ) 1 sin( ) (x  n

U_n olarak tanımlanan n. derece polinomlara ise 2. tür Chebyshev polinomu denir. Buna göre, 2. tür Chebyshev polinomları da

 x x x U x x U x x U x U 4 8 ) ( 1 4 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 3 2 2 1 0      

şeklinde olup n2için

U_n(x)2xU_n1(x)U_n2(x) (2.1.7) dir. Yine bu tür polinomlar da

                x x x x 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2   

şeklindeki nn tipinde matrisin determinantı olarak elde edilebilir. Bu iki tür Chebyshev polinomları arasındaki cebirsel bağıntılardan bazıları

iken çift , 1 ) ( 2 ) ( iken tek , ) ( 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 çift tek 1 2 1 1 2 n x T x U n x T x U x U x x xT x T x xU x U x T x U x U x T n j j n n j j n n n n n n n n n n          





    (2.1.8) dır [7, 8]. 2.2. ÖZEL MATRİSLER

Tanım 2.2.1 A(a_ij), nn tipinde karesel bir matris olsun.

(i) A nın köşegeni a11,a22,,ann elemanlarından oluşur ve bu köşegen elemanlarının

toplamına A nın izi denir ve iz (A) olarak ifade edilir. Buna göre



      n i ii nn a a a a A 1 22 11 ) ( iz  dir.

(ii) A matrisinde i. satır ve j. sütunu çıkartılırsa geriye kalan (n1)(n1) lik matrisin determinantına A nın a_ij elemanının minörü denir ve det(M_ij) ile gösterilir. a_ij nin

) det( ) 1 ( ij j i ij M A   

biçimindeki işaretli minörüne ise a_ij nin kofaktörü denir. Aij kofaktörlerinden oluşan

matrise C kofaktör matrisi denir.

(iii) A matrisinde a_ij elemanları yerine bu elemanlara karşılık gelen A_ij kofaktörleri yazılarak elde edilen matrisin devriğine A nın ek matrisi (adjointi) denir ve adj(A) ile gösterilir.

(iv) A matrisinin kofaktör matrisi C olmak üzere A matrisinin determinantı



  n j j i j i C A A 1 , , ) det(

şeklinde ifade edilir. Üstelik A matrisini tersi

T C A A adj A A ) det( 1 ) ( ) det( 1 1    bulunur.

(v) A nın determinantı, herhangi bir satırın elemanlarının kendilerine ait kofaktörlerle çarpılıp toplanmasına eşit, yani



      n j ij ij in in i i i i A a A a A a A a A 1 2 2 1 1 ... ) det(



      n j ij ij nj nj j j j jA a A a A a A a A 1 2 2 1 1 ... ) det(

dir. det( A için yukarıdaki biçimler sırasıyla, A nın determinantının i. satır ve j. kolon ) için Laplace açılımları olarak adlandırılır.

(vi) A matrisinin özdeğerleri _i, i1,2,,n için A nın dağılımı ( ) max| _{i j} |

i,j A

s   

dir. Üstelik ( ) 2 2 2 iz(A)2

n A A s E   dir.

Yardımcı Teorem 2.2.2 A(a_ij), nn tipinde bir matris olsun. Eğer A reel değerli ve

normal ise



   j i ij a n A

s( ) (1/( 1)) dir ve eğer A hermitian ise s A a_ij j i max 2 ) (   dir [9].

Şimdi daha sonraki bölümlerde kullanılacak özel matrisler ve bu matrislerin belli sınıfları tanıtılacaktır.

Tanım 2.2.3 (i) Elemanları kompleks veya reel sayılardan oluşan ve

biçiminde tanımlanan matrise toeplitz matrisi denir. Buna göre, bir toeplitz matris

                             0 1 3 2 1 1 0 4 3 2 2 3 1 0 1 1 2 2 1 0 ) ( t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t T n n n n n n n n n n          

şeklinde yazılabilir. Görüldüğü gibi bir toeplitz matrisinin elemanları esas köşegene paralel köşegenler boyunca sabittir. Dolayısıyla bir toeplitz matrisini, matrisin ilk satır vektörü ile ilk sütun vektörü temsil eder denilebilir.

(ii) C(c)(cij),cij olmak üzere, elemanları jik(modn) şeklinde tanımlı nn

tipinde matrise circulant(dairesel) matris denir ve

) , , , ( ) (c circ c0 c1 cn1 C 

şeklinde gösterilir. Buna göre bir circulant matris

                 _{  }    0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 ) ( c c c c c c c c c c c c c c c c c C _{n n n} n n n         

biçimindedir. Genel anlamda nn tipinde bir circulant matris n elemanlı bir vektör ile temsil edilir ve bu matrisin ilk satırını oluşturur. Böylece takip eden satırlar önceki satırın son elemanını başa alarak devam eder. Bir circulant matrisin köşegeni üzerindeki elemanları ile köşegene paralel olan çizgiler üzerindeki elemanları aynıdır. (Circulant matrisler, matematik literatüründe ilk kez 1846 yılında E. Catalan’ın çalışmasında karşımıza çıkmaktadır. O yıllardan günümüze kadar matematiğin birçok dalında ve fizikte uygulama alanına sahip olan circulant matrisler hakkında birçok çalışmalar yapılmıştır. Toeplitz matrislerinde olduğu gibi circulant matrislerde de esas köşegene

n j i j i t t T( )( _ )_{, 0}

paralel köşegenler boyunca elemanlar eşittir. Circulant matrisler birer toeplitz matris iken tersi doğru değildir. Örneğin, 3

1 , 3 (ji)ij

T ve jik(mod3) olmak üzere 3

3 3 (k)

C matrisleri alındığında C₃ circulant matrisi bir toeplitz matris olduğu halde, 3

T toeplitz matrisi bir circulant matris değildir [10]).

(iii) an ve a(a₀,a₁,,a_n)T olsun. Esas köşegenin altındaki elemanlarının işaretleri değiştirilmiş, nn tipindeki circulant matrise negacyclic matris denir ve

) (a

N ile gösterilir. Buna göre, bir negacyclic matris

) (a N =                                 0 2 1 1 3 1 0 1 2 2 2 1 0 1 1 3 2 1 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n           şeklindedir.

(iv) xn ve (x_0,x₁,,x_n1)T olsun. nn tipindeki S(x)(s_ij) semicirculant matrisi ) (x S =     0 1 i j x iken ; iken ; j i j i   şeklinde tanımlanır.

(v) nn tipindeki matrisin elemanları i,j 0,1,2,,n1 için 2 1 , 1 ,j( ) i j ( ) ij i h h h h

h biçiminde tanımlandığında,H(h)(hij) matrisine henkel

matris denir. Buna göre, bir henkel matris

 ) (h H                            2 2 3 2 1 1 3 2 4 2 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 0 n n n n n n n n n n n n n n h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h          

(vi) n n n n a x a x a x x p   1  _1  1 )

( bir polinom olmak üzere, p(x)0 denklemi için                                0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 1       n n a a a a M

karesel matrisine, p(x) polinomuna karşılık gelen kompanion matrisi denir.

(vii) T_(n) (t_ij)M_n ve |i j|1 için t_ij0 şeklinde tanımlanan nn tipinde bir kare matrise tridiagonal matris denir. Buna göre, bir tridiagonal matris

                   nn n n n n n t t t t t t t t t t T 1 , , 1 33 32 23 22 21 12 11 ) ( 0 0    şeklindedir [12].

(viii) C(a)circ(a₀,a₁,,a_n1), nn tipinde circulant matris olsun. j 0,1,,n1 ve i  1 için, n i e w  2

 birimin n. dereceden ilkel kökü olmak üzere

jk n k k j C a a w   



 1 0 )) ( ( 

ifadesine C(a) matrisinin özdeğeri denir [1,13].

(ix) C(a)circ(a₀,a₁,,a_n1), nn tipinde circulant matris olsun.j ifadesi C(a)

matrisinin özdeğeri olmak üzere circulant matrisin determinantı



     1 0 1 0 )) ( det( n k n j j k jw a C  dır [10]..

(x) N(x), nn tipinde negacyclic matris olsun. n i e w  2  , i 1 ve j0,1,,n1 olmak üzere 2 / ) 1 2 ( 1 0 ) ( j k n k k j x x w   



 

ifadesine N(x) matrisinin özdeğeri denir [14].

Yardımcı Teorem 2.2.4A,nn tipinde bir matris olup ₁,₂,,_n A matrisinin özdeğerleri olsun. 

A , A matrisinin eşlenik transpozu olmak üzere, A nın normal matris

olması için gerek ve yeter şart 

AA nın özdeğerlerinin ₁2,₂ 2,,_n 2 olmasıdır [2].

2.3 MATRİS NORMLARI

Bu alt bölümde daha sonraki bölümlerde sonuç olarak verilecek matris normlarının tanımları verilecektir.

Tanım 2.3.1 F, reel ya da kompleks sayı cismi ve M_n(F) bileşenleri F cisminin elemanları olan nn tipinde karesel matrislerin kümesi olmak üzere,

{0} )

( :

. M_n F  , A A

ile ifade edilen ve

(i) AM_n(F)için A0 ise A 0 dır. Ayrıca A = 0 olması için gerek ve yeter şart 0



A olmasıdır,

(ii) aF ve AM_n(F)için aA  a A dır,

(iii) A,BM_n(F) için AB  A  B ve AB  A B dir şartlarını sağlayan . dönüşüme matris normu denir.

Tanım 2.3.2 A herhangi bir nn karesel matris olmak üzere (i) 2 / 1 1 , 2       



 n j i ij E a A

normuna A matrisinin Euclidean (frobenius) normu denir. (ii)



    n i ij n j a A 1 1 1 max

normuna Amatrisinin sütun normu (1- normu) denir. (iii)



     n j ij n i a A 1 1 max

normuna Amatrisinin satır normu (sonsuz normu) adı verilir. (iv) ) ( max 1 2 A A A _i H n i   

normuna ise A matrisinin spektral normu adı verilir (Burada AH (A)Tdir).

Not. 2.3.3 Yukarıda verilmiş olan bu normlar arasında A _E A A_E

n  2 

1

şeklinde bir bağıntı vardır.

3. LUCAS VE KOMPANİON-LUCAS TAMSAYI DİZİLERİ İLE

TANIMLI MATRİSLER VE MATRİS NORMLARI

Bu bölümde giriş bölümünde tanımlanan p ve q parametreli U ve n Vn tamsayı dizileri

ile tanımlı circulant, negacyclic ve semicirculant matrisler tanımlanıp, bu matrisler için Euclidean norm, spektral norm, 1-normu ve sonsuz normu için sonuçlar elde edilmiş, daha sonra bu matrislerin özdeğerleri ve determinantları bulunmuştur [15].

n

U ve V tamsayı dizilerinin _n

(i) circulant matrisleri

                                  _{  }          0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 ) ( , ) ( V V V V V V V V V V V V V V V V V C U U U U U U U U U U U U U U U U U C _{n n n} n n n n n n n n n                

(ii) negacyclic matrisleri

                                                          0 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 0 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 ) ( , ) ( V V V V V V V V V V V V V V V V N U U U U U U U U U U U U U U U U N n n n n n n n n n n n n n n                  

(iii) semicirculant matrisleri

                                  _      0 3 0 2 1 0 1 2 1 0 0 3 0 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 ) ( , 0 0 0 0 0 ) ( V V V V V V V V V V V S U U U U U U U U U U U S _n n n n n n                   dir. n

U ve V tamsayı dizilerinin tanımına dikkat edilirsen 4 0

2_{ }

q

p olduğundan pq1 dir. Buna göre aşağıdaki teoremler verilebilir.

Teorem 3.1 U ve _n V tamsayı dizilerinin ilk n terim toplamları sırasıyla _n



        n i n n i p q U p q qU U 1 1 1 1 ) ( ve



         n i n n i p q q p V p q qV V 1 1 1 2 ) ( dir.

İspat. U tamsayı dizisi için indirgeme bağıntısı n Un  pUn1qUn2 olduğundan

2 1 1 2 3 0 1 2 için için 3 için 2            n n n pU qU U n i qU pU U i qU pU U i 

elde edilir. Eşitliğin her iki tarafı taraf tarafa toplanırsa

1 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( 1 1 2 1 1 1 1 0 2 2 1 3 2 1                           



n n n n n i i n n n pU U U p q U U U q p U U pU qU U U U q p U U U U    olur. Buradan 1 ) 1 ( 1 ) )( ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1                        







n n n n n n i i n i n i n n n i i pU pU pU qU qU U p q pU U U p q U p q U ve böylece



        n i n n i p q U p q qU U 1 1 1 1 ) (

sonucu elde edilir. Benzer şekilde V tamsayı dizisi için n



         n i n n i p q q p V p q qV V 1 1 1 2 ) ( olduğu da gösterilebilir. 3.1 CİRCULANT MATRİSLER

Bu alt bölümde U ve n V tamsayı dizileri ile tanımlanan n C(U) ve C(V)circulant

matrisleri ele alınacak, bu matrisler için özdeğerler, determinantlar ve aynı zamanda matris normları elde edilecektir.

Teorem 3.1.1 C(U) ve C(V) circulant matrislerinin özdeğerleri j0,1,,n1 için 1 ) 1 ( )) ( ( ₂ 1       _  _ j j n n j j w p w q U U q w U C  ve 1 2 ) ( )) ( ( ₂ 1        _  _ j j n n j j pw qw V p V q w V C  dir.

İspat. U tamsayı dizisinin Binet formülünün n  

     n n n

U olduğu dikkate alınırsa özdeğer tanımından 1 ) 1 ( 1 1 ) ( ) ) ( ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ) (( ) 1 ( ) 1 ) (( 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )) ( ( 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0                                                                                                         _                                                                









j j n n j j j n n n n j j j n n n n j j j j n j n n j n jn j j j jn n j jn n j jn n j jn n j j j n j j n j j n j j n j n k n k k j k j jk n k k k n k jk k j w p w q U U q w w p w q q w w p w q w w p w q w w w w w p w q w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w U U C                                                                

bulunur. Diğer eşitlik de benzer şekilde gösterilebilir.

Teorem 3.1.2 C(U) ve C(V) circulant matrislerinin spektral normları



   1 1 2 ) ( n j j U U C ve



   1 1 2 ) ( n j j V V C dir.

2 / 1 2 1 0 2 / 1 * 1 0 2 max ( ( ) ( ) ) max ( ( )) ) (                     C U C U C U U C _j n j j n j  

dır. Eğer j 0 olarak alınırsa özdeğer maksimum olacağından



   _        1 1 1 0 2 / 1 2 0 2 ₁ 1 )) ( ( )) ( ( ) ( n j j n n U p q U qU U C U C U C  

dir. Benzer şekilde

2 / 1 2 1 0 2 / 1 * 1 0 2 max ( ( ) ( ) ) max ( ( )) ) (                     C V C V C V V C _j n j j n j  

olup yine j 0 olarak alınırsa



     1 1 0 2 / 1 2 0 2 ( ( )) ( ( )) ) ( n j j V V C V C V C   elde edilir.

Teorem 3.1.3 C(U) ve C(V) circulant matrislerin determinantları

n n n n n n n n n n q p p q p U q U q U U C ) 4 ( 2 ) 4 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )) ( det( 2 1 2 1              ve n n n n n n n n q p p q p U q qV p V V C ) 4 ( 2 ) 4 ( 1 ) ( ) 2 ( )) ( det( 2 1 2 1              dir.

İspat. Özdeğer tanımından ve qw2j pwj 1(wj 1)(wj 1) eşitliğinden





              1 0 2 1 1 0 1 ) 1 ( )) ( ( )) ( det( n j j j n n j n j j pw qw U qU w U C U C 

dir. Ayrıca her

x

ve y reel değeri için

n n n j j y x w y x  



   ) ( 1 0 olup n n n n n j j n n qU w U qU U ( 1) ) ( ) ( 1) ( ₁ 1 0 1         _    



ve n n n n n n n n j n j j q w w                 



( 1)( 1) (1 )(1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 0         

n n n n n q p p q p U        2 2 1 2 ) 4 ( 4  

olduğundan yukarıdaki eşitlik

n n n n n n n n n n q p p q p U q qU U U C              1 2 2 1 2 ) 4 ( ) 4 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )) ( det(

olarak bulunur. Benzer şekilde C(V) için





               1 0 2 1 1 0 1 2 ) ( )) ( ( )) ( det( n j j j n n j n j j pw qw V p V q w V C V C  olup n n n n n j j n n p qV w V p qV V 2 ( ) ) ( 2) ( ) ( ₁ 1 0 1              



ve n n n n n n n n j n j j q w w                 



( 1)( 1) (1 )(1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 0          olduğundan n n n n n n n n q p p q p U q qV p V V C              1 2 2 1 2 ) 4 ( ) 4 ( 1 ) ( ) 2 ( )) ( det( dır. Teorem 3.1.4 q q p q q p K 2 4 ) 1 ( ) 1 (    2 

 olmak üzere C(U) ve C(V) circulant

matrislerinin Euclidean normları

              _                      





       iken tek ; 1 1 4 ) ( 4 4 iken çift ; 1 1 6 ) ( 4 4 ) ( 2 / ) 1 ( 1 2 2 2 1 4 1 4 2 2 / 1 2 1 4 1 4 2 n V q q K K q p n n V q q K K q p n U C n i n n n n i i n i n n i i E       ve                                    





       iken tek ; 1 1 2 ) ( 4 iken çift ; 1 1 2 ) ( 4 ) ( 2 / ) 1 ( 1 2 2 2 1 4 1 4 2 / 1 2 1 4 1 4 n V q q K K n n V q q K K n V C n i n n n n i i n i n n i i E       dir.





     n i i n j i ij E c n V V C 1 2 1 1 , 2 2 ) ( olduğundan



 n i i V 1 2

eşitliği bulunur ise ispat tamamlanmış olacaktır. (2.1.3) eşitliğinden

n n

n V q

V 2  ₂ 2 olduğu biliniyor. O halde









        n i n i i i n i i i n i i V q V q V 1 1 2 1 2 1 2 2 ) 2 ( (3.1.1) dir. Diğer yandan

) ( ) ( ) ( _{6 8 2 2 2} 1 4 2 2 n n n i i V V V V V V V       _  



 olduğundan                                                  1 1 ) ( ) ( 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n V V dir. Üstelik q q p q q p 2 4 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2         ve q q p q q p 2 4 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2         olup q q p q q p K 2 4 ) 1 ( ) 1 (    2  ve eşleniği q q p q q p K 2 4 ) 1 ( ) 1 (    2  

olduğundan V_n1V_n1KnKn dir. O halde n çift iken ) ( ) ( ) ( _{6 8 2 2 2} 1 4 2 2 n n n i i V V V V V V V       _  



 eşitliğinden





               2 / 1 1 4 1 4 1 1 2 1 2 7 7 3 3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( n i i i n i n n i K K K K K K K K V          ve n tek iken





                          2 / ) 1 ( 1 2 2 1 4 1 4 2 3 2 3 2 3 3 2 2 4 2 8 6 1 4 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n i n n i i n n n n n n n i i K K V K K K K V V V V V V V V           bulunur. Buradan







                   n i n i n n i i n i i i i n K K n K K V 1 2 / ) 1 ( 1 2 2 1 4 1 4 2 / 1 1 4 1 4 2 iken tek ; ) ( iken çift ; ) (      

elde edilir. Ayrıca _

         



q q_q q n n i i 1 2 2 1 1 olduğu bilindiğinden _        



  q q q n n i i 1 1 2 2 1 0 dir. Sonuç olarak (3.1.1) den









            1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 ) 2 ( n i n i i i n i i i n i i V q V q V olup







                                            n i n i n n n n i i n i n n i i i n V q q K K n V q q K K V 1 ( 1)/2 1 2 2 2 1 4 1 4 2 / 1 2 1 4 1 4 2 1 iken tek ; 1 1 2 ) ( 4 iken çift ; 1 1 2 ) ( 4       elde edilir.



   n i i E n V V C 1 2 1 )

( olduğundan istenilen sonuç görülür. Diğer eşitlik de benzer şekilde gösterilebilir.

Teorem 3.1.5 C(U) ve C(V) circulant matrislerinin 1-normu ve sonsuz normları

p q p q V qV V C V C p q U q p qU U C U C n n n n                     1 ) 1 ( 3 ) ( ) ( 1 1 ) 2 2 1 ( ) ( ) ( 1 1 1 1 dır.

İspat. Teorem 3.4 den ilk n- terim toplamı

p q U q p qU U p q U p q qU U _n n n n i n n i _{ }                



1 1 ) 2 2 1 ( 1 1 ) ( ₁ 1 0 1

p q U q p qU U C U C n n           ₁ 1 ) 2 2 1 ( ) ( ) ( 1 1

sonucu görülür. Benzer şekilde

p q p q V qV V C V C n n           ₁ ) 1 ( 3 ) ( ) ( ₁ 1 olduğu da gösterilebilir.

Sonuç 3.1.6 Verilen tamsayı dizileri ile oluşturulan circulant matrislerin Euclidean normu ile spektral normu aynı değere sahiptir.

Teorem 3.1.7 C(U) ve C(V) circulant matrisleri için dağılım

                               p q q p V p q qV n n V C s p q U q p qU n n U C s n n n n 1 2 4 3 ) ( 1 )) ( ( 1 1 ) 2 2 1 ( 1 )) ( ( 1 1 ve                                                                                                                      









                iken tek ; 8 1 1 ) 4 2 ( ) ( 2 2 iken çift ; 8 1 1 ) 4 2 ( ) ( 2 2 )) ( ( iken tek ; 1 1 ) 4 2 ( ) ( 2 2 iken çift ; 1 1 ) 4 2 ( ) ( 2 2 )) ( ( 2 1 1 2 1 1 4 1 4 2 1 2 1 1 4 1 4 2 1 1 2 1 4 1 4 2 1 2 1 4 1 4 n n V q q q K K n n n V q q q K K n V C s n V q q q K K n n V q q q K K n U C s n i n n i i n i n n i i n i n n i i n i n n i i         dir.

İspat. Circulant matrisin izinden tr(C(U))nU0 0 bulunur. [12] nolu referans ve Yardımcı Teorem 2.2.2 den

                  





qU _pp _q qU n nU U n a n n j i n j j ij 1 1 ) 2 2 1 ( 1 0 1 0

                 



qU _pp _q q U n n a n U C s n n j i ij 1 1 ) 2 2 1 ( 1 1 1 )) ( ( 1

elde edilir. n çift ise

                  



   2 1 2 1 4 1 4 2 2 ) 1 1 )( 4 2 ( ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 n i n n i i E _q V q q K K n U trC n U C   ve n tek ise                   



    2 1 1 2 1 4 1 4 2 2 ) 1 1 )( 4 2 ( ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 n i n n i i E _q V q q K K n U trC n U C   dir. 3.2 NEGACYCLİG MATRİSLER

Bu alt bölümde U ve n V tamsayı dizilerine bağlı olarak tanımlanan n N(U) ve N(V)

negacyclic matrisleri ele alınacak ve bu matrisleri için özdeğerler, determinantlar ve aynı zamanda matris normları elde edilecektir.

Teorem 3.2.1 N(U) ve N(V) negacyclic matrislerin özdeğerleri j0,1,,n1 için

1 ) 1 ( )) ( ( _{2 1 (2 1}1_)/2 2 / ) 1 2 (       _{ } j j n n j j pw qw U qU w U N m ve 1 2 ) ( )) ( ( _{2 1} 1_{(2 1)/2} 2 / ) 1 2 (         _  _ j j n n j j pw qw V p qV w V N m dir.

İspat. Negacyclic matris tanımından

      _            









            1 0 1 0 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 1 0 1 0 2 / ) 1 2 ( ) ( ) ( 1 )) ( ( n k n k k j k j k j n k k k n k k j k j w w w w U U N m        

1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 2 / ) 1 2 ( 1 2 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 1 2 / ) 1 2 ( 1 2 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 1 1 2 / ) 1 2 ( 1 2 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 1 2 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 ( 2 / ) 1 2 (                                                                                                                      j j n j j n j j n n j j n n j j j n j n j n j n j j j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j n j pw qw U w w qU pw qw w w pw qw w w w w pw qw w w w w w w w w w w w w                                             

sonucu elde edilir. Benzer şekilde

1 2 ) ( )) ( ( _{2 1} 1_{(2 1)/2} 2 / ) 1 2 (         _  _ j j n n j j pw qw V p qV w V N m olduğu da gösterilebilir.

Teorem 3.2.2 N(U) ve N(V) negacyclic matrislerinin determinantları

) 1 ) (( ) ) 1 (( )) ( det( _{( 1) 1/2} 2 / 1 1      _  n n i n n n n qw qe w qU U U N _ ve 1 ) ( ) ) (( ) 2 ( )) ( det( _{( 1) 1/2} 2 / 1 1       _  n n i n n n n pw qe w qV p V V N _ dir.

İspat. Yukarıdaki teoremde N(U) negacyclic matrisinin özdeğerlerinin

1 ) 1 ( )) ( ( _{2 1 (2 1}1_)/2 ) 2 / 1 2 (       _{ } j j n n j j pw qw U qU w U N m olduğu gösterilmiştir. O halde





              1 0 2 1 (2 1)/2 1 2 / ) 1 2 ( 1 0 1 ) 1 ( ) ( )) ( det( n j j j n n j n j j qw pw U qU w U N U N 