ZK(n,n,n) denkleminin kompakton çözümlerinin homotopi analiz yöntemi ile bulunması / ZK(n,n,n) of the equation kompakto presence of solutşons of homotopi analysis method

T.C

FIRAT ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ZK (n,n,n) DENKLEMİNİN KOMPAKTAN

ÇÖZÜMLERİNİN HOMOTOPİ ANALİZ YÖNTEMİ İLE BULUNMASI

YÜKSEK LİSANS TEZİ AYŞE ARIKAN

111121101

DANIŞMAN: Doç.Dr. Mustafa İNÇ ELAZIĞ – 2014

!"# $ $$ % $ & %' (%! %' (%! $ )' &*%! &(%! # $ $$ % %' (%! ) +,-./

0!102 " ! )( 3)' 02)4 5 16 %'7 5 1)( 33)' 3 14)1 5 4% 3&3%' 3 14)1 5 1) &33)' 3 14)1 8 . * ' 1 . , . 4) )3 4%! 4)&') 3)' 9

: . ;& &4&< %!%3 2 )4& 6 .,

: . . ; = ., : . , 1 $ ./ : . : 7 $ $ $ .> : , ; = % 4 ( ,. : : "? ,, : : . < @ $ ) "? ,: : : , ( @ $ ) "? ,A : : : B @ $ ) "? ,C : / 7 < ' :/ / . ( = $ :> / , ; = % 2 $ +( $ 6 :D

/ ? ? = = $$ $ ? B ? = $ ; = % = + ? ? ? ? 2 $ + ( $ $ $ ? ? $ $ ,+ :+ $ $ ; = % ? ! "#$%"#"!& 0 $ ; = % E;% F 2 $ + ( $

' ( ( ) * " +, $- -%. / - 0!"1" 2" * -#, $- 1 * 3-%- -.4 #41$1 " -5 4 = 1 . = = + 1 , G 1 : = = = ; = % 1 / 2 $ + ( H I , I : == J K 4 ,+ :+ = 4 K == ; = % "4 6-!51& 1= ; = % E;% F 2 $ +( )H 5

7 7"/$# ;% ? $ $ # $ $ $ /, 7"/$# ;% ? $ $ # $ $ $ /, 7"/$# ;% ? $ $ # $ $ $ /: 7"/$# ;% $ ? :+ G // 7"/$# E/ ./F ? ;% $ $ ? :+ G // 7"/$# E/ ./F ? $ :+ G /9 7"/$# ;% ? $ $ # $ $ $ /D 7"/$# 8 ;% ? $ $ # $ $ $ /C 7"/$# 9 ;% $ ? :+ G 9-7"/$# : E/ ,>F ? ;% $ $ ? :+ G 9-7"/$# E/ ,>F ? $ :+ G 9. 7"/$# ;% ? $ $ # $ $ $ 9/ 7"/$# ;% ? $ $ # $ $ $ 99

7"/$# ;% $ ? :+ G 9A 7"/$# E/ /-F ? ;% $ $ ? :+ G 9A 7"/$# E/ /-F ? $ :+ G 9> 7"/$# ;% ? $ $ # $ $ $ A, 7"/$# 8 ;% ? $ $ # $ $ $ A, 7"/$# 9 ;% $ ? :+ G A: 7"/$# : E/ 9:F ? ;% $ $ ? :+ G A/ 7"/$# E/ 9:F ? $ :+ G A/ 5

;#- = > ;% $ ? $ /: ;#- = 9 ;% $ ? $ /C ;#- = 9 ;% $ ? $ 99 ;#- = 9 ;% $ ? $ A:

L 3 &= ? L &= ? L 3 & &= ? L 4 = 1 L % = L L L )= L ) L 3 L 4 L * L 3 H L ' 1 M N L ;% ; = ( 5 ( K + 5 $ 8

1. BÖLÜM G·IR·I¸S

Günlük hayatta kar¸s¬la¸s¬lan problemlerin daha iyi anla¸s¬labilmesi için bu problem-lerin diferansiyel denklemlerle modellenmesi gerekir. Daha sonra modellenen problemproblem-lerin analitik çözümleri ve kapal¬formdaki çözümleri bulunmaya çal¬¸s¬l¬r. Fakat her problemin kapal¬ formdaki çözümlerini bulmak ço¼gunlukla mümkün olmayabilir. Bu durumda ise denklemin yakla¸s¬k çözümlerini bulmak önem kazan¬r. Diferansiyel denklemlerin analitik ve yakla¸s¬k çözümleri, modellemesi yap¬lan olay¬n do¼gas¬ hakk¬nda bize büyük katk¬lar sa¼glar. Bu yüzden diferansiyel denklemlerin çözümlerine olan ilgi artarak devam etmi¸stir. Biz ise tezimizde homotopi analiz metodunu inceleyip baz¬uygulamalar¬ele ald¬k.

Literatürde bir çok yar¬-analitik metod bulunmaktad¬r. Bu tür metodlar aras¬nda en iyi bilinenleri pertürbasyon teknikleridir. Pertürbasyon teknikleri lineer olmayan denklem-lerin bir çok özelli¼ginin ortaya ç¬kmas¬nda etkin oldu¼gundan çok iyi bilinirler ve geni¸s bir uygulama alan¬na sahiptirler. Pertürbasyon teknikleri asl¬nda, pertürbasyon niceli¼gi olarak adland¬r¬lan küçük veya büyük parametrelere dayan¬r. Temel olarak lineer yard¬mc¬prob-lemlerin sonlu bir grubu ile lineer olmayan bir probleme dönü¸sen pertürbasyon niceli¼gi kullan¬l¬r. Sonuçta çözüm, ele al¬nan yard¬mc¬ problemlerin çözümlerinin toplamlar¬n¬n yak¬nsakl¬¼g¬yla elde edilir. Pertürbasyon niceli¼ginin varl¬¼g¬ tekniklerin temel noktas¬d¬r ancak bu terim baz¬ s¬n¬rlamalara neden olur. ·Ilk olarak her lineer olmayan problemin bir pertürbasyon niceli¼gi içermesi mümkün de¼gildir. ·Ikinci olarak, bu teknikler kuvvetli lineer olmayan problemler için kullan¬¸sl¬ de¼gildir. Bu durumlardan dolay¬ pertürbasyon teknikleri bir çok problemde çözümün yak¬nsakl¬¼g¬hakk¬nda yeterli bilgi vermez [23].

Pertürbasyon tekniklerinde kullan¬lan küçük veya büyük parametrelere ihtiyaç duy-mayan di¼ger bir yar¬-analitik metotta Lyapunov’un 1892 de geli¸stirdi¼gi metottur. Bu metot;

dx

dt = A(t)x (1.1)

denkleminin yapay bir parametre olmak üzere, dx

¸seklinde ile geni¸sleyen kuvvet serilerinin hesaplanmas¬na dayan¬r. Lyapunov = 1 du-rumunda serilerin yak¬nsakl¬¼g¬n¬bir çok ¸sekilde ispatlam¬¸st¬r. Bu yakla¸s¬m, Lyapunov’un küçük yapay parametre metodu olarak adland¬r¬l¬r [20].

Karmishin, Lyapunov’un küçük yapay parametre metodunu temel alarak geni¸sleme yöntemini tan¬mlam¬¸st¬r. yapay bir parametre olmak üzere,

x5+ x = 1 (1.3)

denklemini

x5+ + x = 1 (1.4)

olarak yenilemi¸stir [21]. Burada ’n¬n geni¸sletilmesi ile kuvvet serisi hesaplanabilir. Asl¬nda bu metod ve Lyapunov’un metodu benzerdir. Çünkü her iki metot da yapay bir parametre içerir. Ancak baz¬durumlarda (1.3) denklemi (1.4) ¸seklindeki yenilenmi¸s durumu key…dir. Örne¼gin; (1.3) denklemi,

x5+ x = 1 (1.5)

¸seklinde de olabilir.

Lyapunov’un küçük yapay parametre metodu ve Karmishin’in geni¸sleme meto-dunda, daha iyi yakla¸s¬mlar elde edebilmek için ve gibi yapay parametrelerin belirlen-mesinde baz¬temel kurallara ihtiyaç duyulur. Çünkü parametrelerin durumu yakla¸s¬mlar¬ etkiler. Ancak her iki metodda bu tür kurallar¬içermemektedir ve pertürbasyon teknikleri gibi yak¬nsakl¬k bölgesi ve yak¬nsakl¬k h¬z¬ hakk¬nda yeterli bilgi edinlimesinde kullan¬¸sl¬ ve güvenilir. bir yol sa¼glamazlar.

Lineer olmayan problemlerin çözümü için kullan¬lan bir di¼ger yar¬-analitik teknik ise Adomian ayr¬¸s¬m metodudur [22]. Adomian ayr¬¸s¬m metodu küçük veya büyük bir para-metre içermeksizin adi ve k¬smi diferansiyel denklemlerin çözümleri için kullan¬l¬r. Bu metod ile elde edilen çözüm serilerinin h¬zl¬ yak¬nsad¬¼g¬ görülür. Buna ra¼gmen metodun baz¬s¬n¬rlamalar¬vard¬r. ¸Söyle ki; lineer olmayan problemlerde Adomian polinomlar¬or-taya ç¬kar. Ayr¬ca elde edilen çözüm serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi genelde küçüktür ve yak¬nsakl¬k bölgesinin geni¸sletilmesine ihtiyaç duyulur. Ancak metod farkl¬fonksiyonlar¬n

kullan¬labilece¼gi key… durumlara izin vermez, bu nedenle yak¬nsakl¬k bölgesi s¬n¬rlanm¬¸s olur. Sonuçta bu metot da di¼gerleri gibi yak¬nsakl¬k bölgesi ve h¬z¬hakk¬nda güvenli bir yol sa¼glamaz.

Özet olarak, yukar¬da verilen metodlar gibi teknikler ile yakla¸s¬k serinin yak¬nsakl¬k bölgesi ve yak¬nsakl¬k h¬z¬n¬n ayarlanmas¬ve kontrolü için güvenli bir yol sa¼glanamaz. Yani kuvvetli lineer olmayan bir problemin yak¬nsakl¬k bölgesinin yeterince geni¸sletilebilmesi ve problemin yak¬nsakl¬¼g¬n¬n yeterince h¬zl¬ bir ¸sekilde hesaplanabilmesi için baz¬ yeni yar¬-analitik tekniklerin geni¸sletilebilmesine ihtiyaç duyulmu¸stur. Bu yeni olu¸sturulan teknik

i) Lineer olmayan problem küçük veya büyük herhangi bir parametre içermese bile uygulanabilir olmal¬d¬r.

ii) Metod lineer olmayan problemin yakla¸s¬k serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi ve h¬z¬n¬n ayarlanmas¬nda belirli ve güvenli bir yol sa¼glamal¬d¬r.

iii) Lineer olmayan problemin ba¼gl¬oldu¼gu fonksiyonlardan farkl¬olarak, yak¬nsakl¬k bölgesinin geni¸sletilebilmesi için key… olarak farkl¬ temel fonksiyonlar¬n seçimini sa¼ gla-mal¬d¬r.

Yar¬-analitik bir metod olan " Homotopi Analiz Metodu (HAM) " bu özelliklere sahip-tir. Homotopi analiz metodu ilk olarak 1992 y¬l¬nda Shijun Liao ’nun doktora tezinde tan¬mlanm¬¸st¬r [17]. Çal¬¸smam¬z¬n 3. bölümünde verilmi¸s olan homotopi analiz metodu lineer olmayan problemlerde yakla¸s¬k çözümü elde ederken yak¬nsakl¬k bölgesi ve yak¬nsak-l¬k h¬z¬n¬n ayarlanmas¬nda güvenilir ve kullan¬¸sl¬ bir yol sa¼glar. Kuvvetli lineer olmayan problemlerin çözümünde kullan¬¸sl¬ olan bu metod bir çok bilim adam¬ taraf¬ndan den-klemlere uygulanm¬¸st¬r. Örne¼gin; Zakharov-Kuznetsov denklemi [23], Korteweg-de Varies denklemi [24], Burger’s denklemi [25], Dirichlet ve Neumann s¬n¬rl¬ ¸sartl¬ Laplace den-klemi [26], lineer olmayan …n-tipi problem [27], Fisher denden-klemi [28], Fitzhugh-Naguma denklemi [29], integro-diferansiyel denklemlere [30], modi…ye edilmi¸s KdV denklemine [31], Kuramato-Sivashinsky denklemi [32], be¸sinci mertebeden KdV denklemi [33], Is¬yay¬l¬m¬ denklemi [34], Benjamin-Bona-Mahony denklemi [35], v.b.

Bu çal¬¸smada lineer olmayan saç¬lma terimine sahip Zakharov-Kuznetsov Denklemini göz önüne ald¬k. Ba¸slang¬ç ¸sartl¬bu denklemin kompakton ve solitary pattern çözümlerini

Homotopi Analiz Metodu yard¬m¬yla bulduk. Elde edilen seri çözümlerinin yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬n¬tespit ettik. Literatürde var olan baz¬sonuçlarla kar¸s¬la¸st¬rd¬k.

2.BÖLÜM

2.1 TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1.1 Tan¬m

Bilinmeyen fonksiyon ve onun türevlerini içinde bulunduran bir denkleme diferansiyel denklem denir. Ba¸ska bir ifadeyle bir veya daha fazla ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenli bir fonksiyon ile bu fonksiyonun ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenlere göre türevleri aras¬nda verilmi¸s ba¼g¬nt¬ya diferansiyel denklem denir. Bir diferansiyel denklem

f (x; y;dy dx) = 0; veya genel olarak

f (x; y;dy dx; d2y dx2; :::; dny dxn) = 0;

¸seklinde yaz¬l¬r. Burada y ba¼g¬ml¬ de¼gi¸sken, x ba¼g¬ms¬z de¼gi¸sken olup, denklemde tek de¼gi¸skenin türevleri söz konusu oldu¼gunda denklemler, adi diferansiyel denklemler olarak adland¬r¬l¬r [1].

2.1.2 Tan¬m ·

Içinde en az iki ba¼g¬ms¬z ve en az bir ba¼g¬ml¬de¼gi¸sken ile ba¼g¬ml¬de¼gi¸skenin ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenlere göre çe¸sitli basamaklardan k¬smi türevlerini kapsayan denkleme k¬smi türevli denklem ad¬verilir [2].

z ba¼g¬ml¬, x ve y ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenler olmak üzere bir k¬smi türevli denklem genel olarak

F (x; y; z; zx; zy; zxx; zxy; zyy;:::) = 0;

¸seklindedir. 2.1.3 Tan¬m

Bir diferansiyel denklemdeki en yüksek türevin mertebesine (basama¼g¬na) denklemin mertebesi ve en yüksek türevin kuvvetine denklemin derecesi denir [2].

E¼ger bir diferansiyel denklem, ba¼g¬ml¬de¼gi¸skene ve onun k¬smi türevlerine göre birinci dereceden ve katsay¬lar¬ sabit yada ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenlerin fonksiyonu ise bu denkleme lineer denklem denir. Bir diferansiyel denklem lineer de¼gilse lineer olmayan (non-lineer) denklem ad¬n¬al¬r.

·

Iki ba¼g¬ms¬z ve bir ba¼g¬ml¬ de¼gi¸skene sahip birinci ve ikinci basamaktan lineer k¬smi türevli denklemlerin genel formlar¬s¬ras¬yla a¸sa¼g¬daki gibidir:

P (x; y) zx+ Q (x; y) zy+ R (x; y) z = S (x; y) ;

A (x; y) zxx+ B (x; y) zxy+ C (x; y) zyy+ D (x; y) zx

+E (x; y) zy+ F (x; y) z = G (x; y)

2.1.1 Örnek xzx yzy = sin x;

denklemi birinci mertebeden, birinci dereceden, lineer bir denklemdir.

2.1.2 Örnek @2u @x2 2 +@ 2_u @y2 = @u @z + z 3_;

denklemi ikinci mertebeden, ikinci dereceden, lineer olmayan bir denklemdir.

2.1.4 Tan¬m

Bir k¬smi türevli denklem, denklemde bulunan en yüksek basamaktan k¬smi türevlere göre lineer ise bu denkleme yar¬-lineer (kuasi-lineer) denklem ad¬verilir [2].

·

Iki ba¼g¬ms¬z ve bir ba¼g¬ml¬ de¼gi¸skene sahip birinci ve ikinci basamaktan yar¬-lineer denklemlerin genel ¸sekilleri s¬ras¬yla a¸sa¼g¬daki gibidir:

P (x; y; z) zx+ Q (x; y; z) zy = R (x; y; z) ;

A (x; y; z; zx; zy) zxx+ B (x; y; z; zx; zy) zxy+ C (x; y; z; zx; zy) zyy+ D (x; y; z; zx; zy) = 0:

2.1.3 Örnek : a)zxzxx+ xzzy = sin y b)zxy + 2 @ @x z 2 x+ z 6xz3sin y = 0 c)zyzxx 3x3zzxy+ 2zx x3yz = 0

denklemlerinin tümü yar¬-lineer denklemlerdir. 2.1.5 Tan¬m

Bir f fonksiyonu A kümesinde tan¬mlans¬n. Kabul edelim ki f ve f ’in k. mertebeye kadar olan tüm k¬smi türevleri sürekli olsun. O zaman f fonksiyonuna Ck s{n{f {ndand{r denir.

2.1.6 Tan¬m

Bir k¬smi türevli denklem yar¬-lineer ve denklemde görülen en yüksek basamaktan türevlerin katsay¬lar¬yaln¬zca ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenlerin fonksiyonlar¬ise bu denkleme hemen-hemen lineerdir denir [2].

·

Iki ba¼g¬ms¬z ve bir ba¼g¬ml¬de¼gi¸skene sahip ikinci basamaktan hemen-hemen lineer bir denklemin genel ¸sekli

A (x; y) zxx+ B (x; y) zxy+ C (x; y) zyy+ D (x; y; z; zx; zy) = 0;

formundad¬r. Burada A; B; C 2 C2_{[D] dir. Di¼ger yandan}

(x; y) = [B (x; y)]2 4A (x; y) C (x; y)

fonksiyonunu tan¬mlayal¬m.

1) (x; y) > 0 e¸sitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬noktalarda hiperbolik; 2) (x; y) = 0 e¸sitli¼ginin sa¼gland¬¼g¬noktalarda parabolik;

2.1.4 Örnek a) x@ 2_u @t2 + t @2_u @y2 + u 3₍@u @x) 2 _{= t + 1}

b)3xuxx+ 4xyuyy+ 5xz3uzz+ 2zuxy 4uyz+ u2ux uy+ xyez= 0

denklemleri hemen-hemen lineerdir. 2.1.5 Örnek

x2 1 zxx+ 2yzxy zyy+ zx+ zy = 0

denkleminin tipini belirtiniz. Çözüm:

A (x; y) = x2 1; B (x; y) = 2y; C (x; y) = 1

oldu¼gundan (x; y) fonksiyonu

(x; y) = B2 4AC = 4y2 4 x2 1 ( 1) = 4 x2+ y2 4

¸seklinde elde edilir. Buna göre verilen denklem

D1= (x; y) : x2+ y2> 1; x; y R bölgesinde hiperbolik;

D2= (x; y) : x2+ y2= 1; x; y R çemberi üzerinde parabolik;

D3= (x; y) : x2+ y2< 1; x; y R aç¬k diskinde eliptik tiptendir.

2.1.6 Örnek

x2zxx+ xyzxy + zyy+ xzx+ yzy+ z = 0

denkleminin tipini belirleyiniz. Çözüm:

(x; y) = B2 4AC = x2(y2 4)

olup

y = 2 do¼grular¬üzerinde parabolik; 2 < y < 2 ¸seridi içinde eliptik;

y < 2 bölgesi ile y > 2 bölgesinde hiperbolik tiptendir. 2.1.7 Tan¬m

X ve Y key… elemanlar (fonksiyonlar, vektörler vs...) cümlesi olmak üzere X uzay¬n¬n herbir eleman¬na Y uzay¬n¬n bir eleman¬n¬kar¸s¬l¬k getiren dönü¸süme operatör denir.

2.1.8 Tan¬m

Matematik-Fizi¼_{gin klasik operatörlerinden biri olan r Laplace operatörü} r = @ 2 @x2; r = @2 @x2 + @2 @y2; r = @2 @x2 + @2 @y2 + @2 @z2;

¸seklinde tan¬mlan¬r ve bunlara s¬ras¬yla 1-boyutlu, 2-boyutlu, 3-boyutlu Laplace operatörü denir.

Hiperbolik tipten bir denklem olan @2U

@t2 c 2

rU = 0;

¸_{seklindeki bir denkleme de r}0 n¬n boyutlu olmas¬ durumuna göre s¬ras¬yla 1,2,3-boyutlu dalga denklemi denir.

Bu denklemde c pozitif bir reel sabit ve genellikle, aksi söylenmedikçe, t zaman de¼gi¸skenini göstermektedir. Ayr¬ca rU; t ye göre türev içermemektedir. Buna göre 1,2,3-boyutlu dalga denklemleri s¬ras¬yla

Utt c2Uxx = 0;

Utt c2(Uxx+ Uyy) = 0;

Utt c2(Uxx+ Uyy+ Uzz) = 0;

formundad¬r. Bu tip denklemler elektro manyetik, hidrodinamik, ses yay¬lmas¬ve quantum teorisi gibi konularda çok kullan¬lmaktad¬r.

Dalga denkleminin çözümleri …ziksel olarak elektrik veya manyetik kuvvetlerin dal-gas¬n¬, bir ortamdaki ses yay¬lmas¬n¬, kat¬larda enine ve boyuna yer de¼gi¸stirme dalgalar¬n¬ ifade eder [2].

Matematiksel …zi¼gin di¼ger baz¬denklemlerini ¸söyle verebiliriz [3]; a) ·Iki boyutlu Laplace denklemi

r2u = @ 2_u @x2 + @2u @y2 = 0; b)Helmholtz denklemi r2u + u = 0;

c) ·Iki boyutlu Poisson denklemi @2u @x2 + @2u @y2 = f (x; y) ; d) Biharmonik denklem r4u = 0;

e)Biharmonik dalga denklemi r4u = r2(r2u) = 1 c2 @2u @t2; f )Telegraf denklemi @2u @t2 c 2@2u @x2 + 2B @u @T + Au = 0; g)Schrödinger denklemi r2u + [E V (x; y; z)] u = 0; h) Klein-Gordon denklemi r2u + u = 0: 10

2.1.1 Teorem

(Birinci mertebeden yar¬lineer denklemler için varl¬k ve teklik teoremi): P (x; y; z) ; Q (x; y; z) ve R (x; y; z) fonksiyonlar¬(x0; y0; z0) noktas¬n¬kapsayan bir D

R3 bölgesinde C1s¬n¬f¬ndan olsunlar ve kabul edelim ki

P (x0; y0; z0)

dy0(t0)

dt Q (x0; y0; z0)

dx0(t0)

dt 6= 0;

olsun. O zaman (x0; y0) noktas¬n¬n bir U kom¸sulu¼gunda, U ’nun içinde yatan C e¼grisinin

her noktas¬nda z (x0(t) ; y0(t)) = z0(t) ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬ ve P zx + Qzy = R denklemini

sa¼glayan bir tek z = z (x; y) çözümü vard¬r.

2.1.2 Teorem (Cauchy-Kowalewski teoremi):

Lz = A (x; y) zxx+ 2B (x; y) zxy+ C (x; y) zyy+ D (x; y) zx+ E (x; y) zy + F (x; y) z

= G (x; y) ;

denklemindeki katsay¬lar ve G fonksiyonu, xy düzleminde, orjini kapsayan bir R2 bölgesinde analitik olsunlar. _{da C (x; y) 6= 0 olsun. x ekseninin} taraf¬ndan kapsanan parças¬nda tan¬mlanm¬¸s key…, analitik h (x) ve (x) fonksiyonlar¬verilsin. O zaman (0; 0) noktas¬n¬n bir N kom¸sulu¼gu vard¬r ve N de Lz = G denkleminin bir tek analitik z = ' (x; y) çözümü vard¬r, Öyle ki N kom¸sulu¼gu taraf¬ndan kapsanan x ekseni üzerinde ' (x; 0) = h (x) ; '_y(x; 0) = (x) sa¼glan¬r.

3. BÖLÜM

3.1.Homotopi Analiz Metodu

Homotopi kavram¬n¬ilk olarak 1895 y¬l¬nda Henri Poincare çal¬¸sm¬¸st¬r. Homotopinin tan¬m¬ilk olarak 1911 y¬l¬nda Brouwer taraf¬ndan verilmi¸stir.

3.1.1.Homotopi:

Basit olarak bir fonksiyondan di¼gerine tan¬mlanan sürekli bir dönü¸süme homotopi denir.

f : X _{! Y , g : X ! Y sürekli dönü¸sümler olsun. 8x 2 X için H(x; 0) = f(x)} , H(x; 1) = g(x) e¸sitliklerini sa¼glayan H : X [0; 1] _{! Y sürekli dönü¸sümü varsa f ve} g dönü¸sümlerine homotopiktir denir. Bu durumda H dönü¸sümüne f ve g dönü¸sümleri aras¬nda homotopidir denir.

E¼ger f ve g homotopik ise bu durumda bir parametre ailesi tan¬mlanabilir. Bu ho-motopi ailesi;

fHp : p 2 [0; 1]g (3.1)

¸seklindedir ve parametre ailesi, H : R [0; 1] ! R

sürekli fonksiyonlar¬n bir parametre ailesidir. Bu fonksiyon

Hp(x) = (1 p)f (x) + pg(x) ; 8x 2 R ; p 2 [0; 1] (3.2)

olarak tan¬mlan¬r. Burada;

H0(x) = f (x) ; H1(x) = g(x)

dir. ·

Iki fonksiyon aras¬nda birden fazla homotopi tan¬mlanabilir. Yani;

X = Y = Rn , x 2 Rnolmak üzere f (x) = x , g(x) = 0 biçiminde tan¬mlans¬n.

¸seklinde tan¬mlanan H dönü¸sümü f ve g dönü¸sümleri aras¬nda bir homotopidir.Yine; H : Rn [0; 1] ! Rn ; H(x; t) = (1 p2)f (x)

¸seklindeki H dönü¸sümü de f ve g dönü¸sümleri aras¬nda bir homotopidir.

Homotopi Analiz Metodunun temel yap¬s¬n¬ anlatabilmek için a¸sa¼g¬daki örne¼gi göz önüne alal¬m.

Statik durumda ba¼g¬ms¬z bir küre dü¸sünelim. t zaman, U ( t ) kürenin h¬z¬, m kütlesi ve g yer çekim ivmesi olsun. Varsayal¬m ki kürenin hava direnci aU2( t ) olsun. Burada a bir sabittir. Daha sonra Newton’un ikinci hareket kanunundan; ( net kuvvet=kütle a¼g¬rl¬¼g¬ - ortam kuvveti veya yay kuvveti)

mdU ( t ) d t

= mg aU2( t ) (3.3)

yaz¬labilir. Bu denklemin ba¸slang¬ç ¸sart¬;

U (0) = 0 (3.4)

¸seklindedir.

Fiziksel olarak sabit bir U₁h¬z¬na ula¸sana kadar ba¼g¬ms¬z kürenin h¬z¬n¬n yer çekimin-den dolay¬artt¬¼g¬söylenebilir. Bu durumda U ( t ) bilinmese bile (3.1)’den U₁ elde edilir. Yani;

U₁= r

mg

a (3.5)

olur. Kullan¬lan U₁ ve U₁=g terimleri s¬ras¬yla karakteristik h¬z ve zaman¬ göstermek üzere;

U ( t ) = U₁V (t) ; t = (U1

g )t (3.6)

yaz¬labilir ve buradan boyutsuz,

V (t) + V2(t) = 1 ; t 0 (3.7)

denklemi elde edilir. Ba¸slang¬ç ¸sart¬;

d¬r. Bu denklemde t zaman¬ve _V (t) ise t’ye ba¼gl¬türevi ifade eder.

Aç¬k olarak t _{! 1 iken t ! 1 ve U( t ) ! U1} oldu¼gunu söyleyebiliriz ve (3.5) ve (3.6) denklemlerinin çözülmesine ihtiyaç duyulmaks¬z¬n (3.4)’den

lim

t !1V (t) = 1 (3.a)

ifadesi bulunur. (3.8) ba¸slang¬ç ¸sartl¬(3.7) denkleminin tam çözümü;

V (t) = tanh(t) (3.b)

¸seklindedir [17].

3.1.2.S¬f¬r¬nc¬-Mertebeden Deformasyon Denklemi:

V0(t); V (t)’nin ba¸slang¬ç yakla¸s¬m¬olmak üzere (3.8) ba¸slang¬ç yakla¸s¬m¬n¬

V0(0) = 0 (3.9)

olsun. q 2 [0; 1] homotopi parametresi olmak üzere homotopi analiz metodu V (t) ! (t; q) sürekli hareketine dayan¬r. Yani, q parametresi 0’dan 1’e yakla¸s¬rken (t; q)’da V0(t) ba¸slang¬ç yakla¸s¬m¬ndan V (t) tam çözümüne yak¬nsar. Bu ifadenin sa¼glanabilmesi

için _{1(t) 6= 0 ve 2}(t) reel fonksiyonlar olmak üzere;

L[ (t; q)] = 1(t)

@ (t; q)

@t + 2(t) (t; q) (3.10)

yard¬mc¬lineer operatörünü seçelim. (3.7) denkleminden lineer olmayan operatör N [ (t; q)] = @ (t; q)

@t +

2_{(t; q) 1 (3.11)}

¸_{seklinde tan¬mlan¬r. ~ 6= 0 ve H(t) 6= 0 s¬ras¬yla yard¬mc¬parametre ve yard¬mc¬fonksiyon} olsun. q 2 [0; 1] homotopi parametresi kullan¬larak;

(1 _{q)L[ (t; q)} V0(t)] = ~qH(t)N[ (t; q)] (3.12)

denklemi yaz¬labilir. Bu denklemin ba¸slang¬ç ko¸sulu,

(0; q) = 0 (3.13)

¸_{seklindedir. Burada as¬l vurgulanmak istenen ~ yard¬mc¬parametre, H yard¬mc¬fonksiyon,} V0(t) ba¸slang¬ç ¸sart¬ve L lineer operatörü key… seçilebilir. Bu key… seçim homotopi analiz

metodunun geçerlili¼gi ve esnekli¼ginde çok önemli rol oynar. q = 0 iken (3.12) denkleminden,

L[ (t; 0) V0(t)] = 0 ; t 0 (3.14)

bulunur ve bu denklem,

(0; 0) = 0 (3.15)

ba¸slang¬ç ¸sart¬na sahiptir.

(3.9) ve (3.10) denklemlerinden faydalanarak (3.14) ve (3.15) denklemlerinin çözümü,

(t; 0) = V0(t) (3.16) olarak yaz¬l¬r. q = 1 iken (3.12) denkleminden, ~H(t)N[ (t; 1)] = 0 ; t 0 (3.17) yaz¬labilir ve bu denklem, (0; 1) = 0 (3.18)

ba¸slang¬ç ¸_{sart¬na sahiptir. ~ 6= 0 ve H(t) 6= 0 olmak üzere (3.11) denklemi yard¬m¬yla} (3.17) ve (3.18) denklemleri as¬l denklem olan (3.7) ve (3.8) denklemlerine e¸sit olur ve

(t; 1) = V (t) (3.19)

sa¼glan¬r. Bu nedenle (3.16) ve (3.19) denklemlerine göre q parametresi 0’dan 1’e artarken (t; q) çözüm fonksiyonu da V0(t)’den V (t)’ye gider. Bu topolojide "deformasyon" olarak

adland¬r¬l¬r. (3.12) ve (3.13) denklemlerine "s¬f¬r¬nc¬dereceden deformasyon denklemleri" denir.

Buna göre (t; q) çözüm fonksiyonu 0 q 1 için (3.12) ve (3.13) denklemlerinin çözümüdür. Ayr¬ca (t; q)’nun q’ya göre m-inci dereceden türevi;

V₀[m](t) = @

m _{(t; q)}

@qm q=0

(3.20)

olur. Burada m = 1; 2; 3; : : :’dir. K¬saca V₀[m](t)’ye "m-inci dereceden deformasyon türevi" denir. Burada Vm(t) = V₀[m](t) m! = 1 m! @m _{(t; q)} @qm q=0 (3.21) ¸seklinde tan¬mlan¬r. Taylor teoreminden (t; q) çözüm fonksiyonunun q parametresine göre kuvvet serisi;

(t; q) = (t; 0) + 1 X m=1 1 m! @m (t; q) @qm q=0 qm (3.22)

¸seklindedir. (3.16) ve (3.21) denklemlerine bak¬ld¬¼g¬nda yukar¬daki kuvvet serisi

(t; q) = V0(t) + 1 X m=1 Vm(t)qm (3.23) olur.

~ yard¬mc¬parametre, H yard¬mc¬fonksiyon, V0(t) ba¸slang¬ç ¸sart¬ve L lineer operatörü

(3.23) serisine uygun olarak seçilir. Öyleyse q = 1 için (3.23) serisi

(t; 1) = V0(t) + 1

X

m=1

Vm(t) (3.24)

olarak al¬n¬r. Bu nedenle (3.19) denklemi kullan¬larak

V (t) = V0(t) + 1

X

m=1

Vm(t) (3.25)

elde edilir. Yukar¬daki ifadeden Vm(t)(m = 1; 2; 3; : : :) terimleri V0(t) ba¸slang¬ç ¸sart¬ ve

V (t) tam çözümü aras¬ndaki ili¸skiyi sa¼glar [17].

3.1.3.Yüksek-Mertebeden Deformasyon Denklemi: !

Vn= fV0(t); V1(t); V2(t); : : : ; Vn(t)g

vektörü tan¬mlans¬n. (3.21) tan¬m¬na göre Vm(t)’nin ba¸slang¬ç yakla¸s¬m¬, (3.12) ve (3.13)

s¬f¬r¬nc¬mertebeden deformasyon denklemleriden bulunabilir. (3.12) ve (3.13) denklemleri q parametresine göre m-kez diferansiyellenip q = 0 için kurulduktan sonra m! ile bölünürse m. mertebeden deformasyon denklemi,

L[Vm(t) mVm 1(t)] = ~H(t)Rm(!Vm 1) (3.26)

olarak elde edilir ve bu denklemin ba¸slang¬ç ¸sart¬,

Vm(0) = 0 (3.27) d¬r. Burada, Rm(!Vm 1) = 1 (m 1)! @m 1N [ (t; q)] @qm 1 q=0 (3.28) ve m= 0 ; m 1 1 ; m > 1 (3.29) ¸seklindedir. (3.11) ve (3.28) denklemlerinden Rm(!Vm 1) = Vm 1(t) + m 1_X j=0 Vj(t)Vm 1 j(t) (1 m) (3.30)

elde edilir. Rm(!Vm 1) , (3.26) ve (3.27) denklemlerinin çözümünden bulunan

V0(t); V1(t); V2(t); : : : ; Vm 1(t)

ifadelerine ba¼gl¬d¬r.

Böylece yard¬mc¬lineer operatör L , (3.10) denkleminin tan¬m¬na göre (3.27) ba¸slang¬ç ko¸suluna sahip (3.26) lineer birinci mertebeden diferansiyel denklemi vard¬r. (3.25) den-klemine göre Vm(t)’nin m: mertebeden yakla¸s¬m¬,

V (t)

m

X

n=0

ile verilir. Örnek 3.1.:

Bu bölümde izah edilen homotopi analiz metodunu a¸sa¼g¬daki Burger’s denklemine uygulayal¬m [11]. ut+ uux vuxx = 0 ; 0 < x < 1 ; t > 0 u(0; t) = u(1; t) = 0 ; t > 0 u(x; 0) = sin x Bu denklemde L operatörünü, L[ (x; t; p)] = @ (x; t; p)_@t

olarak seçelim. Bu L operatörü c sabit olmak üzere, L[c] = 0

özelli¼gine sahiptir. Lineer olmayan operatör ise, N [ (x; t; p)] = @ (x; t; p) @t + (x; t; p) @ (x; t; p) @x v @2 (x; t; p) @x2

¸seklindedir. S¬f¬r¬nc¬mertebeden deformasyon denklemi, (1 _{q)L[ (x; t; p)} u0(x; t)] = p~N[ (x; t; p)]

¸seklindedir. p = 0 ve p = 1 için s¬ras¬yla, (x; t; 0) = u0(x; t)

(x; t; 1) = u(x; t)

olur. m: mertebeden deformasyon denklemi, L[um(t) mum 1(x; t)] = ~Rm(!um 1) dir. Burada, Rm(!um 1) = @ m 1(x; t; p) @t + m 1_X n=0 n(x; t; p) @ m 1 n(x; t; p) @x v@ 2 m 1(x; t; p) @x2 18

dir. ¸Simdi m 1 için m-inci mertebeden deformasyon denkleminin çözümü, um(x; t) = mum 1(x; t) + ~L 1[Rm(!um 1)]

ba¼g¬nt¬s¬yard¬m¬yla bulunur. Bu durumda çözüm serisinin terimleri, u0(x; t) = sin x u1(x; t) = ~t sin x[cos x + v ] u2(x; t) = 1 4 ~t[4(1 + ~ + 3~ 2 + v) cos x + (4v + ~(t + 4v + 2 2tv2) +3~t cos 2 x) sin x] .. .

olur. Buna göre çözüm fonksiyonu; (x; t; p) = u0(x; t) + 1 X m=1 um(x; t)pm = u0(x; t) + pu1(x; t) + p2u2(x; t) + : : : ¸seklindedir. TEOREM:(Yak¬nsakl¬k Teoremi)

(3.29) ve (3.30) denklemleri yard¬m¬yla (3.26) ve (3.27) yüksek mertebeden defor-masyon denklemleri ile elde edilen çözümler için (3.25) serisi yak¬nsak ise (3.7) ve (3.8) denklemlerinin tam çözümüdür [17]. · Ispat: E¼ger 1 X m=o Vm(t)

serisi yak¬nsak ise S(t) = 1 X m=o Vm(t) yazabiliriz ve buradan lim Vm(t) = 0 (3.32)

d¬r. (3.29)’daki _m tan¬m¬kullan¬l¬rsa;

n

X

m=1

[Vm(t) mVm 1(t)] = V1+ (V2 V1) + (V3 V2) + : : : + (Vn Vn 1) = Vn

olur ve (3.32) e¸sitli¼gine göre

1

X

m=1

[Vm(t) mVm 1(t)] = lim

n!1Vn(t) = 0

bulunur. Ayr¬ca yukar¬daki ifade ve L’nin (3.10)’daki tan¬m¬kullan¬larak

1 X m=1 L[Vm(t) mVm 1(t)] = L 1 X m=1 [Vm(t) mVm 1(t)] = 0

elde edilir. Buna göre (3.26) denkleminden

1 X m=1 L[Vm(t) mVm 1(t)] = ~H(t) 1 X m=1 Rm(!Vm 1) = 0

elde edilir. ~ 6= 0 ve H(t) 6= 0 oldu¼gundan

1 X m=1 Rm(!Vm 1) = 0 (3.33) yaz¬labilir.(3.30) denkleminden 1 X m=1 Rm(!Vm 1) = 1 X m=1 [Vm 1(t) + m 1_X j=0 Vj(t)Vm 1 j(t) (1 m)] = 1 X m=0 Vm(t) 1 + 1 X m=1 m 1_X j=0 Vj(t)Vm 1 j(t) = 1 X m=0 Vm(t) 1 + 1 X j=0 1 X m=j+1 Vj(t)Vm 1 j(t) = 1 X m=0 Vm(t) 1 + 1 X j=0 Vj(t) 1 X i=0 Vi(t) = S(t) + S2(t) 1 =) 1 X m=1 Rm(!Vm 1) = S(t) + S2(t) 1 (3.34)

elde edilir.(3.33) ve (3.34) denklemlerinden S(t) + S2(t) 1 = 0 ; t 0

olur. (3.9) ve (3.27) denklemlerinden S(0) = 1 X m=0 Vm(0) = V0(0) + 1 X m=1 Vm(0) = V0(0) = 0

bulunur. Yukar¬daki S(t) ifadesi (3.7) ve (3.8) denklemlerinin tam çözümüdür. Böylece ispat tamamlan¬r.

Bu teorem yakla¸s¬k çözüm serisinin yak¬nsakl¬¼g¬n¬ gösterdi¼gi için önemlidir. (3.25) serisinin yak¬nsakl¬¼_{g¬~ yard¬mc¬parametresine, H(t) yard¬mc¬fonksiyonuna, V}0 ba¸slang¬ç

¸_{sart¬na ve L yard¬mc¬ lineer operatörüne ba¼}gl¬d¬r. Homotopi analiz metodu sayesinde bu ifadeleri key… seçebiliyoruz. Bu ifadelerin uygun seçimiyle (3.25) serisi 0 t t0

bölgesinde tam çözüme yak¬nsak olur. Sonuç olarak yak¬nsakl¬k teoremi ve terimlerin key… seçimleri aras¬ndaki kombinasyondan metodun geçerlili¼gi elde edilir.

3.2. Homotopi Analiz Metodu ·Ile ·Ilgili Baz¬Temel Kurallar

Yukar¬da ~ yard¬mc¬ parametre, H(t) yard¬mc¬ fonksiyon, V0(t) ba¸slang¬ç ¸sart¬ ve L

yard¬mc¬ lineer operatör key… seçilebilir. Ancak bu key… seçimde baz¬ temel kurallara ihtiyaç duyulmaktad¬r. ¸Söyle ki; verilen bir lineer olmayan problemde, homotopi analiz metodu temel fonksiyon olarak adland¬r¬lan yap¬lar¬n uygun bir seçimine dayan¬r. Lineer olmayan bir problemin çözümünde birden fazla temel fonksiyon kurulabilir ve en uygun temel fonksiyonla birlikte verilen lineer olmayan denklem için en iyi yakla¸s¬m elde edilir.

Ba¸slang¬ç, s¬n¬r ¸sart¬veya lineer olmayanl¬k gibi bir çok durumda temel fonksiyon lineer olmayan problemin çözümüne ihtiyaç duymaks¬z¬n çözüme uygunluk gösterir. Örne¼gin;

fek(t) = k = 0; 1; 2; : : :g (3.35)

ifadesi bu bölümde örnek olarak ele al¬nan problem için temel fonksiyonlar¬n bir kuru-mudur. Çözüm serisini, V (t) = 1 X n=0 cnek(t) (3.36)

¸seklinde gösterelim. Buradaki cn’ler katsay¬lard¬r. Temel fonksiyonun belirlenmesiyle L

seçilebilir. Bu durumda L, H(t) ve V0(t) ifadelerinin seçimi için belli bir kural elde edilmi¸s

olur. Bu kural "çözüm ifadesinin kural¬" olarak adland¬r¬l¬r ve bu kural HAM için önemli rol oynar.

Yukar¬daki ifadelerde reel bir f (x) fonksiyonu bir çok farkl¬ temel fonksiyonla ifade edilebilir. Uygun temel fonksiyonun seçilmesinde de verilen bu kurallar çok önemli rol oynar.

Bir di¼ger kuralda H(t) yard¬mc¬fonksiyonun seçiminde baz¬s¬n¬rlamalar getiren "kat-say¬ergodikli¼gi kural¬d¬r." Örne¼gin bu kural (3.36)’daki gibi cnkatsay¬lar¬n¬n bütünlü¼günü

sa¼glamak için olu¸sturulmu¸stur.

Çözüm ifadesinin kural¬veya katsay¬ergodikli¼gi gibi bir çok kuralda yard¬mc¬fonksiyon tek olarak belirlenir ve yüksek mertebeden deformasyon denkleminin çözümünün sa¼ g-land¬¼g¬görülür. Bu da "çözümün varl¬¼g¬kural¬" olarak adland¬r¬l¬r.

Bu üç kural HAM’nun uygulanmas¬nda önemli bir yere sahiptir.

3.3.Çözüm ·Ifadeleri

Yukar¬da bahsedilen perturbasyon ve perturbasyon olmayan (nonperturbasyon) yön-temler ile verilen ifadelerin çözümleri farkl¬d¬r. Homotopi analiz metodunda verilen kural-lar göz önünde bulundurukural-larak bir çok farkl¬temel fonksiyonun kurulumu yap¬labilir.

3.3.1.Polinom Fonksiyonlarla ·Ifade Edilen Çözüm

(3.7) ve (3.8) denkelmlerinin perturbasyon metodu ile çözümü olan Vpert(t) = t 1 3t 3₊ 2 15t 5 17 315t 7_{+ : : : =} 1 X n=0 2n+1t2n+1

denklemi t’nin kuvvet serisidir. Böylece temel fonksiyonlar kümesi

ft2m+1 = m = 0; 1; 2; 3; : : :g (3.37) ¸seklindedir. Yani V (t) ; V (t) = 1 X m=0 amt2m+1 (3.38)

olup burada am’ler katsay¬lard¬r. Bu ifade ile ilk kural olan çözüm ifadesinin kural¬sa¼

glan-m¬¸s olur.

Çözüm ifadesinin ilk kural¬alt¬nda ve (3.9) ba¸slag¬ç ko¸suluna göre

V0(t) = t (3.39)

olarak ve L yard¬mc¬lineer operatörü de

L[ (t; q)] = @ (t; q)_@t (3.40)

¸seklinde seçilir. Bu operatör

L[c1] = 0 (2.41)

özelli¼gine sahiptir. Burada c1 integral sabitidir. Birinci kural olan çözüm ifadesinin kural¬

alt¬nda (3.26) yüksek mertebeden deformasyon denklemi ve (3.38) denkleminden H(t) yard¬mc¬fonksiyonu

H(t) = t2k (3.42)

formunda seçilebilir. (3.26) dekleminin çözümü

Vm(t) = mVm 1(t) + ~ t Z 0 2k_R m(!Vm 1)d + c1

olur ve buradaki integral sabiti c1, (3.27) ba¸slang¬ç ¸sart¬ ile belirlenir. k 1 oldu¼gu

zaman Vm(t)’nin çözüm ifadesinde t 1 terimi olu¸sur ki bu (3.38) ile gösterilen çözüm

ifadesinin kural¬na uymaz. k 1 oldu¼gu zaman Vm(t)’nin çözüm ifadesinde t3 katsay¬s¬

s¬f¬r oldu¼gundan yakla¸s¬m sonsuza gitse bile t3 terimi bulunmaz. Bu da katsay¬ergodikli¼gi kural¬na uymayan bir durumdur. Buna göre her iki kural¬n sa¼glanmas¬için k = 0 olmal¬d¬r. Böylece H(t) yard¬mc¬fonksiyonu

H(t) = 1 (3.43)

olacak ¸sekilde tek olarak belirlenir. ¸Simdi sonuç olarak; V1(t) = 1 3~t 3 V2(t) = 1 3~(1 + ~)t 3₊ 2 15~ 2_t5 V3(t) = 1 3~(1 + ~) 2_t3₊ 2 15~(1 + ~)t 5₊ 17 315~ 3_t7 .. .

elde edilir. Bu durumda V (t)’nin m-inci mertebeden yakla¸s¬m¬; V (t) m X k=0 Vk(t) = m X k=0 m;n 0 (~)[ 2n+1t2n+1] (3.44)

¸seklinde olup burada 2n+1 katsay¬lar¬

Vpert(t) = t 1 3t 3₊ 2 15t 5 17 315t 7_{+ : : : =}X1 n=0 2n+1t2n+1

perturbasyon metodunun çözümündeki katsay¬lara benzerdir ve m;n_{0 (~) fonksiyonu}

m;n 0 (~) = ( ~)n m n_X j=0 n 1 + j j (1 + ~) j _(3.45) ile tan¬mlan¬r.

V0(t) ba¸slang¬ç ¸sart¬, L yard¬mc¬lineer operatörü ve H(t) yard¬mc¬fonksiyonu kurallar

do¼grultusunda belirlenmesine ra¼_{gmen ~ yard¬mc¬parametresinin belirlenmesinde key… bir} durum söz konusudur. (3.44) denklemi ~ yard¬mc¬parametresine ba¼gl¬çözüm ifadelerinin bir ailesini gösterir. m;n_{0 (~) fonksiyonunun yukar¬daki ifadelere ba¼}gl¬olarak

m;n

0 ( 1) = 1 ; n m (3.46)

oldu¼gu kolayl¬kla gösterilebilir.

n herhangi sonlu bir tamsay¬olmak üzere; lim m!1 m;n 0 (~) = 1 ; _{j1 + ~j < 1} 1 ; j1 + ~j > 1 (2.47)

ifadesi elde edilir.

Böylece ~ = 1 oldu¼gu zaman (3.46), (3.44) ve Vpert(t) = t 1 3t 3₊ 2 15t 5 17 315t 7_{+ : : : =} 1 X n=0 2n+1t2n+1 denklemlerinden V (t) = Vpert(t) (3.48) olur.

(3.44) çözüm ifadesindeki parametreler ~ yard¬mc¬ parametresine ba¼gl¬d¬r. (3.47)’ye göre (3.44) için gerekli ¸_{sart j1 + ~j < 1’de yak¬nsak olmas¬d¬r. Yani;}

2 < ~ < 0

d¬r. (3.44) çözüm serisinin ~ yard¬mc¬ parametresine ba¼gl¬ olmas¬ ilginçtir. (3.44)’ün yak¬nsakl¬k bölgesi;

0 t ₀

s 2 j~j 1

¸seklinde olup burada ₀ 3₂ terimi,

Vpert(t) = t 1 3t 3₊ 2 15t 5 17 315t 7_{+ : : : =}X1 n=0 2n+1t2n+1

perturbasyon çözümünün yak¬nsakl¬k yar¬çap¬d¬r. Bu durumda ~ ! 0 iken (3.44) çözüm serisi

0 t ₁

Daha önceki tüm analitik tekniklerin aksine ~’¬n uygun bir de¼gerinin seçilmesi ile (3.44) çözüm serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi kontrol edilebilir ve ayarlanabilir. Yani HAM ile çözüm serisinin yak¬nsakl¬k bölgesinin ayarlanmas¬ve kontrolü güvenli bir yol ile sa¼glanm¬¸s olur.

3.3.2.Kesirli Fonksiyonlarla ·Ifade Edilen Çözüm (3.44) çözüm ifadesi ~ ! 0 iken ( 2 < ~ < 0)

0 t ₁

bölgesinin tamam¬nda geçerli olan (3.37) temel fonksiyonlar¬ ile verilmesine ra¼_{gmen ~’¬n} tam de¼geri küçük oldu¼gunda daha yak¬n sonuçlar vermesi çok yüksek bir ihtimaldir.

(3.7) ve (3.8) denklemlerini çözmeye gerek duymadan; V (1) = 1

oldu¼gunu söyleyebiliriz. (3.39) ba¸slang¬ç ¸sart¬bu özelli¼gi direk olarak sa¼glamaz. Genellikle kuvvet serisinin sonlu bir bölgede yak¬nsakl¬¼g¬ndan polinom fonksiyonlar¬n¬n (3.37) ile gösterilen kümesi 0 t _{1 bölgesinin tümünde V (t) için uygun yakla¸s¬m¬sa¼}glamaz. Bu durumda

lim

t!1

1

(1 + t)m = 0 ; m 1

limitini ele alal¬m. Böylece temel fonksiyonlar¬n kurulmas¬yla bir fonksiyon

f(1 + t) m = m = 0; 1; 2; : : :g (3.49)

¸_{seklinde yaz¬l¬r. Bu t ! 1 iken sonlu bir de¼}gere sahiptir. Kabul edelim ki V (t) çözümü; V (t) = 1 X m=0 bm (1 + t)m (3.50)

ile ifade edilebilsin ve bm’de belirlenebilen bir katsay¬olsun. Bu ifade bize (3.7) problemi

için çözüm ifadesinin kural¬n¬sa¼glar. ·

Ikinci kural uyar¬nca (3.8) ba¸slang¬ç ¸sart¬ve (3.a) limiti alt¬nda V0(t)

V0(t) = 1

1

1 + t (3.51)

olur.

Buna kar¸s¬l¬k yard¬mc¬lineer operatör

L[ (t; q)] = (1 + t)@ (t; q)_@t + (t; q) (3.52)

¸seklinde seçilir ve operatör

L(_{1 + t}c2 ) = 0 (3.53)

özelli¼gindedir. Burada c2 integral sabitidir. L’nin (3.52) tan¬m¬ile (3.26) yüksek

mertebe-den deformasyon mertebe-denkleminin çözümü

Vm(t) = mVm 1(t) + ~ 1 + t t Z 0 H( )Rm(!Vm 1)d + c2 1 + t ; m 1

¸seklinde olur. Burada c2 integral sabiti (3.27) ba¸slang¬ç ¸sart¬ ile tespit edilir. (3.50) ile

gösterilen çözüm ifadesinde H(t) yard¬mc¬fonksiyonu, H(t) = 1

(1 + t)k (3.54)

¸seklinde olmal¬d¬r. k bir tamsay¬d¬r. k 0 oldu¼gunda (3.26) yüksek mertebeden defor-masyon denklemi

ln(1 + t) 1 + t

terimini içerir ki bu durum (3.50) ile gösterilen çözüm ifadesi için ikinci kurala uymayan bir durum olur. k > 0 oldu¼gu zaman (1 + t) 2 teriminin katsay¬lar¬ s¬f¬r oldu¼gundan Vm(t)’nin çözüm ifadesinde (1 + t) 2 terimi bulunmaz. Bu durum yine ikinci kural olan

katsay¬ ergodikli¼gi kural¬na uymaz. Bu iki kural¬nda sa¼glanabilmesi için k = 1 seçilmek zorundad¬r. Böylece H(t) yard¬mc¬fonksiyonu

H(t) = 1

1 + t (3.55)

Sonuç olarak; V1(t) = ~ 1 + t + 2~ (1 + t)2 ~ (1 + t)3 V2(t) = ~(1 + 7 12~) 1 1 + t+ 2~(1 + ~) (1 + t)2 ~(1 + ~)_{(1 + t)}1 ₃ + 10~ 2 3(1 + t)4 5~2 4(1 + t)5 .. . terimleri elde edilir.

Vm(t)’nin m-inci mertebeden yakla¸s¬m¬;

V (t)

2m+1_X n=0

m;n(~)

(1 + t)n (3.56)

ile ifade edilebilir. Burada _{m;n’ler ~’a ba¼}gl¬bir katsay¬d¬r.

~’¬n key… seçiminde (3.56) ifadesi göz önüne al¬n¬r. ¸Söyle ki bu çözüm serisinde ~’¬n etkisi incelendi¼ginde ilk olarak V0(0); V00(0); V000(0) gibi serilerin yak¬nsakl¬¼g¬ile kar¸s¬la¸s¬r¬z. Yakla¸s¬m¬n herhangi bir mertebesindeki bütün sonuçlar için V0(0) = 1 elde edilir. Bu durumda ~’¬n key… seçimi için güvenli bir yol saglanmayabilir. Bununla birlikte V00(0) ve V000_{(0) ~’a ba¼}gl¬d¬r. V00(0) = 0 ’a kar¸s¬l¬k gelen serilerin yak¬nsak¬l¬¼g¬yla R_{~, ~’¬n tüm olas¬} de¼gerlerinin kümesini gösterir. K¬saca R_~ V00_{(0) için ~’¬n tan¬m bölgesidir. Yak¬nsakl¬k} teoremine göre 8~ 2 R~ için V00(0) ’¬n serisi benzer sonuçlara yak¬nsar. ~’a kar¸s¬ gelen

V00(0) e¼grisi R_~tan¬m bölgesinde yatay bir çizgi parças¬içerir. Yani bir çözüm serisinin R_~ bölgesinde ~-e¼grisi olarak adland¬r¬lan bir e¼gri bulunur. (3.56) ile verilen V00(0) ve V000(0) serilerinin

3

2 ~

1 2

oldu¼gu zaman yak¬nsak oldu¼gu aç¬kt¬r. Bu durum ¸söyle aç¬klanabilir. 3_{2 ~} 1₂ bölgesinde ~’¬n be¸s farkl¬de¼geri için (3.56) ile verilen V00(0) ve V000(0) serileri s¬ras¬yla 0 ve 2 de¼gerlerine yak¬nsar.

Burada ilginç olan ~’¬n de¼gerlerine ba¼gl¬ olan serilerin yak¬nsakl¬¼_{g¬ ve ~ =} 1 için V00_{(0) ve V}000_{(0) serilerinin daha h¬zl¬ yak¬nsamas¬d¬r. Böylece ~ yard¬mc¬ parametreli}

(3.56) çözüm serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi ayarlanabilir. Ayr¬ca V00(0) ve V000(0) serilerinin yak¬nsak olmas¬¸sart¬yla (3.56) serisi 0 t _{1 bölgenin tümünde yak¬nsakt¬r. Tan¬m} bölgesinde ~’¬n uygun bir de¼gerinin seçimi çözüm serisinin yak¬nsakl¬¼g¬ile sa¼glanabilir. Bu yolla yak¬nsakl¬k bölgesi ve h¬z¬n¬n ayarlanmas¬ve kontrolü yap¬labilir. Böylece ~’¬n HAM için çok önemli bir yere sahip oldu¼gu söylenebilir.

Böylece (3.56) çözüm serisi (3.44) çözümünden çok daha iyidir. Buna ra¼gmen teorik olarak her iki çözümde 0 t _{1 bölgesinin tümünde tam çözüme yak¬nsayabilir. (3.7)} problemi için (3.56) çözüm serisinin daha iyi ve etkili olmas¬n¬n nedeni (3.49) temel fonksiy-onunun (3.37) temel fonksiyonundan daha etkili olmas¬d¬r.

Sonuç olarak (3.56) çözümü ve Vpert(t) = t 1 3t 3₊ 2 15t 5 17 315t 7_{+ : : : =} 1 X n=0 2n+1t2n+1

perturbasyon çözümü aras¬ndaki ili¸_{ski incelenirse ~ = 1 ve} 1

1 + t = 1 t + t

2 _t3_{+ : : :}

olmak üzere (3.56)’da V (t)’nin onuncu mertebeden yakla¸s¬m¬ V (t) 1 1 3t 3₊2 5t 5 17 315t 7₊ 62 2835t 9_{+ : : :}

¸seklindedir. Bu ifadenin ilk bir kaç terimi Vpert(t) = t 1 3t 3₊ 2 15t 5 17 315t 7_{+ : : : =} 1 X n=0 2n+1t2n+1

perturbasyon çözümündeki de¼gerlere benzerdir. 3.3.3.Üstel Kuvvet ·Ile ·Ifade Edilen Çözüm Bilindi¼gi gibi

lim

t!1exp( nt) = 0 ; n 1

dir. Yani basit fonksiyon setinin bir temel fonksiyonu t ! 1 iken

¸seklinde ifade edilir. (3.a) limiti göz önüne al¬nd¬¼g¬nda yukar¬daki temel fonksiyonun (3.37)’den daha iyi sonuç verdi¼gi görülür. Kabul edelim ki V (t)

V (t) =

1

X

n=0

cnexp( nt) (3.58)

¸seklindedir ve burada cn’ler katsay¬lard¬r. Bu bize çözüm ifadesinin üçüncü kural¬na

götürür.

(3.8) ve (3.a) denklemlerinden çözüm ifadesinin üçüncü kural¬ndan;

V0(t) = 1 exp( t) (3.59)

oldu¼gu aç¬kça görülür. Bu ifade V (t)’nin ba¸slang¬ç ¸sart¬d¬r ve yard¬mc¬lineer operatör

L[ (t; q)] = @ (t; q)_@t + (t; q) (3.60)

¸seklindedir ve bu operatör L[c3exp( t)] = 0

özelli¼gine sahiptir. Burada c3 integral sabitidir. Bu durumda (3.26) m-inci mertebeden

deformasyon denklemi; Vm(t) = mVm 1(t) + ~ exp( t) t Z 0 H( )Rm(!Vm 1)d + c3exp( t) ; m 1

olur. Burada integral sabiti c3, (3.27) ile belirlenir. (3.26) ve (3.58) ile gösterilen çözüm

ifadesinin üçüncü kural¬ndan H(t) yard¬mc¬fonksiyonu

H(t) = exp( k) (3.62)

¸seklindedir ve burada k tamsay¬d¬r.

k 0 oldu¼gu zaman (3.26) yüksek mertebeden deformasyon denkleminin çözümü t exp( t)

terimini içerir. Bu durum (3.58) ile gösterilen e¸sitlik çözüm ifadesinin ikinci kural¬na uymaz. k 2 oldu¼gu zaman exp( 2t) teriminin katsay¬s¬ (3.26) denkleminde daima

s¬f¬r olur ki bu durum katsay¬lar¬n ergodikli¼gi kural¬na uymaz. Böylece her iki kural¬nda sa¼glanabilmesi için k = 1 olmal¬d¬r. k = 1 oldu¼gunda yard¬mc¬fonksiyon;

H(t) = exp( t) (3.63)

olacak ¸sekilde tek olarak belirlenir. Bu nedenle çözüm serisi, V1(t) = ~ 2 e t + ~e 2t ~₂e 3t V2(t) = ~ 2 (1 + ~ 2)e t + ~(1 + ~ 2)e 2t ~ 2(1 + ~)e 3t₊~2 2 e 4t ~2 4 e 5t .. .

olur. V (t)’nin m-inci mertebeden yakla¸s¬m¬

V (t)

2m+1_X n=0

m;n(~) exp( nt) (3.64)

¸seklinde genel olarak verilebilir. _{m;n(~) terimi ~’a ba¼}gl¬bir katsay¬d¬r.

(3.64) denkleminde ~ parametresine ba¼gl¬çözüm ifadelerinin bir ailesi olarak adland¬r¬la-bilir. Bu serinin yak¬nsakl¬¼_{g¬nda ~’¬n etkisi incelendi¼}ginde V00(0) ve V000_{(0) ’¬n ~ e¼}grileri olarak adland¬r¬ld¬¼_{g¬n¬ söyleyebiliriz. Böylece ~-e¼}grilerine göre yatay eksene paralel olan ~’¬n tan¬m bölgesi belirlenir. Böylece ~’¬n tan¬m bölgesinde (3.64) ile verilen V00(0) ve V000(0) serileri yak¬nsakt¬r. Yak¬nsakl¬k teoremine göre s¬ras¬yla V00(0) ve V000(0) tam de¼_{gere yak¬nsar. ~ =} 1 oldu¼gunda serilerin daha h¬zl¬ yak¬nsad¬¼g¬ görülür. V00(0) ve V000(0) serilerinin yak¬nsak olmas¬¸sart¬yla V (t)’nin (3.64) ifadesine tekabül eden çözüm serisi 0 _{t < 1 bölgesinin tamam¬nda (3.b) tam çözümüne yak¬nsar. Genellikle ~ e¼}grileri çözüm serisinin yak¬nsakl¬¼g¬n¬ara¸st¬rmak için uygundur.

(3.64) çözüm serisi 0 _{t < 1 bölgesinin tamam¬nda geçerlidir. ~ =} 1 oldu¼gunda (3.64)’ün onuncu mertebeden yakla¸s¬m¬ bile tam çözüme yak¬nsar. Yani (3.64) serisinin (3.56)’dan daha etkili oldu¼gu ve (3.56) ifadesinin 3.44)’den daha etkili oldu¼gu söylenebilir. Böylece verilen bir lineer olmayan problemin homotopi analiz metodu ile çözümünde temel fonksiyonun iyi seçilmesinin çok önemli oldu¼gu görülmektedir.

V (t)’nin (3.64) ile verilen m-inci mertebeden yakla¸s¬m¬aç¬k olarak V (t) 1 + 2 m X n=1 [( 1)nexp( nt)] m;n₀ (~ 2) exp( t)[(1 + ~ 2) + ~ 2exp( 2t)] m _(3.65)

¸seklinde ifade edilir ve burada m;n₀ (x) fonksiyonu (3.45) ile belirlenir. m;n_{0 (~)} fonksiy-onunun yeniden olu¸_{smas¬oldukça ilginçtir. (3.46) ifadesinden dolay¬~ = 2 oldu¼}gunda

V (t) 1 + 2

m

X

n=1

( 1)nexp( nt) + ( 1)m+1exp[ (2m + 1)t] (3.66)

elde edilir. (3.b) tam çözümü V (t) 1 + 2

m

X

n=1

( 1)nexp( nt) (3.67)

¸_{seklindeki bir seriye aç¬labilir. Bu seri 0 < t < 1 bölgesinde tam çözüme yak¬nsar fakat} t = 0 noktas¬nda ya 1 ya da 1 verildi¼ginde yak¬nsakt¬r.

Bununla birlikte

( 1)m+1exp[ (2m + 1)t]

¸seklindeki ilave bir terim ile (3.66) ifadesi t = 0 noktas¬nda 0 _{t < 1 bölgesinin} tamam¬nda tam çözüme yak¬nsar. (3.66) ile verilen V (t)’nin

V (t) 1 2 exp( 2t) + 2 exp( 4t) 2 exp( 6t) + exp( 7t) (3.68) ¸seklindeki üçüncü mertebeden yakla¸s¬m¬bile tam çözüme çok yak¬nd¬r.

Burada yakla¸s¬m¬geni¸sletmeyen ln(1 + t)

(1 + t) ; t exp( t)

gibi terimlerin olu¸smas¬ndan kaç¬n¬l¬r. Baz¬perturbasyon teknikleri perturbasyon çözüm-lerinde;

t sin t ; t cos t

gibi seküler terim olarak adland¬r¬lan terimlerin olu¸smas¬ndan kaç¬n¬lacak ¸sekilde geli¸ stir-ilmi¸_{stir. Bununla birlikte t ! 1 iken} ln(1+t)_(1+t) ve t exp( t) terimleri olu¸sur. Bu terim-ler perturbasyon teknikterim-lerindeki seküterim-ler terim olarak adland¬r¬lmazlar. Böylece; çözüm ifadesinin kural¬bu dü¸süncenin genelle¸stirilmi¸s hali gibi görülebilir.

V (t) ifadesi

ftmexp( nt)= m 0 ; n _1g (3.69)

temel fonksiyonlar¬ ile ifade edilebilir. (3.59)’da ki gibi benzer ba¸slang¬ç ¸sart¬ kullan¬l¬r. Yard¬mc¬lineer operatör de (3.60) ile benzerdir fakat yard¬mc¬fonksiyon

H(t) = 1 (3.70)

(3.63)’den farkl¬d¬r. Benzer V (t)’nin m-inci mertebeden yakla¸s¬m¬n¬elde edebilirirz ve bu yakla¸s¬m¬aç¬k olarak;

V (t) 1 + 2 m+1_X n=1 m+1 n_X k=0 m;n;k 0 (~)[( 1)n ( nt)k k! exp( nt)] (3.71)

¸seklinde yaz¬labilir. Burada;

m;n;k 0 (~) = 1 2[ m;n+k 0 (~) + m;n+k 1 0 (~)] (3.72)

d¬r. Burada; m;n_{0 (~) fonksiyonunun tekrar olu¸smas¬ilginçtir.}

Sonuç olarak söyleyebiliriz ki; Homotopi Analiz metodunda V (t) dört farkl¬ temel fonksiyon ile ifade edilebilir. Buna ra¼gmen örnek problemin yalnzca bir çözümü elde edilir. Sonuçta (3.44), (3.56), (3.65) ve (3.71) çözüm ifadelerinin ailesi elde edildi. Teorik olarak bu çözümlerin hepsi 0 _{t < 1 bölgesinde V (t) = tanh(t) tam çözümüne yak¬nsakt¬r.} Ancak (3.44) çözümü di¼ger çözümü di¼ger çözümlerden daha az etkilidir. Çünkü 2 < t < 0’¬n verilen bir de¼geri için sonlu bir bölgede yak¬nsakt¬r. Üstel kuvvetlere dayanan (3.65) çözümünün kesirli fonksiyonlara dayanan (3.56) çözümünden daha etkili oldu¼gu ve hatta polinom ve üstel fonksiyonlar¬n birle¸stirilmesiyle elde edilen (3.71) çözümünün (3.56) ve (3.65) çözümüne göre daha etkili oldu¼gu görülür.

Böylece homotopi analiz metodu ile çözüm serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi ve h¬z¬ ~’¬n geçerlilik bölgesinde uygun bir seçimiyle kontrol edilebilece¼gi görülür. Bu metod ile yak¬n-sakl¬k bölgesinin geni¸_{sletilmesine gerek duyulmadan ~’¬n uygun seçimiyle etkili bir çözüm} elde edilebilir.

3.4. _{~ Yard¬mc¬Parametresinin Rolü}

Daha önce de belirtildi¼gi gibi Homotopi analiz metodu topolojinin temel kavram¬olan homotopi’ye dayanmaktad¬r. S¬f¬rdan farkl¬~ yard¬mc¬parametresi klasik bir homotopi-den daha genel bir homotopi ile verilen s¬f¬r¬nc¬ mertebehomotopi-den deformasyon homotopi-denkleminde tan¬t¬lm¬¸_{st¬. Daha önceden bilinen analitik yöntemlerin aksine homotopi analiz metodu ~} yard¬mc¬ parametresi ile çözüm ifadelerinin bir ailesini olu¸sturur. Bunun sonucu olarak çözümün yak¬nsakl¬k bölgesi ve h¬z¬~ yard¬mc¬parametresine ba¼gl¬d¬r ve ~ yard¬mc¬para-metresinin uygun bir ¸sekilde seçilmesiyle yak¬nsakl¬k bölgesi geni¸sletilebilir. Böylece Ho-motopi analiz metodu ile verilen çözüm serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi ve h¬z¬n¬n ayarlan-mas¬nda ve kontrolünde uygun ve güvenilir bir yol sa¼glanm¬¸s olur. Bu alt bölümde bir yard¬mc¬ parametre ile serilerin yak¬nsakl¬k bölgesinin gerçekten ayarlanabilir ve kontrol edilebilir oldu¼gunu tamamen farkl¬ bir ¸sekilde ispatlayaca¼g¬z. Bu ispat bize homotopi analiz metodunun geçerlili¼gi için rasyonel bir temel sa¼glayabilir.

·

Ilk olarak (3.44), (3.65) ve (3.71) çözüm ifadesinde olu¸san m;n_{0 (~), (3.45)} tan¬m¬ho-motopi analiz metodu ile elde edilir. Burada ilginç olan ayn¬ tan¬m¬n Newton’un binom teoreminden direkt olarak elde edilebilmesidir. Bunu göstermek için

1 1 + t = 1 t + t 2 _t3_{+ : : : = lim} m!1 m X n=0 ( 1)ntn ; _{jtj < 1} (3.73)

serisini göz önüne alal¬m. x = 1 + ~ + ~t e¸sitli¼gi 1 1 + t = ~ (1 x)

ifadesini verecek ¸_{sekilde tan¬mlans¬n. jxj = j1 + ~ + ~tj < 1 ve j1 + ~j < 1 oldu¼}gunda 1 < t < 2 j~j 1 ; 2 < ~ < 0 olur. Böylece 1 1 + t = ~ (1 x) = ~(1 + x + x 2_{+ x}3_{+ : : :) =} ~ 1 X n=0 (1 + ~ + ~t)n 34

elde edilir. Dolay¬s¬yla 1 1 + t = limm!1[ ~ m X n=0 (1 + ~ + ~t)n] ifadesi 1 < t < 2 j~j 1 ( 2 < ~ < 0) bölgesinde geçerlidir. Burada

~ m X n=0 (1 + ~ + ~t)n = _~ m X n=0 n X k=0 n k (1 + ~) n k (~t)k = _~ m X k=0 m X n=k n k (1 + ~) n k ~ktk = m X k=0 ( 1)ktk_{( ~)}k+1 m k_X i=0 k + i k (1 + ~) i = m X k=0 ( 1)ktk_{[( ~)}k+1 m k_X i=0 k + i i (1 + ~) i_] = m X n=0 ( 1)ntn m;n_{1 (~)}

elde edilir. Burada

m;n 1 (~) = ( ~)n+1 m n_X j=0 n + j j (1 + ~) j _(3.74)

dir. (3.45) ifadesi ile kar¸s¬la¸st¬r¬l¬rsa;

m;n 1 (~) =

m+1;n+1

0 (~) (3.75)

¸seklinde bir ili¸ski bulunur. Böylece 1 1 + t = lim m X n=0 m+1;n+1 0 (~)[( 1)ntn] (3.76) ifadesi 1 < t < 2 j~j 1 ( 2 < ~ < 0) bölgesinde elde edilir.

Aç¬k olarak s¬ras¬yla ~ = 1 oldu¼gunda _{1 < t < 1 bölgesinin, ~ =} 1₂ oldu¼gunda 1 < t < 3 bölgesinin ve ~ = 501 oldu¼gunda 1 < t < 99 bölgesinin yak¬nsakl¬k bölgesi

oldu¼_{gu görülür. Özellikle ~ ! 0 iken} 1 < t < 1

yak¬nsakl¬k bölgesi olur. Böylece (3.76) serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi ~ yard¬mc¬parame-tresi ile ayarlanabilir ve kontrol edilebilir.

4. BÖLÜM

4.1. Kompaktonlar

1993 y¬l¬n¬n ba¸s¬nda Rosenau ve Hyman [4], kompakton olarak adland¬r¬lan kompakt destekli solitary dalgalar¬n bir s¬n¬f¬n¬verdi. Kompaktonlar, sonlu dalga uzunlu¼guna sahip veya üst üste gelmeyen solitonlar olarak adland¬r¬l¬r. Ba¸ska bir deyi¸sle kompaktonlar, uçlar¬sonsuza gitmeyen solitonlar olarak ifade edilir ve solitonlar¬n aksine bir kompakto-nun geni¸sli¼gi, genlikten ba¼g¬ms¬zd¬r. Rosenau ve Hyman do¼ga olaylar¬nda, solitary dal-galar¬n¬n; nitelik olarak büyük de¼gi¸sikliklere neden olabilen lineer olmayan bir saç¬lman¬n etkisi alt¬nda kompaktla¸sabilece¼gini ispatlad¬. Kompaktonlar¬n esnek bir ¸sekilde çarp¬¸st¬¼g¬ ve daha sonra benzer bir ¸sekilde tekrar ortaya ç¬kt¬¼g¬ ispatlanm¬¸st¬r. Sonlu bir merkez bölgenin d¬¸s¬nda ortadan kaybolan solitary dalga çözümleri;

ut+ (un)x+ (un)xxx = 0; n > 1

olarak verilen lineer olmayan K(n,n) saç¬lma denklemlerinin iki parametreye sahip ailesinin çözümleridir.

Solitonlar zay¬f nonlineerlik ile saç¬lma aras¬ndaki dengenin bir sonucu olarak ortaya ç¬kar. Bununla birlikte, dalga saç¬lmas¬ tamamen lineer olmayan oldu¼gu zaman baz¬ orjinal özellikler gözlenebilir. Lineer olmayan saç¬lman¬n en ilgi çekici özelli¼gi, sonlu dalga uzunlu¼guna sahip ve üst üste gelmeyen solitonlar olan kompaktonlar¬n varl¬¼g¬d¬r.

Kompaktonlar, solitonlar¬n ola¼ganüstü bir özelli¼gi olan, di¼ger kompaktonlarla çarp¬¸ s-madan sonra ayn¬¸sekille ortaya ç¬kma özellikli, solitary dalgalar¬olarak tan¬mlan¬r. Dalga saç¬lmas¬ tamamen lineer olmayan ise, baz¬ orjinal özelliklerin gözlemlenebildi¼gi ve bu ola¼ganüstü özelliklerden en kayda de¼ger olan¬n¬n kompaktonlar¬n varl¬¼g¬oldu¼gu [4]’de ver-ilmi¸stir. ¸Su ana kadar verilen kompakton tan¬mlar¬a¸sa¼g¬daki gibidir:

(i) Kompaktonlar, sonlu dalga uzunlu¼guna sahip solitonlard¬r. (ii) Kompaktonlar, kompakt destekli solitary dalgalard¬r. (iii) Kompaktonlar, üst üste gelmeyen solitonlard¬r.

Lineer olmayan ZK(n,n,n) saç¬lma denklemleri, a > 0 için kompakt solitary yap¬ya sahip ve

ut+ a (un)_x+ b (un)_xxx+ k (un)_yyx= 0; a > 0; n > 1; b > 0; k > 0 (4.1)

formunda bir lineer olmayan KdV denklemi ailesidir. Kompakt yap¬lar¬n kararl¬l¬¼g¬ ve varl¬¼g¬[5] de incelenmi¸stir.

Kompaktonlar¬n bu önemli ke¸s…, son y¬llardaki birçok önemli çal¬¸smaya öncülük et-mi¸stir. Kompakton çal¬¸smas¬Hidrodinamik modellerdeki demetlerin performasyonu, ak¬¸skan damlalar¬n …zyonu ve eylemsiz füzyon gibi birçok bilimsel yöntemi anlayabilme imkan¬ verir.

Kompaktonlar hakk¬nda daha fazla bilgi için [5]-[10] daki, ayr¬ca farkl¬ denklemlerin soliton, kompakton, solitary pattern, periodic dalga çözümleri için [11]-[15] deki refer-anslara bak¬labilir.

4.2. Homotopi Analiz Metodunun ZK(2,2,2) ve ZK(3,3,3) Denklemlerine Uygulanmas¬

(4.1) denkleminde s¬ras¬yla n = 2 ve n = 3 al¬nmas¬yla ZK(2,2,2) ve ZK(3,3,3) denklem-leri elde edilir. Ba¸slang¬ç ¸sartl¬bu denklemlerin 3.Bölümde izah edilen HAM yöntemiyle kompakton çözümlerinin nas¬l elde edilece¼gi verilecektir.

Örnek 4.1: u(x; 0) = 4c 3asin 2₍1 4 r a b + k(x + y)); (4.2)

ba¸slang¬ç ¸sartl¬,

ut+ a(u2)x+ b(u2)xxx+ k(u2)yyx= 0; (4.3)

ZK(2,2,2) denklemini göz önüne alal¬m. (4.2) ve (4.3) ile verilen probleme HAM yöntemini uygulayal¬m.

L[ (x; t; p)] = @ (x; t; p)_@t ; (4.4)

operatörü

L[c] = 0; (4.5)

özelli¼gine sahip lineer operatör olsun. Lineer olmayan operatör ise N [ (x; t; p)] = @ (x; t; p) @t + a @[ (x; t; p)]2 @x + b @3[ (x; t; p)]2 @x3 + k @3[ (x; t; p)]2 @y2_@x ; (4.6)

olsun. S¬f¬r¬nc¬mertebeden deformasyon denklemi;

(1 _{p)L[ (x; t; p)} u0(x; t)] = p~H(x)N[ (x; t; p)]; (4.7)

¸seklindedir. p = 0 ve p = 1 için s¬ras¬yla 8 < : (x; t; 0) = u0(x; t); (x; t; 1) = u(x; t); (4.8)

olur. m-inci mertebeden deformasyon denklemi ise 8 < : L[um(x; t) mum 1(x; t)] = ~Rm(!um 1(x; t)); um(x; t) = mum 1(x; t) + ~L 1[Rm(!um 1(x; t)]; (4.9)

olarak bulunur. Burada Rm(!um 1(x; t) = @um 1(x; t) @t + a @ @x( m 1_X n=0 un(x; t)um 1 n(x; t)) +b @ 3 @x3( m 1_X n=0 un(x; t)um 1 n(x; t)) (4.10) +k @ 3 @y2_@x( m 1_X n=0 un(x; t)um 1 n(x; t)); ve m= 0 ; m 1 1 ; m > 1 (4.11)

dir. Buna göre (4.10) ifadesinde m’nin çe¸sitli de¼gerleri için (4.9) deformasyon formülünü kullanarak a¸sa¼g¬daki çözüm serisinin terimleri elde edilir.

m = 1 için R1(!u0(x; t)) = @u0(x; t) @t + a @ @x( 0 X n=0 un(x; t)u n(x; t)) +b @ 3 @x3( 0 X n=0 un(x; t)u n(x; t)) +k @ 3 @y2_@x( 0 X n=0 un(x; t)u n(x; t)) = a @ @x(u 2 0) + b @3 @x3(u 2 0) + k @3 @y2_@x(u 2 0) = c2q_b+ka sin(1₂q_b+ka (x + y)) 3a ; ve u1(x; t) = ~ t Z o R1(!u0(x; t))dt = c2_~q a b+kt sin( 1 2 q a b+k(x + y)) 3a ; (4.12) elde edilir. m = 2 için R2(!u1(x; t)) = @u1(x; t) @t + a @ @x( 1 X n=0 un(x; t)u1 n(x; t)) +b @ 3 @x3( 1 X n=0 un(x; t)u1 n(x; t)) +k @ 3 @y2_@x( 1 X n=0 un(x; t)u1 n(x; t)) = @u1(x; t) @t + a @ @x(2u0u1) + b @3 @x3(2u0u1) + k @3 @y2_@x(2u0u1) = c2_{~(act cos(}1 2 q a b+k(x + y)) + 2a sin(1₂p_b+ka (x+y)) p a b+k 6a(b + k) ; ve u2(x; t) = u1(x; t) + ~ t Z o R2(!u1(x; t))dt (4.13) =

c2_{~t(ac~t cos(}1₂q_b+ka (x + y)) +4a(1+~) sin( 1 2 p a b+k(x+y)) p a b+k 12a(b + k) ; 40

bulunur. Böylece (4.12)-(4.13) terimlerini (3.25) ifadesinde yerine yazarsak a¸sa¼g¬daki çözüm serisi elde edilir.

2 X i=0 ui(x; t) = u0(x; t) + u1(x; t) + u2(x; t) = 4c 3asin 2₍1 4 r a b + k(x + y)) + c2_~q_b+ka t sin(1₂q_b+ka (x + y)) 3a +

c2_{~t(ac~t cos(}1₂q_b+ka (x + y)) + 4a(1+~) sin( 1 2 p a b+k(x+y)) p a b+k 12a(b + k) (4.14) = c 12a(b + k)fac 2 ~2t2cos(1 2 r a b + k(x + y)) +8(b + k) sin(1 4 r a b + k(x + y))[c~(2 + ~)t r a b + kcos( 1 4 r a b + k(x + y)) +2 sin(1 4 r a b + k(x + y))]g

~’¬n hangi de¼gerleri için çözüm serisinin yak¬nsak sonuçlar verdi¼gi a¸sa¼g¬daki gra…klerle görülebilir.

¸

Sekil 1. HAM ile çözüm serisinin üç terimi kullan¬larak elde edilen ~’¬n yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬,

c = t = 1:5; x = 0:1; y = a = 0:5; b = 0:05; k = 1:

¸

Sekil 2. HAM ile çözüm serisinin be¸_{s terimi kullan¬larak elde edilen ~’¬n yak¬nsakl¬k} aral¬¼g¬,

c = t = 1:5; x = 0:1; y = a = 0:5; b = 0:05; k = 1:

¸

Sekil 3. HAM ile çözüm serisinin yedi terimi kullan¬larak elde edilen ~’¬n yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬,

c = t = 1:5; x = 0:1; y = a = 0:5; b = 0:05; k = 1:

Gra…klerden de görüldü¼gü gibi 5 _~ 5 de¼gerleri için yakla¸s¬k çözüm analitik çözüme yak¬nsayan de¼gerler vermektedir.

Tablo 1. HAM yöntemiyle elde edilen çözüm serisinin yedi terimi al¬narak bulunan mutlak hata,

c = x = 0:1; y = 0:1; ~ = 0:99; a = b = 2; k = 1:

x Analitik Çözüm HAM Mutlak Hata

0:1 0:000100228 0:000100228 1:70762E 18 0:2 0:0000899595 0:0000899595 5:86824E 18 0:3 0:0000802456 0:0000802456 8:13152E 18 0:4 0:0000710858 0:0000710858 1:6263E 18 0:5 0:0000624805 0:0000624805 2:25785E 17 0:6 0:0000544296 0:0000544296 7:44847E 17 0:7 0:0000469334 0:0000469334 1:63647E 16 0:8 0:000039992 0:000039992 2:97939E 16 0:9 0:0000336055 0:0000336055 4:81454E 16 1:0 0:0000277739 0:0000277739 7:1187E 16

¸

Sekil 4. (4.14) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen analitik çözümün 3 boyutlu resmi

¸

Sekil 5. (4.14) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen yakla¸s¬k çözümün 3 boyutlu resmi

¸

Sekil 6. (4.14) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen mutlak hatan¬n 3 boyutlu resmi

Örnek 4.2.: u(x; 0) = 4c 3asinh 2₍1 4 r a b + k(x + y)); (4.15)

ba¸slang¬ç ¸sartl¬,

ut+ a(u2)x+ b(u2)xxx+ k(u2)yyx= 0 (4.16)

ZK(2,2,2) denklemini göz önüne alal¬m. (4.15) ve (4.16) ile verilen probleme HAM yön-temini uygulayal¬m.

L[ (x; t; p)] = @ (x; t; p)_@t (4.17)

operatörü

L[c] = 0 (4.18)

özelli¼gine sahip lineer operatör olsun. Lineer olmayan operatör ise N [ (x; t; p)] = @ (x; t; p) @t + a @[ (x; t; p)]2 @x + b @3[ (x; t; p)]2 @x3 + k @3[ (x; t; p)]2 @y2_@x (4.19)

olsun. S¬f¬r¬nc¬mertebeden deformasyon denklemi;

¸seklindedir. p = 0 ve p = 1 için s¬ras¬yla 8 < : (x; t; 0) = u0(x; t); (x; t; 1) = u(x; t) (4.21)

olur. m-inci mertebeden deformasyon denklemi 8 < : L[um(x; t) mum 1(x; t)] = ~Rm(!um 1(x; t)); um(x; t) = mum 1(x; t) + ~L 1[Rm(!um 1(x; t)] (4.22) dir. Burada Rm(!um 1(x; t) = @um 1(x; t) @t + a @ @x( m 1_X n=0 un(x; t)um 1 n(x; t)) +b @ 3 @x3( m 1_X n=0 un(x; t)um 1 n(x; t)) (4.23) +k @ 3 @y2_@x( m 1_X n=0 un(x; t)um 1 n(x; t)); ve m= 0 ; m 1 1 ; m > 1 (4.24)

dir. Buna göre (4.23) ifadesinde m’nin çe¸sitli de¼gerleri için (4.22) deformasyon formülünü kullanarak a¸sa¼g¬daki çözüm serisinin terimleri elde edilir.

m = 1 için R1(!u0(x; t)) = @u0(x; t) @t + a @ @x( 0 X n=0 un(x; t)u n(x; t)) +b @ 3 @x3( 0 X n=0 un(x; t)u n(x; t)) +k @ 3 @y2_@x( 0 X n=0 un(x; t)u n(x; t)) = a @ @x(u 2 0) + b @3 @x3(u 2 0) + k @3 @y2_@x(u 2 0) =

c2q_b+ka [ 5 + 8 cosh(1₂q_b+ka (x + y))] sinh(1₂q_b+ka (x + y))

9a ;

u1(x; t) = ~ t Z 0 R1(!u0(x; t))dt (4.25) =

c2_~tq_b+ka [ 5 + 8 cosh(1₂q_b+ka (x + y))] sinh(1₂q_b+ka (x + y)) 9a elde edilir. m = 2 için R2(!u0(x; t)) = @u0(x; t) @t + a @ @x( 1 X n=0 un(x; t)u1 n(x; t)) +b @ 3 @x3( 1 X n=0 un(x; t)u1 n(x; t)) +k @ 3 @y2_@x( 1 X n=0 un(x; t)u1 n(x; t)) = a @ @x(2u0u1) + b @3 @x3(2u0u1) + k @3 @y2_@x(2u0u1) = c 2 ~

54a(b + k)f35act cosh( 1 2

r a

b + k(x + y)) 104act cosh( r a b + k(x + y)) +6[13act cosh(3 2 r a b + k(x + y)) +qa a b+k ( 5 sinh(1 2 r a b + k(x + y)) + 4 sinh( r a b + k(x + y)))]g; u2(x; t) = u1(x; t) + ~ t Z 0 R2(!u1(x; t))dt = c 2 ~t

108a(b + k)f35ac~t cosh( 1 2

r a

b + k(x + y)) 104ac~t cosh( r a b + k(x + y))(4.26) +6[13ac~t cosh(3₂ r a b + k(x + y)) +2a(1 + ~)_q a b+k ( 5 sinh(1 2 r a b + k(x + y)) + 4 sinh( r a b + k(x + y)))]g; elde edilir.

serisi elde edilir. 2 X i=0 ui(x; t) = u0(x; t) + u1(x; t) + u2(x; t) = 4c 3asinh 2₍1 4 r a b + k(x + y)) +

c2_~tq_b+ka [ 5 + 8 cosh(1₂q_b+ka (x + y))] sinh(1₂q_b+ka (x + y))

9a (4.27)

+ c

2

~t

108a(b + k)f35ac~t cosh( 1 2

r a

b + k(x + y)) 104ac~t cosh( r a b + k(x + y)) +6[13ac~t cosh(3₂ r a b + k(x + y)) +2a(1 + ~)q a b+k ( 5 sinh(1 2 r a b + k(x + y)) + 4 sinh( r a b + k(x + y)))]g; ~’¬n hangi de¼gerleri için çözüm serisinin yak¬nsak sonuçlar verdi¼gi a¸sa¼g¬daki gra…klerle görülebilir.

¸

Sekil 7. HAM ile çözüm serisinin üç terimi kullan¬larak elde edilen ~’¬n yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬,

c = t = 1:5; x = 0:1; y = a = 0:5; b = 0:05; k = 1:

¸

Sekil 8. HAM ile çözüm serisinin be¸_{s terimi kullan¬larak elde edilen ~’¬n yak¬nsakl¬k} aral¬¼g¬,

c = t = 1:5; x = 0:1; y = a = 0:5; b = 0:05; k = 1:

Gra…klerden de görüldü¼gü gibi 5 _~ 5 de¼gerleri için yakla¸s¬k çözüm analitik çözüme yak¬nsayan de¼gerler vermektedir.

Tablo 2. HAM yöntemiyle elde edilen çözüm serisinin be¸s terimi al¬narak bulunan mutlak hata,

c = x = 0:1; y = 0:1; ~ = 0:99; a = b = 2; k = 1; : x Analitik C •oz •um HAM M utlak Hata

0:1 0:000100258 0:000100328 6:96339E 8 0:2 0:0000899484 0:0000900405 9:21239E 8 0:3 0:0000802271 0:00008031 8:28774E 8 0:4 0:0000710813 0:0000711364 5:51458E 8 0:5 0:0000624993 0:0000625195 2:02711E 8 0:6 0:0000544713 0:0000544593 1:20666E 8 0:7 0:0000469891 0:0000469555 3:36028E 8 0:8 0:0000400452 0:000040008 3:72409E 8 0:9 0:0000336336 0:0000336168 1:68059E 8 1:0 0:0000277484 0:0000277816 3:32033E 8

¸

Sekil 9. (4.27) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen analitik çözümün 3 boyutlu resmi

¸

Sekil 10. (4.27) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen yakla¸s¬k çözümün 3 boyutlu resmi

¸

Sekil 11. (4.27) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen mutlak hatan¬n 3 boyutlu resmi

Örnek 4.3.: u(x; 0) = s 3c 2acos 2₍1 3 r a b + k(x + y)); (4.28)

ba¸slang¬ç ¸sartl¬,

ut+ a(u3)x+ b(u3)xxx+ k(u3)yyx= 0 (4.29)

ZK(3,3,3) denklemini göz önüne alal¬m. (4.28) ve (4.29) ile verilen probleme HAM yön-temini uygulayal¬m.

L[ (x; t; p)] = @ (x; t; p)

@t (4.30)

operatörü

L[c] = 0 (4.31)

özelli¼gine sahip lineer operatör olsun. Lineer olmayan operatör ise N [ (x; t; p)] = @ (x; t; p) @t + a @[ (x; t; p)]3 @x + b @3[ (x; t; p)]3 @x3 + k @3[ (x; t; p)]3 @y2_@x (4.32)

olsun. S¬f¬r¬nc¬mertebeden deformasyon denklemi;

¸seklindedir. p = 0 ve p = 1 için s¬ras¬yla 8 < : (x; t; 0) = u0(x; t); (x; t; 1) = u(x; t) (4.34)

olur. m-inci mertebeden deformasyon denklemi 8 < : L[um(x; t) mum 1(x; t)] = ~Rm(!um 1(x; t)); um(x; t) = mum 1(x; t) + ~L 1[Rm(!um 1(x; t)] (4.35) dir. Burada Rm(!um 1(x; t) = @um 1(x; t) @t + a @ @x( m 1_X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))um 1 n(x; t)) +b @ 3 @x3( m 1_X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))um 1 n(x; t)) (4.36) +k @ 3 @y2_@x( m 1_X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))um 1 n(x; t)); ve m= 0 ; m 1 1 ; m > 1 (4.37)

dir. Buna göre (4.36) ifadesinde m’nin çe¸sitli de¼gerleri için (4.35) deformasyon formülünü kullanarak a¸sa¼g¬daki çözüm serisinin terimleri elde edilir.

m = 1 için R1(!u0(x; t)) = @u0(x; t) @t + a @ @x( 0 X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))u n(x; t)) +b @ 3 @x3( 0 X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))u n(x; t)) +k @ 3 @y2_@x( 0 X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))u n(x; t)) = a @ @x(u 3 0) + b @3 @x3(u 3 0) + k @3 @y2_@x(u 3 0) = cq_b+ka q c cos2₍1 3 p a b+k(x+y)) a tan( 1 3 q a b+k(x + y)) p 6 ; 52

u1(x; t) = ~ t Z 0 R1(!u0(x; t))dt (4.38) = c~t q a b+k q c cos2₍1 3 p a b+k(x+y)) a tan( 1 3 q a b+k(x + y)) p 6 elde edilir. m = 2 için R2(!u0(x; t)) = @u0(x; t) @t + a @ @x( 1 X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))u1 n(x; t)) +b @ 3 @x3( 1 X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))u1 n(x; t)) +k @ 3 @y2_@x( 1 X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))u1 n(x; t)) = a @ @x(3u1u 2 0) + b @3 @x3(3u1u 2 0) + k @3 @y2_@x(3u1u 2 0) = c~ 3p6(b + k) v u u tc cos2(13 q _a b+k(x + y)) a (act + 3a tan(1₃q_b+ka (x + y)) q a b+k ) u2(x; t) = u1(x; t) + ~ t Z 0 R2(!u1(x; t))dt = c~t 6p6(b + k) v u u tc cos2(13 q a b+k(x + y)) a (ac~t (4.39) +6a(1 + ~) tan( 1 3 q a b+k(x + y)) q a b+k ) elde edilir.

serisi elde edilir. 2 X i=0 ui(x; t) = u0(x; t) + u1(x; t) + u2(x; t) = s 3c 2acos 2₍1 3 r a b + k(x + y)) +c~t q _a b+k q c cos2₍1 3 p a b+k(x+y)) a tan( 1 3 q _a b+k(x + y)) p 6 (4.40) + c~t 6p6(b + k) v u u tc cos2(13 q a b+k(x + y)) a (ac~t +6a(1 + ~) tan( 1 3 q a b+k(x + y)) q a b+k )

~’¬n hangi de¼gerleri için çözüm serisinin yak¬nsak sonuçlar verdi¼gi a¸sa¼g¬daki gra…klerle görülebilir.

¸

Sekil 12. HAM ile çözüm serisinin üç terimi kullan¬larak elde edilen ~’¬n yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬,

c = t = 1:5; x = 0:1; y = a = 0:5; b = 0:05; k = 1:

¸

Sekil 13. HAM ile çözüm serisinin be¸_{s terimi kullan¬larak elde edilen ~’¬n yak¬nsakl¬k} aral¬¼g¬,

c = t = 1:5; x = 0:1; y = a = 0:5; b = 0:05; k = 1:

Gra…klerden de görüldü¼gü gibi 5 _~ 5 de¼gerleri için yakla¸s¬k çözüm analitik çözüme yak¬nsayan de¼gerler vermektedir.

Tablo 3. HAM yöntemiyle elde edilen çözüm serisinin be¸s terimi al¬narak bulunan mutlak hata,

c = x = 0:1; y = 0:1; ~ = 0:99; a = b = 2; k = 1: x Analitik C •oz •um HAM M utlak Hata

0:1 0:273495 0:273495 4:60187E 14 0:2 0:273533 0:273533 1:87017E 13 0:3 0:273568 0:273568 4:03511E 13 0:4 0:273602 0:273602 6:61915E 13 0:5 0:273633 0:273633 9:1388E 13 0:6 0:273662 0:273662 1:09662E 12 0:7 0:27369 0:27369 1:13382E 12 0:8 0:273715 0:273715 9:35751E 13 0:9 0:273739 0:273739 4:00069E 13 1:0 0:27376 0:27376 5:88141E 13

¸

Sekil 14. (4.40) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen analitik çözümün 3 boyutlu resmi

¸

Sekil 15. (4.40) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen yakla¸s¬k çözümün 3 boyutlu resmi

¸

Sekil 16. (4.40) çözüm serisinde c = 1; ~ = 0:9; t = a = 0:5; b = 0:1 ve k = 0:3: al¬narak elde edilen mutlak hatan¬n 3 boyutlu resmi

Örnek 4.4.: u(x; 0) = s 3c 2acosh 2₍1 3 r a b + k(x + y)); (4.41)

ba¸slang¬ç ¸sartl¬,

ut+ a(u3)x+ b(u3)xxx+ k(u3)yyx= 0 (4.42)

ZK(3,3,3) denklemini göz önüne alal¬m. (4.41) ve (4.42) ile verilen probleme HAM yön-temini uygulayal¬m.

L[ (x; t; p)] = @ (x; t; p)_@t (4.43)

operatörü

L[c] = 0 (4.44)

özelli¼gine sahip lineer operatör olsun. Lineer olmayan operatör ise N [ (x; t; p)] = @ (x; t; p) @t + a @[ (x; t; p)]3 @x + b @3[ (x; t; p)]3 @x3 + k @3[ (x; t; p)]3 @y2_@x (4.45)

olsun. S¬f¬r¬nc¬mertebeden deformasyon denklemi;

(1 _{p)L[ (x; t; p)} u0(x; t)] = p~H(x)N[ (x; t; p)] (4.46)

¸seklindedir. p = 0 ve p = 1 için s¬ras¬yla 8 < : (x; t; 0) = u0(x; t); (x; t; 1) = u(x; t) (4.47)

olur. m-inci mertebeden deformasyon denklemi 8 < : L[um(x; t) mum 1(x; t)] = ~Rm(!um 1(x; t)); um(x; t) = mum 1(x; t) + ~L 1[Rm(!um 1(x; t)] (4.48) dir. Burada Rm(!um 1(x; t) = @um 1(x; t) @t + a @ @x( m 1_X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))um 1 n(x; t)) +b @ 3 @x3( m 1_X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))um 1 n(x; t)) (4.49) +k @ 3 @y2_@x( m 1_X n=0 ( n X i=0 ui(x; t)un i(x; t))um 1 n(x; t)); ve m= 0 ; m 1 1 ; m > 1 (4.50)

dir. Buna göre (4.49) ifadesinde m’nin çe¸sitli de¼gerleri için (4.48) deformasyon formülünü kullan¬rsak a¸sa¼g¬daki çözüm serisinin terimleri elde edilir.