Ekstremal polinomların kompleks düzlemde yaklaşım özellikleri

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

EKSTREMAL POLİNOMLARIN

KOMPLEKS DÜZLEMDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

DOKTORA TEZİ

Burçin OKTAY

“Bu çalışma Balıkesir Üniversitesi Rektörlüğü Bilimsel

Araştırma Projeleri Birimi tarafından BAP 2006/39 Kodlu Proje İle

desteklenmiştir. Teşekkür ederiz.”

ÖZET

EKSTREMAL POLİNOMLARIN KOMPLEKS DÜZLEMDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

Burçin OKTAY

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

(Doktora Tezi / Tez Danışmanı: Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV) Balıkesir, 2007

Giriş ve sonuç bölümleri dışında bu tez esas olarak dört bölümden oluşmaktadır.

2. Bölümde, kompleks düzlemde yaklaşım problemlerinin incelendiği bazı bölge ve eğri sınıfları tanıtıldı. Daha sonra gereken analitik fonksiyon uzayları tanımlanarak bu uzayların önemli özellikleri incelendi. Bölümün son kısmında, pratikteki öneminden tezin giriş bölümünde söz edilen ve çalışmamızda yaklaşılan fonksiyon konumundaki konform dönüşüm ve bu dönüşümün bir genelleşmesi olan kvazikonform dönüşüm tanıtıldı.

3. Bölümde, bir bölgede analitik olan ve bazı ek koşulları sağlayan fonksiyonlar sınıfında bir ekstremal problem ve bu problemin çözümü verildi. Daha sonra benzer probleme belirli ek koşulları sağlayan polinomlar sınıfında bakılarak bu problemin çözümü olan Bieberbach polinomları tanıtıldı ve özellikleri incelendi.

4. bölümün ilk kısmında Dini-düzgün bölgelerin bir alt sınıfı tanımlanarak bu sınıftan olan bölgelerde Bieberbach polinomları ile konform dönüşüme yaklaşım problemleri incelendi. Bölümün ikinci kısmında ise aynı sınıftan olan bölgelerde genelleşmiş Bieberbach polinomları ile, konform dönüşüm yardımıyla ifade edilen özel bir fonksiyona yaklaşım problemleri araştırıldı.

5. bölümde konform dönüşüm yardımıyla ifade edilen özel fonksiyona sınırlı rotasyonlu düzgün bölgelerde, genelleşmiş Bieberbach polinomları ile yaklaşımın hızı değerlendirildi.

ANAHTAR SÖZCÜKLER: Dini- düzgün bölge, Sınırlı rotasyonlu bölge, Riemann konform dönüşümü, Bieberbach polinomları, Genelleşmiş Bieberbach polinomları

ABSTRACT

THE APPROXIMATION PROPERTIES OF THE EXTREMAL POLYNOMIALS IN THE COMPLEX PLANE

Burçin OKTAY

Balikesir University, Institue of Science, Department of Mathematics

(PhD. Thesis / Supervisor: Professor Daniyal M. ISRAFILOV Balikesir- Turkey, 2007

Except the introduction and the conclusion chapters, the thesis consists of four chapters.

In Chapter 2, the classes of some domains and curves, where the

approximation problems in the complex plane were investigated, were introduced. Then the required analytic function spaces were given and the important properties of these spaces were investigated. In the final part of the chapter, the conformal mapping whose importance in practice was emphasized at the introduction and which was in the position of approximated function in our work, and the

quasiconformal mapping that was the generalization of the conformal mapping were introduced.

In Chapter 3, an extremal problem and its solution in the class of the analytic functions with some additional conditions were given. Then the similar problem was considered in the class of the polynomials satisfying the same additional conditions. As a solution of this problem, the Bieberbach polynomials were introduced and their properties were investigated.

In the first part of Chapter 4, a subclass of Dini-smooth domains was defined and the approximaton problems to the conformal mapping by the Bieberbach

polynomials on these domains were investigated. In the second part of this chapter, on these domains, the approximation problems by the generalized Bieberbach polynomials to the special function, expressed by conformal mapping were investigated.

In Chapter 5, the rate of approximation by the generalized Bieberbach polynomials to the special function mentioned above on the smooth domains with bounded boundary rotation was studied.

KEY WORDS: Dini-smooth domain, Smooth domain bounded boundary rotation, Riemann conformal mapping, Bieberbach polynomials, Generalized Bieberbach polynomials.

İÇİNDEKİLER

sayfa

ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER ii

ABSTRACT, KEY WORDS iii

İÇİNDEKİLER iv

SEMBOL LİSTESİ v

ÖNSÖZ vi

1. GİRİŞ 1

2. ÖN BİLGİLER 3

2.1 Kompleks düzlemde bazı önemli eğri ve bölge sınıfları 3

2.2 Analitik fonksiyon uzayları 7

2.3 Konform Dönüşümler 11

2.4 Kvazikonform Dönüşümler 12

3. GEOMETRİK FONKSİYONLAR TEORİSİNİN BAZI EKSTREMAL 13

PROBLEMLERİ 3.1 Ekstremal Problemler 13

3.2 Ekstremal Polinomlar 14

4. BIEBERBACH VE GENELLEŞMİŞ BIEBERBACH POLİNOMLARININ 18

DINI-DÜZGÜN BÖLGELERDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ 4.1 Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde yaklaşım özellikleri 18

4.1.1 Yardımcı Sonuçlar 19

4.1.2 Ana Sonuçlar 23

4.2 Genelleşmiş Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde yaklaşım özellikleri 25

4.2.1 Yardımcı Sonuçlar 25

4.2.2 Ana Sonuçlar 27

5. GENELLEŞMİŞ BIEBERBACH POLİNOMLARININ DÜZGÜN SINIRLI 31

ROTASYONLU BÖLGELERDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ 5.1 Yardımcı Sonuçlar 31

5.2 Ana Sonuçlar 40

6. SONUÇ 44

SEMBOL LİSTESİ

Simge Tanımı Sayfa

C Kompleks düzlem 3

( )

δ

ω Süreklilik modülü 4

( )

t

θ Teğet yön açısı 5

( )

g,δ

ω_p g’nin p. dereceden integral süreklilik modülü ₇

( )

L

Lp _{Lebesque uzayı 7}

( )

G

Ep _{Smirnov uzayı 7}

(

L,ω

)

Lp ω _{ağırlıklı Lebesgue uzayı 9}

(

G,ω

)

Ep ω _{ağırlıklı Smirnov uzayı 9}

( )

_p n f

ε _Lp

( )

_{G uzaylarında en iyi yaklaşım sayısı 10}

( )

_p

n f,ω

Eo _Ep

(

_G,ω

)

_{uzayında en iyi yaklaşım sayısı 10}

D Birim disk 11

T Birim diskin sınırı 11

−

G _{Bölge kapanışının tümleyeni 11}

−

D Disk kapanışının tümleyeni 11

( )

z,ζ

K Bergman çekirdek fonksiyonu 13

n

π (z) Bieberbach polinomları 14

p n,

π (z) Genelleşmiş Bieberbach polinomları 14

( )

z

ÖNSÖZ

Bilgi ve tecrübelerini benimle her zaman paylaşan, bana bilimsel düşünebilmeyi kazandıran ve bu zor yolda beni yalnız bırakmayan değerli danışmanım Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Hayatımın her aşamasında olduğu gibi tez aşamamda da bana destek olan aileme de çok teşekkürler.

1. GİRİŞ

Konform dönüşümler, uygulamalı matematiğin ve mekaniğin pek çok alanlarında önemli rol oynar. Fakat bu dönüşümlerin analitik ifadelerinin bulunması oldukça güçtür. Sadece bazı özel bölgelerin konform dönüşümlerinin açık ifadeleri bilinmektedir. Örneğin, bir çokgenin birim diske konform dönüşümü Schwarz-Christoffell formülleri ile ifade edilir. Genel durumda konform dönüşümlerin ifadelerini bulmak oldukça güç olduğundan ifadeleri kolaylıkla bulunabilen veriler yardımıyla bu dönüşümlere yaklaşım problemi ortaya çıkmıştır.

Bieberbach polinomlarının konform dönüşümlerin pratik olarak bulunmasında kullanılabilirliği ilk defa Bieberbach tarafından gözlenmiştir. Bilindiği gibi, kompleks düzlemde bir bölge verildiğinde bu bölgede ortogonal olan cebirsel polinomlar sistemi Gram-Schmidt yöntemi kullanılarak bulunmaktadır. Bieberbach polinomları ise bu ortogonal polinomlar yardımı ile ifade edilebildiklerinden bir bölge verildiğinde bu bölgenin Bieberbach polinomlarının bulunması her zaman çözülmesi mümkün olan bir matematiksel hesaplama problemidir. Böylece, Bieberbach polinomlarının bir bölgede konform dönüşüme yakınsaklığını bilerek bu konform dönüşümü de yaklaşık olarak bulmak mümkündür. Bergman uzaylarında polinomlarla yaklaşımın mümkünlüğü ile ilgili Markushevich - Farrel teoreminin bir sonucuna göre Caratheodory bölgelerinin kompakt altkümelerinde Bieberbach polinomlarının konform dönüşüme düzgün yakınsaklığı bilinmektedir. M. V. Keldych ilk defa kapalı bölgelerde Bieberbach polinomlarının konform dönüşüme düzgün yakınsaklık problemlerini incelemiş, bölge sınırının sınırlı eğriliğe sahip bir eğri olduğu durumda yakınsamanın kapanışta da düzgün olduğunu ispatlamış ve özel halde Bieberbach polinomlarının konform dönüşüme kapanışta yakınsamadığı bölge örneği vermiştir. Böylece Bieberbach polinomlarının kapanışta yakınsaklığı probleminin bölge sınırının geometrik yapısı ile bağlantılı olduğu görülmüştür.

Daha sonra S. N. Mergelyan [34], Wu Xue-Mou [45], P. K. Suetin [41, 42], I. B. Simonenko [39], V. Kulikov [30], V. V. Andrievskii [6,7,8], D. Gaier [13-17], D. M. İsrafilov [19-27], I. Pritsker [36] ve diğer matematikçilerin yapmış olduğu çalışmalarda yaklaşım hızının, bölge sınırının düzgünlük parametreleri ile doğru orantılı olduğu sonucuna varılmıştır. Daha düzgün özelliğe sahip bölgelerde Bieberbach polinomlarının bölgenin kapanışında konform dönüşüme yaklaşımının daha hızlı olduğu gözetlenmiştir. Bieberbach polinomlarının yaklaşım özellikleri ile ilgili araştırmalar daha sonra genelleşmiş Bieberbach polinomları durumunda da ilgi odağı olmuştur.

Bu tezde uygulamalı matematik ve mekanik problemlerinin çözümünde çok kullanılan ve Lyapunov eğrileri olarak adlandırılan eğriler sınıfının bir genelleşmesi tanımlanmış, bu eğrilerle sınırlı kapalı bölgelerde Bieberbach ve genelleşmiş Bieberbach polinomlarının yaklaşım özellikleri incelenmiş, bu polinomların konform dönüşüme ve konform dönüşüm yardımı ile ifade edilen özel fonksiyonlara yaklaşım hızı bölge sınırının geometrik özelliklerine göre değerlendirilmiştir. Bunun dışında genelleşmiş Bieberbach polinomlarının sınırlı rotasyonlu düzgün bölgelerin kapanışında yaklaşım özelliklerini incelenerek uygun yaklaşım hızı bulunmuştur.

2. ÖN BİLGİLER

2.1 Kompleks Düzlemde Bazı Önemli Eğri ve Bölge Sınıfları

C ile kompleks düzlemi göstereceğiz.

2.1.1 Tanım. Kompleks düzlemde birim çemberin homeomorfik bir dönüşüm altındaki görüntüsüne Jordan eğrisi denir [28, s.1].

2.1.2 Tanım. γ:z

( ) (

t a≤t≤b

)

kompleks düzlemde bir eğri ve

P :=

{

(

t₀,t₁,t₂,.... t,_n

)

: a=t₀ <t₁ <...<t_n−1 <t_n =b

}

,

[ ]

a, kapalı aralığının bir b

bölüntüsü olsun. Eğer

( ) ( )

− <∞

∑

= − n t z t z 1 1 sup ν ν ν

ise γ eğrisine sonlu uzunluklu eğri denir. Burada supremum P kümesi üzerinden alınır [32, s. 246].

2.1.3 Tanım. Bir L eğrisinin γ

( ) (

τ 0≤τ ≤2π

)

parametrik gösterimi için

( )

τ

γ '' fonksiyonu sınırlı ise L eğrisine sınırlı eğrilikli eğri denir [41].

2.1.4 Tanım. L bir Jordan eğrisi olsun. Eğer z₁,z₂∈L, z₁ ≠ z₂ koşullarını sağlayan bütün noktalar çifti için

(

)

[

]

1 2 2 , 1 2 1,z : max t t z d t t − = ∈γ γ ≤c z₁ −z₂

olacak şekilde bir c sabiti bulunabilirse L eğrisine kvazikonform eğri denir. Burada , noktalarının L eğrisini bölmüş olduğu yaylardan çapı küçük olanıdır.

(

z1,z2

)

Kvazikonform eğriler sınıfı oldukça geniştir ve özel halde sonlu uzunluklu olmayan bazı eğrileri de içerebilir. Fakat sivri açıya sahip olan bir eğri kvazikonform değildir [31, s.100].

2.1.5 Tanım. γ , sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi ve

( )

z,r :

{

t γ: z t r

}

D = ∈ − < olsun. Eğer

( )

z r cr D z ≤ ∩ ∈γ , γ sup

olacak şekilde r’den bağımsız bir c sabiti bulunabilirseγ eğrisine Regüler eğri veya

Carleson eğrisi denir. Burada ⋅ ,D

( )

z,r ∩γ kümesinin Lebesgue ölçümüdür. [28, s.2].

2.1.6 Tanım. L Jordan eğrisi, γ'

( )

τ sürekli ve 0≠ olacak şekilde bir , parametrizasyonuna sahipse bu eğriye düzgün eğri denir. Diğer bir deyişle düzgün eğri, sürekli değişen teğete sahip olan eğriye denir [35, s.43].

( ) (

τ 0≤τ≤2π

)

γ

2.1.7 Tanım. f, bir A⊂C bağlantılı kümesinde düzgün sürekli bir fonksiyon

olsun. f’nin süreklilik modülü

( )

(

)

( ) ( )

_A δ h h f f sup : A f, δ, ω δ ω ≡ = ⋅ − ⋅+ ≤

( ) ( )

{

f t₁ − f t₂ :t₁,t₂ ∈A, t₁ −t₂ ≤δ

}

δ∈

(

0,π

]

=sup , biçiminde tanımlanır [35, s.46].

2.1.8 Tanım. ω

(

h,t

)

, bir h fonksiyonunun süreklilik modülü olmak üzere

( )

, _<∞

∫

dt t t h ω π 0

koşulu sağlanıyorsa h fonksiyonuna Dini-sürekli fonksiyon denir [35, s.46]. 2.1.9 Tanım. Eğer bir L eğrisi, γ'

( )

τ Dini sürekli ve 0≠ olacak şekilde

( )

τ , 0 τ 2π γ

:

parametrizasyonuna sahipse L’ye Dini-düzgün eğri denir [35, s.48].

, birim diskin L düzgün eğrisi ile sınırlı bölgeye konform dönüşümü olsun. Bu durumda L eğrisinin 0 ψ

( )

( )

it 0 e ψ t z = , 0≤t ≤2π, konform parametrizasyonu yazılabilir. θ

( )

t ile L düzgün eğrisine

( )

( )

it

0 e

ψ t

z = noktasında çizilen teğetin x ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıyı gösterelim.

Şimdi yeni bir eğriler sınıfı tanımlayalım.

2.1.10 Tanım. α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

sayıları verildiğinde δ dan bağımsız bir c sabiti için

( )

δ

(

π

]

δ δ δ θ ω α β , 0 , 4 ln , ≤ c ∈

koşulu sağlanıyorsa L eğrisi B

(

α,β

)

sınıfındandır denir.

Bu tanıma göre, 0<α₁ <α₂ ≤1 olduğunda

B

(

α ,₁ β

)

⊃B

(

α ,₂ β

)

, β∈

[

0,∞

)

ve 0≤β₁ <β₂ <∞olduğunda B

(

α,β₁

)

⊂B

(

α,β₂

)

, α∈

(

0,1

]

bağıntıları geçerlidir. 2.1.11 Tanım. ∀t1 t,2 ∈

[

0,2π

]

için

( ) ( )

t θ t ct t , α

( )

0,1 θ ₁ − ₂ ≤ ₁ − ₂ α ∈

olacak şekilde bir c sabiti bulunabilirse L eğrisine Lyapunov eğrisi denir [41].

B

(

α,β

)

sınıfının tanımından kolaylıkla görülebilir ki B

(

α,0

) (

0<α<1

)

sınıfı Lyapunov eğrileri sınıfı ile çakışır. Üstelik B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

sınıfı, Dini-düzgün eğrilerin bir alt sınıfıdır. Gerçekten:

∈

L B

(

α,β

)

,α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

aldığımızda tanım gereği

( )

_<∞

∫

dt t t t c 4 ln , 0 θ ω

( )

<∞

∫

ωψ ,t dt_t c 0 ' 0

elde edilir. Böylece L ‘nin Dini-düzgün eğri olduğu görülür.

2.1.12 Tanım. Kompleks düzlemde bağlantılı ve açık kümeye bölge denir [35 s. 1].

2.1.13 Tanım. G basit bağlantılı bir bölge, G∞ ise CG nin sonsuz noktasını

içeren bileşeni olsun. Eğer G ve aynı sınıra sahipseler, G bölgesine

Caratheodory bölgesi denir [13, s.17].

∞

G

Her Jordan bölgesi bir Caratheodory bölgesidir, fakat bazı basit bölgeler bile Caratheodory bölgesi olamayabilir. Örneğin yarıçapı çıkarılmış bir disk

Caratheodory bölgesi değildir. Caratheodory bölgeleri polinom yaklaşımı özelliğine sahiptirler [13, s.17]: f, G de analitik ve ( )

( )

<∞ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

_∫∫

1/p G z p G p L : f z dσ f , p≥1

ise ∀ε>0 için f −P _Lp_{( )G} <ε olacak biçimde bir P cebirsel polinomu vardır.

2.1.14 Tanım. G, sonlu uzunluklu L eğrisiyle sınırlı bir bölge olsun. Eğer

L eğrisi ∀ζ ∈L noktasının bir komşuluğunda tanımlı yerel koordinat sisteminde

( ) ( )

x −ϕ x' ≤cx−x', x,x'∈I

ϕ

koşulunu sağlayan y =ϕ

( )

x fonksiyonu yardımıyla ifade edilebilirse G bölgesine

Lipschitz bölgesi denir. Burada I yerel koordinat sisteminde x değişkeninin ait

olduğu bir aralıktır [12].

2.1.15 Tanım. Eğer bir G bölgesinin θ

( )

t teğet yön açısı sınırlı varyasyonlu ise,

diğer bir deyişle,

( )

=

∑

( ) ( )

− <∞

∫

₌ − n t t t t d 1 1 2 0 sup ν ν ν ν π θ θ θ

koşulu bütün 0=t₀ <t₁ <...<t_n =2π bölüntüleri için sağlanıyorsa G’ye sınırlı

2.1.16 Tanım. θ

( )

t teğet yön açısı sınırlı varyasyonlu olup bütün sıçramaların modülleri π den daha küçük olan bölgelere Radon bölgeleri denir [12].

Eğer θ

( )

t teğet yön açısı sınırlı varyasyonlu ve bazı sıçramaların modülleri

π ye eşitse G bölgesi sınırlı rotasyonlu bölgedir.

Her konveks bölge Radon bölgesidir. Sivri açısı olmayan parçalı düzgün bölgeler Radon bölgeleri sınıfındandır ve bütün Radon bölgeleri Lipschitz bölgeleridir. Her Lipschitz bölgesi de Carleson bölgeleri sınıfındandır.

2.1.17 Tanım. ),_g∈Lp _=Lp(0,2π _{1≤ p<∞,için}

( )

2π

(

) ( )

1/p 0 p δ h 0 p g,δ : g x t g x dx ω ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + =

_∫

≤ < sup

fonksiyonuna g’nin p. dereceden integral süreklilik modülü denir [9, s.44].

2.1.18 Tanım. Eğer _g∈Lpiçin

pg, t  Ot, 0   ≤ 1,

koşulu sağlanırsa g fonksiyonu p sınıfındandır denir [10, s.71].

α

Λ

2.2 Analitik Fonksiyon Uzayları

2.2.1 Tanım. G sonlu uzunluklu bir L Jordan eğrisiyle sınırlı bölge ve 1≤ p<∞ olsun. L’de Lebesgue ölçülebilir ve f p nin yay uzunluğuna göre Lebesgue integrallenebilir olduğu kompleks değerli f fonksiyonların kümesine Lebesgue uzayı denir veLp

( )

L ile gösterilir [9, s.18].

2.2.2 Tanım. G sonlu uzunluklu L Jordan eğrisiyle sınırlı bir bölge ve f, G bölgesinde analitik bir fonksiyon olsun.

Eğer

( )

z dz M f p n L ≤

∫

, 1≤ p<∞

olacak şekilde G içinde G’nin kompakt altkümelerini sınırlayan ve L eğrisine yaklaşan

{ }

sonlu uzunluklu Jordan eğrileri dizisi varsa f fonksiyonu Smirnov

uzayındandır denir. Smirnov uzayı

∞ =1 n n L

( )

G Ep _{ile gösterilir [10 s, 169].}

( )

G E f _∈ p

∀ fonksiyonu L üzerinde hemen her yerde açısal limite sahiptir ve eğer f nin açısal limiti için aynı notasyonu kullanırsak f _∈Lp

( )

L _dir.

2.2.3 Uyarı. Lp

( )

L ve _Ep

( )

_{G uzayları p≥1olduğunda}

( ) ( )

( )

p 1 L p L p L G p E f : f z dz f _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =

_∫

normuna göre Banach uzayıdırlar.

( )

G

Lp _{’deki bir fonksiyonun G’nin bir noktasındaki değerini üstten}

( )G p L f normu ile değerlendiren aşağıdaki Lemmayı ileride, ana sonuçlarımızın ispatlarında sıkça kullanacağız. 2.2.4 Lemma. Eğer f L

( ) (

G p 1

)

, z0 G p _{≥ ∈} ∈ ve d : z₀ z G z z0 =min_∈∂ − ise ( )

(

2

)

1p z G p L 0 0 d π f | ) f(z | ≤ (2.1) eşitsizliği sağlanır.

İspat. olduğundan f fonksiyonu G bölgesinde analitiktir. Böylece f

diskinin içinde ve sınırında da analitiktir. Ortalama değer teoremi gereğince

( )

G L f _∈ p

(

z ,r

)

G D ₀ ⊂

( )

f

(

z re

)

dt 2π 1 z f 2π 0 it 0 0 =

∫

+

eşitliği yazılabilir. Yukarıdaki eşitliğin her iki yanını rdr ile çarpıp 0 dan ’ a integrallersek 0 z d

( )

( )

(

∫∫

)

∫

= σ 0 0 0 z d , z D z dz 0 0 f z d 2π 1 rdr z f

( )

( )

(

∫∫

) σ = 0 0 0 z d , z D z z 0 f z d 2π 1 d z f 2 2 veya

( )

( )

(

∫∫

) σ = 0 0 0 Dz ,dz z z 0 f z d πd 1 z f ₂ ve buradan da

( )

( )

( )

(

)

q z z d , z D z p z 0 0 0 0 0 d π d z f πd 1 z f / p / 1 2 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ ≤

∫∫

( )

(

)

(

₂( )

)

1/p z G p L q 1 1 2 z G p L 0 0 πd f πd f = ≤ − elde edilir.

Eğer f analitik fonksiyonu G ye sürekli genişlemeye sahipse aşağıdaki normu tanımlıyoruz.

( )

{

f z : z G

}

:

f _G = sup ∈ .

2.2.5 Tanım. L, sonlu uzunluklu bir eğri olsun. Eğer ω: L→ ,

[

0 ∞

]

ölçülebilir

fonksiyonu için _ω−1

(

{ }

_0,∞

)

kümesi sıfır ölçüme sahipse ω _{fonksiyonuna ağırlık denir}

[28, s.27].

2.2.6 Tanım. ,ω L de bir ağırlık fonksiyonu olsun.

(

L,ω

)

:

{

f L

( )

L : f ω L

( )

L

}

Lp _{= ∈} 1 p _∈ 1

biçiminde tanımlanan uzaya ω ağırlıklı Labesgue uzayı denir [12].

2.2.7 Tanım. ,ω L de bir ağırlık fonksiyonu olsun.

(

G,ω

)

:

{

f E

( )

G : fω L

(

L,ω

)

}

biçiminde tanımlanan uzaya G’de analitik fonksiyonların p. mertebeden ω ağırlıklı Smirnov uzayı denir [12].

2.2.8 Tanım. ω fonksiyonu L eğrisi üzerinde bir ağırlık fonksiyonu olsun. Eğer

( )

( )

( )

[

]

( ) ( ) ∞ < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∩ − − ∩ > ∈

∫

∫

1 p r z, D L 1 p 1/ r z, D L 0 r L z dζ ζ ω r 1 dζ ζ ω r 1 sup sup

oluyorsa ω fonksiyonu Muckennhoupt-Ap koşulu’nu sağlıyor denir [28, s.28].

L üzerinde Muckenhoupt-Ap koşulunu sağlayan bütün ağırlık fonksiyonlarının

kümesi Ap(L) ile gösterilir [28, s.28].

2.2.9 Tanım. G⊂C sınırlı bir bölge, ω A∈ p(L), f ∈Ep

(

G,ω

)

ve 1≤ p<∞ olsun. Pn derecesi n’yi aşmayan polinomlar sınıfı olduğunda f fonksiyonuna

uzayında polinomlarla en iyi yaklaşım sayısı

(

G,ω Ep

)

( )

n _Lp_(L,ω n P n p p n f,ω : f p E = − ∈ inf o ) ,

( )

G L

f _∈ p _{için L}p

( )

_{G uzaylarındaki en iyi yaklaşım sayısı ise}

( )

n _Lp_{( )G} n P n p p n f : f p ε = − ∈ inf olarak tanımlanır [12].

2.2.10 Teorem. G bir Radon bölgesi veya düzgün sınırlı bölge,1< p<∞, ω ∈ Ap(L) ve f ∈E1

( )

G olsun. Bu durumda ∀n=1,2,...için

( )

1/p _n

(

)

_p p

n f cn E f,ω

ε _≤ − o _(2.2)

olur [11].

D. M. İsrafilov tarafından [ 20 ] ispatlanan aşağıdaki lemmayı ana sonuçlarımızın ispatlarında, normların değerlendirilmesi için kullanacağız.

2.2.11 Lemma. G kvazikonform eğriyle sınırlı sonlu bir bölge, derecesi n’yi aşmayan ve noktasında

( )

z p_n G

z₀∈ p_n

( )

z₀ =0 koşulunu sağlayan bir polinom olduğunda

( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < > = ≤ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ 2 p 1 , p cn 2 p , p c 2 p , p n c p G p L ' n 2 K 1 2 2K 1 p 2 G p L ' n G p L ' n G n log eşitsizliği sağlanır [20]. 2.3 Konform Dönüşümler

2.3.1 Tanım. G, C de bir bölge olmak üzere G→C sürekli dönüşümü verilsin. Eğer bir G noktasından geçen ve aralarında

:

f

∈

0

z α açısı oluşturan

herhangi iki düzgün γ₁ veγ₂ eğrilerinin f

( )

γ₁ ve f

( )

γ₂ resim eğrileri de da aralarında yön ve büyüklük bakımından

( )

0 0 f z

w = α açısı oluşturuyorlarsa f

fonksiyonuna da bir konform dönüşümdür denir. Eğer f her G noktasında konform ise G de konformdur denir [33, s.120].

0

z z₀ ∈

2.3.2 Teorem. (Riemann Konform Dönüşüm Teoremi): C sınırı en az iki noktadan oluşan basit bağlantılı bir bölge ve

⊂ G ∈

0

z G olsun. Bu durumda G bölgesini D diskine,

( )

z₀ =0

f ve f'

( )

z₀ >0

koşulları altında resmeden bir tek f konform dönüşümü vardır [32, s.8].

G, kompleks düzlemde sonlu uzunluklu Jordan eğrisiyle sınırlı, basit bağlantılı bir bölge ve olsun. Riemann konform dönüşüm teoremine göre G’yi G z₀∈

( )

0,r D Dr = diskine dönüştüren ve

( )

₀ 0, ₀'

( )

₀ 1 0 z = ϕ z = ϕ

koşullarını sağlayan bir tek w=ϕ₀

( )

z konform dönüşümü vardır.

( )

0,1, T : D, D : C/D D : D , G C/ : G− = = =∂ − =

ye − − _D G nin

( )

, lim

( )

>0 ∞ → ∞ = ∞ z z z ϕ ϕ

koşullarını sağlayan konform dönüşümünü ϕ ile gösterelim ve ψ =ϕ−1 olsun.

Şimdi tezde ana sonuçların ispatlarında sıkça başvurduğumuz, konform dönüşümün türevi ile ilgili bazı değerlendirmeler vereceğiz:

Eğer G bölgesi sonlu uzunluklu bir eğriyle sınırlı bölge ise dir [18, s.].

( )

G E1 ' 0∈ ϕ

G bölgesi düzgün sınırlı bir bölge olduğunda aşağıdaki değerlendirmeler Warschawski tarafından [44] de ispatlanmıştır:

( )

∈

( )

∞ ∈ ϕ ϕ L L , p 1, ψ 1 , 1 , ψ , p ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 . 2.4 Kvazikonform Dönüşümler

2.4.1 Tanım. G⊂C bir bölge, h :G→C bir homeomorfizm ve K ≥1 olsun. Eğer

i-) h, G bölgesinde doğrular üzerinde mutlak sürekli ve ii-) 1 1 + − = K K

k olmak üzere G’de hemen her yerde h_z ≤khz ise h dönüşümüne G üzerinde bir K-kvazikonform dönüşüm denir [3, s.24]. Konform dönüşümler 1-kvazikonformdur.

Daha önce kvazikonform eğrilerin geometrik tanımını vermiştik. Şimdi bu eğrilerin tanımını kvazikonform dönüşümün tanımı yardımıyla verelim.

2.4.2 Tanım. C’nin kendi üzerine K-kvazikonform bir dönüşümü altında bir çemberin görüntüsüne K-kvazikonform eğri denir [31, s.97].

3. GEOMETRİK FONKSİYONLAR TEORİSİNİN BAZI EKSTREMAL PROBLEMLERİ

3. 1 Ekstremal Problem

Basit bağlantılı bir G bölgesinde analitik olan ve

( )

z₀ =0, f'

( )

z₀ =1 f

koşullarını sağlayan fonksiyonlar sınıfında f' _Lpp_{( )G} integralini minimize eden fonksiyonu bulunuz.

[37 s.433] de ispatlanmıştır ki yukarıdaki problemin çözümü

( )

z

[

₀

( )

]

2 pd z G p 0 z 0 z p :=

∫

, ∈ , > / ' _{ζ ζ} ϕ ϕ (3.1) fonksiyonudur.

Özel halde p=2 durumunda ϕ z2

( )

=ϕ0

( )

z olur.

Basit bağlantılı bir G bölgesini birim diske dönüştüren ve

( )

= ϕ

( )

>0

ϕ₀ z₀ 0, ~₀' z₀ ~

koşullarını sağlayan konform dönüşümle Bergman çekirdek fonksiyonu arasındaki bağıntılar aşağıdaki eşitlikler ile verilir.

( )

₍

₎

K

(

,z

)

dν z , z K π z ₀ z 0 z ν 0 0 0 ν ϕ

_∫

= = ~ _ve

₍

₎

_'

_{( )}

_{z '}

_{( )}

_{z , z G.} π 1 z z, K ₀ = ϕ~₀ ϕ~_{0 0} ∈

Bergman çekirdek fonksiyonunun, G’nin birim diske normalleştirilmemiş F konform dönüşümü cinsinden ifadesi ise

(

)

( ) ( )

( ) ( )

[

]

z z G z F z F 1 z F z F 1 z z K _{2 0} 0 0 0 ∈ − = ' ' , , π biçimindedir.

G’nin özel halde birim disk olması halinde F

( )

z = z seçerek D’nin çekirdek fonksiyonu için

(

)

(

)

2 0 0 z z 1 π 1 z z, K − = ifadesini elde ederiz.

Eğer ϕ₀

( )

z , G’nin D

( )

0,r diskine

( )

z 0,

( )

z0 1

' 0

0 = ϕ =

ϕ0

koşullarını sağlayan konform dönüşümü ise

( )

_{( )}

( )

₍

₎

zK

(

ν,z

)

dν, z G z , z K 1 z ' z z 0 z ν 0 0 0 0 0 0 0 = = ∫ ∈ = ϕ ϕ ϕ _~~ (3.2) olur. 3. 2 Ekstremal Polinomlar n

∏ derecesi n’yi aşmayan ve

( )

z 0, p '

( )

z 1

p_{n o} = _{n 0} =

koşullarını sağlayan polinomların bir sınıfı olsun.

( )

(

< <∞

)

− ϕ' p ' p , 1 p G p L n p

integrali bu sınıfta bir tek polinomu ile minimize edilir. Bu polinoma

(

)

çifti için n. dereceden genelleştirilmiş Bieberbach polinomu denir. p=2 durumunda elde edilen polinomları Bieberbach polinomları olarak bilinirler. polinomlarının açık ifadesi (3.2) eşitliğinde

p n, π G, z₀ n π π_n

(

z z₀

)

K , yerine onun n-1. kısmi toplamını yazmak suretiyle aşağıdaki şekilde elde edilir.

( )

=

₍

₎

_∫

(

)

= − − z 0 z ν n 1 0 0 0 1 n n K ν,z dν z , z K 1 : z π , (3.3)

burada K_n−1

(

z,z₀

)

, Pj

( )

z ortogonal polinomları yardımıyla K

(

z z

)

n 1P

( ) ( )

z P_j z 0 j 0 j 0 1 n

∑

− = − , = (3.4)

biçiminde ifade edilir.

Birim diskin ortogonal polinomları

( )

z = j+1z , j=0,1,2,...

P j

j _π

biçimindedir. Bu ortogonal polinomlar (3.4) de yerine yazılırsa

(

z z

)

P

( ) ( )

z P z K n 1 _j 0 j 0 j 0 1 n

∑

− = − , = 1 n 1 n 0 0 j j 0 1 n 0 j z z π n ... z z π 2 π 1 z z π 1 j − − − = + + + = + =

∑

olduğu görülür. Burada z₀ = alırsak 0

( )

π 1 0 z,

K_n−₁ = elde edilir. Bunu (3.3) eşitliğinde yerine yazarsak

( )

( )

dν z π 1 π dν 0 ν, K π : z π z 0 z ν z 0 z ν 1 n n 0 0 = = =

∫

∫

= = = = −

bulunur. Böylece birim diskin Bieberbach polinomları π_n

( )

z = z olur.

Tezde incelenen temel problem bir G bölgesi verildiğinde bölge sınırının geometrik özelliklerine göre

( )

z π

( )

z : π _{p n,p} G z G p n, p − = ϕ − ϕ ∈ max

yaklaşım hatasının değerlendirilmesidir. Yapılan araştırmalar göstermiştir ki, bölge sınırının düzgünlük derecesi ile orantılı olarak bu hata uygun bir hızla sıfıra yaklaşır.

Farrell ve Markushevich’in sonuçlarından görüldüğü gibi eğer G bölgesi bir Caratheodory bölgesi ise

( ) →

(

→∞

)

− ϕ' π' 0, n G p L n p ,

ve böylece G’nin kompakt altkümelerinde düzgün olarak

( )

z ⇒ p

( ) (

z n→∞

)

p

n ϕ

π ,

olur.

Gerçekten, Caratheodory bölgeleri polinom yaklaşımı özelliğine sahip olduğundan en az bir p_n polinomu vardır ki

( ) →

(

→∞

)

− ϕ' p' 0 n G p L n p

olur. Genelleştirilmiş Bieberbach polinomlarının ekstremal özelliği gereği

( ) →

(

→∞

)

− ϕ' π 0 n G p L ' p n, p olduğundan ve (2.1) eşitsizliğine göre

( )

−

( )

≤ ϕ' z π' z p n, p

( )

( )

πd ,

(

z G

)

' π ' p 1 2 z G p L p n, p 0 ∈ ∀ − ϕ yazılabildiğinden

( )

z

( )

z ' π ' p p n, ⇒ϕ

olduğu görülür. Buradan Weierstrass teoremine göre kompakt altkümelerde

( )

z

( )

z πn,p ⇒ϕp düzgün yakınsaması elde edilir.

Bieberbach polinomlarının G kapalı bölgesinde düzgün yakınsaması ilk olarak M. V. Keldych [29] tarafından incelenmiştir. Keldych, G’nin sınırının sınırlı eğrilikli düzgün Jordan eğrisi olması durumunda c=c

( )

ε , n den bağımsız bir sabit olmak üzere∀ε>0 için aşağıdaki sonucu ispatlamıştır:

ε 1 G n 0 n c π ≤ ₋ − ϕ

Daha sonra S. N. Mergelyan [34], G bölgesinin sınırı düzgün Jordan eğrisi olduğunda ∀ε>0için n c π ε 2 1 n 0 _G −

≤

−

ϕ

olacak şekilde bir c=c

( )

ε >0 sabitinin olduğunu göstermiştir.

Mergelyan’ın aynı bölgeler için bir konjektürü de vardır ki bu yukarıdaki sonuçta −ε

2 1

yerine 1−ε yazılabileceğidir. Fakat bu şimdiye kadar ispatlanamamıştır.

D. M. İsrafilov, Mergelyan’ın elde ettiği sonucu yine düzgün bölgeler için aşağıdaki şekilde iyileştirmiştir:

2 n , n n l c π 2 1 G n 0 ⎟ ≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − ϕ n (3.5)

Burada c, n’den bağımsız bir sabittir.

İsrafilov, Mergelyan’ın konjektürünün doğruluğunu bölgenin sınırlı rotasyonlu düzgün bölge olması durumunda ispatlamıştır [23].

Daha sonra İsrafilov, Radon bölgelerinde Bieberbach polinomlarının yakınsaklık problemini incelemiş ve yukarıdaki iyileşmenin bu bölgelerde de geçerli olduğunu göstermiştir [24].

Bir sonraki bölümde bu sonuçların genelleşmiş Bieberbach polinomları için benzerleri ispatlanacaktır.

4. BIEBERBACH VE GENELLEŞMİŞ BIEBERBACH POLİNOMLARININ DINI-DÜZGÜN BÖLGELERDE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

Bu bölümde 1. bölümde tanımlanan Dini-düzgün bölgelerin B

altsınıflarında Bieberbach ve genelleşmiş Bieberbach polinomlarının ekstremal fonksiyonlara yaklaşım problemleri incelenir ve uygun yaklaşım hızı bulunur.

(

α,β

)

4. 1 Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde yaklaşım özellikleri

Dini-düzgün bölgelerin bilinen bir altsınıfını oluşturan Lyapunov bölgelerin de Bieberbach polinomlarının konform dönüşüme yaklaşımı ve yaklaşım hatasının değerlendirilmesi problemi ilk defa Wu [45] tarafından incelenmiştir.

G, Lyapunov bölgesi olduğunda Wu [45] n den bağımsız c= Lc( )>0için ln , 0 1 2 1 0 − ≤ < < + α π ϕ α n n c G n (4.1) eşitsizliğini ispatlamıştır. Farklı yöntemler kullanılarak Wu’nun elde etmiş olduğu yukarıdaki değerlendirme Suetin [41] ve İsrafilov [24] tarafından iyileştirilerek

π c n 0 α 1 α 2 1 n G n 0 − ≤ < < ϕ + , ln

değerlendirilmesi ispatlanmıştır. Burada c, n den bağımsız bir sabittir. Bu bölümde biz Lyapunov bölgeleri sınıfından daha geniş olan B bölgeler sınıfı için (4.1) in bir genellemesini vereceğiz. Özel halde G bölgesi Lyapunov bölgesi olduğunda bulduğumuz değerlendirme (4.1) ile çakışır.

(

α,β

)

Ana teorem ve ispatını vermeden önce burada gerekecek yardımcı sonuçları ve ispatlarını vereceğiz.

0 , ₂

1 c >

c sabitler olduğunda a>0, b>0 sayıları için c₁b≤a≤c₂b eşitsizliğini ile göstereceğiz.

b a≈

4.1.1 Yardımcı Sonuçlar

Aşağıdaki lemma, L∈B

(

α,β

)

olduğunda ψ fonksiyonunun süreklilik '₀ modülü ile ilgili bir değerlendirmeyi içermektedir.

4.1.1 Lemma. L∈B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

ise

(

ψ'₀,δ

)

:= ω

( )

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ ≤ − + ≤ 1 α , δ 4 ; 0,1 α , δ 4 cδ w ψ' we ψ' 1 β β α T 0 ih 0 δ h ln ln sup δ değerlendirmesi geçerlidir.

İspat. L Dini-düzgün eğri olduğundan [35, s.44, teorem 3.2] den

( )

( )

2 π t t θ e ψ' it 0 = − − arg (4.2) ve

( )

( )

dt 2 π t t θ w e w e 2π i w ψ' 2π 0 it it 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} − + =

∫

log (4.3) eşitlikleri yazılabilir.

( )

( )

it e t

g :=argψ'0 olsun. (4.2) den

(

g,δ

)

:= ω

(

) ( )

_{[ ]}

( ) ( )

δ δ δ ω δ θ ω α β π δ 4 ln , , sup g t h g t _0,2 t c₂ h ≤ + ≤ − + ≤ (4.4)

olur. Bunu dikkate alırsak

( )

( )

( )

dt t t g, ω δ dt t t g, ω : δ g, ω π δ 2 δ 0 * ₌

∫

₊

∫

modülü için

( )

δ ≤ ω* _g,

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ + 4_{, 1} ln ; 1 , 0 , 4 ln 1 _α δ δ α δ δ β β α c c (4.5)

değerlendirilmesi elde edilir.

Gerçekten, eğer α∈

( )

0,1 ise yeterince küçük ε>0 ve δ dan bağımsız bir c3 sabiti için

(

δ

]

δ δα β β α _ln 4 _ln 4_{, 0,} 3 ∈ ≤ −∈ ∈ − _{c t} t t

olur. Diğer yandan ∀β ∈

[

0,∞

)

için

[

δ π

)

δ β β , , 4 ln 4 ln ≤ t∈ t .

eşitsizliği yazılabilir. Böylece (4.4) bağıntısından

( )

dt t t 4 l t δ c dt t t 4 t c δ g, ω π δ 2 β α 2 δ 0 1 β α 2 * _≤

∫

₊

∫

∈ − ∈ − _{ln n} δ δ δ δ δ δ π α β δ α β δ β α _ln 4 _ln 4 2 _ln 4 5 0 1 4 t dt c t dt c c + ≤ ≤ −∈

_∫

∈−

_∫

−

bulunur. Eğer α =1 ise benzer yöntemle

( )

6 * , c g δ ≤ ω dt t t 4 δ c dt t t 4 t π δ β 7 δ 0 β

∫

∫

_∈ + ∈_{ln ln} t 4 dl t 4 δ c dt t δ 4 l δ c π δ β 7 δ 0 ε β ε 8 n

∫

−

∫

ln n ≤ − δ 4 cδ δ 4 δ c δ 4 δ c β 1 β 1 10 β 9 + + _≤ + ≤ ln ln ln olduğu görülür.

L eğrisi Dini-düzgün olduğundan, 2 periyotlu π

( )

( )

( )

2 π t t θ e arg : t g it 0 = − − ψ = '

fonksiyonu reel eksende Dini süreklidir. Bu durumda (4.2), (4.3) ve [35, s:47] deki Önerme 3.4 den, logψ'₀

( )

w fonksiyonunun D de sürekli genişlemeye sahip olduğu ve w₁−w₂ ≤δ <1 özelliğindeki w1,w2 ∈D noktaları için,

( )

ψ

( )

ω

( )

δ ψ' log ' * , log ₀ w₁ − ₀ w₂ ≤c g olduğu görülür. Bu son eşitsizlikden

( )

1 0

( )

2 11 0 w ψ' w c ψ' − ≤ ω

(

g, δ

)

, w1 w2 δ 1 * _{− ≤ <} (4.6) eşitsizliği ve sonunda (4.5) ile (4.6) birleştirilerek

(

ψ δ

)

≤ ω '₀,

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ + 4_{, 1} ln ; 1 , 0 , 4 ln 1 _α δ δ α δ δ β β α c c

değerlendirmesi elde edilir.

G, düzgün sınırlı bir bölge ve Φ_p

( )

w :=

( )

ϕ'₀ 2/p

(

ψ

( )

w

)

olsun. fonksiyonu dendir. Gerçekten;

( )

w p Φ

( )

T Lp

( )

p _{( )} T p L p w Φ =

( )

( )

weih dw p p T ' _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{ϕ ψ}

∫

0 2 o

( )

' ψ

( )

w dw '

( )

z 2 '

( )

z dz L 0 p p 2 0 T ϕ ϕ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ =

_∫

_o

_∫

Sonuncu ifadeye 1 q1

p1₀ + ₀ = için Hölder eşitsizliğini uygularsak

( )

p _{( )} T p L p w Φ 0 1/q 0 q L 0 1/p 0 2p 0 L | dz | | (z) | | dz | | (z) | c _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ≤

∫

′

∫

olur. _∈Lp

( )

L olduğundan yukarıdaki çarpım sonludur ve ' , ' 0 ϕ ϕ

( )

p _{( )} <∞ T p L p w Φ bulunur. ∈ L B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

olsun.

(

)

( )

( )

T p ih p δ h p,δ Φ we Φ w Φ ω = − ≤ sup fonksiyonuna

( )

2/p _∈Ep

( )

G 0 '

ϕ nin genelleşmiş süreklilik modülü diyeceğiz.

p=2 durumunda Φ

( )

w :=

(

ϕ'_0oψ

) ( )

w fonksiyonunun genelleştirilmiş süreklilik modülü ω

(

Φ,δ

)

elde edilir.

4.1.2 Lemma. L∈ B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

ise

(

δ

)

ωΦ,

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ ≤ + 4_{, 1} ln ; 1 , 0 , 4 ln 1 _α δ δ α δ δ β β α c c değerlendirilmesi geçerlidir.

İspat. L Dini-düzgün eğri olduğundan ψ'₀ ve ϕ'₀ fonksiyonları sırasıyla D

ve Gde, 'ψ ve 'ϕ fonksiyonları ise sırasıyla D− ve _{G de süreklidir. Ayrıca} −

1 =

w üzerinde ψ'₀ ≈ψ' ≈1 bağıntıları, L üzerinde de ϕ'₀ ≈ ϕ' ≈1 bağıntıları sağlanır. Böylece

( )

[

ψ we

]

[

ψ

( )

w

]

ψ

( )

we ψ

( )

w we w eih 1 h T ih T ih T 0 ih 0 −ϕ ≈ − ≈ − = − ≈ ϕ ve 4.1.1 lemma uygulandığında

(

Φ δ

)

= ω , :

( )

( )

δ h T ih δ h w Φ we Φ ≤ ≤ − =sup sup

[

( )

]

[

( )

]

T ih _w we ϕ ψ ψ ϕ'₀ − '₀ = δ ≤ h sup

_[

_[

_{( )}

_]

_]

( )

[

]

[

]

_T ' ' ϕ ψ weih −ψ ϕ ψ w ψ_{0 0 0 0} 1 1

( )

[

]

[

]

[

[

( )

]

]

T 0 0 ih 0 0 δ h w ψ ψ' we ψ ψ' c ϕ − ϕ ≤ ≤ sup

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ ≤ + 4_{, 1} ln ; 1 , 0 , 4 ln 1 _α δ δ α δ δ β β α c c bulunur.

( )

G

Ep _{de polinomlarla yaklaşımı ifade eden ve Alper [4] tarafından} ispatlanan aşağıdaki teoremi ana teoremin ispatında kullanacağız.

4.1.3 Teorem. f ∈Ep

( )

G_{, 1}< p<∞ _{ve L bir Dini-düzgün eğri olsun. Her n}

doğal sayısı için

( )

_{( )}

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − n 1 , ψ f cω n 1 f, ω c f z, P f _L p L n ~ o

olacak şekilde derecesi ≤nolan P_n

( )

z, f polinomu vardır. Burada c, n’den bağımsız bir sabittir.

4.1.2 Ana Sonuçlar

4.1.4 Teorem. L∈ B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

ise n’den bağımsız bir

c>0 sabiti için ≤ − ϕ₀ π_{n G}

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ + + + 1 α , n n cln ; 1 0, α , n n cln 3/2 3/2 β 1/2 α 1/2 β değerlendirmesi geçerlidir.

İspat. q_n

( )

z , ϕ'₀ fonksiyonuna ⋅ _L2_{( )G} normunda en iyi yaklaşan ve derecesi olan bir polinom, yani,

n ≤ ( ) n L ( )G n P G L n P q 2 0 2 0 inf ' ' − = ϕ − ϕ

olsun. Burada inf derecesi ≤n olan tüm Pn polinomları üzerinden alınır.

( )

( )

( )

( )

[

( )

0

]

(

0

)

0 1 : , : q t dt t z Q z q z z z z Q _{n n n} z z n n =

∫

= + − −

olsun. Burada t_n

( )

z₀ =0, ve t'_n

( )

z₀ =1 olduğu kolaylıkla görülür. (2.2) bağıntısında özel halde p

1 ' : ω = ϕ − ve ' alınırsa p=2 için 0 ϕ = f

( )

2 0 0 2 1 2 0 _' 1 , ' ' _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − ϕ ϕ ϕ ε_n cn E_n ve buradan ( )

( )

_{( )} G 2 L 0 n n 0 G 2 L n 0 t' ' q 1 q z ' − = ϕ − − + ϕ

( )

0 2 n

( )

0 _L2_{( )G} n ' 1 q z ε ϕ + − ≤

( )

0 n

( )

0 _L2_{( )G} 0 2 0 0 n 2 1 z q z ' ' 1 , ' E cn _⎟⎟ + ϕ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ ≤ −

bulunur. Şimdi (2.1) bağıntısı p=2 için kullanılırsa

( )

( )

0 z 2 0 n 2 0 0 n 2 1 G 2 L n 0 d ' ' 1 , ' E cn t' ' _⎟⎟ + ε ϕ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ ≤ − ϕ − 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ ≤ − ' 1 , ' E n c 0 ₀ n 2 1 14

ve buradan da π_n’in ekstremal özelliğine göre ( ) 2 0 0 n 2 1 ' 1 , ' E n c π' ' _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ ϕ ≤ − ϕ − elde edilir.

2. 2.11 Lemma p=2 durumunda uygulanır ve Simonenko ve ’nin yöntemi kullanılırsa, sonuncu eşitsizlikten

14 G 2 L n 0 Andrievskii 2 0 0 2 1 15 0 _' 1 , ' ln ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − ϕ ϕ π ϕ _{n G} E_n n n c eşitsizliğine ulaşılır.

L Dini-düzgün olduğundan z∈L için ϕ'

( )

z ≈1 bağıntısı geçerlidir ve böylece (L,1/ ') 2 L n 0 n P 2 1 n⎞ 15 G n 0 ' P n c π ⎟ ϕ − _ϕ ⎠ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − ϕ ln inf ( )L 2 L n 0 n P 2 1 16 ' P n n c ⎟ ϕ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ln inf

bulunur. Şimdi 4.1.2 lemma ve 4.1.3 teorem uygulandığında

( )

⎪ ⎪ ⎩ ≤ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛Φ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ≤ − n n n c G n 1 , ln 2 15 0 π ω ϕ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎪ ⎨ nα_β+₊1/2_3/2 ⎪ ⎧ = ∈ + 1 α , n n cln ; 1 0, α , n cln 3/2 1/2

eşitsizliği ispatlanmış olur.

β

B

( )

α,0

∈

4.1.5 Sonuç. Eğer L ise

, n n c π α 2 1 G n + 0 − ≤ ϕ ln α∈

( )

0 ,1 olur.

Daha önce P. K. Suetin [42] ve D. M. İsrafilov [24] tarafından elde edilen bu Wu’nun (4.1) deki sonucundan daha iyidir.

4.2 Genelleştirilmiş Bieberbach polinomlarının Dini-düzgün bölgelerde yaklaşım özellikleri

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

Bu bölümde L∈ B olduğunda 4.1.4 Teoremde

lde edilen değerlendirme

e π_n polinomunun genelleşmesi olan π polinomu ile n,p

0 ∈ / m d genelleştirilir. .2.1 Yardımcı Sonuçlar

ğıdaki genelleşmesini verelim.

( )

z

[

₀

( )

]

d z G p 0 z z p :=

∫

, , > ' _{ζ ζ} ϕ

ϕ 2 p , fonksiyonuna yaklaşı urumuna

4

Önce 4.1.1 Lemmasının aşa

4.2.1 Lemma. L∈ B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

ise

( )

(

ψ

'₀ 2/p,

δ

)

:=

( )

ω

( )

_{( ) ( )}

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = δ δ ∈ ≤ − + β ≤ 1 α , 4 l c ; 0,1 α , δ 4 w ψ' w 1 β α T 2/p 0 2/p δ h n ln p olur. İspat. (4.4) bağıntısına göre cδ e ψ' ih 0 su

(

g,δ

)

ω δ 4 ln δ c α β 2 ≤ (4.7) dır. Diğer yandan

( )

( )

( )

dt t t g, ω δ dt t t g, ω : δ g, ω π 2 δ 0 *

∫

∫

δ + = için

( )

≤ ∗ _g,δ ω

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ + _{, α 1} δ 4 cδ ; 0,1 α , δ 4 cδ 1 β β α ln ln (4.8)

olduğu (4.5) den bilinmektedir.

( )

w

0

'

logψ fonksiyonunun D de sürekli ge lduğunu ve buna göre de

nişlemeye sahip o 1

δ w

w₁ − ₂ ≤ < özelliğindeki w1,w2∈D ler için,

( )

ψ

( )

ω

( )

δ ψ'

log ₀ w₁ −log '₀ w₂ ≤c * g, bağıntısının yazıla

andan

bildiğini daha önce belirtmiştik. Diğer y ζ₁ ≤M, ζ₂ ≤M için, sağlanır, burada

( )

2 1 1 n 1 2 2 ζ 1 ζ _{e ζ ζ} nM _{c M ζ ζ} e − ≤ −

∑

∞ ≤

( )

w , k 1,2 ψ' p 2 ζ_k = log _{0 k} = 1 n n! − = − dir. Son iki eşitsizlikten

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 2 11 2/p 0 w ψ' _{− ψ'} 2/p _{w ≤c}

( )

1 δ w w , δ g, ω 1 2 * _{− ≤ < (4.9)} lduğu görülür. (4.8) ile (4.9) birleştirilerek

o

( )

(

)

≤ ∗ _{ψ δ} ω '₀ 2/ p,

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ + 4_{, 1} ln ; 1 , 0 , 4 δ β ln 1 _α δ δ α δ β α c c

değerlendirmesi elde edilir.

4.2.2 Lemma. L∈ B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

ise

(

Φ ,δ

)

ω _p

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ ≤ + 4_{, 1} ln ; 1 , 0 , 4 ln 1 _α δ δ α δ δ β β α c c bağıntısı geçerlidir.

İspat. 4.1.2 Lemma’sının ispatında gösterildiği gibi

( )

[

we

]

[

( )

w

]

( )

we

( )

w we w eih h T ih T ih T ih _{− ≈ − ≈ − = −1≈} 0 0ψ ϕ ψ ψ ψ ϕ dır ve 4.1.2 Lemma’dan

( )

[

( )

]

( )

[

( )

]

T p ih p w we ϕ ψ ψ ϕ 2/ 0 / 2 0 ' ' −

( )

( )

δ h T p ih p δ h w Φ we

(

Φ ,δ

)

:= ω p supΦ ≤ ≤ − =sup

= δ ≤ h

( )

[

[

( )

]

]

( )

[

[

( )

]

]

T p ih p_{ϕ ψ we ψ ϕ ψ w} ψ 2/ ₀ 0 0 / 2 0 ' 1 ' 1 − sup

( )

[

[

( )

]

]

( )

[

[

( )

]

]

T 0 2/p 0 ih 0 2/p 0 δ h w ψ ψ' we ψ ψ' c ϕ − ϕ ≤ ≤ sup

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∈ ≤ + 4_{, 1} ln ; 1 , 0 , 4 ln 1 _α δ δ α δ δ β β α c c elde edilir.

4.1.3 Teorem f fonksiyonu özel halde ϕ olarak seçildiğinde buna Faber 'p serisinin n. kısmi toplamları yardımıyla yaklaşım teorem şağıdaki şekilde olup ana teoremin ispatında kullanılacaktır.

bir

=

k

i a

4.2.3 Teorem. G, Dini düzgün sınırlı bölge, p>1 ve

(

' ,z

)

:=

∑

a

( )

' F

( )

z , n=0,1,2,...

S_n ϕ _p n _k ϕ _{p k}

0

nün Faber serisinin n. kısmi toplamı olsun. Bu durumda c>0 sabiti için p ' ϕ

(

)

_{( )} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎛Φ ≤ −S ' ,. c ,1 ' ϕ ω ϕ ⎝ p n L p L p n p bağıntısı vardır. 4.2.2 Ana Sonuçlar .2.4 Teorem. L∈ B

(

α,β

)

, α∈

(

0,1

]

, β∈

[

0,∞

)

4 olsun. Bu durumda

aşağıdaki bağıntılar sağlanır.

1. p>2 olduğunda, bir c₁ >0sabiti için

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − . 1 , ϕ n G p p 2. p=2 olduğunda, bir c >0 ∈ ≤ _{−− +} − − , ln ; 1 , 0 , ln 1 / 1 1 / 1 1 α α π α _ββ n n n n n c _p p n sabiti için 2