Eğrilik çizgileri korunarak bükülebilen yüzeyler

FEN,EDEBİYAT FA K Ü üE S İ

EĞRİLİK ÇİZGİLERİ KORUNARAK

BÜKÜLEBİLEN YÜZEYLER

Doktora Tezi

( F ü s u n

U R A S )

Tezin Dekanlığa teslim tarihi : 13. 6 . 1J 8 3

Tezin savunulduğu ta rih : 711 1983

DOKTORAYI YÖNETEN ÖĞ.ÜYESİ

Prof. Mustafa ŞENATALAR

DİĞER JÜRİ ÜYELERİ

- V

Prof. Dr Abdülkadir ÖZDEGER

D oç.D rİ.H akkı ERDOĞAN

Yıldız Üniversitesi M aıbaası

İstanbul

Y I L D I Z Ü N İ V E R S İ T E S İ * F E N - E D E B İ Y A T FAKÜLT.ESİ E Ğ R İ L İ K Ç İ Z G İ L E R İ K O R U N A R A K B Ü K Ü L E B İ L E N Y Ü Z E Y L E R (Doktora Tezi) F ü s u n URAS İstanbul, 1983

Özet ... 1 S u m m a r y ... 111 1 Giriş ... 1

2,3

Problemin Tanıtılması ve Konu Hakkında Bilinenlerin

Özeti ... 4 4 P r o b l e m d e H a r e k e t N o k t a s ı n ı O l u ş t u r a n 2. D e r e c e D e n k l e m i n D i s k r i m i n a n t ı n i n O r i j i n a l Bir İfadesi ... 13 5 O r t a l a m a ya da G a u s s E ğ r i l i ğ i Sabit Y ü z e y l e r i K a p s a y a n Özel Ç ö z ü m ... 16 6 E ğ r i l i k Ç i z g i l e r i K o r u n a r a k B ü k ü l e b i l e n Y ü z e y l e r e P a r alel Y ü z e y l e r l e İlgili T e o r e m 1. ve T e o r e m 2 ... 20 7 Genel H a l d e E l d e E d i l e n D i f e r a n s i y e l D e n k l e m S i s t e m i n d e n

s .s = 0 K o ş u l u İle B u l u n a c a k Özel Ç ö z ü m İle İlgili

So n u ç l a r ve T e o r e m 3 ... 23 8 Y a l n ı z Bir E ğ r i l i k Ç i z giler A ilesi D ü z l e m s e l O l a n

Y ü z e y l e r i n , E ğ r i l i k Ç i z g i l e r i K o r u n a r a k B ü k ü l e b i l m e l e r i İçin G e r e k v e Y e t e r K o ş u l u İ ç e r e n T e o r e m 4 ... 27 9 E ğ r i l i k Ç i z g i l e r i K o r u n a r a k B ü k ü l e b i l e n ve Bir E ğ r i l i k Ç i z g i l e r A i l e s i D ü z l e m s e l O l a n Y ü z e y l e r i n İ n v a r i y a n t l a r ı 29 10 E ğ r i l i k Ç i z g i l e r i K o r u n a r a k B ü k ü l e b i l e n K anal Y ü z e y l e r i n İ n v a r i y a n t l a r ı , D e n k l e m l e r i v e T e o r e m 5 ... 32

11

Kanal Y ü z e y l e r İle O l a n İlgisini V e r e n T e o r e m 6 ... 38 12 E ğ r i l i k Ç i z g i l e r i K o r u n a r a k B ü k ü l e b i l e n ve A y n i Zamanda H e m Kanal Y ü z e y H e m de J o a c h i m s t h a l Y ü z e y i O l a n Y ü z e y l e r ... 42

13

lerin a r a ş t ı r ı l m a s ı p r o blemi ü z e r i n d e durul m u ş t u r . P r o b l e m ilk k e z O.Bonnet a f m d a n o r t a y a a t ı l m ı ş ve i n c e lenmiştir. Genel h a l d e ç özümü o l a n a k s ı z gö— en bu problem, O . B o n n e t ' n i n v e r d i ğ i sonuçlar ile, temel d i f e r a n s i y e l geo- ri k i t a p l a r ı n d a d a y e r a l m a k t a d ı r .

Bu ç a l ı ş m a m ı z d a önce, k o n u h a k k ı n d a b i l i n e n l e r i n bir ö z e t i veril Itır. Bu özet, d e ğ i ş i k bir y ö n t e m ile s u nulmuştur; ayrıca, ö z e l l i k l e dönel leyler özel h a l i n d e bazı e k s o n u ç l a r i ç e r m e k t e ve y e t e rince a y d ı n l a n m a m ı ş

11 noktalara a ç ı k l ı k g e t i rmektedir. B u n d a n sonra p r o b l e m ü z e r i n d e y a p t ı ğ ı - ! kendi i n c e l e m e l e r i m i z v e v a r d ı ğ ı m ı z y e n i s o n uçlar verilm e k t e d i r .

Ç a l ı ş m a iki b ö l ü m h a linde v e 13 n u m a r a y a ayrıl a r a k s u nulmuştur, işe ayrılan Nu. 1 d e n sonra, Nu. 2 v e 3 de p r o b l e m hakkı n d a b i l i n e n l e r stlenmiştir.

Nu. 4 de, p r o b l e m için h a r e k e t n o k t a s ı o l u ş t u r a n 2. d e r e c e c e b i r - d e n k lemin çok k a r m a ş ı k o l a n d i s k r i m i n a n t ı , bazı ç a l ı ş m a l a r d a da g e ç e n bir variyantın karesi o l a r a k ifade edilmi ş t i r . Ayrıca, b u amaçla t a n ı m l a n a n

D i n v a r i y a n t l a r ı n ı n söz k o n u s u d e n k l e m i n k a t s a y ı l a r ı ile b a ğ ı n t ı l a r ı v e r i l ­ etir.

Nu. 5 d e p r o b l e m i n bir özel ç ö z ü m ü söz k o n u s u edilmiştir. B u özel zümün, H O r t a l a m a v e K G a u s s eğriliği sabit y ü z e y l e r d e n Eçkb. y ü z e y l e r i erdiği v e K = l / p 2= s b t .>0 y ü z e y l e r i n e p a ralel y ü z e y l e r d e n o l u ş t u ğ u g ö s t e r i l - ş t i r . Nu. 6 da, Eçkb. y ü z e y l e r e p a ralel y ü z e y l e r l e ilgili s o n u ç l a n içeren orem 1. v e T e o r e m 2. ispatlanmıştır.

Nu. 7 de, p r o b l e m i n genel h a l d e i n d i rgendiği, e(u,v), g(u,v), s(u,v) nksiyonları a r a s ı n d a geçerli üç d i f e r a n s i y e l denkl e m i n , s*s(u) (ya da s=s(v)) klindeki özel ç ö z ü m ü araştı r ı l m ı ş t ı r . Böylece, gtnel ç ö z ü m d e n bu özel halde de edilen sonucun, Nu. 2 de, ayrı bir incel e m e ile b u l u n d u ğ u n d a n s ö z e t t i ğ i m ı z

6zel h a l e ait s o n u c u t ü m k a p s a m ı ile v e r m e d i ğ i g ö s t e rilmiştir. D o l a y ı s i y l Nu. 2 de sözü e d i l e n a y r ı i n c e l e m e n i n g e r ç e k t e n zorunlu o l d u ğ u g ö r ü l m ü ş o m a k t a d ı r . Bu Nu. d a a y r ı c a h e r iki e ğ r i l i k ç i z g i l e r ailesi de d ü z l e m s e l o y ü z e y l e r a r a s ı n d a Eçkb. y ü z e y l e r i n s a d e c e M o n g e y ü z e y l e r i n d e n i baret o l d u nu v e r e n T e o r e m 3. i s p a t l a n m a k t a d ı r .

Nu. 8 de, E çkb. b i r y ü z e y i n bir e ğ r i l i k çizgiler a i l e s i n i n düz sel o l m a s ı için g e r e k v e y e t e r k o ş u l u i ç e r e n T e o r e m 4. i s p a t l a n m a k t a d ı r . N da ise Eçkb. v e b i r e ğ r i l i k çizgiler a i l e s i d ü z l emsel o l a n y ü z e y l e r e a i t t b ü y ü k l ü k l e r birer d e ğ i ş k e n l i iki k e y f i f o n k s i y o n a bağlı o l a r a k elde edilin tir.

Nu. 10 da, Eçkb. k a n a l y ü z e y l e r i n b ü y ü k l ü k l e r i ve d e n k l e m l e r i de e d ilmiştir. A y r ı c a b u y ü z e y l e r i n z a r f o l d u ğ u bir p a r a m e t r e l i k ü r e aile n i n m e r k e z l e r e ğ r i s i n i n d ü z l e m s e l b i r eğri o l m a zorunda o l d u ğ u n u ifade ed T e o r e m 5. i s p a t l a n m ı ş t ı r .

Nu. 11, Eçkb. J o a c h i m s t h a l y ü z e y l e r i n i n i n c e l e n m e s i n e a y r ılmış b u n l a r a ait b ü y ü k l ü k l e r v e d e n k l e m l e r e l d e edilmiştir. Kanal y ü z e y l e r ve J o a c h i m s t h a l y ü z e y l e r i i ç i n elde e d i l e n s o n u ç l a r ı n k a r ş ı l a ş t ı r ı l m a s ı n d a n r e m 6. e l d e e d i l m i ş t i r . B u t e o reme g ö r e b i r k a n a l yüzey Eçk. a n c a k b i r J o a c h i m s t h a l y ü z e y i n e v e b i r J o a c h i m s t h a l y ü zeyi de Eçk. a n c a k b i r k a n a l ; zeye b ü k ü l e b i l i r . Nu. 12 de, Eçkb. v e h e m k a n a l y ü z e y h e m d e J o a chimsthal zeyi o l a n y ü z e y l e r i n , i z o t e r m i k y ü z e y l e r i n b i r alt sınıfını o l u ş t u r a n il y ü z e y l e r o l d u ğ u n a d e ğ i n i l m i ş v e b u y ü z e y l e r i n b ü y ü k l ü k l e r i v e r i l m i ş t i r .

Son o l a r a k Nu. 13 de, E çkb. o r t a l a m a ya da Gauss eğriliği sabi z e y l e r d e n bir e ğ r i l i k ç i z g i l e r a i l e s i d ü z l e m s e l o l a n l a r ı n b ü y ü k l ü k l e r i ve m i ştir; ayrıca, b i r e ğ r i l i k ç i z g i l e r a i l e s i d ü z l emsel o l a n W. (We'ngarten l e r i n d e n Eçkb. y ü z e y l e r i n , sadece, b i r e ğ r i l i k çizgiler ailesi d ü z l e m s e l

2

v e Eçkb. K = l / p =sbt. y ü z e y l e r i n p a r a l e l l e r i n d e n o l u ş t u ğ u n u ifade e d e n Teot * 7. i s p a t l anmıştır.

| l S U M M A R Y {

In this d i s s e r t a t i o n s , a study of d e t e r m i n i n g the surfaces w h o s e tines of c u r v a t u r e are p r e s e r v e d u n d e r b e n d i n g (vfcpub.) is givetı. This

jroblem was first posed and v o r k e d o n b y 0. BONNET. A l t o u g h the s o l u t i o n of the problem, in the general case, does not s e e m possible, the results of ). B O N N E T a p p e a r in b a s i c t e x t b o o k s of differ e n t i a l geometry,

In the c ourse of o u r study, first a s u mmary of k n o v n facts is given. This is d o n e f r o m a d i f e r e n t point of view, it inclü d e s some n e w results for the special c a s e of surfaces of r e v o l u t i o n and it clears out sosa* imbigious poifits. A f t e r the s u m m a r y w e State our results o n the problem.

This v o r k c o n s i s t s of tvo c h a p t e r s in vtıich^ there are t h i r t e e n >aragraphs. T h e first p a r a g r a p h is the introduction, the second and the third jaragraphs c o n t a i n the so far k n o w n m a t e r i a l .

In the fourth parag r a p h , the v e r y c o m p l i c a t e d d i s c r i m i n a n t of the |uadratic a l g e b r a i c equation, w h i c h is the s t a r t i n g point for s o l v i n g the »roblem, is e x p r e s s e d as the s quare of a n i n v a riant w h i c h a p pears in some >apers. Further, the r e l a t i o n s b e t w e e n the invariants D, D, w h i c h are d e f i n e d :or the a b o v e purpose, a n d the c o e f f i c i e n t s of the above m e n t i o n e d e q u a t i o n ire given.

The p a r a g r a p h 5. is a p a r t i c u l a r s o l u t i o n of the problem. This »articular s o l u t i o n c o n t a i n s the surfaces vfcpub. v i t h the p r o p e r t y that the nean c u r v ature H and the G a u s s i a n c u r v a t u r e K are constant. It also contains

2

:he surfaces p a r allel to the o n e s for v h i c h K = l / p =constant>0.

In the 6th. p a r a g r a p h , t h e o r e m 1. and t h e o r e m 2. are proved. T h e s e wo theorems give r e s u l t s a b o u t the s u r faces p a r allel to the surfaces vfcpub.

In p a r a g r a p h 7., v e search for the p a r t i c u l a r s o l u t i o n in the o rm s=s(u) (or s=s (v)) of three d i f f e r e n t i a l equations a m o n g the f u n c t i o n

e(u,v), g(u,v), s(u,v). Thus we h a v e shown that the result o b t a i n e d in this p a r t i c u l a r case of the general s o l u t i o n does not give us the r e s u l t v e h a v e o b t a i n e d in p a r a g r a p h 2. v i t h a d i f f e r e n t approach. T h e r e f o r e it i£ s e e n that this m e n t i o n e d a p p r o a c h is r e a l l y necessary. F u rther i n this p a r a g r a p h ve p r o v e t h eorem 3. v h i c h States that the surfaces, v h o s e b o t h f a m ilies of lines of c u r v ature are p l a n e r and v l c pub., are just M o n g e surfaces.

In the 8th. paragraph, v e prove t h e o r e m 4. v h i c h g i v e s a n e c e s s a r y and sufficient c o n d i t i o n for only one f a m i l y of lines of c u r v a t u r e of surface v l c p u b . to be planar.

In p a r a g r a p h 9., v e o b t a i n ali f u n d a m e n t a l m a g n i t u d e s of the surfa v l c p u b . vhose one family of lines of c u r v a t u r e is planar as d e p e n d e n t o n tvo a r b i t r a r y functions of one variable.

In the lOth. p a r a g r a p h v e o b t a i n the equations and the fundamental m a g n i t u d e s for canal surfaces vlcpub. Further ve prove t h e o r e m 5. v h i c h shovs that, the locus of centers of family of spheres enveloped b y these surfa c e s are p l a n e curves.

In p a r a g r a p h 11., v e study J o a c h i m s t h a l surfaces v l c pub. and v e o b t a i n the fundam e n t a l m a g n i t u d e s and e q u a tions for these surfaces. L ater,

t h e o r e m 6. is p roved by c o m p a r i n g the results for canal s u r faces and Joachims surfaces. A c c o r d i n g to this t h e o r e m a canal s u r f a c e vlcpub. c a n only b e bent into a J o a c h i m s t h a l surface and a J o a c h i m s t h a l s u rface vlcpub. c a n o n l y be b e n t into a canal surface.

In the 12th. paragraph, the surfaces v h i c h are b o t h canal surfaces and J o a c h i m s t h a l surfaces vlcpub. are shovn to be an i n t e r e s t i n g subclass of isothe r m i c surfaces, and ve o b t a i n the f u n d a m e n t a l m a g n i t u d e s for these s u r f a c e s .

F i n a l l y in p a r a g r a p h 13. we give the fundam e n t a l m a g n i t u d e s of surfaces v l c p u b . o f c o n s t a n t m e a n or G a u s s i a n c u r v a t u r e w i t h the p r o p e r t y that a family of lines o f c u r v a t u r e is planar. F u r t h e r w e prove t h e o r e m 7. w h i c h shovs that W. (Weingarten) surfaces v î cpub. and w h o s e one family of lines of c u r v ature are p lanar are just the surfa c e s parallel to the ones with the p r o p e r t y that a f a m i l y of lines of c u r v a t u r e is planar and for

2

RİŞ. 1

1. Bu çalışm a d a , e ğ r i l i k ç i z g i l e r i k o r u n a r a k b ü k ü l e b i l e n (Eçkb.) y ü ­ z lerin a r a ş t ı r ı l m a s ı p r o b l e m i ü z e r i n d e durulacaktır. O l d u k ç a eski ve çe tli d önemlerde ele a l ı n a n bu p r o b l e m ilk k e z O . B onnet t a r a f ı n d a n o rtaya ilmiştır [ l ] . B onnet bu ç a l ı ş m a s ı n d a , genel h a l d e ç özümü o l a n a k s ı z g ö r ünen

problemi m ü m k ü n o l d u ğ u o r a n d a a ç ı k l ı ğ a k a v u ş t urmuştur. Söz k o n u s u ç a l ı ş - da önce doğal o l a r a k a y r ı l m a s ı g e r e k e n özel h a l l e r i n incele n m e s i y a p ı l m ı ş - r. Daha sonra h e s a p l a r genel hali o l u ş t u r a n iki yüzey s ı n ı f ı n d a n her iki­ n i n de reel o l d u ğ u "reel h a l " için d eğil, reel o l m a y a n hal i ç i n yürütülmüş, •rkedilmiş o l a n " reel h a l " için de p a r a l e l işleml e r i n y a p ı l a b i l e c e ğ i n e işa- lt edilmiştir. Sonuç olarak: Eçkb. y ü z e y l e r i n i n v a r ı y a n t l a r inin b e l i r t i l -

si probleminin, Gauss e ğ r i l i ğ i sabit o l a n y ü z e y l e r l e ilginç b i r şekilde tğıntılı o l duğu s a p tanmıştır. G e r ç e k t e n Bonnet, Eçkb. y ü z e y l e r i n e ğ r i l i k çiz- Lİerinin, sabit Gauss e ğ r i l i k l i bir y ü z e y i n e ğ r i l i k ç i z g ileri ile aynı k ü - ssel tasvire sahip o l d u ğ u n u ispat e t m i ştir^ ^ . Söz k o n u s u ç a l ı ş m a d a a y r ı c a •oblemin çözümü, G a u s s e ğ r i l i ğ i sabit o l a n bir y ü z e y b i l i n i y o r s a (doğal ola- »k bazı özel h a l l e r i n dışında) k ı s m î t ü revli iki b i l i n m e y e n l i 1. m e r t e b e d e n

n e er iki d e n k l e m i n ç ö z ü m ü n e indirg e n m i ş t i r . W . B l a s c h k e b u p r o b l e m e [2j d e — . k i t a b ı n ı n 12 sahifesini a y ı r m ı ş v e p r o blemi invariyant türevler ile ince- îyerek özel h a l l e r e ait y ü z e y l e r i n d e n k l e m l e r i n i vermiştir. Y u k a r ı d a a ç ı k Eade edilm e d i ğ i n e d e ğ i n d i ğ i m i z k ü r e s e l t asvir ile ilgili t e o r e m b u r a d a da îğru ifade edilm e m i ş t i r . G e r ç e k t e n b i r b i r i n e Eçkb. reel y ü z e y ç i f t i n i n eğ-

lik ç i z g i l e r i n i n k ü r e s e l t a s v i r l e r i ( b i rinin pozitif, ö t e k i n i n n e g a t i f tbit Gauss eğrilikli b i r e r y ü z e y i n k i ile değil) sabit ve p o z itif Gauss eğ- Llikli bir y ü z e y i n e ğ r i l i k ç i z g i l e r i ile b u yüzeyin, y i n e aynı sabit v e po-

lt i f Gauss eğrilikli olan, H a z z i d a k i s d ö n ü ş ü m ü n ü n k i l e r i ile aynıdır [3].

Ç a l ı ş m a d a a ç ıkça ifade e d i l m e m i ş o l m a k l a birlikte; Eçkb. y ü z e y l e r d e n reel l a n ların e ğ r i l i k ç i z g i l e r i n i n sabit v e p o zitif G auss eğrilikli bir yüzeyin, eel o l m a y a n l a r ı n ise sabit v e n e g a t i f G a u s s eğrilikli bir y ü z e y i n e ğ r i l i k izgileri ile aynı k ü r e s e l t a svire sahip o l d u ğ u görülmüş olmaktadır.

V . B l a s c h k e ' n i n 1. e ğ r i l i k ç i z g i s i n i n n ormal e ğ r i l i ğ i n i n k a r e s i n i b i l i n m e y e n

yona ait o l a n ikinci d e r e c e bir d e n k l e m e dayan m a k t a d ı r . Biz bu çalışmamızda, söz k o n u s u ikinci d e r e c e d e n k l e m i n ç o k k a r m a ş ı k o l a n d i s k r i m i n a n t m ı n

olduk-o l d u ğ u n u gösterdik. W . B l a s c h k e [2.s.234j de, söz k olduk-o n u s u d i s k r i m i n a n t m sıfır o l d u ğ u y üzeylerin, e ğ r i l i k ç i z g i l e r i k o r u n a r a k b ü k ü l e m e y e n y ü z e y l e r i ç i n ge­ nel hali o l u ş t u r d u ğ u n u ifade etmektedir. Bu b a k ı m d a n d i s k r i m i n a n t m ç o k sade bir ş e kilde ifade e d ilmiş o l m a s ı n ı n b u genel h a ldeki y ü z e y l e r i n a r a ş t ı r ı l m a ­ sında ö nemli bir a d ı m o l d u ğ u kanısı n d a y ı z .

Ç a l ı ş m a k o n u m u z u o l u ş t u r a n p r o b l e m L . P . E i s e n h a r t ' m [3] deki k i t a ­ bında da ele a l ınmış v e i n c e l e m e d e h a r e k e t l i ü ç y ü z l ü y ö n t e m i kullanılmıştır, S o nuçta reel h alde y u k a r ı d a ifade e t t i ğ i m i z t e o r e m göster i l m i ş t i r .

ele alacağız. G e r ç e k t e n h e s a p l a r ı m ı z d a , B l a s c h k e ' n i n y a p t ı ğ ı gibi invariyant türevleri k u l l a n a c a ğ ı z v e b i l i n m e y e n f o n k s i y o n o l a r a k t a - simetri dolayısıyl eğ rilik ç i z g i l e r i n i n n ormal e ğ r i l i k l e r i n i n o r a n ı n ı seçeceğiz. Y ü z e y l e r i n in- v a r i y a n t l a r ı v e invari y a n t t ü r e v l e r l e çalışmanın, g e o m e t r i k y o r u m l a r b a k ı ­ mından, y ararı açıktır. G e n e l l i k l e [2] deki n o t a s y o n l a r k u l l a n ı l a c a k t ı r . Bu­ na göre y ü z e y i n 1., 2. esas f o r m l a r ı n ı n k a t s a y ı l a r ı s ı r a s ı y l a E, F, G ve L, M, N ile; 1. v e 2. e ğ r i l i k ç i z g i l e r i n i n n ormal ve g e o d e z i k e ğ r i l i k l e r i sı rasıyla r, r; -q, q ile, i n v a r i y a n t türetme indisleri de s ı r a sıyla (1), (2) ile göster i l e c e k t i r . 0 h a l d e u, v e ğ r i l i k ç i z g ileri p a r a m e t r e l e r i n d e , P(u,v) bir n o k t a f o n k s i y o n u o l m a k üzere

f o n k s i y o n alarak y a ptığı d e ğ i ş i k inceleme, [l] deki gibi, b i l i n m e y e n

fonksi-ça sade v e b a z ı ç a l ı ş m a l a r d a da [4] o r t a y a ç ı k a n b i r i n v a r i y a n t m t a m karesi

Biz ç a l ı ş m a m ı z ı n b i r i n c i b ö l ü m ü n d e p r o b l e m i d e ğ i ş i k bir şekilde

(1)

dir. K ı s a l ı k için

sterilimlerini k u l l anacağız.

q = ~ = (in e ) 2 » İ 8>! <2 >

duğu b i l i n d i ğ i n e göre (1) v e (2) d e n

P 12 + q -P l = P 21 + q 'P 2 (3)

gunluk d e n k l e m i n i n g e ç e r l i o l acağı açıktır.

Y ü z e y i n Gauss e ğ r i l i ğ i n i Kj o r t a l a m a eğrili ğ i n i H ile göster i y o r u z ; halde K = r.r, H = r + r / 2 dir. N ormal b i r i m v e k t ö r ü n ü N ile g ö s t e r d i ğ i m i z u,v) yüzeyi için türev v e u y g u n l u k d e n k l e m l e r i n i de [2. s . 1 7 0 , 17i"; d e n bura- a alıyoruz:

*11 = ~ q '*2 + r ‘^ ’ *12 = q ‘* 2 ’ *22 = “ q '*l + r ' ^ ’ *21 = q , *l ’

<*>

B Ö L Ü M I

2. İki b ö l ü m d e n o l u ş a n ç a l ı ş m a m ı z ı n b u birinci b ö l ü m ü n d e önce, p r o b l e m i n ç özümü ç a b a l a r ı n ı n v a r d ı ğ ı s o nucu k endi y ö n t e m i m i z l e ö z e t l e y e c e ğ i z . Sonra da, p r o b l e m i n i n d i r g e n d i ğ i v e genel ç ö z ü m ü n ü n b u l u n m a s ı o l a n a k s ı z g ö ­ r ü n e n k ı s m î türevli d i f e r a n s i y e l d e n k l e m sisteminden, ilk a ş a m a d a ç ı k a r d ı ğ ı ­ m ı z sonuçları v ereceğiz.

Bu ç a l ı ş m a d a y a l n ı z reel o l a n y ü z eyler söz k onusu e d i l e c e k t i r . Esas itibar i y l e problemi genel h a l için ele alacağız; yani aksi s ö y l e n m e d i k ç e

K = r.r

t

i

v arsay a c a ğ ı z . A n c a k ö z e l l i k l e q.q = 0 özel h a l i için bazı a ç ı k l a m a l a r y a p m a gereğini duyuyoruz. K = 0 özel hali üzerinde, yani a ç ı l a b i l i r y ü z e y l e r için,

[2.s .227-229] da v e r i l e n v e ç o k açık o l a n s o n u çlara e k l e necek bir h u s u s y o k ­ tur. F a k a t qçj = 0 (q = 0, q

4

şeklinde olacaktır. B u r a d a U(u), V(v) k e y f i fonksiyonları, a da k e y f i b i r sa biti g ö s t e r mektedir. A y n i U, V v e d e ğ i ş i k a 1ar ile elde e d i l e n y ü z e y l e r bir b i r l e r i n e Eçk. b ü k ü l e b i l i r l e r . G e r ç e k t e n b u y ü z e y l e r i n b ü y ü k l ü k l e r i n i (7) den

■ B i l i ndiği gibi genel m u l ü r yüzeyler, d ü z l e m s e l bir eğrinin, eğri d ü z l e m i ­ ni n genel bir a ç ı l a b i l i r y ü z e y ü z e rinde k a y m a d a n y u v a r l a n m a s ı sırasında, doğu" r acağı y ü z eyierdir. Sözü e d i l e n açılab i l i r y üzey genel bir silin d i r e özelleşil elde e d i l e n özel m u l ü r y ü z e y l e r e M o n g e y ü z e y l e r i (ya da M o l d i n g yüzey l e r ) deni Bu y ü z e y l e r i n t a n ı m ö z e l i ğ i n i n qq=0, ( q = 0 , q ^ 0 ) , (q/r)9=0 o l d u ğ u n u da b i l i y o r u z

—

"Mİlk W1 İ I lM İ jf c f a lİ S ^ .

z

k - 1 , G = (U - V ) 2 , F = 0 ; L = - D" N = a-(U - V ) . / a 2 - U '2 , M = 0

T

eklinde elde ederiz. G ö r ü l ü y o r ki 1. form a k e y f i sabiti n d e n bağımsızdır, d a y ı s ı y l a a n ı n ç e ş i t l i d e ğ e r l e r i ile b u l u n a c a k yüzey l e r b i r b i r i n e Eçk. ü k ü l e b i l i r l e r . (7) den, a=l için, M o n g e y ü z e y l e r i n i n [3.s . 307] de de v e r i l e n

snklemlerinin e l d e e d i l e c e ğ i açıktır.

Burada M o n g e y ü z e y l e r i n i n özel bir hali o l a n dönel y ü z e y l e r için

ı

nklemlerini elde e t t i ğ i m i z gibi, b urada da a=l için dönel y ü z e y l e r i n bili- -n d enklemlerini b u l a b i l m e k için

x = U ( u ) . C o s v + / V ( v ) . S i n v . d v

y = U ( u ) . S i n v - / V ( v ) . C o s v . d v (7')

klini alır. (7) de a=l k o y a r a k ( 7 1) yü, yani M o n g e y ü z e y l e r i n i n k u l l a n ı l a n

al m a k u y g u n d u r .

Bö y l e c e

x : (x = ^ .Cos av, y = ^ .Sin av,

z = — /

(

)

[a = 1 için x q : (xQ = u.Cos v, y Q = u . S i n v, zQ = f(u)]

denklemi bulunur. Bu d e n k l e m l e r d e n x dönel y ü z e y i n i n büyüklüklerini:

2 2 f 1 f" E = 1 +

t' ,

+

f V

o l a r a k elde ederiz. Dönel y ü z e y l e r için v e r d i ğ i m i z bu sonuçları, Gauss y a d o r t a l a m a eğriliği sabit dönel y ü z e y l e r özel h a l l e r i n e u y g u l a m a k istiyoruz:

2

a) Gauss eğriliği K = 1/P pozitif sabitine eşit o l a n k ü resel dö nel y ü z eyler için (8') den, c bir keyfi sabit o l m a k üzere,

2 2

1 + f 1 (u) = - " 2 ^ T c -u

bulunur. 0 h a l d e bu y ü z e y l e r e Eçkb. (doğal o l a r a k yine ayni G a u s s eğrilikli k ü r esel dönel y ü z e y l e r i n d e nklemleri, bu d e ğ e r i n (8) de k o n m a s ı ile, b ü y ü k ­

lükleri de (8') d e n elde edilecektir. B u n l a r ı b u r a y a a y r ı c a y a z m a y a g e r e k

. . . 2 2 2 . . . - * • . .

görmüyoruz. A n c a k c keyfi s a b i t i n i n c =a ,p özel değeri için x yüzeyl e r i n i R=p yarıçaplı k ü r e l e r o l a c a ğ ı n a işaret e t m ekle yetiniyoruz.

b) O r t a l a m a e ğ r i l i ğ i sabit dönel y ü z e y l e r i n Eçk. b ü k ü l e b i l m e yö- b d e n i n c e l e n m e s i n d e dönel m i n i m a l y ü z e y l e r i n a yrıca ele a l ı n m a s ı gerekmek-

dir:

0 h a lde (8) de bu kez, b k e y f i bir sabit o l m a k üzere, f ( u ) = b . l n (

J

2

2

+ u b ) a l ı n ı r s a (x y ü z e y i [*3.s.15Öj ye göre bir d ö n e l m i n i m a l y ü —

2 - 2 -*•

y olduğundan, r = -b/u , r = b / u ) x y ü z e yleri bir dönel m i n i m a l y üzeye layısıyla b i r b i r l e r i n e Eçkb. y ü z e y l e r olacaktır. B u y ü z e y l e r i n b ü y ü k l ü k l e -

d e : * “ 2 2 E = j , G = u F = M = 0 " _ N _ / ( I ^ - l ) u 2 + b 2 , r -

y;

,---2

M i nimal y ü z e y l e r özel h a l i n i b ö y l e c e a y ı r d ı k t a n sonra şimdi r + r sbt. olan dönel y ü z e y l e r e geçebiliriz:

(8) d e n x q yüzeyi için,

r + r = u -f" + f ’ -(l + f ' 2 ) u . ( l + f ,2) 3/2

u n a c a k t ı r . B u r a d a n r + r = l / p y a z ı l a r a k f'(u)=Y(u) için elde e d i l e c e k d ife- Biyel d e n k l e m i n çözümünü, c b i r k e y f i sabiti g ö s t e r m e k üzere,

2

Y(u) = f ’(u) = u " C

/ , 2 2

. 2 .2

r

inde elde ettik. A r t ı k o r t a l a m a e ğ r i l i ğ i l/2p sabitine eşit o l a n dönel eylere Eçkb. d ö n e l y ü z e y l e r i n d e n k l e m l e r i (8) den, b ü y ü k l ü k l e r i de (8')

f ’ (u) nun bu d eğeri ile e l d e edilecektir. Bunları b u r a y a a y r ı c a y a z m a y a ek gormuyoruz. S a d e c e f'(u) n u n bu değeri ile x y ü z e y i n i n o r t a l a m a

eğrili-ğinin, a r t ı k sabit olmayıp,

2

2

2

2p • (a -1) + u -c _{, (a = 1 i ç i n H = l/2p),}

ş e k l i n d e elde e d i l e c e ğ i n e d i k k a t i ç e k m e k istiyoruz.

3. Bu Nu. da genel h a l e a i t sonuçlar özetle n e c e k t i r . Söz konusuj b ü k ü l m e m i z d e e ğ r i l i k ç i z g i l e r i k o r u n a c a ğ ı n a göre b i r b i r i n e b u k o ş u l l a büku

d ü ğ ü n ü v a r s a y d ı ğ ı m ı z iki y ü z e y için K, q, q i n v a r i y a n t l a r ı n ı n a y n ı olduğuj a çıktır. E ğ r i l i k ç i z g i l e r i n i k o o r d i n a t eğrileri o l a r a k seçeceğiz. 0 halde k a r ş ı l ı k l ı n o k t a l a r d a k a r ş ı l ı k l ı invari y a n t türevler de aynı o lacaktır. Sö k o n u s u y ü z e y ç i f t i n d e r.r ç a rpımı a y n ı olmakla b i r l i k t e r v e r invariyantlj farklı olacaktır. 0 h a l d e b i l i n m e y e n f o n k s i y o n o l a r a k r (ya da r) almabili

9

2

J

( Blaschke S=r yi, B o n n e t E.r = W yi almaktadır). F a k a t K = r . r ç a r p ı m ı hei iki y ü z e y d e aynı o l d u ğ u için, s i metri düşüncesi ile

or a n ı n ı b i l i n m e y e n f o n k s i y o n o l a r a k a l m a k bize daha u y g u n görünm e k t e d i r . ! na göre

olacaktır. (9) k u l l a n ı l a r a k ( 5 ) 1 2 M a i n a r d i - C o d a z z i u y g u n l u k denklemlerin: T f o n k s i y o n u için:

T 2 = - [2q + U n K ) 2] . T + 2q

şeklini a l acağı h e m e n görülür. Bu d e n k l e m l e r i n (3) u j a r ı n c a y a z ı l a c a k ola: u y g u n l u k koşulu, T için

r

r 2 = T.K,

v2

T = - 2 q . T 2 + [2q + ( f ı ü O ^ T

[ q . q - K . ( | ) 2] . T 2 + [ U n K ) 12 + q . U n K ) 1 +

^

+ [q.q - K . ^ J - O ( İ D

İkinci derece d e n k l e m i n i v erir. Y i n e l e y e l i m ki (10) v e (İl) d e n k ­ lemlerinde tüm k a t s a y ı l a r b ü k ü l m e i n v a r i y a n t l a r ı o l u p her iki y ü z e y d e de aynıdır. (6) koşull a r ı , (11) d e n k l e m i n i n k a t s a y ı l a r ı n ı n b i r l i k t e s ı f ı r o l m a ­ sını yani d e n k l e m i n özdeş o l a r a k g e r ç e k l e t m e s i n i ö n l e r ^ [2.S.23İ].

B i r b i r i n e e ğ r ilik ç i z g i l e r i k o r u n a r a k b ü k ü l e b i l d i ğ i n i v a r s a y d ı ğ ı ­ mız reel y ü z e y ç i ftini S, S ile gösterelim. B u n l a r a ait asal e ğ r i l i k l e r de

sırası ile r, r; r°, r olsun. Buna göre eğer S, S y ü z e y çifti g e r ç e k t e n var ise (11) d e n k l e m i n i n k ö k l e r i f arklı olmalı, y a n i d i s k r i m i n a n t ı s ı f ı r o l ­ m amalı v e her iki

o

kökü de (10) d e n k l e m l e r i n i sağlamalıdır.

Şimdi b u n u a r a ş tıracağız. (11) d e n k l e m i n i n k a t s a y ı l a r ı n ı s ı r a s ı y ­ la A, B, Â ile g ö s t e r e r e k d e n k l e m i y e n i d e n yazıyoruz.

A.T2 + B.T + Â - 0.

(İl1)

B u r a d a bir u y a r m a y a p m a m ı z yararlı olacaktır, K ^ O için y a z ı l m ı ş o l a n (11) denkl e m i n i n t ü m k a t s a y i l a r ı n m _ s ı f ı r v a r s a y ı l m a s ı koşulları, q.q=0, (q=0, q^0) ile b i r l i k t e (q/K)2=0, ( (q/r)2*0), k o ş ulunu da g e r e k t i r i r ve bu k o ­ şullar (11) d e n k l e m i n i n özdeş o l a r a k g e r ç e k l e n m e s i için aynı z a manda yeter. Eğer q.q=0, ( q / K ) 2^0 ise (11) d e n klemi (T#) o l duğundan) T için, b ü k ü l m e in- v a r i y a n t l a n c i n s i n d e n y a l n ı z bir d e ğ e r v e r e c e k t i r ki bu, elde e d i l e c e k y ü ­ zeyin Eçk. b ü k ü l e m i y e c e ğ i n i gösterir. B u yüzden özel halleri t e r k e t m e k için, daha a ç ı k d e yimle özel hal o l a r a k ayırd ı ğ ı m ı z y ü z e y l e r d ı şında k a l a n Eçkb. yüzeyleri elde etmek istiyorsak, K # 0 _ i l e b i r likte q . q ^ 0 v a r s a y m a k l a y e t i n e ­ biliriz. Çünki b ö y l e c e q=0, ( q ^ 0 ) , ( q / K ) 2=0 y ü z e y l e r i n d e n b a ş k a bir Eçkb. y ü ­ zey t e rkedilmiş olmaz.

0 h a l d e olup dersek; r — B + /"~Â r - B — /■ i -> • \ T = _ = — --- , t = - = 2Â (12 } r r

(A-B2- 4 A .Â^0) dır. Önce reel hal için bir n o k tayı saptayalım:

K = r.7 = r°.r° = K°

O

o

o

0

dır. Şimdi (11) d e n k l e m i n i n her iki T, T° k ö k ü n ü n de (10) d e n k l e m l e r i n i sağ­ ladığını yazalım: Önce (10) , T v e T° için ayrı ayrı y a zılır iki y a n sırası)

9

o

9

la T ve T ile b ö l ü n ü p taraf tarafa ç ı k a r ı l ı r s a

[î,n (^ “ ~ ) ] ı = Lin ĞK-11

bulunur. B u d e n k l e m i n (1) g e r e ğince doğal o l a n i n t e g r a s y o n u ile, V(v) keyfi bir f o n k s i y o n o l m a k üzere,

I _ J _ =

İlli

T o G . K T

bulunur. B enzer i ş l e m l e r l e U(u) k e y f i bir f o n k s i y o n olmak üzere ( 1 0 ) 2 den

T - T° = H ü l ( 1 4 ’)

de edilir. T

i

Buna göre (14) v e (14') d e n (12) gereğince

(g.r)2 - ( g . ? ° ) 2 = 1, ( e . r ° ) 2 - (e.r)2 *> 1 (15)

nuçları bulunur. A r t ı k b u d e n k l e m l e r d e n önce

e.r * S h s ( u , v ) , e.r° = C h s ( u.v); g.r° = Shs(u,v), g.r = C h s ( u , v ) , ( 1 5 )

z ı l a b i l e c e ğ i , sonrada K = K ° olması n e d e n i ile s(u,v) = s(u,v) o l d u ğ u g ö rülür böylece

e.r = Shs(u,v), g.r = C h s ( u.v); e.r° = Chs(u.v), g.r ** Shs(u,v) (16)

de edilir ^ .

^ [l] deki ç a l ı ş m a s ı n d a B o n n e t ' i n incelediği hal, b u r a d a k i g ö s t e r ilirlerle, 2, V=2 yani U . V > 0 a l ı n m a s ı n a tekabül etmekt e d i r ki b u n u n "reel hal o l m a ­ ğına değinmiştik.

^ Daha titiz bir i n c e l e m e için e., e 7 , e-, e, (± l ) _ olmak üzere ö n c e (15 ) rine e.r = e..Shs, e.r° = e„.Chs, g . r = e-.Shs, g.r = e ^ - C h s y a z ı l m a l ı - r .. Bu halde y a p ı l a c a k b a s i t bir inceleme, e^ lerin ç e şitli d e ğ e r l e n ile 6) y ü z e y l e r i n i n d ü z l e m s e l s i m e t r i k l e r i n i n elde e dileceğini g ö s t erir. Hal iki bir S yüzeyi Eçkb. ise b u n u n d ü z l e m s e l simetriği de (simetride r v e r

rine -r ve -r g elecektir) b u özeliği s a ğ l a y a c a ğ ı n d a n d ü z l e m s e l simetr i l e r .r k edilmektedirler. D o l a y ı s ı y l a (16) genel sonuçtur.

A r t ı k (16) ^ 2 ü e b e l i r l e n e n r, r i n v a r i y a n t l a r ı n m (5) u y g u n l u k k o ş u l l a r ı n ı s a ğ l a m a s ı için de s(u,v) f o n k s i y o n u n u n v e e, g b ü y ü k l ü k l e r i n i n ; ç ekley e c e ğ i d e n k l e m l e r i y a z m a k kolaydır. G e r ç e k t e n (16) s o n u ç l a r ı ile (5)

* denkle m l e r i

ev “ 8 - sv* 8U = e . s u ; suu + Svv = - Shs.Chs (17)

d e n k l e m l e r i n e dönüşür. (6) g e r e ğince q.q^0 o l d u ğ u için b u r a d a su .s^

4

0 h a l d e p r o b l e m önce (17)^ d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü n ü g e rektirmektedir; bu s ç özümü ile ( 1 7 ) ^ ^ d e n k l e m t a k ı m ı n d a n e, g f o n k s i y o n l a r ı b u l u n a c a k ve

(16) d a n da r, r i n v a r i y a n t l a r ı elde edilecektir. (17)3 d e n k lemi, s a b i t p o ­ zitif Gauss e ğ r i l i k l i bir y ü z e y i n b e l i r l e n m e s i n d e de a y n e n g e l mektedir,

[3.s . 278]. 0 h a l d e sabit p o zitif Gauss eğrilikli bir y ü z e y ((6) k o ş u l l a r ı n a uygun) b i l i n i y o r s a a(u,v) f o n k s i y o n u da b i l i n i y o r d e m e k t i r ve p r o b l e m bu halde (17)^

^

Ö te y a n d a n b i r y ü z e y i n e ğ r i l i k ç i z g i l e r i n i n k ü r e s e l tasvi r i n d e k i b i rinci f o r m k a t s a y ı l a r ı [3.S.141] den

E (k) = E . r 2 , G (k) = G . r 2 , F (k) = 0 (18)

o l a r a k bilinm e k t e d i r . (16) ya göre S y ü z e y i m i z i n e ğ r i l i k ç i z g i l e r i n i n k ü r e ­ sel tasviri için

E (k) = S h 2 s , G (k) = C h 2 s, F (k) = 0 (18')

S° y ü z e y i n i n J c i için d e

jlunur. Bu değejrler ise s ı r a sıyle sabit p o zitif Gauss e ğ r i l i k l i bir y ü z e y i n bunun H a z z i d a k i s d ö n ü ş ü m ü n ü n e ğ r i l i k ç i z g i l e r i n i n k ü r e s e l t a s v irine ait

ellikle özel h a l l e r e y a p t ı ğ ı m ı z e k l e n t i l e r ve h e s a p l a r d a k i y ö n t e m d e ğ i ş i k - Lği dışında, esas itibar i y l e b i l i n m e k t e o l a n sonuçların bir ö z e t i n i v e r m i ş jlunuyoruz.

4. Bu Nu. da (11) d e n k l e m i n i n A diskri m i n a n t ı ü z e r i n d e duracağız. amaçla

ı v a r i y a n t l a n n ı tanımlıyoruz. D, 5 ile (11) denkleminin, A, A k a t s a y ı l a r ı n ı n

sklinde bağlı o l d u ğ u n u g ö s t e r m e k kolaydır. B k a t s a y ı s ı n ı n D, D ile o l a n b a - Lntısı kolay g ö r ü l m e m e k l e b i r l i k t e ilginçtir. G e r ç e k t e n a ş ağıda

.duğunu göstereceğiz. Doğal o l a r a k b u n u n için, B nin (11) deki d e ğ e r i göz­ lüne alınırsa,

form k a t s a y ı l a r ı d ı r [3.s . 279].

Böylece, y u k a r ı d a - g i r i ş t e - d e söyle d i ğ i m i z gibi, bazı a ç ı k l a m a l a r

D = ( f ) r r ,

D = (-Ş-) 2 •r

A . r = ( qq - D ) . r ,

A . r = ( qq - D ) . r

(

20

)

B = D + D - 2qq

( 21)

D + D = U n K )

+ q ( ! n K

+

X +

( 2 1 ' )

duğunu g örmek yetecektir. Daima (5). , ve (3) gözönünde b u l u n d urularak: »

(fn K )

12

r olduğu h e s a p l a n a c a k t ı r , öte y a n d a n q. (İnK), « q.

[—

sonucu bulunur. Bu ise i s p atını istedi ğ i m i z (21') b a ğ ı n t ı s ı n d a n başka bir şey değildir.

(11) d e n k l e m i n i n A d i s k r i m i n a n t ı n m D, D i n v a r i y a n t l a r ı c i n s i n d e n ifadesi ise, bu k a r m a ş ı k i f a d e l e r k a r ş ı s ı n d a , b e k l e n e n i n ç o k ö t e s i n d e sade olmaktadır. G e r ç e k t e n (20) v e (21) den

A = B 2 - 4 A . Â = (D + D - 2 q . q ) 2 - 4(qq - D )(q.q - D) (22)

y a z ı l a c a k ve s o nuçta

A = (D - D ) 2 (22')

elde edilecektir. A = 0 yani

D = D (23)

k o ş u l u n u s a ğ l a y a n yüzeyler, doğal olarak, e ğ r i l i k çizgileri k o r u n a r a k bükü- lemezler. B l a s c h k e bu y ü z e y l e r i n Eçkb. y ü z e y l e r i n d ı ş ı ndaki t ü m y ü z e y l e r i n genel h alini o l u ş t u r d u ğ u n u ifade e t m e k t e d i r [2.s . 234], Böylece, Eçkb. y ü z e y - ,1er gibi a y r ı c a l ı k l ı bir y ü z e y sınıfı d ı ş ı ndaki tüm y ü z e y l e r i n genel h a l i n i

(23) p o ş u l u n u n s a ğ l a n d ı ğ ı y ü z e y l e r d e n [4.s.49] da d a söz e d i l m e k - dir. Bu y ü z e y l e r için [4.s.İl] deki (1.11) d e n k l e m i n i n y a l n ı z A f o n k s i y o n u

in geçerli o l a c a ğ ı yani denklemin, ikinci b i l i n m e y e n f o n k s i y o n o l a n B yi e rmeyeceği de ilginçtir.

Y ü z e y l e r i n iç y a p ı s ı n d a n d o ğ a n bu ilginç k o ş u l u n ç e ş i t l i incele- lere bir b a ş l a n g ı ç o l u ş t u r a b i l e c e ğ i kanısı n d a y ı z .

G ö r ü l d ü ğ ü üzere D v e D i n v a r i y a n t l a r ı bükülme i n v a r i y a n t ı değil-rler. Bununla b i r l i k t e (22) deki A d i s k r i m i n a n t ı bir b ü k ü l m e i n v a r i y a n t ı d ı r .

- 2

.

.

.

.

, A, B bükülme i n v a r i y a n t l a r ı d ı r ) . 0 h a l d e (D - D) bir b ü k ü l m e ı n v a r ı y a n - olmaktadır. G e r ç e k t e n S ye Eçkb. S° y ü z e y i n e ait D, D i n v a r i y a n t l a r ı n ı , D° ile gösterirsek,

Eçkb. y ü z e y l e r i ç i n (16), (17) d e n k l e m l e r i n d e n ilk a ş a m a d a elde ilebilen ve D, D i n v a r i y a n t l a r ı ile ilgili bazı sonuçları da b u r a d a v e r m e k tiyoruz:

ğerleri elde edilir. Bu d e n k l e m l e r a r a s ı n d a su v yok edilir v e (17) g ö z ö nünde lundurulursa (24) duğunu ve d o l a y ı s ı y l e (D - D)^ = (D° - D°)^ b u l u n a c a ğ ı n ı g ö r m e k kolaydır. D ve D n i n (19) daki t a n ı m l a r ı n d a n (16) ve (17) y e göre - 2 2 D.Ch s - D . S h .s = q. q (25') l u n u r . (11) d e n k l e m i n i n T ve T° k ö k l e r i için (11'), (16) v e (21) den

X = g - ğ . .1İ- = I = İ ,Ths; T° = 3 .-i, : 1 - — * f . C t h s (26)

A

-

e

A

<-o

e

A

r

r

ifadesi bulunacaktır. Şimdi bu s o n u çları basit b i r u y g u l a m a d a k u l l a n a c a ğ ı z . (12') v e (22') g e r e ğ i n c e y u k a r k i sonuçlar D - D ^ O (û#0) için elde edildi ğ i n d e n bu h i p o t e z e a ykırı o l a r a k (27) ve (28) de D - D = 0 v a r s a y ı l ı r s a A = Â = B = 0 b u l u n a ­ cak, yani (11) d e n klemi ö z d e ş o larak g e r ç e k l e n e c e ğ i için (6) k o ş u l l a r ı n a ter d ü ş ü l m ü ş olacaktır; b u n u n l a b i r l i k t e bu D = D

(4

Ths = U ( u ) . V ( v ) , ( U ’ . V 1

4

şeklinde bir ç ö z ü m e l d e edilir, ilk b a k ı ş t a ç e l işki gibi g ö r ü l e n b u d u r u m g e r ç e k t e böyle değildir. Ç ü n k ü s f o n k s i y o n u n u n (29) daki d e ğ e r i n i n U(u) ve V(v) f o n k s i y o n l a r ı (U'.V'

4

5. B u r a d a (17), 0 denklemlerinin, ilginç sonuçlar v e r e n v e bazı ı , z

özel halleri de i ç e r e n bir özel ç ö z ü m ü n ü verece ğ i z . d 7 ) 1>2 de e v e 8 fonks y o n l a r ı n i n özel o l a r a k y a l n ı z s n i n fonks i y o n u o l d uğunu v a r s a y a l ı m , yani

se.'

e"(s) = e(s) , g"(s) = g(s)

nacaktır. B u n a göre g e n e l çözüm, p, k k e y f i sabitler o l m a k üzere

e(s) = p.Chs + k . S h s , g(s) = k.Chs + p.Shs (30)

inde elde e d ilecektir. O h a l d e b u özel hal için problem, s adece ( 1 7 ) 3 leminden s(u,v) f o n k s i y o n u n u n ç ö z ü l m e s i n e indirgenmiş olmakt a d ı r . D e n k - erin lineer o l m a s ı n ı n d o ğ a l s o n u c u o l a r a k şunu da s ö y l e y e b i l i r i z İti e Q ,

(17) „ d e n k l e m l e r i n i n h e r h a n g i b i r ç ö z ü m takımı ise * 5 ^

e = eQ + p.Chs + k . Shs, g - g D + k.Chs + p . S h s (31)

ir çözüm takımıdır. 0 h a l d e şu s onucu ifade edebiliriz: Eçkb. bir y ü z e y niyorsa bu ö z e liği t a ş ı y a n iki p a r a m e t r e l i bir yüzey a i l e s i n i n invariyant-

hiç bir i şleme g e r e k o l m a k s ı z ı n d o ğ r u d a n d o ğ ruya y a z ılabilir.

Şimdi b u özel ç ö z ü m ü n ö n emli iki özel h a l i n d e n sözedeceğiz:

a) (30) da p = k = a v a r s a y a r a k

e = g = a . e S (32)

acaktır. Buna göre (16) d a n

. - 1 o . -o 1

r + r - - , r + r = _ ,

*“S ” S — s — s

e .Shs - e .Chs o e .Chs -o e .ShsN ,,,,,

â

*

r = —

T

—

;

i

’

r = —

T - ) ( 3 3 )

edilir. G ö r ü l ü y o r ki S v e S° y ü z e y l e r i n i n her ikisi de o r t a l a m a eğriliği sabit d e ğere eşit o l a n y ü z e y l e r d i r . Doğal o l arak (33) de (a) y e r i n e (-a) s) y erine (-s) a l ı n a r a k b u l u n a c a k y ü z e y l e r aynı sınıf içindedir; ç ü n k ü a

genel bir s a b ittir v e s, (17)3 d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü ise (-s) de çözümdür, k o ş u l l a r ı a l t ı n d a elde e t t i ğ i m i z b u s o n u ç t a n [3, s. 296-297] de de söz m e k t e d i r v e (6) k o ş u l l a r ı a l t ı n d a o r t a l a m a e ğ r i l i ğ i sabit l/a

t

Y u k a r ı d a l/a * 0 o l d u ğ u için m i n i m a l yüzeyler özel hali söz değildir. D o l a y ı s ı y l a bu hal için ayrı bir i n c eleme y a p m a m ı z gerekmekte O r t a l a m a e ğ r i l i ğ i sabit tüm y ü z e y l e r , d o l a y ı s ı y l e m i n i m a l y ü z e y l e r , iz^ yüzeyl e r d i r . Yani b u y ü z e y l e r i n e ğ r i l i k ç i z g i l e r i izometrik bir sisten t u r u r l a r . 0 h a l d e m(u).e-n(v) .g y a z ı l a b i l e c e k t i r . Y ü z e y i m i z m i n i m a l vat!

d ı ğ ı n d a n r + r = 0 o l a c a k v e b u iki k o ş u l (16) d a gözönünde t u t u l u r s a Ths (29) sonucu b u l u n a c a k t ı r . H a l b u k i Nu. 4 de b u k o ş u l ile Eçkb. bir yüze elde e d i l e m i y e c e ğ i n i g örmüştük. 0 halde, m i n i m a l o l m ayan t ü m ortalama

liği sabit y ü z e y l e r i n Eçkb. y ü z e y l e r o l m a s ı n a karşın, Eçkb. bir minima z ey yoktur. B u s o n u c u n da (16) d e n k l e m l e r i n d e n elde edilmiş o l m a s ı ned (6) k o ş u l l a r ı a l t ı n d a b u l u n m u ş o l d u ğ u n a d ikkat edilmelidir. Gerçekten, m u ş bir m i n i m a l y ü z e y o l a n d ü z l e m i bir yana b ırakırsak, q . q - 0 (q-0, q/ şulu ile elde e d i l e c e k m i n i m a l yüzey, y u k a r ı d a açıkla d ı ğ ı m ı z nedenle, o l m a k zorundadır. D ö n e l m i n i m a l y ü z e y l e r i n ise Eçkb. y ü z e y l e r olduğunu

b u n l a r ı n Eçk. b ü k ü l e b i l d i ğ i y ü z e y l e r i Nu.2 de b e l i rtmiş a y r ı c a b u döne l erin artık m i n i m a l o l m a d ı k l a r ı n a dikkati çekmiştik.

b) Şimdi de (30) da k = 0 (p#0) v a rsayalım. B ö y l e c e

r . £ » , î = . K - - V ; r° - i , r° = i (36)

P P p 2 P P

le edilecektir. G ö r ü l d ü ğ ü gibi b u özel halde de Gauss eğriliği sabit ve sitif olan y ü z e y l e r i n (6) k o ş u l u n u s a ğ l a y a n l a r ı n ı n tümü [3.s.278] o r t a y a

maktadır. (36) d a n a y r ı c a , K = s b t . > 0 o l a n bu y ü z e y l e r i n Eçk. b ü k ü l e b i l d i ğ i yüzey l e r i n i n k ü r e l e r o l a c a ğ ı da görülmektedir.

(6) k o ş u l u n u n k a l d ı r ı l m a s ı ile d o ğ a c a k s onucu b u hal için de açık- ralım: A ç ı l a b i l i r y ü z e y l e r i bir y a n a b ı r a k ı r s a k (6) k o ş u l u d ı ş ı n d a k i y ü z e y -

için q=0, q?t0, (ya da q=0, ql*0) o l d u ğ u n u biliyoruz. q = 0 dan ^ “ 0, K=sbt. de r2*r+r.r2 = 0 d o l a y ı s i y l e y a z ı l a b i l e c e k v e b ö y l e c e tekrar r 2 * r 2 = ^ lel yüzey k o ş u l l a r ı elde e d i lecektir. Sabit v e pozitif G a u s s eğril i k l i dö~

yüzeylerin Eçk. b ü k ü l e b i l d i ğ i , doğal o l a r a k y i n e aynı Gauss eğrilikli, y ü - leri ise Nu. 2 de b e l i r t m i ş t i k .

Şimdi (30) s o n u ç l a r ı n ı genel o l arak ele alalım: (30) ile tanımlı S° y ü zeylerinin R, R°, R, R° asal e ğ rilik y a r ı ç a p l a r ı , (16) dan

R = k + p . C t h s , R = k + p.Ths: R° = p . + k.Ths, R° = p + k . C t h s ( 3 7 ) unur. Bu d e ğ e r l e r l e (16) d a n

ırak bulunacaktır.

Öte y a n d a n (16). „ ile (30) a r a s ı n d a e, g, s y o k edili r s e H = r + r / 2 i

f L

rtalama eğrilik) o l m a k ü z e r e

(p2 - k 2 )K + 2kH = 1 (38)

jıntısı bulunur. Bu ö z e l i ğ i s a ğ l a y a n y ü z eyler [5] de ç a l ı ş m a k o n u s u edilmiş '[6] da bu y ü z e y l e r i n K = l / p 2 sabit pozitif e ğ r i likli y ü z e y l e r e (-k) u z a k l ı - ıda paralel y ü z e y l e r o l d u ğ u n a değinilmiştir. O halde, Eçkb. özel y ü z eyler irak gördüğümüz K = s b t . > 0 y ü z e y l e r i n e paralel y ü z e y l e r i n de Eçkb. y ü z eyler

o l d u ğ u sonuc u n u elde etmiş oluyoruz. A r t ı k bu s o n ucun ne o randa g e n e l l e ş t i r i l e b i l e c e ğ i üzeri n d e d u r a b i l i r i z . Bu amaçla a ş a ğ ı d a K#sbt. o l m a k l a birlikt Eçkb. bir S y ü z e y i n e p a r a l e l bir y ü z e y i n de bu özeliği s a ğ l a y ı p sağlamadığ a r a ş t ı r a c a ğ ı z .

«

"t.

6. S y ü z e y i n e a u z a k l ı ğ ı n d a paralel olan Sa y ü z e y i n e (xa=x+a.N) ait b ü y ü k l ü k l e r i [3.s. 178] d e n b u r a y a alıyoruz:

E a = E - 2a.L + a 2 . E ( k ) , F a = F - 2a.M + a 2 .F( k ) , G a = G - 2 a . N + (39) L = L - a . E ( k ) , M = M - a . F ( k ) , N - N - a . G ( k ) , (R = R-a,

-B u r a d a (k) lı b ü y ü k l ü k l e r S y ü z e y i n i n küresel tasvirine aittir. Özel olaral k o o r d i n a t eğrileri, b u r a d a o l d u ğ u gibi, eğrilik çizgileri ise (39) da

F = M - E'

-

a l ınacaktır. (18) v e (40) u y a r ı n c a ve (16) ya göre (39) dan

2

2

E = (e - a.Shs) , G fl = (g - a.Chs) , (eg = e - a.Shs, g a = g - a

r = § l ü _ r = ■ , (e .r = S h s , g .r = Chs) (41*)

a e-a.Shs 5 a g-a.Chs a a Ba a

bulunur. (41') den g ö r ü l ü y o r ki S y ü z e y i için geçerli o l a n b a & ıntl a y n e n buna paralel olan S a yüzeyi i ç i n de aynı s(u,v) f o n k s i y o n u ile geçer dir. Öte y a n d a n

(e ) = g..s , (g ) c e .s (42)

' a v â v* '"’a'u a u

o l d u ğ u n u da k o l a y c a g e r ç e k l e y e b i l i r i z . 0 halde S ye paralel o l a n S a yüzeyi Eçkb. y ü z e y l e r s ı n ı f ı n d a n d ı r . S a ya Eçkb. Sa y ü z e y i n i n r a> r g asal eğrilik lerinin

klinde olacağı, da açıktır. S° y ü z e y i n e b u z a k l ı ğ ı n d a paralel o l a n S* yüze- .in r*, r* asal e ğ r i l i k l e r i için de, (16). . ve (39) dan,

D D J

rb = • ? b = g - S s h T ’ (eb = e "b -C h s ’

K

ğerleri bulunur. (43) v e (44) ü n k a r ş ı l a ş t ı r ı l m a s ı n d a n h e m e m g ö r ü l ü y o r ki, yüzeyi de Eçkb. y ü z e y l e r s ı n ı f ı n d a n o l m a k l a birlikte, a v e b s a b i t l e r i n i n

o

çbır değer takımı i ç m S a y ü z e y i ile çakışmaz. Böylece şu t e oremi de elde niş oluyoruz.

T e o r e m 1. Eçkb. her S y ü z e y i n i n paralel yüzey l e r i d e Eçkb. y ü z e y - rdir, Ancak S n i n Eçk. b ü k ü l d ü ğ ü S° y ü z e y i n i n hiç:bir p a r a l e l i S n i n hiç bir raleline Eçk, bükülemez.

Pa r a l e l l i k d ö n üşümü ile i l gili bu incelememizi b i r a z d a h a ileri gö- ek istiyoruz: Y u k a r ı d a söz k o n u s u e t t i ğimiz S° yüzeyine b u z a k l ı ğ ı n d a pa- Lel yüzey S°b ; S* y ü z eyine Eçkb. y ü z e y Sb ° ve Sb ° ye * « z a k l ı k t a p a ralel

«O ' *0 . . .

zey q« olsun. y ü z e y i n e ait b ü y ü klüklerin,

_*o _ S h s -*o _ C h s , *o _*o » rb =

*

eK 8v.

r>- ” * » rb ~ * » (eb * eb » 8b “ 8b ) (^5; 8b

tlinde o l a c a ğ ı n ı biliyoruz. Şimdi S ° b ve S b ° yüzeyl e r i n e a i t b ü y ü k l ü k l e r i calim: (43) d e n (41) u y a r ı n c a

6 ab = e a " b l C h s * «ab = 8 a “ b -Shs> (ra b ‘eab = C h s * ? a b ' S ab " Shs) (46) 5) den de yine (41) u y a r ı n c a

*o *o *o * o »o —* o *0

eba = eb " a -S h s - S b a " 8 b ' a -C h S ’ (rb a - eba = Shs; r b a >8ba = Chs (47) :ılabilecektir.

° o *o . *o

a e a ’ s a “ 8 a ’ eb = E b ’ 8b = 8b

°. = e - a . S h s - b . C h s , g°b = g-a.Chs - b.Shs (46' ab

*o

v« s°,b

V

l anmış olur. B ö y l e c e şu teoremi ifade edebiliriz:

T e o r e m 2. Eçkb. iki y ü z e y d e n h e r b i r i n e p a r alel iki y ü z e y bırb Eçk. b ü k ü l e m e z l e r , a n c a k p a r a l e l l i k ile elde e d i l e n b u iki y ü z e y i n herbi Eçkb. iki y ü z e y e p a r a l e l iki yüzey b i r b i r i n e Eçk. bükülebılır.

s B Ö L Ü M II

Bu b ö l ü m d e ç a l ı ş m a k o n u m u z u o l u ş t u r a n p r o b l e m i n o l d u k ç a genel ba- özel ç özümlerini vereceğiz.

7. Önce problemin i n d i r g e n d i ğ i (17) d e n k l e m sisteminin, N u . 2 de zünü ettiğimiz

V sv = ° ’ (Sv “ °* Su

*

(]_7)^ d e n s-s(u) f onksiyonu, b >1 keyfi bir sabiti g ö s t e r m e k

üze-s'(u) = / b 2 - C h 2 s, (/ ■ - — £~ = u) / b 2- C h 2 s

.klinde elde edilec e k t i r . (17)x 2 d e n de Ü(u), V(v) keyfi f o n k s i y o n l a r ol- üzere

ı - i ( . ) M W , 5 - r ^ ) <5 °>

S luj u + V

.arak bulunur. A r t ı k (16) dan S v e S° y ü z e y l e r i için (50) u y a r ı n c a d o ğ r u d a n ığruya

r = Shs.s' - = Chs . r o = Chs.s' ^ = Ş h s (51)

Ü' Ü + V U' ü + v

z ı l a b i l e c e k t i r . S v e S° yüzeyl e r i n i n , q-0 o l m a s ı nedeni ile, b i r e r mulii. zey o l acaklarını biliyo r u z . F azla o l a r a k her iki yüzey için de

( I ) = = 0 ( i - ) 0 - ( § ~ ^ - ) , = 0 (5 2 )

- 2 '■Chs 2 -o 2 Shs 2

leliği g e r ç e k l e n d i ğ i n d e n bu yüzeyler, denkl e m l e r i n i (7') de v e r d i ğ i m i z M onge izeylerindendir. O h a l d e (50), (51) b ü y ü k l ü k l e r i ile b e l i r e c e k o l a n S, S izeylerinin d e n k l e m l e r i (7') ş e k l i n d e olacaktır.

E = 1, G = (U(u) - V ( v ) ) 2 , (e = 1, g = U - V), F = 0; L = ■ ~ , N = (U - V ) . / 1 - U ' 2 , M = 0 (53) / l - u ’2 _________ - O " - / 1 - u ' 2 n - ü ’ , (r = - - ■ — , r =

v -

ş e k linde b u l u n a c a ğ ı n a göre b u n l a r ı n (50) ve (51) deki b ü y ü k l ü k l e r l e nasıl b a ğ d a ş t ı r ı l a c a ğ ı a r a ş t ı r ı l m a l ı d ı r .

Önce (50) v e (51) deki u, v parame t r e l e r i ile (53) deki u, v p< m e t r e l e r i n i n aynı o l m a m a k l a b i r l i k t e her iki çiftin de e ğ r i l i k çizgileri r a m e t r e l e r i o l d u ğ u n u v u r g u l a y a l ı m . K a r ı ş ı k l ı ğ ı ö n l e m e k a macı ile (50) ve deki u, v p a r a m e t r e l e r i n i u, v ile e, g yi de e, g ile g ö sterelim. O haldi u, v için en genel h a l d e

G = A(u), v = B(v) ( A ’B'

4

y a z ı l a b i l e c e k t i r . B u d ö n ü ş ü m d e n s o n r a s(u) = s(A(u)) = s(u) d e r s e k , (49) Fakat (7') d e n k l e m l e r i ile v e r i l e n y ü z e y l e r i n b ü y ü k l ü k l e r i

s 1 (u) = / b 2 - C h 2 s(u).A'(u) (55)

b u l u n a c a k ve e, g ile d ö n ü ş m ü ş l e r i o l a n e, g arasın d a k i b a ğ ı n t ı d a n (53) g ö nünde b u l u n d u r u l a r a k

- = U' (u) = e

s 1 (u) A' (u) A 1 (u)

I = Ü(ü) + V(v) = ğ r ^ y = U(U' İ - ^ (Vİ

(56)

elde edilecektir. B u r a d a n önce