GAUSS OLABILIRLIK DEGERLERINE DAYALI GORUNTU HISTOGRAMI ESIKLEME
IMAGE HISTOGRAM THRESHOLDING USING GAUSSIAN KERNEL DENSITY
ESTIMATION* (ENGLISH)
Alexander Suhre, A. Enis Cetin
Department of Electrical and Electronics Engineering Bilkent University
06800 Bilkent, Ankara, Turkey
Özetre
-Bu bildiride histogramlan e§iklemek i"in bir metod geli§tir ilmi§tir. Geli§tirlen metod histogram üst ne alt klslmlarmm "ekirdek yogunluk (KDE) fonksiyonlarmin iteratif bir §ekilde tahminine dayahdlr. <;ekirdek fonksiyonu olarak da Gauss dagilimi kullanilmi§tir. Geli§tirilen yöntem Otsu'nun e§ik bulma metodu ile de kar§lla§tJrlml§tJr. Sonu"lar olumludur.
Anahtar Kelimeler-Görüntü i§leme, e§ikleme, Gauss rekird ege jonksiyonu, KDE
ABSTRACT
In this article, image histogram thresholding is carried out using the likelihood of a mixture of Gaussians. In the proposed approach, a prob ability density function (PDF) of the histogram is computed using Gaussian kernel density estimation in an iterative manner. The threshold is found by iteratively computing a mixture of Gaussians for the two clusters. This process is aborted when the current bin is assigned to a different cluster than its predecessor. The method does not envolve an exhaustive search. Visual examples of our segmentation versus Otsu's thresholding method are presented.
Keywords-lmage Processing, Thresholding, KDE, Gaussian kernel.
I. GIRI�
Görüntü i§lemede en önemli konulardan birtanesi e§ik lernedir. En basit senaryo i�in görüntü iki küme §eklinde bölünür; ön plan ve arka plan. Görüntüyü bu bölütlere aYlrmak i�in görüntü yogunluklannm [1] , [2] e§ik degerini bulmak gerekir. Bu bildiri evrensel e§ikleme üzerine yogun la§lr. Uyarlamr e§ikleme [3] ya da [4]'deki gibi ele ahnmay acaktLr. Kaynak [5] , tek e§ik senaryo i�in farkh tekniklere derinlemesine bakmamlzl saglar. Bu aym zamanda, verilen yöntemin performansml öl�ebilen birka� öl�ümü saglar. <;ok popüler bir yakla§lm Otsu yöntemidir [6] . Burada, slmf i�i degi§inti aynntlh arama yoluyla minimize edilmi§tir.
Bu makalede, e§ikleme üzerine farkh bir yakla§lm tamtlyoruz. Bizim yönternirniz iki küme i�in Gauss �ekirdek
kullanarak �ekirdek Yogunluk Kestirimi'ne (KDE) [7] dayah Olaslhk Yogunluk Fonksiyonu (PDF) tahmin eden döngülü bir algoritmaya dayanmaktadlr. Gauss karl§lmlannm etkisi tekrar eden tahmini iki kümenin olabilirlik degerlerine göre iki kümeden birisine atanan görüntü yeginlik histogrammm §ündiki degeri i�in hesaplannu§tlr. Bu, §ündiki görüntü yeginlik degerinin bir öncekinden farkh bir slmfa atanana kadar devam eder.
Aigoritmanm detaylarl Bölüm II'de a�lklanml§tlr. Al goritma bir sonuca yakmsayacagml garanti etmekte olup kapsmnh bir arama kullanmaz. Deneylerimizde, bölütlemeler ortalama olarak bizim algoraitmamlZln Otsu e§ikleme yön teminden daha yüksek puan ahnmasl olarak eide edildi.
Deneysel sonu�lar, Bölüm III'de sunulmu§ ve tartl§tlml§tlr. Sonu�lar Bölüm IV 'de �izilrni§tir.
11. ALGORITMA TANIMI
Bizim e§ik degeri se�imimiz i�in iki Gauss karl§lm lan(her küme i�in bir tane) verinin histogranu giri§ olarak kullanarak tekrarlanan bir §ekilde hesaplanml§tlr. Hesa planan kan§lm degerlerini yan yana olan iki görüntü yeginlik degerleri i�in karl§lnun degerleri biz tarafindan hesaplan nu§tlr ve henüz bir kümeye atanmanu§tlr. Verilen kutuda olabilirlik kestirimi büyük olan kümeye yeginlik degerleri atamr.
Her bir küme i�in döngülü bir §ekilde bir olaslhk yogun luk fonksiyonu tahmin edilir. Döngülü algoritmamn güncel adlml §u §ekilde �ah§lr: Düzgelenmi§ K noktah histograml
h[k]
olarak atamr. Histogramm i-inci seviyesine kümelerin biri §u §ekilde atamr. Slraslyla,pj(kIL)
vepj(kIU)
deger lerini alt küme ve üst kümenin §uanki tahmini olaslhk yogun luk fonksiyonlan olarak adlandlrahm. Altsimge j, j-inci döngülü adlmlm gösterir. Olaslhk yogunluk fonksiyonlan, Gauss �ekirdek kullanarak tahmin edilir. <;ah§ani
dizini i�in olabilirlikleri kar§lla§tlflhrIlj(iIL)1 � Ilj(iIU)I,
(1) Buradaki denklemlerlj(iIL)
=pj(iIL)lk=i
velj(iIU)
=p(n)
Fig. 1. Algoritmanm �izimi. Sekil algoritmanm son a§a masml göstermektedir. 4. kutu U kümesi olarak atamr ve algoritma sonlandlflhr.
büyük ise
h[i]
alt küme olarak atamr. Degilse, üst küme olarak atamf. Su §ekilde tammlayahm:Si
=L
h[l] i=
1, (2)1=1
Si
=Si-l
+h[i] .
(3)8i-1 h[i]
PH1(kIL) = -pj(kIL) + -g(k;i,aLl, (4)
Si Si
Burada
g(k; /L,
0")
degerik
noktasmda/L
ve stand art sapma 0" ile bir Gauss fonksiyonunu tammlar. Buna göre1 (k-'2)2
g(k;/L,O")
=./:'L exp- 2" .
o"v 2n (5)
Alt kümedeki Gauss �ekirdek fonksiyonunun standart sap masl
O"L
olarak tammlamr. Aym §ekilde, Gauss �ekirdek fonksiyonunun standart sapmaslO"u
olarak tammlamr. Eger Denklem l' in sag taraft sol tarafindan büyük ise üst küme benzer §ekilde güncellenir.Ge�erli kutu, Denklem l' e göre verilen kutuda olabilirlik fonksiyonu en yüksek olan küme olarak atamr. i§lem ge�erli kutunun kümesi son kutuyla aym olana kadar sürer ve
i
bir arttlflhr. Eger e§it degilse, i§lem durdurulur ve e§ik degeri olani
ve di-I
saytlanmn aritmatik ortalamasl olur.Sekil 1 'de algoritmanm son a§amasl bir oyuncak örnegi i�in gösterilmi§tir. Önceden L kümesi olarak atannu§ kutular üstünde daire alarak belirtilmi§tir. Aym §ekilde, üstünde baklava §ekli olanlar U üst kümesi olarak atanml§tlr. U kümesinin olabilirlik fonksiyonunun kesikli �izgisi §imdi dördüncü kutuda L kümesinin olabilirlik fonksiyonu olarak belirtilmi§ normal �izgiden daha yüksektedir. Bu yüzden, 4. kutu U kümesi olarak atamr. 4. kutu , önce gelen 3. kutudan daha farkh bir kümeye atamr. Böylece, algoritma sonlandlflhr ve tahmini e§ik degeri 3.5 olur.
II-A. Gauss c;ekirdeginin bant geni§ligi sec;imi
<;ekirdek yogunluk kestriminin(KDE) önemli bir parametresi �ekirdek bant geni§ligi yada standart sapma O"'nm tahminidir. Bu e§ikleme algoritmasmda biz önceden tammlanml§ bant geni§ligini [7] kullanabiliriz. Fakat, aym zamanda uyarlamr §ekilde bir 0" degeri se�ilebilir. Bu alt
ba§hkta, uyarlamr degi§inti algoritmasl tamtIlml§tlr. Uyarlamr stand art sapma kestirim yönteminde, Gauss �ekirdeginin 0" degerleri her küme i�in ayn ayn hesaplamr.
Algoritmanm verilen adlmmda,
O"L
§u §ekilde se�ilebilir.min
IJL (6)
subject to
O"min
<O"L
<O"max,
Burada
O"min
veO"max
degerleri önceden tammlanml§ e§ik degerleridir.O"u
degeri i�in tahmin benzer bir §ekilde diger küme i�in se�ilif. Deneyimlerimiz gösterdi ki iki serbest parametre olanO"min
veO"max
se�imi herhangi bir aynn tJh parametre ayarlamaya gerek blraknuyof.O"min
= 1ve
O"max
= 25 gibi makul se�imler deneylerimizin tümbölümünde kullamlml§tlr ve görüntülerin diger türleri i�in iyi sonu�lar üretmelidir.
Her iki kümenin tahmini standart sapmalan Denklem 4' e göre kümenin olabilirliginin tahminlerini olu§turur.
111. DENEYSEL SONU<;LAR
Sonu�lar, 49 görüntünün veri kümesi üzerinden eIde edilmi§tir ve [8] (19 görüntü)ve [9] (30 görüntü)'den ah nan onlarm görüntünün ana hatlanm ön plana �Ikaran bölütlemesi eIde edilmi§tir. [5] ve [ lO] 'da önerilen öl�ümler kullanarak bizim yöntemimiz Otsu yöntemiyle kar§Ila§tmlml§tlr. Söyle ki:
1) Bölge <;e§itliligi (RNU)
2) Yanh§ SmIflandlrma Hatasl (ME) 3) Bagll Ön plan Alan Hatasl (RFAE)
4) Kenar Uyu§mazhMEM)
5) Düzgelenmi§ Degi§tirilmi§ Hausdorff Uzakhgl (NMHD)
6) Düzgelenmi§ Yanh§ Algtlama Oram (NFDR) Sadece ilk hesaplama ön plana �lkarIlan bilgiyi gerek tirmiyor. Altl öl�ümün tümü düzgelenmi§ olup 0 rakanu "mükemmel" bölütlemeyi temsil ediyor. Aym §ekilde, 1 rakaml da tamamen bölütlenmi§ görüntünün yanh§ oldugunu gösteriyor. Degi§tirilmi§ Haussdorf uzakhgl i�in [11] ve [lO] 'dan uygulama kullandlk. Sonu�lar Tablo I'de görülebilir. Bu tabloda Otsu ve bizim yöntemimizin algorit malan i�in öl�ümlerin farkhhklan gösterilmi§tir. Otsu yön temi i�in bahsedilen öl�ümlerin üstündekilerden bir tanesinin degerini
Mo
olarak belirleyelim. Aym §ekilde, önderdigimiz yöntemimiz i�in kendi degerineMp
degerini atayahm. Kalanlar §U §ekildedir:Göriintü # RNU ME RFAE EM NMHD NFDR I -0.16 -3.72 -1.12 -0.19 0.03 -0.15 2 -1.52 0.48 -39.82 -0.43 16.14 12.16 3 -0.13 13.48 31.67 0.04 1.03 5.52 4 -0.36 0.02 -5.55 -0.07 8.20 -7.06 5 -0.02 -0.07 -0.37 0.04 -0.02 -0.27 6 -1.75 5.23 40.02 0.08 6.07 11.60 7 0.06 10.00 11.74 -0.09 0.30 2.55 8 3.80 -9.21 -35.04 -0.19 -0.23 -5.43 9 1.44 10.07 -9.36 -0.87 25.44 21.20 10 -0.06 0.10 0.55 0.02 -0.01 0.16 11 0.14 1.14 0.62 0.02 0.01 0.16 12 0.38 21.30 10.56 -0.18 0.87 0.75 13 0.42 34.14 21.07 -0.13 0.32 2.98 14 0.02 61.87 -13.59 0.98 22.00 1.25 15 0.24 -2.31 -10.30 -0.03 -0.54 -5.53 16 4.32 23.96 11.86 -0.21 -0.35 3.07 17 0.64 5.16 7.58 0.07 0.09 2.60 18 -1.51 13.50 -26.83 -0.11 4.28 46.54 19 0.28 4.40 1.71 -0.02 0.15 0.34 20 4.23 55.10 -5.47 -0.82 1.63 63.49 21 -0.42 22.91 37.10 -0.08 0.76 29.14 22 -0.97 9.48 -9.91 -0.05 3.29 48.76 23 0.99 29.24 7.89 0.08 1.00 67.66 24 -1.30 2.74 37A2 -OA2 0.16 12.36 25 -0.04 0.52 0.82 0.00 -0.03 0.19 26 1.03 -1.77 3.21 1.02 -0.39 2.85 27 0.05 -0.04 0.29 4.75 -0.02 0.24 28 4.06 5.76 39A6 -0.98 -2.16 40.39 29 0.20 0.49 1.44 1.05 -0.10 0.94 30 -0.85 1.88 24.77 -0.23 5.19 27.42 31 -1.44 -3.68 -58.44 -24.20 -33.42 -8.21 32 -0.51 1.43 18.61 -0.08 -OA5 4A2 33 -0.08 7.64 10.29 0.07 0.26 2A5 34 -0.15 5.61 11.03 0.00 0.37 2.73 35 1.43 16.58 28AO -0.22 0.16 17.50 36 -0.68 3.56 -18.97 0.00 0.96 21.36 37 -OA6 14.32 38.68 -0.08 2.63 9.71 38 2.22 -12.18 -10.98 0.04 0.55 -1.22 39 0.66 8.25 15.05 0.00 -0.12 4.80 40 2.20 -5.71 -4.77 0.06 0.15 -0.41 41 0.75 10.56 10.84 -0.12 0.26 1.42 42 -OA3 6.03 4.85 -0.01 0.01 0.27 43 -0.06 1.56 3.12 0.02 -0.09 1.03 44 -OA3 32.55 34.55 -0.10 1.13 4.31 45 0.02 2.68 0.50 0.00 0.02 0.02 46 -0.26 0.08 -17.38 -0.30 7.51 -49.66 47 -0.67 -0.59 -23.84 -0.59 27AI -40.78 48 -0.81 -3.35 -15.71 -1.91 -6.59 -OAO 49 -1.01 2.35 8.91 -0.06 0.39 0.84 Ortalama 0.28 8.24 3.41 -0.50 1.92 7.27 Ba�an Oram 46.96 77.55 63.27 40.82 69.39 77.55
Table I. Denklem Tye göre farkh uzunluk öl<;üleri i<;in bizim sundugumuz yöntem ile Otsu yöntemin farkhhklan. Pozitif saYl bizim yöntemimizin az pu an aldlgInl ve bu yüzden Otsu yönteminden daha iyi oldugunu gösterir. Son satlr bizim yöntemimizin Otsu yöntemini geride blrakdlgl veri kümesindeki görüntü yüzdelerini temsil eder.
Bu Tablo I'de gösterilen degerdir. Poziftif deger bizim al go ritmarruZIn Otsu yönteminden daha az pu an aldlgInl göster mi�ti ve bu da tereih edilebileeek bir degerdir. Tüm veri kümesinin üzerindeki ortalama degeri de verilmi�tir. Aynea, son satlr bizim yöntemimizin Otsu yöntemini geride blraktlgl veri kümesindeki görüntülerin yüzdelerini göstermektedir. Ortalama olarak, bizim yöntemimiz tüm veri kümesi i<;in Otsu yöntemine göre 3% daha iyi bir performans göster mi�tir. Veri kümesindeki görüntülerin 63% 'nde yöntemimiz Otsu yöntemine göre daha iyi bir performansa sahiptir.
Test edilen alu öl<;ümün hepsinde be� durum i<;in orta lama olarak algoritmarruz Otsu algoritmaSInl geride blraktl.
(a) Orjinal Görüntü (b) Ön plana <;Ikartllan görüntü
(e) Bizim bölütlememiz (d)Otsu Bölütlemesi
Fig. 2. Altl öl<;ümden be�inde bizim yöntemimizin Otsu yönteminden daha iyi oldugunu gösteren örnek: (a) veri kümesinden 6. görüntü, (b) ön plana <;lkarllan bölütleme, (e) bizim önerdigimiz bölütleme ve (d) Otsu bölütlemesi.
Bu durumlar �unlardlr; RNU, ME, RFAE, NMHD ve NFDR. Aynea, ME, RFAE, NMHD ve NFDR i<;in yöntemimiz Otsu yöntemini veri kümesinde görüntülerin <;ogunlugunda geride blraktl.
�ekil 2 - 4'de görüldügü üzere bizim yöntemimiz genel olarak, Otsu yöntemiyle kar�lla�tlflldlgInda ön plamn iyi olmadlgl durumlarda bölütlemeler üretti. Bu, BöIge <;e�itlil igi(RNU) tarafindan eezalandlflhru�tlr. �ekil 2'de bununla ilgili bir örnek görülebilir. Bu görüntüde Otsu yöntemi bizim yöntemimizle kar�Ila�tlflldlgInda ön plana <;ok fazla arka plan ekledigi görülmü�tür.
Veri kümemizin 47. görüntüsünde ki bu �ekiI 4'de göster ilmi�tir, Otsu yöntemi altl öl<;ümün be�ine göre bizim yön temimizden daha yüksek puan alml�tlr. Fakat, 47. görüntü durumunda bizim yöntemimiz Otsu yönteminden daha az arka plan alml�tlr ve bölütlememizde nesnenin dokusunuda görebiliriz. Ön plamn oldugu durumda nesne iki seviye sahiptir. Bizim yöntemimiz karanhk seviyeleri kabul et memi�tir fakat Otsu yöntemi, baZI arka plan nesnesinin ön plana dahil olma pahasIna ön plana eklemi�tir. Benzer bir �ekilde, �ekil 3'de görülen 2. görüntüde bizim yöntemimiz aym zamanda Otsu yönteminden daha az arka plan ahru�tlr.
t
�
J
�
�
,
, ..
(a) Orjinal Görüntü (b) Ön plana �lkarttlan görüntü
(e) Bizim bölütlememiz (d) Otsu Bölütlemesi
Fig. 3. Altl öl�ümden ü�ünde bizim yöntemimizin Otsu yönteminden daha kötü oldugunu gösteren örnek: (a) veri kümesinden 2. görüntü, (b) ön plana �lkartlan bölütleme, (e) bizim önerdigimiz bölütleme ve (d) Otsu bölütlemesi.
(a) Orjinal görüntü
t'·· :;,
11.,
'
.I!I
(b) Bizim bölütlememiz
(e) Otsu Bölütlemesi
(a) Orjinal Görüntü
Fig. 5. Makul uygulama alammn örnegi: (a) BT-20 kanser hüeresinden ktrptlml§ hüere görüntüsü, (b) bizim bölütle (b) Ön plana �lkarttlan görüntünlemiz ve (e) Otsu bölütlemesi.
•.
1 .. ..
..
.�
, �.
.
.
(e) Bizim bölütlememiz (d) Otsu BölütlemesiFig. 4. Altl öl�ümden be§inde bizim yöntemimizin Otsu yönteminden daha kötü oldugunu gösteren örnek: (a) veri kümesinden47. görüntü, (b) ön plana �lkartlan bölütleme, (e) bizim önerdigimiz bölütleme ve (d) Otsu bölütlemesi.
A�lk bir §ekilde, yöntemimiz ön planda hakemin pantolo nunu dahil etmeden daha iyi sonu�lar üretmi§tir. 2. görüntüde bizim yöntemimiz altl öl�ümün ü�ünde Otsu yöntemine göre daha yüksek puan ahru§tlr.
Sekil 5 bizim yöntemimizin mümkün uygulama alamm gösterir. Sekil, BT-20 kanserli hüere hattmdan bir �ekirdegin örnek görüntüsünü gösterir. Sitoplazmadaki siyah alanlann saYlSl �ekirdekten uzaga gidildik�e dü§er. Bu yüzden, bu alanlarl verimli bir §ekilde bölütlemesi mikroskopik görün tülerin analizi i�in yararh olaeaktlr [12] . Sekil 5 b) - e) 'de görüldügü gibi algoritmamlz Otsu yönteminden daha iyi bir bölütleme saglamaktadlr.
IV. SONU<;
Bu makalede görüntüdeki e§ik degerinin bulunmasl i�in yen i bir algoritma tamttlml§tlr. Önerilen yöntemde Gauss �ekirdegi ile verinin histogratrunda olabilirlik fonksiyonlan tahmin edilmi§tir. Gauss fonksiyonun serbest er paramet
lerinin tahminleri verinin üzerinde basit bir minimizasyon yaparak eide edilmi§tir. Döngülü algoritma, yakmsayaeagml garanti etmi§ ve kapsamh bir ara§tlrmaya gerek duyul maml§tlr. Altl öl�üm kullanarak algoritmamlZln verimliligini degerlendirdik. Bunlann be§ine göre bizim yöntemimiz Otsu yönteminden daha üstün olmu§tur.
TE�EKKÜR
Bu �ah§ma Avrupa Toplulugu IRSES programl tarafin dan 247091 numarah MIRACLE ve TÜBiTAK tarafindan l11E057 numarah Slkl§tmlml§ Aigtlama Aigoritmalarmda Entropi Fonksiyoneli ve Toplam Degi§ebilirlik Klsltla malanmn Kullamml projeleri kapsamlannda desteklenmi§tir. Bu �ah§manm türk�eye �evrilmesinde emegi olan Rasim Akm Sevimli'ye te§ekkür ederiz.
v. REFERENCES
[1] Rafael C. Gonzalez and Riehard E. Woods, Digital Image Processing (3rd Edition), Prentiee-Hall, Ine., Upper Saddle River, NJ, USA, 2006 .
[2] George Stockman and Linda G. Shapiro, Computer Vision, Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, NJ, USA, 1st edition, 2001.
[3] N. Ray and B.N. Saha, "Edge sensitive variational image thresholding," in Image Proeessing, 2007. IClP 2007. IEEE International Conferenee on, 16 2007-ocl. 19 2007, vol. 6, pp. VI -37 -VI -40.
[4] Fei Liu, Yupin Luo, Xiaodan Song, and Dongcheng Hu, "Active surface model-based adaptive thresholding algorithm by repulsive external force," 1. Eleetronie Imaging, vol. 12, no. 2, pp. 299-306, 2003.
[5] M. Sezgin and B. Sankur, "Survey over image thresh olding techniques and quantitative performance evalu ation," 1. Eleetron. Imaging. 13(1), vol. 1, no. 1, pp. 146 -168, jan. 2004.
[6] N. Otsu, "A threshold selection method from gray level histograms," Systems, Man and Cyberneties, IEEE Transaetions on, vol. 9, no. 1, pp. 62 -66, jan. 1979. [7] B W Silverman, Density Estimation for Statisties and
Data Analysis, vol. 37, Chapman and Hall, 1986. [8] D. Martin, C. Fowlkes, D. Tal, and 1. Malik, "A
database of human segmented natural images and its application to evaluating segmentation algorithms and measuring ecological statistics," in Proe. 8th In!'l Conf. Computer Vision, July 2001, vol. 2, pp. 416-423. [9] A. Blake, C. Rother, M. Brown, P. Perez, and P. Torr,
"Interactive image segmentation using an adaptive gmmrf model," in in ECCV, 2004, pp. 428-441.
[10] M. Apro, S. Pal, and S. Dedijer, "Evaluation of single and multi-threshold entropy-based algorithms for folded substrate analysis," Journal of Graphie Engineering and Design, vol. 2, no. 2, pp. 1-9, 2011. [11] M.-P. Dubuisson and A.K. Jain, "A modified hausdorff distance for object matching," in Pattern Reeognition, 1994. Vol. I - Conferenee A: Computer Vision amp;
Image Proeessing., Proeeedings of the 12th IAPR In ternational Conferenee on, oct 1994, vol. 1, pp. 566 -568 vol.1.
[12] Furkan Keskin, Alexander Suhre, Kivanc Kose, Tulin Ersahin, A. Enis Cetin, and Rengul Cetin-Atalay, "Im age classification of human carcinoma cells using com plex wavelet-based covariance descriptors," PLoS ONE,
