Sonlu Farklar Yöntemiyle Kabuk Problemlerinin Çözümü

(1)

ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ  FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

SONLU FARKLAR YÖNTEMĠYLE KABUK PROBLEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Serhat SERDAR

(501001222)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 10 Nisan 2003 Tezin Savunulduğu Tarih : 16 Nisan 2003

Tez DanıĢmanı : Prof. Dr. Mehmet BAKĠOĞLU

Diğer Jüri Üyeleri : Prof.Dr. Metin AYDOĞAN (Ġ.T.Ü.) Prof.Dr. Faruk YÜKSELER (Y.T.Ü)

(2)

ÖNSÖZ

Bu çalıĢmada silindirik kabuklar ve sonlu farklar yöntemiyle ilgili teorik bilgiler verilerek, bu bilgiler doğrultusunda pratikte karĢılaĢılması muhtemel silindirk kabuk problemleri serilerle ve sonlu farklar yöntemiyle çözülmüĢtür.

Yüksek lisans tez çalıĢmam sırasında bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım sayın hocam Prof. Dr. Mehmet BAKĠOĞLU’na teĢekkür ederim.

Yüksek lisans eğitimim sırasında benden yardımlarını esirgemeyen sevgili arkadaĢım Yük. Bilg. Mühendisi Oya ARAN’a teĢekkürlerimi sunarım.

Her konuda sonsuz fedakarlıklarla benden yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen sevgili eniĢtem Elk. Müh. Murat TANRIVERDĠ’ye teĢekkür ederim.

Öğrenimimin bu aĢamaya gelmesi için ellerinden gelen her imkanı bana sunan sevgili annem Fizik Öğretmeni Sevil SERDAR ve sevgili babam Yük Kimyager Enver SERDAR’a sonsuz teĢekkür ederim.

Hayatımdaki tüm olaylarda fikirlerinden ve tecrübelerinden yararlandığım sevgili ablam Yük. End. Müh. Zuhal TANRIVERDĠ’ye teĢekkür ederim.

Bu tez çalıĢmam sırasında yaptığı çalıĢmayla bana ıĢık tutan ve yardımlarını esirgemeyen sevgili arkadaĢım Yük. ĠnĢ. Müh. Volkan AÇAR’a sonsuz teĢekkürlerimi sunarım.

Son olarak bu tez çalıĢmasını, benimle hayatını birleĢtiren ve her zaman en zor anlarımda yanımda olan ve olacak olan sevgili eĢim Mimar Fulya SERDAR’a ithaf ederim.

(3)

ĠÇĠNDEKĠLER

TABLO LĠSTESĠ v

ġEKĠL LĠSTESĠ vi

SEMBOL LĠSTESĠ viii

ÖZET ix

SUMARY x

1. GĠRĠġ 1

1.1. Tanımlar ve Notasyonlar 1

1.2. Sonlu Farklar Yöntemi 10

1.2.1. Ġnterpolasyon polinomu ve newton formu 10

1.2.2. Ġleriye doğru fark formülleri 13

1.2.3. Geriye doğru fark formülleri 16

1.2.4. Merkezi fark formülleri 20

1.2.5. YaklaĢık kısmi türev 23

2. SĠLĠNDĠRĠK KABUKLARIN GENEL TEORĠSĠ 32

2.1. Eksenine Göre Simetrik Olarak YüklenmiĢ Silindirik Kabuklar 32 2.2. Dairesel Silindirik Kabukların Simetrik Deformasyonunun

Özel Halleri 39

2.2.1. Düzgün dağılmıĢ çizgisel yük altındaki uzun silindirik kabuk 39 2.2.2. Sabit cidar kalınlıklı silindirik tanklar 43 2.2.3. DeğiĢken cidar kalınlıklı silindirik tanklar 45 2.3. Silindirik Bir Kabuğun Deformasyonunun Genel Hali 50 2.3.1. Kenarlarından mesnetli silindirik kabuklar 57 2.3.2. Silindirik bir kabuk parçasının sehimi 59

3. SAYISAL ÖRNEKLER 61

3.1. Eksenine ve Orta Kesitine Göre Simetrik Yüklü Silindirik Kabuk 61

3.1.1. Kesin çözüm 61

3.1.2 Sonlu farklar yöntemiyle çözüm 62

3.2. Ortasından Belirli Bir Bölgede Eksenine Göre Simetrik Yüklü

Silindirik Kabuk 65

3.2.2. Sonlu farklar yöntemiyle çözüm 68

3.3. Eksenine Göre Simetrik Sabit Ġç Basınç Altındaki Silindirik Kabuk 71

3.3.2 Sonlu farklar yöntemiyle çözüm 74

3.4. Ġç Sıvı Basıncı Altındaki Sabit Cidar Kalınlıklı Silindirik Tank 76

3.5. Ġç Sıvı Basıncı Altındaki Düzgün DeğiĢen Cidar Kalınlıklı

(4)

3.6. Kenarlarından Destekli Silindirik Kabuk 90 3.6.1. Tam kapasite dolu olmayan kenarları destekli silindirik kabuk 90

3.6.1.1. Çözüm 90

3.6.2. Tam kapasite dolu olan kenarları destekli silindirik kabuk 96

3.6.2.1. Çözüm 96

3.7. Silindirik Kabuk Parçası 98

3.7.1. Yüzeyine dik uniform yayılı yüklü silindirik kabuk parçası 98

3.7.1.1. Çözüm 98

3.7.2. Tam ortasında yüzeyine dik tekil yükle yüklü silindirik

kabuk parçası 101

3.7.2.1. Çözüm 101

EK A TABLOLAR 104

EK B MATLAB ĠLE YAZILAN PROGRAMLAR 129

KAYNAKLAR 138

(5)

TABLO LĠSTESĠ Sayfa No

Tablo 1.1. BölünmüĢ farkların elde ediliĢi ... 13

Tablo 2.1. i fonksiyonları tablosu ... 49

Tablo 3.1. Excel formül giriĢ Ģekli ... 64

Tablo 3.5. Denklemlerde kullanılacak katsayılar ... 88

Tablo 3.6. 9 terim alınarak elde edilen sonuçlar ... 94

EK A TABLOLAR ve ġEKĠLLLER ... 104

Tablo A.1. Deformasyon değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 105

Tablo A.2. Eğilme momenti değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 106

Tablo A.3. Kesme kuvveti değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 107

Tablo A.10. Deformasyon değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 117

Tablo A.11. Eğilme momenti değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 119

Tablo A.12. Kesme kuvveti değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 121

Tablo A.13. Deformasyon değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 123

Tablo A.14. Eğilme momenti değerleri ve karĢılaĢtırılması ... 125

(6)

ġEKĠL LĠSTESĠ Sayfa No

ġekil 1.1. : Kabuk üzerinde alınan sonsuz küçük eleman ... 2

ġekil 1.2. : Birim uzunluk için oluĢacak bileĢke kuvvet ve momentler ... 3

ġekil 1.3. : Sadece dönme durumu ... 4

ġekil 1.4. : Dönme ve ötelemenin beraber olduğu durum ... 6

ġekil 1.5. : Silindirik kabukta koordinat eksenleri ... 8

ġekil 1.6. : Pozitif gerilme yönleri... 9

ġekil 1.7. : Pozitif kuvvet ve moment yönleri ... 9

ġekil 1.8. : Ġleriye doğru fark formülleri ... 16

ġekil 1.9. : Geriye doğru fark formülleri ... 19

ġekil 1.10. : Merkezi fark formülleri ... 23

ġekil 1.11. : Ġki değiĢkenli fonksiyon için sonlu fark ağı ... 24

ġekil 1.12. : Dx kısmi türevi ... 24

ġekil 1.13. : Dy kısmi türevi ... 25

ġekil 1.14. : D2xy kısmi türevi ... 26

ġekil 1.15. : D2xx veD2yy kısmi türevleri ... 26

ġekil 1.16. : D3xxy ve D3xyy kısmi türevleri ... 28

ġekil 1.17. : D4xxyy kısmi türevi ... 28

ġekil 1.18. : D3xxx ve D3yyy kısmi türevleri ... 29

ġekil 1.19. : D4xxxy ve D4xyyy kısmi türevleri ... 30

ġekil 1.20. : D4xxxx ve D4yyyy kısmi türevleri ... 31

ġekil 2.1. : Silindirik kabuk üzerinde alınan diferansiyel eleman ... 33

ġekil 2.2. : Sonsuz uzun dairesel boru ... 36

ġekil 2.3. : vefonksiyonları ... 38

ġekil 2.4. : Çizgisel yüklü uzun silindirik kabuk... 39

ġekil 2.5. : Deformasyon, eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramları 41 ġekil 2.6. : Düzgün dağılmıĢ simetrik yük ... 42

ġekil 2.7. : Sabit cidar kalınlıklı silindirik tank ... 43

ġekil 2.8. : DeğiĢken cidar kalınlıklı silindirik tank ... 46

ġekil 2.9. : Kabuk üzerinde alınan diferansiyel eleman ... 51

ġekil 2.10. : Kenarlarından mesnetli silindirik kabuk ... 57

ġekil 2.11. : Silindidirk kabuk parçası... 59

ġekil 3.1. : Halka yükle yüklü silindirik kabuk ... 61

ġekil 3.2. : Kabuk üzerinde oluĢturulan sonlu fark ağı ... 63

ġekil 3.3. : Ortasından belirli bir bölgede simetrik yüklü silindirik kabuk ... 65

ġekil 3.4. : Yükün uygulandığı bölge içinde integrasyon sınırları ... 66

ġekil 3.5. : Yükün uygulandığı bölge dıĢında integrasyon sınırları ... 67

ġekil 3.6. : Kabuk üzerinde oluĢturulan sonlu fark ağı ... 69

ġekil 3.7. : Eksenine göre simetrik sabit iç basınç altındaki silindirik kabuk71 ġekil 3.8. : Kabuk üzerinde oluĢturulan sonlu fark ağı ... 74

(7)

ġekil 3.11. : DeğiĢken cidar kalınlıklı silindirik tank ... 81

ġekil 3.12. : Tank üzerinde oluĢturulan sonlu fark ağı ... 87

ġekil 3.13. : Kenarlarından destekli silindirik kabuk ... 90

ġekil 3.14. : Kabuk içindeki sıvı basıncı değiĢimi ve pozitif eksen yönleri .... 91

ġekil 3.15. : Tam kapasite dolu kenarları destekli silindirik kabuk ... 96

EK A : TABLOLAR ve ġEKĠLLER ... 104

ġekil A.1. : Deformasyon ... 105

ġekil A.2. : Eğilme momenti ... 106

ġekil A.3. : Kesme kuvveti ... 107

ġekil A.10. : Deformasyon ... 118

ġekil A.11. : Eğilme momenti ... 120

ġekil A.12. : Kesme kuvveti ... 122

ġekil A.13. : Deformasyon ... 124

ġekil A.14. : Eğilme momenti ... 126

(8)

SEMBOL LĠSTESĠ

a : Kabuk silindir yarıçapı C1, C2,… : Ġntegrasyon sabitleri

d : Tank yüksekliği

D : Kabuk eğilme rijitliği E : Elastisite modülü

G : Kayma modülü

h : Kabuk kalınlığı, x eksenindeki pivot noktası aralığı k : y eksenindeki pivot noktası aralığı

ℓ : Kabuk uzunluğu

Mx : x eksenine dik kesitteki eğilme momenti

M :y eksenine dik kesitteki eğilme momenti MxMx : Burulma momentleri

Nx : x eksenine dik kesitteki normal kuvvet

N :y eksenine dik kesitteki normal kuvvet

Nxx : Membran kesme kuvvetleri

P : Çizgisel yük

Qx : x eksenine dik kesitteki keme kuvveti

Q :y eksenine dik kesitteki keme kuvveti

rx, ry : Orta yüzeyin sırasıyla xz ve yz düzlemlerindeki eğrilik yarıçapları

u : Deformasyonun x eksenindeki bileĢeni

Z : Yayılı yük

v : Deformasyonun y eksenindeki bileĢeni

 :Deformasyonun z eksenindeki bileĢeni

xy :Sırasıyla x ve y eksenlerindeki birim deformasyon sabitleri

12 :Kabuk orta yüzeyinin sırasıyla xz ve yz düzlemlerindeki eğrilik değiĢimleri

 : Poisson oranı

xy : Kabuk orta yüzeyinin sırasıyla xz ve yz düzlemlerindeki eğrilik değiĢimleri

xy : Kabuk orta yüzeyinin burulması  : Sıvı seviyesini gösteren açı

 : Kayma birim deformasyonu, sıvı birim hacim ağırlığı

 : Deformasyonun hesaplanacağı noktayı gösteren açı

 : Ġleriye doğru fark operatörü

 : Geriye doğru fark operatörü

 : Merkezi fark operatörü

(9)

SONLU FARKLAR YÖNTEMĠYLE SĠLĠNDĠRĠK KABUK PROBLEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ

ÖZET

Bu çalıĢmada pratikte karĢılaĢılması muhtemel silindirik kabuk problemleri kesin çözüm ve sonlu farklar yöntemi kullanılarak çözülmüĢ, elde edilen sonuçlar tablo ve grafikler yardımıyla değerlendirilmiĢtir.

Birinci bölümün ilk kısmında öncelikle tüm kabuk türleri için kullanılan temel tanımlar ve formüller verilmiĢtir. Daha sonra bu tanım ve formüllerin silindirik kabuklara uyarlaması yapılarak sonuçların değerlendirilmesi sırasında kullanılacak pozitif gerilme, kuvvet ve moment yönleri tanımlanmıĢtır.

Birinci bölümün ikinci kısmında ise sonlu farklar yöntemi hakkında bilgi verilmiĢtir. Bu yöntemin kullanımı sırasında yapılan kabuller anlatılarak yöntemin nasıl hassaslaĢtırılabileceği tanımlanmıĢtır. Sonuç olarak merkezi fark formüllerinin kullanılmasına karar verilmiĢtir. Son olarak ise kısmi diferansiyel denklemlerin sonlu farklar Ģeklinde yazılmasında kullanılacak yaklaĢık kısmi türev formülleri merkezi fark formülleri kullanılarak elde edilmiĢtir.

Ġkinci bölüm silindirik kabukların genel teorisine ayrılmıĢtır. Ġlk önce simetrik yüklü silindirik kabuklar daha sonra da simetrik olmayan yükler altındaki silindirik kabuklar incelenmiĢtir. Son olarak ise silindirik kabuk parçası incelenmiĢtir. Daha sonra yükleme Ģekline göre değiĢen bazı türler için kullanılabilecek pratik formüller verilmiĢtir.

Üçüncü bölümde ise ikinci bölümde genel teorisi verilen silindirik kabuk problemlerine ait sayısal örnekler yapılmıĢtır.

(10)

SOLUTIONS OF CYCLINDRICAL SHELL PROBLEMS BY USING FINITE DIFFERENCE METHOD

SUMMARY

In this study cyclindrical shell problems that are encountered during practical study are solved by analytic and finite difference methods and results are evaluated by using tables and graphics.

In the beginning of the first chapter, the basic definations and formulas for all kinds of shell problems are given. Then adapting these definations and formulas to cyclindrical shells; positive stress, force and moment acceptances which are used while the results are being evaluated are defined.

In the seond part of the first chapter, information about finite difference method is given. Giving the acceptances that are made while using this method it is defined that how results can make more accurate. In the end use of central differences is decided in this study. Then partial derivative formulas that are used to write the differential equations in finite difference form are defined.

In the second chapter general theory of cyclindrical shells is defined. First symmetrically loaded cyclindrical then anti-symmetrically loaded shells are observed. In the end piece of cyclindrical shells are observed. Then some practial formulas changing according to the load form of the shell are given.

In the third chapter some numerical examples that the teoric part of them are given in the second chapter are solved.

(11)

l. GĠRĠġ

Dairesel kesitli taĢıyıcı elemanların boyutlandırılması sırasında, silindirik kabuk problemlerine pratikte çok sık rastlanır. Buhar ve su basıncı altındaki silindirik kazanlar, iç sıvı basıncı altındaki diiĢey eksenli silindirik kaplar bu tür problemlere örnek olarak verilebilir. Bu tür problemlerin analitik olarak çözümü çoğu zaman karmaĢık ve zaman alıcı iĢlemleri gerektirmektedir. Üstelik pratikteki pek çok silindirik kabuk probleminin çözümü ya yoktur ya da bir takım basitleĢtirmelerle mümkündür. Bu nedenle silindirik kabuk problemlerinin çözümü için sayısal yöntemlerin kullanılması çoğu zaman daha elveriĢli olmaktadır. Bununla beraber sayısal yöntemlerin en büyük gereksinimi olan bilgisayarların son yıllarda hızlı bir Ģekilde geliĢmesi ve yayılması sayısal yöntemlerin önemini arttırmıĢtır.

Sayısal yöntemler içinde en çok bilinen ve kullanılan yöntemlerden bir tanesi sonlu farklar yöntemidir. Bunun en büyük nedeni sonlu farklar yönteminin analitik çözümler için kullanılan diferansiyel denklemler üzerine kolaylıkla uygulanabilmesidir. Bu yüzden silindirik kabuk problemleri üzerine sonlu farklar yönteminin uygulanabilmesi için analitik çözümde kullanılan temel tanım ve teorilerin bilinmesi gerekir. Bu amaçla bundan sonraki bölümde silindirik kabuklarla ilgili temel tanımlar ve kullanılacak notasyon anlatılacaktır. Daha sonraki bölümde ise sonlu farklar yöntemi hakkında bilgi verilecektir.

1.1. Tanımlar ve Notasyon

Kabuklar için kullanılan notasyon sistemi plaklar için kullanılan klasik notasyona oldukça benzer. Plaklarda olduğu gibi kabuklar için de kalınlık h ile gösterilir ve kalınlık boyutunun kabuğun diğer boyutlarına ve eğrilik yarıçapına gore oldukça küçük olduğu kabul edilir. Kabuk kalınlığını ortadan ikiye ayıran yüzey orta yüzey olarak adlandırılır. Herbir noktasındaki orta yüzeyinin formu ve kalınlığı belli olan kabuk tamamen tanımlanmıĢ olur.

(12)

ġekil 1.1 (Kabuk üzerinde alınan sonsuz küçük eleman)

Ġç kuvvetleri analiz etmek için kabuk üzerinde ġekil 1.1'de görüldüğü gibi sonsuz küçük bir diferansiyel eleman seçelim. Bu eleman kabuğun orta yüzeyine dik olan iki komĢu düzlemle tanımlıdır. Bu düzlemler aynı zamanda asal eğrilikleri bulundururlar, x ve y eksenlerini O noktasında eleman yüzeyleri ile orta yüzeyin ara kesitine teğet olacak Ģekilde, z eksenini de orta yüzeye dik olacak Ģekilde seçelim. xz ve yz düzlemlerindeki eğrilik yarıçaplarını sırasıyla rx ve ry olarak isimlendirelim.

Eleman düzlem yüzlerinde oluĢacak gerilmeleri x, y ve z eksenlerindeki bileĢenlerine ayıralım. Bu gerilme bileĢenleri için mukavemette klasik olarak kullanılan xyxyyxxz sembolleri kullanılacaktır. Bu notasyon kullanılarak

normal kesitlerde birim uzunluk için oluĢacak bileĢke kuvvetler ġekil 1.2a'da gösterilmiĢtir.

Büyüklükleri gösteren sembollerin altında tek indis bulunduğunda indis büyüklüğün doğrultusunu göstermektedir. Ġki indis bulunduğunda birinci indis buyüklüğün bulunduğu yüzeyin normalini ikinci indis ise buyüklüğün doğrultusunu göstermektedir.

Tüm bileĢke kuvvetler, kesitlerinde oluĢan normal ve kayma gerilmelerinin kesit alanı boyunca integrasyonu sonucunda bulunabilir. Buna göre sırasıyla normal kuvvetler ve kesme kuvvetleri için aĢağıdaki bağıntılar yazılabilir.

(13)

ġekil 1.2 (Birim uzunluk için oluĢacak bileĢke kuvvet ve momentler)



        2 / h 2 / h x y y 2 / h 2 / h y x x )dz r z 1 ( N dz ) r z 1 ( N (1.1)



        2 / h 2 / h x yx yx 2 / h 2 / h y xy xy )dz r z 1 ( N dz ) r z 1 ( N (1.2)



        2 / h 2 / h x yz y 2 / h 2 / h y xz x )dz r z 1 ( Q dz ) r z 1 ( Q (1.3)

Formüllerdeki z/rx ve z/ry terimleri ġekil 1.1'deki elemanın orta yiizeyine dik kesitlerinin trapez formundan dolayı hesaba katılmıĢtır. Bu nedenle kesme kuvvetleri

Nxy ve Nyx genelde eĢit değildir. Bununla beraber xy = yx eĢitliği geçerliliğini

korumaktadır. Daha önceden h kalınlığının esas eğrilik yarıçapları rx ve ry 'ye göre çok küçük kabul edildiği hatırlanırsa formüllerdeki z/rx ve z/ry terimlerinin ihmal edilebileceği söylenebilir. Bu durumda Nxy ve Nyx kesme kuvvetleri için, plaklarda olduğu gibi Nxy = Nyx eĢitliği geçerliliğini koruyacaktır. Orta yüzeye dik kesitlerde birim uzunluk için oluĢacak burulma ve eğilme momentleri için ise aĢağıdaki formüller yazılabilir. (ġekil 1.2b)



      2 / 2 / 2 / 2 / ) 1 ( M ) 1 ( h h x y y h h y x x dz r z z dz r z z M   (1.4)



        2 / h 2 / h x yx yx 2 / h 2 / h y xy xy )dz r z 1 ( z M dz ) r z 1 ( z M (1.5)

(14)

Burada da z/rx ve z/ry terimleri ihmal edilirse, burulma momentleri için Mxy = -Myx eĢitliği yazılabilir. Kabuğun eğilmesi hesaplanırken, doğrusal elemanların, örneğin ġekil 1.1'deki AD ve BC kenarlarının, kabuğun orta yüzeyine dik olduğu, eğilme sırasında doğrusal formlarını koruyacağı ve eğilme sonrasında da deforme olmuĢ orta yüzeye dik kalacakları kabul edilecektir.

ġekil 1.3 (Sadece dönme durumu)

Kolay anlaĢılmasi açısından en basit durum olan ġekil 1.1'deki elemanın orta yüzeye dik yüzlerinin sadece orta yüzeyle yaptıklan arakesit çizgileri etrafinda döndüğü durumu düĢünelim. rx’ ve ry’ eğilmeden sonraki eğrilik yarıçapları olmak üzere, ġekil 1.1'de taralı çizgilerle gösterilen ve orta yüzeyden z uzaklığında olan bir elemanda oluĢacak x ve y birim deformasyonlarını elde etmeye çalıĢalım. ġekil 1.3'deki

üçgenlerin benzerliği kullanılarak ℓ1 ve ℓ2 uzunlukları için aĢagıdaki eĢitlikler

yazılabilir. ) ' r z ' r ( ds ) r z r ( ds x x 2 x x 1       (1.6)

Bu eĢitlikler birim deformasyon tanımı düĢünülerek yazılabilecek

ilk ilk son    )/ (  

(15)

olan bir elemanda oluĢacak x ve y birim deformasyonları için aĢağıdaki bağıntılara ulaĢılır. ) r 1 ' r 1 ( r z 1 z ) r 1 ' r 1 ( r z 1 z y y y y x x x x           (1.7)

Dönmenin yanında elemanın orta yüzeye dik kenarları kendilerine paralel olacak Ģekilde orta yüzeydeki uzama nedeniyle ötelendiği durumda ise 1 ve 2 sırasıyla x ve

y eksenleri doğrultusunda orta yüzeydeki birim deformasyon sabitleri olmak üzere ℓ1

ve ℓ2 uzunlukları için aĢağıdaki eĢitlikler yazılabilir. (ġekil 1.4)

) ' r z 1 )( 1 ( ds ) r z 1 ( ds x 1 2 x 1        (1.8)

Bu eĢitlikler yukarıda olduğu gibi birim deformasyon bağıntısında yerlerine konulursa                x x 1 x x 1 x r 1 ' r 1 ) 1 ( r z 1 z r z 1 (1.9)

bağıntısı elde edilir. Benzer bağıntı y için de yazılabilir.

Daha önce olduğu gibi z/rx ve z/ry terimleri ve 1’in eğrilik değiĢimi üzerindeki etkisi

ihmal edilirse x ve y için kullanılacak bağıntılar aĢağıda verilen Ģekle dönüĢecektir.

z ) r 1 ' r 1 ( z z ) r 1 ' r 1 ( z ₂ _y y y 2 y x 1 x x 1 x                 (1.10)

(1.10) bağıntılarındaki x ve y terimleri eğriliği sırsıyla x ve y eksenleri

doğrultusundaki değiĢimini göstermektedir. Elemana dik normal gerilmelerin oluĢmadığı varsayılırsa (z = 0) (1.10) eĢitliklerinin gerilme – ĢekildeğiĢtirme

bağıntılarında yerlerine konulması sonucunda, elemanın gerilme bileĢenleri için kullanılacak aĢağıdaki bağıntılara ulaĢılır.

(16)



z( )



1 E y x 2 1 2 x            (1.11)



z( )



1 E x y 1 2 2 y          (1.12)

(1.11) ve (1.12) eĢitlikleri (1.1) ve (1.2) denklemlerinde yerlerine konulup z/rx ve z/ry

terimleri ihmal edilirse

) ( 1 Eh N ) ( 1 Eh N ₂ ₁ 2 y 2 1 2 x            (1.13) ) ( D M ) ( D M_x   _x  _y _y   _y _x (1.14)

eĢitlikleri elde edilir. Burada D plaklarda olduğu gibi kabuğun eğilme rijitliğidir.

ġekil 1.4 (Dönme ve ötelemenin beraber olduğu durum)

ġimdi daha genel bir durum olarak elemanın orta yüzeye dik yüzlerinde normal gerilmelere ek olarak kayma gerilmelerinin de oluĢtuğunu düĢünelim.  kabuğun orta yüzeyindeki kayma birim deformasyonu ve xydx BC kenarının Oz'ye göre x

(17)

G ) z 2 ( _xy xy     (1.15)

eĢitliği yazılabilir. Burada G kabuğun yapıldığı malzemenin kayma modülüdür ve aĢağıdaki bağıntıyla tanımlıdır.

) 1 ( 2 E G    (1.16)

(1.15) eĢitliği daha önceki basitleĢtirmeler de dikkate alınarak (1.2) ve (1.4) eĢitliklerinde yerlerine konulursa

) 1 ( 2 hE N N_xy _yx      (1.17) xy yx xy M D(1 ) M       (1.18)

eĢitlikleri elde edilir. Böylelikle kabuğun eğilmesi sırasında orta yüzeye dik doğrultuda olan doğrusal kenarların doğru formunu koruyacağı ve deforme olmuĢ orta yüzeye deformasyondan sonra yine dik kalacağı varsayılarak, birim uzunluk için Nx, Ny, Nxy bileĢke kuvvetleriyle Mx, My, Mxy bileġke momentleri altI büyüklük

cinsinden elde edilmiĢ olur. Bu büyüklüklerden ilk üçü orta yüzeyin birim deformasyon bileĢenleri olan 1, 2,  ile ilgili, kalan üçü ise orta yüzeyin eğrilik

değiĢimleriyle burulmasını tanımlayan x, y, xy büyüklükleridir.

Buraya kadar anlatılan tanım ve formüller tüm kabuk türleri için genel olarak verilmiĢtir. Silindirik kabuk durumunda kartezyen koordinat takımı plaklardan farklı olarak sabit değildir. Kabuk üzerindeki herhangi bir nokta, belirli bir referans noktasından (genelde bakıĢ yönüne göre silindirin sol ucu) ölçülen yatay x mesafesiyle, silindir eksenine dik düzlemde genelde silindirin en alt noktasından ölçülen  açısıyla gösterilir. Kartezyen koordinat takımının silindirik kabuk üzerindeki herhangi bir noktaya göre değiĢimi ġekil 1.5'de gösterilmiĢtir.

(18)

Şekil 1.5 (Silindirik kabukta koordinat eksenleri)

Silindirik kabukların boyutlandırma problemlerinde kullanılacak formülleri çıkarmadan önce formüllerdeki değişkenler (dış yük, gerilme, bileşke kuvvet ve momentler) için kabul edilecek olan pozitif yönleri açıklayalım. Burada dış yük için pozitif yön Şekil 1.5'deki kartezyen koordinat takımının pozitif eksen yönleri olarak kabul edilecektir. Buna göre silindir eksenine göre simetrik olarak yüklenmiş kabukta pozitif değerli dış yük +z yönünde, yani silindir dışından eksenine doğru olacaktır. Şekil 1.6'da pozitif dış yük altında silindir üzerinde alınacak bir diferansiyel elemanın yapacağı deformasyon sonucunda pozitif koordinatlara sahip herhangi bir noktada oluşacak gerilmelerin yönleri görülmektedir.

Pozitif gerilmelerin (1.1) ve (1.2) bağıntılarında yerlerine konması sonucu elde edilecek pozitif bileşke kuvvet ve momentler Şekil 1.7'de gösterilmiştir. Plaklardan farklı olarak y ekseninin konumu açısıyla değiştiği için silindirik kabuklarda y indisi yerine  indisi kullanılır. Dikkati çeken bir diğer nokta ise Şekil 1.7'deki Mx momentinin Şekil 1.6'daki xykayma gerilmelerinin yaratacağı momentle ters yönde

olduğudur. Bunun nedeni (1.2) bağıntılarında Mxy için yazılan integrasyonun

(19)

ġekil 1.6 (Pozitif gerilme yönleri)

ġekil 1.7 (Pozitif kuvvet ve moment yönleri)

ġekil 1.7'den yararlanarak bileĢke kuvvet ve momentlerin pozitif yönleri için çeĢitli pratik kurallar üretilebilir. Buna göre normal kuvvetler için kesitin dıĢ normalinin yönü pozitif yöndür. Nxy ve Nyx kesme kuvvetleri için kullanılacak pozitif yönler ise

(20)

yönünü gösterirken kalan dört parmağın göstereceği yöndür. Nyx için pozitif yön ise

sağ elin baĢ parmağı -z yönünü gösterirken kalan dört parmağın göstereceği yöndür. Kesme kuvvetlerinin pozitif yönlerini elde etmek için öncelikle bakıĢ yönlerinin belirlenmesi gerekmektedir. Qx’in pozitif yönünü elde etmek için kullanılacak bakıĢ

yönü sağ elin dört parmağı x ekseninin pozitif uçundan z ekseninin pozitif ucuna doğru giderken baĢ parmağın göstereceği yöndür. Qy'nin pozitif yönünü elde etmek

için kullanılacak bakıĢ yönü ise sağ elin dört parmağı y ekseninin pozitif uçundan z ekseninin pozitif ucuna doğru giderken baĢ parmağın göstereceği yöndür. Kesme kuvvetleri için pozitif yönler, bu Ģekilde belirlenen bakıĢ yönlerinden bakıldığında kesitleri saat ibreleri yönünde döndürecek yönlerdir. Burulma momentleri için pozitif yön, sağ elin baĢ parmağı kesitin dıĢ normalini gösterirken diğer dört parmağın göstereceği yöndür. Eğilme momentleri için pozitif yön ise daima silindirin iç yüzeyinde uzama yapacak yöndür.

1.2. Sonlu Farklar Yöntemi

Kapalı bir formda integre edilemeyen bir diferansiyel denklemin temsil ettiği bir teknik problemle karĢılaĢıldığında yaklaĢık çözüm metodlan kullanılarak çözüme gidilir.

Diferansiyel denklemlerin sonlu farklar yöntemi ile sayısal çözümü, bilinmeyen fonksiyonun bazı noktalardaki değerlerinin elde edilmesine dayanır. Bilinmeyen fonksiyonun noktalardaki değerlerini elde etmek için fonksiyonun türevleri, bilinmeyen fonksiyon değerlerine bağlı olarak yazılır. Bu ifadeler diferansiyel denklemde yerine konulduğunda diferansiyel denklem bir lineer denklem sistemine dönüĢtürülmüĢ olur. Bu denklem sisteminin çözümü sonucunda bilinmeyen fonksiyonun noktalardaki değerleri elde edilir.

1.2.1. Ġnterpolasyon Polinomu ve Newton Formu

Bir fonksiyonun x0, x1,… xn noktalarındaki değerleri f0, f1,… fn olarak verilsin. Bu

fonksiyonun yaklaĢım fonksiyonu olarak polinom seçelim. Polinomun verilen noktalardan geçme Ģartı konulduğunda bu polinoma interpolasyon polinomu denir.

(21)

Verilen n+1 noktadan geçen polinomun derecesi n olup interpolasyon polinomu



      n 0 i i i n n 2 2 1 0 n(x) a a x a x ...a x a x P

Ģeklinde yazılır. Verilen bu polinomda bulunan a0, a1,… an parametreleri

0,1,...n i f ) x ( P_n _i  _i 

Ģartı yazılarak bulunan n+1 denklemden bulunur. Bu Ģekilde interpolasyon polinomunun parametrelerini elde etmek için lineer denklem takımım çözmek gerekmektedir.

Ġnterpolasyon polinomunu elde etmenin baĢka yolları da vardır. Bunlar arasında en kullanıĢlı olan aĢağıda verilen formdur.

) x x )...( x x )( x x ( a ... ) x x )( x x ( a ) x x ( a a ) x ( P 1 n 1 0 n 1 0 2 0 1 0 n             (1.19)

Herhangi bir n. derece polinom bu form kullanılarak yazılabilir. Yukarıda verilen formda bilinmeyenler ai parametreleridir. Ġnterpolasyon noktalarında fonksiyon

değerleri bu noktalardan geçen interpolasyon polinomunun değerlerine eĢit olacak Ģekilde ai katsayıları bulunur. Buna göre yukandaki formda verilen an katsayısı

aĢağıda verilen eĢitlikler yardımıyla elde edilebilir.

) x x )...( x x )( x x ( ) x ( P f a ) x x )...( x x )( x x ( ) x ( P ) x ( P ) x x )...( x x )( x x ( ) x ( P ) x ( P a ) x x )...( x x )( x x ( a ) x ( P ) x ( P f ) x ( f ) x ( P 1 n n 1 n 0 n n 1 n n n 1 n n 1 n 0 n n 1 n n n 1 n 1 0 1 n n n 1 n 1 0 n 1 n n n n n n                               (1.20)

(1.20) bağıntısı kullanılarak (1.19) denklemlerindeki tüm ai katsayıları verilen

noktalardaki bilinmeyen fonksiyon değerleri fi cinsinden elde edilebilir. Ġlk katsayı a0

(l.19) denkleminde x yerine x0 konulursa

0 0 0 n 0 P (x ) f(x ) f a    (1.21)

(22)



0 1



0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 f x ,x ) x x ( f f ) x x ( ) x ( P f a        (1.22)

Burada f[x0,x1] bilinmeyen fonksiyon f(x)'in x0 ve x1, noktalanndaki birinci bölünmüĢ

farkıdır. Benzer Ģekilde a2 katsayısı da (1.20) bağıntısı kullanılarak elde edilebilir.









) x x ( x , x f ) x x )( x x ( f f ) x x )( x x ( )} x x ( x , x f f { f ) x x )( x x ( )} x x ( a a { f ) x x )( x x ( ) x ( P f a 1 2 1 0 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 0 2 1 0 0 2 1 2 0 2 0 2 1 0 2 1 2 0 2 2 1 2 2                      

(1.22) bağıntısından f0 çekilip iĢlemlerin devamında kullanılırsa;

























_

_



 







) x x ( x , x f ) x x ( x , x f x , x f } ) x x )( x x ( x x x x { x , x f ) x x ( x , x f ) x x ( 1 ) x x )( x x ( ) x x ( { x , x f ) x x )( x x ( f f a ) x x ( x , x f ) x x )( x x ( ) x x ( x , x f f f ) x x ( x , x f ) x x )( x x ( ) x x ( a f f a 0 2 1 0 0 2 1 0 2 1 1 2 0 2 0 2 0 1 1 0 0 2 2 1 1 2 1 2 0 2 0 1 1 0 1 2 0 2 1 2 2 1 2 1 0 1 2 0 2 0 1 1 0 1 2 1 2 1 0 1 2 0 2 0 1 1 1 2 2                                       



 



_

_

2 1 0 0 2 1 0 2 1 2 f x ,x ,x ) x x ( x , x f x , x f a     (1.23)

olarak elde edilir. Burada f[x0,x1,x2] bilinmeyen fonksiyon f(x)'in x0, x1, ve x2

noktalanndaki ikinci bölünmüĢ farkıdır. Daha sonraki katsayıların benzer iĢlemler yapılıp elde edilmesi sonucunda (1.19) interpolasyon polinomundaki katsayıların aĢağıda verilen Ģekilde değiĢtiği görülür.







 



0 n 1 n 0 n 1 n 1 0 n x x x ,... x f x ,... x f x ,... x , x f a      (1.24)

(1.24) bağıntısı (1.19) interpolasyon polinomu katsayıları için kullanılırsa, interpolasyon polinomunun Newton formu olarak bilinen











x ,...x



(x x )(x x )...(x x ) f ... ) x x )( x x ( x , x , x f ) x x ( x , x f f ) x ( P ) x ( f 1 n 1 0 n 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 n             (1.25)

(23)









      n 0 i 1 i 0 j j n 0 n(x) f x ,...x (x x ) P ) x ( f (1.26)

eĢitlikleri elde edilir. BölünmüĢ farklar aĢağıda verilen Ģekilde bir tablo oluĢturularak elde edilebilir.

Tablo 1.1 (BölünmüĢ farkların elde ediliĢi)

1.2.2. Ġleriye Doğru Fark Formülleri

Verilen noktaların h aralığı ile eĢit olarak dağıldığı durumda bölünmüĢ farklar yerine  operatörüyle gösterilen ileriye doğru farkların kullanılması daha pratik olacaktır. f(x)'in birinci ileriye doğru farkı aĢağıdaki eĢitliklerle tanımlıdır.

) x ( f ) h x ( f ) x ( f     (1.27) k 1 k k 1 k k k) f f(x ) f(x ) f f x ( f        _ _ (1.28)

Daha sonraki ileriye doğru fark operatörleri için (1.24) bağıntısı ve Tablo 1.1 kullanılarak k 1 k 2 k 3 k 4 k k 3 1 k 3 k 4 k 1 k 2 k 3 k k 2 1 k 2 k 3 k 1 k 2 k k 1 k k 2 f f 4 f 6 f 4 f f f f f f 3 f 3 f f f f f f 2 f f f f                                        (1.29) eĢitlikleri yazılabilir.

Daha önce birinci bölünmüĢ fark için verilen (1.22) denklemi kullamlarak birinci ileriye doğru fark birinci bölünmüĢ fark cinsinden elde edilebilir.

(24)





h ) x ( f ) x x ( f f x , x f k k 1 k k 1 k 1 k k        



k k 1



k) h.f x ,x x ( f  _  (1.30)

Benzer iĢlemler daha sonraki ileriye doğru farklar için yapılırsa ileriye doğru farklar ile bölünmüĢ farkların birbirleri cinsinden ifadesinde kullanılan aĢağıdaki bağıntılara ulaĢılır.



_k _k _r



r k r x ,... x f . h !. r ) x ( f  _  (1.31)





_rk r r k k h ! r ) x ( f x ,... x f _   (1.32)

(1.32) bağıtntısı (1.25) denkleminde yerine konulursa interpolasyon polinomunun Newton formu ise aĢağıdaki gibi ileriye doğru farklar cinsinden yazılabilir.

) x x )...( x x )( x x ( h ! n f ... ... ) x x )( x x ( h ! 2 f ) x x ( h ! 1 f f ) x ( P ) x ( f 1 n 1 0 n 0 n 1 0 2 0 2 0 0 0 n                 (1.33)

s = (x-x0) / h dönüĢümü yapılarak (1.33) denklemi için

n n 0 2 0 0 n f ! n ) 1 n s )...( 1 s ( s ... f ! 2 ) 1 s ( s f s f ) s ( P ) s ( f              (1.34)

veya daha kapalı bir formda



         n 0 k 0 k s f k s f (1.35) ! k ) 1 k s )...( 1 s ( s k s           eĢitlikleri yazılabilir.

Daha önce de belirtildiği gibi sonlu farklar yönteminde bilinmeyen fonksiyonun diferansiyel denklemdeki türevleri için (1.34) interpolasyon polinomunun türevleri kullanılır. Bu amaçla (1.34) denkleminin türevleri alınırsa

(25)

                 f ... ! 3 2 s 6 s 3 f ! 2 1 s 2 f h 1 dx ds ds df f 3 ₀ 2 0 2 0 s I s (1.36)                 f ... ! 4 22 s 36 s 12 f ! 3 6 s 6 f h 1 f 4 ₀ 2 0 3 0 2 2 II s (1.37)           f ... ! 4 36 s 24 f h 1 f 3 ₀ 4 ₀ 3 III s (1.38)           f ... ! 5 240 s 120 f h 1 f 4 ₀ 5 ₀ 4 IV s (1.39)

eĢitlikleri elde edilir. Bu eĢitliklerin ilk terimleri alınıp kalan terimler h'ın bir fonksiyonu olan _i O(h) hata fonksiyonu Ģeklinde yazılırsa;

1 0 I s f h 1 f    (1.40) 2 0 2 2 II s f h 1 f    (1.41) 3 0 3 3 III s f h 1 f    (1.42) 4 0 4 4 IV s f h 1 f    (1.43)

eĢitlikleri elde edilir. (1.29) ifadesindeki eĢitliklerin bu formüllerde yerine konulması sonucu bilinmeyen fonksiyonun k noktasındaki yaklaĢık türevleri pivot noktalarındaki bilinmeyen fonksiyon değerleri cinsinden elde edilir.

1 k 1 k k I ) f f ( h 1 ) x ( f  _   (1.44) 2 k 1 k 2 k 2 k II ) f f 2 f ( h 1 ) x ( f  _  _   (1.45) 3 k 1 k 2 k 3 k 3 k III ) f f 3 f 3 f ( h 1 ) x ( f  _  _  _   (1.46) 4 k 1 k 2 k 3 k 4 k 4 k IV ) f f 4 f 6 f 4 f ( h 1 ) x ( f  _  _  _  _   (1.47)

(26)

(1.36) - (1.39) formüllerinde iki veya daha fazla terim alınarak daha hassas sonuçlar verecek baĢka formüller de elde edilebilir. En çok kullanılan geriye doğru fark formülleri matematiksel moleküller Ģeklinde ġekil l.8'de gösterilmiĢtir.

ġekil 1.8 (Ġleriye doğru fark formülleri)

1.2.3. Geriye Doğru Fark Formülleri

Ġleriye doğru farklardan farklı olarak geriye doğru farklar  operatörü ile gösterilir. f(x)'in birinci geriye doğru farkı aĢağıdaki eĢitliklerle tanımlıdır.

) h x ( f ) x ( f ) x ( f     (1.48)

(27)

1 k k 1 k k k k) f f(x ) f(x ) f f x ( f     _   _  (1.49)

Daha sonraki geriye doğru fark operatörleri için ise aĢağıda verilen eĢitlikler kullanılabilir. k 1 k 2 k 3 k 4 k k 4 k 1 k 2 k 3 k k 3 k 1 k 2 k k 2 f f 4 f 6 f 4 f f f f 3 f 3 f f f f 2 f f                          (1.50)

Daha önce birinci bölünmüĢ fark için verilen (1.22) denklemi indis değiĢtirilip kullanılarak birinci geriye doğru fark birinci bölünmüĢ fark cinsinden elde edilebilir.





h ) x ( f x x f f x , x f k 1 k k 1 k k k 1 k        



k 1 k



k) h.f x ,x x ( f  _  (1.51)

Benzer Ģekilde daha sonraki geriye doğru farklar ile bölünmüĢ farklar aĢağıdaki gibi birbirleri cinsinden yazılabilir.



k r k



r k r x ,... x f . h !. r ) x ( f  _  (1.52)





_rk r k r k h !. r ) x ( f x ,... x f _   (1.53)

(1.53) bağıntısı (1.25) denkleminde yerine konulursa interpolasyon polinomunun Newton formu aĢağıdaki Ģekilde geriye farklar cinsinden yazılabilir.

) x x )...( x x )( x x ( h ! n f ... ... ) x x )( x x ( h ! 2 f ) x x ( h ! 1 f f ) x ( P ) x ( f 0 1 n n n n n 1 n n 2 n 2 n n n n                  (1.54)

s = (x-xn) / h dönüĢümü yapılarak (1.54) denklemi için

n n n 2 n n n f ! n ) 1 n s )...( 1 s ( s ... ... f ! 2 ) 1 s ( s f s f ) s ( P ) s ( f              (1.55)

(28)



           n 0 k n k k s f k s ) 1 ( f (1.56) eĢitlikleri yazılabilir.

(1.55) denkleminin türevleri alınırsa;

                 f ... ! 3 2 s 6 s 3 f ! 2 1 s 2 f h 1 dx ds ds df f 3 _n 2 n 2 n s I s (1.57)                 f ... ! 4 22 s 36 s 12 f ! 3 6 s 6 f h 1 f 4 _n 2 n 3 n 2 2 II s (1.58)           f ... ! 4 36 s 24 f h 1 f 3 _n 4 _n 3 III s (1.59)           f ... ! 5 240 s 120 f h 1 f 4 _n 5 _n 4 IV s (1.60)

eĢitlikleri elde edilir. Bu eĢitliklerin ilk terimleri alınıp kalan terimler h'ın bir fonksiyonu olan _i O(h) hata fonksiyonu Ģeklinde yazılırsa;

1 n I s f h 1 f    (1.61) 2 n 2 2 II s f h 1 f    (1.62) 3 n 3 3 III s f h 1 f    (1.63) 4 n 4 4 IV s f h 1 f    (1.64)

eĢitlikleri elde edilir. (1.50) ifadesindeki eĢitlikler, bu eĢitliklerde yerine konulursa bilinmeyen fonksiyonun k noktasındaki yaklaĢık türevleri pivot noktalarındaki bilinmeyen fonksiyon değerleri cinsinden elde edilir.

1 1 k k k I ) f f ( h 1 ) x ( f   _  (1.65)

(29)

2 k 1 k 2 k 2 k II ) f f 2 f ( h 1 ) x ( f  _  _   (1.66) 3 k 1 k 2 k 3 k 3 k III ) f f 3 f 3 f ( h 1 ) x ( f   _  _  _   (1.67) 4 k 1 k 2 k 3 k 4 k 4 k IV ) f f 4 f 6 f 4 f ( h 1 ) x ( f  _  _  _  _   (1.68)

En çok kullanılan geriye doğru fark formülleri matematiksel moleküller Ģeklinde ġekil l.9'da gösterilmiĢtir.

(30)

1.2.4. Merkezi Fark Formülleri

Bir k noktasına göre simetrik noktalardaki fonksiyon değerleri kullanılarak elde edilen merkezi farklar, ileriye veya geriye doğru farklara göre bazı durumlarda özellikle sınır değer problemlerinde daha kullanıĢlıdır. Bu nedenle üçüncü bölümde silindirik kabuk problemlerine ait sayısal örnekler kısmında yaklaĢık çözümler için merkezi fark formülleri kullanılacaktır.

Bilinmeyen f(x) fonksiyonunun k noktası etrafinda h aralığıyla eĢit sıralanmıĢ noktalarda alacağı değerleri elde etmek için kullanılacak  merkezi fark operatörü aĢağıda verilen Ģekilde tanımlanır.

2 / 1 k 2 / 1 k k k k ) f f 2 h x ( f ) 2 h x ( f f      _  _  (1.69)

f(x)'in ikinci merkezi farkı ise birinci merkezi farkların farkı olacaktır.



 



f 2f -f f f f f ) f ( f 1 -k k 1 k 2 / 1 ) 2 / 1 k ( 2 / 1 ) 2 / 1 k ( 2 / 1 ) 2 / 1 k ( 2 / 1 ) 2 / 1 k ( k k 2                    (1.70)

Daha sonraki merkezi farklar ise yukandaki yöntem kullanılarak aĢağıda verilen Ģekilde elde edilir.

2 / 3 k 2 / 1 k 2 / 1 k 2 / 3 k k 3 f f 3 f 3 f f  _  _  _  _  (1.71) 2 k 1 k k 1 k 2 k k 4 f f 4 f 6 f 4 f f  _  _   _  _  (1.72)

n. derece merkezi formüllerindeki katsayılar (a-b)n_{’in binom açılımındaki katsayılara}

eĢit olacaktır.

Tek dereceli merkezi fark formüllerindeki orta nokta değerleri yok etmek için ortalama tek dereceli farkların tanımlanması gerekir. Buna göre f in k noktasındaki birinci ortalama farkı





(f f ) 2 1 ) f f ( ) f f ( 2 1 ) f f ( 2 1 1 k 1 k 1 k k k 1 k 2 / 1 k 2 / 1 k              Ģeklinde tanımlanır.

(31)

Ortalama alma iĢlemi ortalayıcı olarak adlandırılan operatörü kullanılarak sembolize edilir ve aĢağıda verilen Ģekilde tanımlanır.

) f f ( 2 1 f_k  _k_₁_/₂  _k_₁_/₂  (1.73)

Bu durumda birinci merkezi fark, ortalayıcı kullanılarak





(f f ) 2 1 f f 2 1 f_k   _k_₁_/₂   _k__/₂  _k_₁  _k_₁  (1.74)

Ģeklinde tanımlanır. Ġleriye ve geriye doğru farklarda olduğu gibi bölünmüĢ farklar, merkezi farklar ve ortalama operatörleri cinsinden elde edilip (1.25) denkleminde yerlerine konulur ve s = (x-x0) / h dönüĢümü yapılırsa

0 m 2 2 2 2 2 2 0 4 2 2 2 0 3 2 2 0 2 2 0 0 s f ! m 2 ) 1 m s )...( 1 s ( s ... ... f ! 4 ) 1 s ( s f ! 3 ) 1 s ( s f ! 2 s f s f f                  (1.75)

eĢitliği veya serinin tek dereceli bir merkezi farkla bitmesi durumunda kullanılacak

0 1 m 2 2 2 2 2 0 4 2 2 2 0 3 2 2 0 2 2 0 0 s f )! 1 m 2 ( ) m s )...( 1 s ( s ... ... f ! 4 ) 1 s ( s f ! 3 ) 1 s ( s f ! 2 s f s f f                   (1.76)

eĢitliği elde edilir. (1.75) ve (1.76) denklemleri kullanılarak bilinmeyen fonksiyonun türevlerinin merkezi farklar ve ortalama operatörleri cinsinden elde edilen ifadeleri aĢağıda verilen Ģekilde olacaktır.

                         ... f ! 4 s 2 s 4 f ! 3 1 s 3 f s f h 1 dx ds ds df f 0 4 3 0 3 2 0 2 0 s I s (1.77)               f ... ! 4 2 s 12 f s f h 1 f 4 ₀ 2 0 3 0 2 2 II s (1.78)

(32)



f s f ...



h 1 f 0 4 0 3 3 III s      (1.79)



f s f ...



h 1 f 4 ₀ 5 ₀ 4 IV s      (1.80)

Ġleriye ve geriye doğru farklarda olduğu gibi yukarıdaki formüllerde ilk terimler alnırsa kalan terimlerin h2’nin bir fonksiyonu olduğu görülür. Ġlk terimler alınıp kalan terimler hata fonksiyonu Ģeklinde yazılırsa;

1 0 I s f h 1 f    (1.81) 2 0 2 2 II s f h 1 f    (1.82) 3 0 3 3 III s f h 1 f    (1.83) 4 0 4 4 IV f h 1 f    (1.84)

eĢitlikleri elde edilir. OrtalanmıĢ merkezi fark ve merkezi fark eĢitliklerinin bu formüllerde yerlerine konulması sonucu bilinmeyen fonksiyonun k noktasındaki yaklaĢık türevleri pivot noktalarındaki bilinmeyen fonksiyon değerleri cinsinden elde edilir. 1 1 k 1 k k I ) f f ( h 2 1 ) x ( f  _  _  (1.85) 2 1 k k 1 k 2 k II ) f f 2 f ( h 1 ) x ( f  _   _  (1.86) 3 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k III ) f f 2 f 2 f ( h 2 1 ) x ( f   _  _  _  _  (1.87) 4 2 k 1 k k 1 k 2 k 4 k IV ) f f 4 f 6 f 4 f ( h 1 ) x ( f  _  _   _  _  (1.88)

En çok kullanılan merkezi fark formülleri matematiksel moleküller Ģeklinde ġekil l.10'da gösterilmiĢtir.

(33)

ġekil 1.10 (Merkezi fark formülleri)

1.2.5. YaklaĢık Kısmi Türev

Bilinmeyen fonksiyonun iki değiĢkene bağlı bir fonksiyon olması durumunda kısmi türevleri merkezi farklar cinsinden elde etmek için (1.85) ve (1.88) formüllerinin xy düzlemi üzerinde alınacak noktalar için uygulanması gerekir.

Ġki değiĢkenli bir (x,y) fonksiyonunun ġekil 1.1l'deki gibi oluĢturulacak bir sonlu fark ağı için (i,j) noktasındaki yaklaĢık kısmi türevleri merkezi farklar cinsinden aĢağıda elde edilmiĢtir.

(34)

ġekil 1.11 (Ġki değiĢkenli fonksiyon için sonlu fark ağı) x , 1 j , 1 i j , 1 i j , i j , i x h 2 1 ) ( h 2 1 x D           _ _ (1.89)

ġekil l.12 (Dx kısmi türevi)

y , 1 1 j , i 1 j , i j , i j , i y k 2 1 ) ( k 2 1 y D           _ _ (1.90)

(35)

ġekil 1.13 (Dy kısmi türevi) } ) ( k 2 1 ) ( k 2 1 ) ( k 2 1 ) ( k 2 1 { h 2 1 k 2 1 ) ( k 2 1 x ) y ( x y x D 1 i y , 1 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 i y , 1 1 j , 1 i 1 j , 1 i j , i y , 1 1 j , i 1 j , i j , i j , i 2 j , i 2 xy                                                                     xy , 1 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i j , i 2 xy hk 4 1 ) ( hk 4 1 D    _ _  _ _ _ _  _ _   (1.91)



1,xy  (1,y)i1 (1,y)i1



x , 2 2 j , 1 i j , i j , 1 i 2 j , i 2 xx h 1 ) 2 ( h 1 D    _   _   (1.92) y , 2 2 1 j , i j , i 1 j , i 2 j , i 2 yy k 1 ) 2 ( k 1 D    _     _   (1.93)

(36)

ġekil l.14 ( 2 xy D kısmi türevi) ġekil 1.15 ( 2 xx D ve 2 yy D kısmi türevleri)                            1,j i,j i 1,j 2 2,x i 2 j , i 2 2 j , i 2 3 j , i 3 xxy h 1 ) 2 ( h 1 y ) x ( y y x D

(37)

} ) ( h 1 ) 2 ( h 1 ) ( h 1 ) 2 ( h 1 { k 2 1 1 j x , 2 2 1 j , 1 i 1 j , i 1 j , 1 i 2 1 j x , 2 2 1 j , 1 i 1 j , i 1 j , 1 i 2                                      y x , 3 2 1 j , 1 i 1 j , i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , i 1 j , 1 i 2 j , i 3 xxy 2 kh 2 1 ) 2 2 ( kh 2 1 D                           (1.94) } ) ( k 1 ) 2 ( k 1 ) ( k 1 ) 2 ( k 1 { h 2 1 k 1 ) 2 ( k 1 x ) y ( x y x D 1 i y , 2 2 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 2 1 i y , 2 2 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 2 y , 2 2 1 j , i j , i 1 j , i 2 j , i 2 2 j , i 2 3 j , i 3 xyy                                                                  2 xy , 3 2 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 2 j , i 3 xyy hk 2 1 ) 2 2 ( hk 2 1 D                           (1.95)



₃_,_xy2 (2,y)i_1(2,y)i_1



} ) ( k 1 ) 2 ( k 1 ) ( k 1 ) 2 ( k 1 2 ) ( k 1 ) 2 ( k 1 { h 1 k 1 ) 2 ( k 1 x ) y ( x y x D 1 i y , 2 2 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 2 i y , 2 2 1 j , i j , i 1 j , i 2 1 i y , 2 2 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 2 2 y , 2 2 1 j , i j , i 1 j , i 2 2 j , i 2 2 2 j , i 2 2 4 j , i 4 xxyy                                                                               2 2 y x , 4 2 2 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , i j , i 1 j , i 1 j , 1 i j , 1 i 1 j , 1 i 2 2 j , i 4 xxyy k h 1 ) 2 2 4 2 2 ( k h 1 D                                  (1.96)

(38)



₄_,_x2_y2(2,y)i12(2,y)i (2,y)i1



ġekil l.16 ( 3 xxy D ve 3 xyy D kısmi türevleri) ġekil 1.17 ( 4 xxyy D kısmi türevi)

(39)

x , 3 3 j , 2 i j , 1 i j , 1 i j , 2 i 3 j , i 3 xxx h 2 1 ) 2 2 ( h 2 1 D   _  _  _  _   (1.97) y , 3 3 2 j , i 1 j , i 1 j , i 2 j , i 3 j , i 3 yyy k 2 1 ) 2 2 ( k 2 1 D    _   _   _  _   (1.98) ġekil 1.18 ( 3 xxx D ve 3 yyy D kısmi türevleri) } ) ( h 2 1 ) 2 2 ( h 2 1 ) ( h 2 1 ) 2 2 ( h 2 1 { k 2 1 h 2 1 ) 2 2 ( h 2 1 y ) x ( y y x D 1 j x , 3 3 1 j , 2 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 2 i 3 1 j x , 3 3 1 j , 2 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 2 i 3 x , 3 3 j , 2 i j , 1 i j , 1 i j , 2 i 3 j , i 3 3 j , i 3 4 j , i 4 xxxy                                                                                  y x , 4 3 1 j , 2 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 2 i 1 j , 2 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 2 i 3 j , i 4 xxxy 3 kh 4 1 ) 2 2 2 2 ( kh 4 1 D                                    (1.99)



4,x3y(3,x)j1(3,x)j1



(40)

                                                                                  1 i y , 3 3 2 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 2 j , 1 i 3 1 i y , 3 3 2 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 2 j , 1 i 3 y , 3 3 2 j , i 1 j , i 1 j , i 2 j , i 3 j , i 3 3 j , i 3 4 j , i 4 xyyy ) ( k 2 1 ) 2 2 ( k 2 1 ) ( k 2 1 ) 2 2 ( k 2 1 { h 2 1 k 2 1 ) 2 2 ( k 2 1 x ) y ( x y x D 3 xy , 4 3 2 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 2 j , 1 i 2 j , 1 i 1 j , 1 i 1 j , 1 i 2 j , 1 i 3 j , i 4 xyyy kh 4 1 ) 2 2 2 2 ( kh 4 1 D                                    (1.100)



4,xy3 (3,y)i1 (3,y)i1



ġekil 1.19 ( 4 xxxy D ve 4 xyyy D kısmi türevleri) x , 4 4 j , 2 i j , 1 i j , i j , 1 i j , 2 i 4 j , i 4 xxxx h 1 ) 4 6 4 ( h 1 D   _   _     _  _   (1.101) y , 4 4 2 j , i 1 j , i j , i 1 j , i 2 j , i 4 j , i 4 yyyy k 1 ) 4 6 4 ( k 1 D    _   _     _  _   (1.102)

(41)

ġekil 1.20 ( 4 xxxx

D ve 4 yyyy

(42)

2. SĠLĠNDĠRĠK KABUKLARIN GENEL TEORĠSĠ

2.1. Eksenine Göre Simetrik Olarak YüklenmiĢ Silindirik Kabuklar

Pratikte sık sık eksenine göre simetrik olarak yüklenmiĢ silindirik kabuklara ait problemlerle karĢılaĢılır. Buhar basıncı etkisindeki silindirik kazanlardaki gerilme yayılıĢı, eksenleri düĢey olan ve iç sıvı basıncı etkisindeki silindirik kaplardaki gerilmeler ve uniform iç basınç etkisindeki dairesel borulardaki gerilmeler bu tür problemlere örnek olarak gösterilebilir.

Bu problemlerin çözümü için gerekli olan denklemleri çıkarmak için ġekil 2.1'de gösterildiği gibi bir eleman ve bu elemanın denge denklemlerini gözönüne alalım. Simetriden dolayı, bu durumda Nx  Nx kesme kuvvetlerinin sıfır olduğu ve N

kuvvetlerinin çevre boyunca sabit olduğu görülür. Kesme kuvvetlerine bakılacak olunursa, yalnız Qx kuvvetlerinin sıfır olmadığı anlaĢılır. ġekil 2.1'deki elemana etki

eden momentleri gözönüne alacak olursak, yine simetriden dolayı Mx  Mx burulma momentlerinin sıfır olduğu ve M_ eğilme momentlerinin çevre boyunca sabit olduğu görülür.

(43)

ġekil 2.1 (Silindirik kabuk üzerinde alınan diferansiyel eleman)

Bu simetri Ģartlarına göre elemanın altı denge denkleminden üçü özdeĢ olarak sağlanır ve geriye kalan üç denklemi gözönüne almak yeterli olur. DıĢ kuvvetlerin sadece yüzeye normal bir basınç olduğu düĢünülürse, bu üç denge denklemi aĢağıdaki gibi olacaktır.

0 adxd Q adxd dx dM 0 Zadxd dxd N adxd dx dQ 0 adxd dx dN x x x x              (2.1)

Ġlk denklem Nx'in sabit olduğunu göstermektedir ve burada ihmal edilecektir. Bu

kuvvetlerin ihmal edilemeyecek kadar büyük olduğu durumlarda, bu kuvvetlerin etkisiyle oluĢacak deformasyon ve gerilmeler hesaplanıp, silindir yüzeyine dik doğrultudaki kuvvetlerin etkisiyle oluĢacak deformasyon ve gerilmelerin üzerine süperpoze edilebilir. Geriye kalan iki denklem ise aĢağıdaki gibi basitleĢtirilerek yazılabilir.

(44)

0 Q dx dM Z N a 1 dx dQ x x x      _ (2.2)

Bu iki denklemde N_, Qx ve Mx bilinmeyenleri bulunmaktadır. Bu sebeple

problemi çözmek için kabuğun orta yüzeyindeki noktalarının yerdeğiĢtirmelerini gözönüne almak gerekir.

Simetriden dolayı çevre doğrultusundaki yerdeğiĢtirmenin v bileĢeni sıfırdır. Bu nedenle sıra ile yalnız, x ve y doğrultusundaki u ve  bileĢenlerinin gözönüne almak yeterlidir. Bu durumda ĢekildeğiĢtirme ifadeleri aĢağıdaki Ģekli alır.

a dx du x        (2.3)

Bu durumda Hooke kanunu uygulanırsa aĢağıdaki denklemler elde edilir.

) dx du a ( 1 Eh ) ( 1 Eh N 0 ) a dx du ( 1 Eh ) ( 1 Eh N 2 x 2 2 x 2 x                              (2.4) Bu denklemlerin birincisinden a dx du    (2.5) ve ikincisinden de a Eh N_    (2.6)

bağıntıları elde edilir. Eğilme momentleri gözönüne alınırsa, simetriden dolayı çevre doğrultusundaki eğriliğin değiĢmediği anlaĢılır. x doğrultusundaki eğrilik için aĢağıdaki eĢitlik yazılabilir.

2 2 x dx d     (2.7)

(45)

2 2 x x dx d D M M M       (2.8)

eĢitlikleri elde edilir. Burada D kabuğun eğilme rijitliğidir ve aĢağıdaki bağıntıyla tanımlıdır. ) 1 ( 12 Eh D 2 3    (2.9)

(2.2) denklemlerine dönülerek, bu denklemlerde Qx yok edilirse

Z N a 1 dx M d 2 x 2    _ (2.10)

eĢitliği elde edilir. (2.6) ve (2.8) eĢitlikleri (2.9) denkleminde yerlerine konulursa, aĢağıda verilen diferansiyel denklem elde edilir.

Z a Eh ) dx d D ( dx d 2 2 2 2 2     (2.11)

Böylelikle dairesel silindirik kabukların simetrik deformasyonuna ait tüm problemler (2.11) denklemininin integrasyonuna indirgenmiĢ olur.

Bu denklemin en basit uygulaması kabuk kalınlığının sabit olması halinde elde edilir. Bu durumda (2.11) denklemi Ģu hali alır;

Z a Eh dx d D ₄ ₂ 4     (2.12) AĢağıda verilen notasyon kullanılarak denklem görüldüğü gibi daha basit bir Ģekilde gösterilebilir. 2 2 2 2 4 h a ) 1 ( 3 D a 4 Eh     (2.13) D Z 4 dx d 4 4 4      (2.14) Bu denklemin genel çözümü aĢağıda verilmiĢtir.

) x ( f ) x sin C x cos C ( e ) x sin C x cos C ( e x ₁   ₂   x ₃   ₄       (2.15)

(46)

Burada f(x), (2.14) denkleminin özel bir çözümü C1,...C4 her özel halde silindirin

uçlarındaki Ģartlardan belirlenen integrasyon sabitleridir.

ġekil 2.2'deki gibi x = 0 kenarında, kenar boyunca düzgün dağılmıĢ M0 eğilme

momentleriyle, Q0 kesme kuvvetlerinin uygulandığı sonsuz uzun dairesel bir boruyu

örnek olarak alalım.

ġekil 2.2 (Sonsuz uzun dairesel boru)

Kabuk yüzeyi boyunca düzgün dağılmıĢ Z basıncı yoktur. Bu nedenle (2.15) denklemi içerisindeki özel çözüm f(x) = 0 olacaktır. Kenar boyunca uygulanan kuvvetlerin etkisiyle oluĢacak bölgesel eğilme, yüklenen uçtan itibaren ölçülen x mesafesinin artıĢıyla beraber hızla azalacaktır. Bu varsayım kullanılarak (2.15) denkleminin ilk teriminin ihmal edilebileceği sonucuna varılır.

) x sin C x cos C ( e x ₃   ₄     (2.16) Bu halde C3, ve C4 sabitleri yüklü uçtaki Ģartlardan belirlenebilir ki bu Ģartlar

Ģunlardır 0 0 x 3 3 0 x x 0 x x 0 0 x 2 2 0 x x Q ) dx d ( D ) dx dM ( ) Q ( M ) dx d ( D ) M (               (2.17)

(47)

D 2 M C ) M Q ( D 2 1 C 2 0 4 0 0 3 3        (2.18)

eĢitlikleri elde edilir ve sonuç olarak (2.16) ifadesi aĢağıdaki Ģeklini alır.



M (sin x cos x) Q cos x



D 2 e 0 0 3 x            (2.19)

En büyük yerdeğiĢtirme yüklü uçta olacaktır. Bu durumda (2.19) ifadesinde x yerine sıfır koyularak hesaplanacak max. yerdeğiĢtirme aĢağıdaki Ģekilde olacaktır.

) Q M ( D 2 1 ) ( ₀ ₀ 3 0 x max         _ (2.20)

Buradaki - iĢareti, yerdeğiĢtirme pozitif yönünün dıĢarıdan silindir eksenine doğru seçilmiĢ olmasının sonucudur. Yüklenen uçtaki eğim (2.19) denkleminin türevi alınarak bulunabilir.





) Q M 2 ( D 2 1 ) x sin x (cos Q x cos M 2 D 2 e ) dx d ( 0 0 2 0 x 0 0 2 x 0 x                  (2.21)

AĢağıdaki notasyon kullanılarak, yerdeğiĢtirme ve yerdeğiĢtirmenin ardıĢık türevleri daha basit bir Ģekilde yazılabilir.

x sin e ) x ( x cos e ) x ( ) x sin x (cos e ) x ( ) x sin x (cos e ) x ( x x x x                             (2.22)

(48)















2 M ( x) Q ( x)



D 1 dx d ) x ( Q 2 ) x ( M 2 D 2 1 dx d ) x ( Q ) x ( M 2 D 2 1 dx d ) x ( Q ) x ( M D 2 1 0 0 3 3 0 0 2 2 0 0 2 0 0 3                                      (2.23) ġekil 2.3 ( ve  fonksiyonları) ) x (

 ve (x) fonksiyonları grafik olarak ġekil 2.3'de gösterilmiĢtir. Bu eğrilerden kabuğun eğilmesini karakterize eden fonksiyonların x'in büyük

değerleri için 0'a yakınsadığı görülebilir.

Mx momenti ve  deformasyonu (2.23) denklemlerinden bulunursa, M eğilme

momenti (2.8) denklemlerinin ikincisinden, N_ kuvveti de (2.6) denkleminden elde edilebilir.

(49)

2.2 Dairesel Silindirik Kabukların Simetrik Deformasyonunun Özel Halleri 2.2.1. Düzgün DağılmıĢ Çizgisel Yük Altındaki Uzun Silindirik Kabuk

ġekil 2.4 (Çizgisel yüklü uzun silindirik kabuk)

ġekil 2.4 a'da görülen P Ģiddetindeki çizgisel yükün silindirin uçlarından yeteri kadar uzak olması dummunda (2.19) çözümü kabuğun iki yarısı için de kullanılabilir. Simetriden dolayı Q0 = -P / 2 olacaktır. Bu durumda kabuğun sağ kısmı için aĢağıda

verilen eĢitlik yazılabilir.

               x cos 2 P ) x cos x (sin M D 2 e 0 3 x (2.24)

Burada x yükün uygulandığı kesitten itibaren ölçülen mesafedir. (2.24) denklemindeki M0 momentinin hesaplamak için simetri nedeniyle orta kesitteki

eğimin 0 olmasından yararlanılabilir. (2.21) denklemi kullanılarak

0 2 P M

2 ₀  

eĢitliği yazılabilir. Buradan

 

4 P

M₀ (2.25)

olarak elde edilir. Bu değer (2.24) denkleminde yerine konulursa ) x ( D 8 P ) x cos x (sin D 8 Pe 3 3 x             (2.26)

(50)

eĢitliğine ulaĢılır. Bu denklemlerden yararlanarak deformasyonun x'e göre çeĢitli dereceden türevleri aĢağıda verilen Ģekilde elde edilir.

) x ( D 2 P x cos e D 8 P 4 dx d ) x ( D 4 P ) x cos x (sin e D 8 P 2 dx d ) x ( D 4 P x sin e D 8 P 2 dx d x 3 3 3 3 x 3 2 2 2 2 x 3                                      (2.27)

(2.2) ve (2.8) eĢitlikleri kullanılarak Mx eğilme momenti ve Qx kesme kuvveti için

aĢağıda verilen eĢitlikler yazılabilir.

3 3 x 2 2 x dx d D Q dx d D M      

(2.27) denklemleri bu eĢitliklerde yerlerine konulursa

) x ( 2 P Q ) x ( 4 P M x x         (2.28)

(51)

ġekil 2.5 (Deformasyon, eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramları) Görülüyor ki en büyük deformasyon P'nin altında oluĢacaktır ve değeri (2.26) denkleminden aĢağıdaki Ģekilde hesaplanabilir.

Eh 2 Pa D 8 P 2 3 max      (2.29)

En büyük eğilme momenti ise yine yükün altında oluĢup değeri (2.28) denkleminden aĢağıdaki Ģekilde hesaplanabilir.

 

4 P

M_max (2.30)

Kesme kuvvetinin en büyük değerinin hesaba gerek kalmadan simetri nedeniyle P/2 olduğu görülebilir.

ġekil 2.5 incelendiğinde x >  için kabuğun eğilmesini belirleyen miktarların çok küçük olduğu görülür. Bu da eğilmenin lokal karakterde olduğunu ve l = 2 uzunlığunda, ortasından yüklü bir kabuğun pratik olarak çok uzun bir kabukla aynı maksimum eğilmeye ve aynı maksimum gerilmeye sahip olduğunu gösterir.

Çizgisel yük çözümü, süperpozisyon ilkesi kullanılarak silindirin belirli bir uzunluğu boyunca yayılmıĢ simetrik yük durumu için kullanılabilir.