Kuantum noktalarının sonlu farklar yöntemi ile çözümü

(1)

KUANTUM NOKTALARININ SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ

Yaşam SAFTEN YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ Edirne-2007

(2)

Yaşam SAFTEN

YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ EDİRNE-2007

(3)

Yaşam SAFTEN

YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI

Bu tez 7 Haziran 2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından kabul edilmiştir.

Yrd. Doc. Dr. Şaban AKTAŞ Yrd. Doc. Dr. Mustafa ULAŞ Yrd. Doc. Dr. Erdem UÇAR

(4)

ÖZET

Bu çalışmada, teknolojik uygulamalarda önemli yer tutan düşük boyutlu yapıların fiziksel özellikleri incelenmiştir. Temel olarak GaAs/AlxGa1-xAs kuantum

kuyu ve noktalarına hapsedilen bir elektronun özellikleri incelenmiştir. Son zamanlarda bu yapıların çözümlerinde sonlu farklar yöntemi kullanılmaya başlanmıştır. Bundan dolayı bu çalışmada sonlu farklar yönteminin düşük boyutlu yapılara nasıl uygulanacağını gösterdik.

Hesaplamalarda efektif kütle yaklaşımı kullanılmıştır. Sonsuz ve sonlu kare kesitli kuantum kuyularının çözümünde ortaya çıkan diferansiyel denklemler analitik , Runge-Kutta ve Sonlu Farklar yöntemiyle çözülmüştür. Taban durum enerjileri hesaplanmış ve karşılaştırılmıştır.

Değişik kesitli kuantum kuyularının taban durumları incelenmiştir. Sisteme elektrik alan uygulandığında ve yabancı atom konulduğunda taban durum enerjileri kuantum kuyu genişliğine bağlı olarak incelenmiştir.

Daha sonra küresel kuantum noktasının çözümü araştırılarak enerji seviyeleri hesaplanmıştır. Bu sisteme yabancı atom konulduğunda ve değişik manyetik alan altında enerji seviyelerindeki değişim incelenmiştir. Son olarak da bu sistemin bağlanma enerjisi bulunmuştur.

(5)

SUMMARY

In this work, physically properties of low dimensional structures, which have a great importance in technological applications, are investigated. Basically the properties of an electron confined in the GaAs/AlxGa1-xAs quantum well and quantum dots are

investigated. At recent times, using finite difference methods starts for the solutions of these structures. For that reason we showed how the finite difference methods will applicate on low dimensional structures in this work.

The calculations are performed using the effective mass approximation. The differential equations which appeared due to solutions of finite and infinite square cross sectioned quantum well, are solved by analytic, Runge Kutta and finite difference methods. The ground state energies are calculated and compared.

The ground states of different cross sectioned quantum wells are investigated. We investigated the ground state energies of the system due to width of quantum wells when impurity and electric field effects on the system.

And then solution of spherical quantum dot is investigated and energy levels are calculated. We investigated changing of the energy levels under impurity and different magnetic fields affect on the system. At last we found binding energy of this system.

(6)

TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı gerçekleştirebilmem için bana imkan sağlayıp, tez yöneticiliğini üstlenen, çalışmamın her aşamasında yol gösteren, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen, elindeki tüm imkanları sınırsız olarak sunan değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ’a teşekkürlerimi sunmayı zevkli bir görev sayarım.

Bu çalışma süresince gerekli olan tüm imkanları sağlayan Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölüm Başkanı Prof. Dr. Hasan AKBAŞ’a, çalışmam boyunca yardımlarını esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. Figen BOZ’a ve Öğr. Gör. Abdullah BİLEKKAYA’ya teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca bu tez Trakya Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Müdürlüğü tarafından TÜBAP-754 nolu projeyle desteklenmiştir. Trakya Üniversitesi Araştırma Projeleri Müdürlüğüne katkılarından dolayı teşekkür ederiz.

Her zaman yanımda olan ve desteğini esirgemeyen aileme ve arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

(7)

İÇİNDEKİLER Sayfa No ÖZET……….i SUMMARY………...ii TEŞEKKÜR………....iii İÇİNDEKİLER....………...……iv ŞEKİLLERİN LİSTESİ…..………...………vi BÖLÜM 1: GİRİŞ………..……….1

BÖLÜM 2: DÜŞÜK BOYUTLU YAPILARDA ÇÖZÜMLER………..………6

2.1. Kuantum Kuyularının Oluşturulması………...………...6

2.2. Kuantum Kuyusunun Çözümü…...……….7

2.3. Küresel Simetrik Potansiyelde Kuantum Noktasının İncelenmesi...………15

BÖLÜM 3: SONLU FARKLAR YÖNTEMİ………...………...23

3.1. Diferansiyel Denklemlerin Nümerik Yöntemlerle Çözümü………...……..23

3.1.1. Sonlu Farklar Yöntemi………...………23

3.1.2. Fark Operatörleri…………...……….24

BÖLÜM 4: SONLU FARKLAR YÖNTEMİNİN KUANTUM KUYU VE NOKTASINA UYGULANIŞI………..……….26

4.1. Kuantum Kuyusunun Sonlu Farklar Yöntemi İle Çözümü………..26

4.1.1. Elektrik Alan Etkisi……...……….31

4.1.2. Yabancı Atom Katkısı...……….33

4.1.2.1. λ Varyasyonel Parametresinin Belirlenmesi……...…...35

(8)

4.2.1. Küresel Kuantum Noktası İçin Sisteme Manyetik Alan Etkisi...54

4.2.2. Sonlu Farklar Yöntemi İle Manyetik Alan Etkisinde Küresel .Noktanın Çözümü………..……….62

SONUÇ VE TARTIŞMA………..………82

KAYNAKLAR………...………84

(9)

ŞEKİLLERİN LİSTESİ:

Şekil-1.1: Düşük boyutlu yapılar farklı tür yarı iletkenlerin bir araya getirilmesiyle

oluşturulur. 2

Şekil-1.2: Kuantum kuyusunun bant yapısı. 2

Şekil-1.3: Tek boyutta sınırlama 3

Şekil-1.4: İki boyutta sınırlama 3

Şekil-1.5: Üç boyutta sınırlama 4

Şekil-2.1: Kuantum Kuyusunun Oluşturulması 6

Şekil-2.2: Sonlu Kuantum Kuyusu 7

Şekil-3.1: Farklar Tablosu 24

Şekil-4.1: Sonlu Farklar Yönteminde noktaların gösterimi 27 Şekil-4.2: Sonlu kuantum kuyusuna sonlu farklar yönteminin uygulanışı 28 Şekil-4.3: Sisteme yabancı atom eklediğimiz durum 33 Şekil-4.4: Sisteme elektrik alan altında yabancı atomun katkısı 33 Şekil-4.5: Sonsuz Kare Kuyu için taban durum enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi

38 Şekil-4.6: Sonlu Kare Kuyu için taban durum enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi 39 Şekil-4.7: Sonsuz kuyuda elektrik alan yokken ilk üç enerji seviyesi için dalga

fonksiyonu 40

Şekil-4.8: Sonlu kare kuyuda elektrik alan yokken ilk iki enerji seviyesi için dalga

fonksiyonu 41

Şekil-4.9: Parabolik kuyuda elektrik alan yokken ilk iki enerji seviyesi için dalga

fonksiyonu 42

Şekil-4.10: Farklı elektrik alan etkisinde sonsuz kuyu için taban durum enerjisinin kuyu

genişliğiyle değişimi 43

Şekil-4.11: Farklı elektrik alan etkisinde sonlu kuyu için taban durum enerjisinin kuyu

genişliğiyle değişimi 44

Şekil-4.12: Farklı elektrik alan etkisinde parabol kuyu için taban durum enerjisinin kuyu

(10)

Şekil-4.13: Farklı elektrik alan etkisinde sonsuz kuyu için yabancı atomlu taban durum enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi 47 Şekil-4.14: Farklı elektrik alan etkisinde sonlu kuyu için yabancı atomlu taban durum

enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi 48 Şekil-4.15: Farklı elektrik alan etkisinde parabol kuyu için yabancı atomlu taban durum

enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi 49 Şekil-4.16: Farklı elektrik alan etkisinde sonsuz kuyu için yabancı atomlu taban durum

bağlanma enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi 50 Şekil-4.17: Farklı elektrik alan etkisinde sonlu kare kuyu için yabancı atomlu taban

durum bağlanma enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi 51 Şekil-4.18: Farklı elektrik alan etkisinde parabol kuyu için yabancı atomlu taban durum

bağlanma enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi 52

Şekil-4.19: Küresel Kuantum Noktası 53

Şekil-4.20: Dalga fonksiyonlarının farklar tablosu üzerindeki gösterimi 65 Şekil-4.21: Sonlu farklar yöntemiyle kuantum noktanın çözümü 74 Şekil-4.22:Yabancı atom eklenmiş durumda sonlu farklar yöntemiyle kuantum

noktasının çözümü 76

Şekil-4.23:Bağlanma Enerjisi 78

Şekil-4.24:Sonlu farklar yöntemiyle manyetik alan etkili(B=5) kuantum nokta çözümü 79

Şekil-4.25: Sonlu farklar yöntemiyle manyetik alan etkili(B=10) kuantum nokta çözümü 80

Şekil-4.26: Sonlu farklar yöntemiyle manyetik alan etkili(B=20) kuantum nokta çözümü 81

(11)

BÖLÜM 1

GİRİŞ

Çağımız teknolojisindeki gelişmelerin sonucu olarak, laboratuar MBE (Molecular Beam Epitaxy) ve LPE(Liquid Phase Epitaxy) üretim teknikleri ile kuantum kuyuları özelliğinde elektronik devre elemanları üretilmiştir. Bu tekniklerle bir taban üzerine, birkaç atom kalınlığında farklı yarı iletkenlerin katmanlarını oluşturmak mümkündür. Bu teknikle üretilen elektronik devre elemanlarının fiziği son günlerde fizik ve elektronik dünyasında çok büyük ilgi görmektedir.

Yarı iletken yapılar, Bardeen ve Brattain tarafından 1947 yılında transistorün keşfedilmesinden bu yana çok hızlı bir şekilde gelişti. Yarı iletken bellekler bize video ve güçlü bilgisayarı getirdi. Günümüz cihazları mikron altı boyutlara küçülmüş ve bir santimetre karelik yongalar üzerine milyonlarca eleman yerleştirmeye olanak sağlamıştır. Bunlara paralel olarak, 1960’larda geliştirilen buhar fazı epitaksi (yunanca. üst üste büyütme) yönteminden yeni kristal büyütme teknolojisi yaratıldı. Bunlar sırasıyla yukarıda da bahsedildiği gibi Moleküler Demet Büyütme, Kimyasal Buhar Depolama, ve Sıvı Faz Büyütme yöntemleridir. Bu yöntemlerle, boyutları 10-6 cm’den daha küçük düşük boyutlu yapılar yapma olanağına kavuşuldu.(Ilaiwi ve Tomak,1990). Bu gelişmeler ışığı altında düşük boyutlu yapı olarak tanımlanan kuantum kuyusu, kuantum kuyu teli ve kuantum noktaları üzerine birçok araştırma yapılmıştır.(Lee ve Spector, 1983; Latge vd.,1992; Ulaş vd., 1997; Latge,1996; Wang ve Berggren, 1998; De Carvalho vd., 1999; Barticevic vd., 2000; Cantele vd., 2000; Manaselyan vd. 2002).

Düşük boyutlu yapılara dışardan uygulanan bir elektrik alan elektron dağılımının bir polarizasyonuna sebep olur ve kuantum enerji durumlarını değiştirir. (Akbaş vd. 1995; Chao vd. 1995; Montes vd. 1998; Aktaş ve Boz, 2004).

Dışarıdan uygulanan manyetik alanının düşük boyutlu yapıların elektronik özelliklerini değiştirdiği gözlendi. Manyetik alanın yarattığı bu özellik yapının kendisini

(12)

değiştirmeden elektronik özelliğini değiştirdiği için önemli bir araştırma alanıdır. (Branis vd. 1993; Riberio vd. 1998;Barticevic vd. 2000; Niculescu 2001; Sarı vd. 2004).

Şekil-1.1:Düşük boyutlu yapılar farklı tür yarı iletkenlerin bir araya getirilmesiyle oluşturulur.

Düşük boyutlu yapılar Şekil-1.1’de gösterildiği gibi farklı tür yarı iletkenlerin bir araya getirilmesiyle oluşturulur.(C. Kittel, 1996). Şekil-1.2’de kuantum kuyusunun bant yapısı verilmiştir. Bu yapıya bir elektron eklersek, elektronlar düşük enerji seviyelerini tercih etmek isteyeceklerdir.

Şekil-1.2: Kuantum kuyusunun bant yapısı. e -z x y A maddesi B maddesi A _maddesi 1 g E Eg₂

E

_g₁ İletkenlik Bandı Yasak Enerji Aralığı Valans Bandı

(13)

Kuantum kuyusunda serbest elektron hareketi Şekil-1.3’de görüldüğü gibi x yönünde sınırlanmıştır. y ve z yönlerinde ise serbesttir.

Serbest elektronun hareketi, oluşturulacak potansiyel duvarlar yardımı ile sınırlandırılabilir.

Şekil-1.3: Tek boyutta sınırlama

Şekil-1.4’te gösterildiği gibi elektron hareketi iki boyutta sınırlandırılırsa kuantum teli elde edilmiş olur.

Şekil-1.4: İki boyutta sınırlama z y x x z y serbest

(14)

Bir elektronun hareketini Şekil-1.5’teki gibi üç boyutta sınırlarsak kuantum noktasını elde ederiz.

Şekil-1.5: Üç boyutta sınırlama

Bu çalışmada yukarıda tanımlamış olduğumuz düşük boyutlu yapılardan değişik kesitli kuantum kuyusunu ve kuantum noktasını ele alıyoruz. Amacımız daha önce varyasyon, Runge-Kutta gibi nümerik yöntemlerle çözülen bu sistemleri bilgilerimize göre ilk defa bizim tarafımızdan çalışılan farklı bir nümerik yöntem olan sonlu farklar yöntemiyle çözmektir.

İşlemlerimizi yaparken başlangıçta sonsuz ve sonlu kare kesitli kuantum kuyusunun taban durum enerjisi ile kuyu genişliği değişimini 4. mertebe Runge-Kutta nümerik yöntemiyle sonlu farklar yöntemini kullanarak karşılaştırdık. Sonuçlarımızın uyumlu çıktığı görülmüştür. Daha sonra sonlu farklar yöntemini kullanarak değişik kesitli kuantum kuyularında yabancı atom ve elektrik alan varken ve yokken taban durum enerjilerini inceledik.

İkinci olarak da kuantum noktasını sonlu farklar yöntemini kullanarak ele aldık. Burada ise sonlu kuantum noktasının taban durum enerjisi, birinci, ikinci ve üçüncü uyarılmış durumlarını kuantum noktasının yarıçapına bağlı olarak inceledik.

Daha sonra yine sonlu farklar yöntemini kullanarak kuantum noktasının yabancı atom ve manyetik alan varkenki taban durum enerjisi, birinci, ikinci ve üçüncü uyarılmış durumlarını nokta genişliği değişimine göre inceledik.

x z

(15)

Son olarak da her iki yapıda da sisteme yabancı atom katılmasıyla, bağlanma enerjilerinin nokta genişliğinin değişimine göre davranışlarını inceledik.

Bu tezdeki nümerik hesaplarda, Fortran 77 programlama dilinde kendi yaptığımız programlar kullanılmıştır.

(16)

BÖLÜM 2

DÜŞÜK BOYUTLU YAPILARDA ÇÖZÜMLER

2.1 KUANTUM KUYULARININ OLUŞTURULMASI

Ga1-xAlxAs ve GaAs malzemeleriyle bir yapı oluşturulduğunda, oluşan yapı için

‘z’ yönündeki potansiyel değişimi aşağıdaki gibi olur. Buradaki ‘x’ ifadesi yapının oluştuğu malzemelerin (Ga,Al) oranını belirler. Yani bir malzeme diğerine göre yüzde kaç daha fazla veya daha az olacaktır. Buradaki ‘x’ malzemede bulunan alüminyum miktarını belirler.(Erdoğan İ., 1997) Valans Bandı Ga1-xAlxAs GaAs Ga1-xAlxAs V 0 _z Vh Ey İletkenlik Bandı Yasak Enerji Aralığı

(17)

2.2 KUANTUM KUYUSUNUN ÇÖZÜMÜ

Kuantum kuyusunda bir elektronun hareketini incelerken Schrödinger dalga denkleminin çözümünü kullanıyoruz. Parçacığın hapsedildiği potansiyel duvarın yüksekliğine göre sonlu kuantum kuyusu ve sonsuz kuantum kuyusu oluşmaktadır. İlk olarak sonlu kuantum kuyusu incelenecektir.

Şekil-2.2 Sonlu Kuantum Kuyusu

Potansiyel fonksiyonu, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +∞ < < ≤ ≤ − − < < ∞ − = x L V L x L L x V x V 2 / 2 / 2 / 0 2 / ) ( 0 0 (2.1)

olarak tanımlanır. Dalga fonksiyonu ve enerji özdeğerleri,

z y x E E E E ) ( ) ( ) ( ) , , ( + + = = x y z z y x ψ ψ ψ ψ (2.2) formundadır. II. -L/2 L/2 Vo I. III. V(x) x

(18)

Burada y ve z boyutlarında herhangi bir sınırlama yapılmıyor. Sadece x boyutunda sınırlama yapıldığından V(y)=0 V(z)=0 olacaktır (Karaoğlu vd., 1993). Bunları göz önüne alarak hamilton fonksiyonunu ve Schrödinger denklemini yazarsak,

) ( 2 2 2 r V m H r r h _∇_r ₊ − = (2.3)

Rydberg birim sistemine göre yazarak düzenlersek, burada 1R*=5,83meV a*=98,7Ao=1a* ve * *2 * 2 2m =R a h _{şeklindedir.} ) , , ( ) , , ( ) ( 2 z y x E z y x V ψ = Tψ + −∇ (2.4) ) , , ( ) ( ) , , ( ) , , ( 2 2 2 2 2 2 z y x E E E z y x z y x V z y x ⎥_⎦ψ = x + y + z ψ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − (2.5) ) ( ) ( ) ( ) , , (x y z V x V y V z V = + + (2.6)

(2.5) denklemini elde ederiz. x ,y ve z boyutlarında Schrödinger denklemlerini düzenlersek, ) ( ) ( ) ( 2 2 x E x x V x ⎥_⎦ψ = xψ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − (2.7) ) ( ) ( 0 2 2 y E y y ⎥_⎦ψ = yψ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − (2.8) ) ( ) ( 0 2 2 z E z z ⎥_⎦ψ = zψ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − (2.9)

denklemlerini elde etmiş oluruz. Denklem (2.8)’i inceleyecek olursak,

0 ) ( 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ y E y y ψ (2.10)

(19)

Burada 2 y y k E = ve ₂ 2 2 y D ∂ ∂

= dönüşümleri yapılırsa (Karaoğlu vd., 1993).,

(

2 ₊ 2

)

( )₌0 y k D _yψ (2.11)

(

2 ₊ 2

)

₌0 y k D ψ(y)≠0 y ik D₁_,₂ =± (2.12) 2 ' ' ₍ ₎ ) sin( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( y y y y y ik y ik k E B i A B A B A y k i A B y k B A y Be Ae y y y = = − = + − + + = + = − ψ ψ (2.13) ) ( y ψ ’yi düzenlersek, ) sin( ) cos( ) ( ' ' y k B y k A y = _y + _y ψ (2.14)

biçimindeki )ψ( y dalga fonksiyonunu elde ederiz. Aynı işlemleri denklem (2.9) için tekrarlarsak, 2 ) ( z z z ik z ik k E De Ce z z z = + = − ψ serbest parçacık (2.15) ) (z ψ ’yi düzenlersek, ) sin( ) cos( ) ( ' ' z k D z k C z = _z + _z ψ

dalga fonksiyonunu elde ederiz.

(2.7) denkleminin çözümünü incelersek, ) ( ) ( ) ( 2 2 x E x x V x ⎥_⎦ψ = xψ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − (2.16) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 = − + ∂ ∂ − x V x x E x x ψ ψ xψ (2.17)

(20)

0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 = + − ∂ ∂ x E x x V x x xψ ψ ψ (2.18) 0 ) ( ) ) ( ( 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ∂ ∂ x E x V x ψ (2.19) ) (x

ψ dalga fonksiyonu sıfır olamayacağından parantez içindeki ifade sıfır olmalıdır.

0 ) ( 0 ) ) ( ( 2 2 ≠ = − − ∂ ∂ x E x V x ψ (2.20)

Burada )(V(x)−E pozitif olmalıdır.

Vo>E olduğunda I. Bölge; 0 ) ( 2 2 = − − ∂ ∂ E V x o (2.21) ) ( 2 2 E V x = o − ∂ ∂ (2.22) 2 ) (V_o −E =k_x ve ₂ 2 2 x D ∂ ∂ = dönüşümü yapılırsa x k D₁_,₂ = ± (2.23) x k x kx _Be x Ae x)= + − ( 1 ψ (2.24) ∞

− ’da yansıyan dalga olmadığından B=0 olmalıdır,

I. bölge dalga fonksiyonu

x k_x Ae x)= ( 1 ψ (2.25)

(21)

II.Bölge; 0 ) ) ( ( 2 2 = − − ∂ ∂ x E x V x (2.26) 2 / 2 / x L L < <

− aralığında potansiyelin V(x)=0 olması nedeniyle

0 2 2 = + ∂ ∂ x E x (2.27) Burada 2 2 2 D x = ∂ ∂ ve 2 x x E =α dönüşümleri yapılırsa, x i D₁₂ =± α (2.28)

II. bölge çözümü ise,

x D x C x De Ce x x x x i x i x x α α ψ ψ α α sin cos ) ( ) ( ' ' 2 2 + = + = − (2.29)

şeklinde olup α_xifadesi α_x = E_x şeklindedir.

III. Bölge;

III. Bölgenin çözümü I. Bölgeye benzer olduğundan,

x k x k_x _x Fe Ee x)= + − ( 3 ψ (2.30) şeklinde yazılabilir.

Bu bölgedeki dalga fonksiyonu +∞’a giderken sonsuzdan yansıyan dalga olmaması nedeniyle E=0 olur (Karaoğlu vd., 1993)..

III. bölge çözümü ise,

x k_x Fe x)= − ( 3 ψ (2.31)

(22)

I.,II. ve III. bölgeler için tüm çözümleri yeniden yazarsak, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = − _; _III._Bölge Bölge II. ; sin cos Bölge I. ; ) ( ' ' kx ikx Fe x D x C Ae x α α ψ (2.32) 2 ) sin( ' ) cos( ' ) ( y y y y k E y k B y k A y = + = ψ (2.33) 2 ) sin( ' ) cos( ' ) ( z z z z k E z k D z k C z = + = ψ (2.34)

dalga fonksiyonlarını bulmuş oluruz. A,B,C,D katsayılarını belirlemek için sınır şartlarını uygularız: Sınır şartları: ) ( ) ( ) ( ) ( ' 2 ' 1 2 1 x x x x ψ ψ ψ ψ = = ) ( ) ( ) ( ) ( ' 3 ' 2 3 2 x x x x ψ ψ ψ ψ = = (2.35) E = α (2.36) E V k= ₀ − (2.37) 0 2 2 V k = + α (2.38)

(23)

Beş bilinmeyen (A,B,C,D,E) beş denklem olduğu için daima çözüm vardır. E V L E E k L V k − = = = + 0 0 2 2 ) 2 tan( ) 2 tan(α α α (2.39) E V L E E k L V k − = − = − = + 0 0 2 2 ) 2 cot( ) 2 cot(α α α (2.40)

(2.39) denkleminden uzun işlemler sonucunda E tespit edilir.

Bu çalışmada ise farklı kesitli kuantum kuyuları incelenmiştir. Potansiyel formları aşağıdaki gibidir.

Sonsuz kare kuantum kuyusu:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +∞ < < ∞ ≤ ≤ − − < < ∞ − ∞ = x L L x L L x x V 2 / 2 / 2 / 0 2 / ) ( (2.41)

Sonlu kare kesitli kuantum kuyusu:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +∞ < < ≤ ≤ − − < < ∞ − = x L V L x L L x V x V 2 / 2 / 2 / 0 2 / ) ( 0 0 (2.42)

(24)

Parabol kesitli kuantum kuyusu: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +∞ < < ≤ ≤ − − < < ∞ − = x L V L x L x L V L x V x V 2 / 2 / 2 / 4 2 / ) ( 0 2 2 0 0 (2.43)

Daha sonraki bölümlerde bu farklı kesitli kuantum kuyuları için kullanılan metot ve çözümler verilmiştir.

(25)

2.3 KÜRESEL SİMETRİK POTANSİYELDE KUANTUM

NOKTASININ İNCELENMESİ

3 boyutlu uzayda bir V

( )

rr =V(x,y,z) potansiyelinde hareket eden bir

parçacığın toplam enerjisi;

(

p p p

r

V r = r = x2 + y2 +z2 (2.46)

(26)

θ r φ z y x π φ π θ 2 0 0 0 ≤ ≤ ≤ ≤ ∞ ≤ ≤ r

Küresel kuyu potansiyeli küresel simetriye sahiptir.Manyetik etkileşme dışında, bilinen tüm potansiyeller küresel simetriktirler. Küresel simetrik bir potansiyelin uyguladığı kuvvet merkezseldir. Merkezsel bir kuvvetin en önemli özelliği ise, açısal momentumun korunumudur. Açısal momentum operatörü hamiltonyenle sıra değiştirme özelliğine sahiptir ve ortak özvektörlere sahiptirler.

Küresel simetriyi en iyi ifade edebileceğimiz koordinat sistemi küresel koordinatlardır. Küresel simetriyi küresel koordinatlarda

(

r,θ,φ

)

olarak, ifade edersek,

burada;

Sınırlar:

şeklinde değişir. Burada r küre yarıçapı, θ kutup açısını, φ de boylam açısını ifade eder. Küresel koordinatlarda x, y ve z’nin karşılıkları ise aşağıda gösterildiği gibi yazılmaktadır. θ φ θ φ θ cos . sin sin . cos sin . r z r y r x = = = (2.47)

(27)

Schrödinger denklemini kutupsal koordinatlarda yazmak için önce kısmi türevleri

(

r,θ,φ

)

değişkenleri cinsinden yazmak gerekir. x değişkeni ile

(

r,θ,φ

)

değişkenleri arasında zincir kuralı uygulayıp

x

∂

∂ψ _{operatörü için bunu hesaplarsak ,}

)

3 2 2 2 sin r dz r z zydy zxdx r zdr rdz d = − = + + − − θ θ (2.53)

(28)

2 2 cos 1 x ydx xdy dφ = − φ (2.54) x r ∂

∂ _{kısmi türevini bulmak için (2.52) bağıntısında y ve z sabit tutulursa (dy=dz=0),}

(2.52) denkleminden, φ θcos sin = = ∂ ∂ r x x r (2.55) (2.53) denkleminden, r r zx x φ θ θ θ cos cos sin 3 = = ∂ ∂ (2.56) (2.54) denkleminden, θ φ φ φ sin sin cos2 2 r x y x =− =− ∂ ∂ (2.57)

denklemleri elde edilir. Tüm bu denklemleri (2.48) denkleminde yerine koyarsak,

φ ψ θ φ θ ψ φ θ ψ φ θ ψ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ sin sin cos cos cos sin r r r x (2.58)

(29)

Buradan ₂ 2 x ∂ ∂ ψ , ₂ 2 y ∂ ∂ψ , ₂ 2 z ∂ ∂ ψ

ifadeleri bulunur ve küresel koordinatlarda

Schrödinger denklemi elde edilir.

( )

ψ ψ ψ φ θ θ θ θ θ r V r E r r r r r m ⎥_⎦ + = ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − 2 ₂ ₂ ₂ 2₂ 2 * 2 sin 1 sin sin 1 1 2 h (2.59)

olarak yazılır. ψ dalga fonksiyonu

(

r,θ,φ

)

koordinatlarının bir fonksiyonudur.

Potansiyelin sadece r değişkenine bağlı oluşu nedeniyle, değişken ayrımı yöntemini uygularsak,

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θ φ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ θ θ θ θ φ θ φ θ , , , , , , sin 1 2 , , sin sin 1 , , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 Υ Υ = Υ Υ + Υ Υ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Υ Υ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + Υ Υ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − r R r R E r R r R r V r R r R r m r R r R r r R r R r r r r m h h (2.64) E r V Y Y r Y Y r r R r r R r m ⎥_⎦+ = ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − 1 ( ) sin 1 sin 1 sin 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 φ θ θ θ θ θ h (2.65) * 2 2m h

− ’yi denklemin içine yansıtıp denklemi 2 2 * 2 r m h − ile çarparsak , (2.66) 2 2 * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 ₂ * ) ( sin 1 2 sin sin 1 2 1 1 1 2 r m E r V Y r m Y r m Y r R r r R r m _h h h h ₋ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − φ θ θ θ θ θ

(31)

E r m r V r m Y Y Y r R r r R 2 2 * 2 2 * 2 2 2 2 2 ₍ ₎ 2 sin 1 sin sin 1 1 1 h h =− − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ φ θ θ θ θ θ (2.67)

Kısmi türevleri aldıktan sonra, eşitliğin iki tarafını (RY) ile böldüğümüz ve r’ye bağlı terimleri bir tarafa ayırdığımız denklemin son halini yazacak olursak, (burada ilk taraf tek bir değişkene bağlıdır, ikinci tarafsa iki değişkene bağlı olduğundan ∂ şeklinde yazılmıştır.)

[

]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 2 2 * 2 sin 1 sin sin 1 1 ) ( 2 1 φ θ θ θ θ θ Y Y Y r V E r m dr dR r dr d R _h (2.68)

denklemi elde edilir.

[

E V r

]

R R

( )

r r m dr dR r dr d _λ = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 * 2 2 h (2.69)

(32)

Açıya Bağlı Schrödinger denklemi: Υ − = ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ _λ φ θ θ θ θ θ 2 2 2 sin 1 sin sin 1 Y Y (2.70)

(2.69) denklemi daha sonraki bölümde anlatılmış olan sonlu farklar yöntemi ile çözülmüştür.(Karaoğlu B., 1994)

(33)

BÖLÜM 3

SONLU FARKLAR YÖNTEMİ

3.1 Diferansiyel Denklemlerin Nümerik Yöntemlerle Çözümü

Ana problem karşımıza çıkan diferansiyel denklemlerin çözümüydü. Her zaman karşımıza elle çözülebilir diferansiyel denklemler çıkmıyor. Kuantum mekaniğinde rastlanan problemlerin çoğunda, sistemin Schrödinger Denklemini analitik olarak çözmek ve enerji düzeyleri ile dalga fonksiyonlarını belirlemek çok zor veya olanaksızdır. Böylece Shrödinger denkleminin doğrudan tam çözümünün yapılmadığı durumlarda, nümerik yöntemlere başvurulur. Bu nümerik metotlardan en çok kullanılanlarından biri de Sonlu Farklar Yöntemidir.(Karaoğlu vd., 1996).

3.1.1 Sonlu Farklar Yöntemi

Sonlu Farklar Yöntemi, farklar tablosu kullanımını gerektiren bir yöntemdir. Genellikle interpolasyon, türev ve integral alma işlemleri fonksiyon yerel olarak bir polinom ile temsil etmeye dayanır. Özellikle türevde fonksiyonun alınacak türev mertebesine kadar türevlenebilir olması gereklidir. İntegralde ise fonksiyonun süreklilik şartı aranmaz (Press W. H. vd., 1992).

Farklar tablosu hem işin özünü anlamamız için hem de bir şekilde sonuçlarda, programın çıktısında tatmin olmadığımız bir şey varsa yeterli delilleri bize sunacaktır.

Bir analitik fonksiyon verildiğinde işlem yapabiliyoruz ama nümerik analizde bu böyle değil. Analitik fonksiyonda çıkan grafiğin sürekli olmasına karşın nümerik analizde farklı bir sonuçla karşılaşıyoruz.

Nümerik yöntemlerin hemen hepsi fonksiyonun en azından yerel olarak analitik olduğu ve bir polinom ile temsil edildiği kabulüne dayanır. Fonksiyonun eşit aralıklarla oluşturulduğunu varsayalım. Bağımsız değişkenin çok düzgün ve eşit aralıklarla ölçüldüğünü düşünelim. Buna göre aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz.

(34)

. . Şekil-3.1:Farklar Tablosu 3.1.2 Fark Operatörleri

Herhangi bir diferansiyel denklem aşağıdaki fark operatörleri yardımı ile sayısal olarak çözümlenebilir. Fark operatörleri aşağıdaki formlarda ifade edilir.

a. İleri fark operatörü (Δ) Δy(x)=y(x+h)-y(x) ; xi+1=xi+h

∆y0=y1-y0 (3.1) ∆y1=y2-y1 X Y 1.farklar 2. farklar x0 y0 x1 y1 x2 y2 y1-y0 y2-y1 y2-2y1+y0 y3-2y2+y1 yn-yn-1 xn yn . . . . . . . .

(35)

b. Geri fark operatörü (∇)

∇y(x)=y(x)-y(x-h)

∇yn=yn-yn-1 (3.2)

∇y1=y1-y0

c. Merkezi Farklar Formülü (δ)

δy(x)=y(x+h/2)-y(x-h/2)

δy(x+h/2)=y(x+h)-y(x) (3.3) δ y1/2=y1-y0= Δy0=∇y1

(36)

BÖLÜM 4

SONLU FARKLAR YÖNTEMİNİN KUANTUM KUYU VE

NOKTASINA UYGULANIŞI

4.1 KUANTUM KUYUSUNUN SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE

ÇÖZÜMÜ

Kararlı elektron yörüngelerinin yarıçapları (Taylor vd., Zafaritos vd., 1996)

2 2 2 me h n r o n π ε = ; n=1,2,3 (4.1) şeklindedir.

En iç yörüngenin yarıçapına genel olarak, hidrojen atomunun Bohr yarıçapı denir ve a sembolüyle gösterilir (Taylor vd., 1996).

o

A m

r

a= ₁ =5,3.10−11 =0.53 (4.2)

Bohr yarıçapı formülünde elektron kütlesi (m) yerine, etkin kütle m*=0,067m (GaAs için) kullanılarak,

a*=98,7Ao=1a* (4.3)

bulunur. Burada malzeme içinde olduğumuzdan dolayı etkin kütle yaklaşımını kullanıyoruz. a*’yada etkin Bohr yarıçapı denir. Bu çalışmada Schrödinger denkleminin nümerik çözümlerinde uzunluk birimi olarak etkin Bohr yarıçapı a* ve enerjiler Rydberg R* cinsinden yazılmıştır. Burada Rydberg

1R*=5,83 meV (4.4)

(37)

Sonlu farklar yöntemini kuantum kuyusunun çözümüne uygularsak, farklı noktalar alınarak birinci ve ikinci türevlerin yazılması aşağıdaki gibi olur.

Şekil-4.1 Sonlu Farklar Yönteminde noktaların gösterimi

... 1 1 ₊ − − = Δ Δ = + + i i i i x x x dx dψ ψ ψ ψ (4.5)

Yukarıda görüldüğü gibi ileri farkları belli bir yerde sonladırdık. ‘Sonlu Farklar Yöntemi’ deyimi de buradan gelir. Yukarıdaki ifadeyi başka bir noktayı alarak yazacak olursak; 1 1 − − − − = Δ Δ = i i i i x x x dx dψ ψ ψ ψ (4.6)

İkinci dereceden yazarsak

) ( ) ( 2 2 dx d x dx d dx d dx d ψ ψ ψ Δ Δ = = (4.7) 2 1 1 2 2 ₂ dx dx d ψ ₌ψ_i₋ − ψ_i +ψ_i₊ (4.8) xi xi+1 xi+2 xi-1 ψi ψi+1 dψ dx

(38)

0 2 2 1 1− + ₊ ₋ ₌ − − + i i i i i E x v dx ψ ψ ψ ψ (4.11)

(39)

3 2 2 ( ) 1 _ψ _ψ _ψ _ψ E dx x v dx + − + + = − (4.16)

(40)

Her nokta için yazılırsa, N tane denklem türetebilir. Bu denklemleri matris formunda aşağıdaki gibi yazabiliriz.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − n n E dx x v dx x v dx x v dx ψ ψ ψ ψ ψ ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ) ( 2 1 0 . . . 0 1 ) ( 2 1 . . . 0 0 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 (4.17) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − n n E dx x v dx x v dx x v dx ψ ψ ψ ψ ψ ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ) ( 2 1 0 . . . 0 1 ) ( 2 1 . . . 0 0 1 ) ( 2 1 3 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 (4.18)

Bu matrisi çözen bir program oluşturulursa En ve ψn kolayca bulunur.Bu yöntemin

avantajı çok kısa zamanda ve doğru sonuçlar verebiliyor olmasıdır.

(41)

4.1.1 Elektrik Alan Etkisi

Kuantum potansiyel kuyusu içinde bulunan bir elektron, kuyuya dışarıdan F elektrik alanının uygulanmasıyla potansiyel enerji kazanır (Karaoğlu vd., 1993). Elektrik alan x ekseni doğrultusunda ise, elektrona etki eden elektriksel kuvvet,

x eF

Fˆ =− ˆ (4.19)

olur. Burada xˆ pozitif x ekseni yönündeki birim vektörüdür. Elektronun F elektrik

alanından dolayı kazandığı potansiyel enerji,(F; elektrik alanın etkisini gösterdiğinden.F=E olur) eEx eFx Fdx x V_B( )=−

∫

= = (4.20)

olur. Burada e pozitif ve serbest elektron yükü büyüklüğündedir. Bu çalışmada yukarıda belirtilen nümerik hesaplardaki kolaylığı sağlamak için elektrik alan kV/cm olarak alınmıştır. Schrödinger nümerik çözümünde potansiyel enerji,

x

eEx=η (4.21)

olarak alınmıştır. Burada,

83 , 5 * * E R E a e = = η (4.22)

dır. Schrödinger denkleminde bunu uygularsak,

0 ) ( ) ( ) ( 2 2 = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − v x x E x F dx d n n n ψ ψ (4.23) ) ( ) ( ) ( ) ( * * * 2 2 x x E x x v eE dx d n n n x ⎥ψ = ψ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − (4.24)

(42)

Yapılması gereken ₂ ( ) ( ) ( ) 2 x E x x v dx d n n n ψ ψ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − diferansiyel denklemini

çözen programa elektrik alandan gelen potansiyeli eklemek.

) ( ) ( ) ( 2 2 x E x x v eEx dx d F n F n F n ψ ψ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − (4.25) burada F(x) n

ψ ’daki F elektrik alan olduğunun göstergesidir.

) ( ) ( ) ( 01 . 0 * * 2 2 x E x x v x R E a dx d F n F n F n y ψ ψ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − (4.26) ) ( ) ( ) ( 2 2 x E x x v x dx d F n F n F n ψ ψ η _⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − (4.27) η

(43)

4.1.2 Yabancı Atom Katkısı

Örneğin iki boyutta 4 elektronlu bir sisteme 5 elektronlu bir yabancı atom eklediğimizi varsayalım.

Şekil-4.3:Sisteme yabancı atom eklediğimiz durum

Bir şekilde ortadaki atomu çıkarıp yerine bir başka atom koyarsak (5 değerli!!! Hidrojenimsi) bir elektron boşta kalır (Kittel C., 1996).

Şekil-4.4 Sisteme elektrik alan altında yabancı atomun katkısı y x z A B A e -F Katkı yaptık x y

Herbir atomda 4 e- var

(44)

) , , ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 z y x E z y x eFx z y x e z v y v x v dz d dy d dx d m ε _⎥⎥_⎦ψ = ψ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − h (4.28)

Burada ε dielektrik sabitidir. Boşlukta ε =1 olur ancak burada arada atomlar olduğu için ε farklı olur. Coulomb etkileşmesi perdelenir. _*

2

2mh ’daki m

*_{etkin kütledir.}

Boşlukta olsa m olarak alırız. Ama burada etrafındaki atomlardan etkilendiğinden m* olur. Kütleyle oynayarak etrafın etkisini sisteme ekliyoruz. Burada GaAs için m* =0,067mo olur.

Çözüm hidrojen atomunun çözümlerine benzemeli ve yaklaşık bir yöntem bulunmalıdır.

İlk adımda sistem yabancı atom yokmuş gibi çözülür.

) ( ) ( ) ( 2 2 2 * 2 x E x eFx x v dx d m ⎥_⎦ψ = ψ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − h (4.29)

Bunu daha önce çözmüştük.

İkinci adımdaysa sisteme yabancı atom koyup yaklaşık bir çözüm önerisinde bulunuruz.

ψ (x,y,z) her iki çözümü de içermeli.

) , , ( ) ( ) , , (x y z ₀ x x y z yeni ψ ψ ψ = (4.30)

hidrojenimsi bir dalga fonksiyonuna benzemeli

λ ψ ψ / 0( ) ) , , ( r yeni x y z x e − = (4.31)

(45)

Burada −r/λ hidrojen atomunun çözümünden gelir. ψ_yeni(x,y,z) varyasyonel

deneme fonksiyonu, λ ise varyasyonel parametredir. λ tespit edilirse problem çözülmüş olur.

4.1.2.1

λ

Varyasyonel Parametresinin Belirlenmesi

Sistem minimum enerjiye sahip olmalıdır. Bunu sağlayan da λ varyasyonel parametresidir. ψ ψ ψ ψ H E = (4.32) 2 2 2 2 ₍ ₎ 2 z y x x x v H + + − + + −∇ = η (4.33) λ ψ ψ 2 2 2 ) ( ) , , ( z y x e x z y x + + − = (4.34) min λ ψ ψ ψ ψ H E = (4.35) ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 ) ( ) , , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x z y x z y x x x v dz d dy d dx d z y x E ψ ψ ψ η ψ + + − + + − − − = (4.36)

(46)

) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) ( ) , , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x x x v dz d dy d dx d z y x E ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ η ψ − ₊ ₊ + + + − − − = (4.37) λ ψ ψ 2 2 2 ) ( ) , , ( z y x o x e z y x + + − = (4.38) ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x dz d dy d z y x x x x x x v dx d x E ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ η ψ − ₊ ₊ + − − + + + − = (4.39) ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 ) , , ( 1 2 2 2 2 0 z y x z y x z y x z y x z y x E Eimpurity _ψ _ψ ψ ψ λ + + − + + = (4.40)

İstediğimizi elde etmek için (4.40)denkleminin sedece son kısmını çözeriz.

λ λ λ λ ψ ψ ψ ψ λ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) , , ( ) , , ( ) ( 2 1 0 0 0 2 2 2 0 2 0 z y x z y x z y x z y x imp e z y x e z y x e x z y x e E E + + − + + − + + − + + − + + − + + = (4.41)

silindirik koordinatlarda yazacak olursak,

(47)

∫

∞ ∞ − + − ∞ ∞ ∞ ∞ − + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + = ₂ 0 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 1 λ ρ λ ρ ψ ρ ρ ψ ρ ρ ρ λ x x imp e x dx d e x x dx d E E (4.42) 2 2 2 y z + = ρ imp b E E E = ₀ − (4.43)

λ’yı değiştirerek integrali çözüp farklı λ’lar için Eimp’i buluruz.

Sonsuz kare kuyu için taban durum enerjisinin analitik, 4. mertebe Runge Kutta ve sonlu farklar yöntemiyle çözümleri Şekil-4.5’te gösterilmiştir. Sonlu farklar yöntemi çözümleriyle analitik çözümler uyum içerisindedir.

Şekil-4.6’da sonlu kare kuyu için taban durum enerjisinin analitik, Runge Kutta ve sonlu farklar yöntemi olmak üzere her üç yöntemle de çözümleri verilmiştir.

Şekil-4.7’de sonsuz kuyuda elektrik alan yokken ilk üç enerji seviyesi ve dalga fonksiyonları gösterilmiştir.

Şekil-4.8’de sonlu kare kuyuda elektrik alan yokkenki ilk iki enerji seviyesi ve dalga fonksiyonları verilmiştir.

Şekil-4.9’te parabolik kuyuda elektrik alan yokkenki ilk iki enerji seviyesi ve dalga fonksiyonu gösterilmiştir.

Sonsuz kuyuda farklı elektrik alan etkisi altında taban durum enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi Şekil-4.10’da verilmiştir. Bu şekilde kuyu genişliğinin artmasıyla elektrik alan etkisi taban durum enerjisini azaltıcı yöndedir.

Şekil-4.11’de farklı elektrik alan altında sonlu kare kuyunun taban durum enerjisiyle kuyu genişliği verilmiştir. Burada elektrik alan taban durum enerjisini azaltıcı yöndedir.

Şekil-4.12’de parabol kuyunun farklı elektrik alan etkisi altında taban durum enerjisiyle kuyu genişliğinin değişimi gösterilmiştir. Küçük kuyu genişliklerinde enerjide hızlı bir azalma ve yaklaşık 1a* genişliğinden büyük kuyularda enerjinin hemen hemen sabit olduğu görülmüştür.

(48)

38 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5 2. 0 2. 5 0 50 100

∞

S

O

NS

UZ

K

UY

U T

A

B

A

N DURUM

U

E

NE

RJ

IL

S

onl

u Far

k

lar

Yönt

em

iy

le

R

u

nge-K

u

tt

a

Yönt

em

iy

le

A

n

a

lit

ik

Ç

ö

z

ü

m

E

0

(R*)

L(

a*

)

V=

0

Ş

ekil-4.5 Sonsuz Kare Kuyu için

taban durum enerjisinin kuyu geni

şli ğ iyle de ğ iş imi.

(49)

39 0 .20 .40 .60 .81 0 10 20 30 S O NL U K A RE K U Y U T A B A N DURUM U E N E R J IL E Sonl u F a rk la r Y ö nt em i R u nge-K u tt a Y önt em i An al iti k Ç ö zü m

E

0

(R*)

L(

a*

)

V=

0

Ş

ekil-4.6 Sonlu Kare Kuyu için

t

aban durum enerjisinin kuyu geni

şli ğ iyle de ğ iş imi.

(50)

40 -4 -2 0 2 4 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 L V F= 0 E1 =9. 56 4491 R yd -4 -2 024 -0 .2 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 V L F= 0 E 2 = 3 8,23 90 9 R yd -4 -2 0 2 -0 .2 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 V L F= 0 E 3 =85 ,95 53 3 R yd Ş

ekil-4.7 Sonsuz kuyuda elektrik

(51)

41 -4 -2 0246 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 L V F= 0 E 1 = 5. 7 35646 R yd V 0 = 41 R y d -4 -2 0 2 -0 .2 -0 .1 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1. 1 L V F= 0 E 2 = 21, 9173 V 0 = 41 R yd Ş

ekil-4.8 Sonlu kare kuyuda elekt

rik alan yokken ilk

iki enerji seviyesi için dalg

(52)

42 -4 -2 0 2 4 6 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 L V F= 0 E 1 = 15 ,50 19 50 R y d V 0 =50 R y d -4 -2 0 2 -0 .2 -0 .1 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1. 1 L V F= 0 E 2 = 4 5, 2 1041 V 0 =5 0 R y Ş

ekil-4.9 Parabolik kuyuda elektrik alan yokken ilk

iki enerji seviyesi için da

lga fonksiyonu.

(53)

43 0 .51 .0 1 .52 0 20 40 60

∞

F=0

k

V

/c

m

F

=

50k

V

/c

m

F

=

100k

V

/c

m

E

o

(R*)

L(

a*

)

S

ons

uz

K

uy

u

V=

0

Ş ekil-4.10 Farkl ı elekt

rik alan etkisinde sons

uz kuyu için taban durum enerjisinin kuyu geni

şli

ğiy

(54)

44 0. 5 1. 0 1. 5 -5 0 5 10 15 20

F=0

k

V

/c

m

F

=

50kV

/c

m

F

=

75kV

/c

m

V

0 =41

E

0

(R*)

L(

a*

)

S

onl

u K

ar

e K

uy

u

V=

0

Ş ekil-4.11 Farkl ı elekt

rik alan etkisinde sonlu kuyu iç

in taban durum enerjisinin kuyu geni

şli

ğ

(55)

45 0 .51 .0 1 .52 12 14 16 18 20

F

=

0 k

V

/c

m

F=50 kV

/c

m

F=75 kV

/c

m

V

0

=50

E

0

(R*)

L(

a*

)

PARABO

L K

U

YU

2 2 0 4 x L V Vx = Ş ekil-4.12 Farkl ı elekt

rik alan etkisinde parabol kuyu iç

in taban durum enerjisinin kuyu geni

şli

ğiy

(56)

Şekil-4.13’te farklı elektrik alan etkisinde sonsuz kuyu için yabancı atomlu taban durum enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi gösterilmiştir.

Şekil-4.14’te sonlu kuyu için ve Şekil-4.15’te parabol kuyu için yabancı atomlu taban durum enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi gösterilmiştir.

Şekil-4.16, Şekil-4.17 ve Şekil-4.18’de farklı kuyular için elektrik alan etkisi altında taban durum bağlanma enerjisinin kuyu genişliğiyle değişimi verilmiştir.

(57)

47

Ş

ekil-4.13 Farkl

ı elekt

uz kuyu için yabanc

ı atomlu taban durum enerjisinin k

uyu geni şli ğiyle de 0. 5 1. 0 1. 5 2. 0 0 20

F

=

0 k

V

/c

m

F

=

5

0 k

V

/c

m

F=

100 kV/

cm

V

=

1

0

0 N

=

4

0

5 E

i

(R*)

L(

a*

)

S

o

n

su

z K

u

yu

∞

V=

0

(58)

48

Ş

ekil-4.14 Farkl

ı elekt

rik alan etkisinde sonlu kuyu için yabanc

ı atomlu taban durum enerjisinin kuyu geni

şli ğiy le de 0. 5 1. 0 1. 5 2. 0 -1 0 -5 0 5 10 15

F

=

0 k

V

/c

m

F

=

5

0 k

V

/c

m

F

=

7

5 k

V

/c

m

E

i

(R*)

L(

a*

)

S

onl

u K

a

re

K

u

y

u

V=

0

(59)

49

Ş

ekil-4.15 Farkl

ı elekt

rik alan etkisinde parabol kuyu için yabanc

ı atomlu taban durum ener

jisinin kuyu geni şli ğiyle de ği şimi.

0 ,00

,5

1 ,01

,52

0

5

10

15

20 F=0

F=25

F=50

E

i

(R*)

L(

a*

)

PAR

ABO

L

KU

Y

U

2 2 0 4 x L V Vx =

(60)

50

Ş

ekil-4.16 Farkl

ı elekt

uz kuyu için yabanc

ı atomlu taban durum ba

ğlanma e kuyu geni şli ğiy le de ği şimi. 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5 1 2 3

F=0

k

V

/c

F

=

50 kV

F

=

100 kV

V

=

1000

N

=

4

0

5 E

b

(R*)

L(

a*

)

S

ons

uz

K

uy

∞

V=

0

(61)

51

SONLU KARE KUYU

Ş

ekil-4.17 Farkl

ı elekt

rik alan etkisinde sonlu kare kuyu için yabanc

kuyu geni şli ğiy le de ği şimi. 0. 5 1 .0 1. 5 1 2 3

F=0 k

V

/c

m

F

=

25 kV

/c

m

F

=

50 kV

/c

m

E

b

(R*)

L(

a*

)

V= 0

(62)

52

Ş

ekil-4.18 Farkl

ı elekt

rik alan etkisinde parabol kuyu için yabanc

ğlanma

enerjisinin kuyu geni

şli ğiy le d eğ iş imi.

PARABO

L K

U

YU

2 2 0 4 x L V V = 0 .00 .5 1 .01 .5 2. 2 2. 3 2. 4 2. 5 2. 6 2. 7 2. 8 2. 9 3. 0 3. 1 3. 2

F=0kV

/c

m

F

=

2

5 k

V

/c

m

F

=

5

0 k

V

/c

m

E

b

(R*)

L(

a*

)

(63)

4.2 KUANTUM NOKTASININ SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ

Şekil-4.19 Küresel Kuantum Noktası

Etrafı Ga1-xAlxAs ile çevrelenmiş GaAs içinde iyonize olmuş bir verici atom

elektronunun hareketi üç boyutta sınırlanmış ise bu sistem GaAs kuantum noktası olarak adlandırılır. Bir kuantum noktası tek bir elektrona veya çok sayıda elektrona sahip olabilir. Elektronların sınırlandırılmasından dolayı noktalardaki enerji seviyeleri atomlarda olduğu gibi kuantize olur. Bu açıdan kuantum noktalarının fiziği, atomik ve nükleer fizikte doğal olarak meydana gelen kuantum olayları ile paralellik gösterir. Kısacası kuantum noktaları kuantum mekaniğinin doğru çalıştığını ispatlayan bir laboratuar gibidir.

Boyutları nanometre mertebesinde olan kuantum noktaları yarıiletken malzemelerden üretilirler. Kuantum noktalarına yabancı atom katılmasıyla iletkenlik kontrollü bir şekilde değişebilir. Bu katkılama işlemi 4 valans elektronlu atomlardan oluşan yapıya 5 valans elektronlu yabancı atom (verici atom) eklenmesiyle gerçekleştirilir. 5 valans elektronlu atom sisteme bir elektron verir ve pozitif yüklü iyon haline geçer. Sisteme verilen bu elektron geride kalan pozitif yüklü iyon arasında halen bağ enerjisi olmasına rağmen bir dış elektrik alan uygulanmasıyla bu elektron iletkenliğe katkıda bulunur. İletkenliği arttıran verici atom elektronunun hareketi değişik

(64)

boyutlarda sınırlandırılabilir. Kuantum noktaları küp, küre ve disk biçimli olarak üretilirler. Biz burada küresel kuantum noktasını ele alacağız. (Özkapı B., 2006).

4.2.1 KÜRESEL KUANTUM NOKTASI İÇİN SİSTEME

MANYETİK ALAN ETKİSİ

Serbest elektron hareketini üç boyutta sınırlarsak kuantum noktasını etmiş oluruz. Buradaysa sisteme manyetik alan eklediğimiz durumu göz önüne alalım. Manyetik alan parabolik fonksiyon olduğundan, küresel nokta olmasa da elektronu tek boyutta (x yönünde) sınırlayacaktır. Ancak burada küresel nokta olduğu için sistem üç boyutta sınırlanmış olacaktır.

Manyetik alan etkisi altında hamilton denklemi (Karaoğlu B., 1994):

) ( ) ( 2 1 2 * p eA V r m H = r+ r + (4.44)

Burada, Ar manyetik alan vektörü olarak ifade edilir.

A x

Br =∇r r (4.45)

z B

Br = ˆ yönünde bir manyetik alan uyguladığımızda, manyetik alan vektörünü

aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

z y x A A A z y x k j i B ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = r r r r (4.46)

(65)

(4.47)

Bu özellikler tüm koordinat sistemleri için geçerlidir. Manyetik alan vektörünün (vektör potansiyelinin) bileşenlerini öyle seçmeliyiz ki yukarıdaki eşitliği versin.

B y A x A_y _x = ∂ ∂ − ∂ ∂ (4.48) By A A By A Bx A A Bx A x y x y x y − = = − = = = = 0 2 1 2 1 0 (4.49) şeklinde olabilir.

Manyetik alan vektörünü B’yi verecek şekilde istediğimiz gibi seçebiliriz.(Ayar Dönüşümleri)

Burada önemli olan Br =∇rxAr’yı sağlamasıdır.

) 0 , 2 1 , 2 1 ( By Bx Ar= − (4.50) 2 ) ( * 2 1 A e p m

H = r + r olarak yazmıştık. Ar vektör potansiyelini denklemde yerine

koyarsak, ) ( ) ( 2 1 2 2 2 * p epA eAp e A V r m H = r + rr+ rr+ r + (4.51) ) ( ) ( ) ( y A x A k z A x A j z A y A i k B z y z x y x ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ =v r r r r 0 0 B

(66)

p A e p A e A p err+ rr=2 rr (4.52) şeklinde yazarsak p A A pr = r rr (4.53) denklemini sağlayacaktır. ) 2 ( 2 1 2 2 2 * p eAp e A m H = r + rr+ r (4.54) Burada, x i p ∂ ∂ − = h r _ve y i p ∂ ∂ − = h r _(4.55) olarak tanımlanır.

( )

(

)

[

]

( )

z x y L B p A yp xp B p A i x y y x B p A i y Bx x By p A 2 1 . 2 1 . 2 1 . ) )( 2 1 2 1 ( . = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = r r r r h r r h r r (4.56) 0 4 1 4 1 2 2 2 2 2 ₌ ₊ ₊ x B y B Ar (4.57)

(67)

) ( 4 1 2 2 2 2 2 y x e B Ar = + (4.58)

buradan bulduğumuz katkı terimleri ( ) 4 1 2 2 2 2 y x e B + ve B

( )

Lz 2 1 hamilton denkleminde aşağıdaki gibi yazılır.

) ( ) ( 2 4 1 2 1 2 2 2 2 2 * 2 2 * * 2 r V y x m e B BL m e m p H = + z + + + (4.59)

Burada taban durum çalışıldığından m=0

(

m=−l,...+l →l =0(tabandurum)

)

değerini alır ve BL_z m e 2 1 2 2

* ifadesi gider.Hamilton denkleminin son şeklini yazacak

olursak, ) ( ) ( 2 4 1 2 2 2 * 2 2 * 2 r V y x m e B m p H = + + + (4.60)

halini alır. Burada p’yi denklemde yerine koyarsak,

) ( 2 4 1 2 2 * 2 2 2 * 2 r V m e B m H =− h ∇ + ρ + (4.61) (4.61) denkleminin 1. teriminde *2 * * 2 2m ≈a R

h _{olarak alınır. Bunu Rydberg birim} sistemine çevirerek yazarsak öyle olduğunu kolayca görebiliriz.

2 0 2 4 * * 2_h ε e m R = (4.62) 2 * 0 2 * e m a = h ε (4.63)

(68)

* * 2 0 2 a m e _h = ε (4.64) 2 * 2 * 4 2 0 4 a m e ₌ _h ε (4.65) 2 * 2 * 4 2 * * 2 _m _a m R h h = (4.66) 2 * * 2 * 2m a R = h (4.67) 2 * * * 2 2m =R a h _(4.68) 1 * ₌ a (4.69) * * 2 2m =R h _(4.70) olarak bulunur.

Daha sonra (4.61) denkleminin 2. terimini düzenlersek,

2 * 2m R B e _γ = h _(4.71) buradan, * * 2m R B e_h = γ (4.72) olarak yazılır.

(69)

2 * 2 * 2 2 2 2 4m R B e _h = γ (4.73) 2 * 2 * 2 * 2 2 ₂ 2 _h m R m B e ₌ γ (4.74) Burada * *2 * 2 2m = R a h _{şeklinde yazılırsa,} 2 * * 2 * 2 2 2 _a R m B e ₌ γ (4.75)

denklemi elde edilir.burada a* terimi 1 olarak alınıp tüm bulduklarımız Hamilton denkleminde yerine yazılırsa elde edeceğimiz denklem şu şekilde olur.

) ( 4 1 2 * 2 * 2 r V R R H =−∇ + γ ρ + (4.76) Burada '( ) (_*) R r V r V = olarak alınır. ) ( ' 4 1 2 2 2 r V H =−∇ + γ ρ + (4.77)

Denklemimize manyetik alan katkısından gelen ek terim yukarıda gösterildiği gibi 2 2 4 1_γ _ρ terimidir. Burada 2 2 2 y x + = ρ şeklinde yazılır.