oys1993matematiksorularivecozumleri

Tam metin

(1)Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 20 Haziran 1993 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? A) 3. B) 5. C) 6. D) 8. E) 9. Çözüm 1 Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı = 987 987 sayısının rakamları toplamı 3 ün katı olduğuna göre, 9 + 8 + 7 = 24 = 3.8 Buna göre, 987 sayısı 3 ile kalansız bölünebilir.. 2. Đki basamaklı, birbirinden farklı 4 pozitif tamsayının toplamı 319 dur. Bu sayıların en küçüğü en az kaç olabilir? A) 17. B) 19. C) 25. D) 30. E) 35. Çözüm 2 Bu sayıların en küçüğünün en az olması için : diğer 3 pozitif tam sayı birbirinden farklı, iki basamaklı en büyük sayılar seçilmelidir. Buna göre sayılar : 99 , 98 , 97 seçilir. 99 + 98 + 97 + X = 319 X = 25 elde edilir..

(2) 3. Bir K sayısı x’e bölündüğünde bölüm 3, kalan x – 2 dir. Buna göre, x in eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A). K+2 4. K+2 3. B). C). K −2 3. D) 3K + 2. Çözüm 3. K = x.3 + (x – 2). ⇒. K = 3x + x – 2. ⇒. K = 4x – 2. ⇒. x=. K+2 4. Not : Bölünen. Bölen Bölüm. Kalan Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan. 4. Ardışık iki pozitif tek sayının kareleri farkı 120 dir. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır? A) 19. B) 21. C) 27. D) 29. E) 31. Çözüm 4 Ardışık iki pozitif tek sayılar x ve (x + 2) olsun. (x + 2)² – x² = 120. ⇒. x² + 4x + 4 – x² = 120. ⇒. 4x = 116. ⇒. x = 29. E) 3K – 6.

(3) 5.. a−b 3 b = , 1 − = c olduğuna göre, c kaçtır? b 2 a. A). 1 5. B). 2 5. 3 5. C). D). 4 5. E) 1. Çözüm 5. a−b 3 = b 2. ⇒. ⇒. 2a – 2b = 3b. 2a = 5b. 1−. b =c a. ⇒. b 2 = olduğuna göre, a 5. 1−. 2 =c 5. ⇒. c=. 3 bulunur. 5. 3 2 + ( − 2) 3 6. işleminin sonucu kaçtır? (−1) 4 + 2 2 A) −. 1 5. B) – 1. C). 17 5. D). 1 5. E) 1. Çözüm 6 9−8 1 3 2 + ( − 2) 3 = = 4 2 1+ 4 5 (−1) + 2. 7.. 3 2 = , 2a + b = 24 olduğuna göre, b kaçtır? a b. A) 14. B) 12. C) 10. D) 8. E) 6. Çözüm 7 3 2 = a b. ⇒. 2a + b = 24. 2a = 3b. ⇒. 3b + b = 24. ⇒. 4b = 24. ⇒. b=6. ⇒. b 2 = a 5.

(4) 8. Bir manavdaki sebzeler, çürüyerek. 2 fire vermiştir. 5. Bunun sonucunda maliyet ne kadar artmıştır? A). 1 2. B). 2 3. C). 1 4. D). 3 4. E). 4 5. Çözüm 8 I. Yol Manavdaki sebze miktarı = 10 kg Maliyet miktarı = 30 lira olsun. Sebzenin 1 kilosu =. 30 = 3 lira olur. 10. Sebzeler çürüyerek. 2 2 fire verdiğine göre, verilen fire miktarı = .10 = 4 kg 5 5. Kalan sebze miktarı = 10 – 4 = 6 kg olur. Maliyet miktarı = 30 lira olduğuna göre, Sebzenin 1 kilosu =. 30 = 5 lira 6. Maliyet miktarı = 5.10 = 50 lira Maliyet miktarındaki değişim = 50 – 30 = 20 lira artmıştır. Maliyet miktarı başlangıçta 30 lira iken 20 lira arttığına göre, Maliyet : M ise. x=. x 20.M 2M = elde edilir. 30 3.

(5) II. Yol Manavdaki sebze miktarı = s kg Maliyet miktarı = m lira olsun. Sebzenin 1 kilosu =. m lira olur. s. Sebzeler çürüyerek. 2 2s kg fire verdiğine göre, verilen fire miktarı = 5 5. Kalan sebze miktarı = s −. 2s 3s = kg olur. 5 5. Maliyet miktarı = m lira olduğuna göre, Sebzenin 1 kilosu =. Maliyet miktarı =. 5m lira 3s. 5m 5m .s = lira 3s 3. Maliyet miktarındaki değişim =. 5m 2m −m = lira artmıştır. 3 3. Buna göre, maliyet miktarı başlangıçtaki maliyet miktarının. 2 ü kadar artmıştır. 3.

(6) 9. Haftalık harçlığının % 10 nunu biriktiren bir öğrencinin 6 hafta sonunda 90 000 TL si olmuştur. Bu öğrencinin haftalık harçlığı kaç TL dir? A) 80 000. B) 90 000. C) 100 000. D) 120 000. E) 150 000. Çözüm 9 Bu öğrencinin haftalık harçlığı = x TL olsun. Haftalık harçlığının % 10 nunu biriktirdiğine göre, 1 haftada biriken miktar = x.% 10 =. 6 haftada biriken miktar =. x 10. 6x = 90 000 10. ⇒. 6x = 900 000. ⇒. x = 150 000. 10. A, B herhangi iki küme ve A ∪ B , A – B , B – A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6. B) 5. C) 4. D) 3. E) 2. Çözüm 10 A ∪ B kümesinin alt küme sayısı = 512 = 2 9 ⇒. s(A ∪ B) = 9. A – B kümesinin alt küme sayısı = 32 = 2 5. ⇒. s(A – B) = 5. B – A kümesinin alt küme sayısı = 4 = 2 2. ⇒. s(B – A) = 2. ⇒. s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B) 9 = 5 + 2 + s(A ∩ B) s(A ∩ B) = 2 bulunur..

(7) Not : Alt Küme Sayısı. n elemanlı bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 n dir. Özalt kümelerinin sayısı 2 n − 1 dir.. 11. (1993) x ≡ 2 (mod 5) olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) 0. B) 1. C) 3. D) 7. E) 10. Çözüm 11 (1993) x ≡ 2 (mod 5) 1993 ≡ 3 (mod 5) 3 x ≡ 2 (mod 5). ⇒. 3¹ ≡ 3 (mod 5). ⇒. 3² ≡ 4 (mod 5). ⇒. 3³ ≡ 2 (mod 5). Buna göre, x = 3 elde edilir.. 12. (. x+5 10 ) : (1 + ) işleminin sonucu kaçtır? 5− x x−5. A) – 2. B) – 1. C) 1. D) 2. E) 3. Çözüm 12 (. x+5 10 x+5 x+5 ) =( ) ) : (1 + ):( 5− x x−5 5− x x−5 =(. =. x+5 x−5 ).( ) − ( x − 5) x + 5. 1 −1. =–1.

(8) 13. a +. 1 1 = 2 3 olduğuna göre, (a − ) 2 nin değeri kaçtır? a a. A) 4. B) 6. C) 8. D) 10. E) 12. Çözüm 13 1 1 1 1 (a − ) 2 = a ² − 2.a. + = a² + − 2 a a a² a². a+. 1 = 2 3 eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa, a. 1 (a + )² = (2 3 )² ⇒ a. ⇒. 1 1 a ² + 2.a. + = 12 a a². a² +. 1 = 10 a². 1 1 (a − ) 2 = a ² + − 2 = 10 – 2 = 8 elde edilir. a a². 14. Pozitif iki sayının farkı 5, çarpımları 24 ise küpleri farkı kaçtır? A) 485. B) 460. C) 420. D) 385. E) 360. Çözüm 14 Pozitif iki sayı a ve b olsun. a–b=5 a.b = 24 a³ – b³ = ? (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ (a – b)³ = a³ – 3ab(a – b) – b³ a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b) olduğuna göre, a³ – b³ = 5³ + 3.24.5 a³ – b³ = 485 bulunur..

(9) 15. P ( x) = x ³ + 5 x ² + 5 x + 27 polinomu Q (x) polinomu bölündüğünde, bölüm x + 5 olduğuna göre kalan kaçtır? A) – 2. B) – 1. C) 2. D) 3. E) 4. Çözüm 15 P (x) = Q (x) × ( x + 5 ) + Kalan x+5 =0. ⇒. x = – 5 için : P (−5) = Q (−5) × ( − 5 + 5 ) + Kalan P (−5) = 0 + Kalan P (−5) = Kalan. P ( x) = x ³ + 5 x ² + 5 x + 27. ⇒. P (−5) = (−5)³ + 5.( −5)² + 5.( −5) + 27. ⇒. P (−5) = 2 = Kalan.

(10) 16. [– 1 , 3] kapalı aralığında tanımlı, f ( x) = 4 − x ² fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır? A) – 6. B) – 5. C) – 4. D) 2. E) 3. Çözüm 16 [– 1 , 3] kapalı aralığında tanımlı, f ( x) = 4 − x ². ⇒. x = – 1 için : f (−1) = 4 − (−1)². ⇒. ⇒. x = 3 için : f (3) = 4 − 3². f (3) = −5. ⇒. f (−1) = 3. f ( x) = 4 − x ² grafiğini çizersek,. x ∈ [– 1 , 3] için f (x) in en küçük değerinin – 5 olduğu görülür..

(11) 17. x 2 + ( x1 + 4) x − 3 x 2 = 0 denkleminin kökleri, sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır. Buna göre, büyük kök kaçtır? A) – 3. B) – 2. C) – 1. D) 1. kökler toplamı : x1 + x 2 = −. ( x1 + 4) 1. E) 2. Çözüm 17. kökler çarpımı : x1 .x 2 =. − 3x2 1. ⇒. ⇒. 2 x1 = − x 2 − 4. x1 = – 3. x1 = – 3 olduğuna göre, 2.(−3) = − x 2 − 4. ⇒. x2 = 2. Buna göre, büyük kök : x2 = 2 olur.. Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise kökler toplamı : x1 + x 2 = −. kökler çarpımı : x1 .x 2 =. c a. b a.

(12) 18.. − ( x + 4)( x + 5) 2 > 0 eşitliğini sağlayan negatif tam sayılardan en küçüğü kaçtır? x. A) – 6. B) – 5. C) – 3. D) – 2. E) – 1. Çözüm 18 − ( x + 4)( x + 5) 2 >0 x x+4=0 (x + 5)² = 0. ⇒. ⇒. ( x + 4)( x + 5) 2 <0 x. x=–4. ⇒. x=–5. x=0. ( x + 4)( x + 5) 2 <0 x. ⇒. Çözüm kümesi = (– 4 , 0). ( x + 4)( x + 5) 2 < 0 eşitliğini sağlayan negatif tam sayılardan en küçüğü = – 3 olur. x.

(13) 19.. Şekilde, ekseni y – eksenine paralel olan, f (x) parabolü ile g (x ) doğrusunun ortak noktaları (5 , 5) ve (0 , 0) dır. Buna göre,. A) 1. ( fog )(8) değeri kaçtır? ( fof )(2). B) 2. C). 4 3. D). 5 3. E). 3 4.

(14) Çözüm 19 g (x) doğrusunun denklemi : g (x) doğrusunun üzerindeki noktalar (5 , 5) ve (0 , 0) olduğuna göre, Đki noktası bilinen doğru denklemine göre, y−5 x−5 = 5−0 5−0. y=x. ⇒. ⇒. g ( x) = x. f (x) eğrisinin denklemi : f (x) eğrisinin x eksenini kestiği noktalar (0 , 0) ve (4 , 0) olduğuna göre, f ( x) = a.( x − 4)( x − 0). ⇒. f ( x) = a.( x − 4).x. (5 , 5) noktası f (x) eğrisinin üzerinde olduğundan, 5 = a.(5 – 4).5. ⇒. a=1. Buna göre, f ( x) = x.( x − 4) olur. ( fog )(8) f ( g (8)) = ( fof )(2) f ( f (2)) g ( x) = x. ⇒. f ( x) = x.( x − 4) =. g (8) = 8 ⇒. f (2) = 2.(2 − 4). ⇒. 32 f (8) 8.(8 − 4) = = 1 elde edilir. = f ( − 4) (−4).(−4 − 4) 32. f ( 2) = – 4.

(15) 20.. Şekildeki parabolün denklemi y = x² dir. Bir köşesi O(0 , 0) de, P ve Q köşeleri de parabolün üzerinde olan OPHQ karesinin alanı kaç birim karedir? A). 5. B). 3. C). 2. D) 3. E) 2.

(16) Çözüm 20. OPHQ karesinin bir kenar uzunluğu için : P noktasının x – eksenini kestiği nokta n olsun. y – eksenini kestiği nokta : y = x². ⇒. y = n² olur.. P(n , n²) OH uzunluğu karenin köşegeni olduğundan, m(HOP) = m(PHO) = 45 OAP ikizkenar dik üçgen olacağına göre, OA = AP. ⇒. n = n². ⇒. n=1. Pisagor bağıntısına göre, OP² = 1² + 1². ⇒. OP =. 2. OPHQ karesinin bir kenar uzunluğu = PH = HQ = QO = OP = alan(OPHQ) = ( 2 )² = 2 elde edilir.. 2.

(17) 21. ABC bir dik üçgen D ∈ [BC] AD açıortay BD = u birim DC = 2 u birim AB = x birim. Yukarıdaki verilere göre, AB = x in u türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) u 2. B) u 3. C) 2u. D) 3u. E) 4u. Çözüm 21 ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, AC² = x ² + (3u )². ⇒. AC =. x ² + 9u ². Açıortay teoremine göre, u = 2u. x x ² + 9u ². ⇒. 2 x = x ² + 9u ². ⇒. 4 x ² = x ² + 9u ². ⇒. 3 x ² = 9u ². ⇒. x ² = 3u ². ⇒. x=u 3. Not : Açıortay Teoremi Bir üçgende bir açının açıortayı karşı kenarı diğer kenarlar oranında böler.. AN iç açıortay ise,. NB NC. =. c b.

(18) 22. BAC bir dik üçgen E ∈ [BC] [ED] ⊥ [BC] AC = 24 cm BE = 10 cm ED = 8 cm BC = x cm. Yukarıdaki verilere göre, BC = x kaç cm dir? A) 26. B) 28. C) 30. D) 32. E) 36. Çözüm 22 EDB dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, 10² = BD² + 8² BDE ≅ BAC. ⇒ ⇒. ⇒. BD = 6. 6 10 8 = = BA x 24 x = 30 elde edilir..

(19) 23.. Şekildeki ABC üçgeninin dışında ve B açısının içinde bir P noktası alınmıştır. A(PAB) + A(PBC) sabit olduğuna göre, P nin geometrik yeri nedir? A) Işın B) Doğru Parçası C) Çember Yayı D) Parabol Yayı E) Hiperbol Yayı Çözüm 23. Alan(BAC) sabittir. A(PAB) + A(PBC) sabit olduğuna göre, PAC alanının sabit olması gereklidir. Alan(PAC) nin sabitliği için : PAC üçgeninin tabanı (AC) sabit olduğuna göre, P den AC ye inen yükseklikte sabit olmalıdır. Buna göre, P nin geometrik yeri açısal bölge içinde AC ye paralel olan doğru parçasıdır..

(20) 24. ABCD bir yamuk E ∈ [BD] AB = 12 birim AD = 8 birim DC = 6 birim EC = x birim. Yukarıdaki şekilde [CE] // [DA] olduğuna göre, EC = x kaç birimdir? A) 2. B) 3. C) 4. D) 5. E) 6. Çözüm 24. [CE] // [DA] olduğuna göre, CF // DA DC = AF = 6. BEF ≅ BDA. ⇒. ⇒. FB = 6. EF 8. =. 6 12. ⇒. DA = CF = 8 CF = CE + EF. ⇒. 8=x+4. ⇒. x=4. EF = 4.

(21) 25.. ABCD bir kare E ∈ [BC] F ∈ [DC] AB = 1 birim FC = CE = x birim. Yukarıdaki şekilde, A( AECF ) =. A). 3 4. B). 3 3. C). 2 3. A( ABCD ) olduğuna göre, FC = CE = x kaç birimdir? 2. D). 2 2. E). 1 2. Çözüm 25. A(ABCD) = A(AECF) + A(ADF) + A(ABE) A( AECF ) =. A( ABCD ) olduğuna göre, 2. A(ABCD) =. A(ABCD ) + A(ADF) + A(ABE) 2. A(ABCD ) = A(ADF) + A(ABE) 2. ⇒. 1.1 1.(1 − x) 1.(1 − x) = + 2 2 2. ⇒. 1 = 2 – 2x. ⇒. x=. 1 2.

(22) 26.. ABC bir üçgen m(BAC) = 50° m(FDE) = α. Şekilde ABC üçgeninin iç teğet çemberi, [AB] ye F de, [BC] ye D de, [AC] ye E de teğettir. Buna göre, m( FDˆ E ) = α kaç derecedir? A) 70. B) 65. C) 60. D) 55. E) 50. Çözüm 26. Çemberin merkezi O noktası olsun. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşit olduğundan, m(FDE) = α. ⇒. FE yayı = 2α. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan, FE yayı = 2α. ⇒. m(FOE) = 2α. Buna göre, m(FDE) = α. ⇒. m(FOE) = 2α olur.. Yarıçap teğete değme noktasında dik olduğundan, OF ⊥ AB ve OE ⊥ AC olur. OEAF dörtgeninin iç açılar toplamı 360° olduğuna göre, 2α + 90 + 90 + 50 = 360. ⇒. α = 65.

(23) 27.. [BC] uzunluğu 4 cm olan ABCD dikdörtgeninin içine, şekildeki gibi aralarında teğet olan üç çember çizilmiştir. Büyük çember dikdörtgeninin üç kenarına, eş olan iki küçük çember ise ikişer kenarına teğettir. Köşeleri bu çemberlerin merkezleri olan üçgenin alanı kaç cm² dir? A) 2 2. B) 3 2. C) 2 5. D) 2. E) 3. Çözüm 27. Alan(MKL) = ? KML ikizkenar üçgeninde tabana ait yükseklik çizilirse, MHL dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, 3² = MH² + 1² Alan(MKL) =. 2 .2 2 = 2 2 elde edilir. 2. ⇒. MH = 2 2.

(24) 28.. Merkezi B, yarıçapı 3 birim olan küçük çember; merkezi A, yarıçapı 5 birim olan büyük çembere, şekildeki gibi, O da teğettir. [AC], büyük çemberin [OA ] ya dik bir yarıçapıdır. Büyük çember C de içten teğet, küçük çembere D de dıştan teğet olan üçüncü çemberin r yarıçapı kaç birimdir? A) 1. B) 2. C). 5 2. D). 5 3. E). 5 4. Çözüm 28 BE çizilirse,. BAE dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, (3 + r )² = (5 − r )² + 2². ⇒. 9 + 6r + r ² = 25 − 10r + r ² + 4. ⇒. 16r = 20. ⇒. r=. 5 bulunur. 4.

(25) 29.. C ∈ [OB] m( AOˆ B ) = 30°. OA = a birim. Şekilde, A dan geçen ve merkezi [OA] üzerinde olan çember, OB ye C de teğettir. Çemberin yarıçapının OA = a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A). a. 2. B). a. 3. C). a. 5. D). a 3. E). a 4. Çözüm 29. Yarıçap teğete değme noktasında dik olduğundan, OB ⊥ CD olur. DCO dik üçgeninde, Bir dar açının ölçüsü 30° olan dik üçgende, 30° karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına eşit olduğuna göre, OD = 2r olur. AD = r olduğundan, OA = 3r = a. ⇒. r=. a 3.

(26) Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü 30° olan dik üçgende, 30° karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına , 60° karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün. 3 katına eşittir. 2. Not : Yarıçap teğete değme noktasında diktir.. 30.. Şekildeki dönel koninin tepesi T, taban merkezi O, yüksekliği 3 cm, taban yarıçapı 4 cm dir. Çember üzerindeki A ve B noktaları O ve T ye birleştirilmiştir. m( AOˆ B ) = 60° , m( ATˆB ) = α olduğuna göre cos α değeri kaçtır?. A). 17 25. B). 19 25. C). 21 25. D). 3 5. E). 4 5.

(27) Çözüm 30. OA = OB = 4 AB uzunluğu çizilirse, BAO üçgeni eşkenar üçgen olacağına göre, AB = 4 olur. TO ⊥ OB TOB dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, TB² = 3² + 4². ⇒. TB = 5. ⇒. TA = 5. TO ⊥ OA TOA dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, TA² = 3² + 4². TBA üçgeninde kosinüs teoremine göre, 4² = 5² + 5² – 2.5.5. cos α. ⇒. cos α =. 34 50. ⇒. cos α =. 17 25.

(28) veya. BTA ikizkenar üçgeninin yüksekliği çizilirse, TH ⊥ BA Đkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, aynı zamanda kenarortay olduğuna göre, BH = HA = 2 THA dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, 5² = TH² + 2² cos α = cos ². cos. sin. α 2. α 2. 2. − sin ². α 2. olduğuna göre,. 21 5. =. =. α. 2 5 2.  21   2  2  −  cos α =   5 5  . ⇒. cos α =. 21 4 − 5 5. ⇒. cos α =. 17 25. Not : Kosinüs Teoremi Bir ABC üçgeninde, a² = b² + c² – 2.b.c.cos(A) b² = a² + c² – 2.a.c.cos(B) c² = b² + a² – 2.a.b.cos(C). ⇒. TH =. 21.

(29) 31.. 3 4 olduğuna göre, cos x in pozitif değeri kaçtır? = cos x sin x. A). 2 3. B). 2 5. C). 3 5. D). 4 5. E). 3 5. Çözüm 31 3 4 = cos x sin x. ⇒. sin x 4 = cos x 3. ⇒. tan x =. 4 3. ABC dik üçgeninde pisagor bağıntına göre, AC² = 3² + 4² Buna göre, cos x =. 3 elde edilir. 5. ⇒. AC = 5.

(30) 32.. 1 1 4 denklemini sağlayan x dar açısı kaç derecedir? − = 1 − cos x 1 + cos x 3. A) 25. B) 30. C) 45. D) 60. E) 75. Çözüm 32 1 1 4 − = 1 − cos x 1 + cos x 3. 2 cos x − 1 = 0. ⇒. 1 1 4 − = 1 − cos x 1 + cos x 3. ⇒. (1+ cos x ). (1− cos x ). ⇒. 1 + cos x − 1 + cos x 4 = (1 − cos x).(1 + cos x) 3. ⇒. 2 cos x 4 = 1 − cos ² x 3. ⇒. cos x 2 = 1 − cos ² x 3. ⇒. 2 cos ² x + 3 cos x − 2 = 0. ⇒. (2 cos x − 1).(cos x + 2) = 0. 2 cos x = 1. 1 2. ⇒. cos x =. ⇒. x = 60 derece.

(31) 33. Karmaşık düzlemde z = 3 − i olduğuna göre  z −1  kaçtır? A). 10 10. 10 20. B). 15 20. C). D). 15 30. E). 10 50. Çözüm 33 I. Yol z sayının çarpma işlemine göre tersi. z = 3−i. z −1 =. 1 3−i.  z −1  =. z −1 =. ⇒. 1 olduğuna göre, z. 1 1 = z 3−i. ⇒. z −1 =. 1 (3 + i ) . 3 − i (3 − i ). ⇒. z −1 =. 3+i 10. 2. 2. 3 1   +   10   10 . ⇒. z −1 =. ⇒. 3 1 + i 10 10. 1 10.  z −1  =. ⇒. II. Yol  z −1  =  z  −1 olduğuna göre, z = 3−i. ⇒. z=.  z  −1 = ( 10 ) −1 =. 1 10. 3² + (−1)². =. ⇒.  z  = 10. 10 elde edilir. 10.  z −1  =. 1 10. =. 10 10.

(32) 34. Karmaşık düzlemde (cos x + i sin x)² = cos ² x + i sin ² x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi x in değerlerinden biridir? A). π 6. B). π 4. C). π 3. D). π 2. E) π. Çözüm 34 (cos x + i sin x)² = cos ² x + i sin ² x cos ² x + 2. sin x. cos x.i − sin ² x = cos ² x + i sin ² x cos ² x − sin ² x = cos 2 x ve 2. sin x. cos x = sin 2 x olduğuna göre, cos 2 x + sin 2 x..i = cos ² x + i sin ² x cos 2 x = cos ² x cos 2 x = 2 cos ² x − 1 olduğuna göre, 2 cos ² x − 1 = cos ² x. ⇒ ⇒. cos ² x = 1. cos x = ± 1. ⇒. cos x = 1. ⇒. ⇒. cos x = −1. x=0. ⇒. x =π. veya sin 2 x.i = i. sin ² x 2. sin x. cos x = sin ² x. ⇒. sin ² x − 2. sin x. cos x = 0. ⇒. sin x.(sin x − 2. cos x) = 0. ⇒. sin x = 0. ⇒. x = 0 veya x = π.

(33) 35. log a 9 = 4 , log 3 a = b olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A). 2. B). 3. C) 2 3. 3 2. E). 2 3. a2 = 3. ⇒. a=. D). Çözüm 35 log a 9 = 4. log 3 a = b. ⇒. a4 = 9. ⇒. a 4 = 32. ⇒. log 3 3 = b. ⇒. Buna göre, a.b =. 1 2. log 3 3 = b. 3.. 1 2. ⇒. ⇒. ⇒. a.b =. 1 log 3 3 = b 2 3 elde edilir. 2. ⇒. 3. b=. 1 2.

(34) 36.. Birim küpün bir köşesinden diğer iki köşesine şekildeki gibi uzanan iki vektörün. iç çarpımı kaçtır? A) 2. B) 3. C). 5 2. D) 2 2. E) 3 3. Çözüm 36. Yüzey köşegeni : AB² = 1² + 1². ⇒. AB =. 2. AB ⊥ BC BC = 1 ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, Cisim köşegeni : AC² = ( 2 )² + 1² → →. →. →. AB . AC = AB . AC . cos α. = =2. 2. 3.. 2 3. ⇒. AC =. 3.

(35) 37. Bir geometrik dizinin ilk altı teriminin toplamının, ilk üç teriminin toplamına oranı 2 2 dır. Bu dizinin r ortak oranı kaçtır? A) 23 2. B) 2 2. C) 2 2 − 1. D). 3. 2 2. E). 3. 2 2 −1. Çözüm 37 6. S6 = S3. ∑a ∑a. =. a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 + a 6 = 2 2 ise geometrik dizinin ilk terimi a olsun. a1 + a 2 + a3. =. a + a.r + a.r 2 + a.r 3 + a.r 4 + a.r 5 a + a.r + a.r 2. k. k =1 3. k. k =1. a.(1 + r + r 2 + r 3 + r 4 + r 5 ) = a.(1 + r + r 2 ) =. 1+ r + r 2 + r3 + r 4 + r5 1+ r + r2. r 6 −1 = r3 − 1 r −1 r −1 =. r 6 −1 r3 −1. =. (r 3 − 1)(r 3 + 1) r3 −1. = r3 +1 r 3 + 1 = 2 2 olduğuna göre,. r 3 = 2 2 −1. ⇒. r = 3 2 2 − 1 elde edilir..

(36) Not : Geometrik Dizinin Özellikleri a n = a.r n −1 geometrik dizisinin ilk n tane teriminin toplamı : n. S n = ∑ a k = a1 + a 2 + a 3 + .......... + a n k =1. =. a + a.r + a.r 2 + .......... + a.r n −1. =. a.(1 + r + r 2 + .......... + r n −1 ). =. a.. r n −1 r −1.

(37) 38. Genel terimi a n =. A). 28 45. B). 13 18. 2 , n ∈ N+ olan dizinin ilk 7 teriminin toplamı kaçtır? (n + 1)(n + 3). C). 1 4. D). 5 8. E) 0. Çözüm 38 2 ifadesi basit kesirler biçiminde yazılırsa, (n + 1)(n + 3) 2 A B = + (n + 1)(n + 3) n + 1 n + 3. 2 A B = + (n + 1)(n + 3) n + 1 n + 3 n+3. n +1. 2 A.(n + 3) + B.(n + 1) = (n + 1)(n + 3) (n + 1).(n + 3) ( A + B)n + 3 A + B = 2. A+B=0 3A + B = 2. ⇒. A=–B. ⇒. A = 1 ve B = – 1 bulunur.. 2 1 1 = − elde edilir. (n + 1)(n + 3) n + 1 n + 3 7.  1. 1. 1 . 1 1. 1 1. 1 1. 1 1. 1  1. 1 1. 1. ∑  n + 1 − n + 3  =  2 − 4  +  3 − 5  +  4 − 6  +  5 − 7  +  6 − 8  +  7 − 9  +  8 − 10  n =1. =. 1 1 1 1 + − − 2 3 9 10. =. 5 19 − 6 90. =. 75 − 19 90. =. 56 28 = bulunur. 90 45.

(38) 1. 39. lim (7 x + 5 x + 1) değeri kaçtır? x → −∞. A) – 2. B) – 1. C) 0. D) 1. Çözüm 39 1. 1. lim (7 x + 5 x + 1) = 7 −∞ + 5 − ∞ + 1. x → −∞. = 7 0 + (5 −1 ) ∞ + 1 ∞. 1 = 1+   +1 5 = 1+. 1 +1 5∞. = 1+. 1 +1 ∞. =1+0+1 =2. E) 2.

(39) cos x − 2 sin x − 1 değeri kaçtır? x → 0 cos 2 x + sin 2 x − 1. 40. lim. A) −. 1 2. B) – 1. C) 0. D). 1 2. E) 1. Çözüm 40 lim x→0. cos x − 2 sin x − 1 1− 0 −1 0 cos 0 − 2 sin 0 − 1 = = = belirsizliği vardır. cos 2 x + sin 2 x − 1 cos(2.0) + sin( 2.0) − 1 1 + 0 − 1 0. L’Hospital kuralı uygulanırsa, − sin x − 2 cos x (cos x − 2 sin x − 1) / = lim / x →0 (cos 2 x + sin 2 x − 1) x → 0 − 2 sin 2 x + 2 cos 2 x. lim. =. − sin 0 − 2 cos 0 0−2 = = – 1 elde edilir. − 2 sin( 2.0) + 2 cos(2.0) 0+2. Not : L’ Hospital Kuralı. f / ( x) f ( x) f ( x) 0 ∞ lim limitinde veya belirsizliği varsa , lim = lim / olur. x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) 0 ∞.

(40) mx + n  f ( x) =  5  x² + m . 41.. A) – 2. B) – 1. 1< x x = 1 ise fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre n kaçtır? x <1 C) 1. D) 6. E) 7. Çözüm 41. x = 1 fonksiyonun kritik noktasıdır. f ( x) fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre, lim+ f ( x) = lim f ( x) = f (1) olmalıdır. x →1. x →1−. lim f ( x) = lim+ (mx + n) = m + n. x →1+. x →1. lim f ( x) = lim− ( x ² + m) = 1 + m. x →1−. x →1. f (1) = 5 m + n = 1 + m = 5 olacağına göre, m = 4 ve n = 1 bulunur.. 42. f ( x) = 2 x ² + 3 olduğuna göre lim h →0. A) 0. B) 2. C) 3. D) 4. f (1 + h) − f (1) değeri kaçtır? h. E) 5. Çözüm 42 I. Yol lim h →0. f (1 + h) − f (1) [2.(1 + h)² + 3] − [2.1² + 3] = lim h →0 h h 2h ² + 4h h →0 h. = lim. = lim(2h + 4) h →0. = 2.0 + 4 =4.

(41) II. Yol Türev tanımına göre, lim h →0. f ( x) = 2 x ² + 3. ⇒. f (1 + h) − f (1) = f / (1) olduğundan, h. f / ( x) = 4 x. x = 1 için : f / (1) = 4 olur.. Not : Türev Kavramı f : [a , b] → R bir fonksiyon ve x0 ∈ (a , b) olsun.. lim. x → x0. f ( x) − f ( x0 ) limitine (varsa) f fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi denir ve x − x0. f / ( x0 ) ile gösterilir. Bu limitin olabilmesi için : lim+ x→ x. 0. f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x 0 ) = lim− x→ x 0 x − x0 x − x0. Not : x – x0 = h. ⇒ x = x0 + h. Bu durumda x → x0. ⇒. Bu nedenle f / ( x0 ) = lim h →0. h = 0 olur. f ( x 0 + h) − f ( x0 ) olur. h.

(42) 43. f (3 x − 5) = 2 x 2 + x − 1 olduğuna göre f / (1) + f (1) kaçtır? A) 10. B) 12. C) 14. D) 16. E) 18. Çözüm 43 f (3 x − 5) = 2 x 2 + x − 1 f / (1) için : (3 x − 5) / . f / (3 x − 5) = (2 x 2 + x − 1) / 3x – 5 = 1. ⇒. ⇒. 3. f / (3 x − 5) = 4 x + 1. x=2. 3. f / (3.2 − 5) = 4.2 + 1. ⇒. f / (1) = 3. f (1) için : 3x – 5 = 1. ⇒. x=2. f (3.2 − 5) = 2.2 2 + 2 − 1. ⇒. f (1) = 9. Buna göre, f / (1) + f (1) = 3 + 9 = 12 elde edilir..

(43) 44. y < 0 olmak üzere, x ² + y ² = 9 çemberinin x = 3 noktalarındaki teğetinin eğimi kaçtır? A). 1. B). 6. 1 3. C). 1. 2. D). 2. E). 3. Çözüm 44 I. Yol. ⇒. y < 0 olmak üzere, x ² + y ² = 9 Türev alınırsa, x ² + y ² = 9. m= −. 3 − 6. ⇒. m=. 1 2. x = 3 için y = − 6. ⇒. y/ = −. 2x 2y. ⇒. y/ = −. x y. bulunur..

(44) II. Yol Teğetin eğimi, çember denkleminin türevinin x = 3 noktasındaki değerine eşit olduğundan,. ⇒. x² + y ² = 9. y = m 9 − x². y < 0 olduğuna göre, y = − 9 − x ² olur. Teğetin eğimi : y / = −. x= 3. ⇒. − 2x. ⇒. 2 9 − x². 3 9 − ( 3 )². =. 3 6. =. x. y/ =. 3 3. 2. 9 − x² =. 1. elde edilir.. 2. Not : Kapalı Fonksiyonun Türevi F(x , y) = 0 bağıntısından en az bir y = f (x) fonksiyonu tanımlanabiliyorsa, bu bağıntıya y nin x ’e göre bir kapalı fonksiyonu denir. y/ = −. F/x x' e göre türev ( y sabit ) =− / F y y ' ye göre türev ( x sabit ).

(45) 45. Denklemi f ( x) = sin(cos 5 x) olan eğrinin x =. A) −. 4 5. B) −. 1 5. C). 1 5. D). 2 5. E). π 10. noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?. 4 5. Çözüm 45 Teğete değme noktasında dik olan doğruya normal denildiğine göre, mteget .m normal = −1 ise Denklemi f ( x) = sin(cos 5 x) olan eğrinin teğetinin eğimi,. türevinin x =. π 10. noktasındaki değeri olduğuna göre,. f ( x) = sin(cos 5 x) Teğetin eğimi : x =. ⇒. π. f / ( x) = −5. sin 5 x. cos(cos 5 x). π. π. π. için : f / ( ) = −5. sin 5. . cos(cos 5 ) 10 10 10 10. π. π. π. f / ( ) = −5. sin . cos(cos ) 10 2 2. π. f / ( ) = −5.1. cos 0 10. π. f / ( ) = − 5 .1 .1 10. π. f / ( ) = −5 bulunur. 10 mteget .m normal = −1 olduğuna göre, (– 5). m normal = – 1. ⇒. mnormal =. 1 elde edilir. 5.

(46) 46. Denklemi y = x ³ + ax ² + (a + 7) x − 1 olan eğrinin dönüm (büküm) noktasının apsisi 1 ise ordinatı kaçtır? A) – 2. B) – 1. C) 0. D) 1. E) 2. Çözüm 46 y = x ³ + ax ² + (a + 7) x − 1 y / = 3 x ² + 2ax + (a + 7) y // = 6 x + 2a Eğrinin dönüm (büküm) noktasının apsisi ikinci türevin kökü olduğuna göre, x = 1 ise 6.1 + 2a = 0. ⇒. a=–3. y = x ³ − 3 x ² + (−3 + 7) x − 1 y = x³ − 3x² + 4 x − 1. ⇒. x = 1 ise y = 1³ – 3.1² + 4.1 – 1. ⇒. y = 1 bulunur..

(47) 47.. Denklemi y =. x olan şekildeki parabolün A ve P noktalarının x ekseni üzerindeki dik. izdüşümleri sırasıyla B(36 , 0) ve H( x , 0) dır. HBP üçgeninin alanı, x in hangi değeri için en büyüktür? A) 12. B) 9. C) 8. D) 6. E) 4. Çözüm 47. HBP üçgeninin alanı : A(HBP ) =. x .(36 − x) 2. Alanın en büyük olması için A / ( HBP) = 0 olmalıdır. 1. /.  x .(36 − x)   =0 A / ( HBP) =   2  . .(36 − x) − x. ⇒. 2 x. ⇒. 36 − x − 2 x = 0. ⇒. x = 12. 2. =0.

(48) 2. 48.. ∫. 4 − x 2 dx integralinde x = 2 sin t dönüşümü yapılırsa. 0. aşağıdaki intagrallerden hangisi elde edilir? π 2. π. A) ∫ sin 2 t dt π. C). 0. ∫π 4(sin t − cos t ) dt 2. π 2. π. D). π. 2 ∫ 4 sin t dt. B). 2 ∫ cos t dt. E). −π. ∫ 4 cos. 2. t dt. 0. Çözüm 48 2. ∫. 4 − x 2 dx. 0. x = 2 sin t dönüşümü yapılırsa, d ( x) = d (2 sin t ) / dt. ⇒. dx = 2 cos t dt. integralin alt sınırı : x = 0 için ; 0 = 2 sin t. ⇒. t=0. integralin üst sınırı : x = 2 için ; 2 = 2 sin t. ⇒. t=. π 2. π 2. ∫. 2. 4 − x 2 dx =. ∫. 4 − (2 sin t ) 2 2 cos t dt. 0. 0. π 2. =. ∫. 4 − 4 sin ²t 2 cos t dt. 0. π 2. =. ∫. 4.(1 − sin ²t ) 2 cos t dt. 0. π 2. =. ∫. 4 cos ²t 2 cos t dt. 0. π. π. 2. 2. = ∫ 2 cos t.2 cos t dt = 0. ∫ 4 cos ²t 0. dt elde edilir..

(49) 3. a  a 49.  ∫ x dx  = ∫ x 3 dx olduğuna göre, pozitif a kaçtır? 0  0. A). 2 2. B). 3 2. C). 2. D). 3. E) 2. Çözüm 49 3. a  a  ∫ x dx  = ∫ x 3 dx   0  0. ⇒.  x2    2 .   . 3. 4   =  x  4   0  a.   . 3. a. 0. ⇒.   a4   a2  − 0  − 0  =    4   2. ⇒.  a2   2. ⇒. a6 a4 = 8 4. ⇒. a2 =1 2. 3.  a4    =    4  . ⇒. a2 = 2. ⇒. a = 2 elde edilir..

(50) 50. 0 < a <. π 3. a. ∫ (tan. 4. x + tan 2 x) dx =. 0. A). π 6. B). π. π. C). 4. 1 olduğuna göre, a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3 D). 3. 2π 3. E). 5π 6. Çözüm 50 a. 4 2 ∫ (tan x + tan x) dx = 0. a. 1 ⇒ 3. 1. ∫ [tan ² x.(tan ² x + 1)] dx = 3 0. u = tan x değişken değiştirmesi yapılırsa, du = (1 + tan ² x) dx. ⇒. dx =. du 1 + u². u değişkenine göre integralin alt sınırı : x = 0 için ; u = tan 0 integralin üst sınırı : x = a için ; u = tan a tan a. ∫ 0. [u ².(u ² + 1)]. du 1 = 1 + u² 3. tan a. ⇒. ∫ u². du =. 0. ⇒.  u³    3. 1 3. tan a. = 0. 1 3. ⇒. (tan a )³ 1 −0 = 3 3. ⇒. (tan a )³ 1 = 3 3. ⇒. (tan a )³ = 1. ⇒. tan a = 1. ⇒. a=. π 4. elde edilir.. ⇒. u=0.

(51) 51.. Şekilde, y = e x , y = 4e − x fonksiyonlarının grafikleri ve y-ekseniyle sınırlı olan taralı bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 1. B) 2. C) 3. D) ln 2. E) ln 3. Çözüm 51. y = e x , y = 4e − x fonksiyonlarının kesişim noktaları bulunursa, e x = 4e − x. ex = 2. ⇒. ⇒. ex =. 4 ex. ⇒. e2x = 4. ⇒. e2x = 22. y=2. Kesişim noktası : ( ln 2 , 2) bulunur.. ⇒. ex = 2. ⇒. x = ln 2.

(52) ln 2. Taralı bölgenin alanı :. ∫ 4e. ln 2. −x. dx − ∫ e x dx. 0. 0. ln 2. ∫ 4e. −x. dx. 0. u = – x değişken değiştirmesi yapılırsa, du = – dx. ⇒. dx = – du. integralin alt sınırı : x = 0 için ; u = 0 integralin üst sınırı : x = ln 2 için ; u = – ln 2. ∫ 4e. −x. ∫ − 4e. dx =. 0. u. = [(−4e − ln 2 ) − (−4e 0 )] =. du = (−4e ) u. 0. 0. −4 −4 +4 = +4 =2 ln 2 2 e. ln 2. ln 2. ∫e. − ln 2. − ln 2. ln 2. x. = [e ln 2 − e 0 ] = [2 – 1] = 1. x. dx = (e ). 0. 0. Taralı bölgenin alanı :. ln 2. ln 2. 0. 0. −x x ∫ 4e dx − ∫ e dx = 2 – 1 = 1 elde edilir.. 2. 52..  1 2  1 0   1 2 − 2 . − 3 4 + 0 1 toplamı aşağıdaki matrislerden hangisine eşittir?  − 3 4      .  6 − 6 A)   − 9 3 . 6 − 6 B)   9 − 3. − 6 6  C)    − 9 3. − 6 6  D)    9 − 3. 6 6  E)   9 3.

(53) Çözüm 52 I. Yol.  1 2 − 3 4 = A olsun.   A² – 2A + I = (A – I)² olduğuna göre, 2. 2.   1 2 1 0   1 − 1 2 − 0  0 2    − 3 4  − 0 1   =  − 3 − 0 4 − 1  =  − 3 3         . 2. 0 .2 + 2 .3   − 6 6   0 2  0 2  0.0 + 2.(−3) − 3 3 . − 3 3 = − 3.0 + 3.(−3) (−3).2 + 3.3 = − 9 3 bulunur.        . II. Yol 2. 1.2 + 2.4   − 5 10  1 2  1 2  1 2  1.1 + 2.(−3) − 3 4 = − 3 4 . − 3 4 = (−3).1 + 4.(−3) (−3).2 + 4.4 = − 15 10          .  1 2  2 4  2.  =    − 3 4  − 6 8  2.  1 2 1 0  − 5 10  2 4 1 0  1 2 − 3 4 − 2.− 3 4 + 0 1 = − 15 10 − − 6 8  + 0 1             10 − 4 + 0  − 5 − 2 +1 =   − 15 − (−6) + 0 10 − 8 + 1 .  − 6 6 =    − 9 3. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA.

(54)