Bazı kesir mertebeli kısmi türevli denklemlerin nümerik çözümleri

(1)

Muhammed PULAT Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal

(2)

Muhammed PULAT

Dumlupnar Üniversitesi

Lisansüstü E§itim Ö§retim ve Snav Yönetmeli§i Uyarnca Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalnda

YÜKSEK LSANS TEZ Olarak Hazrlanm³tr.

Dan³man: Doç. Dr. Ahmet BOZ

(3)

(4)

(5)

BAZI KESR MERTEBEL KISM TÜREVL DENKLEMLERN NÜMERK ÇÖZÜMLER

Muhammed PULAT

Matematik , Yüksek Lisans Tezi, 2019 Tez Dan³man: Doç. Dr. Ahmet BOZ

ÖZET

Bu tez alt bölümden olu³maktadr. Birinci bölümde çal³mada kullanlan kesir merte-beli diferansiyel denklemler, Caputo anlamnda kesirli türev, B-Spline fonksiyonlar, kollo-kasyon yöntemi, galerkin yöntemi, hata normlar ve baz temel bilgiler verilmi³tir.

kinci bölümde (Esen ve Ta³bozan, 2015) makalesinde bulunan sonlu elemanlar Kü-bik B-Spline kollokasyon yöntemiyle Burgers denkleminin nümerik çözümü incelenmi³. Üçüncü bölümde (Esen ve Ta³bozan, 2017) makalesinde bulunan sonlu elemanlar Kuad-ratik B-Spline galerkin yöntemiyle kesir mertebeli Telegraf denkleminin nümerik çözümü incelenmi³. Dördüncü bölümde (Uçar vd., 2015) makalesinde yer alan sonlu elemanlar Kü-bik B-Spline kollokasyon yöntemiyle nümerik çözümü elde edilen kesir mertebeli difüzyon denklemi incelenmi³. Be³inci bölümde ise (Siddiki ve Arshed, 2014) makalesinde yer alan sonlu elemanlar Kuintik B-Spline kollokasyon yöntemiyle dördüncü mertebeden zaman ke-sir mertebeli ksmi türevli denklemin çözümü incelenmi³ ve uygulanan çözüm yöntemlerine ait nümerik örneklerle L2 ve L∞ hata normlar hesaplanm³tr.

Son olarak altnc bölümde uygulanan yöntemlerin kararll§ hakknda yorum yapl-m³tr.

Anahtar Kelimeler: Burgers Denklemi, Telegraf Denklemi, Difüzyon Denklemi, Kollo-kasyon Yöntemi, Galerkin Yöntemi, Saysal Analiz.

(6)

NUMERICAL SOLUTIONS OF SOME FRACTIONAL ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Muhammed PULAT Mathematics, M.S. Thesis, 2019

Thesis Supervisor : Assoc.Prof. Dr. Ahmet BOZ SUMMARY

The thesis is consists of six section. In the rst section, fractional order partial dif-ferantial equations, Caputo derivatives, B-Spline functions, galerkin method, collocation method, error norms and some basis information which will be used during the work is given.

In the second section review article of the (Esen and Tasbozan, 2015) that Burgers' equation is obtained using the B-Spline cubic nite elements collocation method. In the thirth section review article of the (Esen and Tasbozan, 2017) that Telegraph equation is obtained using the B-Spline quadratik nite elements galerkin method. In the fourth sec-tion review article of the (Ucar and Esen, 2015) that Diusion equasec-tion is obtained using the B- Spline cubic nite element collocation method. In the fth section review article of the (Siddiki and Arshed, 2014) that four order time-fractional partial equation is obtained using the B-Spline quintic nite elements collocation method.

Finaly, in the sixth section commented on the stability of applied methods.

Key words: Burgers' Equation, Diusion Equation, Telegrapg Equation, Collocation Method, Galerkin Method, Numerical Analysis

(7)

TEEKKÜR

Bu tezi hazrlamamda ve süreç boyunca bilgi ve tecrübeleriyle bana yol gösteren de-§erli hocam Doç. Dr. Ahmet BOZ'a te³ekkürlerimi sunarm. Ayn zamanda süreç boyunca manevi desteklerini eksik etmeyen kymetli ailem ve e³ime te³ekkür ederim.

(8)

ÇNDEKLER Sayfa ÖZET... v SUMMARY... vi EKLLER DZN... x ÇZELGELER DZN... xi 1. GR... 1

1.1. Beta ve Gama Fonksiyonlar... 2

1.2. Kesir Mertebeli Diferansiyel Denklemler... 3

1.3. Caputo Anlamnda Zaman Kesirli Türev Operatörü... 3

1.4. B-Spline Fonksiyonlar... 4

1.4.1. Kuadratik B-Spline fonksiyonlar... 4

1.4.2. Kübik B-Spline fonksiyonlar... 4

1.4.3. Kuintik B-Spline fonksiyonlar... 4

1.5. A§rlkl Kalan Yöntemleri... 6

1.5.1. Galerkin yöntemi... 7

1.5.2. Kollokasyon yöntemi... 7

1.6. Denklemler... 7

1.6.1. Dördüncü mertebeden zaman kesirli ksmi diferansiyel denklem... 7

1.6.2. Zaman kesir mertebeli burgers denklemi... 8

1.6.3. Telegraf denklemi... 8

1.6.4. Bir boyutlu difü zyon denklemi... 8

1.7. Hata Normlar... 9

2. ZAMAN KESR MERTEBEL BURGERS DENKLEMNN KÜBK B-SPLNE KOLLOKASYON YÖNTEMYLE ÇÖZÜMÜ... 10

2.1. Giri³... 10

2.2. Zaman Kesir Mertebeli Burgers Denklemi... 10

2.3. Kübik B-Spline Kollokasyon Çözümü... 10

2.4. Ba³langç Durumu... 12

(9)

ÇNDEKLER(devam)

Sayfa 3. ZAMAN KESR MERTEBEL TELEGRAF DENKLEMNN KUADRATK

B-SPLNE GALERKN YÖNTEMYLE ÇÖZÜMÜ... 16

3.1. Giri³... 16

3.2. Zaman Kesir Mertebeli Telegraf Denklemi... 16

3.3. Kuadratik B-Spline Galerkin Çözümü... 16

3.5. Nümerik Örnekler ve Çözümleri... 20

4. ZAMAN KESR MERTEBEL DFÜZYON DENKLEMNN KÜBK B-SPLNE KOLLOKASYON YÖNTEMYLE ÇÖZÜMÜ... 27

4.1. Giri³... 27

4.2. Zaman Kesir Mertebeli Difüzyon Denklemi... 27

4.3. Kübik B-Spline Kollokasyon Çözümü... 27

5. ZAMAN KESRL 4. MERTEBEDEN KISM DFERANSYEL DENKLEMN KUNTK B-SPLNE KOLLOKASYON YÖNTEMYLE ÇÖZÜMÜ... 33

5.1. Giri³... 33

5.2. Zaman Kesir Mertebeli Burgers Denklemi... 33

5.3. Kuintik B-Spline Kollokasyon Çözümü... 33

6. SONUÇ... 42

(10)

EKLLER DZN

ekil Sayfa

1.1. Gama Fonksiyonunun Gra§i... 2

1.2. Beta Fonksiyonunun Gra§i... 3

1.3. Kuadratik B-Spline Fonksiyon Gra§i... 4

1.4. Kübik B-Spline Fonksiyon Gra§i... 5

1.5. Kuintik B-Spline Fonksiyon Gra§i... 6

2.1. (2.11) Probleminin Nümerik Çözüm ve Tam Çözüm Kar³la³trmas... 15

5.1. (5.17) Probleminin Soldan Sa§a Srasyla Tam ve Nümerik Çözümleri... 39

5.3. (5.17) Problemi çin Yatay Eksen Zaman Adm Olmak Üzere Hatalar... 40

5.4. (5.18) Probleminin Soldan Sa§a Srasyla Tam ve Nümerik Çözümleri... 41

(11)

ÇZELGELER DZN

Çizelge Sayfa

2.1. N'nin farkl de§erleri için (2.10) probleminin L2 ve L∞ hata normlar... 13

2.2. ∆t'nin farkl de§erleri için (2.10) probleminin L2 ve L∞ hata normlar... 13

2.3. γ'nin farkl de§erleri için (2.10) probleminin L2 ve L∞ hata normlar... 13

2.4. N'nin farkl de§erleri için (2.11) probleminin L2 ve L∞ hata normlar... 14

2.5. ∆t'nin farkl de§erleri için (2.11) probleminin L2 ve L∞ hata normlar... 14

2.6. v'nin farkl de§erleri için (2.11) probleminin L2 ve L∞ hata normlar... 14

2.7. γ'nin farkl de§erleri için (2.11) probleminin L2 ve L∞ hata normlar... 14

3.1. γ = 1, 50, ∆t = 0, 001, t = 1 de§erleri için (3.21) probleminin nümerik çözümleri ve hata nomrlar... 21

3.2. γ = 1, 50, N = 50, t = 1 de§erleri için (3.21) probleminin nümerik çözümleri ve hata nomrlar... 21

3.3. N = 30, ∆t = 0, 001, t = 1 de§erleri için (3.21) probleminin nümerik çözümleri ve hata nomrlar... 22

3.4. γ = 1, 50, ∆t = 0, 005, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin nümerik çözümleri ve hata nomrlar... 24

3.5. γ = 1, 50, N = 100, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin nümerik çözümleri ve hata nomrlar... 24

3.6. N = 100, ∆t = 0, 005, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin nümerik çözümleri ve hata nomrlar... 24

3.7. γ = 1, 10, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin hata normlarnn bir kar³la³trmas... 25

4.1. L2 ve L∞hata normlaryla (4.10) probleminin analitik çözüm ve yakla³k çözümün bir kar³la³trmas... 30

(12)

ÇZELGELER DZN(devam)

Çizelge Sayfa

4.4. L2 ve L∞hata normlaryla (4.11) probleminin analitik çözüm ve yakla³k

çözümün bir kar³la³trmas... 32 5.1. xi noktalarnda Kuintik B-Spline ve türevlerinin katsaylar... 34

5.2. (5.17) probleminin ∆t = 0, 001 ve N'nin farkl de§erleri için hata normlar .... 38 5.3. (5.18) probleminin N = 100 ve farkl zaman admlar için hata normlar... 38 5.4. (5.18) probleminin ∆t = 0, 001 ve N'nin farkl de§erleri için hata normlar .... 40 5.5. (5.17) probleminin N = 100 ve farkl zaman admlar için hata normlar... 40

(13)

1. GR

Son zamanlarda ba³ta mühendislik, zik ve malzeme bilimi olmak üzere birçok alanda kullanlan kesir mertebeli türev bu alandaki problemlerin modellenmesinde ve çözülmesinde önemli rol oynamaktadr. Günümüzde de artarak devam eden bu kullanm alanyla alakal literatürde birçok çal³ma mevcuttur.

lk olarak 1965 ylnda Gottfried Wilhelm Leibnitz tarafndan ortaya atlan kesir mertebeli türev 17. yüzyldan itibaren Caputo, Liouville, Riemann, Weyl, Lagrange, Lap-lace, Fourier, Euler, Abel, Lacroix, Grünwald ve Letnikov gibi birçok ünlü matematikçi çal³malar yapm³lardr. 1730 ylnda bu alanda büyük bir öneme sahip Gama fonksiyo-nunu L. Euler tanmlam³ ve hala günümüzde bu çal³malar devam etmektedir. Örne§in; Sddiki ve Arshed, (2014) çal³masnda dördüncü dereceden kesir mertebeli ksmi diferansi-yel denklemin nümerik çözümlerini incelemi³tir. Esen ve Ta³bozan (2015), kesir mertebeli Burger denklemini ve Telegraf denkleminin nümerik çözümleri elde etmi³tir. Uçar ve Esen (2015), çal³masnda difüzyon denklemlerini incelemi³, Mainardi ve Paradisi (1995), dalga denklemlerini, Pudlubny (1999), kesir mertebeli ksmi diferansiyel denklemleri, Sweilam (2012 ) kesir mertebeli difüzyon denkleminin nümerik çözümlerini elde etmi³lerdir.

Kesir mertebeli denklemlerin analizleri için yaplan tanmlamalarn bazen çeli³ki içermesi ve tamamlanmam³ olmas bu alann mühendislik uygulamalarnda yaygn olarak kullanlmamasna neden olmu³tur. 19. yüzylda; Liouville (1834), Riemann (1847), Grü-nwald (1867) ve Letnikov (1868) koyduklar kesirli türev ve integral tanmlar teorinin geli³imine hz kazandrmasna ra§men istenilen kullanm alanna ula³lamam³tr (Aksoy, 2015).

Kesir mertebeli türev ve integral için tek bir tanmn olmay³ndan ortaya çkan farkl sonuçlar, pek çok zorlu§a sebep olmu³ fakat zamanla problem türleri daha iyi tasnif edilmi³ ve problemlerde ne tür bir tanm kullanmann gereklili§i tespit edilmi³tir (Karade-niz, 2008).

(14)

1.1. Beta ve Gama Fonksiyonlar

Tanm 1.1. x > 0 olan bir reel says olmak üzere

Γ(x) =

Z ∞

0

tx−1e−tdt (1.1)

³eklinde tanmlanan fonksiyona Gama Fonksiyonu denir. Burada Gama fonksiyonunun ta-nmndan özel olarak x = x + 1 için

Γ(x + 1) =

Z ∞

0

txe−tdt = x!

Dolaysyla burada Gama fonksiyonuna ayn zamanda genelle³tirilmi³ faktoriyel fonksiyonu da denilebilir (Arfken ve Weber, 1995).

ekil 1.1. Gama Fonksiyonunun Gra§i (Altn, 2011).

Tanm 1.2. β(x, y) = Z 1 0 tx−1(1 − t)y−1dt β(x, y) = 2 Z π/2 0

(sinθ)2x−1(cosθ)2y−1 (1.2)

β(x, y) =

Z ∞

0

ux−1

(1 + u)x+ydu

Yukarda verilen üç fonksiyon Beta fonksiyonunun e³ anlaml tanmlardr. Burada gerekli parametrelerle dönü³ümler yaplarak elde edilmi³tir (Podlubny, 1999).

(15)

ekil 1.2. Beta Fonksiyonunun Gra§i.

1.2. Kesir Mertebeli Diferansiyel Denklemler

Tanm 1.3. Bir veya birden fazla de§i³kenin kesirli mertebeden türevlerini içeren denk-lemlere kesir mertebeden diferansiyel denklemler denir. Yani; kesirli diferansiyel denklemler tam sayl türevleri yerine kesir mertebeli türevlere sahip olan diferansiyel denklemlerdir. Örnek 1.1.

tD32y(t) − D 1

2y(t) − y(t) = sin(t)

ile verilen denklem bir kesir mertebeli diferansiyel denklemdir.

1.3. Caputo Anlamnda Zaman Kesirli Türev Operatörü

Tanm 1.4. m, α'dan büyük en küçük tamsay olmak üzere, Caputo anlamnda zaman kesirli türev operatörü a³a§daki gibi verilir.

∂αU (x, t) ∂tα =          1 Γ(m−α) Rt 0 ∂m_{U (x,s)} ∂sm (t − s)m−α−1ds, m − 1 < α < m ∂mU (x,t) ∂tm m = α (1.3)

Ayn zamanda Caputo L1 yakla³m 0 < γ ≤ 0 olmak üzere a³a§daki gibi tanml-dr. ∂γf (t) ∂tγ |tm= (∆t)−γ Γ(2 − γ) m−1 X k=0 bγ_k[f (tm−k) − f (tm−1− k)] (1.4) burada bγ_k= (k + 1)1−γ− k1−γ

(16)

Caputo L2 yakla³m ise 0 < γ ≤ 2 olmak üzere a³a§daki gibi tanmldr. ∂γf (t) ∂tγ |tm = (∆t)−γ Γ(3 − γ) m−1 X k=0 bγ_k[f (tm−k) − 2f (tm−1− k) + f (fm−2−k)] (1.5) burada bγ_k = (k + 1)2−γ− k2−γ. 1.4. B-Spline Fonksiyonlar

1.4.1. Kuadratik B-Spline fonksiyonlar

[a,b] aral§nn bir düzgün parçalan³ a = x0 < x1 < ... < xN −1 < xN = b

olsun. xm noktalarnda φm(x) Kuadratik B-Spline fonksiyonlar, h = xm+1− xm ve m =

−1, 0, 1, ..., N + 1olmak üzere φm(x) = 1 h2              (xm+2− x)2− 3(xm+1− x)2+ 3(xm− x)2, x ∈ [xm−1, xm] (xm+2− x)2− 3(xm+1− x)2, x ∈ [xm, xm+1] (xm+2− x)2, x ∈ [xm+1, xm+2] 0, di§er durumlar (1.6) olarak tanmlanr.

ekil 1.3. Kuadratik B-Spline Fonksiyon Gra§i.

1.4.2. Kübik B-Spline fonksiyonlar

[a,b] aral§nn bir düzgün parçalan³ a = x0 < x1< ... < xN −1< xN = bolsun. xm

(17)

olmak üzere φm(x) = 1 h2                    (x − xm−2)3, x ∈ [xm−2, xm−1] h3+ 3h2(x − xm−1) + 3h(x − xm−1)2− 3(x − xm−1)3, x ∈ [xm−1, xm] h3+ 3h2(xm+1− x) + 3h(xm+1− x)2− 3(xm+1− x)3, x ∈ [xm, xm+1] (xm+2− x)3, x ∈ [xm+1, xm+2] 0, di§er durumlar (1.7) olarak tanmlanr.

ekil 1.4. Kübik B-Spline Fonksiyon Gra§i.

1.4.3. Kuintik B-Spline fonksiyonlar

[a,b] aral§nn bir düzgün parçalan³ a = x0 < x1 < ... < xN −1 < xN = b

olsun. xm dü§ümlerinde φm(x) Kuintik B-Spline fonksiyonlar h = xm+1− xm ve m =

−2, −1, 0, ..., N + 1olmak üzere φm(x) = 1 h2                                    (x − xm−3)5, x ∈ [xm−3, xm−2] (x − xm−3)5− 6(x − xm−2)5, x ∈ [xm−2, xm−1] (x − xm−3)5− 6(x − xm−2)5+ 15(x − xm−1)5, x ∈ [xm−1, xm] (x − xm−3)5− 6(x − xm−2)5+ 15(x − xm−1)5− 20(x − xm)5, x ∈ [xm, xm+1] (x − xm−3)5− 6(x − xm−2)5+ 15(x − xm−1)5− 20(x − xm)5+ 15(x − xm+1)5, x ∈ [xm+1, xm+2] (x − xm−3)5− 6(x − xm−2)5+ 15(x − xm−1)5− 20(x − xm)5+ 15(x − xm+1)5− 6(x − xm+1)5, x ∈ [xm+2, xm+3] 0, di§er durumlar (1.8) olarak tanmlanr.

(18)

ekil 1.5. Kuintik B-Spline Fonksiyon Gra§i.

1.5. A§rlkl Kalan Yöntemleri

A§rlkl kalan yöntemlerini ifade etmek için bir D bölgesinde

A(u) = f (1.9)

olarak verilen bir operatör denklemini göz önüne alalm. Burada A lineer veya lineer ol-mayan bir operatör, u bir ba§ml de§i³ken ve f ise ba§msz de§i³kenlerin bir bilinen fonksiyonudur. U çözümüne, bir UN yakla³m

UN = N

X

j=1

cjφj (1.10)

olarak tanmlanr. (1.10) ile verilen yakla³k çözümde, φj uygun yakla³m fonksiyonlar olup

cj parametreleri yakla³k çözümün a§rlkl integral formunu sa§layacak ³ekilde belirlenecek

olan parametrelerdir.

A§rlkl kalan yöntemlerinde a§rlk fonksiyonlar yakla³k fonksiyonlar kümesin-den ba§msz olarak seçilebilir. Bu yöntemlerde bilinmeyen cj parametrelerinin bulunmas

için sadece a§rlkl integral formunun kullanlmas yeterlidir. uN yakla³k çözümü (1.9)

denkleminde yerine yazld§nda fN = A(UN)fonksiyonu elde edilir ki bu fonksiyon

genel-likle f ye e³it de§ildir. A(UN) ile f arasndaki farka

R = A(UN) − f = A( N

X

j=1

cjφj) − f (1.11)

yakla³mnn rezidüsü denir. Açkça R kalan fonksiyonu cj parametrelerine ba§l oldu§u

kadar konuma da ba§ldr. Ω iki boyutlu bir bölge ve Ψi a§rlk fonksiyonlar olmak üzere

a§rlkl kalan yöntemlerinde cj parametreleri

Z

Ω

Ψi(x, y)R(x, y, cj)dxdy = 0 i = 1, 2..., N (1.12)

(19)

elde edilecek olan cebirsel denklem sisteminin bir tek çözümünün olmas için Ψi a§rlk

fonksiyonlarnn kümesi lineer ba§msz olmaldr (Reddy, 2004).

1.5.1. Galerkin yöntemi

Galerkin yönteminde Ψi a§rlk fonksiyonlar, φj yakla³m fonksiyonlaryla ayn

seçildi§i takdirde (1.12) yakla³k çözümü

N

X

j=1

Aijcj = Fi (1.13)

olarak elde edilir. Burada Aij ve Fi

Aij = Z D φiA(φj)dxdx, Fi = Z D φi[f − A(φ0)]dxdy

olup cj parametreleri (1.13) denkleminden elde edilir (Ta³bozan, 2015).

1.5.2. Kollokasyon yöntemi

D bölgesinde seçilmi³ (i = 1, ..., N) olmak üzere n tane nokta xi = (xi, yi)olsun. Bu

yöntemde Ψi a§rlk fonksiyonlar δ(x − xi) ile gösterilir ve

Z D δ(x − xi)dxdy = ( 1, x = xi 0, x 6= x_i

olacak ³ekilde tanmlanr. Burada xi noktalarnda kollokasyon noktalar denir ve key

olarak seçilir. (1.12) denkleminde Ψ a§rlk fonksiyonlar yerine δ(x − xi) yazlrsa

Z

D

δ(x − xi)R(x, cj)dxdy = 0 (1.14)

veya

R(xi, cj) = 0, i = 1, ..., N (1.15)

elde edilir. (1.15) denklemi n adet kollokasyon noktalarnda hesaplanrsa n- bilinmeyenli n-tane denklemden olu³an bir cebirsel denklem sistemi elde edilir. cj katsaylar bu cebirsel

denklem sisteminin çözümünden bulunur. xi noktalarnn seçimi iyi ³artl denklem

siste-minin ve sonuçta iyi bir yakla³k çözümün elde edilmesinde önemlidir (Ta³bozan, 2015).

1.6. Denklemler

1.6.1. Dördüncü mertebeden zaman kesirli ksm diferansiyel denklem

Zaman kesirli bu tür denklemler gerçek hayatta da kar³mza çkmaktadr. Örne§in özellikle in³aat, makina ve uzay mühendisliklerinin temel elemanlar olan düzlemlerin, pla-kalarn modellenmesi, kiri³ler, gergin yaplarn esnekli§i, ikili yaplarda faz ayr³trmalar gibi konularda bu denklemleri görmek mümkündür. Dördüncü mertebeden zaman kesirli

(20)

diferansiyel denklem genel olarak a³a§daki gibi kar³mza çkmaktadr (Küçük, 2014). ∂γu

∂tγ + µ

∂4u

∂x4 = f (x, t)

1.6.2. Zaman kesir mertebeli burgers denklemi

Burgers denklemi ilk olarak 1915 ylnda Harry Bateman tarafndan gündeme gelmi³ olup daha sonra 1948 ylnda ise Johannes Martinus Burgers tarafndan detayl bir çal³maya tabi olmu³tur. Dolaysyla Burgesr denklemine ayn zamanda Bateman-Burgers denklemi de denilmektedir. Günlük hayattada kar³mza çkan Burgers denklemi, ak³kan-lar dinami§inde difüzyon dalgaak³kan-lar için en basit lineer olmayan model denklemidir. Ayrca tek boyutlu trübülans, s iletimi, gaz dinami§i , orta ak³kanl ses dalgalar, orta ak³-kanl ³ok dalgalar ve manyetohidrodinamik dalgalar gibi problemlerin modellenmesinde kullanlmaktadr. Burgers denkleminin genel formu a³a§daki gibi tanmldr.

∂u ∂t + u ∂u ∂x = v ∂u2 ∂2_x

Burada viskoz de§eri sfr alnd§nda ise denklem a³a§daki formu alr ∂u

∂t + u ∂u ∂x = 0

Bu ³ekilde verilen denklemlere ise viskoz olmayan Burgers denklemi denilmektedir. 1.6.3. Telegraf denklemi

Telegraf denklemi ilk olarak 1880 ylnda iletim hatt modelini geli³tiren Oliver Heavi-side tarafndan ortaya atlm³tr. Bu model elektromanyetik dalgalarn kablolara yansya-bilece§ini ve dalga düzenlerinin çizgi boyunca görüneyansya-bilece§ini göstermekle beraber zik, matematik ve mühendislik alanlarnda birçok problemin modellenmesinde kullanlm³tr. Telegraf denklemi genel formu a³a§daki gibidir.

∂ ∂xV (x, t) = −L ∂ ∂tI(x, t) − RI(x, t) ∂ ∂xI(x, t) = −C ∂ ∂tV (x, t) − GV (x, t)

Burada R direnç, L indüktans, C kapasitans, G iletkenli§i temsil etmektedir. 1.6.4. Bir boyutlu difüzyon denklemi

Ksmi diferansiyel denklem olan difüzyon denklemi ba³ta matematik, zik ve kimya olmak üzere malzeme bilimleri ve sosyal bilimler gibi bir çok kullanm alanna sahiptir. Difüzyon denklemiyle modellenen problemlere ayn zamanda Brown denklemi de denil-mektedir. Parçal difüzyon denklemi ilk olarak 1855 ylnda Adolf Fick tarafndan ortaya atlm³ olup ayn zamanda Çelik ve Duman (2012) Riesz kesirli türev yardmyla Crank-Nicolson metodunu kullanarak nümerik çözümlerini elde etmi³tir. Genel olarak a³a§daki

(21)

gibi kar³mza çkmaktadr. ∂φ(r, t) ∂t = ∇ h D(φ, r)∇φ(r, t)i 1.7. Hata Normlar

Bir saysal metodun do§rulu§unun ve etkinli§inin belirlenmesi için kullanlan en etkili yöntem; elde edilen sonuçlardan analitik çözümler ile saysal çözümler arasndaki farkn ölçülmesidir. Dolaysyla yöntemin nümerik performansn analiz edebilmek için iki hata ölçüsü kullanlacaktr. Yani yöntemin do§rulu§u a³a§daki ³ekillerde tanmlanan L∞

maksimum mutlak hata normu ve L2 hata normu aracl§yla ölçülür.

L2 = kUtam− Usayk2= v u u th N X j=0 (U_jtam− U_jsay)2 (1.16) ve

L∞= kUtam− Usayk∞= maxj|Ujtam− U say

(22)

2. ZAMAN KESR MERTEBEL BURGERS

DENKLEM-NN KÜBK B-SPLNE KOLLOKASYON YÖNTEMYLE

ÇÖZÜMÜ

2.1. Giri³

Bu bölümde kesir mertebeli Burger denkleminin nümerik çözümleri için Kübik B-Spline kollokasyon yöntemi uygulanm³tr. lgili denklemin çözümünde zaman kesirli türev olarak Caputo yakla³m uygulanm³tr. Fakat Caputo yakla³mnn L1 anlamndaki türevi kullanlacaktr.

2.2. Zaman Kesir Mertebeli Burgers Denklemi ∂γU (x, t) ∂tγ + U (x, t) ∂U (x, t) ∂x − v ∂2U (x, t) ∂x2 = f (x, t) (2.1)

Burada v, bir ak³kanlk parametresidir. Bu çal³mada zaman kesirli Burgers denklemi için model problemi, snr de§erlerini a ≤ x ≤ b aral§nda a³a§daki gibi kullanaca§z.

U (a, t) = h1(t), U (b, t) = h2(t), t ≥ 0 (2.2)

ve ba³langç de§erleri a³a§daki gibidir.

U (x, 0) = g(x), a ≤ x ≤ b (2.3)

2.3. Kübik B-Spline Kollokasyon Çözümü

Ba³langç ve snr de§erleriyle verilen (2,1) denkleminin çözümüne ba³lamadan önce Kollokasyon sonlu elemanlar metodunun kullanm hakknda ksa bir bilgi verelim. Kübik B-Spline kümesin

φ−1(x), φ0(x), ..., φN +1(x)

o

, [a, b] aral§nda tanmlanan fonksiyonlar için bir temel olu³turur. Böylece UN(x, t) yakla³k çözümünü, Kübik B-Spline fonksiyonlar

cinsinden a³a§daki iekilde ifade edebiliriz (Prenter, 1975).

UN(x, t) = N +1

X

m=−1

δm(t)φm(x) (2.4)

Buradaki δm(t) bilinmeyenleri; Kübik B-Spline ko³ulu, ba³langç ko³ulu ve snr

ko³ulla-rnda belirlenen zamana ba§l de§erlerdir. Her bir Kübik B-Spline dört ard³k eleman içerir. Mevcut problem için sonlu elemanlar; xm, xm+1 dü§üm elemanlar ve [xm, xm+1]

aral§yla tanmlanacak. δm(t) eleman parametrelerine ba§l olarak Um, U

0 m ve U 00 m a³a§-daki gibidir. Um = Um(xm, t) = δm−1(t) + 4δm(t) + δm+1(t), U_m0 = U_m0 (xm, t) = _h3(−δm−1(t) + δm+1(t)), U_m00 = U_m00(xm, t) = _h62(δm−1(t) − 2δm(t) + δm+1(t)), (2.5)

UN(x, t)'nin de§i³ik bir varyasyonu a³a§daki gibi verilebilir.

UN(x, t) = m+2

X

j=m−1

(23)

Öncelikle (2,4) denklemi genel yakla³mn yerini alr ve (2,1) denkleminde (2,5) gerekli türevleri ve U = zm alnr ise kolayca γ. mertebeden adi diferansiyel denklemlerin

sistemi a³a§daki gibi elde edilir.

˙δm−1(t) + 4 ˙δm(t) + ˙δm+1(t) + zm

3

h(−δm−1(t) + δm+1(t)) −v 6

h2(δm−1(t) − 2δm(t) + δm+1(t)) = f (x, t) (2.6)

Burada ._{gösterimi zamana ba§l kesirli türevdir. E§er δ}

m(t) zaman parametresini ve

δm(t) zaman kesirli türevlerini (2.6) denkleminde (1.4) yakla³m ve Crank-Nicolson

for-mülü yardmyla yerine yazlrsa

δ = 1 2(δ n_{+ δ}n+1₎ _(2.7) ve ˙δ = dγδ dtγ = ∆t−γ τ (2 − γ) n−1 X k=0 [(k + 1)1−γ− k1−γ][δn−k− δn−k−1], (2.8) Ard³k zaman admlar arasndaki tekrarlama ili³kisi δn+1

m bilinmeyen parametrelerine

ba§l olarak elde edilir.

(1 − 6α − 3rhαzm)δm−1n+1 + (4 + 12α)δn+1m + (1 − 6α + 3rhαzm)δm+1n+1 = (1 + 6α + 3rhαzm)δnm−1+ (4 − 12α)δmn + (1 + 6α − 3rhαzm)δm+1n − n X k=1 bγ_k[(δ_m−1n−k+1− δn−k_m−1) + 4(δ_mn−k+1− δ_mn−k) + (δ_m+1n−k+1− δn−k_m+1)] +2rh2αf (xm, tn) (2.9) Burada zm= δm−1(t) + 4δm(t) + δm+1(t) ve α = (∆t) γ_{τ (2 − γ)} 2rh2 ve r = 1/v.

Yeni elde edilen tekrarl (2.9) denklem sistemi N+3 bilinmeyen parametre içeren N+1 lineer denklemden olu³ur. Bu sistemin özel bir çözümünü elde etmek için iki ilave ³arta ihtiyac vardr. Bunlar snr de§erlerinden elde edilir. δ−1 ve δN +1'in (2.9) sisteminden

ayr³trlmasnda kullanlr.

δ−1(t) = −4δ0(t) − δ1(t) + U (x0, t),

δN +1(t) = −4δN(t) − δN −1(t) + U (xN, t)

Bu denklem sisteminden N+1 bilinmeyenli bir matris denklemi gelir. d = (δ0, δ1, δ2, ..., δN −2, δN −1, δN)T

olmak üzere a³a§daki formdadr.

(24)

2.4. Ba³langç Durumu

Tekrarlama i³lemine ba³lamak için öncelikle ba³langç vektörünün hesaplanmasna ihtiyac vardr. Ba³langç vektörü olan d0_{= (δ}

0, δ1, δ2, ..., δN −2, δN −1, δN)T problemin

ba³-langç ve snr de§erlerinden hesaplanacaktr. Bunun için (2.4) yakla³m ba³ba³-langç ³artlar altnda a³a§daki gibi tekrar yazlabilir.

UN(x, 0) = N +1

X

m=−1

δm(0)φm(x)

Burada δm(0)bilinmeyen parametreleri hesaplanm³ olur. UN(x, 0)için a³a§daki ba³langç

³artlar uygulanr. UN(x, 0) = U (xm, 0), m = 0, 1, ..., N (UN)xx(α, 0) = g 00 (α), (UN)xx(b, 0) = g 00 (b). Böylelikle bu ³artlar uyguland§nda a³a§daki form ortaya çkar.

W d0 = b Burada W =           6 0 1 4 1 1 4 1 ... 1 4 1 0 6           ve b = (U (x0, 0) − h2 6 g 00 (a), U (x1, 0), ..., U (xN −1, 0), U (xN, 0) − h2 6 g 00 (b))T.

2.5. Nümerik Örnekler ve Çözümler

Bu ksmda Kübik B-Spline baz fonksiyonlar kullanlarak kollokasyon yöntemiyle elde edilmi³ ba³langç ve snr ko³ullaryla verilen zaman kesirli Burgers denklemi için nümerik örnekler ve çözümleri verilmi³tir.

Problem: Zaman kesirli Burgers denklemine ait snr ko³ullar

U (0, t) = t2, U (1, t) = et2, t ≥ 0 (2.10) ve ba³langç ko³ullar

U (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1.

³eklinde verilsin. Denklemin sa§ tarafndaki fonksiyon olan f(x, t) a³a§daki formda tanm-lansn.

f (x, t) = 2t

2−γ_ex

Γ(3 − γ)+ t

4_e2x_{− vt}2_ex

Problemin tam çözümü ise a³a§daki gibi ele alnsn. U (x, t) = t2ex

(25)

Problem: Zaman kesirli Burgers denklemini farkl ba³langç ve snr de§erleriyle verecek olursak, snr ko³ullar

U (0, t) = t2, U (1, t) = −t2, t ≥ 0 (2.11) ve ba³langç ko³ullar

U (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1. f (x, t)a³a§daki formda ele alnsn.

f (x, t) = 2t

2−γ_cos(πx)

Γ(3 − γ) + πt

4_{cos(πx)sin(πx) + vπ}2_t2_cos(πx)

Problemin a³a§daki ³ekilde tanmlanan tam çözümü ele alnsn. U (x, t) = t2cos(πx)

Çizelge 2.1. N'nin farkl de§erleri için (2.10) probleminin L2 ve L∞ hata normlar.

N=10 N=20 N=40 N=80

L2x103 1,764966 0,405690 0,067743 0,045754

L∞x103 3,101238 0,812842 0,209495 0,069208

v = 1, tf = 1, ∆ = 0, 00025, γ = 0, 50.

Çizelge 2.2. ∆t'nin farkl de§erleri için (2.10) probleminin L2 ve L∞ hata normlar.

∆t = 0, 002 ∆t = 0, 001 ∆t = 0, 005 L2x103 0,434586 0,176195 0,068869

L∞x103 0,642003 0,265419 0,211883

v = 1, tf = 1, N = 40, γ = 0, 50.

Çizelge 2.3. γ'nin farkl de§erleri için (2.10) probleminin L2 ve L∞ hata normlar.

γ = 0, 1 γ = 0, 25 γ = 0, 75 γ = 0, 9 L2x103 0,096733 0,090053 0,035448 0,044398

L∞x103 0,272943 0,258623 0,124569 0,066682

v = 1, tf = 1, N = 40, ∆t = 0, 00025.

Yukarda Çizelge 2.1'de γ = 0, 50 için ve farkl bölgelerde farkl de§erlerde (2.11) probleminin nümerik çözüm ve tam çözümün bir kar³la³trmas verilmi³tir. Çizelgeden de açkça görüldü§ü üzere N'nin farkl de§erlerinde L∞ ve L2 hata normlar nümerik çözüm

(26)

γ = 0, 50için L∞ve L2 hata normlar gösterilmi³tir. Çizelge 2.2'de açkça görüldü§ü üzere

farkl zaman aralklarnda daha do§ru sonuçlar elde edilmektedir. Çizelge 2.3'de ise γ'nn farkl de§erleri için nümerik çözüm ile tam çözümün bir kar³la³trmas L∞ ve L2 hata

normlar ile beraber verilmi³tir.

Çizelge 2.4. N'nin farkl de§erleri için (2.11) probleminin L2 ve L∞ hata normlar.

N=10 N=20 N=40 N=80

L2x103 1,787278 0,440305 0,092735 0,006221

L∞x103 2,415589 0,583583 0,120495 0,016164

v = 1, tf = 1, ∆ = 0, 00025, γ = 0, 50.

∆t = 0, 002 ∆t = 0, 001 ∆t = 0, 005 L2x103 0,171076 0,070874 0,021092

L∞x103 0,239785 0,100354 0,030679

v = 1, tf = 1, N = 80, γ = 0, 50.

v = 1 v = 0, 5 v = 0, 1 L2x103 0,006528 0,005835 0,003105

L∞x103 0,009164 0,008250 0,004847

∆t = 0, 0005,tf = 0, 1, N = 80, γ = 0, 50.

Çizelge 2.7. γ'nin farkl de§erleri için (2.11) probleminin L2 ve L∞ hata normlar.

γ = 0, 1 γ = 0, 25 γ = 0, 75 γ = 0, 9 L2x103 0,010027 0,009121 0,002297 0,005283

L∞x103 0,022129 0,020782 0,008187 0,007886

v = 1, tf = 1, N = 80, ∆t = 0, 00025.

Çizelge 2.4'te N'nin farkl de§erleri ve γ = 0, 5 için kar³la³trma yaplm³tr. Her iki çözüm arasndaki uyum ve N de§erinin artmasyla L∞ve L2hata normlarnn küçülmeside

(27)

tablodan görüldü§ü üzere a³ikardr. Çizelge 2.5'te ise γ = 0, 5 için ve farkl zaman aralkla-rnda L∞ ve L2 hata normlarnn de§erlerinin küçülmesi görülmektedir. Hata normlarnn

küçülmesi çözüm yönteminin do§rulu§unu göstermektedir. Çizelge 2.6'da ise v'nin farkl de§erlerinde verilen kar³la³trma da nümerik çözüm ile tam çözüm bir uyum içindedir. Son olarak Çizelge 2.7'de γ'nn farkl de§erlerinde bir kar³la³trma gösterilmi³tir.

ekil 2.1. (2.10) probleminin nümerik çözüm ve tam çözüm kar³la³trmas (Esen ve Tas-bozan, 2015).

ekil 2.2. (2.11) probleminin nümerik çözüm ve tam çözüm kar³la³trmas (Esen ve Tas-bozan, 2015).

ekil 2.1'de (2.10) problemi için γ = 0, 5 ve t'nin farkl de§erlerinde çözümler gös-terilmektedir. Dikkat edilirse nümerik ve tam çözümlerin birbirine ne kadar yakn oldu§u görülmektedir. Son olarak ekil 2.2'de (2,11) probleminin saysal çözümleri sunulmu³tur.

(28)

3. ZAMAN KESR MERTEBEL TELEGRAF

DENKLE-MNN KUADRATK B-SPLNE GALERKN

YÖNTE-MYLE ÇÖZÜMÜ

3.1. Giri³

Bu bölümde kesir mertebeli telegraf denkleminin Kuadratik B-Spline galerkin sonlu elemanlar ile çözümü ele alnm³tr. lgili problemin çözümünde kesirli türevin Caputo L1 ve L2 yakla³mlar uygulanm³tr

3.2. Zaman Kesir Mertebeli Telegraf Denklemi ∂γ ∂tγU (x, t) + s1 ∂γ−1 ∂tγ−1U (x, t) + s2U (x, t) − s3 ∂2 ∂x2U (x, t) = f1(x, t), (3.1) ∂γ ∂tγU (x, t) + ∂γ−1 ∂tγ−1U (x, t) + λ ∂ ∂xU (x, t) − ∂2 ∂x2U (x, t) = f2(x, t) (3.2) Burada λ, s1, s2 ve s3 sabitlerdir ve ∂γU (x, t) ∂tγ = 1 Γ(2 − γ) Z t 0 (t − τ )1−γ∂ 2_{U (x, τ )} dτ2 dτ, 1 < γ < 2, ∂γ−1U (x, t) ∂tγ−1 = 1 Γ(2 − γ) Z t 0 (t − τ )1−γ∂U (x, τ ) dτ dτ, 0 < γ − 1 < 1,

3.3. Kuadratik B-Spline Galerkin Çözümü

Ba³langç ve snr ³artlar ile verilen (3,1) denkleminin çözümüne ba³lamadan önce galerkin sonlu elemanlar metodunun kullanm hakknda ksa bir bilgi verelim. Kuadra-tik B-Spline kümesin

Q−1(x), Q0(x), ..., QN(x)

o

, [a, b] aral§nda tanmlanan fonksiyonlar için bir temel olu³turur. Böylece UN(x, t) yakla³k çözümünü, Kuadratik B-Spline ³artlar

altnda a³a§daki gibi tekrar yazabiliriz (Ta³bozan ve Esen, 2017).

UN(x, t) = N

X

m=−1

δm(t)Qm(x) (3.3)

Buradaki δm(t)zamana ba§l parametreleri snr ve a§rlkl kalan ko³ullarndan belirlenen

parametrelerdir. (3,1) denklemi için [xm, xm+1]aral§nda xm ve xm+1 dü§ümleri

tanmla-nr ve Um ve U0m nodal de§erleri kullanld§nda;

UN(xm) = Um = δm−1+ δm, (3.4)

U0N(xm) = U0m= 2(−δm−1+ δm)/h

Böylelikle UN(x, t)'nin bir varyasyonu [xm, xm+1]üzerinde a³a§daki gibi elde edilir.

UN = m+1

X

j=m−1

(29)

(3.1) denklemine Ψ(x) a§rlk fonksiyonlar yardmyla Galerkin yöntemi uygulanrsa, Z 1 0 Ψh∂ γ_U ∂tγ + s1 ∂γ−1U ∂tγ−1 + s2U − s3 ∂2U ∂x2 i dx = Z 1 0 Ψf1(x, t)dx (3.6)

elde edilir. Buradaki Ψ(x) fonksiyonlar Kuadratik B-Spline fonksiyonlardan alnan a§rlk fonksiyonlardr. (3.6) denkleminin tüm bölgelerde geçerli oldu§u gibi özellikle a³a§daki gibi [xm, xm+1]aral§nda da geçerlidir.

Z xm+1 xm Ψh∂ γ_U ∂tγ + s1 ∂γ−1U ∂tγ−1 + s2U − s3 ∂2U ∂x2 i dx = Z xm+1 xm Ψf1(x, t)dx (3.7)

(3.7) denklemine ksmi integrasyon uyguland§nda a³a§daki denklem elde edilir.

Z xm+1 xm Ψ∂ γ_U ∂tγ + s1Ψ ∂γ−1U ∂tγ−1 + s2ΨU + s3 ∂Ψ∂U ∂x∂x dx = s3Ψ ∂U ∂x xm+1 xm + Z xm+1 xm Ψf1(x, t)dx. (3.8) ξ = x − xm dönü³ümü yapld§nda (3.8) denklemi a³a§daki formu alr (Ta³bozan ve Esen,

2017). Z h 0 Ψ∂ γ_U ∂tγ + s1Ψ ∂γ−1U ∂tγ−1 + s2ΨU + s3 ∂Ψ ∂ξ ∂U ∂ξ dξ = s3Ψ ∂U ∂ξ h 0 + Z h 0 Ψf1(ξ, t)dξ. (3.9)

(3.9) ve (1.6) denklemlerinden a³a§daki form elde edilir.

QA(x) = 1 h2          (h − ξ)2, A = m − 1 h2+ 2hξ − 2ξ2, A = m ξ2_, _{A = m + 1} (3.10)

(3.9) denkleminde (3.10) denklemini yerine yazd§mzda a³a§daki gibi elde edilir.

m+1 X j=m−1 ( Z h 0 QiQjdξ)¨δj+ s1 m+1 X j=m−1 ( Z h 0 QiQjdξ) ˙δje+ s2 m+1 X j=m−1 ( Z h 0 QiQjdξ)δej +s3 m+1 X j=m−1 ( Z h 0 Q0_iQ0_jdξ)δ_je− s3 m+1 X j=m−1 (QiQ0j) h 0 δ_je= Z h 0 Qife₁(ξ, t)dξ, i = m − 1, m, m + 1 (3.11) Bunun matris formu ise a³a§daki formda verilebilir.

Aeδ¨e+ s1Ae˙δe+ s2Aeδe+ s3Beδe− s3Ceδe= De (3.12)

Burada¨gösterimi λ. mertebeden zamana ba§l ksm türevi belirtirken ˙ ise (λ − 1). merte-beden zamana ba§l ksmi türevi belirtir. Burada verilen Ae

ij, Beij, Cije, Dije matrisleri ise

a³a§daki gibi tanmldr. Ae_ij = Z h 0 QiQjdξ, Bije = Z h 0 Q0_iQ0_jdξ, C_ije = QiQ0j h 0, D e ij = Z h 0 Qife₁(ξ, t)dξ

(30)

Burada i, j = m − 1, m, m + 1 olmakla beraber yukardaki eleman matrisleri a³a§daki gibi verilebilir. Ae_ij = Z h 0 QiQjdξ = h 30    6 13 1 13 54 13 1 13 6    B_ije = Z h 0 Q0_iQ0_jdξ = 2 3h    2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2    C_ije = QiQ0j h 0 = 2 h    1 −1 0 1 −2 1 0 −1 1   

Tüm eleman matrsilerinden gelen de§erler toplanp birle³tirildi§inde (3.12) denklemi a³a-§daki sistemi üretir (Ta³bozan ve Esen, 2017).

A¨δ + s1A ˙δ + s2Aδ + s3Bδ − s3Cδ = D (3.13)

(3.13) denklem sistemine Crank Nicolson formülü, (1.4) ve (1.5) yakla³mlaryla tekrar düzenleme yaplrsa; δm = 1 2(δ n m+ δn+1m ) (3.14) ˙δ = dγ−1δ dtγ−1 = (∆t)1−γ Γ(3 − γ) n−1 X k=0 [(k + 1)2−γ− k2−γ][δn−k− δn−k−1] (3.15) ve ¨ δ = d γ_δ dtγ = (∆t)−γ Γ(3 − γ) n−1 X k=0 [(k + 1)2−γ− k2−γ][δn−k− 2δn−k−1+ δn−k−2] (3.16) Ard³k zaman seviyeleri arasnda tekrarlama ili³kisine sahip olan δn+1

m bilinmeyen

parametrelerinden a³a§daki sistem elde edilir.

" A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)}+ s1A (∆t)γ−1_{Γ(3 − γ)}+ 1 2(s2A + s3B − s3C) # δn+1 = " 2A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)}+ s1A (∆t)γ−1_{Γ(3 − γ)}− 1 2(s2A + s3B − s3C) # δn− A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)}δ n−1 − A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)} n X k=1 [(k + 1)2−γ− k2−γ][δn−k− 2δn−k−1+ δn−k−2] (3.17) − s1A (∆t)γ−1_{Γ(3 − γ)} n X k=1 [(k + 1)2−γ− k2−γ][δn−k− δn−k−1] + D (3.2) denklemine ayn i³lemler uyguland§nda a³a§daki matris formu elde edilir.

(31)

Burada Ae

ij, Bije, Cije, Deij ve Eie'ler ile matris formlar a³a§daki gibi tanmldr.

Ae_ij = Z h 0 QiQjdξ = h 30    6 13 1 13 54 13 1 13 6    B_ije = Z h 0 QiQ0jdξ = 1 6    −3 2 1 −8 0 8 −1 −2 3    C_ije = Z h 0 Q0_iQ0_jdξ = 2 3h    2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2    D_ije = QiQ0j h 0 = 2 h    1 −1 0 1 −2 1 0 −1 1    Ee_i = Z h 0 Qife₂(ξ, t)dξ =    Rh 0 Qm−1fe₂(ξ, t)dξ Rh 0 Qmfe₂(ξ, t)dξ Rh 0 Qm+1fe₂(ξ, t)dξ   

Eleman matrisleri yardmyla (3.18) ifadesi a³a§daki denklem sistemine dönü³ür.

A¨δ + A ˙δ + λBδ + Cδ − Dδ = E (3.19)

Buradaki δ(x) bilinmeyen parametreleri ve A, B, C ve D'ler genelle³tirilmi³ m. satr ile (N+2)x(N+2) tipinde genel matrislerdir. (3.14) ve (3.16) denklemleri (3.19) denkleminde yerine yazld§nda δn+1

m (t)bilinmeyen parametrelerinin ard³k zaman admlar arasndaki

ili³ki tekrar ele alnr.

" A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)}+ A (∆t)γ−1_{Γ(3 − γ)}+ 1 2(λA + C − D) # δn+1 " 2A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)}+ A (∆t)γ−1_{Γ(3 − γ)}− 1 2(λB + C − D) # δn− A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)}δ n−1 − A (∆t)γ_{Γ(3 − γ)} n X k=1 [(k + 1)2−γ− k2−γ][δn−k− 2δn−k−1+ δn−k−2] (3.20) − A (∆t)γ−1_{Γ(3 − γ)} n X k=1 [(k + 1)2−γ− k2−γ][δn−k− δn−k−1] + E

(3.20) ve (3.17) sisteminde k = n ve n = 0 için δ−1_{'in bilinmeyen de§erleri ortaya çkar.}

Merkezi fark yakla³m kullanlanarak a³a§daki e³itlik yazlabilir. δ1− δ−1

2∆t = g2(x)

Ut(x, 0) = g2(x)ikinci ba³langç durumunda türev terimlerinin yerine bundan böyle

δ−1yerine δ1− 2∆tg2(x)alabiliriz. (3.20) ve (3.17) sistemlerinde δ−1 ve δN terimleri yerine

(32)

edilir.

d0 = (δ−1, δ0, δ1..., δN −2, δN −1, δN) ba³langç vektörü ba³langç ve snr

de§erle-rinde determine edildi§inde (3.3) yakla³mn ba³langç ko³ulu altnda a³a§daki gibi tekrar yazabiliriz. UN(x, 0) = N X m=−1 δm(0)Qm(x)

Burada δm(0)bilinmeyen parametrelerdir. UN(x, 0)yakla³k nümerik çözümünü elde etmek

için a³a§daki ko³ullara ihtiyacmz vardr.

UN(x, 0) = U (xm, 0), m = 0, (1), N

(U_N0 )x(x0, 0) = U0(x0, 0).

Böylece bu ko³ullarn kullanlmas W d0 _{= b}_{formunda ikili diagonal matris sistemini getirir}

(Ta³bozan ve Esen, 2017). Burada W =           −2 h 2 h 1 1 1 1 ... 1 1 1 1           ve b = (U0_(x 0, 0), U (x0, 0), U (x1, 0), ..., U (xN −2, 0), U (xN −1, 0), U (xN, 0))T.

3.5. Nümerik Örnekler ve Çözümleri

Bu ksmda Kuadratik B-Spline baz fonksiyonlar kullanlarak galerkin yöntemiyle ba³langç ve snr ko³ullaryla verilen iki adet Telegraf denklemin nümerik ve tam çözüm-leriniin kyaslamas hata normlaryla beraber çizelgeler halinde sunulmu³tur.

Problem: Zaman kesirli (3.1) telegraf denklemini s1 = 1, s2 = s3 = π için ba³langç ve

snr ko³ullaryla verilirse,

U (0, t) = 0, U (1, t) = t3sin2(1), t ≥ 0 (3.21) U (x, 0) = 0, Ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1.

olur. f(x, t) a³a§daki formdadr.

f (x, t) = 6t

3−γ

Γ(4 − γ)sin

2_{(x) +} 6t4−γ

Γ(5 − γ)sin

2_{(x) + t}3_sin2_{(x) − 2πt}3_(cos2_{(x) − sin}2_(x))

Problemin tam çözümü ise a³a§daki ³ekildedir. U (x, t) = t3sin2(x)

(33)

Problem: Zaman kesirli (3.2) telegraf denklemini λ = 0 için ba³langç ve snr ko³ullaryla verilirse

U (0, t) = 0, U (1, t) = 0, t ≥ 0 (3.22) U (x, 0) = 0, Ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1.

olur. f(x, t) a³a§daki formdadr.

f (x, t) = 6t 3−γ Γ(4 − γ)sin(2πx) + 6t4−γ Γ(5 − γ)sin(2πx) + 4π 2_t3_sin(2πx).

Problemin tam çözümü a³a§daki ³ekilde ele alnr. U (x, t) = t3sin(2πx).

Çizelge 3.1. γ = 1, 50, ∆t = 0, 001, t = 1 de§erleri için (3.21) probleminin nümerik çözümleri ve hata normlar.

x N=5 N=10 N=15 N=20 N=25 N=30 Tam 0,2 0,041720 0,040264 0,039766 0,039587 0,039503 0,039458 0,039470 0,4 0,156498 0,152743 0,152054 0,151815 0,151706 0,151646 0,151647 0,6 0,323209 0,319810 0,319190 0,318984 0,318891 0,318842 0,318821 0,8 0,519529 0,515261 0,514853 0,514718 0,514662 0,514634 0,514600 1,0 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 L2x103 3,798931 0,822230 0,304328 0,130208 0,053079 0,020029 L∞x103 4,929548 1,096321 0,408051 0,171718 0,070520 0,033970

Çizelge 3.2. γ = 1, 50, N = 30, t = 1 de§erleri için (3.21) probleminin nümerik çözümleri ve hata normlar. x ∆t = 0, 1 ∆t = 0, 05 ∆t = 0, 01 ∆t = 0, 005 ∆t = 0, 001 Tam 0,2 0,028322 0,033896 0,038426 0,038998 0,039458 0,039470 0,4 0,139094 0,145346 0,150470 0,151121 0,151646 0,151647 0,6 0,311016 0,314865 0,318088 0,318505 0,318842 0,318821 0,8 0,512849 0,513668 0,514437 0,514544 0,514634 0,514600 1,0 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 L2x103 8,338473 4,188691 0,781645 0,347984 0,020029 L∞x103 12,975162 6,501840 1,215807 0,545445 0,033970

(34)

Çizelge 3.3. N = 30, ∆t = 0, 001, t = 1 de§erleri için (3.21) probleminin nümerik çözümleri ve hata normlar.

x γ = 1.10 γ = 1.30 γ = 1.70 γ = 1.90 Tam 0,2 0,039447 0,039452 0,039463 0,039470 0,039470 0,4 0,151632 0,151639 0,151654 0,151665 0,151647 0,6 0,318829 0,318836 0,318850 0,318861 0,318821 0,8 0,514626 0,514630 0,514638 0,514648 0,514600 1,0 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 0,708073 L2x103 0,018487 0,018555 0,023193 0,030144 L∞x103 0,026904 0,030357 0,038674 0,048409

ekil 3.1. (3.21) probleminin nümerik çözüm ve tam çözüm kar³la³trmas (Ta³bozan ve Esen, 2017).

(35)

Çizelge 3.4. γ = 1, 50, ∆t = 0, 0005, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin nümerik çözümleri ve hata normlar.

x N=20 N=40 N=60 N=80 N=100 Tam 0,2 0,934891 0,947667 0,949956 0,950746 0,951108 0,951057 0,4 0,578182 0,585743 0,587121 0,587600 0,587821 0,587785 0,6 -0,578182 -0,585743 -0,587121 -0,587600 -0,587821 -0,587785 0,8 -0,934891 -0,947667 -0,949956 -0,950746 -0,951108 -0,951057 1,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 L2x103 12,085033 2,525247 0,819583 0,231901 0,038947 L∞x103 16,707587 3,523310 1,144868 0,321781 0,057156

Çizelge 3.5. γ = 1, 50, N = 100, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin nümerik çözümleri ve hata normlar. x ∆t = 0, 005 ∆t = 0, 0025 ∆t = 0, 001 ∆t = 0, 0005 Tam 0,2 0,957316 0,953865 0,951797 0,951108 0,951057 0,4 0,591658 0,589524 0,588246 0,587821 0,587785 0,6 -0,591658 -0,589524 -0,588246 -0,587821 -0,587785 0,8 -0,957316 -0,953865 -0,951797 -0,951108 -0,951057 1,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 L2x103 0,65406 2,088014 0,550343 0,038947 L∞x103 6,584694 2,955737 0,781081 0,057156

Çizelge 3.6. N = 100, ∆t = 0, 0005, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin nümerik çözümleri ve hata normlar.

x γ = 1, 10 γ = 1, 30 γ = 1, 70 γ = 1, 90 Tam 0,2 0,951114 0,951111 0,951108 0,951124 0,951057 0,4 0,587824 0,587822 0,587821 0,587831 0,587785 0,6 -0,587824 -0,587822 -0,587821 -0,587831 -0,587785 0,8 -0,951114 -0,951111 -0,951108 -0,951124 -0,951057 1,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 L2x103 0,043470 0,041127 0,039161 0,050839 L∞x103 0,063614 0,060271 0,057480 0,074229

(36)

Çizelge 3.7. γ = 1, 10, t = 1 de§erleri için(3.22) probleminin hata normlarnn bir kar³-la³trmas. L2x103 L∞x103 Galerkin (∆t = 0, 0005) N=40 2,521600 3,519602 N=60 0,815189 1,139078 N=80 0,227318 0,315484 N=100, 0,043470 0,063614 Yerel Süreksizlik (∆t = 0, 0001) N=5 6,673112 28,898901 N=10 0,850425 3,619321 N=15 0,252957 1,113519 N=20 0,107022 0,466429

Çizelge 3.8. γ = 1, 50, t = 1 de§erleri için(3.22) probleminin hata normlarnn bir kar³-la³trmas. L2x103 L∞x103 Galerkin (∆t = 0, 0005) N=40 2,525247 3,523310 N=60 0,819583 1,144868 N=80 0,231901 0,321781 N=100 0,038947 0,057156 Yerel Süreksizlik (∆t = 0, 0001) N=5 6,664801 28,859369 N=10 0,850155 3,617969 N=15 0,252878 1,112768 N=20 0,106908 0,466393

Çizelge 3.9. γ = 1, 90, t = 1 de§erleri için (3.22) probleminin hata normlarnn bir kar³la³trmas. L2x103 L∞x103 Galerkin (∆t = 0, 0005) N=40 2,512071 3,502994 N=60 0,807289 1,126972 N=80 0,219846 0,304544 N=100 0,050839 0,074229 Yerel Süreksizlik (∆t = 0, 0001) N=5 0,032746 28,818707 N=10 0,849887 3,616425 N=15 0,252905 1,113337 N=20 0,107050 0,466334

(37)

ekil 3.2. (3.22) probleminin nümerik çözüm ve tam çözüm kar³la³trmas (Ta³bozan ve Esen, 2017).

(38)

4. ZAMAN KESR MERTEBEL DFÜZYON

DENKLE-MNN KÜBK B-SPLNE KOLLOKASYON

YÖNTE-MYLE ÇÖZÜMÜ

4.1. Giri³

Bu bölümde sonlu elemanlar Kollokasyon yöntemiyle zaman kesir mertebeli difüzyon denkleminin nümerik çözümü incelenmi³tir. Çözüm a³amasnda zaman kesir türevi anla-mnda Caputo L1 yakla³m uygulanm³tr. Son olarak yöntemin do§rulu§unu göstermek amacyla nümerik örnekler çözümleriyle beraber grak halinde sunulmu³tur.

4.2. Zaman Kesirli Difüzyon Denklemi ∂αu(x, t)

∂tα −

∂2u(x, t)

∂x2 + u(x, t) = f (x, t), 0 ≤ x ≤ L, t > 0, (4.1)

olarak verilen difüzyon denkleminin ba³langç ve snr de§erleri

u(0, t) = g0(t), U (L, t) = g1(t), u(x, 0) = G(x) (4.2)

olarak tanmldr.

4.3. Kübik B-Spline Kollokasyon Çözümü

{φ−1(x), ..., φN +1(x)} spline fonksiyonlar kümesi [a, b] aral§ndaki çözümünde bu

fonksiyonlar için bir baz olu³turur. Böylece UN(x, t) yakla³k çözümünü Kübik B-Spline

foksiyonlar kullanarak a³a§daki gibi tanmlayabiliriz.

UN(x, t) = N +1

X

i=−1

δi(t)φi(x) (4.3)

Buradaki δi(t)'ler Kübik B-Spline kollokasyon yönteminden ve ilave ko³ullardan

hesapla-nacak olan zamana ba§l de§i³kenlerdir. Tüm Kübik B-Spline fonksiyonlar ard³k dört eleman üzerine yayld§ndan her [xi, xi+1]eleman dört ard³k Kübik B-Spline

fonksiyon-lar tarafndan kapsanr. Mevcut problemde bu elemanlar [xi, xi+1] üzerinde tanmlanr

ve elemanlar xi, xi+1 dü§ümlerine ayrlr. Ui, Ui0, Ui00 nodal de§erleri δ(t) zamana ba§l

de§i³kenlerin terimlerinde a³a§daki gibi tanmlanr (Uçar vd., 2015). Ui = U (xi) = δi−1(t) + 4δi(t) + δi+1(t) U_i0= U0(xi) = 3 h(−δi−1(t) + δi+1(t)) (4.4) U_i00 = U00(xi) = 6 h2(δi−1(t) − 2δi(t) + δi+1(t))

[xi, xi+1]bir tipik elemannda Un(x, t)'nin varyasyonu a³a§daki gibi verilir.

UN(x, t) = i+1

X

j=i−1

(39)

(4.1) denkleminde (4.4) türevlerini kullanarak (4.3) genel yakla³mn uygularsak kolayca α.mertebeden kesirli adi diferansiyel denklemi a³a§daki gibi gelir (Uçar vd., 2015).

( ˙δi−1+ 4 ˙δi+ ˙δi+1) −

6

h2(δi−1− 2δi+ δi+1) + (δi−1+ 4δi+ δi+1) = f (x, t) (4.6)

Burada nokta α. mertebeden zamana ba§l kesirli türevi anlamna gelir. (4.6) denkleminde ˙δi(t)zaman kesirli türevleri ve zamana ba§l δi(t)parametreleri verildi§inde srasyla Crank

Nicolson formülü ve L1 ayr³trma formülü kullanlarak ayr³trlm³tr. δi = 1 2(δ n_{+ δ}n+1₎ _(4.7) ve ˙δ = dαδ dtα = (∆t)−α Γ(2 − α) n−1 X k=0 [(k + 1)1−α− k1−α][δn−k− δn−k−1] (4.8) δ_in+1(t) zaman ba§ml bilinmeyen parametreleri integrallenerek ard³k zamanlar arasn-daki ili³ki i = 0, 1, ..., N için tekrar edilirse,

(1 − (6 − h2)γ)δ_i−1n+1+ (1 + 4(3 + h2)γ)δn+1_i + (1 − (6 − h2)γ)δ_i+1n+1= (1 + (6 − h2)γ)δ_i−1n +(1 − 4(3 + h2)γ)δn_i + (1 + (6 − h2)γ)δ_i+1n + 2h2γf (xi, tn) (4.9)

−

n

X

k=1

[(k + 1)1−α− k1−α][(δn−k+1_i−1 − δ_i−1n−k) + 4(δ_in−k+1− δn−k_i ) + (δn−k+1_i+1 − δ_i+1n−k)] Burada

λ = (∆t)

α_{Γ(2 − α)}

2h2

Yeni elde edilen (4.9) sistemi N + 3 bilinmeyen parametreden olu³an N + 1 lineer denklem sistemidir. Bu denklemin çözümünü elde etmek için iki bilinmeyen (δ−1 ve δN +1)

parametreyi ba³langç ve snr de§erleriyle elimine etmek gerekir. 4.4. Ba³langç Durumu

Hesaplama i³lemine ba³lamak için öncelikle d0 _{= (δ}0

0, δ10, δ20, ..., δN −20 , δN −10 , δN0)T

ba³langç vektörüne ihtiyacmz vardr. Dolaysyla (4.3) yakla³m iterasyonun ba³langç noktas için belirlenebilir.

UN(x, 0) = N +1 X i=−1 δ_i0(t)φi(x). Buradaki δ0

i'ler zamana ba§l bilinmeyen parametrelerdir.

UN(x, 0) = u(xi, 0), i = 0, 1, ..., N

(UN)xx(0, 0) = G00(0), (UN)xx(L, 0) = G00(L).

Yukardaki ko³ullar UN(x, 0)yakla³mnda yerine yazlrsa a³a§daki matris gösterimi elde

edilir (Uçar vd., 2015).

(40)

Burada W =           6 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 6           d0_{= (δ}0 0, δ01, δ02, ..., δN −20 , δ0N −1, δ0N)T ve b = (u(x, 0) −h 2 6 G 00

(0), u(x1, 0), u(x2, 0), ..., u(xN −2, 0), u(xN −1, 0), u(xN, 0) −

h2 6 G

00

(L))T.

4.5. Nümerik Örnekler ve Çözümler

Bu ksmda Kübik B-Spline baz fonksiyonlar kullanlarak kollokasyon sonlu elemanlar metoduyla çözülmü³ iki nümerik örne§in nümerik ve tam çözümleri kyaslamas L2 ve L∞

hata normlar ile verilmi³tir.

Problem: Ba³langç ve snr ko³ullaryla birlikte problemi tanmlayalm. ∂αu(x, t)

∂tα −

∂2u(x, t)

∂x2 + u(x, t) = Γ(2 + α)e

x_t, _{0 ≤ x ≤ 1, t > 0,} _(4.10)

u(0, t) = t1+α, u(1, t) = et1+α, u(x, 0) = 0 Problemin analitik çözümü a³a§daki gibi elde edilir.

u(x, t) = ext1+α

Problem: Ba³langç ve snr ko³ullaryla ikinci problemi tanmlayalm ∂αu(x, t) ∂tα − ∂2u(x, t) ∂x2 − u(x, t) = 2 Γ(3 − α)t 2−α_sinx, _{0 ≤ x ≤ π, t > 0,} _(4.11)

u(0, t) = u(π, t) = 0 ve u(x, 0) = 0

Bu problemin analitik çözümü a³a§daki gibidir. u(x, t) = t2sinx

(41)

Çizelge 4.1. L2ve L∞normlaryla (4.10) probleminin analitik çözüm ve yakla³k çözümün

bir kar³la³trmas.

9

Nümerik Tam Nümerik Tam Nümerik Tam Nümerik Tam 0,0 0,063087 0,063096 0,031616 0,031623 0,017778 0,017783 0,012586 0,012589 0,1 0,069729 0,069732 0,034945 0,034949 0,019651 0,019653 0,013914 0,013913 0,2 0,077063 0,077065 0,038621 0,038624 0,021718 0,021720 0,015379 0,015377 0,3 0,085168 0,085170 0,042683 0,042686 0,024003 0,024004 0,016997 0,016994 0,4 0,094125 0,094128 0,047172 0,047176 0,026528 0,026529 0,018785 0,018781 0,5 0,104024 0,104027 0,052133 0,052137 0,029317 0,029319 0,020761 0,020756 0,6 0,114964 0,114968 0,057615 0,057620 0,032400 0,032402 0,022943 0,022939 0,7 0,127055 0,127059 0,063675 0,063680 0,035807 0,035810 0,025355 0,025352 0,8 0,140418 0,140422 0,070371 0,070378 0,039572 0,039576 0,028020 0,028018 0,9 0,155186 0,155190 0,077771 0,077779 0,043732 0,043739 0,030964 0,030965 1,0 0,171489 0,171512 0,085940 0,085960 0,048324 0,048339 0,034213 0,034221 L2x103 0,00501 0,006235 0,004091 0,003304 L∞x103 0,023228 0,019343 0,014279 0,008490 tf = 0, 1, N = 40, ∆t = 0, 0001 ve α'nn farkl de§erleri.

Çizelge 4.2. L2ve L∞normlaryla (4.10) probleminin analitik çözüm ve yakla³k çözümün

bir kar³la³trmas. x N=10 N=20 N=40 N=80 N=100 Tam 0,0 0,031509 0,031594 0,031616 0,031621 0,031622 0,031623 0,1 0,034890 0,034934 0,034945 0,034948 0,034948 0,034949 0,2 0,038566 0,038610 0,038621 0,038623 0,038624 0,038624 0,3 0,042627 0,042671 0,042683 0,042685 0,042686 0,042686 0,4 0,047111 0,047160 0,047172 0,0471765 0,047175 0,047176 0,5 0,052065 0,052119 0,052133 0,052136 0,052137 0,052137 0,6 0,057538 0,057600 0,057615 0,057619 0,057620 0,057620 0,7 0,063584 0,063657 0,063675 0,063679 0,063680 0,063680 0,8 0,070264 0,070349 0,070371 0,070376 0,070378 0,070378 0,9 0,077642 0,077745 0,077771 0,077777 0,077778 0,077779 1,0 0,085650 0,085882 0,085940 0,085955 0,085957 0,085960 L2x103 0,127728 0,027530 0,006235 0,001435 0,000887 L∞x103 0,309488 0,077372 0,019343 0,004836 0,003095

(42)

ekil 4.1. (4.10) probleminin analitik çözüm ve yakla³k çözümün bir kar³la³trmas (Uçar vd., 2015).

N = 40, ∆t = 0.0001 ve α = 0.50 ve t = 1, t = 4, t = 7 , t = 10 anlar.

Çizelge 4.3. L2 ve L∞ hata normlaryla (4.11) probleminin analitik çözüm ve yakla³k

çözümün bir kar³la³trmas. x α = 0, 20 α = 0, 50 α = 0, 75 α = 0, 90 Tam 0,314159 0,003089 0,003090 0,003090 0,003092 0,003090 0,628319 0,005876 0,005877 0,005878 0,005880 0,005878 0,942478 0,008088 0,008090 0,008091 0,008094 0,008090 1,256637 0,009508 0,009510 0,009511 0,009515 0,009511 1,570796 0,009997 0,009999 0,010001 0,010004 0,010000 1,884956 0,009508 0,009510 0,009511 0,009515 0,009511 2,199115 0,008088 0,008090 0,008091 0,008094 0,008090 2,513274 0,005876 0,005877 0,005878 0,005880 0,005878 2,827433 0,003089 0,003090 0,003090 0,003092 0,003090 3,141593 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 L2x103 0,003338 0,001017 0,001194 0,005420 L∞x103 0,002664 0,000812 0,000953 0,004324 tf = 0, 1, N = 40, ∆t = 0, 0001 ve α'nn farkl de§erleri.

(43)

ekil 4.2. (4.11) probleminin analitik çözüm ve yakla³k çözümün bir kar³la³trmas (Uçar vd., 2015).

N = 40, ∆t = 0, 0001 , α = 0, 50 de§erleri ve t = 1, t = 2, t = 3 , t = 4 anlar.

Çizelge 4.4. L2 ve L∞ (4.11) probleminin analitik çözüm ve yakla³k çözümün bir

kar³-la³trmas. x N=10 N=20 N=40 N=80 N=100 Tam 0,314159 0,003085 0,003089 0,003090 0,003090 0,003090 0,003090 0,628319 0,005869 0,005876 0,005877 0,005878 0,005878 0,005878 0,942478 0,008078 0,008087 0,008090 0,008090 0,008090 0,008090 1,256637 0,009496 0,009507 0,009510 0,009510 0,009511 0,009511 1,570796 0,009985 0,009996 0,009999 0,010000 0,010000 0,010000 1,884956 0,009496 0,009507 0,009510 0,009510 0,009511 0,009511 2,199115 0,008078 0,008087 0,008090 0,008090 0,008090 0,008090 2,513274 0,005869 0,005876 0,005877 0,005878 0,005878 0,005878 2,827433 0,003085 0,003089 0,003090 0,003090 0,003090 0,003090 3,141593 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 L2x103 0,019422 0,004693 0,001017 0,000099 0,000011 L∞x103 0,015496 0,003745 0,000812 0,000079 0,00000

(44)

5. ZAMAN KESRL 4. MERTEBEDEN KISM

DFERAN-SYEL DENKLEMN KUNTK B-SPLNE

KOLLOKAS-YON YÖNTEMYLE ÇÖZÜMÜ

5.1. Giri³

Bu bölümde kesir türevli dördüncü mertebeden denklemlerin nümerik çözümleri için Kuintik B-Spline kollokasyon yöntemi uygulanm³tr. Zaman kesir türevin birçok ta-nm mevcuttur fakat bu bölümde ilgili denklemin çözümünde Caputo anlamnda türev kullanlm³tr. Problemin çözümüne öncelikle zaman ayr³trmas için geri sonlu fark Euler algoritmas uygulanm³tr. Daha sonra kollokasyon yöntemi uygulanm³tr. Problemin çö-zümünden sonra verilen nümerik örnekler ise önerilen yöntemin do§rulu§unu ve etkinli§ini göstermektedir.

5.2. Zaman Kesirli 4. Mertebeden Ksmi Diferansiyel Denklemler Zaman kesirli dördüncü mertebeden ksmi diferansiyel denklemi, α. mertebeden kesirli türev ile a³a§daki gibi ele alnr.(0 < α < 1)

∂α_u

∂tα + µ

∂4_u

∂x4 = f (x, t), x ∈ Ω = [0, L], 0 < t ≤ T, (5.1)

Ba³langç ve snr ko³ullar ise a³a§daki gibidir.

u(x, 0) = g0(x), 0 ≤ x ≤ L (5.2)

u(0, t) = u(L, t) = 0, (5.3)

ux(0, t) = ux(L, t) = 0 0 ≤ t ≤ T (5.4)

Burada µ kiri³in bükülme sertli§inin birim uzunlu§a oranla kütlesine oran, u kiri³in enine yer de§i³tirmesi , t ve x srasyla zaman ve konum de§i³kenleri , f(x, t) birim kütle ba³na dü³en itici güç ve g0(x)sürekli fonksiyondur. Burada özel olarak α = 1 için (5.1) denklemi

a³a§daki formu alr. ∂u

∂t + µ ∂4u

∂x4 = f (x, t), x ∈ Ω = [0, L], 0 < t ≤ T. (5.5)

5.3. Kuintik B-Spline Kollokasyon Çözümü

Ba³langç ve snr de§erleriyle verilen (5.1) denkleminin çözümüne ba³lamadan önce Kuintik B-Spline fonksiyonlar yardmyla bir yakla³m elde edelim. [0, L] aral§ a³a§daki ³ekilde bölündü§ünde,

0 = x0< x1< x2 < ... < xn= L

Quintik B-spline yakn snr de§erleri 10 e³it aral§a parçalanr. x−5 < x−4< x−3< x−2< x−1 < x0

ve

(45)

Kuintik B-Spline temel baz fonksiyonlarnn a³a§daki formunu ele alaca§z. βi(x) = 1 h5                        (x − xi+ 3h)5, (x − xi+ 3h)5− 6(x − xi+ 2h)5 (x − xi+ 3h)5− 6(x − xi+ 2h)5+ 15(x − xi+ h)5 (−x + xi+ 3h)5− 6(−x + xi+ 2h)5+ 15(−x + xi+ h)5 (−x + xi+ 3h)5− 6(−x + xi+ 2h)5 (−x + xi+ 3h)5 0

Çizelge 5.1. xi noktalarnda Kuintik B-Spline ve türevlerinin katsaylar.

xi−3 xi−2 xi−1 xi xi+1 xi+2 xi+ 3 Else

β_i(x) 0 1 26 66 26 1 0 0

β_i0(x) 0 _h5 50_h 0 -50_h -_h5 0 0

β_i00(x) 0 20_h2 40_h2 -120_h2 40_h2 20_h2 0 0

β_i000(x) 0 60_h3 -120_h3 0 120_h3 -_h603 0 0

β_i(4)(x) 0 120_h4 -480_h4 720_h4 -480_h4 120_h4 0 0

Ard³k türevlerin katsay de§erleri B(v)

i , i = −2, ..., N + 2; v = 0, 1, 2, 3, 4 olmak

üzere Çizelge 5.1'de verilmi³tir. Un+1_(x) _{yakla³k çözümü u}n+1_(x)_{tam çözümüne (n + 1)}

annda Quintik B-Spline temel Bi(x) fonksiyonlarnn terimleri cinsinden a³a§daki gibi

ifade edilebilir (Sddki ve Arshed, 2014).

Un+1(x) =

N +2

X

i=−2

ci(t)Bi(x) (5.6)

Burada bilinmeyen ci'ler ksmi diferansiyel denklemin kollokasyon yöntemi ve snr

³artla-rnda belirlenen zamana ba§l de§erlerdir.

I. dereceden geriye Euler yöntemi yardmyla ∂u(x, t)/∂tα _{zaman kesirli türevi}

ay-r³trlr. tn= n∆t, n = 0, 1, 2, ..., K burada ∆t = T/K zaman adm aral§dr.

un(x), u(x, t)'nin t = tn n = 0, 1, 2, ..., K − 1zaman de§erlerinde ard³k bir yakla³mdr.

Zaman kesirli türev (5.1) denkleminde t = tn+1 annda a³a§daki gibi belirlenir.

∂αu(x, tn+1) ∂tα = 1 τ (1 − α) Z tn+1 0 ∂u(x, s) ∂s ds (tn+1− s)α = 1 τ (1 − α) n X j=0 Z tj+1 tj ∂u(x, s) ∂s ds (tn+1− s)α = 1 τ (1 − α) n X j=0 u(x, tj+1) − u(x, tj) ∆t Z tj+1 tj ds (tn+1− s)α + rn+1_∆t = 1 τ (1 − α) n X j=0 u(x, tj+1) − u(x, tj) ∆t Z n+1−j tn−j dτ τα + r n+1 ∆t

(46)

= 1 τ (1 − α) X j=0 u(x, tn+1−j) − u(x, tn−j) ∆t Z j+1 tj dτ τα + r n+1 ∆t = 1 τ (2 − α) n X j=0 u(x, tn+1−j) − u(x, tn−j) ∆tα ((j + 1) 1−α_{− j}1−α_{) + r}n+1 ∆t = 1 τ (2 − α) n X j=0 bj u(x, tn+1−j) − u(x, tn−j) ∆tα + r n+1 ∆t (5.7)

Burada bj katsaylar a³a§daki özelliklere sahiptir.

bj > 0, j = 0, 1, 2, ..., n, 1 = b0 > b1> b2> ... > bn, n → ∞ iken bn→ 0 n X j=0 (bj− bj+1) + bn+1= (1 − b1) + n−1 X j=1 (bJ− bj+1) + bn= 1

Yar kesirli diferansiyel operatörü Lα

t, a³a§daki gibi tanmlanr.

Lα_tu(x, tn+1) := 1 τ (2 − α) n X j=0 bj u(x, tn+1−j) − u(x, tn−j) ∆tα

Daha sonra (5.7) denklemi a³a§daki formu alr. ∂αu(x, tn+1)

∂tα = L α

tu(x, tn+1) + r_∆tn+1 (5.8)

Kesme hatas ve rn+1

∆t yardmyla Lα1u(x, tn+1) ve ∂u(x, tn+1) arasndadr ve (Lin ve Xu,

2007)

rn+1_∆t ≤ C_u∆t2−α (5.9)

Burada Cu yalnzca u'ya ba§l sabitlerdir. Lαtu(x, tn+1) kullanlarak (5.1) denklemine

kar-³lk gelen sonlu fark yöntemiyle (1/τ(1 − α)Rtn+1

o (∂u(x, s)/∂s)(ds/(tn+1 − s)α) 'n bir

yakla³m a³a§daki gibidir (Sddki ve Arshed, 2014).

Lα_tu(x, tn+1) + µ ∂4u(x, tn+1) ∂x4 = f (x, tn+1). 1 τ (2 − α) n X j=0 bj u(x, tn+1−j) − u(x, tn−j) ∆tα + µ ∂4u(x, tn+1) ∆x4 = f (x.tn+1).

Yukardaki denklem a³a§daki gibi tekrar yazlabilir.

un+1(x) + α0µ ∂4_un+1 ∂x4 = (1 − b1)u n_{(x) +} n−1 X j=1 (bj− bj+1)un−j(x) +bnu0(x) + α0fn+1(x), n = 1, 2, ..., K − 1 (5.10) Burada un+1_{(x) = u(x, t}

n+1) ve α0 = τ (2 − α)∆tα ba³langç ve snr ko³ullaryla birlikte

(47)

Özel olarak n = 1 için (5.8) a³a§daki gibi gelir. u2(x) + α0µ ∂4u2 ∂x4 = (1 − b1)u 1_{(x) + b} 1u0(x) + α0f2(x).

ve n = 0 için ise birinci zaman admnda basitçe a³a§daki formu alr.

u1(x) + α0µ

∂4u1 ∂x4 = u

0_{(x) + α}

0f1(x) (5.12)

Sonlu eleman kollokayon yöntemini uygulayalm. (xi, tn) grid noktalaryla bir a§

formunun [0, L]x[0, T ] bölgesine ayr³trlabilece§ini varsayalm. Burada xi = ih, i =

0, 1, 2, ..., N ve tn= n∆t, n = 0, 1, 2, ..., K, K∆t = T. Buradaki t ve ∆t de§erleri srasyla

uzay ve zaman yönergelerindeki grid boyutlardr. (5.10) denkleminin ayr³trlabilir böl-gesi (5.6) denkleminin kullanlmasyla sa§land ve kollokasyon noktalarnn dü§ümlerinin tanmlanmasyla uyguland. Böylelikle i = 0, 1, 2, 3...N için a³a§daki ba§nt elde edilebilir. (cn+1_i−2 + 26cn+1_i−1 + 66cn+1_i + 26cn+1_i+1 + cn+1_i+2) + α0µ(cn+1i−2 − 4cn+1i−1 + 6cn+1i − 4cn+1i+1 + cn+1i+2)

= (1 − b1)(cni−2+ 26cni−1+ 66cni + 26cni+1+ cni+2)

+ n−1 X j=1 (bj− bj+1)(cn−ji−2 + 26c n−j i−1 + 66c n−j i + 26c n−j i+1 + c n−j i+2)

+bn(c0i−2+ 26c0i−1+ 66c0i + 26c0i+1+ c0i+2) + α0fin+1, ? n = 1, 2..., K − 1. (5.13)

Yukardaki ba§nt kolaylkla (N + 5) bilinmeyenli (N + 1) denklem sistemine götürür. (cn+1₋₂ , cn+1₋₁ , cn+1₀ , ...cn+1_{N +1}, cn+1_{N +2}) 1 + α0µ 120 h4 cn+1_i−2 +26 − 4α0µ 120 h4 cn+1_i−1 +66 + 6α0µ 120 h4 cn+1_i +26 − 4α0µ 120 h4 cn+1_i+1 +1 + α0µ 120 h4 cn+1_i+2 = Fi, n = 1, 2, ..., K − 1, i = 0, 1, 2..., N (5.14) Burada

Fi= (1 − b1)(cni−2+ 26cni−1+ 66cni + 26cni+1+ cni+2)

+ n−1 X j=1 (bj− bj+1)(cn−ji−2 + 26c n−j i−1 + 66c n−j i + 26c n−j i+1 + c n−j i+2)

+bn(c0i−2+ 26c0i−1+ 66c0i + 26c0i+1+ c0i+2) + α0fin+1.

(5.14) sisteminin çözümünü tek bir ³ekilde elde etmek için dört ek snr gereklidir. Bu de-§erler (5.3) ve (5.4) snr ³artlarndan elde edilir. Snr ko³ullarnn kullanlmasyla (5.14) denklemindeki c−2, c−1, cN +1 ve cN +2 'lerin illimine edilmesiyle sistem (N + 1)

bilinme-yenli (N + 1) be³ kö³egensel denklem sistemine indirgenir. C2 _{= [c}2

0, c21, ..., c2N]T de§erini

bulmak için öncelikle C1 _{= [c}1

0, c11, ..., c1N]T de§erini bulmaya ihtiyaç vardr. Elde edilen C1

(48)

gibi kullanlr. (Sddki ve Arshed, 2014) 1 + α0µ 120 h4 c1_i−2+26 − 4α0µ 120 h4 c1_i−1+66 + 6α0µ 120 h4 c1_i +26 − 4α0µ 120 h4 c1_i+1+1 + α0µ 120 h4 c1_i+2

(c0_i−2+ 26c0_i−1+ 66c0_i + 26c_i+10 + c0_i+2) + α0fi1, i = 0, 1, 2, ..., N. (5.15)

Yukardaki (5.15) denklemi (N + 5) bilinmeyenli (N + 1) lineer denklem sistemidir. Bu sistemin tek bir çözümünü elde etmek için (5.3) ve (5.4) snr ko³ullar uygulanarak c−2, c−1, cN +1ve cN +2'ler elimine edilir. Un+1yakla³k çözümünün zaman de§i³imleri Cn+1

vektörünün zaman de§i³imleri yardmyla elde edilr. Bu C0 _{ba³langç vektörünün tekrar}

tekrar çözülmesiyle bulunur. C0 _{vektörünün ba³langç durumu u(x, 0) = g}

0(x) ba³langç

ko³ulundan belirlenebilir. Buda (N + 5) bilinmeyenli (N + 1) denklem sistemini verir. Bu bilinmeyenleri belirlemek için a³a§da verilen ba§ntlar kullanlr.

ux(x0, 0) = ul(x0), ux(x0, 0) = ul(xN)

uxx(x0, 0) = ull(x0), uxx(xN, 0) = ull(xN),

Verilen be³ kö³egensel denklem sistemi a³a§daki gibi matris formunda yazlabilir (Sddki ve Arshed, 2014). GC0= E (5.16) Burada G =                54 60 6 101 4 135 2 105 4 1 1 26 66 26 1 1 26 66 26 1 ... ... ... 1 26 66 26 1 1 105₄ 135₂ 101₄ 6 60 54               

5.5. Nümerik Örnekler ve Çözümleri

Bu ksmda Kuintik B-Spline baz fonksiyonlar kullanlarak kollokasyon yöntemiyle ba³langç ve snr ko³ullaryla verilen iki adet zaman kesirli 4. mertebeden ksmi diferansiyel denklemin nümerik ve tam çözümlerinin kyaslamas yaplm³tr.

Problem: Zaman kesirli 4. mertebeden ksmi diferansiyel denklem ba³langç ve snr de-§erleriyle verilirse; ∂0,75u ∂t0,75 + 0.01 ∂4u ∂x4 = f (x, t), x ∈ [0, 4π], 0 < t ≤ T, (5.17) Ba³langç ko³ullar u(x, 0) = 1 − cos2x, x ∈ [0, 4π],

(49)

Snr ko³ullar

u(0, t) = u(4π, t) = 0,

ux(0, t) = ux(4π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T.

Problemin tam çözümü a³a§daki gibi gelir.

u(x, t) = 2(t + 1)sin2x.

Problem: kinci problemimiz ba³langç ve snr ko³ullaryla verilirse; ∂0.50u ∂t0.50 + 0.05 ∂4u ∂x4 = f (x, t), x ∈ [0, 1], 0 < t ≤ T, (5.18) Ba³langç ko³ullar u(x, 0) = sinπx, x ∈ [0, 1], Snr ko³ullar u(0, t) = u(1, t) = 0, uxx(0, t) = uxx(1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T.

Problemin tam çözümü a³a§daki gibidir.

u(x, t) = (t + 1)sinπx..

Çizelge 5.2. (5.17) probleminin ∆t = 0, 0001 ve N'nin farkl de§erleri için hata normlar.

N K L∞ L2 50 100 2, 0964x10−5 1,7489x10−6 50 500 6, 9909x10−5 5,9425x10−6 50 1000 1, 17692x10−4 _1,0453x10−5 50 1500 1, 5975x10−4 1,4443x10−5 100 100 1, 4771x10−5 1,0535x10−6 100 500 1, 7313x10−5 1,0858x10−6 100 1000 2, 9146x10−5 1,5952x10−6 100 1500 3, 9562x10−5 _2,1897x10−6

Çizelge 5.3. (5.18) probleminin N = 100 ve farkl zaman admlar için hata normlar.

∆t α L∞ Hata L2 Hata 0,001 α = 0, 5 9,0468 x10−4 7,1521x10−5 0,0005 α = 0, 5 4,0476x10−4 1,1603 3,1999x10−5 1,1603 0,00025 α = 0, 5 1,5480x10−4 1,3867 1,2238x10−5 1,3867 0,000125 α = 0, 5 5,4821x10−5 _{1,4976 4,3575x10}−6 _1,4898 0,001 α = 1 3,5145x10−4 2,4851x10−5 0,0005 α = 1 1,5919x10−4 1,1425 1,1257x10−5 1,1425 0,00025 α = 1 7,9929x10−5 0,9939 5,6498x10−6 0,9945 0,000125 α = 1 3,9963x10−5 1,0001 2,8239x10−6 1,0005

(50)

ekil 5.1. (5.17) probleminin soldan sa§a srasyla tam ve nümerik çözümleri (Sddki ve Arshed, 2014).

N = 40, K = 1000 ve ∆t = 0.00001.

ekil 5.2. (5.17) probleminin nümerik ve tam çözümleri için bir kar³la³trmas (Sddki ve Arshed, 2014).

K = 1000olmak üzere düz çizgi tam çözümü temsil ederken noktal çizgi nümerik çözümü temsil eder.

(51)

ekil 5.3. Yatay eksen ∆t zaman adm ve α = 0.75 olmak üzere hatalar (Sddki ve Arshed, 2014).

Çizelge 5.4. (5.18) probleminin ∆t = 0, 0001 ve N'nin farkl de§erleri için hata normlar.

N α K L∞ L2 40 0,5 100 1,2964 x 10−4 _{1,4494 x 10}−5 40 0,5 500 2,3241x 10−4 _{2,5985x 10}−5 40 0,5 1000 2,8285x 10−4 _{3,1624x 10}−5 40 0,5 1500 3,1247x 10−4 _{3,4935x 10}−5 80 0,5 100 2,4905x 10−5 _{1,9689x 10}−6 80 0,5 500 5,0599x 10−5 _{4,0002x 10}−6 80 0,5 1000 6,3211x 10−5 _{4,9972x 10}−6 80 0,5 1500 7,0617x 10−5 _{5,5828x 10}−6 40 1 100 2,4509x 10−6 _{2,7402x 10}−7 40 1 500 1,2161x 10−5 _{1,3596x 10}−6 40 1 1000 2,4091x 10−5 _{2,6934x 10}−6 40 1 1500 3,5796x 10−5 _{4,0021x 10}−6 80 1 100 5,7615x 10−7 _{4,5548x 10}−8 80 1 500 2,8591x 10−6 _{2,2603x 10}−7 80 1 1000 5,6648x 10−6 _{4,4785x 10}−7 80 1 1500 8,4186x 10−6 _{6,6555x 10}−7