T.C.
DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
FEKETE - SZEGÖ PROBLEMİ ÜZERİNE
Sultan AYTAŞ DÜŞÜN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
DİYARBAKIR Şubat 2017
I TEŞEKKÜR
Sevgisiyle, sabrıyla ve hoşgörüsüyle her zaman yanımda olan, bilgisinden her zaman yararlandığım ve her konuda desteğini hep hissettiğim değerli danışman Hocam Prof. Dr. H. Özlem GÜNEY'e,
Her anlamda desteğini, ilgisini ve sevgisini yanımda hissettiğim, tezin yazımı sırasında yardımlarını esirgemeyen Sayın Yrd. Doç. Dr. F. Müge SAKAR'a,
Yaşamım boyunca bana duydukları sevgi, anlayış ve güvenle kendimi gerçekleştirme fırsatı veren ve desteklerini hep hissettiğim sevgili anneme, babama, kardeşlerime ve yeğenlerime,
Ve en önemlisi, bana duyduğu inanç ve sevgiyle hayatımın ve çalışmamın her aşamasında yanımda olan sevgili eşim Cihat DÜŞÜN ve biricik kızım Elif Başak'a sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum...
II Sayfa TEŞEKKÜR ... I İÇİNDEKİLER ... II ÖZET ... IV ABSTRACT ... V ŞEKİL LİSTESİ ... VI KISALTMA VE SİMGELER ... VII
1. GİRİŞ ... 1
2. KAYNAK ÖZETLERİ ... 3
2.1. Fekete - Szegö Eşitsizliği ile İlgili Çalışmalar...3
2.2. Genelleştirilmiş Diferansiyel Operatörü ile İlgili Çalışmalar...4
3. MATERYAL VE METOT ... 5
3.1. Materyal ... 5
3.2. Metot ... 5
3.3. Temel Tanımlar ... 5
3.4. Yalınkat Fonksiyonlar ... 8
3.5. Yalınkat Fonksiyonların Bazı Alt Sınıfları ... 13
3.6. Konvekse Yakın Fonksiyonlar...17
3.7. Pozitif Gerçel Kısımlı Fonksiyonlar Sınıfı ... 18
3.8. Subordinasyon İlkesi ... 19
3.9. Fekete-Szegö Eşitsizliği ... 21
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ... 23
4.1. Diferansiyel Operatör ile Tanımlanmış Geneleştirilmiş M , ( ) Sınıfı İçin Fekete- Szegö problemi...23
4.1.1. Temel Tanımlar...23
III
5. TARTIŞMA VE SONUÇ ... 29 5.1. Diferansiyel Operatör ile Tanımlanmış Geneleştirilmiş M , ( ) Sınıfı İçin
Fekete-Szegö Probleminin Bazı Sonuçları...29 6. KAYNAKLAR ... 31 ÖZGEÇMİŞ...34
IV ÖZET
FEKETE-SZEGÖ PROBLEMİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ
Sultan AYTAŞ DÜŞÜN DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
2017
Bu tezde, analitik fonksiyonların özel bir alt sınıfı için Fekete-Szegö problemi ile ilgili bir eşitsizlik elde edilmiş ve elde edilen eşitsizlik için kesin üst sınır bulunmuştur.
İlk olarak karmaşık analizin temeli olan bazı tanımlar ve teoremler ele alınmıştır. Daha sonra yalınkat fonksiyonlar ve yalınkat fonksiyonların önemli bazı alt sınıfları anlatılmıştır. Ayrıca subordinasyon ilkesi ve yıldızıl fonksiyonlardan bahsedilmiştir. Aynı zamanda konveks fonksiyonlar ve konvekse yakın fonksiyonlara da değinilmiştir. Son olarak Fekete-Szegö eşitsizliği hakkında bilgi verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Analitik fonksiyon, yalınkat fonksiyon, yıldızıl fonksiyon, konveks fonksiyon, konvekse- yakın fonksiyon, Fekete-Szegö eşitsizliği.
V ABSTRACT
ON THE FEKETE-SZEGO PROBLEM M. Sc. THESIS
Sultan AYTAŞ DÜŞÜN
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF DICLE
2017
In the thesis, an inequalitiy related to Fekete-Szegö prooblem for a special subclass of analytic functions are obtained, and the sharp bounds are found for these inequalities.
Firstly, some definitions and theorems which based on complex analysis are given. After, univalent functions and some significant subclasses of these functions are presented. Furthermore, subordination principle and starlike functions are given. Also, convex and close to convex functions are expressed. Lastly, we mention about the inequality of Fekete-Szegö.
Key Words: Analytic functions, univalent functions, starlike functions, convex functions, Fekete-Szegö inequality.
VI Şekil No Sayfa Şekil 3.1
2 1 f z z fonksiyonunun resmi ... 9 Şekil 3.2
3 1 f z z fonksiyonunun resmi ... 9 Şekil 3.3 Koebe fonksiyonunun grafiği ... 11 Şekil 3.4 Konveks bölge ... 14 Şekil 3.5 w noktasına göre yıldızıl bölge ... 14 0VII
KISALTMA VE SİMGELER : Karmaşık Sayılar Kümesi
: Genişletilmiş Karmaşık Sayılar Kümesi
: Doğal Sayılar Kümesi : Gerçel Sayılar Kümesi
: Pozitif Tam Sayılar Kümesi
U : Birim disk
k z : Koebe Fonksiyonu
A : U birim diskinde analitik olan fonksiyonların sınıfı S : Yalınkat fonksiyonlar sınıfı
S : Yıldızıl fonksiyonlar sınıfı C : Konveks fonksiyonlar sınıfı
C : mertebeli konveks fonksiyonlar sınıfı
S : mertebeli yıldızıl fonksiyonlar sınıfı
0
L z : Möbius Fonksiyonu
1 1. GİRİŞ
Yüzyıla yakın bir süredir geometrik fonksiyonlar teorisi birçok matematikçinin ilgisini çekmiştir. Bu teoriyi önemli kılan sebeplerden biri de fonksiyonların temsil edildiği katsayıların geometrik özellikleri üzerindeki etkisidir. Bir başka deyişle fonksiyonun geometrik özelliklerinin katsayıları üzerindeki etkisidir. Problemin oluşturulması ve çözümü geometrik özellikler yardımıyla yapılır. Yalınkat fonksiyonlar teorisi, geometrik fonksiyonlar teorisinin başlıca konularından biridir. Yalınkat fonksiyonlara ait en önemli çalışmalar Koebe tarafından 1907' de başlatılmış ve birçok matematikçinin ilgisini çekmiştir. Matematikçilerin birçok çalışmasında artık sınırları veya f z
değerinin büyümesiyle ilgili diğer sabitleri tam anlamıyla belirleme üzerinde uzun uğraşlar verilmiştir. Uzun uğraşlar sonucu “Temel Yalınkat Fonksiyonlar Kuramı” olarak adlandırılmış ve böylece yalınkat fonksiyonlar sınıfı ile ilgili problemler üzerindeki çalışmalar bir hayli ivme kazanmıştır.Yalınkat fonksiyonlar teorisinde, fonksiyonların katsayı sınırlarının bulunması,
2
3 2
a a modülünün üst sınırlarını veya katsayılar arasındaki bağıntıların ele alınması
ve çözülmesi önemli bir yere sahiptir. Bieberbach tarafından tahmin edilen
“ f S fonksiyonu için n2,3,... olmak üzere an n eşitsizliği sağlanır”
ifadesi uzun süre matematikçilerin çözmeye çalıştığı bir problemin temelini oluşturmuştur. n2iken a2 2 eşitsizliği Bieberbach tarafından 1916' da ispatlanmıştır. Daha sonra Loewner 1923' te parametrik metot olarak adlandırdığı kendi çalışmasıyla a3 3 eşitsizliğini, 1955' te Schiffer ve Garabedian, Grunsky
eşitsizliklerini kullanarak a4 4 eşitsizliğini, 1968' de Pederson a6 6 ve 1972' de Pederson ve Schiffer a5 5 eşitsizliğini ispat etmiştir. Bu tahminin genelleştirilmiş hali yıllarca matematikçilerin üzerinde çalıştığı bir konu olmuştur. Nihayet, L. De-Branges, Loewner teorisini kullanarak her n2,3,... için an n eşitsizliğinin doğrulunu 1985' te uzun uğraşlar sonucu ispatlamıştır.
1. GİRİŞ
2 Katsayıların varyasyonu olan 2
3 2
a a modülünün üst sınırını bulmak Fekete-Szegö problemi olarak adlandırılır. Bu konu ilk defa Bieberbach tarafından 1916 'da çalışılmıştır. Bieberbach bütün yalınkat fonksiyonlar için 2
3 2 1
a a olabileceğini ispatlamıştır. Fekete ve Szegö 1933 yılında daha da genelleştirerek 0 1
kabulü altında 2
3 2
a a için bazı üst sınırlar bulmuştur.
Bu çalışmada geneleştirilmiş konvekse yakın fonksiyon sınıfları için Fekete-Szegö problemi üzerine çalışmalar yapılmıştır.
Bu doğrultuda bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde yalınkat fonksiyonların genel bir tarihçesinden söz edilmiştir. İkinci bölümde araştırmamız boyunca faydalandığımız bazı temel makalelerden kısaca bahsedilmiştir.
Üçüncü bölümde tezde kullanılacak temel tanımlara, önemli bazı teorem ve sonuçlara yer verilmiştir. Yalınkat fonksiyonların bazı özel alt sınıfları incelenip konuyla alakalı teoremler ifade edilmiş ve Subordinasyon ilkesine yer verilmiştir. Dördüncü bölümde geneleştirilmiş konvekse yakın fonksiyon sınıfları için Fekete-Szegö problemi üzerine çalışmalar yer almaktadır.
Son olarak beşinci bölümde, dördüncü bölümde elde edilen teoremler ile ilgili elde ettiğimiz sonuçlara yer verilmiştir.
3 2. KAYNAK ÖZETLERİ
Bu kısımda literatür taramamız sonucunda elde edilen ve çalışmamızın temelini oluşturan makalelerin içeriğine kısaca değineceğiz.
2.1 Fekete - Szegö Eşitsizliği ile İlgili Çalışmalar
Yalınkat fonksiyonların katsayıları ilk defa Koebe tarafından 1907 yılında çalışılmıştır. Bieberbach bütün yalınkat fonksiyonlar için 2
3 2 1
a a olduğunu ispatlamıştır. Fekete ve Szegö bu problem üzerinde çalışmış ve 0 1
kabul ederek
2
3 2
a a için 1933 yılında bazı üst sınırlar bulmuştur.
H.R.Abdel-Gawad ve D.K.Thomas 1992' de güçlü konvekse yakın fonksiyonlardan bahsedip, K B( )sınıfı için, 2 2 3 2 (2 3 )( 2) 2 1 , 3 3( 1) 2 (2 3 ) 2 2 1 , 3 3[2 (2 3 )] 3( 1) 3 2 1 3 (3 2)( 2) 2( 2) 1 , 3 3( 1) a a bulmuştur.
B.A.Frasin ve M.Darus ise 2000 yılında Fekete -Szegö problemi ile çalışmış , ( , ) M sınıfı için 2 2 2 3 2 2 2 ( 1) (8 2 3 ) (2 1 )(3 2) (1 ) (2 ) 3(1 ) a a bulmuştur.
Yalınkat fonksiyonların bir takım alt sınıfları için Fekete- Szegö problemi birçok araştırmacı tarafından çalışılmıştır. Yalınkat fonksiyonlar sınıfının bazı alt sınıflarının birtakım katsayılarını bulma ve aynı zamanda Fekete- Szegö problemi halen önemini kaybetmemiştir.
2. KAYNAK ÖZETLERİ
4
2.2 Genelleştirilmiş Diferansiyel Operatörü ile İlgili Çalışmalar Analitik f fonksiyonları için n
0 olmak üzere :n D AA ile tanımlı n D f Salagen operarörü
0 1 ' 1 = =z . . . =D 1,2,3... n n D f z f z D f z f z D f z D f z n şeklinde tanımlanır.[Salagean.1981] fA ve
2 = k k k f z z a z
şeklinde ise
2 = n n j j j D f z z j a z
olarak yazılabilir.L. Nalinakshi ve R. Parvatham (1995) tüm n tam sayı değerleri diferansiyel operatörü
2 ( ) n n k k k I f z z k a z
şeklinde tanımlanmıştır.Yine 2 ( ) ( ). n n k n k k I f z z k a z D f z
olduğunu göstermiştir.5 3. MATERYAL VE METOT
Bu kısımda, tezi hazırlarken hangi metaryallerden yararlandığımızdan söz edilecek ve sonuçları elde etmek için kullandığımız metod açıklanacaktır.
Bunun yanında, tezde sıkça kullanılan bazı temel tanımlara yer verilecek ve önemli teoremler ispatsız olarak ifade edilecektir.
3.1 Materyal
Literatürde analitik fonksiyonların birçok alt sınıfı için katsayı eşitsizliklerini içeren çalışmalar bulunmaktadır. Bu çalışmamızı hazırlarken bu şekildeki birçok bilimsel makale okunmuş ve bunların arasından özel bir alt sınıf seçilerek bu alt sınıf üzerine olan çalışmalara yoğunlaşılmıştır. Bu özel alt sınıf konvekse yakın fonksiyonlar sınıfıdır. Bu sınıfın özelliklerini içeren kitaplar ve bu sınıfla ile ilgili sonuçların elde edildiği birçok bilimsel makale temel materyelimizi oluşturmaktadır. Yine diferansiyel operatör ile ilgili bilimsel makale materyalleri de elde alınmıştır.
3.2 Metot
Genelleştirilmiş bir diferansiyel operatör ile ilgili konvekse yakın fonksiyonların bir alt sınıfındaki fonksiyonların katsayılarının bir kombinasyonuna ait olan Fekete -Szegö eşitsizliği kullanılarak bir üst sınır elde edebilmek için öncelikle bazı yardımcı önermeler yardımıyla verilen sınıfa ait katsayı eşitsizlikleri elde edilip, bulunan bu değerler Fekete -Szegö eşitlizliğine uygulanacaktır. Genelleştirilmiş bir diferansiyel operatör kullanılarak üst sınır elde etmek için, öncelikle verilen sınıfa ait fonksiyonların temel özellikleri incelenecek ve tanımlanan parametrelere bazı özel değerler verilerek daha önce üzerinde çalışılmış olan sınıflara ait sonuçlarla ilgili genellemelere ulaşılacaktır.
3.3 Temel Tanımlar
karmaşık sayılar kümesi olsun. z0 ve
0 kabul edelim. z0noktasının
komşuluğu, B z( , )0
z z: z0
ile tanımlanan kümedir. Buradaki z0 noktası komşuluğun merkezi, sayısı ise komşuluğun yarıçapıdır.3. MATERYAL VE METOT
6
0,
B z , B z
0,
' nin kapanışı. B z
0,
ise B z
0,
' nin sınırıdır. B z
0,
kümesine açık disk denir. Bununla birlikte U
z : z 1
orjin merkezli açık birim disktir.S olmak üzere S'
z :zS
ile tanımlı küme S nin tümleyenidir.S ve z0 olsun. zS 'nin z dan farklı her 0 B z
0,
olacak şekilde komşuluğu varsa z , 0 S' nin bir yığılma noktasıdır. Herhangi zS noktası için
,B z S olacak şekilde bir
sayısı varsa z, S nin bir iç noktasıdır.Eğer her zS noktası S' nin iç noktası ise S ye açık küme denir. S 'nin '
S
tümleyeni açık küme ise S kapalıdır.
S olsun, 'de S1 S N1 ,S2 S N2 ve S S1 S2olmak üzere ayrık ve açık S ve 1 S kümeleri yoksa 2 S kümesine bağlantılı küme, aksi durumda S1 S N1 ,S2 S N2 ve S S1 S2 olmak üzere ' de ayrık ve açık S ve 1 S kümeleri varsa 2 S ye bağlantısız küme denir. Bağlantılı açık kümeye de bölge denir.
0
z noktasının bir komşuluğunda bir f fonksiyonu tanımlı olsun.Eğer
0 0 0 lim z z f z f z z z limiti varsa z noktasında 0 f fonksiyonuna diferansiyellenebilirdir denir. f
z0 veya
0 dfz
dz şeklinde gösterilir. Bu şekildeki gösterim aynı zamanda f fonksiyonunun z 0 noktasındaki türevidir.
Eğer f , z ın bir komşuluğundaki tüm noktalarda diferansiyellenebilir 0 oluyorsa f , z ' da analitiktir denir. Bir 0 B bölgesinde tanımlı f fonksiyonu, B nin her noktasında diferansiyellenebilirse fonksiyon bu bölgede analitiktir denir. Böylece,
7
0 ! n n a f z n olmak üzere
0
0 ( ) n n n f z a z z
şeklinde Taylor açılımına sahiptir.
eğrisi
a b kapalı aralığında türevlenebilir olsun.Eğer ,
a b kapalı aralığında , ' türevi sürekli ve sıfırdan farklı ise eğrisine düzgün eğri denir.Belli bir noktadan geçen iki düzgün eğri arasındaki açının büyüklüğünü ve yönünü koruyan dönüşümlere bu noktada konform dönüşüm denir.
Teorem 3.3.1 f fonksiyonunun analitik olduğu her z noktasında 0 f
z0 0 koşulu sağlanıyorsa, f fonksiyonu konformdur (Duren 1983)Teorem 3.3.2 (Riemann Dönüşüm Teoremi) Kompleks düzlemin her D basit bağlantılı alt bölgesi, konform olarak U birim diski üzerine birebir ve konform resmedilebilir. Ayrıca, z0D olmak üzere f z
0 0 ve f
z0 0 şartlarını sağlayan ve Dbölgesini U birim üzerine resmeden bir tek konform dönüşüm vardır (Pakla 1991).
Teorem 3.3.3 (Cauchy-Türev Formülü) f , pozitif yönlü basit kapalı
çevresi içinde ve üzerinde analitik bir fonksiyon ve z bu eğrinin içinde bir nokta olsun. Bu durumda 00,1, 2... n için ( ) 1 0 ! ( ) ( ) 2 ( ) n n n f z f z dz i z z
şeklindedir.3. MATERYAL VE METOT
8
Teorem 3.3.4 (Schwarz Lemma) f , U birim diskinde analitik ve f(0)0 olsun. Eğer U birim diskinde f z( ) 1 ise f'(0) 1ve f z( ) z olur.
olmak üzere( ) i
f z e z fonksiyonu ile eşitlik sağlanır.
Teorem 3.3.5 (Minimum Prensibi) f , B bölgesinde sabit olmayan bir fonksiyon ve her zB için f z( )0 olsun. Bu durumda f z( ) , A bölgesinde minimum değer alamaz. Bu durumda f z( ), minumum değerini B bölgesinin sınırında alır.
Teorem 3.3.6 (Maksimum Modül Prensibi)f , A bölgesinde sabit olmayan analitik fonksiyon olsun. Böylece f z( ) , A bölgesinde maksimum değeri alamaz. Bu durumda
( )
f z , maksimum değerini B bölgesinin sınırında alır.
Tanım 3.3.7 (Ayrık Tekil Nokta) w f z( ) fonksiyonu z0 noktasının bir U z( , )0
z0delinmiş komşuluğunda analitik fakat z0 noktasında analitik değilse f fonksiyonu için 0
z noktası bir ayrık tekil noktadır denir. 3.4 Yalınkat Fonksiyonlar
D bölgesinde f analitik fonksiyonunu alalım. Bütün z z1, 2D için z1z2
iken f z
1 f z
2 oluyorsa f fonksiyonuna D bölgesinde yalınkattır denir.U birim diskindekif z
1 z
2 fonksiyonunu yalınkat fonksiyonlara örnek verebiliriz. Bu fonksiyonun yalınkatlığını geometrik olarak göstermek çok kolaydır (Şekil 3.1).9 Şekil 3.1
2 (1 ) f z z fonksiyonunun resmi Ayrıca
3 1f z z fonksiyonu ele alındığında, bu fonksiyonun U birim diskinde
yalınkat olmadığı kolaylıkla görülebilir (Şekil 3.2)
Şekil 3.2 3 1
3. MATERYAL VE METOT
10
Eğer f fonksiyonu z0D noktasının en az bir komşuluğunda yalınkat oluyorsa bu fonksiyonaz0Dnoktasında yerel yalınkat fonksiyon denir.
Analitik fonksiyonların yerel yalınkatlığı ile ilgili aşağıdaki teorem önemlidir. Teorem 3.4.1 f analitik bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun z0 noktasında yerel
yalınkat olması ancak ve ancak f
z0 0 olmasına bağlıdır (Duren 1983).Bir bölgede yerel yalınkat olan analitik bir fonksiyon aynı zamanda yalınkat olmak zorunda değildir.
Örneğin,
2f z z fonksiyonunu ve D
z:1 z 2 , 0 arg z3 2
bölgesini ele alalım. Bu fonksiyon D de yalınkat değildir ama yerel yalınkattır. Ayrıca
2f z z
fonksiyonu D bölgesinde analitiktir ve her z0D için f
z0 0 koşulu altında yerel yalınkattır. Lakin 4 4 4 4 16 9 3 2 3 2 3 2 3 2 f i f i i olduğu için f fonksiyonu D bölgesinde yalınkat değildir.
U birim diskinde analitik ve yalınkat, ayrıca f
0 0 ve f
0 1 koşulları altındaf fonksiyonlarının sınıfı S ile gösterilir. Her fS fonksiyonu aşağıdaki gibi bir Taylor serisi açılımına sahiptir.
2 ... , 2 2 n f z z a z z a zn an n S sınıfının en önemli örneği ,
2 3 2 3 ... 2 2 1 z n k z z z z z nz n z (3.1) şeklinde gösterilen Taylor seri açılımına sahip Koebe fonksiyonudur.
k z fonksiyonunun bir takım dönüşümler yardımıyla aşağıdaki gibi yazmak mümkündür.
11
1
2
1
, , 1 1 4 z u z g z u z f z g z z dizisini alalım. u z
fonksiyonu U birim diskini Reu0 yarı düzlemi üzerinedönüştürür. Bu sayede
2
g z u z fonksiyonu bir yarı düzlemi negatif gerçel eksen
dışında bütün karmaşık düzlem üzerine görüntüleyebilir ve
1
1
4f z g z
fonksiyonu da bir normalize işleminin sonucudur. Bu sayede f fonksiyonu
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 =k z 4 1 4 1 1 z z z z f z z z z şeklinde gösterilir ve (3.1) de belirttiğimiz Koebe fonksiyonunu elde etmiş oluruz. Geometrik olarak, Koebe fonksiyonu U birim diskini 1 4 den a kadar kesilmiş düzlem üzerine konform olarak dönüştürür (Şekil 3.3).
Şekil 3.3 Koebe fonksiyonunun resmi Koebe fonksiyonunu
2 1 1 1 4 1 4 z k z z (3.2)olarak tekrardan düzenlediğimizde
1 1 z w z z fonksiyonunun U bölgesini konform
3. MATERYAL VE METOT
12
S sınıfındaki bir fonksiyonun a2(ikinci) katsayısının modülünün sınırını hesaplamak için Bieberbach Teoremi değerli ve aynı zamanda çok kilit bir yere sahiptir.
Teorem 3.4.2 (Bieberbach Teoremi) Her f S için a2 2 şeklindedir. z U kabul edelim. Eşitlik koebe fonksiyonunun dönmeleri için R olmak üzere
2 ( ) (1 i ) z k z e z
ile gösterilen fonksiyonlarda sağlanır (Duren 1983).
Teorem 3.4.3 (Koebe Dörtte Bir Teoremi) S sınıfındaki her fonksiyonunun menzili
w w: 1 4
diskini kapsar (Duren 1983).Bieberbach’ın an 2 eşitsizliği, konform dönüşümlerin geometrik teorisinin ileri uygulamalarını barındırır. En önemli sonuçlarından biri, f S için f
z nin kesin alt ve üst sınırlarını veren Koebe Bükülme Teoremi ve Büyüme Teoremidir.Teorem 3.4.4 (Bükülme Teoremi) Her f S için
3
3 1 1 , 1 1 1 r r f z z r r r eşitsizliği doğrudur (Goodman 1983).
Teorem 3.4.5 (Büyüme Teoremi) Her f S için
2
2 , 1 1 1 r r f z z r r r eşitsizliği vardır (Goodman 1983).
Teorem 3.4.6 (Bieberbach Kestirimi) f S ve n2,3,... alalım. Her n için an n
eşitsizliği vardır. f , Koebe fonksiyonu veya onun bir dönmesi olmadıkça eşitsizlik tüm n değerleri için sağlanır (Pommerenke 1975).
13 i.
2 n n n f z z a z
(Eşlenik Alma) ii.
1 2 , i n i i n n n e f e z z a e z
(Dönme) iii.
1 2 1 , 0 1 n n n n f tz z a t z t t
(Genişleme) iv.
1 1 2 1 2 3 2 1 2 1 ... , 2 k k a k k f z z z ka k z k k k (Kök)v. D bölgesinde f z
denkleminin z ile çözümü yoksa f fonksiyonuna Dbölgesinde çıkarılmış denir. Eğer f z
S fonksiyonu U birim diskinde çıkarılmış ise
2 2 1 ... 1 f z g z z a z f z fonksiyonu da S sınıfındadır. (Atılmış Değer) 3.5 Yalınkat Fonksiyonlar Sınıfının Bazı Alt Sınıfları
D bir küme ve z0D olsun. z0noktasını, tüm zD bütün noktalarıyla birleştiren doğru parçasının hepsi D kümesinin içinde kalıyorsa, D ye z0D noktasına göre yıldızıl küme denir. Orjine göre yıldızıl kümeye kısaca yıldızıl küme denir. Bir f fonksiyonu yalınkat ve F f U
görüntü bölgesi orijine göre yıldızıl olsun, 0 1 w F t tw F
koşulu sağlanıyorsa f e yıldızıl fonksiyon denir. D kümesi noktalarının her birine göre yıldızıl ise D ye konveks küme denir. Bir diğer ifadeyle, D kümesinin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası bütünüyle D içindeyse bu küme konveks küme olarak isimlendirilir. Aynı zamanda bir f fonksiyonu yalınkat ve f U
görüntü bölgesi konveks ise f konveks fonksiyon olarak adlandırılır.S kümesinin yıldızıl ve konveks fonksiyonların alt sınıfları sırasıyla S ve C ile gösterilir. Konveks ve yıldızıl fonksiyon sınıfları arasındaki ilişki
3. MATERYAL VE METOT
14 CSS
şeklinde gösterilebilir.
Konveks ve yıldızıl bölgeler sırasıyla Şekil 3.4 ve Şekil 3.5 te gösterilmiştir. Özellikle dikkat edilirse Şekil 3.5 teki bölge w0 noktasına göre yıldızıldır ama orijine göre yıldızıl değildir.
Şekil 3.4 Konveks Bölge
15
U birim diskinde analitik ve yalınkat f fonksiyonunu alalım. Eğer f
fonksiyonu, R
z z: R
eğrisini basit kapalı bir konveks eğri üzerine dönüştürüyorsa bu eğri konveks bir bölgeyi sınırlar. Tersine, eğer f , UR
R1
diskini konveks bir bölge üzerine dönüştürüyorsa bölgenin sınırı basit kapalı konveks bir eğri olur. Aynı durum yıldızıl eğriler için de geçerlidir.Teorem 3.5.1 f , UR
z z: R
kapalı diskinde analitik ve yalınkat bir fonksiyon olsun. Bu durumda f in UR kapalı diskini konveks bir bölge üzerine dönüştürmesi için
:
R z z R
üzerindeki z noktaları için
Re 1 zf z 0 f z (3.3)olması gerek ve yeterdir (Study 1913).
Ayrıca f
0 0 olduğunu kabul edelim. Bu durumda f fonksiyonunun
: <
R
U z z R bölgesini w0 noktasına göre yıldızıl bir bölgeye dönüştürmesi için gerek ve yeter koşul R
z z: R
üzerindeki z noktaları için
Re zf z 0 f z (3.4) olmasıdır (Nevanlınna 1920-1921).Örnek olarak f z
z2 fonksiyonunu alırsak, (3.3) ve (3.4) eşitsizliklerinde2 0 olup eşitsizlik sağlanır fakat bu fonksiyon altında U diskinin resmi yıldızıl bir bölge olmamaktadır.
Konveks ve yıldızıl fonksiyonlar arasındaki ilişki ilk defa J.W.Alexander (1915) tarafından ortaya atılmıştır.
Bir f fonksiyonu için
F z zf z
3. MATERYAL VE METOT 16
zF z f z zf z z F z zf z şeklinde gösterilir. Böylelikle F z
0 iken
1
zF z zf z F z f z bulunur. Eğer f nin orijinde k. mertebeden bir sıfırı varsa, son eşitliğin her iki tarafı da orjinde analitiktir. Son eşitlik ile (3.3) ve (3.4) te verdiğimiz eşitsizlikleri kullanarak
Re zF z Re 1 zf z F z f z eşitliği sağlanır. Gösterdiğimiz bu sonuç doğrultusunda aşağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem 3.5.2 (Alexander Teoremi) Ur bölgesinde f
z 0 olsun. Bu durumda ffonksiyonunun Ur bölgesinde konveks olması için F z
zf
z fonksiyonunun bubölgede yıldızıl olması gerek ve yeterdir (Alexander 1915). Bu durumu,
0 ) ) z F i f z C zf z S ii F z S d C
şekilde de ifade edebiliriz.
Örnek olarak U birim diskini Rew 1 2 yarı düzlemi üzerine dönüştüren
2 1 n n z f z z z z
fonksiyonunu verebiliriz. Bu fonksiyon birim diskte konveks olduğundan
2
2 1 1 1 1 z z z F z zf z z z z 17
Bir fS fonksiyonunun an katsayıları için kesin sınırlar halen bulunamamıştır,
buna rağmen bu problem S ve C altsınıfları için çözülmüştür.
Robertson (1936) mertebeli konveks ve mertebeli yıldızıl fonksiyonları aşağıdaki gibi göstermiştir.
2 n n n f z z a z
fonksiyonu, bütün z U için
Re zf z f z koşulunu sağlıyorsa, bu fonksiyona mertebeli yıldızıl fonksiyon denir ve S
ile gösterilir. Aynı zamanda
Re 1 zf z f z oluyorsa, bu fonksiyona mertebeli konveks fonksiyon denir. Bu fonksiyonların kümesi de C
ile gösterilir.3.6. Konvekse Yakın Fonksiyonlar:
S sınıfının ilginç bir alt sınıfı da konvekse-yakın fonksiyonlardır. Bu sınıf, 1952 yılında Kaplan tarafından geliştirilmiştir. Bir f fonksiyonu z<1 bölgesinde analitik olmak üzere,
' ' Re f z >0 g z olacak şekilde konveks bir g fonksiyonu veya eşdeğer olarak ,
' Re zf z >0 g z eşitsizliğini sağlayan yıldızıl bir g fonksiyonu varsa f konvekse-yakın fonksiyon
3. MATERYAL VE METOT
18
3.7 Pozitif Gerçel Kısımlı Fonksiyonlar Sınıf
U birim diskinde analitik ,
2 1 2 1 1 n n 1 n n n p z p z p z p z p z
(3.5) fonksiyonunu alalım ve zU noktaları için Re
p z
0 şartını sağlasın. sınıfındaki fonksiyonlara U birim diskinde pozitif gerçel kısma sahip fonksiyon denir. Ve bu fonksiyonların sınıfı ile gösterilir.p fonksiyonları yalınkat olmak zorunda değildir.Koebe fonksiyonu sınıfının en önemli örneklerinden birisi sayılır.Yine
2 0 1 1 1 2 2 1 2 . 1 n n z L z z z z z
Mobius fonksiyonunun da sınıfına ait olduğunu söyleyebiliriz.
Konveks ve yıldızıl fonksiyonları, pozitif gerçel kısımlı fonsiyonlar yardımıyla tanımlayabiliriz. Bir başka deyişle, U da analitik ve f
0 0 , f
0 1 normalize koşulları altında herhangi bir f fonksiyonu için
zf z f S f z ve
1 zf z f C f z önermeleri doğrudur. sınıfındaki fonksiyonların katsayıları için kullanışlı olan aşağıdaki teorem Carathéodory (1907) tarafından verilmiştir.
Teorem 3.7.1 (Carathéodory Teoremi) N1 belirli bir tamsayı olsun. (3.5) ile verdiğimiz p fonksiyonu sınıfında ise pN 2 eşitsizliği kesin sağlanır. Eşitlik durumunda ise e2 i N ve k1,2, ,N için k 0 kabul edelim
19
1 1 1 1 1 k N n k k n k n z F z P z z
ve 1 1 N k k
ise F z
fonksiyonu sınıfındandır ve PN 2olur(Goodman 1983). Teorem 3.7.2 f ve zreiise
1 1 1 1 r r f z r r ve
2 2 1 f z r kesin eşitsizlikleri sağlanır.
Bu eşitliklerin gerçeklenmesi için
0
if z L e z fonksiyonunu almak gerek ve yeterdir (Goodman 1983).
3.8 Subordinasyon İlkesi
Subordinasyon konusu da birçok matematikçinin dikkatini çekmiş ve bu alanda çalışmalar yapılmışlardır. Subordinasyon ifadesi ilk olarak E. Lindelöf (1909) tarafından ortaya konulmuş ancak temel hatlarıyla J.E. Littlewood (1925) ile W.W. Rogosinski (1943) tarafından bulunmuştur.
U birim diskinde analitik olan f ve g fonksiyonlarını ele alalım. U da
f z
g
z
(3.6) olacak biçimde
z 1 ve
0 0 koşullarını sağlayan analitik bir fonksiyonu var ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna subordinedir denir ve f g şeklinde gösterilir.g fonksiyonu f fonksiyonuna süperordinedir de denir.
Subordinasyon ilkesine katkı sağlayan ve J. E. Littlewood (1925) ´a ait bazı temel özelliklere kısaca değinelim:
3. MATERYAL VE METOT
20
f g olsun. Bu durumda
U U ve
0 0 olduğundan, (3.6) özelliği ile
f U g U ve f
0 g
0 bulunur. Schwarz yardımcı önermesinden;
z z ve0 r 1 olmak üzere
f z
: z r
g z
:z r
(3.7) olduğundan 0 r 1 için max
max
z r f z z r g z yazılır. Ve
1 z2
z 1
z 2 eşitsizliği kullanıldığında
2 2 2 1 1 1 z f z z g g bulunur.
z z eşitsizliğini ikinci defa kullandığımızda, 0 r 1 durumunda
2
2
max 1 max 1 z r z f z z r z g z bulunur. Ayrıca z0 alınırsa f
0 g
0 olur.Subordine olunan bir fonksiyonun yalınkat olması en önemli durumdur. g, U
birim diskinde yalınkat olmak üzere
f g f
0 g
0 ve f U
g U
(3.8) önermesi doğrudur (Duren 1983).21 Şekil 3.6 Subordinasyon ilkesi
(3.7) ile (3.8) birlikte kullanılarak aşağıdaki subordinasyon ilkesi bulunmuştur. Teorem 3.8.1 (Subordinasyon ilkesi) g fonksiyonu U birim diskinde yalınkat ve
: , 0 1
r
U z z r r olmak üzere f
0 g
0 ve f U
g U
ise
r
rf U g U
kapsamasını sağlanır (Duren 1983). 3.9.Fekete-Szegö Problemi
Fekete ve Szegö (1933) , U birim diskinde
2 n n n f z z a z
şeklindeki yalınkat fonksiyonların S sınıfı üzerinde her bir
0 ,1 için
23 2
f a a
fonksiyonelinin maximum değerini, Lowner Metodu uygulayarak,
1 2exp 2 / 1
,
0,1
max 1 , 1 f S f olduğunu ispatlamışlardır.3. MATERYAL VE METOT 22
2 n n n f z z a z
şeklinde U daki tüm analitik f fonksiyonlarının A sınıfının kompakt alt kümelerinin sınıfı için gerçel yada karmaşık iken max
f S f hesaplama problemi birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir.
Analitik ve yalınkat fonksiyonların S sınıfı için
gerçel olması durumunda2
3 2
a a nin bir üst değeri Fekete-Szegö (1933) tarafından verilmiştir. Ayrıca S
sınıfının çeşitli alt sınıfındaki fonksiyonları için Fekete -Szegö problemi farklı araştırmacılar tarafından incelenmiştir .(Fekete-Szegö (1933), Srivastava (2000), Abdel-Gavad (1991), Nasr (1991), Darus (1996,1998), London(1993), Trimble (1975), Altınkaya (2014), Sokol (2015), Nalinakshi (1995), Salagean (1981))
23 4. ARAŞTIRMA BULGULARI
Bu bölümde çalışmamızda elde ettiğimiz bazı sonuçlar verilmiştir. İlk olarak diferansiyel operatörün tanımı verilerek bu operatör yardımıyla yeni bir M , ( ) alt sınıfı elde edilmiştir. Daha sonra M , ( ) alt sınıfı için katsayılar bulunup ve Fekete-Szegö eşitsizliğiyle alakalı önemli teoremler ispatlarıyla birlikte verilmiştir.
Son olarak da bulduğumuz sonuçlarda parametreleri bazı özel değerler seçerek ana teoremimiz ile ilgili önemli sonuçlar elde edilmiştir. Böylece bulduğumuz sonuçların daha önce yapılmış olan bazı çalışmaların bir genellemesi olduğu görülmüştür.
4.1 Diferansiyel Operatör ile Tanımlanmış Geneleştirilmiş M , ( ) Sınıfı için Fekete-Szegö problemi:
4.1.1 Temel Tanımlar : U açık birim diskinde,
2 ( ) n n n f z z a z
şeklindeki analitik fonsiyon A sınıfında olsun. f fonksiyonunun tipli ve mertebeli güçlü yıldızıl fonksiyonu olabilmesi için (0 1) ve (0 1) olmak üzere, 2 1 1 ( ) (1 ) ( ) arg ( ) (1 ) ( ) 2 n n n n I f z I f z I f z I f z (z U ) (4.1)
eşitsizliği sağlanmalıdır. Bu fonksiyonların sınıfı * , ( )
S ile gösterilir.
L. Nalinakshi ve R. Parvatham (1995) tüm n tam sayı değerleri için diferansiyel operatörü 2 ( ) n n k k k I f z z k a z
şeklinde tanımlanmışlardır.4. ARAŞTIRMA BULGULARI
24
Bu araştırmacılar D , Salagean (1981) tarafından tanımlanan Salagean operatör olmak üzere, diferansiyel operatörü aşağıdaki şekilde gözlemlemişlerdir :
2 ( ) ( ). n n k n k k I f z z k a z D f z
Ayrıca diferansiyel operatör ile ilgili olarak
1 '
( ) ( ) ( )
I f z zf z Df z ve Im(I f zn ( ))Im n f z( ) . olduğuda bilinmektedir.
Şimdi de yukarıdaki diferansiyel operatör kullanılarak ,aşağıdaki sınıfı tanımlayabiliriz.
0 1, 0 1, 0 ve f S olsun. f fonksiyonunun M , ( ) sınıfında
olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul 2 3
2 3 ( ) .... g z z b z b z fonksiyonu için * , ( ) gS olmak üzere 2 1 1 ( ) (1 ) ( ) Re 0 ( ) (1 ) ( ) n n n n I f z I f z I g z I g z (zU) (4.2)
eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Burada Darus ve Thomas (1998)' ın tanımladığı konvekse yakın fonksiyon sınıfları için M0,0( ) R0( ) olduğunu elde etmek mümkündür. Ayrıca Kaplan (1952) tarafından tanımlanan normalize edilmiş konvekse yakın fonksiyon sınıfları içinde M0,0(1)R0(1) olduğuda kolayca görülür.
Esas sonucumuzu bulmak için kullandığımız yardımcı önerme aşağıdaki şekildedir (Pommerenke 1975).
25 Yardımcı Önerme 4.1.1.1
h kabul edelim.Yani h , U da analitik ve 2 3
2 3
( ) ....
h z z c z c z , Re ( )h z 0 , z U şeklinde tanımlı olsun.Bu durumda,
2 2 1 1 2 2 2 2 c c c (4.3) olur.
4.1.2 M , ( ) Sınıfı İçin Fekete -Szegö Problemi
Bu kısımda, I diferansiyel operatörü yardımıyla tanımlanan n M , ( ) sınıfına ait 2
3 2
a a şeklindeki Fekete-Szegö problemi için kesin bir üst sınır elde edeceğiz.
Teorem 4.1.2.1 f M , ( ) ve 2 ( ) k k k f z z a z
ile verilsin. 0 1, 0 1, 1 ve 1 parametreleri için aşağıdaki kesin eşitsizliği elde edebiliriz. 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 3 (2 )(1 2 ) 2 (1 ) (1 )(3 ) 3 (1 2 ) 2 (1 ) (2 )(1 ) n n n n a a
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 2 3 (2 1) 2 (1 ) (1 ) 2 3 (2 1) 2 (1 ) 1 3 (1 2 ) 2 (1 )(1 ) (4.4) n n n n n n İspat: f M , ( ) olsun. (4.2) ile verilen eşitsizlikten
2 1
1
( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) n n n n I f z I f z I g z I g z q z (4.5) olduğu görülür. z U ve q için 2 3 1 2 3 ( ) 1 ...q z q zq z q z .ile tanımlı q için katsayı eşitsizliğinden,
4. ARAŞTIRMA BULGULARI 26 1 2 1 2 2n(1)a q 2 (1n )b 1 3 2 2 1 3 3n(1 2 ) a q 2 (1n )b q 3 (2n 1)b (4.6) eşitliklerini elde ederiz. Aynı zamanda (4.1) den ,
z U ,p ve p z( ) 1 p z1 p z2 2 p z3 3.... olmak üzere,
2 1 1 ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) (4.7) n n n n I g z I g z I g z I g z g z p z eşitliği elde edilir. Böylece 2 1 2 (1n )(1)b p
2 3 2 1 (3 ) 1 3 (2 )(2 1) (4.8) 2(1 ) n b p p bulunur. (4.6) ve (4.8) eşitliklerinden, 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 (1 ) 3 (2 1) 1 3 (1 2 ) 2 3 2 (2 1)(1 ) n n n n n q a a q q 2 1 2 1 3 n(2 )(2 1) 2 p p 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 (1 ) (1 )(3 ) 3 (2 )(2 1) 3 2 (1 ) (2 )(2 1)(1 ) n n n n p 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 (1 ) 3 (2 1) (4.9) 2 3 (1 ) (1 )(2 1) n n n n p q yazılır.
a3a22
nin pozitif olduğu varsayımı altında 23 2
Re(a a ) tahmin edilebilir.
27
Böylece (4.9) ile verilen denklemden ve Yardımcı Önerme 4.1.1.1 'den
1 2
i
p re, q12rei, 0 r 1,0 R 1,0 2 , 0 2 koşulu altında (4.10) ile verilen denklem elde edilir.
1 2 3 2 3n(1 2 ) Re( a a ) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 (1 ) 3 (2 1) Re Re 2 2 (1 ) n n n q q q 2 1 2 Re (2 ) 2 p p 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 (1 ) (1 )(3 ) 3 (2 )(2 1) Re 2 (1 ) (2 )(1 ) n n n p 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 (1 ) 3 (2 1) Re 2 (1 )(1 ) n n n p q 2 2(1 R ) 1 2 2 1 2 2 2 2 (1 ) 3 (2 1) R cos 2 2 (1 ) n n n
2 2 1 (2 ) r 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 (1 ) (1 )(3 ) 3 (2 )(2 1) cos 2 2 (1 ) (2 )( 1) n n n r 1 2 2 1 2 2 2 2 (1 ) 3 (2 1) cos( ) 2 (1 )(1 ) n n n rR 1 2 2 2 3 (2 1) 4 2 (1 ) n n R 1 1 2 2 2 2 2 3 (2 1) 2 (1 ) 2 (1 )(1 ) n n n rR 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 (2 )(1 2 ) 2 (1 ) (1 )(3 ) 2 (1 ) (1 ) 2 (1 ) (2 )(1 ) n n n n r 2( ) 4 (2 ) ( , )r R (4.10) ., ve sayıları ve ( , )r R , 0 1,1 ve 1 şartları altında kısmi diferansiyellenebilir olsun. Bu durumda,
4. ARAŞTIRMA BULGULARI 28
2 2 4 4 ( ) 2 n (1 ) 4 2 2 2 4 7 rr RR rR
1 2 2 3n(1 ) (1 2 )2 n 6 2 2 2 4 8 0 (4.11) bulunur. Bu sebeple ( , )r R maksimum değerini sınırda alır. Böylece istenileneşitsizliğinin aşağıdaki gibi olduğu gözlenir.
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 (2 )(1 2 ) 2 (1 ) (1 )(3 ) ( , ) (1,1) 2 (1 ) (2 )(1 ) n n n r R
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 3 (2 1) 2 (1 ) (1 ) 2 3 (2 1) 2 (1 ) . (4.12) 2 (1 )(1 ) n n n n n 29 5. TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu bölümde bir önceki bölümden elde ettiğimiz teorem ile ilgili bazı özel durumlar ispatları verilmeden gösterilecektir.
5.1 Diferansiyel Operatör ile Tanımlanmış Geneleştirilmiş M , ( ) Sınıfı İçin Fekete-Szegö Probleminin Bazı Sonuçları:
Diferansiyel operatör ile tanımlanmış geneleştirilmiş M , ( ) sınıfı
2 ( ) n n n f z z a z
(5.1.) olmak üzere, 2 1 1 ( ) (1 ) ( ) arg ( ) (1 ) ( ) 2 n n n n I f z I f z I f z I f z (zU)şeklinde tanımlandı ve daha sonra bu sınıf için Fekete -Szegö eşitsizlikleri elde edildi. Aşağıda vereceğmiz sonuçlar ilgili parametlerin bazı özel değerleri için hesaplanabilir.
2 3
2 3
( ) ....
f z z a z a z , U
z z: 1
birim diskinde analitik fonksiyon sınıfı olsun. 1 olmak üzere tipli ve mertebeli güçlü yıldızıl fonksiyonların bir sınıfı kullanılarak 23 2
a a için kesin bir üst sınır elde edilmiştir. Sonuç 5.1.1 Teorem 4.1.2.1' de0, n0 ve 0 alındığı zaman elde ettiğimiz
sonuçlarımız Jahangiri (1995) tarafından daha önce elde edilmiş olan sonuçlara indirgenebilir. f fonksiyonu (5.1) ile verilsin vef K( ) olsun. Daha sonra 1
1
için sonuçların kesinliği aşağıda (5.2) ile verilen eşitsizlik şeklinde olur. Bu durumda 2 2 3 2 (3 2)(1 2 ) ( 1) 3 a a (5.2) doğrudur.
5. TARTIŞMA VE SONUÇ
30
Sonuç 5.1.2 Orhan ve Kamali (2003) te 0<1, 0<1, >0 ve f S ve
,
f M ve gM
sınıfında çalışılmış.Teorem 4.1.2.1' de n0 ve alındığı zaman elde ettiğimiz sonuçlarımız Orhan ve Kamali (2003)tarafından daha önce elde edilmiş olan sonuçlara indirgenebilir. Şöyle ki;
2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 [(6 ( 1)( 2 ) (8 2 3 ) 3(2 1) (1 2 ) 2 4 3 (1 ) 1 2 (1 ) (1 2 ) / (2 )(1 ) (1 ) ] 3(1 2 ) 3 (1 2 )(2 1) 4( 1) ( 1) 2 2 . (1 )(1 ) (2 ) a a Sonuç 5.1.3 Frasin ve Darus (2000) te 0<1, 1, 1 ve f M
,
sınıfında çalışmışlardır.Teorem 4.1.2.1' de n0 ve 0 alındığı zaman elde ettiğimiz sonuçlarımız Frasin ve Darus (2000) tarafından daha önce elde edilmiş olan sonuçlara indirgenebilir. Şöyle ki;2 2 2 3 2 2 6 ( 1) (8 2 3 ) (2 1)(3 2) 3(1 ) (2 ) 3(1 ) a a
Sonuç olarak, bu çalışma boyunca elde edilen sonuçlar daha önce farklı araştırmacılar tarafından yapılmış olan bazı çalışmaların bir genellemesidir.
31 6. KAYNAKLAR
Abdel-Gawad, H. R., Thomas, D.K., 1991. A subclass of close-to convex functions. Publ. Inst. Math. (Beograd) (NS) 49 (63) 61–66.
Abdel-Gawad, H. R., Thomas, D.K., 1992. The Fekete-Szegö problem for strongly close-to convex functions. Proc. Am. Math. Soc., 114 (2), 345–349.
Alexander, J. W., 1915. Functions which map the interior of the unit circle upon Carathéodory, C., 1907. Über den variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen , die gegebene Werte nicht annehmen Math. Ann., 64, 95-115.
Choonweerayoot, A., Thomas, D.K., Upakarnitikaset, W. 1991.. On the Coefficients of Close-to Convex Functions. Math. Japon. 36 (5), 819–826.
Darus, M., Thomas, D. K., 1996. On the Fekete-Szegö theorem for close-to convex functions, Math. Japon. 44(3) 507-511.
Darus, M., Thomas, D.K., 1998. On the Fekete-Szegö theorem for close-to convex functions, Math. Japon. 47(1) 125-132.
Duren, P. L., 1983. Univalent Functions, Springer- Verlag, Newyork.
Frasin, B. A. , Darus M., 2000. On the Fekete-Szegö problem, Internet J. Math. Sci. 24(9) 577-581.
Fekete-Szegö, M., 1933. Eine Bemerkung uber ungrade schlicht funktionen, J. London Math. Soc. German., 8, 85-89
Goodman, A. W., 1983. Univalent Functions, Vols. I and II, Polygonal Publishing House. Washington, New Jersey.
Goel, R. M., Mehrok, B. S., 1991. A coefficient inequality for certain classes of analytic functions, Tamkang J. Math., 22(2), 153-163.
Jahangiri, M., 1995. A coefficient inequality for a class of close-to convex functions, Math.Japon. 41(3) 557-559.
Kaplan, W., 1952. Close-to convex schlicht functions. Michigan Math. J., 1, 169–185. Keogh, F. R., Merkes E. P., 1969. A coefficient inequality for certain classes of analytic functions, Proc. Am. Math. Soc., 208–12.
6. KAYNAKLAR
32
Koepf, W., 1987. On the Fekete-Szegö problem for close-to convex functions. II. Arch. Math. (Basel) 49 (5), 420–433
Koepf, W., 1987. On the Fekete-Szegö problem for close-to convex functions, Proc. Am. Math. Soc., 101 (1), 89–95.
Lindelöf, E., 1909. Mémoire sur certaines inegualitiés dans la théorie des fonctions onogénes etsur quelques propriétes nouvelles de ces fonctions dans la voisinage d’un point singulier essentiel, Acta. Sos. Sci. Fenn., 35(7), 1-35.
Littlewood, J. E., 1925. On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc., 23, 481-519.
London, R. R., 1993. Fekete-Szegö inequalities for close-to convex functions, Proc. Am. Math. Soc., 117(4), 947–950.
Owa, S., Sekine, T., Yamakawa, R., 2005. Notes on Sakaguchi type functions, RIMS Kokyuroku, 1414, 76-82.
Owa, S., Sekine T., Yamakawa, R., 2007. On Sakaguchi type functions, Appl. Math. Comput., 187, 356-361.
Nalinakshi, L., Parvatham R., 1995. On Salagean-Pascu Type of Generalised Sakaguchi Class of Functions, Kyungpook Math.J., 351.
Nasr M. A., El-Gawad H. R., 1991. On the Fekete-Szegö problem for close-to convex functions of order ρ. In: New Trends in Geometric Function Theory and Applications (Madras 1990), World Science Publishing, River Edge, 66–74.
Nevanlinna, R., 1920-1921. Über die Konforme Abbildung von Sternebieten , Översikt av Finska Vetenskaps, Societetens Förhandlingar, 63 (6), 1-21.
Pakla, B. P., 1991. An Introduction to Complex Function Theory. Springer- Verlag, New York, pp. 560. Pommerenke Ch., Univalent Functions, With a chapter on quadraticdifferentialsbyGerdJensen.StudiaMathematica/MathematischeLehrbucher,Ban dXXV,Vandenheck&Ruprecht,Göttingen,1975.MR 58#22526.Zbl 298.30014.
Orhan, H., Kamali M., 2003. On the Fekete-Szegö problem, Applied Mathematics and Computation, 144, 181-186.
33
Rogosinski, W., 1943. On the coefficients of subordinate functions, Proc. London Math. Soc. 2, 48-82.
Salagean, G. S., 1981. Subclasses of univalent funtions, Lecture notes in Mathematics Springer Verlag, 1013, 363-372.
Srivastava, H. M., Mıshra, A.K., Das M. K., 2000. The Fekete-Szegö problem for a sub class of close-to convex functions. Complex Variables, 44, 145–163.
Study, E., 1913. Konforme Abbildung Einfache-Zussammenh angender Bereiche, B. G. Teubne Leipzig, Berlin.
Trimble, S.Y., 1975. A coefficient inequality for convex univalent functions. Proc. Am. Math. Soc., 48, 266–267.
34 ÖZGEÇMİŞ
30.12.1982 doğumluyum. Evli bir çocuk annesiyim. İlköğretimimi Diyarbakır ve ortaöğretimimi Mersin´de tamamladım. 2003 yılında Dicle Üniversitesi Fen- Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü´nde başladığım lisans öğrenimimden 2007 yılında mezun oldum. Aynı yıl Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü´nde Tezsiz Yüksek lisans Programına başladım ve 2008 yılında bitirdim. 2009 da Dicle Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı´ nda Tezli Yüksek Lisans Öğrenimime başladım. 2010 yılında T.C. Posta ve Telgraf Teşkilatında atandım ve halen aynı kurumda görev yapmaktayım.