Circulant matrisler ve polinomların çözümleri

(1)

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CIRCULANT MATRİSLER VE POLİNOMLARIN ÇÖZÜMLERİ

Sibel KÜÇÜKÖZBEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANA BİLİM DALI

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROĞRAMI KONYA, 2007

(2)

T.C

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CIRCULANT MATRİSLER VE POLİNOMLARIN ÇÖZÜMLERİ

Sibel KÜÇÜKÖZBEK

YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANA BİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROĞRAMI

Bu tez 30/01/2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği ile kabul edilmiştir

Prof. Dr. Hasan ŞENAY (Başkan)

Yrd. Doç. Dr. Süleyman SOLAK Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN (Danışman) (Üye)

(3)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

CIRCULANT MATRİSLER VE POLİNOMLARIN ÇÖZÜMLERİ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İlköğretim Ana Bilim Dalı Matematik Öğretmenliği Programı Danışman : Yrd. Doç. Dr. Süleyman SOLAK

2007, 42 Sayfa Jüri: Prof. Dr. Hasan ŞENAY

Yrd. Doç. Dr. Süleyman SOLAK Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

Bu çalışmada öncelikle circulant matrislerin özdeğerlerinin polinomlar yardımıyla bulunmasını ele aldık. Daha sonra derecesi en fazla 4 olan polinomların köklerinin circulant matris metodu ile nasıl bulunacağını gösterdik.

(4)

ABSTRACT

The Post Graduate Thesis

CIRCULANT MATRICES AND SOLVING POLYNOMIALS

Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Primary Mathematics Education

Supervisor : Assist. Prof. Dr. Süleyman SOLAK 2007, 42 Pages

Jury: Prof. Dr. Hasan ŞENAY

Assist. Prof. Dr. Süleyman SOLAK Assist. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN

In this study, firstly we have taken on the finding eigenvalues of circulant matrices with the polynomials. Then, we’ve showed that how to find the solutions of polynomials whose degree less than five with the circulant method.

(5)

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Süleyman SOLAK yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Çalışmanın Birinci bölümünde, literatür hakkında bilgi verilmektedir. İkinci bölümde, çalışmada ihtiyaç duyacağımız bazı tanım ve teoremler yer almaktadır. Üçüncü bölümde Circulant Matrisler ile polinomların ilişkisi özdeğer açısından gösterilmektedir. Dördüncü bölümde, polinomların çözümlerinin, Circulant matrislerin özdeğerleri ile olan ilişkisinden bahsedilmektedir. Son bölüm ise, sonuç ve önerilerden oluşmaktadır.

Çalışmamdaki yardımlarından dolayı saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Süleyman SOLAK’a, Eşime ve Aileme teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Sibel KÜÇÜKÖZBEK Konya, 2007

(6)

İÇİNDEKİLER ÖZET……….i ABSTRACT……….ii ÖNSÖZ………iii İÇİNDEKİLER………iv 1. BÖLÜM GİRİŞ………1 2. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR………..2 3. BÖLÜM CİRCULANT MATRİSLER VE POLİNOMLAR………..4

3.1. Circulant Matris……….4

3.2. Üreteç Circulant Matris………..4

3.3. Bir Circulant Matrisin Oluşumu………6

3.4. Birimin n. Dereceden Kökleri………...7

3.5. W Üreteç Matrisinin Özdeğerleri………10

3.6. Polinom Yardımıyla Bir Circulant Matrisin Özdeğerlerini Bulma………..12

4. BÖLÜM CİRCULANT MATRİSLER VE POLİNOMLARIN ÇÖZÜMLERİ………17

4.1. İkinci Dereceden Polinomlar ve Circulant Matrisler………...21

4.2. Üçüncü Dereceden Polinomlar ve Circulant Matrisler………25

4.3. Dördüncü Dereceden Polinomlar ve Circulant Matrisler………34

5. BÖLÜM SONUÇ VE ÖNERİLER………41

(7)

1.BÖLÜM GİRİŞ

Bu bölümde, çalışmamız ile ilgili literatür hakkında kısa bilgiler verilmiştir.

Frank makalesinde, kuadratik, kübik ve kuartik polinomların köklerini örneklerle ele almıştır (Frank, 2002). Ayrıca bir diğer çalışmasında da circulant matrislerin tanımını vermiş ve bir circulant matrisin üretilmesi konusunu işlemiştir (online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall2002/dfrank/presentation.pdf).

Benzer şekilde circulant matrislerin tanımı, oluşumu, üreteçleri ve özdeğerleri ile ilgili bilgiler verilmiş, ayrıca küçük dereceli polinomların kökleri ile circulant matrisler arasındaki ilişki örneklerle ele alınmıştır (Rostermundt, 2005).

Kalman polinom denklemlerin, circulant metotla çözülebilirliğini irdelemiş, circulant matrislerin diğer matrislerle ilişkisini ele almış ve sonuç olarak circulant metodun uygulama sınırlılıklarını belirlemiştir (Kalman, White 2001).

Son olarak, yine circulant metotla kübik, kuartik ve kuadratik polinomların çözümleri aranmış, matris cebirleri ve polinomlar arasındaki ilişki teorik olarak anlatılmıştır (Kalman, White 2001).

Biz bu çalışmada, circulant matrislerin özdeğerlerinin polinomlar yardımıyla bulunuşunu ve polinomların köklerinin circulant matrislerin özdeğerleri ile olan ilişkisini inceledik.

(8)

2. BÖLÜM

TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde çalışmamızda geçen bazı tanımlar verilmiştir.

Tanım 2.1. a0,a1,a2,...,an−1,an reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere,

2 ₁ ₀ 2 1 1 ... ) (x a x a x a x a x a P = _n n + _n₋ n− + + + + (2.1)

biçimindeki ifadelere reel katsayılı polinom ve

... 2 ₁ ₀ 0 2 1 1 + + + + = + − − x a x a x a a x a_n n _n n (2.2) ifadesine de denklem denir.

(2.2) denkleminin, n. dereceli terimin katsayısına bölünmesiyle elde edilen,

... 2 ₁ ₀ 0 2 1 1 + + + + = + − − x b x b x b b xn _n n

şeklindeki yeni denkleme normal yada monik denklem denir.

Tanım 2.2. A , n-kare bir matris olmak üzere,

r rx a x a x a a x P( )= ₀ + ₁ + ₂ 2 +...+

polinomunda x değişkeni yerine A matrisi yazılarak elde edilen P(A) ifadesine A matrisinin bir polinomu denir ve

r r n a A a A a A I a A P( )= ₀ + ₁ + ₂ 2 +...+ ile gösterilir (Bozkurt, Türen 2003).

(9)

Tanım 2.3. n =1

w denkleminin köklerinin (1,360 ) n

k

wk = , 1k =0,1,2,...,n− olduğunu biliyoruz. Bu değerlere birimin n. kökleri denir (Ardahan, 1993).

Tanım 2.4. A , nxn bir matris olsun. Ax=λx olmak üzere, Ax− xλ =0 eşitliği 0

)

(A−λI x= şeklinde yazılabilir. Bu eşitlikteki A−λI katsayı matrisinin determinantına A ’nın karakteristik denklemi, bu denklemin köklerine de A matrisinin özdeğerleri denir ve karakteristik denklem:

n n n n A a a a I A−λ =∆ (λ)=λ + ₁λ −1 +...+ ₋₁λ+

ile ifade edilir.

Ayrıca 0(A−λI)x= eşitliğindeki x bir vektör olup, A ’nın öz vektörü olarak tanımlanır.

Tanım 2.5. I , n nxn mertebeli birim matris olmak üzere, birim matrisin satırlarının yer değiştirilmesi ile elde edilen matrislere permütasyon matris denir. Dolayısıyla, permütasyon matrislerin kuvvetleri de yine permütasyon matristir.

Teorem 2.1. n. dereceden herhangi bir monik polinomun kökleri toplamı xn−1 teriminin katsayısıdır. Yani x ler,

0 1 2 2 1 1 ... ) (x x a x a x a x a P = n + _n₋ n− + + + + kökü olmak üzere için

∑

= − = n i n i a x 1 1 dir (Rostermundt, 2005).

Teorem 2.2. A , nxn bir matris ve özdeğerleri λ1,λ2,...,λn olsun. A matrisinin köşegeni üzerindeki elemanların toplamı iz(A), özdeğerlerinin toplamına eşittir (Rostermundt, 2005).

(10)

3. BÖLÜM

CİRCULANT MATRİSLER VE POLİNOMLAR

3.1. Circulant Matris

nxn k

c

C =( ) olmak üzere, elemanları j−i ≡k(mod n) şeklinde tanımlı matrise circulant matris denir ve açık olarak

nxn n n n n n n c c c c c c c c c c c c c c c c C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − 0 3 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . şeklinde gösterilir.

Genel anlamda, bir nxn circulant matris nelemanlı bir vektör ile temsil edilebilir ve bu vektör matrisin ilk satırını oluşturur. Böylece takip eden satırlar önceki satırın son elemanını başa alarak devam eder. 2x2, 3x3 ve 4x4 boyutundaki genel circulant matrisler aşağıdaki gibi gösterilirler:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = a b b a C , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a c b b a c c b a C , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a d c b b a d c c b a d d c b a C .

3.2. Üreteç Circulant Matris

Bir nxn circulant matris oluşturabilmek için öncelikle nxn üreteç circulant matrisi tanımlamak gerekir.

(11)

Üreteç matris W: ilk satırı

[

0 1 0 . . . 0

]

₁_xn olan circulant matristir (www.donkalmon.net/preprints).

Çalışmamız kübik, kuadratik ve kuartik polinomlarla sınırlı olduğu için, 2x2,

3

3x ve 4x4 mertebeli üreteç matrisleri vermemiz yeterli olacaktır.

•

2x2 mertebeli bir circulant üreteç: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 0 W , . . . , _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 1 2 W

• 3x3 mertebeli bir circulant üreteç:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 W , . . . , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 W

• 4x4 mertebeli bir circulant üreteç:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 W , . . . , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 W şeklindedir.

(12)

3.3. Bir Circulant Matrisin Oluşumu

İlk satırı

[

c₀ c₁ c₂ . . . c_n₋₁

]

olan nxn mertebeli bir circulant matrisi oluşturmak için herhangi bir

1 1 2 2 1 0 ... ) ( = + + + + ₋ n− n t c t c t c c t q

polinomunu tanımlayalım. Öyle ki katsayıları C matrisinin ilk satırından oluşsun ve derecesi C matrisinin mertebesinden bir düşük olsun.

Örneğin 2x2 mertebeli bir circulant matris oluşturmak için, 1. dereceden bt

a t

q( )= + polinomunu tanımlayalım. Böylece C =q(W) olacaktır.

C =q(W) =aI+bW _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = a b b a b b a a b a 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 elde edilir.

3x3 mertebeli bir circulant matris oluşturmak için,

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 W , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 W ve q(t)=a+bt+ct2 olsun. Bu durumda, C =q(W) 2 cW bW aI + + =

(13)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a c b b a c c b a c b a 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 elde edilir.

Benzer şekilde, 4x4 mertebeli bir circulant matris oluşturmak için,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 W , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 2 W , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 3 W ve ₍ ₎ 2 3 dt ct bt a t q = + + + olsun. C =q(W) 2 3 dW cW bW aI+ + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d c b a ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a d c b b a d c c b a d d c b a elde edilir.

3.4. Birimin n. Dereceden Kökleri

Burada birimin n. dereceden köklerini nasıl bulunacağını kısaca izah edelim.

Birimin n. dereceden kökleri zn =1 denkleminin çözümleridir. Bu çözümler bize polinomlar yardımıyla circulant matrislerin özdeğerlerini hesaplamada kolaylık sağlayacaktır.

(14)

1 = n

z denkleminin n tane çözümü olduğunu biliyoruz ancak biz birimin 2., 3. ve 4. dereceden kökleriyle ilgileniyoruz. Bu yüzden, 2 ₌1

z , 1z3 = ve z4 =1 denklemlerinin çözümleri bizim için yeterlidir.

• 2 ₌1

z denkleminin köklerinin

{

+1,−1

}

olduğunu biliyoruz.

2 >

n olduğunda karşımıza kompleks çözümler gelecektir.

• 3 ₌1

z denklemini çözelim. Bunun için kompleks düzlemde koordinatları )

,

( ba olan z=a+ib kompleks sayısını alalım. Bu kompleks sayının Euler ve kutupsal formları sırasıyla,

) , ( .eθ r θ r ib a z= + = i = şeklindedir. Buradan, 1 ) . ( 3 2 3 ₌ iθ ₌ i kπ ₌ e e r z 3. i3θ ₌ i2kπ ₌1 e e r olup, 3 ₌1 r ve ei3θ =ei2kπ dir. Sonuç olarak, r=1 ve 3 2 π

θ = k olarak elde edilir. iθ

e r z= . almıştık. r=1 ve 3 2 π θ = k yerine yazılırsa 3 2kπ i e z= elde edilir.

(15)

Şimdi 2k =0,1, için z , ₀ z₁ ve z₂ köklerini bulalım. 0 = k için z₀ = e0 =1, 1 = k için 2 3 2 1 3 2 1 e i z i + − = = π , 2 = k için 2 3 2 1 3 4 2 e i z i − − = = π . • Son olarak 4 ₌1

z denkleminin köklerini bulalım. Aynı kabulleri kullanırsak; ) , ( .eθ r θ r ib a z= + = i = şeklinde yazarız. Buradan,

4 ₌( . iθ)4 ₌ i2kπ ₌1 e e r z 4. i4θ ₌ i2kπ ₌1 e e r olup, 4 ₌1 r ve ei4θ =ei2kπ dir. Sonuç olarak, r =1 ve 2 π

θ = k olarak elde edilir. iθ

e r z= . almıştık. r =1 ve 2 π θ = k yerine yazılırsa 2 π ik e z= elde edilir.

Şimdi 3k =0,1,2, için z , ₀ z₁, z₂ ve z köklerini bulalım. ₃

0 =

(16)

1 = k için z e i i = = 2 1 π , 2 = k için z₂ =eiπ =−1, 3 = k için z e i i − = = 2 3 3 π .

3.5. W Üreteç Matrisinin Özdeğerleri

Herhangi bir C circulant matrisinin özdeğerlerini bulabilmek için bu circulant matrisin üretecinin özdeğerlerini bilmemiz yeterli gelir. W matrisinin özdeğeri λ ise q(t) polinomundan elde edilen q(λ), q(W)’nin yani C circulant matrisinin özdeğeridir. Üreteç matrislerin özdeğerleri şöyledir:

•

2x2 mertebeli üreteç circulant W’nin özdeğerleri: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 0

W olmak üzere, det(W − Iλ )=0 olmalıdır. 0 0 0 0 1 1 0 ) det( _⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − λ λ λI W 0 1 1 = − − = λ λ _λ2 ₋1₌0 _λ2 ₌1 1 2 ₌

λ denkleminin kökleri W üreteç matrisinin özdeğerleridir ki bu kökler birimin 2. dereceden kökleridir.

(17)

•

3x3 mertebeli üreteç circulant W’nin özdeğerleri: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0

W olmak üzere, det(W − Iλ )=0 olmalıdır.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) det( = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − λ λ λ λI W 0 0 1 1 0 0 1 = − − − = λ λ λ _λ3 ₋1₌0 _λ3 ₌1

Özdeğerler birimin 3. dereceden kökleridir. (Bölüm 3.4) de gösterdiğimiz gibi

3

3x mertebeli bir üreteç W’nin özdeğerleri:

2 3 2 1 , 2 3 2 1 , 1− +i − −i = λ şeklindedir.

•

4x4 mertebeli üreteç circulant W’nin özdeğerleri:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

(18)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ) det( = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − λ λ λ λ λI W 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = − − − − = λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − = 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 4 ₌ − + λ λ _λ4 ₋1₌0 _λ4 ₌1

Özdeğerler birimin 4. dereceden kökleridir. Yani W’nin özdeğerleri:

i i− − =1, 1, , λ şeklindedir.

Circulant matrislerin üreteçlerinin özdeğerlerini bildiğimize göre artık circulant matrislerin özdeğerlerini bulabiliriz.

3.6. Polinom Yardımıyla Bir Circulant Matrisin Özdeğerlerini Bulma

C bir circulant matris, w birimin n n. dereceden bir kökü, q(t),C circulant matrisinin ilk satırıyla tanımlanmış bir polinom olmak üzere, C’nin özdeğerleri

) (wn

(19)

Şimdi yukarıda tanımladığımız kavramlardan hareketle, bir circulant matrisin özdeğerlerini veren formülü yazabiliriz.

•

2x2 mertebeli bir circulant matrisin özdeğerleri: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = a b b a

C için q(t)=a+bt şeklinde tanımlanır. w∈

{ }

1,−1 olduğundan w₁ ve w₂ q(t) polinomunda yerine yazılırsa C circulant matrisinin özdeğerleri:

b a q(1)= + ve b a q(− )1 = − şeklindedir.

•

3x3 mertebeli bir circulant matrisin özdeğerleri:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a c b b a c c b a

C için q(t)=a+bt+ct2 şeklinde tanımlanır.

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + − ∈ 2 3 2 1 , 2 3 2 1 , 1 i i

w olduğundan w₁, w₂ ve w , )₃ q(t polinomunda yerine yazılırsa C circulant matrisinin özdeğerleri:

c b a q(1)= + + ) ( 2 3 ) ( 2 1 ) 2 3 1 ( i a b c i b c q − + = − + + − ve ) ( 2 3 ) ( 2 1 ) 2 3 1 ( i a b c i b c q − − = − + − −

(20)

şeklindedir.

•

4x4 mertebeli bir circulant matrisin özdeğerleri:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a d c b b a d c c b a d d c b a

C için q(t)=a+bt+ct2 +dt3 şeklinde tanımlanır.

{

i i

}

w∈ 1,−1, ,− olduğundan w₁, w₂, w ve ₃ w₄, )q(t polinomunda yerine yazılırsa C circulant matrisinin özdeğerleri:

d c b a q(1)= + + + d c b a q(− )1 = − + − i d b c a i q( )= − +( − ) ve q(−i)=a−c−(b−d)i şeklindedir.

Örnek 3.6.1. Aşağıda verilen C circulant matrisinin özdeğerlerini hesaplayalım.

2 2 1 2 2 1 x C _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

C circulant matrisinin ilk satırından

t t

q( )=1+2

polinomunu tanımlayabiliriz. 2x2 mertebeli W üreteç matrisinin özdeğerleri

(21)

3 2 1 ) 1 ( = + = q ve 1 2 1 ) 1 (− = − =− q dir.

Örnek 3.6.2. Aşağıda verilen C circulant matrisinin özdeğerlerini hesaplayalım.

3 3 3 1 1 1 3 1 1 1 3 x C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − =

2

3 )

(t t t q = + −

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − − 2 3 1 , 2 3 1 ,

1 idi. Buna göre q(w)’ler:

3 1 1 3 ) 1 ( = + − = q 3 3 ) 2 3 1 ( i i q − + = + ve 3 3 ) 2 3 1 ( i i q − − = − dir.

(22)

Örnek 3.6.3. Aşağıda verilen C circulant matrisinin özdeğerlerini hesaplayalım. 4 4 1 3 1 2 2 1 3 1 1 2 1 3 3 1 2 1 x C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − =

3 2 ₃ 2 1 ) (t t t t q = + − +

{

1,−1,+i,−i

}

idi. Buna göre q(w)’ler: 5 3 1 2 1 ) 1 ( = + − + = q q(−1)=1−2−1−3=−5 i i i i q()=1+2 +1−3 =2− q(−i)=1−2i+1+3i=2+i dir.

(23)

4. BÖLÜM

CİRCULANT MATRİSLER VE POLİNOMLARIN ÇÖZÜMLERİ

Bu bölümde, circulant matrisler yardımıyla polinomların çözümleri incelenecektir. Bu çözümlerde kullanılacak ortak yöntem

• C genel bir circulant matris, • P(x) kökleri aranan polinom,

• det(xI−C) genel circulant matrisin karakteristik polinomu, • w ler birimin j n. dereceden kökleri,

• q(t), C circulant matrisinin özdeğer polinomu

olmak üzere, şu şekildedir:

I. Verilen polinomun derecesini mertebe kabul eden genel circulant matris alınır.

II. Alınan genel circulant matrisin karakteristik polinomu bulunur. III. Verilen polinom ile bulunan karakteristik polinom eşitlenerek, C

circulant matrisinin elemanları olan sabitler bulunur.

IV. Elemanları belli olan bu circulant matrisin özdeğerleri hesaplanır ki bu özdeğerler verilen polinomun köklerine karşılık gelir.

Bu yöntemi ikinci dereceden polinomlara uygulamak oldukça kolaydır. Ancak derecesi 2 den büyük olan polinomlarda ön işlemlere ihtiyaç vardır. Öncelikle verilen n. dereceden polinomun (n−1) dereceli terimi yok edilir. Bunun ardından karakteristik polinomdaki (n−1). teriminde yok edilmesi gerekir. Bunun için alınan C circulant matrisinin ilk elemanı 0 (sıfır) alınır ki böylece kökler toplamının yani köşegen üzerindeki elemanların toplamının sıfır olması sağlanır. Burada (n−1). terimleri yok etme sebebi polinom çözümü ile circulant matrisleri ilişkilendirme isteğinden kaynaklanmaktadır. Derecesi 2 den büyük olan polinomlarda (n−1).

(24)

terimi yok ederek çözüme ulaşan bu metodu 1500’lü yıllarda Cordano bulmuştur ve bu yöntem üçüncü dereceden denklem çözüm metotları arasında yer almaktadır.

Çalışmamızda kullanılacağından bu yöntemle ilgili kısaca bilgi vermemiz iyi olacaktır. Üçüncü dereceden denklem çözme metotlarından Cardan metodu aşağıdaki gibidir: Genel üçüncü dereceden 0 2 3 ₊ ₊ ₊ ₌ c bx ax x denkleminde 3 a x

x= − değişken değişimi yapılırsa;

0 ) 3 27 2 ( ) 3 ( 3 2 3 ₊ − ₊ ₊ ₋ ₊ ₌ c ab a x b a x

elde edilir. Burada,

p b a = + − 3 2 ve a −ab+c=q 3 27 2 3 dersek, 0 3 ₊ ₊ ₌ q px x

denklemi elde edilir. Yine bu son denklemde x=u+v değişimi yapılarak,

0 ) ( ) ( ₊ 3 ₊ ₊ ₊ ₌ q v u p v u

(25)

0 ) 3 )( ( 3 3₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ p uv v u q v u

olur. Bu denklemin kanonik forma uyması için

q v

u3 + 3 =− (1) ve (u+v)(3uv+ p)=0 (2)

olması gerekir. Yani, p =−3uv ve

u p v

3 −

= olmalıdır ki v (1) de yerine yazılırsa,

q u p u v u + = − ₃ =− 3 3 3 3 27 elde edilir ve 0 27 3 3 6 ₊ ₋ p ₌ qu u denklemine ulaşılır. 3

u e göre ikinci dereceden olan bu denklemde

3 / 1 3 2 27 4 2 _⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = q q p u ve 3 / 1 3 2 27 4 2 _⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = q q p v

dür. Buradan u ve v için 3’er değer bulunur ki x=u+v ifadesinde yerine yazılırsa,

3 / 1 3 2 3 / 1 3 2 27 4 2 27 4 2 _⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = q q p q q p x

elde edilir. Bulunan bu Cardan formülünden 9 değer karşımıza çıkar. Ancak bunlardan sadece 3’ü bizim denklemimizin köküdür. Birimin üçüncü dereceden 3

(26)

tane kökü vardır. Bunlar 1, 2 3 2 1 i w=− + ve 2 3 2 1 2 i w =− − dir. Bu da karşımıza 3 u ün 3 tane kökünü çıkarır; u, wu ve w2u.

Eğer u+ , )v p(x polinomunun bir kökü ise

wu u = için w v w v wu p v 1 2 3 = = − = − ve u w u= 2 için w v wv u w p v= − ₂ = −2 = 3

elde edilir ki bu 3 çözümü tekrar yazarsak, v u x₁ = + v w wu x₂ = + 2 wv u w x₃ = 2 +

elde edilir. Buradan tekrar değişken değişimi yapılarak asıl x’lere gidilir.

Şunu da belirtelim ki 27 4 3 2 p q K = + olduğunu varsayarsak,

• K >0 ise denklemin biri reel, ikisi kompleks eşlenik olmak üzere üç kökü

vardır.

• K =0 ise denklemin ikisi eşit üç reel kökü vardır.

• K <0 ise denklemin üç farklı reel kökü vardır.

Tekrar belirtelim ki, literatürde circulant matrisler yardımıyla polinom çözebilmek için kullanabileceğimiz tek denklem çözme metodu Cardan metodudur. Ancak Cardan çözümleri dördüncü derece polinomlardan öteye gitmemiştir. Bu yüzden circulant matrisler yardımıyla polinomların çözümleri dördüncü dereceden polinomlarla sınırlı kalmıştır.

(27)

4.1. İkinci Dereceden Polinomlar ve Circulant Matrisler

Genel ikinci dereceden

β α + + = x x x p( ) 2 polinomunu ve Genel 2x2 mertebeli

2 2 x a b b a C _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

circulant matrisini ele alalım.

C circulant matrisinin karakteristik polinomu

2 2

2 ₂

)

det(xI −C =x − ax+a −b

şeklindedir. Verilen genel ikinci dereceden p(x) polinomu ile genel C circulant matrisinin karakteristik polinomunu eşitlersek;

2 2 2 2 ₂ b a ax x x x +α +β = − + − olur. Buradan, α = − a2 (4.1.1) ve 2 − 2 =β b a (4.1.2)

elde edilir. (4.1.1) den

2 α − = a olup 4 2 2 ₌α a dür. Bulunan bu değer (4.1.2) de yerine yazılırsa, β = − 2 2 b a ⇒ α − 2 =β 2 4 b ⇒ β α − = 4 2 2 b ⇒ = α −β 4 2 µ b şeklinde bulunur.

(28)

Artık a ve b’yi biliyoruz. Bulduğumuz bu değerleri circulant matriste yazarsak, 2 2 2 2 2 4 4 2 x C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = α β α β α α

elde edilir. Bulduğumuz bu circulant matrisin özdeğerleri, verilen p(x) polinomunun kökleri olacaktır. O halde C circulant matrisinin özdeğerlerini

β α α ₊ ₋ − = 4 2 ) (t 2 q .t

polinomuyla bulalım. Bilindiği gibi birimin ikinci dereceden kökleri µ dir. Bu 1 değerleri )q(t polinomunda yerine yazarsak,

β α α − + − = 4 2 ) 1 ( 2 q ve − =−α − α −β 4 2 ) 1 ( 2 q

bulunur ki bu değerler polinomun kökleridir.

Örnek 4.1.1. ( )₌ 2 ₊3 ₋10 x x x

p polinomunun köklerini circulant matrisler yardımıyla hesaplayalım. Çözüm için genel 2 2 x a b b a C _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

= circulant matrisini ele alalım. Bu circulant

matrisin karakteristik polinomu

2 2

2 ₂

)

(29)

şeklindedir. Verilen p(x) polinomu ile C circulant matrisinin karakteristik polinomunu eşitlersek, 2 2 2 2 ₃ ₁₀ ₂ b a ax x x x + − = − + − olur. Buradan, 2 3 − =

a bulunur. Bulunan bu değer 10a2 − b2 =− denkleminde

yerine yazılırsa,

2 7 µ =

b olarak bulunur. Kolaylık için 2 7 =

b olarak alalım ve a ve b değerlerini C circulant matrisinde yerine yazalım;

2 2 2 3 2 7 2 7 2 3 x C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − =

elde edilir. Şimdi bu C circulant matrisinin özdeğer polinomu

t t q 2 7 2 3 ) ( =− +

dir. Bu q(t) polinomunda t yerine birimin ikinci dereceden kökleri olan 1µ i yazarsak; 2 2 7 2 3 ) 1 ( =− + = q ve 5 2 7 2 3 ) 1 (− =− − =− q

bulunur ki bu değerleri )p(x polinomunun kökleridir.

Örnek 4.1.2. ₍ ₎ ₃ ₄ 2

x x

p = + polinomunun köklerini circulant matrisler yardımıyla hesaplayalım.

(30)

2 2 4 3 4 3 ) (x x x p = + = + Yine 2 2 x a b b a C _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

= circulant matrisini ele alalım. Bu circulant matrisin

karakteristik polinomu 2 2 2 ₂ ) det(xI −C =x − ax+a −b

şeklindedir. Verilen p(x) polinomu ile C circulant matrisinin karakteristik polinomunu eşitlersek, 2 2 2 2 ₂ 4 3 b a ax x x = − + − + olur. Buradan, a =0 ve 2 3 i

b= olarak bulunur. a ve b değerlerini C circulant matrisinde yerine yazalım;

2 2 0 2 3 2 3 0 x i i C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

elde edilir. Şimdi bu C circulant matrisinin özdeğer polinomu

t i t q 2 3 ) ( =

dir. Bu q(t) polinomunda t yerine birimin ikinci dereceden kökleri olan 1µ i yazarsak; 2 3 ) 1 ( i q = ve 2 3 ) 1 ( i q − =−

(31)

bulunur ki bu değerler )p(x polinomunun kökleridir.

4.2. Üçüncü Dereceden Polinomlar ve Circulant Matrisler

Genel üçüncü dereceden γ β α + + + = x x x x p( ) 3 2 polinomunu ve Genel 3x3 mertebeli

3 3x a c b b a c c b a C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

) (x p polinomunda 3 α − = x

x değişken değişimi yapılırsa,

0 ) 27 27 9 2 ( ) 3 3 ( 3 2 3 ₊ β −α ₊ α − βα + γ ₌ x x

denklemi elde edilir. Burada

3 3_β ₋_α2 = p ve 27 27 9 2_α3 ₋ _βα ₊ _γ = q yazarsak, 0 3 ₊ ₊ ₌ q px x elde edilir.

Görüldüğü üzere, (n−1). terim yok edilerek oluşturulan yeni denklemde Teorem 2.1 den kökler toplamı sıfırdır.

Unutmayalım ki, bulacağımız kökler aynı zamanda C circulant matrisinin özdeğerleri olacaktır. Teorem 2.2 ye göre aldığımız C circulant matrisinin özdeğerlerinin toplamının da sıfır olması gerekir. Yani kökler toplamı ile özdeğerler

(32)

toplamı eşit olmalıdır. Bu yüzden aldığımız C circulant matrisinin karakteristik polinomunda x= x−a değişimi yapılarak C circulant matrisini

3 3 0 0 0 x c b b c c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = şeklinde değiştiriyoruz.

Böylece elimizde p(x)=x3+ px+q polinomu ve

3 3 0 0 0 x c b b c c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = matrisi vardır.

C circulant matrisinin karakteristik denklemi

0 3 ) det( ₋ ₌ 3 ₋ 3 ₋ 3 ₋ ₌ bcx c b x C xI

şeklindedir. Verilen p(x) polinomu ile genel C circulant matrisinin karakteristik polinomunu eşitlersek; bcx c b x q px x3+ + = 3 − 3 − 3 −3 olur. Buradan, 3 .c p b =− ve b3 +c3 =−q elde edilir. Bu sistemi çözmek için bilinmeyenleri 3

b ve c olarak kabul edelim. 3 Birinci eşitlikten c’yi çekerek, küpünü alalım ve ikinci eşitlikte yerine yazalım.

(33)

Böylece, 0 27 3 3 3₊ ₋ ₌ b p q b bulunur. Yani 0 27 3 3 6 ₊ ₋ p ₌ qb b olur. b ’ü bilinmeyen 3 olarak kabul edersek ikinci dereceden olan bu denklemin kökleri

3 / 1 3 2 27 4 2 _⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = q q p b ve 3 / 1 3 2 27 4 2 _⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = q q p c

bulunur. Bulduğumuz bu değerleri circulant matriste yerine yazarak bir özdeğer polinomu tanımlarsak;

2

)

(t bt ct q = +

elde edilir. Şimdi bu özdeğer polinomunda birimin üçüncü dereceden köklerini yerine yazarak C circulant matrisinin özdeğerlerini bulalım.

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ∈ 2 3 2 1 , 1 µ j w olduğunu biliyoruz. O halde,

3 / 1 3 2 3 / 1 3 2 27 4 2 27 4 2 ) 1 ( ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = + =b c q q p q q p q , ) ( 2 3 ) ( 2 1 ) 2 3 2 1 ( i b c i b c q − + =− + + − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − = 3 / 1 3 2 3 / 1 3 2 27 4 2 27 4 2 2 1 q q p q q p + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − 3 / 1 3 2 3 / 1 3 2 27 4 2 27 4 2 2 3 q q p q q p i , ve

(34)

) ( 2 3 ) ( 2 1 ) 2 3 2 1 ( i b c i b c q − − =− + − − − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − = 3 / 1 3 2 3 / 1 3 2 27 4 2 27 4 2 2 1 q q p q q p ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − 3 / 1 3 2 3 / 1 3 2 27 4 2 27 4 2 2 3 q q p q q p i

elde edilir. Bulduğumuz bu özdeğerler indirgenmiş p(x) polinomunun kökleridir. Asıl polinomun kökleri ise

3 ) 1 ( 1 α − = q x , 3 ) 2 3 2 1 ( 2 α − + − =q i x ve 3 ) 2 3 2 1 ( 3 α − − − =q i x şeklindedir. Örnek 4.2.1. ( )₌ 3 ₊ 2 ₋ ₋1 x x x x

p polinomunun köklerini circulant matrisler yardımıyla hesaplayalım. ) (x p polinomunda 3 1 − = x

x lineer değişken değişimi yaparak,

27 16 3 4 1 ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( ₌ ₋ 3 ₊ ₋ 2 ₋ ₋ ₋ ₌ 3₋ ₋ x x x x x x p bulunur ki böylece 2

x ’li terim yok edilir. Aldığımız

3 3 0 0 0 x c b b c c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = circulant

matrisinin karakteristik polinomu x3−b3−c3 −3bcx idi. Bu iki polinomu eşitlersek;

bcx c b x x x 3 27 16 3 4 3 3 3 3 ₋ ₋ ₌ ₋ ₋ ₋

(35)

elde edilir. Buradan 9 4 .c= b ve 27 16 3 3 _{+ c} ₌

b elde edilir. Birinci eşitlikten c’yi çekerek, küpünü alalım ve ikinci eşitlikte yerine yazalım.

0 729 64 27 16 3 6 ₋ ₊ ₌ b b

elde edilir. Buradan

3 2 729 64 27 16 4 1 27 16 2 1 3 / 1 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = b ve 3 2 729 64 27 16 4 1 27 16 2 1 3 / 1 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = c

elde edilir. Bulduğumuz bu değerleri circulant matriste yerine yazarsak,

3 3 0 3 2 3 2 3 2 0 3 2 3 2 3 2 0 x C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

elde edilir. O halde, C circulant matrisinin özdeğerlerini veren polinom

2 3 2 3 2 ) (t t t q = +

şeklindedir. Bu polinomda birimin üçüncü dereceden köklerini yerine yazarsak

3 4 3 2 3 2 ) 1 ( = + = q ,

(36)

3 2 ) 2 3 2 1 ( 3 2 ) 2 3 2 1 ( 3 2 ) 2 3 2 1 (− +i = − +i + − −i =− q ve 3 2 ) 2 3 2 1 ( 3 2 ) 2 3 2 1 ( 3 2 ) 2 3 2 1 (− −i = − −i + − +i =− q

1 3 1 3 4 3 1 ) 1 ( 1 = q − = − = x , 1 3 1 ) 2 3 2 1 ( 2 =q − +i − =− x ve 1 3 1 ) 2 3 2 1 ( 3 =q − −i − =− x şeklindedir. Örnek 4.2.2. ( )₌ 3 ₊6 ₋2 x x x

p polinomunun köklerini circulant matrisler yardımıyla hesaplayalım.

Denklem 2

x ’li terim içermediğinden indirgemeye gerek yoktur. Çözüme

polinomu 3 3 0 0 0 x c b b c c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= circulant matrisinin karakteristik denklemine eşitleyerek

başlayabiliriz. bcx c b x x x3 +6 −2= 3 − 3 − 3 −3

(37)

elde edilir. Buradan b.c=−2 ve b3 + c3 =2 elde edilir. Birinci eşitlikten c’yi çekerek, küpünü alalım ve ikinci eşitlikte yerine yazalım.

0 8 2 3

6 _{− b} ₋ ₌

b

3 / 1 3 / 1 4 2 32 4 2 ₌ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ ₊ = b ve 3 / 1 3 / 1 ) 2 ( 2 32 4 2 ₌ ₋ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = c

elde edilir. Bulduğumuz bu değerlerin circulant matrisite yerine yazarsak, oluşturulan özdeğer polinomu 2 3 / 1 3 / 1 ₍ ₂₎ 4 ) (t t t q = + −

3 / 1 3 / 1 ₍ ₂₎ 4 ) 1 ( = + − q , ) ) 2 ( 4 ( 2 3 ) ) 2 ( 4 ( 2 1 ) 2 3 2 1 (₋ ₊ ₌₋ 1/3 ₊ ₋ 1/3 ₊ 1/3 ₋ ₋ 1/3 i i q ve ) ) 2 ( 4 ( 2 3 ) ) 2 ( 4 ( 2 1 ) 2 3 2 1 (₋ ₋ ₌₋ 1/3 ₊ ₋ 1/3 ₋ 1/3 ₋ ₋ 1/3 i i q

(38)

elde edilir. Bulduğumuz bu özdeğerler indirgenmiş p(x) polinomunun kökleridir. Örnek 4.2.3. ( )₌ 3 ₋6 2 ₊11 ₋6 x x x x

Öncelikle p(x) polinomunda x= x+2 lineer değişken değişimi yaparak,

x x x

p( )= 3 −

bulunur ki böylece 2

x ’li terim yok edilir. Bu polinomu

3 3 0 0 0 x c b b c c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = circulant

matrisinin karakteristik polinomu ile eşitlersek;

bcx c b x x x3 − = 3 − 3 − 3 −3 elde edilir. Buradan

3 1 .c=

b ve b3 + c3 =0 elde edilir. Birinci eşitlikten c’yi çekerek, küpünü alalım ve ikinci eşitlikte yerine yazalım.

0 27

1

6 ₊ ₌

b

i b 0,5 0,28 27 1 1/3 ₌ ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ve c=0,5−0,28i

(39)

3 3 0 28 , 0 5 , 0 28 , 0 5 , 0 28 , 0 5 , 0 0 28 , 0 5 , 0 28 , 0 5 , 0 28 , 0 5 , 0 0 x i i i i i i C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − − + =

elde edilir. O halde, C circulant matrisinin özdeğerlerini veren polinom

2 ) 28 , 0 5 , 0 ( ) 28 , 0 5 , 0 ( ) (t i t i t q = + + −

1 28 , 0 5 , 0 28 , 0 5 , 0 ) 1 ( = + i+ − i= q , 1 9816 , 0 ) 86 , 0 5 , 0 ( ) 2 3 2 1 (− +i =q − + i =− ≅− q ve 0 ) 86 , 0 5 , 0 ( ) 2 3 2 1 (− −i =q − − i = q

3 2 1 2 ) 1 ( 1 = q + = + = x , 1 2 1 2 ) 2 3 2 1 ( 2 =q − +i + =− + = x ve 2 2 0 2 ) 2 3 2 1 ( 3 =q − −i + = + = x şeklindedir.

(40)

4.3.Dördüncü Dereceden Polinomlar ve Circulant Matrisler Genel dördüncü dereceden δ γ β α + + + + =x x x x x p( ) 4 3 2 polinomunu ve Genel 4x4 mertebeli

4 4 x a d c b b a d c c b a d d c b a C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

) (x p polinomunda 4 α − = x

x değişken değişimi yaparsak ve genelliği bozmamak için katsayıları β, ve γ δ kabul edersek dördüncü derece indirgenmiş polinom δ γ β + + + =x x x x p( ) 4 2 şeklini alır.

Kökler toplamının özdeğerler toplamına eşit olması gerektiğinden C circulant matrisinin ilk terimi olan a’yı sıfır kabul edersek

4 4 0 0 0 0 x d c b b d c c b d d c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

matrisini elde ederiz. Oluşan yeni circulant matrisin karakteristik polinomu

2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 ₍₄ ₂ ₎ ₄ ₍ ₎ ₄ ₂ ) det(xI −C =x − bd + c x − c b +d x+c −b −d − bdc + b d

(41)

olur. Yeni p(x) polinomu ile bulunan karakteristik polinomu eşitlersek, katsayılar arasında aşağıdaki bağıntıları buluruz:

β − = +₂ 2 4bd c , γ − = + ) ( 4 2 2 d b c ve δ = + − − − 4 4 2 2 2 4 ₄ ₂ d b bdc d b c .

Son eşitlikte düzenlemeler yaparsak,

δ = − + + − 2 2 2 2 2 4 ₍ ₎ ₄₍ ₎ ₄ bdc bd d b c

şeklini alır. Birinci ve ikinci eşitliği yukarıdaki eşitlikte yerine yazar ve düzenlersek:

δ β β γ ₊ + ₊ ₊ ₌ − 2 2 2 2 2 2 4 ₍₂ ₎ 4 ) 2 ( 16 c c c c c ve 0 64 4 16 2 2 2 2 4 6 ₋ ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + +β c β δ c γ c

bulunur. Bu eşitlik yardımıyla bulunan cb, ve d değerlerini circulant matriste yerine yazarak bir özdeğer polinomu tanımlarsak;

3 2

)

(t bt ct dt

q = + +

elde edilir. Şimdi bu özdeğer polinomunda birimin dördüncü dereceden köklerini yerine yazarak C circulant matrisinin özdeğerlerini bulalım.

(42)

d c b q(1)= + + , d c b q(− )1 = + − , id c bi i q()= − − ve id c bi i q(− )=− − +

bulunur ki buradan başta yaptığımız

4 α − = x

x dönüşümü tekrar yapılarak )p(x polinomunun köklerine ulaşılır.

Örnek 4.3.1. ( )₌ 4 ₋10 2 ₊9 x x

x

Denklem 3

x ’lü terim içermediğinden indirgemeye gerek yoktur. Çözüme

polinomu 4 4 0 0 0 0 x d c b b d c c b d d c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= circulant matrisinin karakteristik denklemine

eşitleyerek başlayabiliriz. 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 2 4 ₁₀ ₉ ₍₄ ₂ ₎ ₄ ₍ ₎ ₄ ₂ d b bdc d b c x d b c x c bd x x x − + = − + − + + − − − +

olup, buradan aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

10 2 4 _{+ c}2 ₌ bd (1) 0 ) ( 4 2 _{+ d}2 ₌ b c (2) 9 2 4 2 2 2 4 4 4 ₋ ₋ ₋ ₊ ₌ d b bdc d b c (3)

(1) ve (2) nolu eşitlikler (3) nolu eşitlikte yerine yazılırsa 06 ₋5 4 ₊4 2 ₌

c c c

eşitliğine ulaşılır ki buradan c=1 in denklemin bir kökü olduğu açıktır. Kolaylık

(43)

8

4bd = ⇒ bd =2 (4)

ve

2 _{+ d}2 ₌0

b (5)

eşitlikleri elde edilir. Burada b ile d kompleks eşlenik kökler olup,

i

b= 1+ ve d = 1−i

bulunur.

Bulduğumuz bc, ve d değerlerini C circulant matriste yerine yazarak

4 4 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 x i i i i i i i i C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − + − − + =

elde edilir.Buradan özdeğer polinomu tanımlarsak;

3 2 ₍₁ ₎ ) 1 ( ) (t i t t i t q = + + + −

3 1 1 1 ) 1 ( = +i+ + −i= q , 1 1 1 1 ) 1 (− =− −i+ − +i=− q , 3 1 1 1 ) (i =i− − −i− =− q ve 1 1 1 1 ) (−i =−i+ − +i+ = q

(44)

Örnek 4.3.2. ( )₌ 4 ₋8 3 ₊18 2 ₋27 x x

x x

) (x

p polinomunda öncelikle x= x+2 değişken değişimi yaparsak

27 ) 2 ( 8 ) 2 ( 6 ) 2 ( ) ( ₌ ₊ 4 ₋ ₊ 2 ₊ ₊ ₋ x x x x p ve buradan 3 8 6 ) ( ₌ 4 ₋ 2 ₊ ₋ x x x x p

indirgenmiş polinomuna ulaşılır.

Çözüm için genel indirgenmiş 4x4 Circulant olarak

4 4 0 0 0 0 x d c b b d c c b d d c b C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

matrisini alır ve karakteristik polinomu hesaplarsak

2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 ₍₄ ₂ ₎ ₄ ₍ ₎ ₄ ₂ d b bdc d b c x d b c x c bd x − + − + + − − − +

bulunur. Burada son elde ettiğimiz )p(x polinomu ile circulant matrisin karakteristik polinomunu eşitlersek aşağıdaki eşitlikler bulunur.

6 2 4 _{+ c}2 ₌ bd (1) 8 ) ( 4 2 _{+ d}2 ₌₋ b c (2) 3 2 4 2 2 2 4 4 4 ₋ ₋ ₋ ₊ ₌₋ d b bdc d b c (3)

(45)

(1) ve (2) nolu eşitlikler (3) nolu eşitlikte yerine yazılırsa 0 1 3 3 4 2 6 ₋ ₊ ₋ ₌ c c

c eşitliğine ulaşılır. Bu denklemin köklerinden biri olan 1

− için c=−1 kabul ederek çözüme devam edersek (1) ve (2) nolu eşitliklerden

1 =

bd ve b2 + d2 =2

eşitlikleri elde edilir. Buradan b= d =1 bulunur.

Bulduğumuz cb, ve d değerlerini C circulant matriste yerine yazarak

4 4 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 x C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − =

elde edilir.Buradan özdeğer polinomu tanımlarsak;

3 2

)

(t t t t q = − +

1 1 1 1 ) 1 ( = − + = q , 3 1 1 1 ) 1 (− =− − − =− q , 1 1 ) (i =i+ −i= q ve 1 1 ) (−i =−i+ +i= q

bulunur. Burada asıl p(x) polinomunun köklerini bulmak için tekrar xj =q(j)+2 dönüşümü yaparsak,

(46)

3 2 1 2 ) 1 ( 1 = q + = + = x , 1 2 3 2 ) 1 ( 2 = q − + =− + =− x , 3 2 1 2 ) ( 3 = iq + = + = x ve 3 2 1 2 ) ( 4 =q −i + = + = x

değerlerini buluruz ve böylece çözüm tamamlanır.

(47)

5.BÖLÜM

SONUÇ VE ÖNERİLER

Bu çalışmada, circulant matrisler tanıtıldıktan sonra, ilk olarak circulant matrislerin özdeğerlerinin polinomlar yardımıyla bulunuşu incelenmiştir. Herhangi bir matrisin özdeğerlerinin hesaplanması matris cebiri gerektiren bir işlem olmasına karşın; circulant matrislerin öz değerlerini hesaplamada kullanılan bu yöntem, circulant matrisler ile polinomlar arasındaki ilişkiye ışık tutmuştur. Çalışmada ikinci olarak circulant matrisler ile polinom çözümleri arasındaki ilişki incelenmiştir. Polinom çözümleri cebirin temel konusu olup yüzyıllardır farklı metotlar ele alınmıştır. Özellikle derecesi 5 den büyük olan polinomların çözümleri daima sıkıntılı olmuştur. Bu yüzden polinom çözümleri ile circulant matrisler arasında bulunan bu ilişki zahmetli olmasına rağmen oldukça etkileyicidir.

Circulant matrisler ile yakın benzerlik gösteren matrislerle (örneğin Toeplitz matrisler gibi) polinomların çözümleri incelenebilir.

(48)

KAYNAKLAR

online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall2002/dfrank/presentation.pdf

www.math.cudenver.edu/rrosterm/circulant/circulant.htm

Kalman, D. and White, J., 2001, Polinomial Equations and Circulant Matrices, Fortcoming Monthly article: November, pp. 821-840.

www.donkalmon.net/preprints

Bozkurt, D. ve Türen, B., 2003, Lineer Cebir, Sel-Ün Vakfı Yayınları, Konya.

Ardahan, H., 1993, Kompleks Sayılar Teorisi ve Elemanter Fonksiyonlar, Selçuk Üniversitesi Basımevi, Konya.