Diferansiyel denklemlerin seri çözümleri

(1)

T.C

D˙ICLE ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

D˙IFERANS˙IYEL DENKLEMLER˙IN SER˙I ÇÖZÜMLER˙I

Kamil ÖZTÜRK

YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

D˙IYARBAKIR Haziran-2019

(2)

(3)

TE ¸SEKKÜR

Yapmı¸s oldu˘gum bu bilimsel ara¸stırmada deste˘gi ve ho¸sgörüsünü esirgemeden daima gü-ven a¸sılayan, bilimsel birikimi ile ı¸sık tutan de˘gerli danı¸smanım Doç. Dr. Halis YILMAZ’a te¸sek-kürlerimi sunuyorum.

Ayrıca bilimsel ara¸stırma sürecinde benden deste˘gini esirgemeyen anneme, babama, e¸sime, biricik kızıma, karde¸sime ve tezin hazırlanmasında yardımlarını esirgemeyen arkada¸sım Halide GÜMÜ ¸S’e te¸sekkürlerimi sunarım.

(4)

˙IÇ˙INDEK˙ILER . . . II ÖZET . . . III ABSTRACT . . . IV KISALTMA VE S˙IMGELER . . . V

1. G˙IR˙I ¸S . . . 1

2. ÖNCEK˙I ÇALI ¸SMALAR . . . 3

3. MATERYAL VE METOT . . . 5

3.1. Diziler . . . 5

3.2. Seriler . . . 5

3.3. Kuvvet Serileri . . . 7

3.4. Diferansiyel Denklemler . . . 9

3.5. Fourier Serileri Ve Ortogonal Fonksiyonlar . . . 9

3.6. Gamma Fonksiyonu . . . 13

4. ARA ¸STIRMA BULGULARI . . . 15

4.1. Adi Diferansiyel Denklemlerin Kuvvet Serileri ˙Ile Çözümü . . . 15

4.2. Frobenius Yöntemi . . . 16

4.3. Adi Diferansiyel Denklemlerin Fourier Serileri ˙Ile Çözümü . . . 20

4.4. Adomian Ayrı¸stırma Yöntemi . . . 24

5. TARTI ¸SMA VE SONUÇ . . . 61

6. KAYNAKLAR . . . 63

(5)

ÖZET

D˙IFERANS˙IYEL DENKLEMLER˙IN SER˙I ÇÖZÜMLER˙I YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I

Kamil ÖZTÜRK D˙ICLE ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

2019

Tezin ilk bölümünde diferansiyel denklemlerin uygulama alanları ve önemi hakkında de-˘gerlendirmelerde bulunduk.

˙Ikinci bölümde mühendislik, fizik ve matematik bilim dallarında rastlanılan ve ço˘gunlukla uygulamalarda kar¸sımıza çıkan diferansiyel denklemlerin tarihsel geli¸simi hakkında bilgilendir-melerde bulunduk.

Üçüncü bölümde diferansiyel denklemlerin seri yöntemi ile çözüm yönteminin daha iyi anla¸sılabilmesi için bilmemiz gerekli olan bazı tanım ve teorilere de˘gindik.

Dördüncü bölümde diferansiyel denklemlerin çözümlerini Fourier serilerini, Frobenius ve Adomian ayrı¸stırma yöntemlerini kullanarak elde ettik.

Anahtar Kelimeler: Diferansiyel denklemler, Seri yöntemi, Fourier serileri, Frobenius ve Ado-mian ayrı¸stırma yöntemleri.

(6)

MASTER THESIS

Kamil ÖZTÜRK

UNIVERSITY OF DICLE

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS

2019

In the first part of the thesis, we evaluated the importance and application areas of diffe-rential equations.

In the second chapter, we have been informed about the historical development of diffe-rential equations which are encountered in engineering, physics and mathematics branches and mostly encountered in applications.

In the third chapter, we discussed some of the definitions and theories that we need to know in order to better understand the solution method of differential equations by serial method. In the fourth chapter, we have obtained the solutions of differential equations by using Fourier series, Frobenius and Adomian decomposition methods.

Keywords: Differential equations, Series method, Fourier series, Frobenius and Adomian decom-position methods.

(7)

KISALTMA VE S˙IMGELER

KDD : Kısmi Diferansiyel Denklem BDP : Ba¸slangıç De˘ger Problemi SDP : Sınır De˘ger Problemi

BSDP : Ba¸slangıç-Sınır De˘ger Problemi BK : Ba¸slangıç Ko¸sulları

SK : Sınır Ko¸sulları

BSK : Ba¸slangıç-Sınır Ko¸sulları

L : Terslenebilir Diferansiyel Türev Operatörü L−1 : Ters Operatör

Γ : Gamma Fonksiyonu

jq(y) : Bessel Fonksiyonu

(8)

1. G˙IR˙I ¸S

Mühendislik, fizik ve matematik bilim dallarında rastlanılan ve ço˘gunlukla uygu-lamalarda kar¸sımıza çıkan de˘gi¸sken katsayılı diferansiyel denklemlerin elemanter fonksi-yonlar ile her zaman çözümleri kolay de˘gildir.

Bahse konu olan diferansiyel denklemlerin çözümünü kuvvet serileri ile aramak daha kolaydır. ˙I¸ste izlenilen bu metod, diferansiyel denklemlerin seri yöntemi ile çö-züm yöntemidir. Diferansiyel denklemlerin çöçö-zümlerini Fourier serileri ile de elde etmek mümkündür. Bilindi˘gi üzre Fourier serileri elektrik-elektronik ve bilgisayar mühendili-˘ginde aktif olarak kullanılmaktadır. Ses ve veri depolama, görüntü i¸slemeye kadar birçok alanda etkili olarak kullanılmakta olup, Fourier serileri basitçe periyodik fonksiyonları kosinüs ve sinüs fonksiyonların toplamı olarak ifade etmek mümkündür.

Adi diferansiyel denklemleri kuvvet serileri toplamları yardımıyla çözmek ko-laydır. Fakat bu yöntemi kısmi diferansiyel denklemlere uygulamak zordur. Kısmi dife-ransiyel denklemlerin çözümlerini Adomian ayrı¸stırma metodunu kullanarak elde etmek mümkündür. Adomian ayrı¸stırma yöntemi, anla¸sılması kolay ve pratik bir yöntemdir. Uy-gulamalı matematik alanında yapılan çalı¸smalar bu metodun ne kadar kullanı¸slı oldu˘gunu ortaya koymu¸stur (Adomian 1988, Wazwaz 2009, Luo 2005 ve Gaber, El-Sayed 2006).

(9)

(10)

2. ÖNCEK˙I ÇALI ¸SMALAR

Diferansiyel denklemler hakkında çalı¸sma ilk olarak 17. yüzyılda, Gottfried Wil-helm Leibniz (1646–1716) ve Isaac Newton (1642–1727) tarafından “yerçekimine kar¸sı vücudun hareketini” açıklamak amacıyla yapılmı¸stır (Upton 2004).

Akabinde, Daniel Bernoulli (1700–1782), Leonhard Poul Euler (1707–1783) ve Joseph-Louis Lagrange’ın (1736–1813) katkılarıyla akı¸skanlar mekani˘gindeki problem-leri açıklamak için diferansiyel denklem sistemproblem-leri ve hesap yöntemproblem-leri geli¸stirilmi¸stir (Sevimli 2016).

Leonard Euler ( 1707-1783), Foundations of Differential Calculus kitabında dife-ransiyel denklemler üzerine geni¸s çalı¸smalar yapmı¸stır. Difedife-ransiyel denklemlerin merte-besini dü¸sürme yöntemini geli¸stirmi¸stir.

Daha sonra 18. yüzyılda Jaques ve Jean Bernoulli karde¸sler, Euler Clairaut, Lag-narange, D’Alambert, Charbit, Monge Laplace ve 19. yüzyılda Cauchy, Picard, F.G. Fro-benius diferansiyel denklemleri bugün ki seviyeye getiren matemetikçilerdir.

˙Ilk olarak belirli tip diferansiyel denklemlerin belirtilen ¸sartlar altındaki çözümleri 1820-1830 yılları arasında A.L. Cauchy tarafından bulunmu¸stur.

20. yüzyılda 1970-1990 yılları arasında Georgia Üniversitesi Ugulamalı Matema-tik Merkezinin ba¸skanı Geoerge Adomian, Adomian ayrı¸stırma metodunu geli¸stirerek çö-zümü zor olan nonlienar ve kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini anla¸sılması kolay bir ¸sekilde gerçekle¸stirmi¸stir.

(11)

(12)

3. MATERYAL VE METOT

Bu bölümde diferansiyel denklemlerin seri çözümlerini ara¸stırırken kullanaca˘gı-mız teorem ve tanımlara yer verilecektir.

3.1. Diziler

Bu bölümde dizilerin tanımını ve matematiksel teorisini inceleyece˘giz.

Tanım 3.1.1. Tanım kümesi pozitif tamsayılardan olu¸san fonksiyonlara dizi denir. Buna göre, f : N → R, nN ve y = f (n) fonksiyonu bir dizidir. Bu fonksiyonun de˘ger kümesi reel sayılar oldu˘gu için tanımlanan bu diziye reel de˘gerli dizi denir.

Ve f (n) = (b1, b2, b3, ..., bn) ifadesinde b1, b2, b3, ..., bndizinin elemanlarıdır. Dizi kısaca

(bn) ile gösterilir.

Tanım 3.1.2. (bn) bir dizi ve bR olmak üzere,

∀ε > 0 için n > n0 oldu˘gu zaman |bn− b| < ε olacak ¸sekilde ∃n0(ε) > 0 ise n → +∞

için (bn) dizisinin limiti b dir denir. Ve (bn) dizisi b sayısına yakınsar olarak adlandırılır,

limn→+∞bn= b biçiminde gösterilir.

Teorem 3.1.1. Dizinin genel terimi f (n) = bnve ∀x ≥ 1 için f (x) tanımlı olsun,

i. limx→+∞f (x) = b ise limn→+∞f (n) = b (limn→+∞bn= b) dır.

ii. limx→+∞f (x) = ∞ ise limn→+∞f (n) = ∞ (limn→+∞bn= ∞) dır.

Teorem 3.1.2. (bn) bir dizi olmak üzere, limn→+∞|bn| = 0 ⇔ limn→+∞bn= 0 dır.

3.2. Seriler

Sonlu sayıda terimin toplamı anlamlıdır. Yani 1, 2, 3 sayıları verildi˘ginde bu sayı-ların toplamı 1 + 2 + 3 = 6 oldu˘gu bilinmekte olup, sonucununda belirli bir anlama sa-hip oldu˘gunu söyleyebiliriz. Fakat sonsuz sayıda terimin toplamı ara¸stırılırken yukarıda yapılan toplama i¸slemi geçerlili˘gini kaybeder (Kadıo˘glu ve Kamali 2013). Bu kısımda, b1, b2, b3, ... sayıların b1+ b2+ b3+ ... sonsuz toplamını inceleyece˘giz.

Tanım 3.2.1. b1, b2, b3, ... sayılarının b1+ b2+ b3+ ... gösterimine seri denir. Bu sayılara

(13)

3 MATERYAL VE METOT

Bir seriyi göstermek içinP sembolünü kullanırız. Yani bir seri,

∞

X

n=1

bn = b1+ b2+ b3+ ...

¸seklinde gösterilir.

Tanım 3.2.2. P bnserisi verilsin. Bu serinin terimleri göz önüne alınırsa,

a1 = b1 a2 = b1+ b2 a3 = b1+ b2+ b3 .. . an = b1+ b2+ b3+ ... + bn .. . ¸seklinde bir andizisi elde edilir.

(an) dizisinin genel terimi an olmak üzere, an =

Pn

i=1bi biçiminde ifade edilir. Bu (an)

dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir (Kadıo˘glu ve Kamali 2013). ˙I¸ste bu kısmi toplamlar dizisi göz önüne alınarak serinin ne alam ifade etti˘gi açıklanır.

Tanım 3.2.3. P∞

n=1bnbir seri ve (an) dizisi ise bu serinin kısmi toplamlar dizisi olsun.

(an) kısmi toplamlar dizisi bir a sayısına yakınsıyorsaP ∞

n=1bnseriside a sayısına

yakın-sıyor denir. P∞

n=1bn = a olarak yazılır ve a sayısına serinin toplamı denir.

Tanım 3.2.4. a sıfırdan farklı olmak üzere,

∞

X

n=0

arn = a + ar + ar2+ ar3+ ...

serisine, r ortak çarpanlı geometrik seri denir. Teorem 3.2.1. P∞

n=0ar

n_{geometrik serisi verilsin.}

i. |r| ≥ 1 ise seri ıraksaktır.

ii. 0 < |r| < 1 ise seri yakınsak veP∞

n=0ar n₌ a

1−r dir.

(14)

Teorem 3.2.2. (Bölüm Testi) P∞

n=1anbir seri ve an > 0 olmak üzere, limn→+∞an_a+1_n = L olsun. Bu durumda;

i. L < 1 ise seri yakınsak, ii. L > 1 ise seri ıraksak,

iii. L = 1 ise bu test serinin karakteri hakkında bilgi vermez.

Teorem 3.2.3. (Kök Testi) P∞

n=1anbir seri ve an > 0 olmak üzere, limn→+∞ n

√ an= L olsun. Bu durumda; i. L < 1 iseP∞ n=1anserisi yakınsak, ii. L > 1 iseP∞ n=1anserisi ıraksak,

iii. L = 1 ise bu test serinin karakteri hakkında bilgi vermez.

3.3. Kuvvet Serileri

Bu kısımda kuvvet serilerinin tanımı ve bu seriler hakkında temel bilgilerden bah-sedece˘giz.

Tanım 3.3.1. y0 sabit ve y de˘gi¸sken olmak üzere, ∞

X

n=0

dn(y − y0)n= d0+ d1(y − y0) + d2(y − y0)2+ d3(y − y0))3+ ... + dn(y − y0)n+ ...

serisine y0merkezli kuvvet serisi denir.

Kuvvet serisinde y yerine yazılan bazı reel sayılar için seri yakınsak, bazı sayılar için de ıraksak olur. Serinin yakınsak oldu˘gu de˘gerler için toplamın bir anlamı oldu˘gunu biliyo-ruz. ˙I¸ste kuvvet serisinin yakınsadı˘gı bütün y lerin olu¸sturdu˘gu küme tanım kümesi olmak üzere kuvvet serisine y nin bir fonksiyonu olarak bakılabilir. Yani,

g(y) =

∞

X

n=0

dn(y −y0)n= d0+d1(y −y0)+d2(y −y0)2+d3(y −y0)3+...+dn(y −y0)n+...

(15)

3 MATERYAL VE METOT

Teorem 3.3.1. R sayısı bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı ve kuvvet serisinin ya-kınsadı˘gı bütün y de˘gerlerinin olu¸sturdu˘gu küme yakınsaklık aralı˘gı olmak üzere,

∞

X

n=0

dn(y − y0)n = d0+ d1(y − y0) + d2(y − y0)2+ d3(y − y0)3+ ... + dn(y − y0)n+ ...

y0merkezli, kuvvet serisi için a¸sa˘gıdaki üç önermeden biri daima do˘grudur.

i. Seri sadece y0 da yakınsaktır. Yani R = 0 dır.

ii. R > 0 olmak üzere |y − y0| < R için seri (Mutlak) yakınsak ve |y − y0| > R için

ıraksaktır.

iii. Seri y nin her de˘geri için yakınsaktır. Yani R = +∞ olur.

Bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarçapını bulmak için Bölüm Testi veya Kök Tes-tini kullanırız. Serinin genel terimi anolmak üzere, limn→+∞

an+1 an = L ve L < 1 olması halinde seri yakınsak olur. an= dn(y − y0)noldu˘gunu biliyoruz. O halde buradan

lim n→+∞ an+1 an < 1 ⇒ lim n→+∞ dn+1 dn |y − y0| < 1 ⇒ |y − y0| < lim n→+∞ dn+1 dn yazılır. Bu durumda yakınsaklık yarıcapı R olmak üzere, R = limn→+∞

dn+1 dn olur. Ben-zer ¸sekilde Kök Testide kullanılarak R = limn→+∞ 1

|dn| 1

n formülü elde edilir.

Teorem 3.3.2. f (x) =P bnxnve g(x) =P cnxn, kuvvet serileri verilsin,

i. g(kx) =P cnknxn

ii. g(xk) = P cnxnk

iii. g(x) ∓ f (x) =P(cn∓ bn)xn

iv. g(x)f (x) =P cnxnP bnxn

Teorem 3.3.3. g(y) bir fonksiyon olmak üzere, bu fonksiyon y0ı içeren bir açık aralıktaki

bütün y ler için g(y) = P∞

n=0bn(y − y0)

n _{kuvvet serisine açılabiliyorsa b} n = g

(n)_y 0

n!

¸seklindedir. Bu kuvvet serisi, g(y) = g(y0) + g 0 (y0)(y − y0) + g00(y0) 2! (y − y0) 2_{+ ... +} g(n)(y0) n! (y − y0) n_{+ ...}

.

(16)

veya kısaca g(y) = ∞ X n=0 g(n)_(y 0) n! (y − y0) n ¸seklini alır.

Tanım 3.3.2. g(y) fonksiyonu y = y0 noktasını içeren bir açık aralıkta her mertebeden

türeve sahipse g(y) = g(y0) + g 0 (y0)(y − y0) + g00(y0) 2! (y − y0) 2_{+ ... +} g(n)(y0) n! (y − y0) n_{+ ...}

serisine g(y) fonskiyonun y0 noktasındaki Taylor serisi denir.

Tanım 3.3.3. g(y) fonskiyonu bir noktanın yakınında yakınsak bir Taylor serisine açıla-biliyorsa bu fonksiyona o noktada analitiktir denir. Bu kapsamda, bütün polinomlar, sin y, cos y ve ey_{fonksiyonları her yerde analitiktir (Kadıo˘glu ve Kamali 2013).}

3.4. Diferansiyel Denklemler

Bir denklem içerisinde bilinmeyen fonksiyonun türevleri ve kendisi yer alıyorsa bu tip denklemlere diferansiyel denklemler denir. Diferansiyel denklemler adi ve kısmi diferansiyel denklemler olmak üzere ikiye ayrılır.

Tanım 3.4.1. Bir diferansiyel denklem içeresinde bilinmeyen fonksiyon tek de˘gi¸skene ba˘glı ise bu denklemlere adi diferansiyel denklem denir.

Tanım 3.4.2. Bir diferansiyel denklem içeresinde bilinmeyen fonksiyon iki veya daha çok de˘gi¸skene ba˘glı ise bu denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Tanım 3.4.3. Diferansiyel denklemde, tüm türevler ve ba˘gımlı de˘gi¸sken birinci dereceden ve bunlar çarpım halinde de˘gilse bu denklemlere lineer diferansiyel denklem denir. Aksi halde ise bu denklemler lineer olmayan diferansiyel denklem olarak adlandırılır.

Örne˘gin; y0+ y2_{x = x}2_{+ 1 ve y}00_{+ x sin y = y}2_{denklemleri lineer olmayan diferansiyel}

denklemlerdir.

3.5. Fourier Serileri Ve Ortogonal Fonksiyonlar

Bu bölümde ortogonal fonksiyonlar ve Fourier serileri hakkında genel bilgilen-dirme yapaca˘gız.

(17)

3 MATERYAL VE METOT

Tanım 3.5.1. (w, v)V ve V Reel vektör uzayı olmak üzere, <, >: V xV → R, < w, v >= w.v

fonksiyonu a¸sa˘gıdaki özellikleri sa˘glıyorsa <, > fonksiyonuna V üzerinde bir iç çarpım fonksiyonu, V vektör uzayınada iç çarpım uzayı denir (Bayram 2010).

i. < v, w >=< w, v >

ii. k sabit ise < kw, v >= k < w, v > dır. iii. < w + v, u >=< w, u > + < v, u >

iv. E˘ger w 6= 0 ise < w, w > sıfırdan büyüktür. w = 0 oldu˘gunda ise < w, w >= 0 dır.

˙Iç çarpım kavramını fonksiyonlar için genelle¸stirebiliriz. g1ve g2, [c, d] kapalı aralı˘gında

tanımlı iki fonksiyon olsun. g1(y)g2(y) fonksiyonlarının çarpımının [c, d] üzerinde belirli

integrali varsa yukarıdaki özellikler sa˘glanır.

Tanım 3.5.2. g1 ve g2 gibi iki fonksiyonun [c, d] aralı˘gında ki iç çarpımı

< g1, g2 >=

Z d c

g1(y)g2(y)dy

sayısıdır. Bilindi˘gi gibi w ve v iki vektörün ortogonal olması için gerekli ¸sart bu vektörle-rin iç çarpımlarının sıfır olması gerekir.

Tanım 3.5.3. {Ψ0(y), Ψ1(y), Ψ2(y), Ψ3(y), ...} fonksiyonlar kümesi [c, d] aralı˘gında

in-tegrallenebilir olsun

< Ψn, Ψm >=

Z d

c

Ψn(y)Ψm(y)dy = 0 m 6= n

ise bu fonksiyonlara [c, d] aralı˘gında ortogonaldir denir.

Bilindi˘gi gibi bir vektörün normu ||w||2 =< w, w > veya ||w|| = √< w, w > ¸seklinde hesaplanıyordu. ¸Simdi bu norm kavramını fonksiyonlar için geni¸sletelim. Bir {Ψm}

fonk-siyonun normu ||Ψm|| =

√

< Ψm, Ψm > olarak tanımlanır, yani

||Ψm|| = s Z d c Ψ2 m(y)dy

.

(18)

veya

||Ψm||2 =

Z d

c

Ψ2_m(y)dy

¸seklindedir. Son ifadeye Ψm fonksiyonun kare formu denir. {Ψm}, m = 0, 1, 2, ... için

||Ψm|| = 1 ¸sartını sa˘glayan [c, d] üzerinde ortogonal fonksiyonların bir kümesi ise, {_||ΨΨm_m_||}

ifadesine [c, d] üzerinde ortonormal küme denir (Bayram 2010).

Tanım 3.5.4. (Genelle¸stirilmi¸s Fourier Serileri)

[c, d] aralı˘gında {Ψn(y)} fonksiyonlar kümesi ortogonal olsun.

Ayrıca u = h(y), [c, d] aralı˘gında tanımlı fonksiyon ve ∀n için

h(y) = a0Ψ0(y) + a1Ψ1(y) + a2Ψ2(y) + ... + anΨn(y) + ... (3.5.1)

olacak ¸sekilde ankatsayılarını belirlemek mümkündür. (3.5.1) e¸sitli˘ginin her iki tarafını

Ψm(y) ile çarpar [c, d] üzerinde integralini alırsak

Z d c h(y)Ψm(y)dy = a0 Z d c Ψ0(y)Ψm(y)dy + a1 Z d c Ψ1(y)Ψm(y)dy + ...+ an Z d c Ψn(y)Ψm(y)dy + ... = a0 < Ψ0, Ψ0 > +a1 < Ψ1, Ψm> +... + an < Ψn, Ψm > +...

elde edilir. m = n olması durumu hariç son e¸sitli˘gin sa˘g tarafındaki her bir terim ortogo-nallik özelli˘ginden dolayı sıfır olacaktır. Buradan,

Z d c h(y)Ψm(y)dy = an Z d c Ψ2_n(y)dy an = < h, Ψm > ||Ψn(y)||2 h(y) = ∞ X n=1 anΨn(y)

oldu˘gu göz önüne alınırsa

h(y) = ∞ X n=1 < h, Ψm > ||Ψn(y)||2 Ψn(y) elde edilir.

(19)

3 MATERYAL VE METOT

Tanım 3.5.5. g fonksiyonu [−q, q] aralı˘gında tanımlı olsun. g fonksiyonun Fourier serisi

g(y) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos nπ q y + bnsin nπ q y a0 = 1 q Z q −q g(y)dy an = 1 q Z q −q g(y) cosnπ q ydy bn = 1 q Z q −q g(y) sinnπ q ydy ¸seklinde yazılır.

Bir h fonksiyonu 2π periyotlu bir fonksiyon ve [−π, π] aralı˘gında tanımlı ise bu fonksi-yonun Fourier serisi

h(y) = a0 2 +

∞

X

n=1

[ancos ny + bnsin ny]

a0 = 1 π Z π −π h(y)dy an = 1 π Z π −π

h(y) cos nydy bn =

1 π

Z π −π

h(y) sin nydy

¸seklinde olur.

Tanım 3.5.6. ∀y için g(−y) = g(y) oluyorsa g fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Örne-˘gin; cos y, 1, y2, y4

Benzer ¸sekilde ∀y için g(−y) = −g(y) oluyorsa g fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Ör-ne˘gin; sin y, y, y3, y5

E˘ger g(y) fonksiyonu çift ise Z a −a g(y)dy = 2 Z a 0 g(y)dy

elde edilir. g(y) tek fonksiyon ise Z a

−a

g(y)dy = 0

olacaktır.

.

(20)

O halde [−q, −q] aralı˘gında tanımlı ve 2q periyotlu çift fonksiyonun Fourier kosinüs serisi g(y) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos nπ q y a0 = 2 q Z q 0 g(y)dy an = 2 q Z q 0 g(y) cos nπ q ydy Benzer ¸sekilde 2q periyotlu tek fonksiyonun Fourier sinüs serisi

g(y) = ∞ X n=1 bnsin nπ q y bn = 2 q Z p 0 g(y) sinnπ q ydy olarak elde edilir.

3.6. Gamma Fonksiyonu

0 < s < ∞ de˘gerleri için Gamma fonksiyonu Γ(s) =

Z ∞

0

e−xxs−1dx olarak tanımlanır (Aydın, Kuryel, Gündüz ve Oturanç 2003). Gamma fonksiyonu a¸sa˘gıdaki özelliklere sahiptir.

* Γ(s + 1) = sΓ(s) * Γ(n + 1) = n! (nN) * Γ(1₂) =√π * Γ(2k+1₂ ) = 1.3.5.7...(2k−1)₂k √ π

(21)

(22)

4. ARA ¸STIRMA BULGULARI

Bu bölümde adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin seri çözümleri verilecektir. Seri çözüm yöntemi dört temel ba¸slık içerisinde ele alınacaktır. Adi diferansiyel denk-lemlerin çözümünü kuvvet serilerini, Fourier serisini ve Frobenius yöntemini kullanarak elde edece˘giz. Daha sonra ise anla¸sılması kolay ve pratik bir yöntem olan Adomian ayrı¸s-tırma yöntemini adi ve kısmi diferansiyel denklemler üzerinde uygulayaca˘gız.

4.1. Adi Diferansiyel Denklemlerin Kuvvet Serileri ˙Ile Çözümü Bu bölümde birinci

Ψ(y)u0 + Φ(y)u = Q(y) (4.1.1)

ve

u00+ Ψ(y)u0+ Φ(y)u = Q(y) (4.1.2) ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin kuvvet serileri yardımı ile çözümlerini inceleyece˘giz. Bunun için öncelikle gerekli tanım ve teoremleri verelim.

Tanım 4.1.1. (4.1.1) numaralı denklem y = y0noktasında Ψ(y) ve Φ(y) fonksiyonlarının

her ikiside analitik ise y = y0noktasına denklemin adi noktası denir (Halilov 2006).

Tanım 4.1.2. (4.1.2) numaralı denklem y = y0 noktasında Ψ(y) ve Φ(y) fonksiyonların

her ikisi veya biri analitik de˘gilse y = y0noktasına denklemin tekil noktası denir (Halilov

2006). Tanım 4.1.3.

u00+ Ψ(y)u0+ Φ(y)u = 0 (4.1.3)

denkleminin tekil noktası y = y0 olmak üzere

lim y→y0 (y − y0)Ψ(y) ve lim y→y0 (y − y0)2Φ(y)

limitleri aynı zamanda mevcut ise y = y0 noktasına (4.1.3) denkleminin düzgün tekil

(23)

4 ARA ¸STIRMA BULGULARI

Teorem 4.1.1. Ψ(y) ve Φ(y) fonskiyonları, y0 noktasında analitik fonksiyonlar olmak

üzere

u0+ Ψ(y)u = Φ(y)

birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleminin her çözümü y0 noktasında analitik ve

u(y) = P∞

n=0bn(y − y0)n ¸seklinde bir kuvvet serisi ile gösterilebilir (Ba¸sarır ve Türker

2009).

Teorem 4.1.2. Ψ(y), Φ(y) ve Q(y) fonksiyonları y0noktasında analitik olmak üzere

u00+ Ψ(y)u0+ Φ(y)u = Q(y)

ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin her çözümü y0 noktasında analitik ve

u(y) = P∞

n=0bn(y − y0)n¸seklinde bir kuvvet serisi ¸seklinde gösterilebilir (Halilov 2006).

4.2. Frobenius Yöntemi

y = 0 noktası (4.1.2) denkleminin düzgün tekil noktası ise denklemin çözümü u =

∞

X

n=0

bnyn+p

genelle¸stirilmi¸s kuvvet serisi biçiminde aranır.

1.A¸sama u(y) fonksiyonu ve türevleri u0_{(y) ve u}00_{(y) (4.1.2) denkleminde yazılırak}

Belirle-yici ve Rekürans denklemleri elde edilir. 2.A¸sama

u00+ Ψ(y)u0+ Φ(y)u = 0

denkleminin Belirleyici denklemi, L lineer diferansiyel operatörü ve u = yp olmak üzere

Lu = Lyp = (yp)00+ Ψ(y)(yp)0 + Φ(y)yp = 0

ifadesindeki y nin en küçük katsayısının sıfıra e¸sitlenmesi ile elde edilir (Halilov 2006). Örne˘gin;

u00+ y2u0+ yu = 0 ⇒

(yp)00+ y2(yp)0+ yyp = p(p − 1)yp−2+ (p + 1)yp+1 = 0

.

(24)

ifadesinde y nin en küçük kuvvetinin katsayısı sıfıra e¸sitlenerek Belirleyici denklem p(p − 1) = 0 olarak elde edilir. Belirleyici denklemden elde edilen p1 ve p2

kökle-rinden, p1kökü Rekürans denkleminde yazılarak bnbelirlenir ve

u1(y) = ∞ X n=0 bnyn+p1 çözümü elde edilir.

3.A¸sama Belirleyici denklemden elde edilen p1ve p2 kökleri göz önüne alınır ise

i. p1 − p2 tam sayı olmadı˘gı zaman

u2(y) = ∞ X n=0 cnyn+p2 çözümü elde edilir.

ii. p1 = p2 olması durumunda çözüm

u1(y) = ∞ X n=0 bnyn+p1 u2(y) = u1(y) ln y + ∞ X n=1 cnyn+p1

diferansiyel dneklemde u2(y) yazılarak cnkatsayıları belirlenir.

iii. p1 − p2 tam sayı olması durumunda çözüm

u1(y) = ∞ X n=0 bnyn+p1 u2(y) = ku1(y) ln y + ∞ X n=0 cnyn+p2

¸seklinde elde edilir. Bu ifade denklemde yerine yazılarak k ve cn katsayıları

elde edilir (Halilov 2006).

¸Simdi adi diferansiyel denklemlerde seri çözümünü, a¸sa˘gıda verilen örnek üzerinde ince-leyelim.

Örnek 4.2.1. (Bessel Denklemi)

y2u00+ yu0+ (y2− q2_{)u = 0}

(4.2.1) q dereceden Bessel denklemini (Halilov 2006) y = 0 noktası civarında çözünüz.

(25)

Çözüm

y = 0 noktası denklemin düzgün tekil noktası oldu˘gundan çözümü Frobenius yöntemi ile arayalım. (4.2.1) denkleminin Belirleyici denklemi

Lu = Lyp = y2(yp)00+ y(yp)0+ (y2− q2_)yp _{= 0}

Lyp = p(p − 1)yp+ yp+2+ pyp− q2_yp _{= 0}

Lyp = [p + p(p − 1) − q2]yp+ yp+2= 0 y nin en küçük mertebesinin katsayısı sıfıra e¸sitlenmesi ile elde edilir.

p + p(p − 1) − q2 = 0 ⇒ p2− q2 _{= 0 ⇒} _p 1 = q p2 = −q Frobenius yönteminde, çözüm u(y) = ∞ X n=0 bnyn+p

genelle¸stirilmi¸s kuvvet serisi cinsinden aranmaktaydı. O halde buradan u0(y) = ∞ X n=0 (n + p)bnyn+p−1 ⇒ u00(y) = ∞ X n=0 (n + p)(n + p − 1)bnyn+p−2

e¸sitlikleri elde edilir. p1 = q de˘geri bu e¸sitliklerde yazılır ise

y2 ∞ X n=0 (q + n)(n + q − 1)bnyn+q−2+ y ∞ X n=0 (n + q)bnyn+q−1+ (y2− q2) ∞ X n=0 bnxn+q = 0 ∞ X n=0 [(q + n)2bn− q2bn]yn+q + ∞ X n=2 bn−2yn+q = 0 (1 + 2q)b1yq+1+ ∞ X n=2 [n(2q + n)bn+ bn−2]yn+q = 0 (2q + 1)b1yq+1 = 0 ⇒ 2q + 1 6= 0 b1 = 0 n(n + 2q)bn+ bn−2 = 0 ⇒ bn = − bn−2 n(n + 2q) (n ≥ 2) Rekürans denklemi elde edilir. n için de˘gerler bnde yerine yazılır ise

n = 2 ⇒ b2 = − b0 2(2q + 2) = − b0 22_{(q + 1)} n = 3 ⇒ b3 = − b1 3(2q + 3) = 0, b2n+1 = 0 n = 4 ⇒ b4 = − b2 4(2q + 4) = b0 24_{2(q + 1)(q + 2)} n = 6 ⇒ b6 = − b4 6(2q + 6) = − b0 26_{3!(1 + q)(2 + q)(3 + q)}

.

(26)

.. . b2n = (−1)n 2n_{n!(1 + q)(2 + q)...(n + q)}b0 (n ≥ 1) elde edilir. u1(y) = ∞ X n=0 (−1)n 2n_{n!(1 + q)(2 + q)...(n + q)}y 2n+q _(b 0 = 1)

q tamsayı olmadı˘gını kabul edersek u2(y) serisini bulmak için q yerine −q yazmak

yeter-lidir. O halde u2(y) = ∞ X n=0 (−1)n 2n_{n!(1 − q)(2 − q)...(n − q)}y 2n−q _(b 0 = 1)

elde edilir. Di˘ger taraftan, u1(y)

1

2q_{Γ(q + n)}, u2(y)

1 2−q_{Γ(−q + n)}

çarpımlarına Bessel fonksiyonları denir. Ve jq(y), j−q(y) ile gösterilir.

jq(y) = 1 2q_{Γ(n + q)} ∞ X n=0 (−1)n 2n_{n!(1 + q)(2 + q)...(n + q)}y q+2n j−q(y) = 1 2−q_{Γ(n − q)} ∞ X n=0 (−1)n 2n_{n!(1 − q)(2 − q)...(n − q)}y 2n−q

Gamma fonksiyonun özellikleri dikkate alınarak Bessel fonksiyonlarını a¸sa˘gıdaki gibi ifade edebiliriz. jq(y) = 1 2q_{Γ(n + q)} ∞ X n=0 (−1)n 2n_{n!(1 + q)(2 + q)...(n + q)}y q+2n jq(y) = ∞ X n=0 (−1)n Γ(n + 1)Γ(n + q + 1) y 2 2n+q j−q(y) = 1 2−q_{Γ(n − q)} ∞ X n=0 (−1)n 2n_{n!(1 − q)(2 − q)...(n − q)}y 2n−q j−q(y) = ∞ X n=0 (−1)n Γ(n + 1)Γ(n − q + 1) y 2 2n−q

Bessel fonksiyonları elde edilir. Genel çözüm

(27)

¸seklinde edile edilir. E˘ger q = k tamsayı olursa

jk(y) = ∞ X n=0 (−1)n n!(n + k)! y 2 2n+k

olacaktır. Frobenius yönteminde 3.A¸sama hatırlanacak olursa ikinci çözüm

Yq(y) = ∞ X n=0 (−1)n n!(n + q)! y 2 q+2n ln y + ∞ X n=0 anyn−q ¸seklinde olacaktır.

Burada bulunması gereken an katsayılarıdır. Söz konusu katsayılar (4.2.1) denklemine

yazılarak elde edilir. q = k olması durumunda genel çözüm u(y) = c1jk(y) + c2Yk(y)

¸seklinde olacaktır (Halilov 2006).

4.3. Adi Diferansiyel Denklemlerin Fourier Serileri ˙Ile Çözümü

Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerin çözümünü Fourier serileri yardımı ile elde edece˘giz.

Örnek 4.3.1. u00 + u = y diferansiyel denklemini u(0) = 0, u(1) = 0 ko¸sulları için Fourier seri yöntemi ile çözünüz.

Çözüm

R(y) = y tek bir fonksiyondur. Bu nedenle verilen denklemim çözümü için yarım aralıklı Fourier sinüs serisi kullanılırsa verilen denklemin Fourier serisi

u(y) =

∞

X

n=1

bnsin nπy (4.3.1)

¸seklinde olmalıdır. Çözümü −1 < y < 0 aralı˘gına geni¸sletebiliriz.

Daha ileri R(y +2) = R(y) periyodik özelli˘gi ile reel eksene geni¸sletebiliriz. (4.3.1) serisi verilen u(1) = 0, u(0) = 0 sınır ko¸sullarını sa˘glar. Burada

u0(y) = ∞ X n=1 nπbncos nπy u00(x) = − ∞ X n=1 (nπ)2bnsin nπy (4.3.2)

.

(28)

olmak üzere, (4.3.1) ve (4.3.2) e¸sitlikleri diferansiyel denklemde yerine yazılır ise y = ∞ X n=1 1 − (nπ)2_b nsin nπy (4.3.3)

elde edilir. Bu y fonksiyonunu Fourier sinüs serisi cinsinden yazalım

y = ∞ X n=1 cnsin nπy Burada, cn = 2 Z 1 0

g(y) sin nπydy = 2 Z 1 0 y sin nπydy = 2 − y nπcos nπy + 1 nπ Z 1 0 cos nπydy = 2h−cos nπ nπ i = − 2 nπ(−1) n = 2 nπ(−1) n+1

elde edilir. (4.3.3) ifadesinden

∞ X n=1 [1 − (nπ)2]bnsin nπy = ∞ X n=1 2 nπ(−1) n+1_{sin nπy} olur. Burada bn = 2(−1)n+1 nπ[1 − (nπ)2_]

olur. bn(4.3.1) e¸sitli˘ginde yazılır ise

u(y) = ∞ X n=1 bnsin nπy = 2 π ∞ X n=1 (−1)n+1 n[1 − (nπ)2_]sin nπy elde edilir. Örnek 4.3.2. u00+ 9u = h(y) h(y) = −y, −π ≤ y < 0 y, 0 ≤ y ≤ π , h(y + 2π) = h(y) diferansiyel denklemini çözünüz.

(29)

Çözüm

h(y) = |y| periyodik fonksiyondur. O halde çözümü Fourier serisi olarak araya-lım. Verilen denklemin homojen kısmının genel çözümü,

λ2+ 9 = 0 ⇒ λ = ∓3i

olmak üzere,

uh = A cos 3y + B sin 3y

oldu˘gu kolayca görülür. y nin negatif ve pozitif de˘gerleri için h(y) = |y| fonksiyonu h(y) = |y| = y > 0 olur. h(y) fonksiyonu çift fonksiyon oldu˘gundan Fourier serisi

y = a0 2 + ∞ X n=1 ancos ny, (4.3.4) dir. Burada a0 = 2 π Z π 0 h(y)dy = 2 π Z π 0 ydy = π ve an = 2 π Z π 0

h(y) cos nydy olmak üzere an = 2 π y nsin ny − 1 n Z π 0 sin nydy π 0 = 2 π y nsin ny + 1 n2 cos ny π 0 = 2 π 1 n2cos nπ − 1 n2 = 2 n2_π[(−1) n_{− 1]}

dir. Buradan (4.3.4) e¸sitli˘ginden

y = 2 π ∞ X n=1 [(−1)n_{− 1]} n2 cos ny + π 2 = π 2 − 4 π ∞ X n=1 cos(2n − 1)y (2n − 1)2

.

(30)

elde edilir. Verilen diferansiyel denklemin özel çözümü upolsun. O halde bu çözüm denk-lemi sa˘glayacaktır. u00_p+ 9up = π 2 − 4 π cos y − 4 9πcos 3y − ... (4.3.5) elde edilir. Özel çözümü

up = a0 2 + ∞ X n=1

ancos(2n − 1)y + bnsin(2n − 1)y

= a0

2 + a1cos y + b1sin y + a2cos 3y + b2sin 3y + ... (4.3.6) olarak alalım. Buradan,

u0_p =

∞

X

n=1

(2n − 1)bncos(2n − 1)y − (2n − 1)ansin(2n − 1)y ⇒

u00_p =

∞

X

n=1

−(2n − 1)2_a

ncos(2n − 1)y − (2n − 1)2bnsin(2n − 1)y (4.3.7)

olur. (4.3.6) ve (4.3.7) e¸sitlikleri (4.3.5) e¸sitli˘ginde yerine yazılır ise

∞

X

n=1

−(2n − 1)2_[a

ncos(2n − 1)y + bnsin(2n − 1)y] +

9a0 2 + 9 ∞ X n=1

[ancos(2n − 1)y + bnsin(2n − 1)y] =

π 2 − 4 π ∞ X n=1 cos(2n − 1)y (2n − 1)2 ⇒ 9a0 2 − π 2 + ∞ X n=1 (9 − (2n − 1)2)an+ 4 π(2n − 1)2 cos(2n − 1)y+ ∞ X 0 [9 − (2n − 1)2]bnsin(2n − 1)y = 0

olur. Katsayılar sıfıra e¸sitlenirse 9a0 2 = π 2 ⇒ a0 = π 9 an = − 4 [9 − (2n − 1)2_{]π(2n − 1)}2, bn= 0

n = 2 hariç an katsayıları tanımlıdır. a2 katsayısının çarpanı cos 3y oldu˘gundan buna

kar¸sılık gelen çözüm F (y) olsun. up =

π

(31)

F (y) özel çözümü diferansiyel denklemde yerine yazılır ise F00+ 9F = − 4

9πcos 3y (4.3.8)

elde edilir. Bu son denklemin özel çözümü

F = y(A cos 3y + B sin 3y) (4.3.9)

¸seklinde aranır ise

F0 = A cos 3y + B sin 3y + y(−3A sin 3y + 3B cos 3y) ⇒

F00 = −3A sin 3y + 3B cos 3y − 3A sin 3y + 3B cos 3x + y(−9A cos 3y − 9B sin 3y) (4.3.10) ( 4.3.9) ve (4.3.10) ifadeleri (4.3.8) e¸sitli˘ginde yerine yazılır ise

−3A sin 3y + 3B cos 3y − 3A sin 3y + 3B cos 3y+ y(−9A cos 3y − 9B sin 3y) + 9y(A cos 3y + B sin 3y) = − 4

9πcos 3y ⇒ −6A sin 3y + 6B cos 3y = − 4

9π cos 3y ⇒ A = 0, 6B = − 4 9π ⇒ B = − 2 27π ⇒ F = − 2 27πy sin 3y ⇒ up = π 18+ a1cos y − 2 27πy sin 3y + a3cos 5y + ...

olarak elde edilir. Böylece verilen denklemin genel çözümü, u = uh+ up olmak üzere,

u = A cos 3y + B sin 3y + π 18− 4 π ∞ X n=1,n6=2 cos(2n − 1)y [9 − (2n − 1)2_{](2n − 1)}2 − 2 27πy sin 3y olarak elde edilir.

4.4. Adomian Ayrı¸stırma Yöntemi

Bu bölümde Adomian ayrı¸stırma yöntemini tartı¸saca˘gız. Adomian ayrı¸stırma me-todu son yıllarda genel olarak uygulamalı matematikte ve özellikle seri çözümler alanında kullanılmaktadır. Adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünü bu yöntem ile daha kolay bulabiliriz.

(32)

Adomian ayrı¸stırma metodu, herhangi bir denklemin bilinmeyen fonksiyonunu w(x, y), sonsuz sayıda bile¸senlerin seri toplamına ayırma i¸sleminden olu¸sur (Wazwaz 2009). w(x, y) = ∞ X n=0 wn(x, y) (4.4.1)

olmak üzere Adomian ayrı¸stırma yöntemi, w0, w1, w2, ... bile¸senlerin bulunmasıyla

ilgili-dir. Öncelikle bir operatörde yazılan lineer diferansiyel denklemi

Lw + Rw = g (4.4.2)

¸seklinde ele alalım. Burada L, ço˘gunlukla tersinir oldu˘gu varsayılan dü¸sük mertebeden tü-rev operatörü, R di˘ger do˘grusal diferansiyel operatörü ve g bir kaynak terimidir (Wazwaz 2009). L−1 ters operatör olmak üzere, bu operatörü (4.4.2) denkleminin her iki tarafına uygular isek

w = f − L−1(Rw) (L−1g = f )

elde edilir. Daha önce de belirtildi˘gi gibi, Adomian metodu çözümü w tarafından verilen sonsuz sayıda bile¸sen ile tanımlanır. Buradan,

∞ X n=0 wn = f − L−1 " R ∞ X n=0 wn !# ⇒ w0+ w1+ w2+ ... = f − L−1(R(w0+ w1+ w2+ ...))

olur. Son e¸sitlikten w0, w1, w2, ... bile¸senlerin bulunmasıyla çözüm elde edilir. Yani

bura-dan

w0 = f

wk+1 = −L−1(R(wk)), k ≥ 0

elde edilir. Buradan gerekli e¸sitlemeler yapılılırsa, w0 = f

w1 = −L−1(R(w0))

w2 = −L−1(R(w1))

.. .

(33)

bile¸senleri elde edilir. Böylece çözümü istenen fonksiyon elde edilmi¸s olur. Diferansi-yel denklemlerde, kapalı formlu bir çözüm veya çok sayıda terim içeren bir seri çözüm aramamız normaldir. Bu kapsamda, a¸sa˘gıdaki denklemi ele alalım,

w0(x) = w(x), w(0) = B (4.4.3)

Bu diferansiyel denklemi Lineer operatör yardımı ile

Lw = w (4.4.4)

olarak gösterebiliriz. Burada,

L = d dx dir. L−1(.) = Z x 0 (.)dx

olmak üzere, (4.4.4) e¸sitli˘gin her iki tarafına L−1uygulanırsa

w(x) = B + L−1(w) (4.4.5) elde edilir. w(x) = ∞ X n=0 wn(x) (4.4.6)

Burada (4.4.5) e¸sitli˘ginde (4.4.6) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x) = B + L−1 " _∞ X n=0 wn(x) #

olur. Açık bir ¸sekilde bile¸senler yazılır ise

w0(x) + w1(x) + ... = B + L−1(w0(x) + w1(x) + w2(x) + ...)

elde edilir. Buradan gerekli e¸sitlemeler yapılırsa w0(x) = B

wk+1(x) = L−1(wk(x)), (k ≥ 0)

elde edilir.

w0(x) = B,

(34)

w1(x) = L−1(w0(x)) = Z x 0 Bdx = Bx, w2(x) = L−1(w1(x)) = Z x 0 Bxdx = Bx 2 2! , w3(x) = L−1(w2(x)) = Z x 0 Bx2 2! dx = Bx3 3! , .. .

bulunan bu bile¸senler (4.4.6) serisinde yerine yazılır ise verilen denklemin çözümü w(x) = B(1 + x + x 2 2! + x3 3! + ...) ⇒ w(x) = Bex

olarak elde edilir.

¸Simdi Airy denklemi için Adomian ayrı¸stırma yöntemini uygulayalım.

w00(x) = xw(x), w(0) = C, w0(0) = D (4.4.7) (4.4.7) denklemini operatör yardımı ile ifade edersek

Lw = xw (4.4.8)

elde edilir (Wazwaz 2009). Burada

L = d 2 d2_x L−1(.) = Z x 0 Z x 0 (.)dxdx

olarak tanımlayaca˘gız. (4.4.8) e¸sitli˘gnin her iki tarafına L−1uygulanırsa L−1(Lw) = L−1(xw)

elde edilir. Buradan

Z x 0 Z x 0 (Lw)dxdx = L−1(xw) ⇒ w(x) − w(0) − xw0(0) = L−1(xw) ⇒ w(x) = w(0) + xw0(0) + L−1(xw)

(35)

⇒ w(x) = C + xD + L−1(xw) (4.4.9)

elde edilir. Burada (4.4.9) e¸sitli˘ginde (4.4.6) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x) = C + xD + L−1 " x ∞ X n=0 wn(x) # ⇒ w0(x) + w1(x) + ... = C + xD + L−1[x(w0(x) + w1(x) + w2(x) + ...)]

elde edilir. Sa˘g ve sol terimlerde gerekli e¸sitleme yapılarsa w0(x) = C + Dx wk+1 = L−1[x(wk(x))], k 6= 0 w0(x) = C + Dx w1 = L−1[x(wk(0))] = Z x 0 Z x 0 Cx + Dx2 dxdx = Z x 0 Cx2 2 + Dx3 6 dx = Cx 3 6 + Dx4 12 w2 = L−1[x(wk(0))] = Z x 0 Z x 0 Cx4 6 + Dx5 12 dxdx = Z x 0 Cx5 30 + Dx6 72 dx = Cx 6 180 + Dx7 504 .. .

elde edilir. Bulunan bu bile¸senler (4.4.6) serisinde yerine yazılır ise çözümü w(x) = C 1 + x 3 6 + x6 180 + ... + D x +x 4 12+ x7 504 + ... elde edilir.

¸Simdi Adomian ayrı¸stırma yöntemini birinci dereceden kısmi diferansiyel denk-lemler için uygulayalım.

wx+ wy = t(x, y), w(x, o) = h(x), w(o, y) = g(y) (4.4.10)

diferansiyel denklemini, Lx = ∂ ∂x, Ly = ∂ ∂y operatörler olmak üzere,

Lxw + Lyw = t(x, y) (4.4.11)

(36)

olarak yazalım. Buradan ters operatörleri L−1_x (.) = Z x 0 (.)dx, L−1_y (.) = Z y 0 (.)dy olarak tanımlayalım. (4.4.11) e¸sitli˘ginin her iki tarafına L−1_x uygulanırsa

L−1_x Lxw + L−1x (Lyw) = L−1x (t(x, y))

⇒ w(x, y) = g(y) + L−1_x (t(x, y)) − L−1_x (Lyw)

elde edilir. Yukarıdaki son ifadede (4.4.1) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, y) = g(y) + L−1x (t(x, y)) − L −1 x " Ly ∞ X n=0 wn(x, y) !# w0(x, y) + w1(x, y) + ... = g(y) + L−1x (t(x, y))− ⇒ L−1_x [Ly(w0(x, y) + w1(x, y) + w2(x, y) + ...)]

olur. Gerekli e¸sitleme yapılırsa

w0(x, y) = g(y) + L−1x (t(x, y))

wk+1(x, y) = −L−1x (Lywk(x, y)), k ≥ 0

olur. Buradan wo, w1, w2, ... bile¸senleri

w0(x, y) = g(y) + L−1x (t(x, y)),

w1(x, y) = −L−1x (Lyw0(x, y)),

w2(x, y) = −L−1x (Lyw1(x, y)),

.. .

bulunur ve (4.4.1) serisinde yerine yazılır. Benzer ¸sekilde (4.4.11) e¸sitli˘ginin her iki tara-fına L−1_y ters operatörü uygulanarak da çözüm elde edilebilir. Kısaca Adomian ayrı¸stırma metodu özetlenecek olursa,

i. Öncelikle diferansiyel denklemin çözümü sonsuz bile¸senden olu¸san seri toplamı olarak aranır. Yani çözüm (4.4.1) serisi ile aranır.

(37)

iii. Lineer operatörleri ile düzenlenen denklemin her iki tarafına tanımlanan L−1 ters operatörü uygulanır.

iv. Bunun sonucunda gerekli cebirsel i¸slemler yapılarak w0, w1, w2, ... bile¸senleri elde

edilir ve bulunan bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır.

Örnek 4.4.1. l sabit ve w0 + lw = 0, w(0) = 2 olmak üzere verilen Ba¸slangıç De˘ger Problemini (BDP) çözünüz.

Çözüm

w0+ lw = 0 (4.4.12)

denkleminin genel çözümü w(x) = ce−lx¸seklindedir. Verilen w(0) = 2 ko¸sulundan w(x) = 2e−lx

BDP’nin çözümü elde edilir. ¸Simdi bu çözümü Adomian ayrı¸stırma metodu ile elde ede-lim. Verilen (4.4.12) diferansiyel denklemini

Lw + lw = 0 (4.4.13)

olarak yazabiliriz. Burada,

L = d dx dir. L−1(.) = Z x 0 (.)dx

olmak üzere (4.4.13) e¸sitli˘ginin her iki tarafına L−1 operatörü uygulanırsa L−1(Lw) + L−1(lw) = 0

Z x

0

(Lw)dx = −L−1(lw) ⇒

w(x) = 2 − L−1(lw) (4.4.14)

(38)

elde edilir. w(x) = ∞ X n=0 wn(x) (4.4.15)

Burada (4.4.15) serisi (4.4.14) e¸sitli˘ginde yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x) = 2 − L−1 " l ∞ X n=0 wn(x) #

bulunur. Gerekli e¸sitlemeler yapılırsa w0(x) = 2

wk+1(x) = −L−1[lwk(x)], k ≥ 0

elde edilir. Yani,

w0(x) = 2 w1(x) = −L−1[lw0(x)] = − Z x 0 2ldx = −2lx w2(x) = −L−1[lw1(x)] = Z x 0 2l2xdx = 2(lx) 2 2! .. .

Bulunan bu bile¸senler (4.4.15) serisinde yerine yazılır ise w(x) = 2 − 2lx + 2(lx) 2 2 − ... ⇒ w(x) = 2 ∞ X n=0 (−1)n(lx)n n! ⇒ w(x) = 2e−lx elde edilir.

Örnek 4.4.2. l sabit olmak üzere w00+ l2_{w = 0, w(0) = 1, w}0_{(0) = 2 ba¸slangıç de˘ger}

problemini çözünüz. Çözüm

Ba¸slangıç de˘ger probleminin çözümü klasik yoldan w(x) = cos lx + 2

(39)

oldu˘gu kolayca görülür. ¸Simdi bu çözümü Adomian ayrı¸stırma yöntemi ile elde edelim. w00+ l2w = 0

denklemini

Lw + l2w = 0 (4.4.16)

formunda yazabiliriz. Burada,

L = d 2 d2_x, dir. L−1(.) = Z x 0 Z x 0 (.)dxdx

olmak üzere (4.4.16) e¸sitl˘ginin her iki tarafına L−1 operatörü uygulanırsa L−1(Lw) + L−1(l2w) = 0

Z x 0 Z x 0 (Lw)dxdx = −L−1(l2w) ⇒ w(x) = 1 + 2x − L−1(l2w)

elde edilir. Yukarıdaki son denklemde (4.4.15) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x) = 1 + 2x − L−1 " l2 ∞ X n=0 wn(x) #

elde edilir. Gerekli e¸sitlemeler yapılırsa w0(x) = 1 + 2x wk+1(x) = −L−1[l2(wk(x))], k ≥ 0 bulunur. Buradan w0(x) = 1 + 2x w1(x) = −L−1[l2(w0(x))] = − Z x 0 Z x 0 (l2+ 2l2x)dxdx = − Z x 0 l2x + 2l 2_x2 2 dx = −l 2_x2 2 − 2l2_x3 3!

.

(40)

w2(x) = −L−1[l2(w1(x))] = − Z x 0 Z x 0 −l 4_x2 2 − 2l4x3 3! dxdx = Z x 0 l4_x3 3! + 2l4x4 4! dx = l 4_x4 4! + 2l4x5 5! w3(x) = − l6x6 6! − 2l6x7 7!

elde edilir. Bulunan bu bile¸senler (4.4.15) serisinde yerine yazılır ise çözüm w(x) = 1 + 2x − l 2_x2 2 − 2l2_x3 3! + l4_x4 4! + 2l4_x5 5! − l6_x6 6! − 2l6_x7 7! + ... ⇒ w(x) = 1 − (lx) 2 2! + (lx)4 4! − (lx)6 6! + ... + 2 x − l 2_x3 3! + l4_x5 5! − l6_x7 7! + ... ⇒ w(x) = ∞ X n=0 (−1)n_(lx)2n 2n! + 2 l ∞ X n=0 (−1)n_(xl)2n+1 (2n + 1)! ⇒ w(x) = cos lx + 2 l sin lx olarak elde edilir.

Örnek 4.4.3.

wx+ wy = x + y, w(x, 0) = 0, w(0, y) = 0 (4.4.17)

kısmi diferansiyel denkleminin çözümünü bulunuz. Çözüm

Verilen diferansiyel denklemin çözümü karakteristik metod (Koca 2013) kullanı-larak w(x, y) = xy okullanı-larak elde edilir. ¸Simdi bu çözümü Adomian ayrı¸stırma yöntemi ile elde edelim. Öncelikle (4.4.17) numaralı denklemi operatör ile gösterelim.

Lxw = x + y − Ly (4.4.18) Burada, Lx = ∂ ∂x, Ly = ∂ ∂y dir. L−1_x (.) = Z x 0 (.)dx

(41)

4 ARA ¸STIRMA BULGULARI x e göre çözüm L−1_x Lxw = L−1x (x + y) − L −1 x (Lyw) olur. Buradan w(x, y) = xy + x 2 2 − L −1 x (Lyw)

elde edilir. (4.4.1) serisi yukarıdaki ifadede yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, y) = xy + x2 2 − L −1 x " Ly ∞ X n=0 wn(x, y) !#

elde edilir. Buradan gerekli e¸sitlemeler yapılır ise w0(x, y) = x2 2 + xy wk+1(x, y) = −L−1x [Ly(wk)], k ≥ 0 yani bile¸senler w0(x, y) = x2 2 + xy w1(x, y) = −L−1x [Ly(w0)] = −L−1x x = − Z x 0 xdx = −x 2 2 w2(x, y) = −L−1x [Ly(w1)] = L−1x 0 = − Z x 0 0dx = 0

k ≥ 2 için wk = 0 bulunur. Bulunan bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise

w(x, y) = x 2 2 + xy − x2 2 w(x, y) = xy elde edilir.

Benzer ¸sekilde y ye göre çözümü elde edelim. y e göre çözüm

(4.4.18) numaralı denklemin her iki tarafına L−1_y operatörü uygulanır ise L−1_y Lyw = L−1y (x + y) − L −1 y (Lxw) olur. Burada, w(x, y) = y 2 2 + xy − L −1 y (Lxw)

.

(42)

elde edilir. (4.4.1) serisi yukarıdaki ifadede yerine yazılır ise ∞ X n=0 wn(x, y) = y2 2 + xy − L −1 y " Lx ∞ X n=0 wn(x, y) !#

elde edilir. Buradan gerekli e¸sitlemeler yapılır ise w0(x, y) = y2 2 + xy wk+1(x, y) = −L−1y [Lx(wk)], k ≥ 0 yani bile¸senler w0(x, y) = y2 2 + xy w1(x, y) = −L−1y [Lx(w0)] = −L−1y y = − Z y 0 ydx = −y 2 2 w2(x, y) = −L−1y [Lx(w1)] = L−1y 0 = − Z y 0 0dx = 0

k ≥ 2 için wk = 0 bulunur. Bulunan bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise

çözümü

w(x, y) = xy elde edilir.

Dalga Denklemi

Adomian ayrı¸stırma yöntemi herhangi bir denklemin çözümünü hesaplanmı¸s seri halinde sunar (Wazwaz 2009). Yöntem, a¸sa˘gıdaki tipik dalga modeli tartı¸sılarak açıkla-nacaktır. Öncelikle tipik dalga denklemini verelim.

KDD wtt = c2wxx, 0 < x < L, t > 0,

SK w(L, t) = 0, w(0, t) = 0, t ≥ 0 (4.4.19) BK wt(x, 0) = h(x), w(x, 0) = g(x).

buradaki w = w(x, t), dizginin herhangi bir noktasının t zamanında x konumunda yer de˘gi¸stirmesidir ve c ip malzemesinin elastikiyetiyle ilgili bir sabittir. ˙Iki ba¸slangıç ko-¸sulu verilmelidir. ˙Ilk ko¸sullar ba¸slangıçtaki yer de˘gi¸stirmeyi ve ba¸slangıçtaki herhangi bir noktanın ba¸slangıç hızını tanımlar (Wazwaz 2009). ˙I¸ste (4.4.19) problemine Ba¸slangıç

(43)

Sınır-De˘ger Problemi (BSDP) denir. ¸Simdi (4.4.19) denklemini operatörler yardımı ile tekrardan düzenleyelim:

Ltw(x, t) = c2Lxw(x, t), (4.4.20)

burada Ltve Lxdiferansiyel operatörlerini

Lt=

∂2

∂t2, Lx =

∂2

∂x2

olarak tanımladık. Bu operatörler terslenebilir olsun ve L−1_t ve L−1_x ters operatörlerini L−1_x (.) = Z x 0 Z x 0 (.)dxdx, L−1_t (.) = Z t 0 Z t 0 (.)dtdt

olarak tanımlayalım. Ba¸slangıç ko¸sulları L−1_t ters operatörünün, sınır ko¸sulları ise L−1_x ters operatörünün kullanımını gerektirir. Hesaplamaların boyutunu küçültmek için ayrı¸s-tırma yöntemini t yönünde uygulayalım. Bu kapsamda, (4.4.20) denklemin her iki tarafına L−1_t ters operatörü uygulanır ise

w(x, t) = g(x) + th(x) + c2L−1_t [Lx(w(x, t))]

elde edilir. Yukarıdaki ifadede (4.4.1) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, t) = g(x) + th(x) + c2L−1t " Lx ∞ X n=0 wn(x, t) !# ⇒ w0+ w1+ w2+ ... = g(x) + th(x) + c2Lt−1[Lx(w0+ w1+ w2+ ...)]

elde edilir. Buradan gerekli e¸sitlemeler yapılırsa

w0(x, t) = g(x) + th(x) wk+1(x, t) = c2L−1t [Lx(wk(x, t))], k ≥ 0 bulunur. Yani w0(x, t) = g(x) + th(x) w1(x, t) = c2L−1t [Lx(w0(x, t))] = c2 t2 2!g 00 (x) + t 3 3!h 00 (x) w2(x, t) = c2L−1t [Lx(w1(x, t))] = c4 t4 4!g (4)_{(x) +} t5 5!h (4)_(x)

.

(44)

.. .

bile¸senleri belirledikten sonra, verilen dalga denkleminin çözümü w(x, t) = ∞ X n=0 c2n t2n (2n)!g (2n) (x) + t 2n+1 (2n + 1)!h (2n) (x) (4.4.21) elde edilir.

Ayrıca, L−1_x ters operatörü de kullanılarak çözüm elde edilebilir. Fakat sınır ¸sartının wx(0, t)

¸seklinde olması gerekir.

Örnek 4.4.4.

KDD wtt = wxx, 0 < x < π, t > 0,

SK w(π, t) = 0, w(0, t) = 0, t ≥ 0, (4.4.22) BK wt(x, 0) = 0, w(x, 0) = sin x.

Ba¸slangıç-Sınır De˘ger Problemini (BSDP) çözmek için Adomian ayrı¸stırma yöntemini kullanınız.

Çözüm

Öncelikle (4.4.22) denklemini Ltve Lxoperatörlerini kullanarak

Ltw(x, t) = Lxw(x, t) (4.4.23)

formunda yazalım. Burada, Ltve Lxdiferansiyel operatörlerini

Lt=

∂2

∂t2, Lx =

∂2

∂x2

olarak tanımladık. Bu operatörler terslenebilir olsun ve L−1_t ve L−1_x ters operatörleri ise L−1_t (.) = Z t 0 Z t 0 (.)dtdt

olarak tanımlayalım. (4.4.23) denklemin her iki tarafına L−1_t ters operatörü uygulanırsa w(x, t) = sin x + L−1_t [Lxw(x, t)]

∞ X n=0 wn(x, t) = sin x + L−1t " Lx ∞ X n=0 wn(x, t) !#

(45)

elde edilir. Yani

w0+ w1+ w2+ ... = sin x + L−1t [Lx(w0+ w1+ w2+ ...)]

olur. Burada gerekli e¸sitlemeler yapılırsa

w0(x, t) = sin x wk+1(x, t) = L−1t [Lx(wk)], k ≥ 0 yani w0(x, t) = sin x w1(x, t) = L−1t [Lx(w0)] = − t2 2!sin x w2(x, t) = L−1t [Lx(w1)] = t4 4!sin x .. .

elde edilir. Bulunan bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise

w(x, t) = sin x 1 −t 2 2! + t4 4! − ... ⇒ w(x, t) = sin x cos t çözümü elde edilir. Örnek 4.4.5. KDD wtt = wxx− 2, 0 < x < π, t > 0, SK w(π, t) = π2, w(0, t) = 0, t ≥ 0 (4.4.24) BK wt(x, 0) = sin x, w(x, 0) = x2.

Ba¸slangıç-Sınır De˘ger Problemini (BSDP) çözmek için Adomian ayrı¸stırma yöntemini kullanarak çözünüz.

(46)

Çözüm

Öncelikle (4.4.24) denklemini Ltve Lxoperatörler yardımı ile yeniden a¸sa˘gıdaki

formda yazalım.

Ltw(x, t) = Lx[w(x, t) − 2] (4.4.25)

Burada, Ltve Lxdiferansiyel operatörlerini

Lt=

∂2

∂t2, Lx =

∂2

∂x2

olarak tanımladık. Bu operatörler terslenebilir olsun ve L−1_t (.) = Z t 0 Z t 0 (.)dtdt

olarak tanımlayalım. (4.4.25) denkleminin her iki tarafına L−1_t ters operatörünü uygular isek

w(x, t) = x2+ t sin x − t2+ L−1_t (Lxw(x, t)) elde edilir. Yukarıdaki ifadede (4.4.1) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, t) = x2+ t sin x − t2+ L−1t " Lx ∞ X n=0 wn(x, t) !#

olur. Buradan gerekli e¸sitlemeler yapılırsa

w0(x, t) = x2+ t sin x − t2,

wk+1(x, t) = L−1t (Lxwk(x, t)), k ≥ 0

w0(x, t) = x2+ t sin x − t2 w1(x, t) = L−1t (Lxw0(x, t)) = t2− t3 3!sin x w2(x, t) = L−1t (Lxw1(x, t)) = t5 5!sin x .. .

elde edilir. Bulunan bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise w(x, t) = x2+ sin x t − t 3 3! + t5 5! − ... ⇒ w(x, t) = x2+ sin x sin t çözümü elde edilir.

(47)

Isı Denklemi

Tek boyutlu ısı denklemini çözümek için Adomian ayrı¸stırma yöntemini uygula-yalım. Bu kapsamda ısı denklemini

KDD wt= wxx, 0 < x < π, t > 0

SK w(L, t) = 0, w(0, t) = 0, t ≥ 0 (4.4.26) BK w(x, o) = g(x), 0 ≤ x ≤ π

¸seklinde alalım. ¸Simdi (4.4.26) denklemini operatör yardımı ile yeniden düzenleyelim Ltw(x, t) = Lxw(x, t) (4.4.27)

Burada, Ltve Lxdiferansiyel operatörlerini

Lt =

∂

∂t, Lx = ∂2

∂x2

olarak tanımladık. Bu operatörler terslenebilir olsun ve L−1_x (.) = Z x 0 Z x 0 (.)dxdx L−1_t (.) = Z t 0 (.)dt

olarak tanımlayalım. (4.4.27) e¸sitili˘gin her iki tarafına L−1_t ters operatörünü uygularsak L−1_t Ltw(x, t) = L−1t [Lxw(x, t)] ⇒

w(x, t) = g(x) + L−1_t [Lxw(x, t)]

∞ X n=0 wn(x, t) = g(x) + L−1t " Lx ∞ X n=0 wn(x, t) !#

olur. Gerekli e¸sitlemeler yapılır ise

w0(x, t) = g(x)

wk+1(x, t) = L−1t [Lx(wk(x, t)], k ≥ 0

(48)

Yani w0(x, t) = g(x) w1(x, t) = L−1t [Lx(w0(x, t)] = g00(x)t w2(x, t) = L−1t [Lx(w1(x, t)] = g(4)(x) t2 2! .. .

bulunan bu bile¸senler (4.4.1) yerine yazılır ise, ısı denkleminin çözümü w(x, t) = ∞ X n=0 g(2n)(x)t n n! (4.4.28)

olarak elde edilir.

Benzer ¸sekilde L−1_x ters operatörüde kullanılarak da aynı çözüm elde edilebilir. Örnek 4.4.6.

KDD wt(x, t) = wxx(x, t) − w(x, t), 0 < x < π, t > 0

SK w(π, t) = 0, w(0, t) = 0, t ≥ 0 (4.4.29) BK w(x, o) = sin x,

Ba¸slangıç ve sınır ko¸sulları verilen ısı denkleminin çözümünü Adomian ayrı¸stırma yön-temi ile bulunuz.

Çözüm

Öncelikle ısı denklemini operatörler yardımı ile tekrardan düzenleyelim Ltw(x, t) = Lxw(x, t) − w(x, t)

son e¸sitli˘gin her iki tarafına L−1_t ters operatör uygulanırsa

L−1_t Ltw(x, t) = L−1t [Lxw(x, t) − w(x, t)] ⇒

w(x, t) = sin x + L−1_t [Lxw(x, t) − w(x, t)]

olur. Yukarıdaki ifadede (4.4.1) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, t) = sin x + L−1t " Lx ∞ X n=0 wn(x, t) ! − ∞ X n=0 wn(x, t) #

(49)

elde edilir. Gerekli e¸sitlemeler yapılırsa

w0(x, t) = sin x wk+1(x, t) = L−1t [Lxwk(x, t) − uk(x, t)], k ≥ 0 yani w0(x, t) = sin x w1(x, t) = L−1t [Lxw0(x, t) − w0(x, t)] = −2t sin x w2(x, t) = L−1t [Lxw1(x, t) − w1(x, t)] = (2t)2 2! sin x .. .

bulunan bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise w(x, t) = sin x 1 − 2t + (2t) 2 2! − ... ⇒ w(x, t) = e−2tsin x çözümü elde edilir. Örnek 4.4.7. KDD wt(x, t) = wxx(x, t) + sin x, 0 < x < π, t > 0 SK w(π, t) = −e−t, w(0, t) = e−t, t ≥ 0 (4.4.30) BK w(x, o) = cos x,

Ba¸slangıç ve sınır ko¸sulları verilen ısı denkleminin çözümünü Adomian ayrı¸stırma yön-temi ile bulunuz.

Çözüm

Öncelikle ısı denklemini operatörler yardımı ile tekrardan düzenleyelim Ltw(x, t) = Lx[w(x, t)] + sin x

yukarıdaki e¸sitli˘gin her iki tarafına L−1_t ters operatör uygulanır ise L−1_t Ltw(x, t) = L−1t [Lxw(x, t) + sin x] ⇒

(50)

w(x, t) = cos x + t sin x + L−1_t [Lxw(x, t)]

olur. Yukarıdaki ifadede (4.4.1) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, t) = cos x + t sin x + L−1t " Lx ∞ X n=0 wn(x, t) !#

elde edilir. Gerekli e¸sitlemeler yapılırsa

w0(x, t) = cos x + t sin x wk+1(x, t) = L−1t [Lxwk(x, t)], k ≥ 0 Yani w0(x, t) = cos x + t sin x w1(x, t) = L−1t [Lxw0(x, t)] = −t cos x − t2 2!sin x w2(x, t) = L−1t [Lxw1(x, t)] = t2 2!cos x + t3 3!sin x .. .

bulunan bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise w(x, t) = sin x t − (t) 2 2! + (t)3 3! − ... + cos x 1 − t + (t) 2 2! − (t)3 3! + ... ⇒ w(x, t) = (1 − e−t) sin x + e−tcos x çözümü elde edilir.

De˘gi¸stirilmi¸s Ayrı¸stırma Yöntemi

Bu kısımda de˘gi¸stirilmi¸s ayrı¸stırma yönteminden bahsedece˘giz. Yöntemin açık bir tanımını yapmak için kısmi diferansiyel denklemi operatör biçiminde

Lw + Rw = f

olarak yazalım. Burada L en yüksek mertebeden türev, R e¸sit veya daha az mertebeden lineer bir diferansiyel operatörü, f ise kaynak terimdir. Denklemin her iki tarafına L−1 ters operatörü uygulanır ise

(51)

olarak elde dilir. Burada g, L−1 ters operatörünün uygulanmasından sonra elde edilen bir terimdir. Daha önceki kısımlarda w terimini

w =

∞

X

n=0

wn

sonsuz bile¸senlerin toplamı olarak tanımlamı¸stık. Bilindi˘gi gibi Adomian ayrı¸stırma yön-teminin amacı wn, n ≥ 0 bile¸senlerini belirlemekti. Buradan,

w0 = g

wk+1 = −L−1(Rwk), k ≥ 0

oldu˘gunu biliyoruz. De˘gi¸stirilmi¸s ayrı¸stırma metodu, w bile¸senlerin daha hızlı belirlene-bilece˘gi etkili ve daha kolay bir yoldur. Özel durumlar için g terimi iki toplam olarak ayarlanabilir. Yani g = g1+ g2 ¸seklinde ayarlayabiliriz. Bu bilgiler ı¸sı˘gında son e¸sitlikler

tekrardan düzenlenirse

w0 = g1

w1 = g2− L−1(Rw0)

wk+1 = −L−1(Rwk), k ≥ 1

elde edilir (Wazwaz 2009). Burada bile¸senler hesaplanarak çözüm elde edilir. Örnek 4.4.8.

wx+ wy = w, w(0, y) = 1 + ey

kısmi diferansiyel denklemini de˘gi¸stirilmi¸s ayrı¸stırma metodunu kullanarak çözünüz. Çözüm

Verilen diferansiyel denklemi operatör yardımı ile

Lxw + wy = w (4.4.31)

formunda yazabiliriz. Burada,

Lx = ∂ ∂x ve L−1_x (.) = Z x 0 (.)dx

.

(52)

olmak üzere, (4.4.31) e¸sitli˘ginin her iki tarafına L−1_x ters operatörü uygulanırsa L−1_x (Lxw) = L−1x (w − wy)

w(x, y) = 1 + ey+ L−1_x (w − wy)

elde edilir. Yukarıdaki ifadede (4.4.1) serisi yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, y) = 1 + ey + L−1x " _∞ X n=0 wn− ∞ X n=0 (wn)y #

olur. Gerekli e¸sitlemeler yapılırsa

w0 = 1 w1 = ey + L−1x (wo− (w0)y)) wk+1 = L−1x (wk− (wk)y)), k ≥ 1 elde edilir. w0 = 1 w1 = ey+ L−1x (wo− (w0)y)) = ey + L−1x (1 − 0) w1 = ey + x w2 = ey + L−1x (w1− (w1)y)) = ey+ L−1x (e y + x − ey) w2 = ey+ x2 2 w3 = ey+ L−1x (w2− (w2)y)) = ey+ L−1x ey+ x 2 2 − e y w3 = ey+ x3 3! .. .

elde edilen bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise w(x, y) = ey + 1 + x +x 2 2! + x3 3! + ... ⇒ w(x, y) = ey + ex çözümünü elde ederiz. Örnek 4.4.9. wx− wy = 2x + 2y, w(0, y) = −y2

(53)

Çözüm

Diferansiyel denklemi operatör yardımı ile

Lxw − wy = 2x + 2y (4.4.32) olarak tanımlayalım. L−1_x (.) = Z x 0 (.)dx

olmak üzere, (4.4.32) e¸sitli˘ginin her iki tarafına L−1_x ters operatörü uygulanırsa L−1_x (Lxw) = L−1x wy + L−1x (2x + 2y) w(x, y) = x2− y2_{+ 2xy + L}−1 x wy Burada w(x, y) = ∞ X n=0 wn(x, y)

yukarıdaki son ifadede yerine yazılır ise

∞ X n=0 wn(x, y) = x2− y2+ 2xy + L−1x " _∞ X n=0 (wn)y #

olur. Gerekli e¸sitlemeler yapılırsa

w0 = x2

w1 = 2xy − y2+ L−1x (w0)y

wk+1 = L−1x (wk)y, k ≥ 1

elde edilir. Yani,

w0 = x2 w1 = 2xy − y2+ L−1x (w0)y = 2xy − y2 + L−1x 0 w1 = 2xy − y2 w2 = L−1x (w1)y = L−1x (2x − 2y) w2 = x2− 2xy w3 = L−1x (w2)y = L−1x (−2x) w3 = −x2

.

(54)

w4 = L−1x (w3)y = L−1x 0

w4 = 0

k ≥ 4 için wk = 0 elde edilir. Elde edilen bu bile¸senler (4.4.1) serisinde yerine yazılır ise

w(x, y) = x2− y2

çözümü elde edilir.

Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler

Daha önceden Adomian ayrı¸stırma yöntemini lineer diferansiyel denklemlerin çö-zümünü elde etmek için uygulamı¸stık. Bu kısımda ise lineer olmayan diferansiyel denk-lemlerin çözümünü Adomian ayrı¸stırma metodunu kullanarak elde edece˘giz. Öncelikle Adomian polinomlarını tanımlayalım.

Adomian Polinomları

Hatırlanaca˘gı üzere Adomian ayrı¸stırma metodu w =

∞

X

n=0

wn

serisinin ayrı¸stırılıp, w0, w1, w2, w3, ... bile¸senlerinin hesaplanarak yerine yazılması

¸sek-linde özetlenmi¸sti. Verilen lineer olmayan diferansiyel deneklemin nonlinear terimi F (w) olsun. Yani F (w), w2, w3, sin w, ew, wwx ¸seklinde diferansiyel denklemde mevcut olsun.

BnAdomian polinomlarını F (w) = ∞ X n=0 Bn(w0, w1, w2, ...) (4.4.33)

olarak tanımlayalım (Wazwaz 2009). Burada

Bn= 1 n! dn dλn " F n X i=0 λiwi !# λ=0 (4.4.34)

olmak üzere Adomian polinomları

B0 = F (w0)

B1 =

d

(55)

4 ARA ¸STIRMA BULGULARI B1 = w1[F0(w0+ λw1)]λ=0 B1 = w1F0(w0) B2 = 1 2! d2 dλ2[F (w0+ λw1 + λ 2_w 2)]λ=0 B2 = 1 2! d dλ[(w1+ 2λw2)F 0_(w 0+ λw1+ λ2w2)]λ=0 B2 = 1 2![2w2+ F 0 (w0 + λw1+ λ2w2) + (w1+ 2λw2)2F00(w0+ λw1+ λ2w2)]λ=0 B2 = w2F0(w0) + 1 2!w 2 1F 00 (w0) Benzer ¸sekilde B3 = w3F0(w0) + w1w2F00(w0) + 1 3!w 3 1F 000 (w0) B4 = w4F0(w0) + 1 2!w 2 2 + w1w3 F00(w0) + 1 2!w 2 1w2F000(w0) + 1 4!w 4 1F (4) (w0) .. . elde edilen bu terimler yerine yazılır ise

F (w) = B0 + B1 + B2+ B3+ ... ⇒ F (w) = F (w0) + (w1+ w2+ w3+ ...)F0(u0) +1 2!(w 2 1+ 2w1w2+ w22+ ...)F 00 (w0) +1 3!(w 3 1 + 3w 2 1w2+ 3w21w3+ 6w1w2w3+ ...)F000(w0) + ... ⇒ F (w) = F (w0) + (w − w0)F0(w0) + 1 2!(w − w0) 2_F00 (w0) + ...

elde edilir. Bu son ifade BnAdomian polinomlarının bir Taylor serisi oldu˘gunu gösterir.

Nonlinear Fonksiyonların Adomian Polinomları ˙Ile Gösterimi

Bu kısımda nonlinear fonksiyonaların Adomian polinomları ile gösterimini örnek-lerle açıklayaca˘gız.

Örnek 4.4.10.

F (w) = w2

nonlinear ifadesini Adomian polinomlarının ilk dört terimini yazınız.

.

(56)

Çözüm Adomian Polinomları, B0 = F (w0) B1 = w1F0(w0) B2 = w2F0(w0) + 1 2!w 2 1F 00 (w0) B3 = w3F0(w0) + w1w2F00(w0) + 1 3!w 3 1F 000 (w0)

göz önüne alınır ise

B0 = w20 B1 = w1(w02) 0 = 2w0w1 B2 = 2w0w2+ w21 B3 = 2w0w3+ 2w1w2 elde edilir. Örnek 4.4.11. F (w) = wwx

nonlinear ifadesini Adomian polinomlarının ilk dört terimini yazınız.

Çözüm Adomian Polinomları, B0 = F (w0) B1 = w1F0(w0) B2 = w2F0(w0) + 1 2!w 2 1F 00 (w0) B3 = w3F0(w0) + w1w2F00(w0) + 1 3!w 3 1F 000 (w0)

(57)

B0 = F (w0) = w0xw0 B1 = 1 2Lx(2w0w1) = w0xw1+ w0w1x B2 = 1 2Lx(2w2wo+ w 2 1) = w0xw2+ w1xw1 + w2xw0 B3 = 1 2Lx(2w0w3+ 2w1w2) = w0xw3+ w1xw2+ w2xw1+ w3xw0 elde edilir. Örnek 4.4.12. F (w) = ln w, w > 0

nonlinear ifadesini Adomian polinomlarının ilk dört terimini yazınız. Çözüm Adomian Polinomları, B0 = F (w0) B1 = w1F0(w0) B2 = w2F0(w0) + 1 2!w 2 1F 00 (w0) B3 = w3F0(w0) + w1w2F00(w0) + 1 3!w 3 1F 000_(w 0)

B0 = ln w0 B1 = w1 w0 B2 = w2 w0 − 1 2 w2 1 w2 0 B3 = w3 w0 − w1w2 w2 0 + 1 3! w3 1 w3 0 elde edilir.

Nonlinear Adi Diferansiyel Denklemlerin Adomian Ayrı¸stırma Yöntemi ˙Ile Çözümü

¸Simdi de nonlinear diferansiyel denklemlerin Adomian ayrı¸stırma metodu ile çö-zümünü ele alalım.

Lw + R(w) + F (w) = h(x) (4.4.35)

(58)

denklemde, L en yüksek mertebeden diferansiyel operatörü R ise diferansiyel operatörün geri kalanıdır. Do˘grusal olmayan terimler F (w) ifadesini ve h(x) homojen olmayan bir terimi ifade eder. L operatörünü

L = d dx olarak, L−1ters operatörünü ise

L−1(.) = Z x

0

(.)dx olarak tanımlayalım. Buradan,

L−1L(w) = w(x) − w(0) dır. Ancak, L ikinci dereceden diferansiyel operatör ise

L = d

2

dx2

dır. L−1ters operatörü ise

L−1(.) = Z x 0 Z x 0 (.)dxdx olarak tanımlayalım. Buradan,

L−1L(w) = w(x) − w(0) − xw0(0) Benzer ¸sekilde, L üçüncü dereceden diferansiyel operatör ise

L = d

3

dx3

olarak, L−1ters operatörü ise

L−1(.) = Z x 0 Z x 0 Z x 0 (.)dxdxdx olarak tanımlayalım. Buradan,

L−1L(w) = w(x) − w(0) − xw0(0) − 1 2!x

2

w00(0)

elde edilir. (4.4.35) e¸sitli˘ginin her iki tarafına L−1ters operatörü uygulanır ise

(59)

elde edilir. Burada,

ψ0 =        w(0), L = _dxd w(0) + xw0(0), L = _dxd22 w(0) + xw0(0) + 1 2!x 2_w00_(0), _{L =} d3 dx3 w(0) + xw0(0) +_2!1x2_w00_{(0) +} 1 3!x 3_w000_{(0), L =} d4 dx4

Adomian ayrı¸stırma metodu, w nin sonsuz sayıda bile¸seninin ayrı¸smasını kabul eder. Bu-rada w(x) = ∞ X n=0 wn (4.4.37)

ve nonlinear F (w) terimi sonsuz sayıda polinom dizisine e¸sit olmak üzere

F (w) =

∞

X

n=0

Bn

olur. Bu e¸sitlikler (4.4.36) e¸sitli˘ginde yerine yazılıp, gerekli e¸sitlemeler yapılır ise

w0 = ψ0+ L−1h(x)

wk+1 = −L−1(Rwk) − L−1(Bk), k ≥ 0

elde edilir. Yani,

w0 = ψ0+ L−1h(x)

w1 = −L−1(Rw0) − L−1(B0)

w2 = −L−1(Rw1) − L−1(B1)

.. .

elde edilir (Wazwaz 2009). Bulunan bu bile¸senler (4.4.37) serisinde yerine yazılarak çö-züm elde edilir.

Örnek 4.4.13.

w0− w2 _{= 1,} _{w(0) = 0}

nonlinear diferansiyel denklemini Adomian ayrı¸stırma metodunu kullanarak çözünüz.

.

(60)

Çözüm

Öncelikle verilen diferansiyel denklemi L operatör yardımı ile

Lw = 1 + w2 (4.4.38)

olarak yazalım. Burada,

L = d dx dır. L−1(.) = Z x 0 (.)dx

olmak üzere, (4.4.38) e¸sitli˘ginin her iki tarafına L−1ters operatörü uygulanır ise L−1Lw = L−1+ L−1(w2)

w = x + L−1(w2) elde edilir. Burada

w(x) = ∞ X n=0 wn w2 = ∞ X n=0 Bn

e¸sitlikleri göz önüne alınırsa

∞ X n=0 wn(x) = x + L−1 " _∞ X n=0 Bn #

elde edilir. Burada gerekli e¸sitlemeler yapılırsa w0(x) = x

wk+1(x) = L−1(Bk), k ≥ 0

bulunur. Nonlinear terim olan w2 _{ifadesini Adomian polinomları cinsinden yazalım.}

F (w) = w2 B0 = F (w0) B1 = w1F0(w0) B2 = w2F0(w0) + 1 2!w 2 1F 00 (w0) B3 = w3F0(w0) + w1w2F00(w0) + 1 3!w 3 1F 000 (w0) B4 = w4F0(w0) + 1 2!w 2 2+ w1w3)F00(w0 + 1 2!w 2 1w2F000(w0) + 1 4!w 4 1F (4)_(w 0)

(61)

e¸sitlikleri göz önüne alınır ise

B0 = w20

B1 = 2w0w1

B2 = 2w0w2+ w12

B3 = 2w0w3+ 2w1w2

B4 = 2w0w4+ 2w1w3+ w22

elde edilir. Elde edilen ifadeler yerine yazılır ise w0(x) = x w1(x) = L−1(B0) = L−1(x2) = x3 3 w2(x) = L−1(B1) = 2x5 15 w3(x) = L−1(B2) = 17x7 315 .. .

olarak bulunur. Bulunan wnbile¸senleri yerine yazılır ise

w(x) = x + x 3 3 + 2x5 15 + 17x7 315 + ... w(x) = tan x çözümü elde edilir. Örnek 4.4.14. w0 = 1 − x2 + w2, w(0) = 0

Ba¸slangıç ko¸sulu verilen Ricatti diferansiyel denklemini, de˘gi¸stirilmi¸s ayrı¸stırma meto-dunu kullanarak çözünüz.

Çözüm

Ricatti diferansiyel denklemini L operatör yardımı ile

Lw = 1 − x2+ w2 (4.4.39)

(62)

olarak yazalım. Burada L = d dx dır. L−1(.) = Z x 0 (.)dx

olmak üzere, (4.4.39) e¸sitli˘ginin her iki tarafına L−1ters operatörü uygulanırsa w(x) = x − x

3

3 + L

−1

w2

elde edilir. Burada

w(x) = ∞ X n=0 wn w2 = ∞ X n=0 Bn

∞ X n=0 wn= x − x3 3 + L −1 " _∞ X n=0 Bn #

bulunur. Burada gerekli e¸sitlemeler yapılır ise w0(x) = x w1(x) = − x3 3 + L −1 (B0) wk+1(x) = L−1(Bk), k ≥ 1

elde edilir. Nonlinear terim olan w2 _{ifadesini Adomian polinomları cinsinden yazalım.}

F (w) = w2 B0 = F (w0) B1 = w1F0(w0) B2 = w2F0(w0) + 1 2!w 2 1F 00 (w0) B3 = w3F0(w0) + w1w2F00(w0) + 1 3!w 3 1F 000 (w0) B4 = w4F0(w0) + 1 2!w 2 2+ w1w3)F00(w0 + 1 2!w 2 1w2F000(w0) + 1 4!w 4 1F (4)_(w 0)

(63)

B0 = w20

B1 = 2w0w1

B2 = 2w0w2+ w12

B3 = 2w0w3+ 2w1w2

B4 = 2w0w4+ 2w1w3+ w22

elde edilir. Elde edilen e¸sitlikler yerine yazılır ise w0(x) = x w1(x) = − x3 3 + L −1 (B0) = 0 wk(x) = 0, k ≥ 1

olarak bulunur. Bulunan wnbile¸senleri yerine yazılır ise

w(x) = x çözümü elde edilir.

Nonlinear Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Adomian Ayrı¸stırma Yöntemi ˙Ile Çözümü

Nonlineer kısmi diferansiyel denklemler fizik, mühendislik ve akı¸skanlar meka-ni˘gi, uygulamalı matematik, madde fizi˘gi, soliton fizi˘gi ve kuantum alan teorisi alanla-rında ortaya çıkmaktadır (Wazwaz 2009). Bu alanda yapılan denklem çözümleri genel-likle sayısal çözümlerdir. Daha önceden de belirtilen Adomian ayrı¸stırma metodunu bu denklemler içinde uygulayabiliriz. ¸Simdi bir operatör formunda verilen do˘grusal olma-yan kısmi diferansiyel denklemi göz önünde bulunduralım.

Lxw(x, y) + Lyw(x, y) + R(w(x, y)) + F (w(x, y)) = h(x, y) (4.4.40)

burada Lx, x’deki en yüksek mertebeden diferansiyel, Ly ise y’deki en yüksek

mertebe-den diferansiyeldir. R, kalan türevlerin do˘grusal terimlerini içeren operatör, F (w(x, y)) do˘grusal olmayan terim ve h(x, y) homojen olmayan veya zorlayıcı bir terimdir.

(64)

Lx ve Ly operatör denklemlerinden elde edilen w(x, y) çözümlere kısmi çözümler denir.

Bu kısmi çözümlerin daha önce var oldu˘gu gösterilmi¸sti.

Ancak, denklemi çözmek için hangi operatör kullanılmalıdır? Operatör kullanımı için a¸sa˘gıdaki ¸sartlar göz önünde bulundurulması gerekir.

i. Hesaplama boyutunu en aza indirmek için en dü¸sük dereceden i¸sletmeci seçilmeli-dir.

ii. En dü¸sük dereceden seçilen operatör en iyi bilinen ¸sartlarda olmalıdır.

Lx operatörünün verilen ¸sartları sa˘gladı˘gını varsayıp (4.4.40) e¸sitli˘ginin her iki tarafına

L−1_x ters operatörü uygulayalım. w(x, y) = Φ0+ L−1x h(x, y) − L

−1

x Lyw(x, y) − L−1x [Rw(x, y)] − L −1

x [F (w(x, y))]

elde edilir. Burada

Φ0 =        w(0, y), L = _∂x∂ w(0, y) + xwx(0, y), L = ∂ 2 ∂x2 w(0, y) + xwx(0, y) + _2!1x2wxx(0, y), L = ∂ 3 ∂x3 w(0, y) + xwx(0, y) + _2!1x2wxx(0, y) + _3!1x3wxxx(0, y)), L = ∂ 4 ∂x4

olmak üzere (4.4.1) ve (4.4.33) e¸sitli˘gi göz önüne alınır ise

∞ X n=0 wn(x, y) = Φ0+ L−1x h(x, y) − L −1 x Ly " _∞ X n=0 wn(x, y) # − L−1_x R " _∞ X n=0 wn(x, y) # − L−1_x " _∞ X n=0 Bn #

elde edilir. Burada gerekli e¸sitlemeler yapılır ise

w0(x, y) = Φ0+ L−1x h(x, y)

w1(x, y) = −L−1x Lyw0(x, y) − L−1x R(w0(x, y)) − L−1x B0

w2(x, y) = −L−1x Lyw1(x, y) − L−1x R(w1(x, y)) − L−1x B1

.. .

wn(x, y) bile¸senleri elde edilir (Wazwaz 2009). Ve elde edilen bile¸senler yerine yazılarak