Sayılar Çözümlü Sorular no: 4

(1)

KAVRAMLAR

YGS

TEMEL MATEMATİK

03

Asal Sayı Aralarında Asal Sayılar Faktöriyel

10

’luk Sayma Sistemi Rakam Basamak Kavramı • Asal Sayılar • Aralarında Asal Sayılar • Faktöriyel • Sayı Basamakları • Basamak Kavramı

SAYILAR - III / ASAL SAYILAR, SAYI BASAMAKLARI

Asal Sayılar

1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1’den büyük tam sayılara asal sayı denir.

{2, 3 5, 7, 11, ...}

Asal sayılar sonsuz tanedir.

Asal sayılar arasında sadece “2” çift sayıdır.

Asal sayılara ait belli bir kural yoktur.

Örnek 1

a, b ve c birbirinden farklı birer asal sayıdır. a + b + c = 16

olduğuna göre, a . b . c çarpımı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 2

a ve b birer pozitif tam sayı ve p asal sayı olmak üzere,

a2 — b2 = p

olduğuna göre, a’nın p türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) p + 1 2 B) p + 1 3 C) p — 1 2 D) p — 1 3 E) p — 2 3

(ÖSS 2008)

Çözüm:

Örnek 3

a asal sayı, b ve c tam sayı olmak üzere,

a = 4b — 2.5c—3

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

Çözüm:

Sayıların toplamı çift olduğu için bu asal sayılardan bir tanesi 2 olmak zorundadır.

a = 2 için, b = 3 ve c = 11 değerleri eşitliği sağlar. a = 2 , b = 3, c = 11 için a . b . c = 66 olur.

a2 — b2 = p ⇒ (a — b).(a + b) = p’dir.

p’nin asal olması için a — b = 1, a + b = p olmalıdır. a + b = p

+ a — b = 1

2a = p + 1 ⇒ a = p + 1_{2 ‘dir.}

Cevap A

a asal sayı ise çarpanlarından bir tanesinin 1, diğerinin asal sayı olması gerekir.

Bu durumda b — 2 = 0 ve c — 3 = 1 için , a asal sayı olur. b — 2 = 0 ⇒ b = 2

c — 3 = 1 ⇒ c = 4 a = 40.51 ⇒ a = 5 olur.

(2)

Aralarında Asal Sayılar

1’den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılara arala-rında asal sayılar denir.

Örneğin; (4, 9), (3, 4), (1, 12), (5, 7) gibi...

Örnek 4

a ve b aralarında asal sayılardır. 3a + 5b

2a + b = 7 3

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 5

(3a + 5b) ve (2a + b) aralarında asal sayılardır. 3a + 5b

2a + b = 7 3

Çözüm:

Faktöriyel

1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n fak-töriyel denir. Doğal sayılar kümesi

üzerinde

tanımlı bir işlemdir. “!” ile gösterilir.

n! = n

.

(n – 1) .

...

. 2.1’dir. 4! = 4.3.2. 1 = 24’tür. 1! = 1’dir. 0! = 1’dir.

Örnek 6

14! — 13! 12! + 11!

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Örnek 7

(n +7)!

(n + 6)! + (n – 3)!(n – 4)! = 0! + 1! + 2! + 3! + 4!

olduğuna göre, n kaçtır?

Çözüm:

İçler - dışlar çarpımı yapalım. 9a + 15b = 14a + 7b 8b = 5a ↓ ↓ 5 8 a + b = 8 + 5 = 13 olur. 14! — 13! 12! + 11! = 13!(14 — 1) 11!(12 + 1) 13!.13 11!.13 = 13! 11! = 13.12.11! 11! = 156 bulunur.

n + 7 sayısı n + 6’dan büyüktür. n – 3 sayısı n – 4’ten büyüktür. Büyük olanı, küçük olana benzetelim. (n + 7)! = (n + 7) . (n + 6)! (n – 3)! = (n – 3) . (n – 4)! (n + 7)(n + 6)! (n + 6)! + (n – 3) (n – 4)! (n – 4) ! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 n + 7 + n – 3 = 34 2n + 4 = 34 ⇒ 2n = 30 ⇒ n = 15 3a + 5b ve 2a + b aralarında asal verildiği için

3a + 5b = 7 2a + b = 3 olur. Denklemi çözersek, 3a + 5b = 7 + –5 / 2a + b = 3 –7a = –8 a = 8 7 için b = 57 olur. O halde, a + b = 13 7 bulunur.

(3)

SAYI BASAMAKLARI

Basamak Kavramı

Matematikte kullandığımız sayı sistemine 10’luk sayma sistemi denir.

Yaptığımız tüm işlemleri bu sisteme göre hesaplarız. 10’luk sayma sisteminde üç basamaklı bir sayı KLM olsun. Bu durumda 1) K ≠ 0 2) K, L, M birer rakamdır. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3) K L M = 100K + 10L + M 1’ler basamağı 10’lar basamağı 100’ler basamağı bilgileri bize verilmiş demektir.

Örnek 8

ab, ba ve bb iki basamaklı doğal sayılardır. ab + ba + bb = 77

olduğuna göre, ab sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 9

ABD AC — BBC — BD 294 ?

Solda verilen çıkarma işlemine göre, sağdaki çıkarma işleminin sonucu kaçtır?

A) 44 B) 36 C) 34 D) 26 E) 24

(YGS 2013)

Çözüm:

Örnek 10

Üç basamaklı bir doğal sayının sağına 3 yazılarak dört basamaklı A sayısı, aynı sayının soluna 2 yazılarak dört basamaklı B sayısı elde edilmiştir.

A + B = 9967 olduğuna göre, üç basamaklı sayının rakamları toplamı kaçtır?

A) 12 B) 9 C) 15 D) 13 E) 11

(YGS 2011)

Çözüm:

ab + ba + bb = 77 olduğuna göre, (10a + b) + (10b + a) + (10b + b) = 77 11a + 22b = 77 11(a + 2b) = 77

a + 2b = 7’dir. a = 1 iken, b = 3

⇒

ab = 13’tür. a = 3 iken, b = 2

⇒

ab = 32’dir. a = 5 iken, b = 1

⇒

ab = 51’dir. 13 + 32 + 51 = 96’dır. ABD — BBC 294 ⇒ (100A + 10B + D) — (100B + 10B + C) = 294 100 A — 100B + D — C = 294 100(A — B) + D — C = 294 A — B = 3 D — C = —6’dır. D — C = —6 ise C — D = 6 olur. AC — BD 36 bulunur.

Cevap B

Sayı abc olsun.

A = abc3 A = 10abc + 3 B = 2abc + B = 2000 + abc 9967 = 2003 + 11abc 7964 = 11abc abc = 724’tür. Rakamlar toplamı = 7 + 2 + 4 = 13’tür.

(4)

Örnek 11

1’den 180’e kadar olan sayılar soldan sağa doğru yazılarak 1 2 3 ... 9 10 11 ... 98 99 100 ... 180

sayısı elde ediliyor.

Bu sayı kaç basamaklı bir sayıdır?

Çözüm:

Örnek 12

Birbirinden farklı beş doğal sayının toplamı 615 oldu-ğuna göre, bu sayılardan en büyüğü en az kaç olabilir?

Çözüm:

Örnek 13

a b c x 2 3 . . . + . . . 675

Yandaki çarpma işleminde basamak kaydır-mayı unutan bir öğrenci sonucu 675 bul-muştur.

Buna göre, abc sayısı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 14

Birler basamağında A rakamı bulunan iki basamaklı tüm doğal sayıların toplamı 504 olduğuna göre, A kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

(LYS 2012)

Çözüm:

1 2 3 ... 9 10 11 ... 98 99 100 ... 180 1

basamaklı basamaklı2 basamaklı3 9.1 90.2 81.3

9 rakam + 180 rakam + 243 rakam = 432 basamak-lıdır.

En büyük sayı en az ya da en küçük sayı en çok soru-larında sayıların birbirine yakın olmasını sağlamalıyız.

615 5 123

1. olarak sayıları aynı seçelim. 123 + 123 + 123 + 123 + 123 –2 –1 +1 +2 2. olarak sayıları düzenleleyim. 121 + 122 + 123 + 124 + 125

Bu durumda, en büyük sayı en az 125 olabilir.

a b c x 2 3 . . . + . . . 675 3.abc + 2.abc 5.abc 5.abc = 675 ise, abc = 135’tir.

1A + 2A + 3A +...+ 9A = 504 (10 + A) + (20 + A) + (30 + A) + ... + (90 + A) = 504 10 + 20 + 30 + ...+ 90 + A + A + A +... + A = 504 1445244553 9 tane 10(1 + 2 + 3 + ... + 9) + 9A = 504 10. 9.10 2 + 9A = 504 450 + 9A = 504 ⇒ A = 6’dır.

Cevap B

(5)

ÖDEV TESTİ 1:

SAYILAR - III / ASAL SAYILAR, SAYI BASAMAKLARI

1.

Üç basamaklı dört pozitif tam sayının toplamı 726 olduğuna göre, en büyük sayı en çok kaç olabilir? A) 456 B) 443 C) 430 D) 426 E) 423

2.

Birbirinden farklı ve iki basamaklı dört pozitif çift sayının toplamı 304’tür.

Bu sayıların en büyüğü 92 olduğuna göre, en küçüğü en az kaçtır?

A) 36 B) 34 C) 32 D) 30 E) 28

3.

ab ve ca iki basamaklı doğal sayılardır.

ab ab

ca _{+ –}ca 147 ca

olduğuna göre, a – b + c işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4.

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı üç farklı pozitif tam sayının toplamı 504 olduğuna göre, en büyük sayı en çok kaç olabilir?

A) 298 B) 299 C) 301 D) 305 E) 307

5.

1, 3, 5, 7, 9 rakamları kullanılarak yazılan, rakam-ları birbirinden farklı, beş basamaklı ABCDE sayı-sında, A + B = D + E’dir.

Bu koşulları sağlayan kaç tane beş basamaklı ABCDE sayısı vardır?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

6.

1’den 62’ye kadar olan tam sayılar soldan sağa doğru yan yana yazılarak

x = 12345...910111213... 6162

şeklinde 115 basamaklı bir x sayısı oluşturuluyor. Buna göre, x’in soldan 52. rakamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7.

x, y, z pozitif tam sayıları için aşağıdaki bilgiler bilinmektedir.

• x asal sayıdır. • x = (y – 2)(z + 5)’tir.

Buna göre, y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi-ne eşittir?

A) x – 1 B) x – 2 C) x D) x + 1 E) x + 2

8.

p bir asal sayı iken 2p + 1 sayısı da asal sayı ise p’ye Sophie Germen asal sayısı denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi Sophie Germen asal sayısı değildir?

(6)

9.

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesindeki her rakam sadece bir kez kullanılarak yazılan üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 1107’dir.

Buna göre, en büyük sayı en çok kaç olabilir? A) 678 B) 687 C) 768 D) 786 E) 867

10.

ab 24 cd ef 138

x

+

Yukarıdaki çarpma işlemi hatalı yapılmıştır. Buna göre, işlemin doğru sonucu kaçtır?

A) 352 B) 372 C) 402 D) 412 E) 552

11.

a pozitif tam sayı ve b asal sayıdır. 4a + b – 18

a = 2

olduğuna göre, b’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

12.

3a + 2 ile 3b – 2 aralarında asal sayılardır. 3a + 2₁₅ = 3b – 2

18

A) 4 B) 11

3 C) 3 D)

7

3 E) 2

13.

a = 2b olmak üzere, rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı abc doğal sayısı vardır?

A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33

14.

ab iki basamaklı sayısının soluna 2 rakamı yazıldı-ğında,

(ab) x 15

çarpımının sonucu nasıl değişir?

A) 30 artar. B) 300 azalır. C) 300 artar. D) 3000 azalır. E) 3000 artar.

15.

ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır.

22

9 =

ab +

ba

ab – ba

olduğuna göre, a ile b arasındaki bağıntı aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) a = b B) a = 2b C) 2a = b

D) a = 3b E) 3a = b

16.

x ile y ardışık doğal sayılardır.

x < y olduğuna göre, iki basamaklı kaç farklı xy çift doğal sayısı yazılabilir?

(7)

ÖDEV TESTİ 2:

SAYILAR - III / ASAL SAYILAR, SAYI BASAMAKLARI

1.

a, b, c, d birbirinden farklı birer rakam, ab ve cd iki basamaklı doğal sayılardır.

Buna göre, ab + cd toplamının alabileceği en büyük

değer kaçtır?

A) 189 B) 183 C) 175 D) 174 E) 170

2.

ab, bc ve ca iki basamaklı doğal sayılardır.

ab_bc

ca 66

+

olduğuna göre, üç basamaklı abc çift doğal sayısı-nın alabileceği en büyük değer için onlar basama-ğındaki rakam kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

3.

K ve L dört basamaklı doğal sayılar olmak üzere, K = x1y2

L = y1x2

olduğuna göre, K – L farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 990 B) 790 C) 0 D) –990 E) –7920

4.

a ve b çift rakamlar olmak üzere, ab ve ba iki basa-maklı doğal sayılardır.

ab – ba = 36

olduğuna göre, kaç farklı ab doğal sayısı vardır?

5.

A ve B birer rakam ve AB iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, f fonksiyonu

f(AB) = 20.A + 2B + 3 biçiminde tanımlanıyor. f(AB) = 65

olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

6.

a ve b sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere, ab + bb + aa + ba

a + b ifadesinin değeri kaçtır?

A) 11 B) 12 C) 22 D) 23 E) 24

7.

a, b, c asal rakamlar olmak üzere, rakamları farklı üç basamaklı en büyük abc doğal sayısı ile üç basa-maklı en küçük abc doğal sayısının toplamı kaçtır? A) 988 B) 975 C) 960 D) 898 E) 870

8.

0, 2, 4, 6 rakamları kullanılarak yazılan, rakamları birbirinden farklı dört basamaklı KLMN sayısında,

K – L = M – N’dir.

Bu koşulları sağlayan kaç farklı dört basamaklı KLMN sayısı yazılabilir?

(8)

9.

Her biri üç basamaklı olan A, B ve C sayılarını top-layan bir öğrenci işlemi kontrol ederken yanlışlıkla A sayısının onlar basamağındaki rakamı 1 yerine 2, B sayısının yüzler basamağındaki rakamı 3 yerine 2, C sayısının birler basamağındaki rakamı 0 yerine 5 olarak aldığını fark ediyor.

Buna göre, bu öğrenci işlemi doğru olarak yaparsa bulacağı sonuç ilk bulduğu yanlış sonuca göre nasıl değişir?

A) Değişmez. B) 70 azalır. C) 70 artar. D) 85 azalır. E) 85 artar.

10.

Üç basamaklı ABC sayısı, iki basamaklı BA sayısının 10 katıdır.

Buna göre, A + B + C toplamı aşağıdakilerden han-gisi olamaz?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

11.

Özlem öğretmen, okulundaki öğrencileri 1’den baş-layarak sırasıyla numaralandıracaktır.

Özlem öğretmen, öğrencileri numaralandırırken 20 tane 6 rakamı kullandığına göre, okulda en çok kaç öğrenci olabilir?

A) 155 B) 142 C) 116 D) 105 E) 96

12.

K, L, M, N birbirinden farklı birer tek rakam olmak üzere, KL ve MN iki basamaklı birer doğal sayıdır.

K L

MN +

biçiminde verilen toplama işleminin sonucu aşağı-dakilerden hangisi olamaz?

A) 52 B) 94 C) 132 D) 168 E) 172

13.

AB iki basamaklı, AB1AB beş basamaklı birer doğal sayıdır.

x = AB

olduğuna göre, AB1AB sayısının x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1001x + 100 B) 1001x + 1

C) 101x + 100 D) 101x + 10

E) 1001x

14.

Yirmi basamaklı 99999999999999999999 sayısı 175 sayısı ile çarpılıyor.

Buna göre, çarpımın sonucunun rakamları toplamı kaçtır?

A) 179 B) 180 C) 181 D) 182 E) 183

15.

KM ve MK iki basamaklı doğal sayılardır. K(KM) – M(MK) = 210

olduğuna göre, K kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

16.

Üç basamaklı abc doğal sayısının sağına bir rakam yazılarak elde edilen dört basamaklı doğal sayı, soluna aynı rakamın yazılmasıyla elde edilen dört basamaklı doğal sayıya eşit oluyor.

Buna göre, a + b + c toplamı aşağıdakilerden han-gisi olabilir?