BOZULABİLEN ÜRÜNLER İÇİN STOKASTİK ENVANTER
POLİTİKALARININ SİMÜLASYONLA OPTİMİZASYONU
Revan Eroll M. Caner Testik 1
Çukurova Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, Adana1
ÖZET
Bozulabilen ürünler (yiyecek maddeleri, tıbbi ilaçlar) için kullanılan envanter politikalannın, stokastik çalışma koşullannda analitik olarak incelenmesi kısıtlı sayıdaki problem türleri için mümkündür. Bu çalışmada; ürün bozulma süresi, temin süresi, talep büyüklüğü ve talepler arası sürenin rassal olduğu bir ortamda çalışan (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikasının beklenen toplam kârı simülasyon yardımıyla incelenmiştir. Araştırmanın bir sonraki aşamasında, optimum stok kontrol parametreleri, Tepki Yüzeyleri Yöntemi (Response Surface Methodology(RSM)) kullanılarak tahmin edilmiştir. Simülasyon deneylerinde Deneysel Tasarım ve Varyans Analizi teknikleri kullanılarak, bu tür envanter sistemlerinin davranıştan hakkında bazı genellemeler yapılmıştır.
Anahtar Kelimeler envanter kuramı, benzetimle optimizasyon, tepki yüzeyleri
Analytical analysis of inventory policies for perishable items (e.g., foods, medical supplies) under probabilistic condi tions is limited to few types of problems. In this study, the total expected profit of a periodic review system (T,S) in which storage time, lead time, demand size and time between demand arrivals are assumed to be random is investigated by using simulation. Subsequently, an optimum inventory policy determination algorithm based on the Response Surface Methodology(RSM) is introduced. In addition, experimental design and variance analysis methods are employed to make inferences about the behavior of such inventory systems.
Keywords: inventory theory, simulation optimization, response surface methodology
GİRİŞ
Bozulabilen ürünler için envanter sistemleri geniş uygulama alanlarından dolayı (yiyecek, kimyasal, radyoaktif maddeler, kan bankaları) birçok araştırmaya konu olmuştur. Envanter modellerinin büyük çoğunluğu ürünlerin süresiz olarak değer kaybına uğramadan saklanabileceğini varsayar. Dolayısıyla geleneksel envanter modellerinin bozulabilen ürünler için direkt kullanılması imkansızdır. Geleneksel model sonuçları, bu çalışmada yapıldığı gibi bozulabilen ürün envanter modelleri için yaklaşık başlangıç çözümü olarak kullanılabilir.
Ürün bozulma süreleri, sabit ömürlü ve rasgele ömürlü olmak üzere iki kategoriye aynlabilir. Bu tür
envanter sistemlerinde talep gelişleri, talep büyüklükleri ve temin süresi de rassal olabilmektedir. Problemdeki rassal parametrelerin çokluğu problemi karmaşıklaştırmakta ve analitik modellemeyi güç kılmaktadır. Bu durumlarda, bozulabilen ürünler için optimum envanter politikalarının belirlenmesinde simülasyona dayalı optimizasyon yaklaşımları alternatif olarak karşımıza çıkmaktadır.
Bu çalışmada, ürün bozulma süresi, temin süresi, talep büyüklüğü ve talepler arası sürenin rassal olduğu bir ortamda çalışan (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikasının beklenen toplam kârı simülasyon yardımıyla incelenmiş ve optimum stok kontrol parametreleri Tepki Yüzeyleri Yöntemi (Re sponse Surface Methodology (RSM)) kullanılarak
Bozulabilen Ürünler İçin Stokastik Envanter Politikalarının Simülasyonla Optimizasyonu
tahmin edilmiştir. Envanter politikası olarak (T,S) tabanlı bir politikanın seçilmesinin sebebi, bozulabilen ürünlerde yaygın olarak sürekli kontrolden ziyade periyodik kontrolün kullanılmasıdır. Bu tür ürünlerin envanter seviyelerindeki sürekli ve sık değişimler sürekli kontrolü ekonomik kılmamaktadır. Diğer taraftan, bu çalışmada kullanılan simülasyon ile optimizasyon yaklaşımı sürekli kontrol politikaları için de kolayca adapte edilebilir.
ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
Kısıtlı varsayımlar altında bozulabilen ürünler için analitik çözümler üreten modeller literatürde mevcuttur (bakınız Tablo 1). Jagannathan ve Sen [1991] önceden stoklamaya izin veren kan envanter problemi için çift aşamalı sistemi incelemişlerdir. Bu çalışmada temin süresi ve hazırlık maliyeti ihmal edilmiştir. Goh ve arkadaşları [1993] iki tip talebin (taze ve daha az taze ürünler için) olduğu ve iki aşamadan oluşan bir envanter sisteminin yaklaşık modelini geliştirmişlerdir. Ravichandran [1995] taleplerin Poisson sürecine göre ulaştığı ve tedarik süresinin pozitif olduğu durumun stokastik analizini yapmıştır. Bu modelde bozulma süresi sabittir. Chiu [1995], beklenen ortalama maliyeti minimize eden {Q,r) sipariş politikasını belirleyen yaklaşık modeli geliştirmiş ve simülasyon sonuçları ile karşılaştırmıştır. Fujiwara ve arkadaşları [ 1997], sonlu ömür süreli ürün
ve iki aşamadan oluşan envanter sistemi için opti mum sipariş politikalarını belirleyen modeli geliştirmişlerdir. Sıfır temin süresi modelin kullanım alanını sınırlamaktadır. Giri ve Chaudhuri [1998], EOQ modelini bozulabilen ürünler için ve talebin eldeki stoğa bağlı olduğu durumu dikkate alarak genişletmiştir. Ancak, bu çalışmada temin süresi sıfır alınmıştır.
Bu çalışmanın önceki çalışmalardan temel farkı, analitik çözümlerin mümkün olmadığı durumlarda kullanılabilecek simülasyona dayalı genelleştirilmiş bir optimizasyon algoritmasını önermesidir.
MODELİN TANIMI
Bu çalışmada, bozulabilen ürünler için (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikası incelenmiştir. I(t), t anında elde bulunan envanter seviyesini göstersin. Bu politikaya göre her T zaman aralığından sonra eldeki envanter seviyesi gözden geçirilmekte ve S-I(t) miktarı kadar sipariş verilmektedir. Envanter sisteminin çalışmasıyla ilgili şu temel varsayımlar yapılmıştır: l)Tedarik süresi rassaldır; 2) Siparişler toplu olarak ulaşmaktadır; 3) Model tek ürün için geçerlidir; 4) Talep gelişleri Pois son sürecine uymakta ve talep büyüklüğü rassaldır; 5) Karşılanmayan talep kaybedilmektedir; 6)Ürünlerin bozulma süresi deterministiktir.
Modelde kullanılan diğer parametreler toplu halde aşağıda sıralanmıştır:
Tablo 1: Literatürdeki analitik yöntemlerin karşılaştırılması Yazar Adı, Yılı
Jagannathan, R. & Sen, T. (1991) Goh, C. et al. (1993) Ravichandran, N. (1995) Chiu, H . N . (1995) Fujiwara, 0. et al. (1997) GiriB. C. & Chaudhuri, K. S. (1998) Temin Süresi sıfır Poisson rassal deterministik sıfır sıfır Talep Fonksiyonu deterministik veya rassal Poisson Poisson rassal rassal stoğa bağlı B o z u l m a Süresi deterministik deterministik deterministik deterministik deterministik deterministik
Tek veya Çift A ş a m a l ı çift çift tek tek çift tek Açıklamalar Kan envanteri Kan envanteri {S,s) sürekli {Q,r) politikası Optimal sipariş politikası EOQ-türü model
T = Deterministik ömür süresi [gün] tu = Planlanan kullanma süresi [gün]
L(t) = Tedarik süresinin olasılık yoğunluk fonksiyonu
= Ortalama talep geliş hızı [müşteri/gün] td = Talepler arası süre [gün]
D(n) — Talep büyüklüğünün (n) olasılık yoğunluk fonksiyonu
Cs = Birim hazırlık maliyeti [$/sipariş]
C, = Birim elde bulundurmama maliyeti [$/adet] Ch = Birim elde bulundurma maliyeti [$/yıl/adet]
Cd = Birim bozulma maliyeti [$/adet]
C = Birim değişken satın alma maliyeti[$/adet] p = Birim satış fiyaü[$/adet]
Modelde tu ile gösterilen "planlanan kullanma
süresi" terimi müşterinin ürünü satın aldıktan sonra ürünü muhafaza etmeyi (kullanmayı) düşündüğü süredir. Bu süre kişisel kullanım alışkanlıklanna bağlı olacağından bu çalışmada rastgele kabul edilmiş ve kesikli bir dağılımla ifade edilmiştir.
Modelde en büyüklenmeye çalışılan amaç fonksiyonu ortalama günlük kâr (AP), elde edilecek satış gelirinden ( pNp ) hazırlık {CSNS ), saunalma
(CpNp), bozulma( CdNd), elde bulundurma
{ChI+ ) ve elde bulundurmama maliyetleri {CtI_ )
düşülerek aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır. (D Denklem (l)'de Np ortalama sipariş miktarı, Ns
ortalama sipariş sayısı, Nd ortalama bozulan ürün
miktan, J ortalama eldeki envanter seviyesi, /_ ortalama karşılanamayan (kaybedilen) talep miktarı olup, geliştirilen simülasyon modeli tarafından tahmin edilmektedir.
SİMÜLASYON İLE OPTİMİZASYON ALGORİTMASI
Öngörülen envanter modelinin kesin analitik çözümünün çok güç ve takip edilemez olması nedeniyle, simülasyon ile optimizasyon alternatif bir yaklaşım olarak karşımıza çıkmaktadır. Geliştirilen simülasyon modelinin akış şeması Şekil l'de özetlenmiştir.
Simülasyon ile optimizasyon son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki hızlı gelişmeler sayesinde uygulanabilir hale gelmiştir. Bu çalışmada önerilen
optimizasyon algoritmasının adımlan Şekil 2'deki akış şemasında özetlenmiştir. Algoritmanın ilk adımı, S ve T kontrol değişkenleri için bir başlangıç çözümünün belirlenmesidir. Başlangıç çözümünün optimuma yakın bir bölgede seçilmesi çözüm zamanını kısaltacaktır. Bu amaçla, ürün bozulması dikkate alınmadığı takdirde, Ekonomik Sipariş Aralığı (EOI) yöntemi kullanılabilir. Sipariş aralığı için başlangıç değeri
(2)
denkleminden elde edilir. Sipariş aralığı ve temin süresi boyunca talep miktarının dağılımı, bağımsız Poisson dağılımlarının toplamının yine Poisson kalması özelliğinden dolayı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
Başlangıç sipariş seviyesi ( S0 ) verildiğinde TQ+L
zaman aralığındaki talebin karşılanmama olasılığı
(3)
olacaktır. Dolayısıyla S0, servis seviyesi kısıtını
sağlayan en küçük değer olarak seçilmelidir.
Başlangıç çözümünden başlayarak optimum çözüme ulaşmak için Tepki Yüzeyleri yöntemi kullanılacaktır. Gösterimi basitleştirme açısından bu noktadan itibaren xt ve x2 değişkenleri, sırasıyla kodlanmış S ve T değerlerini göstersin. Elde edilen başlangıç çözümü, aşağıda verilen birinci mertebe modeli kurmak için gerekli ortogonal 22 faktoriyel tasarımın merkezi olacaktır.
(4)
Simülasyon deneylerinden elde edilen gözjemlerin en küçük kareler yönteminde kullanılması ile elde edilen ßl ve ß2 parametre tahminleri amaç fonksiyonunu artıracak en dik yolun (steepest-ascent) belirlenmesinde kullanılabilir (Şekil 3).
En dik yolun belirlenmesi:
Adım 1: x; , için adım büyüklüğü seçilir. xj seçilirken mutlak değerce katsayısı en büyük olan değişkeninin seçilmesinde fayda vardır.
Adım 2: Diğer değişkene ait adım büyüklüğü için formülü kullanılır.
Birinci mertebe modelin yetersiz olması, ikinci mertebe veya ikili etkileşim etkilerinin anlamlı olduğu bir bölgeye ulaşıldığının bir işareti olacaktır. Aşağıda verilen ikinci mertebe modelin kurulması için en uygun deneysel tasarım, Şekil 4'de gösterilen Merkezi
Kompozit tasanmdır (Central Composite Design). durumunda, deneysel tasarım bölgesinin içinde veya İkinci mertebe modelin anlamlı çıkması
Bozulabilen Ürünler î ç i n Stokastik Knvanter Politikalarının Simülasyonla Optimizasyonu
Optimum Bölge Uygulanabilir Bölge
ikinci mertebe modelin Denklem (7)'deki kanonik gösterime dönüştürülmesi gerekir;
Şekil 3. En Dik Yol Yönteminin Şematik Gösterimi
Şekil 4. İkinci Mertebe Model İçin Merkezi
dışında bulunan durağan noktanın belirlenmesi gerekir. Bu amaçla, aşağıda matris gösterimi verilen doğrusal denklem sisteminin çözümü gerekir:
Burada,
(6)
matrisleridir. Elde edilen durağan noktanın maksimum, minimum veya eyer noktası olup olmadığının belirlenmesi için
Burada, ws 1er dönüştürülmüş bağımsız
değişkenleri ' 1er ise B matrisinin eigen değerlerini göstermektedir. Bütün 'lerin negatif olması durağan noktanın maksimum olduğunu, pozitif olması ise minimum olduğunu gösterir. Aksi takdirde, durağan nokta bir eyer noktası olacaktır.
SAYISAL SONUÇLAR
Algoritmanın çalışmasını göstermek için şu verilere sahip örneği ele alalım: T — 14 gün, t ~ Discrete(0.1,2, 0.1,3, 0.2,5, 0.2,7 ,0.4,10), X =16 müşteri/gün, L~Discrete(0.2,l, 0.6,2, 0.2,3), talep büyüklüğü=1 adet/müşteri, Cs = 100$/sipariş, C,=5.27$/adet, Cft=0.5$/adet/gün, Cd=50 $/adet,
C =50 $/adet, p=55.27$/adet ve servis seviyesi = %90.
Denklemler (2) ve (3) kullanılarak başlangıç çözümü S0 =125 ve T0 =5 olarak elde edilir.
Birinci mertebe model için tasarımın merkezi (125,5) etrafındaki alt ve üst limitler sırasıyla S için 122, 128 ve T için 4.7, 5.3 alındığında Tablo 2'deki tam faktoriyal tasarım elde edilir. SIMAN dilinde hazırlanan simülasyon modeli tasarımın her noktasında 10 adet bağımsız replikasyon için çalıştırılmıştır.
Tablo 2. Birinci Mertebe Model İçin Simülasyon
Deney Sonuçlan Doğal değişkenler S 122 122 128 128 125 T 4.7 5.3 4.7 5.3 5 Kodlanmış değişkenler
x
3 -1 -1 1 1 0 xz -1 1 -1 1 0 Tepki değişkeni AP 664,5 558,8 357,3 203,9 456,6Oluşturulan ANOVA tablosu incelendiğinde (Tablo 3) doğrusal etkilerin anlamlı olduğu (p-değeri=0.0001) ve Kuadratik etkilerin anlamlı olmadığı (p-değeri=0.3470) görülmektedir. Uyum eksikliği testi (p-değeri=0.347) ve düzeltilmiş r2
Tablo 3. ANOVA Tablosu Kaynak Ortalama Doğrusal Kuadratik Kübik Rezidü Toplam SS 5015996.3 633111.8 3263.0 0 29229.9 5681600.9 df 1 2 2 0 20 25 MS 5015996.3 316555.9 1631.5 1461.5 F-değeri 214.3 1.116 p-değeri 0.0001 0.3470 Tablo 4 Adım 0 1 2 5 7 9 10 12 13 14 15 16
r. En Dik Yol Üzerinde Iterasyon Sonuçları S 125,00 123,00 121,00 115,00 111,00 107,00 105,00 101,00 99,00 07;OD 95,00 93,00 T 5,00 4,93 4,85 4,63 4,48 4,33 4,25 4,10 4,03 3,95 3,88 3,80 Kar 456,554 575,982 655,318 862,388 937,142 981,152 997,538 1017,25 1034,792 1038,262 1029,874 1023,808 Elde Bulundurmama Mal. 203,674 199,986 192,95 174,692 167,594 159,868 158,776 157,452 159,03 170,864 175,358 186,732 Bozulma Mal. 182,582 147,334 107,916 35 17,25 7,334 1,82 1,082 0,75 1,5 0 0 Elde Bulundurma Mal. 892,174 868,204 843,284 769,224 723,08 679,298 652,348 608,408 586,262 561,804 542,318 527,846 Hazırlık Mal. 600 608,33 618,33 648,33 670 693,33 705,83 731,67 745 759,17 774,17 789,17
Bozulabilen Ürünler İçin Stokastik Envanter Politikalarının Simülasyonla Optimizasyonu
Ortalama Kar Tepki Yüzeyi
Şekil 6. Durağan Nokta Komşuluğunda Ortalama Kar Tepki Yüzeyinin Grafiği
Ortalama Kar Contour Grafiği
Şekil 7. Durağan Nokta Komşuluğunda Ortalama Kar Tepki Yüzeyinin İzdüşüm Grafiği
değeri (0.946), birinci mertebe modelin yeterli olduğunu göstermektedir.
En küçük kareler yöntemiyle elde edilen model y = 447.9 -165.7Xt - 64.9JC2 şeklindedir. Bu
modelden yola çıkarak, en dik yol üzerindeki adım büyüklükleri kodlanmış değerler cinsinden
Axt = —2/3, Ax2 = —0.25 ve doğal değişkenler cinsinden AS = - 2 , AT = -0.075 olacaktır. Tablo 4 ve Şekil 5'de görülebileceği gibi, 15. adımdan itibaren amaç fonksiyonundaki artış durmaktadır. Bu durumda, artışın durduğu noktanın komşuluğunda birinci mertebe model için yeni
simülasyon deneylerinin yapılması gerekir. Deneyler yapıldığında bu bölgede ikinci mertebe etkilerin de anlamlı olduğu (p-değeri=0.0001) ve uyum eksikliği testinden birinci mertebe modelin tek başına yeterli olmadığı (p-değeri = 0.0001) görülmüştür.
İkinci mertebe modelin kurulabilmesi için mevcut deneysel tasarımın, merkezi kompozit tasarıma genişletilmesi gerekir. Şekil 4'de gösterilen tasarıma ait simülasyon deneyleri sonucunda elde edilen Denklem (5)'deki ikinci mertebe modelin katsayıları aşağıdaki matrislerde özetlenmiştir:
çözüldüğünde durağan nokta X5 =
elde edilir. Durağan nokta deneysel tasarım bölgesinin içerisindedir, ikinci mertebe model kanonik gösterime dönüştürüldüğünde
= -28.99 ve =-3.45 bulunur. İki değerinin de negatif olması durağan noktanın bir maksimum olduğunu gösterir. Sonuç olarak, opti mum politika ( S * = 98, T* - 4.41 ) ve karşı gelen maksimum kâr ise 1058$/gün. Ortalama kârın tepki yüzeyi ve izdüşüm grafiği sırasıyla Şekil 6 ve 7'de verilmiştir.
Şekil 7'de de görüldüğü gibi (T, S) tipi geleneksel envanter modellerinde kâr ya da maliyet fonksiyonlarının yaklaşık olarak T değişkeninden bağımsız olması, T değişkeninin (2) nolu denklem kullanılarak sabitlenmesi ve simülasyon optimizasyonu için sadece S değişkenin kullanılması yaklaşımını alternatif olarak karşımıza çıkarabilir.
SONUÇ
Bu çalışmada, analitik yöntemlerin yetersiz kaldığı bozulabilen ürünler için stokastik (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikası için simülasyonla optimizasyon yöntemi önerilmiştir. Beklenen kâr fonksiyonu simülasyon yardımıyla tahmin edilmiş ve tepki yüzeyleri yöntemiyle de op timum T ve S parametreleri belirlenmiştir. Önerilen
yöntem, rassallığm mevcut olduğu diğer envanter modellerine de kolaylıkla adapte edilip optimum envanter politikalarının belirlenmesinde kullanılabilir.
KAYNAKÇA
1. Chiu, H. N., 1995, "An Approximation to the Continuous Review Inventory Model with Perishable Items and Lead Times", European Journal of Operational Research, No. 87, 93-108.
2. Fujiwara, O., Soewandi, H., Sedarage, D., 1997, "An Opti mal Ordering and Issuing Policy for a Two-Stage Inventory System for Perishable Products", European Journal of Op erational Research, No. 99, 412-424.
3. Giri, B. C. & Chaudhuri, K. S„ 1998, "Deterministic Models of Perishable Inventory with Stock-Dependent Demand Rate and Nonlinear Holding Cost", European Journal of Opera tional Research, No. 105,467-474.
4. Goh, C, Greenberg, B. S., Matsuo, H., 1993, "Two-Stage Perishable Inventory Models", ManagementScience.Vol. 39, No.5, 633-649.
5. Jagannathan, R., Sen, T., 1991, "Storing Crossmatched Blood: A Perishable Inventory Model with Prior Allocation", Management Science,Vol. 37, No. 3, 251-266.
6. Montgomery, D. C, 1997, Design and Analysis of Experiments(4th edition), John Wiley&Sons Inc. New York,
NY.
7. Ravichandran, N , 1995, "Stochastic Analysis of a Continu ous Review Perishable Inventory System with Positive Lead Time and Poisson Demand", European Journal of Opera tional Research, No.84,444-457.
