Bazı kısmi diferensiyel denklemlerin bernoulli alt-denklem fonksiyon metodu ile çözümlerinin irdelenmesi / Analysis of solutions of some partial differential equation with the method of bernoulli sub-equation function

(1)

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

BAZI KISMĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN BERNOULLĠ ALT-DENKLEM FONKSĠYON METODU ĠLE ÇÖZÜMLERĠNĠN ĠRDELENMESĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ DĠLARA GĠZEM EMĠR

Anabilim Dalı: Matematik DanıĢman: Doç. Dr. Hasan BULUT

(2)

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Dilara Gizem EMĠR

Anabilim Dalı : Matematik Programı : Uygulamalı Matematik

DanıĢmanı : Doç. Dr. Hasan BULUT

(3)

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Dilara Gizem EMĠR

(131121106)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 5 ġubat 2016 Tezin Savunulduğu Tarih : 24 ġubat 2016

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Hasan BULUT (Fırat.Ünv) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Alaattin ESEN (Ġnönü.Ünv)

(4)

ÖNSÖZ

Çalışmalarım sırasında yardımlarını esirgemeyen saygı değer hocam Doç. Dr. Hasan BULUT ve Yrd.Doç.Dr. Hacı Mehmet BAŞKONUŞ’a sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Dilara Gizem EMİR

(5)

ÖZET

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde; daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verildi.

İkinci bölümde; Bernoulli Alt-Denklem Fonksiyon metodunun genel yapısı verildi.

Üçüncü bölümde; Vakhnenko-Parkes ve PHI-four denklemlerinin Bernoulli alt-denklem metodu ile çözümleri yapıldı. Mathematica 9 programı kullanılarak çözümlerin iki ve üç boyutlu grafiği çizildi.

Dördüncü bölümde ise, elde edilen analitik çözümler göz önüne alınarak kapsamlı bir sonuç verildi.

(6)

SUMMARY

ANALYSIS OF SOLUTIONS OF SOME PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE METHOD OF BERNOULLI SUB-EQUATION FUNCTION This study consists of the four chapters.

In the first chapter, it has been given information on some fundamental definitions and theorems which have been used in following chapters.

In chapter two, it has been given information on general structure of Bernoulli Sub-Equation Function.

In chapter three, Vakhnenko-Parkes ve PHI-four equations have been solved with Bernoulli Sub-Equation Method. 2D and 3D graphics of the solutions have been drawn used Mathematica 9 program.

In chapter four, it has been given a comprehensive conclusion by taking into account analytical solutions obtained in this study.

(7)

ġEKĠLLER LĠSTESĠ

ġekil 1. Üstel fonksiyon çözüm olan (4.13) denkleminin b2, d  3, c5, 20  x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t 0.5 için

iki boyutlu görünümü………8 ġekil 2. Üstel fonksiyon çözüm olan (4.13) denkleminin b d 2, c 5,

  10 x 10,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t  0.2 için

iki boyutlu görünümü………8 ġekil 3. Hiperbolik fonksiyon çözüm olan (4.17) denkleminin d  3, c 522,a₂ 4,   50 x 50, 0.5 t 0.5için üç boyutlu görünümü ve t 0.2 için iki

boyutlu görünümü………..9 ġekil 4. Trigonometrik kompleks fonksiyon çözüm olan (4.19) denkleminin reel kısmının

c 5, a₂2, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki boyutlu görünümü………10

ġekil 5. Trigonometrik kompleks fonksiyon çözüm olan (4.19) denkleminin imaginer kısmının c 5, a₂2, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t  0.1 için iki boyutlu görünümü………...10

ġekil 6. Kompleks üstel fonksiyon çözüm olan (4.21) denkleminin imaginer kısmının b2,c5, a₄ 3, 20 x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t  2 için iki boyutlu görünümü………11

ġekil 7. Kompleks üstel fonksiyon çözüm olan (4.21) denkleminin real kısmının b2,c5, a4 3, 20    x 5, 3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t 2

için iki boyutlu görünümü………11 ġekil 8. Kompleks trigonometrik fonksiyon çözüm olan (4.23) denkleminin imaginer kısmının c5, a₄ 3, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t  0.1 için iki boyutlu görünümü………...12 ġekil 9. Kompleks trigonometrik fonksiyon çözüm olan (4.23) denkleminin reel kısmının c5, a₄ 3, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 İçin iki boyutlu görünümü………12

(8)

ġekil 10. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.25) denkleminin imaginer kısmının b2,c5, a₄ 3, 20 x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t  2 için iki boyutlu görünümü………...13 ġekil 11. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.25) denkleminin reel kısmının

b2,c5, a₄3,   20 x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t  2 için iki boyutlu görünümü………...13 ġekil 12. Kompleks trigonometrik fonksiyon çözüm olan (4.27) denkleminin imaginer kısmının c5, a₄ 3, 20 x 20,   2 t 2 için üç boyutlu görünümü ve t  1 için iki boyutlu görünümü………14 ġekil 13. Kompleks trigonometrik fonksiyon çözüm olan (4.27) denkleminin reel kısmının c5, a₄3,   20 x 20,   2 t 2 için üç boyutlu görünümü ve t  1 için iki boyutlu görünümü………...14 ġekil 14. Üstel rasyonel fonksiyon çözüm olan (4.32) denkleminin c d 1,a₃  6, 50  x 50, 20 t 20, için üç boyutlu görünümü ve t 1 için iki boyutlu Görünümü………16 ġekil 15. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.44) denkleminin reel kısmının b 2,d  3,  2, EE0 6,.   10 x 10,   2 t 2 için üç boyutlu görünümü ve t0.1

için iki boyutlu görünümü………..18 ġekil 16. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.44) denkleminin imajiner kısmının b 2,

d 3,  2, EE0.6,  10 x 10,   2 t 2 için üç boyutlu görünümü ve t0.1 için iki boyutlu görünümü……….18

ġekil 17. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.46) denkleminin reel kısmının b 2,

ġekil 18. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.46) denkleminin imajiner kısmının b 2,

ġekil 19. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.48) denkleminin reel kısmının b 2,

(9)

ġekil 20. Kompleks üstel fonksiyon olan (4.48) denkleminin imajiner kısmının b 2,

ġekil 21. Üstel fonksiyon çözüm olan (4.53) denkleminin c 0.1,d3, 5,EE4;   30 x 30, 22 t 22 için üç boyutlu görünümü ve t0.1 için iki

boyutlu görünümü……….22 ġekil 22. Üstel fonksiyon çözüm olan (4.55) denkleminin c 0.1,d 3,5,EE4;

  30 x 30, 22 t 22 için üç boyutlu görünümü ve t0.1 için iki

  30 x 30, 22 t 22 için üç boyutlu görünümü ve t0.1 iki boyutlu Görünümü………..24 ġekil 24. Üstel fonksiyon çözüm olan (4.62) denkleminin c 0.1,d4,1,EE5;   40 x 40,   15 t 15 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki

  40 x 40,   15 t 15 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki boyutlu görünümü……….26 ġekil 26. Üstel fonksiyon çözüm olan (4.66) denkleminin c 0.1,d 4,1,EE5;   40 x 40,   15 t 15 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki

boyutlu görünümü……….27

(10)

ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖNSÖZ . . . .. II ÖZET. . . III SUMMARY. . . .. IV ġEKĠLLER LĠSTESĠ. . . V ĠÇĠNDEKĠLER. . . VIII 1. GĠRĠġ. . .. . . ... . . 1

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER. . . . . . …... . . .. ….3

3. MATERYAL VE METOTLAR. . . .... . . ... . . ... ….7

3.1 Bernoulli Alt-Denklem Fonksiyon Metodu(BSEFM)… ………... 7

4. METOTLARIN UYGULANMASI. . . . . . ... . . ... 9

4.1 Doğrusal olmayan Vakhnenko-Parkes denklemine BSEFM’nin uygulanması...9

4.1.1 Durum-I………..10

4.1.2 Durum -II………...17

4.2 PHI-four denklemine BSEFM’NİN uygulanması… ……… … …………18

4.2.1 Durum -I………19 4.2.2 Durum -II………...23 5. SONUÇ. . . ... . . ….. 30 KAYNAKLAR. . . . . . …. 31 ÖZGEÇMĠġ. . . ….. 35

(11)

1. GĠRĠġ

Özellikle son 20 yılda bilim dünyası, doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin tam çözümlerini elde etmek için kullanılan metotlardan, Sumudu dönüşüm metodu, tanh fonksiyon metodu, Böcklund dönüşüm metodu, inverse scattering metodu, üstel fonksiyon metodu, modifiye edilmiş basit denklem metodu, çeşitli deneme denklem metotları, sine– cosine metodu, tanh–sech metodu, homojen balans metodu, G G -açılım metodu, Darboux dönüşüm metodu, değişkenlerine ayırma metodu, varyasyonel iterasyon metodu gibi çeşitli metotların önemli gelişmelerine tanıklık etmiştir [1-28]. Özellikle, fiziksel problemlerin matematiksel yapılarını oluşturmak son yıllarda bilim dünyasının derin ilgisini çekmiştir.

Örneğin; sağlık alanında, ciddi sağlık problemi oluşturan tüberkülozun matematiksel modellemeleri bazı bilim insanları tarafından literatüre sunulmuştur [29]. V.K. Srivastava ve ekibi, HIV virüsünün matematiksel modelini oluşturarak nümerik çözümü üzerine kayda değer bir çalışma yapmışlardır [30]. Bugün, dünya nüfusunun üçte birine tüberküloz teşhisi konulduğu farklı çalışmalarla belirlenmiştir [31]. Tüberküloz teşhisi konmuş bir hastanın, bu hastalıktan tedavisiz kurtulma oranı çok düşük olmasına rağmen teşhis yöntemlerinin geliştirilmesi, tedavi prosedürlerinin yenilenmesi ve yeni ilaçların elde edilmesi gibi birçok gelişme bu tür ciddi hastalıkların tedavisinde etken olmuştur. Bunun sonucu olarak 1940’dan sonra özellikle tüberküloz için geliştirilen yeni tedavi yöntemleriyle, tüberküloz teşhisi konulmuş hastalarda % 90’a varan iyileşme Dünya Sağlık Örgütünün 2010 raporunda literatüre sunulmuştur [32].

Ayrıca biyolojik sistemlerde, sıvı taşımanın matematiksel modeli Osvaldo Chara ve Lutz Brusch tarafından literatüre sunulmuştur [33]. Çevresel radyoaktivitede, yer altı uranyum madenlerinde radyasyon seviyelerini minimize etmek için hava kalitesinin tahmini için geliştirilmiş bir matematiksel modeli Durga Charan Panigrahi ve ekibi oluşturmuştur [34].

Oluşturulan matematiksel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin, analitik çözümlerinin ve sayısal çözümlerinin elde edilmesi bilim insanlarına yeni özellikler sunmuştur. Bu çözümlerin elde edilmesi için farklı metotların geliştirilmesi ve uygulanılması bilim insanları arasında büyük önem kazanmıştır. Geliştirilen metotların farklı olması, matematiksel modelin temsil ettiği problem hakkında daha farklı yeni analitik çözümleri

(12)

ortaya çıkarmıştır. Analitik çözümlerin özelliklerine göre problemin temsil ettiği daha farklı özellikler ortaya çıkarılmıştır.

Bu çalışmada ise, Bernoulli Alt-Denklem fonksiyon metodu (BSEFM) [11], 2

0,

xxt x xt t

uu u u u u  (1.1) olarak tanımlanan doğrusal olmayan Vakhnenko-Parkes (VP) denklemine uygulanarak üstel, rasyonel, trigonometrik ve komplex fonksiyon çözümleri gibi yeni analitik çözümler elde etmek için kullanılmıştır. Bu denklem belirli koşullar altında dalgaların yayılımının matematiksel denklemini temsil etmektedir. Cheng Yan-jun, Vakhnenko-Parkes denkleminin salınımlı dalga çözümlerinin sınıflandırılması üzerine kapsamlı bir çalışma yapmıştır [35]. Shoufeng Shen ve ekibi, Vakhnenko-Parkes denkleminin fiziksel anlamı ile tutarlı yeni yapıları literatüre sunmuştur [36]. Belirli özelliklere sahip ortamlarda, dalgaların salınımlı çözümlerini elde etmek için üstel fonksiyon metodu Harun-Or Roshid ve ekibi tarafından başarılı bir şekilde Vakhnenko-Parkes denklemine uygulanmıştır [37]. Kangalgil F. ve diğerleri Vakhnenko-Parkes denkleminin bazı yeni analitik çözümlerini farklı analitik metotlar kullanarak elde etmişlerdir [38,39,40]. Elde edilen analitik çözümlerden, özellikle, soliton çözümler, sürekli hareket halinde olan bir okyanusun derinliklerinde ve yüzeyde oluşan zayıf dalgaların fiziksel özellikleri hakkında bilgiler verir[39].

Bu çalışmada ele alınan bir diğer önemli matematiksel model ise 3

0,

tt xx

u u  u u  (1.2) olarak tanımlanan PHI-four denklemidir. PHI-four denkleminin analitik çözümleri Jesmin Akter ve M. Ali Akbar tarafından modifiye basit denklem metodu kullanılarak elde edilmiştir [41]. Ryan Sassaman ve Anjan Biswas, PHI-four denkleminin hız solitonlarının adiabatic formları üzerine çalışma yapmışlardır [42]. Abdul-Majid Wazwaz, periyodik çözümlere sahip PHI-four denkleminin genelleştirilmiş formları üzerine çalışmalar yapmıştır [43,44].

(13)

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım 2.1.

Bilinmeyen fonksiyon ve onun türevlerini içinde bulunduran denkleme diferansiyel denklem denir. Başka bir ifadeyle bir veya daha fazla bağımlı değişkenlerin bir fonksiyonu ile bu fonksiyonun bağımsız değişkenlere göre türevleri arasında verilmiş bağıntıya diferansiyel denklem denir [45].

Tanım 2.2.

Bir bağımlı ve bir bağımsız değişkenden oluşan, bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre çeşitli mertebeden adi türevlerini bulunduran denkleme adi diferansiyel denklem denir. Genel olarak,

2 2 , , , , , 0, n n dy d y d y f x y dx dx dx         (2.1) şeklinde yazılır [45]. Tanım 2.3.

İçinde en az iki bağımsız ve en az bir bağımlı değişken ile bağımlı değişkenin bağımsız değişkenlere göre çeşitli basamaklardan kısmi türevlerini içeren denkleme kısmi türevli diferansiyel denklem denir. Genel olarak,



, , , _x, _y, _xx, _xy, _yy,



0,

f x y z z z z z z   (2.2) şeklinde yazılır [46].

Tanım 2.4.

Bir kısmi türevli denklemde görülen en yüksek basamaktan kısmi türevin basamağına denklemin mertebesi denir [46].

Tanım 2.5.

Bir kısmi türevli denklemde görülen en yüksek basamaktan kısmi türevin kuvvetine denklemin derecesi denir [46].

(14)

Tanım 2.6.

Bir kısmi türevli denklemdeki bağımlı değişken ve bunların denklemdeki bütün kısmi türevleri birinci dereceden ve denklem, bağımlı değişken ile onun türevleri parantezinde yazıldığında katsayılar sabit ya da yalnızca bağımsız değişkenlerin fonksiyonu oluyorsa bu denkleme lineerdir denir. Aksi halde lineer olmayan denklem adını alır [46].

Tanım 2.7.

Bir kısmi türevli denklem, denklemde bulunan en yüksek basamaktan kısmi türevlere göre lineer ise bu denkleme yarı lineer denir [46].

Tanım 2.8.

Bir kısmi türevli denklem yarı lineer ve denklemde görülen en yüksek basamaktan türevlerin katsayıları yalnızca bağımsız değişkenlerin fonksiyonu ise bu denkleme hemen hemen lineerdir denir [46].

Tanım 2.9.

Eğer bir f x fonksiyonu

 

xx₀ noktası civarında

 

0 0



0 , ! n n n f x x x n   



(2.3) şeklinde Taylor serisine açılabiliyorsa ve x noktasını içeren bir açık aralıkta ₀ x ’in bütün değerleri için Taylor açılımı f x fonksiyonuna yaklaşıyorsa

 

f x fonksiyonu

 

xx₀ noktasında analitik fonksiyondur denir [45].

Tanım 2.10.

Bir x bağımsız değişkeni ile, bunun iki veya daha fazla fonksiyonu ve bu fonksiyonların x ’e göre türevlerinden meydana gelen sisteme diferansiyel denklem sistemi denir [47-48].

Teorem 1. n ve b

a, sabitler olmak üzere f

 

x,y fonksiyonu axb ve  y ile tanımlanmış D bölgesinin bütün noktalarında tanımlı ve sürekli olan bir

(15)

   

, , ,

dy

y f x y y a n

dx

   

diferansiyel denklemi verilmiş olsun. Eğer D bölgesindeki noktalar için;

f x y

 

,  f x y



, 



L yy , (2.4) eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir L sabiti var ise o zaman başlangıç değer probleminin yalnız bir çözümü vardır. Bu çözümde y

 

x çözümüdür ve y

 

x fonksiyonu da D bölgesinde her

 

x y ikilileri için sürekli ve türevi alınabilen bir fonksiyondur. Birinci , mertebeden;

 

, ,

 

0 0,

y  f x y y x y (2.5) başlangıç değer problemi için verilecek olan tüm çözüm yöntemleri;



,



, 1, 2,3, , ,

i i i

dy

f x y i m

dx   

şeklinde ifade edilen sistemler için de yazılabilir.

(2.5) denklemin çözümü y Q

 

x olsun. x x₁, ₂,,x_n noktalarında Q

 

x çözümüne yakın değerler elde edelim. y0 Q x

 

0 ve

 

'

0 0

y Q x olduğu açıktır. Genel olarak

 

n

n Q x

y  ve y_n Q

 

x_n , n1 dir. x -ekseni üzerinde uygun h aralıkları seçilerek

0 , 2 0 2 , , n 0 .

xx h x x  h  x x nh

Noktalarında çözüme ait y y₁, ₂,,y_n fonksiyon değerini hesaplayabiliriz.

Tanım 2.11.

Başlangıç değer problemi, belli bir noktadan başlayıp aranan fonksiyonun çözüm alanında adım adım bulunabildiği problemlerdir. Başlangıç değer problemini ifade eden .n mertebeden bir denklemin çözümü için gerekli bütün şartlar bağımsız değişkenin tek bir değerinde verilir[49].

Tanım 2.12.

Çözümü kapalı bir alanda aranan ve genel çözümde bulunan sabitlerin değerlerinin belirlenmesi için bağımsız değişkenin en az iki değerinin verildiği problemlere sınır değer problemleri denir. [49].

Tanım 2.13.

Dalga, bir fizik terimi olarak, uzay veya uzay zamanda yayılan ve sıklıkla enerjinin taşınmasına yol açan titreşime verilen isimdir. Bununla birlikte günlük dilde farklı

(16)

anlamlarda kullanılmaktadır. Ayrıca denizlerde oluşan bir su vuruntusudur. Dalgalar bir yerden başka bir yere uzanırlar. Titreşimleri, periyodik (bir kemandaki nota sesi gibi) olabileceği gibi , periyodik olmayadabilir.

Tanım 2.14.

Soliton sabit bir hızda yayılım gösterirken kendi şeklini koruyan ve kendi kendini güçlendiren tekil dalgalardır (dalga paketi ya da nabız dalgası). Solitonlar, boşluktaki dağıtıcı ve doğrusal olmayan etkilerin birbirini iptal etmesiyle oluşmuştur. Solitonlar, fiziksel sistemleri tanımlamak için kullanılan doğrusal olmayan dağıtıcı kısmi ayrımsal eşitliklerin yayılma sınıfının çözümleri olarak bulunmuştur.

(17)

3. MATERYAL VE METOTLAR

3.1. BERNOULLĠ ALT-DENKLEM FONKSĠYON METODU

Kısmi diferansiyel denklemler için farklı analitik çözümler veren BSEFM’u bu alt bölümde ele alındı. Metodun genel yapısı dört adımda göz önüne alınabilir [9].

Adım-1 İki bağımsız değişkeni ve bir bağımlı değişkeni olan ve doğrusal olmayan aşağıdaki kısmi diferansiyel denklemi göz önüne alalım;



_x, _t, _xt, _xx,



0,

P u u u u   (3.1) ve



,



 

, ,

u x t U   x ct (3.2)

olarak tanımlanan dalga dönüşümünü ele alalım, buradac0dır. Denklem (3.2), denklem (3.1) de yerine yazılırsa



, , , ,



0,

N U U U U    (3.3) şeklinde doğrusal olmayan adi diferansiyel denklem elde edilir.

Adım-2 (3.3) diferansiyel denkleminin çözümünü aşağıdaki şekilde göz önüne alalım: 2 0 1 2 0 , n i n i n i U a F a a F a F a F  



    (3.4) ve





, 0, 0, 0,1, 2 , M F bFdF b d  M  (3.5) burada F

 

 Bernoulli diferansiyel polinomudur. (3.4) ve (3.5) denklemleri (3.3) de yerine yazılması

 





 

1

 

0 0. s s F   F   F        (3.6)

şeklinde F

 

 ’u içeren 



F

 





polinomunun bir denklemini verir. Burada, balans prensibine uygularsak

n

ve M arasında bir bağıntı elde ederiz.

Adım-3 



F

 





polinomunun tüm katsayılarının sıfıra eşitlersek, aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

0, 0, , .

i i s

(18)

Bu sistemi çözerek a₀,,a_nkatsayılarının değerleri elde edilir.

Adım-4 (3.5) Bernoulli diferansiyel denklemini bilinen yöntemlerle çözdüğümüzdebve d’nin durumuna göre aşağıdaki iki farklı durumu elde ederiz:

 

_ _ 1 1 1 , , M b M d c F b d b e   _  _ _     (3.8)

 



 











1 1 1 1 1 tanh 2 , , . 1 1 tanh 2 M b M c c F b d c b M                   _ _                  (3.9)

(3.8) ve (3.9) çözümlerinin durumlarına göre (3.4) denkleminin bazı yeni analitik çözümlerini yazabiliriz. Bu çalışmada sunulan metotla elde edilen analitik çözümlerin fiziksel olarak daha iyi yorumlanabilmesi için, uygun parametreleri göz önünde bulundurarak iki ve üç boyutlu grafikleri Mathematica 9 kullanılarak çizildi.

(19)

4. METODUN UYGULANMASI

Bu bölümde, BSEFM’u kullanılarak Vakhnenko-Parkes ve PHI-4 denklemlerinin rasyonel, üstel, hyperbolik ve kompleks fonksiyon çözümleri gibi bazı yeni analitik çözümleri elde edildi [15-20, 23-28].

Örnek-1. Doğrusal olmayan Vakhnenko-Parkes denklemi [24-28] 2

0,

xxt x xt t

uu u u u u  (4.1) şeklindedir.

İlk olarak, c_{sıfırdan farklı reel bir sayı olmak üzere,}

 

,

 

, , u x t U  U   x ct (4.2) 2 3 2 , , , , u u u u U cU cU cU x t x t x t  _ _  _{ } _  _{ } _  _{ } _       (4.3)

dönüşümleri NPVPE’e uygulanırsa, (4.1) denklemi aşağıdaki şekilde doğrusal olmayan adi diferansiyel denkleme dönüşür;

2

0. UUU U U U

(4.4) denkleminin integrali alınırsa ve integral sabiti sıfır alındığında, (4.4) denklemi aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir;

 

2 3 3UU3 U U 0. (4.5) 2 0 1 2 0 , n i n i n i U a F a a F a F a F  



     (4.6) F bFdFM,b0, d 0, M 



0,1, 2 ,



(4.7) (4.6) denkleminin birinci ve ikinci turevini alıp (4.7) eşitliğini de yerine koyarsak aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz;

1 2 2 , . n M n M U F U F         Balans prensibi gereği;

2M  n 2, (4.8) olarak elde edilir.

(20)

Durum-1:

Eğer (4.8) denkleminde M 3ve n4 alınırsa, u, uve udenklemleri

2 3 4 0 1 2 3 4 , U a a Fa F a F a F (4.9) 3 2 4 3 5 4 1 1 2 2 3 3 4 6 4 2 2 3 3 4 4 , bFa dF a bF a dF a bF a dF a bF a dF a U         (4.10) ve 2 3 2 5 2 2 4 2 6 1 1 1 2 2 2 2 3 5 2 7 2 4 6 3 3 3 4 4 2 8 4 4 3 4 12 8 9 24 15 16 40 24 , b Fa bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a U                (4.11)

olarak yazılabilir. Burada 3





, 0, 0, 0,1, 2

F bFdF b d  M  dir. (4.9), (4.10) ve (4.11) denklemleri (4.5) denkleminde yerine yazılırsa, (4.5) denklemi için F ’nin aynı kuvvetlerinin bir denklemler sistemi elde edilir. Mathematica 9 programı kullanılarak bu sistemin çözülmesiyle farklı katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur;

Durum 1a. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur:

a₀ a₁ 0,a₂  24bd a, ₃ 0, a₄  24d2,bb c, c d, d. (4.12) (4.12) katsayıları (4.9) denkleminde yerine yazılırsa, NPVPE’nin üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir;

 

   





2 3 1 ₂ 2 24 , . b x ct b x ct cdb e u x t bc de      (4.13) 20 10 10 20 5 5 10 15 20 25

ġekil-1 (4.13) denkleminin b2, d 3, c   5, 20 x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t 0.5 için iki boyutlu görünümü

(21)

Durum 1b. Eğer (3.10) denkleminde bdalınırsa;

a₀ a₁ 0,a₂  24bd a, ₃ 0, a₄  24d2,bd c, c, (4.14) olur ve (4.14) katsayıları (4.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denkleminin bir diğer üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde bulunur;

 





2 2 2 ₂ ₂ 2 24 , . d x ct cdt dx cd e u x t ce e     (4.15) 10 5 0 5 10 5 10 15 20 25

ġekil-2 (4.15) denkleminin b d 2, c    5, 10 x 10,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t 0.2 için iki boyutlu görünümü

Durum 1c. Bir diğer katsayı ise, bdiçin

₀ ₁ 0, ₂ ₂, ₃ 0, ₄ 24 2, 2 , , , 24 a a a a a a a d b c c d d d           (4.16)

şeklinde yazılabilir. (4.16) katsayıları (3.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denkleminin hiperbolik fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde bulunur;

 

















2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 tanh 1 tanh 24 24 , 24 . 1 tanh 1 tanh 24 24 a x ct a x ct ca ca d d u x t ca d a x ct a x ct d d                           _  _{ } _          _ _   _ _  _ _   _ _     (4.17) 11

(22)

30 20 10 10 20 30 0.00005

0.00010 0.00015

ġekil-3 (4.17) denkleminin d 3, c 522,a₂    4, 50 x 50, 0.5 t 0.5 için üç boyutlu görünümü ve t 0.2 için iki boyutlu görünümü

Durum 1d. Eğer (4.16) denkleminde bdseçilirse,

₀ ₁ 0, ₂ ₂, ₃ 0, ₄ 24 2, 2 , , 24

i a

a a  a a a  a   d b d cc (4.18) olur ve (4.19) katsayıları (4.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denklemi için yeni bir trigonometrik kompleks fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde bulunur;

 







 







2 2 2 4 2 2 sec 2 6 , . 1 1 tan 2 6 a x ct ca u x t a x ct i c c  _   _ _      _       _ _  _ _   (4.19) 30 20 10 10 20 30 0.2 0.2 0.4 0.6

ġekil-4 (4.19) denkleminin reel kısmının c 5, a₂   2, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki boyutlu görünümü

(23)

30 20 10 10 20 30 0.4 0.2 0.2 0.4

ġekil-5 (4.19) denkleminin imajiner kısmının c 5, a₂   2, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki boyutlu görünümü

Durum 1e. bdiçin

₀ ₁ 0, ₂ 2 6 ₄, ₃ 0, ₄ ₄, , 4 , , 2 6

i a

a a  a  bi a a  a a bb d   c c (4.20) katsayıları (4.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denklemi için yeni bir diğer kompleks üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde bulunur;

 

   





2 3 4 5 ₂ 2 4 288 6 , . 12 6 b x ct b x ct cb i a e u x t bci a e        (4.21) 20 15 10 5 5 10 5 5 10

ġekil-6 (4.21) denkleminin imajiner kısmının b2,c5, a₄   3, 20 x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t  2 için iki boyutlu görünümü

(24)

30 20 10 10 5

10 15 20

ġekil-7 (4.21) denkleminin reel kısmının b2,c5, a₄      3, 20 x 5, 3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t 2 için iki boyutlu görünümü

Durum 1f. Eğer (4.20) denkleminde bd alınırsa;

0 1 0, 2 2 6 4, 3 0, 4 4, 4 , ,

2 6

i a

a a  a  bi a a  a a b d  cc (4.22) olur ve (4.22) denkleminin katsayıları (3.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denklemi için bir diğer yeni kompleks trigonometrik fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde bulunur;

 







 







2 4 4 6 2 4 sec 2 6 , . 1 1 tan 2 6 x ct a ca u x t x ct a i c c  _   _ _             _ _  _ _   (4.23) 30 20 10 10 20 30 1.0 0.5 0.5 1.0

ġekil-8 (4.23) denkleminin imajiner kısmının c5, a₄   3, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki boyutlu görünümü

(25)

30 20 10 10 20 30 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ġekil-9 (4.23) denkleminin reel kısmının c5, a₄   3, 30 x 30,   1 t 1 için üç boyutlu görünümü ve t 0.1 için iki boyutlu görünümü

Durum 1g. Bir diğer katsayı, bdiçin

₀ ₁ 0, ₂ 2 6 ₄, ₃ 0, ₄ ₄, , 4 , , 2 6

i a

a a  a   bi a a  a a bb d  cc (4.24) dir. (4.24) denkleminin katsayıları (4.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denklemi için yeni bir diğer kompleks üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde yazılabilir;

 

   





2 3 4 7 ₂ 2 4 288 6 , . 12 6 b x ct b x ct cb i a e u x t bci a e     (4.25) 20 15 10 5 5 10 20 10 10 20

ġekil-10 (4.25) denkleminin imajiner kısmının b2,c5, a₄   3, 20 x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t  2 için iki boyutlu görünümü

(26)

20 15 10 5 5 10 5 5 10

ġekil-11 (4.25) denkleminin reel kısmının b2, c5, a₄3,   20 x 5,   3 t 0 için üç boyutlu görünümü ve t  2 için iki boyutlu görünümü

Durum 1h. (4.24) denklemi için bdolarak göz önüne alınırsa, ₀ ₁ 0, ₂ 2 6 ₄, ₃ 0, ₄ ₄, 4 , ,

2 6

i a

a a  a   bi a a  a a b d c c (4.26) olur ve (4.26) katsayıları (4.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denklemi için bir diğer kompleks trigonometrik fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde bulunur;

 







 







2 2 4 4 8 , 4sec 1 1 tan . 2 6 2 6 x ct a x ct a u x t ca i c c              _ _ _     _ __      (4.27) 20 10 10 20 1.0 0.5 0.5 1.0

ġekil-12 (4.27) denkleminin imajiner kısmının c5, a₄   3, 20 x 20,   2 t 2 için üç boyutlu görünümü ve t 1 için iki boyutlu görünümü

(27)

20 10 10 20 1.0 0.5 0.5 1.0

ġekil-13 (4.27) denkleminin reel kısmının c5, a43,   20 x 20, 2  t 2 için üç boyutlu görünümü ve t 1 için iki boyutlu görünümü

Durum 2:

(4.8) denklemi için M 4 ve n6 alınırsa, aşağıdaki denklemler yazılabilir;

2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 , U a a Fa F a F a F a F a F (4.28) ve 4 2 5 3 6 4 1 1 2 2 3 3 4 7 5 8 6 9 4 5 5 6 6 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 , bFa dF a bF a dF a bF a dF a bF a dF a bF a dF a bF a U dF a              (4.29) 2 4 2 7 2 2 5 2 8 1 1 1 2 2 2 2 3 6 2 9 2 4 7 3 3 3 4 4 2 10 2 5 8 2 11 2 6 4 5 5 5 6 9 2 12 6 6 5 4 4 14 10 9 27 18 16 44 28 25 65 40 36 90 54 , b Fa bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a U                     (4.30)

olup, burada F bFdF4,b0, d 0, M 



0,1, 2



dir. (4.28) , (4.29) ve (4.30) denklemleri (4.5) denkleminde yazılırsa F ’nın çeşitli kuvvetten terimlerini içeren bir denklem elde edilir. F ’nın aynı kuvvetten terimlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse bir denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi Mathematica 9 programı kullanılarak çözüldüğünde; bdiçin 2 3 0 1 2 0, 3 3, 4 5 0, 6 54 , , , , 54 a a a a a a a a a d b c c d d d             (4.31)

(28)

bulunur. (4.31) katsayıları (4.9) denkleminde yerine yazılırsa, doğrusal olmayan kısmi Vakhnenko-Parkes denklemi için bir üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde bulunur;

 

    3 3 3 ₁₈ 3 9 2 2 18 3 , . 54 a x ct d a x ct d ca e u x t d ca e             (4.32) 40 20 0 20 40 0.05 0.10 0.15 0.20

ġekil-14 (4.32) denkleminin c d 1, a3  6,   50 x 50, 20  t 20, için üç boyutlu görünümü ve t 1 için iki boyutlu görünümü

Yorum-1. Bu çalışmada, elde edilen u u u u u u u u₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇, ₈ ve u çözümleri (4.1) ₉ denklemi için analitik çözümlerdir. Referans [6]’da farklı yaklaşımlar kullanılarak elde edilen diğer analitik çözümlerle kıyaslanıldığında, elde ettiğimiz kompleks, üstel fonksyon çözümleri (4.1) denklemi için yeni analitik çözümlerdir.

Örnek-2. PHI-four denklemi

3

tt xx

u u  u u (4.33)

şeklindedir. İlk olarak, c_{sıfırdan farklı reel bir sayı olmak üzere,}

 

,

 

, ,

(29)

2 2 2 2 2 , , [ ] [ ] , , u u u u U cU x x t t u U u U U c U x x t t          _   _ _  _   _{ } _          _   _ _  _   _ _       (4.35)

dönüşümleri PHI-four denklemine uygulanırsa, (4.33) denklemi aşağıdaki şekilde doğrusal olmayan adi diferansiyel denkleme dönüşür;

2 3 (c )U U U 0.(4.36) Burada 2 0 1 2 0 , n i n i n i U a F a a F a F a F  



     (4.37) F bFdFM,b0, d 0, M 



0,1, 2 ,



(4.38)

(4.37) denkleminin birinci ve ikinci türevini alıp (4.38) eşitliğini de yerine koyarsak aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz;

1 2 2 , . n M n M U F U F         Balans prensibi gereği;

1

M  n (4.39) olarak elde ederiz.

Durum-1:

Eğer (4.39) denkleminde M 3ve n2 alınırsa, u, uve udenklemleri 2 0 1 2 , U a a Fa F (4.40) 3 2 4 1 1 2 2 2 2 , U a bFa dF  a bF  a dF (4.41) ve 2 3 2 5 2 2 4 2 6 1 4 1 3 1 4 2 12 2 8 2, b Fa bdF a d F a b F a bdF a d F a U        (4.42)

olarak yazılabilir. Burada 3





, 0, 0, 0,1, 2

F bFdF b d M  dir. (4.40), (4.41) ve (4.42) denklemleri (4.36) denkleminde yerine yazılırsa, (4.36) denklemi için F ’nin aynı kuvvetlerinin bir denklemler sistemi elde edilir. Mathematica 9 programı kullanılarak bu sistemin çözülmesiyle farklı katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur;

(30)

Durum 1a. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur: 2 0 1 2 1 i 2 ₂ 1, 0, , , , . b d a a a c b b d b d b



        (4.43) (4.43) katsayıları (4.40) denkleminde yerine yazılırsa, PHI-four denkleminin üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir;

 

2 2 i 2 4 10 2 1 e , . bx t b d d b EE u x t          (4.44) 1 0 5 5 1 0 4 2 2 4

ġekil-15 (4.44) denkleminin reel kısmının b 2, d 3, 2, EE0 6,. 10 x 10, 2 t 2

      için üç boyutlu görünümü ve t0.1 için iki boyutlu görünümü

1 0 5 5 1 0 3 2 1 1 2 3

ġekil-16 (4.44) denkleminin imajiner kısmının b 2, d 3, 2, EE0 6,. 10 x 10, 2 t 2

(31)

Durum 1b. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur: 2 0 1 2 1 i 2 ₂ 1, 0, ; , , . b d a a a c b b b b d d



       (4.45) (4.45) katsayıları (4.40) denkleminde yerine yazılırsa, PHI-four denkleminin üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir;

 

2 2 11 i 2 4 2 1 , e . bx t b d d u b x EE t         (4.46) 1 0 5 5 1 0 4 2 2 4

1 0 5 5 1 0 3 2 1 1 2 3

ġekil-18 (4.46) denkleminin imajiner kısmının b 2,d 3, 2, EE0 6,. 10 x 10, 2 t 2

(32)

Durum 1c. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur: 2 0 1 2 1 i 2 ₂ 1, 0, , , , . b d a a a c b b b b d d



         (4.47) (4.47) katsayıları (4.40) denkleminde yerine yazılırsa, PHI-four denkleminin üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir;

 

2 2 i 2 4 12 2 1 e , . bx t b d d b EE u x t          (4.48) 1 0 5 5 1 0 4 2 2 4

1 0 5 5 1 0 3 2 1 1 2 3

ġekil-20 (4.48) denkleminin imajiner kısmının b 2,d 3, 2, EE0 6,. 10 x 10, 2 t 2

(33)

Durum-2:

2 3 0 1 2 3 , U a a Fa F a F (4.49) 4 2 5 3 6 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, bFa dF a bF a dF a bF a dF a U      (4.50) ve 2 4 2 7 2 2 5 2 8 1 1 1 2 2 2 2 3 6 2 9 3 3 3 5 4 4 14 10 9 2 7 18 , b Fa bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F U a            (4.51)

olarak yazılabilir. Burada F bFdFM,b0, d 0, M 



0,1, 2



dir. (4.49), (4.50) ve (4.51) denklemleri (4.36) denkleminde yerine yazılırsa, (4.36) denklemi için F ’nun aynı kuvvetlerinin bir denklemler sistemi elde edilir. Mathematica 9 programı kullanılarak bu sistemin çözülmesiyle farklı katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur;













0 1 2 3/ 2 2 ₂ 3 ₂ ₂ 2 2 1, 0, 0, 3 2 ₂ , , 3 a a a d c _c a b c c



_



      _{ }      (4.52)

(4.52) katsayıları (4.49) denkleminde yerine yazılırsa, PHI-four denkleminin üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir;

 

   

_

_





2 2 2 1 2 2 2 3/ 2 13 2 2e 1 6 3 . , ct x c c EE c d x t c u                   _  _            (4.53)

(34)

30 20 10 10 20 30 x 4 2 2 4 ux,t

ġekil-21 (4.53) denkleminin c0.1,d3,5,EE4;  30 x 30,  22 t22 için üç boyutlu görünümü vet0.1 için iki boyutlu görünümü

Durum 2b. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur:













0 1 2 3/ 2 2 ₂ 3 ₂ ₂ 2 2 1, 0, 0, 3 2 ₂ , 3 a a a d c _c a b c c



_



     _{ }       (4.54)

 

   

_

_





2 2 2 1 2 2 2 / 2 4 ₂ 3 1 2e 1 6 3 . , ct x c c EE c x d c u t                                 (4.55)

(35)

30 20 10 10 20 30 x 4 2 2 4 ux,t

ġekil-22. (4.55) denkleminin c0.1,d 3,5,EE4;  30 x 30,  22 t22 için üç boyutlu görünümü vet0.1 için iki boyutlu görünümü

Durum 2c. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur:













0 1 2 3/ 2 2 ₂ 3 ₂ ₂ 2 2 1, 0, 0, 3 2 ₂ , , 3 a a a d c _c a b c c



_



      _{ }      (4.56)

 

   

_

_





2 2 2 1 2 2 2 3/ 2 15 ₂ 2 , e 1 6 3 . ct x c c EE c u x d c t                                  (4.57)

(36)

30 20 10 10 20 30 x 4 2 2 4 ux,t

ġekil-23. (4.57) denkleminin c0.1,d 3,5,EE4;  30 x 30,  22 t22 için üç boyutlu görünümü ve t0.1 için iki boyutlu görünümü

Durum-3:

2 3 4 0 1 2 3 4 , U a a Fa F a F a F (4.58) 5 2 6 3 7 1 1 2 2 3 3 4 8 4 4 2 2 3 3 4 4 , bFa dF a bF a dF a bF a dF a bF a dF U a         (4.59) ve 2 5 2 9 2 2 6 2 10 1 1 1 2 2 2 2 3 7 2 11 2 4 8 3 3 3 4 4 2 12 4 6 5 4 16 12 +9 30 21 16 48 3+ 2 , b Fa bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a b F a bdF a d F a U              (4.60)

olarak yazılabilir. Burada F bFdFM,b0, d 0, M 



0,1, 2



dir. (4.58), (4.59) ve (4.60) denklemleri (4.36) denkleminde yerine yazılırsa, (4.36) denklemi için F ’nin aynı kuvvetlerinin bir denklemler sistemi elde edilir. Mathematica 9 programı kullanılarak bu sistemin çözülmesiyle farklı katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur;













0 1 2 3/ 2 2 ₂ 4 ₂ ₂ 3 2 2 1, 0, 0, 0, 4 2 , , 2 2 a a a a d c _c a b c c



_



       _{ }      (4.61) 26

(37)

 

   

_

_





2 2 2 2 2 2 3/ 2 1 16 2 2e 1 4 . , 8 ct x c c EE c d x t c u                                 (4.62) 40 20 20 40 x 4 2 2 4 ux,t

ġekil-24. (4.62) denkleminin c0.1,d4,1,EE5;  40 x 40,  15 t15 için üç boyutlu görünümü vet0.1 için iki boyutlu görünümü

Durum 3b. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur:













0 1 2 3/ 2 2 ₂ 4 2 2 2 2 3 1, 0, 0, 0, 4 2 , , 2 2 a a a a d c _c a b c c



_



       _{ }      (4.63) (4.63) katsayıları (4.58) denkleminde yerine yazılırsa, PHI-four denkleminin üstel fonksiyon çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir;

 

   

_

_





2 2 2 2 2 2 3/ 2 1 17 2 2 , 1 8 4 e . ct x c c EE c u x d c t                                  (4.64)

(38)

40 20 20 40 x 4 2 2 4 ux,t

Durum 3c. bdiçin katsayılar aşağıdaki şekilde bulunur:













3 0 1 2 3/ 2 2 ₂ 4 2 2 2 2 1, 0, 0, 0, 4 2 , , 2 2 a a a a d c _c a b c c



_



       _{ }      (4.65)

 

   

_

_





2 2 2 2 2 2 2 1 / 8 ₂ 3 1 2e . 1 4 , 8 ct x c c EE c x d c u t                                 (4.66)

(39)

30 20 10 10 20 30 x 4 2 2 4 ux,t

Yorum-2. Bu çalışmada, elde edilen u₁₀,u u₁₁, ₁₂,u₁₃,u₁₄,u₁₅,u₁₆,u₁₇ ve u çözümleri ₁₈ (4.1) denklemi için analitik çözümlerdir.

(40)

5. SONUÇLAR

Bu tezde, literatür çalışması yapılarak ele alınan denklemler hakkında daha fazla bilgi elde edildi. Daha sonra, bu çalışmada kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verildi. Bernoulli Alt-Denklem fonksiyon (BSEFM) metodunun genel özellikleri ayrıntılı bir şekilde incelendi. Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden Vakhnenko-Parkes ve PHI-four denklemlerine BSEFM’u uygulanarak üstel fonksiyon, rasyonel fonksiyon, kompleks trigonometrik fonksiyon ve kompleks periyodik fonksiyon gibi bazı yeni analitik çözümler elde edildi. Elde edilen analitik çözümlerin Vakhnenko-Parkes ve PHI-four denklemlerini sağlayıp sağlamadığı Wolfram Mathematica 9 programı kullanılarak kontrol edildi. Vakhnenko-Parkes ve PHI-four denklemlerinin fiziksel özelliklerinin incelenmesi için iki ve üç boyutlu grafikleri parametrelerin uygun fiziksel değerleri göz önüne alınarak çizildi.

BSEFM’u her iki denklem için çok sayıda katsayı verdiği görülmüştür. Elde edilen katsayılardan bazıları kullanılarak Vakhnenko-Parkes denklemi için yeni analitik çözümler elde edilmiştir.Ayrıca (4.8) eşitliğinde dengeleme teriminde bulunan M ve n değerleri için M 4ve n6aldığımızda 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 4 , , U a a F a F a F a F a F a F F bF dF          

şeklinde daha farklı analitik çözümler elde ederiz. Benzer şekilde, PHI-four denkleminin dengeleme teriminde M ve n değerleri için M 6ve n5aldığımızda

2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 , U a a F a F a F a F a F F bF dF         

şeklinde daha farklı analitik çözümler elde ederiz.

Bu çalışmada Vakhnenko-Parkes denklemi için elde edilen analitik çözümler, bu denklemin temsil ettiği dalga yayılımının özellikleri ile uyumlu olduğu iki ve üç boyutlu grafiklere bakılarak görülmektedir. PHI-four denklemi için elde edilen analitik çözümler, bu denklemin literatürde var olan ve daha farklı özelliklerini ortaya çıkarmıştır.

Ele alınan bu metodun, algoritmasının rahat yapılması, bilgisayar hesaplamalarının kolay olması ve çok sayıda birbirinden farklı katsayılar vermesi gibi birçok önemli özelliğe sahip olması, bu tür diferansiyel denklemler için güçlü bir metot olduğunu göstermektedir.

(41)

KAYNAKLAR

[1] Bekir A., Application of the G G -expansion method for nonlinear evolution equations, Physics Letters A, 372(19), 3400–3406, 2008.

[2] Bekir A., Boz A., Exact solutions for nonlinear evolution equations using Exp-function method Physics Letters A, 372(10), 1619–1625, 2008.

[3] Bekir A., Boz A., Exact Solutions for a Class of Nonlinear Partial Differential Equations using Exp-Function Method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8(4), 505–512, 2011.

[4] Yusufoglu E., Bekir A., Exact solutions of coupled nonlinear evolution equations, Chaos, Solitons & Fractals, 37(3), 842–848, 2008.

[5] J.H. He, Variational iteration method—some recent results and new interpretations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207(1), 3–17, 2007. [6] Qian XM, Lou SY, Hu XB. Variable Separation Approach for a Differential difference Asymmetric Nizhnik–Novikov–Veselov Equation, Z Naturforsch A, 59, 645–58, 2004. [7] Hasan Bulut, Classification of exact solutions for generalized form of K(m,n) equation, Abstract and Applied Analysis, 2013, 1-11 pages, 2013.

[8] Qian XM, Lou SY, Hu XB. Variable separation approach for a differential–difference system: special Toda equation, Journal of Physics A: Mathematical and General, 37, 2401– 24011, 2004.

[9] C.S. Liu, Applications of complete discrimination system for polynomial for classiﬁcations of traveling wave solutions to nonlinear differential equations, Computer Physics Communications, 181, 317-324, 2010.

[10] C.S. Liu, Trial equation method and its applications to nonlinear evolution equations, Acta Physica Sinica, 54, 2505-2509, 2005.

[11] C.S. Liu, A new trial equation method and its applications, Communications in Theoretical Physics, 45, 395-397, 2006.

[12] C.S. Liu, Trial Equation Method to Nonlinear Evolution Equations with Rank In homogeneous: Mathematical Discussions and Its Applications, Communications in Theoretical Physics, 45, 219-223, 2006.

(42)

[13] Fethi Bin Muhammad Belgacem, Hasan Bulut, Haci Mehmet Baskonus and Tolga Akturk, Mathematical Analysis of Generalized Benjamin And Burger Kdv Equations Via The Extended Trial Equation Method, Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences, 16, 91-100, 2014.

[14] Hasan Bulut, H. Mehmet Baskonus, Yusuf Pandir, The modified trial equation method for fractional wave equation and time-fractional generalized Burgers equation, Abstract and Applied Analysis, 2013, 13 pages, 2013.

[15] Bin Zheng, Application of A Generalized Bernoulli Sub-ODE Method For Finding Traveling Solutions of Some Nonlinear Equations, WSEAS Transactions on Mathematics, 7(11), 618-626, 2012.

[16] E. Yusufoğlu, A. Bekir, The tanh and the sine-cosine methods for exact solutions of the MBBM and the Vakhnenko equations, Chaos, Solitons and Fractals, 38, 1126–1133, 2008.

[17] Harun-Or Roshid , Md Rashed Kabir, Rajandra Chadra Bhowmik and Bimal Kumar Datta, Investigation of Solitary wave solutions for Vakhnenko-Parkes equation via exp-function and Exp(−ϕ(ξ))-expansion method, SpringerPlus, 3(692), 1-10, 2014.

[18] Vakhnenko, V. O., Parkes, E. J., Morrison, A. J., A Böcklund transformation and the inverse scattering transform method for the generalized Vakhnenko equation, Chaos Soliton Fractals, 17(4), 683-692, 2003.

[19] Yujian Ye, Junquan Song, Shoufeng Shen, Yanmei Di, New coherent structures of the Vakhnenko–Parkes equation, Results in Physics, 2, 170–174, 2012.

[20] Vakhnenko VO. High-frequency soliton-like waves in a relaxing medium, Journal of Mathematical Physics, 40, 2011–2020, 1999.

[21] V. O. Vakhnenko and E. J. Parkes, The two loop soliton solution of the Vakhnenko equation, Nonlinearity, 11(6), 1457–1464, 1998.

[22] Kangalgil, F., Ayaz, F., New exact travelling wave solutions for the Ostrovsky equation, Physics Letters A., 372, 1831-1835, 2008.

[23] L. A. Ostrovsky, Nonlinear internal waves in a rotating ocean, Oceanology, 18,119– 125, 1978.

[24] E. Yaşar, New travelling wave solutions to the Ostrovsky equation, Applied Mathematics and Computation, 216(11), 3191–3194, 2010.

(43)

[25] E. Yusufoğlu and A. Bekir, A travelling wave solution to the Ostrovsky equation, Applied Mathematics and Computation, 186(1), 256–260, 2007.

[26] Morrison AJ, Parkes E.J., Vakhnenko V.O., The n loop soliton solution of the Vakhnenko equation, Nonlinearity,12, 427–1437, 1999.

[27] Vakhnenko V.O., Parkes E.J., Michtchenko A.V., The Vakhnenko equation from the viewpoint of the inverse scattering method for the KdV equation, International

Journal of Differential Equations and Applications, 1, 429–49, 2000.

[28] Vakhnenko VO, Parkes EJ. The calculation of multi-soliton solutions of the Vakhnenko equation by the inverse scattering method. Chaos, Solitons & Fractals, 13, 1819–1826, 2002.

[29] Cristiana J. Silva, Delfim F.M. Torres, Optimal control for a tuberculosis model with reinfection and post-exposure interventions, Mathematical Biosciences, 244, 154–164, 2013.

[30] V.K. Srivastava, M.K. Awasthi, S. Kumar, Numericl approximation for HIV infection of CD T+4 cells mathematical model, Engineering Physics and Mathematics, 5, 625-629, 2014.

[31] M. Gabriela M. Gomesa, Paula Rodriguesa, Frank M. Hilkera, Natalia B. Mantilla-Beniersa, Marion Muehlena, Ana Cristina Pauloa, Graham F. Medley, Implications of partial immunity on the prospects for tuberculosis control by post-exposure interventions Journal of Theoretical Biology, 248, 608–617, 2007.

[32] WHO, Global tuberculosis control, WHO Report, Geneva, 2011

[33] Osvaldo Chara, Lutz Brusch, Mathematical modelling of fluid transport and its regulation at multiple scales, BioSystems, 130, 1–10, 2015.

[34] Durga Charan Panigrahi, Patitapaban Sahu, Devi Prasad Mishra, An improved mathematical model for prediction of air quantity to minimise radiation levels in underground uranium mines, Journal of Environmental Radioactivity 140, 95-104, 2015. [35] Cheng Yan-jun, Classification of traveling wave solutions to the Vakhnenko equations, Computers and Mathematics with Applications, 62, 3987–3996, 2011.

[36] Yujian Ye, Junquan Song, Shoufeng Shen, Yanmei Di, New coherent structures of the Vakhnenko–Parkes equation, Results in Physics, 2, 170–174, 2012.

[37] Harun-Or Roshid, Md Rashed Kabir, Rajandra Chadra Bhowmik and Bimal Kumar Datta, Investigation of Solitary wave solutions for Vakhnenko-Parkes equation via exp-