T.C.
SELC¸ UK ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U
Astrojeodezik Nivelman ile Yerel Jeoit Belirleme: Konya ¨Orne˘gi
Yener T ¨UREN Y¨uksek Lisans Tezi Harita M¨uhendisli˘gi
Anabilim Dalı Konya, 2010
T.C.
SELC¸ UK ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U
Astrojeodezik Nivelman ile Yerel Jeoit Belirleme:
Konya ¨
Orne˘
gi
Yener T ¨UREN
Y¨uksek Lisans Tezi
Harita M¨uhendisli˘gi Anabilim Dalı
Bu tez 11.02.2010 tarihinde a¸sa˘gıdaki j¨uri tarafından oy birli˘gi ile kabul edilmi¸stir.
Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ¨UST ¨UN Danı¸sman
Prof. Dr. Cevat ˙INAL ¨
Uye
Yrd. Do¸c. Dr. Ayhan CEYLAN ¨
¨ OZET
Y¨uksek Lisans Tezi
Astrojeodezik Nivelman ile Yerel Jeoit Belirleme: Konya ¨Orne˘gi
Yener T ¨UREN
Sel¸cuk ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u
Harita M¨uhendisli˘gi
Danı¸sman: Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ¨UST ¨UN
2010, 69 sayfa
J¨uri: Prof. Dr. Cevat ˙INAL J¨uri: Yrd. Do¸c. Dr. Ayhan CEYLAN
¨
U¸c boyutlu jeodezik uygulamalarda, GPS ¨ol¸c¨uleriyle t¨uretilen elipsoidal y¨uksekliklerden ortometrik y¨uksekliklere ge¸ci¸s i¸cin jeoidin bilinmesi gereklidir. Global anlamda homojen veri k¨umesi gereksinimi nedeniyle jeoit yerin tamamı i¸cin yeterli ¸c¨oz¨un¨url¨ukte hesaplanamamakta, ancak belli bir b¨olgeye ait yeterli sıklıktaki veriler sayesinde yerel olarak belirlenebilmektedir.
Bu ¸calı¸smanın konusu 40x70 km’lik alanı kapsayan altı noktalı bir GPS a˘gında ger¸cekle¸stirilen astronomik g¨ozlemler ve ¸cek¨ul sapması bile¸senlerine dayalı astrojeodezik nivelman uygulamasıdır. S¨oz konusu a˘gda ¨onceki GPS ¸calı¸smaları ile ITRF koordinat sisteminde y¨uksek do˘grulukta kartezyen koordinatlar elde edilmi¸s, bu koordinatlar GRS80 elipsoidine ili¸skin jeodezik co˘grafi koordinatlara d¨on¨u¸st¨ur¨ulm¨u¸st¨ur. Aynı noktalarda Kern DKM 3-A ¨universal teodoliti ile yıldız g¨ozlemleri sonucu astronomik enlem ve boylam i¸cin sırasıyla 0.3′′ ve 1′′ do˘grulu˘gunda konum bilgisi elde edilmi¸stir. Zaman ¨ol¸c¨um¨undeki zorluklar nedeniyle boylamdaki konum do˘grulu˘gu enlem ¨ol¸cmelerine g¨ore biraz daha d¨u¸s¨uk ¸cıkmı¸stır. A˘g noktaları arasındaki kesit boyunca jeoit de˘gi¸sim de˘gerleri kar¸sılıklı olarak hesaplanmı¸stır. Altı noktalı bu GNSS
a˘gında, 15 bazın astrojeodezik y¨ukseklik farkı serbest nivelman a˘gı gibi dengelenmi¸s ve ¨ol¸c¨ulerin uyu¸sumlu oldu˘gu g¨or¨ulm¨u¸st¨ur. 15-70 km arasında de˘gi¸sen baz uzunlukları nivelman a˘gı dengelemesinde ters a˘gırlık olarak g¨oz ¨on¨une alınmı¸s ve 15 km’lik uzunluk i¸cin 2.6 cm’lik karesel ortalama hata elde edilmi¸stir. C¸ alı¸sma sahasının b¨uy¨ukl¨u˘g¨u g¨oz ¨
on¨une alındı˘gında, astrojedezik y¨ontemin di˘ger jeoit belirleme y¨ontemlerine g¨ore zaman ve maliyet a¸cısından b¨uy¨uk kazan¸c sa˘gladı˘gı sonucuna varılmı¸stır.
Anahtar kelimeler: Astrojeodezik nivelman, Astronomik g¨ozlem, C¸ ek¨ul sapması, Kern DKM 3-A, Zaman ¨ol¸cmesi, Yerel jeoit modeli.
ABSTRACT
MSc Thesis
Geoid Determination Using Astrogeodetic Leveling: A Case Study in Konya
Yener T ¨UREN
Sel¸cuk University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Geomatic Engineering
Supervisor: Assist. Prof. Dr. Aydın ¨UST ¨UN
2010, 69 pages
Jury: Prof. Dr. Cevat ˙INAL Jury: Assist. Prof. Dr. Ayhan CEYLAN
In the three dimensional applications, it is necessary to know the geoid which is used for the conversation from ellipsoidal heights into orthometric heights. In the global sense, because of the requirement of data set spreaded homogenously to the whole Earth, the geoid could not be calculated for a desired resolution. However, it can be determined locally or regionally using data set gathered in a particular region.
The subject of this study is to perform astronomical observation for the determination vertical deflection components and geoid height differences on a six-point GPS network covering an area of 40× 70 km in Konya and its surrounding area. In this network, the cartesian coordinates which are based on ITRF coordinate system and the ellipsoidal coordinates referred to GRS80 ellipsoid are known from the previous GPS surveys. At the same points the astronomical latitude and longitudes were obtained by means of star observations using Kern DKM 3-A universal theodolite. The components of vertical deflection calculated from the comparison of astronomical and geodetic coordinates are 0.3′′ and 1′′, respectively. Due to the problems of time measurements, the accuracy of longitude determination was not good as the latitude measurements. The geoid
height differences converted from the vertical components were calculated mutually for each baseline and they can be thought as like leveling measurements of GNSS network. The RMS value of the astrogeodetic leveling adjustment constrained minimally was found to be 2.6 cm corresponding to the unit weight of 15 km. This results show that the astrogeodetic geoid determination using Kern DKM 3-A is successful than the gravimetric and GPS-leveling methods when considering the efficiency of the geoid modeling.
Keywords: Astronomical leveling, Astronomical observations, Kern DKM 3-A, Local geoid model, Time measurement, Vertical deflection.
TES¸EKK ¨UR
¨
Oncelikle bu ¸calı¸smamda da benden ¸sefkat ve yardımlarını esirgemeyen anne ve babama sonsuz te¸sekk¨ur ederim. Arazi ¸calı¸smaları ba¸sta olmak ¨uzere destek ve yardımlarıyla bu tez ¸calı¸smasına katkı sa˘glayan sevgili a˘gabeyim Harita M¨uh. Zafer T ¨UREN’e de ayrıca te¸sekk¨ur ederim.
Arazi i¸slerinde yanımda olan, ekip ruhlarını her zaman ho¸snutlukla hatırlayaca˘gım t¨um dostlarıma ¸s¨ukranlarımı sunarım.
˙Insano˘glu var olu¸sundan beri ayak bastı˘gı yery¨uz¨un¨un tasvirini bulmaya ¸calı¸smı¸s, ¸
ce¸sitli varsayımlarda bulunmu¸s ve d¨unyanın ¸sekli hakkında, g¨un¨um¨uze varan uzun bir s¨ure¸cte ¨onemli adımlar atmı¸stır. Bilimin ı¸sı˘gında, yapılan ¸calı¸smaların irdelenmesi ve geli¸stirilmesi ¸s¨uphesiz gen¸c nesillere d¨u¸smektedir. IAU tarafından ilan edilen 2009
D¨unya Astronomi Yılı i¸cerisinde yapmı¸s oldu˘gum bu tez ¸calı¸smamda, bana yol g¨osteren danı¸sman hocam Sayın Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ¨UST ¨UN’e saygı ve te¸sekk¨urlerimi sunarım.
˙IC¸ ˙INDEK˙ILER ¨ Ozet ii Abstract iv Te¸sekk¨ur vi Kısaltma Listesi ix S¸ekil Listesi x C¸ izelge Listesi xi 1 G˙IR˙IS¸ 1
2 C¸ EK ¨UL DO ˘GRULTUSU ve Y ¨UKSEKL˙IK S˙ISTEMLER˙I ˙IL˙IS¸K˙IS˙I 3
2.1 C¸ ek¨ul Do˘grultusu ve Yerel Astronomik Sistem . . . 3
2.2 Nivo Y¨uzeyleri ve C¸ ek¨ul E˘grileri . . . 4
2.3 Y¨ukseklik Sistemleri . . . 5
2.4 Jeoit Y¨ukseklikleri ve C¸ ek¨ul Sapmaları . . . 8
2.5 GPS Nivelmanı ˙I¸cin Jeoit Belirleme Teknikleri . . . 11
2.5.1 Gravimetrik y¨ontem . . . 11
2.5.2 Global jeoit modelleri . . . 12
2.5.3 Astrojeodezik y¨ontem . . . 13
2.5.4 GPS/Nivelman y¨ontemi . . . 14
3 ASTROJEODEZ˙IK KONUM BEL˙IRLEME 15 3.1 Koordinat ve Zaman Sistemlerine Genel Bakı¸s . . . 16
3.1.1 Ufuk koordinat sistemi . . . 18
3.1.2 Ekvator koordinat sistemi . . . 20
3.1.3 Zaman sistemleri . . . 24
3.2 Yıldızlar ve Yıldız Katalogları . . . 28
3.2.1 Yıldızlar ve koordinatlarındaki de˘gi¸simler . . . 28
3.3 Astrojeodezik Konum Belirleme . . . 34
3.3.1 Enlem belirleme . . . 34
3.3.2 Boylam belirleme . . . 41
3.4 Astrojeodezik Konum Belirlemede Kullanılan ¨Ol¸cme Sistemleri . . . 45
3.4.1 Optik-mekanik sistemler . . . 45
3.4.2 Sayısal sistemler . . . 48
4 ASTROJEODEZ˙IK N˙IVELMAN TEKN˙I ˘G˙I ile YEREL JEO˙ID˙IN BEL˙IRLENMES˙I 50 4.1 Astronomik Koordinatların Jeoide ˙Indirgenmesi . . . 50
4.2 Astrojeodezik Nivelman ve Jeoit Belirleme . . . 51
4.2.1 Astrojeodezik nivelmanın fiziksel yery¨uz¨unde uygulanması . . . . 54
5 SAYISAL UYGULAMA 57 5.1 Sayısal Uygulama Alanı ve GPS ¨Ol¸cmeleri . . . 57
5.2 Astronomik G¨ozlemler . . . 59
5.2.1 On hazırlıklar . . . .¨ 59
5.2.2 G¨ozlemlerin yapılması ve de˘gerlendirme . . . 60
5.3 C¸ ek¨ul Sapması Bile¸senlerinin Hesabı . . . 61
5.4 Jeoit Y¨uksekli˘gi Farklarının Hesabı ve Jeoit Modelleme . . . 62
6 SONUC¸ ve ¨ONER˙ILER 64
KISALTMA L˙ISTES˙I
CCD Charge-Coupled Device Image Sensor CHAMP Challenging Minisatellite Payload
CG01C The Global Gravity Field Model Combining CHAMP and GRACE Satellite Mission and Surface Gravity Data
DIADEM Digital Astronomical Deflection Measuring System
DT Dynamic Time
EGM96 Earth Gravitational Model 1996 EGM2008 Earth Gravitational Model 2008
ET Ephemeris Time
FK4 C. Fourth Fundamental Catalogue
GLC04C The Global Gravity Field Model Combining LAGEOS and GRACE Satellite Mission and Surface Gravity Data
GGL Geodesy and Geodynamics Laboratory
GGM02 The Global Gravity Field Model GRACE Satellite Mission and Surface Gravity Data
GMT Greenwich Mean Time
GMTS Greenwich Mean Sideral Time GNNS Global Navigation Satellite Systems
GOCE The Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer GPS Global Positioning System
GPST Global Positioning System Time
GRACE Gravity Recovery and Climate Experiment GRS80 Geodetic Reference System 1980
HIPPARCOS C. The Catalogue of Results from The Hipparcos Mission IAU International Astronomical Union
IERS International Earth Rotation and Reference Systems Service ICRF International Celestial Reference Frame
IGS International GNSS Service
ITRF International Terrestrial Reference Frame
NC Normal Correction
OC Orthometric Correction
OSU91A Ohio State University Gravitational Model 1991 TAI International Atomic Time
TCB Barycentric Coordinate Time TCG Geocentric Coordinate Time TDT Terrestrial Dynamical Time TCG Geocentric Coordinate Time
TYCHO-2 C. An Astrometric and Photometric Reference Catalogue TZK1-2-3 Transportable Zenith Cameras
UTC Universal Time
UTC Coordinated Universal Time WGS84 World Geodetic System 1984
S¸EK˙IL L˙ISTES˙I
2.1 Astronomik enlem ve boylam . . . 3
2.2 Jeoit ve elipsoit y¨ukseklikleri arasındaki ili¸ski . . . 7
2.3 Ger¸cek ve normal gravite vekt¨orleri . . . 9
2.4 C¸ ek¨ul sapması bile¸senleri . . . 10
2.5 EGM2008 jeoit y¨ukseklikleri haritası (NGA, 2009) . . . 13
3.1 Dik ve kutupsal koordinat sistemi . . . 16
3.2 Co˘grafi koordinat sistemi . . . 18
3.3 Ufuk koordinat sistemi . . . 19
3.4 1. Ekvator koordinat sistemi . . . 21
3.5 Ufuk ve ekvator koordinat sistemleri . . . 22
3.6 Kasım 2009 tarihinde takım yıldızların konumları (T¨ubitak, 2009) . . . 28
3.7 Yıldızın ¨oz hareketi . . . 29
3.8 Stellarium yazılımındaki yıldız bilgileri . . . 33
3.9 Stellarium yazılımı kullanıcı ara y¨uz¨u . . . 34
3.10 Kern DKM 3-A ¨universal teodoliti . . . 46
3.11 Omega OTR-6 Kronografı . . . 48
3.12 TZK2-D ve DIADEM (GGL) dijital zenit kameraları . . . 49
4.1 Jeoit y¨uksekli˘gi de˘gi¸simi ve ¸cek¨ul sapması arasındaki ili¸ski . . . 52
4.2 Baz uzunluklarına g¨ore ¸cek¨ul sapması hatasının jeoit y¨ukseklik farkına etkisi . . . 53
4.3 Jeoit ve fiziksel yery¨uz¨u seviyesinde astronomik nivelman indirgemesi . . 54
5.1 C¸ alı¸sma b¨olgesi ve GNSS a˘gı . . . 57
C¸ ˙IZELGE L˙ISTES˙I
3.1 Zaman sistemlerinin sınıflandırılması . . . 25
5.1 A˘g noktalarının jeodezik koordinatlar cinsinden konum hataları . . . 58
5.2 KONY istasyonuna ait enlem tayini i¸cin yıldız ¸ciftleri listesi . . . 59
5.3 SRYN istasyonuna ait boylam tayini i¸cin yıldız ¸ciftleri listesi . . . 59
1. G˙IR˙IS¸
¨
U¸c boyutlu jeodezik uygulamalarda, GPS ¨ol¸c¨uleriyle t¨uretilen elipsoidal y¨uksekliklerden ortometrik y¨uksekliklere ge¸ci¸s i¸cin jeoit ile elipsoit arasındaki aykırılı˘gın konuma ba˘glı olarak bilinmesi gerekir. Global bir problem olmasına kar¸sın, jeoit belli bir b¨olgeye ait yeterli sıklıktaki veriler sayesinde b¨olgesel ¨ol¸cekte de belirlenebilmektedir. Bu ¸
calı¸smanın amacı, astrojeodezik nivelman tekni˘gi kullanılarak Konya ¸sehir merkezi ve ¸
cevresi i¸cin yerel jeoidin belirlenmesidir. Astrojeodezik y¨ontem, e¸slenik noktalarda astronomik g¨ozlemlerle belirlenen do˘gal (astronomik enlem ve boylam) ve GPS g¨ozlemleriyle belirlenen model (jeodezik enlem ve boylam) koordinatlarını esas alır. Farklı gravite uzaylarına dayalı bu koordinat bilgileri kar¸sıla¸stırılır, bir ba¸ska deyi¸sle farkları alınırsa, ¸cek¨ul sapması bile¸senleri bulunur. Sapma de˘gerleri, bozucu gravite alanı fonksiyoneli oldu˘gundan jeoit y¨uksekli˘gi farkı gibi bir ba¸ska bozucu alan fonksiyoneline d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir. Bu yakla¸sım gravite g¨ozlemlerine dayalı gravimetrik ve GPS-nivelman verilerine dayalı geometrik y¨onteme se¸cenek, ¨u¸c¨unc¨u y¨ontem olarak bilinmektedir (¨orn. bkz. Torge, 2001; ¨Ust¨un, 2001).
Astrojeodezik nivelman uygulama tekni˘gi bakımından bilinen en eski jeoit belirleme y¨ontemidir. Astrojeodezik jeoit modelleri T¨urkiye’de oldu˘gu gibi d¨unyanın de˘gi¸sik yerlerinde ger¸cekle¸stirilen jeoit uygulamalarının ilk ¨ornekleri olma ¨ozelli˘gine sahiptir (bkz. Ayan, 1976). Ancak ge¸cmi¸ste jeodezik koordinatların elde edilmesindeki g¨u¸cl¨ukler nedeniyle y¨ontemin uygulanması da olduk¸ca zordu. Uydu g¨ozlem teknikleri jeodezik koordinatların elde edilmesini kolayla¸stırdı˘gından astrojeodezik y¨ontem g¨un¨um¨uzde yeniden ge¸cerlili˘gini kazanmı¸stır. ¨Ozellikle g¨un¨um¨uz teknolojisi jeodezik astronomide kullanılan ¨ol¸cme tekniklerine olduk¸ca ¨onemli yenilikler getirmi¸stir. Burada sayısal g¨or¨unt¨u i¸sleme tekniklerindeki geli¸smelerin astronomik g¨ozlemlerdeki konum do˘grulu˘gunu arttırmasının rol¨u b¨uy¨ukt¨ur. G¨un¨um¨uzde, sayısal zenit kameraları ile elde edilen ¸cek¨ul sapması bile¸senlerinin do˘grulu˘gu≈ 0.02′′−0.03′′seviyelerine kadar inmi¸stir (Hirt ve Flury, 2007). Ancak b¨oylesi sistemlerin jeodezik ama¸clar i¸cin kullanılmasında bazı sorunlarla kar¸sıla¸sılmaktadır. S¨oz konusu sistem kurulum maliyetlerinin y¨uksek olması ve kolay ta¸sınabilir olmamaları g¨uncel teknolojilerin en ¨onemli zayıf yanlarıdır.
¨
Ozellikle y¨uksek da˘glık alanlarda astrojeodezik y¨ontemin etkinli˘gini azaltmaktadır. Astronomik ve jeodezik koordinatlardan hesaplanan ¸cek¨ul sapması bile¸senleri bir referans elipsoidi ile tanımlı normal gravite alanına g¨ore kitle fazlalıklarının hangi
y¨one da˘gıldı˘gının bir g¨ostergesidir. Arazinin topo˘grafik yapısına uygun olarak yeteri sıklıkta olu¸sturulacak bir jeodezik kontrol a˘gı noktaları arasındaki y¨one ba˘glı ¸cek¨ul sapması jeoit de˘gi¸simine kar¸sılık gelir. A˘g noktalarının birbirinden olan uzaklı˘gı kabaca jeoit de˘gi¸simi do˘grusal kabul edilecek kadar yakın olmalıdır veya kesit boyunca tıpkı nivelman ¨ol¸c¨ulerinde oldu˘gu gibi d¨uzeltme terimi (ortometrik ya da normal d¨uzeltme) g¨oz ¨on¨une alınmalıdır (¨orn. bkz. Demirel, 1984; Heiskanen ve Moritz, 1984).
Astrojeodezik y¨ontemin aksine, gravimetrik ve geometrik (GPS-nivelman) y¨ontem zaman, b¨uy¨uk u˘gra¸s ve en ¨onemlisi ciddi bir uygulama maliyeti gerektirir. Ote¨ yandan astrojeodezik nivelman uygulamalarını olumsuz y¨onde etkileyen en ¨onemli unsur astronomik g¨ozlemlerin do˘grulu˘gudur. G¨un¨um¨uz uygulamalarında elipsoidal ve ortometrik y¨ukseklikler arasındaki d¨on¨u¸s¨um¨un birka¸c cm’lik hata payı ile ger¸cekle¸smesi istenir. Bu nedenle astrojeodezik y¨ontemden yeterli sonucun alınabilmesi i¸cin astronomik enlem ve boylamın en az 0.5′′altında kalan do˘grulukla belirlenmesi gerekir. Sa˘gladı˘gı 0.1′′’lik okuma inceli˘gi ile Kern DKM 3-A ¨universal teodoliti kullanılarak bu amacın ger¸cekle¸stirilebilece˘gi de˘gerlendirilmektedir. (M¨uller, 1973).
Bu tez ¸calı¸sması ile Sel¸cuk ¨Universitesi Harita M¨uhendisli˘gi b¨ol¨um¨unde bulunan Kern DKM 3-A ¨universal teodolitinin astrojeodezik jeoit belirleme ama¸clı kullanılabilirli˘gi incelenmi¸s olacaktır. Elde edilen sonu¸clar, Konya b¨olgesinde ger¸cekle¸stirilen jeoit belirleme ¸calı¸smalarının veri zenginli˘gini arttırmasının yanı sıra, geli¸stirilen modellerin test edilmesinde de kullanılacaktır.
2. C¸ EK ¨UL DO ˘GRULTUSU ve Y ¨UKSEKL˙IK S˙ISTEMLER˙I ˙IL˙IS¸K˙IS˙I
2.1 C¸ ek¨ul Do˘grultusu ve Yerel Astronomik Sistem
Yery¨uz¨unde yapılan jeodezik ve astronomik g¨ozlemler, yeryuvarının ger¸cek ve normal gravite alanı ve bu alanların ¸cek¨ul do˘grultuları boyunca nasıl bir ¨ozellik g¨osterdi˘gi hakkında anlamlı bilgi verirler. Yerel gravite alanı ile ili¸skili referans sistemleri bu g¨ozlemlerin modellenmesini gerektirir. Astronomik g¨ozlemler, bir noktadaki ger¸cek gravite alanı yerel davranı¸sını en iyi ortaya koyan ¨ol¸cmelerdir. Yerel koordinat sisteminde tanımlı astronomik enlem ve boylam noktadan ge¸cen ¸cek¨ul e˘grisini veya ba¸ska bir deyi¸sle g¨ozlem noktasında ¸cek¨ul e˘grisine te˘get do˘grultunun ¨u¸c boyutlu uzaydaki konumunu belirler (S¸ekil 2.1). Bu do˘grultu GPS ¨ol¸cmeleriyle belirlenen ve bir referans elipsoidi ile ili¸skilendirilen elipsoit normaline kar¸sılık gelir. Ger¸cek ¸cek¨ul do˘grultusu ve elipsoit normali kar¸sıla¸stırılırsa ger¸cek ve normal gravite alanı arasında noktasal bir kar¸sıla¸stırma yapılmı¸s olur.
S¸ekil 2.1: Astronomik enlem ve boylam
Astronomik enlem Φ, yerel astronomik meridyen d¨uzlemi i¸cinde ekvator d¨uzlemi ile P noktasından ge¸cen ¸cek¨ul do˘grultusu arasındaki a¸cıdır. Ekvatordan kuzeye do˘gru pozitif, g¨uneye do˘gru negatif de˘ger alır. Astronomik boylam Λ, Greenwich meridyen d¨uzlemi ile P noktasından ge¸cen meridyen d¨uzlemi arasındaki a¸cıdır; do˘guya do˘gru pozitif de˘ger
alır. P noktasından ge¸cen ¸cek¨ul e˘grisine dik y¨uzeye gravite alanının e¸spotansiyel y¨uzeyi veya kısaca nivo y¨uzeyi denir ve W = WP ile g¨osterilir. g gravite do˘grultusuna zıt ve
nivo y¨uzeyine dik birim vekt¨or y¨uzey birim normal n vekt¨or¨ud¨ur. Zenit y¨on¨undeki bu vekt¨or noktanın astronomik konumuna ba˘glı olarak,
n =−g g = cos Φ cos Λ cos Φ sin Λ sin Φ (2.1)
vekt¨or e¸sitli˘gi ile g¨osterilebilir (Torge, 2001). Astronomik g¨ozlemler i¸cin d¨uze¸clenmi¸s bir teodolitin asal d¨u¸sey ekseni ¸cek¨ul do˘grultusunu veya ba¸sucu do˘grultusunu, bu do˘grultuya dik muylu ekseninin olu¸sturdu˘gu d¨uzlem nivo y¨uzeyini olu¸sturur. Bu sayede s¨oz konusu g¨ozlemlerden yerel gravite alanı ile ilgili olarak yerel astronomik sistem tanımlanmı¸s olur. Burada sistemin orijini g¨ozlem yeri, P noktasıdır. z ekseni ¸cek¨ul do˘grusu ve zenite kadar olan do˘grultu ile ¸cakı¸sıktır. x ekseni ve y ekseni nivo y¨uzeyine (W = WP) te˘get olarak yatay d¨uzlemi olu¸sturur.
2.2 Nivo Y¨uzeyleri ve C¸ ek¨ul E˘grileri
W potansiyelinin sabit oldu˘gu y¨uzeylere e¸spotansiyelli y¨uzeyler veya nivo y¨uzeyleri
denir:
W (x, y, z) = sabit (2.2)
W = W (x, y, z) gravite potansiyelinin diferansiyeli alınır ve bu diferansiyel iki vekt¨or¨un skaler ¸carpımı ¸seklinde d¨uzenlenebilir:
dW = gradW dx = gdx (2.3)
Burada gradW , e¸spotansiyel y¨uzey W ’nin P noktasındaki gradyent vekt¨or¨ud¨ur.
dx = (dx, dy, dz) ¨u¸c boyutlu uzayda yer de˘gi¸stirme vekt¨or¨ud¨ur. E˘ger dx vekt¨or¨u
W = WP e¸spotansiyelli y¨uzey boyunca alınırsa y¨uzey ¨uzerinde potansiyel de˘geri
de˘gi¸smeyece˘ginden,
dW = gdx = 0 (2.4)
olur. ˙Iki vekt¨or¨un skaler ¸carpımı sıfıra e¸sitse, bu vekt¨orler birbirinin normalidirler. Sonu¸c olarak (2.4) e¸sitli˘gi gravite vekt¨or¨un¨un aynı noktadan ge¸cen nivo y¨uzeyinin
normali oldu˘gunu g¨osterir.
T¨um e¸spotansiyelli y¨uzeyleri dik kesen ¸cizgiler hafif¸ce e˘gri olup tam do˘gru de˘gildirler. Bunlara ¸cek¨ul e˘grileri denir. Herhangi bir noktadaki gravite vekt¨or¨u bu noktada ¸
cek¨ul e˘grisine te˘gettir. Buradan gravite vekt¨or¨un¨un do˘grultusu ile ¸cek¨ul e˘grisinin do˘grultusunun aynı anlamı ta¸sıdı˘gı s¨oylenebilir.
Bir noktanın deniz y¨uzeyinden olan H ortometrik y¨uksekli˘gi, jeoid y¨uzeyinden ba¸slanarak ¸cek¨ul e˘grisi boyunca ¨ol¸c¨ul¨ur. dx vekt¨or¨u ¸cek¨ul e˘grisi boyunca alınır ve do˘grultusu da g gravite vekt¨or¨un¨un ters y¨on¨u yukarıya do˘gru olur. B¨oylede bu iki de˘ger arasındaki a¸cı 180◦ olur. Skaler ¸carpım gere˘gi (2.3) e¸sitli˘gi;
dW =−gdH (2.5)
¸sekline girer. Birbirinden ayrılmayan geometrik kavram H ile dinamik kavram W arasındaki ili¸skiyi g¨osteren bu e¸sitlik y¨ukseklik belirlemenin temel kuramıdır. Jeodezik ¨
ol¸c¨ulerin (¨orne˘gin teodolit ¨ol¸c¨uleri ve nivelman) t¨um¨u nivo y¨uzeyleri ve ¸cek¨ul e˘grilerine g¨ore yapılır. W potansiyeli x, y, z koordinatlarının bir fonksiyonu olarak (2.2) e¸sitli˘giyle verilirse jeoit ve di˘ger t¨um nivo y¨uzeyleri biliniyor demektir (Heiskanen ve Moritz, 1984).
2.3 Y¨ukseklik Sistemleri
Jeodezik ¨ol¸cme aletleri (¨orne˘gin nivo ve teodolit) g¨ozlem noktasından ge¸cen ¸cek¨ul do˘grultusuna g¨ore d¨uze¸clenir. C¸ ek¨ul do˘grultuları gravite alanının en b¨uy¨uk e˘gim do˘grultularıdır; gravite alanının kuvvet ¸cizgileri olarak da anılırlar. Her noktasında ¸cek¨ul do˘grultusuna dik olan kapalı y¨uzeye nivo y¨uzeyi denir. Fiziksel yery¨uz¨unde yapılan ¨ol¸cmeler, ¸cek¨ul do˘grultuları ve nivo y¨uzeylerinde meydana gelen bir sistem i¸cinde de˘gerlendirilmelidir. Bunu yapabilmek i¸cin kuvvet ¸cizgilerinin ve dolayısıyla ona dik durumdaki nivo y¨uzeyinin uzaydaki konumunu belirleyen do˘gal kuvvetlerin belirlenmesi gerekmektedir. Buna g¨ore yery¨uz¨undeki bir cisme etkiyen a˘gırlık kuvvetinin bile¸senleri, k¨utle ¸cekim kuvveti ve d¨unyanın kendi ekseni etrafında d¨onmesi sonucu olu¸san merkezka¸c kuvvetidir. Yeryuvarını olu¸sturan kitlelerin da˘gılımı homojen bir yapıya sahip olmadı˘gından nivo y¨uzeyleri birbirini kesmeseler de paralel de˘gildirler. Sonu¸c olarak ¸cek¨ul do˘grultuları da birer uzay e˘grisidir. Her nivo y¨uzeyi sabit bir a˘gırlık potansiyeli de˘geri W ile tanımlanabilir. Bu nedenle nivo y¨uzeylerine e¸s potansiyelli
y¨uzeyler denir. Yery¨uz¨undeki bir P noktasında, nivo y¨uzeyinin WP potansiyeli ile
y¨ukseklikler i¸cin ba¸slangı¸c y¨uzeyi olarak alınan ve ideal okyanus y¨uzeyine kar¸sılık gelen jeoidin W0 potansiyeli arasındaki fark;
C = W0− WP = ∫ P 0 dW = ∫ P 0 g dH (2.6)
y¨uksekli˘gin fiziksel olarak g¨osterimi i¸cin en uygun sayıdır. Potansiyel fark C, jeopotansiyel sayı veya jeopotansiyel birim (gpu) olarak ifade edilir (1 gpu = 1 kgal× m = 1000 gal× m). Jeopotansiyel sayı, ilgili noktayı ba¸slangı¸c y¨uzeyindeki bir noktaya ba˘glayan nivelman yolundan ba˘gımsızdır. Nivo y¨uzeyinin t¨um noktaları i¸cin bu kural ge¸cerlidir.
Jeopotansiyel sayılar esas alınarak gravite alanı ile ili¸skili metrik y¨ukseklikler t¨uretilebilir. B¨oylesi y¨ukseklik t¨urlerine, jeopotansiyel sayının uygun bir gravite de˘gerine b¨ol¨unmesiyle ge¸cilebilir. Uygulamada yaygın olarak kullanılan y¨ukseklik t¨urlerinin bazıları a¸sa˘gıda kısaca tanımlanmaktadır. Nivelman sonu¸clarının indirgenmesine dayalı y¨ukseklik sistemleri hakkında daha ayrıntılı bilgiye, Demirel (1984) ve Heiskanen ve Moritz (1984)’den ula¸sılabilir.
• Dinamik y¨ukseklik, jeopotansiyel sayıların sabit bir gravite de˘gerine
b¨ol¨unmesiyle elde edilir. Gravite de˘geri i¸cin genellikle nivo elipsoidi olarak kullanılan referans elipsoidine ili¸skin ortalama bir de˘ger kullanılır. Orne˘¨ gin GRS80 elipsoidinin 45◦enlemindeki normal gravite de˘geri bu ama¸c i¸cin uygundur:
HD =
C γ0 (45◦)
(2.7)
• Ortometrik y¨ukseklik, yery¨uz¨undeki bir noktaya ait jeopotansiyel sayının
noktadan ge¸cen nivo y¨uzeyi ve jeoit arasındaki ¸cek¨ul e˘grisi boyunca ger¸cek gravitenin ortalama de˘gerine oranıdır:
H = C
g (2.8)
Dinamik y¨uksekli˘gin aksine ortometrik y¨uksekli˘gin geometrik olarak g¨osterimi yapılabilir. Noktadan ge¸cen ¸cek¨ul e˘grisinin topo˘grafik kitleler i¸cinde ilerledi˘gi e˘gri yay par¸cası bu y¨uksekli˘gi en iyi bi¸cimde tanımlar. Ancak kitlelerin i¸cinde ger¸cek gravite de˘geri ¨ol¸c¨ulemedi˘ginden ortometrik y¨uksekli˘gin hesabı i¸cin varsayım
gerekir.
• Normal y¨ukseklik, normal gravite alanındaki ¸cek¨ul e˘grisinin yay uzunlu˘gu ile
¨
ol¸c¨ul¨ur. Normal y¨uksekliklerin ba¸slangı¸c y¨uzeyine kuasijeoit adı verilir. Jeoidin aksine kuasijeoit bir nivo y¨uzeyi de˘gildir. Topo˘grafik kitlelerin altında jeoidden uzakla¸sırken deniz seviyesinde jeoitle ¸cakı¸sır. Normal y¨ukseklik, C sayısının normal ¸cek¨ul e˘grisi boyunca gravite de˘gerlerinin ortalamasına b¨ol¨unmesiyle,
H∗= C
γ (2.9)
elde edilir.
Bilindi˘gi ¨uzere g¨un¨um¨uzdeki jeodezik konum belirleme teknikleri GNSS ¨ol¸c¨ulerine dayalıdır. Bu teknikle elde edilen konum bilgisi do˘grudan ¨u¸c boyutludur ve 1-2 cm’lik do˘grulu˘ga sahiptir. Ancak burada ¨ol¸c¨ulen y¨ukseklik farkları elipsoidal y¨ukseklik farklarıdır ve m¨uhendislik uygulamalarında fiziksel olarak bir anlam ta¸sımazlar. Sonu¸c olarak, elde edilen bu y¨ukseklik farklarının gravite alanı ile ili¸skili y¨ukseklik t¨urlerine d¨on¨u¸st¨ur¨ulmeleri gerekir. D¨on¨u¸s¨um ili¸skisi, noktaya ili¸skin ¸cek¨ul sapması ve ¸cek¨ul e˘grisinin e˘grili˘gi g¨oz ardı edilerek kolayca ¸cıkarılabilir. S¸ekil 2.2’den g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi jeoit y¨uksekli˘gi N ile elipsoidal y¨ukseklik h ve ortometrik y¨ukseklik H arasında;
H = h− N (2.10)
e¸sitli˘gi yazılabilir.
S¸ekil 2.2: Jeoit ve elipsoit y¨ukseklikleri arasındaki ili¸ski
Jeoit y¨ukseklikleri, gravimetrik, GPS/Nivelman olarak da bilinen geometrik veya astrojeodezik jeoit model yardımıyla t¨uretilir. Gravimetrik y¨ontemde homojen ve yeterli sıklıkta gravite verilerine gereksinim duyulur. Jeoit modeli b¨olgesel olarak
olu¸sturulsa bile, global bir modele dayanır. Geometrik y¨ontemde ise belirli bir b¨olgede
H ortometrik ve h elipsoidal y¨ukseklikleri bilinen noktalar i¸cin (2.10)’dan hesaplanacak
N jeoit y¨ukseklikleri kullanılır. Jeoit y¨uzeyi bu durumda bir polinom y¨uzeyi ile g¨osterilebilir. Sonu¸clardan beklenen do˘gruluk seviyelerine veya mevcut olanaklara g¨ore model se¸ciminde farklı yakla¸sımlar izlenebilir. Bunların dı¸sında g¨un¨um¨uzde ¸cok az kullanım olana˘gı bulunan astrojeodezik jeoit modeli ise bu iki y¨onteme g¨u¸cl¨u bir se¸cenek konumundadır.
Elipsoit y¨uksekliklerinin ya da farklarının, ortometrik y¨uksekliklere d¨on¨u¸st¨ur¨ulmesinde gerekli olan jeoit y¨uksekli˘gi bilgisi ger¸cekte, elipsoidin uzayda nereye konum-landırılmasıyla do˘grudan ili¸skilidir. Uydu konum belirleme teknikleri elipsoidin uzaydaki konumunun yerin a˘gırlık merkezi ile ¸cakı¸sık olmasını gerektirir. Bu nedenle jeoit y¨ukseklikleri elipsoit y¨uksekliklerinin ait oldu˘gu referans elipsoidi ile ili¸skilendirilmelidir. G¨un¨um¨uz uygulamalarında bu WGS84 veya GRS80 elipsoidi ile sa˘glanır.
Elipsoidal co˘grafi koordinatlar yer-sabit (earth-fixed) sistem olarak olu¸sturulmu¸s Uluslararası Yersel Referans Sistemi (ITRF) koordinatlarından d¨on¨u¸st¨ur¨ul¨ur. Burada referans elipsoidinin a˘gırlık merkezi ve d¨onme ekseni, ITRF sisteminin merkezi ve z ekseni ile ¸cakı¸sık oldu˘gu varsayılır.
2.4 Jeoit Y¨ukseklikleri ve C¸ ek¨ul Sapmaları
Ger¸cek gravite potansiyeli W ile normal gravite potansiyeli U arasındaki fark;
T (x, y, z) = W (x, y, z)− U(x, y, z) (2.11)
bozucu potansiyel olarak bilinir. Burada normal gravite alanı yeryuvarının boyutlarına en yakın referans elipsoit ile tanımlanır. Normal potansiyel U , elipsoidin i¸cinin dolu k¨utlesi yeryuvarının k¨utlesi M ’ye e¸sit ve yeryuvarı ile aynı a¸cısal hız ω ile d¨ond¨u˘g¨u kabul edilerek yapay olarak elde edilir. Bu nedenle W ile U arasındaki fark do˘grusal kabul edilebilecek kadar k¨u¸c¨uk kalır.
Jeoit ¨uzerindeki bir P noktası ve bu noktadan ge¸cen elipsoit normalinin elipsoit ¨
uzerindeki izd¨u¸s¨um¨u Q noktası arasındaki N uzaklı˘gına jeoit y¨uksekli˘gi veya jeoit ondulasyonu denir. P noktasındaki gP ger¸cek gravite vekt¨or¨u ve Q noktasındaki γQ
normal gravite vekt¨or¨u olsun. ∆g gravite anomali vekt¨or¨u bunların farkına e¸sittir:
∆g = gP − γQ (2.12)
Vekt¨orler b¨uy¨ukl¨uk ve do˘grultuları ile belirli oldu˘gundan; b¨uy¨ukl¨ukler arasındaki fark gravite anomalisine (∆g = gP − γQ) ve do˘grultular arasındaki fark da ¸cek¨ul sapmasına
kar¸sılık gelir (S¸ekil 2.3).
S¸ekil 2.3: Ger¸cek ve normal gravite vekt¨orleri
Fiziksel yery¨uz¨unde yapılan ¨ol¸c¨umlerin de˘gerlendirilmesi ve hesaplanabilmesi i¸cin, ¸cok karma¸sık olan fiziksel yery¨uz¨u yerine, buna g¨ore daha basite indirgenmi¸s, geometrik tanımı yapılan elipsoit y¨uzeyi ile a˘gırlık potansiyelinin nivo y¨uzeylerinden biri olan fiziksel tanımlı jeoit y¨uzeyi kullanılır. Bozucu potansiyelin belirlenmesi bir anlamda ger¸cek gravite alanının belirlenmesi anlamına geldi˘gi i¸cin bozucu potansiyelin fonksiyonelleri ∆g yersel gravite anomalileri, ¸cek¨ul sapması ve N jeoit y¨uksekliklerinin ¨
onemi b¨uy¨ukt¨ur.
Yery¨uz¨unde bulunan bir noktadan ge¸cen ¸cek¨ul do˘grultusu ve elipsoit normali birim yarı¸caplı bir k¨ure ¨uzerinde g¨osterildi˘ginde, ¸cek¨ul sapmasının iki bile¸sene sahip oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Bu do˘grultular astronomik ve jeodezik g¨ozlemleri temsil etti˘ginden s¨oz konusu bile¸senlere astrojeodezik ¸cek¨ul sapması bile¸senleri denir. S¸ekil 2.4’e g¨ore ¸cek¨ul sapması bile¸senleri sırasıyla;
ξ = Φ− φ η = (Λ− λ) cos φ
e¸sitliklerinden hesaplanır. Burada ξ ¸cek¨ul sapmasının kuzey-g¨uney y¨on¨undeki, η do˘ gu-batı y¨on¨undeki bile¸senidir.
S¸ekil 2.4: C¸ ek¨ul sapması bile¸senleri
C¸ ek¨ul sapması bile¸senlerinin hesaplanabilmesi i¸cin gerekli olan jeodezik koordinatlar ile do˘gal koordinatlar g¨ozlemlerle elde edilebilir. G¨un¨um¨uzde φ, λ jeodezik koordinatlar GPS ¨ol¸c¨umlerinden, Φ, Λ astronomik koordinatlar ise astronomik g¨ozlemlerden belirlenmektedir.
C¸ ek¨ul do˘grultusu ve elipsoit normali arasındaki a¸cı, ξ, η ¸cek¨ul sapması bile¸senleri cinsinden toplam ¸cek¨ul sapması,
θ =√ξ2+ η2 (2.14)
ile g¨osterilir. Jeodezik koordinatları φ ve λ ile tanımlı bir noktadaki toplam ¸cek¨ul sapması, jeodezik azimut α do˘grultusundaki ¸cek¨ul sapmasına,
e¸sitli˘gi yardımıyla d¨on¨u¸st¨ur¨ulebilir.
2.5 GPS Nivelmanı ˙I¸cin Jeoit Belirleme Teknikleri
2.5.1 Gravimetrik y¨ontem
Jeoidin dı¸sında kitle bulunmadı˘gı varsayılarak yery¨uz¨undeki gravite g¨ozlemleri jeoide indirgenirse jeoit y¨ukseklikleri,
N = R
4πγ ∫∫
σ
S (ψ) ∆gdσ (2.16)
Stokes integraliyle hesaplanabilir. Burada R, yer yuvarının ortalama yarı¸capı; σ, y¨uzey elemanı; S (ψ), Stokes a˘gırlık fonksiyonudur. Jeoit y¨uksekli˘gi hesaplanacak nokta ile ∆g de˘geri kullanılan nokta arasındaki k¨uresel uzaklık ψ’ye ba˘glı olarak,
S (ψ) = 1 sinψ2 − 6 sin ψ 2 + 1− 5 cos ψ − 3 cos ψln ( sinψ 2 + sin 2 ψ 2 ) (2.17) verilir.
Stokes denklemi, jeoidin ¨uzerindeki kitlelerin yok varsayılmasını ve yeryuvarının tamamına yayılmı¸s gravite anomalilerinin jeoide indirgenmesini gerektirir. Pratikte bu hi¸cbir zaman ger¸cekle¸smez. Yeryuvarının tamamını kaplayan yeterli gravite anomalisi yo˘gunlu˘gu sa˘glansa bile; integral, sayısal olarak sadece hesap noktasını ¸cevreleyen k¨u¸c¨uk bir b¨olgede de˘gerlendirilebilir. K¨u¸c¨uk bir b¨olge i¸cin y¨uzey d¨uzlem kabul edilebilir. Bu durumda (2.17) e¸sitli˘gi sadele¸serek,
N = 1 2πγ ∫∫ ∆g r dxdy = 1 γS∆g (2.18)
¸seklini alır. Burada S, stokes operat¨or¨ud¨ur. Jeoidin belirlenmesinde, integral yerine sonlu y¨uzey elemanlarının toplamı kullanılır. Bunun i¸cin y¨uzey elemanı gravite anomalilerinin ortalama de˘gerleri grid yapıda g¨osterilir. Koordinat sisteminin eksenleri grid yapısına uygundur. Ortalama de˘gerler, ger¸cek gravite anomalilerinin enterpolasyonu ile bulunur.
Jeoit y¨uksekli˘gi, ¸cek¨ul sapması gibi a˘gırlık alanı fonksiyonları, jeopotansiyel modellerle g¨osterildi˘ginde kullanılan veri t¨urlerine g¨ore farklı frekans grupları olu¸sur. Veriler bu
modele de˘gi¸sik derecelerde katkı sa˘glar. Genel olarak ¨ol¸c¨u t¨urlerinin katkısı, uzun, orta ve kısa dalga boylu olmak ¨uzere ¨u¸c grupta de˘gerlendirilir. Jeoit y¨ukseklikleri ve gravite anomalileri, ¨u¸c kaynaktan elde edilen verilerin toplamı bi¸ciminde
N = NGM + N∆g+ NH (2.19)
yazılabilir. Bu e¸sitliklerde ge¸cen b¨uy¨ukl¨ukler indislerine g¨ore GM jeopotansiyel model;
g artık gravite anomalisi ve H topo˘grafik y¨ukseklik katkısını g¨osterir. Jeoit y¨uksekli˘gine jeopotansiyel model GM metre, artık gravite anomalileri g desimetre, topo˘grafya ise santimetre d¨uzeyinde katkı sa˘glar.
2.5.2 Global jeoit modelleri
Jeoit y¨uksekli˘gi gibi yeryuvarının gravite alanı ile ili¸skili b¨uy¨ukl¨uklerin hesaplanabildi˘gi modeller, t¨um yery¨uz¨une ait gravite bilgilerinden yararlanılarak olu¸sturulmu¸s global
jeopotansiyel modeller ’dir. Jeopotansiyel model, esas itibariyle belli bir a¸cınım derecesine kadar hesaplanmı¸s katsayıları i¸ceren bir modeldir ve yeryuvarının ¸cekim potansiyelini en iyi tanımlayan k¨uresel harmonik serilerin katsayılarını i¸cerir. Gravite anomalileri bir jeopotansiyel model olu¸sturmada kullanılan tek veri k¨umesi de˘gildir. Dı¸s ¸
cekim alanının ger¸ce˘ge en uygun bi¸cimde modellenebilmesi i¸cin gravite sinyalinin de˘gi¸sik frekanslarını temsil edecek veri ¸ce¸sitlili˘gine gereksinim vardır. Uydu izleme verileri, denizlerdeki uydu altimetre verileri ve sayısal y¨ukseklik modelleri veri kaynaklarıdır. Global jeopotansiyel modelleri arasında ¨one ¸cıkan modeller geleneksel uydu izleme tekniklerine dayalı OSU91A ve EGM96 ile gravite alanı belirleme ama¸clı uydu g¨orevleri CHAMP, GRACE ve GOCE verilerini i¸ceren b¨ut¨unle¸sik CG01C, GL04C ve
GGM02C ’dir. Son gruba dahil jeopotansiyel modellerden en ¨onemlisi 2008 yılında olu¸sturulan EGM2008’ modelidir (Pavlis vd., 2008).
Model yardımıyla gravite de˘gerlerinin hesaplanabilmesi i¸cin ¨oncelikle noktalara ili¸skin k¨uresel koordinatlar (Φ, λ, r) ile harmonik katsayıların belli olması gerekir.
E˘ger modelden yararlanarak jeoit y¨ukseklikleri bulunmak istenirse,
N = GM Rγ N∑max n=2 n ∑ m=0 ( R r )n( δCnmcos mλ + δSnmsin mλ ) Pnm(sin ϕ) (2.20)
e¸sitli˘gi kullanılır. S¸ekil 2.5’de EGM2008 modelinden t¨uretilen jeoit y¨uksekliklerinin tematik haritası g¨or¨ulmektedir. Burada GM yeryuvarının ¸cekim sabiti, R jeosentrik uzaklık, a kullanılan referans elipsoidinin b¨uy¨uk yarı ekseni, (n, m) derece ve sıra, (ϕ, λ) jeosentrik enlem ve jeodezik boylam, (δCnm, δSnm) k¨uresel harmonik katsayı
farkları, Pnm(sin ϕ) tam normalle¸stirilmi¸s Legendre polinomudur. EGM2008 modeli
i¸cin, GM = 3.986004418× 1014 m3s−2 ve R = 6378136.3 m olarak WGS84 elipsoidi referans alınmı¸stır.
S¸ekil 2.5: EGM2008 jeoit y¨ukseklikleri haritası (NGA, 2009)
2.5.3 Astrojeodezik y¨ontem
Genel bir ayrım olarak gravimetik y¨ontemlerde potansiyel kuramından yararlanılarak gravite vekt¨or¨un¨un g b¨uy¨ukl¨u˘g¨u i¸slenmesine kar¸sılık, astrojeodezik y¨ontemlerde vekt¨or¨un do˘grultusu kullanılır. C¸ ek¨ul do˘grultusu ile elipsoit normali arasında, jeodezik ve astronomik koordinatların kar¸sıla¸stırılmasından elde edilen ¸cek¨ul sapması bile¸senlerinden α azimutu do˘grultusundaki bile¸seni olarak ε hesaplanır. Bu de˘ger yardımıyla jeoit ondulasyonlarına ge¸ci¸s sa˘glanabilir. Bunlara ili¸skin daha a¸cıklayıcı bilgiler b¨ol¨um 4.2’de anlatılacaktır.
2.5.4 GPS/Nivelman y¨ontemi
Gravite verilerinin elde mevcut olmadı˘gı b¨olgelerde jeoidin gravimetrik y¨ontemlerle hesabı m¨umk¨un de˘gildir. B¨oyle durumlarda nivelman ile elde edilmi¸s ortometrik y¨ukseklikler varsa, aynı noktalardaki GPS ¨ol¸c¨ulerinden hesaplanan elipsoidal y¨ukseklik de˘gerleri yardımıyla geometrik bir jeoit modeli olu¸sturulabilir. S¨oz konusu noktalarda
N = h − H e¸sitli˘gi ile hesaplanan jeoit y¨ukseklikleri ¸calı¸sma b¨olgesine en uygun
analitik bir y¨uzey belirlenmesinde kullanılabilir. Y¨uzey olu¸sturulduktan sonra jeoit y¨uksekli˘gi ve bilinmeyen noktaların y¨ukseklik de˘gerleri, GPS ¨ol¸c¨ulerinden elde edilmi¸s koordinatlar yardımıyla modelden hesaplanabilir. Y¨uzey denklemi i¸cin ¨orne˘gin;
N (x, y) = 2 ∑ k=0 2 ∑ l=0 aklxkyl (2.21)
(x, y) koordinatlarıyla kuadratik (2. dereceden) model ¸co˘gu kez yeterli g¨or¨ul¨ur. Yerel jeoidin geometrik olarak modellenmesine ili¸skin kollokasyon, kriging gibi de˘gi¸sik yakla¸sımlar vardır. Bu yakla¸sımlar hakkında daha ayrıntılı bilgi ¨Ust¨un (2008)’den elde edilebilir.
3. ASTROJEODEZ˙IK KONUM BEL˙IRLEME
Astronomi, g¨ok cisimlerinin konumlarını, konumlarındaki de˘gi¸simi, fiziksel yapılarını ve bu yapılardaki de˘gi¸simi, kısaca her y¨on¨u ile uzayda hakim olan kanunları ara¸stıran bir bilimdir (Erbudak ve Tu˘gluo˘glu, 1976). Tanımı uyarınca yeryuvarı da bir g¨ok cismi oldu˘gundan ve yery¨uz¨undeki konum ¨ol¸cmeleri ve de˘gi¸simlerinin di˘ger g¨ok cisimlerine g¨ozlemler yapılmasını gerektirdi˘ginden, jeodezi bilimi de astronomiden yararlanır. Bu kapsamda jeodezik ama¸clarla ger¸cekle¸stirilen astronomik g¨ozlemler ve bu g¨ozlemlerden gerekli bilgileri ¸cıkarmak i¸cin yapılan hesaplamalar genellikle Jeodezik Astronomi adı altında jeodezinin ¨ozel bir bilim dalı olarak incelenir.
Jeodezik astronomini uygulamaları b¨uy¨uk ¨ol¸c¨ude yery¨uz¨u noktalarının ¸cek¨ul e˘grileriyle tanımlı astronomik koordinatlarının belirlenmesini kapsar. Bunun i¸cin uzayda de˘gi¸smez (sabit) noktalar almak ve yerin d¨onme ekseni ve g¨ozlem yerindeki ¸cek¨ul do˘grultusuna g¨ore kesinlikle tanımlanabilen do˘grultular bulmak gereklidir. Bu do˘grultu g¨ozlemleri sayesinde jeodezik datum sistemlerinin (¨orne˘gin ED50, WGS84) olu¸sturulması, jeodezik a˘gların y¨onlendirilmesi ve konumlandırılması, jeodezik a˘glara ili¸skin ¨ol¸c¨ulerin indirgenmesi, topo˘grafik kitlelere ili¸skin yo˘gunluk tahminlerinin ger¸cekle¸stirilmesi, yer d¨on¨ukl¨uk parametrelerinin ve kutup geziniminin izlenmesi, zaman sistemlerinin tanımlanması, yersel ve g¨oksel referans sistemleri arasında kar¸sılıklı d¨on¨u¸s¨um ili¸skilerinin tanımlanması, yıldızların g¨or¨unen konumları ve onların d¨uzg¨un hareketlerinin belirlenmesi ve astrojeodezik jeoit belirleme uygulamaları ger¸cekle¸stirilebilmektedir ( ¨Ust¨un, 2006).
Astrojeodezik g¨ozlemlere dayalı jeoit belirleme ¸calı¸sması i¸cin, bilinmesi ve yapılması gerekenler kısaca ¸su ¸sekilde ¨ozetlenebilir:
• Jeodezik ve astronomik koordinatların tanımlandı˘gı koordinat sistemleri ve yıldız
koordinatlarındaki de˘gi¸simlerin sonu¸clar ¨uzerindeki etkilerinin g¨oz ¨on¨une alınması ve yıldız i¸cin de˘gi¸sik zaman sistemleri ili¸skilerinin a¸cık bi¸cimde ortaya konulması,
• Jeodezik ama¸clara uygun yıldızların ara¸stırılması, yıldızların genel ¨ozellikleri
ve konum bilgilerinin verildi˘gi uygun yıldız kataloglarının se¸cimi ve kullanım olanaklarının ara¸stırılması,
• G¨ozlem noktalarında ¸cek¨ul sapması bile¸senlerinin belirlenmesi ve bu bilgilerin iki
nokta arasındaki jeoit y¨ukseklik farkına d¨on¨u¸st¨ur¨ulmesi.
3.1 Koordinat ve Zaman Sistemlerine Genel Bakı¸s
Astronomide konum belirleme uygulamaları ¨uzerinde g¨ok cisimlerinin ve yeryuvarı ile ili¸skili ¨ozel noktaların g¨osterildi˘gi g¨ok k¨uresinde ger¸cekle¸stirilir. K¨ure ¨uzerindeki noktaların yerleri g¨ok k¨uresi ile b¨ut¨unle¸sik tasarlanmı¸s de˘gi¸sik koordinat sistemlerinde ifade edilebilir. De˘gi¸sik sistemlerle ¸calı¸sma zorunlulu˘gu, g¨ozlemciye ba˘glı ve de˘gi¸smez koordinat sistemleri arasında ge¸ci¸s yapma gereksiniminden kaynaklanır. Hangi sistem kullanılırsa kullanılsın temel olarak uzayda herhangi bir nokta;
• Dik koordinat sistemi (x, y, z) veya
• K¨uresel kutupsal koordinat sistemi (r, λ, ϑ)
yardımıyla tanımlanır (S¸ekil 3.1).
S¸ekil 3.1: Dik ve kutupsal koordinat sistemi
Burada x, y, z noktanın sırasıyla, yz, xz ve yz d¨uzlemlerinden uzaklı˘gıdır. K¨uresel kutupsal koordinat sisteminde konum, noktayı koordinat sisteminin merkezine ba˘glayan do˘gru ¨uzerinden ifade edilir. r, do˘gru par¸casının uzunlu˘gu; λ, OP ’nin xy d¨uzlemi
¨
uzerindeki izd¨u¸s¨um¨un¨un x ekseni ile yaptı˘gı a¸cı; ϑ, OP ’nin z ekseni ile yaptı˘gı a¸cı olarak tanımlanır. S¸ekil 3.1’den de g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi kutupsal koordinat sisteminden dik koordinat sistemine ge¸ci¸s;
x = r sin ϑ cos λ , y = r sin ϑ sin λ , z = r cos ϑ (3.1)
d¨on¨u¸s¨um e¸sitlikleri yardımıyla sa˘glanır.
Astronomide g¨ok cisimlerinin koordinat sistemlerinin merkezine olan uzaklıkları genellikle pek ¨onemsenmez. Bu durum ger¸cekte t¨um g¨ok cisimlerinin aynı g¨ok k¨uresine iz d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨u varsayımının bir sonucudur. Sonu¸c olarak g¨ok k¨uresi ¨uzerindeki bir noktanın koordinatlarından s¨oz edildi˘ginde sadece a¸cısal b¨uy¨ukl¨ukler ba¸ska deyi¸sle yay uzunlukları, anla¸sılır. G¨ok cisimlerinin koordinatları kullanılan koordinat sisteminin ba¸slangıcına veya g¨ok k¨uresinin merkezinin uzayda nerede bulundu˘guna g¨ore de˘gi¸sir. Ba¸slangı¸c noktasının yerine g¨ore astronomide koordinat sistemleri;
1. Ba¸slangıcı g¨ozlem yeri olan Toposentrik sistem, 2. Ba¸slangıcı yerin merkezi olan Jeosentrik sistem, 3. Ba¸slangıcı g¨une¸s merkezi olan Helyosentrik sistem,
4. Ba¸slangıcı bir grup g¨ok cisminin a˘gırlık merkezinde olan Barisentrik sistem, 5. Ba¸slangıcı samanyolu sisteminin merkezinde olan Galaktosentrik sistem
olmak ¨uzere sınıflandırılır (Aksoy, 1987).
Jeodezik astronomide toposentrik ve jeosentrik sistemlerin ¨onemi b¨uy¨ukt¨ur. Toposen-trik sistem yery¨uz¨undeki bir g¨ozlemciyi, jeosentrik sistem yerin a˘gırlık merkezini temel aldı˘gından astrojeodezik konum belirleme tekni˘ginin en ¨onemli iki a¸samasını temsil eder. A¸sa˘gıda jeodezik koordinatların tanımlandı˘gı co˘grafi koordinat sistemi hakkında kısaca bilgi verildikten sonra, g¨ok cisimlerinin konumlarının g¨osterildi˘gi ufuk (toposentrik) ile ekvator koordinat sistemleri ile onlarla b¨ut¨unle¸sik zaman sistemleri ayrıntılı olarak a¸cıklanacaktır.
Yery¨uz¨undeki bir g¨ozlemcinin koordinatları, g¨ok k¨uresi ¨uzerinde tanımlanan co˘grafi enlem φ ve co˘grafi boylam λ ile g¨osterilir (S¸ekil 3.2). Her iki koordinat b¨uy¨ukl¨u˘g¨u g¨ozlem noktasından ge¸cen ¸cek¨ul do˘grultusuna g¨ore a¸cıklanır. Co˘grafi enlem, ¸cek¨ul
S¸ekil 3.2: Co˘grafi koordinat sistemi
do˘grultusunun d¨unyanın d¨onme eksenine dik d¨uzlem (ekvator d¨uzlemi) ile yaptı˘gı a¸cıdır; noktadan ge¸cen meridyen d¨uzlemi ¨uzerinde ekvator d¨uzleminden ba¸sucu do˘grultusuna do˘gru ¨ol¸c¨ul¨ur. Co˘grafi boylam, Greenwich’teki ¸cek¨ul do˘grultusunu i¸cine alan ve d¨unyanın d¨onme eksenine paralel olan d¨uzlemle, yer noktasındaki ¸cek¨ul do˘grultusunu i¸cine alan ve d¨unyanın d¨onme eksenine paralel olan d¨uzlem arasındaki a¸cıdır. A¸cının b¨uy¨ume y¨on¨u, g¨ok ekvatoru ile ba¸slangı¸c meridyeninin arakesiti olan x ekseni ba¸slangı¸c olmak ¨uzere z ekseni y¨on¨unden bakıldı˘gında saat ibresinin tersidir.
3.1.1 Ufuk koordinat sistemi
Bir g¨ozlem noktasındaki ¸cek¨ul do˘grultusunun her iki y¨onde uzantısı, g¨ok k¨uresini iki noktada, zenit ve nadir noktalarında deler. G¨ozlem noktasında ¸cek¨ul do˘grultusuna dik d¨uzlem yerin a˘gırlık merkezinde paralel d¨uzlem g¨ok k¨uresini bir b¨uy¨uk daire boyunca keserek, ufuk dairesini olu¸sturur. ¨Ote yandan ¸cek¨ul do˘grultusunu i¸cine alan her bir d¨uzlem, g¨ok k¨uresini iki e¸sit par¸caya ayırır. Bunlara d¨u¸sey daireler denir. Ufuk ¸cek¨ul do˘grultusuna dik oldu˘gu i¸cin, d¨u¸sey daireler ufuk d¨uzlemine dik gelirler. Yerin d¨onme
ekseni her iki y¨onde uzatılırsa g¨ok k¨uresini kuzey kutbu PN ve g¨uney kutbu PS olmak
¨
uzere iki noktada deler. G¨ok kutuplarından ve zenitten ge¸cen b¨uy¨uk daireye g¨ozlem yeri meridyeni denir. PN kutup noktasının ufuk d¨uzlemine yakın oldu˘gu meridyen kesimi
kuzey do˘grultusunu, uzak oldu˘gu kesim ise g¨uney do˘grultusunu tanımlar (M¨uller, 1973).
S¸ekil 3.3: Ufuk koordinat sistemi
Meridyen ile yıldızdan ge¸cen d¨u¸sey daire arasındaki a a¸cısına astronomik azimut denir. Meridyenin g¨uneyinden itibaren saat ibresinin d¨on¨u¸s y¨on¨unde 0◦ile 360◦arasında de˘ger alır. Jeodezide ise azimut meridyenin kuzeyinden itibaren ¨ol¸c¨ul¨ur. Jeodezik azimut
α ile astronomik azimut a arasında, α = a∓ 180◦ ba˘gıntısı vardır. S yıldızına ait g¨ozlem do˘grultusu ile zenit do˘grultusu arasındaki z a¸cısına veya S’den ge¸cen d¨u¸sey dairenin ¨uzerinde zAS yayına zenit uzaklı˘gı denir. Zenit uzaklı˘gı 0◦ ile 180◦ arasında
de˘gi¸sen de˘gerler alır. Zenit uzaklı˘gının t¨umleri olan ve g¨ozlem yeri ile yıldız arasındaki do˘grultunun ufuk d¨uzlemi ile yaptı˘gı h a¸cısına yıldızın y¨uksekli˘gi denir (zenit noktasında h = +90◦, nadir noktasında h =−90◦, ufuk d¨uzleminde bulunan bir yıldız i¸cin h = 0◦). S¸ekil 3.3’de g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi, ufuk koordinat sisteminde, ufuk dairesi ve meridyen
dairesi yanında ba¸ska ¨ozel dairelerin de tanımı yapılmı¸stır. Burada meridyene dik durumdaki d¨u¸sey dairenin de ¨ozel bir ¨onemi oldu˘guna de˘ginmek gerekir. Bu d¨u¸sey daire 1. d¨u¸sey daire adını alır. Birinci d¨u¸sey daire ufku bir tarafta azimutu 90◦ olan
batı noktasında, di˘ger tarafta azimutu 270◦ olan do˘gu noktasında keser. Y¨ukseklik daireleri, ufuk dairesine paralel k¨u¸c¨uk dairelerdir ve almukantarat adını alır. Bir y¨ukseklik dairesinde bulunan t¨um noktaların y¨ukseklikleri ya da zenit uzaklıkları e¸sittir. D¨unya batıdan do˘guya kendi etrafında d¨ond¨u˘g¨u i¸cin, bir yıldız g¨or¨un¨umde do˘gudan batıya, yerin d¨onme eksenine dik bir paralel daire yani kendi g¨unl¨uk hareket y¨or¨ungesi ¨
ust¨unde dolanır. Yıldız bu d¨on¨u¸s¨unde ¨ozel konumlar alır. Bunlar ufuk dairesinin do˘gu kesiminde, yıldızın ufuk dairesi ¨ust¨une ¸cıktı˘gı an, yani g¨or¨unmeye ba¸sladı˘gı andır. Bu konuma yıldızın do˘gu¸su denir. Yıldızın do˘gu¸sunda yıldıza ait ufuk koordinatları h = 0◦ veya z = 90◦ olur. Bazı yıldızlar g¨unl¨uk hareketlerinde bir g¨ozlem yeri ufuk dairesinin ¨
ust¨unde kalırlar. Bunlar batmayan yıldızlardır ve sirkumpolar yıldızlar adını alırlar. Bazıları ise hi¸c do˘gmazlar. Yıldızın ufuk dairesinin batı kesimine ge¸cti˘gi an, batı¸s anıdır ve bundan sonra yıldız ufkun altına girecektir. Batı¸s anında da yıldıza ait ufuk koordinatları h = 0◦ veya z = 90◦ olur.
3.1.2 Ekvator koordinat sistemi
Yıldızların ufuk koordinatları zenit uzaklıkları ile azimutları, yerin kendi ekseni etrafında d¨onmesi sonucu zamana ba˘glı olarak d¨uzensiz bir ¸sekilde de˘gi¸sir. Bu etkiden kurtulmak i¸cin ekvator koordinat sistemi kullanılır.
Bu sistemde, ufuk d¨uzlemi yerine ekvator d¨uzlemi, ¸cek¨ul do˘grultusu yerine g¨ozlem noktasında yerin d¨onme eksenine paralel do˘gru alınmaktadır. Ufuk sistemindeki d¨u¸sey dairelere kar¸sılık ekvator sisteminde saat daireleri vardır. S¸ekil 3.4’de g¨or¨ulece˘gi gibi g¨ok kutbundan ge¸cen b¨uy¨uk dairelere saat daireleri ya da deklinasyon daireleri denir. Bunlar ekvatora dik olup PN kuzey g¨ok kutbu ile PSg¨uney g¨ok kutbunda kesi¸sirler. Bu
sistemde yıldızın g¨unl¨uk y¨or¨ungesi boyunca ekvatordan yıldıza kadar olan δ deklinasyon a¸cısı sabit kalır. Yıldızın anlık konumu saat daireleri arasındaki a¸cı ile belirlenir. Buna g¨ore yıldızın g¨ozlem meridyeninden ge¸ci¸s anında saat a¸cısı t = 0h olur. Yıldızın
y¨or¨ungesi do˘gudan batıya do˘gru oldu˘gundan adından da anla¸sılaca˘gı gibi saat a¸cıları saat ibresi y¨on¨unde artar. Konum bilgileri t saat a¸cısı ve δ deklinasyonu ile verilen bu sisteme 1. ekvator sistemi denildi˘gi de olur.
S¸ekil 3.4: 1. Ekvator koordinat sistemi
G¨ok k¨uresi ¨uzerinde de˘gi¸smez bir x ekseni tanımlanırsa yıldız koordinatları g¨ozlemciden ba˘gımsız duruma getirilebilir. Bu durum, t saat a¸cısı yerine a¸cılım veya rektasansiyon
olarak adlandırılan α koordinatı ile sa˘glanır. G¨une¸sin g¨oky¨uz¨unde yıllık dolanımında ekvatoru g¨uneyden kuzeye ge¸cerken, ilkbahar ba¸slangıcında bulundu˘gu noktaya ilkbahar
noktası denir. G¨une¸sin g¨or¨un¨u¸steki bu y¨or¨ungesine ekliptik denir. ˙Ilkbahar noktası, g¨ok k¨uresi ¨uzerinde ekvatorla eklipti˘gin kesi¸sti˘gi iki noktadan biridir. ˙Ilkbahar noktasından yarım daire uzaklıktaki (α = 180◦) di˘ger kesi¸sme yerine sonbahar noktası denir. Rektasansiyon, ilkbahar noktasından ba¸slar ve saat ibresi d¨on¨u¸s¨un¨un ters y¨on¨unde 0◦ ile 360◦ arası de˘ger alarak, ilkbahar noktası ile yıldızdan ge¸cen saat daireleri arasında kalan a¸cıyı tanımlar. Deklinasyon, bir noktanın enlemi gibi ¨ol¸c¨ul¨ur ve g¨ozlenen yıldız do˘grultusun ekvatordan olan a¸cısal uzaklı˘gıdır. Deklinasyon, ekvatordan ba¸slayarak kuzey kutba do˘gru artan ve g¨uney kutba do˘gru azalan, 0◦ ile ∓ 90◦ arasında de˘ger alır. Rektasansiyon ve deklinasyon yıldızların g¨ok k¨uresinde de˘gi¸smez koordinatlarıdır. Yerin kendi ekseni etrafında d¨onmesi sonucu zamana ba˘glı olarak de˘gi¸smezler. Bunlar bir yer noktasının, yer k¨uresinde belirtilmesi i¸cin kullanılan co˘grafi enlem ve co˘grafi boylama kar¸sılıktır. ˙Ilkbahar noktasından ge¸cen saat dairesine
kar¸sılık yer k¨uresinde Greenwich ¨uzerinden ge¸cen meridyen alınmı¸stır. Enlem, boylam ve azimutun astronomik olarak tayin edilmesi i¸cin yıldızların rektasansiyonları ve deklinasyonları bilinen b¨uy¨ukl¨uklerdir. Bu, yıldız a1manaklarından veya ¨ozel astronomik almanaklardan alınır (M¨uller, 1973).
S¸ekil 3.5: Ufuk ve ekvator koordinat sistemleri
Astronomide a¸cı birimi yanında zaman birimi de ¸cok kullanılır. A¸cı ile zaman birimleri arasında, 24h=360◦, 1h=15◦, 1m=15′, 1s=15′′ ve 1◦=4m, 1′=4s, 1′′=1/15s ba˘gıntıları kullanılır. Yıldızlar g¨un boyunca do˘gudan batıya dolandıkları i¸cin bir yıldızın saat a¸cısı
t, zamana ba˘glı olarak de˘gi¸sir. Buna kar¸sılık yıldızların g¨or¨unen g¨unl¨uk hareketleri nedeniyle deklinasyonlarında bir de˘gi¸sme olmaz.
Ba¸slangı¸c noktası ilkbahar noktası olmak ¨uzere yıldız do˘grultusunu belirlemek i¸cin
α, δ a¸cıları ile tanımlanan 2. ekvator sistemine ba˘glantı sa˘glayan ekliptik koordinat sisteminde tanımlı L, β g¨oksel boylam ve enlem a¸cıları alınır. Bu a¸cıların artı¸s y¨on¨u ve aldı˘gı de˘gerler α, δ a¸cılarında oldu˘gu gibidir.
Euler astronomik ¨u¸cgeni ve ¸c¨oz¨um¨u
G¨ok k¨uresi ¨uzerinde ba¸sucu noktası zA, astronomik kutup noktası P ve S yıldızının
olu¸sturdu˘gu k¨uresel ¨u¸cgene, Euler astronomik ¨u¸cgeni denir. Buna g¨ore ¸sekil 3.5’de olu¸san k¨uresel ¨u¸cgene, k¨ure y¨uz¨unde aynı b¨uy¨uk daire ¨ust¨unde olmayan farklı ¨u¸c noktayı
birbirleri ile en kısa yoldan birle¸stiren b¨uy¨uk daire yaylarının olu¸sturdu˘gu kapalı alana
Euler k¨uresel ¨u¸cgeni denir. Bu ¨u¸c noktayı birle¸stiren ve merkez a¸cısı 180◦ den k¨u¸c¨uk olan b¨uy¨uk daire yayları k¨uresel ¨u¸cgenin kenarlarıdır. K¨uresel ¨u¸cgenin kenarlarını i¸cine alan d¨uzlemler arasındaki a¸cılar, k¨uresel ¨u¸cgenin a¸cılarıdır. ¨U¸cgenin k¨o¸se noktalarında i¸c ve dı¸s a¸cı olmak ¨uzere b¨oyle iki a¸cı vardır. ¨U¸cgenin kenarları yarım daire yayından (kenarlara kar¸sılık merkez a¸cıları 180◦’den) b¨uy¨uk olamayaca˘gına g¨ore, bir k¨uresel ¨
u¸cgenin a¸cıları da 180◦’den b¨uy¨uk olamaz. Bu durumda Euler ¨u¸cgeni, kenarları yarım daire yayından k¨u¸c¨uk ve i¸c a¸cıları 180◦’den k¨u¸c¨uk olan k¨uresel ¨u¸cgendir. Euler ¨u¸cgenin i¸c a¸cıları toplamı d¨uzlem ¨u¸cgenin aksine 180◦’den b¨uy¨ukt¨ur. K¨uresel fazlalı˘ga ekses denir. Euler k¨uresel ¨u¸cgen ¸c¨oz¨umleri, k¨uresel trigonometrik ba˘gıntılardan hesaplanır. Bu anlamda sin¨us, kosin¨us, sin¨us-kosin¨us ve kotanjant teoremleri k¨uresel ¨u¸cgenin ¸
c¨oz¨um¨unde yaygın olarak kullanılan trigonometrik e¸sitliklerdir.
Yerin kendi ekseni etrafında d¨ond¨u˘g¨un¨u, hızını algılayamadı˘gımız i¸cin hissetmeyiz; yer sabitmi¸s gibi hissederiz. Buna kar¸sın g¨ok k¨uresi ve ¨uzerindeki yıldızları etrafımızda d¨on¨uyormu¸s gibi g¨or¨ur¨uz. Yıldızların bu hareketlerine g¨unl¨uk g¨or¨unen hareket denir. G¨unl¨uk g¨or¨unen hareket, yer k¨uresinin d¨on¨u¸s¨un¨un tersi y¨ondedir. Yıldızların s¨urekli olarak g¨okteki konumlarını de˘gi¸stirmeleri nedeniyle y¨ukseklik ve azimutları da de˘gi¸sir. Bu de˘gi¸simler asla d¨uzenli olmaz. Yıldızlar, g¨une¸s ve ay gibi g¨oky¨uz¨un¨un do˘gu kesiminden do˘gar yani ufkun ¨ust¨une ¸cıkar, g¨uneye do˘gru hareket eder ve giderek y¨ukselirler. Meridyende en b¨uy¨uk y¨uksekli˘ge ula¸sırlar. Meridyende en y¨uksekte oldukları an ¨ust ge¸ci¸s anı olarak adlandırılır. Hareketlerini batıya do˘gru s¨urd¨urerek git gide y¨uksekliklerinden kaybederler ve g¨oky¨uz¨un¨un batı kesiminden batarlar. Yıldızın g¨unl¨uk y¨or¨ungesi meridyene g¨ore tam simetriktir. Y¨ukseklik de˘gi¸simi do˘gu¸sta ve batı¸sta en hızlı olur, meridyende ise kısa bir s¨ure hi¸c de˘gi¸smez, burada yıldız ufka paralel gider. Bunun tersine azimut, meridyende en hızlı, do˘gu¸s ve batı¸sta en yava¸s de˘gi¸sir.
E˘ger bir g¨ozleyici, ekvatorla kuzey kutup arasında bir yerde bulunuyorsa bir yıldızın hareketini altı durumdan biri olarak g¨orebilir. Birinci durumda yıldızlar daima ufkun ¨
ust¨undedirler ve 1. d¨u¸sey daireyi asla kesmezler. G¨ozleyicinin 45◦’den daha b¨uy¨uk enlemlerde bulundu˘gunda ikinci durumdaki yıldızlar daima ufkun ¨ust¨unde kalırlar ancak 1. d¨u¸sey daireyi keserler. Bu iki grup yıldız bulutsuz g¨oky¨uz¨unde s¨urekli olarak g¨or¨ul¨urler. Bu yıldızlar kuzey sirkumpolar yıldızlar olarak adlandırılırlar. U¸¨c¨unc¨u, d¨ord¨unc¨u ve be¸sinci grup yıldızlar do˘garlar ve batarlar. Bu yıldızlar ekvatorsal yıldızlar olarak adlandırılırlar. Altıncı grup asla do˘gmayan yıldızlar olup, g¨uney sirkumpolar
yıldızlar olarak adlandırılır (Acar, 1999).
E˘ger g¨ozleyici ekvatorda ise, t¨um yıldızların yollarının yarısını g¨or¨ur. Her yıldız ufkun ¨
ust¨unde ve altında e¸sit zaman ge¸cirir. E˘ger g¨ozleyici kuzey veya g¨uney kutupta olursa, kuzey yarık¨uresindeki veya g¨uney yarık¨uresindeki yıldızlar daima ufkun ¨ust¨unde olurlar. Onlar zenit etrafında dairesel hareket yaparlar.
Bir yıldızın, birinci d¨u¸sey daire ¨uzerindeki azimutu 90◦’dir. Euler astronomik ¨u¸cgeninde azimut, enlem ve rektasansiyon de˘gerleri verilmi¸s ise sin¨us teoremi uygulanarak;
tan M =− cos a cot φ cos (z− M) = sin δ
sin φcos M
(3.2)
e¸sitlikleri bulunur. M k¨uresel ¨u¸cgen mod¨ul¨u olarak bilinir. (3.2) enlemi yakla¸sık olarak bilinen bir noktada belirli bir an i¸cin zenit uzaklı˘gını veren ba˘gıntılardır. Zenit de˘geri hesaplandıktan sonra,
sin t = sin a sin z
cos δ (3.3)
e¸sitli˘ginde saat a¸cısı hesaplanabilir. Bu ba˘gıntılarda a = 90◦ konulursa; cos z = sin δ
sin φ sin t = sin z
cos δ
(3.4)
birinci d¨u¸sey daire ¨uzerindeki bir yıldızın saat a¸cısı ve zenit uzaklı˘gını veren ba˘gıntılar elde edilir. Burada t saat a¸cısının kuzey yıldızları i¸cin ¨ust ve alt ge¸ci¸sler olmak ¨uzere iki ¸c¨oz¨um¨u vardır. δ < 0◦ ise z > 90◦ olur ve dolayısı ile yıldız ufuk d¨uzleminin altında olaca˘gından birinci d¨u¸sey daire ¨uzerinde g¨ozlenemez. δ > φ ise, yıldız birinci d¨u¸sey daireden hi¸c ge¸cmez (M¨uller, 1973).
3.1.3 Zaman sistemleri
Zaman, evrenin temel yapı ta¸slarından biri olarak, i¸cinde bir olayın veya ardı¸sık olayların ger¸cekle¸sti˘gi boyut ¸seklinde tanımlanabilir. Konum ve nitelik y¨on¨unden de˘gi¸sti˘gi bilinen ve de˘gi¸simi g¨ozlenmek istenen her olay ya da nesne i¸cin zamanın kaydedilmesi gerekir.
olmalıdır. Bu anlamda de˘gerlendirilebilecek bazı do˘ga olayları, yerin kendi ekseni etrafındaki g¨unl¨uk rotasyon hareketi, yerin g¨une¸s etrafındaki yıllık dolanımı, ayın yeryuvarı etrafındaki aylık dolanımı, n¨ukleer fizikte bazı atomların temel ¨ozelliklerine dayalı fiziksel s¨ure¸clerdir. Birbirini tekrar eden iki olay arasındaki zaman farkı referans zaman ¨ol¸ce˘gini tanımlar ( ¨Ust¨un, 2006).
Zaman sistemleri, ¨u¸c ana grup ve alt ba¸slıklarda toplanabilir. Yıldız, g¨une¸s ve d¨unya zaman sistemleri yerin kendi ekseni etrafındaki rotasyon hareketine dayalı zaman sistemleridir. Bunun dı¸sında dinamik ve atomik zaman sistemleri di˘ger iki grubu olu¸sturur.
C¸ izelge 3.1: Zaman sistemlerinin sınıflandırılması Periyodik s¨ure¸c Zaman sistemi
Yerin rotasyonu D¨unya zamanı (UT)
Greenwich yıldız zamanı (Θ0) Yerin devinimi Yersel dinamik zaman (TDT)
Jeosentrik koordinat zamanı (TCG) Barisentrik koordinat zamanı (TCB) Atomik titre¸sim Uluslararası atomik zaman (TAI)
Koordinatlandırılmı¸s d¨unya zamanı (UTC) GPS zamanı (GPST)
Yıldız zamanı
Yıldız zamanı ilkbahar noktasının saat a¸cısıyla ¨ol¸c¨ul¨ur. Bir yıldız g¨un¨u ilkbahar noktasının bir g¨ozlem yeri meridyeninden iki ¨ust ge¸ci¸s anı arasındaki s¨ureye e¸sittir. ˙Ilkbahar noktası ¨uzerindeki presesyon ve nutasyon etkisi nedeniyle, bu s¨ure bir yıldıza g¨ore tanımlanan yıldız g¨un¨une e¸sit de˘gildir. Ger¸cek ilkbahar noktasının konumuna ba˘glı yıldız zamanı g¨or¨unen (ger¸cek) yıldız zamanı olarak ifade edilir. Ekinoks denklemi ile ifade edilen nutasyon terimi, ger¸cek yıldız zamanından ¸cıkarılırsa ortalama yıldız zamanı Θ,
Θ = Θ− ∆ψ cos ε (3.5)
elde edilir. Buna g¨ore ekinoks denklemi ekvator dairesi ¨uzerinde ger¸cek ilkbahar noktası ile ortalama ilkbahar noktası arasındaki a¸cıya kar¸sılık gelir. Ekinoks denklemi ∆ψ cos ε yıldız almanaklarında N′ uzun ve N′′kısa periyotlu nutasyon de˘gerleri olarak verilmektedir:
˙Ilkbahar noktasının konumunun presesyondan etkilenmesi nedeniyle ortalama yıldız g¨un¨u yerin kendi ekseni etrafındaki bir tam d¨on¨u¸s¨unden 0s.0084 daha kısadır.
G¨une¸s zamanı
G¨unl¨uk ya¸samımızdaki zaman kavramı g¨une¸sin g¨or¨unen hareketiyle ilgilidir. Bir g¨une¸s g¨un¨u, g¨une¸sin g¨ozlem yeri meridyeninden ardı¸sık iki alt ge¸ci¸si arasındaki s¨ureye e¸sittir. G¨une¸s g¨un¨u ba¸slangıcı gece yarısı olması gerekti˘ginden g¨une¸sin saat a¸cısıyla aralarında 12h’lik fark vardır:
τ = tG+ 12h (3.7)
G¨une¸s ekliptik ¨uzerinde de˘gi¸sen hız ve deklinasyon de˘gerleriyle hareket etti˘ginden, ger¸cek g¨une¸s g¨un¨u yıl i¸cerisinde farklı s¨urelerde ger¸cekle¸sir. G¨une¸se ba˘glı olarak ideal bir zaman birimi olu¸sturmak i¸cin g¨une¸sin ekvator ¨uzerinde de˘gi¸smez bir hızla hareket etti˘gi varsayılmalıdır. Ortalama g¨une¸s g¨un¨u ekvator ¨uzerinde sabit bir hızla dolanan g¨une¸sin g¨ozlem yeri meridyeninden ardı¸sık iki alt ge¸ci¸si arasındaki s¨ureye e¸sittir. Buna g¨ore ortalama g¨une¸s g¨un¨u 1 tropik yıl s¨uresinin 1/(365.2422), 1 julyen yıl s¨uresinin 1/(365.25) katıdır. Ortalama ilkbahar noktasından ba¸slamak ¨uzere ger¸cek g¨une¸sin ekliptik y¨or¨ungesinde bir tam dolanımını ger¸cekle¸stirdi˘gi s¨ureye tropik yıl denir. Ger¸cek g¨une¸s zamanı ile ortalama g¨une¸s zamanı arasındaki fark,
E = τ− τ (3.8)
zaman denklemi adı verilen ve yıl i¸cinde de˘gi¸sen bir b¨uy¨ukl¨ukle g¨osterilir.
Astronomik d¨unya zamanı, Greenwich ortalama zamanı (GMT) olarak da adlandırılır. Ekvator ¨uzerinde sabit bir a¸cısal hızla hareket eden g¨une¸se g¨ore yerin kendi ekseni etrafındaki d¨on¨u¸s¨un¨u yansıtan bir zaman t¨ur¨ud¨ur. UT0 astronomik g¨ozlemlerden do˘grudan do˘gruya elde edilmi¸s (kutup gezinimi i¸cin d¨uzeltilmemi¸s) b¨uy¨ukl¨uk olarak g¨oz ¨on¨une alınır. UT1, g¨ozlem noktasında UT0’a kutup gezinimi nedeniyle boylam d¨uzeltmesi getirilerek bulunur. G¨unl¨uk ya¸sam i¸cin ideal zaman ¨ol¸c¨ut¨ud¨ur. UT2 yeryuvarının d¨on¨u¸s hızında yıllık ve yarıyıllık olarak g¨ozlenen de˘gi¸simlerin UT1’de d¨uzeltilmesiyle elde edilir. Bilimsel ama¸clar dı¸sında pratik bir ¨onemi yoktur (M¨uller, 1973).
Yerin kendi ekseni etrafındaki d¨on¨u¸s hızının uniform (de˘gi¸smez) olmaması nedeniyle UT, uzayda g¨ok cisimlerinin konumlarının belirlenmesinde uygun bir zaman birimi
de˘gildir. G¨une¸s sisteminde gezegenlerin dolanım s¨urelerine dayalı olarak Newton’un hareket yasalarıyla tanımlanan dinamik zaman sistemleri kuramsal olarak de˘gi¸smez niteliktedir. ˙Ilk kez 1950’de Efemeris Zamanı (ET)’nin tanımlanmasıyla kullanılmaya ba¸slanmı¸stır. Efemeris saniyesi 1900 yılı Ocak 0, ET = 12h i¸cin tropik yıl s¨uresinin 1/(31556925.9747) katıdır. 1979’da ET yerine, Dinamik Zaman (DT) kavramı kullanılmaya ba¸slanmı¸s; Yersel Dinamik Zaman (TDT), TAI + 32s.184 olarak
tanımlanmı¸stır. Jeosentrik ve barisentrik koordinat sistemleriyle uyumlu olması a¸cısından Jeosentrik Koordinat Zamanı (TCG) ve Barisentrik Koordinat Zamanı (TCB) kullanılmaktadır.
Atomik zaman sistemleri
Atomik zaman sistemleri astronomik olmayan zaman sistemleri olarak da bilinir. 1955’te sezyum atomunun frekans standardına dayalı ¸cok y¨uksek do˘gruluklu zaman biriminin olu¸sturulmasından sonra 1967’de Uluslararası Birimler Sistemi (SI) atomik saniyeyi temel zaman birimi kabul etti. Buna g¨ore atomik saniye; ¨ozel ko¸sullarda sezyum 133 atomunun iki ince enerji seviyesi arasındaki ge¸ci¸se kar¸sılık gelen 9 192 631 770 kez titre¸simi i¸cin ge¸cen s¨ure olarak tanımlamı¸stır. Uluslararası Atomik Zaman (TAI) jeoit seviyesinde esas zaman ¨ol¸c¨ut¨un¨u belirleyen ¸cok y¨uksek prezisyonlu atomik zaman standardıdır. Bu anlamda yersel dinamik zamanın uygulamada ger¸cekle¸smesidir. TAI d¨unya geneline da˘gılmı¸s yakla¸sık 300 atomik saatin a˘gırlıklı ortalamasına kar¸sılık gelir. Atom saatlerindeki frekans kararlılı˘gı 10−12 d¨uzeyindedir (Aksoy, 1987).
Koordinatlandırılmı¸s D¨unya Zamanı (UTC), TAI ile tanımlı uniform bir zaman sistemidir. UTC’nin TAI’den farkı sivil ya¸samda kullanılan zaman birimi olmasıdır. Bu ¸cer¸cevede UT ile uyumunun sa˘glanması i¸cin TAI’den tam sayı olarak saniyelik sapmalarla (leap second) ifade edilir. UTC’ye tam saniyelerin ne zaman eklenece˘gine Uluslararası yer D¨on¨ukl¨uk ve Referans Sistemleri Servisi (IERS) karar verir. ˙Ilke olarak |UT1 - UTC| > 0s.9 e¸sitsizli˘ginin bozulması durumunda UTC’ye 1s eklenmesi benimsenmi¸stir. Son d¨uzeltme 31 Aralık 2005’de ger¸cekle¸stirilmi¸stir ( ¨Ust¨un, 2006). GPS zamanı da atomik bir zaman sistemidir. GPS uydularının zaman sistemi s¨urekli olması gerekti˘ginden UTC’den zamanla uzakla¸sır. GPS saatinin ba¸slangı¸c epo˘gu, 6 Ocak 1880 tarihi 0h’de aynı tarihteki UTC ile e¸sit kabul edilmi¸stir. Bu tarihte UTC ile TAI arasında 19s’lik fark GPS saati ile TAI arasındaki farka e¸sittir.
3.2 Yıldızlar ve Yıldız Katalogları
Yıldızlar hakkında genel bilgiler ile yıldızlara ait g¨ozlem anı i¸cin ortalama ve g¨or¨unen koordinatların ve yıldız zamanlarının hesaplanması a¸cısından yıldız katalogları ¨
onemlidir. Bu b¨ol¨umde yıldızlar hakkında kısaca bilgi verildikten sonra, yıldız kataloglarının i¸ceriklerinden yola ¸cıkarak yıldız koordinatları hesabı ve zaman d¨on¨u¸s¨umleri hakkında bilgi verilecektir.
S¸ekil 3.6: Kasım 2009 tarihinde takım yıldızların konumları (T¨ubitak, 2009)
3.2.1 Yıldızlar ve koordinatlarındaki de˘gi¸simler
Yıldızlar birbirlerine g¨ore ¸cok farklılıklar g¨osterirler. Yıldızların kendilerine has ¨
ozellikleri bilindi˘gi takdirde yıldızları tanımak, g¨oky¨uz¨unde bulmak ve g¨ozlem yapmak kolayla¸sır. Yıldız katalogları yıldızların g¨or¨unen ve mutlak parlaklıkları, ekvator
sistemindeki koordinatları ve ¨oz hareketlerinin yanısıra renkleri, y¨uzey sıcaklıkları, spektral sınıfları, atmosferleri, yarı¸capları, k¨utleleri ve yo˘gunlukları, fiziksel ve kimyasal ¨
ozellikleri gibi de˘gi¸sik bilgiler i¸cerir. Bir yıldızı tanımlamanın ve onu bulmanın en kolay yolu onları gruplandırmaktır. Bu ama¸cla, 1922 yılında ilk genel toplantısını yapan IAU tarafından 88 takımyıldızı olu¸sturulmu¸s ve Latince isimlendirilmi¸stir (IAU, 2009). S¸ekil 3.6’da Kuzey yarım k¨ureden g¨or¨ulen bazı takım yıldızları g¨or¨ulmektedir.
G¨oky¨uz¨une bakıldı˘gında yıldızlar irili ufaklı g¨or¨un¨urler. Bu farklılıkta yıldızların ı¸sık g¨u¸clerinin ve uzaklıklarının de˘gi¸sik olması etkilidir. Bir yıldızın ı¸sınım ¸seklinde saniyede her do˘grultuda 1 cm2’lik alana yaydı˘gı radyasyon enerjisi miktarı g¨or¨unen parlaklık
olarak adlandırılır. Bir yıldızın ne kadar parlak g¨or¨und¨u˘g¨un¨u ifade etmek i¸cin kadir kelimesi kullanılmaktadır. G¨oze g¨ore b¨uy¨ukl¨ukleri esas alınarak daha eski ¸ca˘glarda yıldızlar b¨uy¨ukl¨uk derecelerine ayrılmı¸stır. En parlak yıldız 1. derece (parlaklı˘gı 1 kadir) olarak sınıflandırılmı¸stır. G¨or¨unen parlaklıkların b¨uy¨ukl¨uk de˘geri; magnitud kelimesinden ¸ca˘grı¸sımla mag ya da mv olarak kullanılır.
S¸ekil 3.7: Yıldızın ¨oz hareketi
Yıldızların hareketleri g¨une¸se kıyasla konumlarındaki de˘gi¸sime g¨ore tanımlanır. Bir yıldızın t1zamanında A noktasından t2zamanında B noktasına kat etti˘gi yol iki hareket b¨uy¨ukl¨u˘g¨u ile ifade edilir. Yıldızın bir yıldaki a¸cısal hareketi olan µ ¨oz hareket ve bu
s¨ure i¸cindeki radyal hareketi υ radyal hız olarak ifade edilir. Bu iki hareket yıldızın ger¸cek hareketini tanımlar. Yıldızların yıllık ¨oz hareketleri yıldızın konumunu belirleyen koordinatlar deklinasyon ve rektasansiyon oldu˘gundan, ¨oz hareketler µαve µδ¸seklinde
verilir. Yıldızların yıllık ¨oz hareketleri 0.1′′ altındadır. Radyal hızları ise 10 km/s ile 60 km/s arasında de˘gi¸sir. Yıldız koordinatları, g¨une¸s veya yerin sabit alındı˘gı bir
